UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ -...

EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA

Profa Paula Francis Benevides

Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Universidade Tecnoloacutegica Federal do Paranaacute

Campus Curitiba

Gerecircncia de Ensino e Pesquisa

Departamento Acadecircmico de Matemaacutetica

Equaccedilotildees Diferencias Profa Paula Francis Benevides

2

Conteuacutedo

AULA 1 6

AULA 2 8

11 INTRODUCcedilAtildeO 8

12 DEFINICcedilAtildeO 9

13 CLASSIFICACcedilAtildeO 9

131 Tipo 9

132 Ordem 9

133 Grau 9

134 Linearidade 10

14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 10

AULA 3 12

2 RESOLUCcedilAtildeO 13

21 CURVAS INTEGRAIS 13

22 SOLUCcedilAtildeO 13

23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) 14

24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO 15

25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS 16

3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 18

31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS 18

311 Resoluccedilatildeo 18

AULA 4 22

32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 22

321 Funccedilatildeo Homogecircnea 22

322 Equaccedilatildeo Homogecircnas 22 3221 Resoluccedilatildeo 23

AULA 5 26

33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS 26

331 O determinante 22

11

ba

ba eacute diferente de zero 26


11

ba

ba eacute igual a zero 28

AULA 6 31

34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS 31

AULA 7 34

341 Fator Integrante 34

AULA 8 37


3

35 EQUACcedilOtildeES LINEARES 37


352 Substituiccedilatildeo ou de Lagrange 39

AULA 9 42

36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A LINEARES 42

361 Equaccedilotildees de Bernoulli 42

AULA 10 45

362 Equaccedilatildeo de Ricatti 45

AULA 11 48

4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM 48

41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES 48

411 Definiccedilotildees 48

412 Equaccedilatildeo da Envoltoacuteria 49

413 Soluccedilotildees Singulares 50

AULA 12 52

414 Equaccedilatildeo de Clairaut 52

AULA 13 54

415 Equaccedilatildeo de Lagrange 54

416 Outros tipos de equaccedilatildeo de 1a Ordem e grau diferente de um 56

AULA 14 58

5 EXERCIacuteCIOS GERAIS 58

AULA 15 60

6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMAacuteTICOS 60

61 MODELO MATEMAacuteTICO 60

62 DINAcircMICA POPULACIONAL 61

63 MEIA VIDA 63

64 DECAIMENTO RADIOTAIVO 65

65 CRONOLOGIRA DO CARBONO 65

66 RESFRIAMENTO 66

67 MISTURAS 68

68 DRENANDO UM TANQUE 70

69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA 72

610 CORPOS EM QUEDA 74

6101 Corpos em queda e a resistecircncia do ar 76

611 CORRENTE DESLIZANTE 78

612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE 80

AULA 16 87

7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E ORDEM SUPERIOR 87

AULA 17 89

71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES 89


4

711 Caso 1 Raiacutezes Reais Distintas 90

712 Caso 2 Raiacutezes Muacuteltiplas 90

713 Caso 3 Raiacutezes complexas distintas 91

AULA 18 94

72 EULER - CAUCHY 94

AULA 19 97

73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS 97

731 Soluccedilatildeo por coeficientes a determinar (Descartes) 97

AULA 20 100

732 Soluccedilatildeo por variaccedilatildeo de paracircmetros 100

AULA 21 103

733 Meacutetodo do Operador Derivada 103 7331 Definiccedilatildeo 103 7332 Propriedades 103 7333 Equaccedilotildees Diferenciais 103 7334 Operador Anulador 104 7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores 105 7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares 106

AULA 22 109


AULA 23 111

9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 111

91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL 111

911 Sistema Massa-Mola Movimento Livre natildeo amortecido 111 9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido 112 9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento112

912 Sistema Massa-Mola Movimento Livre Amortecido 113 9121 ED do Movimento Livre Amortecido 113

913 Sistema Massa Mola Movimento Forccedilado 116 9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento 116 9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido 117

914 Circuito em Seacuterie Anaacutelogo - Circuitos eleacutetricos RLC em seacuterie 118

92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO 119

921 Deflexatildeo de uma viga 119 9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno 120 9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina 121 9213 Corda Girando 123

AULA 24 128

10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 128

101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL 128

AULA 25 131

102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA 131

AULA 26 134

103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 134


5

1031 Vetor soluccedilatildeo 135

1032 O Problema de Valores Iniciais 136 10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo 136

1033 Sistemas homogecircneos 136 10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo 137

1034 Independecircncia Linear 138 10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes 138

1035 Conjunto fundamental de soluccedilatildeo 139 10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos 139

1036 Sistemas natildeo homogecircneos 140 10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos 140

1037 Uma Matriz Fundamental 142 10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular 143 10372 Matriz Especial 143

10373 t eacute uma Matriz Fundamental 145

AULA 27 150

104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS 150

1041 Autovalores reais e distintos 150

1042 Autovalores complexos 152

1043 Autovalores de Multiplicidade dois 153

AULA 28 158

105 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS 158

1051 Coeficientes Indeterminados 158

1052 Variaccedilatildeo de Paracircmetros 161

AULA 29 165

11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA 165


6

AULA 1

REVISAtildeO DE INTEGRAIS

Resolva as seguintes integrais

1) dxx )13( R Cxx

2

3 2

2) dxx

x

4= R Cxx 48

3

2

3)

dxx

x2

2 )1( R C

xx

1

4)

21 x

dx R Carcsenx

5)

dxx

x21

R Cx 21ln2

1

6) )1( 2xx

dx R C

x

x

1ln

2

12

2

7)

21 x

dx R Cx arctan

8) 42x

dx R C

x

x

2

2ln

4

1

9) x

dx

3 R C

x

3

1ln

10)

dxx

x3

21 R Cx

x ln

2

12

11)

dxx

x3

2 )1( R Cx

x ln

2

12

12) dxx

x

tan

sec2

R Cx tanln

13)

dx

ax

ax22

22

R Cax

axax

ln


7

14)

dx

ax

ax22

22

R Ca

xax arctan2

15) dxxe x3 R Cxe x 13

9

1 3

16)

dx

xx

x

12

12

R Cxx 12ln2

1 2

17)

dx

xx

xx32

2

31

2 R Cxx 13ln

3

1 23

18)

dx

x

x21

1 R Cxx arctan1ln

2

1 2

19)

22 31231

3

xx

xdx R Cx 231ln 2

20)

dx

x

x

35

13 R Cxx 35ln

25

4

5

3

21)

dx

xx

x

145

152

R Cxxx )25arctan(145ln2

1 2

22)

dx

x

x

10

12 R Cxx 10ln212

23) dxxe x )2(1

ln

R Cxx 2ln

24)

dxx

xe x

2

arctan

1

arctan R Cex x arctan1arctan

25) xdxe x sincosln R C

x

2

sin 2

26) dxxe x )2( 32

R Cex x 2

)1( 2

27)

dxxxe x

64

)123(4 22

R Cxxe x

4

3

22

3

16

22

28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(


8

AULA 2

EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS

11 INTRODUCcedilAtildeO

Antes de mais nada vamos recordar o que foi aprendido em Caacutelculo A derivada dxdy

de uma funccedilatildeo nada mais eacute do que uma outra funccedilatildeo encontrada por uma regra

apropriada Como por exemplo a funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel no intervalo e a sua

derivada eacute 23

3

xedx

dy x Se fizermos3xey teremos

23 xydx

dy

(1)

Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equaccedilatildeo (1) e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo

representada por y Apesar de vocecirc natildeo fazer ideia de como ela foi construiacuteda vocecirc estaacute a frente de

um dos problemas baacutesicos desta disciplina como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo

O problema eacute semelhante ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial onde

dada uma derivada encontrar uma antiderivada

Natildeo podemos deixar de lado a diferenccedila entre a derivada e a diferencial pois embora a

derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais esses dois operadores tecircm

significados bastante diferentes As diferenccedilas mais marcantes satildeo

a derivada tem significado fiacutesico e pode gerar novas grandezas fiacutesicas como por

exemplo a velocidade e a aceleraccedilatildeo a diferencial eacute um operador com propriedades

puramente matemaacuteticas

a derivada transforma uma funccedilatildeo em outra mantendo uma correspondecircncia entre os

pontos das duas funccedilotildees (por exemplo transforma uma funccedilatildeo do segundo grau em uma

funccedilatildeo do primeiro grau) a diferencial eacute uma variaccedilatildeo infinitesimal de uma grandeza

a derivada eacute uma operaccedilatildeo entre duas grandezas a diferencial eacute uma operaccedilatildeo que

envolve uma grandeza

o resultado de uma derivada natildeo conteacutem o infiniteacutesimo em sua estrutura

consequentemente natildeo existe a integral de uma derivada a integral soacute pode ser aplicada

a um termo que contenha um diferencial (infiniteacutesimo)

se for feito o quociente entre os dois diferenciais tem-se

dx

dy

em total semelhanccedila com a definiccedilatildeo de derivada A consequecircncia direta desse fato eacute que a

derivada natildeo eacute o quociente entre duas diferenciais mas comporta-se como se fosse esse

quociente Isto significa que a partir da relaccedilatildeo

)(xfdx

dy

eacute possiacutevel escrever

dxxfdy )(

que se denomina equaccedilatildeo diferencial

uma das aplicaccedilotildees mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais eacute a obtenccedilatildeo

da equaccedilatildeo diferencial etapa fundamental para a introduccedilatildeo do Caacutelculo Integral


9

12 Definiccedilatildeo

Equaccedilatildeo diferencial eacute uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo e suas derivadas ou

diferenciais Quando a equaccedilatildeo possui derivadas estas devem ser passadas para a forma diferencial

1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos)(2 2

5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

2

2

2

2

2

8) y

zxz

x

z

13 CLASSIFICACcedilAtildeO

131 TIPO

Se uma equaccedilatildeo contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais variaacuteveis

dependentes em relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente como em (1) a (6) as derivadas satildeo

ordinaacuterias e a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma ED pode conter

mais de uma variaacutevel dependente como no caso da equaccedilatildeo (6)

Uma equaccedilatildeo que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variaacuteveis dependentes de

duas ou mais variaacuteveis independentes como em (7) e (8) a equaccedilatildeo eacute denominada equaccedilatildeo

diferencial parcial (EDP) As equaccedilotildees diferenciais parciais natildeo seratildeo vistas neste curso

132 ORDEM

A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial eacute a ordem de mais alta derivada que nela aparece As

equaccedilotildees (1) (2) e (6) satildeo de primeira ordem (3) (5) e (7) satildeo de segunda ordem e (4) eacute de terceira

ordem

133 GRAU

O grau de uma equaccedilatildeo diferencial que pode ser escrita considerando a derivadas como

um polinocircmio eacute o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece Todas as equaccedilotildees dos

exemplos acima satildeo do primeiro grau exceto (5) que eacute do segundo grau


10

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3

a ordem e 2

o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1

o grau

Observe que nem sempre agrave primeira vista pode-se classificar a equaccedilatildeo de imediato

quanto a ordem e grau

134 LINEARIDADE

Dizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

de ordem n eacute linear quando satildeo satisfeitas as seguintes condiccedilotildees

1) A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas nyyy satildeo do primeiro grau ou

seja a potecircncia de cada termo envolvendo y eacute um

2) Os coeficientes naaa 10 de nyyy dependem quando muito da variaacutevel

independente x

Exemplos

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3

Satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e

terceira ordem

14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS

Uma relaccedilatildeo entre as variaacuteveis encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais como

Cxxy 4 ou BxAxy 2

eacute chamada uma primitiva As n constantes representadas sempre

aqui por letras maiuacutesculas seratildeo denominadas essenciais se natildeo puderem ser substituiacutedas por um

nuacutemero menos de constantes

Em geral uma primitiva encerrando n constantes arbitraacuterias essenciais daraacute origem a uma

equaccedilatildeo diferencial de ordem n livre de constantes arbitraacuterias Esta equaccedilatildeo aparece eliminando-se

as n constantes entre as )1( n equaccedilotildees obtidas juntando-se agrave primitiva as n equaccedilotildees provenientes

de n derivadas sucessivas em relaccedilatildeo a variaacutevel independente da primitiva


11

Obter a equaccedilatildeo diferencial associada agraves primitivas abaixo

a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy

e) )cos( bxay onde a e b satildeo constantes

f) xx eCeCy 2

23

1


12

AULA 2 - EXERCIacuteCIOS

Nos exerciacutecios de 1 a 12 obter a equaccedilatildeo diferencial associada a primitiva

1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx

4) xCxCy 2sin2cos 21

5) 321 )( CexCCy x

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln

13) Obter a equaccedilatildeo diferencial da famiacutelia de ciacuterculos de raio 10 cujos centros

estejam sobre o eixo y

Respostas

1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2 ( ) 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy


13

AULA 3

2 RESOLUCcedilAtildeO

Resolver uma ED eacute determinar todas as funccedilotildees que sob a forma finita verificam a

equaccedilatildeo ou seja eacute obter uma funccedilatildeo de variaacuteveis que substituiacuteda na equaccedilatildeo transforme-a numa

identidade A resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial envolve basicamente duas etapas a primeira

que eacute a preparaccedilatildeo da equaccedilatildeo que consiste em fazer com que cada termo da equaccedilatildeo tenha aleacutem

de constantes um uacutenico tipo de variaacutevel A segunda etapa eacute a resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial e

consiste na aplicaccedilatildeo dos meacutetodos de integraccedilatildeo

21 CURVAS INTEGRAIS

Geometricamente a primitiva eacute a equaccedilatildeo de uma famiacutelia de curvas e uma soluccedilatildeo

particular eacute a equaccedilatildeo de uma dessas curvas Estas curvas satildeo denominadas curvas integrais da

equaccedilatildeo diferencial

xdx

dy2

Que resulta em Cxy 2

22 SOLUCcedilAtildeO

Eacute a funccedilatildeo que quando substituiacuteda na equaccedilatildeo diferencial a transforma numa identidade As

soluccedilotildees podem ser

Soluccedilatildeo geral A famiacutelia de curvas que verifica a equaccedilatildeo diferencial (a primitiva de

uma equaccedilatildeo diferencial) contem tantas constantes arbitraacuterias quantas forem as unidades

de ordem da equaccedilatildeo

Soluccedilatildeo particular soluccedilatildeo da equaccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral impondo condiccedilotildees

iniciais ou de contorno Geralmente as condiccedilotildees iniciais seratildeo dadas para o instante

inicial Jaacute as condiccedilotildees de contorno aparecem quando nas equaccedilotildees de ordem superior os

valores da funccedilatildeo e de suas derivadas satildeo dadas em pontos distintos

Soluccedilatildeo singular Chama-se de soluccedilatildeo singular de uma equaccedilatildeo diferencial agrave

envoltoacuteria da famiacutelia de curvas que eacute a curva tangente a todas as curvas da famiacutelia A

soluccedilatildeo singular natildeo pode ser deduzida da equaccedilatildeo geral Algumas equaccedilotildees diferenciais

natildeo apresentam essa soluccedilatildeo Esse tipo de soluccedilatildeo seraacute visto mais adiante

As soluccedilotildees ainda podem ser

Soluccedilatildeo expliacutecita Uma soluccedilatildeo para uma EDO que pode ser escrita da forma )x(fy eacute

chamada soluccedilatildeo expliacutecita

Soluccedilatildeo Impliacutecita Quando uma soluccedilatildeo pode apenas ser escrita na forma 0)yx(G

trata-se de uma soluccedilatildeo impliacutecita


14

Exemplo

Consideremos a resoluccedilatildeo da seguinte EDO xdx

dy1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1

A soluccedilatildeo geral obtida eacute obviamente uma soluccedilatildeo explicita

Por outro lado pode-se demonstrar que a EDO

2

2

xxy

y

dx

dy

tem como soluccedilatildeo x

y

Cey ou seja uma soluccedilatildeo impliacutecita

Exemplo

Verifique que 16

xy

4

eacute uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo 21

xydx

dy no intervalo )(

Resoluccedilatildeo

Uma maneira de comprovar se uma dada funccedilatildeo eacute uma soluccedilatildeo eacute escrever a equaccedilatildeo

diferencial como 0xydx

dy 21

e verificar apoacutes a substituiccedilatildeo se a diferenccedila acima 21

xydx

dy eacute

zero paratodo x no intervalo

4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33

Substituindo na ED temos

044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x

Esta condiccedilatildeo se verifica para todo Rx

23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

Seja a equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem )( yxfdx

dy sujeita a condiccedilatildeo inicial

00 y)x(y em que 0x eacute um nuacutemero no intervalo I e 0y eacute um nuacutemero real arbitraacuterio eacute chamado de

problema de valor inicial Em termos geomeacutetricos estamos procurando uma soluccedilatildeo para a equaccedilatildeo

diferencial definida em algum intervalo I tal que o graacutefico da soluccedilatildeo passe por um ponto (xo yo)

determinado a priori


15

Seja xecy a famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees para y=y no intervalo )( Se

especificarmos que y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacutelia temos

x0 e3ye3cec3

Se especificarmos que y(1) = 3 entatildeo temos

1xx111 e3yee3yee3cec3

Seraacute que a equaccedilatildeo diferencial )yx(fdx

dy possui uma soluccedilatildeo cujo graacutefico passa pelo

ponto (xo yo) Ainda se esta soluccedilatildeo existir eacute uacutenica

As funccedilotildees y = 0 e 16

xy

4

satildeo soluccedilotildees para o problema de valor inicial

0)0(y

xydx

dy 21

Podemos observar que o graacutefico destas soluccedilotildees passam pelo ponto (00) Desta forma

deseja-se saber se uma soluccedilatildeo existe e quando existe se eacute a uacutenica soluccedilatildeo para o problema

24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO

Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por bxa dyc que conteacutem o

ponto )yx( 00 em seu interior Se )yx(f e dy

df satildeo contiacutenuas em r entatildeo existe um intervalo I

centrado em x0 e uma uacutenica funccedilatildeo y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial

)yx(fdx

dy sujeito a 00 y)x(y

Trecircs perguntas importantes sobre soluccedilotildees para uma EDO

1 Dada uma equaccedilatildeo diferencial seraacute que ela tem soluccedilatildeo

2 Se tiver soluccedilatildeo seraacute que esta soluccedilatildeo eacute uacutenica

3 Existe uma soluccedilatildeo que satisfaz a alguma condiccedilatildeo especial

Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existecircncia e Unicidade de soluccedilatildeo

que nos garante resposta para algumas das questotildees desde que a equaccedilatildeo tenha algumas

caracteriacutesticas


16

Teorema Considere o problema de valor inicia

00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy

Se p(x) e q(x) satildeo continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 entatildeo o problema de

valor inicial tem uma uacutenica soluccedilatildeo nesse intervalo

Alertamos que descobrir uma soluccedilatildeo para uma Equaccedilatildeo Diferencial eacute algo ldquosimilarrdquo ao

caacutelculo de uma integral e noacutes sabemos que existem integrais que natildeo possuem primitivas como eacute o

caso das integrais eliacutepticas Dessa forma natildeo eacute de se esperar que todas as equaccedilotildees diferenciais

possuam soluccedilotildees

25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS

As equaccedilotildees diferenciais da forma

yfdx

dy (2)

satildeo chamadas de autocircnomas

Utilizando a manipulaccedilatildeo formal introduzida por Liebnitz (1646-1716) podemos escrever a

equaccedilatildeo (2) na forma

)(

1

yfdx

dy (3)

Cuja resoluccedilatildeo eacute

y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)

Para justificar a equaccedilatildeo (4) necessitamos que )(

1

yf seja bem definida no intervalo de

interesse A onde 0)( yf e que seja contiacutenua neste intervalo A Pois como 0)(

1

yfdy

dx em

A o Teorema da Funccedilatildeo Inversa garante que existe uma funccedilatildeo inversa da funccedilatildeo )(yx isto eacute

)(xFy tal que )(yfdx

dF em A o que justifica o procedimento formal

Portanto a soluccedilatildeo do problema de condiccedilatildeo inicial

00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)

eacute obtida pela soluccedilatildeo do problema

00)(

)(

1

xyx

yfdy

dx

(6)

e com a inversatildeo da funccedilatildeo )(yx


17

As equaccedilotildees autocircnomas aparcem na formulaccedilatildeo de uma grande quantidade de modelos

Sempre que uma lei de formaccedilatildeo afrma que ldquoa taxa de variaccedilatildeo de uma quantidade y(t) eacute

proporcional a esta mesma quantidaderdquo temos uma equaccedilatildeo autocircnoma da forma

kydx

dy (7)

Como kyyf )( entatildeo 0)( yf se 0y Devemos procurar soluccedilotildees

separadamente nos dois intervalos 0 y e y0

Considerando inicialmente o problema de Cauchy

0)(00

yxy

kydx

dy

(8)

E seu problema inverso

00)(

1

xyx

kydy

dx

(9)

Cuja soluccedilatildeo inversa eacute dada por

y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R

Considere a equaccedilatildeo autocircnoma

akydx

dy

sua soluccedilatildeo geral para k

ay eacute obtida considerando-se sua forma diferencial


18

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1

Portanto

k

ayea

kyeaky CxkCxk

1 )()(

Neste caso k

ay e a soluccedilatildeo de equiliacutebrio

3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU

Satildeo equaccedilotildees de 1a ordem e 1

o grau

)( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx

em que M = M(xy) e N = N(xy)

Estas funccedilotildees tecircm que ser contiacutenuas no intervalo considerado (- infin infin)

31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS

A equaccedilatildeo diferencial 0)()( dyyxNdxyxM seraacute de variaacuteveis separaacuteveis se

M e N forem funccedilotildees de apenas uma variaacutevel ou constantes

M e N forem produtos de fatores de uma soacute variaacutevel

Isto eacute se a equaccedilatildeo diferencial puder ser colocada na forma 0)()( dyyQdxxP a

equaccedilatildeo eacute chamada equaccedilatildeo diferencial de variaacuteveis separaacuteveis


Para resolvermos tal tipo de equaccedilatildeo diferencial como o proacuteprio nome jaacute diz deveremos

separar as variaacuteveis isto eacute deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma

funccedilatildeo exclusivamente da variaacutevel y e entatildeo integramos cada diferencial da seguinte forma

CdyyQdxxP )()(

Exemplos

Resolver as seguintes equaccedilotildees


19

1) 13 xdx

dy

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx

4) 0secsec xdytgyydxtgx


20

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy


21

8) Resolva o problema de valor inicial

AULA 03 ndash EXERCIacuteCIOS

1) Verifique quexxey eacute uma soluccedilatildeo para a

equaccedilatildeo 0yy2y no intervalo

)(


diferenciais

2) 01

dx

dytgy

x

3) 0)1(4 22 dyxdxxy

4) 0)3()2( dyxdxy

5) 0)1( 2 dyxxydx

6) 42

2

x

e

dx

dy y

7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

8) dx

dyxyy

dx

dyxa

2

9) 0tansectansec 22 xdyyydxx

10) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 ndash a

2)(y

2 ndash b

2)dy = 0

11) 0)1( ydxdyx

12) 0)1( 2 xydxdyx

13) 0cos xydx

dy

14) xydx

dycos3

15) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas

1) Esta condiccedilatildeo se verifica para todo

nuacutemero real

2) x cos y = C

3) Cy

1)1xln(2 2

4) (2 + y)(3 ndash x) = C

5) C y2 = 1 + x

2

6) C2

xarctge y2

7) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

8) y

y

k

a a

ex

ln

2

9) tg x tg y = C

10) Cb

yarctgb2y

ax

axlnax

11) y = c(x ndash 1)

12) Cx1y 2

13) senxe

Ky

14) senxCey 3

15) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3

1)0(42 yydx

dy


22

AULA 4

32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS

321 FUNCcedilAtildeO HOMOGEcircNEA

Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute denominada homogecircnea de grau k se para todo t R vale a

relaccedilatildeo f(tx ty) = tk f(x y) Uma funccedilatildeo f = f(x y) eacute homogecircnea de grau 0 se para todo t R vale

a relaccedilatildeo f(tx ty) = f(x y)

Exemplos

1) A funccedilatildeo f(x y) = x2 + y

2 eacute homogecircnea de grau 2

pois )yx(ft)yx(tytxt)ty()tx()tytx(f 2222222222

2) 4y

x)yx(g

2

2

eacute homogecircnea de grau zero pois

)yx(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()tytx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(xy) = 2x3 + 5xy

2 eacute homogecircnea de grau trecircs pois

)yx(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)yx(f 3233233323

Se f(x y) for uma funccedilatildeo homogecircnea de grau n note que podemos escrever

x

y1fx)yx(f n e

1

y

xfy)yx(f n

satildeo ambas homogecircneas de grau n

Exemplo

Seja 22 yxy3x)yx(f homogecircnea de grau 2 Logo

x

y1fx

x

y

x

y31x

x

y

x

y31x)yx(f 2

22

2

22

1

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)yx(f 2

22

2

22

322 EQUACcedilAtildeO HOMOGEcircNAS

A equaccedilatildeo 0dy)yx(Ndx)yx(M seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial homogecircnea se

M e N forem funccedilotildees homogecircneas de mesmo grau

Exemplos

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

y

xy

3)

x

yarctgy


23

3221 Resoluccedilatildeo

Seja a equaccedilatildeo homogecircnea Mdx + Ndy = 0

Tem-se

N

M

dx

dy

Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a potencia

igual ao grau de homogeneidade da equaccedilatildeo resultaraacute uma funccedilatildeo de yx

x

yF

dx

dy (1)

Eacute necessaacuterio no entanto substituir a funccedilatildeo yx por uma outra que permita separar as

variaacuteveis

Dessa forma substitui-se x

y por u

xuy (2)

Derivando y=xu em relaccedilatildeo ax tem-se

dx

duxu

dx

dy

(3)

Substituindo (2) e (3) em (1) temos

x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(

Que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis

Em resumo

Pode-se resolver uma Equaccedilatildeo Diferencial Homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo

de variaacuteveis separaacuteveis com a substituiccedilatildeo y = xu onde u = u(x) eacute uma nova funccedilatildeo incoacutegnita

Assim dy = xdu + udx eacute uma equaccedilatildeo da forma yrsquo = f(x y) pode ser transformada em uma equaccedilatildeo

separaacutevel


24

Exemplo

02)( 22 xydydxyx


25


Resolva as seguintes equaccedilotildees

1) (x ndash y) dx ndash (x + y) dy = 0

2) (2x ndash y) dx ndash (x + 4y) dy = 0

3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0

5) (x2 + y

2) dx ndash xy dy = 0

6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy

7) Determine a soluccedilatildeo de (x2 ndash 3y

2)dx + 2xydy = 0 sujeita a condiccedilatildeo inicial 1)2(y

8) Determine a soluccedilatildeo de 06)32( 22 xydydxyx sujeita a condiccedilatildeo inicial

3

1)1(y

Respostas

1) y2 + 2xy ndash x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

221

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


26

AULA 5

33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES

REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS

Satildeo as equaccedilotildees que mediante determinada troca de variaacuteveis se transformam em equaccedilotildees

homogecircneas ou em equaccedilotildees de variaacuteveis separaacuteveis

Satildeo equaccedilotildees da forma

222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy

onde a1 a2 b1 b2 c1 e c2 satildeo constantes

Observemos que a equaccedilatildeo acima natildeo eacute de variaacuteveis separaacuteveis porque temos uma soma das

variaacuteveis x e y e tambeacutem natildeo eacute homogecircnea pela existecircncia de termos independentes portanto

deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente O que equivale a efetuar uma translaccedilatildeo de

eixos

Para esse tipo de equaccedilatildeo tem dois casos a considerar

331 O DETERMINANTE 22

11

ba

ba Eacute DIFERENTE DE ZERO

Resoluccedilatildeo

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa

cybxa cuja soluccedilatildeo eacute dada pelas raiacutezes αx e βy

A substituiccedilatildeo a ser feita seraacute

dvdyvy

dudxux


27

Observa-se que geometricamente equivaleu a uma translaccedilatildeo dos eixos coordenados para

o ponto ( ) que eacute a interseccedilatildeo das retas componentes do sistema (1) o que eacute verdadeiro uma

vez eu o determinante considerado eacute diferente de zero

Assim sendo a equaccedilatildeo transformada seraacute

22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv

Como e satildeo as raiacutezes do sistema

vbua

vbuaF

du

dv

22

11

que eacute uma equaccedilatildeo homogecircnea do tipo visto anteriormente

Exemplo

Resolver a equaccedilatildeo23

132

yx

yx

dx

dy


28


11

ba

ba Eacute IGUAL A ZERO

Assim observe-se que o meacutetodo aplicado no 1o caso natildeo faraacute sentido de vez que as retas

no sistema seriam paralelas e sua interseccedilatildeo seria verificada no infinito (ponto improacuteprio) A

equaccedilatildeo se reduziraacute a uma de variaacuteveis separaacuteveis

Como 22

11

ba

ba = 0 os coeficientes de x e y satildeo proporcionais de modo que se pode

escrever

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)

Chamando a relaccedilatildeo constante (1) de m pode-se escrever

1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy

Fazendo tybxa 11 e sendo )(xft tem-se

)(1

1

1

xatb

y

Derivando em relaccedilatildeo a x

1

1

1a

dx

dt

bdx

dy

Equaccedilatildeo transformada

2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt

que eacute uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis


29

Exemplo Resolver a equaccedilatildeo 136

12

yx

yx

dx

dy


30


1) 0dy)1yx3(dx)y3x2(

2) 0dy)5yx2(dx)4y2x(

3) 0dy)8y5x(dx)xy3(

4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

5) yx1

y3x31

dx

dy

6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

7) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas

1) 2x2 ndash 6xy + y

2 + 2y = K

2) (y ndash x + 1)3 = K(x + y ndash 3)

3) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C

5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

7) x2 - 4y

2 - 6xy - 2x + 4y = K


31

AULA 6

34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS

Uma equaccedilatildeo do tipo M(xy)dx + N(xy)dy = 0 (1) eacute denominada diferencial exata se

existe uma funccedilatildeo U(xy) tal que dU(xy) = M(xy)dx + N(xy)dy A condiccedilatildeo necessaacuteria e

suficiente para que a equaccedilatildeo (1) seja uma diferencial exata eacute que

x

N

y

M

Dada a equaccedilatildeo diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(xy)=C sua soluccedilatildeo cuja

diferencial dada por

dyy

udx

x

udu

(2)

Entatildeo comparando (1) e (2) teremos

)( yxMx

u

(3)

e

)( yxNy

u

(4)

Para obtermos a sua soluccedilatildeo )( yxfu deveremos integrar por exemploa expressatildeo

(3) em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x da qual teremos

)()()( ygdxyxMyxf

(5)

Derivando parcialmente (5) em relaccedilatildeo agrave y teremos

)()(

ygy

dxyxM

y

f

(6)

Igualando (6) e (4) resulta

)()()(

yxNygy

dxyxM

Isolando grsquo(y) e integrando em relaccedilatildeo a y acharemos

1

)()()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)

Substituindo (7) em (5) teremos a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo exata que eacute

Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

)(

)()()(

Logo a soluccedilatildeo eacute da forma

Cdy

y

PNMdxyxU )(

onde costuma-se denotar MdxP


32

Exemplos

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


33


1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y ndash 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0

4) senh xcosy dx = coshxseny dy

5) 0)( 22 drrdre

Respostas

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22


34

AULA 7

341 FATOR INTEGRANTE

Nem sempre a ED eacute exata ou seja Mdx + Ndy = 0 natildeo satisfaz isso eacute x

N

y

M

Quando isso ocorre vamos supor a existecircncia de uma funccedilatildeo F(x y) que ao multiplicar toda

a ED pela mesma resulta em uma ED exata ou seja F(xy)[Mdx +Ndy] = 0 e esta eacute uma ED exata

Se ela eacute exata existe cteyxu )( e MFdx

u

e NF

dy

u

Tomando a condiccedilatildeo de exatidatildeo FNdx

FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F

e achar F por aqui eacute loucura

Vamos supor entatildeo que F(xy) = F(x)

x

NFN

x

F

y

MF

dividindo tudo por FN 0 e organizando temos

x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo dxx

N

y

M

NdF

F

11

integrando CdxxRF )(ln

dxxRexF

)()(

onde

x

N

y

M

NxR

1)(

analogamente supondo F(xy) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos

dyyReyF

)()(

onde

x

N

y

M

MxR

1)(


35

Em resumo

Quando a expressatildeo Mdx + Ndynatildeo eacute diferencial exata isto eacute x

N

y

M

mostra-se que haacute

uma infinidade de funccedilotildees )( yxF tais que )( NdyMdxF eacute uma diferencial exata

A esta funccedilatildeo )( yxF daacute-se o nome de fator integrante

F(x) F(y)

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos

Resolver as seguintes equaccedilotildees diferenciais transformando em exatas atraveacutes do fator

integrante

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


36

2) (x2 ndash y

2) dx + 2xy dy = 0


1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy

2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0

3) seny dx + cos y dy = 0

4) Encontre a soluccedilatildeo particular

de dx)yx(xydy2 22 para

2)1(y

5) 0xdy2dx)xy( 2

6) 0xdylnxdx)yx(

7) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

Respostas

1) x2 cos y + x

4 = C

2) Ctgyex 2

3) Ceseny x

4) xxy 32

5) k5

x2xy2

25

6) kxlnyx

7) Kyxx 22


37

AULA 8

35 EQUACcedilOtildeES LINEARES

Uma equaccedilatildeo diferencial linear de 1a ordem e 1

o grau tem a forma

)()( xQyxPdx

dy

(1)

Se Q(x) = 0 a equaccedilatildeo eacute dita homogecircnea ou incompleta enquanto se Q(x) 0 a equaccedilatildeo eacute

dita natildeo-homogecircnea ou completa Analisaremos dois meacutetodos de soluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais

desse tipo a saber


Este meacutetodo consiste na transformaccedilatildeo de uma equaccedilatildeo linear em outro do tipo diferencial

exata cuja soluccedilatildeo jaacute estudamos anteriormente Posto isto vamos retornando agrave equaccedilatildeo original de

nosso problema

QPydx

dy

Vamos reescrever esta uacuteltima sob a forma

0)( dydxQPy

Multiplicando ambos os membrospor Pdx

e (fator integrante) obtemos a expressatildeo

0 dyedxQPyePdxPdx

Aqui identificamos as funccedilotildees ldquoMrdquo e ldquoNrdquo

QPyeMPdx

e

Pdx

eN

Derivando M com relaccedilatildeo a y e N com relaccedilatildeo a x obtemos

Pdx

Pey

Me

Pdx

Pex

N

confirmando assim que a equaccedilatildeo transformada eacute uma equaccedilatildeo diferencial exata


38

Exemplo1

Resolver a equaccedilatildeo 2 xx

y

dx

dy por fator integrante


39

352 SUBSTITUICcedilAtildeO OU DE LAGRANGE

Esse meacutetodo foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange1 (matemaacutetico francecircs 1736-1813)

criador da Mecacircnica Analiacutetica e dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais O

meacutetodo consiste na substituiccedilatildeo de ldquoyrdquo por ldquoZtrdquo na equaccedilatildeo (1) onde t = (x) e Z= )(x sendo Z

a nova funccedilatildeo incoacutegnita e t a funccedilatildeo a determinar assim y = Zt

Derivando em relaccedilatildeo a x tem-se

dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)

Substituindo (2) em (1) vamos obter

QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)

Para integral a equaccedilatildeo (3) examina-se dois casos particulares da equaccedilatildeo (1) a saber

i) P = 0 entatildeo dy = Qx logo CQdxy (4)

ii) Q = 0 entatildeo 0 Pydx

dy (equaccedilatildeo homogecircnea) que resulta em dy + Pydx = 0 que eacute de

variaacuteveis separaacuteveis Daiacute 0 Pdxy

dy Integrando essa uacuteltima resulta em PdxCyln

Aplicando a definiccedilatildeo de logaritmo passamos a escrever a soluccedilatildeo PdxCPdxC

eeey Fazendo

Cek temos Pdx

key (5) que representa a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo homogecircnea ou incompleta

Agora vamos pesquisar na equaccedilatildeo (3) valores para ldquotrdquo e ldquoZrdquo uma vez que y=Zt teremos a

soluccedilatildeo da equaccedilatildeo (1) que uma equaccedilatildeo linear completa (natildeo-homogecircnea) Se igualarmos os

coeficientes de Z a um certo fator o valor daiacute obtido poderaacute ser levado ao resto da equaccedilatildeo

possibilitando a determinaccedilatildeo de Z uma vez que ldquotrdquo pode ser determinado a partir desta condiccedilatildeo

Assim vamos impor em (3) que o coeficiente de Z seja nulo Feito isto 0 Ptdx

dt (6) que eacute da

mesma forma jaacute estudada no caso ii Assim Pdx

ket Substituindo este resultado em Qdx

dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

Daiacute Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx

1 Integrando este uacuteltimo

1

(Turim 25 de janeiro de 1736 mdash Paris 10 de abril de 1813)foi um matemaacutetico francecircs de origem italiana criador da Mecacircnica Analiacutetica e

dos processos de Integraccedilatildeo das Equaccedilotildees de Derivadas Parciais


40

resultado temos CQdxek

ZPdx

1

(7) Lembrando que y = Zt vamos obter substituindo ldquotrdquo e

ldquoZrdquo

CQdxek

keyPdxPdx 1

onde resulta finalmente em

CdxQeeyPdxPdx

(8)

que eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo (1)

Exempo 2


y

dx

dy por Lagrange


41


1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycostan

4) xx

y

dx

dy

5) 32

xx

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan

7) Achar a soluccedilatildeo particular para 0)0(y em x

xydx

dy

cos

1tan

8) Resolver o problema de valor inicial 3)0(2 yxxydx

dy

Respostas

1) Cxx

y )ln(sin1

2) xeCxy arctan1arctan

3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


42

AULA 9

36 EQUACcedilOtildeES NAtildeO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTIacuteVEIS A

LINEARES

Resolver equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares eacute muito difiacutecil mas existemalgumas delas que

mesmo sendo natildeo lineares podem ser transformadasem equaccedilotildees lineares Os principais tipos de

tais equaccedilotildees satildeo

361 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI

Equaccedilatildeo da forma

nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)

para 1n e 0n onde P(x) e Q(x) satildeo funccedilotildees continuas conhecidas como equaccedilatildeo de Bernoulli2

Nesse caso a ideacuteia eacute realizar uma substituiccedilatildeo na equaccedilatildeo acima demodo a transformaacute-la em uma

EDO linear

Pois se

n = 0 yrsquo + P(x)y = g(x) caso anterior

n = 1 yrsquo + [P(x) ndash g(x)] y = 0 caso anterior e homogecircnea

Soluccedilatildeo

Transformaccedilatildeo de variaacutevel

Substitui por ty n 1

Deriva-se em relaccedilatildeo a x

dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)

Substituindo (1) que eacute

nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

2

Jakob Bernoulli ou Jacob ou Jacques ou Jacob I Bernoulli (Basileia 27 de Dezembro de 1652 - Basileia 16 de agosto de 1705) foi o

primeiro matemaacutetico a desenvolver o caacutelculo infinitesimal para aleacutem do que fora feito por Newton e Leibniz aplicando-o a novos problemas


43

Como ty n 1 temos

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(

Tornando-se assim uma equaccedilatildeo linear a ser resolvida pelo meacutetodo anterior

Exemplo

232

xyx

y

dx

dy


44


1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 02 2 xydx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas

1) 2

1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

)ln(

1

3) 12 2223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


45

AULA 10

362 EQUACcedilAtildeO DE RICATTI

A equaccedilatildeo de Jacopo Francesco Riccati3eacute da forma

)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

(1)

onde P Q e R designam funccedilotildees de x Observamos que quando P(x)=0 temos a equaccedilatildeo linear e

quando R(x) = 0 temos a equaccedilatildeo de Bernoulli Joseph Liouville4 mostrou que a soluccedilatildeo da

equaccedilatildeo de Riccati soacute eacute possiacutevel quando se conhece uma soluccedilatildeo particular y0 Caso contraacuterio ela

soacute eacute integraacutevel atraveacutes de uma funccedilatildeo transcendente5

Resoluccedilatildeo

Conhecendo-se uma soluccedilatildeo particular 0y da equaccedilatildeo (1) pode-se resolver facilmente a

equaccedilatildeo fazendo a seguinte mudanccedila de variaacutevel

zyy 0 (2)

onde 0y e z dependem de x

Como 0y eacute soluccedilatildeo temos

RQyPydx

dy 0

2

0

0

(3)

Por outro lado derivando (2) tem-se

dx

dz

dx

dy

dx

dy 0

(4)

Substituindo (2) e (4) na equaccedilatildeo (1)

RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

0

0

Desenvolvendo e agrupando os termos

RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)

3(Veneza 28 de Maio de 1676 - Treviso 15 de Abril de 1754) foi um matemaacutetico e fiacutesico italiano que efetuou trabalhos sobre hidraacuteulica

que foram muito importantes para a cidade de Veneza Ele proacuteprio ajudou a projetar os diques ao longo de vaacuterios canais Considerou diversas classes

de equaccedilotildees diferenciais mas eacute conhecido principalmente pela Equaccedilatildeo de Riccati da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluccedilotildees em alguns casos especiais

4(Saint-Omer Pas-de-Calais 24 de Marccedilo de 1809 - Paris 8 de setembro de 1882) foi um matemaacutetico francecircs 5

Uma funccedilatildeo eacute chamada de transcendente quando natildeo eacute algeacutebrica (pode ser expressa em termos de somas diferenccedilas produtos quocientes

ou raiacutezes de funccedilotildees polinomiais) As funccedilotildees trigonomeacutetricas exponenciais e logariacutetmicas satildeo exemplos de funccedilotildees transcedentes


46

Substituindo (3) em (5) e reagrupando resulta em

2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)

que eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli na variaacutevel z cuja soluccedilatildeo jaacute foi desenvolvida

Em resumo

Para sua resoluccedilatildeo algeacutebrica deveremos conhecer uma soluccedilatildeo particular y = y0 qualquer de

(1) na qual a mudanccedila de variaacuteveis y = z + y0 iraacute eliminar o termo independente R(x)

transformando a equaccedilatildeo de Riccatti numa equaccedilatildeo de Bernoulli

Exemplo

Mostrar que xy eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 0121 223 yxxydx

dyx

e

procurar a soluccedilatildeo geral


47


1) Verificar se y = x eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 32

2

x

y

x

y

dx

dy Em caso afirmativo

calcular a soluccedilatildeo geral

2) Mostrar que x

y1

eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 2

2 2

xy

dx

dy e calcular a sua soluccedilatildeo

geral

3) Sabendo que y = 1 eacute soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo 1)12( 2 xxyyxdx

dy calcular a

sua soluccedilatildeo geral

4) Calcular a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 11

121 2

xy

xy

xdx

dy sabendo que y = x eacute soluccedilatildeo

particular

5) Dar a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 0232 yydx

dy sabendo que y = - 1 eacute soluccedilatildeo

particular

Respostas

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


48

AULA 11

4 EQUACcedilOtildeES DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM

41 ENVOLTOacuteRIAS E SOLUCcedilOtildeES SINGULARES

411 DEFINICcedilOtildeES

Curvas integrais Famiacutelia de curvas que representa a soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo

diferencial

Envolvida Eacute cada uma das curvas integrais Representa geometricamente uma soluccedilatildeo

particular da equaccedilatildeo

Envoltoacuteria Tomando-se como exemplo a famiacutelia de curvas dependentes de um paracircmetro

0)αyx(f define-se como envoltoacuteriaa curva tangente a todas as linhas que constituem a

famiacutelia de curvas integrais

Assim sendo pode-se afirmar que existe uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia

como tambeacutem poderaacute natildeo haver nenhuma Por exemplo uma famiacutelia de circunferecircncias

concecircntricas natildeo apresenta envoltoacuteria


49

412 EQUACcedilAtildeO DA ENVOLTOacuteRIA

Seja 0)αyx(f uma famiacutelia de curvas dependentes do paracircmetro ldquo rdquo Define-se como

envoltoacuteria a curva que eacute tangente a toda a linha que constituem a famiacutelia de curvas Pode-se existir

uma ou mais envoltoacuterias para uma mesma famiacutelia de curvas como tambeacutem poderaacute natildeo haver

nenhuma As curvas que forma a famiacutelia satildeo chamadas envolvidas Geralmente a envoltoacuteria eacute

definida pelo sistema

0)(

0)(

yxf

yxf

(1)

cuja equaccedilatildeo pode ser obtida pela eliminaccedilatildeo do paracircmetro em (1) Tambeacutem podemos obter a

equaccedilatildeo da envoltoacuteria sob a forma parameacutetrica resolvendo o sistema para x e y

Exemplo

Obter a envoltoacuteria de uma famiacutelia de circunferecircncia com centro sobre o eixo x e raio igual

a 5


50

413 SOLUCcedilOtildeES SINGULARES

Uma equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de 1a ordem pode se escrita na forma alternativa

0

dx

dyyxF

Foi visto que uma equaccedilatildeo diferencial pode apresentar trecircs tipos de soluccedilatildeo

geral

particular

singular (eventualmente)

A soluccedilatildeo geral eacute do tipo 0)Cyx(f que representa uma famiacutelia de curvas (curvas

integrais) a cada uma das quais estaacute associada uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo dada

A envoltoacuteria dessa famiacutelia de curvas (caso exista) representa a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo

original

De fato o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas 00 yx da

envoltoacuteria e da curva integral corresponde a0

0

dx

dy Aleacutem disso tem-se que os elementos 00 yx e

0

0

dx

dyde cada ponto da envoltoacuteria satisfazem agrave equaccedilatildeo acima pois satildeo elementos de uma curva

integral Portanto a envoltoacuteria eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo que natildeo resulta da fixaccedilatildeo da constante C e por esta razatildeo eacute uma soluccedilatildeo singular

Exemplo

Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 2

22

x

dx

dyx

dx

dyy


51


1) Dar a envoltoacuteria das seguintes famiacutelias de curvas

a)

1

4 2 xy

b) 0)2(2 222 yyx

2) Obter a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo 12

2

2

y

dx

dyy

3) Achar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da equaccedilatildeo

2

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

1) a ) xy 273

b) 042 yx

2) 1y

3) 2CCxy (soluccedilatildeo geral)

4

2xy (soluccedilatildeo singular)


52

AULA 12

414 EQUACcedilAtildeO DE CLAIRAUT

A Equaccedilatildeo de Clairaut6 tem a forma

dx

dy

dx

dyxy

Resoluccedilatildeo

Chamando pdx

dy

a equaccedilatildeo de Clairaut fica pxpy (1)

Derivando a equaccedilatildeo anterior em relaccedilatildeo a x teremos

dx

dppp

dx

dpx

dx

dy)(1

0)( pxdx

dp (2)

0dx

dp Cp

A soluccedilatildeo geral eacute dada substituindo-se em (1) p pelo seu valor C

Assim )(CCxy eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de Clairaut (famiacutelia de retas)

De (2) tem-se

0)( px (3)

xp )(

Eliminando-se p entre (1) e (3) tem-se uma relaccedilatildeo F(xy)=0 que representa a soluccedilatildeo

singular

Exemplos

6(Paris 13 de Maio de 1713 mdash Paris 17 de Maio de 1765) foi um matemaacuteticofrancecircsPrecursor da geometria diferencial realizou estudos fundamentais sobre curvas no espaccedilo


53

Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo singular da seguinte equaccedilatildeo de Clairaut

0

2

y

dx

dyx

dx

dy


Determinar a soluccedilatildeo geral e a soluccedilatildeo

singular das seguintes equaccedilotildees de

Clairaut

a dx

dy

dx

dyxy ln

b

2

3

dx

dy

dx

dyxy

c 01

23

dx

dyy

dx

dyx

d 045

y

dx

dyx

dx

dy

e 2

4

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

a ClnCxy (geral)

xln1y (singular)

b 2C3Cxy (geral)

y12x2 (singular)

c 2C

1Cx (geral)

23 x27y4 (singular)

d 04)xCy5(C (geral)

x16)5y( 2 (singular)

e 2C4Cxy (geral)

2

222

x1

)x1(4y

(singular)


54

AULA 13

415 EQUACcedilAtildeO DE LAGRANGE

A equaccedilatildeo da Lagrange tem a forma

dx

dy

dx

dyFxy

(1)

Observamos que a equaccedilatildeo de Clairaut eacute um caso particular da equaccedilatildeo de Lagrange se

dx

dy

dx

dyF

Resoluccedilatildeo

A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lagrange geralmente eacute dada sob a forma parameacutetrica

Chamando pdx

dy a equaccedilatildeo de Lagrange fica ppFxy )(


dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(

dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(

Multiplicando por dp

dx e dividindo por [p ndash F(p)] tem-se

)(

)(

)(

)(

pFp

px

pFp

pF

dp

dx

De onde se pode escrever

QPxdp

dx

Como em geral natildeo seraacute possiacutevel isolar p na soluccedilatildeo da equaccedilatildeo linear anterior a soluccedilatildeo

geral da equaccedilatildeo de Lagrange seraacute dada na forma parameacutetrica

)(

)(

pyy

pxx


55

Exemplo

Resolver a equaccedilatildeo

2

1

dx

dyx

dx

dyy


56

416 OUTROS TIPOS DE EQUACcedilAtildeO DE 1A ORDEM E GRAU DIFERENTE DE UM


a)

2

24

dx

dyxy

b)dx

dy

dx

dyx lnsin


57


1) dx

dy

dy

dxxy

2)

dx

dydx

dyxy

12

3)

2

dx

dyx

dx

dyx2y

4)

2

dx

dy1

dx

dyy

5) dxdy

edx

dyy

2

6) dx

dy

dx

dyy ln2

2

7)

dx

dy2

dx

dyy

e

22

x

Respostas

1)

pCppp

y

Cppp

px

1ln1

1

)1ln(1

2

2

2

2

2)

2

ln

ln2

p

Cpx

p

Kpy

3)

Cp

Cy

p

Cx

2

2

4)

cppx

ppy

arcsinln

1 2

5)

p2

pp

epy

cpeex

6)

cp

2p2x

pln2py 2

7)

cy

pyp

p

pyx

arctanln

2ln

22

22


58

AULA 14

5 EXERCIacuteCIOS GERAIS

Calcule as Equaccedilotildees Diferenciais abaixo

1) 0)2(3 dyyxydx

2) 02

dyyexdx x

3) 0)1( 2 dxydyx

4) 0cossinsincos2 xdyyxdxy

5) )yxcos(dx

dy

6) 0)()(2 22 dyyxdxyxx

7) dxyxydxxdy 22

8) 0)( 22 xydydxyxyx

9) 0)2( dyxxyydx

10) 0)52()42( dxyxdyyx

11)342

12

yx

yx

dx

dy

12) 0)139()23( dyyxdxyx

13)

01

2)cos()cos(

dy

yxxyxdx

x

yxyy

14) 0324

22

3

dy

y

xydx

y

x

15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx

16)yxy

xyx

dx

dy2

2

17) 0)cos1()sin1( dyxdxxy

18)

0)2tan(sec)tan(sec dyxyydxyxx

19) 0sin)cos2( 2 ydyxdxeyx x

determinar a soluccedilatildeo particular para x = 0

20) dxexydxxdy x2

21) 02 xdyydxdyy

22) 0)ln( 3 dyxydxx

y

23)Achar a soluccedilatildeo particular para y = b e x = a em

0 xeydx

dyx

24) 0)32(2 dyxydxy

25)22

2y

x

y

dx

dy

26) dxyyxdy )1( 2

27)22)1( xyxy

dx

dyx

28)Conhecendo-se a soluccedilatildeo particular y = ex da

equaccedilatildeo xx eyye

dx

dy 22)21( calcular sua

soluccedilatildeo geral

Calcular a soluccedilatildeo geral e a singular das seguintes

equaccedilotildees

29)

2

dy

dx

dx

dyxy

30)

2

1

dx

dy

dx

dyxy

31)dx

dy

dx

dyxy

32)dx

dy

dx

dyxy sin

Resolver as seguintes equaccedilotildees de Lagrange

33)

dx

dyx

dx

dyy 2

2

1

34)

2

2

dx

dy

dx

dyxy


59

Respostas

1) )ln(126 2 Cyxy

2) 22 2

Cey x

3) 1)1(ln xCy

4) Cyx secsecln

5) Cxyxyx )cot()sec(cos

6) Cyyxx 323 32

7) 222 yxCxy

8) CX

yxy )ln(

9) Cyy

x ln

10) )3()1( 3 yxCyx

11) Cxyyx 48)584ln(

12) )126ln(62 yxCyx

13) Cyxyxy ln2)sin(

14) Cyy

x

13

2

15) Cyyxx 4223 3

16) Cyyx 222 )1(

17) Cxyyx cos

18) Cx)-y(2secysecx

19) 1cos2 xeyx

20)xxeCxy

21) Cyxy 2

22) Cyyx 3ln2

23)x

eabey

ax

24)y

Cyx12

25) 0122 xyyCx

26)2

22

xC

xy

27)

11

12

xC

y

28)1

2

x

xxx

Ce

eCeCey

29)

23

2

4

27

1

xy

CCxy

30)

2

2

2

1

)1(

1

x

xy

CCxy

31) CCxy

Natildeo haacute soluccedilatildeo singular

32)21arccos

sin

xxxy

CCxy

33)

221

21

2(6

1

)(3

1

pCpy

pCpx

34)

p

pCy

pp

Cx

3

2

3

2

3

3

2


60

AULA 15

6 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM MODELOS

MATEMAacuteTICOS

61 MODELO MATEMAacuteTICO

Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da

vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A

descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelos matemaacuteticos eacute construiacuteda

levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os

mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees

animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma

substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta

A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com

i a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a

principio optar por natildeo incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta etapa

estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo

A seguir

ii elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema

que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer

leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema

Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo

de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a

forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo

em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas e vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute

predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a

resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra

Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequumlentemente uma taxa de variaccedilatildeo de

uma ou mais variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais

equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo

diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais

Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema

de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-

lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com

dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema Poreacutem se as

prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou

levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de

modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama


61

Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo

matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita

Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t

Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da

variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e

futuro

62 DINAcircMICA POPULACIONAL

Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio

de matemaacutetica foi feito pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideacuteia por

traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um pais

cresce em um determinado instante eacute proporcional a populaccedilatildeo total do pais naquele instante Em

outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro Em

termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser

expressa por

kxdt

dx 00

)( xtx ktexx

0

(1)

onde k eacute uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fenocircmenos

envolvendo crescimento ou decaimento

Conhecendo a populaccedilatildeo em algum instante inicial arbitraacuterio t0 podemos usar a soluccedilatildeo de

(1) para predizer a populaccedilatildeo no futuro isto eacute em instantes t gt t0

O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo rSdt

dS a qual

descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente

Exemplo

Em uma cultura haacute inicialmente x0 bacteacuterias Uma hora depois t = 1 o nuacutemero de bacteacuterias

passa a ser 32 x0 Se a taxa de crescimento eacute proporcional ao nuacutemero de bacteacuterias presentes

determine o tempo necessaacuterio para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique


62

Resoluccedilatildeo

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx

Integrando com relaccedilatildeo a x a equaccedilatildeo acimatemos

kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx ndash ln c = kt

lnc

x= kt

ekt =

c

x

x = cekt

Para 0x)0(x equaccedilatildeo anterior fica da seguinte forma

0x

cex

0

00

Voltando para a equaccedilatildeo e substituindo o valor de c

kt0exx

Para descobrirmos o valor de k utilizamos x(1) = 2

3x0

40550k

k2

3ln

e2

3

exx2

3

k

1k00

voltando novamente a equaccedilatildeo temos

t40550

0

kt0

exx

exx

para que o nuacutemero de bacteacuterias triplique


63

70922t

0986121t40550

t405503ln

e3

exx3

t40550

t4055000

seratildeo necessaacuterios 271 horas aproximadamente

63 MEIA VIDA

Em fiacutesica meia-vida eacute uma medida de estabilidade de uma substacircncia radioativa A meia-

vida eacute simplesmente o tempo gasto para metade dos aacutetomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou

se transmutar em aacutetomos de outro elemento Quanto maior a meia-vida de uma substacircncia mais

estaacutevel ela eacute

Por exemplo a meia do ultra radioativo raacutedio Ra-226 eacute cerca de 1700 anos Em 1700 anos

metade de uma dada quantidade de Ra-226 eacute transmutada em Radocircnio Rn-222 O isoacutetopo de uracircnio

mais comum U-238 tem uma meia-vida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse

tempo metade de uma quantidade de U-238 eacute transmutada em chumbo Pb-206

AKdt

dA (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA kteAA 0

Exemplo

Um reator converte uracircnio 238 em isoacutetopo de plutocircnio 239 Apoacutes 15 anos foi detectado que

0043 da quantidade inicial A0 de plutocircnio se desintegrou Encontre a meia vida desse isoacutetopo se a

taxa de desintegraccedilatildeo eacute proporcional agrave quantidade remanescente

Resoluccedilatildeo

000

0

A999570A000430A15t

A0t

Resolvendo a equaccedilatildeo

kAdt

dA

kdtA

dA

ln A = kt + c

ktc

Aln

kte

c

A

A = cekt


64

Sabendo que 0A)0(A temos

0

00

k00

Ac

ceA

ceA

0t

Para determinar k usamos o fato de que que 0A999570)15(A logo

A(t) = A0ekt

A(15) = A0e15k

A(t) = 2

0A

099957 A0 = A0e15k teAtA

51088672

0 )(

Ln099957 = ln e15t 000028670

0

0 2

eAA

-000043 = 15 k te 000028670

2

1

K = - 2866710- 5

-06931 = - 000002867t

t = 24180

t 24180 anos

Voltando a equaccedilatildeo temos que

t10866720

0

5eA)t(A

2

A)t(A

Para descobrir a meia vida basta fazer

3717924t

t1086672693150

t108667250ln

e50

eA2

A

5

5

t1086672

t10866720

0

5

5

Logo o tempo de meia vida eacute de aproximadamente 24180 anos


65

64 DECAIMENTO RADIOTAIVO

O nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas

combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis isto eacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia

Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Por exemplo ao longo do tempo o altamente

radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativo Rn-222 Para modelar o

fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de dAdtsegundo a qual o nuacutecleo de uma

substacircncia decai eacute proporcional a quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t) de

substacircncias remanescente no instante t

AKdt

dA (2)

Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos

siacutembolos e nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1)

kgt0 para o decaimento como em (2) klt0

O modelo (2) para o decaimento tambeacutem ocorre com aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a

determinaccedilatildeo de meia vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que 50 de uma droga seja

eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de dacaimento (2)

aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem isto eacute uma reaccedilatildeo cuja

taxa ou velocidade dxdt eacute diretamente proporcional agrave quantidade x de uma substacircncia natildeo

transformada ou remanescente no instante t

A questatildeo eacute que

Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios

fenocircmenos diferentes

65 CRONOLOGIRA DO CARBONO

Por volta de 1950 o quiacutemico Willard Libby7 inventou um meacutetodo para determinar a idade

de foacutesseis usando o carbono radioativo

A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isoacutetopo do carbono 14 eacute

produzido na atmosfera pela accedilatildeo de radiaccedilotildees coacutesmicas no nitrogecircnio

A razatildeo entre a quantidade de C-14 para carbono ordinaacuterio na atmosfera para ser uma

constante e como consequecircncia a proporccedilatildeo da quantidade de isoacutetopo presente em todos os

organismos eacute a mesma proporccedilatildeo da quantidade na atmosfera

Quando um organismo morre a absorccedilatildeo de C-14 atraveacutes da respiraccedilatildeo ou alimentaccedilatildeo

cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C-14 presente digamosem um foacutessil com a

razatildeo constante na atmosfera eacute possiacutevel obter uma razoaacutevel estimativa da idade do foacutessil

O meacutetodo se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14 cerca de

5600 anos

O meacutetodo de Libby tem sido usado para datar moacuteveis de madeira em tuacutemulos egiacutepcios o

tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmaacutetico sudaacuterio de

Turim

7Willard Frank Libby(Grand Valley 17 de Dezembro de 1908 mdash Los Angeles 8 de Setembro de 1980) foi um

quiacutemicoestadunidenseEacute reconhecido pela descoberta do meacutetodo de datamento conhecido por dataccedilatildeo por radiocarbono (carbono-14) recebendo por isto o Nobel de Quiacutemica de 1960


66

Exemplo

Um osso fossilizado conteacutem um mileacutesimo da quantidade original do C-14 Determine a

idade do foacutessil

Resoluccedilatildeo

A(t) = A0ekt

5600

0

0 2

keAA

ke5600ln2

1ln

5600k = - 06931

K = - 0000123776

A equaccedilatildeo fica da seguinte forma

A(t) = A0e- 0000123776t

teAA 0001237760

00 100

1

te 0001237760ln

100

1ln

- 0000123776 t = - 69077

t = 55808

A idade do foacutessil eacute de aproximadamente 55808 anos

66 RESFRIAMENTO

De acordo com a Lei empiacuterica de Newton do esfriamentoresfriamento a taxa segundo a

qual a temperatura de um corpo varia eacute proporcional a diferenccedila entre a temperatura de um corpo

varia proporcionalmente a diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o

rodeia denominada temperatura ambiente Se T(t) representar a temperatura de um corpo no

instante t Tm a temperatura do meio que o rodeia dTdt a taxa segundo a qual a temperatura do

corpo varia a lei de Newton do esfriamentoresfriamento eacute convertida na sentenccedila matemaacutetica

)TT(Kdt

dTm (3)

mkt TceT

onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se

Tm for uma constante eacute loacutegico que klt0


67

Exemplo

Um bolo eacute retirado do forno sua temperatura eacute de 300ordmF Trecircs minutos depois sua

temperatura passa para 200ordmF Quanto tempo levaraacute para sua temperatura chegar a 75 graus se a

temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ordmF

Resoluccedilatildeo

T(0) = 3000F )( mTTk

dt

dT

T(3) = 2000F )70( Tk

dt

dT

T() = 750

kdt

T

dT

)70(

Tm = 700 cktT )70ln(

ktc

T

70(ln

c

Tekt 70

A soluccedilatildeo geral da ED eacute dada por

70 ktecT

Sabendo que 300)0(T temos que

T(0) = 3000

300 = Cek0

+ 70

C = 2300

Logo

T = 230ekt + 70

Temos ainda que 200)3(T com isso

200 = 230e3k

+ 70

230 e3k

= 130

230

1303 ke

230

130lnln 3 ke

1901816190k

5705448580k3


70e230)t(T t190180

]

Para que a temperatura do bolo chegue em 75 graus

7023075 190180 te

230

7075190180 te

- 019018t = ln230

5

t = 2013

com isso seraacute necessaacuterio 2013 minutos


68

67 MISTURAS

A mistura de dois fluidos algumas vezes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeira

ordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor um grande tanque de mistura

contenha 300 galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade

de libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trecircs galotildees

por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libras por galatildeoQuando a soluccedilatildeo

no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda

salmoura entrar Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a

taxa segundo a qual A(t) varia seraacute uma taxa liquida

se RR

dt

dA

sal de

saiacuteda de Taxa

sal de

entrada de Taxa (4)

A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) eacute

minlb6)galkb2(min)gal3(R

salde

entrada de taxa

entrada de fluxo no

salde atildeoConcentraccedil

salmourade

entrada de Taxa

e

Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma

taxa o nuacutemero de galotildees de salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees

Assim sendo a concentraccedilatildeo de sal no tanque e no fluxo de saiacuteda eacute de A(t)300 lbgal e a taxa de

saiacuteda de sal Rs eacute

min100

300

min)3(

sal de

saida de taxa

saiacuteda de fluxo no

sal de atildeoConcentraccedil

salmoura de

saiacuteda de Taxa

lbA

gallbA

galRs

A equaccedilatildeo (4)torna-se entatildeo

100

6A

dt

dA (5)

Exemplo

Dos dados do tanque acima considerado e da equaccedilatildeo (4) obtemos a equaccedilatildeo(5) Vamos

colocar agora a seguinte questatildeo se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galotildees iniciais

quanto sal haveria no tanque apoacutes um longo periacuteodo


69

Resoluccedilatildeo

100

100100

100100

600

600

6

6100

1

1006

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

Adt

dA

A

dt

dA

Para 50)0(A temos

550

60050 0

C

eC

Logo a soluccedilatildeo fica da seguinte forma

100550600t

eA

A soluccedilatildeo acimafoi usada para construir a seguinte tabela

Aleacutem disso podemos observar que 600A quando t Naturalmente isso eacute o que

esperariacuteamos nesse caso durante um longo periacuteodo o nuacutemero de libras de sal na soluccedilatildeo deve ser

(300 gal)(2lbgal) = 600 lb

Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a soluccedilatildeo era bombeada para dentro

era igual agrave taxa segundo a qual ela era bombeada para fora Poreacutem isso natildeo precisa ser assim a

mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a

qual eacute bombeada para dentro Por exemplo se a soluccedilatildeo bem misturada do exemplo acima for

bombeada para fora a uma taxa menor digamos de 2 galmin o liquido acumularaacute no tanque a uma

taxa de (3 ndash 2) galmin = 1galmin Apoacutes t minutos o tanque conteraacute 300 + t galotildees de salmoura A

taxa segundo a qual o sal sai do tanque eacute entatildeo

gallb

t

AgalRs

300min)2(

Logo a Equaccedilatildeo (4) torna-se

t300

A26

dt

dA

ou 6A

t300

2

dt

dA

t(min) A(lb)

50 26641

100 39767

150 47727

200 52557

300 57262

400 58993


70

Vocecirc deve verificar que a soluccedilatildeo da uacuteltima equaccedilatildeo sujeita a A(0)=50 eacute

27 )300)(10954(2600)( tttA

68 DRENANDO UM TANQUE

Em hidrodinacircmica a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um

buraco com bordas na base de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual a velocidade com que um

corpo (no caso uma gota drsquoagua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto eacute ghv 2 onde

g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade Essa uacuteltima expressatildeo origina-se de igualar a energia cineacutetica

2

2

1mv com a energia potencial mgh e resolver para v Suponha que um tanque cheio com aacutegua seja

drenado por meio de um buraco sob a influecircncia da gravidade

Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no

tanque no instante t

Considere o tanque ao lado

Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) e a velocidade de

saiacuteda da aacutegua do tanque for ghv 2 (em peacutess) o volume de saiacuteda

de aacutegua do tanque por segundo eacute ghAh 2 (em peacutes cuacutebicoss)

Assim se V(t) denotar o volume de aacutegua no tanque no instante t

ghAdt

dVh 2 (6)

onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorando a

possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora se o tanque

for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w)( onde wA

(em peacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie de aacutegua entatildeo dt

dhA

dt

dVw

Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (6) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a

altura de aacutegua no instante t

ghA

A

dt

dh

w

h 2 (7)

Eacute interessante notar que (7) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constante Nesse

caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h isto eacute Aw = A(h)


71

Exemplo

Um tanque conteacutem inicialmente 100 galotildees de salmoura com 20 lbs de sal No instante t = 0

comeccedila-se a deitar no tanque aacutegua pura agrave razatildeo de 5 galmin enquanto a mistura resultante se escoa

do tanque agrave mesma taxa Determine a quantidade de sal no tanque no instante t

Resoluccedilatildeo

Temos a seguinte equaccedilatildeo para resolver tal problema

Logo tem-se que

A soluccedilatildeo desta equaccedilatildeo eacute

(1)

Quando 0t sabemos que 20 aQ Levando esses valores em (1) encontramos

20c de modo que (1) pode ser escrita como

Note-se que quando como era de se esperar pois soacute se adiciona aacutegua

pura no tanque


72

69 DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA

Uma doenccedila contagiosa por exemplo um viacuterus de gripe espalha-se em uma comunidade

por meio do contato entre as pessoas Seja x(t) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t)

o nuacutemero de pessoas que ainda natildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a

qual a doenccedila se espalha seja proporcional ao nuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois

grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacute conjuntamente proporcional a x(t) e

a y(t) isto eacute proporcional ao produto xy entatildeo

kxydt

dx (8)

ondek eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma

populaccedilatildeo fixa de n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se

argumentar que x(t) e y(t) satildeo relacionadas por 1nyx Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para

eliminar y em (8) obtemos o modelo

)1( xnkxdt

dx (9)

Uma condiccedilatildeo oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (9) eacute x(0) = 1

Exemplo

Cinco ratos em uma populaccedilatildeo estaacutevel de 500 satildeo intencionalmente infectados com uma

doenccedila contagiosa para testar uma teoria de disseminaccedilatildeo de epidemia segundo a qual a taxa de

variaccedilatildeo da populaccedilatildeo infectada eacute proporcional ao produto entre o nuacutemero de ratos infectados e o

nuacutemero de ratos sem a doenccedila Admitindo que essa teoria seja correta qual o tempo necessaacuterio para

que metade da populaccedilatildeo contraia a doenccedila

Resoluccedilatildeo

Sendo N(t) o nuacutemero de ratos infectados no instante t e 500 ndash N(t) eacute o nuacutemero de

ratos sem a doenccedila no instante t Pela teoria

Essa equaccedilatildeo eacute diferente da usada ateacute aqui pois a taxa de variaccedilatildeo natildeo eacute mais

proporcional a apenas o nuacutemero de ratos que possuem a doenccedila Dessa forma a diferencial eacute

Sendo uma equaccedilatildeo ainda separaacutevel e aplicando decomposiccedilatildeo em fraccedilotildees parciais temos

Substituindo entatildeo temos


73

(

)

Integrando

int

(

) int

int

int int

(

)

(

)

Se em t=0 N=5 temos que

Entatildeo

Para que N = 250 no tempo t temos que

Sendo o valor numeacuterico da constantes da proporcionalidade k temos que


74

610 CORPOS EM QUEDA

Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedila

em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton Lembre-se da fiacutesica elementar que

a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou

continuaraacute movendo-se a uma velocidade constante a natildeo ser que esteja agindo sobre ele uma forccedila

externa Em cada caso isso equivale a dizer que quando a soma das forccedilas kFF isto eacute a

forccedila liquida ou resultante que age sobre o corpo for diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute

proporcional a sua aceleraccedilatildeo a ou mais precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo

Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um preacutedio conforme

ilustrado na figura abaixo

Qual a posiccedilatildeo s(t) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no

instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda 22 dtsd Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para

cima e que nenhuma outra forccedila aleacutem da gravidade age

sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton

mgdt

sdm

2

2

ou gdt

sd

2

2

(10)

Em outras palavras a forccedila liquida eacute simplesmente

o peso F= F1 = - W da pedra proacuteximo aacute superfiacutecie da

Terra Lembre-se de que a magnitude do peso eacute W = mg

onde m eacute a massa e g eacute a aceleraccedilatildeo devida a gravidade O

sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (10) pois o peso da pedra

eacute uma forccedila dirigida para baixo oposta a direccedilatildeo positiva

Se a altura do preacutedio eacute s0 e a velocidade inicial da pedra eacute

v0 entatildeo s eacute determinada com base no problema de valor

inicial de segunda ordem

gdt

sd

2

2

0)0( ss 0)0( vs (11)

Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (11) pode

ser resolvida integrando-se a constante ndash g duas vezes em relaccedilatildeo at As condiccedilotildees iniciais

determinam as duas constantes de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (11) da fiacutesica

elementar como a foacutermula 00

2

2

1)( stvgtts

Exemplo

Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m com velocidade inicial

zero Supondo que natildeo haja resistecircncia do ar determine

a) A expressatildeo da velocidade do corpo no instante t

b) A expressatildeo da posiccedilatildeo do corpo no instante t

c) O tempo necessaacuterio para o corpo atingir o solo


75

Resoluccedilatildeo

Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo sendo positivo o

sentido para baixo

Como natildeo haacute resistecircncia do ar usamos a equaccedilatildeo dt

dvg

Esta eacute uma equaccedilatildeo linear separaacutevel Assim

cgtv

gdtdv

gdtdv

a) Como v(0) = 0 segue que v(t) = gt

b) Para determinar a expressatildeo da posiccedilatildeo x no instante t fazemos

cgt

tx

tdtgdx

gtdtdx

gtdt

dx

2)(

2

Sendo x(0) = 0 segue que 2

)(2gt

tx

c) Para x(t) = 100 temos 2

1002gt

Se adotarmos g = 10m s2 teremos

st

t

5420

2

10100

2


76

6101 CORPOS EM QUEDA E A RESISTEcircNCIA DO AR

Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa acreditava-se que os

objetos mais pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacuteam com uma aceleraccedilatildeo maior

do que a de objetos mais leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena

quando largadas simultaneamente da mesma altura caem a taxas diferentes mas isso natildeo se deve

ao fato de a bala de canhatildeo ser mais pesada A diferenccedila nas taxas eacute devidaa resistecircncia do ar A

forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada no modelo dado em (11) Sob algumas circunstacircncias um

corpo em queda com massa m como uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra

uma resistecircncia do ar proporcional a sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstancias

tomarmos a direccedilatildeo positiva como orientada para baixo a forccedila liquida que age sobre a massa seraacute

dada por kvmgFFF 21 onde o peso gmF1 do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positiva

e a resistecircncia do ar vkF2 eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age na direccedilatildeo

oposta ou para cima

Veja a figura abaixo

Agora como v esta relacionado com a aceleraccedilatildeo a

atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se

dt

dvmamF Substituindo a forccedila liquida nessa forma

da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeo diferencial

de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no

instante t

kvmgdt

dvm (12)

Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t) for a distancia do corpo em

queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeodt

dsv e

2

2

dt

sd

dt

dva Em termos des (12) eacute

uma equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem

dt

dskmg

dt

sdm

2

2

ou mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

(13)


77

Exemplo

Um corpo de massa m eacute lanccedilado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Se

o corpo encontra uma resistecircncia do ar proporcional agrave sua velocidade determine

a) a equaccedilatildeo do movimento no sistema de coordenadas da figura abaixo

b) uma expressatildeo da velocidade do corpo para o instante t e

c) o tempo necessaacuterio para o corpo atingir a altura maacutexima

Resoluccedilatildeo

(a) Neste sistema de coordenadas a Eq dt

dvmkvmg pode natildeo ser a equaccedilatildeo de

movimento Para estabelecer a equaccedilatildeo apropriada note que duas forccedilas atuam sobre o

corpo (1) a forccedila da gravidade dada por mg e (2) a forccedila da resistecircncia do ar dada por kv

responsaacutevel por retardar a velocidade do corpo Como essas forccedilas atuam na direccedilatildeo

negativa (para baixo) a forccedila resultante que atua sobre o corpo eacute kvmg Aplicando

dt

dvmF e reagrupando os termos obtemos como equaccedilatildeo do movimento

gvm

k

dt

dv (1)

(b) A Equaccedilatildeo (1) eacute uma equaccedilatildeo diferencial linear cuja soluccedilatildeo eacute k

mgcev

tm

k

Em t=0

v=v0 logo k

mgcev m

k

0

0 ou

k

mgvc

0 A velocidade do corpo no instante t eacute

k

mgce

k

mgvv

tm

k

0


78

(c) O corpo atinge a altura maacutexima quando 0 Logo devemos calcular quando 0

Substituindo 0 e resolvendo em relaccedilatildeo a temos

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

611 CORRENTE DESLIZANTE

Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em peacutes seja pendurada em um pino

de metal preso a uma parede bem acima do niacutevel do chatildeo Vamos supor que natildeo haja atrito entre o

pino e a corrente e que a corrente pese libraspeacutes A figura abaixo (a) ilustra a posiccedilatildeo da

corrente quando em equiliacutebrio se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda a

corrente deslizaria pelo pino Suponha que a direccedilatildeo positiva seja tomada como sendo para baixo e

que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caiacutedo no tempo t A posiccedilatildeo

de equiliacutebrio corresponde a x = 0 Na figura (b) a corrente eacute deslocada em x0 peacutes e eacute mantida no

pino ateacute ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0 Para a corrente em movimento

conforme mostra a figura (c) temos as seguintes quantidades


79

Peso da corrente

W = (L peacutes) ( lbpeacutes) = L

Massa da corrente

m = Wg = L 32

Forccedila resultante

xpxL

xL

F 222

Uma vez que Famdt

xda

2

2

torna-se

x

dt

xdL

2

32 2

2

ou (14)

064

2

2

xLdt

xd

Exemplo

Uma corrente com peso uniforme com 1962 metros de comprimento estaacute pendurada em um

cilindro fixo na parede A corrente eacute deslocada de forma que a extremidade direita esteja 4 metros

abaixo da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e soltada num instante t=0 Com esses dados deseja-se saber

em quanto tempo a corrente cairaacute do cilindro (x = L) Considere o peso da corrente como

6219 LP e

Resoluccedilatildeo

(

) (

)

Sendo frasl

Como

Sendo


80

Como e soacute eacute possiacutevel

612 CIRCUITOS EM SEacuteRIE

Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado ao lado contendo um indutor

resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacute denotada pori(t) a carga

em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t) As letras L C e R satildeo conhecidas como

indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente e em geral satildeo constantes Agora de acordo

com a segunda Lei de Kirchhoff a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual agrave

soma das quedas de voltagem na malha

A figura abaixo mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de voltagem em

um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t) estaacute relacionada com a carga

q(t) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedas de voltagem

voltagemdequeda

henrys(h)Lindutacircncia

Indutor

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

diL

dt

dqRiR

iR

R

voltagemde queda

)(ohms aresistecircnci

Resistor

q

c

fC

1 voltagemde queda

)( farads iacapacitacircnc

Capacitor

e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial de segunda

ordem

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL


81

Para um circuito em seacuterie contendo apenas umresistor e um indutor a segunda lei de

Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(didt)) e no resistor (iR) eacute

igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)) Veja a figura abaixo

Obtemos assim a equaccedilatildeo diferencial linear para a corrente i(t)

)(tERidt

diL

ondeL e R satildeo constantes conhecidas como a indutacircncia e a resistecircncia respectivamente A corrente

i(t) eacute tambeacutem chamada de respostado sistema

A queda de voltagem em um capacitor com capacitacircncia C eacute dada por q(t)Ci onde q eacute a

carga no capacitor Assim sendo para o circuito em seacuterie mostrado na figura (a) a segunda lei de

Kirchhoff nos daacute

)(1

tEqC

Ri

mas a corrente i e a carga q estatildeo relacionadas por i = dqdt dessa forma a equaccedilatildeo acima

transforma-se na equaccedilatildeo diferencial linear

)(1

tEqCdt

dqR

Exemplo

Uma bateria de 12 volts eacute conectada a um circuito em seacuterie no qual a indutacircncia eacute frac12 Henry e

a resistecircncia eacute 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for 0

Resoluccedilatildeo

L= indutacircncia = frac12 ERidt

diL Para i(0) = 0

R = resistecircncia = 10 12102

1 i

dt

di ce0

5

60

i = corrente 2420 idt

di

5

6c

E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24


82

Logo

tdtPdt 2020 tei 20

5

6

5

6

cdxeei tt 242020

ceei tt 2020

20

24

cei t 20

5

6


1) Encontre uma expressatildeo para a corrente em um circuito

onde a resistecircncia eacute 12 a indutacircncia eacute 4 H a pilha

fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor eacute

ligado quanto t = 0 Qual o valor da corrente

2) Um circuito RL sem fem aplicada possui uma resistecircncia de 50 ohms uma indutacircncia de 2

henries e uma corrente inicial de 10 ampegraveres Determine a corrente no circuito no instante t

3) Uma forccedila eletromotriz eacute aplicada a um circuito em seacuterie LR no qual a indutacircncia eacute de 01

henry e a resistecircncia eacute de 50 ohms Ache a curva i(t) se i(0) = 0 Determine a corrente quanto

t Use E = 30 V

4) Uma forccedila eletromotriz de 100 V eacute aplicada a um circuito em seacuterie RC no qual a resistecircncia eacute

de 200 e a capacitacircncia eacute de 10- 4

farads Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0 Ache a

corrente i(t)


de 1000 e a capacitacircncia eacute 5 x 10- 6

farads Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 04

Determine a carga da corrente em t = 0005s Determine a carga quando t

6) Sabe-se que a populaccedilatildeo de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao nuacutemero

de pessoas presentes em qualquer instante Se a populaccedilatildeo duplicou em 5 anos quando ela

triplicaraacute

7) Suponha que a populaccedilatildeo da comunidade do problema anterior seja 10000 apoacutes 3 anos Qual

era a populaccedilatildeo inicial Qual seraacute a populaccedilatildeo em 10 anos

8) A populaccedilatildeo de uma cidade cresce a uma taxa proporcional agrave populaccedilatildeo em qualquer tempo

Sua populaccedilatildeo inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual seraacute a populaccedilatildeo em

30 anos

9) Sabe-se que uma cultura de bacteacuterias cresce a uma taxa proporcional agrave quantidade presente

Apoacutes uma hora observam-se 1000 fileiras de bacteacuterias na cultura e apoacutes quatro horas

observam-se 3000 fileiras Determine

a) a expressatildeo do nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias presentes na cultura no

instante t

b) o nuacutemero aproximado de fileiras de bacteacuterias no iniacutecio da cultura


83

10) Sabe-se que a populaccedilatildeo de determinado paiacutes aumenta a uma taxa proporcional ao nuacutemero de

habitantes do paiacutes Se apoacutes dois anos a populaccedilatildeo duplicou e apoacutes trecircs anos a populaccedilatildeo eacute

de 20000 habitantes estime o nuacutemero inicial de habitantes

11) Uma pessoa deposita $20000 em uma poupanccedila que paga 5 de juros ao ano compostos

continuamente Determine

a) O saldo na conta apoacutes trecircs anos

b) O tempo necessaacuterio para que a quantia inicial duplique admitindo que natildeo tenha

havido retiradas ou depoacutesitos adicionais

12) Uma conta rende juros compostos continuamente Qual a taxa de juros necessaacuteria para que um

depoacutesito feito na conta duplique em seis anos

13) Uma pessoa deposita 5000 reais em uma conta de paga juros compostos continuamente

Admitindo que natildeo haja depoacutesitos adicionais nem retiradas qual seraacute o saldo da conta apoacutes 7

anos se a taxa de juros for 85 durante os quatro primeiros anos e 925 durante os uacuteltimos

trecircs anos

14) Certo material radiotativo decai a uma taxa proporcional agrave quantidade presente Se existem

inicialmente 50 miligramas de material e se apoacutes duas horas o material perdeu 10 de sua

massa original determine

a) A expressatildeo da massa remanescente em um instante t

b) A Massa do material apoacutes quatro horas

c) O tempo para o qual o material perde metade de sua massa original (meia vida)

15) O isoacutetopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional agrave quantidade

presente em qualquer tempo Sua meia vida eacute de 33 horas Se 1 grama de chumbo estaacute

presente inicialmente quanto tempo levaraacute para 90 de chumbo desaparecer

16) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substacircncia radioativa presente Apoacutes 6 horas a

massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento eacute proporcional agrave quantidade de substacircncia

presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substacircncia

17) Com relaccedilatildeo ao problema anterior encontre a quantidade remanescente apoacutes 24 horas

18) Em um pedaccedilo de madeira queimada ou carvatildeo verificou-se que 855 do C-14 tinha se

desintegrado Qual a idade da madeira

19) Um termocircmetro eacute retirado de uma sala em que a temperatura eacute 70ordmF e colocado no lado fora

onde a temperatura eacute 10ordmF Apoacutes 05 minuto o termocircmetro marcava 50

ordmF Qual seraacute a

temperatura marcada pelo termocircmetro no instante t=1 minuto Quanto levaraacute para marcar

15ordmF

20) Segundo a Lei de Newton a velocidade de resfriamento de um corpo no ar eacute proporcional agrave

diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar Se a temperatura do ar eacute 20oC e

o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60

oC dentro de quanto tempo sua

temperatura desceraacute para 30oC

21) Um indiviacuteduo eacute encontrado morto em seu escritoacuterio pela secretaacuteria que liga imediatamente

para a poliacutecia Quando a poliacutecia chega 2 horas depois da chamada examina o cadaacutever e o

ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritoacuterio era de 20oC o cadaacutever

inicialmente tinha uma temperatura de 35oC Uma hora depois medindo novamente a


84

temperatura do corpo obteve 342oC O investigador supondo que a temperatura de uma

pessoa viva eacute de 365oC prende a secretaacuteria Por que No dia seguinte o advogado da

secretaacuteria a liberta alegando o que

22) Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em (1) determine a equaccedilatildeo diferencial que

governa o crescimento populacional P(t) de um paiacutes quando os indiviacuteduos tem autorizaccedilatildeo

para imigrar a uma taxa constante r

23) Usando o conceito de taxa liquida que eacute a diferenccedila entre a taxa de natalidade e a taxa de

mortalidade na comunidade determine uma equaccedilatildeo diferencial que governe a evoluccedilatildeo da

populaccedilatildeo P(t) se a taxa de natalidade for proporcional a populaccedilatildeo presente no instante t

mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da populaccedilatildeo presente no instante t

24) Suponha que um estudante portador de um viacuterus da gripe retorne para um campus

universitaacuterio fechado com mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferencial que descreve o

nuacutemero de pessoas x(t) que contrairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila for

espalhada for proporcional ao numero de interaccedilotildees entre os estudantes gripados e os

estudantes que ainda natildeo foram expostos ao viacuterus

25) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galotildees de aacuteguano qual

foram dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacute bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de

3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo esta bem misturada ela eacute bombeada para fora segundo a

mesma taxa Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no

instante t

26) Uma soluccedilatildeo de 60 kg de sal em aacutegua estaacute num tanque de 400l Faz-se entrar aacutegua nesse

tanque na razatildeo de 8lmin e a mistura mantida homogecircnea por agitaccedilatildeo sai do tanque na

mesma razatildeo Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora

27) Suponha que a aacutegua esta saindo de um tanque por um

buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quando a aacutegua

vaza pelo buraco o atrito e a concentraccedilatildeo da corrente de

aacutegua nas proximidades do buraco reduzem o volume de

aacutegua que esta vazando do tanque por segundo para

ghcAh 2 onde c (0ltclt1) eacute uma constante empiacuterica

Determine uma equaccedilatildeo diferencial para a altura h de aacutegua

no instante t para um tanque cuacutebico como na figura ao

lado O raio do buraco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2

28) Para um movimento em alta velocidade no ar ndash tal como o

paraquedista mostrado na figura ao lado caindo antes de abrir o

paraquedas ndash a resistecircncia do ara esta proacutexima de uma potencia da

velocidade instantacircnea Determine a equaccedilatildeo diferencial para a

velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m se a

resistecircncia do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade

instantacircnea


85

29) Um paraquedista pesando 70 Kg salta de um aviatildeo e

abre o para quedas passados 10 s Antes da abertura do

paraquedas o seu coeficiente de atrito eacute K = 5 Kg s-1

Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se

abre o paraquedas

30) Uma pequena barra de metal cuja temperatura inicial eacute de 200C eacute colocada em um recipiente

com aacutegua fervendo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 900C se sua temperatura

aumentar 20 em 1 segundo Quanto tempo levaraacute para a barra atingir 98

0C

31) Um tanque conteacutem 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal Uma

salmoura contendo 1 grama de sal por litro eacute entatildeo bombeada para dentro do tanque a uma

taxa de 4 Lmin a soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada para fora agrave mesma taxa Ache o

nuacutemero A(t) de gramas de sal no tanque no instante t

32) Um grande tanque conteacutem 500 galotildees de aacutegua pura Uma salmoura contendo 2 libras por

galatildeo eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute

bombeada para fora agrave mesma taxa Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no

instante t Qual eacute a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeo no tanque no instante t = 5 min

33) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galotildees de um fluido no qual foram

dissolvidas 10 libras de sal Uma salmoura contendo frac12 libra de sal por galatildeo eacute bombeada para

dentro do tanque a uma taxa de 6 galmin A soluccedilatildeo bem misturada eacute entatildeo bombeada para

fora a uma taxa de 4 galmin Ache a quantidade de libras de sal no tanque apoacutes 30 minutos

RESPOSTAS

1) tetI 355)(

2) tei 2510

3) tcei 500

5

3 e 5

3)(lim

ti

t

4) tceq 50

100

1 onde 100

1C e

tei 50

2

1

5) tceq 200

1000

1

tcei 200200


86

500

1C

coulombsq 00030)0050(

ampi 14720)0050(

1000

1q

6) 792 anos

7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604

8) N(30) = 760

9)

10)

11)

12) 1155

13) R$ 927143

14)

15) t = 11 horas

16) t = 13672 horas

17) 885 gramas

18) 15600 anos

19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min

20) t = 60 min

21) justificativa pessoal

22) rkpdt

dP rkp

dt

dP

23) 2

21PkPk

dt

dP

24) )1000( xkxdt

dx

25) 100

A

dt

dA

26) Aproximadamente 181

27) hc

dt

dh

450

28) 2kvmg

dt

dvm

29) 70ms

30) Aproximadamente 821 s

Aproximadamente 1457 s

31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50

32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100

00975 lbgal

33) 6438lb


87

AULA 16

7 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2A ORDEM E

ORDEM SUPERIOR

As equaccedilotildees lineares de ordem n satildeo aquelas da forma

ByAdx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

Onde B A0 A1 A2 An dependem apenas de x ou satildeo constantes

Para comeccedilarmos este estudo vamos utilizar como padratildeo de uma EDO-2 linear (Equaccedilatildeo

Diferencial Ordinaacuteria Linear de ordem 2) a seguinte equaccedilatildeo

yrdquo +p(x)yrsquo +q(x)y = r(x)

onde

p(x) e q(x) satildeo os coeficientes e representam paracircmetros do sistema

r(x) termos de excitaccedilatildeo (input)

y(x) resposta do sistema

Se r(x) = 0 xI Eq Dif Homogecircnea

r(x) 0 Eq Dif natildeo homogecircnea

A EDO-2 acima possui 2 soluccedilotildees y1(x) e y2(x) e satildeo linearmente independentes (LI)

isto eacute ctexhxy

xy )(

)(

)(

1

2

Com isso y1(x) e y2(x) formam uma base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea (base

fundamental)

Exemplo

y + y = 0

Se propormos como soluccedilatildeo y1(x) = sen(x)

y2(x) = cos(x)

ctexx

x

xy

xy )tan(

)cos(

)sin(

)(

)(

1

2 logo formam uma base com isso a soluccedilatildeo geral da

EDO-2 fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x)

Se obtemos as bases para a soluccedilatildeo da homogecircnea a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo fica

)()()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn

Se temos uma soluccedilatildeo y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente

Obtida uma soluccedilatildeo y1(x) da EDO-2 pode-se obter y2(x) pelo conceito de base onde y1(x) e

y2(x) satildeo linearmente independentes

cte)x(h)x(y

)x(y

1

2

)()()(12

xyxhxy


88

Exemplo Obter a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo 022)1( 2 yxyyx sabendo que xxy )(1


1) Obter y2(x) nos exerciacutecios abaixo

a) 0y9xy5yx2 com 3

1 x)x(y

b) 0y3yx4 2 com 21

1 x)x(y

c) 0y4

1xxyyx 22

com xcosx)x(y 2

1

1

Respostas

a xlnx)x(y 32

b 2

x)x(y

23

2 c senxx)x(y 21

2


89

AULA 17

71 EQUACcedilOtildeES LINEARES E HOMOGEcircNEAS DE COEFICIENTES

CONSTANTES

Satildeo aquelas da forma 0yAdx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

onde A0 A1 A2An

satildeo constantes

Resoluccedilatildeo

Para n= 1 rarr 0yAdx

dyA 10

yAdx

dyA 10

dxA

A

y

dy

0

1

CxA

Ayln

0

1

CxA

A

0

1

ey

C

xA

A

eey 0

1

Chamando 0

1

A

A = λ e KeC temos key xλ

Para nos facilitar a demonstraccedilatildeo vamos usar a seguinte equaccedilatildeo

0bydx

dya

dx

yd

2

2

Onde a e b satildeo constantes

Vamos utilizar xλey calculado anteriormente como soluccedilatildeo proposta

xλey

xλeλy

xλ2eλy

Substituindo na EDO temos

0e)bλaλ(

0beeλaeλ

xλ2

xλxλxλ2


90

Como 0xe para qualquer valor de x temos 02 ba a qual iremos chamar de

equaccedilatildeo caracteriacutestica da EDO-2 dada

Em relaccedilatildeo a equaccedilatildeo caracteriacutestica 0)( P temos trecircs casos a considerar

711 CASO 1 RAIacuteZES REAIS DISTINTAS

xλ

11ey

xλ

22ey

Assim a soluccedilatildeo geral fica

xλ2

xλ1

2211

21 eCeCy

yCyCy

E para uma equaccedilatildeo de ordem n fica

xλ

nxλ

3xλ

2xλ

1n321 eCeCeCeCy

712 CASO 2 RAIacuteZES MUacuteLTIPLAS

Se 21 onde se aplicarmos a regra anterior teremosxey 1 e

xey 2

Soacute que eacute necessaacuterio encontrar soluccedilotildees que sejam linearmente independentes pois com as

raiacutezes sendo iguais temos 11

2

x

x

e

e

y

y

constante

Assim temos que achar uma segunda soluccedilatildeo que seja linearmente independente

Supondo a equaccedilatildeo yrdquo + ayrsquo + by = 0 e utilizando o conceito de base em que

)x(y)x(h)x(y 12 onde xey 1 temos

xλ2xλxλ2

xλxλ2

xλ2

12

heλehλ2ehy

heλehy

ehy

)x(y)x(h)x(y

Substituindo na equaccedilatildeo dada

0bheheλaeahheλehλ2eh xλxλxλxλ2xλxλ

Reordenando

0)()2( 2 hbahahe x

Como 0xe e ba 2 =0 pois como jaacute vimos anteriormente 0)( P

Entatildeo

KCxh

Ch

h

0

Logo

xeKCxy

yhy

)(

2

12


91

Soluccedilatildeo geral

xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

221

21

2211

)(

)(

fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2

temos

x

xx

exCCy

xeCeCy

)( 21

21

A propriedade se estende para equaccedilotildees de ordem superior

xλ1nn

2321 e)xCxCxCC(y

713 CASO 3 RAIacuteZES COMPLEXAS DISTINTAS

Sejam biaλ1 e biaλ2 as raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica Aplicando a condiccedilatildeo

para raiacutezes reais distintas teriacuteamos como soluccedilatildeo

bix2

bix1

ax

bixax2

bixax1

x)bia(2

x)bia(1

eCeCey

eeCeeCy

eCeCy

Das foacutermulas de Euler temos

θisenθcose

θisenθcose

θi

θi

Com isso

senbxCCibxcosCCey

isenbxbxcosCisenbxbxcosCey

2121ax

21ax

Fazendo

C1 + C2 = C1

i(C1 ndash C2) = C2

temos

senbxCbxcosCey 21ax


92

Exemplos

1) 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd

2) yrdquo+4y = 0 com y(0) = 3 e yacute( 2) = -3

3)yrdquo - 2radic2 yrsquo+2y = 0


93


1) 065 yyy

2) 01243 yyyy

3) 022 yyy com 1)0( y e 02

y

4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y

5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y

6) 09 2 yy

7) 069 yyy com 4)0( y e 3

13)0( y

8) 02 2 ykkyy

9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y

10) 0344 yyy com ey )2( 2

)2(e

y

11) 0127 yyy

12) 054 yyy

13) 075 yyy

14) 02 yyy

Respostas

1) xx eCeCy 3

22

1

2) xxx eCeCeCy 2

33

22

1

3) xey x cos

4) xx eey 55 22

5) xx eey 273

6) xπ3

2xπ3

1 eCeCy

7) 3

xe)x34(y

8) kx

21 e)xCC(y

9) 2

x4

xe50e30y

10) x50ey

11) x4

2x3

1 eCeCy

12) senxCxcosCeCy 32

x21

13)

2

3xsenC

2

3xcosCeCy 32

2

x5

1

14)

xexCCy )( 21


94

AULA 18

72 EULER - CAUCHY

A equaccedilatildeo de Euler-Cauchy tem a seguinte forma

ByAdx

dybaxA

dx

ydbaxA

dx

ydbaxA

n

n

n

n

012

2

2

2)()()(

onde A0 A1 An a e b satildeo constantes Para resolver tal equaccedilatildeo faremos

teabax

que iraacute eliminar os coeficientes variaacuteveis

No caso da equaccedilatildeo ter a forma

02 byaxyyx

Faremos

y = xm

yrsquo = mxm-1

yrdquo = m(m-1)xm-2

Substituindo y yrsquo e yrdquo na EDO-2 temos que

(m2 + (a ndash 1) m + b)x

m = 0

como y(x) = xm

tem que ser diferente de zero temos m2 + (a ndash 1) m + b = 0 que eacute uma

equaccedilatildeo do segundo grau com duas raiacutezes

Caso 1 m1 e m2 satildeo reais e diferentes

21

21)(mm

xCxCxy

Caso 2 m1 e m2 satildeo reais e iguais

)xln(xCxC)x(y m2

m1

mxxCCxy ))ln(()(

21

Caso 3 m1 e m2 satildeo complexas conjugadas )( bia

)]lnsin()lncos([)(21

xbCxbCxxy a


95

Exemplos

012)12(2)12(2

2

2 ydx

dyx

dx

ydx

0222 yxyyx


96


1) 0202 yyx

2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx

3) 04324610 2 yxyyx

4) 02 yxyyx

5) 025244 2 yxyyx com y(1) = 2 e yrsquo(1) = - 6

6) 0432 yxyyx com y(1) = 0 e yrsquo(1) = 3

Respostas

1) 5

24

1 xCxC

2) 3

32

21

)x1(

C

)x1(

C

1x

Cy

3) 81

21 x)xlnCC(y

4) )x(lnsenC)xcos(lnC 21

5) 25

x)xln2(

6) xlnx3 2


97

AULA 19

73 EQUACcedilOtildeES LINEARES NAtildeO HOMOGEcircNEAS

10

00

)(

)(

)()()(

Kxy

Kxy

xryxqyxpy

IVP

y1(x)y2(x) base para a soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea

yh(x) soluccedilatildeo da EDO-2 homogecircnea

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)

yp(x) soluccedilatildeo particular funccedilatildeo qualquer que satisfaz a EDO-2 natildeo-homogecircnea

A soluccedilatildeo geral de uma equaccedilatildeo linear natildeo homogecircnea tem a forma

)()()( xyxyxy ph

Teorema da existecircncia da Unicidade Se p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas sobre o intervalo aberto I e

x0I entatildeo o PVI possui uma uacutenica soluccedilatildeo y(x) sobre I

Para determinarmos yp denominada soluccedilatildeo particular dispomos dos seguintes meacutetodos

i Meacutetodo dos coeficientes a determinar ou meacutetodo de Descartes

ii Meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros ou meacutetodo de Lagrange

iii Meacutetodo do operador derivada D

731 SOLUCcedilAtildeO POR COEFICIENTES A DETERMINAR (DESCARTES)

Padratildeo para soluccedilatildeo particular

Termo em r(x) Proposta para yp(x)

xαke xCe

)10n(kxn

011n

1nn

n CxCxCxC

xαKsen

xαcosK xαsenCxαcosC 21

xβsenke

xβcoske

xα

xα

)xβsenCxβcosC(e 21xα

obs

1 se r(x) eacute composiccedilatildeo de funccedilotildees da 1o coluna yp(x) eacute composiccedilatildeo das respectivas funccedilotildees na 2

o

coluna

2 se r(x) coincide com uma funccedilatildeo que compotildees yh(x) multiplique por x (ou por x2) para

considerar raiz dupla da equaccedilatildeo caracteriacutestica


98

Exemplo

0)0(

1)0(

2 2

y

y

xeyyy x


99

AULA19 - EXERCIacuteCIOS

1) xsenyy 34

2) 325102 2 xyyy

3) xseneyyy x 53712352 5

4) 1265 2 xyyy

5) xyy 314

6) 1232 2 xxyy

7) xeyyy 3127

8) xeyyy 28107

9) xeyyy 2844

10) xeyy 434

11) xsenyyy 2334

12) x4sen8dx

yd4

dx

yd

2

2

4

4

13) xsenyy 2124

14) senxyy 4

15) senxydx

yd

dx

yd42

2

2

4

4

16) 432 61251 xxxyyy para

4)0( y e 8)0( y

17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e

0)0( y

Respostas

1) x3sen5

1x2Bsenx2cosA

2) xx2

5)x3senCx3cosC(e 2

21x

3) x5sen60x5cos10xeeCeC x5x52

x71

4) 27

5

9

x5

3

xeCeCy

2x3

2x2

1

5) 4

xx

8

3eCeCCy 2x2

3x2

21

6) 8

x3

12

x

8

xeCxCCy

234x2

321

7) xx4

2x3

1 e20

3eCeCy

8) x2x5

2x2

1 xe3

8eCeCy

9) x22x2

2x2

1 ex4xeCeCy

10) x4

21 e20

3x2senCx2cosCy

11) )x2cos8x2sen(65

3eCeCy x3

2x

1

12) 40

x4seneCeCxCC x2

4x2

321

13) x2cos4

3eCeCCy x2

3x2

21

14) xcosx2senxCxcosCy 21

15) senx)xCC(xcos)xCC(senx2

xy 4321

2

16) 424 xey x

17) xxx xexeey 222

4

1

2

1

16

1

16

1


100

AULA 20

732 SOLUCcedilAtildeO POR VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS

Qualquer tipo de excitaccedilatildeo r(x)

Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contiacutenuos

yn + Pn-1(x)y

n-1 + + P1(x)yrsquo + P0(x)y = r(x)

A soluccedilatildeo geral da EDO eacute y = yh + yp como na resoluccedilatildeo por coeficientes a determinar mas a

soluccedilatildeo da particular fica yp=y1(x)u1 + y2(x)u2++yn(x)yn onde y1 y2 yn satildeo as bases para a EDO

homogecircnea A ideia eacute constituir a soluccedilatildeo particular com uma combinaccedilatildeo destas bases utilizando

paracircmetros variaacuteveis

Onde

dxxW

xrxWu

)(

)()(11 dx

xW

xrxWu

)(

)()(22 dx

xW

xrxWu n

n)(

)()(

Sendo que W = W(y1y2yn) que eacute o Determinante de Wronski (Wronskiano)

)()(

11

2

1

1

2

1

21

21 xW

yyy

yyy

yyy

yyyW

n

n

nn

n

n

n

Para calcularmos W1(x) substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0 0 0 1) para

calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente

11

2

2

2

1

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

11

1

1

1

2

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

1

0

0

1

2

1

1

2

1

21

nn

n

yy

yy

yy

W

Cuidado Antes de aplicar o meacutetodo verificar o que acompanha yn Se tiver f(x)y

n natildeo se

esqueccedila de dividir r(x) por f(x)

Se a Equaccedilatildeo Diferencial for de ordem 2 tempos como soluccedilatildeo da particular yp(x) =

u(x)y1(x) + v(x)y2(x)

onde

dx)x(w

)x(r)x(y)x(u 2 e dx

)x(w

)x(r)x(y)x(v 1

e y1(x) e y2(x) satildeo as bases da homogecircnea


101

Exemplo223 22 xyxyyxyx


102


1) yrdquo + 4yrsquo + 3y = 65x

2) x2yrdquo ndash 2xyrsquo +2y = x

3cosx

3) x2yrdquo ndash 4xyrsquo + 6y = 21x

-4

4) 4x2yrdquo + 8xyrsquo ndash 3y = 7x

2 ndash 15x

3

5) x3yrdquorsquo- 3x

2yrdquo +6xyrsquo ndash 6y = x

4lnx

6) xyrdquorsquo + 3yrdquo = ex

7) 1x2x3dx

yd4

dx

yd 2

2

2

4

4

8) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 4yrsquo + 4y = 12e-x

9) yrdquorsquo ndash yrdquo ndash 2y = x - 2

Respostas

1) 9

260x

3

65eCeCy x

2x3

1

2) xcosxxCxCy 221

3) 432

21 x

2

1xcxcy

4) 3

)xx(xCxCy

322

3

22

1

1

5)

6

11xln

6

xxCxCxCy

43

32

21

6) x13

121 exxCxCCy

7) 8

x

8

x

12

x

16

xeCeCxCCy

234x2

4x2

321

8) xx23

x22

x1 e2eCeCeCy

9) 4

x5

4

xeCeCCy

2x2

3x

21


103

AULA 21

733 MEacuteTODO DO OPERADOR DERIVADA


Os operadores satildeo siacutembolos sem nenhum significado isolado que indicam de modo abreviado

as operaccedilotildees que devem ser efetuadas

Uma dada funccedilatildeo definida por )x(fy chama-se operador derivada denotado por D a

dx

dD

2

22

dx

dD

3

33

dx

dD

7332 Propriedades

Sejam u=u(x) e v =v(x)

P1 D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva)

P2 D(mu)=mDu (propriedade comutativa sendo m uma constante)

P3Dm

(Dn

u)=Dm+n

u (sendo m e n constantes positivas)

P4 O operador inverso

dxueeu

aD

axax 1

a

P5 O operador direto uaDuu)aD( audx

du a

7333 Equaccedilotildees Diferenciais

Qualquer equaccedilatildeo diferencial pode ser expressa em termos de D

Exemplo

ay + by + cy = g(x)

aD2y + bDy + cy = g(x)

(aD2 + bD + c)y = g(x)

Um operador diferencial linear de n-eacutesima ordem 011n

1nn

n ADADADAL com

coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinocircmio caracteriacutestico 01n

1nn

n ArArA

tambeacutem se fatora

Exemplo

0y4y4y pode ser escrito como 0y)4D4D( 2 ou 0y)2D)(2D( ou

0y)2D( 2


104

7334 Operador Anulador

Se L eacute um operador diferencial com coeficientes constantes e )x(fy eacute uma funccedilatildeo

suficientemente diferenciaacutevel tal que 0)y(L entatildeo dizemos que L eacute um anulador da funccedilatildeo

O operador diferencial nD anula cada uma das funccedilotildees

1n2 xxx1 Entatildeo um

polinocircmio 1n

1n2

210 xcxcxcc eacute anulado por um operador que anula a maior

potencia de )D(x n

Exemplo Encontre um operador derivada que anula 32 x8x51

Soluccedilatildeo

O operador eacute 4D pois 4n31n

0)x8x51(D 324

O operador diferencial n)αD( anula cada uma das funccedilotildees

xα1nxα2xαxα exexxee

Exemplo Encontre um operador anulador para x2x2 xe6e4

Soluccedilatildeo

Para o termo )e4( x2temos 2α e )2D(1n

Para o termo )xe6( x2 temos 2α e 2)2D(1n

Logo o operador que anularaacute a expressatildeo seraacute 2)2D(

Vamos verificar

0e12e12e12De6)e6)(2D(

]xe12xe12e6e8e8)[2D(

]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(

)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2

x2x2x2x22

O operador diferencial n222 )]βα(Dα2D[ anula cada uma das funccedilotildees

xβsenexxβsenexxβsenxexβsene

xβcosexxβcosexxβcosxexβcose

xα1nxα2xαxα

xα1nax2xαxα

Exemplo Encontre um operador anulador para x2sene x

Soluccedilatildeo

5D2D)]41(D)1(2D[

1n01n2β1α

212


105

Vamos verificar

0x2cose4x2sene3x2sene4x2cose2x2cose2x2sene

x2cose4x2sene3)x2sen4x2cos2(e)x2cos2x2sen(e

x2sene5x2cose4x2sene2)]x2cos2x2sen(e[D

x2sene5)x2cose2x2sene(2)x2cose2x2sene(D

x2sene5x2senDe2)x2sene(DD

x2sene5x2senDe2)x2sene(D)x2sene)(5D2D(

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx2x2

Obs O operador diferencial )βD( 22 anula as funccedilotildees xβcos e xβsen

Se 1L e 2L satildeo operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que

0)y(L 11 e 0)y(L 22 mas 0)y(L 21 e 0)y(L 12 entatildeo o produto dos operadores 21 LL

anula a soma )x(yc)x(yc 2211 pois

zero

221

zero

1122121

2211212121

)y(LL)y(LL)yy(LL

)y(LL)y(LL)yy(LL

Exemplo Encontre um operador diferencial que anula )x3(sen6x7

Soluccedilatildeo

Para o termo x7 temos o operador 2D

Para o termo )x3(sen6 temos 3β entatildeo )3D( 22

Logo

0)x3sen6x7)(9D(D 22

7335 Coeficientes indeterminados - Abordagem por Anuladores

Se L denota um operador diferencial linear da forma 011n

1nn

n ADADADA

entatildeo uma equaccedilatildeo diferencial linear natildeo homogecircnea pode ser escrita como )x(g)y(L

Para esta abordagem utilizaremos g(x) como combinaccedilatildeo linear de funccedilotildees da forma

βcosexexxctsk xαmxαmm e xβsenex xαm

onde m eacute um inteiro natildeo negativo e α e β satildeo

nuacutemeros reais

Resumo do Meacutetodo

i Encontre a soluccedilatildeo caracteriacutestica cy para a equaccedilatildeo homogecircnea 0)y(L

ii Opere em ambos os lados da equaccedilatildeo natildeo-homogecircnea )x(g)y(L com um operador

diferencial 1L que anula a funccedilatildeo )x(g

iii Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea de maior ordem L1

0)y(L


106

iv Desconsidere todos os termos da soluccedilatildeo encontrada em (iii) que estatildeo duplicados na

soluccedilatildeo complementar cy encontrada em (i) Forme uma combinaccedilatildeo linear py dos

termos restantes Essa eacute a forma de uma soluccedilatildeo particular para )x(g)y(L

v Substitua py encontrada em (iv) na equaccedilatildeo )x(g)y(L Agrupe os coeficientes das

funccedilotildees em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equaccedilotildees para os

coeficientes indeterminados em py

vi Com a soluccedilatildeo particular encontrada em (v) forme a soluccedilatildeo geral pc yyy para a

equaccedilatildeo diferencial dada

7336 Resoluccedilatildeo de Equaccedilotildees Lineares

1) Resolver empregando operadores 01272

2

ydx

dy

dx

yd

2) 0442

2

ydx

dy

dx

yd

3) Resolver utilizando operador direto inverso e por anuladores 2

2

2

x4y2dx

dy3

dx

yd


107


108


Resolva as equaccedilotildees abaixo utilizando um dos meacutetodos de operador derivada

1) (D2 ndash D ndash 12)y = 0

2) senxydx

dy

dx

yd 65

2

2

3) senxeydx

dy

dx

yd x 232

2

4) (D3-16D)y=e

4x + 1

5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e

3x

6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe

-2x

7) xx eeyDD 23212

8) 142 xyD

9) x32 ey6D5D

10) senx4e8y3y x3

11) xey

dx

yd 2

2

Respotas

1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xcos10

1senx

10

1eCeCy x3

2x2

1

3) senxxcos2

eeCeCy

xx2

2x

1

4) 16

xe

32

xeCeCCy x4x4

3x4

21

5) x3x4

2x3

1 xe5eCeCy

6) x2

2x2x2

3x

2x

1 e18

xe

27

x2eCxeCeCy

7) xx2x2xx e

6

1ex

2

3CeBxeAey

8) 4

1

4

xBeAey x2x2

9) x3

2x2

1x3 eCeCxey

10) senx5

2xcos

5

6xe

3

8eCCy x3x3

21

11) 2

xeeCeCy

xx

2x

1


109

AULA 22



1) xsenxedx

dy

dx

yd x 2234 2

3

3

2) xex

dx

dy

dx

yd

dx

yd 2

2

2

3

3

3265

3) 13 2

2

2

xesenxydx

yd

4) 1284 2

2

2

xxydx

yd

5) 222

2

3

3

xdx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 1234 3

2

2

4

4

xxdx

yd

dx

yd

7) xey

dx

dy

dx

yd 3232

2

8) xey

dx

yd 2

2

2

44

9) xey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

344

10) xey

dx

dy

dx

yd22

2

2

11) senxydx

dy

dx

yd223

2

2

12) xdx

dy

dx

ydcos34

2

2

13) xsenydx

yd2316

4

4

14) xydx

yd2cos54

2

2

15) 52 2

2

2

xedx

dy

dx

yd

16) xxey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

44

17) xeydx

dy

dx

yd x 2cos8822

2

18)

2244 2

2

2 xey

dx

dy

dx

yd x

19)

20)

21)

senxy

dx

yd 12

2

22) xyxyyx 3222

23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2

22

3

33 xy

dx

dyx

dx

ydx

dx

ydx

x

ey

dx

dy

dx

yd x

22

2

xy

dx

yd

cos

12

2


110

RESPOSTAS

1)

4

x2xsen

8

x

16

e3x2senCx2cosCCy

2x2

321

2)

2

3

18

5

6

223

3

2

21

xxx xe

xx

eCeCCy

3) 132

3 2

21 x

xx esenxeCeCy

4) 44

2 22

2

2

1 xxeCeCy xx

5)

4

5

4

22

321

xxeCeCCy xx

6)

848

5

80

3 2352

4

2

321

xxxeCeCxCCy xx

7)

2

2

21

xxx e

eCeCy

8) xxx xeeCeCy 22

2

2

1

9) xxx exxeCeCy 222

2

2

12

3

10) )( 2

21 xxCCey x

11) senxxeCeCy xx

5

1cos

5

32

21

12) )4(cos17

34

21 senxxeCCy x

13)

32

2cos322cos 43

2

2

2

1

xxxsenCxCeCeCy xx

14)

8

2cos52

2

2

1

xeCeCy xx

15)

22

5 22

21

xx xex

eCCy

16) xe

xxCCy 2

3

216

17) )22cos3(5

1

9

14

2

2

1 xsenxeeCeCy exxx

18)

8

1)( 22

21

xexxCCy x

19) xxexeexCCy xxx ln)( 21

20) xsenxxxsenxCxCy coslncoscos 21

21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21

22) xxxCxCy ln32

21

23)

36

11)1ln(

6

1

)1()1(1 3

3

2

21

xx

C

x

C

x

Cy


111

AULA 23

9 MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

Vimos que uma uacutenica equaccedilatildeo pode servir como modelo matemaacutetico para fenocircmenos

diversos Por essa razatildeo examinamos uma aplicaccedilatildeo o movimento de uma massa conectada a uma

mola detalhadamente na seccedilatildeo 81 abaixo Veremos que exceto pela terminologia e pelas

interpretaccedilotildees fiacutesicas dos quatro termos na equaccedilatildeo linear ayrdquo + byrsquo + cy = g(t) a matemaacutetica de

um circuito eleacutetrico em seacuterie eacute idecircntica agrave de um sistema vibratoacuterio massa-mola Formas dessa

equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem aparecem na anaacutelise de problemas em vaacuterias aacutereas da

ciecircncia e da engenharia Na seccedilatildeo 81 consideramos exclusivamente problemas de valor inicial

enquanto na seccedilatildeo 82 examinamos aplicaccedilotildees descritas por problemas de contorno conduzem-nos

aos conceitos de autovalor e autofunccedilatildeo A seccedilatildeo 83 comeccedila com uma discussatildeo sobre as

diferenccedilas entre mola linear e mola natildeo-linear em seguida mostraremos como um pecircndulo simples

e um fio suspenso levam a modelos natildeo-lineares

91 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

911 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE NAtildeO AMORTECIDO

Lei de Hooke Suponha que uma mola flexiacutevel esteja suspensa verticalmente em um suporte

riacutegido e que entatildeo uma massa m seja conectada agrave sua extremidade livre A distensatildeo ou elongaccedilatildeo

da mola naturalmente dependeraacute da massa massas com pesos diferentes distenderatildeo a mola

diferentemente Pela lei de Hooke a mola exerce uma forccedila restauradora F oposta agrave direccedilatildeo do

alongamento e proporcional agrave distensatildeo s Enunciado de forma simples F = ks onde k eacute a constante

de proporcionalidade chamado constante da mola A mola eacute essencialmente caracterizada pelo

nuacutemero k Por exemplo se uma massa de 10 libras alonga em frac12 peacute uma mola entatildeo 10 = k(frac12)

implica que k = 20 lbpeacutes Entatildeo uma massa de digamos 8 lb necessariamente estica a mesma mola

somente 25 peacute

Segunda Lei de Newton Depois que uma massa m eacute conectada a uma mola provoca uma

distensatildeo s na mola e atinge sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio no qual seu peso W eacute igual agrave forccedila

restauradora ks Lembre-se de que o peso eacute definido por W = mg onde g= 32 peacutess2 98ms

2 ou 980

cms2

equiliacutebrio

Posiccedilatildeo

inicial

g

K(s+x)


112

Conforme indicado na figura acima a condiccedilatildeo de equiliacutebrio eacute mg = ks ou mg ndash ks = 0 Se a

massa for deslocada por uma quantidade x de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio a forccedila restauradora da

mola seraacute entatildeo k(x + s) Supondo que natildeo haja forccedilas de retardamento sobre o sistema e supondo

que a massa vibre sem a accedilatildeo de outras forccedilas externas ndash movimento livre ndash podemos igualar F

com a forccedila resultante do peso e da forccedila restauradora

kxksmgkxmgxskdt

xdm

zero

)(2

2

(1)

O sinal negativo indica que a forccedila restauradora da mola age no sentido oposto ao do

movimento Aleacutem disso podemos adotar a convenccedilatildeo de que os deslocamentos medidos abaixo da

posiccedilatildeo de equiliacutebrio satildeo positivos

9111 ED do Movimento Livre natildeo amortecido

Dividindo a equaccedilatildeo (1) pela massa m obtemos a equaccedilatildeo diferencial de segunda ordem

02

2

2

xdt

xd (2)

onde mk 2

A equaccedilatildeo (2) descreve um movimento harmocircnico simples ou movimento livre natildeo

amortecido Duas condiccedilotildees iniciais oacutebvias associadas com (2) satildeo x(0) = x0 e xrsquo(0) = x1

representando respectivamente o deslocamento e a velocidade iniciais da massa Por exemplo se

x0gt 0 x1lt 0 a massa comeccedila de um ponto abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade

inicial dirigida para cima Quando x1 = 0 dizemos que ela partiu do repouso Por exemplo se x0lt 0

x1 = 0 a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio

9112 Soluccedilatildeo e Equaccedilatildeo do Movimento

Para resolver a Equaccedilatildeo (2) observamos que as soluccedilotildees da equaccedilatildeo auxiliar m2+ 2

=0 satildeo

nuacutemeros complexos m1 = i m2 = - i Assim determinamos a soluccedilatildeo geral de (2) como

tsenCtCtx 21 cos)( (3)

O periacuteodo das vibraccedilotildees livres descritas por (3) eacute T = 2 e a frequecircncia eacute

21 Tf Por exemplo para tttx 3sin43cos2)( o periacuteodo eacute 2 3 e a frequecircncia eacute

32 unidades o segundo nuacutemero significa que haacute trecircs ciclos do graacutefico a cada 2 unidades ou

equivalentemente que a massa estaacute sujeita a 32 vibraccedilotildees completas por unidade de tempo

Aleacutem disso eacute possiacutevel mostrar que o periacuteodo 2 eacute o intervalo de tempo entre dois maacuteximos

sucessivos de x(t) Lembre-se de que o maacuteximo de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente

agrave distacircncia maacutexima de x(t) eacute um deslocamento positivo correspondente agrave distacircncia maacutexima atingida

pela massa abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio enquanto o miacutenimo de x(t) eacute um deslocamento negativo

correspondente agrave altura maacutexima atingida pela massa acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio Vamos nos

referir a cada caso como deslocamento extremo da massa Finalmente quando as condiccedilotildees


113

iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3) diremos que a soluccedilatildeo particular

resultante ou a resposta eacute a equaccedilatildeo do movimento

Exemplo

Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de

um ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3

4 peacutess para cima

Determine a equaccedilatildeo do movimento livre

Soluccedilatildeo

Convertendo as unidades

6 polegadas = frac12 peacute

8 polegadas = 23 peacute

Devemos converter a unidade de peso emunidade de massa

M = Wg = 232 = 116 slug

Aleacutem disso da lei de Hooke 2 = k(frac12) implica que a constante de mola eacute k = 4 lbpeacute

Logo (1) resulta em

xdt

xd4

16

12

2

0642

2

xdt

xd

2 = - 64

= 8i

x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t

O deslocamento e a velocidade iniciais satildeo x(0) = 23 e xrsquo(0) = - 43 onde o sinal

negativo na uacuteltima condiccedilatildeo eacute uma consequumlecircncia do fato de que eacute dada agrave massa uma velocidade

inicial na direccedilatildeo negativa ou para cima

Aplicando as condiccedilotildees iniciais a x(t) e a xrsquo(t) obtemos C1 = 23 e C2 = - 16 assim a

equaccedilatildeo do movimento seraacute

tsenttx 816

18cos

3

2)(

912 SISTEMA MASSA-MOLA MOVIMENTO LIVRE AMORTECIDO

O conceito de movimento harmocircnico livre eacute um tanto quanto irreal uma vez que eacute descrito

pela Equaccedilatildeo (1) sob a hipoacutetese de que nenhuma forccedila de retardamento age sobre a massa em

movimento A natildeo ser que a massa seja suspensa em um vaacutecuo perfeito haveraacute pelo menos uma

forccedila contraacuteria ao movimento em decorrecircncia do meio ambiente

9121 ED do Movimento Livre Amortecido

No estudo de mecacircnica as forccedilas de amortecimento que atuam sobre um corpo satildeo

consideradas proporcionais a uma potecircncia da velocidade instantacircnea Em particular vamos supor

durante toda a discussatildeo subsequumlente que essa forccedila eacute dada por um muacuteltiplo constante de dxdt

Quando natildeo houver outras forccedilas externas agindo sobre o sistema segue na segunda lei de Newton

que


114

dt

dxkx

dt

xdm

2

2

(4)

onde eacute positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo eacute uma consequumlecircncia

do fato de que a forccedila amortecedora age no sentido oposto ao do movimento

Dividindo-se (4) pela massa me obtemos a equaccedilatildeo diferencial do movimento livre

amortecido

02

2

x

m

k

dt

dx

mdt

xd (5)

ou

02 2

2

2

xdt

dx

dt

xd (6)

onde

m

2 e

m

k2

O siacutembolo 2 foi usado somente por conveniecircncia algeacutebrica pois a equaccedilatildeo auxiliar eacute

m2 + 2 m + 2 = 0

e as raiacutezes correspondentes satildeo portanto

22

1 m e22

2 m

Podemos agora distinguir trecircs casos possiacuteveis dependendo do sinal algeacutebrico de 22

Como cada soluccedilatildeo conteacutem o fator de amortecimento te gt0 o deslocamento da massa fica

despreziacutevel apoacutes um longo periacuteodo

CASO I Superamortecido

022

tmtm

eCeCtx 21

21)( (7)

Essa equaccedilatildeo representa um movimento suave e natildeo oscilatoacuterio

CASO II Amortecimento Criacutetico

022

tCCetx t

21)( (8)

Observe que o movimento eacute bem semelhante ao sistema superamortecido Eacute tambeacutem

evidente de (8) que a massa pode passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio no maacuteximo uma vez Qualquer

decreacutescimo na forccedila de amortecimento resulta em um movimento oscilatoacuterio


115

CASO III Subamortecido

022

Como as raiacutezes m1 e m2 agora satildeo complexas a soluccedilatildeo geral da Equaccedilatildeo (6) eacute

tsenCtCetx t 22

2

22

1cos)(

(9)

O movimento descrito em (9) eacute oscilatoacuterio mas por causa do fator te as amplitudes de

vibraccedilatildeo 0 quando t

Exemplos

1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 peacutes Supondo que uma forccedila amortecedora igual

a duas vezes a velocidade instantacircnea aja sobre o sistema determine a equaccedilatildeo de

movimento se o peso for solto de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 3 peacutess

para cima

Soluccedilatildeo

Com base na lei de Hooke vemos que 8 = k(2) nos daacute k = 4 lbpeacutes e que gmW nos

daacute m = 832=14 slug A equaccedilatildeo diferencial do movimento eacute entatildeo

dt

dx2x4

dt

xd

4

1

2

2

01682

2

xdt

dx

dt

xd

Resolvendo a equaccedilatildeo temos

X(t)= C1 e ndash 4t

+ C2te - 4t

(amortecimento criacutetico)

Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = 0 e xrsquo(0) = - 3 obtemos c1 = 0 e c2 = -3 logo a

equaccedilatildeo do movimento eacute

X(t) = - 3te -4t

2) Um peso de 16 lb eacute atado a uma mola de 5 peacutes de comprimento Na posiccedilatildeo de equiliacutebrio o

comprimento da mola eacute de 82 peacutes Se o peso for puxado para cima e solto do repouso de

um ponto 2 peacutes acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio qual seraacute o deslocamento x(t) se for sabido

ainda que o meio ambiente oferece uma resistecircncia numericamente igual agrave velocidade

instantacircnea

Soluccedilatildeo

O alongamento da mola depois de presoo peso seraacute de 82 ndash 5 = 32 peacutes logo segue

da lei de Hooke que 16 = k(32) ou k = 5 lbpeacutes Alem disso m = 1632 = frac12 slug Portanto a

equaccedilatildeo diferencial eacute dada por


116

dt

dxx

dt

xd 5

2

12

2

01022

2

xdt

dx

dt

xd


tsenCtCetx t 33cos)( 21 (subamortecido)

Aplicando as condiccedilotildees iniciais x(0) = - 2 e xrsquo(0) = 0 obtemos c1 = - 2 e c2 = - 23 logo

a equaccedilatildeo do movimento eacute

tsentetx t 3

3

23cos2)(

913 SISTEMA MASSA MOLA MOVIMENTO FORCcedilADO

9131 ED do Movimento Forccedilado com Amortecimento

Considerando agora uma forccedila externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola

Por exemplo f(t) pode representar uma forccedila que gera um movimento oscilatoacuterio vertical do

suporte da mola A inclusatildeo de f(t) na formulaccedilatildeo da segunda lei de Newton resulta na equaccedilatildeo

diferencial do movimento forccediladoou induzido

)(2

2

tfdt

dxkx

dt

xdm (10)

Dividindo (10) por m obtemos

)(2 2

2

2

tFxdt

dx

dt

xd (11)

Onde F(t) = f(t)m Como no item anterior 2 m mk 2 Para resolver essa uacuteltima

equaccedilatildeo natildeo homogecircnea podemos usar tanto o meacutetodo dos coeficientes a determinar quanto o de

variaccedilotildees de paracircmetro

Exemplo

Interprete e resolva o problema de valor inicial t4cos5x2dt

dx21

dt

xd

5

1

2

2

com2

1)0(x

e 0)0(x


117

Soluccedilatildeo

O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 15 slug ou

quilograma) presa a uma mola (k = 2 lbpeacutes ou Nm) A massa eacute solta do repouso frac12 unidade (peacute ou

metro) abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento eacute amortecido ( 21 ) e esta sendo forccedilado

por uma forccedila externa perioacutedica (T = 2

) que comeccedila em t=0 Intuitivamente poderiacuteamos

esperar que mesmo com o amortecimento o sistema continuasse em movimento ateacute o instante em

que a forccedila externa fosse ldquodesligadardquo caso em que a amplitude diminuiria Poreacutem da forma como

o problema foi dado f(t)=5cos4t permaneceraacute ldquoligadardquo sempre

Em primeiro lugar multiplicaremos a equaccedilatildeo dada por 5 e resolvemos a equaccedilatildeo

01062

2

xdt

dx

dt

xd empregando os meacutetodos usuais e usando o meacutetodo dos coeficientes a

determinar procuramos uma soluccedilatildeo particular achando como soluccedilatildeo

tsentsentCtCetx t 451

504cos

102

25)cos()( 21

3

Aplicando as condiccedilotildees iniciais temos que a equaccedilatildeo do movimento eacute

tsentsenttetx t 451

504cos

102

25)

51

86cos

51

38()( 3

9132 ED de um Movimento Forccedilado Natildeo Amortecido

Se houver a accedilatildeo de uma forccedila externa perioacutedica e nenhum amortecimento natildeo haveraacute

termo transiente na soluccedilatildeo de um problema Veremos tambeacutem que uma forccedila externa perioacutedica

com uma frequumlecircncia proacutexima ou igual agraves das vibraccedilotildees livres natildeo amortecidas pode causar danos

severos a um sistema mecacircnico oscilatoacuterio

Exemplo

1) Resolva o problema de valor inicial tsenFxdt

xd 0

2

2

2

x(0) = 0 e xrsquo(0) = 0 onde F0 eacute uma

constante e

)(

2

2

tfkxdt

xdm

Soluccedilatildeo

A funccedilatildeo complementar eacute xc(t) = c1cos t + c2 sen t Para obter uma soluccedilatildeo

particular vamos experimentar xp(t) = A cos t + B sen t de tal forma que

tsenFtsenBtAxx pp 0

22222 )(cos)(

Igualando os coeficientes obtemos imediatamente A = 0 e )γω(

FB

220

Logo

tγsen)γω(

F)t(x

220

p


118

Aplicando as condiccedilotildees iniciais dadas agrave soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo final que seraacute

)tγsenωtωsenγ()γω(

F)t(x

220

com ωγ

914 CIRCUITO EM SEacuteRIE ANAacuteLOGO - CIRCUITOS ELEacuteTRICOS RLC EM SEacuteRIE

Aplicando a segunda Lei de Kirchoff chegamos a

)(2

2

tEC

q

dt

dqR

dt

qdL (12)

Se E(t) = 0 as vibraccedilotildees eleacutetricas do circuito satildeo consideradas livres Como a equaccedilatildeo

auxiliar da equaccedilatildeo (11) eacute Lm2 + Rm + 1C = 0 haveraacute trecircs formas de soluccedilatildeo com R 0

dependendo do valor do discriminante R2 -4LC Dizemos que o circuito eacute

Superamortecido 042 C

LR

Criticamente amortecido 042 C

LR

Subamortecido 042 C

LR

Em cada um desses trecircs casos a soluccedilatildeo geral de (12) conteacutem o fator e-Rt2L

e portanto

q(t)0 quando t No caso subamortecido se q(0) = q0 a carga sobre o capacitor oscilaraacute agrave

medida que decair em outras palavras o capacitor eacute carregado e descarregado quanto t

Quando E(t) = 0 e R = 0 dizemos que o circuito eacute natildeo amortecido e as vibraccedilotildees eleacutetricas natildeo

tendem a zero quando t cresce sem limitaccedilatildeo a resposta do circuito eacute harmocircnica simples

Exemplos

Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em seacuterie LRC quando L=025 henry(h)

R = 10 ohms( ) C = 0001 farad(f) E(t) = 0 q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0

Soluccedilatildeo

Como 1C = 1000 a equaccedilatildeo (12) fica

0400040

01000104

1

qqq

qqq

Resolvendo a equaccedilatildeo homogecircnea de maneira usual verificamos que o circuito eacute

subamortecido e q(t) = e-20t

(C1 cos60t +C2 sen60t) Aplicando as condiccedilotildees iniciais obtemos


119

)603

160(cos)( 20

0tsenteqtq t

Quando haacute uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibraccedilotildees eleacutetricas satildeo chamadas

forccediladas No caso em que R 0 a funccedilatildeo complementar qc(t) de (12) eacute chamada de soluccedilatildeo

transiente Se E(t) for perioacutedica ou constante entatildeo a soluccedilatildeo particular qp(t) de (12) seraacute uma

soluccedilatildeo estacionaacuteria

92 EQUACcedilOtildeES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO

921 DEFLEXAtildeO DE UMA VIGA

Muitas estruturas satildeo construiacutedas usando grandes suportes de accedilo ou vigas as quais

defletem ou distorcem sob seu proacuteprio peso ou em decorrecircncia de alguma forccedila externa A deflexatildeo

y(x) eacute governada por uma equaccedilatildeo diferencial linear de quarta ordem relativamente simples

Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogecircnea e tenha seccedilatildeo transversal

uniforme ao longo de seu comprimento Na ausecircncia de qualquer carga sobre a viga (incluindo o

proacuteprio peso) a curva que liga os centroacuteides de todas as suas seccedilotildees transversais eacute uma reta

chamada eixo de simetria Se for aplicada uma carga agrave viga em um plano contendo o eixo de

simetria ela sofreraacute uma distorccedilatildeo e a curva que liga os centroacuteides de todas as seccedilotildees transversais

seraacute chamada entatildeo de curva de deflexatildeooucurva elaacutestica A curva de deflexatildeo aproxima o

formato da viga Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetria da viga e que a

deflexatildeo y(x) medida a partir desse eixo seja positiva se dirigida para baixo Na teoria da

elasticidade mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga estaacute

relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equaccedilatildeo

)(2

2

xwdx

Md (13)

Aleacutem disso momento fletor M(x) eacute proporcional agrave curvatura k da curva elaacutestica

EIkxM )( (14)

onde E e I satildeo constantes E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang do material de que eacute feita a viga e I

eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o

eixo neutro) O produto EI eacute chamado de rigidez defletora da viga


120

Agora do caacutelculo a curvatura eacute dada por

23

2)(1

y

yk

Quando a deflexatildeo y(x) for

pequena a inclinaccedilatildeo yrsquo 0 e portanto 23

2)(1 y 1 Se fizermos k = yrdquo a Equaccedilatildeo (14) vai se

tornar M = Elyrdquo A derivada segunda dessa uacuteltima expressatildeo eacute

4

4

2

2

2

2

dx

ydELy

dx

dEL

dx

Md (15)

Usando o resultado dado em (1) para substituir d2Mdx

2 em (15) vemos que a deflexatildeo

y(x) satisfaz a equaccedilatildeo diferencial de quarta ordem

)(4

4

xwdx

ydEL (16)

As condiccedilotildees de contorno associadas agrave Equaccedilatildeo (16) dependem de como as extremidades

da viga estatildeo apoiadas Uma viga em balanccedilo eacute engastada ou presa em uma extremidade e livre de

outra Trampolim braccedilo estendido asa de aviatildeo e sacada satildeo exemplos comuns de vigas mas ateacute

mesmo aacutervores mastros edifiacutecios e o monumento de George Washington podem funcionar como

vigas em balanccedilo pois estatildeo presos em uma extremidade e sujeitos agrave forccedila fletora do vento Para

uma viga em balanccedilo a deflexatildeo y(x) deve satisfazer agraves seguintes condiccedilotildees na extremidade

engastada x = 0

y(0) = 0 uma vez que natildeo haacute deflexatildeo e

yrsquo(0) = 0 uma vez que a curva de delexatildeo eacute tangente ao eixo x (em outras palavras a

inclinaccedilatildeo da curva de deflexatildeo eacute zero nesse ponto)

Em x = L as condiccedilotildees da extremidade livre satildeo

yrdquo(L) = 0 uma vez que o momento fletor eacute zero e

yrdquorsquo(L) = 0 uma vez que a forccedila de cisalhamento eacute zero

A Tabela abaixo resume as condiccedilotildees de contorno que estatildeo associadas com a equaccedilatildeo (16)

Extremos da Viga Condiccedilotildees de contorno

Engastada 0y0y

Livre 0y0y

Simplesmente apoiada 0y0y

9211 Soluccedilotildees Natildeo Triviais do Problema de Valores de Contorno

Resolva o problema de valores de contorno yrdquo + y = 0 y(0) = 0 e y(L) = 0

Consideremos trecircs casos = 0 lt 0 e gt 0


121

Caso I Para = 0 a soluccedilatildeo de 0y eacute 21 CxCy As condiccedilotildees 0)0(y e 0)L(y

implicam sucessivamente que 0C1 e 0C2 Logo para 0λ a uacutenica soluccedilatildeo do problema de

contorno eacute a soluccedilatildeo trivial 0y

Caso II Para λ lt0 temos que xλsenhCxλcoshCy 21 Novamente 0)0(y nos

daacute 0C1 e portanto xλsenhCy 2 A segunda condiccedilatildeo 0)L(y nos diz que

0LλsenhC2 Como L 0 precisamos ter 0C2 Assim y = 0

Obs parece um pouco estranho mas tenha em mente que lt 0 eacute equivalente a -

gt0

Caso III Para gt0 a soluccedilatildeo geral de yrdquo+ y = 0 eacute dada por xλsenCxλcosCy 21

Como antes y(0) = 0 nos daacute que c1 = 0 mas y(L) = 0 implica 0LλsenC2

Se c2 = 0 entatildeo necessariamente y = 0 Poreacutem se c2 0 entatildeo sen L = 0 A uacuteltima

condiccedilatildeo implica que o argumento da funccedilatildeo seno deve ser um muacuteltiplo inteiro de

nL ou2

22

L

n n = 1 2 3

Portanto para todo real natildeo nulo c2 y = c2sen(n xL) eacute uma soluccedilatildeo do problema para

cada n Como a equaccedilatildeo diferencial eacute homogecircnea podemos se desejarmos natildeo escrever c2 Em

outras palavras para um dado nuacutemero na sequumlecircncia 9

4

2

2

2

2

2

2

LLL

a funccedilatildeo correspondente na

sequumlecircncia 3

2

xL

senxL

senxL

sen

eacute uma soluccedilatildeo natildeo trivial do problema original

9212 Deformaccedilatildeo de uma Coluna Fina

No seacuteculo XVIII Leonhard Euler doacutei um dos primeiros matemaacuteticos a estudar um problema

de autovalor quando analisava como uma coluna elaacutestica fina se deforma sob uma forccedila axial

compressiva

Considere uma longa coluna vertical fina de seccedilatildeo transversal uniforme de comprimento

L Seja y(x) a deflexatildeo da coluna quando uma forccedila compressiva vertical constante ou carga P for

aplicada em seu topo conforme mostra a figura Comparando os momentos fletores em qualquer

ponto ao longo da coluna obtemos

Py

dx

ydEL

2

ou 02

2

Pydx

ydEL (17)


122

onde E eacute o moacutedulo de elasticidade de Yang e I eacute o momento de ineacutercia de uma seccedilatildeo transversal em

torno de uma reta vertical pelo seu centroacuteide

Exemplo

Determine a deflexatildeo de uma coluna vertical fina e homogecircnea de comprimento L sujeita

a uma carga axial constante P se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades

Soluccedilatildeo

O problema de contorno a ser resolvido eacute

0)(

0)0(

02

2

Ly

y

Pydx

ydEI

Observe primeiramente que y = 0 eacute uma soluccedilatildeo perfeitamente aceitaacutevel desse problema

Essa soluccedilatildeo tem uma interpretaccedilatildeo intuitiva e simples se a carga P natildeo for grande o suficiente natildeo

haveraacute deflexatildeo A questatildeo eacute esta para que valores de P a coluna vai defletir Em termos

matemaacuteticos para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluccedilotildees natildeo triviais

Escrevendo EIP vemos que

0)(

0)0(

0

Ly

y

yy

eacute idecircntico ao problema dado no item 8211 Com base no Caso III daquela discussatildeo vemos

que as curvas de deflexatildeo satildeo )()( 2 Lxnsencxyn correspondentes aos autovalores

321 222 nLnEIPnn

Fisicamente isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a

forccedila compressiva assumir um dos valores 321 222 nLEInPn Essas forccedilas satildeo chamadas

cargas criticas A curva de deflexatildeo correspondente a menor carga criacutetica 22

1 LEIP chamada

de carga de Euler eacute )()( 21 Lxsencxy e eacute conhecida como o primeiro modo de deformaccedilatildeo

As curvas de deflexatildeo correspondentes a n = 1 n = 2 e n = 3 satildeo apresentadas na figura

abaixo Observe que se a coluna original tiver algum tipo de restriccedilatildeo fiacutesica em x = L2entatildeo a

menor carga criacutetica seraacute 22

2 4 LEIP e a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (b) Se a

restriccedilatildeo for colocada na coluna em x = L3 e x = 2L3 acoluna somente vai se deformar quando a

carga critica 22

3 9 LEIP for aplicada Nesse caso a curva de deflexatildeo seraacute aquela da figura (c)


123

9213 Corda Girando

A equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem

0 yy (18)

ocorre muitas vezes como modelo matemaacutetico Jaacute vimos nas formas 0)(22 xmkdtxd e

0)1(22 qLCdtqd como modelos para respectivamente um movimento harmocircnico simples e

um sistema massa-mola e a resposta harmocircnica simples de um circuito em seacuterie Eacute evidente que o

modelo para deflexatildeo de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como

0)(22 yELPdxyd eacute igual ao que foi dado em (18) Vamos encontrar a Equaccedilatildeo (18) como

um modelo que define a curva de deflexatildeo ou a configuraccedilatildeo y(x) assumida por uma corda girando

A situaccedilatildeo fiacutesica eacute anaacuteloga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar

sincronizadamente Veja as figuras (a) e (b) abaixo

Suponha que uma corda de comprimento L e

densidade linear constante (massa por unidade de

comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada

em x = 0 e x = L Suponha que a corda seja entatildeo

girada em torno do eixo x a uma velocidade angular

constante Considere uma parte da corda sobre o

intervalo xxx onde x eacute pequeno Se a

magnitude T da tensatildeo T tangencial a corda for

constante ao longo dela a equaccedilatildeo diferencial desejada

pode ser obtida igualando-se duas formulaccedilotildees

diferentes da forccedila liquida que age sobre a corda no

intervalo xxx Em primeiro lugar vemos na

figura (c) que a forccedila liquida vertical eacute

12 TsenTsenF (19)

Se os acircngulos 1 e 2 (medidos em radianos) forem pequenos teremos 22 tgsen e

11 tgsen Alem disso como 2tg e 1tg satildeo por sua vez inclinaccedilotildees das retas contendo os

vetores T2e T1 podemos tambeacutem escrever


124

)(2 xxytg e )(1 xytg

Assim sendo (19) vai se tornar

)()( xyxxyTF (20)

Em segundo lugar podemos obter uma forma diferente dessa mesma forccedila liquida usando a

segunda lei de Newton F = ma Aqui a massa da corda no intervalo eacute xm a aceleraccedilatildeo

centriacutepeta de um corpo girando a uma velocidade angular em um circulo com raio r eacute 2ra

Sendo x pequeno podemos tomar r = y Assim sendo a forccedila liquida vertical eacute tambeacutem

aproximada por

2 yxF (21)

onde o sinal de subtraccedilatildeo justifica-se pelo fato de a aceleraccedilatildeo ter o sentido oposto ao do eixo y

Igualando-se (21) e (20) temos

2)()()( yxxyxxyT

ou (22)

yx

xyxxyT 2)()(

Para x proacuteximo a zero o quociente da diferenccedila x

xyxxy

)()(em (22) eacute

aproximado pela derivada segunda de d2ydx

2 Finalmente chegamos ao modelo

ydx

ydT 2

2

2

ou (23)

02

2

2

ydx

ydT

Como a corda esta fixa em ambas as extremidades x = 0 e y = L esperamos que a soluccedilatildeo

y(x) da uacuteltima equaccedilatildeo em (23) tambeacutem satisfaccedila as condiccedilotildees de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0


125

AULA 23 - EXERCICIOS

Movimento Livre natildeo amortecido

1) Um peso de 4 lb eacute preso a uma mola cuja constante eacute 16 lbpeacutes Qual eacute o periacuteodo do

movimento harmocircnico simples

2) Um peso de 24 libras preso a uma das extremidades de uma mola distende-a em 4

polegadas Ache a equaccedilatildeo de movimento considerando que o peso seraacute solto do repouso

de um ponto 3 polegadas acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio

3) Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas Em t = 0 a massa eacute solta de um

ponto 8 polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de

peacutes Determine a

equaccedilatildeo do movimento livre

4) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas O peso eacute solto do repouso 6

polegadas abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio

a) Determine a posiccedilatildeo do peso em t = 32

9

4

6

8

12

b) Qual seraacute a velocidade do peso quanto t = 163 s Qual seraacute o sentido do

movimento do peso nesse instante

c) Em que instante o peso passa pela posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Movimento Livre Amortecido

5) Uma massa de 1 quilograma eacute presa a uma mola cuja constante eacute 16 Nm e todo o sistema eacute

entatildeo submerso em um liacutequido que oferece uma forccedila de amortecimento numericamente

igual a 10 vezes a velocidade instantacircnea Determine as equaccedilotildees do movimento

considerando que

a) o peso eacute solto do repouso 1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio

b) O peso eacute solto1 metro abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio a uma velocidade de 12 ms

para cima




para cima

7) Um peso de 10 libras eacute preso a uma mola distendendo-a em 2 peacutes O peso estaacute preso a uma

dispositivo de amortecimento que oferece uma resistecircncia igual a )0( vezes a

velocidade instantacircnea Determine os valores da constante de amortecimento de tal

forma que o movimento subsequumlente seja

a) superamortecido

b) criticamente amortecido

c) subamortecido

Movimento Forccedilado

8) Um peso de 16 libras distende uma mola em 83 peacute Inicialmente o peso parte do repouso 2

peacutes abaixo da posiccedilatildeo de equiliacutebrio O movimento subsequumlente em lugar em um meio que

oferece uma forccedila amortecedora numericamente igual a frac12 da velocidade instantacircnea Qual eacute

a equaccedilatildeo do movimento se o peso sofre a accedilatildeo de uma forccedila externa igual a f(t) = 10 cos

3t

9) Quando uma massa de 2 quilogramas eacute presa a uma mola cuja constante de elasticidade eacute 32

Nm ela chega ao repouso na posiccedilatildeo de equiliacutebrio A partir de t=0 uma forccedila igual a

f(t)=68e-2t

cos 4t eacute aplicada ao sistema Qual eacute a equaccedilatildeo de movimento na ausecircncia de

amortecimento


126

10) Uma massa de 10 kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 140Nm A massa eacute

colocada em movimento a partir da posiccedilatildeo de equiliacutebrio com uma velocidade inicial de

1ms para cima e com uma forccedila externa aplicada F(t)=5sent Determine o movimento

subsequente da massa considerando a forccedila da resistecircncia do ar igual a -90xrsquo N

11) Uma massa de 4kg estaacute suspensa por uma mola cuja constante eacute 64Nm O peso eacute colocado

em movimento sem velocidade inicial deslocando-o 05m acima da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e

aplicando-lhe simultaneamente uma forccedila externa F(t)=8sen4t Desprezando a resistecircncia do

ar determine o movimento subsequente do peso

12) Uma massa de 1 slug eacute presa a uma mola distendendo-a em 2 ft e entatildeo entrando em

equiliacutebrio Em um tempo t=0 uma forccedila igual a eacute aplicada ao sistema

Encontre a equaccedilatildeo do movimento se o meio oferece um amortecimento que eacute igual a 8

vezes a velocidade instantacircnea

Circuito em Seacuterie Anaacutelogo

13) Ache a carga no capacitor em um circuito em seacuterie LRC em t=001s quando L=005h R=2

C=001f E(t)=0V q0=5C e i(0)=0A Determine a primeira vez em que a carga sobre o

capacitor eacute igual a zero

14) Ache a carga no capacitor a corrente no circuito em seacuterie LRC e a carga maacutexima no

capacitor quandoL= 53h R=10 C=130f E(t)=300V q(0)=0C i(0)=0A

15) Determine a carga nocapacitor em um circuito em seacuterie LRC supondo L = frac12 h R=10 C

= 001f E(t) = 150V q(0)=1C e i(0) = 0A Qual eacute a carga no capacitor apoacutes um longo

periacuteodo

16) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem R = 180 ohms C = 1280 farad L = 20 henries e

uma tensatildeo aplicada E(t) = 10 sen t Admitindo que natildeo exista carga inicial no capacitor

mas exista uma corrente inicial de 1 ampegravere em t = 0 quando a tensatildeo eacute aplicada

inicialmente determine a carga subsequente no capacitor

17) Um circuito RCL conectado em seacuterie tem resistecircncia de 5 ohms capacitacircncia de

farad indutacircncia de 005 henry e uma fem alternada de 200 cos 100t volts Determine a

expressatildeo para a corrente que flui por esse circuito assumindo que a corrente e a carga

iniciadas no capacitor satildeo zero

Respostas

1) 8

π2

2) t64cos4

1)t(x

3)

4) a)4

1

12

πx

2

1

8

πx

4

1

6

πx

2

1

4

πx

4

2

32

π9x

b)4 peacutess para baixo

c)16

π)1n2(t

n= 0 1 2

5) a)t8t2 e

3

1e

3

4)t(x

b)t8t2 e

3

5e

3

2)t(x


127

6)

7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52

8) t3sent3cos3

10t

2

47sen

473

64t

2

47cos

3

4e)t(x 2

t

9) tsenetetsenttx tt 424cos2

14

4

94cos

2

1)( 22

10) )sin13cos99099(500

1 27 tteex xx

11) ttttx 4cos4

14sin

16

14cos50

12) (

)

13) 41078C 00509s

14) q(t)=10+10e-3t

(cos3t+sen3t)

i(t) = 60e-3t

sen3t 10432 C

15) C2

3

2

3)t10sent10(cose

2

1)t(q t10

16)

17) radic radic


128

AULA 24

10 SISTEMA DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS

101 SISTEMA CANOcircNICO E SISTEMA NORMAL

Define-se como sistema de equaccedilotildees diferenciais o conjunto de equaccedilotildees diferenciais com as

mesmas funccedilotildees incoacutegnitas e que se verificam para as mesmas soluccedilotildees

Neste item iremos estudar os sistemas de equaccedilotildees em que o nuacutemero de funccedilotildees incoacutegnitas

de uma mesma variaacutevel eacute igual ou nuacutemero de equaccedilotildees Neste caso o sistema eacute dito canocircnico

desde que possa ser posto na forma explicita em relaccedilatildeo agraves derivadas de maior ordem

O sistema eacute denominado normal quando pode ser resolvido em relaccedilatildeo as derivadas

primeira e pode ser escrito sob a forma abaixo

)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

Ou seja eacute o sistema canocircnico de equaccedilotildees de 1a ordem

A soluccedilatildeo geral deste sistema eacute um conjunto de n funccedilotildees y1(x) y2(x)yn(x) que conteacutem

p constantes arbitraacuterias (p n) e que verificam as equaccedilotildees A soluccedilatildeo particular eacute o conjunto de

funccedilotildees obtidas atribuindo-se valores particulares agraves constantes na soluccedilatildeo geral

Todo sistema canocircnico de equaccedilotildees de ordem superior pode ser transformado num sistema

normal quando lhe satildeo acrescentadas equaccedilotildees diferenciais com novas funccedilotildees incoacutegnitas que satildeo

as derivadas nele contidas excluiacutedas as de ordem mais elevada para cada funccedilatildeo incoacutegnita Por

razotildees de ordem praacutetica seratildeo estudados apenas os sistemas que contem no maacuteximo derivadas de

segunda ordem sem a demonstraccedilatildeo do processo de reduccedilatildeo de um sistema canocircnico de n equaccedilotildees

a um sistema normal

Os sistemas de equaccedilotildees diferenciais podem ser resolvidos tal como os sistemas de equaccedilotildees

algeacutebricas por processos de eliminaccedilatildeo Por isso eacute sempre conveniente escrever o sistema em

funccedilatildeo do operador derivado D

Exemplos

1)

senxxzdx

dy

senxxdx

dzy

cos

cos


129

2)

xzydx

dz

dx

yd

xdx

dz

dx

yd

22

3

2

2

2

2

2


130


1)

02

02

zdx

dz

dx

dy

zydx

dz

dx

dy

2)

x

x

ezydx

dz

dx

dy

ezydx

dz

dx

dy

2

5

32

4

3)

2

2

2

2

2

2

2

xzdx

zd

dx

dy

eydx

dz

dx

yd x

4)

03

42

zydx

dy

ezydx

dz

dx

dy x

5)

xzDyD

senxzDyD

cos)1()1(2

2)2(2)3(

Respostas

1)

x

x

eCeCy

eCeCz

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

ou

x

x

eCeCz

eCeCy

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

2)

xxx

xxx

eeeCy

eeeCz

252

5

1

252

5

1

25

2

5

3

3)

xexCsenxCeCeCy

xesenxCxCeCeCz

xxx

xxx

22

3cos2222

2

3

2

1

2

1cos

43

2

2

2

1

2

43

2

2

2

1

4)

x

x

esenxCCxCCz

esenxCxCy

2)3(cos)3(

2cos

2121

21

5)

senxxeCeCz

xsenxeCeCy

x

x

x

x

130

61cos

130

33

3

4

)cos8(65

1

5

23

1

5

23

1


131

AULA 25

102 SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS NA FORMA SIMEacuteTRICA

Dado o sistema

)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

este pode ser escrito na seguinte forma

n

n

F

dy

F

dy

F

dydx

1 2

2

1

1

Esta eacute chamada forma simeacutetrica na qual quaisquer das variaacuteveis pode ser tomada por

variaacutevel independente Considere-se por exemplo o sistema

)(

)(

2

1

zyxFdx

dz

zyxFdx

dy

(1)

que pode ser escrito da seguinte maneira

321 F

dz

F

dydx

ou generalizando

)()()( zyxR

dz

zyxP

dy

zyxM

dx (2)

Genericamente a soluccedilatildeo de (2) representa uma famiacutelia de curvas reversas dependente de

dois paracircmetros

Esse sistema pode ser resolvido por integraccedilotildees simples o que nem sempre ocorreraacute

Assim pode-se usar as funccedilotildees l(x y z) m(x y z) e n(x y z) como multiplicadores Para tanto faz-

se

nRmPlM

ndzmdyldx

R

dz

P

dy

M

dx

Escolhe-se l m e n tais que

lM + mP + nR = 0

o que faz com que

ldx + mdy + ndz = 0


132

Para dois conjuntos de valores de l m e n tirados da relaccedilatildeo (1) obteacutem-se duas equaccedilotildees

do tipo (2) que fornecem duas relaccedilotildees distintas entre as variaacuteveis x y e z as quais representam a

soluccedilatildeo do sistema

Exemplos

1)x

dz

x

dy

y

dx

2)zx

dz

yx

dy

zy

dx

2


133

3))()()( 222222 xyz

dz

zxy

dy

yzx

dx

OBS Observe-se que haacute uma infinidade de soluccedilotildees para lM + mP + nR = 0 Pelo criteacuterio

adotado chega-se aquelas convenientes


1) cybx

dz

axcz

dy

bzay

dx

2) )()2()2( 444444 yxz

dz

xzy

dy

zyx

dx

3) yx2

dz

x3z

dy

z2y3

dx

4) z

dz

x

dy

y

dx

5) yx

dz

x

dydx

221

Respostas

1) x2 + y

2 + z

2 = C1

cx + by + az = C2

2) x4 + y

4 +z

4 = C1

xyz2 = C2

3) x2 + y

2 + z

2= C1

x + 2y + 3z = C2

4) x2 ndash y

2 = C1

zC2 = y + x

5) y = x2 + C1

z = 3

2x

3 + xy ndash x

3 + C2


134

AULA 26

103 MATRIZES E SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES LINEARES DE PRIMEIRA

ORDEM

Seja o sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem

)t(fx)t(ax)t(ax)t(adt

dx


dx


dx

nnnm22n11nn

2nm22221212

1nm12121111

que pode ser escrito como

)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

x

x

x

dt

d

nm2n1n

m22221

m11211

n

2

1

ou ainda

)t(FX)t(Adt

dX

que eacute um sistema natildeo homogecircneo Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas

homogecircneos

X)t(Adt

dX


XAX

Supondo que a soluccedilatildeo para este sistema seja do tipo

tλeξX

temos

tλeξλX

substituindo no sistema obteacutem-se

0eξ)λA(

eξAeξλ

tλ

tλtλ


135

como 0e tλ temos que 0ξ)λA( que nada mais eacute do que um problema de autovalores

e autovetores

Exemplo 1

Em termos de matrizes o sistema natildeo homogecircneo

t10y3x4dt

dy

t2ey5x2dt

dx t

pode ser escrito como

t10

t2eX

34

52

dt

dX t

ou

t10

2e

0

1X

34

52X t

onde

y

xX

1031 VETOR SOLUCcedilAtildeO

Um vetor soluccedilatildeo em um intervalo I eacute qualquer matriz coluna

)t(x

)t(x

)t(x

X

n

2

1

cujos elementos satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis que verificam o sistema

)t(FX)t(Adt

dX

no intervalo

Exemplo 2

Verifique que

t2

t2t2

1e

ee

1

1X e

t6

t6t6

2e5

e3e

5

3X satildeo soluccedilotildees de

X35

31X

no intervalo )(

Soluccedilatildeo


136

Temos

t2

t21

e2

e2X

e

1t2

t2

t2t2

t2t2

t2

t2

1 Xe2

e2

e3e5

e3e

e

e

35

31AX

Agora

t5

t612

e30

e18X

e

12t6

t6

t6t6

t6t6

t6

t6

2 Xe30

e18

e15e15

e15e3

e5

e3

35

31AX

Grande parte da teoria dos sistemas de n equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira

ordem eacute anaacuteloga a teoria das equaccedilotildees diferenciais lineares de ordem n

1032 O PROBLEMA DE VALORES INICIAIS

Denotemos por 0t um ponto em um intervalo I e

)t(x

)t(x

)t(x

)t(X

0n

02

01

0

e

n

2

1

0

γ

γ

γ

X

onde os n21iγi satildeo constantes dadas Entatildeo o problema

00 X)X(tasujeito

)t(FX)t(Adt

dXResolver

eacute um problema de valor inicial no intervalo

10321 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo

Suponhamos que os elementos das Matrizes A(t) e F(t) sejam funccedilotildees contiacutenuas em

um intervalo comum I que contenha o ponto 0t Entatildeo existe uma soluccedilatildeo uacutenica do problema

de valor inicialno intervalo

1033 SISTEMAS HOMOGEcircNEOS

Estamos interessados apenas nos sistemas homogecircneos Admitiremos sempre (sem

mencionar explicitamente) que os ija e as if sejam funccedilotildees contiacutenuas de t em um intervalo

comum I


137

10331 Princiacutepio da Superposiccedilatildeo

Seja k21 XXX um conjunto de vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo

X)t(Adt

dX

em um intervalo I Entatildeo a combinaccedilatildeo linear

kk2211 XcXcXcX

onde os k21ici satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo

Decorre tambeacutem do Princiacutepio da Superposiccedilatildeo que um muacuteltiplo constante de qualquer

vetor soluccedilatildeo de um sistema de equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas de primeira ordem

eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo

Exemplo 3

Uma soluccedilatildeo do sistema X

102

011

101

X

eacute

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X1

Para qualquer constante c1 o vetor 11XcX eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo pois

tcoscsentc

tcosc2

1sentc

2

1

sentc

dt

dX

11

11

1

e

tcoscsentc

sentc2

1tcosc

2

1

sentc

sentctcosc

sentc2

1tcosc

2

1

tcosc

102

011

101

AX

11

11

1

11

11

1

As matrizes resultantes mostram que XAX

Exemplo 4

Consideremos o sistema X

102

011

101

X

Se

0

e

0

X t2 entatildeo

0

e

0

X t2 e

2tt

2 X

0

e

0

0

e

0

102

011

101

AX

Vemos assim que X2 eacute tambeacutem um vetor soluccedilatildeo do sistema E pelo principio da

superposiccedilatildeo a combinaccedilatildeo linear


138

0

e

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcX t212211

eacute ainda outra soluccedilatildeo do sistema

1034 INDEPENDEcircNCIA LINEAR


X)t(Adt

dX em um intervalo I Dizemos que o conjunto eacute linearmente dependente no

intervalo se existem constantes ccc k21 natildeo simultaneamente nulas tais que

0XcXcXc kk2211

para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores natildeo eacute linearmente dependente no intervalo

dizemos que eacute linearmente independente

O caso k = 2 eacute oacutebvio dois vetores X1 e X2 satildeo linearmente dependentes se um eacute muacuteltiplo

constante do outro e reciprocamente Para k gt 2 um conjunto de vetores soluccedilatildeo eacute

linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um deles como uma cominaccedilatildeo

linear dos vetores restantes

10341 Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente Independentes

Sejam

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X

n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt

dX em um intervalo I Uma condiccedilatildeo

necessaacuteria e suficiente para que o conjunto de soluccedilotildees seja linearmente independente eacute que o

wronskiano

0

xxx

xxx

xxx

)XXX(W

nn2n1n

n22221

n11211

n21


139

Exemplo 5

No exemplo 2 vimos que t2

1 e1

1X

e

t62 e

5

3X

satildeo soluccedilotildees do sistema

X35

31X

Obviamente X1 e X2 satildeo linearmente independentes em )( uma vez

que nenhum dos vetores eacute muacuteltiplo constante do outro Alem disso temos

0e8e5e

e3e)XX(W t4

t6t2

t6t2

21

para todo t real

Exemplo 6

Pelo exemplo 5 sabemos que t2

1 e1

1X

e

t62 e

5

3X

satildeo soluccedilotildees

linearmente independentes de X35

31X

em )( Logo X1 e X2constituem um

conjunto fundamental de soluccedilotildees no intervalo A soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute

entatildeo

t6

2t2

12211c e5

3ce

1

1cXcXcX

1035 CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCcedilAtildeO

Qualquer conjunto n21 XXX de n vetores soluccedilatildeo linearmente independentes

do sistema homogecircneo X)t(Adt

dX em um intervalo I eacute chamado um conjunto

fundamental de soluccedilotildees no intervalo

10351 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Homogecircneos

Seja n21 XXX um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema homogecircneo

X)t(Adt

dX em um intervalo I Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo como

nn2211 XcXcXcX

onde os n21ici satildeo constantes arbitraacuterias


140

Exemplo 7

Os vetores

tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

Xe

0

1

0

X

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X 3t

21 satildeo

do sistema X

102

011

101

X

no exemplo 3 Agora

0etcossentsenttcos

senttcose

tcossent0senttcos

tcos2

1sent

2

1esent

2

1tcos

2

1sent0tcos

)XXX(W ttt321

para todo t real Concluiacutemos que 21 XX e 3X constituem um conjunto fundamental de

soluccedilotildees em )( Assim a soluccedilatildeo geral do sistema no intervalo eacute

tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

ce

0

1

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcXcX 3t

21332211

1036 SISTEMAS NAtildeO HOMOGEcircNEOS

Para sistemas natildeo homogecircneos uma soluccedilatildeo particular Xp em um intervalo I eacute

qualquer vetor sem paracircmetros arbitraacuterios cujo elementos satildeo funccedilotildees que satisfazem o

sistema )t(FX)t(Adt

dX


X)t(Adt

dX em um intervalo I e seja pX um vetor arbitraacuterio soluccedilatildeo do sistema natildeo

homogecircneo no intervalo para quaisquer constantes k21 ccc

10361 Soluccedilatildeo Geral - Sistemas Natildeo-Homogecircneos

Seja pX uma soluccedilatildeo dada do sistema natildeo homogecircneo )t(FX)t(Adt

dX em um

intervalo I e denotemos por

nn2211c XcXcXcX


141

a soluccedilatildeo geral no mesmo intervalo do sistema homogecircneo X)t(Adt

dX correspondente

Define-se a soluccedilatildeo geral do sistema natildeo-homogecircneo no intervalo como

pc XXX

A soluccedilatildeo geral cX do sistema homogecircneo X)t(Adt

dX eacute chamada funccedilatildeo

complementar do sistema natildeo-homogecircneo )t(FX)t(Adt

dX

Exemplo 8

Verifique que o vetor

6t5

4t3X p eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-

homogecircneo

3

11t12X

35

31X no intervalo )(

Soluccedilatildeo

Temos

5

3X

p e

3

11t12

6t5

4t3

35

31

3

11t12X

35

31p

pX

5

3

3

11t12

2

14t12

3

11t12

)6t5(3)4t3(5

)6t5(3)4t3(

Exemplo 9

Pelo exemplo 8 verificamos que uma soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo

3

11t12X

35

31X em )( eacute

6t5

4t3X p

No exemplo 6 vimos que a funccedilatildeo complementar do sistema no mesmo intervalo ou a

soluccedilatildeo geral de X35

31X

eacute

t62

t21c e

5

3ce

1

1cX

Logo pela definiccedilatildeo dada

65

43

5

3

1

1 62

21

t

tececXXX tt

pc eacute

soluccedilatildeo geral de

3

11t12X

35

31X em )(


142

Como era de se esperar se X eacute uma soluccedilatildeo qualquer do sistema natildeo-homogecircneo

)t(FX)t(Adt

dX em um intervalo I entatildeo eacute sempre possiacutevel achar constantes apropriadas

c1 c2 cn tais que X possa ser obtida da soluccedilatildeo geral

1037 UMA MATRIZ FUNDAMENTAL

Seja

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X

um conjunto fundamental de n vetores soluccedilatildeo do sistema homogecircneo X)t(Adt

dX em um

intervalo I

A matriz

nn2n1n

n22221

n11211

xxx

xxx

xxx

)t(

eacute chamada de matriz fundamental do

sistema no intervalo

Exemplo 10

Jaacute mostramos que os vetores

t

t

t

e

eeX

2

2

2

11

1 e

t

t

t

e

eeX

6

6

6

25

3

5

3constituem

um conjunto fundamental de soluccedilotildees do sistema XX

35

31 em )(

tt

tt

ee

eet

62

62

5

3)(

eacute entatildeo uma matriz fundamental do sistema no intervalo

Exemplo 12

A soluccedilatildeo geral tt

c ececXcXcX 62

212211

5

3

1

1

dada no exemplo 6

pode ser escrita como

2

1

t6t2

t6t2

c

c

e5e

e3eX

Aleacutem disso dizer que C)t(X eacute uma soluccedilatildeo de X)t(AX significa que

C)t()t(AC)t( ou 0C))t()t(A)t((

Como a uacuteltima equaccedilatildeo deve-se verificar para todo t no intervalo I e para toda matriz

coluna possiacutevel de constantes C devemos ter


143

)t()t(A)t(

0)t()t(A)t(

10371 Uma Matriz Fundamental eacute Natildeo-Singular

A independecircncia linear das colunas )t( em um intervalo I garante que

0)t(det para todo t no intervalo isto eacute )t( eacute natildeo-singular no intervalo

Uma Matriz Fundamental tem uma Inversa Seja )t( uma matriz fundamental do

sistema homogecircneo XtAdt

dX)( em um intervalo I Entatildeo )t(1 existe para todo valor de

t no intervalo

Exemplo 13

Para a matriz fundamental dada

tt

tt

ee

eet

62

62

5

3)( no exemplo 10 notamos que

tet 48)(det Decorre entatildeo de

1121

1222

1112

21221

det

1

det

1

aa

aa

aa

aa

AA

T

que

tt

tt

tt

tt

t

ee

ee

ee

ee

et

66

22

22

66

4

1

8

1

8

18

3

8

535

8

1)(

10372 Matriz Especial

Em algumas instacircncias eacute conveniente formar outra matriz especial n x n numa matriz

em que os vetores coluna Visejam soluccedilotildees de Xrsquo= A(t)X que satisfaccedilam as condiccedilotildees

1

0

0

0

1

0

0

0

1

00201

tVtVtV n

Aqui 0t eacute um ponto escolhido arbitrariamente no intervalo em que a soluccedilatildeo geral do

sistema eacute definida Denotamos essa matriz especial com o siacutembolo t Observamos que

t apresenta a propriedade


144

1000

0100

0010

0001

00

t

onde eacute a identidade multiplicativa n x n

Exemplo 14

Determine a matriz t que satisfaz 0 para o sistema dado XX

35

31

Soluccedilatildeo

Por tt ececXcXcX 6

22

122115

3

1

1

sabemos que a soluccedilatildeo geral do

sistema acima eacute dada por tt ececX 6

22

15

3

1

1

Quando t = 0 comeccedilamos resolvendo em relaccedilatildeo a constantes c1e c2tais que

0

1

5

3

1

121 cc ou

05

13

21

21

cc

cc

Obtemos 8

51 c e

81

2 c Definimos pois o vetor V1como combinaccedilatildeo linear

tt eeV 621

5

3

8

1

1

1

8

5

Novamente quanto t=0 desejamos achar outro par de constantes 1c e 2c para as quais

1

0

5

3

1

121 cc ou

15

03

21

21

cc

cc

Neste caso obtemos 8

31 c e

81

2 c Definimos entatildeo

tt eeV 622

5

3

8

1

1

1

8

3

Dai


145

tttt

tttt

eeee

eeeet

6262

6262

8

5

8

3

8

5

8

58

3

8

3

8

3

8

5

)(

Observe que

10

01)0(

Neste exemplo notamos que como as colunas de )(t satildeo combinaccedilotildees lineares das

soluccedilotildees de XtAX )( sabemos pelo principio da superposiccedilatildeo que cada coluna eacute uma


10373 t eacute uma Matriz Fundamental

Por

1000

0100

0010

0001

00

t

vemos que 0det 0 t e assim concluiacutemos que pelo Criteacuterio para Soluccedilotildees Linearmente

Independentes que as colunas de )(t satildeo linearmente independentes no intervalo

considerado Portanto )(t eacute uma matriz fundamental Decorre outrossim do Teorema da

Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo que )(t eacute a uacutenica matriz que satisfaz a condiccedilatildeo 0t

Por 0

1 ttt

AULA 26 - Exerciacutecios

Nos problemas 1-3 escreva em forma matricial o sistema dado

1)

y8x4dt

dy

y5x3dt

dx

2)

z3y4x10dt

dz

yx6dt

dy

z9y4x3dt

dx


146

3)

2ttzyxdt

dz

t3zyx2dt

dy

1tzyxdt

dx

2

2

Nos problemas 4 e 5 escreva o sistema dado sem utilizar matrizes

4) te

1

1X

31

24X

5) t

1

1

3

e

2

2

1

z

y

x

652

143

211

z

y

x

dt

d t

Nos problemas 6-8 verifique que o vetor X eacute uma soluccedilatildeo do sistema dado

6)

y7x4dt

dy

y4x3dt

dx

t5e

2

1X

7) 2t3

e2

1XX

114

11

X

8)

13

6

1

121

016

121

XXdt

dX

Nos problemas 9 e 10 os vetores dados satildeo soluccedilotildees de um sistema AXX

Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em )(

9) t6

2t2

1 e1

1Xe

1

1X

10)

4

4

2

t

12

6

3

X

4

2

1

X

2

2

1

t

4

2

1

X 321


147

Nos problemas 11 e 12 verifique que o vetor Xp eacute uma soluccedilatildeo particular do sistema

dado

11)

18423

724

tyxdt

dy

tyxdt

dx

1

5

1

2tX

p

12) tt

p

t teeXeXX

1

1

1

1

7

1

43

12

13) Prove que a soluccedilatildeo geral de XX

011

101

060

` no intervalo )( eacute

t33

t22

t1 e

1

1

2

ce

1

1

3

ce

5

1

6

cX

Nos problemas 14 e 15 os vetores coluna indicados formam um conjunto fundamental

de soluccedilotildees em )( para o sistema dado Forme uma matriz fundamental t e calcule

t1

14) t7

2t2

1 e3

1Xe

2

1XX

56

14X

15) tt

2t

1 e1

0te

3

1Xe

3

1XX

29

14X

16) Ache a matriz fundamental t que satisfaz 0 para o sistema dado no problema

14


15


148

Respostas

1) 84

53 XX

onde

y

xX

2)

3410

016

943

XX

onde

z

y

x

X

3)

2

0

1

03

0

111

112

111

2

2

t

t

t

tXX onde

z

y

x

X

4)

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx

3

24

5)

tezyxdt

dz

tezyxdt

dy

tezyxdt

dx

t

t

t

2652

243

32

6) Eacute soluccedilatildeo



9) Sim

10) Natildeo



13) Demonstraccedilatildeo pessoal

14)

tt

tt

t

tt

tt

ee

ee

et

ee

eet

22

77

9

1

72

72

2

3

5

1)(

32


149

15)

tt

ttt

t

ttt

tt

ee

teete

et

eee

teet

3

31

33

2

1

16)

tttt

tttt

eeee

eeeet

7272

7272

5

3

5

2

5

6

5

65

1

5

1

5

2

5

3

17)

ttt

tt

etete

tetet

39

3


150

AULA 27

104 SISTEMAS LINEARES HOMOGEcircNEOS

Primeiramente trabalharemos a soluccedilatildeo para sistemas homogecircneos

X)t(Adt

dX


XAX


tekX

temos

tekX


0)(

t

tt

ekA

ekAek

como 0e tλ temos que 0)( kA que nada mais eacute do que um problema de autovalores

e autovetores

Existem trecircs casos a serem tratados

1041 AUTOVALORES REAIS E DISTINTOS

Sejam n 21 n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do

sistema Xrsquo = AX e seja k1 k2 hellip knos autovetores correspondentes Entatildeo a soluccedilatildeo geral do

sistema no intervalo )( eacute dada por

t

nn

t

b

t

anekcekcekcX

21

21


151

Exemplo Resolva o Sistema

yxy

yxx

2

32

Soluccedilatildeo

Precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes

012

32

0)det(

IA

41

043

0622

0)1)(2(

21

2

2

e

Para 11 temos

0

0

22

33

0

0

)1(12

3)1(2

0)(

b

a

b

a

K

K

K

K

KIA

1

1

1

022

033

1K

eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo

KKKK

KK

b

ba

ba

ba

Para 42 temos

0

0

2

32

0

0

412

342

b

a

b

a

K

K

K

K

2

3

2

2

3

032

032

2K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba

Como a matriz A de coeficientes eacute uma matriz 2x2 e noacutes achamos duas soluccedilotildees t

ii eKx temos

tt eXeX 4

212

3

1

1

Com isso temos que a soluccedilatildeo do sistema eacute

tt

tt

tt

eCeCy

eCeCx

eCeCy

x

XCXCX

4

21

4

21

4

21

2211

2

3

2

3

1

1


152

1042 AUTOVALORES COMPLEXOS

Seja A a matriz dos coeficientes com elementos reais do sistema Xrsquo=AX e sejam k1

o autovetor correspondente ao autovalor complexo i1 com e reais Entatildeo

t

ekX 1

11

e t

ekX 1

12

Satildeo soluccedilotildees do sistema Onde

tetktkX sinImcosRe111

atetktkX sinRecosIm112

Exemplo

Resolva o sistema

yxdt

dy

yxdt

dx

45

6

Soluccedilatildeo

045

16

0)det(

IA

2

525

2

410

2

11610010

02910

054624

05)4)(6(

2

2

i

i

Para i25 temos

ab

ba

b

a

b

a

KiK

KKi

K

K

i

i

K

K

i

i

KIA

)21(

0)21(

0

0

)21(5

121

0

0

)25(45

1)25(6

0)(


153

iKi

K

eacuteentecorrespondautovetoroKfazendo a

2

0

1

1

21

1

1

11

tt

tt

tt

tt

t

t

etsentCetsentCy

etsenCetCx

etsent

tsenCe

tsent

tCX

etsentCetsentCX

XCXCX

etsentX

etsentX

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

2221

5

2

5

1

)22cos2()222(cos

)2()2cos(

22cos2

2

222cos

2cos

21

12cos

2

02

2

02cos

1

1

21

12cos

2

0

22

02cos

1

1

1043 AUTOVALORES DE MULTIPLICIDADE DOIS

Na resoluccedilatildeo de um sistema quando os autovalores tem multiplicidade dois deve-se

verificar se o autovalor gera um conjunto (base) de dois autovetores se isso natildeo ocorrer

deve-se obter as soluccedilotildees restantes da seguinte maneira

t

ekX 1

11

tt

ektekX 21

212

onde k2 deve ser determinado No caso de autovalores de multiplicidade m tem-se m soluccedilotildees

para o sistema

t

m

tm

tm

mmeke

m

tke

m

tkX

21

)2()1(

2

2

1

1

onde k2 k3 hellip km devem ser determinados

Supondo agora que 1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que haja apenas um

autovetor associado a esse valor Pode-se achar a uma soluccedilatildeo da forma tt

PeKteX 11

2

()

Onde


154

nk

k

k

K2

1

e

np

p

p

P

2

1

Substituindo () no sistema AXX e simplificando tem-se

0)()( 11

11 tt

eKPAPteKAK

Como essa equaccedilatildeo deve ser vaacutelida para todos os valores de t devemos ter

KPIA

KIA

)(

0)(

1

1

Exemplos

1) Resolva o sistema

zyxz

zyxy

zyxx

22

22

22

0

122

212

221

51

Re

0593

0593

012121733

0)1(1216133

0)1(4)1(4)1(488)1(

321

23

23

23

23

3

e

temosRufiniBriottporsolvendo

Para 11 temos

21

0|222

0|222

0|222 1

L

31

21

)2(

2

0|222

0|222

0|111

LL

LL

0|000

0|000

0|111

cba

cba

KKK

KKK

0 fazendo bK = 1 e 0cK temos

0

1

1

1K


155

Mas fazendo bK =1 e 1cK temos um segundo vetor

1

1

0

2K

Como nenhum dos autovetores eacute muacuteltiplo constante do outro obtivemos duas soluccedilotildees

LI correspondentes ao mesmo autovalor

teX

0

1

1

1 e teX

1

1

0

2

Para 53 temos

31

21

21

)2

1(

0|422

0|242

0|224

LL

LL

32

12

)1(3

2

0|330

0|330

0|224

LL

LL

)1(

)4(

0|000

0|330

0|404

2

1

L

L

0

0

cb

ca

KK

KK

cb

ca

KK

KK

fazendo cK = 1 temos

1

1

1

3K

ttt eCeCeCX 5

321

1

1

1

1

1

0

0

1

1


yxy

yxx

92

183

092

183

3

Re

096

0369327

036)9)(3(

21

2

2

temosequaccedilatildeoasolvendo


156

Para 321 temos

ba

ba

ba

b

aKK

KK

KK

K

K3

062

0186

0

0

62

186

fazendo 1bK temos

1

31K

Para esse valor obtemos um uacutenico vetor teX 3

1 1

3

2

1

1

3

p

pPK

IPSLL

L

L

p

p

KPIA

KPIA

0002

131

2131

2131

2

6

162

3186

1

3

62

186

3

21

2

1

2

1

1

21

21

32

1

2

13

pp

pp

fazendo

02

10

2

121 Ppp

ttt

tt

eetCeCX

eetX

33

2

3

1

33

2

02

1

1

3

1

3

02

1

1

3


157

AULA 27 ndash Exerciacutecios

1) Resolva

z3ydt

dz

zy5xdt

dy

zyx4dt

dx

2) Resolver X21

82acuteX

3) Resolver X1

2

121

acuteX


yxy

yxx

3

4

5)

yxdt

dy

yxdt

dx

34

2

6)

yxdt

dy

yxdt

dx

22

5

24

7)

yxdt

dy

yxdt

dx

25

6

8)

yxdt

dy

yxdt

dx

32

5

9)

yxdt

dy

yxdt

dx

39

3

10)

yxdt

dy

yxdt

dx

53

3

Respostas

1) t53

t42

t31 e

1

8

1

ce

1

1

10

ce

1

0

1

cX

2)

t2sen

t2sen2t2cos2c

t2cos

t2sen2t2cos2cX 21

3) t

2t

1 etcos

sent2ce

sent

tcos2cX

4)

ttt etececX

1

1

1

2

1

221

5) tt ececX

1

1

2

12

5

1

6) tt ececX

5

2

1

22

3

1

7) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin2

sin

sincos2

cos

8) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin

sin

sincos

cos

9)

414

1

3

1

3

121 tccX

10)

ttt etececX 22

2

2

10

31

1

1

1

1


158

AULA 28


1051 COEFICIENTES INDETERMINADOS

O meacutetodo dos coeficientes indeterminados pode ser adaptado agrave resoluccedilatildeo de um

sistema linear natildeo homogecircneo )()( tFXtAdt

dX Da mesma forma resolve-se o sistema

homogecircneo associado e depois estipula-se uma soluccedilatildeo particular para o sistema onde satildeo

determinados os coeficientes desconhecidos

Exemplos


41034

66

tyxy

tyxx

Primeiramente vamos resolver o sistema homogecircneo associado

XX

XAX

34

16

Encontrar os autovalores

034

16

0)det(

IA

72

0149

043618

0)3)(6(

21

2

2

e

Encontrar os autovetores associados

Para 71 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

44

11 fazendo 1bK temos

1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

4

1

04

0

0

14

14

fazendo 4bK temos

4

12K

Soluccedilatildeo do sistema homogecircneo associado

tt

tt

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

2

7

1

2211

2211

4

1

1

1

21


159

Soluccedilatildeo Particular pX

c

aX

dct

batX

t

ttf

p

p

410

6)(

Substituindo no sistema )( tfAXX pp

cdbtca

adbtca

t

t

t

t

dctbat

dctbat

c

a

t

t

dct

bat

b

a

34)34(

6)6(

104

6

410

6

3344

66

410

6

34

16

7

107

242

7

4

62814

234

6318

6434

26

434

06

6

1262

662814

1034

18318

1034

66

d

db

bdb

db

db

db

db

cdb

adb

c

ca

aca

ca

ca

ca

ca

Logo

7

106

7

42

t

tX p

Soluccedilatildeo Geral

7

106

7

42

4

1

2

12

2

7

1

2221

t

teCeCX

XXCXCX

tt

p


160


5

3

yxy

yxx

XX

11

11


011

11

0)det(

IA

20

0)2(

0121

01)1(

21

2

2

e


Para 01 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

12K


t

tt

tt

eCCX

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

21

2

2

0

1

2211

2211

1

1

1

1

1

1

1

1

21


c

aX

dct

batX

tf

p

p

5

3)(



161

5

3

)(

)(

5

3

11

11

dbtca

dbtca

c

a

dct

bat

b

a

ca

ca

0 fazendo 11 ca

4

1

3

db

adb

adb

4

51

5

db

db

cdb

Fazendo 04 db

t

tX p

4

Logo

t

teCCX t 4

1

1

1

1 221

Obs Uma soluccedilatildeo particular pode natildeo ser uacutenica

1052 VARIACcedilAtildeO DE PARAcircMETROS

A soluccedilatildeo de sistemas pelo meacutetodo dos coeficientes indeterminados limita-se a

funccedilotildees polinomiais exponenciais seno cosseno e combinaccedilotildees destas Um meacutetodo mais

poderoso para resolver o sistema natildeo-homogecircneo eacute o meacutetodo da variaccedilatildeo de paracircmetros que

pode resolver o sistema para qualquer funccedilatildeo

A soluccedilatildeo geral para o sistema Xrsquo = AX pode ser escrita na forma

CtX )(

onde )(t eacute a matriz fundamental e C eacute um vetor coluna 1n de constantes

Suponha que exista um vetor de funccedilotildees )(tU de modo que

)()( tUtX p

seja uma soluccedilatildeo particular para o sistema

)()( tFXtAdt

dX

entatildeo

)()()()()()()()( tFtUttAtUttUt


162

sabemos que )()( tAt logo

)()()()()()()()( TFtUttAtUtAtUt

)()()( tFtUt

)()()()()( 11 tFttUtt

)()()( 1 tFttU

dttFttU )()()( 1

entatildeo

dttFttX p )()()( 1

eacute a soluccedilatildeo particular do sistema natildeo-homogecircneo

Exemplo

Resolva o sistema

teyxy

tyxx

42

33

Vamos resolver o sistema homogecircneo associado

XX

42

13


043

13

0)det(

IA

25

0107

024312

21

2

2

e


Para 51 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

2

1

02

0

0

12

12

fazendo 2bK temos

2

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

22


1

12K


2

1

25

25

2

2

5

1

2211

2211

21

1

2

1

21

C

C

ee

eeeCeCX

eKCeKCX

XCXCX

lfundamentamatriz

tt

tt

tt

tt


163

Precisamos encontrar )(1 t

tt

tt

ee

ee25

25

2

212

10

01 LL

t

tt

e

ee2

25

30

12

312

01

LL

t

t

e

e2

5

30

0

2

2

1

5

2

112

31

31

Le

Le

t

t

10

01

tt

tt

ee

ee

22

55

3

1

3

23

1

3

1

Logo

tt

tt

ee

ee

22

55

1

3

1

3

23

1

3

1

tt

tt

tt

tt

ete

ete

e

t

ee

eetft

2

45

2

55

1

6

3

3

13

23

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

eete

eetedt

ete

etedttft

22

455

2

45

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

6

3

3

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

p

eete

eete

ee

eedttfttX

22

455

25

25

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

2)()()(

t

t

p

t

t

p

tt

tt

p

et

etX

et

etX

eetet

etetX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

2

3

50

63

5

24

3

50

81

5

18

3

1

2

3

2

1

25

6

5

62

33

4

1

25

3

5

3

3

1

Soluccedilatildeo

t

t

tt

et

eteCeCX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

1

1

2

12

2

5

1


164


Resolva os seguintes sistemas de equaccedilatildeo diferenciais utilizando variaccedilatildeo dos paracircmetros

1)

122

433

yxdt

dy

yxdt

dx

2)

2

2

4

3

53

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx

Resolva os seguintes sistemas de equaccedilotildees diferenciais utilizando o meacutetodo dos coeficientes

indeterminados

3)

52

732

yxdt

dy

yxdt

dx

4)

53

23 2

tyxdt

dy

tyxdt

dx

Respostas

1)

10

15

11

11

2

3

1

121 teccX t

2) 2223

22

1

49

215

413

213

3

10

1

2 tttt

eteececX

3)

3

1

1

3

1

121

tt ececX

4)

43

2

414

1

43

41

1

1

1

1 242

21 ttececX tt


165

AULA 29

11 RESOLUCcedilAtildeO POR SEacuteRIES DE POTEcircNCIA

1) Resolver a equaccedilatildeo 02 yy

xCey 2

2

02

Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuteries de potecircncia

44

0

33

2210 xCxCxCxCCxCy

n

nn

1

1

34

2321

432

n

nnxnCy

xCxCxCCy

Substituindo na equaccedilatildeo 02 yy

021

1

n

nn

n

nn xnCxnC

Trocando

1

1

01

1

Nn

Nn

n

n

II

NN

NN

I

n

nn xCNxnC

011

)1(

1

1 )1( Temos que verificar se I = II

0

2321)1(

2321

1

1

32)1(

32

N

NN

n

nn

xCxCCxCNII

xCxCCxnCI

Satildeo iguais

Voltando


166

0)1(

2

02)1(

02)1(

02)1(

1

1

0

1

01

1

nn

CC

CCn

xCCn

xCxCn

nn

nn

n

nnn

n

nn

n

nn

Para

234

)2(

234

)2(2

4

23

23

)2(

23

)2(2

3

22

2

)2(

2

)2(2

2

21

21

20

04

03

34

03

02

23

02

012

00

1

CCCCn

CCCCn

CCCCn

CC

Cn

Foacutermula da recorrecircncia

1

)2( 0

nn

CC

n

n

Entatildeo

0

44

33

2210

n

nn xCxCxCxCCxCy C

0

0

1

0

443322

0

30

320

20

0

)2(

)2(1

4

2

3

2

2

2

1

21

3

)2(

2

)2(

1

2

n

nn

n

nn

n

xC

n

xC

xxxxC

xCxCxCC

Como

3

)2(

2

)2(21

321

322

32

xxxe

xxxe

x

x

Logo

xeCy 2

0


167

2) Resolver a equaccedilatildeo 02

2

ydx

yd

i

1

01

2

2

senxCxCy 21 cos

Resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo por seacuterie de potecircncia

2

2

1

1

0

)1(

n

nn

n

nn

n

nn

xCnny

xnCy

xCy

2

2

2

Nn

Nn

n

24

132

0

)2(

22

)2(

2

2

34232

)1)(2()1)(2()1(

xCxCC

xCNNxCNNxCnnyN

NN

N

NN

n

nn

Que fica igual a

24

132

2

2 34232)1( xCxCCxCnnyn

nn

Logo substituindo

2

2)1(n

nnxCnny na equaccedilatildeo temos

0)1)(2(02

)2(

n

nn

n

nn xCxCnn

0)1)(2(2

)2(

n

n

nn xCCnn

0)1)(2( )2( nn CCnn

0)1)(2(

)2(

n

nn

CC n

n

para 12

0 02

CCn

para 23

1 13

CCn

para 412

)(

34

1

342 002

4

CCCCn


168

para 523

)(

45

1

453 113

5

CCCCn

para 6456

1

564 004

6

CCCCn

para 7567

1

675 115

7

CCCCn

765432

17

06

15

04

13

02

CC

CC

CC

CC

CC

CC

Foacutermula da Recorrecircncia

1)12(

)1(1

)2(

)1( 1)12(

02

k

k

CCk

k

CC

k

k

k

k

Voltando

0n

nnxCy

5

53

314

42

20 xCxCxCxCxCCy

senxCxCy

k

xC

k

xCy

xxxxC

xxxCy

n

kk

n

kk

n

10

0

12

1

0

2

0

753

1

642

0

0

cos

)12(

)1(

)2(

)1(

7536421


169

REFEREcircNCIAS

ABUNAHMANSERGIO A Equaccedilotildees Diferenciais LTC 1994

BOYCE WE DIPRIMA RC Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores

de contorno LTC 1989

BRONSON R COSTA G Equaccedilotildees Diferenciais 3a ed Coleccedilatildeo Schaum 2008

KREYSZIG Erwin Advanced Engineering MathematicsLTC 1999

ZILL DG Equaccedilotildees Diferenciais com Aplicaccedilotildees em ModelagemThomson Learning 2003

ZILL DG GULLEN MREquaccedilotildees Diferenciais Vol 1 e Vol 2 Pearson 2006


2

Conteuacutedo

AULA 1 6

AULA 2 8

11 INTRODUCcedilAtildeO 8

12 DEFINICcedilAtildeO 9

13 CLASSIFICACcedilAtildeO 9

131 Tipo 9

132 Ordem 9

133 Grau 9

134 Linearidade 10

14 ORIGEM DAS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 10

AULA 3 12

2 RESOLUCcedilAtildeO 13

21 CURVAS INTEGRAIS 13

22 SOLUCcedilAtildeO 13

23 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) 14

24 TEOREMA DA EXISTEcircNCIA DE UMA UacuteNICA SOLUCcedilAtildeO 15

25 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS AUTOcircNOMAS 16

3 EQUACcedilOtildeES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 18

31 EQUACcedilOtildeES DE VARIAacuteVEIS SEPARAacuteVEIS 18

311 Resoluccedilatildeo 18

AULA 4 22

32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 22

321 Funccedilatildeo Homogecircnea 22

322 Equaccedilatildeo Homogecircnas 22 3221 Resoluccedilatildeo 23

AULA 5 26

33 EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AgraveS HOMOGEcircNEAS E EQUACcedilOtildeES REDUTIacuteVEIS AS DE VARIAacuteVEIS SEPARADAS 26


11

ba

ba eacute diferente de zero 26


11

ba

ba eacute igual a zero 28

AULA 6 31

34 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS EXATAS 31

AULA 7 34


AULA 8 37


3




AULA 9 42



AULA 10 45


AULA 11 48






AULA 12 52


AULA 13 54



AULA 14 58


AULA 15 60




63 MEIA VIDA 63



66 RESFRIAMENTO 66

67 MISTURAS 68







AULA 16 87


AULA 17 89



4




AULA 18 94


AULA 19 97



AULA 20 100


AULA 21 103


AULA 22 109


AULA 23 111









AULA 24 128



AULA 25 131


AULA 26 134



5









AULA 27 150





AULA 28 158




AULA 29 165



6

AULA 1



1) dxx )13( R Cxx

2

3 2

2) dxx

x

4= R Cxx 48

3

2

3)

dxx

x2

2 )1( R C

xx

1

4)

21 x

dx R Carcsenx

5)

dxx

x21

R Cx 21ln2

1

6) )1( 2xx

dx R C

x

x

1ln

2

12

2

7)

21 x

dx R Cx arctan

8) 42x

dx R C

x

x

2

2ln

4

1

9) x

dx

3 R C

x

3

1ln

10)

dxx

x3

21 R Cx

x ln

2

12

11)

dxx

x3

2 )1( R Cx

x ln

2

12

12) dxx

x

tan

sec2

R Cx tanln

13)

dx

ax

ax22

22

R Cax

axax

ln


7

14)

dx

ax

ax22

22

R Ca

xax arctan2


9

1 3

16)

dx

xx

x

12

12

R Cxx 12ln2

1 2

17)

dx

xx

xx32

2

31

2 R Cxx 13ln

3

1 23

18)

dx

x

x21

1 R Cxx arctan1ln

2

1 2

19)

22 31231

3

xx

xdx R Cx 231ln 2

20)

dx

x

x

35

13 R Cxx 35ln

25

4

5

3

21)

dx

xx

x

145

152


1 2

22)

dx

x

x

10

12 R Cxx 10ln212

23) dxxe x )2(1

ln

R Cxx 2ln

24)

dxx

xe x

2

arctan

1



x

2

sin 2

26) dxxe x )2( 32

R Cex x 2

)1( 2

27)

dxxxe x

64

)123(4 22

R Cxxe x

4

3

22

3

16

22

28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(


8

AULA 2






derivada eacute 23

3

xedx


23 xydx

dy

(1)





















dx

dy




)(xfdx

dy


dxxfdy )(





9




1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos)(2 2

5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

2

2

2

2

2

8) y

zxz

x

z


131 TIPO








132 ORDEM



ordem

133 GRAU





10

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3

a ordem e 2

o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1

o grau



134 LINEARIDADE


)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n





independente x

Exemplos

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3


terceira ordem



Cxxy 4 ou BxAxy 2









11


a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy


f) xx eCeCy 2

23

1


12



1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx


5) 321 )( CexCCy x

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln



Respostas

1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2 ( ) 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy


13

AULA 3








21 CURVAS INTEGRAIS




xdx

dy2






















14

Exemplo


dy1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1



2

2

xxy

y

dx

dy


y


Exemplo

Verifique que 16

xy

4


xydx

dy no intervalo )(

Resoluccedilatildeo



dy 21


xydx

dy eacute


4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33


044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x










15



x0 e3ye3cec3







xy

4


0)0(y

xydx

dy 21








)yx(fdx










16


00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy









yfdx

dy (2)




)(

1

yfdx

dy (3)


y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)


1



1

yfdy

dx em





00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)


00)(

)(

1

xyx

yfdy

dx

(6)



17




kydx

dy (7)




0)(00

yxy

kydx

dy

(8)


00)(

1

xyx

kydy

dx

(9)


y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R


akydx

dy




18

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1

Portanto

k

ayea

kyeaky CxkCxk

1 )()(

Neste caso k




o grau

)( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx













CdyyQdxxP )()(

Exemplos



19

1) 13 xdx

dy

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx



20

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy


21





)(


diferenciais

2) 01

dx

dytgy

x

3) 0)1(4 22 dyxdxxy

4) 0)3()2( dyxdxy

5) 0)1( 2 dyxxydx

6) 42

2

x

e

dx

dy y

7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

8) dx

dyxyy

dx

dyxa

2


10) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 ndash a

2)(y

2 ndash b

2)dy = 0

11) 0)1( ydxdyx

12) 0)1( 2 xydxdyx

13) 0cos xydx

dy

14) xydx

dycos3

15) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas


nuacutemero real

2) x cos y = C

3) Cy

1)1xln(2 2

4) (2 + y)(3 ndash x) = C

5) C y2 = 1 + x

2

6) C2

xarctge y2

7) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

8) y

y

k

a a

ex

ln

2

9) tg x tg y = C

10) Cb

yarctgb2y

ax

axlnax


12) Cx1y 2

13) senxe

Ky

14) senxCey 3

15) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3

1)0(42 yydx

dy


22

AULA 4






Exemplos




2) 4y

x)yx(g

2

2


)yx(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()tytx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(xy) = 2x3 + 5xy




x

y1fx)yx(f n e

1

y

xfy)yx(f n


Exemplo


x

y1fx

x

y

x

y31x

x

y

x

y31x)yx(f 2

22

2

22

1

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)yx(f 2

22

2

22




Exemplos

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

y

xy

3)

x

yarctgy


23



Tem-se

N

M

dx

dy



x

yF

dx

dy (1)


variaacuteveis


y por u

xuy (2)


dx

duxu

dx

dy

(3)


x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(


Em resumo




separaacutevel


24

Exemplo

02)( 22 xydydxyx


25





3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0

5) (x2 + y


6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy




3

1)1(y

Respostas

1) y2 + 2xy ndash x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

221

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


26

AULA 5






222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy





eixos



11

ba


Resoluccedilatildeo

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa



dvdyvy

dudxux


27





22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv


vbua

vbuaF

du

dv

22

11


Exemplo


132

yx

yx

dx

dy


28


11

ba





Como 22

11

ba


escrever

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)


1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy


)(1

1

1

xatb

y


1

1

1a

dx

dt

bdx

dy


2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt



29


12

yx

yx

dx

dy


30




3) 0dy)8y5x(dx)xy3(

4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

5) yx1

y3x31

dx

dy

6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

7) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas


2 + 2y = K


3) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C

5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

7) x2 - 4y

2 - 6xy - 2x + 4y = K


31

AULA 6





x

N

y

M



dyy

udx

x

udu

(2)


)( yxMx

u

(3)

e

)( yxNy

u

(4)



)()()( ygdxyxMyxf

(5)


)()(

ygy

dxyxM

y

f

(6)


)()()(

yxNygy

dxyxM


1

)()()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)


Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

)(

)()()(


Cdy

y

PNMdxyxU )(



32

Exemplos

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


33


1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y ndash 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0


5) 0)( 22 drrdre

Respostas

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22


34

AULA 7



N

y

M




u

e NF

dy

u


FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F



x

NFN

x

F

y

MF


x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo dxx

N

y

M

NdF

F

11


dxxRexF

)()(

onde

x

N

y

M

NxR

1)(


dyyReyF

)()(

onde

x

N

y

M

MxR

1)(


35

Em resumo


N

y

M




F(x) F(y)

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos


integrante

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


36

2) (x2 ndash y

2) dx + 2xy dy = 0







2)1(y

5) 0xdy2dx)xy( 2

6) 0xdylnxdx)yx(

7) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

Respostas

1) x2 cos y + x

4 = C

2) Ctgyex 2

3) Ceseny x

4) xxy 32

5) k5

x2xy2

25

6) kxlnyx

7) Kyxx 22


37

AULA 8



o grau tem a forma

)()( xQyxPdx

dy

(1)



desse tipo a saber




nosso problema

QPydx

dy


0)( dydxQPy



0 dyedxQPyePdxPdx


QPyeMPdx

e

Pdx

eN


Pdx

Pey

Me

Pdx

Pex

N



38

Exemplo1


y

dx



39







dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)


QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)








eeey Fazendo

Cek temos Pdx










dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

Daiacute Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx


1




40


ZPdx

1


ldquoZrdquo

CQdxek

keyPdxPdx 1


CdxQeeyPdxPdx

(8)


Exempo 2


y

dx

dy por Lagrange


41


1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycostan

4) xx

y

dx

dy

5) 32

xx

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan


xydx

dy

cos

1tan


dy

Respostas

1) Cxx

y )ln(sin1


3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


42

AULA 9


LINEARES






nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)



EDO linear

Pois se



Soluccedilatildeo




dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)


nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

2




43

Como ty n 1 temos

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(


Exemplo

232

xyx

y

dx

dy


44


1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 02 2 xydx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas

1) 2

1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

)ln(

1

3) 12 2223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


45

AULA 10



)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

(1)





Resoluccedilatildeo



zyy 0 (2)



RQyPydx

dy 0

2

0

0

(3)


dx

dz

dx

dy

dx

dy 0

(4)


RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

0

0


RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)








46


2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)


Em resumo




Exemplo


dyx

e



47



2

x

y

x

y

dx



2) Mostrar que x

y1


2 2

xy

dx


geral


dy calcular a



121 2

xy

xy

xdx


particular



particular

Respostas

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


48

AULA 11





diferencial










49







0)(

0)(

yxf

yxf

(1)



Exemplo


a 5


50



0

dx

dyyxF


geral

particular





original



0

dx


0

0

dx



Exemplo


22

x

dx

dyx

dx

dyy


51



a)

1

4 2 xy

b) 0)2(2 222 yyx


2

2

y

dx

dyy


2

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

1) a ) xy 273

b) 042 yx

2) 1y


4



52

AULA 12



dx

dy

dx

dyxy

Resoluccedilatildeo

Chamando pdx

dy



dx

dppp

dx

dpx

dx

dy)(1

0)( pxdx

dp (2)

0dx

dp Cp



De (2) tem-se

0)( px (3)

xp )(


singular

Exemplos



53


0

2

y

dx

dyx

dx

dy




Clairaut

a dx

dy

dx

dyxy ln

b

2

3

dx

dy

dx

dyxy

c 01

23

dx

dyy

dx

dyx

d 045

y

dx

dyx

dx

dy

e 2

4

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

a ClnCxy (geral)

xln1y (singular)

b 2C3Cxy (geral)

y12x2 (singular)

c 2C

1Cx (geral)

23 x27y4 (singular)

d 04)xCy5(C (geral)


e 2C4Cxy (geral)

2

222

x1

)x1(4y

(singular)


54

AULA 13



dx

dy

dx

dyFxy

(1)


dx

dy

dx

dyF

Resoluccedilatildeo


Chamando pdx



dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(

dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(



)(

)(

)(

)(

pFp

px

pFp

pF

dp

dx


QPxdp

dx



)(

)(

pyy

pxx


55

Exemplo


2

1

dx

dyx

dx

dyy


56



a)

2

24

dx

dyxy

b)dx

dy

dx

dyx lnsin


57


1) dx

dy

dy

dxxy

2)

dx

dydx

dyxy

12

3)

2

dx

dyx

dx

dyx2y

4)

2

dx

dy1

dx

dyy

5) dxdy

edx

dyy

2

6) dx

dy

dx

dyy ln2

2

7)

dx

dy2

dx

dyy

e

22

x

Respostas

1)

pCppp

y

Cppp

px

1ln1

1

)1ln(1

2

2

2

2

2)

2

ln

ln2

p

Cpx

p

Kpy

3)

Cp

Cy

p

Cx

2

2

4)

cppx

ppy

arcsinln

1 2

5)

p2

pp

epy

cpeex

6)

cp

2p2x

pln2py 2

7)

cy

pyp

p

pyx

arctanln

2ln

22

22


58

AULA 14



1) 0)2(3 dyyxydx

2) 02

dyyexdx x

3) 0)1( 2 dxydyx


5) )yxcos(dx

dy


7) dxyxydxxdy 22


9) 0)2( dyxxyydx

10) 0)52()42( dxyxdyyx

11)342

12

yx

yx

dx

dy

12) 0)139()23( dyyxdxyx

13)

01

2)cos()cos(

dy

yxxyxdx

x

yxyy

14) 0324

22

3

dy

y

xydx

y

x

15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx

16)yxy

xyx

dx

dy2

2


18)




20) dxexydxxdy x2

21) 02 xdyydxdyy

22) 0)ln( 3 dyxydxx

y


0 xeydx

dyx

24) 0)32(2 dyxydxy

25)22

2y

x

y

dx

dy

26) dxyyxdy )1( 2

27)22)1( xyxy

dx

dyx



dx




equaccedilotildees

29)

2

dy

dx

dx

dyxy

30)

2

1

dx

dy

dx

dyxy

31)dx

dy

dx

dyxy

32)dx

dy

dx

dyxy sin


33)

dx

dyx

dx

dyy 2

2

1

34)

2

2

dx

dy

dx

dyxy


59

Respostas

1) )ln(126 2 Cyxy

2) 22 2

Cey x

3) 1)1(ln xCy

4) Cyx secsecln


6) Cyyxx 323 32

7) 222 yxCxy

8) CX

yxy )ln(

9) Cyy

x ln

10) )3()1( 3 yxCyx

11) Cxyyx 48)584ln(

12) )126ln(62 yxCyx

13) Cyxyxy ln2)sin(

14) Cyy

x

13

2

15) Cyyxx 4223 3

16) Cyyx 222 )1(

17) Cxyyx cos

18) Cx)-y(2secysecx

19) 1cos2 xeyx

20)xxeCxy

21) Cyxy 2

22) Cyyx 3ln2

23)x

eabey

ax

24)y

Cyx12

25) 0122 xyyCx

26)2

22

xC

xy

27)

11

12

xC

y

28)1

2

x

xxx

Ce

eCeCey

29)

23

2

4

27

1

xy

CCxy

30)

2

2

2

1

)1(

1

x

xy

CCxy

31) CCxy


32)21arccos

sin

xxxy

CCxy

33)

221

21

2(6

1

)(3

1

pCpy

pCpx

34)

p

pCy

pp

Cx

3

2

3

2

3

3

2


60

AULA 15


MATEMAacuteTICOS













A seguir






















61






futuro








expressa por

kxdt

dx 00

)( xtx ktexx

0

(1)






dS a qual


Exemplo





62

Resoluccedilatildeo

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx


kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx ndash ln c = kt

lnc

x= kt

ekt =

c

x

x = cekt


0x

cex

0

00


kt0exx


3x0

40550k

k2

3ln

e2

3

exx2

3

k

1k00


t40550

0

kt0

exx

exx



63

70922t

0986121t40550

t405503ln

e3

exx3

t40550

t4055000


63 MEIA VIDA









AKdt

dA (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA kteAA 0

Exemplo




Resoluccedilatildeo

000

0

A999570A000430A15t

A0t


kAdt

dA

kdtA

dA

ln A = kt + c

ktc

Aln

kte

c

A

A = cekt


64


0

00

k00

Ac

ceA

ceA

0t


A(t) = A0ekt

A(15) = A0e15k

A(t) = 2

0A

099957 A0 = A0e15k teAtA

51088672

0 )(

Ln099957 = ln e15t 000028670

0

0 2

eAA

-000043 = 15 k te 000028670

2

1

K = - 2866710- 5

-06931 = - 000002867t

t = 24180

t 24180 anos


t10866720

0

5eA)t(A

2

A)t(A


3717924t

t1086672693150

t108667250ln

e50

eA2

A

5

5

t1086672

t10866720

0

5

5



65









AKdt

dA (2)

























5600 anos



Turim




66

Exemplo



Resoluccedilatildeo

A(t) = A0ekt

5600

0

0 2

keAA

ke5600ln2

1ln

5600k = - 06931

K = - 0000123776


A(t) = A0e- 0000123776t

teAA 0001237760

00 100

1

te 0001237760ln

100

1ln

- 0000123776 t = - 69077

t = 55808


66 RESFRIAMENTO







)TT(Kdt

dTm (3)

mkt TceT




67

Exemplo




Resoluccedilatildeo

T(0) = 3000F )( mTTk

dt

dT

T(3) = 2000F )70( Tk

dt

dT

T() = 750

kdt

T

dT

)70(


ktc

T

70(ln

c

Tekt 70


70 ktecT


T(0) = 3000

300 = Cek0

+ 70

C = 2300

Logo

T = 230ekt + 70


200 = 230e3k

+ 70

230 e3k

= 130

230

1303 ke

230

130lnln 3 ke

1901816190k

5705448580k3


70e230)t(T t190180

]


7023075 190180 te

230

7075190180 te

- 019018t = ln230

5

t = 2013



68

67 MISTURAS









se RR

dt

dA

sal de

saiacuteda de Taxa

sal de

entrada de Taxa (4)



salde

entrada de taxa

entrada de fluxo no


salmourade

entrada de Taxa

e





min100

300

min)3(

sal de

saida de taxa



salmoura de

saiacuteda de Taxa

lbA

gallbA

galRs


100

6A

dt

dA (5)

Exemplo





69

Resoluccedilatildeo

100

100100

100100

600

600

6

6100

1

1006

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

Adt

dA

A

dt

dA

Para 50)0(A temos

550

60050 0

C

eC


100550600t

eA




(300 gal)(2lbgal) = 600 lb








gallb

t

AgalRs

300min)2(


t300

A26

dt

dA

ou 6A

t300

2

dt

dA

t(min) A(lb)

50 26641

100 39767

150 47727

200 52557

300 57262

400 58993


70


27 )300)(10954(2600)( tttA






2

2










ghAdt

dVh 2 (6)





dhA

dt

dVw



ghA

A

dt

dh

w

h 2 (7)




71

Exemplo




Resoluccedilatildeo


Logo tem-se que


(1)




pura no tanque


72








kxydt

dx (8)





)1( xnkxdt

dx (9)


Exemplo






Resoluccedilatildeo








73

(

)

Integrando

int

(

) int

int

int int

(

)

(

)


Entatildeo




74

610 CORPOS EM QUEDA














mgdt

sdm

2

2

ou gdt

sd

2

2

(10)










gdt

sd

2

2

0)0( ss 0)0( vs (11)





2

2

1)( stvgtts

Exemplo







75

Resoluccedilatildeo


sentido para baixo


dvg


cgtv

gdtdv

gdtdv



cgt

tx

tdtgdx

gtdtdx

gtdt

dx

2)(

2


)(2gt

tx


1002gt


st

t

5420

2

10100

2


76













oposta ou para cima




dt




instante t

kvmgdt

dvm (12)



dsv e

2

2

dt

sd

dt



dt

dskmg

dt

sdm

2

2

ou mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

(13)


77

Exemplo






Resoluccedilatildeo







dt


gvm

k

dt

dv (1)


mgcev

tm

k

Em t=0

v=v0 logo k

mgcev m

k

0

0 ou

k

mgvc


k

mgce

k

mgvv

tm

k

0


78



(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)












79

Peso da corrente


Massa da corrente

m = Wg = L 32


xpxL

xL

F 222

Uma vez que Famdt

xda

2

2

torna-se

x

dt

xdL

2

32 2

2

ou (14)

064

2

2

xLdt

xd

Exemplo





6219 LP e

Resoluccedilatildeo

(

) (

)

Sendo frasl

Como

Sendo


80












voltagemdequeda


Indutor

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

diL

dt

dqRiR

iR

R

voltagemde queda


Resistor

q

c

fC

1 voltagemde queda


Capacitor


ordem

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL


81





)(tERidt

diL






)(1

tEqC

Ri



)(1

tEqCdt

dqR

Exemplo



Resoluccedilatildeo


diL Para i(0) = 0


1 i

dt

di ce0

5

60


di

5

6c



82

Logo

tdtPdt 2020 tei 20

5

6

5

6

cdxeei tt 242020

ceei tt 2020

20

24

cei t 20

5

6










t Use E = 30 V




corrente i(t)







triplicaraacute





30 anos





instante t



83














trecircs anos




















15ordmF











84




















instante t



















instantacircnea


85





abre o paraquedas




0C













RESPOSTAS

1) tetI 355)(

2) tei 2510

3) tcei 500

5

3 e 5

3)(lim

ti

t

4) tceq 50

100

1 onde 100

1C e

tei 50

2

1

5) tceq 200

1000

1

tcei 200200


86

500

1C


ampi 14720)0050(

1000

1q

6) 792 anos

7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604

8) N(30) = 760

9)

10)

11)

12) 1155

13) R$ 927143

14)

15) t = 11 horas

16) t = 13672 horas

17) 885 gramas

18) 15600 anos

19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min

20) t = 60 min


22) rkpdt

dP rkp

dt

dP

23) 2

21PkPk

dt

dP

24) )1000( xkxdt

dx

25) 100

A

dt

dA


27) hc

dt

dh

450

28) 2kvmg

dt

dvm

29) 70ms



31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50

32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100

00975 lbgal

33) 6438lb


87

AULA 16


ORDEM SUPERIOR


ByAdx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0





onde







isto eacute ctexhxy

xy )(

)(

)(

1

2


fundamental)

Exemplo

y + y = 0


y2(x) = cos(x)

ctexx

x

xy

xy )tan(

)cos(

)sin(

)(

)(

1








cte)x(h)x(y

)x(y

1

2

)()()(12

xyxhxy


88




a) 0y9xy5yx2 com 3

1 x)x(y

b) 0y3yx4 2 com 21

1 x)x(y

c) 0y4

1xxyyx 22

com xcosx)x(y 2

1

1

Respostas

a xlnx)x(y 32

b 2

x)x(y

23

2 c senxx)x(y 21

2


89

AULA 17


CONSTANTES


ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

onde A0 A1 A2An

satildeo constantes

Resoluccedilatildeo


dyA 10

yAdx

dyA 10

dxA

A

y

dy

0

1

CxA

Ayln

0

1

CxA

A

0

1

ey

C

xA

A

eey 0

1

Chamando 0

1

A



0bydx

dya

dx

yd

2

2



xλey

xλeλy

xλ2eλy


0e)bλaλ(

0beeλaeλ

xλ2

xλxλxλ2


90





xλ

11ey

xλ

22ey


xλ2

xλ1

2211

21 eCeCy

yCyCy


xλ

nxλ

3xλ

2xλ

1n321 eCeCeCeCy



xey 2



2

x

x

e

e

y

y

constante




xλ2xλxλ2

xλxλ2

xλ2

12

heλehλ2ehy

heλehy

ehy

)x(y)x(h)x(y



Reordenando

0)()2( 2 hbahahe x


Entatildeo

KCxh

Ch

h

0

Logo

xeKCxy

yhy

)(

2

12


91


xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

221

21

2211

)(

)(


temos

x

xx

exCCy

xeCeCy

)( 21

21


xλ1nn

2321 e)xCxCxCC(y




bix2

bix1

ax

bixax2

bixax1

x)bia(2

x)bia(1

eCeCey

eeCeeCy

eCeCy


θisenθcose

θisenθcose

θi

θi

Com isso

senbxCCibxcosCCey


2121ax

21ax

Fazendo

C1 + C2 = C1

i(C1 ndash C2) = C2

temos

senbxCbxcosCey 21ax


92

Exemplos

1) 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd




93


1) 065 yyy

2) 01243 yyyy

3) 022 yyy com 1)0( y e 02

y

4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y

5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y

6) 09 2 yy

7) 069 yyy com 4)0( y e 3

13)0( y

8) 02 2 ykkyy

9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y

10) 0344 yyy com ey )2( 2

)2(e

y

11) 0127 yyy

12) 054 yyy

13) 075 yyy

14) 02 yyy

Respostas

1) xx eCeCy 3

22

1

2) xxx eCeCeCy 2

33

22

1

3) xey x cos

4) xx eey 55 22

5) xx eey 273

6) xπ3

2xπ3

1 eCeCy

7) 3

xe)x34(y

8) kx

21 e)xCC(y

9) 2

x4

xe50e30y

10) x50ey

11) x4

2x3

1 eCeCy


x21

13)

2

3xsenC

2

3xcosCeCy 32

2

x5

1

14)

xexCCy )( 21


94

AULA 18

72 EULER - CAUCHY


ByAdx

dybaxA

dx

ydbaxA

dx

ydbaxA

n

n

n

n

012

2

2

2)()()(


teabax



02 byaxyyx

Faremos

y = xm

yrsquo = mxm-1

yrdquo = m(m-1)xm-2



m = 0

como y(x) = xm




21

21)(mm

xCxCxy


)xln(xCxC)x(y m2

m1

mxxCCxy ))ln(()(

21



xbCxbCxxy a


95

Exemplos

012)12(2)12(2

2

2 ydx

dyx

dx

ydx

0222 yxyyx


96


1) 0202 yyx

2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx

3) 04324610 2 yxyyx

4) 02 yxyyx



Respostas

1) 5

24

1 xCxC

2) 3

32

21

)x1(

C

)x1(

C

1x

Cy

3) 81

21 x)xlnCC(y


5) 25

x)xln2(

6) xlnx3 2


97

AULA 19


10

00

)(

)(

)()()(

Kxy

Kxy

xryxqyxpy

IVP



yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)



)()()( xyxyxy ph










xαke xCe

)10n(kxn

011n

1nn

n CxCxCxC

xαKsen


xβsenke

xβcoske

xα

xα


obs


o

coluna




98

Exemplo

0)0(

1)0(

2 2

y

y

xeyyy x


99


1) xsenyy 34

2) 325102 2 xyyy

3) xseneyyy x 53712352 5

4) 1265 2 xyyy

5) xyy 314

6) 1232 2 xxyy

7) xeyyy 3127

8) xeyyy 28107

9) xeyyy 2844

10) xeyy 434

11) xsenyyy 2334

12) x4sen8dx

yd4

dx

yd

2

2

4

4

13) xsenyy 2124

14) senxyy 4

15) senxydx

yd

dx

yd42

2

2

4

4


4)0( y e 8)0( y

17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e

0)0( y

Respostas

1) x3sen5

1x2Bsenx2cosA

2) xx2

5)x3senCx3cosC(e 2

21x


x71

4) 27

5

9

x5

3

xeCeCy

2x3

2x2

1

5) 4

xx

8

3eCeCCy 2x2

3x2

21

6) 8

x3

12

x

8

xeCxCCy

234x2

321

7) xx4

2x3

1 e20

3eCeCy

8) x2x5

2x2

1 xe3

8eCeCy

9) x22x2

2x2

1 ex4xeCeCy

10) x4

21 e20

3x2senCx2cosCy

11) )x2cos8x2sen(65

3eCeCy x3

2x

1

12) 40

x4seneCeCxCC x2

4x2

321

13) x2cos4

3eCeCCy x2

3x2

21



xy 4321

2

16) 424 xey x

17) xxx xexeey 222

4

1

2

1

16

1

16

1


100

AULA 20




yn + Pn-1(x)y






Onde

dxxW

xrxWu

)(

)()(11 dx

xW

xrxWu

)(

)()(22 dx

xW

xrxWu n

n)(

)()(


)()(

11

2

1

1

2

1

21

21 xW

yyy

yyy

yyy

yyyW

n

n

nn

n

n

n



11

2

2

2

1

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

11

1

1

1

2

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

1

0

0

1

2

1

1

2

1

21

nn

n

yy

yy

yy

W


n natildeo se



u(x)y1(x) + v(x)y2(x)

onde

dx)x(w

)x(r)x(y)x(u 2 e dx

)x(w

)x(r)x(y)x(v 1



101



102




3cosx


-4


2 ndash 15x

3



4lnx


7) 1x2x3dx

yd4

dx

yd 2

2

2

4

4



Respostas

1) 9

260x

3

65eCeCy x

2x3

1

2) xcosxxCxCy 221

3) 432

21 x

2

1xcxcy

4) 3

)xx(xCxCy

322

3

22

1

1

5)

6

11xln

6

xxCxCxCy

43

32

21

6) x13

121 exxCxCCy

7) 8

x

8

x

12

x

16

xeCeCxCCy

234x2

4x2

321

8) xx23

x22

x1 e2eCeCeCy

9) 4

x5

4

xeCeCCy

2x2

3x

21


103

AULA 21






dx

dD

2

22

dx

dD

3

33

dx

dD

7332 Propriedades




P3Dm

(Dn

u)=Dm+n



dxueeu

aD

axax 1

a


du a



Exemplo

ay + by + cy = g(x)


(aD2 + bD + c)y = g(x)


1nn

n ADADADAL com


1nn

n ArArA


Exemplo


0y)2D( 2


104






polinocircmio 1n

1n2


potencia de )D(x n


Soluccedilatildeo


0)x8x51(D 324




Soluccedilatildeo




Vamos verificar

0e12e12e12De6)e6)(2D(


]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(

)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2

x2x2x2x22




xα1nxα2xαxα

xα1nax2xαxα


Soluccedilatildeo

5D2D)]41(D)1(2D[

1n01n2β1α

212


105

Vamos verificar







xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx2x2





zero

221

zero

1122121

2211212121

)y(LL)y(LL)yy(LL

)y(LL)y(LL)yy(LL


Soluccedilatildeo



Logo

0)x3sen6x7)(9D(D 22



1nn

n ADADADA





nuacutemeros reais






0)y(L


106











2

ydx

dy

dx

yd

2) 0442

2

ydx

dy

dx

yd


2

2

x4y2dx

dy3

dx

yd


107


108




2) senxydx

dy

dx

yd 65

2

2

3) senxeydx

dy

dx

yd x 232

2

4) (D3-16D)y=e

4x + 1

5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e

3x

6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe

-2x

7) xx eeyDD 23212

8) 142 xyD

9) x32 ey6D5D

10) senx4e8y3y x3

11) xey

dx

yd 2

2

Respotas

1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xcos10

1senx

10

1eCeCy x3

2x2

1

3) senxxcos2

eeCeCy

xx2

2x

1

4) 16

xe

32

xeCeCCy x4x4

3x4

21

5) x3x4

2x3

1 xe5eCeCy

6) x2

2x2x2

3x

2x

1 e18

xe

27

x2eCxeCeCy

7) xx2x2xx e

6

1ex

2

3CeBxeAey

8) 4

1

4

xBeAey x2x2

9) x3

2x2

1x3 eCeCxey

10) senx5

2xcos

5

6xe

3

8eCCy x3x3

21

11) 2

xeeCeCy

xx

2x

1


109

AULA 22



1) xsenxedx

dy

dx

yd x 2234 2

3

3

2) xex

dx

dy

dx

yd

dx

yd 2

2

2

3

3

3265

3) 13 2

2

2

xesenxydx

yd

4) 1284 2

2

2

xxydx

yd

5) 222

2

3

3

xdx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 1234 3

2

2

4

4

xxdx

yd

dx

yd

7) xey

dx

dy

dx

yd 3232

2

8) xey

dx

yd 2

2

2

44

9) xey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

344

10) xey

dx

dy

dx

yd22

2

2

11) senxydx

dy

dx

yd223

2

2

12) xdx

dy

dx

ydcos34

2

2

13) xsenydx

yd2316

4

4

14) xydx

yd2cos54

2

2

15) 52 2

2

2

xedx

dy

dx

yd

16) xxey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

44

17) xeydx

dy

dx

yd x 2cos8822

2

18)

2244 2

2

2 xey

dx

dy

dx

yd x

19)

20)

21)

senxy

dx

yd 12

2

22) xyxyyx 3222

23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2

22

3

33 xy

dx

dyx

dx

ydx

dx

ydx

x

ey

dx

dy

dx

yd x

22

2

xy

dx

yd

cos

12

2


110

RESPOSTAS

1)

4

x2xsen

8

x

16

e3x2senCx2cosCCy

2x2

321

2)

2

3

18

5

6

223

3

2

21

xxx xe

xx

eCeCCy

3) 132

3 2

21 x

xx esenxeCeCy

4) 44

2 22

2

2

1 xxeCeCy xx

5)

4

5

4

22

321

xxeCeCCy xx

6)

848

5

80

3 2352

4

2

321

xxxeCeCxCCy xx

7)

2

2

21

xxx e

eCeCy

8) xxx xeeCeCy 22

2

2

1

9) xxx exxeCeCy 222

2

2

12

3

10) )( 2

21 xxCCey x

11) senxxeCeCy xx

5

1cos

5

32

21

12) )4(cos17

34

21 senxxeCCy x

13)

32

2cos322cos 43

2

2

2

1

xxxsenCxCeCeCy xx

14)

8

2cos52

2

2

1

xeCeCy xx

15)

22

5 22

21

xx xex

eCCy

16) xe

xxCCy 2

3

216

17) )22cos3(5

1

9

14

2

2

1 xsenxeeCeCy exxx

18)

8

1)( 22

21

xexxCCy x




22) xxxCxCy ln32

21

23)

36

11)1ln(

6

1

)1()1(1 3

3

2

21

xx

C

x

C

x

Cy


111

AULA 23























somente 25 peacute




2 ou 980

cms2

equiliacutebrio

Posiccedilatildeo

inicial

g

K(s+x)


112






kxksmgkxmgxskdt

xdm

zero

)(2

2

(1)






02

2

2

xdt

xd (2)

onde mk 2









=0 satildeo














113



Exemplo





Soluccedilatildeo





M = Wg = 232 = 116 slug


Logo (1) resulta em

xdt

xd4

16

12

2

0642

2

xdt

xd

2 = - 64

= 8i







tsenttx 816

18cos

3

2)(











que


114

dt

dxkx

dt

xdm

2

2

(4)




amortecido

02

2

x

m

k

dt

dx

mdt

xd (5)

ou

02 2

2

2

xdt

dx

dt

xd (6)

onde

m

2 e

m

k2


m2 + 2 m + 2 = 0


22

1 m e22

2 m





022

tmtm

eCeCtx 21

21)( (7)



022

tCCetx t

21)( (8)





115


022


tsenCtCetx t 22

2

22

1cos)(

(9)



Exemplos




para cima

Soluccedilatildeo



dt

dx2x4

dt

xd

4

1

2

2

01682

2

xdt

dx

dt

xd


X(t)= C1 e ndash 4t

+ C2te - 4t




X(t) = - 3te -4t





instantacircnea

Soluccedilatildeo





116

dt

dxx

dt

xd 5

2

12

2

01022

2

xdt

dx

dt

xd





tsentetx t 3

3

23cos2)(







)(2

2

tfdt

dxkx

dt

xdm (10)


)(2 2

2

2

tFxdt

dx

dt

xd (11)




Exemplo


dx21

dt

xd

5

1

2

2

com2

1)0(x

e 0)0(x


117

Soluccedilatildeo










01062

2

xdt

dx

dt




504cos

102

25)cos()( 21

3


tsentsenttetx t 451

504cos

102

25)

51

86cos

51

38()( 3






Exemplo


xd 0

2

2

2


constante e

)(

2

2

tfkxdt

xdm

Soluccedilatildeo



tsenFtsenBtAxx pp 0

22222 )(cos)(


FB

220

Logo

tγsen)γω(

F)t(x

220

p


118



F)t(x

220

com ωγ



)(2

2

tEC

q

dt

dqR

dt

qdL (12)





LR


LR

Subamortecido 042 C

LR


e portanto





Exemplos



Soluccedilatildeo


0400040

01000104

1

qqq

qqq





119

)603

160(cos)( 20

0tsenteqtq t




















)(2

2

xwdx

Md (13)


EIkxM )( (14)





120


23

2)(1

y

yk





4

4

2

2

2

2

dx

ydELy

dx

dEL

dx

Md (15)




)(4

4

xwdx

ydEL (16)







engastada x = 0









Engastada 0y0y

Livre 0y0y






121








gt0





nL ou2

22

L

n n = 1 2 3




4

2

2

2

2

2

2

LLL


sequumlecircncia 3

2

xL

senxL

senxL

sen





compressiva





Py

dx

ydEL

2

ou 02

2

Pydx

ydEL (17)


122



Exemplo



Soluccedilatildeo


0)(

0)0(

02

2

Ly

y

Pydx

ydEI






0)(

0)0(

0

Ly

y

yy



321 222 nLnEIPnn




1 LEIP chamada







carga critica 22



123

9213 Corda Girando


0 yy (18)






















12 TsenTsenF (19)





124



)()( xyxxyTF (20)





aproximada por

2 yxF (21)



2)()()( yxxyxxyT

ou (22)

yx

xyxxyT 2)()(


xyxxy

)()(em (22) eacute



ydx

ydT 2

2

2

ou (23)

02

2

2

ydx

ydT




125















9

4

6

8

12








considerando que



para cima




para cima





a) superamortecido


c) subamortecido






3t



f(t)=68e-2t


amortecimento


126





















periacuteodo









Respostas

1) 8

π2

2) t64cos4

1)t(x

3)

4) a)4

1

12

πx

2

1

8

πx

4

1

6

πx

2

1

4

πx

4

2

32

π9x


c)16

π)1n2(t

n= 0 1 2

5) a)t8t2 e

3

1e

3

4)t(x

b)t8t2 e

3

5e

3

2)t(x


127

6)

7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52

8) t3sent3cos3

10t

2

47sen

473

64t

2

47cos

3

4e)t(x 2

t


14

4

94cos

2

1)( 22

10) )sin13cos99099(500

1 27 tteex xx

11) ttttx 4cos4

14sin

16

14cos50

12) (

)

13) 41078C 00509s

14) q(t)=10+10e-3t

(cos3t+sen3t)

i(t) = 60e-3t

sen3t 10432 C

15) C2

3

2

3)t10sent10(cose

2

1)t(q t10

16)

17) radic radic


128

AULA 24










)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy










a um sistema normal




Exemplos

1)

senxxzdx

dy

senxxdx

dzy

cos

cos


129

2)

xzydx

dz

dx

yd

xdx

dz

dx

yd

22

3

2

2

2

2

2


130


1)

02

02

zdx

dz

dx

dy

zydx

dz

dx

dy

2)

x

x

ezydx

dz

dx

dy

ezydx

dz

dx

dy

2

5

32

4

3)

2

2

2

2

2

2

2

xzdx

zd

dx

dy

eydx

dz

dx

yd x

4)

03

42

zydx

dy

ezydx

dz

dx

dy x

5)

xzDyD

senxzDyD

cos)1()1(2

2)2(2)3(

Respostas

1)

x

x

eCeCy

eCeCz

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

ou

x

x

eCeCz

eCeCy

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

2)

xxx

xxx

eeeCy

eeeCz

252

5

1

252

5

1

25

2

5

3

3)

xexCsenxCeCeCy

xesenxCxCeCeCz

xxx

xxx

22

3cos2222

2

3

2

1

2

1cos

43

2

2

2

1

2

43

2

2

2

1

4)

x

x

esenxCCxCCz

esenxCxCy

2)3(cos)3(

2cos

2121

21

5)

senxxeCeCz

xsenxeCeCy

x

x

x

x

130

61cos

130

33

3

4

)cos8(65

1

5

23

1

5

23

1


131

AULA 25


Dado o sistema

)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy


n

n

F

dy

F

dy

F

dydx

1 2

2

1

1



)(

)(

2

1

zyxFdx

dz

zyxFdx

dy

(1)


321 F

dz

F

dydx

ou generalizando

)()()( zyxR

dz

zyxP

dy

zyxM

dx (2)


dois paracircmetros



se

nRmPlM

ndzmdyldx

R

dz

P

dy

M

dx


lM + mP + nR = 0

o que faz com que

ldx + mdy + ndz = 0


132




Exemplos

1)x

dz

x

dy

y

dx

2)zx

dz

yx

dy

zy

dx

2


133

3))()()( 222222 xyz

dz

zxy

dy

yzx

dx




1) cybx

dz

axcz

dy

bzay

dx

2) )()2()2( 444444 yxz

dz

xzy

dy

zyx

dx

3) yx2

dz

x3z

dy

z2y3

dx

4) z

dz

x

dy

y

dx

5) yx

dz

x

dydx

221

Respostas

1) x2 + y

2 + z

2 = C1

cx + by + az = C2

2) x4 + y

4 +z

4 = C1

xyz2 = C2

3) x2 + y

2 + z

2= C1

x + 2y + 3z = C2

4) x2 ndash y

2 = C1

zC2 = y + x

5) y = x2 + C1

z = 3

2x

3 + xy ndash x

3 + C2


134

AULA 26


ORDEM



dx


dx


dx

nnnm22n11nn

2nm22221212

1nm12121111


)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

x

x

x

dt

d

nm2n1n

m22221

m11211

n

2

1

ou ainda

)t(FX)t(Adt

dX


homogecircneos

X)t(Adt

dX


XAX


tλeξX

temos

tλeξλX


0eξ)λA(

eξAeξλ

tλ

tλtλ


135


e autovetores

Exemplo 1


t10y3x4dt

dy

t2ey5x2dt

dx t


t10

t2eX

34

52

dt

dX t

ou

t10

2e

0

1X

34

52X t

onde

y

xX



)t(x

)t(x

)t(x

X

n

2

1


)t(FX)t(Adt

dX

no intervalo

Exemplo 2

Verifique que

t2

t2t2

1e

ee

1

1X e

t6

t6t6

2e5

e3e

5


X35

31X

no intervalo )(

Soluccedilatildeo


136

Temos

t2

t21

e2

e2X

e

1t2

t2

t2t2

t2t2

t2

t2

1 Xe2

e2

e3e5

e3e

e

e

35

31AX

Agora

t5

t612

e30

e18X

e

12t6

t6

t6t6

t6t6

t6

t6

2 Xe30

e18

e15e15

e15e3

e5

e3

35

31AX





)t(x

)t(x

)t(x

)t(X

0n

02

01

0

e

n

2

1

0

γ

γ

γ

X


00 X)X(tasujeito

)t(FX)t(Adt

dXResolver









comum I


137



X)t(Adt

dX


kk2211 XcXcXcX





Exemplo 3


102

011

101

X

eacute

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X1


tcoscsentc

tcosc2

1sentc

2

1

sentc

dt

dX

11

11

1

e

tcoscsentc

sentc2

1tcosc

2

1

sentc

sentctcosc

sentc2

1tcosc

2

1

tcosc

102

011

101

AX

11

11

1

11

11

1


Exemplo 4


102

011

101

X

Se

0

e

0

X t2 entatildeo

0

e

0

X t2 e

2tt

2 X

0

e

0

0

e

0

102

011

101

AX




138

0

e

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcX t212211




X)t(Adt



0XcXcXc kk2211








Sejam

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X




wronskiano

0

xxx

xxx

xxx

)XXX(W

nn2n1n

n22221

n11211

n21


139

Exemplo 5


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X


X35

31X



0e8e5e

e3e)XX(W t4

t6t2

t6t2

21

para todo t real

Exemplo 6


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X



31X



entatildeo

t6

2t2

12211c e5

3ce

1

1cXcXcX








X)t(Adt


nn2211 XcXcXcX



140

Exemplo 7

Os vetores

tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

Xe

0

1

0

X

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X 3t

21 satildeo

do sistema X

102

011

101

X

no exemplo 3 Agora

0etcossentsenttcos

senttcose

tcossent0senttcos

tcos2

1sent

2

1esent

2

1tcos

2

1sent0tcos

)XXX(W ttt321



tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

ce

0

1

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcXcX 3t

21332211




sistema )t(FX)t(Adt

dX


X)t(Adt





dX em um


nn2211c XcXcXcX


141


dX correspondente


pc XXX




dX

Exemplo 8


6t5


homogecircneo

3

11t12X

35

31X no intervalo )(

Soluccedilatildeo

Temos

5

3X

p e

3

11t12

6t5

4t3

35

31

3

11t12X

35

31p

pX

5

3

3

11t12

2

14t12

3

11t12

)6t5(3)4t3(5

)6t5(3)4t3(

Exemplo 9


3

11t12X

35

31X em )( eacute

6t5

4t3X p



31X

eacute

t62

t21c e

5

3ce

1

1cX


65

43

5

3

1

1 62

21

t

tececXXX tt

pc eacute


3

11t12X

35

31X em )(


142


)t(FX)t(Adt




Seja

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X


dX em um

intervalo I

A matriz

nn2n1n

n22221

n11211

xxx

xxx

xxx

)t(



Exemplo 10


t

t

t

e

eeX

2

2

2

11

1 e

t

t

t

e

eeX

6

6

6

25

3

5

3constituem


35

31 em )(

tt

tt

ee

eet

62

62

5

3)(


Exemplo 12


c ececXcXcX 62

212211

5

3

1

1

dada no exemplo 6


2

1

t6t2

t6t2

c

c

e5e

e3eX






143

)t()t(A)t(

0)t()t(A)t(







t no intervalo

Exemplo 13


tt

tt

ee

eet

62

62

5



1121

1222

1112

21221

det

1

det

1

aa

aa

aa

aa

AA

T

que

tt

tt

tt

tt

t

ee

ee

ee

ee

et

66

22

22

66

4

1

8

1

8

18

3

8

535

8

1)(




1

0

0

0

1

0

0

0

1

00201

tVtVtV n





144

1000

0100

0010

0001

00

t


Exemplo 14


35

31

Soluccedilatildeo

Por tt ececXcXcX 6

22

122115

3

1

1



22

15

3

1

1


0

1

5

3

1

121 cc ou

05

13

21

21

cc

cc

Obtemos 8

51 c e

81


tt eeV 621

5

3

8

1

1

1

8

5


1

0

5

3

1

121 cc ou

15

03

21

21

cc

cc


31 c e

81


tt eeV 622

5

3

8

1

1

1

8

3

Dai


145

tttt

tttt

eeee

eeeet

6262

6262

8

5

8

3

8

5

8

58

3

8

3

8

3

8

5

)(

Observe que

10

01)0(





Por

1000

0100

0010

0001

00

t





Por 0

1 ttt



1)

y8x4dt

dy

y5x3dt

dx

2)

z3y4x10dt

dz

yx6dt

dy

z9y4x3dt

dx


146

3)

2ttzyxdt

dz

t3zyx2dt

dy

1tzyxdt

dx

2

2


4) te

1

1X

31

24X

5) t

1

1

3

e

2

2

1

z

y

x

652

143

211

z

y

x

dt

d t


6)

y7x4dt

dy

y4x3dt

dx

t5e

2

1X

7) 2t3

e2

1XX

114

11

X

8)

13

6

1

121

016

121

XXdt

dX



9) t6

2t2

1 e1

1Xe

1

1X

10)

4

4

2

t

12

6

3

X

4

2

1

X

2

2

1

t

4

2

1

X 321


147


dado

11)

18423

724

tyxdt

dy

tyxdt

dx

1

5

1

2tX

p

12) tt

p

t teeXeXX

1

1

1

1

7

1

43

12


011

101

060


t33

t22

t1 e

1

1

2

ce

1

1

3

ce

5

1

6

cX



t1

14) t7

2t2

1 e3

1Xe

2

1XX

56

14X

15) tt

2t

1 e1

0te

3

1Xe

3

1XX

29

14X


14


15


148

Respostas

1) 84

53 XX

onde

y

xX

2)

3410

016

943

XX

onde

z

y

x

X

3)

2

0

1

03

0

111

112

111

2

2

t

t

t

tXX onde

z

y

x

X

4)

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx

3

24

5)

tezyxdt

dz

tezyxdt

dy

tezyxdt

dx

t

t

t

2652

243

32




9) Sim

10) Natildeo




14)

tt

tt

t

tt

tt

ee

ee

et

ee

eet

22

77

9

1

72

72

2

3

5

1)(

32


149

15)

tt

ttt

t

ttt

tt

ee

teete

et

eee

teet

3

31

33

2

1

16)

tttt

tttt

eeee

eeeet

7272

7272

5

3

5

2

5

6

5

65

1

5

1

5

2

5

3

17)

ttt

tt

etete

tetet

39

3


150

AULA 27



X)t(Adt

dX


XAX


tekX

temos

tekX


0)(

t

tt

ekA

ekAek


e autovetores






t

nn

t

b

t

anekcekcekcX

21

21


151


yxy

yxx

2

32

Soluccedilatildeo


012

32

0)det(

IA

41

043

0622

0)1)(2(

21

2

2

e

Para 11 temos

0

0

22

33

0

0

)1(12

3)1(2

0)(

b

a

b

a

K

K

K

K

KIA

1

1

1

022

033

1K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba

Para 42 temos

0

0

2

32

0

0

412

342

b

a

b

a

K

K

K

K

2

3

2

2

3

032

032

2K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba


ii eKx temos

tt eXeX 4

212

3

1

1


tt

tt

tt

eCeCy

eCeCx

eCeCy

x

XCXCX

4

21

4

21

4

21

2211

2

3

2

3

1

1


152




t

ekX 1

11

e t

ekX 1

12




Exemplo

Resolva o sistema

yxdt

dy

yxdt

dx

45

6

Soluccedilatildeo

045

16

0)det(

IA

2

525

2

410

2

11610010

02910

054624

05)4)(6(

2

2

i

i

Para i25 temos

ab

ba

b

a

b

a

KiK

KKi

K

K

i

i

K

K

i

i

KIA

)21(

0)21(

0

0

)21(5

121

0

0

)25(45

1)25(6

0)(


153

iKi

K


2

0

1

1

21

1

1

11

tt

tt

tt

tt

t

t

etsentCetsentCy

etsenCetCx

etsent

tsenCe

tsent

tCX

etsentCetsentCX

XCXCX

etsentX

etsentX

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

2221

5

2

5

1

)22cos2()222(cos

)2()2cos(

22cos2

2

222cos

2cos

21

12cos

2

02

2

02cos

1

1

21

12cos

2

0

22

02cos

1

1





t

ekX 1

11

tt

ektekX 21

212


para o sistema

t

m

tm

tm

mmeke

m

tke

m

tkX

21

)2()1(

2

2

1

1




PeKteX 11

2

()

Onde


154

nk

k

k

K2

1

e

np

p

p

P

2

1


0)()( 11

11 tt

eKPAPteKAK


KPIA

KIA

)(

0)(

1

1

Exemplos


zyxz

zyxy

zyxx

22

22

22

0

122

212

221

51

Re

0593

0593

012121733

0)1(1216133

0)1(4)1(4)1(488)1(

321

23

23

23

23

3

e


Para 11 temos

21

0|222

0|222

0|222 1

L

31

21

)2(

2

0|222

0|222

0|111

LL

LL

0|000

0|000

0|111

cba

cba

KKK

KKK


0

1

1

1K


155


1

1

0

2K



teX

0

1

1

1 e teX

1

1

0

2

Para 53 temos

31

21

21

)2

1(

0|422

0|242

0|224

LL

LL

32

12

)1(3

2

0|330

0|330

0|224

LL

LL

)1(

)4(

0|000

0|330

0|404

2

1

L

L

0

0

cb

ca

KK

KK

cb

ca

KK

KK


1

1

1

3K

ttt eCeCeCX 5

321

1

1

1

1

1

0

0

1

1


yxy

yxx

92

183

092

183

3

Re

096

0369327

036)9)(3(

21

2

2



156

Para 321 temos

ba

ba

ba

b

aKK

KK

KK

K

K3

062

0186

0

0

62

186

fazendo 1bK temos

1

31K


1 1

3

2

1

1

3

p

pPK

IPSLL

L

L

p

p

KPIA

KPIA

0002

131

2131

2131

2

6

162

3186

1

3

62

186

3

21

2

1

2

1

1

21

21

32

1

2

13

pp

pp

fazendo

02

10

2

121 Ppp

ttt

tt

eetCeCX

eetX

33

2

3

1

33

2

02

1

1

3

1

3

02

1

1

3


157


1) Resolva

z3ydt

dz

zy5xdt

dy

zyx4dt

dx

2) Resolver X21

82acuteX

3) Resolver X1

2

121

acuteX


yxy

yxx

3

4

5)

yxdt

dy

yxdt

dx

34

2

6)

yxdt

dy

yxdt

dx

22

5

24

7)

yxdt

dy

yxdt

dx

25

6

8)

yxdt

dy

yxdt

dx

32

5

9)

yxdt

dy

yxdt

dx

39

3

10)

yxdt

dy

yxdt

dx

53

3

Respostas

1) t53

t42

t31 e

1

8

1

ce

1

1

10

ce

1

0

1

cX

2)

t2sen

t2sen2t2cos2c

t2cos

t2sen2t2cos2cX 21

3) t

2t

1 etcos

sent2ce

sent

tcos2cX

4)

ttt etececX

1

1

1

2

1

221

5) tt ececX

1

1

2

12

5

1

6) tt ececX

5

2

1

22

3

1

7) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin2

sin

sincos2

cos

8) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin

sin

sincos

cos

9)

414

1

3

1

3

121 tccX

10)

ttt etececX 22

2

2

10

31

1

1

1

1


158

AULA 28








Exemplos


41034

66

tyxy

tyxx


XX

XAX

34

16


034

16

0)det(

IA

72

0149

043618

0)3)(6(

21

2

2

e


Para 71 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

44


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

4

1

04

0

0

14

14

fazendo 4bK temos

4

12K


tt

tt

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

2

7

1

2211

2211

4

1

1

1

21


159


c

aX

dct

batX

t

ttf

p

p

410

6)(


cdbtca

adbtca

t

t

t

t

dctbat

dctbat

c

a

t

t

dct

bat

b

a

34)34(

6)6(

104

6

410

6

3344

66

410

6

34

16

7

107

242

7

4

62814

234

6318

6434

26

434

06

6

1262

662814

1034

18318

1034

66

d

db

bdb

db

db

db

db

cdb

adb

c

ca

aca

ca

ca

ca

ca

Logo

7

106

7

42

t

tX p


7

106

7

42

4

1

2

12

2

7

1

2221

t

teCeCX

XXCXCX

tt

p


160


5

3

yxy

yxx

XX

11

11


011

11

0)det(

IA

20

0)2(

0121

01)1(

21

2

2

e


Para 01 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

12K


t

tt

tt

eCCX

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

21

2

2

0

1

2211

2211

1

1

1

1

1

1

1

1

21


c

aX

dct

batX

tf

p

p

5

3)(



161

5

3

)(

)(

5

3

11

11

dbtca

dbtca

c

a

dct

bat

b

a

ca

ca

0 fazendo 11 ca

4

1

3

db

adb

adb

4

51

5

db

db

cdb

Fazendo 04 db

t

tX p

4

Logo

t

teCCX t 4

1

1

1

1 221








CtX )(



)()( tUtX p


)()( tFXtAdt

dX

entatildeo



162



)()()( tFtUt

)()()()()( 11 tFttUtt

)()()( 1 tFttU

dttFttU )()()( 1

entatildeo

dttFttX p )()()( 1


Exemplo

Resolva o sistema

teyxy

tyxx

42

33


XX

42

13


043

13

0)det(

IA

25

0107

024312

21

2

2

e


Para 51 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

2

1

02

0

0

12

12

fazendo 2bK temos

2

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

22


1

12K


2

1

25

25

2

2

5

1

2211

2211

21

1

2

1

21

C

C

ee

eeeCeCX

eKCeKCX

XCXCX

lfundamentamatriz

tt

tt

tt

tt


163


tt

tt

ee

ee25

25

2

212

10

01 LL

t

tt

e

ee2

25

30

12

312

01

LL

t

t

e

e2

5

30

0

2

2

1

5

2

112

31

31

Le

Le

t

t

10

01

tt

tt

ee

ee

22

55

3

1

3

23

1

3

1

Logo

tt

tt

ee

ee

22

55

1

3

1

3

23

1

3

1

tt

tt

tt

tt

ete

ete

e

t

ee

eetft

2

45

2

55

1

6

3

3

13

23

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

eete

eetedt

ete

etedttft

22

455

2

45

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

6

3

3

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

p

eete

eete

ee

eedttfttX

22

455

25

25

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

2)()()(

t

t

p

t

t

p

tt

tt

p

et

etX

et

etX

eetet

etetX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

2

3

50

63

5

24

3

50

81

5

18

3

1

2

3

2

1

25

6

5

62

33

4

1

25

3

5

3

3

1

Soluccedilatildeo

t

t

tt

et

eteCeCX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

1

1

2

12

2

5

1


164



1)

122

433

yxdt

dy

yxdt

dx

2)

2

2

4

3

53

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx


indeterminados

3)

52

732

yxdt

dy

yxdt

dx

4)

53

23 2

tyxdt

dy

tyxdt

dx

Respostas

1)

10

15

11

11

2

3

1

121 teccX t

2) 2223

22

1

49

215

413

213

3

10

1

2 tttt

eteececX

3)

3

1

1

3

1

121

tt ececX

4)

43

2

414

1

43

41

1

1

1

1 242

21 ttececX tt


165

AULA 29



xCey 2

2

02


44

0

33

2210 xCxCxCxCCxCy

n

nn

1

1

34

2321

432

n

nnxnCy

xCxCxCCy


021

1

n

nn

n

nn xnCxnC

Trocando

1

1

01

1

Nn

Nn

n

n

II

NN

NN

I

n

nn xCNxnC

011

)1(

1


0

2321)1(

2321

1

1

32)1(

32

N

NN

n

nn

xCxCCxCNII

xCxCCxnCI

Satildeo iguais

Voltando


166

0)1(

2

02)1(

02)1(

02)1(

1

1

0

1

01

1

nn

CC

CCn

xCCn

xCxCn

nn

nn

n

nnn

n

nn

n

nn

Para

234

)2(

234

)2(2

4

23

23

)2(

23

)2(2

3

22

2

)2(

2

)2(2

2

21

21

20

04

03

34

03

02

23

02

012

00

1

CCCCn

CCCCn

CCCCn

CC

Cn


1

)2( 0

nn

CC

n

n

Entatildeo

0

44

33

2210

n

nn xCxCxCxCCxCy C

0

0

1

0

443322

0

30

320

20

0

)2(

)2(1

4

2

3

2

2

2

1

21

3

)2(

2

)2(

1

2

n

nn

n

nn

n

xC

n

xC

xxxxC

xCxCxCC

Como

3

)2(

2

)2(21

321

322

32

xxxe

xxxe

x

x

Logo

xeCy 2

0


167


2

ydx

yd

i

1

01

2

2

senxCxCy 21 cos


2

2

1

1

0

)1(

n

nn

n

nn

n

nn

xCnny

xnCy

xCy

2

2

2

Nn

Nn

n

24

132

0

)2(

22

)2(

2

2

34232

)1)(2()1)(2()1(

xCxCC

xCNNxCNNxCnnyN

NN

N

NN

n

nn

Que fica igual a

24

132

2


nn

Logo substituindo

2

2)1(n


0)1)(2(02

)2(

n

nn

n

nn xCxCnn

0)1)(2(2

)2(

n

n

nn xCCnn

0)1)(2( )2( nn CCnn

0)1)(2(

)2(

n

nn

CC n

n

para 12

0 02

CCn

para 23

1 13

CCn

para 412

)(

34

1

342 002

4

CCCCn


168

para 523

)(

45

1

453 113

5

CCCCn

para 6456

1

564 004

6

CCCCn

para 7567

1

675 115

7

CCCCn

765432

17

06

15

04

13

02

CC

CC

CC

CC

CC

CC


1)12(

)1(1

)2(

)1( 1)12(

02

k

k

CCk

k

CC

k

k

k

k

Voltando

0n

nnxCy

5

53

314

42

20 xCxCxCxCxCCy

senxCxCy

k

xC

k

xCy

xxxxC

xxxCy

n

kk

n

kk

n

10

0

12

1

0

2

0

753

1

642

0

0

cos

)12(

)1(

)2(

)1(

7536421


169

REFEREcircNCIAS









3




AULA 9 42



AULA 10 45


AULA 11 48






AULA 12 52


AULA 13 54



AULA 14 58


AULA 15 60




63 MEIA VIDA 63



66 RESFRIAMENTO 66

67 MISTURAS 68







AULA 16 87


AULA 17 89



4




AULA 18 94


AULA 19 97



AULA 20 100


AULA 21 103


AULA 22 109


AULA 23 111









AULA 24 128



AULA 25 131


AULA 26 134



5









AULA 27 150





AULA 28 158




AULA 29 165



6

AULA 1



1) dxx )13( R Cxx

2

3 2

2) dxx

x

4= R Cxx 48

3

2

3)

dxx

x2

2 )1( R C

xx

1

4)

21 x

dx R Carcsenx

5)

dxx

x21

R Cx 21ln2

1

6) )1( 2xx

dx R C

x

x

1ln

2

12

2

7)

21 x

dx R Cx arctan

8) 42x

dx R C

x

x

2

2ln

4

1

9) x

dx

3 R C

x

3

1ln

10)

dxx

x3

21 R Cx

x ln

2

12

11)

dxx

x3

2 )1( R Cx

x ln

2

12

12) dxx

x

tan

sec2

R Cx tanln

13)

dx

ax

ax22

22

R Cax

axax

ln


7

14)

dx

ax

ax22

22

R Ca

xax arctan2


9

1 3

16)

dx

xx

x

12

12

R Cxx 12ln2

1 2

17)

dx

xx

xx32

2

31

2 R Cxx 13ln

3

1 23

18)

dx

x

x21

1 R Cxx arctan1ln

2

1 2

19)

22 31231

3

xx

xdx R Cx 231ln 2

20)

dx

x

x

35

13 R Cxx 35ln

25

4

5

3

21)

dx

xx

x

145

152


1 2

22)

dx

x

x

10

12 R Cxx 10ln212

23) dxxe x )2(1

ln

R Cxx 2ln

24)

dxx

xe x

2

arctan

1



x

2

sin 2

26) dxxe x )2( 32

R Cex x 2

)1( 2

27)

dxxxe x

64

)123(4 22

R Cxxe x

4

3

22

3

16

22

28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(


8

AULA 2






derivada eacute 23

3

xedx


23 xydx

dy

(1)





















dx

dy




)(xfdx

dy


dxxfdy )(





9




1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos)(2 2

5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

2

2

2

2

2

8) y

zxz

x

z


131 TIPO








132 ORDEM



ordem

133 GRAU





10

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3

a ordem e 2

o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1

o grau



134 LINEARIDADE


)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n





independente x

Exemplos

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3


terceira ordem



Cxxy 4 ou BxAxy 2









11


a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy


f) xx eCeCy 2

23

1


12



1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx


5) 321 )( CexCCy x

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln



Respostas

1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2 ( ) 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy


13

AULA 3








21 CURVAS INTEGRAIS




xdx

dy2






















14

Exemplo


dy1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1



2

2

xxy

y

dx

dy


y


Exemplo

Verifique que 16

xy

4


xydx

dy no intervalo )(

Resoluccedilatildeo



dy 21


xydx

dy eacute


4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33


044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x










15



x0 e3ye3cec3







xy

4


0)0(y

xydx

dy 21








)yx(fdx










16


00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy









yfdx

dy (2)




)(

1

yfdx

dy (3)


y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)


1



1

yfdy

dx em





00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)


00)(

)(

1

xyx

yfdy

dx

(6)



17




kydx

dy (7)




0)(00

yxy

kydx

dy

(8)


00)(

1

xyx

kydy

dx

(9)


y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R


akydx

dy




18

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1

Portanto

k

ayea

kyeaky CxkCxk

1 )()(

Neste caso k




o grau

)( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx













CdyyQdxxP )()(

Exemplos



19

1) 13 xdx

dy

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx



20

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy


21





)(


diferenciais

2) 01

dx

dytgy

x

3) 0)1(4 22 dyxdxxy

4) 0)3()2( dyxdxy

5) 0)1( 2 dyxxydx

6) 42

2

x

e

dx

dy y

7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

8) dx

dyxyy

dx

dyxa

2


10) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 ndash a

2)(y

2 ndash b

2)dy = 0

11) 0)1( ydxdyx

12) 0)1( 2 xydxdyx

13) 0cos xydx

dy

14) xydx

dycos3

15) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas


nuacutemero real

2) x cos y = C

3) Cy

1)1xln(2 2

4) (2 + y)(3 ndash x) = C

5) C y2 = 1 + x

2

6) C2

xarctge y2

7) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

8) y

y

k

a a

ex

ln

2

9) tg x tg y = C

10) Cb

yarctgb2y

ax

axlnax


12) Cx1y 2

13) senxe

Ky

14) senxCey 3

15) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3

1)0(42 yydx

dy


22

AULA 4






Exemplos




2) 4y

x)yx(g

2

2


)yx(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()tytx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(xy) = 2x3 + 5xy




x

y1fx)yx(f n e

1

y

xfy)yx(f n


Exemplo


x

y1fx

x

y

x

y31x

x

y

x

y31x)yx(f 2

22

2

22

1

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)yx(f 2

22

2

22




Exemplos

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

y

xy

3)

x

yarctgy


23



Tem-se

N

M

dx

dy



x

yF

dx

dy (1)


variaacuteveis


y por u

xuy (2)


dx

duxu

dx

dy

(3)


x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(


Em resumo




separaacutevel


24

Exemplo

02)( 22 xydydxyx


25





3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0

5) (x2 + y


6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy




3

1)1(y

Respostas

1) y2 + 2xy ndash x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

221

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


26

AULA 5






222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy





eixos



11

ba


Resoluccedilatildeo

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa



dvdyvy

dudxux


27





22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv


vbua

vbuaF

du

dv

22

11


Exemplo


132

yx

yx

dx

dy


28


11

ba





Como 22

11

ba


escrever

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)


1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy


)(1

1

1

xatb

y


1

1

1a

dx

dt

bdx

dy


2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt



29


12

yx

yx

dx

dy


30




3) 0dy)8y5x(dx)xy3(

4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

5) yx1

y3x31

dx

dy

6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

7) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas


2 + 2y = K


3) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C

5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

7) x2 - 4y

2 - 6xy - 2x + 4y = K


31

AULA 6





x

N

y

M



dyy

udx

x

udu

(2)


)( yxMx

u

(3)

e

)( yxNy

u

(4)



)()()( ygdxyxMyxf

(5)


)()(

ygy

dxyxM

y

f

(6)


)()()(

yxNygy

dxyxM


1

)()()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)


Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

)(

)()()(


Cdy

y

PNMdxyxU )(



32

Exemplos

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


33


1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y ndash 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0


5) 0)( 22 drrdre

Respostas

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22


34

AULA 7



N

y

M




u

e NF

dy

u


FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F



x

NFN

x

F

y

MF


x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo dxx

N

y

M

NdF

F

11


dxxRexF

)()(

onde

x

N

y

M

NxR

1)(


dyyReyF

)()(

onde

x

N

y

M

MxR

1)(


35

Em resumo


N

y

M




F(x) F(y)

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos


integrante

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


36

2) (x2 ndash y

2) dx + 2xy dy = 0







2)1(y

5) 0xdy2dx)xy( 2

6) 0xdylnxdx)yx(

7) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

Respostas

1) x2 cos y + x

4 = C

2) Ctgyex 2

3) Ceseny x

4) xxy 32

5) k5

x2xy2

25

6) kxlnyx

7) Kyxx 22


37

AULA 8



o grau tem a forma

)()( xQyxPdx

dy

(1)



desse tipo a saber




nosso problema

QPydx

dy


0)( dydxQPy



0 dyedxQPyePdxPdx


QPyeMPdx

e

Pdx

eN


Pdx

Pey

Me

Pdx

Pex

N



38

Exemplo1


y

dx



39







dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)


QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)








eeey Fazendo

Cek temos Pdx










dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

Daiacute Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx


1




40


ZPdx

1


ldquoZrdquo

CQdxek

keyPdxPdx 1


CdxQeeyPdxPdx

(8)


Exempo 2


y

dx

dy por Lagrange


41


1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycostan

4) xx

y

dx

dy

5) 32

xx

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan


xydx

dy

cos

1tan


dy

Respostas

1) Cxx

y )ln(sin1


3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


42

AULA 9


LINEARES






nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)



EDO linear

Pois se



Soluccedilatildeo




dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)


nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

2




43

Como ty n 1 temos

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(


Exemplo

232

xyx

y

dx

dy


44


1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 02 2 xydx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas

1) 2

1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

)ln(

1

3) 12 2223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


45

AULA 10



)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

(1)





Resoluccedilatildeo



zyy 0 (2)



RQyPydx

dy 0

2

0

0

(3)


dx

dz

dx

dy

dx

dy 0

(4)


RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

0

0


RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)








46


2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)


Em resumo




Exemplo


dyx

e



47



2

x

y

x

y

dx



2) Mostrar que x

y1


2 2

xy

dx


geral


dy calcular a



121 2

xy

xy

xdx


particular



particular

Respostas

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


48

AULA 11





diferencial










49







0)(

0)(

yxf

yxf

(1)



Exemplo


a 5


50



0

dx

dyyxF


geral

particular





original



0

dx


0

0

dx



Exemplo


22

x

dx

dyx

dx

dyy


51



a)

1

4 2 xy

b) 0)2(2 222 yyx


2

2

y

dx

dyy


2

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

1) a ) xy 273

b) 042 yx

2) 1y


4



52

AULA 12



dx

dy

dx

dyxy

Resoluccedilatildeo

Chamando pdx

dy



dx

dppp

dx

dpx

dx

dy)(1

0)( pxdx

dp (2)

0dx

dp Cp



De (2) tem-se

0)( px (3)

xp )(


singular

Exemplos



53


0

2

y

dx

dyx

dx

dy




Clairaut

a dx

dy

dx

dyxy ln

b

2

3

dx

dy

dx

dyxy

c 01

23

dx

dyy

dx

dyx

d 045

y

dx

dyx

dx

dy

e 2

4

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

a ClnCxy (geral)

xln1y (singular)

b 2C3Cxy (geral)

y12x2 (singular)

c 2C

1Cx (geral)

23 x27y4 (singular)

d 04)xCy5(C (geral)


e 2C4Cxy (geral)

2

222

x1

)x1(4y

(singular)


54

AULA 13



dx

dy

dx

dyFxy

(1)


dx

dy

dx

dyF

Resoluccedilatildeo


Chamando pdx



dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(

dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(



)(

)(

)(

)(

pFp

px

pFp

pF

dp

dx


QPxdp

dx



)(

)(

pyy

pxx


55

Exemplo


2

1

dx

dyx

dx

dyy


56



a)

2

24

dx

dyxy

b)dx

dy

dx

dyx lnsin


57


1) dx

dy

dy

dxxy

2)

dx

dydx

dyxy

12

3)

2

dx

dyx

dx

dyx2y

4)

2

dx

dy1

dx

dyy

5) dxdy

edx

dyy

2

6) dx

dy

dx

dyy ln2

2

7)

dx

dy2

dx

dyy

e

22

x

Respostas

1)

pCppp

y

Cppp

px

1ln1

1

)1ln(1

2

2

2

2

2)

2

ln

ln2

p

Cpx

p

Kpy

3)

Cp

Cy

p

Cx

2

2

4)

cppx

ppy

arcsinln

1 2

5)

p2

pp

epy

cpeex

6)

cp

2p2x

pln2py 2

7)

cy

pyp

p

pyx

arctanln

2ln

22

22


58

AULA 14



1) 0)2(3 dyyxydx

2) 02

dyyexdx x

3) 0)1( 2 dxydyx


5) )yxcos(dx

dy


7) dxyxydxxdy 22


9) 0)2( dyxxyydx

10) 0)52()42( dxyxdyyx

11)342

12

yx

yx

dx

dy

12) 0)139()23( dyyxdxyx

13)

01

2)cos()cos(

dy

yxxyxdx

x

yxyy

14) 0324

22

3

dy

y

xydx

y

x

15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx

16)yxy

xyx

dx

dy2

2


18)




20) dxexydxxdy x2

21) 02 xdyydxdyy

22) 0)ln( 3 dyxydxx

y


0 xeydx

dyx

24) 0)32(2 dyxydxy

25)22

2y

x

y

dx

dy

26) dxyyxdy )1( 2

27)22)1( xyxy

dx

dyx



dx




equaccedilotildees

29)

2

dy

dx

dx

dyxy

30)

2

1

dx

dy

dx

dyxy

31)dx

dy

dx

dyxy

32)dx

dy

dx

dyxy sin


33)

dx

dyx

dx

dyy 2

2

1

34)

2

2

dx

dy

dx

dyxy


59

Respostas

1) )ln(126 2 Cyxy

2) 22 2

Cey x

3) 1)1(ln xCy

4) Cyx secsecln


6) Cyyxx 323 32

7) 222 yxCxy

8) CX

yxy )ln(

9) Cyy

x ln

10) )3()1( 3 yxCyx

11) Cxyyx 48)584ln(

12) )126ln(62 yxCyx

13) Cyxyxy ln2)sin(

14) Cyy

x

13

2

15) Cyyxx 4223 3

16) Cyyx 222 )1(

17) Cxyyx cos

18) Cx)-y(2secysecx

19) 1cos2 xeyx

20)xxeCxy

21) Cyxy 2

22) Cyyx 3ln2

23)x

eabey

ax

24)y

Cyx12

25) 0122 xyyCx

26)2

22

xC

xy

27)

11

12

xC

y

28)1

2

x

xxx

Ce

eCeCey

29)

23

2

4

27

1

xy

CCxy

30)

2

2

2

1

)1(

1

x

xy

CCxy

31) CCxy


32)21arccos

sin

xxxy

CCxy

33)

221

21

2(6

1

)(3

1

pCpy

pCpx

34)

p

pCy

pp

Cx

3

2

3

2

3

3

2


60

AULA 15


MATEMAacuteTICOS













A seguir






















61






futuro








expressa por

kxdt

dx 00

)( xtx ktexx

0

(1)






dS a qual


Exemplo





62

Resoluccedilatildeo

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx


kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx ndash ln c = kt

lnc

x= kt

ekt =

c

x

x = cekt


0x

cex

0

00


kt0exx


3x0

40550k

k2

3ln

e2

3

exx2

3

k

1k00


t40550

0

kt0

exx

exx



63

70922t

0986121t40550

t405503ln

e3

exx3

t40550

t4055000


63 MEIA VIDA









AKdt

dA (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA kteAA 0

Exemplo




Resoluccedilatildeo

000

0

A999570A000430A15t

A0t


kAdt

dA

kdtA

dA

ln A = kt + c

ktc

Aln

kte

c

A

A = cekt


64


0

00

k00

Ac

ceA

ceA

0t


A(t) = A0ekt

A(15) = A0e15k

A(t) = 2

0A

099957 A0 = A0e15k teAtA

51088672

0 )(

Ln099957 = ln e15t 000028670

0

0 2

eAA

-000043 = 15 k te 000028670

2

1

K = - 2866710- 5

-06931 = - 000002867t

t = 24180

t 24180 anos


t10866720

0

5eA)t(A

2

A)t(A


3717924t

t1086672693150

t108667250ln

e50

eA2

A

5

5

t1086672

t10866720

0

5

5



65









AKdt

dA (2)

























5600 anos



Turim




66

Exemplo



Resoluccedilatildeo

A(t) = A0ekt

5600

0

0 2

keAA

ke5600ln2

1ln

5600k = - 06931

K = - 0000123776


A(t) = A0e- 0000123776t

teAA 0001237760

00 100

1

te 0001237760ln

100

1ln

- 0000123776 t = - 69077

t = 55808


66 RESFRIAMENTO







)TT(Kdt

dTm (3)

mkt TceT




67

Exemplo




Resoluccedilatildeo

T(0) = 3000F )( mTTk

dt

dT

T(3) = 2000F )70( Tk

dt

dT

T() = 750

kdt

T

dT

)70(


ktc

T

70(ln

c

Tekt 70


70 ktecT


T(0) = 3000

300 = Cek0

+ 70

C = 2300

Logo

T = 230ekt + 70


200 = 230e3k

+ 70

230 e3k

= 130

230

1303 ke

230

130lnln 3 ke

1901816190k

5705448580k3


70e230)t(T t190180

]


7023075 190180 te

230

7075190180 te

- 019018t = ln230

5

t = 2013



68

67 MISTURAS









se RR

dt

dA

sal de

saiacuteda de Taxa

sal de

entrada de Taxa (4)



salde

entrada de taxa

entrada de fluxo no


salmourade

entrada de Taxa

e





min100

300

min)3(

sal de

saida de taxa



salmoura de

saiacuteda de Taxa

lbA

gallbA

galRs


100

6A

dt

dA (5)

Exemplo





69

Resoluccedilatildeo

100

100100

100100

600

600

6

6100

1

1006

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

Adt

dA

A

dt

dA

Para 50)0(A temos

550

60050 0

C

eC


100550600t

eA




(300 gal)(2lbgal) = 600 lb








gallb

t

AgalRs

300min)2(


t300

A26

dt

dA

ou 6A

t300

2

dt

dA

t(min) A(lb)

50 26641

100 39767

150 47727

200 52557

300 57262

400 58993


70


27 )300)(10954(2600)( tttA






2

2










ghAdt

dVh 2 (6)





dhA

dt

dVw



ghA

A

dt

dh

w

h 2 (7)




71

Exemplo




Resoluccedilatildeo


Logo tem-se que


(1)




pura no tanque


72








kxydt

dx (8)





)1( xnkxdt

dx (9)


Exemplo






Resoluccedilatildeo








73

(

)

Integrando

int

(

) int

int

int int

(

)

(

)


Entatildeo




74

610 CORPOS EM QUEDA














mgdt

sdm

2

2

ou gdt

sd

2

2

(10)










gdt

sd

2

2

0)0( ss 0)0( vs (11)





2

2

1)( stvgtts

Exemplo







75

Resoluccedilatildeo


sentido para baixo


dvg


cgtv

gdtdv

gdtdv



cgt

tx

tdtgdx

gtdtdx

gtdt

dx

2)(

2


)(2gt

tx


1002gt


st

t

5420

2

10100

2


76













oposta ou para cima




dt




instante t

kvmgdt

dvm (12)



dsv e

2

2

dt

sd

dt



dt

dskmg

dt

sdm

2

2

ou mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

(13)


77

Exemplo






Resoluccedilatildeo







dt


gvm

k

dt

dv (1)


mgcev

tm

k

Em t=0

v=v0 logo k

mgcev m

k

0

0 ou

k

mgvc


k

mgce

k

mgvv

tm

k

0


78



(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)












79

Peso da corrente


Massa da corrente

m = Wg = L 32


xpxL

xL

F 222

Uma vez que Famdt

xda

2

2

torna-se

x

dt

xdL

2

32 2

2

ou (14)

064

2

2

xLdt

xd

Exemplo





6219 LP e

Resoluccedilatildeo

(

) (

)

Sendo frasl

Como

Sendo


80












voltagemdequeda


Indutor

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

diL

dt

dqRiR

iR

R

voltagemde queda


Resistor

q

c

fC

1 voltagemde queda


Capacitor


ordem

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL


81





)(tERidt

diL






)(1

tEqC

Ri



)(1

tEqCdt

dqR

Exemplo



Resoluccedilatildeo


diL Para i(0) = 0


1 i

dt

di ce0

5

60


di

5

6c



82

Logo

tdtPdt 2020 tei 20

5

6

5

6

cdxeei tt 242020

ceei tt 2020

20

24

cei t 20

5

6










t Use E = 30 V




corrente i(t)







triplicaraacute





30 anos





instante t



83














trecircs anos




















15ordmF











84




















instante t



















instantacircnea


85





abre o paraquedas




0C













RESPOSTAS

1) tetI 355)(

2) tei 2510

3) tcei 500

5

3 e 5

3)(lim

ti

t

4) tceq 50

100

1 onde 100

1C e

tei 50

2

1

5) tceq 200

1000

1

tcei 200200


86

500

1C


ampi 14720)0050(

1000

1q

6) 792 anos

7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604

8) N(30) = 760

9)

10)

11)

12) 1155

13) R$ 927143

14)

15) t = 11 horas

16) t = 13672 horas

17) 885 gramas

18) 15600 anos

19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min

20) t = 60 min


22) rkpdt

dP rkp

dt

dP

23) 2

21PkPk

dt

dP

24) )1000( xkxdt

dx

25) 100

A

dt

dA


27) hc

dt

dh

450

28) 2kvmg

dt

dvm

29) 70ms



31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50

32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100

00975 lbgal

33) 6438lb


87

AULA 16


ORDEM SUPERIOR


ByAdx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0





onde







isto eacute ctexhxy

xy )(

)(

)(

1

2


fundamental)

Exemplo

y + y = 0


y2(x) = cos(x)

ctexx

x

xy

xy )tan(

)cos(

)sin(

)(

)(

1








cte)x(h)x(y

)x(y

1

2

)()()(12

xyxhxy


88




a) 0y9xy5yx2 com 3

1 x)x(y

b) 0y3yx4 2 com 21

1 x)x(y

c) 0y4

1xxyyx 22

com xcosx)x(y 2

1

1

Respostas

a xlnx)x(y 32

b 2

x)x(y

23

2 c senxx)x(y 21

2


89

AULA 17


CONSTANTES


ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

onde A0 A1 A2An

satildeo constantes

Resoluccedilatildeo


dyA 10

yAdx

dyA 10

dxA

A

y

dy

0

1

CxA

Ayln

0

1

CxA

A

0

1

ey

C

xA

A

eey 0

1

Chamando 0

1

A



0bydx

dya

dx

yd

2

2



xλey

xλeλy

xλ2eλy


0e)bλaλ(

0beeλaeλ

xλ2

xλxλxλ2


90





xλ

11ey

xλ

22ey


xλ2

xλ1

2211

21 eCeCy

yCyCy


xλ

nxλ

3xλ

2xλ

1n321 eCeCeCeCy



xey 2



2

x

x

e

e

y

y

constante




xλ2xλxλ2

xλxλ2

xλ2

12

heλehλ2ehy

heλehy

ehy

)x(y)x(h)x(y



Reordenando

0)()2( 2 hbahahe x


Entatildeo

KCxh

Ch

h

0

Logo

xeKCxy

yhy

)(

2

12


91


xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

221

21

2211

)(

)(


temos

x

xx

exCCy

xeCeCy

)( 21

21


xλ1nn

2321 e)xCxCxCC(y




bix2

bix1

ax

bixax2

bixax1

x)bia(2

x)bia(1

eCeCey

eeCeeCy

eCeCy


θisenθcose

θisenθcose

θi

θi

Com isso

senbxCCibxcosCCey


2121ax

21ax

Fazendo

C1 + C2 = C1

i(C1 ndash C2) = C2

temos

senbxCbxcosCey 21ax


92

Exemplos

1) 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd




93


1) 065 yyy

2) 01243 yyyy

3) 022 yyy com 1)0( y e 02

y

4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y

5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y

6) 09 2 yy

7) 069 yyy com 4)0( y e 3

13)0( y

8) 02 2 ykkyy

9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y

10) 0344 yyy com ey )2( 2

)2(e

y

11) 0127 yyy

12) 054 yyy

13) 075 yyy

14) 02 yyy

Respostas

1) xx eCeCy 3

22

1

2) xxx eCeCeCy 2

33

22

1

3) xey x cos

4) xx eey 55 22

5) xx eey 273

6) xπ3

2xπ3

1 eCeCy

7) 3

xe)x34(y

8) kx

21 e)xCC(y

9) 2

x4

xe50e30y

10) x50ey

11) x4

2x3

1 eCeCy


x21

13)

2

3xsenC

2

3xcosCeCy 32

2

x5

1

14)

xexCCy )( 21


94

AULA 18

72 EULER - CAUCHY


ByAdx

dybaxA

dx

ydbaxA

dx

ydbaxA

n

n

n

n

012

2

2

2)()()(


teabax



02 byaxyyx

Faremos

y = xm

yrsquo = mxm-1

yrdquo = m(m-1)xm-2



m = 0

como y(x) = xm




21

21)(mm

xCxCxy


)xln(xCxC)x(y m2

m1

mxxCCxy ))ln(()(

21



xbCxbCxxy a


95

Exemplos

012)12(2)12(2

2

2 ydx

dyx

dx

ydx

0222 yxyyx


96


1) 0202 yyx

2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx

3) 04324610 2 yxyyx

4) 02 yxyyx



Respostas

1) 5

24

1 xCxC

2) 3

32

21

)x1(

C

)x1(

C

1x

Cy

3) 81

21 x)xlnCC(y


5) 25

x)xln2(

6) xlnx3 2


97

AULA 19


10

00

)(

)(

)()()(

Kxy

Kxy

xryxqyxpy

IVP



yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)



)()()( xyxyxy ph










xαke xCe

)10n(kxn

011n

1nn

n CxCxCxC

xαKsen


xβsenke

xβcoske

xα

xα


obs


o

coluna




98

Exemplo

0)0(

1)0(

2 2

y

y

xeyyy x


99


1) xsenyy 34

2) 325102 2 xyyy

3) xseneyyy x 53712352 5

4) 1265 2 xyyy

5) xyy 314

6) 1232 2 xxyy

7) xeyyy 3127

8) xeyyy 28107

9) xeyyy 2844

10) xeyy 434

11) xsenyyy 2334

12) x4sen8dx

yd4

dx

yd

2

2

4

4

13) xsenyy 2124

14) senxyy 4

15) senxydx

yd

dx

yd42

2

2

4

4


4)0( y e 8)0( y

17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e

0)0( y

Respostas

1) x3sen5

1x2Bsenx2cosA

2) xx2

5)x3senCx3cosC(e 2

21x


x71

4) 27

5

9

x5

3

xeCeCy

2x3

2x2

1

5) 4

xx

8

3eCeCCy 2x2

3x2

21

6) 8

x3

12

x

8

xeCxCCy

234x2

321

7) xx4

2x3

1 e20

3eCeCy

8) x2x5

2x2

1 xe3

8eCeCy

9) x22x2

2x2

1 ex4xeCeCy

10) x4

21 e20

3x2senCx2cosCy

11) )x2cos8x2sen(65

3eCeCy x3

2x

1

12) 40

x4seneCeCxCC x2

4x2

321

13) x2cos4

3eCeCCy x2

3x2

21



xy 4321

2

16) 424 xey x

17) xxx xexeey 222

4

1

2

1

16

1

16

1


100

AULA 20




yn + Pn-1(x)y






Onde

dxxW

xrxWu

)(

)()(11 dx

xW

xrxWu

)(

)()(22 dx

xW

xrxWu n

n)(

)()(


)()(

11

2

1

1

2

1

21

21 xW

yyy

yyy

yyy

yyyW

n

n

nn

n

n

n



11

2

2

2

1

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

11

1

1

1

2

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

1

0

0

1

2

1

1

2

1

21

nn

n

yy

yy

yy

W


n natildeo se



u(x)y1(x) + v(x)y2(x)

onde

dx)x(w

)x(r)x(y)x(u 2 e dx

)x(w

)x(r)x(y)x(v 1



101



102




3cosx


-4


2 ndash 15x

3



4lnx


7) 1x2x3dx

yd4

dx

yd 2

2

2

4

4



Respostas

1) 9

260x

3

65eCeCy x

2x3

1

2) xcosxxCxCy 221

3) 432

21 x

2

1xcxcy

4) 3

)xx(xCxCy

322

3

22

1

1

5)

6

11xln

6

xxCxCxCy

43

32

21

6) x13

121 exxCxCCy

7) 8

x

8

x

12

x

16

xeCeCxCCy

234x2

4x2

321

8) xx23

x22

x1 e2eCeCeCy

9) 4

x5

4

xeCeCCy

2x2

3x

21


103

AULA 21






dx

dD

2

22

dx

dD

3

33

dx

dD

7332 Propriedades




P3Dm

(Dn

u)=Dm+n



dxueeu

aD

axax 1

a


du a



Exemplo

ay + by + cy = g(x)


(aD2 + bD + c)y = g(x)


1nn

n ADADADAL com


1nn

n ArArA


Exemplo


0y)2D( 2


104






polinocircmio 1n

1n2


potencia de )D(x n


Soluccedilatildeo


0)x8x51(D 324




Soluccedilatildeo




Vamos verificar

0e12e12e12De6)e6)(2D(


]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(

)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2

x2x2x2x22




xα1nxα2xαxα

xα1nax2xαxα


Soluccedilatildeo

5D2D)]41(D)1(2D[

1n01n2β1α

212


105

Vamos verificar







xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx2x2





zero

221

zero

1122121

2211212121

)y(LL)y(LL)yy(LL

)y(LL)y(LL)yy(LL


Soluccedilatildeo



Logo

0)x3sen6x7)(9D(D 22



1nn

n ADADADA





nuacutemeros reais






0)y(L


106











2

ydx

dy

dx

yd

2) 0442

2

ydx

dy

dx

yd


2

2

x4y2dx

dy3

dx

yd


107


108




2) senxydx

dy

dx

yd 65

2

2

3) senxeydx

dy

dx

yd x 232

2

4) (D3-16D)y=e

4x + 1

5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e

3x

6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe

-2x

7) xx eeyDD 23212

8) 142 xyD

9) x32 ey6D5D

10) senx4e8y3y x3

11) xey

dx

yd 2

2

Respotas

1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xcos10

1senx

10

1eCeCy x3

2x2

1

3) senxxcos2

eeCeCy

xx2

2x

1

4) 16

xe

32

xeCeCCy x4x4

3x4

21

5) x3x4

2x3

1 xe5eCeCy

6) x2

2x2x2

3x

2x

1 e18

xe

27

x2eCxeCeCy

7) xx2x2xx e

6

1ex

2

3CeBxeAey

8) 4

1

4

xBeAey x2x2

9) x3

2x2

1x3 eCeCxey

10) senx5

2xcos

5

6xe

3

8eCCy x3x3

21

11) 2

xeeCeCy

xx

2x

1


109

AULA 22



1) xsenxedx

dy

dx

yd x 2234 2

3

3

2) xex

dx

dy

dx

yd

dx

yd 2

2

2

3

3

3265

3) 13 2

2

2

xesenxydx

yd

4) 1284 2

2

2

xxydx

yd

5) 222

2

3

3

xdx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 1234 3

2

2

4

4

xxdx

yd

dx

yd

7) xey

dx

dy

dx

yd 3232

2

8) xey

dx

yd 2

2

2

44

9) xey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

344

10) xey

dx

dy

dx

yd22

2

2

11) senxydx

dy

dx

yd223

2

2

12) xdx

dy

dx

ydcos34

2

2

13) xsenydx

yd2316

4

4

14) xydx

yd2cos54

2

2

15) 52 2

2

2

xedx

dy

dx

yd

16) xxey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

44

17) xeydx

dy

dx

yd x 2cos8822

2

18)

2244 2

2

2 xey

dx

dy

dx

yd x

19)

20)

21)

senxy

dx

yd 12

2

22) xyxyyx 3222

23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2

22

3

33 xy

dx

dyx

dx

ydx

dx

ydx

x

ey

dx

dy

dx

yd x

22

2

xy

dx

yd

cos

12

2


110

RESPOSTAS

1)

4

x2xsen

8

x

16

e3x2senCx2cosCCy

2x2

321

2)

2

3

18

5

6

223

3

2

21

xxx xe

xx

eCeCCy

3) 132

3 2

21 x

xx esenxeCeCy

4) 44

2 22

2

2

1 xxeCeCy xx

5)

4

5

4

22

321

xxeCeCCy xx

6)

848

5

80

3 2352

4

2

321

xxxeCeCxCCy xx

7)

2

2

21

xxx e

eCeCy

8) xxx xeeCeCy 22

2

2

1

9) xxx exxeCeCy 222

2

2

12

3

10) )( 2

21 xxCCey x

11) senxxeCeCy xx

5

1cos

5

32

21

12) )4(cos17

34

21 senxxeCCy x

13)

32

2cos322cos 43

2

2

2

1

xxxsenCxCeCeCy xx

14)

8

2cos52

2

2

1

xeCeCy xx

15)

22

5 22

21

xx xex

eCCy

16) xe

xxCCy 2

3

216

17) )22cos3(5

1

9

14

2

2

1 xsenxeeCeCy exxx

18)

8

1)( 22

21

xexxCCy x




22) xxxCxCy ln32

21

23)

36

11)1ln(

6

1

)1()1(1 3

3

2

21

xx

C

x

C

x

Cy


111

AULA 23























somente 25 peacute




2 ou 980

cms2

equiliacutebrio

Posiccedilatildeo

inicial

g

K(s+x)


112






kxksmgkxmgxskdt

xdm

zero

)(2

2

(1)






02

2

2

xdt

xd (2)

onde mk 2









=0 satildeo














113



Exemplo





Soluccedilatildeo





M = Wg = 232 = 116 slug


Logo (1) resulta em

xdt

xd4

16

12

2

0642

2

xdt

xd

2 = - 64

= 8i







tsenttx 816

18cos

3

2)(











que


114

dt

dxkx

dt

xdm

2

2

(4)




amortecido

02

2

x

m

k

dt

dx

mdt

xd (5)

ou

02 2

2

2

xdt

dx

dt

xd (6)

onde

m

2 e

m

k2


m2 + 2 m + 2 = 0


22

1 m e22

2 m





022

tmtm

eCeCtx 21

21)( (7)



022

tCCetx t

21)( (8)





115


022


tsenCtCetx t 22

2

22

1cos)(

(9)



Exemplos




para cima

Soluccedilatildeo



dt

dx2x4

dt

xd

4

1

2

2

01682

2

xdt

dx

dt

xd


X(t)= C1 e ndash 4t

+ C2te - 4t




X(t) = - 3te -4t





instantacircnea

Soluccedilatildeo





116

dt

dxx

dt

xd 5

2

12

2

01022

2

xdt

dx

dt

xd





tsentetx t 3

3

23cos2)(







)(2

2

tfdt

dxkx

dt

xdm (10)


)(2 2

2

2

tFxdt

dx

dt

xd (11)




Exemplo


dx21

dt

xd

5

1

2

2

com2

1)0(x

e 0)0(x


117

Soluccedilatildeo










01062

2

xdt

dx

dt




504cos

102

25)cos()( 21

3


tsentsenttetx t 451

504cos

102

25)

51

86cos

51

38()( 3






Exemplo


xd 0

2

2

2


constante e

)(

2

2

tfkxdt

xdm

Soluccedilatildeo



tsenFtsenBtAxx pp 0

22222 )(cos)(


FB

220

Logo

tγsen)γω(

F)t(x

220

p


118



F)t(x

220

com ωγ



)(2

2

tEC

q

dt

dqR

dt

qdL (12)





LR


LR

Subamortecido 042 C

LR


e portanto





Exemplos



Soluccedilatildeo


0400040

01000104

1

qqq

qqq





119

)603

160(cos)( 20

0tsenteqtq t




















)(2

2

xwdx

Md (13)


EIkxM )( (14)





120


23

2)(1

y

yk





4

4

2

2

2

2

dx

ydELy

dx

dEL

dx

Md (15)




)(4

4

xwdx

ydEL (16)







engastada x = 0









Engastada 0y0y

Livre 0y0y






121








gt0





nL ou2

22

L

n n = 1 2 3




4

2

2

2

2

2

2

LLL


sequumlecircncia 3

2

xL

senxL

senxL

sen





compressiva





Py

dx

ydEL

2

ou 02

2

Pydx

ydEL (17)


122



Exemplo



Soluccedilatildeo


0)(

0)0(

02

2

Ly

y

Pydx

ydEI






0)(

0)0(

0

Ly

y

yy



321 222 nLnEIPnn




1 LEIP chamada







carga critica 22



123

9213 Corda Girando


0 yy (18)






















12 TsenTsenF (19)





124



)()( xyxxyTF (20)





aproximada por

2 yxF (21)



2)()()( yxxyxxyT

ou (22)

yx

xyxxyT 2)()(


xyxxy

)()(em (22) eacute



ydx

ydT 2

2

2

ou (23)

02

2

2

ydx

ydT




125















9

4

6

8

12








considerando que



para cima




para cima





a) superamortecido


c) subamortecido






3t



f(t)=68e-2t


amortecimento


126





















periacuteodo









Respostas

1) 8

π2

2) t64cos4

1)t(x

3)

4) a)4

1

12

πx

2

1

8

πx

4

1

6

πx

2

1

4

πx

4

2

32

π9x


c)16

π)1n2(t

n= 0 1 2

5) a)t8t2 e

3

1e

3

4)t(x

b)t8t2 e

3

5e

3

2)t(x


127

6)

7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52

8) t3sent3cos3

10t

2

47sen

473

64t

2

47cos

3

4e)t(x 2

t


14

4

94cos

2

1)( 22

10) )sin13cos99099(500

1 27 tteex xx

11) ttttx 4cos4

14sin

16

14cos50

12) (

)

13) 41078C 00509s

14) q(t)=10+10e-3t

(cos3t+sen3t)

i(t) = 60e-3t

sen3t 10432 C

15) C2

3

2

3)t10sent10(cose

2

1)t(q t10

16)

17) radic radic


128

AULA 24










)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy










a um sistema normal




Exemplos

1)

senxxzdx

dy

senxxdx

dzy

cos

cos


129

2)

xzydx

dz

dx

yd

xdx

dz

dx

yd

22

3

2

2

2

2

2


130


1)

02

02

zdx

dz

dx

dy

zydx

dz

dx

dy

2)

x

x

ezydx

dz

dx

dy

ezydx

dz

dx

dy

2

5

32

4

3)

2

2

2

2

2

2

2

xzdx

zd

dx

dy

eydx

dz

dx

yd x

4)

03

42

zydx

dy

ezydx

dz

dx

dy x

5)

xzDyD

senxzDyD

cos)1()1(2

2)2(2)3(

Respostas

1)

x

x

eCeCy

eCeCz

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

ou

x

x

eCeCz

eCeCy

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

2)

xxx

xxx

eeeCy

eeeCz

252

5

1

252

5

1

25

2

5

3

3)

xexCsenxCeCeCy

xesenxCxCeCeCz

xxx

xxx

22

3cos2222

2

3

2

1

2

1cos

43

2

2

2

1

2

43

2

2

2

1

4)

x

x

esenxCCxCCz

esenxCxCy

2)3(cos)3(

2cos

2121

21

5)

senxxeCeCz

xsenxeCeCy

x

x

x

x

130

61cos

130

33

3

4

)cos8(65

1

5

23

1

5

23

1


131

AULA 25


Dado o sistema

)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy


n

n

F

dy

F

dy

F

dydx

1 2

2

1

1



)(

)(

2

1

zyxFdx

dz

zyxFdx

dy

(1)


321 F

dz

F

dydx

ou generalizando

)()()( zyxR

dz

zyxP

dy

zyxM

dx (2)


dois paracircmetros



se

nRmPlM

ndzmdyldx

R

dz

P

dy

M

dx


lM + mP + nR = 0

o que faz com que

ldx + mdy + ndz = 0


132




Exemplos

1)x

dz

x

dy

y

dx

2)zx

dz

yx

dy

zy

dx

2


133

3))()()( 222222 xyz

dz

zxy

dy

yzx

dx




1) cybx

dz

axcz

dy

bzay

dx

2) )()2()2( 444444 yxz

dz

xzy

dy

zyx

dx

3) yx2

dz

x3z

dy

z2y3

dx

4) z

dz

x

dy

y

dx

5) yx

dz

x

dydx

221

Respostas

1) x2 + y

2 + z

2 = C1

cx + by + az = C2

2) x4 + y

4 +z

4 = C1

xyz2 = C2

3) x2 + y

2 + z

2= C1

x + 2y + 3z = C2

4) x2 ndash y

2 = C1

zC2 = y + x

5) y = x2 + C1

z = 3

2x

3 + xy ndash x

3 + C2


134

AULA 26


ORDEM



dx


dx


dx

nnnm22n11nn

2nm22221212

1nm12121111


)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

x

x

x

dt

d

nm2n1n

m22221

m11211

n

2

1

ou ainda

)t(FX)t(Adt

dX


homogecircneos

X)t(Adt

dX


XAX


tλeξX

temos

tλeξλX


0eξ)λA(

eξAeξλ

tλ

tλtλ


135


e autovetores

Exemplo 1


t10y3x4dt

dy

t2ey5x2dt

dx t


t10

t2eX

34

52

dt

dX t

ou

t10

2e

0

1X

34

52X t

onde

y

xX



)t(x

)t(x

)t(x

X

n

2

1


)t(FX)t(Adt

dX

no intervalo

Exemplo 2

Verifique que

t2

t2t2

1e

ee

1

1X e

t6

t6t6

2e5

e3e

5


X35

31X

no intervalo )(

Soluccedilatildeo


136

Temos

t2

t21

e2

e2X

e

1t2

t2

t2t2

t2t2

t2

t2

1 Xe2

e2

e3e5

e3e

e

e

35

31AX

Agora

t5

t612

e30

e18X

e

12t6

t6

t6t6

t6t6

t6

t6

2 Xe30

e18

e15e15

e15e3

e5

e3

35

31AX





)t(x

)t(x

)t(x

)t(X

0n

02

01

0

e

n

2

1

0

γ

γ

γ

X


00 X)X(tasujeito

)t(FX)t(Adt

dXResolver









comum I


137



X)t(Adt

dX


kk2211 XcXcXcX





Exemplo 3


102

011

101

X

eacute

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X1


tcoscsentc

tcosc2

1sentc

2

1

sentc

dt

dX

11

11

1

e

tcoscsentc

sentc2

1tcosc

2

1

sentc

sentctcosc

sentc2

1tcosc

2

1

tcosc

102

011

101

AX

11

11

1

11

11

1


Exemplo 4


102

011

101

X

Se

0

e

0

X t2 entatildeo

0

e

0

X t2 e

2tt

2 X

0

e

0

0

e

0

102

011

101

AX




138

0

e

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcX t212211




X)t(Adt



0XcXcXc kk2211








Sejam

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X




wronskiano

0

xxx

xxx

xxx

)XXX(W

nn2n1n

n22221

n11211

n21


139

Exemplo 5


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X


X35

31X



0e8e5e

e3e)XX(W t4

t6t2

t6t2

21

para todo t real

Exemplo 6


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X



31X



entatildeo

t6

2t2

12211c e5

3ce

1

1cXcXcX








X)t(Adt


nn2211 XcXcXcX



140

Exemplo 7

Os vetores

tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

Xe

0

1

0

X

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X 3t

21 satildeo

do sistema X

102

011

101

X

no exemplo 3 Agora

0etcossentsenttcos

senttcose

tcossent0senttcos

tcos2

1sent

2

1esent

2

1tcos

2

1sent0tcos

)XXX(W ttt321



tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

ce

0

1

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcXcX 3t

21332211




sistema )t(FX)t(Adt

dX


X)t(Adt





dX em um


nn2211c XcXcXcX


141


dX correspondente


pc XXX




dX

Exemplo 8


6t5


homogecircneo

3

11t12X

35

31X no intervalo )(

Soluccedilatildeo

Temos

5

3X

p e

3

11t12

6t5

4t3

35

31

3

11t12X

35

31p

pX

5

3

3

11t12

2

14t12

3

11t12

)6t5(3)4t3(5

)6t5(3)4t3(

Exemplo 9


3

11t12X

35

31X em )( eacute

6t5

4t3X p



31X

eacute

t62

t21c e

5

3ce

1

1cX


65

43

5

3

1

1 62

21

t

tececXXX tt

pc eacute


3

11t12X

35

31X em )(


142


)t(FX)t(Adt




Seja

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X


dX em um

intervalo I

A matriz

nn2n1n

n22221

n11211

xxx

xxx

xxx

)t(



Exemplo 10


t

t

t

e

eeX

2

2

2

11

1 e

t

t

t

e

eeX

6

6

6

25

3

5

3constituem


35

31 em )(

tt

tt

ee

eet

62

62

5

3)(


Exemplo 12


c ececXcXcX 62

212211

5

3

1

1

dada no exemplo 6


2

1

t6t2

t6t2

c

c

e5e

e3eX






143

)t()t(A)t(

0)t()t(A)t(







t no intervalo

Exemplo 13


tt

tt

ee

eet

62

62

5



1121

1222

1112

21221

det

1

det

1

aa

aa

aa

aa

AA

T

que

tt

tt

tt

tt

t

ee

ee

ee

ee

et

66

22

22

66

4

1

8

1

8

18

3

8

535

8

1)(




1

0

0

0

1

0

0

0

1

00201

tVtVtV n





144

1000

0100

0010

0001

00

t


Exemplo 14


35

31

Soluccedilatildeo

Por tt ececXcXcX 6

22

122115

3

1

1



22

15

3

1

1


0

1

5

3

1

121 cc ou

05

13

21

21

cc

cc

Obtemos 8

51 c e

81


tt eeV 621

5

3

8

1

1

1

8

5


1

0

5

3

1

121 cc ou

15

03

21

21

cc

cc


31 c e

81


tt eeV 622

5

3

8

1

1

1

8

3

Dai


145

tttt

tttt

eeee

eeeet

6262

6262

8

5

8

3

8

5

8

58

3

8

3

8

3

8

5

)(

Observe que

10

01)0(





Por

1000

0100

0010

0001

00

t





Por 0

1 ttt



1)

y8x4dt

dy

y5x3dt

dx

2)

z3y4x10dt

dz

yx6dt

dy

z9y4x3dt

dx


146

3)

2ttzyxdt

dz

t3zyx2dt

dy

1tzyxdt

dx

2

2


4) te

1

1X

31

24X

5) t

1

1

3

e

2

2

1

z

y

x

652

143

211

z

y

x

dt

d t


6)

y7x4dt

dy

y4x3dt

dx

t5e

2

1X

7) 2t3

e2

1XX

114

11

X

8)

13

6

1

121

016

121

XXdt

dX



9) t6

2t2

1 e1

1Xe

1

1X

10)

4

4

2

t

12

6

3

X

4

2

1

X

2

2

1

t

4

2

1

X 321


147


dado

11)

18423

724

tyxdt

dy

tyxdt

dx

1

5

1

2tX

p

12) tt

p

t teeXeXX

1

1

1

1

7

1

43

12


011

101

060


t33

t22

t1 e

1

1

2

ce

1

1

3

ce

5

1

6

cX



t1

14) t7

2t2

1 e3

1Xe

2

1XX

56

14X

15) tt

2t

1 e1

0te

3

1Xe

3

1XX

29

14X


14


15


148

Respostas

1) 84

53 XX

onde

y

xX

2)

3410

016

943

XX

onde

z

y

x

X

3)

2

0

1

03

0

111

112

111

2

2

t

t

t

tXX onde

z

y

x

X

4)

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx

3

24

5)

tezyxdt

dz

tezyxdt

dy

tezyxdt

dx

t

t

t

2652

243

32




9) Sim

10) Natildeo




14)

tt

tt

t

tt

tt

ee

ee

et

ee

eet

22

77

9

1

72

72

2

3

5

1)(

32


149

15)

tt

ttt

t

ttt

tt

ee

teete

et

eee

teet

3

31

33

2

1

16)

tttt

tttt

eeee

eeeet

7272

7272

5

3

5

2

5

6

5

65

1

5

1

5

2

5

3

17)

ttt

tt

etete

tetet

39

3


150

AULA 27



X)t(Adt

dX


XAX


tekX

temos

tekX


0)(

t

tt

ekA

ekAek


e autovetores






t

nn

t

b

t

anekcekcekcX

21

21


151


yxy

yxx

2

32

Soluccedilatildeo


012

32

0)det(

IA

41

043

0622

0)1)(2(

21

2

2

e

Para 11 temos

0

0

22

33

0

0

)1(12

3)1(2

0)(

b

a

b

a

K

K

K

K

KIA

1

1

1

022

033

1K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba

Para 42 temos

0

0

2

32

0

0

412

342

b

a

b

a

K

K

K

K

2

3

2

2

3

032

032

2K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba


ii eKx temos

tt eXeX 4

212

3

1

1


tt

tt

tt

eCeCy

eCeCx

eCeCy

x

XCXCX

4

21

4

21

4

21

2211

2

3

2

3

1

1


152




t

ekX 1

11

e t

ekX 1

12




Exemplo

Resolva o sistema

yxdt

dy

yxdt

dx

45

6

Soluccedilatildeo

045

16

0)det(

IA

2

525

2

410

2

11610010

02910

054624

05)4)(6(

2

2

i

i

Para i25 temos

ab

ba

b

a

b

a

KiK

KKi

K

K

i

i

K

K

i

i

KIA

)21(

0)21(

0

0

)21(5

121

0

0

)25(45

1)25(6

0)(


153

iKi

K


2

0

1

1

21

1

1

11

tt

tt

tt

tt

t

t

etsentCetsentCy

etsenCetCx

etsent

tsenCe

tsent

tCX

etsentCetsentCX

XCXCX

etsentX

etsentX

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

2221

5

2

5

1

)22cos2()222(cos

)2()2cos(

22cos2

2

222cos

2cos

21

12cos

2

02

2

02cos

1

1

21

12cos

2

0

22

02cos

1

1





t

ekX 1

11

tt

ektekX 21

212


para o sistema

t

m

tm

tm

mmeke

m

tke

m

tkX

21

)2()1(

2

2

1

1




PeKteX 11

2

()

Onde


154

nk

k

k

K2

1

e

np

p

p

P

2

1


0)()( 11

11 tt

eKPAPteKAK


KPIA

KIA

)(

0)(

1

1

Exemplos


zyxz

zyxy

zyxx

22

22

22

0

122

212

221

51

Re

0593

0593

012121733

0)1(1216133

0)1(4)1(4)1(488)1(

321

23

23

23

23

3

e


Para 11 temos

21

0|222

0|222

0|222 1

L

31

21

)2(

2

0|222

0|222

0|111

LL

LL

0|000

0|000

0|111

cba

cba

KKK

KKK


0

1

1

1K


155


1

1

0

2K



teX

0

1

1

1 e teX

1

1

0

2

Para 53 temos

31

21

21

)2

1(

0|422

0|242

0|224

LL

LL

32

12

)1(3

2

0|330

0|330

0|224

LL

LL

)1(

)4(

0|000

0|330

0|404

2

1

L

L

0

0

cb

ca

KK

KK

cb

ca

KK

KK


1

1

1

3K

ttt eCeCeCX 5

321

1

1

1

1

1

0

0

1

1


yxy

yxx

92

183

092

183

3

Re

096

0369327

036)9)(3(

21

2

2



156

Para 321 temos

ba

ba

ba

b

aKK

KK

KK

K

K3

062

0186

0

0

62

186

fazendo 1bK temos

1

31K


1 1

3

2

1

1

3

p

pPK

IPSLL

L

L

p

p

KPIA

KPIA

0002

131

2131

2131

2

6

162

3186

1

3

62

186

3

21

2

1

2

1

1

21

21

32

1

2

13

pp

pp

fazendo

02

10

2

121 Ppp

ttt

tt

eetCeCX

eetX

33

2

3

1

33

2

02

1

1

3

1

3

02

1

1

3


157


1) Resolva

z3ydt

dz

zy5xdt

dy

zyx4dt

dx

2) Resolver X21

82acuteX

3) Resolver X1

2

121

acuteX


yxy

yxx

3

4

5)

yxdt

dy

yxdt

dx

34

2

6)

yxdt

dy

yxdt

dx

22

5

24

7)

yxdt

dy

yxdt

dx

25

6

8)

yxdt

dy

yxdt

dx

32

5

9)

yxdt

dy

yxdt

dx

39

3

10)

yxdt

dy

yxdt

dx

53

3

Respostas

1) t53

t42

t31 e

1

8

1

ce

1

1

10

ce

1

0

1

cX

2)

t2sen

t2sen2t2cos2c

t2cos

t2sen2t2cos2cX 21

3) t

2t

1 etcos

sent2ce

sent

tcos2cX

4)

ttt etececX

1

1

1

2

1

221

5) tt ececX

1

1

2

12

5

1

6) tt ececX

5

2

1

22

3

1

7) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin2

sin

sincos2

cos

8) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin

sin

sincos

cos

9)

414

1

3

1

3

121 tccX

10)

ttt etececX 22

2

2

10

31

1

1

1

1


158

AULA 28








Exemplos


41034

66

tyxy

tyxx


XX

XAX

34

16


034

16

0)det(

IA

72

0149

043618

0)3)(6(

21

2

2

e


Para 71 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

44


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

4

1

04

0

0

14

14

fazendo 4bK temos

4

12K


tt

tt

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

2

7

1

2211

2211

4

1

1

1

21


159


c

aX

dct

batX

t

ttf

p

p

410

6)(


cdbtca

adbtca

t

t

t

t

dctbat

dctbat

c

a

t

t

dct

bat

b

a

34)34(

6)6(

104

6

410

6

3344

66

410

6

34

16

7

107

242

7

4

62814

234

6318

6434

26

434

06

6

1262

662814

1034

18318

1034

66

d

db

bdb

db

db

db

db

cdb

adb

c

ca

aca

ca

ca

ca

ca

Logo

7

106

7

42

t

tX p


7

106

7

42

4

1

2

12

2

7

1

2221

t

teCeCX

XXCXCX

tt

p


160


5

3

yxy

yxx

XX

11

11


011

11

0)det(

IA

20

0)2(

0121

01)1(

21

2

2

e


Para 01 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

12K


t

tt

tt

eCCX

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

21

2

2

0

1

2211

2211

1

1

1

1

1

1

1

1

21


c

aX

dct

batX

tf

p

p

5

3)(



161

5

3

)(

)(

5

3

11

11

dbtca

dbtca

c

a

dct

bat

b

a

ca

ca

0 fazendo 11 ca

4

1

3

db

adb

adb

4

51

5

db

db

cdb

Fazendo 04 db

t

tX p

4

Logo

t

teCCX t 4

1

1

1

1 221








CtX )(



)()( tUtX p


)()( tFXtAdt

dX

entatildeo



162



)()()( tFtUt

)()()()()( 11 tFttUtt

)()()( 1 tFttU

dttFttU )()()( 1

entatildeo

dttFttX p )()()( 1


Exemplo

Resolva o sistema

teyxy

tyxx

42

33


XX

42

13


043

13

0)det(

IA

25

0107

024312

21

2

2

e


Para 51 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

2

1

02

0

0

12

12

fazendo 2bK temos

2

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

22


1

12K


2

1

25

25

2

2

5

1

2211

2211

21

1

2

1

21

C

C

ee

eeeCeCX

eKCeKCX

XCXCX

lfundamentamatriz

tt

tt

tt

tt


163


tt

tt

ee

ee25

25

2

212

10

01 LL

t

tt

e

ee2

25

30

12

312

01

LL

t

t

e

e2

5

30

0

2

2

1

5

2

112

31

31

Le

Le

t

t

10

01

tt

tt

ee

ee

22

55

3

1

3

23

1

3

1

Logo

tt

tt

ee

ee

22

55

1

3

1

3

23

1

3

1

tt

tt

tt

tt

ete

ete

e

t

ee

eetft

2

45

2

55

1

6

3

3

13

23

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

eete

eetedt

ete

etedttft

22

455

2

45

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

6

3

3

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

p

eete

eete

ee

eedttfttX

22

455

25

25

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

2)()()(

t

t

p

t

t

p

tt

tt

p

et

etX

et

etX

eetet

etetX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

2

3

50

63

5

24

3

50

81

5

18

3

1

2

3

2

1

25

6

5

62

33

4

1

25

3

5

3

3

1

Soluccedilatildeo

t

t

tt

et

eteCeCX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

1

1

2

12

2

5

1


164



1)

122

433

yxdt

dy

yxdt

dx

2)

2

2

4

3

53

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx


indeterminados

3)

52

732

yxdt

dy

yxdt

dx

4)

53

23 2

tyxdt

dy

tyxdt

dx

Respostas

1)

10

15

11

11

2

3

1

121 teccX t

2) 2223

22

1

49

215

413

213

3

10

1

2 tttt

eteececX

3)

3

1

1

3

1

121

tt ececX

4)

43

2

414

1

43

41

1

1

1

1 242

21 ttececX tt


165

AULA 29



xCey 2

2

02


44

0

33

2210 xCxCxCxCCxCy

n

nn

1

1

34

2321

432

n

nnxnCy

xCxCxCCy


021

1

n

nn

n

nn xnCxnC

Trocando

1

1

01

1

Nn

Nn

n

n

II

NN

NN

I

n

nn xCNxnC

011

)1(

1


0

2321)1(

2321

1

1

32)1(

32

N

NN

n

nn

xCxCCxCNII

xCxCCxnCI

Satildeo iguais

Voltando


166

0)1(

2

02)1(

02)1(

02)1(

1

1

0

1

01

1

nn

CC

CCn

xCCn

xCxCn

nn

nn

n

nnn

n

nn

n

nn

Para

234

)2(

234

)2(2

4

23

23

)2(

23

)2(2

3

22

2

)2(

2

)2(2

2

21

21

20

04

03

34

03

02

23

02

012

00

1

CCCCn

CCCCn

CCCCn

CC

Cn


1

)2( 0

nn

CC

n

n

Entatildeo

0

44

33

2210

n

nn xCxCxCxCCxCy C

0

0

1

0

443322

0

30

320

20

0

)2(

)2(1

4

2

3

2

2

2

1

21

3

)2(

2

)2(

1

2

n

nn

n

nn

n

xC

n

xC

xxxxC

xCxCxCC

Como

3

)2(

2

)2(21

321

322

32

xxxe

xxxe

x

x

Logo

xeCy 2

0


167


2

ydx

yd

i

1

01

2

2

senxCxCy 21 cos


2

2

1

1

0

)1(

n

nn

n

nn

n

nn

xCnny

xnCy

xCy

2

2

2

Nn

Nn

n

24

132

0

)2(

22

)2(

2

2

34232

)1)(2()1)(2()1(

xCxCC

xCNNxCNNxCnnyN

NN

N

NN

n

nn

Que fica igual a

24

132

2


nn

Logo substituindo

2

2)1(n


0)1)(2(02

)2(

n

nn

n

nn xCxCnn

0)1)(2(2

)2(

n

n

nn xCCnn

0)1)(2( )2( nn CCnn

0)1)(2(

)2(

n

nn

CC n

n

para 12

0 02

CCn

para 23

1 13

CCn

para 412

)(

34

1

342 002

4

CCCCn


168

para 523

)(

45

1

453 113

5

CCCCn

para 6456

1

564 004

6

CCCCn

para 7567

1

675 115

7

CCCCn

765432

17

06

15

04

13

02

CC

CC

CC

CC

CC

CC


1)12(

)1(1

)2(

)1( 1)12(

02

k

k

CCk

k

CC

k

k

k

k

Voltando

0n

nnxCy

5

53

314

42

20 xCxCxCxCxCCy

senxCxCy

k

xC

k

xCy

xxxxC

xxxCy

n

kk

n

kk

n

10

0

12

1

0

2

0

753

1

642

0

0

cos

)12(

)1(

)2(

)1(

7536421


169

REFEREcircNCIAS









4




AULA 18 94


AULA 19 97



AULA 20 100


AULA 21 103


AULA 22 109


AULA 23 111









AULA 24 128



AULA 25 131


AULA 26 134



5









AULA 27 150





AULA 28 158




AULA 29 165



6

AULA 1



1) dxx )13( R Cxx

2

3 2

2) dxx

x

4= R Cxx 48

3

2

3)

dxx

x2

2 )1( R C

xx

1

4)

21 x

dx R Carcsenx

5)

dxx

x21

R Cx 21ln2

1

6) )1( 2xx

dx R C

x

x

1ln

2

12

2

7)

21 x

dx R Cx arctan

8) 42x

dx R C

x

x

2

2ln

4

1

9) x

dx

3 R C

x

3

1ln

10)

dxx

x3

21 R Cx

x ln

2

12

11)

dxx

x3

2 )1( R Cx

x ln

2

12

12) dxx

x

tan

sec2

R Cx tanln

13)

dx

ax

ax22

22

R Cax

axax

ln


7

14)

dx

ax

ax22

22

R Ca

xax arctan2


9

1 3

16)

dx

xx

x

12

12

R Cxx 12ln2

1 2

17)

dx

xx

xx32

2

31

2 R Cxx 13ln

3

1 23

18)

dx

x

x21

1 R Cxx arctan1ln

2

1 2

19)

22 31231

3

xx

xdx R Cx 231ln 2

20)

dx

x

x

35

13 R Cxx 35ln

25

4

5

3

21)

dx

xx

x

145

152


1 2

22)

dx

x

x

10

12 R Cxx 10ln212

23) dxxe x )2(1

ln

R Cxx 2ln

24)

dxx

xe x

2

arctan

1



x

2

sin 2

26) dxxe x )2( 32

R Cex x 2

)1( 2

27)

dxxxe x

64

)123(4 22

R Cxxe x

4

3

22

3

16

22

28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(


8

AULA 2






derivada eacute 23

3

xedx


23 xydx

dy

(1)





















dx

dy




)(xfdx

dy


dxxfdy )(





9




1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos)(2 2

5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

2

2

2

2

2

8) y

zxz

x

z


131 TIPO








132 ORDEM



ordem

133 GRAU





10

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3

a ordem e 2

o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1

o grau



134 LINEARIDADE


)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n





independente x

Exemplos

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3


terceira ordem



Cxxy 4 ou BxAxy 2









11


a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy


f) xx eCeCy 2

23

1


12



1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx


5) 321 )( CexCCy x

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln



Respostas

1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2 ( ) 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy


13

AULA 3








21 CURVAS INTEGRAIS




xdx

dy2






















14

Exemplo


dy1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1



2

2

xxy

y

dx

dy


y


Exemplo

Verifique que 16

xy

4


xydx

dy no intervalo )(

Resoluccedilatildeo



dy 21


xydx

dy eacute


4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33


044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x










15



x0 e3ye3cec3







xy

4


0)0(y

xydx

dy 21








)yx(fdx










16


00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy









yfdx

dy (2)




)(

1

yfdx

dy (3)


y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)


1



1

yfdy

dx em





00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)


00)(

)(

1

xyx

yfdy

dx

(6)



17




kydx

dy (7)




0)(00

yxy

kydx

dy

(8)


00)(

1

xyx

kydy

dx

(9)


y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R


akydx

dy




18

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1

Portanto

k

ayea

kyeaky CxkCxk

1 )()(

Neste caso k




o grau

)( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx













CdyyQdxxP )()(

Exemplos



19

1) 13 xdx

dy

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx



20

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy


21





)(


diferenciais

2) 01

dx

dytgy

x

3) 0)1(4 22 dyxdxxy

4) 0)3()2( dyxdxy

5) 0)1( 2 dyxxydx

6) 42

2

x

e

dx

dy y

7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

8) dx

dyxyy

dx

dyxa

2


10) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 ndash a

2)(y

2 ndash b

2)dy = 0

11) 0)1( ydxdyx

12) 0)1( 2 xydxdyx

13) 0cos xydx

dy

14) xydx

dycos3

15) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas


nuacutemero real

2) x cos y = C

3) Cy

1)1xln(2 2

4) (2 + y)(3 ndash x) = C

5) C y2 = 1 + x

2

6) C2

xarctge y2

7) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

8) y

y

k

a a

ex

ln

2

9) tg x tg y = C

10) Cb

yarctgb2y

ax

axlnax


12) Cx1y 2

13) senxe

Ky

14) senxCey 3

15) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3

1)0(42 yydx

dy


22

AULA 4






Exemplos




2) 4y

x)yx(g

2

2


)yx(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()tytx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(xy) = 2x3 + 5xy




x

y1fx)yx(f n e

1

y

xfy)yx(f n


Exemplo


x

y1fx

x

y

x

y31x

x

y

x

y31x)yx(f 2

22

2

22

1

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)yx(f 2

22

2

22




Exemplos

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

y

xy

3)

x

yarctgy


23



Tem-se

N

M

dx

dy



x

yF

dx

dy (1)


variaacuteveis


y por u

xuy (2)


dx

duxu

dx

dy

(3)


x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(


Em resumo




separaacutevel


24

Exemplo

02)( 22 xydydxyx


25





3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0

5) (x2 + y


6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy




3

1)1(y

Respostas

1) y2 + 2xy ndash x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

221

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


26

AULA 5






222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy





eixos



11

ba


Resoluccedilatildeo

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa



dvdyvy

dudxux


27





22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv


vbua

vbuaF

du

dv

22

11


Exemplo


132

yx

yx

dx

dy


28


11

ba





Como 22

11

ba


escrever

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)


1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy


)(1

1

1

xatb

y


1

1

1a

dx

dt

bdx

dy


2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt



29


12

yx

yx

dx

dy


30




3) 0dy)8y5x(dx)xy3(

4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

5) yx1

y3x31

dx

dy

6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

7) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas


2 + 2y = K


3) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C

5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

7) x2 - 4y

2 - 6xy - 2x + 4y = K


31

AULA 6





x

N

y

M



dyy

udx

x

udu

(2)


)( yxMx

u

(3)

e

)( yxNy

u

(4)



)()()( ygdxyxMyxf

(5)


)()(

ygy

dxyxM

y

f

(6)


)()()(

yxNygy

dxyxM


1

)()()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)


Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

)(

)()()(


Cdy

y

PNMdxyxU )(



32

Exemplos

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


33


1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y ndash 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0


5) 0)( 22 drrdre

Respostas

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22


34

AULA 7



N

y

M




u

e NF

dy

u


FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F



x

NFN

x

F

y

MF


x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo dxx

N

y

M

NdF

F

11


dxxRexF

)()(

onde

x

N

y

M

NxR

1)(


dyyReyF

)()(

onde

x

N

y

M

MxR

1)(


35

Em resumo


N

y

M




F(x) F(y)

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos


integrante

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


36

2) (x2 ndash y

2) dx + 2xy dy = 0







2)1(y

5) 0xdy2dx)xy( 2

6) 0xdylnxdx)yx(

7) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

Respostas

1) x2 cos y + x

4 = C

2) Ctgyex 2

3) Ceseny x

4) xxy 32

5) k5

x2xy2

25

6) kxlnyx

7) Kyxx 22


37

AULA 8



o grau tem a forma

)()( xQyxPdx

dy

(1)



desse tipo a saber




nosso problema

QPydx

dy


0)( dydxQPy



0 dyedxQPyePdxPdx


QPyeMPdx

e

Pdx

eN


Pdx

Pey

Me

Pdx

Pex

N



38

Exemplo1


y

dx



39







dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)


QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)








eeey Fazendo

Cek temos Pdx










dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

Daiacute Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx


1




40


ZPdx

1


ldquoZrdquo

CQdxek

keyPdxPdx 1


CdxQeeyPdxPdx

(8)


Exempo 2


y

dx

dy por Lagrange


41


1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycostan

4) xx

y

dx

dy

5) 32

xx

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan


xydx

dy

cos

1tan


dy

Respostas

1) Cxx

y )ln(sin1


3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


42

AULA 9


LINEARES






nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)



EDO linear

Pois se



Soluccedilatildeo




dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)


nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

2




43

Como ty n 1 temos

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(


Exemplo

232

xyx

y

dx

dy


44


1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 02 2 xydx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas

1) 2

1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

)ln(

1

3) 12 2223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


45

AULA 10



)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

(1)





Resoluccedilatildeo



zyy 0 (2)



RQyPydx

dy 0

2

0

0

(3)


dx

dz

dx

dy

dx

dy 0

(4)


RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

0

0


RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)








46


2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)


Em resumo




Exemplo


dyx

e



47



2

x

y

x

y

dx



2) Mostrar que x

y1


2 2

xy

dx


geral


dy calcular a



121 2

xy

xy

xdx


particular



particular

Respostas

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


48

AULA 11





diferencial










49







0)(

0)(

yxf

yxf

(1)



Exemplo


a 5


50



0

dx

dyyxF


geral

particular





original



0

dx


0

0

dx



Exemplo


22

x

dx

dyx

dx

dyy


51



a)

1

4 2 xy

b) 0)2(2 222 yyx


2

2

y

dx

dyy


2

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

1) a ) xy 273

b) 042 yx

2) 1y


4



52

AULA 12



dx

dy

dx

dyxy

Resoluccedilatildeo

Chamando pdx

dy



dx

dppp

dx

dpx

dx

dy)(1

0)( pxdx

dp (2)

0dx

dp Cp



De (2) tem-se

0)( px (3)

xp )(


singular

Exemplos



53


0

2

y

dx

dyx

dx

dy




Clairaut

a dx

dy

dx

dyxy ln

b

2

3

dx

dy

dx

dyxy

c 01

23

dx

dyy

dx

dyx

d 045

y

dx

dyx

dx

dy

e 2

4

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

a ClnCxy (geral)

xln1y (singular)

b 2C3Cxy (geral)

y12x2 (singular)

c 2C

1Cx (geral)

23 x27y4 (singular)

d 04)xCy5(C (geral)


e 2C4Cxy (geral)

2

222

x1

)x1(4y

(singular)


54

AULA 13



dx

dy

dx

dyFxy

(1)


dx

dy

dx

dyF

Resoluccedilatildeo


Chamando pdx



dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(

dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(



)(

)(

)(

)(

pFp

px

pFp

pF

dp

dx


QPxdp

dx



)(

)(

pyy

pxx


55

Exemplo


2

1

dx

dyx

dx

dyy


56



a)

2

24

dx

dyxy

b)dx

dy

dx

dyx lnsin


57


1) dx

dy

dy

dxxy

2)

dx

dydx

dyxy

12

3)

2

dx

dyx

dx

dyx2y

4)

2

dx

dy1

dx

dyy

5) dxdy

edx

dyy

2

6) dx

dy

dx

dyy ln2

2

7)

dx

dy2

dx

dyy

e

22

x

Respostas

1)

pCppp

y

Cppp

px

1ln1

1

)1ln(1

2

2

2

2

2)

2

ln

ln2

p

Cpx

p

Kpy

3)

Cp

Cy

p

Cx

2

2

4)

cppx

ppy

arcsinln

1 2

5)

p2

pp

epy

cpeex

6)

cp

2p2x

pln2py 2

7)

cy

pyp

p

pyx

arctanln

2ln

22

22


58

AULA 14



1) 0)2(3 dyyxydx

2) 02

dyyexdx x

3) 0)1( 2 dxydyx


5) )yxcos(dx

dy


7) dxyxydxxdy 22


9) 0)2( dyxxyydx

10) 0)52()42( dxyxdyyx

11)342

12

yx

yx

dx

dy

12) 0)139()23( dyyxdxyx

13)

01

2)cos()cos(

dy

yxxyxdx

x

yxyy

14) 0324

22

3

dy

y

xydx

y

x

15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx

16)yxy

xyx

dx

dy2

2


18)




20) dxexydxxdy x2

21) 02 xdyydxdyy

22) 0)ln( 3 dyxydxx

y


0 xeydx

dyx

24) 0)32(2 dyxydxy

25)22

2y

x

y

dx

dy

26) dxyyxdy )1( 2

27)22)1( xyxy

dx

dyx



dx




equaccedilotildees

29)

2

dy

dx

dx

dyxy

30)

2

1

dx

dy

dx

dyxy

31)dx

dy

dx

dyxy

32)dx

dy

dx

dyxy sin


33)

dx

dyx

dx

dyy 2

2

1

34)

2

2

dx

dy

dx

dyxy


59

Respostas

1) )ln(126 2 Cyxy

2) 22 2

Cey x

3) 1)1(ln xCy

4) Cyx secsecln


6) Cyyxx 323 32

7) 222 yxCxy

8) CX

yxy )ln(

9) Cyy

x ln

10) )3()1( 3 yxCyx

11) Cxyyx 48)584ln(

12) )126ln(62 yxCyx

13) Cyxyxy ln2)sin(

14) Cyy

x

13

2

15) Cyyxx 4223 3

16) Cyyx 222 )1(

17) Cxyyx cos

18) Cx)-y(2secysecx

19) 1cos2 xeyx

20)xxeCxy

21) Cyxy 2

22) Cyyx 3ln2

23)x

eabey

ax

24)y

Cyx12

25) 0122 xyyCx

26)2

22

xC

xy

27)

11

12

xC

y

28)1

2

x

xxx

Ce

eCeCey

29)

23

2

4

27

1

xy

CCxy

30)

2

2

2

1

)1(

1

x

xy

CCxy

31) CCxy


32)21arccos

sin

xxxy

CCxy

33)

221

21

2(6

1

)(3

1

pCpy

pCpx

34)

p

pCy

pp

Cx

3

2

3

2

3

3

2


60

AULA 15


MATEMAacuteTICOS













A seguir






















61






futuro








expressa por

kxdt

dx 00

)( xtx ktexx

0

(1)






dS a qual


Exemplo





62

Resoluccedilatildeo

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx


kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx ndash ln c = kt

lnc

x= kt

ekt =

c

x

x = cekt


0x

cex

0

00


kt0exx


3x0

40550k

k2

3ln

e2

3

exx2

3

k

1k00


t40550

0

kt0

exx

exx



63

70922t

0986121t40550

t405503ln

e3

exx3

t40550

t4055000


63 MEIA VIDA









AKdt

dA (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA kteAA 0

Exemplo




Resoluccedilatildeo

000

0

A999570A000430A15t

A0t


kAdt

dA

kdtA

dA

ln A = kt + c

ktc

Aln

kte

c

A

A = cekt


64


0

00

k00

Ac

ceA

ceA

0t


A(t) = A0ekt

A(15) = A0e15k

A(t) = 2

0A

099957 A0 = A0e15k teAtA

51088672

0 )(

Ln099957 = ln e15t 000028670

0

0 2

eAA

-000043 = 15 k te 000028670

2

1

K = - 2866710- 5

-06931 = - 000002867t

t = 24180

t 24180 anos


t10866720

0

5eA)t(A

2

A)t(A


3717924t

t1086672693150

t108667250ln

e50

eA2

A

5

5

t1086672

t10866720

0

5

5



65









AKdt

dA (2)

























5600 anos



Turim




66

Exemplo



Resoluccedilatildeo

A(t) = A0ekt

5600

0

0 2

keAA

ke5600ln2

1ln

5600k = - 06931

K = - 0000123776


A(t) = A0e- 0000123776t

teAA 0001237760

00 100

1

te 0001237760ln

100

1ln

- 0000123776 t = - 69077

t = 55808


66 RESFRIAMENTO







)TT(Kdt

dTm (3)

mkt TceT




67

Exemplo




Resoluccedilatildeo

T(0) = 3000F )( mTTk

dt

dT

T(3) = 2000F )70( Tk

dt

dT

T() = 750

kdt

T

dT

)70(


ktc

T

70(ln

c

Tekt 70


70 ktecT


T(0) = 3000

300 = Cek0

+ 70

C = 2300

Logo

T = 230ekt + 70


200 = 230e3k

+ 70

230 e3k

= 130

230

1303 ke

230

130lnln 3 ke

1901816190k

5705448580k3


70e230)t(T t190180

]


7023075 190180 te

230

7075190180 te

- 019018t = ln230

5

t = 2013



68

67 MISTURAS









se RR

dt

dA

sal de

saiacuteda de Taxa

sal de

entrada de Taxa (4)



salde

entrada de taxa

entrada de fluxo no


salmourade

entrada de Taxa

e





min100

300

min)3(

sal de

saida de taxa



salmoura de

saiacuteda de Taxa

lbA

gallbA

galRs


100

6A

dt

dA (5)

Exemplo





69

Resoluccedilatildeo

100

100100

100100

600

600

6

6100

1

1006

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

Adt

dA

A

dt

dA

Para 50)0(A temos

550

60050 0

C

eC


100550600t

eA




(300 gal)(2lbgal) = 600 lb








gallb

t

AgalRs

300min)2(


t300

A26

dt

dA

ou 6A

t300

2

dt

dA

t(min) A(lb)

50 26641

100 39767

150 47727

200 52557

300 57262

400 58993


70


27 )300)(10954(2600)( tttA






2

2










ghAdt

dVh 2 (6)





dhA

dt

dVw



ghA

A

dt

dh

w

h 2 (7)




71

Exemplo




Resoluccedilatildeo


Logo tem-se que


(1)




pura no tanque


72








kxydt

dx (8)





)1( xnkxdt

dx (9)


Exemplo






Resoluccedilatildeo








73

(

)

Integrando

int

(

) int

int

int int

(

)

(

)


Entatildeo




74

610 CORPOS EM QUEDA














mgdt

sdm

2

2

ou gdt

sd

2

2

(10)










gdt

sd

2

2

0)0( ss 0)0( vs (11)





2

2

1)( stvgtts

Exemplo







75

Resoluccedilatildeo


sentido para baixo


dvg


cgtv

gdtdv

gdtdv



cgt

tx

tdtgdx

gtdtdx

gtdt

dx

2)(

2


)(2gt

tx


1002gt


st

t

5420

2

10100

2


76













oposta ou para cima




dt




instante t

kvmgdt

dvm (12)



dsv e

2

2

dt

sd

dt



dt

dskmg

dt

sdm

2

2

ou mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

(13)


77

Exemplo






Resoluccedilatildeo







dt


gvm

k

dt

dv (1)


mgcev

tm

k

Em t=0

v=v0 logo k

mgcev m

k

0

0 ou

k

mgvc


k

mgce

k

mgvv

tm

k

0


78



(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)












79

Peso da corrente


Massa da corrente

m = Wg = L 32


xpxL

xL

F 222

Uma vez que Famdt

xda

2

2

torna-se

x

dt

xdL

2

32 2

2

ou (14)

064

2

2

xLdt

xd

Exemplo





6219 LP e

Resoluccedilatildeo

(

) (

)

Sendo frasl

Como

Sendo


80












voltagemdequeda


Indutor

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

diL

dt

dqRiR

iR

R

voltagemde queda


Resistor

q

c

fC

1 voltagemde queda


Capacitor


ordem

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL


81





)(tERidt

diL






)(1

tEqC

Ri



)(1

tEqCdt

dqR

Exemplo



Resoluccedilatildeo


diL Para i(0) = 0


1 i

dt

di ce0

5

60


di

5

6c



82

Logo

tdtPdt 2020 tei 20

5

6

5

6

cdxeei tt 242020

ceei tt 2020

20

24

cei t 20

5

6










t Use E = 30 V




corrente i(t)







triplicaraacute





30 anos





instante t



83














trecircs anos




















15ordmF











84




















instante t



















instantacircnea


85





abre o paraquedas




0C













RESPOSTAS

1) tetI 355)(

2) tei 2510

3) tcei 500

5

3 e 5

3)(lim

ti

t

4) tceq 50

100

1 onde 100

1C e

tei 50

2

1

5) tceq 200

1000

1

tcei 200200


86

500

1C


ampi 14720)0050(

1000

1q

6) 792 anos

7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604

8) N(30) = 760

9)

10)

11)

12) 1155

13) R$ 927143

14)

15) t = 11 horas

16) t = 13672 horas

17) 885 gramas

18) 15600 anos

19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min

20) t = 60 min


22) rkpdt

dP rkp

dt

dP

23) 2

21PkPk

dt

dP

24) )1000( xkxdt

dx

25) 100

A

dt

dA


27) hc

dt

dh

450

28) 2kvmg

dt

dvm

29) 70ms



31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50

32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100

00975 lbgal

33) 6438lb


87

AULA 16


ORDEM SUPERIOR


ByAdx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0





onde







isto eacute ctexhxy

xy )(

)(

)(

1

2


fundamental)

Exemplo

y + y = 0


y2(x) = cos(x)

ctexx

x

xy

xy )tan(

)cos(

)sin(

)(

)(

1








cte)x(h)x(y

)x(y

1

2

)()()(12

xyxhxy


88




a) 0y9xy5yx2 com 3

1 x)x(y

b) 0y3yx4 2 com 21

1 x)x(y

c) 0y4

1xxyyx 22

com xcosx)x(y 2

1

1

Respostas

a xlnx)x(y 32

b 2

x)x(y

23

2 c senxx)x(y 21

2


89

AULA 17


CONSTANTES


ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

onde A0 A1 A2An

satildeo constantes

Resoluccedilatildeo


dyA 10

yAdx

dyA 10

dxA

A

y

dy

0

1

CxA

Ayln

0

1

CxA

A

0

1

ey

C

xA

A

eey 0

1

Chamando 0

1

A



0bydx

dya

dx

yd

2

2



xλey

xλeλy

xλ2eλy


0e)bλaλ(

0beeλaeλ

xλ2

xλxλxλ2


90





xλ

11ey

xλ

22ey


xλ2

xλ1

2211

21 eCeCy

yCyCy


xλ

nxλ

3xλ

2xλ

1n321 eCeCeCeCy



xey 2



2

x

x

e

e

y

y

constante




xλ2xλxλ2

xλxλ2

xλ2

12

heλehλ2ehy

heλehy

ehy

)x(y)x(h)x(y



Reordenando

0)()2( 2 hbahahe x


Entatildeo

KCxh

Ch

h

0

Logo

xeKCxy

yhy

)(

2

12


91


xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

221

21

2211

)(

)(


temos

x

xx

exCCy

xeCeCy

)( 21

21


xλ1nn

2321 e)xCxCxCC(y




bix2

bix1

ax

bixax2

bixax1

x)bia(2

x)bia(1

eCeCey

eeCeeCy

eCeCy


θisenθcose

θisenθcose

θi

θi

Com isso

senbxCCibxcosCCey


2121ax

21ax

Fazendo

C1 + C2 = C1

i(C1 ndash C2) = C2

temos

senbxCbxcosCey 21ax


92

Exemplos

1) 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd




93


1) 065 yyy

2) 01243 yyyy

3) 022 yyy com 1)0( y e 02

y

4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y

5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y

6) 09 2 yy

7) 069 yyy com 4)0( y e 3

13)0( y

8) 02 2 ykkyy

9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y

10) 0344 yyy com ey )2( 2

)2(e

y

11) 0127 yyy

12) 054 yyy

13) 075 yyy

14) 02 yyy

Respostas

1) xx eCeCy 3

22

1

2) xxx eCeCeCy 2

33

22

1

3) xey x cos

4) xx eey 55 22

5) xx eey 273

6) xπ3

2xπ3

1 eCeCy

7) 3

xe)x34(y

8) kx

21 e)xCC(y

9) 2

x4

xe50e30y

10) x50ey

11) x4

2x3

1 eCeCy


x21

13)

2

3xsenC

2

3xcosCeCy 32

2

x5

1

14)

xexCCy )( 21


94

AULA 18

72 EULER - CAUCHY


ByAdx

dybaxA

dx

ydbaxA

dx

ydbaxA

n

n

n

n

012

2

2

2)()()(


teabax



02 byaxyyx

Faremos

y = xm

yrsquo = mxm-1

yrdquo = m(m-1)xm-2



m = 0

como y(x) = xm




21

21)(mm

xCxCxy


)xln(xCxC)x(y m2

m1

mxxCCxy ))ln(()(

21



xbCxbCxxy a


95

Exemplos

012)12(2)12(2

2

2 ydx

dyx

dx

ydx

0222 yxyyx


96


1) 0202 yyx

2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx

3) 04324610 2 yxyyx

4) 02 yxyyx



Respostas

1) 5

24

1 xCxC

2) 3

32

21

)x1(

C

)x1(

C

1x

Cy

3) 81

21 x)xlnCC(y


5) 25

x)xln2(

6) xlnx3 2


97

AULA 19


10

00

)(

)(

)()()(

Kxy

Kxy

xryxqyxpy

IVP



yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)



)()()( xyxyxy ph










xαke xCe

)10n(kxn

011n

1nn

n CxCxCxC

xαKsen


xβsenke

xβcoske

xα

xα


obs


o

coluna




98

Exemplo

0)0(

1)0(

2 2

y

y

xeyyy x


99


1) xsenyy 34

2) 325102 2 xyyy

3) xseneyyy x 53712352 5

4) 1265 2 xyyy

5) xyy 314

6) 1232 2 xxyy

7) xeyyy 3127

8) xeyyy 28107

9) xeyyy 2844

10) xeyy 434

11) xsenyyy 2334

12) x4sen8dx

yd4

dx

yd

2

2

4

4

13) xsenyy 2124

14) senxyy 4

15) senxydx

yd

dx

yd42

2

2

4

4


4)0( y e 8)0( y

17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e

0)0( y

Respostas

1) x3sen5

1x2Bsenx2cosA

2) xx2

5)x3senCx3cosC(e 2

21x


x71

4) 27

5

9

x5

3

xeCeCy

2x3

2x2

1

5) 4

xx

8

3eCeCCy 2x2

3x2

21

6) 8

x3

12

x

8

xeCxCCy

234x2

321

7) xx4

2x3

1 e20

3eCeCy

8) x2x5

2x2

1 xe3

8eCeCy

9) x22x2

2x2

1 ex4xeCeCy

10) x4

21 e20

3x2senCx2cosCy

11) )x2cos8x2sen(65

3eCeCy x3

2x

1

12) 40

x4seneCeCxCC x2

4x2

321

13) x2cos4

3eCeCCy x2

3x2

21



xy 4321

2

16) 424 xey x

17) xxx xexeey 222

4

1

2

1

16

1

16

1


100

AULA 20




yn + Pn-1(x)y






Onde

dxxW

xrxWu

)(

)()(11 dx

xW

xrxWu

)(

)()(22 dx

xW

xrxWu n

n)(

)()(


)()(

11

2

1

1

2

1

21

21 xW

yyy

yyy

yyy

yyyW

n

n

nn

n

n

n



11

2

2

2

1

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

11

1

1

1

2

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

1

0

0

1

2

1

1

2

1

21

nn

n

yy

yy

yy

W


n natildeo se



u(x)y1(x) + v(x)y2(x)

onde

dx)x(w

)x(r)x(y)x(u 2 e dx

)x(w

)x(r)x(y)x(v 1



101



102




3cosx


-4


2 ndash 15x

3



4lnx


7) 1x2x3dx

yd4

dx

yd 2

2

2

4

4



Respostas

1) 9

260x

3

65eCeCy x

2x3

1

2) xcosxxCxCy 221

3) 432

21 x

2

1xcxcy

4) 3

)xx(xCxCy

322

3

22

1

1

5)

6

11xln

6

xxCxCxCy

43

32

21

6) x13

121 exxCxCCy

7) 8

x

8

x

12

x

16

xeCeCxCCy

234x2

4x2

321

8) xx23

x22

x1 e2eCeCeCy

9) 4

x5

4

xeCeCCy

2x2

3x

21


103

AULA 21






dx

dD

2

22

dx

dD

3

33

dx

dD

7332 Propriedades




P3Dm

(Dn

u)=Dm+n



dxueeu

aD

axax 1

a


du a



Exemplo

ay + by + cy = g(x)


(aD2 + bD + c)y = g(x)


1nn

n ADADADAL com


1nn

n ArArA


Exemplo


0y)2D( 2


104






polinocircmio 1n

1n2


potencia de )D(x n


Soluccedilatildeo


0)x8x51(D 324




Soluccedilatildeo




Vamos verificar

0e12e12e12De6)e6)(2D(


]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(

)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2

x2x2x2x22




xα1nxα2xαxα

xα1nax2xαxα


Soluccedilatildeo

5D2D)]41(D)1(2D[

1n01n2β1α

212


105

Vamos verificar







xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx2x2





zero

221

zero

1122121

2211212121

)y(LL)y(LL)yy(LL

)y(LL)y(LL)yy(LL


Soluccedilatildeo



Logo

0)x3sen6x7)(9D(D 22



1nn

n ADADADA





nuacutemeros reais






0)y(L


106











2

ydx

dy

dx

yd

2) 0442

2

ydx

dy

dx

yd


2

2

x4y2dx

dy3

dx

yd


107


108




2) senxydx

dy

dx

yd 65

2

2

3) senxeydx

dy

dx

yd x 232

2

4) (D3-16D)y=e

4x + 1

5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e

3x

6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe

-2x

7) xx eeyDD 23212

8) 142 xyD

9) x32 ey6D5D

10) senx4e8y3y x3

11) xey

dx

yd 2

2

Respotas

1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xcos10

1senx

10

1eCeCy x3

2x2

1

3) senxxcos2

eeCeCy

xx2

2x

1

4) 16

xe

32

xeCeCCy x4x4

3x4

21

5) x3x4

2x3

1 xe5eCeCy

6) x2

2x2x2

3x

2x

1 e18

xe

27

x2eCxeCeCy

7) xx2x2xx e

6

1ex

2

3CeBxeAey

8) 4

1

4

xBeAey x2x2

9) x3

2x2

1x3 eCeCxey

10) senx5

2xcos

5

6xe

3

8eCCy x3x3

21

11) 2

xeeCeCy

xx

2x

1


109

AULA 22



1) xsenxedx

dy

dx

yd x 2234 2

3

3

2) xex

dx

dy

dx

yd

dx

yd 2

2

2

3

3

3265

3) 13 2

2

2

xesenxydx

yd

4) 1284 2

2

2

xxydx

yd

5) 222

2

3

3

xdx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 1234 3

2

2

4

4

xxdx

yd

dx

yd

7) xey

dx

dy

dx

yd 3232

2

8) xey

dx

yd 2

2

2

44

9) xey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

344

10) xey

dx

dy

dx

yd22

2

2

11) senxydx

dy

dx

yd223

2

2

12) xdx

dy

dx

ydcos34

2

2

13) xsenydx

yd2316

4

4

14) xydx

yd2cos54

2

2

15) 52 2

2

2

xedx

dy

dx

yd

16) xxey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

44

17) xeydx

dy

dx

yd x 2cos8822

2

18)

2244 2

2

2 xey

dx

dy

dx

yd x

19)

20)

21)

senxy

dx

yd 12

2

22) xyxyyx 3222

23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2

22

3

33 xy

dx

dyx

dx

ydx

dx

ydx

x

ey

dx

dy

dx

yd x

22

2

xy

dx

yd

cos

12

2


110

RESPOSTAS

1)

4

x2xsen

8

x

16

e3x2senCx2cosCCy

2x2

321

2)

2

3

18

5

6

223

3

2

21

xxx xe

xx

eCeCCy

3) 132

3 2

21 x

xx esenxeCeCy

4) 44

2 22

2

2

1 xxeCeCy xx

5)

4

5

4

22

321

xxeCeCCy xx

6)

848

5

80

3 2352

4

2

321

xxxeCeCxCCy xx

7)

2

2

21

xxx e

eCeCy

8) xxx xeeCeCy 22

2

2

1

9) xxx exxeCeCy 222

2

2

12

3

10) )( 2

21 xxCCey x

11) senxxeCeCy xx

5

1cos

5

32

21

12) )4(cos17

34

21 senxxeCCy x

13)

32

2cos322cos 43

2

2

2

1

xxxsenCxCeCeCy xx

14)

8

2cos52

2

2

1

xeCeCy xx

15)

22

5 22

21

xx xex

eCCy

16) xe

xxCCy 2

3

216

17) )22cos3(5

1

9

14

2

2

1 xsenxeeCeCy exxx

18)

8

1)( 22

21

xexxCCy x




22) xxxCxCy ln32

21

23)

36

11)1ln(

6

1

)1()1(1 3

3

2

21

xx

C

x

C

x

Cy


111

AULA 23























somente 25 peacute




2 ou 980

cms2

equiliacutebrio

Posiccedilatildeo

inicial

g

K(s+x)


112






kxksmgkxmgxskdt

xdm

zero

)(2

2

(1)






02

2

2

xdt

xd (2)

onde mk 2









=0 satildeo














113



Exemplo





Soluccedilatildeo





M = Wg = 232 = 116 slug


Logo (1) resulta em

xdt

xd4

16

12

2

0642

2

xdt

xd

2 = - 64

= 8i







tsenttx 816

18cos

3

2)(











que


114

dt

dxkx

dt

xdm

2

2

(4)




amortecido

02

2

x

m

k

dt

dx

mdt

xd (5)

ou

02 2

2

2

xdt

dx

dt

xd (6)

onde

m

2 e

m

k2


m2 + 2 m + 2 = 0


22

1 m e22

2 m





022

tmtm

eCeCtx 21

21)( (7)



022

tCCetx t

21)( (8)





115


022


tsenCtCetx t 22

2

22

1cos)(

(9)



Exemplos




para cima

Soluccedilatildeo



dt

dx2x4

dt

xd

4

1

2

2

01682

2

xdt

dx

dt

xd


X(t)= C1 e ndash 4t

+ C2te - 4t




X(t) = - 3te -4t





instantacircnea

Soluccedilatildeo





116

dt

dxx

dt

xd 5

2

12

2

01022

2

xdt

dx

dt

xd





tsentetx t 3

3

23cos2)(







)(2

2

tfdt

dxkx

dt

xdm (10)


)(2 2

2

2

tFxdt

dx

dt

xd (11)




Exemplo


dx21

dt

xd

5

1

2

2

com2

1)0(x

e 0)0(x


117

Soluccedilatildeo










01062

2

xdt

dx

dt




504cos

102

25)cos()( 21

3


tsentsenttetx t 451

504cos

102

25)

51

86cos

51

38()( 3






Exemplo


xd 0

2

2

2


constante e

)(

2

2

tfkxdt

xdm

Soluccedilatildeo



tsenFtsenBtAxx pp 0

22222 )(cos)(


FB

220

Logo

tγsen)γω(

F)t(x

220

p


118



F)t(x

220

com ωγ



)(2

2

tEC

q

dt

dqR

dt

qdL (12)





LR


LR

Subamortecido 042 C

LR


e portanto





Exemplos



Soluccedilatildeo


0400040

01000104

1

qqq

qqq





119

)603

160(cos)( 20

0tsenteqtq t




















)(2

2

xwdx

Md (13)


EIkxM )( (14)





120


23

2)(1

y

yk





4

4

2

2

2

2

dx

ydELy

dx

dEL

dx

Md (15)




)(4

4

xwdx

ydEL (16)







engastada x = 0









Engastada 0y0y

Livre 0y0y






121








gt0





nL ou2

22

L

n n = 1 2 3




4

2

2

2

2

2

2

LLL


sequumlecircncia 3

2

xL

senxL

senxL

sen





compressiva





Py

dx

ydEL

2

ou 02

2

Pydx

ydEL (17)


122



Exemplo



Soluccedilatildeo


0)(

0)0(

02

2

Ly

y

Pydx

ydEI






0)(

0)0(

0

Ly

y

yy



321 222 nLnEIPnn




1 LEIP chamada







carga critica 22



123

9213 Corda Girando


0 yy (18)






















12 TsenTsenF (19)





124



)()( xyxxyTF (20)





aproximada por

2 yxF (21)



2)()()( yxxyxxyT

ou (22)

yx

xyxxyT 2)()(


xyxxy

)()(em (22) eacute



ydx

ydT 2

2

2

ou (23)

02

2

2

ydx

ydT




125















9

4

6

8

12








considerando que



para cima




para cima





a) superamortecido


c) subamortecido






3t



f(t)=68e-2t


amortecimento


126





















periacuteodo









Respostas

1) 8

π2

2) t64cos4

1)t(x

3)

4) a)4

1

12

πx

2

1

8

πx

4

1

6

πx

2

1

4

πx

4

2

32

π9x


c)16

π)1n2(t

n= 0 1 2

5) a)t8t2 e

3

1e

3

4)t(x

b)t8t2 e

3

5e

3

2)t(x


127

6)

7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52

8) t3sent3cos3

10t

2

47sen

473

64t

2

47cos

3

4e)t(x 2

t


14

4

94cos

2

1)( 22

10) )sin13cos99099(500

1 27 tteex xx

11) ttttx 4cos4

14sin

16

14cos50

12) (

)

13) 41078C 00509s

14) q(t)=10+10e-3t

(cos3t+sen3t)

i(t) = 60e-3t

sen3t 10432 C

15) C2

3

2

3)t10sent10(cose

2

1)t(q t10

16)

17) radic radic


128

AULA 24










)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy










a um sistema normal




Exemplos

1)

senxxzdx

dy

senxxdx

dzy

cos

cos


129

2)

xzydx

dz

dx

yd

xdx

dz

dx

yd

22

3

2

2

2

2

2


130


1)

02

02

zdx

dz

dx

dy

zydx

dz

dx

dy

2)

x

x

ezydx

dz

dx

dy

ezydx

dz

dx

dy

2

5

32

4

3)

2

2

2

2

2

2

2

xzdx

zd

dx

dy

eydx

dz

dx

yd x

4)

03

42

zydx

dy

ezydx

dz

dx

dy x

5)

xzDyD

senxzDyD

cos)1()1(2

2)2(2)3(

Respostas

1)

x

x

eCeCy

eCeCz

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

ou

x

x

eCeCz

eCeCy

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

2)

xxx

xxx

eeeCy

eeeCz

252

5

1

252

5

1

25

2

5

3

3)

xexCsenxCeCeCy

xesenxCxCeCeCz

xxx

xxx

22

3cos2222

2

3

2

1

2

1cos

43

2

2

2

1

2

43

2

2

2

1

4)

x

x

esenxCCxCCz

esenxCxCy

2)3(cos)3(

2cos

2121

21

5)

senxxeCeCz

xsenxeCeCy

x

x

x

x

130

61cos

130

33

3

4

)cos8(65

1

5

23

1

5

23

1


131

AULA 25


Dado o sistema

)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy


n

n

F

dy

F

dy

F

dydx

1 2

2

1

1



)(

)(

2

1

zyxFdx

dz

zyxFdx

dy

(1)


321 F

dz

F

dydx

ou generalizando

)()()( zyxR

dz

zyxP

dy

zyxM

dx (2)


dois paracircmetros



se

nRmPlM

ndzmdyldx

R

dz

P

dy

M

dx


lM + mP + nR = 0

o que faz com que

ldx + mdy + ndz = 0


132




Exemplos

1)x

dz

x

dy

y

dx

2)zx

dz

yx

dy

zy

dx

2


133

3))()()( 222222 xyz

dz

zxy

dy

yzx

dx




1) cybx

dz

axcz

dy

bzay

dx

2) )()2()2( 444444 yxz

dz

xzy

dy

zyx

dx

3) yx2

dz

x3z

dy

z2y3

dx

4) z

dz

x

dy

y

dx

5) yx

dz

x

dydx

221

Respostas

1) x2 + y

2 + z

2 = C1

cx + by + az = C2

2) x4 + y

4 +z

4 = C1

xyz2 = C2

3) x2 + y

2 + z

2= C1

x + 2y + 3z = C2

4) x2 ndash y

2 = C1

zC2 = y + x

5) y = x2 + C1

z = 3

2x

3 + xy ndash x

3 + C2


134

AULA 26


ORDEM



dx


dx


dx

nnnm22n11nn

2nm22221212

1nm12121111


)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

x

x

x

dt

d

nm2n1n

m22221

m11211

n

2

1

ou ainda

)t(FX)t(Adt

dX


homogecircneos

X)t(Adt

dX


XAX


tλeξX

temos

tλeξλX


0eξ)λA(

eξAeξλ

tλ

tλtλ


135


e autovetores

Exemplo 1


t10y3x4dt

dy

t2ey5x2dt

dx t


t10

t2eX

34

52

dt

dX t

ou

t10

2e

0

1X

34

52X t

onde

y

xX



)t(x

)t(x

)t(x

X

n

2

1


)t(FX)t(Adt

dX

no intervalo

Exemplo 2

Verifique que

t2

t2t2

1e

ee

1

1X e

t6

t6t6

2e5

e3e

5


X35

31X

no intervalo )(

Soluccedilatildeo


136

Temos

t2

t21

e2

e2X

e

1t2

t2

t2t2

t2t2

t2

t2

1 Xe2

e2

e3e5

e3e

e

e

35

31AX

Agora

t5

t612

e30

e18X

e

12t6

t6

t6t6

t6t6

t6

t6

2 Xe30

e18

e15e15

e15e3

e5

e3

35

31AX





)t(x

)t(x

)t(x

)t(X

0n

02

01

0

e

n

2

1

0

γ

γ

γ

X


00 X)X(tasujeito

)t(FX)t(Adt

dXResolver









comum I


137



X)t(Adt

dX


kk2211 XcXcXcX





Exemplo 3


102

011

101

X

eacute

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X1


tcoscsentc

tcosc2

1sentc

2

1

sentc

dt

dX

11

11

1

e

tcoscsentc

sentc2

1tcosc

2

1

sentc

sentctcosc

sentc2

1tcosc

2

1

tcosc

102

011

101

AX

11

11

1

11

11

1


Exemplo 4


102

011

101

X

Se

0

e

0

X t2 entatildeo

0

e

0

X t2 e

2tt

2 X

0

e

0

0

e

0

102

011

101

AX




138

0

e

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcX t212211




X)t(Adt



0XcXcXc kk2211








Sejam

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X




wronskiano

0

xxx

xxx

xxx

)XXX(W

nn2n1n

n22221

n11211

n21


139

Exemplo 5


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X


X35

31X



0e8e5e

e3e)XX(W t4

t6t2

t6t2

21

para todo t real

Exemplo 6


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X



31X



entatildeo

t6

2t2

12211c e5

3ce

1

1cXcXcX








X)t(Adt


nn2211 XcXcXcX



140

Exemplo 7

Os vetores

tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

Xe

0

1

0

X

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X 3t

21 satildeo

do sistema X

102

011

101

X

no exemplo 3 Agora

0etcossentsenttcos

senttcose

tcossent0senttcos

tcos2

1sent

2

1esent

2

1tcos

2

1sent0tcos

)XXX(W ttt321



tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

ce

0

1

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcXcX 3t

21332211




sistema )t(FX)t(Adt

dX


X)t(Adt





dX em um


nn2211c XcXcXcX


141


dX correspondente


pc XXX




dX

Exemplo 8


6t5


homogecircneo

3

11t12X

35

31X no intervalo )(

Soluccedilatildeo

Temos

5

3X

p e

3

11t12

6t5

4t3

35

31

3

11t12X

35

31p

pX

5

3

3

11t12

2

14t12

3

11t12

)6t5(3)4t3(5

)6t5(3)4t3(

Exemplo 9


3

11t12X

35

31X em )( eacute

6t5

4t3X p



31X

eacute

t62

t21c e

5

3ce

1

1cX


65

43

5

3

1

1 62

21

t

tececXXX tt

pc eacute


3

11t12X

35

31X em )(


142


)t(FX)t(Adt




Seja

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X


dX em um

intervalo I

A matriz

nn2n1n

n22221

n11211

xxx

xxx

xxx

)t(



Exemplo 10


t

t

t

e

eeX

2

2

2

11

1 e

t

t

t

e

eeX

6

6

6

25

3

5

3constituem


35

31 em )(

tt

tt

ee

eet

62

62

5

3)(


Exemplo 12


c ececXcXcX 62

212211

5

3

1

1

dada no exemplo 6


2

1

t6t2

t6t2

c

c

e5e

e3eX






143

)t()t(A)t(

0)t()t(A)t(







t no intervalo

Exemplo 13


tt

tt

ee

eet

62

62

5



1121

1222

1112

21221

det

1

det

1

aa

aa

aa

aa

AA

T

que

tt

tt

tt

tt

t

ee

ee

ee

ee

et

66

22

22

66

4

1

8

1

8

18

3

8

535

8

1)(




1

0

0

0

1

0

0

0

1

00201

tVtVtV n





144

1000

0100

0010

0001

00

t


Exemplo 14


35

31

Soluccedilatildeo

Por tt ececXcXcX 6

22

122115

3

1

1



22

15

3

1

1


0

1

5

3

1

121 cc ou

05

13

21

21

cc

cc

Obtemos 8

51 c e

81


tt eeV 621

5

3

8

1

1

1

8

5


1

0

5

3

1

121 cc ou

15

03

21

21

cc

cc


31 c e

81


tt eeV 622

5

3

8

1

1

1

8

3

Dai


145

tttt

tttt

eeee

eeeet

6262

6262

8

5

8

3

8

5

8

58

3

8

3

8

3

8

5

)(

Observe que

10

01)0(





Por

1000

0100

0010

0001

00

t





Por 0

1 ttt



1)

y8x4dt

dy

y5x3dt

dx

2)

z3y4x10dt

dz

yx6dt

dy

z9y4x3dt

dx


146

3)

2ttzyxdt

dz

t3zyx2dt

dy

1tzyxdt

dx

2

2


4) te

1

1X

31

24X

5) t

1

1

3

e

2

2

1

z

y

x

652

143

211

z

y

x

dt

d t


6)

y7x4dt

dy

y4x3dt

dx

t5e

2

1X

7) 2t3

e2

1XX

114

11

X

8)

13

6

1

121

016

121

XXdt

dX



9) t6

2t2

1 e1

1Xe

1

1X

10)

4

4

2

t

12

6

3

X

4

2

1

X

2

2

1

t

4

2

1

X 321


147


dado

11)

18423

724

tyxdt

dy

tyxdt

dx

1

5

1

2tX

p

12) tt

p

t teeXeXX

1

1

1

1

7

1

43

12


011

101

060


t33

t22

t1 e

1

1

2

ce

1

1

3

ce

5

1

6

cX



t1

14) t7

2t2

1 e3

1Xe

2

1XX

56

14X

15) tt

2t

1 e1

0te

3

1Xe

3

1XX

29

14X


14


15


148

Respostas

1) 84

53 XX

onde

y

xX

2)

3410

016

943

XX

onde

z

y

x

X

3)

2

0

1

03

0

111

112

111

2

2

t

t

t

tXX onde

z

y

x

X

4)

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx

3

24

5)

tezyxdt

dz

tezyxdt

dy

tezyxdt

dx

t

t

t

2652

243

32




9) Sim

10) Natildeo




14)

tt

tt

t

tt

tt

ee

ee

et

ee

eet

22

77

9

1

72

72

2

3

5

1)(

32


149

15)

tt

ttt

t

ttt

tt

ee

teete

et

eee

teet

3

31

33

2

1

16)

tttt

tttt

eeee

eeeet

7272

7272

5

3

5

2

5

6

5

65

1

5

1

5

2

5

3

17)

ttt

tt

etete

tetet

39

3


150

AULA 27



X)t(Adt

dX


XAX


tekX

temos

tekX


0)(

t

tt

ekA

ekAek


e autovetores






t

nn

t

b

t

anekcekcekcX

21

21


151


yxy

yxx

2

32

Soluccedilatildeo


012

32

0)det(

IA

41

043

0622

0)1)(2(

21

2

2

e

Para 11 temos

0

0

22

33

0

0

)1(12

3)1(2

0)(

b

a

b

a

K

K

K

K

KIA

1

1

1

022

033

1K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba

Para 42 temos

0

0

2

32

0

0

412

342

b

a

b

a

K

K

K

K

2

3

2

2

3

032

032

2K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba


ii eKx temos

tt eXeX 4

212

3

1

1


tt

tt

tt

eCeCy

eCeCx

eCeCy

x

XCXCX

4

21

4

21

4

21

2211

2

3

2

3

1

1


152




t

ekX 1

11

e t

ekX 1

12




Exemplo

Resolva o sistema

yxdt

dy

yxdt

dx

45

6

Soluccedilatildeo

045

16

0)det(

IA

2

525

2

410

2

11610010

02910

054624

05)4)(6(

2

2

i

i

Para i25 temos

ab

ba

b

a

b

a

KiK

KKi

K

K

i

i

K

K

i

i

KIA

)21(

0)21(

0

0

)21(5

121

0

0

)25(45

1)25(6

0)(


153

iKi

K


2

0

1

1

21

1

1

11

tt

tt

tt

tt

t

t

etsentCetsentCy

etsenCetCx

etsent

tsenCe

tsent

tCX

etsentCetsentCX

XCXCX

etsentX

etsentX

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

2221

5

2

5

1

)22cos2()222(cos

)2()2cos(

22cos2

2

222cos

2cos

21

12cos

2

02

2

02cos

1

1

21

12cos

2

0

22

02cos

1

1





t

ekX 1

11

tt

ektekX 21

212


para o sistema

t

m

tm

tm

mmeke

m

tke

m

tkX

21

)2()1(

2

2

1

1




PeKteX 11

2

()

Onde


154

nk

k

k

K2

1

e

np

p

p

P

2

1


0)()( 11

11 tt

eKPAPteKAK


KPIA

KIA

)(

0)(

1

1

Exemplos


zyxz

zyxy

zyxx

22

22

22

0

122

212

221

51

Re

0593

0593

012121733

0)1(1216133

0)1(4)1(4)1(488)1(

321

23

23

23

23

3

e


Para 11 temos

21

0|222

0|222

0|222 1

L

31

21

)2(

2

0|222

0|222

0|111

LL

LL

0|000

0|000

0|111

cba

cba

KKK

KKK


0

1

1

1K


155


1

1

0

2K



teX

0

1

1

1 e teX

1

1

0

2

Para 53 temos

31

21

21

)2

1(

0|422

0|242

0|224

LL

LL

32

12

)1(3

2

0|330

0|330

0|224

LL

LL

)1(

)4(

0|000

0|330

0|404

2

1

L

L

0

0

cb

ca

KK

KK

cb

ca

KK

KK


1

1

1

3K

ttt eCeCeCX 5

321

1

1

1

1

1

0

0

1

1


yxy

yxx

92

183

092

183

3

Re

096

0369327

036)9)(3(

21

2

2



156

Para 321 temos

ba

ba

ba

b

aKK

KK

KK

K

K3

062

0186

0

0

62

186

fazendo 1bK temos

1

31K


1 1

3

2

1

1

3

p

pPK

IPSLL

L

L

p

p

KPIA

KPIA

0002

131

2131

2131

2

6

162

3186

1

3

62

186

3

21

2

1

2

1

1

21

21

32

1

2

13

pp

pp

fazendo

02

10

2

121 Ppp

ttt

tt

eetCeCX

eetX

33

2

3

1

33

2

02

1

1

3

1

3

02

1

1

3


157


1) Resolva

z3ydt

dz

zy5xdt

dy

zyx4dt

dx

2) Resolver X21

82acuteX

3) Resolver X1

2

121

acuteX


yxy

yxx

3

4

5)

yxdt

dy

yxdt

dx

34

2

6)

yxdt

dy

yxdt

dx

22

5

24

7)

yxdt

dy

yxdt

dx

25

6

8)

yxdt

dy

yxdt

dx

32

5

9)

yxdt

dy

yxdt

dx

39

3

10)

yxdt

dy

yxdt

dx

53

3

Respostas

1) t53

t42

t31 e

1

8

1

ce

1

1

10

ce

1

0

1

cX

2)

t2sen

t2sen2t2cos2c

t2cos

t2sen2t2cos2cX 21

3) t

2t

1 etcos

sent2ce

sent

tcos2cX

4)

ttt etececX

1

1

1

2

1

221

5) tt ececX

1

1

2

12

5

1

6) tt ececX

5

2

1

22

3

1

7) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin2

sin

sincos2

cos

8) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin

sin

sincos

cos

9)

414

1

3

1

3

121 tccX

10)

ttt etececX 22

2

2

10

31

1

1

1

1


158

AULA 28








Exemplos


41034

66

tyxy

tyxx


XX

XAX

34

16


034

16

0)det(

IA

72

0149

043618

0)3)(6(

21

2

2

e


Para 71 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

44


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

4

1

04

0

0

14

14

fazendo 4bK temos

4

12K


tt

tt

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

2

7

1

2211

2211

4

1

1

1

21


159


c

aX

dct

batX

t

ttf

p

p

410

6)(


cdbtca

adbtca

t

t

t

t

dctbat

dctbat

c

a

t

t

dct

bat

b

a

34)34(

6)6(

104

6

410

6

3344

66

410

6

34

16

7

107

242

7

4

62814

234

6318

6434

26

434

06

6

1262

662814

1034

18318

1034

66

d

db

bdb

db

db

db

db

cdb

adb

c

ca

aca

ca

ca

ca

ca

Logo

7

106

7

42

t

tX p


7

106

7

42

4

1

2

12

2

7

1

2221

t

teCeCX

XXCXCX

tt

p


160


5

3

yxy

yxx

XX

11

11


011

11

0)det(

IA

20

0)2(

0121

01)1(

21

2

2

e


Para 01 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

12K


t

tt

tt

eCCX

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

21

2

2

0

1

2211

2211

1

1

1

1

1

1

1

1

21


c

aX

dct

batX

tf

p

p

5

3)(



161

5

3

)(

)(

5

3

11

11

dbtca

dbtca

c

a

dct

bat

b

a

ca

ca

0 fazendo 11 ca

4

1

3

db

adb

adb

4

51

5

db

db

cdb

Fazendo 04 db

t

tX p

4

Logo

t

teCCX t 4

1

1

1

1 221








CtX )(



)()( tUtX p


)()( tFXtAdt

dX

entatildeo



162



)()()( tFtUt

)()()()()( 11 tFttUtt

)()()( 1 tFttU

dttFttU )()()( 1

entatildeo

dttFttX p )()()( 1


Exemplo

Resolva o sistema

teyxy

tyxx

42

33


XX

42

13


043

13

0)det(

IA

25

0107

024312

21

2

2

e


Para 51 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

2

1

02

0

0

12

12

fazendo 2bK temos

2

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

22


1

12K


2

1

25

25

2

2

5

1

2211

2211

21

1

2

1

21

C

C

ee

eeeCeCX

eKCeKCX

XCXCX

lfundamentamatriz

tt

tt

tt

tt


163


tt

tt

ee

ee25

25

2

212

10

01 LL

t

tt

e

ee2

25

30

12

312

01

LL

t

t

e

e2

5

30

0

2

2

1

5

2

112

31

31

Le

Le

t

t

10

01

tt

tt

ee

ee

22

55

3

1

3

23

1

3

1

Logo

tt

tt

ee

ee

22

55

1

3

1

3

23

1

3

1

tt

tt

tt

tt

ete

ete

e

t

ee

eetft

2

45

2

55

1

6

3

3

13

23

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

eete

eetedt

ete

etedttft

22

455

2

45

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

6

3

3

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

p

eete

eete

ee

eedttfttX

22

455

25

25

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

2)()()(

t

t

p

t

t

p

tt

tt

p

et

etX

et

etX

eetet

etetX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

2

3

50

63

5

24

3

50

81

5

18

3

1

2

3

2

1

25

6

5

62

33

4

1

25

3

5

3

3

1

Soluccedilatildeo

t

t

tt

et

eteCeCX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

1

1

2

12

2

5

1


164



1)

122

433

yxdt

dy

yxdt

dx

2)

2

2

4

3

53

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx


indeterminados

3)

52

732

yxdt

dy

yxdt

dx

4)

53

23 2

tyxdt

dy

tyxdt

dx

Respostas

1)

10

15

11

11

2

3

1

121 teccX t

2) 2223

22

1

49

215

413

213

3

10

1

2 tttt

eteececX

3)

3

1

1

3

1

121

tt ececX

4)

43

2

414

1

43

41

1

1

1

1 242

21 ttececX tt


165

AULA 29



xCey 2

2

02


44

0

33

2210 xCxCxCxCCxCy

n

nn

1

1

34

2321

432

n

nnxnCy

xCxCxCCy


021

1

n

nn

n

nn xnCxnC

Trocando

1

1

01

1

Nn

Nn

n

n

II

NN

NN

I

n

nn xCNxnC

011

)1(

1


0

2321)1(

2321

1

1

32)1(

32

N

NN

n

nn

xCxCCxCNII

xCxCCxnCI

Satildeo iguais

Voltando


166

0)1(

2

02)1(

02)1(

02)1(

1

1

0

1

01

1

nn

CC

CCn

xCCn

xCxCn

nn

nn

n

nnn

n

nn

n

nn

Para

234

)2(

234

)2(2

4

23

23

)2(

23

)2(2

3

22

2

)2(

2

)2(2

2

21

21

20

04

03

34

03

02

23

02

012

00

1

CCCCn

CCCCn

CCCCn

CC

Cn


1

)2( 0

nn

CC

n

n

Entatildeo

0

44

33

2210

n

nn xCxCxCxCCxCy C

0

0

1

0

443322

0

30

320

20

0

)2(

)2(1

4

2

3

2

2

2

1

21

3

)2(

2

)2(

1

2

n

nn

n

nn

n

xC

n

xC

xxxxC

xCxCxCC

Como

3

)2(

2

)2(21

321

322

32

xxxe

xxxe

x

x

Logo

xeCy 2

0


167


2

ydx

yd

i

1

01

2

2

senxCxCy 21 cos


2

2

1

1

0

)1(

n

nn

n

nn

n

nn

xCnny

xnCy

xCy

2

2

2

Nn

Nn

n

24

132

0

)2(

22

)2(

2

2

34232

)1)(2()1)(2()1(

xCxCC

xCNNxCNNxCnnyN

NN

N

NN

n

nn

Que fica igual a

24

132

2


nn

Logo substituindo

2

2)1(n


0)1)(2(02

)2(

n

nn

n

nn xCxCnn

0)1)(2(2

)2(

n

n

nn xCCnn

0)1)(2( )2( nn CCnn

0)1)(2(

)2(

n

nn

CC n

n

para 12

0 02

CCn

para 23

1 13

CCn

para 412

)(

34

1

342 002

4

CCCCn


168

para 523

)(

45

1

453 113

5

CCCCn

para 6456

1

564 004

6

CCCCn

para 7567

1

675 115

7

CCCCn

765432

17

06

15

04

13

02

CC

CC

CC

CC

CC

CC


1)12(

)1(1

)2(

)1( 1)12(

02

k

k

CCk

k

CC

k

k

k

k

Voltando

0n

nnxCy

5

53

314

42

20 xCxCxCxCxCCy

senxCxCy

k

xC

k

xCy

xxxxC

xxxCy

n

kk

n

kk

n

10

0

12

1

0

2

0

753

1

642

0

0

cos

)12(

)1(

)2(

)1(

7536421


169

REFEREcircNCIAS









5









AULA 27 150





AULA 28 158




AULA 29 165



6

AULA 1



1) dxx )13( R Cxx

2

3 2

2) dxx

x

4= R Cxx 48

3

2

3)

dxx

x2

2 )1( R C

xx

1

4)

21 x

dx R Carcsenx

5)

dxx

x21

R Cx 21ln2

1

6) )1( 2xx

dx R C

x

x

1ln

2

12

2

7)

21 x

dx R Cx arctan

8) 42x

dx R C

x

x

2

2ln

4

1

9) x

dx

3 R C

x

3

1ln

10)

dxx

x3

21 R Cx

x ln

2

12

11)

dxx

x3

2 )1( R Cx

x ln

2

12

12) dxx

x

tan

sec2

R Cx tanln

13)

dx

ax

ax22

22

R Cax

axax

ln


7

14)

dx

ax

ax22

22

R Ca

xax arctan2


9

1 3

16)

dx

xx

x

12

12

R Cxx 12ln2

1 2

17)

dx

xx

xx32

2

31

2 R Cxx 13ln

3

1 23

18)

dx

x

x21

1 R Cxx arctan1ln

2

1 2

19)

22 31231

3

xx

xdx R Cx 231ln 2

20)

dx

x

x

35

13 R Cxx 35ln

25

4

5

3

21)

dx

xx

x

145

152


1 2

22)

dx

x

x

10

12 R Cxx 10ln212

23) dxxe x )2(1

ln

R Cxx 2ln

24)

dxx

xe x

2

arctan

1



x

2

sin 2

26) dxxe x )2( 32

R Cex x 2

)1( 2

27)

dxxxe x

64

)123(4 22

R Cxxe x

4

3

22

3

16

22

28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(


8

AULA 2






derivada eacute 23

3

xedx


23 xydx

dy

(1)





















dx

dy




)(xfdx

dy


dxxfdy )(





9




1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos)(2 2

5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

2

2

2

2

2

8) y

zxz

x

z


131 TIPO








132 ORDEM



ordem

133 GRAU





10

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3

a ordem e 2

o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1

o grau



134 LINEARIDADE


)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n





independente x

Exemplos

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3


terceira ordem



Cxxy 4 ou BxAxy 2









11


a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy


f) xx eCeCy 2

23

1


12



1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx


5) 321 )( CexCCy x

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln



Respostas

1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2 ( ) 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy


13

AULA 3








21 CURVAS INTEGRAIS




xdx

dy2






















14

Exemplo


dy1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1



2

2

xxy

y

dx

dy


y


Exemplo

Verifique que 16

xy

4


xydx

dy no intervalo )(

Resoluccedilatildeo



dy 21


xydx

dy eacute


4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33


044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x










15



x0 e3ye3cec3







xy

4


0)0(y

xydx

dy 21








)yx(fdx










16


00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy









yfdx

dy (2)




)(

1

yfdx

dy (3)


y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)


1



1

yfdy

dx em





00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)


00)(

)(

1

xyx

yfdy

dx

(6)



17




kydx

dy (7)




0)(00

yxy

kydx

dy

(8)


00)(

1

xyx

kydy

dx

(9)


y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R


akydx

dy




18

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1

Portanto

k

ayea

kyeaky CxkCxk

1 )()(

Neste caso k




o grau

)( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx













CdyyQdxxP )()(

Exemplos



19

1) 13 xdx

dy

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx



20

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy


21





)(


diferenciais

2) 01

dx

dytgy

x

3) 0)1(4 22 dyxdxxy

4) 0)3()2( dyxdxy

5) 0)1( 2 dyxxydx

6) 42

2

x

e

dx

dy y

7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

8) dx

dyxyy

dx

dyxa

2


10) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 ndash a

2)(y

2 ndash b

2)dy = 0

11) 0)1( ydxdyx

12) 0)1( 2 xydxdyx

13) 0cos xydx

dy

14) xydx

dycos3

15) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas


nuacutemero real

2) x cos y = C

3) Cy

1)1xln(2 2

4) (2 + y)(3 ndash x) = C

5) C y2 = 1 + x

2

6) C2

xarctge y2

7) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

8) y

y

k

a a

ex

ln

2

9) tg x tg y = C

10) Cb

yarctgb2y

ax

axlnax


12) Cx1y 2

13) senxe

Ky

14) senxCey 3

15) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3

1)0(42 yydx

dy


22

AULA 4






Exemplos




2) 4y

x)yx(g

2

2


)yx(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()tytx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(xy) = 2x3 + 5xy




x

y1fx)yx(f n e

1

y

xfy)yx(f n


Exemplo


x

y1fx

x

y

x

y31x

x

y

x

y31x)yx(f 2

22

2

22

1

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)yx(f 2

22

2

22




Exemplos

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

y

xy

3)

x

yarctgy


23



Tem-se

N

M

dx

dy



x

yF

dx

dy (1)


variaacuteveis


y por u

xuy (2)


dx

duxu

dx

dy

(3)


x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(


Em resumo




separaacutevel


24

Exemplo

02)( 22 xydydxyx


25





3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0

5) (x2 + y


6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy




3

1)1(y

Respostas

1) y2 + 2xy ndash x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

221

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


26

AULA 5






222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy





eixos



11

ba


Resoluccedilatildeo

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa



dvdyvy

dudxux


27





22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv


vbua

vbuaF

du

dv

22

11


Exemplo


132

yx

yx

dx

dy


28


11

ba





Como 22

11

ba


escrever

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)


1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy


)(1

1

1

xatb

y


1

1

1a

dx

dt

bdx

dy


2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt



29


12

yx

yx

dx

dy


30




3) 0dy)8y5x(dx)xy3(

4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

5) yx1

y3x31

dx

dy

6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

7) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas


2 + 2y = K


3) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C

5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

7) x2 - 4y

2 - 6xy - 2x + 4y = K


31

AULA 6





x

N

y

M



dyy

udx

x

udu

(2)


)( yxMx

u

(3)

e

)( yxNy

u

(4)



)()()( ygdxyxMyxf

(5)


)()(

ygy

dxyxM

y

f

(6)


)()()(

yxNygy

dxyxM


1

)()()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)


Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

)(

)()()(


Cdy

y

PNMdxyxU )(



32

Exemplos

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


33


1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y ndash 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0


5) 0)( 22 drrdre

Respostas

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22


34

AULA 7



N

y

M




u

e NF

dy

u


FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F



x

NFN

x

F

y

MF


x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo dxx

N

y

M

NdF

F

11


dxxRexF

)()(

onde

x

N

y

M

NxR

1)(


dyyReyF

)()(

onde

x

N

y

M

MxR

1)(


35

Em resumo


N

y

M




F(x) F(y)

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos


integrante

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


36

2) (x2 ndash y

2) dx + 2xy dy = 0







2)1(y

5) 0xdy2dx)xy( 2

6) 0xdylnxdx)yx(

7) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

Respostas

1) x2 cos y + x

4 = C

2) Ctgyex 2

3) Ceseny x

4) xxy 32

5) k5

x2xy2

25

6) kxlnyx

7) Kyxx 22


37

AULA 8



o grau tem a forma

)()( xQyxPdx

dy

(1)



desse tipo a saber




nosso problema

QPydx

dy


0)( dydxQPy



0 dyedxQPyePdxPdx


QPyeMPdx

e

Pdx

eN


Pdx

Pey

Me

Pdx

Pex

N



38

Exemplo1


y

dx



39







dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)


QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)








eeey Fazendo

Cek temos Pdx










dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

Daiacute Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx


1




40


ZPdx

1


ldquoZrdquo

CQdxek

keyPdxPdx 1


CdxQeeyPdxPdx

(8)


Exempo 2


y

dx

dy por Lagrange


41


1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycostan

4) xx

y

dx

dy

5) 32

xx

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan


xydx

dy

cos

1tan


dy

Respostas

1) Cxx

y )ln(sin1


3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


42

AULA 9


LINEARES






nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)



EDO linear

Pois se



Soluccedilatildeo




dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)


nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

2




43

Como ty n 1 temos

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(


Exemplo

232

xyx

y

dx

dy


44


1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 02 2 xydx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas

1) 2

1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

)ln(

1

3) 12 2223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


45

AULA 10



)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

(1)





Resoluccedilatildeo



zyy 0 (2)



RQyPydx

dy 0

2

0

0

(3)


dx

dz

dx

dy

dx

dy 0

(4)


RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

0

0


RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)








46


2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)


Em resumo




Exemplo


dyx

e



47



2

x

y

x

y

dx



2) Mostrar que x

y1


2 2

xy

dx


geral


dy calcular a



121 2

xy

xy

xdx


particular



particular

Respostas

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


48

AULA 11





diferencial










49







0)(

0)(

yxf

yxf

(1)



Exemplo


a 5


50



0

dx

dyyxF


geral

particular





original



0

dx


0

0

dx



Exemplo


22

x

dx

dyx

dx

dyy


51



a)

1

4 2 xy

b) 0)2(2 222 yyx


2

2

y

dx

dyy


2

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

1) a ) xy 273

b) 042 yx

2) 1y


4



52

AULA 12



dx

dy

dx

dyxy

Resoluccedilatildeo

Chamando pdx

dy



dx

dppp

dx

dpx

dx

dy)(1

0)( pxdx

dp (2)

0dx

dp Cp



De (2) tem-se

0)( px (3)

xp )(


singular

Exemplos



53


0

2

y

dx

dyx

dx

dy




Clairaut

a dx

dy

dx

dyxy ln

b

2

3

dx

dy

dx

dyxy

c 01

23

dx

dyy

dx

dyx

d 045

y

dx

dyx

dx

dy

e 2

4

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

a ClnCxy (geral)

xln1y (singular)

b 2C3Cxy (geral)

y12x2 (singular)

c 2C

1Cx (geral)

23 x27y4 (singular)

d 04)xCy5(C (geral)


e 2C4Cxy (geral)

2

222

x1

)x1(4y

(singular)


54

AULA 13



dx

dy

dx

dyFxy

(1)


dx

dy

dx

dyF

Resoluccedilatildeo


Chamando pdx



dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(

dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(



)(

)(

)(

)(

pFp

px

pFp

pF

dp

dx


QPxdp

dx



)(

)(

pyy

pxx


55

Exemplo


2

1

dx

dyx

dx

dyy


56



a)

2

24

dx

dyxy

b)dx

dy

dx

dyx lnsin


57


1) dx

dy

dy

dxxy

2)

dx

dydx

dyxy

12

3)

2

dx

dyx

dx

dyx2y

4)

2

dx

dy1

dx

dyy

5) dxdy

edx

dyy

2

6) dx

dy

dx

dyy ln2

2

7)

dx

dy2

dx

dyy

e

22

x

Respostas

1)

pCppp

y

Cppp

px

1ln1

1

)1ln(1

2

2

2

2

2)

2

ln

ln2

p

Cpx

p

Kpy

3)

Cp

Cy

p

Cx

2

2

4)

cppx

ppy

arcsinln

1 2

5)

p2

pp

epy

cpeex

6)

cp

2p2x

pln2py 2

7)

cy

pyp

p

pyx

arctanln

2ln

22

22


58

AULA 14



1) 0)2(3 dyyxydx

2) 02

dyyexdx x

3) 0)1( 2 dxydyx


5) )yxcos(dx

dy


7) dxyxydxxdy 22


9) 0)2( dyxxyydx

10) 0)52()42( dxyxdyyx

11)342

12

yx

yx

dx

dy

12) 0)139()23( dyyxdxyx

13)

01

2)cos()cos(

dy

yxxyxdx

x

yxyy

14) 0324

22

3

dy

y

xydx

y

x

15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx

16)yxy

xyx

dx

dy2

2


18)




20) dxexydxxdy x2

21) 02 xdyydxdyy

22) 0)ln( 3 dyxydxx

y


0 xeydx

dyx

24) 0)32(2 dyxydxy

25)22

2y

x

y

dx

dy

26) dxyyxdy )1( 2

27)22)1( xyxy

dx

dyx



dx




equaccedilotildees

29)

2

dy

dx

dx

dyxy

30)

2

1

dx

dy

dx

dyxy

31)dx

dy

dx

dyxy

32)dx

dy

dx

dyxy sin


33)

dx

dyx

dx

dyy 2

2

1

34)

2

2

dx

dy

dx

dyxy


59

Respostas

1) )ln(126 2 Cyxy

2) 22 2

Cey x

3) 1)1(ln xCy

4) Cyx secsecln


6) Cyyxx 323 32

7) 222 yxCxy

8) CX

yxy )ln(

9) Cyy

x ln

10) )3()1( 3 yxCyx

11) Cxyyx 48)584ln(

12) )126ln(62 yxCyx

13) Cyxyxy ln2)sin(

14) Cyy

x

13

2

15) Cyyxx 4223 3

16) Cyyx 222 )1(

17) Cxyyx cos

18) Cx)-y(2secysecx

19) 1cos2 xeyx

20)xxeCxy

21) Cyxy 2

22) Cyyx 3ln2

23)x

eabey

ax

24)y

Cyx12

25) 0122 xyyCx

26)2

22

xC

xy

27)

11

12

xC

y

28)1

2

x

xxx

Ce

eCeCey

29)

23

2

4

27

1

xy

CCxy

30)

2

2

2

1

)1(

1

x

xy

CCxy

31) CCxy


32)21arccos

sin

xxxy

CCxy

33)

221

21

2(6

1

)(3

1

pCpy

pCpx

34)

p

pCy

pp

Cx

3

2

3

2

3

3

2


60

AULA 15


MATEMAacuteTICOS













A seguir






















61






futuro








expressa por

kxdt

dx 00

)( xtx ktexx

0

(1)






dS a qual


Exemplo





62

Resoluccedilatildeo

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx


kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx ndash ln c = kt

lnc

x= kt

ekt =

c

x

x = cekt


0x

cex

0

00


kt0exx


3x0

40550k

k2

3ln

e2

3

exx2

3

k

1k00


t40550

0

kt0

exx

exx



63

70922t

0986121t40550

t405503ln

e3

exx3

t40550

t4055000


63 MEIA VIDA









AKdt

dA (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA kteAA 0

Exemplo




Resoluccedilatildeo

000

0

A999570A000430A15t

A0t


kAdt

dA

kdtA

dA

ln A = kt + c

ktc

Aln

kte

c

A

A = cekt


64


0

00

k00

Ac

ceA

ceA

0t


A(t) = A0ekt

A(15) = A0e15k

A(t) = 2

0A

099957 A0 = A0e15k teAtA

51088672

0 )(

Ln099957 = ln e15t 000028670

0

0 2

eAA

-000043 = 15 k te 000028670

2

1

K = - 2866710- 5

-06931 = - 000002867t

t = 24180

t 24180 anos


t10866720

0

5eA)t(A

2

A)t(A


3717924t

t1086672693150

t108667250ln

e50

eA2

A

5

5

t1086672

t10866720

0

5

5



65









AKdt

dA (2)

























5600 anos



Turim




66

Exemplo



Resoluccedilatildeo

A(t) = A0ekt

5600

0

0 2

keAA

ke5600ln2

1ln

5600k = - 06931

K = - 0000123776


A(t) = A0e- 0000123776t

teAA 0001237760

00 100

1

te 0001237760ln

100

1ln

- 0000123776 t = - 69077

t = 55808


66 RESFRIAMENTO







)TT(Kdt

dTm (3)

mkt TceT




67

Exemplo




Resoluccedilatildeo

T(0) = 3000F )( mTTk

dt

dT

T(3) = 2000F )70( Tk

dt

dT

T() = 750

kdt

T

dT

)70(


ktc

T

70(ln

c

Tekt 70


70 ktecT


T(0) = 3000

300 = Cek0

+ 70

C = 2300

Logo

T = 230ekt + 70


200 = 230e3k

+ 70

230 e3k

= 130

230

1303 ke

230

130lnln 3 ke

1901816190k

5705448580k3


70e230)t(T t190180

]


7023075 190180 te

230

7075190180 te

- 019018t = ln230

5

t = 2013



68

67 MISTURAS









se RR

dt

dA

sal de

saiacuteda de Taxa

sal de

entrada de Taxa (4)



salde

entrada de taxa

entrada de fluxo no


salmourade

entrada de Taxa

e





min100

300

min)3(

sal de

saida de taxa



salmoura de

saiacuteda de Taxa

lbA

gallbA

galRs


100

6A

dt

dA (5)

Exemplo





69

Resoluccedilatildeo

100

100100

100100

600

600

6

6100

1

1006

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

Adt

dA

A

dt

dA

Para 50)0(A temos

550

60050 0

C

eC


100550600t

eA




(300 gal)(2lbgal) = 600 lb








gallb

t

AgalRs

300min)2(


t300

A26

dt

dA

ou 6A

t300

2

dt

dA

t(min) A(lb)

50 26641

100 39767

150 47727

200 52557

300 57262

400 58993


70


27 )300)(10954(2600)( tttA






2

2










ghAdt

dVh 2 (6)





dhA

dt

dVw



ghA

A

dt

dh

w

h 2 (7)




71

Exemplo




Resoluccedilatildeo


Logo tem-se que


(1)




pura no tanque


72








kxydt

dx (8)





)1( xnkxdt

dx (9)


Exemplo






Resoluccedilatildeo








73

(

)

Integrando

int

(

) int

int

int int

(

)

(

)


Entatildeo




74

610 CORPOS EM QUEDA














mgdt

sdm

2

2

ou gdt

sd

2

2

(10)










gdt

sd

2

2

0)0( ss 0)0( vs (11)





2

2

1)( stvgtts

Exemplo







75

Resoluccedilatildeo


sentido para baixo


dvg


cgtv

gdtdv

gdtdv



cgt

tx

tdtgdx

gtdtdx

gtdt

dx

2)(

2


)(2gt

tx


1002gt


st

t

5420

2

10100

2


76













oposta ou para cima




dt




instante t

kvmgdt

dvm (12)



dsv e

2

2

dt

sd

dt



dt

dskmg

dt

sdm

2

2

ou mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

(13)


77

Exemplo






Resoluccedilatildeo







dt


gvm

k

dt

dv (1)


mgcev

tm

k

Em t=0

v=v0 logo k

mgcev m

k

0

0 ou

k

mgvc


k

mgce

k

mgvv

tm

k

0


78



(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)












79

Peso da corrente


Massa da corrente

m = Wg = L 32


xpxL

xL

F 222

Uma vez que Famdt

xda

2

2

torna-se

x

dt

xdL

2

32 2

2

ou (14)

064

2

2

xLdt

xd

Exemplo





6219 LP e

Resoluccedilatildeo

(

) (

)

Sendo frasl

Como

Sendo


80












voltagemdequeda


Indutor

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

diL

dt

dqRiR

iR

R

voltagemde queda


Resistor

q

c

fC

1 voltagemde queda


Capacitor


ordem

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL


81





)(tERidt

diL






)(1

tEqC

Ri



)(1

tEqCdt

dqR

Exemplo



Resoluccedilatildeo


diL Para i(0) = 0


1 i

dt

di ce0

5

60


di

5

6c



82

Logo

tdtPdt 2020 tei 20

5

6

5

6

cdxeei tt 242020

ceei tt 2020

20

24

cei t 20

5

6










t Use E = 30 V




corrente i(t)







triplicaraacute





30 anos





instante t



83














trecircs anos




















15ordmF











84




















instante t



















instantacircnea


85





abre o paraquedas




0C













RESPOSTAS

1) tetI 355)(

2) tei 2510

3) tcei 500

5

3 e 5

3)(lim

ti

t

4) tceq 50

100

1 onde 100

1C e

tei 50

2

1

5) tceq 200

1000

1

tcei 200200


86

500

1C


ampi 14720)0050(

1000

1q

6) 792 anos

7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604

8) N(30) = 760

9)

10)

11)

12) 1155

13) R$ 927143

14)

15) t = 11 horas

16) t = 13672 horas

17) 885 gramas

18) 15600 anos

19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min

20) t = 60 min


22) rkpdt

dP rkp

dt

dP

23) 2

21PkPk

dt

dP

24) )1000( xkxdt

dx

25) 100

A

dt

dA


27) hc

dt

dh

450

28) 2kvmg

dt

dvm

29) 70ms



31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50

32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100

00975 lbgal

33) 6438lb


87

AULA 16


ORDEM SUPERIOR


ByAdx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0





onde







isto eacute ctexhxy

xy )(

)(

)(

1

2


fundamental)

Exemplo

y + y = 0


y2(x) = cos(x)

ctexx

x

xy

xy )tan(

)cos(

)sin(

)(

)(

1








cte)x(h)x(y

)x(y

1

2

)()()(12

xyxhxy


88




a) 0y9xy5yx2 com 3

1 x)x(y

b) 0y3yx4 2 com 21

1 x)x(y

c) 0y4

1xxyyx 22

com xcosx)x(y 2

1

1

Respostas

a xlnx)x(y 32

b 2

x)x(y

23

2 c senxx)x(y 21

2


89

AULA 17


CONSTANTES


ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

onde A0 A1 A2An

satildeo constantes

Resoluccedilatildeo


dyA 10

yAdx

dyA 10

dxA

A

y

dy

0

1

CxA

Ayln

0

1

CxA

A

0

1

ey

C

xA

A

eey 0

1

Chamando 0

1

A



0bydx

dya

dx

yd

2

2



xλey

xλeλy

xλ2eλy


0e)bλaλ(

0beeλaeλ

xλ2

xλxλxλ2


90





xλ

11ey

xλ

22ey


xλ2

xλ1

2211

21 eCeCy

yCyCy


xλ

nxλ

3xλ

2xλ

1n321 eCeCeCeCy



xey 2



2

x

x

e

e

y

y

constante




xλ2xλxλ2

xλxλ2

xλ2

12

heλehλ2ehy

heλehy

ehy

)x(y)x(h)x(y



Reordenando

0)()2( 2 hbahahe x


Entatildeo

KCxh

Ch

h

0

Logo

xeKCxy

yhy

)(

2

12


91


xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

221

21

2211

)(

)(


temos

x

xx

exCCy

xeCeCy

)( 21

21


xλ1nn

2321 e)xCxCxCC(y




bix2

bix1

ax

bixax2

bixax1

x)bia(2

x)bia(1

eCeCey

eeCeeCy

eCeCy


θisenθcose

θisenθcose

θi

θi

Com isso

senbxCCibxcosCCey


2121ax

21ax

Fazendo

C1 + C2 = C1

i(C1 ndash C2) = C2

temos

senbxCbxcosCey 21ax


92

Exemplos

1) 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd




93


1) 065 yyy

2) 01243 yyyy

3) 022 yyy com 1)0( y e 02

y

4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y

5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y

6) 09 2 yy

7) 069 yyy com 4)0( y e 3

13)0( y

8) 02 2 ykkyy

9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y

10) 0344 yyy com ey )2( 2

)2(e

y

11) 0127 yyy

12) 054 yyy

13) 075 yyy

14) 02 yyy

Respostas

1) xx eCeCy 3

22

1

2) xxx eCeCeCy 2

33

22

1

3) xey x cos

4) xx eey 55 22

5) xx eey 273

6) xπ3

2xπ3

1 eCeCy

7) 3

xe)x34(y

8) kx

21 e)xCC(y

9) 2

x4

xe50e30y

10) x50ey

11) x4

2x3

1 eCeCy


x21

13)

2

3xsenC

2

3xcosCeCy 32

2

x5

1

14)

xexCCy )( 21


94

AULA 18

72 EULER - CAUCHY


ByAdx

dybaxA

dx

ydbaxA

dx

ydbaxA

n

n

n

n

012

2

2

2)()()(


teabax



02 byaxyyx

Faremos

y = xm

yrsquo = mxm-1

yrdquo = m(m-1)xm-2



m = 0

como y(x) = xm




21

21)(mm

xCxCxy


)xln(xCxC)x(y m2

m1

mxxCCxy ))ln(()(

21



xbCxbCxxy a


95

Exemplos

012)12(2)12(2

2

2 ydx

dyx

dx

ydx

0222 yxyyx


96


1) 0202 yyx

2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx

3) 04324610 2 yxyyx

4) 02 yxyyx



Respostas

1) 5

24

1 xCxC

2) 3

32

21

)x1(

C

)x1(

C

1x

Cy

3) 81

21 x)xlnCC(y


5) 25

x)xln2(

6) xlnx3 2


97

AULA 19


10

00

)(

)(

)()()(

Kxy

Kxy

xryxqyxpy

IVP



yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)



)()()( xyxyxy ph










xαke xCe

)10n(kxn

011n

1nn

n CxCxCxC

xαKsen


xβsenke

xβcoske

xα

xα


obs


o

coluna




98

Exemplo

0)0(

1)0(

2 2

y

y

xeyyy x


99


1) xsenyy 34

2) 325102 2 xyyy

3) xseneyyy x 53712352 5

4) 1265 2 xyyy

5) xyy 314

6) 1232 2 xxyy

7) xeyyy 3127

8) xeyyy 28107

9) xeyyy 2844

10) xeyy 434

11) xsenyyy 2334

12) x4sen8dx

yd4

dx

yd

2

2

4

4

13) xsenyy 2124

14) senxyy 4

15) senxydx

yd

dx

yd42

2

2

4

4


4)0( y e 8)0( y

17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e

0)0( y

Respostas

1) x3sen5

1x2Bsenx2cosA

2) xx2

5)x3senCx3cosC(e 2

21x


x71

4) 27

5

9

x5

3

xeCeCy

2x3

2x2

1

5) 4

xx

8

3eCeCCy 2x2

3x2

21

6) 8

x3

12

x

8

xeCxCCy

234x2

321

7) xx4

2x3

1 e20

3eCeCy

8) x2x5

2x2

1 xe3

8eCeCy

9) x22x2

2x2

1 ex4xeCeCy

10) x4

21 e20

3x2senCx2cosCy

11) )x2cos8x2sen(65

3eCeCy x3

2x

1

12) 40

x4seneCeCxCC x2

4x2

321

13) x2cos4

3eCeCCy x2

3x2

21



xy 4321

2

16) 424 xey x

17) xxx xexeey 222

4

1

2

1

16

1

16

1


100

AULA 20




yn + Pn-1(x)y






Onde

dxxW

xrxWu

)(

)()(11 dx

xW

xrxWu

)(

)()(22 dx

xW

xrxWu n

n)(

)()(


)()(

11

2

1

1

2

1

21

21 xW

yyy

yyy

yyy

yyyW

n

n

nn

n

n

n



11

2

2

2

1

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

11

1

1

1

2

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

1

0

0

1

2

1

1

2

1

21

nn

n

yy

yy

yy

W


n natildeo se



u(x)y1(x) + v(x)y2(x)

onde

dx)x(w

)x(r)x(y)x(u 2 e dx

)x(w

)x(r)x(y)x(v 1



101



102




3cosx


-4


2 ndash 15x

3



4lnx


7) 1x2x3dx

yd4

dx

yd 2

2

2

4

4



Respostas

1) 9

260x

3

65eCeCy x

2x3

1

2) xcosxxCxCy 221

3) 432

21 x

2

1xcxcy

4) 3

)xx(xCxCy

322

3

22

1

1

5)

6

11xln

6

xxCxCxCy

43

32

21

6) x13

121 exxCxCCy

7) 8

x

8

x

12

x

16

xeCeCxCCy

234x2

4x2

321

8) xx23

x22

x1 e2eCeCeCy

9) 4

x5

4

xeCeCCy

2x2

3x

21


103

AULA 21






dx

dD

2

22

dx

dD

3

33

dx

dD

7332 Propriedades




P3Dm

(Dn

u)=Dm+n



dxueeu

aD

axax 1

a


du a



Exemplo

ay + by + cy = g(x)


(aD2 + bD + c)y = g(x)


1nn

n ADADADAL com


1nn

n ArArA


Exemplo


0y)2D( 2


104






polinocircmio 1n

1n2


potencia de )D(x n


Soluccedilatildeo


0)x8x51(D 324




Soluccedilatildeo




Vamos verificar

0e12e12e12De6)e6)(2D(


]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(

)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2

x2x2x2x22




xα1nxα2xαxα

xα1nax2xαxα


Soluccedilatildeo

5D2D)]41(D)1(2D[

1n01n2β1α

212


105

Vamos verificar







xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx2x2





zero

221

zero

1122121

2211212121

)y(LL)y(LL)yy(LL

)y(LL)y(LL)yy(LL


Soluccedilatildeo



Logo

0)x3sen6x7)(9D(D 22



1nn

n ADADADA





nuacutemeros reais






0)y(L


106











2

ydx

dy

dx

yd

2) 0442

2

ydx

dy

dx

yd


2

2

x4y2dx

dy3

dx

yd


107


108




2) senxydx

dy

dx

yd 65

2

2

3) senxeydx

dy

dx

yd x 232

2

4) (D3-16D)y=e

4x + 1

5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e

3x

6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe

-2x

7) xx eeyDD 23212

8) 142 xyD

9) x32 ey6D5D

10) senx4e8y3y x3

11) xey

dx

yd 2

2

Respotas

1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xcos10

1senx

10

1eCeCy x3

2x2

1

3) senxxcos2

eeCeCy

xx2

2x

1

4) 16

xe

32

xeCeCCy x4x4

3x4

21

5) x3x4

2x3

1 xe5eCeCy

6) x2

2x2x2

3x

2x

1 e18

xe

27

x2eCxeCeCy

7) xx2x2xx e

6

1ex

2

3CeBxeAey

8) 4

1

4

xBeAey x2x2

9) x3

2x2

1x3 eCeCxey

10) senx5

2xcos

5

6xe

3

8eCCy x3x3

21

11) 2

xeeCeCy

xx

2x

1


109

AULA 22



1) xsenxedx

dy

dx

yd x 2234 2

3

3

2) xex

dx

dy

dx

yd

dx

yd 2

2

2

3

3

3265

3) 13 2

2

2

xesenxydx

yd

4) 1284 2

2

2

xxydx

yd

5) 222

2

3

3

xdx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 1234 3

2

2

4

4

xxdx

yd

dx

yd

7) xey

dx

dy

dx

yd 3232

2

8) xey

dx

yd 2

2

2

44

9) xey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

344

10) xey

dx

dy

dx

yd22

2

2

11) senxydx

dy

dx

yd223

2

2

12) xdx

dy

dx

ydcos34

2

2

13) xsenydx

yd2316

4

4

14) xydx

yd2cos54

2

2

15) 52 2

2

2

xedx

dy

dx

yd

16) xxey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

44

17) xeydx

dy

dx

yd x 2cos8822

2

18)

2244 2

2

2 xey

dx

dy

dx

yd x

19)

20)

21)

senxy

dx

yd 12

2

22) xyxyyx 3222

23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2

22

3

33 xy

dx

dyx

dx

ydx

dx

ydx

x

ey

dx

dy

dx

yd x

22

2

xy

dx

yd

cos

12

2


110

RESPOSTAS

1)

4

x2xsen

8

x

16

e3x2senCx2cosCCy

2x2

321

2)

2

3

18

5

6

223

3

2

21

xxx xe

xx

eCeCCy

3) 132

3 2

21 x

xx esenxeCeCy

4) 44

2 22

2

2

1 xxeCeCy xx

5)

4

5

4

22

321

xxeCeCCy xx

6)

848

5

80

3 2352

4

2

321

xxxeCeCxCCy xx

7)

2

2

21

xxx e

eCeCy

8) xxx xeeCeCy 22

2

2

1

9) xxx exxeCeCy 222

2

2

12

3

10) )( 2

21 xxCCey x

11) senxxeCeCy xx

5

1cos

5

32

21

12) )4(cos17

34

21 senxxeCCy x

13)

32

2cos322cos 43

2

2

2

1

xxxsenCxCeCeCy xx

14)

8

2cos52

2

2

1

xeCeCy xx

15)

22

5 22

21

xx xex

eCCy

16) xe

xxCCy 2

3

216

17) )22cos3(5

1

9

14

2

2

1 xsenxeeCeCy exxx

18)

8

1)( 22

21

xexxCCy x




22) xxxCxCy ln32

21

23)

36

11)1ln(

6

1

)1()1(1 3

3

2

21

xx

C

x

C

x

Cy


111

AULA 23























somente 25 peacute




2 ou 980

cms2

equiliacutebrio

Posiccedilatildeo

inicial

g

K(s+x)


112






kxksmgkxmgxskdt

xdm

zero

)(2

2

(1)






02

2

2

xdt

xd (2)

onde mk 2









=0 satildeo














113



Exemplo





Soluccedilatildeo





M = Wg = 232 = 116 slug


Logo (1) resulta em

xdt

xd4

16

12

2

0642

2

xdt

xd

2 = - 64

= 8i







tsenttx 816

18cos

3

2)(











que


114

dt

dxkx

dt

xdm

2

2

(4)




amortecido

02

2

x

m

k

dt

dx

mdt

xd (5)

ou

02 2

2

2

xdt

dx

dt

xd (6)

onde

m

2 e

m

k2


m2 + 2 m + 2 = 0


22

1 m e22

2 m





022

tmtm

eCeCtx 21

21)( (7)



022

tCCetx t

21)( (8)





115


022


tsenCtCetx t 22

2

22

1cos)(

(9)



Exemplos




para cima

Soluccedilatildeo



dt

dx2x4

dt

xd

4

1

2

2

01682

2

xdt

dx

dt

xd


X(t)= C1 e ndash 4t

+ C2te - 4t




X(t) = - 3te -4t





instantacircnea

Soluccedilatildeo





116

dt

dxx

dt

xd 5

2

12

2

01022

2

xdt

dx

dt

xd





tsentetx t 3

3

23cos2)(







)(2

2

tfdt

dxkx

dt

xdm (10)


)(2 2

2

2

tFxdt

dx

dt

xd (11)




Exemplo


dx21

dt

xd

5

1

2

2

com2

1)0(x

e 0)0(x


117

Soluccedilatildeo










01062

2

xdt

dx

dt




504cos

102

25)cos()( 21

3


tsentsenttetx t 451

504cos

102

25)

51

86cos

51

38()( 3






Exemplo


xd 0

2

2

2


constante e

)(

2

2

tfkxdt

xdm

Soluccedilatildeo



tsenFtsenBtAxx pp 0

22222 )(cos)(


FB

220

Logo

tγsen)γω(

F)t(x

220

p


118



F)t(x

220

com ωγ



)(2

2

tEC

q

dt

dqR

dt

qdL (12)





LR


LR

Subamortecido 042 C

LR


e portanto





Exemplos



Soluccedilatildeo


0400040

01000104

1

qqq

qqq





119

)603

160(cos)( 20

0tsenteqtq t




















)(2

2

xwdx

Md (13)


EIkxM )( (14)





120


23

2)(1

y

yk





4

4

2

2

2

2

dx

ydELy

dx

dEL

dx

Md (15)




)(4

4

xwdx

ydEL (16)







engastada x = 0









Engastada 0y0y

Livre 0y0y






121








gt0





nL ou2

22

L

n n = 1 2 3




4

2

2

2

2

2

2

LLL


sequumlecircncia 3

2

xL

senxL

senxL

sen





compressiva





Py

dx

ydEL

2

ou 02

2

Pydx

ydEL (17)


122



Exemplo



Soluccedilatildeo


0)(

0)0(

02

2

Ly

y

Pydx

ydEI






0)(

0)0(

0

Ly

y

yy



321 222 nLnEIPnn




1 LEIP chamada







carga critica 22



123

9213 Corda Girando


0 yy (18)






















12 TsenTsenF (19)





124



)()( xyxxyTF (20)





aproximada por

2 yxF (21)



2)()()( yxxyxxyT

ou (22)

yx

xyxxyT 2)()(


xyxxy

)()(em (22) eacute



ydx

ydT 2

2

2

ou (23)

02

2

2

ydx

ydT




125















9

4

6

8

12








considerando que



para cima




para cima





a) superamortecido


c) subamortecido






3t



f(t)=68e-2t


amortecimento


126





















periacuteodo









Respostas

1) 8

π2

2) t64cos4

1)t(x

3)

4) a)4

1

12

πx

2

1

8

πx

4

1

6

πx

2

1

4

πx

4

2

32

π9x


c)16

π)1n2(t

n= 0 1 2

5) a)t8t2 e

3

1e

3

4)t(x

b)t8t2 e

3

5e

3

2)t(x


127

6)

7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52

8) t3sent3cos3

10t

2

47sen

473

64t

2

47cos

3

4e)t(x 2

t


14

4

94cos

2

1)( 22

10) )sin13cos99099(500

1 27 tteex xx

11) ttttx 4cos4

14sin

16

14cos50

12) (

)

13) 41078C 00509s

14) q(t)=10+10e-3t

(cos3t+sen3t)

i(t) = 60e-3t

sen3t 10432 C

15) C2

3

2

3)t10sent10(cose

2

1)t(q t10

16)

17) radic radic


128

AULA 24










)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy










a um sistema normal




Exemplos

1)

senxxzdx

dy

senxxdx

dzy

cos

cos


129

2)

xzydx

dz

dx

yd

xdx

dz

dx

yd

22

3

2

2

2

2

2


130


1)

02

02

zdx

dz

dx

dy

zydx

dz

dx

dy

2)

x

x

ezydx

dz

dx

dy

ezydx

dz

dx

dy

2

5

32

4

3)

2

2

2

2

2

2

2

xzdx

zd

dx

dy

eydx

dz

dx

yd x

4)

03

42

zydx

dy

ezydx

dz

dx

dy x

5)

xzDyD

senxzDyD

cos)1()1(2

2)2(2)3(

Respostas

1)

x

x

eCeCy

eCeCz

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

ou

x

x

eCeCz

eCeCy

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

2)

xxx

xxx

eeeCy

eeeCz

252

5

1

252

5

1

25

2

5

3

3)

xexCsenxCeCeCy

xesenxCxCeCeCz

xxx

xxx

22

3cos2222

2

3

2

1

2

1cos

43

2

2

2

1

2

43

2

2

2

1

4)

x

x

esenxCCxCCz

esenxCxCy

2)3(cos)3(

2cos

2121

21

5)

senxxeCeCz

xsenxeCeCy

x

x

x

x

130

61cos

130

33

3

4

)cos8(65

1

5

23

1

5

23

1


131

AULA 25


Dado o sistema

)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy


n

n

F

dy

F

dy

F

dydx

1 2

2

1

1



)(

)(

2

1

zyxFdx

dz

zyxFdx

dy

(1)


321 F

dz

F

dydx

ou generalizando

)()()( zyxR

dz

zyxP

dy

zyxM

dx (2)


dois paracircmetros



se

nRmPlM

ndzmdyldx

R

dz

P

dy

M

dx


lM + mP + nR = 0

o que faz com que

ldx + mdy + ndz = 0


132




Exemplos

1)x

dz

x

dy

y

dx

2)zx

dz

yx

dy

zy

dx

2


133

3))()()( 222222 xyz

dz

zxy

dy

yzx

dx




1) cybx

dz

axcz

dy

bzay

dx

2) )()2()2( 444444 yxz

dz

xzy

dy

zyx

dx

3) yx2

dz

x3z

dy

z2y3

dx

4) z

dz

x

dy

y

dx

5) yx

dz

x

dydx

221

Respostas

1) x2 + y

2 + z

2 = C1

cx + by + az = C2

2) x4 + y

4 +z

4 = C1

xyz2 = C2

3) x2 + y

2 + z

2= C1

x + 2y + 3z = C2

4) x2 ndash y

2 = C1

zC2 = y + x

5) y = x2 + C1

z = 3

2x

3 + xy ndash x

3 + C2


134

AULA 26


ORDEM



dx


dx


dx

nnnm22n11nn

2nm22221212

1nm12121111


)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

x

x

x

dt

d

nm2n1n

m22221

m11211

n

2

1

ou ainda

)t(FX)t(Adt

dX


homogecircneos

X)t(Adt

dX


XAX


tλeξX

temos

tλeξλX


0eξ)λA(

eξAeξλ

tλ

tλtλ


135


e autovetores

Exemplo 1


t10y3x4dt

dy

t2ey5x2dt

dx t


t10

t2eX

34

52

dt

dX t

ou

t10

2e

0

1X

34

52X t

onde

y

xX



)t(x

)t(x

)t(x

X

n

2

1


)t(FX)t(Adt

dX

no intervalo

Exemplo 2

Verifique que

t2

t2t2

1e

ee

1

1X e

t6

t6t6

2e5

e3e

5


X35

31X

no intervalo )(

Soluccedilatildeo


136

Temos

t2

t21

e2

e2X

e

1t2

t2

t2t2

t2t2

t2

t2

1 Xe2

e2

e3e5

e3e

e

e

35

31AX

Agora

t5

t612

e30

e18X

e

12t6

t6

t6t6

t6t6

t6

t6

2 Xe30

e18

e15e15

e15e3

e5

e3

35

31AX





)t(x

)t(x

)t(x

)t(X

0n

02

01

0

e

n

2

1

0

γ

γ

γ

X


00 X)X(tasujeito

)t(FX)t(Adt

dXResolver









comum I


137



X)t(Adt

dX


kk2211 XcXcXcX





Exemplo 3


102

011

101

X

eacute

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X1


tcoscsentc

tcosc2

1sentc

2

1

sentc

dt

dX

11

11

1

e

tcoscsentc

sentc2

1tcosc

2

1

sentc

sentctcosc

sentc2

1tcosc

2

1

tcosc

102

011

101

AX

11

11

1

11

11

1


Exemplo 4


102

011

101

X

Se

0

e

0

X t2 entatildeo

0

e

0

X t2 e

2tt

2 X

0

e

0

0

e

0

102

011

101

AX




138

0

e

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcX t212211




X)t(Adt



0XcXcXc kk2211








Sejam

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X




wronskiano

0

xxx

xxx

xxx

)XXX(W

nn2n1n

n22221

n11211

n21


139

Exemplo 5


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X


X35

31X



0e8e5e

e3e)XX(W t4

t6t2

t6t2

21

para todo t real

Exemplo 6


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X



31X



entatildeo

t6

2t2

12211c e5

3ce

1

1cXcXcX








X)t(Adt


nn2211 XcXcXcX



140

Exemplo 7

Os vetores

tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

Xe

0

1

0

X

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X 3t

21 satildeo

do sistema X

102

011

101

X

no exemplo 3 Agora

0etcossentsenttcos

senttcose

tcossent0senttcos

tcos2

1sent

2

1esent

2

1tcos

2

1sent0tcos

)XXX(W ttt321



tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

ce

0

1

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcXcX 3t

21332211




sistema )t(FX)t(Adt

dX


X)t(Adt





dX em um


nn2211c XcXcXcX


141


dX correspondente


pc XXX




dX

Exemplo 8


6t5


homogecircneo

3

11t12X

35

31X no intervalo )(

Soluccedilatildeo

Temos

5

3X

p e

3

11t12

6t5

4t3

35

31

3

11t12X

35

31p

pX

5

3

3

11t12

2

14t12

3

11t12

)6t5(3)4t3(5

)6t5(3)4t3(

Exemplo 9


3

11t12X

35

31X em )( eacute

6t5

4t3X p



31X

eacute

t62

t21c e

5

3ce

1

1cX


65

43

5

3

1

1 62

21

t

tececXXX tt

pc eacute


3

11t12X

35

31X em )(


142


)t(FX)t(Adt




Seja

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X


dX em um

intervalo I

A matriz

nn2n1n

n22221

n11211

xxx

xxx

xxx

)t(



Exemplo 10


t

t

t

e

eeX

2

2

2

11

1 e

t

t

t

e

eeX

6

6

6

25

3

5

3constituem


35

31 em )(

tt

tt

ee

eet

62

62

5

3)(


Exemplo 12


c ececXcXcX 62

212211

5

3

1

1

dada no exemplo 6


2

1

t6t2

t6t2

c

c

e5e

e3eX






143

)t()t(A)t(

0)t()t(A)t(







t no intervalo

Exemplo 13


tt

tt

ee

eet

62

62

5



1121

1222

1112

21221

det

1

det

1

aa

aa

aa

aa

AA

T

que

tt

tt

tt

tt

t

ee

ee

ee

ee

et

66

22

22

66

4

1

8

1

8

18

3

8

535

8

1)(




1

0

0

0

1

0

0

0

1

00201

tVtVtV n





144

1000

0100

0010

0001

00

t


Exemplo 14


35

31

Soluccedilatildeo

Por tt ececXcXcX 6

22

122115

3

1

1



22

15

3

1

1


0

1

5

3

1

121 cc ou

05

13

21

21

cc

cc

Obtemos 8

51 c e

81


tt eeV 621

5

3

8

1

1

1

8

5


1

0

5

3

1

121 cc ou

15

03

21

21

cc

cc


31 c e

81


tt eeV 622

5

3

8

1

1

1

8

3

Dai


145

tttt

tttt

eeee

eeeet

6262

6262

8

5

8

3

8

5

8

58

3

8

3

8

3

8

5

)(

Observe que

10

01)0(





Por

1000

0100

0010

0001

00

t





Por 0

1 ttt



1)

y8x4dt

dy

y5x3dt

dx

2)

z3y4x10dt

dz

yx6dt

dy

z9y4x3dt

dx


146

3)

2ttzyxdt

dz

t3zyx2dt

dy

1tzyxdt

dx

2

2


4) te

1

1X

31

24X

5) t

1

1

3

e

2

2

1

z

y

x

652

143

211

z

y

x

dt

d t


6)

y7x4dt

dy

y4x3dt

dx

t5e

2

1X

7) 2t3

e2

1XX

114

11

X

8)

13

6

1

121

016

121

XXdt

dX



9) t6

2t2

1 e1

1Xe

1

1X

10)

4

4

2

t

12

6

3

X

4

2

1

X

2

2

1

t

4

2

1

X 321


147


dado

11)

18423

724

tyxdt

dy

tyxdt

dx

1

5

1

2tX

p

12) tt

p

t teeXeXX

1

1

1

1

7

1

43

12


011

101

060


t33

t22

t1 e

1

1

2

ce

1

1

3

ce

5

1

6

cX



t1

14) t7

2t2

1 e3

1Xe

2

1XX

56

14X

15) tt

2t

1 e1

0te

3

1Xe

3

1XX

29

14X


14


15


148

Respostas

1) 84

53 XX

onde

y

xX

2)

3410

016

943

XX

onde

z

y

x

X

3)

2

0

1

03

0

111

112

111

2

2

t

t

t

tXX onde

z

y

x

X

4)

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx

3

24

5)

tezyxdt

dz

tezyxdt

dy

tezyxdt

dx

t

t

t

2652

243

32




9) Sim

10) Natildeo




14)

tt

tt

t

tt

tt

ee

ee

et

ee

eet

22

77

9

1

72

72

2

3

5

1)(

32


149

15)

tt

ttt

t

ttt

tt

ee

teete

et

eee

teet

3

31

33

2

1

16)

tttt

tttt

eeee

eeeet

7272

7272

5

3

5

2

5

6

5

65

1

5

1

5

2

5

3

17)

ttt

tt

etete

tetet

39

3


150

AULA 27



X)t(Adt

dX


XAX


tekX

temos

tekX


0)(

t

tt

ekA

ekAek


e autovetores






t

nn

t

b

t

anekcekcekcX

21

21


151


yxy

yxx

2

32

Soluccedilatildeo


012

32

0)det(

IA

41

043

0622

0)1)(2(

21

2

2

e

Para 11 temos

0

0

22

33

0

0

)1(12

3)1(2

0)(

b

a

b

a

K

K

K

K

KIA

1

1

1

022

033

1K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba

Para 42 temos

0

0

2

32

0

0

412

342

b

a

b

a

K

K

K

K

2

3

2

2

3

032

032

2K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba


ii eKx temos

tt eXeX 4

212

3

1

1


tt

tt

tt

eCeCy

eCeCx

eCeCy

x

XCXCX

4

21

4

21

4

21

2211

2

3

2

3

1

1


152




t

ekX 1

11

e t

ekX 1

12




Exemplo

Resolva o sistema

yxdt

dy

yxdt

dx

45

6

Soluccedilatildeo

045

16

0)det(

IA

2

525

2

410

2

11610010

02910

054624

05)4)(6(

2

2

i

i

Para i25 temos

ab

ba

b

a

b

a

KiK

KKi

K

K

i

i

K

K

i

i

KIA

)21(

0)21(

0

0

)21(5

121

0

0

)25(45

1)25(6

0)(


153

iKi

K


2

0

1

1

21

1

1

11

tt

tt

tt

tt

t

t

etsentCetsentCy

etsenCetCx

etsent

tsenCe

tsent

tCX

etsentCetsentCX

XCXCX

etsentX

etsentX

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

2221

5

2

5

1

)22cos2()222(cos

)2()2cos(

22cos2

2

222cos

2cos

21

12cos

2

02

2

02cos

1

1

21

12cos

2

0

22

02cos

1

1





t

ekX 1

11

tt

ektekX 21

212


para o sistema

t

m

tm

tm

mmeke

m

tke

m

tkX

21

)2()1(

2

2

1

1




PeKteX 11

2

()

Onde


154

nk

k

k

K2

1

e

np

p

p

P

2

1


0)()( 11

11 tt

eKPAPteKAK


KPIA

KIA

)(

0)(

1

1

Exemplos


zyxz

zyxy

zyxx

22

22

22

0

122

212

221

51

Re

0593

0593

012121733

0)1(1216133

0)1(4)1(4)1(488)1(

321

23

23

23

23

3

e


Para 11 temos

21

0|222

0|222

0|222 1

L

31

21

)2(

2

0|222

0|222

0|111

LL

LL

0|000

0|000

0|111

cba

cba

KKK

KKK


0

1

1

1K


155


1

1

0

2K



teX

0

1

1

1 e teX

1

1

0

2

Para 53 temos

31

21

21

)2

1(

0|422

0|242

0|224

LL

LL

32

12

)1(3

2

0|330

0|330

0|224

LL

LL

)1(

)4(

0|000

0|330

0|404

2

1

L

L

0

0

cb

ca

KK

KK

cb

ca

KK

KK


1

1

1

3K

ttt eCeCeCX 5

321

1

1

1

1

1

0

0

1

1


yxy

yxx

92

183

092

183

3

Re

096

0369327

036)9)(3(

21

2

2



156

Para 321 temos

ba

ba

ba

b

aKK

KK

KK

K

K3

062

0186

0

0

62

186

fazendo 1bK temos

1

31K


1 1

3

2

1

1

3

p

pPK

IPSLL

L

L

p

p

KPIA

KPIA

0002

131

2131

2131

2

6

162

3186

1

3

62

186

3

21

2

1

2

1

1

21

21

32

1

2

13

pp

pp

fazendo

02

10

2

121 Ppp

ttt

tt

eetCeCX

eetX

33

2

3

1

33

2

02

1

1

3

1

3

02

1

1

3


157


1) Resolva

z3ydt

dz

zy5xdt

dy

zyx4dt

dx

2) Resolver X21

82acuteX

3) Resolver X1

2

121

acuteX


yxy

yxx

3

4

5)

yxdt

dy

yxdt

dx

34

2

6)

yxdt

dy

yxdt

dx

22

5

24

7)

yxdt

dy

yxdt

dx

25

6

8)

yxdt

dy

yxdt

dx

32

5

9)

yxdt

dy

yxdt

dx

39

3

10)

yxdt

dy

yxdt

dx

53

3

Respostas

1) t53

t42

t31 e

1

8

1

ce

1

1

10

ce

1

0

1

cX

2)

t2sen

t2sen2t2cos2c

t2cos

t2sen2t2cos2cX 21

3) t

2t

1 etcos

sent2ce

sent

tcos2cX

4)

ttt etececX

1

1

1

2

1

221

5) tt ececX

1

1

2

12

5

1

6) tt ececX

5

2

1

22

3

1

7) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin2

sin

sincos2

cos

8) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin

sin

sincos

cos

9)

414

1

3

1

3

121 tccX

10)

ttt etececX 22

2

2

10

31

1

1

1

1


158

AULA 28








Exemplos


41034

66

tyxy

tyxx


XX

XAX

34

16


034

16

0)det(

IA

72

0149

043618

0)3)(6(

21

2

2

e


Para 71 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

44


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

4

1

04

0

0

14

14

fazendo 4bK temos

4

12K


tt

tt

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

2

7

1

2211

2211

4

1

1

1

21


159


c

aX

dct

batX

t

ttf

p

p

410

6)(


cdbtca

adbtca

t

t

t

t

dctbat

dctbat

c

a

t

t

dct

bat

b

a

34)34(

6)6(

104

6

410

6

3344

66

410

6

34

16

7

107

242

7

4

62814

234

6318

6434

26

434

06

6

1262

662814

1034

18318

1034

66

d

db

bdb

db

db

db

db

cdb

adb

c

ca

aca

ca

ca

ca

ca

Logo

7

106

7

42

t

tX p


7

106

7

42

4

1

2

12

2

7

1

2221

t

teCeCX

XXCXCX

tt

p


160


5

3

yxy

yxx

XX

11

11


011

11

0)det(

IA

20

0)2(

0121

01)1(

21

2

2

e


Para 01 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

12K


t

tt

tt

eCCX

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

21

2

2

0

1

2211

2211

1

1

1

1

1

1

1

1

21


c

aX

dct

batX

tf

p

p

5

3)(



161

5

3

)(

)(

5

3

11

11

dbtca

dbtca

c

a

dct

bat

b

a

ca

ca

0 fazendo 11 ca

4

1

3

db

adb

adb

4

51

5

db

db

cdb

Fazendo 04 db

t

tX p

4

Logo

t

teCCX t 4

1

1

1

1 221








CtX )(



)()( tUtX p


)()( tFXtAdt

dX

entatildeo



162



)()()( tFtUt

)()()()()( 11 tFttUtt

)()()( 1 tFttU

dttFttU )()()( 1

entatildeo

dttFttX p )()()( 1


Exemplo

Resolva o sistema

teyxy

tyxx

42

33


XX

42

13


043

13

0)det(

IA

25

0107

024312

21

2

2

e


Para 51 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

2

1

02

0

0

12

12

fazendo 2bK temos

2

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

22


1

12K


2

1

25

25

2

2

5

1

2211

2211

21

1

2

1

21

C

C

ee

eeeCeCX

eKCeKCX

XCXCX

lfundamentamatriz

tt

tt

tt

tt


163


tt

tt

ee

ee25

25

2

212

10

01 LL

t

tt

e

ee2

25

30

12

312

01

LL

t

t

e

e2

5

30

0

2

2

1

5

2

112

31

31

Le

Le

t

t

10

01

tt

tt

ee

ee

22

55

3

1

3

23

1

3

1

Logo

tt

tt

ee

ee

22

55

1

3

1

3

23

1

3

1

tt

tt

tt

tt

ete

ete

e

t

ee

eetft

2

45

2

55

1

6

3

3

13

23

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

eete

eetedt

ete

etedttft

22

455

2

45

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

6

3

3

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

p

eete

eete

ee

eedttfttX

22

455

25

25

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

2)()()(

t

t

p

t

t

p

tt

tt

p

et

etX

et

etX

eetet

etetX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

2

3

50

63

5

24

3

50

81

5

18

3

1

2

3

2

1

25

6

5

62

33

4

1

25

3

5

3

3

1

Soluccedilatildeo

t

t

tt

et

eteCeCX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

1

1

2

12

2

5

1


164



1)

122

433

yxdt

dy

yxdt

dx

2)

2

2

4

3

53

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx


indeterminados

3)

52

732

yxdt

dy

yxdt

dx

4)

53

23 2

tyxdt

dy

tyxdt

dx

Respostas

1)

10

15

11

11

2

3

1

121 teccX t

2) 2223

22

1

49

215

413

213

3

10

1

2 tttt

eteececX

3)

3

1

1

3

1

121

tt ececX

4)

43

2

414

1

43

41

1

1

1

1 242

21 ttececX tt


165

AULA 29



xCey 2

2

02


44

0

33

2210 xCxCxCxCCxCy

n

nn

1

1

34

2321

432

n

nnxnCy

xCxCxCCy


021

1

n

nn

n

nn xnCxnC

Trocando

1

1

01

1

Nn

Nn

n

n

II

NN

NN

I

n

nn xCNxnC

011

)1(

1


0

2321)1(

2321

1

1

32)1(

32

N

NN

n

nn

xCxCCxCNII

xCxCCxnCI

Satildeo iguais

Voltando


166

0)1(

2

02)1(

02)1(

02)1(

1

1

0

1

01

1

nn

CC

CCn

xCCn

xCxCn

nn

nn

n

nnn

n

nn

n

nn

Para

234

)2(

234

)2(2

4

23

23

)2(

23

)2(2

3

22

2

)2(

2

)2(2

2

21

21

20

04

03

34

03

02

23

02

012

00

1

CCCCn

CCCCn

CCCCn

CC

Cn


1

)2( 0

nn

CC

n

n

Entatildeo

0

44

33

2210

n

nn xCxCxCxCCxCy C

0

0

1

0

443322

0

30

320

20

0

)2(

)2(1

4

2

3

2

2

2

1

21

3

)2(

2

)2(

1

2

n

nn

n

nn

n

xC

n

xC

xxxxC

xCxCxCC

Como

3

)2(

2

)2(21

321

322

32

xxxe

xxxe

x

x

Logo

xeCy 2

0


167


2

ydx

yd

i

1

01

2

2

senxCxCy 21 cos


2

2

1

1

0

)1(

n

nn

n

nn

n

nn

xCnny

xnCy

xCy

2

2

2

Nn

Nn

n

24

132

0

)2(

22

)2(

2

2

34232

)1)(2()1)(2()1(

xCxCC

xCNNxCNNxCnnyN

NN

N

NN

n

nn

Que fica igual a

24

132

2


nn

Logo substituindo

2

2)1(n


0)1)(2(02

)2(

n

nn

n

nn xCxCnn

0)1)(2(2

)2(

n

n

nn xCCnn

0)1)(2( )2( nn CCnn

0)1)(2(

)2(

n

nn

CC n

n

para 12

0 02

CCn

para 23

1 13

CCn

para 412

)(

34

1

342 002

4

CCCCn


168

para 523

)(

45

1

453 113

5

CCCCn

para 6456

1

564 004

6

CCCCn

para 7567

1

675 115

7

CCCCn

765432

17

06

15

04

13

02

CC

CC

CC

CC

CC

CC


1)12(

)1(1

)2(

)1( 1)12(

02

k

k

CCk

k

CC

k

k

k

k

Voltando

0n

nnxCy

5

53

314

42

20 xCxCxCxCxCCy

senxCxCy

k

xC

k

xCy

xxxxC

xxxCy

n

kk

n

kk

n

10

0

12

1

0

2

0

753

1

642

0

0

cos

)12(

)1(

)2(

)1(

7536421


169

REFEREcircNCIAS









6

AULA 1



1) dxx )13( R Cxx

2

3 2

2) dxx

x

4= R Cxx 48

3

2

3)

dxx

x2

2 )1( R C

xx

1

4)

21 x

dx R Carcsenx

5)

dxx

x21

R Cx 21ln2

1

6) )1( 2xx

dx R C

x

x

1ln

2

12

2

7)

21 x

dx R Cx arctan

8) 42x

dx R C

x

x

2

2ln

4

1

9) x

dx

3 R C

x

3

1ln

10)

dxx

x3

21 R Cx

x ln

2

12

11)

dxx

x3

2 )1( R Cx

x ln

2

12

12) dxx

x

tan

sec2

R Cx tanln

13)

dx

ax

ax22

22

R Cax

axax

ln


7

14)

dx

ax

ax22

22

R Ca

xax arctan2


9

1 3

16)

dx

xx

x

12

12

R Cxx 12ln2

1 2

17)

dx

xx

xx32

2

31

2 R Cxx 13ln

3

1 23

18)

dx

x

x21

1 R Cxx arctan1ln

2

1 2

19)

22 31231

3

xx

xdx R Cx 231ln 2

20)

dx

x

x

35

13 R Cxx 35ln

25

4

5

3

21)

dx

xx

x

145

152


1 2

22)

dx

x

x

10

12 R Cxx 10ln212

23) dxxe x )2(1

ln

R Cxx 2ln

24)

dxx

xe x

2

arctan

1



x

2

sin 2

26) dxxe x )2( 32

R Cex x 2

)1( 2

27)

dxxxe x

64

)123(4 22

R Cxxe x

4

3

22

3

16

22

28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(


8

AULA 2






derivada eacute 23

3

xedx


23 xydx

dy

(1)





















dx

dy




)(xfdx

dy


dxxfdy )(





9




1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos)(2 2

5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

2

2

2

2

2

8) y

zxz

x

z


131 TIPO








132 ORDEM



ordem

133 GRAU





10

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3

a ordem e 2

o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1

o grau



134 LINEARIDADE


)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n





independente x

Exemplos

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3


terceira ordem



Cxxy 4 ou BxAxy 2









11


a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy


f) xx eCeCy 2

23

1


12



1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx


5) 321 )( CexCCy x

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln



Respostas

1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2 ( ) 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy


13

AULA 3








21 CURVAS INTEGRAIS




xdx

dy2






















14

Exemplo


dy1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1



2

2

xxy

y

dx

dy


y


Exemplo

Verifique que 16

xy

4


xydx

dy no intervalo )(

Resoluccedilatildeo



dy 21


xydx

dy eacute


4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33


044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x










15



x0 e3ye3cec3







xy

4


0)0(y

xydx

dy 21








)yx(fdx










16


00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy









yfdx

dy (2)




)(

1

yfdx

dy (3)


y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)


1



1

yfdy

dx em





00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)


00)(

)(

1

xyx

yfdy

dx

(6)



17




kydx

dy (7)




0)(00

yxy

kydx

dy

(8)


00)(

1

xyx

kydy

dx

(9)


y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R


akydx

dy




18

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1

Portanto

k

ayea

kyeaky CxkCxk

1 )()(

Neste caso k




o grau

)( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx













CdyyQdxxP )()(

Exemplos



19

1) 13 xdx

dy

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx



20

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy


21





)(


diferenciais

2) 01

dx

dytgy

x

3) 0)1(4 22 dyxdxxy

4) 0)3()2( dyxdxy

5) 0)1( 2 dyxxydx

6) 42

2

x

e

dx

dy y

7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

8) dx

dyxyy

dx

dyxa

2


10) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 ndash a

2)(y

2 ndash b

2)dy = 0

11) 0)1( ydxdyx

12) 0)1( 2 xydxdyx

13) 0cos xydx

dy

14) xydx

dycos3

15) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas


nuacutemero real

2) x cos y = C

3) Cy

1)1xln(2 2

4) (2 + y)(3 ndash x) = C

5) C y2 = 1 + x

2

6) C2

xarctge y2

7) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

8) y

y

k

a a

ex

ln

2

9) tg x tg y = C

10) Cb

yarctgb2y

ax

axlnax


12) Cx1y 2

13) senxe

Ky

14) senxCey 3

15) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3

1)0(42 yydx

dy


22

AULA 4






Exemplos




2) 4y

x)yx(g

2

2


)yx(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()tytx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(xy) = 2x3 + 5xy




x

y1fx)yx(f n e

1

y

xfy)yx(f n


Exemplo


x

y1fx

x

y

x

y31x

x

y

x

y31x)yx(f 2

22

2

22

1

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)yx(f 2

22

2

22




Exemplos

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

y

xy

3)

x

yarctgy


23



Tem-se

N

M

dx

dy



x

yF

dx

dy (1)


variaacuteveis


y por u

xuy (2)


dx

duxu

dx

dy

(3)


x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(


Em resumo




separaacutevel


24

Exemplo

02)( 22 xydydxyx


25





3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0

5) (x2 + y


6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy




3

1)1(y

Respostas

1) y2 + 2xy ndash x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

221

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


26

AULA 5






222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy





eixos



11

ba


Resoluccedilatildeo

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa



dvdyvy

dudxux


27





22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv


vbua

vbuaF

du

dv

22

11


Exemplo


132

yx

yx

dx

dy


28


11

ba





Como 22

11

ba


escrever

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)


1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy


)(1

1

1

xatb

y


1

1

1a

dx

dt

bdx

dy


2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt



29


12

yx

yx

dx

dy


30




3) 0dy)8y5x(dx)xy3(

4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

5) yx1

y3x31

dx

dy

6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

7) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas


2 + 2y = K


3) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C

5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

7) x2 - 4y

2 - 6xy - 2x + 4y = K


31

AULA 6





x

N

y

M



dyy

udx

x

udu

(2)


)( yxMx

u

(3)

e

)( yxNy

u

(4)



)()()( ygdxyxMyxf

(5)


)()(

ygy

dxyxM

y

f

(6)


)()()(

yxNygy

dxyxM


1

)()()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)


Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

)(

)()()(


Cdy

y

PNMdxyxU )(



32

Exemplos

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


33


1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y ndash 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0


5) 0)( 22 drrdre

Respostas

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22


34

AULA 7



N

y

M




u

e NF

dy

u


FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F



x

NFN

x

F

y

MF


x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo dxx

N

y

M

NdF

F

11


dxxRexF

)()(

onde

x

N

y

M

NxR

1)(


dyyReyF

)()(

onde

x

N

y

M

MxR

1)(


35

Em resumo


N

y

M




F(x) F(y)

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos


integrante

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


36

2) (x2 ndash y

2) dx + 2xy dy = 0







2)1(y

5) 0xdy2dx)xy( 2

6) 0xdylnxdx)yx(

7) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

Respostas

1) x2 cos y + x

4 = C

2) Ctgyex 2

3) Ceseny x

4) xxy 32

5) k5

x2xy2

25

6) kxlnyx

7) Kyxx 22


37

AULA 8



o grau tem a forma

)()( xQyxPdx

dy

(1)



desse tipo a saber




nosso problema

QPydx

dy


0)( dydxQPy



0 dyedxQPyePdxPdx


QPyeMPdx

e

Pdx

eN


Pdx

Pey

Me

Pdx

Pex

N



38

Exemplo1


y

dx



39







dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)


QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)








eeey Fazendo

Cek temos Pdx










dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

Daiacute Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx


1




40


ZPdx

1


ldquoZrdquo

CQdxek

keyPdxPdx 1


CdxQeeyPdxPdx

(8)


Exempo 2


y

dx

dy por Lagrange


41


1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycostan

4) xx

y

dx

dy

5) 32

xx

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan


xydx

dy

cos

1tan


dy

Respostas

1) Cxx

y )ln(sin1


3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


42

AULA 9


LINEARES






nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)



EDO linear

Pois se



Soluccedilatildeo




dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)


nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

2




43

Como ty n 1 temos

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(


Exemplo

232

xyx

y

dx

dy


44


1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 02 2 xydx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas

1) 2

1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

)ln(

1

3) 12 2223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


45

AULA 10



)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

(1)





Resoluccedilatildeo



zyy 0 (2)



RQyPydx

dy 0

2

0

0

(3)


dx

dz

dx

dy

dx

dy 0

(4)


RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

0

0


RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)








46


2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)


Em resumo




Exemplo


dyx

e



47



2

x

y

x

y

dx



2) Mostrar que x

y1


2 2

xy

dx


geral


dy calcular a



121 2

xy

xy

xdx


particular



particular

Respostas

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


48

AULA 11





diferencial










49







0)(

0)(

yxf

yxf

(1)



Exemplo


a 5


50



0

dx

dyyxF


geral

particular





original



0

dx


0

0

dx



Exemplo


22

x

dx

dyx

dx

dyy


51



a)

1

4 2 xy

b) 0)2(2 222 yyx


2

2

y

dx

dyy


2

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

1) a ) xy 273

b) 042 yx

2) 1y


4



52

AULA 12



dx

dy

dx

dyxy

Resoluccedilatildeo

Chamando pdx

dy



dx

dppp

dx

dpx

dx

dy)(1

0)( pxdx

dp (2)

0dx

dp Cp



De (2) tem-se

0)( px (3)

xp )(


singular

Exemplos



53


0

2

y

dx

dyx

dx

dy




Clairaut

a dx

dy

dx

dyxy ln

b

2

3

dx

dy

dx

dyxy

c 01

23

dx

dyy

dx

dyx

d 045

y

dx

dyx

dx

dy

e 2

4

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

a ClnCxy (geral)

xln1y (singular)

b 2C3Cxy (geral)

y12x2 (singular)

c 2C

1Cx (geral)

23 x27y4 (singular)

d 04)xCy5(C (geral)


e 2C4Cxy (geral)

2

222

x1

)x1(4y

(singular)


54

AULA 13



dx

dy

dx

dyFxy

(1)


dx

dy

dx

dyF

Resoluccedilatildeo


Chamando pdx



dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(

dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(



)(

)(

)(

)(

pFp

px

pFp

pF

dp

dx


QPxdp

dx



)(

)(

pyy

pxx


55

Exemplo


2

1

dx

dyx

dx

dyy


56



a)

2

24

dx

dyxy

b)dx

dy

dx

dyx lnsin


57


1) dx

dy

dy

dxxy

2)

dx

dydx

dyxy

12

3)

2

dx

dyx

dx

dyx2y

4)

2

dx

dy1

dx

dyy

5) dxdy

edx

dyy

2

6) dx

dy

dx

dyy ln2

2

7)

dx

dy2

dx

dyy

e

22

x

Respostas

1)

pCppp

y

Cppp

px

1ln1

1

)1ln(1

2

2

2

2

2)

2

ln

ln2

p

Cpx

p

Kpy

3)

Cp

Cy

p

Cx

2

2

4)

cppx

ppy

arcsinln

1 2

5)

p2

pp

epy

cpeex

6)

cp

2p2x

pln2py 2

7)

cy

pyp

p

pyx

arctanln

2ln

22

22


58

AULA 14



1) 0)2(3 dyyxydx

2) 02

dyyexdx x

3) 0)1( 2 dxydyx


5) )yxcos(dx

dy


7) dxyxydxxdy 22


9) 0)2( dyxxyydx

10) 0)52()42( dxyxdyyx

11)342

12

yx

yx

dx

dy

12) 0)139()23( dyyxdxyx

13)

01

2)cos()cos(

dy

yxxyxdx

x

yxyy

14) 0324

22

3

dy

y

xydx

y

x

15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx

16)yxy

xyx

dx

dy2

2


18)




20) dxexydxxdy x2

21) 02 xdyydxdyy

22) 0)ln( 3 dyxydxx

y


0 xeydx

dyx

24) 0)32(2 dyxydxy

25)22

2y

x

y

dx

dy

26) dxyyxdy )1( 2

27)22)1( xyxy

dx

dyx



dx




equaccedilotildees

29)

2

dy

dx

dx

dyxy

30)

2

1

dx

dy

dx

dyxy

31)dx

dy

dx

dyxy

32)dx

dy

dx

dyxy sin


33)

dx

dyx

dx

dyy 2

2

1

34)

2

2

dx

dy

dx

dyxy


59

Respostas

1) )ln(126 2 Cyxy

2) 22 2

Cey x

3) 1)1(ln xCy

4) Cyx secsecln


6) Cyyxx 323 32

7) 222 yxCxy

8) CX

yxy )ln(

9) Cyy

x ln

10) )3()1( 3 yxCyx

11) Cxyyx 48)584ln(

12) )126ln(62 yxCyx

13) Cyxyxy ln2)sin(

14) Cyy

x

13

2

15) Cyyxx 4223 3

16) Cyyx 222 )1(

17) Cxyyx cos

18) Cx)-y(2secysecx

19) 1cos2 xeyx

20)xxeCxy

21) Cyxy 2

22) Cyyx 3ln2

23)x

eabey

ax

24)y

Cyx12

25) 0122 xyyCx

26)2

22

xC

xy

27)

11

12

xC

y

28)1

2

x

xxx

Ce

eCeCey

29)

23

2

4

27

1

xy

CCxy

30)

2

2

2

1

)1(

1

x

xy

CCxy

31) CCxy


32)21arccos

sin

xxxy

CCxy

33)

221

21

2(6

1

)(3

1

pCpy

pCpx

34)

p

pCy

pp

Cx

3

2

3

2

3

3

2


60

AULA 15


MATEMAacuteTICOS













A seguir






















61






futuro








expressa por

kxdt

dx 00

)( xtx ktexx

0

(1)






dS a qual


Exemplo





62

Resoluccedilatildeo

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx


kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx ndash ln c = kt

lnc

x= kt

ekt =

c

x

x = cekt


0x

cex

0

00


kt0exx


3x0

40550k

k2

3ln

e2

3

exx2

3

k

1k00


t40550

0

kt0

exx

exx



63

70922t

0986121t40550

t405503ln

e3

exx3

t40550

t4055000


63 MEIA VIDA









AKdt

dA (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA kteAA 0

Exemplo




Resoluccedilatildeo

000

0

A999570A000430A15t

A0t


kAdt

dA

kdtA

dA

ln A = kt + c

ktc

Aln

kte

c

A

A = cekt


64


0

00

k00

Ac

ceA

ceA

0t


A(t) = A0ekt

A(15) = A0e15k

A(t) = 2

0A

099957 A0 = A0e15k teAtA

51088672

0 )(

Ln099957 = ln e15t 000028670

0

0 2

eAA

-000043 = 15 k te 000028670

2

1

K = - 2866710- 5

-06931 = - 000002867t

t = 24180

t 24180 anos


t10866720

0

5eA)t(A

2

A)t(A


3717924t

t1086672693150

t108667250ln

e50

eA2

A

5

5

t1086672

t10866720

0

5

5



65









AKdt

dA (2)

























5600 anos



Turim




66

Exemplo



Resoluccedilatildeo

A(t) = A0ekt

5600

0

0 2

keAA

ke5600ln2

1ln

5600k = - 06931

K = - 0000123776


A(t) = A0e- 0000123776t

teAA 0001237760

00 100

1

te 0001237760ln

100

1ln

- 0000123776 t = - 69077

t = 55808


66 RESFRIAMENTO







)TT(Kdt

dTm (3)

mkt TceT




67

Exemplo




Resoluccedilatildeo

T(0) = 3000F )( mTTk

dt

dT

T(3) = 2000F )70( Tk

dt

dT

T() = 750

kdt

T

dT

)70(


ktc

T

70(ln

c

Tekt 70


70 ktecT


T(0) = 3000

300 = Cek0

+ 70

C = 2300

Logo

T = 230ekt + 70


200 = 230e3k

+ 70

230 e3k

= 130

230

1303 ke

230

130lnln 3 ke

1901816190k

5705448580k3


70e230)t(T t190180

]


7023075 190180 te

230

7075190180 te

- 019018t = ln230

5

t = 2013



68

67 MISTURAS









se RR

dt

dA

sal de

saiacuteda de Taxa

sal de

entrada de Taxa (4)



salde

entrada de taxa

entrada de fluxo no


salmourade

entrada de Taxa

e





min100

300

min)3(

sal de

saida de taxa



salmoura de

saiacuteda de Taxa

lbA

gallbA

galRs


100

6A

dt

dA (5)

Exemplo





69

Resoluccedilatildeo

100

100100

100100

600

600

6

6100

1

1006

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

Adt

dA

A

dt

dA

Para 50)0(A temos

550

60050 0

C

eC


100550600t

eA




(300 gal)(2lbgal) = 600 lb








gallb

t

AgalRs

300min)2(


t300

A26

dt

dA

ou 6A

t300

2

dt

dA

t(min) A(lb)

50 26641

100 39767

150 47727

200 52557

300 57262

400 58993


70


27 )300)(10954(2600)( tttA






2

2










ghAdt

dVh 2 (6)





dhA

dt

dVw



ghA

A

dt

dh

w

h 2 (7)




71

Exemplo




Resoluccedilatildeo


Logo tem-se que


(1)




pura no tanque


72








kxydt

dx (8)





)1( xnkxdt

dx (9)


Exemplo






Resoluccedilatildeo








73

(

)

Integrando

int

(

) int

int

int int

(

)

(

)


Entatildeo




74

610 CORPOS EM QUEDA














mgdt

sdm

2

2

ou gdt

sd

2

2

(10)










gdt

sd

2

2

0)0( ss 0)0( vs (11)





2

2

1)( stvgtts

Exemplo







75

Resoluccedilatildeo


sentido para baixo


dvg


cgtv

gdtdv

gdtdv



cgt

tx

tdtgdx

gtdtdx

gtdt

dx

2)(

2


)(2gt

tx


1002gt


st

t

5420

2

10100

2


76













oposta ou para cima




dt




instante t

kvmgdt

dvm (12)



dsv e

2

2

dt

sd

dt



dt

dskmg

dt

sdm

2

2

ou mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

(13)


77

Exemplo






Resoluccedilatildeo







dt


gvm

k

dt

dv (1)


mgcev

tm

k

Em t=0

v=v0 logo k

mgcev m

k

0

0 ou

k

mgvc


k

mgce

k

mgvv

tm

k

0


78



(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)












79

Peso da corrente


Massa da corrente

m = Wg = L 32


xpxL

xL

F 222

Uma vez que Famdt

xda

2

2

torna-se

x

dt

xdL

2

32 2

2

ou (14)

064

2

2

xLdt

xd

Exemplo





6219 LP e

Resoluccedilatildeo

(

) (

)

Sendo frasl

Como

Sendo


80












voltagemdequeda


Indutor

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

diL

dt

dqRiR

iR

R

voltagemde queda


Resistor

q

c

fC

1 voltagemde queda


Capacitor


ordem

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL


81





)(tERidt

diL






)(1

tEqC

Ri



)(1

tEqCdt

dqR

Exemplo



Resoluccedilatildeo


diL Para i(0) = 0


1 i

dt

di ce0

5

60


di

5

6c



82

Logo

tdtPdt 2020 tei 20

5

6

5

6

cdxeei tt 242020

ceei tt 2020

20

24

cei t 20

5

6










t Use E = 30 V




corrente i(t)







triplicaraacute





30 anos





instante t



83














trecircs anos




















15ordmF











84




















instante t



















instantacircnea


85





abre o paraquedas




0C













RESPOSTAS

1) tetI 355)(

2) tei 2510

3) tcei 500

5

3 e 5

3)(lim

ti

t

4) tceq 50

100

1 onde 100

1C e

tei 50

2

1

5) tceq 200

1000

1

tcei 200200


86

500

1C


ampi 14720)0050(

1000

1q

6) 792 anos

7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604

8) N(30) = 760

9)

10)

11)

12) 1155

13) R$ 927143

14)

15) t = 11 horas

16) t = 13672 horas

17) 885 gramas

18) 15600 anos

19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min

20) t = 60 min


22) rkpdt

dP rkp

dt

dP

23) 2

21PkPk

dt

dP

24) )1000( xkxdt

dx

25) 100

A

dt

dA


27) hc

dt

dh

450

28) 2kvmg

dt

dvm

29) 70ms



31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50

32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100

00975 lbgal

33) 6438lb


87

AULA 16


ORDEM SUPERIOR


ByAdx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0





onde







isto eacute ctexhxy

xy )(

)(

)(

1

2


fundamental)

Exemplo

y + y = 0


y2(x) = cos(x)

ctexx

x

xy

xy )tan(

)cos(

)sin(

)(

)(

1








cte)x(h)x(y

)x(y

1

2

)()()(12

xyxhxy


88




a) 0y9xy5yx2 com 3

1 x)x(y

b) 0y3yx4 2 com 21

1 x)x(y

c) 0y4

1xxyyx 22

com xcosx)x(y 2

1

1

Respostas

a xlnx)x(y 32

b 2

x)x(y

23

2 c senxx)x(y 21

2


89

AULA 17


CONSTANTES


ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

onde A0 A1 A2An

satildeo constantes

Resoluccedilatildeo


dyA 10

yAdx

dyA 10

dxA

A

y

dy

0

1

CxA

Ayln

0

1

CxA

A

0

1

ey

C

xA

A

eey 0

1

Chamando 0

1

A



0bydx

dya

dx

yd

2

2



xλey

xλeλy

xλ2eλy


0e)bλaλ(

0beeλaeλ

xλ2

xλxλxλ2


90





xλ

11ey

xλ

22ey


xλ2

xλ1

2211

21 eCeCy

yCyCy


xλ

nxλ

3xλ

2xλ

1n321 eCeCeCeCy



xey 2



2

x

x

e

e

y

y

constante




xλ2xλxλ2

xλxλ2

xλ2

12

heλehλ2ehy

heλehy

ehy

)x(y)x(h)x(y



Reordenando

0)()2( 2 hbahahe x


Entatildeo

KCxh

Ch

h

0

Logo

xeKCxy

yhy

)(

2

12


91


xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

221

21

2211

)(

)(


temos

x

xx

exCCy

xeCeCy

)( 21

21


xλ1nn

2321 e)xCxCxCC(y




bix2

bix1

ax

bixax2

bixax1

x)bia(2

x)bia(1

eCeCey

eeCeeCy

eCeCy


θisenθcose

θisenθcose

θi

θi

Com isso

senbxCCibxcosCCey


2121ax

21ax

Fazendo

C1 + C2 = C1

i(C1 ndash C2) = C2

temos

senbxCbxcosCey 21ax


92

Exemplos

1) 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd




93


1) 065 yyy

2) 01243 yyyy

3) 022 yyy com 1)0( y e 02

y

4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y

5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y

6) 09 2 yy

7) 069 yyy com 4)0( y e 3

13)0( y

8) 02 2 ykkyy

9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y

10) 0344 yyy com ey )2( 2

)2(e

y

11) 0127 yyy

12) 054 yyy

13) 075 yyy

14) 02 yyy

Respostas

1) xx eCeCy 3

22

1

2) xxx eCeCeCy 2

33

22

1

3) xey x cos

4) xx eey 55 22

5) xx eey 273

6) xπ3

2xπ3

1 eCeCy

7) 3

xe)x34(y

8) kx

21 e)xCC(y

9) 2

x4

xe50e30y

10) x50ey

11) x4

2x3

1 eCeCy


x21

13)

2

3xsenC

2

3xcosCeCy 32

2

x5

1

14)

xexCCy )( 21


94

AULA 18

72 EULER - CAUCHY


ByAdx

dybaxA

dx

ydbaxA

dx

ydbaxA

n

n

n

n

012

2

2

2)()()(


teabax



02 byaxyyx

Faremos

y = xm

yrsquo = mxm-1

yrdquo = m(m-1)xm-2



m = 0

como y(x) = xm




21

21)(mm

xCxCxy


)xln(xCxC)x(y m2

m1

mxxCCxy ))ln(()(

21



xbCxbCxxy a


95

Exemplos

012)12(2)12(2

2

2 ydx

dyx

dx

ydx

0222 yxyyx


96


1) 0202 yyx

2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx

3) 04324610 2 yxyyx

4) 02 yxyyx



Respostas

1) 5

24

1 xCxC

2) 3

32

21

)x1(

C

)x1(

C

1x

Cy

3) 81

21 x)xlnCC(y


5) 25

x)xln2(

6) xlnx3 2


97

AULA 19


10

00

)(

)(

)()()(

Kxy

Kxy

xryxqyxpy

IVP



yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)



)()()( xyxyxy ph










xαke xCe

)10n(kxn

011n

1nn

n CxCxCxC

xαKsen


xβsenke

xβcoske

xα

xα


obs


o

coluna




98

Exemplo

0)0(

1)0(

2 2

y

y

xeyyy x


99


1) xsenyy 34

2) 325102 2 xyyy

3) xseneyyy x 53712352 5

4) 1265 2 xyyy

5) xyy 314

6) 1232 2 xxyy

7) xeyyy 3127

8) xeyyy 28107

9) xeyyy 2844

10) xeyy 434

11) xsenyyy 2334

12) x4sen8dx

yd4

dx

yd

2

2

4

4

13) xsenyy 2124

14) senxyy 4

15) senxydx

yd

dx

yd42

2

2

4

4


4)0( y e 8)0( y

17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e

0)0( y

Respostas

1) x3sen5

1x2Bsenx2cosA

2) xx2

5)x3senCx3cosC(e 2

21x


x71

4) 27

5

9

x5

3

xeCeCy

2x3

2x2

1

5) 4

xx

8

3eCeCCy 2x2

3x2

21

6) 8

x3

12

x

8

xeCxCCy

234x2

321

7) xx4

2x3

1 e20

3eCeCy

8) x2x5

2x2

1 xe3

8eCeCy

9) x22x2

2x2

1 ex4xeCeCy

10) x4

21 e20

3x2senCx2cosCy

11) )x2cos8x2sen(65

3eCeCy x3

2x

1

12) 40

x4seneCeCxCC x2

4x2

321

13) x2cos4

3eCeCCy x2

3x2

21



xy 4321

2

16) 424 xey x

17) xxx xexeey 222

4

1

2

1

16

1

16

1


100

AULA 20




yn + Pn-1(x)y






Onde

dxxW

xrxWu

)(

)()(11 dx

xW

xrxWu

)(

)()(22 dx

xW

xrxWu n

n)(

)()(


)()(

11

2

1

1

2

1

21

21 xW

yyy

yyy

yyy

yyyW

n

n

nn

n

n

n



11

2

2

2

1

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

11

1

1

1

2

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

1

0

0

1

2

1

1

2

1

21

nn

n

yy

yy

yy

W


n natildeo se



u(x)y1(x) + v(x)y2(x)

onde

dx)x(w

)x(r)x(y)x(u 2 e dx

)x(w

)x(r)x(y)x(v 1



101



102




3cosx


-4


2 ndash 15x

3



4lnx


7) 1x2x3dx

yd4

dx

yd 2

2

2

4

4



Respostas

1) 9

260x

3

65eCeCy x

2x3

1

2) xcosxxCxCy 221

3) 432

21 x

2

1xcxcy

4) 3

)xx(xCxCy

322

3

22

1

1

5)

6

11xln

6

xxCxCxCy

43

32

21

6) x13

121 exxCxCCy

7) 8

x

8

x

12

x

16

xeCeCxCCy

234x2

4x2

321

8) xx23

x22

x1 e2eCeCeCy

9) 4

x5

4

xeCeCCy

2x2

3x

21


103

AULA 21






dx

dD

2

22

dx

dD

3

33

dx

dD

7332 Propriedades




P3Dm

(Dn

u)=Dm+n



dxueeu

aD

axax 1

a


du a



Exemplo

ay + by + cy = g(x)


(aD2 + bD + c)y = g(x)


1nn

n ADADADAL com


1nn

n ArArA


Exemplo


0y)2D( 2


104






polinocircmio 1n

1n2


potencia de )D(x n


Soluccedilatildeo


0)x8x51(D 324




Soluccedilatildeo




Vamos verificar

0e12e12e12De6)e6)(2D(


]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(

)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2

x2x2x2x22




xα1nxα2xαxα

xα1nax2xαxα


Soluccedilatildeo

5D2D)]41(D)1(2D[

1n01n2β1α

212


105

Vamos verificar







xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx2x2





zero

221

zero

1122121

2211212121

)y(LL)y(LL)yy(LL

)y(LL)y(LL)yy(LL


Soluccedilatildeo



Logo

0)x3sen6x7)(9D(D 22



1nn

n ADADADA





nuacutemeros reais






0)y(L


106











2

ydx

dy

dx

yd

2) 0442

2

ydx

dy

dx

yd


2

2

x4y2dx

dy3

dx

yd


107


108




2) senxydx

dy

dx

yd 65

2

2

3) senxeydx

dy

dx

yd x 232

2

4) (D3-16D)y=e

4x + 1

5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e

3x

6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe

-2x

7) xx eeyDD 23212

8) 142 xyD

9) x32 ey6D5D

10) senx4e8y3y x3

11) xey

dx

yd 2

2

Respotas

1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xcos10

1senx

10

1eCeCy x3

2x2

1

3) senxxcos2

eeCeCy

xx2

2x

1

4) 16

xe

32

xeCeCCy x4x4

3x4

21

5) x3x4

2x3

1 xe5eCeCy

6) x2

2x2x2

3x

2x

1 e18

xe

27

x2eCxeCeCy

7) xx2x2xx e

6

1ex

2

3CeBxeAey

8) 4

1

4

xBeAey x2x2

9) x3

2x2

1x3 eCeCxey

10) senx5

2xcos

5

6xe

3

8eCCy x3x3

21

11) 2

xeeCeCy

xx

2x

1


109

AULA 22



1) xsenxedx

dy

dx

yd x 2234 2

3

3

2) xex

dx

dy

dx

yd

dx

yd 2

2

2

3

3

3265

3) 13 2

2

2

xesenxydx

yd

4) 1284 2

2

2

xxydx

yd

5) 222

2

3

3

xdx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 1234 3

2

2

4

4

xxdx

yd

dx

yd

7) xey

dx

dy

dx

yd 3232

2

8) xey

dx

yd 2

2

2

44

9) xey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

344

10) xey

dx

dy

dx

yd22

2

2

11) senxydx

dy

dx

yd223

2

2

12) xdx

dy

dx

ydcos34

2

2

13) xsenydx

yd2316

4

4

14) xydx

yd2cos54

2

2

15) 52 2

2

2

xedx

dy

dx

yd

16) xxey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

44

17) xeydx

dy

dx

yd x 2cos8822

2

18)

2244 2

2

2 xey

dx

dy

dx

yd x

19)

20)

21)

senxy

dx

yd 12

2

22) xyxyyx 3222

23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2

22

3

33 xy

dx

dyx

dx

ydx

dx

ydx

x

ey

dx

dy

dx

yd x

22

2

xy

dx

yd

cos

12

2


110

RESPOSTAS

1)

4

x2xsen

8

x

16

e3x2senCx2cosCCy

2x2

321

2)

2

3

18

5

6

223

3

2

21

xxx xe

xx

eCeCCy

3) 132

3 2

21 x

xx esenxeCeCy

4) 44

2 22

2

2

1 xxeCeCy xx

5)

4

5

4

22

321

xxeCeCCy xx

6)

848

5

80

3 2352

4

2

321

xxxeCeCxCCy xx

7)

2

2

21

xxx e

eCeCy

8) xxx xeeCeCy 22

2

2

1

9) xxx exxeCeCy 222

2

2

12

3

10) )( 2

21 xxCCey x

11) senxxeCeCy xx

5

1cos

5

32

21

12) )4(cos17

34

21 senxxeCCy x

13)

32

2cos322cos 43

2

2

2

1

xxxsenCxCeCeCy xx

14)

8

2cos52

2

2

1

xeCeCy xx

15)

22

5 22

21

xx xex

eCCy

16) xe

xxCCy 2

3

216

17) )22cos3(5

1

9

14

2

2

1 xsenxeeCeCy exxx

18)

8

1)( 22

21

xexxCCy x




22) xxxCxCy ln32

21

23)

36

11)1ln(

6

1

)1()1(1 3

3

2

21

xx

C

x

C

x

Cy


111

AULA 23























somente 25 peacute




2 ou 980

cms2

equiliacutebrio

Posiccedilatildeo

inicial

g

K(s+x)


112






kxksmgkxmgxskdt

xdm

zero

)(2

2

(1)






02

2

2

xdt

xd (2)

onde mk 2









=0 satildeo














113



Exemplo





Soluccedilatildeo





M = Wg = 232 = 116 slug


Logo (1) resulta em

xdt

xd4

16

12

2

0642

2

xdt

xd

2 = - 64

= 8i







tsenttx 816

18cos

3

2)(











que


114

dt

dxkx

dt

xdm

2

2

(4)




amortecido

02

2

x

m

k

dt

dx

mdt

xd (5)

ou

02 2

2

2

xdt

dx

dt

xd (6)

onde

m

2 e

m

k2


m2 + 2 m + 2 = 0


22

1 m e22

2 m





022

tmtm

eCeCtx 21

21)( (7)



022

tCCetx t

21)( (8)





115


022


tsenCtCetx t 22

2

22

1cos)(

(9)



Exemplos




para cima

Soluccedilatildeo



dt

dx2x4

dt

xd

4

1

2

2

01682

2

xdt

dx

dt

xd


X(t)= C1 e ndash 4t

+ C2te - 4t




X(t) = - 3te -4t





instantacircnea

Soluccedilatildeo





116

dt

dxx

dt

xd 5

2

12

2

01022

2

xdt

dx

dt

xd





tsentetx t 3

3

23cos2)(







)(2

2

tfdt

dxkx

dt

xdm (10)


)(2 2

2

2

tFxdt

dx

dt

xd (11)




Exemplo


dx21

dt

xd

5

1

2

2

com2

1)0(x

e 0)0(x


117

Soluccedilatildeo










01062

2

xdt

dx

dt




504cos

102

25)cos()( 21

3


tsentsenttetx t 451

504cos

102

25)

51

86cos

51

38()( 3






Exemplo


xd 0

2

2

2


constante e

)(

2

2

tfkxdt

xdm

Soluccedilatildeo



tsenFtsenBtAxx pp 0

22222 )(cos)(


FB

220

Logo

tγsen)γω(

F)t(x

220

p


118



F)t(x

220

com ωγ



)(2

2

tEC

q

dt

dqR

dt

qdL (12)





LR


LR

Subamortecido 042 C

LR


e portanto





Exemplos



Soluccedilatildeo


0400040

01000104

1

qqq

qqq





119

)603

160(cos)( 20

0tsenteqtq t




















)(2

2

xwdx

Md (13)


EIkxM )( (14)





120


23

2)(1

y

yk





4

4

2

2

2

2

dx

ydELy

dx

dEL

dx

Md (15)




)(4

4

xwdx

ydEL (16)







engastada x = 0









Engastada 0y0y

Livre 0y0y






121








gt0





nL ou2

22

L

n n = 1 2 3




4

2

2

2

2

2

2

LLL


sequumlecircncia 3

2

xL

senxL

senxL

sen





compressiva





Py

dx

ydEL

2

ou 02

2

Pydx

ydEL (17)


122



Exemplo



Soluccedilatildeo


0)(

0)0(

02

2

Ly

y

Pydx

ydEI






0)(

0)0(

0

Ly

y

yy



321 222 nLnEIPnn




1 LEIP chamada







carga critica 22



123

9213 Corda Girando


0 yy (18)






















12 TsenTsenF (19)





124



)()( xyxxyTF (20)





aproximada por

2 yxF (21)



2)()()( yxxyxxyT

ou (22)

yx

xyxxyT 2)()(


xyxxy

)()(em (22) eacute



ydx

ydT 2

2

2

ou (23)

02

2

2

ydx

ydT




125















9

4

6

8

12








considerando que



para cima




para cima





a) superamortecido


c) subamortecido






3t



f(t)=68e-2t


amortecimento


126





















periacuteodo









Respostas

1) 8

π2

2) t64cos4

1)t(x

3)

4) a)4

1

12

πx

2

1

8

πx

4

1

6

πx

2

1

4

πx

4

2

32

π9x


c)16

π)1n2(t

n= 0 1 2

5) a)t8t2 e

3

1e

3

4)t(x

b)t8t2 e

3

5e

3

2)t(x


127

6)

7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52

8) t3sent3cos3

10t

2

47sen

473

64t

2

47cos

3

4e)t(x 2

t


14

4

94cos

2

1)( 22

10) )sin13cos99099(500

1 27 tteex xx

11) ttttx 4cos4

14sin

16

14cos50

12) (

)

13) 41078C 00509s

14) q(t)=10+10e-3t

(cos3t+sen3t)

i(t) = 60e-3t

sen3t 10432 C

15) C2

3

2

3)t10sent10(cose

2

1)t(q t10

16)

17) radic radic


128

AULA 24










)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy










a um sistema normal




Exemplos

1)

senxxzdx

dy

senxxdx

dzy

cos

cos


129

2)

xzydx

dz

dx

yd

xdx

dz

dx

yd

22

3

2

2

2

2

2


130


1)

02

02

zdx

dz

dx

dy

zydx

dz

dx

dy

2)

x

x

ezydx

dz

dx

dy

ezydx

dz

dx

dy

2

5

32

4

3)

2

2

2

2

2

2

2

xzdx

zd

dx

dy

eydx

dz

dx

yd x

4)

03

42

zydx

dy

ezydx

dz

dx

dy x

5)

xzDyD

senxzDyD

cos)1()1(2

2)2(2)3(

Respostas

1)

x

x

eCeCy

eCeCz

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

ou

x

x

eCeCz

eCeCy

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

2)

xxx

xxx

eeeCy

eeeCz

252

5

1

252

5

1

25

2

5

3

3)

xexCsenxCeCeCy

xesenxCxCeCeCz

xxx

xxx

22

3cos2222

2

3

2

1

2

1cos

43

2

2

2

1

2

43

2

2

2

1

4)

x

x

esenxCCxCCz

esenxCxCy

2)3(cos)3(

2cos

2121

21

5)

senxxeCeCz

xsenxeCeCy

x

x

x

x

130

61cos

130

33

3

4

)cos8(65

1

5

23

1

5

23

1


131

AULA 25


Dado o sistema

)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy


n

n

F

dy

F

dy

F

dydx

1 2

2

1

1



)(

)(

2

1

zyxFdx

dz

zyxFdx

dy

(1)


321 F

dz

F

dydx

ou generalizando

)()()( zyxR

dz

zyxP

dy

zyxM

dx (2)


dois paracircmetros



se

nRmPlM

ndzmdyldx

R

dz

P

dy

M

dx


lM + mP + nR = 0

o que faz com que

ldx + mdy + ndz = 0


132




Exemplos

1)x

dz

x

dy

y

dx

2)zx

dz

yx

dy

zy

dx

2


133

3))()()( 222222 xyz

dz

zxy

dy

yzx

dx




1) cybx

dz

axcz

dy

bzay

dx

2) )()2()2( 444444 yxz

dz

xzy

dy

zyx

dx

3) yx2

dz

x3z

dy

z2y3

dx

4) z

dz

x

dy

y

dx

5) yx

dz

x

dydx

221

Respostas

1) x2 + y

2 + z

2 = C1

cx + by + az = C2

2) x4 + y

4 +z

4 = C1

xyz2 = C2

3) x2 + y

2 + z

2= C1

x + 2y + 3z = C2

4) x2 ndash y

2 = C1

zC2 = y + x

5) y = x2 + C1

z = 3

2x

3 + xy ndash x

3 + C2


134

AULA 26


ORDEM



dx


dx


dx

nnnm22n11nn

2nm22221212

1nm12121111


)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

x

x

x

dt

d

nm2n1n

m22221

m11211

n

2

1

ou ainda

)t(FX)t(Adt

dX


homogecircneos

X)t(Adt

dX


XAX


tλeξX

temos

tλeξλX


0eξ)λA(

eξAeξλ

tλ

tλtλ


135


e autovetores

Exemplo 1


t10y3x4dt

dy

t2ey5x2dt

dx t


t10

t2eX

34

52

dt

dX t

ou

t10

2e

0

1X

34

52X t

onde

y

xX



)t(x

)t(x

)t(x

X

n

2

1


)t(FX)t(Adt

dX

no intervalo

Exemplo 2

Verifique que

t2

t2t2

1e

ee

1

1X e

t6

t6t6

2e5

e3e

5


X35

31X

no intervalo )(

Soluccedilatildeo


136

Temos

t2

t21

e2

e2X

e

1t2

t2

t2t2

t2t2

t2

t2

1 Xe2

e2

e3e5

e3e

e

e

35

31AX

Agora

t5

t612

e30

e18X

e

12t6

t6

t6t6

t6t6

t6

t6

2 Xe30

e18

e15e15

e15e3

e5

e3

35

31AX





)t(x

)t(x

)t(x

)t(X

0n

02

01

0

e

n

2

1

0

γ

γ

γ

X


00 X)X(tasujeito

)t(FX)t(Adt

dXResolver









comum I


137



X)t(Adt

dX


kk2211 XcXcXcX





Exemplo 3


102

011

101

X

eacute

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X1


tcoscsentc

tcosc2

1sentc

2

1

sentc

dt

dX

11

11

1

e

tcoscsentc

sentc2

1tcosc

2

1

sentc

sentctcosc

sentc2

1tcosc

2

1

tcosc

102

011

101

AX

11

11

1

11

11

1


Exemplo 4


102

011

101

X

Se

0

e

0

X t2 entatildeo

0

e

0

X t2 e

2tt

2 X

0

e

0

0

e

0

102

011

101

AX




138

0

e

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcX t212211




X)t(Adt



0XcXcXc kk2211








Sejam

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X




wronskiano

0

xxx

xxx

xxx

)XXX(W

nn2n1n

n22221

n11211

n21


139

Exemplo 5


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X


X35

31X



0e8e5e

e3e)XX(W t4

t6t2

t6t2

21

para todo t real

Exemplo 6


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X



31X



entatildeo

t6

2t2

12211c e5

3ce

1

1cXcXcX








X)t(Adt


nn2211 XcXcXcX



140

Exemplo 7

Os vetores

tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

Xe

0

1

0

X

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X 3t

21 satildeo

do sistema X

102

011

101

X

no exemplo 3 Agora

0etcossentsenttcos

senttcose

tcossent0senttcos

tcos2

1sent

2

1esent

2

1tcos

2

1sent0tcos

)XXX(W ttt321



tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

ce

0

1

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcXcX 3t

21332211




sistema )t(FX)t(Adt

dX


X)t(Adt





dX em um


nn2211c XcXcXcX


141


dX correspondente


pc XXX




dX

Exemplo 8


6t5


homogecircneo

3

11t12X

35

31X no intervalo )(

Soluccedilatildeo

Temos

5

3X

p e

3

11t12

6t5

4t3

35

31

3

11t12X

35

31p

pX

5

3

3

11t12

2

14t12

3

11t12

)6t5(3)4t3(5

)6t5(3)4t3(

Exemplo 9


3

11t12X

35

31X em )( eacute

6t5

4t3X p



31X

eacute

t62

t21c e

5

3ce

1

1cX


65

43

5

3

1

1 62

21

t

tececXXX tt

pc eacute


3

11t12X

35

31X em )(


142


)t(FX)t(Adt




Seja

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X


dX em um

intervalo I

A matriz

nn2n1n

n22221

n11211

xxx

xxx

xxx

)t(



Exemplo 10


t

t

t

e

eeX

2

2

2

11

1 e

t

t

t

e

eeX

6

6

6

25

3

5

3constituem


35

31 em )(

tt

tt

ee

eet

62

62

5

3)(


Exemplo 12


c ececXcXcX 62

212211

5

3

1

1

dada no exemplo 6


2

1

t6t2

t6t2

c

c

e5e

e3eX






143

)t()t(A)t(

0)t()t(A)t(







t no intervalo

Exemplo 13


tt

tt

ee

eet

62

62

5



1121

1222

1112

21221

det

1

det

1

aa

aa

aa

aa

AA

T

que

tt

tt

tt

tt

t

ee

ee

ee

ee

et

66

22

22

66

4

1

8

1

8

18

3

8

535

8

1)(




1

0

0

0

1

0

0

0

1

00201

tVtVtV n





144

1000

0100

0010

0001

00

t


Exemplo 14


35

31

Soluccedilatildeo

Por tt ececXcXcX 6

22

122115

3

1

1



22

15

3

1

1


0

1

5

3

1

121 cc ou

05

13

21

21

cc

cc

Obtemos 8

51 c e

81


tt eeV 621

5

3

8

1

1

1

8

5


1

0

5

3

1

121 cc ou

15

03

21

21

cc

cc


31 c e

81


tt eeV 622

5

3

8

1

1

1

8

3

Dai


145

tttt

tttt

eeee

eeeet

6262

6262

8

5

8

3

8

5

8

58

3

8

3

8

3

8

5

)(

Observe que

10

01)0(





Por

1000

0100

0010

0001

00

t





Por 0

1 ttt



1)

y8x4dt

dy

y5x3dt

dx

2)

z3y4x10dt

dz

yx6dt

dy

z9y4x3dt

dx


146

3)

2ttzyxdt

dz

t3zyx2dt

dy

1tzyxdt

dx

2

2


4) te

1

1X

31

24X

5) t

1

1

3

e

2

2

1

z

y

x

652

143

211

z

y

x

dt

d t


6)

y7x4dt

dy

y4x3dt

dx

t5e

2

1X

7) 2t3

e2

1XX

114

11

X

8)

13

6

1

121

016

121

XXdt

dX



9) t6

2t2

1 e1

1Xe

1

1X

10)

4

4

2

t

12

6

3

X

4

2

1

X

2

2

1

t

4

2

1

X 321


147


dado

11)

18423

724

tyxdt

dy

tyxdt

dx

1

5

1

2tX

p

12) tt

p

t teeXeXX

1

1

1

1

7

1

43

12


011

101

060


t33

t22

t1 e

1

1

2

ce

1

1

3

ce

5

1

6

cX



t1

14) t7

2t2

1 e3

1Xe

2

1XX

56

14X

15) tt

2t

1 e1

0te

3

1Xe

3

1XX

29

14X


14


15


148

Respostas

1) 84

53 XX

onde

y

xX

2)

3410

016

943

XX

onde

z

y

x

X

3)

2

0

1

03

0

111

112

111

2

2

t

t

t

tXX onde

z

y

x

X

4)

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx

3

24

5)

tezyxdt

dz

tezyxdt

dy

tezyxdt

dx

t

t

t

2652

243

32




9) Sim

10) Natildeo




14)

tt

tt

t

tt

tt

ee

ee

et

ee

eet

22

77

9

1

72

72

2

3

5

1)(

32


149

15)

tt

ttt

t

ttt

tt

ee

teete

et

eee

teet

3

31

33

2

1

16)

tttt

tttt

eeee

eeeet

7272

7272

5

3

5

2

5

6

5

65

1

5

1

5

2

5

3

17)

ttt

tt

etete

tetet

39

3


150

AULA 27



X)t(Adt

dX


XAX


tekX

temos

tekX


0)(

t

tt

ekA

ekAek


e autovetores






t

nn

t

b

t

anekcekcekcX

21

21


151


yxy

yxx

2

32

Soluccedilatildeo


012

32

0)det(

IA

41

043

0622

0)1)(2(

21

2

2

e

Para 11 temos

0

0

22

33

0

0

)1(12

3)1(2

0)(

b

a

b

a

K

K

K

K

KIA

1

1

1

022

033

1K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba

Para 42 temos

0

0

2

32

0

0

412

342

b

a

b

a

K

K

K

K

2

3

2

2

3

032

032

2K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba


ii eKx temos

tt eXeX 4

212

3

1

1


tt

tt

tt

eCeCy

eCeCx

eCeCy

x

XCXCX

4

21

4

21

4

21

2211

2

3

2

3

1

1


152




t

ekX 1

11

e t

ekX 1

12




Exemplo

Resolva o sistema

yxdt

dy

yxdt

dx

45

6

Soluccedilatildeo

045

16

0)det(

IA

2

525

2

410

2

11610010

02910

054624

05)4)(6(

2

2

i

i

Para i25 temos

ab

ba

b

a

b

a

KiK

KKi

K

K

i

i

K

K

i

i

KIA

)21(

0)21(

0

0

)21(5

121

0

0

)25(45

1)25(6

0)(


153

iKi

K


2

0

1

1

21

1

1

11

tt

tt

tt

tt

t

t

etsentCetsentCy

etsenCetCx

etsent

tsenCe

tsent

tCX

etsentCetsentCX

XCXCX

etsentX

etsentX

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

2221

5

2

5

1

)22cos2()222(cos

)2()2cos(

22cos2

2

222cos

2cos

21

12cos

2

02

2

02cos

1

1

21

12cos

2

0

22

02cos

1

1





t

ekX 1

11

tt

ektekX 21

212


para o sistema

t

m

tm

tm

mmeke

m

tke

m

tkX

21

)2()1(

2

2

1

1




PeKteX 11

2

()

Onde


154

nk

k

k

K2

1

e

np

p

p

P

2

1


0)()( 11

11 tt

eKPAPteKAK


KPIA

KIA

)(

0)(

1

1

Exemplos


zyxz

zyxy

zyxx

22

22

22

0

122

212

221

51

Re

0593

0593

012121733

0)1(1216133

0)1(4)1(4)1(488)1(

321

23

23

23

23

3

e


Para 11 temos

21

0|222

0|222

0|222 1

L

31

21

)2(

2

0|222

0|222

0|111

LL

LL

0|000

0|000

0|111

cba

cba

KKK

KKK


0

1

1

1K


155


1

1

0

2K



teX

0

1

1

1 e teX

1

1

0

2

Para 53 temos

31

21

21

)2

1(

0|422

0|242

0|224

LL

LL

32

12

)1(3

2

0|330

0|330

0|224

LL

LL

)1(

)4(

0|000

0|330

0|404

2

1

L

L

0

0

cb

ca

KK

KK

cb

ca

KK

KK


1

1

1

3K

ttt eCeCeCX 5

321

1

1

1

1

1

0

0

1

1


yxy

yxx

92

183

092

183

3

Re

096

0369327

036)9)(3(

21

2

2



156

Para 321 temos

ba

ba

ba

b

aKK

KK

KK

K

K3

062

0186

0

0

62

186

fazendo 1bK temos

1

31K


1 1

3

2

1

1

3

p

pPK

IPSLL

L

L

p

p

KPIA

KPIA

0002

131

2131

2131

2

6

162

3186

1

3

62

186

3

21

2

1

2

1

1

21

21

32

1

2

13

pp

pp

fazendo

02

10

2

121 Ppp

ttt

tt

eetCeCX

eetX

33

2

3

1

33

2

02

1

1

3

1

3

02

1

1

3


157


1) Resolva

z3ydt

dz

zy5xdt

dy

zyx4dt

dx

2) Resolver X21

82acuteX

3) Resolver X1

2

121

acuteX


yxy

yxx

3

4

5)

yxdt

dy

yxdt

dx

34

2

6)

yxdt

dy

yxdt

dx

22

5

24

7)

yxdt

dy

yxdt

dx

25

6

8)

yxdt

dy

yxdt

dx

32

5

9)

yxdt

dy

yxdt

dx

39

3

10)

yxdt

dy

yxdt

dx

53

3

Respostas

1) t53

t42

t31 e

1

8

1

ce

1

1

10

ce

1

0

1

cX

2)

t2sen

t2sen2t2cos2c

t2cos

t2sen2t2cos2cX 21

3) t

2t

1 etcos

sent2ce

sent

tcos2cX

4)

ttt etececX

1

1

1

2

1

221

5) tt ececX

1

1

2

12

5

1

6) tt ececX

5

2

1

22

3

1

7) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin2

sin

sincos2

cos

8) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin

sin

sincos

cos

9)

414

1

3

1

3

121 tccX

10)

ttt etececX 22

2

2

10

31

1

1

1

1


158

AULA 28








Exemplos


41034

66

tyxy

tyxx


XX

XAX

34

16


034

16

0)det(

IA

72

0149

043618

0)3)(6(

21

2

2

e


Para 71 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

44


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

4

1

04

0

0

14

14

fazendo 4bK temos

4

12K


tt

tt

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

2

7

1

2211

2211

4

1

1

1

21


159


c

aX

dct

batX

t

ttf

p

p

410

6)(


cdbtca

adbtca

t

t

t

t

dctbat

dctbat

c

a

t

t

dct

bat

b

a

34)34(

6)6(

104

6

410

6

3344

66

410

6

34

16

7

107

242

7

4

62814

234

6318

6434

26

434

06

6

1262

662814

1034

18318

1034

66

d

db

bdb

db

db

db

db

cdb

adb

c

ca

aca

ca

ca

ca

ca

Logo

7

106

7

42

t

tX p


7

106

7

42

4

1

2

12

2

7

1

2221

t

teCeCX

XXCXCX

tt

p


160


5

3

yxy

yxx

XX

11

11


011

11

0)det(

IA

20

0)2(

0121

01)1(

21

2

2

e


Para 01 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

12K


t

tt

tt

eCCX

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

21

2

2

0

1

2211

2211

1

1

1

1

1

1

1

1

21


c

aX

dct

batX

tf

p

p

5

3)(



161

5

3

)(

)(

5

3

11

11

dbtca

dbtca

c

a

dct

bat

b

a

ca

ca

0 fazendo 11 ca

4

1

3

db

adb

adb

4

51

5

db

db

cdb

Fazendo 04 db

t

tX p

4

Logo

t

teCCX t 4

1

1

1

1 221








CtX )(



)()( tUtX p


)()( tFXtAdt

dX

entatildeo



162



)()()( tFtUt

)()()()()( 11 tFttUtt

)()()( 1 tFttU

dttFttU )()()( 1

entatildeo

dttFttX p )()()( 1


Exemplo

Resolva o sistema

teyxy

tyxx

42

33


XX

42

13


043

13

0)det(

IA

25

0107

024312

21

2

2

e


Para 51 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

2

1

02

0

0

12

12

fazendo 2bK temos

2

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

22


1

12K


2

1

25

25

2

2

5

1

2211

2211

21

1

2

1

21

C

C

ee

eeeCeCX

eKCeKCX

XCXCX

lfundamentamatriz

tt

tt

tt

tt


163


tt

tt

ee

ee25

25

2

212

10

01 LL

t

tt

e

ee2

25

30

12

312

01

LL

t

t

e

e2

5

30

0

2

2

1

5

2

112

31

31

Le

Le

t

t

10

01

tt

tt

ee

ee

22

55

3

1

3

23

1

3

1

Logo

tt

tt

ee

ee

22

55

1

3

1

3

23

1

3

1

tt

tt

tt

tt

ete

ete

e

t

ee

eetft

2

45

2

55

1

6

3

3

13

23

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

eete

eetedt

ete

etedttft

22

455

2

45

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

6

3

3

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

p

eete

eete

ee

eedttfttX

22

455

25

25

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

2)()()(

t

t

p

t

t

p

tt

tt

p

et

etX

et

etX

eetet

etetX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

2

3

50

63

5

24

3

50

81

5

18

3

1

2

3

2

1

25

6

5

62

33

4

1

25

3

5

3

3

1

Soluccedilatildeo

t

t

tt

et

eteCeCX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

1

1

2

12

2

5

1


164



1)

122

433

yxdt

dy

yxdt

dx

2)

2

2

4

3

53

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx


indeterminados

3)

52

732

yxdt

dy

yxdt

dx

4)

53

23 2

tyxdt

dy

tyxdt

dx

Respostas

1)

10

15

11

11

2

3

1

121 teccX t

2) 2223

22

1

49

215

413

213

3

10

1

2 tttt

eteececX

3)

3

1

1

3

1

121

tt ececX

4)

43

2

414

1

43

41

1

1

1

1 242

21 ttececX tt


165

AULA 29



xCey 2

2

02


44

0

33

2210 xCxCxCxCCxCy

n

nn

1

1

34

2321

432

n

nnxnCy

xCxCxCCy


021

1

n

nn

n

nn xnCxnC

Trocando

1

1

01

1

Nn

Nn

n

n

II

NN

NN

I

n

nn xCNxnC

011

)1(

1


0

2321)1(

2321

1

1

32)1(

32

N

NN

n

nn

xCxCCxCNII

xCxCCxnCI

Satildeo iguais

Voltando


166

0)1(

2

02)1(

02)1(

02)1(

1

1

0

1

01

1

nn

CC

CCn

xCCn

xCxCn

nn

nn

n

nnn

n

nn

n

nn

Para

234

)2(

234

)2(2

4

23

23

)2(

23

)2(2

3

22

2

)2(

2

)2(2

2

21

21

20

04

03

34

03

02

23

02

012

00

1

CCCCn

CCCCn

CCCCn

CC

Cn


1

)2( 0

nn

CC

n

n

Entatildeo

0

44

33

2210

n

nn xCxCxCxCCxCy C

0

0

1

0

443322

0

30

320

20

0

)2(

)2(1

4

2

3

2

2

2

1

21

3

)2(

2

)2(

1

2

n

nn

n

nn

n

xC

n

xC

xxxxC

xCxCxCC

Como

3

)2(

2

)2(21

321

322

32

xxxe

xxxe

x

x

Logo

xeCy 2

0


167


2

ydx

yd

i

1

01

2

2

senxCxCy 21 cos


2

2

1

1

0

)1(

n

nn

n

nn

n

nn

xCnny

xnCy

xCy

2

2

2

Nn

Nn

n

24

132

0

)2(

22

)2(

2

2

34232

)1)(2()1)(2()1(

xCxCC

xCNNxCNNxCnnyN

NN

N

NN

n

nn

Que fica igual a

24

132

2


nn

Logo substituindo

2

2)1(n


0)1)(2(02

)2(

n

nn

n

nn xCxCnn

0)1)(2(2

)2(

n

n

nn xCCnn

0)1)(2( )2( nn CCnn

0)1)(2(

)2(

n

nn

CC n

n

para 12

0 02

CCn

para 23

1 13

CCn

para 412

)(

34

1

342 002

4

CCCCn


168

para 523

)(

45

1

453 113

5

CCCCn

para 6456

1

564 004

6

CCCCn

para 7567

1

675 115

7

CCCCn

765432

17

06

15

04

13

02

CC

CC

CC

CC

CC

CC


1)12(

)1(1

)2(

)1( 1)12(

02

k

k

CCk

k

CC

k

k

k

k

Voltando

0n

nnxCy

5

53

314

42

20 xCxCxCxCxCCy

senxCxCy

k

xC

k

xCy

xxxxC

xxxCy

n

kk

n

kk

n

10

0

12

1

0

2

0

753

1

642

0

0

cos

)12(

)1(

)2(

)1(

7536421


169

REFEREcircNCIAS









7

14)

dx

ax

ax22

22

R Ca

xax arctan2


9

1 3

16)

dx

xx

x

12

12

R Cxx 12ln2

1 2

17)

dx

xx

xx32

2

31

2 R Cxx 13ln

3

1 23

18)

dx

x

x21

1 R Cxx arctan1ln

2

1 2

19)

22 31231

3

xx

xdx R Cx 231ln 2

20)

dx

x

x

35

13 R Cxx 35ln

25

4

5

3

21)

dx

xx

x

145

152


1 2

22)

dx

x

x

10

12 R Cxx 10ln212

23) dxxe x )2(1

ln

R Cxx 2ln

24)

dxx

xe x

2

arctan

1



x

2

sin 2

26) dxxe x )2( 32

R Cex x 2

)1( 2

27)

dxxxe x

64

)123(4 22

R Cxxe x

4

3

22

3

16

22

28) dxxe x )4( 22 R Cexx x 22 )122(


8

AULA 2






derivada eacute 23

3

xedx


23 xydx

dy

(1)





















dx

dy




)(xfdx

dy


dxxfdy )(





9




1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos)(2 2

5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

2

2

2

2

2

8) y

zxz

x

z


131 TIPO








132 ORDEM



ordem

133 GRAU





10

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3

a ordem e 2

o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1

o grau



134 LINEARIDADE


)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n





independente x

Exemplos

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3


terceira ordem



Cxxy 4 ou BxAxy 2









11


a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy


f) xx eCeCy 2

23

1


12



1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx


5) 321 )( CexCCy x

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln



Respostas

1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2 ( ) 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy


13

AULA 3








21 CURVAS INTEGRAIS




xdx

dy2






















14

Exemplo


dy1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1



2

2

xxy

y

dx

dy


y


Exemplo

Verifique que 16

xy

4


xydx

dy no intervalo )(

Resoluccedilatildeo



dy 21


xydx

dy eacute


4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33


044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x










15



x0 e3ye3cec3







xy

4


0)0(y

xydx

dy 21








)yx(fdx










16


00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy









yfdx

dy (2)




)(

1

yfdx

dy (3)


y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)


1



1

yfdy

dx em





00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)


00)(

)(

1

xyx

yfdy

dx

(6)



17




kydx

dy (7)




0)(00

yxy

kydx

dy

(8)


00)(

1

xyx

kydy

dx

(9)


y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R


akydx

dy




18

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1

Portanto

k

ayea

kyeaky CxkCxk

1 )()(

Neste caso k




o grau

)( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx













CdyyQdxxP )()(

Exemplos



19

1) 13 xdx

dy

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx



20

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy


21





)(


diferenciais

2) 01

dx

dytgy

x

3) 0)1(4 22 dyxdxxy

4) 0)3()2( dyxdxy

5) 0)1( 2 dyxxydx

6) 42

2

x

e

dx

dy y

7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

8) dx

dyxyy

dx

dyxa

2


10) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 ndash a

2)(y

2 ndash b

2)dy = 0

11) 0)1( ydxdyx

12) 0)1( 2 xydxdyx

13) 0cos xydx

dy

14) xydx

dycos3

15) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas


nuacutemero real

2) x cos y = C

3) Cy

1)1xln(2 2

4) (2 + y)(3 ndash x) = C

5) C y2 = 1 + x

2

6) C2

xarctge y2

7) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

8) y

y

k

a a

ex

ln

2

9) tg x tg y = C

10) Cb

yarctgb2y

ax

axlnax


12) Cx1y 2

13) senxe

Ky

14) senxCey 3

15) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3

1)0(42 yydx

dy


22

AULA 4






Exemplos




2) 4y

x)yx(g

2

2


)yx(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()tytx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(xy) = 2x3 + 5xy




x

y1fx)yx(f n e

1

y

xfy)yx(f n


Exemplo


x

y1fx

x

y

x

y31x

x

y

x

y31x)yx(f 2

22

2

22

1

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)yx(f 2

22

2

22




Exemplos

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

y

xy

3)

x

yarctgy


23



Tem-se

N

M

dx

dy



x

yF

dx

dy (1)


variaacuteveis


y por u

xuy (2)


dx

duxu

dx

dy

(3)


x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(


Em resumo




separaacutevel


24

Exemplo

02)( 22 xydydxyx


25





3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0

5) (x2 + y


6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy




3

1)1(y

Respostas

1) y2 + 2xy ndash x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

221

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


26

AULA 5






222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy





eixos



11

ba


Resoluccedilatildeo

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa



dvdyvy

dudxux


27





22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv


vbua

vbuaF

du

dv

22

11


Exemplo


132

yx

yx

dx

dy


28


11

ba





Como 22

11

ba


escrever

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)


1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy


)(1

1

1

xatb

y


1

1

1a

dx

dt

bdx

dy


2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt



29


12

yx

yx

dx

dy


30




3) 0dy)8y5x(dx)xy3(

4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

5) yx1

y3x31

dx

dy

6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

7) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas


2 + 2y = K


3) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C

5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

7) x2 - 4y

2 - 6xy - 2x + 4y = K


31

AULA 6





x

N

y

M



dyy

udx

x

udu

(2)


)( yxMx

u

(3)

e

)( yxNy

u

(4)



)()()( ygdxyxMyxf

(5)


)()(

ygy

dxyxM

y

f

(6)


)()()(

yxNygy

dxyxM


1

)()()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)


Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

)(

)()()(


Cdy

y

PNMdxyxU )(



32

Exemplos

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


33


1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y ndash 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0


5) 0)( 22 drrdre

Respostas

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22


34

AULA 7



N

y

M




u

e NF

dy

u


FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F



x

NFN

x

F

y

MF


x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo dxx

N

y

M

NdF

F

11


dxxRexF

)()(

onde

x

N

y

M

NxR

1)(


dyyReyF

)()(

onde

x

N

y

M

MxR

1)(


35

Em resumo


N

y

M




F(x) F(y)

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos


integrante

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


36

2) (x2 ndash y

2) dx + 2xy dy = 0







2)1(y

5) 0xdy2dx)xy( 2

6) 0xdylnxdx)yx(

7) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

Respostas

1) x2 cos y + x

4 = C

2) Ctgyex 2

3) Ceseny x

4) xxy 32

5) k5

x2xy2

25

6) kxlnyx

7) Kyxx 22


37

AULA 8



o grau tem a forma

)()( xQyxPdx

dy

(1)



desse tipo a saber




nosso problema

QPydx

dy


0)( dydxQPy



0 dyedxQPyePdxPdx


QPyeMPdx

e

Pdx

eN


Pdx

Pey

Me

Pdx

Pex

N



38

Exemplo1


y

dx



39







dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)


QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)








eeey Fazendo

Cek temos Pdx










dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

Daiacute Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx


1




40


ZPdx

1


ldquoZrdquo

CQdxek

keyPdxPdx 1


CdxQeeyPdxPdx

(8)


Exempo 2


y

dx

dy por Lagrange


41


1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycostan

4) xx

y

dx

dy

5) 32

xx

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan


xydx

dy

cos

1tan


dy

Respostas

1) Cxx

y )ln(sin1


3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


42

AULA 9


LINEARES






nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)



EDO linear

Pois se



Soluccedilatildeo




dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)


nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

2




43

Como ty n 1 temos

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(


Exemplo

232

xyx

y

dx

dy


44


1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 02 2 xydx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas

1) 2

1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

)ln(

1

3) 12 2223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


45

AULA 10



)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

(1)





Resoluccedilatildeo



zyy 0 (2)



RQyPydx

dy 0

2

0

0

(3)


dx

dz

dx

dy

dx

dy 0

(4)


RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

0

0


RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)








46


2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)


Em resumo




Exemplo


dyx

e



47



2

x

y

x

y

dx



2) Mostrar que x

y1


2 2

xy

dx


geral


dy calcular a



121 2

xy

xy

xdx


particular



particular

Respostas

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


48

AULA 11





diferencial










49







0)(

0)(

yxf

yxf

(1)



Exemplo


a 5


50



0

dx

dyyxF


geral

particular





original



0

dx


0

0

dx



Exemplo


22

x

dx

dyx

dx

dyy


51



a)

1

4 2 xy

b) 0)2(2 222 yyx


2

2

y

dx

dyy


2

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

1) a ) xy 273

b) 042 yx

2) 1y


4



52

AULA 12



dx

dy

dx

dyxy

Resoluccedilatildeo

Chamando pdx

dy



dx

dppp

dx

dpx

dx

dy)(1

0)( pxdx

dp (2)

0dx

dp Cp



De (2) tem-se

0)( px (3)

xp )(


singular

Exemplos



53


0

2

y

dx

dyx

dx

dy




Clairaut

a dx

dy

dx

dyxy ln

b

2

3

dx

dy

dx

dyxy

c 01

23

dx

dyy

dx

dyx

d 045

y

dx

dyx

dx

dy

e 2

4

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

a ClnCxy (geral)

xln1y (singular)

b 2C3Cxy (geral)

y12x2 (singular)

c 2C

1Cx (geral)

23 x27y4 (singular)

d 04)xCy5(C (geral)


e 2C4Cxy (geral)

2

222

x1

)x1(4y

(singular)


54

AULA 13



dx

dy

dx

dyFxy

(1)


dx

dy

dx

dyF

Resoluccedilatildeo


Chamando pdx



dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(

dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(



)(

)(

)(

)(

pFp

px

pFp

pF

dp

dx


QPxdp

dx



)(

)(

pyy

pxx


55

Exemplo


2

1

dx

dyx

dx

dyy


56



a)

2

24

dx

dyxy

b)dx

dy

dx

dyx lnsin


57


1) dx

dy

dy

dxxy

2)

dx

dydx

dyxy

12

3)

2

dx

dyx

dx

dyx2y

4)

2

dx

dy1

dx

dyy

5) dxdy

edx

dyy

2

6) dx

dy

dx

dyy ln2

2

7)

dx

dy2

dx

dyy

e

22

x

Respostas

1)

pCppp

y

Cppp

px

1ln1

1

)1ln(1

2

2

2

2

2)

2

ln

ln2

p

Cpx

p

Kpy

3)

Cp

Cy

p

Cx

2

2

4)

cppx

ppy

arcsinln

1 2

5)

p2

pp

epy

cpeex

6)

cp

2p2x

pln2py 2

7)

cy

pyp

p

pyx

arctanln

2ln

22

22


58

AULA 14



1) 0)2(3 dyyxydx

2) 02

dyyexdx x

3) 0)1( 2 dxydyx


5) )yxcos(dx

dy


7) dxyxydxxdy 22


9) 0)2( dyxxyydx

10) 0)52()42( dxyxdyyx

11)342

12

yx

yx

dx

dy

12) 0)139()23( dyyxdxyx

13)

01

2)cos()cos(

dy

yxxyxdx

x

yxyy

14) 0324

22

3

dy

y

xydx

y

x

15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx

16)yxy

xyx

dx

dy2

2


18)




20) dxexydxxdy x2

21) 02 xdyydxdyy

22) 0)ln( 3 dyxydxx

y


0 xeydx

dyx

24) 0)32(2 dyxydxy

25)22

2y

x

y

dx

dy

26) dxyyxdy )1( 2

27)22)1( xyxy

dx

dyx



dx




equaccedilotildees

29)

2

dy

dx

dx

dyxy

30)

2

1

dx

dy

dx

dyxy

31)dx

dy

dx

dyxy

32)dx

dy

dx

dyxy sin


33)

dx

dyx

dx

dyy 2

2

1

34)

2

2

dx

dy

dx

dyxy


59

Respostas

1) )ln(126 2 Cyxy

2) 22 2

Cey x

3) 1)1(ln xCy

4) Cyx secsecln


6) Cyyxx 323 32

7) 222 yxCxy

8) CX

yxy )ln(

9) Cyy

x ln

10) )3()1( 3 yxCyx

11) Cxyyx 48)584ln(

12) )126ln(62 yxCyx

13) Cyxyxy ln2)sin(

14) Cyy

x

13

2

15) Cyyxx 4223 3

16) Cyyx 222 )1(

17) Cxyyx cos

18) Cx)-y(2secysecx

19) 1cos2 xeyx

20)xxeCxy

21) Cyxy 2

22) Cyyx 3ln2

23)x

eabey

ax

24)y

Cyx12

25) 0122 xyyCx

26)2

22

xC

xy

27)

11

12

xC

y

28)1

2

x

xxx

Ce

eCeCey

29)

23

2

4

27

1

xy

CCxy

30)

2

2

2

1

)1(

1

x

xy

CCxy

31) CCxy


32)21arccos

sin

xxxy

CCxy

33)

221

21

2(6

1

)(3

1

pCpy

pCpx

34)

p

pCy

pp

Cx

3

2

3

2

3

3

2


60

AULA 15


MATEMAacuteTICOS













A seguir






















61






futuro








expressa por

kxdt

dx 00

)( xtx ktexx

0

(1)






dS a qual


Exemplo





62

Resoluccedilatildeo

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx


kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx ndash ln c = kt

lnc

x= kt

ekt =

c

x

x = cekt


0x

cex

0

00


kt0exx


3x0

40550k

k2

3ln

e2

3

exx2

3

k

1k00


t40550

0

kt0

exx

exx



63

70922t

0986121t40550

t405503ln

e3

exx3

t40550

t4055000


63 MEIA VIDA









AKdt

dA (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA kteAA 0

Exemplo




Resoluccedilatildeo

000

0

A999570A000430A15t

A0t


kAdt

dA

kdtA

dA

ln A = kt + c

ktc

Aln

kte

c

A

A = cekt


64


0

00

k00

Ac

ceA

ceA

0t


A(t) = A0ekt

A(15) = A0e15k

A(t) = 2

0A

099957 A0 = A0e15k teAtA

51088672

0 )(

Ln099957 = ln e15t 000028670

0

0 2

eAA

-000043 = 15 k te 000028670

2

1

K = - 2866710- 5

-06931 = - 000002867t

t = 24180

t 24180 anos


t10866720

0

5eA)t(A

2

A)t(A


3717924t

t1086672693150

t108667250ln

e50

eA2

A

5

5

t1086672

t10866720

0

5

5



65









AKdt

dA (2)

























5600 anos



Turim




66

Exemplo



Resoluccedilatildeo

A(t) = A0ekt

5600

0

0 2

keAA

ke5600ln2

1ln

5600k = - 06931

K = - 0000123776


A(t) = A0e- 0000123776t

teAA 0001237760

00 100

1

te 0001237760ln

100

1ln

- 0000123776 t = - 69077

t = 55808


66 RESFRIAMENTO







)TT(Kdt

dTm (3)

mkt TceT




67

Exemplo




Resoluccedilatildeo

T(0) = 3000F )( mTTk

dt

dT

T(3) = 2000F )70( Tk

dt

dT

T() = 750

kdt

T

dT

)70(


ktc

T

70(ln

c

Tekt 70


70 ktecT


T(0) = 3000

300 = Cek0

+ 70

C = 2300

Logo

T = 230ekt + 70


200 = 230e3k

+ 70

230 e3k

= 130

230

1303 ke

230

130lnln 3 ke

1901816190k

5705448580k3


70e230)t(T t190180

]


7023075 190180 te

230

7075190180 te

- 019018t = ln230

5

t = 2013



68

67 MISTURAS









se RR

dt

dA

sal de

saiacuteda de Taxa

sal de

entrada de Taxa (4)



salde

entrada de taxa

entrada de fluxo no


salmourade

entrada de Taxa

e





min100

300

min)3(

sal de

saida de taxa



salmoura de

saiacuteda de Taxa

lbA

gallbA

galRs


100

6A

dt

dA (5)

Exemplo





69

Resoluccedilatildeo

100

100100

100100

600

600

6

6100

1

1006

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

Adt

dA

A

dt

dA

Para 50)0(A temos

550

60050 0

C

eC


100550600t

eA




(300 gal)(2lbgal) = 600 lb








gallb

t

AgalRs

300min)2(


t300

A26

dt

dA

ou 6A

t300

2

dt

dA

t(min) A(lb)

50 26641

100 39767

150 47727

200 52557

300 57262

400 58993


70


27 )300)(10954(2600)( tttA






2

2










ghAdt

dVh 2 (6)





dhA

dt

dVw



ghA

A

dt

dh

w

h 2 (7)




71

Exemplo




Resoluccedilatildeo


Logo tem-se que


(1)




pura no tanque


72








kxydt

dx (8)





)1( xnkxdt

dx (9)


Exemplo






Resoluccedilatildeo








73

(

)

Integrando

int

(

) int

int

int int

(

)

(

)


Entatildeo




74

610 CORPOS EM QUEDA














mgdt

sdm

2

2

ou gdt

sd

2

2

(10)










gdt

sd

2

2

0)0( ss 0)0( vs (11)





2

2

1)( stvgtts

Exemplo







75

Resoluccedilatildeo


sentido para baixo


dvg


cgtv

gdtdv

gdtdv



cgt

tx

tdtgdx

gtdtdx

gtdt

dx

2)(

2


)(2gt

tx


1002gt


st

t

5420

2

10100

2


76













oposta ou para cima




dt




instante t

kvmgdt

dvm (12)



dsv e

2

2

dt

sd

dt



dt

dskmg

dt

sdm

2

2

ou mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

(13)


77

Exemplo






Resoluccedilatildeo







dt


gvm

k

dt

dv (1)


mgcev

tm

k

Em t=0

v=v0 logo k

mgcev m

k

0

0 ou

k

mgvc


k

mgce

k

mgvv

tm

k

0


78



(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)












79

Peso da corrente


Massa da corrente

m = Wg = L 32


xpxL

xL

F 222

Uma vez que Famdt

xda

2

2

torna-se

x

dt

xdL

2

32 2

2

ou (14)

064

2

2

xLdt

xd

Exemplo





6219 LP e

Resoluccedilatildeo

(

) (

)

Sendo frasl

Como

Sendo


80












voltagemdequeda


Indutor

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

diL

dt

dqRiR

iR

R

voltagemde queda


Resistor

q

c

fC

1 voltagemde queda


Capacitor


ordem

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL


81





)(tERidt

diL






)(1

tEqC

Ri



)(1

tEqCdt

dqR

Exemplo



Resoluccedilatildeo


diL Para i(0) = 0


1 i

dt

di ce0

5

60


di

5

6c



82

Logo

tdtPdt 2020 tei 20

5

6

5

6

cdxeei tt 242020

ceei tt 2020

20

24

cei t 20

5

6










t Use E = 30 V




corrente i(t)







triplicaraacute





30 anos





instante t



83














trecircs anos




















15ordmF











84




















instante t



















instantacircnea


85





abre o paraquedas




0C













RESPOSTAS

1) tetI 355)(

2) tei 2510

3) tcei 500

5

3 e 5

3)(lim

ti

t

4) tceq 50

100

1 onde 100

1C e

tei 50

2

1

5) tceq 200

1000

1

tcei 200200


86

500

1C


ampi 14720)0050(

1000

1q

6) 792 anos

7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604

8) N(30) = 760

9)

10)

11)

12) 1155

13) R$ 927143

14)

15) t = 11 horas

16) t = 13672 horas

17) 885 gramas

18) 15600 anos

19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min

20) t = 60 min


22) rkpdt

dP rkp

dt

dP

23) 2

21PkPk

dt

dP

24) )1000( xkxdt

dx

25) 100

A

dt

dA


27) hc

dt

dh

450

28) 2kvmg

dt

dvm

29) 70ms



31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50

32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100

00975 lbgal

33) 6438lb


87

AULA 16


ORDEM SUPERIOR


ByAdx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0





onde







isto eacute ctexhxy

xy )(

)(

)(

1

2


fundamental)

Exemplo

y + y = 0


y2(x) = cos(x)

ctexx

x

xy

xy )tan(

)cos(

)sin(

)(

)(

1








cte)x(h)x(y

)x(y

1

2

)()()(12

xyxhxy


88




a) 0y9xy5yx2 com 3

1 x)x(y

b) 0y3yx4 2 com 21

1 x)x(y

c) 0y4

1xxyyx 22

com xcosx)x(y 2

1

1

Respostas

a xlnx)x(y 32

b 2

x)x(y

23

2 c senxx)x(y 21

2


89

AULA 17


CONSTANTES


ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

onde A0 A1 A2An

satildeo constantes

Resoluccedilatildeo


dyA 10

yAdx

dyA 10

dxA

A

y

dy

0

1

CxA

Ayln

0

1

CxA

A

0

1

ey

C

xA

A

eey 0

1

Chamando 0

1

A



0bydx

dya

dx

yd

2

2



xλey

xλeλy

xλ2eλy


0e)bλaλ(

0beeλaeλ

xλ2

xλxλxλ2


90





xλ

11ey

xλ

22ey


xλ2

xλ1

2211

21 eCeCy

yCyCy


xλ

nxλ

3xλ

2xλ

1n321 eCeCeCeCy



xey 2



2

x

x

e

e

y

y

constante




xλ2xλxλ2

xλxλ2

xλ2

12

heλehλ2ehy

heλehy

ehy

)x(y)x(h)x(y



Reordenando

0)()2( 2 hbahahe x


Entatildeo

KCxh

Ch

h

0

Logo

xeKCxy

yhy

)(

2

12


91


xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

221

21

2211

)(

)(


temos

x

xx

exCCy

xeCeCy

)( 21

21


xλ1nn

2321 e)xCxCxCC(y




bix2

bix1

ax

bixax2

bixax1

x)bia(2

x)bia(1

eCeCey

eeCeeCy

eCeCy


θisenθcose

θisenθcose

θi

θi

Com isso

senbxCCibxcosCCey


2121ax

21ax

Fazendo

C1 + C2 = C1

i(C1 ndash C2) = C2

temos

senbxCbxcosCey 21ax


92

Exemplos

1) 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd




93


1) 065 yyy

2) 01243 yyyy

3) 022 yyy com 1)0( y e 02

y

4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y

5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y

6) 09 2 yy

7) 069 yyy com 4)0( y e 3

13)0( y

8) 02 2 ykkyy

9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y

10) 0344 yyy com ey )2( 2

)2(e

y

11) 0127 yyy

12) 054 yyy

13) 075 yyy

14) 02 yyy

Respostas

1) xx eCeCy 3

22

1

2) xxx eCeCeCy 2

33

22

1

3) xey x cos

4) xx eey 55 22

5) xx eey 273

6) xπ3

2xπ3

1 eCeCy

7) 3

xe)x34(y

8) kx

21 e)xCC(y

9) 2

x4

xe50e30y

10) x50ey

11) x4

2x3

1 eCeCy


x21

13)

2

3xsenC

2

3xcosCeCy 32

2

x5

1

14)

xexCCy )( 21


94

AULA 18

72 EULER - CAUCHY


ByAdx

dybaxA

dx

ydbaxA

dx

ydbaxA

n

n

n

n

012

2

2

2)()()(


teabax



02 byaxyyx

Faremos

y = xm

yrsquo = mxm-1

yrdquo = m(m-1)xm-2



m = 0

como y(x) = xm




21

21)(mm

xCxCxy


)xln(xCxC)x(y m2

m1

mxxCCxy ))ln(()(

21



xbCxbCxxy a


95

Exemplos

012)12(2)12(2

2

2 ydx

dyx

dx

ydx

0222 yxyyx


96


1) 0202 yyx

2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx

3) 04324610 2 yxyyx

4) 02 yxyyx



Respostas

1) 5

24

1 xCxC

2) 3

32

21

)x1(

C

)x1(

C

1x

Cy

3) 81

21 x)xlnCC(y


5) 25

x)xln2(

6) xlnx3 2


97

AULA 19


10

00

)(

)(

)()()(

Kxy

Kxy

xryxqyxpy

IVP



yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)



)()()( xyxyxy ph










xαke xCe

)10n(kxn

011n

1nn

n CxCxCxC

xαKsen


xβsenke

xβcoske

xα

xα


obs


o

coluna




98

Exemplo

0)0(

1)0(

2 2

y

y

xeyyy x


99


1) xsenyy 34

2) 325102 2 xyyy

3) xseneyyy x 53712352 5

4) 1265 2 xyyy

5) xyy 314

6) 1232 2 xxyy

7) xeyyy 3127

8) xeyyy 28107

9) xeyyy 2844

10) xeyy 434

11) xsenyyy 2334

12) x4sen8dx

yd4

dx

yd

2

2

4

4

13) xsenyy 2124

14) senxyy 4

15) senxydx

yd

dx

yd42

2

2

4

4


4)0( y e 8)0( y

17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e

0)0( y

Respostas

1) x3sen5

1x2Bsenx2cosA

2) xx2

5)x3senCx3cosC(e 2

21x


x71

4) 27

5

9

x5

3

xeCeCy

2x3

2x2

1

5) 4

xx

8

3eCeCCy 2x2

3x2

21

6) 8

x3

12

x

8

xeCxCCy

234x2

321

7) xx4

2x3

1 e20

3eCeCy

8) x2x5

2x2

1 xe3

8eCeCy

9) x22x2

2x2

1 ex4xeCeCy

10) x4

21 e20

3x2senCx2cosCy

11) )x2cos8x2sen(65

3eCeCy x3

2x

1

12) 40

x4seneCeCxCC x2

4x2

321

13) x2cos4

3eCeCCy x2

3x2

21



xy 4321

2

16) 424 xey x

17) xxx xexeey 222

4

1

2

1

16

1

16

1


100

AULA 20




yn + Pn-1(x)y






Onde

dxxW

xrxWu

)(

)()(11 dx

xW

xrxWu

)(

)()(22 dx

xW

xrxWu n

n)(

)()(


)()(

11

2

1

1

2

1

21

21 xW

yyy

yyy

yyy

yyyW

n

n

nn

n

n

n



11

2

2

2

1

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

11

1

1

1

2

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

1

0

0

1

2

1

1

2

1

21

nn

n

yy

yy

yy

W


n natildeo se



u(x)y1(x) + v(x)y2(x)

onde

dx)x(w

)x(r)x(y)x(u 2 e dx

)x(w

)x(r)x(y)x(v 1



101



102




3cosx


-4


2 ndash 15x

3



4lnx


7) 1x2x3dx

yd4

dx

yd 2

2

2

4

4



Respostas

1) 9

260x

3

65eCeCy x

2x3

1

2) xcosxxCxCy 221

3) 432

21 x

2

1xcxcy

4) 3

)xx(xCxCy

322

3

22

1

1

5)

6

11xln

6

xxCxCxCy

43

32

21

6) x13

121 exxCxCCy

7) 8

x

8

x

12

x

16

xeCeCxCCy

234x2

4x2

321

8) xx23

x22

x1 e2eCeCeCy

9) 4

x5

4

xeCeCCy

2x2

3x

21


103

AULA 21






dx

dD

2

22

dx

dD

3

33

dx

dD

7332 Propriedades




P3Dm

(Dn

u)=Dm+n



dxueeu

aD

axax 1

a


du a



Exemplo

ay + by + cy = g(x)


(aD2 + bD + c)y = g(x)


1nn

n ADADADAL com


1nn

n ArArA


Exemplo


0y)2D( 2


104






polinocircmio 1n

1n2


potencia de )D(x n


Soluccedilatildeo


0)x8x51(D 324




Soluccedilatildeo




Vamos verificar

0e12e12e12De6)e6)(2D(


]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(

)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2

x2x2x2x22




xα1nxα2xαxα

xα1nax2xαxα


Soluccedilatildeo

5D2D)]41(D)1(2D[

1n01n2β1α

212


105

Vamos verificar







xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx2x2





zero

221

zero

1122121

2211212121

)y(LL)y(LL)yy(LL

)y(LL)y(LL)yy(LL


Soluccedilatildeo



Logo

0)x3sen6x7)(9D(D 22



1nn

n ADADADA





nuacutemeros reais






0)y(L


106











2

ydx

dy

dx

yd

2) 0442

2

ydx

dy

dx

yd


2

2

x4y2dx

dy3

dx

yd


107


108




2) senxydx

dy

dx

yd 65

2

2

3) senxeydx

dy

dx

yd x 232

2

4) (D3-16D)y=e

4x + 1

5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e

3x

6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe

-2x

7) xx eeyDD 23212

8) 142 xyD

9) x32 ey6D5D

10) senx4e8y3y x3

11) xey

dx

yd 2

2

Respotas

1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xcos10

1senx

10

1eCeCy x3

2x2

1

3) senxxcos2

eeCeCy

xx2

2x

1

4) 16

xe

32

xeCeCCy x4x4

3x4

21

5) x3x4

2x3

1 xe5eCeCy

6) x2

2x2x2

3x

2x

1 e18

xe

27

x2eCxeCeCy

7) xx2x2xx e

6

1ex

2

3CeBxeAey

8) 4

1

4

xBeAey x2x2

9) x3

2x2

1x3 eCeCxey

10) senx5

2xcos

5

6xe

3

8eCCy x3x3

21

11) 2

xeeCeCy

xx

2x

1


109

AULA 22



1) xsenxedx

dy

dx

yd x 2234 2

3

3

2) xex

dx

dy

dx

yd

dx

yd 2

2

2

3

3

3265

3) 13 2

2

2

xesenxydx

yd

4) 1284 2

2

2

xxydx

yd

5) 222

2

3

3

xdx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 1234 3

2

2

4

4

xxdx

yd

dx

yd

7) xey

dx

dy

dx

yd 3232

2

8) xey

dx

yd 2

2

2

44

9) xey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

344

10) xey

dx

dy

dx

yd22

2

2

11) senxydx

dy

dx

yd223

2

2

12) xdx

dy

dx

ydcos34

2

2

13) xsenydx

yd2316

4

4

14) xydx

yd2cos54

2

2

15) 52 2

2

2

xedx

dy

dx

yd

16) xxey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

44

17) xeydx

dy

dx

yd x 2cos8822

2

18)

2244 2

2

2 xey

dx

dy

dx

yd x

19)

20)

21)

senxy

dx

yd 12

2

22) xyxyyx 3222

23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2

22

3

33 xy

dx

dyx

dx

ydx

dx

ydx

x

ey

dx

dy

dx

yd x

22

2

xy

dx

yd

cos

12

2


110

RESPOSTAS

1)

4

x2xsen

8

x

16

e3x2senCx2cosCCy

2x2

321

2)

2

3

18

5

6

223

3

2

21

xxx xe

xx

eCeCCy

3) 132

3 2

21 x

xx esenxeCeCy

4) 44

2 22

2

2

1 xxeCeCy xx

5)

4

5

4

22

321

xxeCeCCy xx

6)

848

5

80

3 2352

4

2

321

xxxeCeCxCCy xx

7)

2

2

21

xxx e

eCeCy

8) xxx xeeCeCy 22

2

2

1

9) xxx exxeCeCy 222

2

2

12

3

10) )( 2

21 xxCCey x

11) senxxeCeCy xx

5

1cos

5

32

21

12) )4(cos17

34

21 senxxeCCy x

13)

32

2cos322cos 43

2

2

2

1

xxxsenCxCeCeCy xx

14)

8

2cos52

2

2

1

xeCeCy xx

15)

22

5 22

21

xx xex

eCCy

16) xe

xxCCy 2

3

216

17) )22cos3(5

1

9

14

2

2

1 xsenxeeCeCy exxx

18)

8

1)( 22

21

xexxCCy x




22) xxxCxCy ln32

21

23)

36

11)1ln(

6

1

)1()1(1 3

3

2

21

xx

C

x

C

x

Cy


111

AULA 23























somente 25 peacute




2 ou 980

cms2

equiliacutebrio

Posiccedilatildeo

inicial

g

K(s+x)


112






kxksmgkxmgxskdt

xdm

zero

)(2

2

(1)






02

2

2

xdt

xd (2)

onde mk 2









=0 satildeo














113



Exemplo





Soluccedilatildeo





M = Wg = 232 = 116 slug


Logo (1) resulta em

xdt

xd4

16

12

2

0642

2

xdt

xd

2 = - 64

= 8i







tsenttx 816

18cos

3

2)(











que


114

dt

dxkx

dt

xdm

2

2

(4)




amortecido

02

2

x

m

k

dt

dx

mdt

xd (5)

ou

02 2

2

2

xdt

dx

dt

xd (6)

onde

m

2 e

m

k2


m2 + 2 m + 2 = 0


22

1 m e22

2 m





022

tmtm

eCeCtx 21

21)( (7)



022

tCCetx t

21)( (8)





115


022


tsenCtCetx t 22

2

22

1cos)(

(9)



Exemplos




para cima

Soluccedilatildeo



dt

dx2x4

dt

xd

4

1

2

2

01682

2

xdt

dx

dt

xd


X(t)= C1 e ndash 4t

+ C2te - 4t




X(t) = - 3te -4t





instantacircnea

Soluccedilatildeo





116

dt

dxx

dt

xd 5

2

12

2

01022

2

xdt

dx

dt

xd





tsentetx t 3

3

23cos2)(







)(2

2

tfdt

dxkx

dt

xdm (10)


)(2 2

2

2

tFxdt

dx

dt

xd (11)




Exemplo


dx21

dt

xd

5

1

2

2

com2

1)0(x

e 0)0(x


117

Soluccedilatildeo










01062

2

xdt

dx

dt




504cos

102

25)cos()( 21

3


tsentsenttetx t 451

504cos

102

25)

51

86cos

51

38()( 3






Exemplo


xd 0

2

2

2


constante e

)(

2

2

tfkxdt

xdm

Soluccedilatildeo



tsenFtsenBtAxx pp 0

22222 )(cos)(


FB

220

Logo

tγsen)γω(

F)t(x

220

p


118



F)t(x

220

com ωγ



)(2

2

tEC

q

dt

dqR

dt

qdL (12)





LR


LR

Subamortecido 042 C

LR


e portanto





Exemplos



Soluccedilatildeo


0400040

01000104

1

qqq

qqq





119

)603

160(cos)( 20

0tsenteqtq t




















)(2

2

xwdx

Md (13)


EIkxM )( (14)





120


23

2)(1

y

yk





4

4

2

2

2

2

dx

ydELy

dx

dEL

dx

Md (15)




)(4

4

xwdx

ydEL (16)







engastada x = 0









Engastada 0y0y

Livre 0y0y






121








gt0





nL ou2

22

L

n n = 1 2 3




4

2

2

2

2

2

2

LLL


sequumlecircncia 3

2

xL

senxL

senxL

sen





compressiva





Py

dx

ydEL

2

ou 02

2

Pydx

ydEL (17)


122



Exemplo



Soluccedilatildeo


0)(

0)0(

02

2

Ly

y

Pydx

ydEI






0)(

0)0(

0

Ly

y

yy



321 222 nLnEIPnn




1 LEIP chamada







carga critica 22



123

9213 Corda Girando


0 yy (18)






















12 TsenTsenF (19)





124



)()( xyxxyTF (20)





aproximada por

2 yxF (21)



2)()()( yxxyxxyT

ou (22)

yx

xyxxyT 2)()(


xyxxy

)()(em (22) eacute



ydx

ydT 2

2

2

ou (23)

02

2

2

ydx

ydT




125















9

4

6

8

12








considerando que



para cima




para cima





a) superamortecido


c) subamortecido






3t



f(t)=68e-2t


amortecimento


126





















periacuteodo









Respostas

1) 8

π2

2) t64cos4

1)t(x

3)

4) a)4

1

12

πx

2

1

8

πx

4

1

6

πx

2

1

4

πx

4

2

32

π9x


c)16

π)1n2(t

n= 0 1 2

5) a)t8t2 e

3

1e

3

4)t(x

b)t8t2 e

3

5e

3

2)t(x


127

6)

7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52

8) t3sent3cos3

10t

2

47sen

473

64t

2

47cos

3

4e)t(x 2

t


14

4

94cos

2

1)( 22

10) )sin13cos99099(500

1 27 tteex xx

11) ttttx 4cos4

14sin

16

14cos50

12) (

)

13) 41078C 00509s

14) q(t)=10+10e-3t

(cos3t+sen3t)

i(t) = 60e-3t

sen3t 10432 C

15) C2

3

2

3)t10sent10(cose

2

1)t(q t10

16)

17) radic radic


128

AULA 24










)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy










a um sistema normal




Exemplos

1)

senxxzdx

dy

senxxdx

dzy

cos

cos


129

2)

xzydx

dz

dx

yd

xdx

dz

dx

yd

22

3

2

2

2

2

2


130


1)

02

02

zdx

dz

dx

dy

zydx

dz

dx

dy

2)

x

x

ezydx

dz

dx

dy

ezydx

dz

dx

dy

2

5

32

4

3)

2

2

2

2

2

2

2

xzdx

zd

dx

dy

eydx

dz

dx

yd x

4)

03

42

zydx

dy

ezydx

dz

dx

dy x

5)

xzDyD

senxzDyD

cos)1()1(2

2)2(2)3(

Respostas

1)

x

x

eCeCy

eCeCz

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

ou

x

x

eCeCz

eCeCy

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

2)

xxx

xxx

eeeCy

eeeCz

252

5

1

252

5

1

25

2

5

3

3)

xexCsenxCeCeCy

xesenxCxCeCeCz

xxx

xxx

22

3cos2222

2

3

2

1

2

1cos

43

2

2

2

1

2

43

2

2

2

1

4)

x

x

esenxCCxCCz

esenxCxCy

2)3(cos)3(

2cos

2121

21

5)

senxxeCeCz

xsenxeCeCy

x

x

x

x

130

61cos

130

33

3

4

)cos8(65

1

5

23

1

5

23

1


131

AULA 25


Dado o sistema

)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy


n

n

F

dy

F

dy

F

dydx

1 2

2

1

1



)(

)(

2

1

zyxFdx

dz

zyxFdx

dy

(1)


321 F

dz

F

dydx

ou generalizando

)()()( zyxR

dz

zyxP

dy

zyxM

dx (2)


dois paracircmetros



se

nRmPlM

ndzmdyldx

R

dz

P

dy

M

dx


lM + mP + nR = 0

o que faz com que

ldx + mdy + ndz = 0


132




Exemplos

1)x

dz

x

dy

y

dx

2)zx

dz

yx

dy

zy

dx

2


133

3))()()( 222222 xyz

dz

zxy

dy

yzx

dx




1) cybx

dz

axcz

dy

bzay

dx

2) )()2()2( 444444 yxz

dz

xzy

dy

zyx

dx

3) yx2

dz

x3z

dy

z2y3

dx

4) z

dz

x

dy

y

dx

5) yx

dz

x

dydx

221

Respostas

1) x2 + y

2 + z

2 = C1

cx + by + az = C2

2) x4 + y

4 +z

4 = C1

xyz2 = C2

3) x2 + y

2 + z

2= C1

x + 2y + 3z = C2

4) x2 ndash y

2 = C1

zC2 = y + x

5) y = x2 + C1

z = 3

2x

3 + xy ndash x

3 + C2


134

AULA 26


ORDEM



dx


dx


dx

nnnm22n11nn

2nm22221212

1nm12121111


)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

x

x

x

dt

d

nm2n1n

m22221

m11211

n

2

1

ou ainda

)t(FX)t(Adt

dX


homogecircneos

X)t(Adt

dX


XAX


tλeξX

temos

tλeξλX


0eξ)λA(

eξAeξλ

tλ

tλtλ


135


e autovetores

Exemplo 1


t10y3x4dt

dy

t2ey5x2dt

dx t


t10

t2eX

34

52

dt

dX t

ou

t10

2e

0

1X

34

52X t

onde

y

xX



)t(x

)t(x

)t(x

X

n

2

1


)t(FX)t(Adt

dX

no intervalo

Exemplo 2

Verifique que

t2

t2t2

1e

ee

1

1X e

t6

t6t6

2e5

e3e

5


X35

31X

no intervalo )(

Soluccedilatildeo


136

Temos

t2

t21

e2

e2X

e

1t2

t2

t2t2

t2t2

t2

t2

1 Xe2

e2

e3e5

e3e

e

e

35

31AX

Agora

t5

t612

e30

e18X

e

12t6

t6

t6t6

t6t6

t6

t6

2 Xe30

e18

e15e15

e15e3

e5

e3

35

31AX





)t(x

)t(x

)t(x

)t(X

0n

02

01

0

e

n

2

1

0

γ

γ

γ

X


00 X)X(tasujeito

)t(FX)t(Adt

dXResolver









comum I


137



X)t(Adt

dX


kk2211 XcXcXcX





Exemplo 3


102

011

101

X

eacute

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X1


tcoscsentc

tcosc2

1sentc

2

1

sentc

dt

dX

11

11

1

e

tcoscsentc

sentc2

1tcosc

2

1

sentc

sentctcosc

sentc2

1tcosc

2

1

tcosc

102

011

101

AX

11

11

1

11

11

1


Exemplo 4


102

011

101

X

Se

0

e

0

X t2 entatildeo

0

e

0

X t2 e

2tt

2 X

0

e

0

0

e

0

102

011

101

AX




138

0

e

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcX t212211




X)t(Adt



0XcXcXc kk2211








Sejam

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X




wronskiano

0

xxx

xxx

xxx

)XXX(W

nn2n1n

n22221

n11211

n21


139

Exemplo 5


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X


X35

31X



0e8e5e

e3e)XX(W t4

t6t2

t6t2

21

para todo t real

Exemplo 6


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X



31X



entatildeo

t6

2t2

12211c e5

3ce

1

1cXcXcX








X)t(Adt


nn2211 XcXcXcX



140

Exemplo 7

Os vetores

tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

Xe

0

1

0

X

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X 3t

21 satildeo

do sistema X

102

011

101

X

no exemplo 3 Agora

0etcossentsenttcos

senttcose

tcossent0senttcos

tcos2

1sent

2

1esent

2

1tcos

2

1sent0tcos

)XXX(W ttt321



tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

ce

0

1

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcXcX 3t

21332211




sistema )t(FX)t(Adt

dX


X)t(Adt





dX em um


nn2211c XcXcXcX


141


dX correspondente


pc XXX




dX

Exemplo 8


6t5


homogecircneo

3

11t12X

35

31X no intervalo )(

Soluccedilatildeo

Temos

5

3X

p e

3

11t12

6t5

4t3

35

31

3

11t12X

35

31p

pX

5

3

3

11t12

2

14t12

3

11t12

)6t5(3)4t3(5

)6t5(3)4t3(

Exemplo 9


3

11t12X

35

31X em )( eacute

6t5

4t3X p



31X

eacute

t62

t21c e

5

3ce

1

1cX


65

43

5

3

1

1 62

21

t

tececXXX tt

pc eacute


3

11t12X

35

31X em )(


142


)t(FX)t(Adt




Seja

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X


dX em um

intervalo I

A matriz

nn2n1n

n22221

n11211

xxx

xxx

xxx

)t(



Exemplo 10


t

t

t

e

eeX

2

2

2

11

1 e

t

t

t

e

eeX

6

6

6

25

3

5

3constituem


35

31 em )(

tt

tt

ee

eet

62

62

5

3)(


Exemplo 12


c ececXcXcX 62

212211

5

3

1

1

dada no exemplo 6


2

1

t6t2

t6t2

c

c

e5e

e3eX






143

)t()t(A)t(

0)t()t(A)t(







t no intervalo

Exemplo 13


tt

tt

ee

eet

62

62

5



1121

1222

1112

21221

det

1

det

1

aa

aa

aa

aa

AA

T

que

tt

tt

tt

tt

t

ee

ee

ee

ee

et

66

22

22

66

4

1

8

1

8

18

3

8

535

8

1)(




1

0

0

0

1

0

0

0

1

00201

tVtVtV n





144

1000

0100

0010

0001

00

t


Exemplo 14


35

31

Soluccedilatildeo

Por tt ececXcXcX 6

22

122115

3

1

1



22

15

3

1

1


0

1

5

3

1

121 cc ou

05

13

21

21

cc

cc

Obtemos 8

51 c e

81


tt eeV 621

5

3

8

1

1

1

8

5


1

0

5

3

1

121 cc ou

15

03

21

21

cc

cc


31 c e

81


tt eeV 622

5

3

8

1

1

1

8

3

Dai


145

tttt

tttt

eeee

eeeet

6262

6262

8

5

8

3

8

5

8

58

3

8

3

8

3

8

5

)(

Observe que

10

01)0(





Por

1000

0100

0010

0001

00

t





Por 0

1 ttt



1)

y8x4dt

dy

y5x3dt

dx

2)

z3y4x10dt

dz

yx6dt

dy

z9y4x3dt

dx


146

3)

2ttzyxdt

dz

t3zyx2dt

dy

1tzyxdt

dx

2

2


4) te

1

1X

31

24X

5) t

1

1

3

e

2

2

1

z

y

x

652

143

211

z

y

x

dt

d t


6)

y7x4dt

dy

y4x3dt

dx

t5e

2

1X

7) 2t3

e2

1XX

114

11

X

8)

13

6

1

121

016

121

XXdt

dX



9) t6

2t2

1 e1

1Xe

1

1X

10)

4

4

2

t

12

6

3

X

4

2

1

X

2

2

1

t

4

2

1

X 321


147


dado

11)

18423

724

tyxdt

dy

tyxdt

dx

1

5

1

2tX

p

12) tt

p

t teeXeXX

1

1

1

1

7

1

43

12


011

101

060


t33

t22

t1 e

1

1

2

ce

1

1

3

ce

5

1

6

cX



t1

14) t7

2t2

1 e3

1Xe

2

1XX

56

14X

15) tt

2t

1 e1

0te

3

1Xe

3

1XX

29

14X


14


15


148

Respostas

1) 84

53 XX

onde

y

xX

2)

3410

016

943

XX

onde

z

y

x

X

3)

2

0

1

03

0

111

112

111

2

2

t

t

t

tXX onde

z

y

x

X

4)

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx

3

24

5)

tezyxdt

dz

tezyxdt

dy

tezyxdt

dx

t

t

t

2652

243

32




9) Sim

10) Natildeo




14)

tt

tt

t

tt

tt

ee

ee

et

ee

eet

22

77

9

1

72

72

2

3

5

1)(

32


149

15)

tt

ttt

t

ttt

tt

ee

teete

et

eee

teet

3

31

33

2

1

16)

tttt

tttt

eeee

eeeet

7272

7272

5

3

5

2

5

6

5

65

1

5

1

5

2

5

3

17)

ttt

tt

etete

tetet

39

3


150

AULA 27



X)t(Adt

dX


XAX


tekX

temos

tekX


0)(

t

tt

ekA

ekAek


e autovetores






t

nn

t

b

t

anekcekcekcX

21

21


151


yxy

yxx

2

32

Soluccedilatildeo


012

32

0)det(

IA

41

043

0622

0)1)(2(

21

2

2

e

Para 11 temos

0

0

22

33

0

0

)1(12

3)1(2

0)(

b

a

b

a

K

K

K

K

KIA

1

1

1

022

033

1K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba

Para 42 temos

0

0

2

32

0

0

412

342

b

a

b

a

K

K

K

K

2

3

2

2

3

032

032

2K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba


ii eKx temos

tt eXeX 4

212

3

1

1


tt

tt

tt

eCeCy

eCeCx

eCeCy

x

XCXCX

4

21

4

21

4

21

2211

2

3

2

3

1

1


152




t

ekX 1

11

e t

ekX 1

12




Exemplo

Resolva o sistema

yxdt

dy

yxdt

dx

45

6

Soluccedilatildeo

045

16

0)det(

IA

2

525

2

410

2

11610010

02910

054624

05)4)(6(

2

2

i

i

Para i25 temos

ab

ba

b

a

b

a

KiK

KKi

K

K

i

i

K

K

i

i

KIA

)21(

0)21(

0

0

)21(5

121

0

0

)25(45

1)25(6

0)(


153

iKi

K


2

0

1

1

21

1

1

11

tt

tt

tt

tt

t

t

etsentCetsentCy

etsenCetCx

etsent

tsenCe

tsent

tCX

etsentCetsentCX

XCXCX

etsentX

etsentX

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

2221

5

2

5

1

)22cos2()222(cos

)2()2cos(

22cos2

2

222cos

2cos

21

12cos

2

02

2

02cos

1

1

21

12cos

2

0

22

02cos

1

1





t

ekX 1

11

tt

ektekX 21

212


para o sistema

t

m

tm

tm

mmeke

m

tke

m

tkX

21

)2()1(

2

2

1

1




PeKteX 11

2

()

Onde


154

nk

k

k

K2

1

e

np

p

p

P

2

1


0)()( 11

11 tt

eKPAPteKAK


KPIA

KIA

)(

0)(

1

1

Exemplos


zyxz

zyxy

zyxx

22

22

22

0

122

212

221

51

Re

0593

0593

012121733

0)1(1216133

0)1(4)1(4)1(488)1(

321

23

23

23

23

3

e


Para 11 temos

21

0|222

0|222

0|222 1

L

31

21

)2(

2

0|222

0|222

0|111

LL

LL

0|000

0|000

0|111

cba

cba

KKK

KKK


0

1

1

1K


155


1

1

0

2K



teX

0

1

1

1 e teX

1

1

0

2

Para 53 temos

31

21

21

)2

1(

0|422

0|242

0|224

LL

LL

32

12

)1(3

2

0|330

0|330

0|224

LL

LL

)1(

)4(

0|000

0|330

0|404

2

1

L

L

0

0

cb

ca

KK

KK

cb

ca

KK

KK


1

1

1

3K

ttt eCeCeCX 5

321

1

1

1

1

1

0

0

1

1


yxy

yxx

92

183

092

183

3

Re

096

0369327

036)9)(3(

21

2

2



156

Para 321 temos

ba

ba

ba

b

aKK

KK

KK

K

K3

062

0186

0

0

62

186

fazendo 1bK temos

1

31K


1 1

3

2

1

1

3

p

pPK

IPSLL

L

L

p

p

KPIA

KPIA

0002

131

2131

2131

2

6

162

3186

1

3

62

186

3

21

2

1

2

1

1

21

21

32

1

2

13

pp

pp

fazendo

02

10

2

121 Ppp

ttt

tt

eetCeCX

eetX

33

2

3

1

33

2

02

1

1

3

1

3

02

1

1

3


157


1) Resolva

z3ydt

dz

zy5xdt

dy

zyx4dt

dx

2) Resolver X21

82acuteX

3) Resolver X1

2

121

acuteX


yxy

yxx

3

4

5)

yxdt

dy

yxdt

dx

34

2

6)

yxdt

dy

yxdt

dx

22

5

24

7)

yxdt

dy

yxdt

dx

25

6

8)

yxdt

dy

yxdt

dx

32

5

9)

yxdt

dy

yxdt

dx

39

3

10)

yxdt

dy

yxdt

dx

53

3

Respostas

1) t53

t42

t31 e

1

8

1

ce

1

1

10

ce

1

0

1

cX

2)

t2sen

t2sen2t2cos2c

t2cos

t2sen2t2cos2cX 21

3) t

2t

1 etcos

sent2ce

sent

tcos2cX

4)

ttt etececX

1

1

1

2

1

221

5) tt ececX

1

1

2

12

5

1

6) tt ececX

5

2

1

22

3

1

7) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin2

sin

sincos2

cos

8) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin

sin

sincos

cos

9)

414

1

3

1

3

121 tccX

10)

ttt etececX 22

2

2

10

31

1

1

1

1


158

AULA 28








Exemplos


41034

66

tyxy

tyxx


XX

XAX

34

16


034

16

0)det(

IA

72

0149

043618

0)3)(6(

21

2

2

e


Para 71 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

44


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

4

1

04

0

0

14

14

fazendo 4bK temos

4

12K


tt

tt

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

2

7

1

2211

2211

4

1

1

1

21


159


c

aX

dct

batX

t

ttf

p

p

410

6)(


cdbtca

adbtca

t

t

t

t

dctbat

dctbat

c

a

t

t

dct

bat

b

a

34)34(

6)6(

104

6

410

6

3344

66

410

6

34

16

7

107

242

7

4

62814

234

6318

6434

26

434

06

6

1262

662814

1034

18318

1034

66

d

db

bdb

db

db

db

db

cdb

adb

c

ca

aca

ca

ca

ca

ca

Logo

7

106

7

42

t

tX p


7

106

7

42

4

1

2

12

2

7

1

2221

t

teCeCX

XXCXCX

tt

p


160


5

3

yxy

yxx

XX

11

11


011

11

0)det(

IA

20

0)2(

0121

01)1(

21

2

2

e


Para 01 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

12K


t

tt

tt

eCCX

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

21

2

2

0

1

2211

2211

1

1

1

1

1

1

1

1

21


c

aX

dct

batX

tf

p

p

5

3)(



161

5

3

)(

)(

5

3

11

11

dbtca

dbtca

c

a

dct

bat

b

a

ca

ca

0 fazendo 11 ca

4

1

3

db

adb

adb

4

51

5

db

db

cdb

Fazendo 04 db

t

tX p

4

Logo

t

teCCX t 4

1

1

1

1 221








CtX )(



)()( tUtX p


)()( tFXtAdt

dX

entatildeo



162



)()()( tFtUt

)()()()()( 11 tFttUtt

)()()( 1 tFttU

dttFttU )()()( 1

entatildeo

dttFttX p )()()( 1


Exemplo

Resolva o sistema

teyxy

tyxx

42

33


XX

42

13


043

13

0)det(

IA

25

0107

024312

21

2

2

e


Para 51 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

2

1

02

0

0

12

12

fazendo 2bK temos

2

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

22


1

12K


2

1

25

25

2

2

5

1

2211

2211

21

1

2

1

21

C

C

ee

eeeCeCX

eKCeKCX

XCXCX

lfundamentamatriz

tt

tt

tt

tt


163


tt

tt

ee

ee25

25

2

212

10

01 LL

t

tt

e

ee2

25

30

12

312

01

LL

t

t

e

e2

5

30

0

2

2

1

5

2

112

31

31

Le

Le

t

t

10

01

tt

tt

ee

ee

22

55

3

1

3

23

1

3

1

Logo

tt

tt

ee

ee

22

55

1

3

1

3

23

1

3

1

tt

tt

tt

tt

ete

ete

e

t

ee

eetft

2

45

2

55

1

6

3

3

13

23

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

eete

eetedt

ete

etedttft

22

455

2

45

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

6

3

3

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

p

eete

eete

ee

eedttfttX

22

455

25

25

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

2)()()(

t

t

p

t

t

p

tt

tt

p

et

etX

et

etX

eetet

etetX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

2

3

50

63

5

24

3

50

81

5

18

3

1

2

3

2

1

25

6

5

62

33

4

1

25

3

5

3

3

1

Soluccedilatildeo

t

t

tt

et

eteCeCX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

1

1

2

12

2

5

1


164



1)

122

433

yxdt

dy

yxdt

dx

2)

2

2

4

3

53

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx


indeterminados

3)

52

732

yxdt

dy

yxdt

dx

4)

53

23 2

tyxdt

dy

tyxdt

dx

Respostas

1)

10

15

11

11

2

3

1

121 teccX t

2) 2223

22

1

49

215

413

213

3

10

1

2 tttt

eteececX

3)

3

1

1

3

1

121

tt ececX

4)

43

2

414

1

43

41

1

1

1

1 242

21 ttececX tt


165

AULA 29



xCey 2

2

02


44

0

33

2210 xCxCxCxCCxCy

n

nn

1

1

34

2321

432

n

nnxnCy

xCxCxCCy


021

1

n

nn

n

nn xnCxnC

Trocando

1

1

01

1

Nn

Nn

n

n

II

NN

NN

I

n

nn xCNxnC

011

)1(

1


0

2321)1(

2321

1

1

32)1(

32

N

NN

n

nn

xCxCCxCNII

xCxCCxnCI

Satildeo iguais

Voltando


166

0)1(

2

02)1(

02)1(

02)1(

1

1

0

1

01

1

nn

CC

CCn

xCCn

xCxCn

nn

nn

n

nnn

n

nn

n

nn

Para

234

)2(

234

)2(2

4

23

23

)2(

23

)2(2

3

22

2

)2(

2

)2(2

2

21

21

20

04

03

34

03

02

23

02

012

00

1

CCCCn

CCCCn

CCCCn

CC

Cn


1

)2( 0

nn

CC

n

n

Entatildeo

0

44

33

2210

n

nn xCxCxCxCCxCy C

0

0

1

0

443322

0

30

320

20

0

)2(

)2(1

4

2

3

2

2

2

1

21

3

)2(

2

)2(

1

2

n

nn

n

nn

n

xC

n

xC

xxxxC

xCxCxCC

Como

3

)2(

2

)2(21

321

322

32

xxxe

xxxe

x

x

Logo

xeCy 2

0


167


2

ydx

yd

i

1

01

2

2

senxCxCy 21 cos


2

2

1

1

0

)1(

n

nn

n

nn

n

nn

xCnny

xnCy

xCy

2

2

2

Nn

Nn

n

24

132

0

)2(

22

)2(

2

2

34232

)1)(2()1)(2()1(

xCxCC

xCNNxCNNxCnnyN

NN

N

NN

n

nn

Que fica igual a

24

132

2


nn

Logo substituindo

2

2)1(n


0)1)(2(02

)2(

n

nn

n

nn xCxCnn

0)1)(2(2

)2(

n

n

nn xCCnn

0)1)(2( )2( nn CCnn

0)1)(2(

)2(

n

nn

CC n

n

para 12

0 02

CCn

para 23

1 13

CCn

para 412

)(

34

1

342 002

4

CCCCn


168

para 523

)(

45

1

453 113

5

CCCCn

para 6456

1

564 004

6

CCCCn

para 7567

1

675 115

7

CCCCn

765432

17

06

15

04

13

02

CC

CC

CC

CC

CC

CC


1)12(

)1(1

)2(

)1( 1)12(

02

k

k

CCk

k

CC

k

k

k

k

Voltando

0n

nnxCy

5

53

314

42

20 xCxCxCxCxCCy

senxCxCy

k

xC

k

xCy

xxxxC

xxxCy

n

kk

n

kk

n

10

0

12

1

0

2

0

753

1

642

0

0

cos

)12(

)1(

)2(

)1(

7536421


169

REFEREcircNCIAS









8

AULA 2






derivada eacute 23

3

xedx


23 xydx

dy

(1)





















dx

dy




)(xfdx

dy


dxxfdy )(





9




1) 13 xdx

dy

2) 0 ydxxdy

3) 0232

2

ydx

dy

dx

yd

4) xyyy cos)(2 2

5) 2 3 2( ) ( ) 3y y y x

6) yxdt

dy

dt

dx35

7) yxy

z

x

z

2

2

2

2

2

8) y

zxz

x

z


131 TIPO








132 ORDEM



ordem

133 GRAU





10

1

3

33

3

dx

yd

y

dx

ydx

3

32

3

3

dx

ydy

dx

ydx

3

a ordem e 2

o grau

yxdx

dy 2lnln y

x

dx

dy

2

ln yedx

dy

x

12

yexdx

dy 2 1a ordem e 1

o grau



134 LINEARIDADE


)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n





independente x

Exemplos

a) 08)( xdydxxy

b) 072

2

ydx

dy

dx

yd

c) xydx

dyx

dx

yd245

3

3


terceira ordem



Cxxy 4 ou BxAxy 2









11


a) Cxx

y 2

3 2

b) xCsenxCy cos21

c) 2Cxy

d) 22

1 CxCy


f) xx eCeCy 2

23

1


12



1) 222 Cyx

2) xCey

3) )( 223 yxCx


5) 321 )( CexCCy x

6) xx eCeCy 2

21

7) ayy

x1ln

8) Cyxyx 5332

9) CBxAxy 2

10) CBeAey xx 2

11) xxx eCeCeCy 3

22

31

12) BAxy 2ln



Respostas

1) 0 ydyxdx

2) 0 ydx

dy

3) dx

dyxyxy 23 22

4) 042

2

ydx

yd

5) 022

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 022

2

ydx

dy

dx

yd

7) 0ln ydx

dy

y

xx

8) 05332 2

dx

dyxyxy

dx

dyxy

9) 03

3

dx

yd

10) 0232

2

3

3

dx

dy

dx

yd

dx

yd

11) 061162

2

3

3

ydx

dy

dx

yd

dx

yd

12) 2 ( ) 0xyy yy x y

13) 2

22

100 x

x

dx

dy


13

AULA 3








21 CURVAS INTEGRAIS




xdx

dy2






















14

Exemplo


dy1

cxxy

dxxdy

23

3

2

1



2

2

xxy

y

dx

dy


y


Exemplo

Verifique que 16

xy

4


xydx

dy no intervalo )(

Resoluccedilatildeo



dy 21


xydx

dy eacute


4

x

dx

dy

16

x4

dx

dy 33


044

044

0164

332321

43

xxxx

xxx

x










15



x0 e3ye3cec3







xy

4


0)0(y

xydx

dy 21








)yx(fdx










16


00 )(

)()(

yxy

xqyxpdx

dy









yfdx

dy (2)




)(

1

yfdx

dy (3)


y

y

dyyf

yxyx0

)(

1)()(

0 (4)


1



1

yfdy

dx em





00)(

)(

yxy

yfdx

dy

(5)


00)(

)(

1

xyx

yfdy

dx

(6)



17




kydx

dy (7)




0)(00

yxy

kydx

dy

(8)


00)(

1

xyx

kydy

dx

(9)


y

yxyxy

y

kxyy

kxdy

kyxCdy

kyyx

0000

0000

)(

ln1

lnln111

)(

ou seja

)(

00

0

0)(lnxxk

eyyxxky

y para x R


akydx

dy




18

Cakyk

x

dxdyaky

dxdyaky

ln1

1

1

Portanto

k

ayea

kyeaky CxkCxk

1 )()(

Neste caso k




o grau

)( yxFdx

dy ou 0 NdyMdx













CdyyQdxxP )()(

Exemplos



19

1) 13 xdx

dy

2) 0 xdyydx

3) 04

dyy

xxdx



20

5) 01)1( 222 dyxdxyx

6) xyx

y

dx

dy

)1(

12

2

7) 2

2

1

1

x

y

dx

dy


21





)(


diferenciais

2) 01

dx

dytgy

x

3) 0)1(4 22 dyxdxxy

4) 0)3()2( dyxdxy

5) 0)1( 2 dyxxydx

6) 42

2

x

e

dx

dy y

7) 0)1()1( 3232 dyxydxyx

8) dx

dyxyy

dx

dyxa

2


10) (x2 + a

2)(y

2 + b

2)dx + (x

2 ndash a

2)(y

2 ndash b

2)dy = 0

11) 0)1( ydxdyx

12) 0)1( 2 xydxdyx

13) 0cos xydx

dy

14) xydx

dycos3

15) 0)2(324

dyeydxxyx

Respostas


nuacutemero real

2) x cos y = C

3) Cy

1)1xln(2 2

4) (2 + y)(3 ndash x) = C

5) C y2 = 1 + x

2

6) C2

xarctge y2

7) Cy

1

x

1

2

1

y

xln

22

8) y

y

k

a a

ex

ln

2

9) tg x tg y = C

10) Cb

yarctgb2y

ax

axlnax


12) Cx1y 2

13) senxe

Ky

14) senxCey 3

15) Cy

6

y

9)1x3(e

3

x3

1)0(42 yydx

dy


22

AULA 4






Exemplos




2) 4y

x)yx(g

2

2


)yx(ft4y

xt4

y

x4

yt

xt4

)ty(

)tx()tytx(g 0

2

20

2

2

22

22

2

2

3) f(xy) = 2x3 + 5xy




x

y1fx)yx(f n e

1

y

xfy)yx(f n


Exemplo


x

y1fx

x

y

x

y31x

x

y

x

y31x)yx(f 2

22

2

22

1

y

xfy1

y

x3

y

xy1

x

y3

y

xy)yx(f 2

22

2

22




Exemplos

1) xy

yx

dx

dy 22

2) 2

2

y

xy

3)

x

yarctgy


23



Tem-se

N

M

dx

dy



x

yF

dx

dy (1)


variaacuteveis


y por u

xuy (2)


dx

duxu

dx

dy

(3)


x

dx

uuF

du

uuFdx

dux

uFdx

duxu

)(

)(

)(


Em resumo




separaacutevel


24

Exemplo

02)( 22 xydydxyx


25





3) (x2 + y

2) dx + (2x + y)y dy = 0

4) (x + y) dx + (y ndash x) dy = 0

5) (x2 + y


6) 044

2

2

2

2

dx

dyyxy

dx

dyy




3

1)1(y

Respostas

1) y2 + 2xy ndash x

2 = K

2) Kyyxx 22 422

3) y3 + 3xy

2 + x

3 = k

4)

Cx

yarctgyx

ou

x

yarctgyxC

22

221

ln

ln

5) 2

2

2 x

y

kex

6) Cxyx 23 22

7) xxy8

31

8) 1xy9x2 23


26

AULA 5






222

111

cybxa

cybxaF

dx

dy





eixos



11

ba


Resoluccedilatildeo

Seja o sistema (1)

0

0

222

111

cybxa



dvdyvy

dudxux


27





22222

11111

cbavbua

cbavbuaF

du

dv


vbua

vbuaF

du

dv

22

11


Exemplo


132

yx

yx

dx

dy


28


11

ba





Como 22

11

ba


escrever

2221 baba 1

2

1

2

b

b

a

a

(1)


1

2

1

2

1

2

c

cm

b

b

a

a

12

12

mbb

maa

Assim

211

111

)( cybxam

cybxaF

dx

dy


)(1

1

1

xatb

y


1

1

1a

dx

dt

bdx

dy


2

11

1

1

cmt

ctFa

dx

dt

b

)(11 tGbadx

dt



29


12

yx

yx

dx

dy


30




3) 0dy)8y5x(dx)xy3(

4) 0dy)2y3x2(dx)1y3x2(

5) yx1

y3x31

dx

dy

6) 0dy)1y6x2(dx)3y3x(

7) 2y4x3

1y3x

dx

dy

Respostas


2 + 2y = K


3) k212x

)4y(5arctg2)12x()4y)(12x(4)4y(5ln 22

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y ndash 7) + C

5) 3x + y + ln(x + y -1)2 = K

6) x - 2y + 7ln(x - 3y - 10) = C

7) x2 - 4y

2 - 6xy - 2x + 4y = K


31

AULA 6





x

N

y

M



dyy

udx

x

udu

(2)


)( yxMx

u

(3)

e

)( yxNy

u

(4)



)()()( ygdxyxMyxf

(5)


)()(

ygy

dxyxM

y

f

(6)


)()()(

yxNygy

dxyxM


1

)()()( Cdy

y

dxyxMyxNyg

(7)


Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf

)(

)()()(


Cdy

y

PNMdxyxU )(



32

Exemplos

1) 02)( 22 xydydxyx

2) 0)23()12( dyyxdxyx


33


1) (x3 + y

2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0

2) ey dx + ( xe

y ndash 2y) dy = 0

3) 2xy dx + x2 dy = 0


5) 0)( 22 drrdre

Respostas

1) Ksenyxyx

24

4

2) Cyxe y 2

3) x2y = K

4) coshxcosy = K

5) Kre 22


34

AULA 7



N

y

M




u

e NF

dy

u


FMy

Fx

NN

x

FF

y

MM

y

F



x

NFN

x

F

y

MF


x

N

Nx

F

Fy

M

N

111

x

N

Ny

M

Nx

F

F

111

x

N

y

M

Nx

F

F

11

reescrevendo dxx

N

y

M

NdF

F

11


dxxRexF

)()(

onde

x

N

y

M

NxR

1)(


dyyReyF

)()(

onde

x

N

y

M

MxR

1)(


35

Em resumo


N

y

M




F(x) F(y)

x

N

y

M

NxR

1)(

x

N

y

M

MyR

1)(

dxxR

exF)(

)(

dyyR

eyF)(

)(

Exemplos


integrante

1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0


36

2) (x2 ndash y

2) dx + 2xy dy = 0







2)1(y

5) 0xdy2dx)xy( 2

6) 0xdylnxdx)yx(

7) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

Respostas

1) x2 cos y + x

4 = C

2) Ctgyex 2

3) Ceseny x

4) xxy 32

5) k5

x2xy2

25

6) kxlnyx

7) Kyxx 22


37

AULA 8



o grau tem a forma

)()( xQyxPdx

dy

(1)



desse tipo a saber




nosso problema

QPydx

dy


0)( dydxQPy



0 dyedxQPyePdxPdx


QPyeMPdx

e

Pdx

eN


Pdx

Pey

Me

Pdx

Pex

N



38

Exemplo1


y

dx



39







dx

dZt

dx

dtZ

dx

dy (2)


QPZtdx

dZt

dx

dtZ

Qdx

dZtPt

dx

dtZ

(3)








eeey Fazendo

Cek temos Pdx










dZt

obtemos Qdx

dZke

Pdx

Daiacute Qekdx

dZ Pdx1

e Qdxek

dZPdx


1




40


ZPdx

1


ldquoZrdquo

CQdxek

keyPdxPdx 1


CdxQeeyPdxPdx

(8)


Exempo 2


y

dx

dy por Lagrange


41


1) 0cot

x

x

x

y

dx

dy

2) xydx

dyx arctan)1( 2

3) xyxdx

dycostan

4) xx

y

dx

dy

5) 32

xx

y

dx

dy

6) xxydx

dysintan


xydx

dy

cos

1tan


dy

Respostas

1) Cxx

y )ln(sin1


3) xCxxy sec2sin4

1

2

11

4) 2xCxy

5) 2

4

6

1

x

Cxy

6)

C

xxy

2

sinsec

2

7) x

xy

cos

8) 2xe

2

7

2

1y


42

AULA 9


LINEARES






nyxQyxP

dx

dy)()(

(1)



EDO linear

Pois se



Soluccedilatildeo




dx

dt

dx

dyyn n )1(

(2)


nQyPy

dx

dy PyQy

dx

dy n

em (2) temos

dx

dtPyQyyn nn )1(

dx

dtPyQn n 11

2




43

Como ty n 1 temos

dx

dtPtQn ))(1(

QntPndx

dt)1(])1[(


Exemplo

232

xyx

y

dx

dy


44


1) 33 yxxy

dx

dy

2) xyydx

dyx ln2

3) 33 yxy

dx

dyx

4) yxyxdx

dy

4

5) 02 2 xydx

dyxy

6) 3xyxy2

dx

dy

7) 2xyy

x

1

dx

dy

Respostas

1) 2

1

1

2 xeCxy

2) Cxex

y

)ln(

1

3) 12 2223 yxCyx

4)

2

4 ln2

1

Cxxy

5) x

Cxy ln2

6) Ke

ey

x

x

2

2

2

22 2

7) Cxx

1y

2


45

AULA 10



)()()( 2 xRyxQyxPdx

dy

(1)





Resoluccedilatildeo



zyy 0 (2)



RQyPydx

dy 0

2

0

0

(3)


dx

dz

dx

dy

dx

dy 0

(4)


RzyQzyPdx

dz

dx

dy )()( 0

2

0

0


RQyPyzQPyPzdx

dz

dx

dy 0

2

00

20 )2( (5)








46


2

0)2( PzzQPy

dx

dz (6)


Em resumo




Exemplo


dyx

e



47



2

x

y

x

y

dx



2) Mostrar que x

y1


2 2

xy

dx


geral


dy calcular a



121 2

xy

xy

xdx


particular



particular

Respostas

1) 1

34

5

Kx

xKxy

2) kx

x

xy

3

231

3) Cxe

Cxey

x

x

)1(

)2(

4) 2

322

xk

xxkxy

5) 1

2

x

x

Ce

Cey


48

AULA 11





diferencial










49







0)(

0)(

yxf

yxf

(1)



Exemplo


a 5


50



0

dx

dyyxF


geral

particular





original



0

dx


0

0

dx



Exemplo


22

x

dx

dyx

dx

dyy


51



a)

1

4 2 xy

b) 0)2(2 222 yyx


2

2

y

dx

dyy


2

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

1) a ) xy 273

b) 042 yx

2) 1y


4



52

AULA 12



dx

dy

dx

dyxy

Resoluccedilatildeo

Chamando pdx

dy



dx

dppp

dx

dpx

dx

dy)(1

0)( pxdx

dp (2)

0dx

dp Cp



De (2) tem-se

0)( px (3)

xp )(


singular

Exemplos



53


0

2

y

dx

dyx

dx

dy




Clairaut

a dx

dy

dx

dyxy ln

b

2

3

dx

dy

dx

dyxy

c 01

23

dx

dyy

dx

dyx

d 045

y

dx

dyx

dx

dy

e 2

4

dx

dy

dx

dyxy

Respostas

a ClnCxy (geral)

xln1y (singular)

b 2C3Cxy (geral)

y12x2 (singular)

c 2C

1Cx (geral)

23 x27y4 (singular)

d 04)xCy5(C (geral)


e 2C4Cxy (geral)

2

222

x1

)x1(4y

(singular)


54

AULA 13



dx

dy

dx

dyFxy

(1)


dx

dy

dx

dyF

Resoluccedilatildeo


Chamando pdx



dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(

dx

dpp

dx

dppxFpFp )()()(



)(

)(

)(

)(

pFp

px

pFp

pF

dp

dx


QPxdp

dx



)(

)(

pyy

pxx


55

Exemplo


2

1

dx

dyx

dx

dyy


56



a)

2

24

dx

dyxy

b)dx

dy

dx

dyx lnsin


57


1) dx

dy

dy

dxxy

2)

dx

dydx

dyxy

12

3)

2

dx

dyx

dx

dyx2y

4)

2

dx

dy1

dx

dyy

5) dxdy

edx

dyy

2

6) dx

dy

dx

dyy ln2

2

7)

dx

dy2

dx

dyy

e

22

x

Respostas

1)

pCppp

y

Cppp

px

1ln1

1

)1ln(1

2

2

2

2

2)

2

ln

ln2

p

Cpx

p

Kpy

3)

Cp

Cy

p

Cx

2

2

4)

cppx

ppy

arcsinln

1 2

5)

p2

pp

epy

cpeex

6)

cp

2p2x

pln2py 2

7)

cy

pyp

p

pyx

arctanln

2ln

22

22


58

AULA 14



1) 0)2(3 dyyxydx

2) 02

dyyexdx x

3) 0)1( 2 dxydyx


5) )yxcos(dx

dy


7) dxyxydxxdy 22


9) 0)2( dyxxyydx

10) 0)52()42( dxyxdyyx

11)342

12

yx

yx

dx

dy

12) 0)139()23( dyyxdxyx

13)

01

2)cos()cos(

dy

yxxyxdx

x

yxyy

14) 0324

22

3

dy

y

xydx

y

x

15) 0)46()63( 3222 dyyyxdxxyx

16)yxy

xyx

dx

dy2

2


18)




20) dxexydxxdy x2

21) 02 xdyydxdyy

22) 0)ln( 3 dyxydxx

y


0 xeydx

dyx

24) 0)32(2 dyxydxy

25)22

2y

x

y

dx

dy

26) dxyyxdy )1( 2

27)22)1( xyxy

dx

dyx



dx




equaccedilotildees

29)

2

dy

dx

dx

dyxy

30)

2

1

dx

dy

dx

dyxy

31)dx

dy

dx

dyxy

32)dx

dy

dx

dyxy sin


33)

dx

dyx

dx

dyy 2

2

1

34)

2

2

dx

dy

dx

dyxy


59

Respostas

1) )ln(126 2 Cyxy

2) 22 2

Cey x

3) 1)1(ln xCy

4) Cyx secsecln


6) Cyyxx 323 32

7) 222 yxCxy

8) CX

yxy )ln(

9) Cyy

x ln

10) )3()1( 3 yxCyx

11) Cxyyx 48)584ln(

12) )126ln(62 yxCyx

13) Cyxyxy ln2)sin(

14) Cyy

x

13

2

15) Cyyxx 4223 3

16) Cyyx 222 )1(

17) Cxyyx cos

18) Cx)-y(2secysecx

19) 1cos2 xeyx

20)xxeCxy

21) Cyxy 2

22) Cyyx 3ln2

23)x

eabey

ax

24)y

Cyx12

25) 0122 xyyCx

26)2

22

xC

xy

27)

11

12

xC

y

28)1

2

x

xxx

Ce

eCeCey

29)

23

2

4

27

1

xy

CCxy

30)

2

2

2

1

)1(

1

x

xy

CCxy

31) CCxy


32)21arccos

sin

xxxy

CCxy

33)

221

21

2(6

1

)(3

1

pCpy

pCpx

34)

p

pCy

pp

Cx

3

2

3

2

3

3

2


60

AULA 15


MATEMAacuteTICOS













A seguir






















61






futuro








expressa por

kxdt

dx 00

)( xtx ktexx

0

(1)






dS a qual


Exemplo





62

Resoluccedilatildeo

x(to) = x0

x(t1) = 2

3xo

kdtx

dx

kxdt

dx


kdtx

dx

lnx = kt + c

lnx ndash ln c = kt

lnc

x= kt

ekt =

c

x

x = cekt


0x

cex

0

00


kt0exx


3x0

40550k

k2

3ln

e2

3

exx2

3

k

1k00


t40550

0

kt0

exx

exx



63

70922t

0986121t40550

t405503ln

e3

exx3

t40550

t4055000


63 MEIA VIDA









AKdt

dA (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA kteAA 0

Exemplo




Resoluccedilatildeo

000

0

A999570A000430A15t

A0t


kAdt

dA

kdtA

dA

ln A = kt + c

ktc

Aln

kte

c

A

A = cekt


64


0

00

k00

Ac

ceA

ceA

0t


A(t) = A0ekt

A(15) = A0e15k

A(t) = 2

0A

099957 A0 = A0e15k teAtA

51088672

0 )(

Ln099957 = ln e15t 000028670

0

0 2

eAA

-000043 = 15 k te 000028670

2

1

K = - 2866710- 5

-06931 = - 000002867t

t = 24180

t 24180 anos


t10866720

0

5eA)t(A

2

A)t(A


3717924t

t1086672693150

t108667250ln

e50

eA2

A

5

5

t1086672

t10866720

0

5

5



65









AKdt

dA (2)

























5600 anos



Turim




66

Exemplo



Resoluccedilatildeo

A(t) = A0ekt

5600

0

0 2

keAA

ke5600ln2

1ln

5600k = - 06931

K = - 0000123776


A(t) = A0e- 0000123776t

teAA 0001237760

00 100

1

te 0001237760ln

100

1ln

- 0000123776 t = - 69077

t = 55808


66 RESFRIAMENTO







)TT(Kdt

dTm (3)

mkt TceT




67

Exemplo




Resoluccedilatildeo

T(0) = 3000F )( mTTk

dt

dT

T(3) = 2000F )70( Tk

dt

dT

T() = 750

kdt

T

dT

)70(


ktc

T

70(ln

c

Tekt 70


70 ktecT


T(0) = 3000

300 = Cek0

+ 70

C = 2300

Logo

T = 230ekt + 70


200 = 230e3k

+ 70

230 e3k

= 130

230

1303 ke

230

130lnln 3 ke

1901816190k

5705448580k3


70e230)t(T t190180

]


7023075 190180 te

230

7075190180 te

- 019018t = ln230

5

t = 2013



68

67 MISTURAS









se RR

dt

dA

sal de

saiacuteda de Taxa

sal de

entrada de Taxa (4)



salde

entrada de taxa

entrada de fluxo no


salmourade

entrada de Taxa

e





min100

300

min)3(

sal de

saida de taxa



salmoura de

saiacuteda de Taxa

lbA

gallbA

galRs


100

6A

dt

dA (5)

Exemplo





69

Resoluccedilatildeo

100

100100

100100

600

600

6

6100

1

1006

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

Adt

dA

A

dt

dA

Para 50)0(A temos

550

60050 0

C

eC


100550600t

eA




(300 gal)(2lbgal) = 600 lb








gallb

t

AgalRs

300min)2(


t300

A26

dt

dA

ou 6A

t300

2

dt

dA

t(min) A(lb)

50 26641

100 39767

150 47727

200 52557

300 57262

400 58993


70


27 )300)(10954(2600)( tttA






2

2










ghAdt

dVh 2 (6)





dhA

dt

dVw



ghA

A

dt

dh

w

h 2 (7)




71

Exemplo




Resoluccedilatildeo


Logo tem-se que


(1)




pura no tanque


72








kxydt

dx (8)





)1( xnkxdt

dx (9)


Exemplo






Resoluccedilatildeo








73

(

)

Integrando

int

(

) int

int

int int

(

)

(

)


Entatildeo




74

610 CORPOS EM QUEDA














mgdt

sdm

2

2

ou gdt

sd

2

2

(10)










gdt

sd

2

2

0)0( ss 0)0( vs (11)





2

2

1)( stvgtts

Exemplo







75

Resoluccedilatildeo


sentido para baixo


dvg


cgtv

gdtdv

gdtdv



cgt

tx

tdtgdx

gtdtdx

gtdt

dx

2)(

2


)(2gt

tx


1002gt


st

t

5420

2

10100

2


76













oposta ou para cima




dt




instante t

kvmgdt

dvm (12)



dsv e

2

2

dt

sd

dt



dt

dskmg

dt

sdm

2

2

ou mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

(13)


77

Exemplo






Resoluccedilatildeo







dt


gvm

k

dt

dv (1)


mgcev

tm

k

Em t=0

v=v0 logo k

mgcev m

k

0

0 ou

k

mgvc


k

mgce

k

mgvv

tm

k

0


78



(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)












79

Peso da corrente


Massa da corrente

m = Wg = L 32


xpxL

xL

F 222

Uma vez que Famdt

xda

2

2

torna-se

x

dt

xdL

2

32 2

2

ou (14)

064

2

2

xLdt

xd

Exemplo





6219 LP e

Resoluccedilatildeo

(

) (

)

Sendo frasl

Como

Sendo


80












voltagemdequeda


Indutor

2

2

dt

qdL

dt

diL

dt

diL

dt

dqRiR

iR

R

voltagemde queda


Resistor

q

c

fC

1 voltagemde queda


Capacitor


ordem

)(1

2

2

tEqcdt

dqR

dt

qdL


81





)(tERidt

diL






)(1

tEqC

Ri



)(1

tEqCdt

dqR

Exemplo



Resoluccedilatildeo


diL Para i(0) = 0


1 i

dt

di ce0

5

60


di

5

6c



82

Logo

tdtPdt 2020 tei 20

5

6

5

6

cdxeei tt 242020

ceei tt 2020

20

24

cei t 20

5

6










t Use E = 30 V




corrente i(t)







triplicaraacute





30 anos





instante t



83














trecircs anos




















15ordmF











84




















instante t



















instantacircnea


85





abre o paraquedas




0C













RESPOSTAS

1) tetI 355)(

2) tei 2510

3) tcei 500

5

3 e 5

3)(lim

ti

t

4) tceq 50

100

1 onde 100

1C e

tei 50

2

1

5) tceq 200

1000

1

tcei 200200


86

500

1C


ampi 14720)0050(

1000

1q

6) 792 anos

7) x0 = 660066 e N(10) = 2639604

8) N(30) = 760

9)

10)

11)

12) 1155

13) R$ 927143

14)

15) t = 11 horas

16) t = 13672 horas

17) 885 gramas

18) 15600 anos

19) T(1)= 3666ordmF e t = 306 min

20) t = 60 min


22) rkpdt

dP rkp

dt

dP

23) 2

21PkPk

dt

dP

24) )1000( xkxdt

dx

25) 100

A

dt

dA


27) hc

dt

dh

450

28) 2kvmg

dt

dvm

29) 70ms



31) A(t) = 200 ndash 170 e-t50

32) A(t) = 1000 ndash 1000 e-t100

00975 lbgal

33) 6438lb


87

AULA 16


ORDEM SUPERIOR


ByAdx

ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0





onde







isto eacute ctexhxy

xy )(

)(

)(

1

2


fundamental)

Exemplo

y + y = 0


y2(x) = cos(x)

ctexx

x

xy

xy )tan(

)cos(

)sin(

)(

)(

1








cte)x(h)x(y

)x(y

1

2

)()()(12

xyxhxy


88




a) 0y9xy5yx2 com 3

1 x)x(y

b) 0y3yx4 2 com 21

1 x)x(y

c) 0y4

1xxyyx 22

com xcosx)x(y 2

1

1

Respostas

a xlnx)x(y 32

b 2

x)x(y

23

2 c senxx)x(y 21

2


89

AULA 17


CONSTANTES


ydA

dx

ydA

dx

ydA n2n

2n

21n

1n

1n

n

0

onde A0 A1 A2An

satildeo constantes

Resoluccedilatildeo


dyA 10

yAdx

dyA 10

dxA

A

y

dy

0

1

CxA

Ayln

0

1

CxA

A

0

1

ey

C

xA

A

eey 0

1

Chamando 0

1

A



0bydx

dya

dx

yd

2

2



xλey

xλeλy

xλ2eλy


0e)bλaλ(

0beeλaeλ

xλ2

xλxλxλ2


90





xλ

11ey

xλ

22ey


xλ2

xλ1

2211

21 eCeCy

yCyCy


xλ

nxλ

3xλ

2xλ

1n321 eCeCeCeCy



xey 2



2

x

x

e

e

y

y

constante




xλ2xλxλ2

xλxλ2

xλ2

12

heλehλ2ehy

heλehy

ehy

)x(y)x(h)x(y



Reordenando

0)()2( 2 hbahahe x


Entatildeo

KCxh

Ch

h

0

Logo

xeKCxy

yhy

)(

2

12


91


xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

221

21

2211

)(

)(


temos

x

xx

exCCy

xeCeCy

)( 21

21


xλ1nn

2321 e)xCxCxCC(y




bix2

bix1

ax

bixax2

bixax1

x)bia(2

x)bia(1

eCeCey

eeCeeCy

eCeCy


θisenθcose

θisenθcose

θi

θi

Com isso

senbxCCibxcosCCey


2121ax

21ax

Fazendo

C1 + C2 = C1

i(C1 ndash C2) = C2

temos

senbxCbxcosCey 21ax


92

Exemplos

1) 036132

2

4

4

ydx

yd

dx

yd




93


1) 065 yyy

2) 01243 yyyy

3) 022 yyy com 1)0( y e 02

y

4) 025 yy com 0)0( y e 20)0( y

5) 02 yyy com 4)0( y e 17)0( y

6) 09 2 yy

7) 069 yyy com 4)0( y e 3

13)0( y

8) 02 2 ykkyy

9) 028 yyy com 20)0( y e 3250)0( y

10) 0344 yyy com ey )2( 2

)2(e

y

11) 0127 yyy

12) 054 yyy

13) 075 yyy

14) 02 yyy

Respostas

1) xx eCeCy 3

22

1

2) xxx eCeCeCy 2

33

22

1

3) xey x cos

4) xx eey 55 22

5) xx eey 273

6) xπ3

2xπ3

1 eCeCy

7) 3

xe)x34(y

8) kx

21 e)xCC(y

9) 2

x4

xe50e30y

10) x50ey

11) x4

2x3

1 eCeCy


x21

13)

2

3xsenC

2

3xcosCeCy 32

2

x5

1

14)

xexCCy )( 21


94

AULA 18

72 EULER - CAUCHY


ByAdx

dybaxA

dx

ydbaxA

dx

ydbaxA

n

n

n

n

012

2

2

2)()()(


teabax



02 byaxyyx

Faremos

y = xm

yrsquo = mxm-1

yrdquo = m(m-1)xm-2



m = 0

como y(x) = xm




21

21)(mm

xCxCxy


)xln(xCxC)x(y m2

m1

mxxCCxy ))ln(()(

21



xbCxbCxxy a


95

Exemplos

012)12(2)12(2

2

2 ydx

dyx

dx

ydx

0222 yxyyx


96


1) 0202 yyx

2) 06)1(18)1(9)1( 23 yyxyxyx

3) 04324610 2 yxyyx

4) 02 yxyyx



Respostas

1) 5

24

1 xCxC

2) 3

32

21

)x1(

C

)x1(

C

1x

Cy

3) 81

21 x)xlnCC(y


5) 25

x)xln2(

6) xlnx3 2


97

AULA 19


10

00

)(

)(

)()()(

Kxy

Kxy

xryxqyxpy

IVP



yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x)



)()()( xyxyxy ph










xαke xCe

)10n(kxn

011n

1nn

n CxCxCxC

xαKsen


xβsenke

xβcoske

xα

xα


obs


o

coluna




98

Exemplo

0)0(

1)0(

2 2

y

y

xeyyy x


99


1) xsenyy 34

2) 325102 2 xyyy

3) xseneyyy x 53712352 5

4) 1265 2 xyyy

5) xyy 314

6) 1232 2 xxyy

7) xeyyy 3127

8) xeyyy 28107

9) xeyyy 2844

10) xeyy 434

11) xsenyyy 2334

12) x4sen8dx

yd4

dx

yd

2

2

4

4

13) xsenyy 2124

14) senxyy 4

15) senxydx

yd

dx

yd42

2

2

4

4


4)0( y e 8)0( y

17) xeyy x 24 2 para 0)0( y e

0)0( y

Respostas

1) x3sen5

1x2Bsenx2cosA

2) xx2

5)x3senCx3cosC(e 2

21x


x71

4) 27

5

9

x5

3

xeCeCy

2x3

2x2

1

5) 4

xx

8

3eCeCCy 2x2

3x2

21

6) 8

x3

12

x

8

xeCxCCy

234x2

321

7) xx4

2x3

1 e20

3eCeCy

8) x2x5

2x2

1 xe3

8eCeCy

9) x22x2

2x2

1 ex4xeCeCy

10) x4

21 e20

3x2senCx2cosCy

11) )x2cos8x2sen(65

3eCeCy x3

2x

1

12) 40

x4seneCeCxCC x2

4x2

321

13) x2cos4

3eCeCCy x2

3x2

21



xy 4321

2

16) 424 xey x

17) xxx xexeey 222

4

1

2

1

16

1

16

1


100

AULA 20




yn + Pn-1(x)y






Onde

dxxW

xrxWu

)(

)()(11 dx

xW

xrxWu

)(

)()(22 dx

xW

xrxWu n

n)(

)()(


)()(

11

2

1

1

2

1

21

21 xW

yyy

yyy

yyy

yyyW

n

n

nn

n

n

n



11

2

2

2

1

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

11

1

1

1

2

1

0

0

n

n

n

n

n

yy

yy

yy

W

1

0

0

1

2

1

1

2

1

21

nn

n

yy

yy

yy

W


n natildeo se



u(x)y1(x) + v(x)y2(x)

onde

dx)x(w

)x(r)x(y)x(u 2 e dx

)x(w

)x(r)x(y)x(v 1



101



102




3cosx


-4


2 ndash 15x

3



4lnx


7) 1x2x3dx

yd4

dx

yd 2

2

2

4

4



Respostas

1) 9

260x

3

65eCeCy x

2x3

1

2) xcosxxCxCy 221

3) 432

21 x

2

1xcxcy

4) 3

)xx(xCxCy

322

3

22

1

1

5)

6

11xln

6

xxCxCxCy

43

32

21

6) x13

121 exxCxCCy

7) 8

x

8

x

12

x

16

xeCeCxCCy

234x2

4x2

321

8) xx23

x22

x1 e2eCeCeCy

9) 4

x5

4

xeCeCCy

2x2

3x

21


103

AULA 21






dx

dD

2

22

dx

dD

3

33

dx

dD

7332 Propriedades




P3Dm

(Dn

u)=Dm+n



dxueeu

aD

axax 1

a


du a



Exemplo

ay + by + cy = g(x)


(aD2 + bD + c)y = g(x)


1nn

n ADADADAL com


1nn

n ArArA


Exemplo


0y)2D( 2


104






polinocircmio 1n

1n2


potencia de )D(x n


Soluccedilatildeo


0)x8x51(D 324




Soluccedilatildeo




Vamos verificar

0e12e12e12De6)e6)(2D(


]xe12)xe(D6e8)e4(D)[2D(

)xe6e4)(2D)(2D()xe6e4()2D(

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2x2

x2x2x2x2

x2x2x2x22




xα1nxα2xαxα

xα1nax2xαxα


Soluccedilatildeo

5D2D)]41(D)1(2D[

1n01n2β1α

212


105

Vamos verificar







xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xxx2x2





zero

221

zero

1122121

2211212121

)y(LL)y(LL)yy(LL

)y(LL)y(LL)yy(LL


Soluccedilatildeo



Logo

0)x3sen6x7)(9D(D 22



1nn

n ADADADA





nuacutemeros reais






0)y(L


106











2

ydx

dy

dx

yd

2) 0442

2

ydx

dy

dx

yd


2

2

x4y2dx

dy3

dx

yd


107


108




2) senxydx

dy

dx

yd 65

2

2

3) senxeydx

dy

dx

yd x 232

2

4) (D3-16D)y=e

4x + 1

5) (D2 ndash 7D+12)y = 5e

3x

6) (D3 ndash 3D + 2)y = xe

-2x

7) xx eeyDD 23212

8) 142 xyD

9) x32 ey6D5D

10) senx4e8y3y x3

11) xey

dx

yd 2

2

Respotas

1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xcos10

1senx

10

1eCeCy x3

2x2

1

3) senxxcos2

eeCeCy

xx2

2x

1

4) 16

xe

32

xeCeCCy x4x4

3x4

21

5) x3x4

2x3

1 xe5eCeCy

6) x2

2x2x2

3x

2x

1 e18

xe

27

x2eCxeCeCy

7) xx2x2xx e

6

1ex

2

3CeBxeAey

8) 4

1

4

xBeAey x2x2

9) x3

2x2

1x3 eCeCxey

10) senx5

2xcos

5

6xe

3

8eCCy x3x3

21

11) 2

xeeCeCy

xx

2x

1


109

AULA 22



1) xsenxedx

dy

dx

yd x 2234 2

3

3

2) xex

dx

dy

dx

yd

dx

yd 2

2

2

3

3

3265

3) 13 2

2

2

xesenxydx

yd

4) 1284 2

2

2

xxydx

yd

5) 222

2

3

3

xdx

dy

dx

yd

dx

yd

6) 1234 3

2

2

4

4

xxdx

yd

dx

yd

7) xey

dx

dy

dx

yd 3232

2

8) xey

dx

yd 2

2

2

44

9) xey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

344

10) xey

dx

dy

dx

yd22

2

2

11) senxydx

dy

dx

yd223

2

2

12) xdx

dy

dx

ydcos34

2

2

13) xsenydx

yd2316

4

4

14) xydx

yd2cos54

2

2

15) 52 2

2

2

xedx

dy

dx

yd

16) xxey

dx

dy

dx

yd 2

2

2

44

17) xeydx

dy

dx

yd x 2cos8822

2

18)

2244 2

2

2 xey

dx

dy

dx

yd x

19)

20)

21)

senxy

dx

yd 12

2

22) xyxyyx 3222

23) )1ln(6)1(18)1(9)1(2

22

3

33 xy

dx

dyx

dx

ydx

dx

ydx

x

ey

dx

dy

dx

yd x

22

2

xy

dx

yd

cos

12

2


110

RESPOSTAS

1)

4

x2xsen

8

x

16

e3x2senCx2cosCCy

2x2

321

2)

2

3

18

5

6

223

3

2

21

xxx xe

xx

eCeCCy

3) 132

3 2

21 x

xx esenxeCeCy

4) 44

2 22

2

2

1 xxeCeCy xx

5)

4

5

4

22

321

xxeCeCCy xx

6)

848

5

80

3 2352

4

2

321

xxxeCeCxCCy xx

7)

2

2

21

xxx e

eCeCy

8) xxx xeeCeCy 22

2

2

1

9) xxx exxeCeCy 222

2

2

12

3

10) )( 2

21 xxCCey x

11) senxxeCeCy xx

5

1cos

5

32

21

12) )4(cos17

34

21 senxxeCCy x

13)

32

2cos322cos 43

2

2

2

1

xxxsenCxCeCeCy xx

14)

8

2cos52

2

2

1

xeCeCy xx

15)

22

5 22

21

xx xex

eCCy

16) xe

xxCCy 2

3

216

17) )22cos3(5

1

9

14

2

2

1 xsenxeeCeCy exxx

18)

8

1)( 22

21

xexxCCy x




22) xxxCxCy ln32

21

23)

36

11)1ln(

6

1

)1()1(1 3

3

2

21

xx

C

x

C

x

Cy


111

AULA 23























somente 25 peacute




2 ou 980

cms2

equiliacutebrio

Posiccedilatildeo

inicial

g

K(s+x)


112






kxksmgkxmgxskdt

xdm

zero

)(2

2

(1)






02

2

2

xdt

xd (2)

onde mk 2









=0 satildeo














113



Exemplo





Soluccedilatildeo





M = Wg = 232 = 116 slug


Logo (1) resulta em

xdt

xd4

16

12

2

0642

2

xdt

xd

2 = - 64

= 8i







tsenttx 816

18cos

3

2)(











que


114

dt

dxkx

dt

xdm

2

2

(4)




amortecido

02

2

x

m

k

dt

dx

mdt

xd (5)

ou

02 2

2

2

xdt

dx

dt

xd (6)

onde

m

2 e

m

k2


m2 + 2 m + 2 = 0


22

1 m e22

2 m





022

tmtm

eCeCtx 21

21)( (7)



022

tCCetx t

21)( (8)





115


022


tsenCtCetx t 22

2

22

1cos)(

(9)



Exemplos




para cima

Soluccedilatildeo



dt

dx2x4

dt

xd

4

1

2

2

01682

2

xdt

dx

dt

xd


X(t)= C1 e ndash 4t

+ C2te - 4t




X(t) = - 3te -4t





instantacircnea

Soluccedilatildeo





116

dt

dxx

dt

xd 5

2

12

2

01022

2

xdt

dx

dt

xd





tsentetx t 3

3

23cos2)(







)(2

2

tfdt

dxkx

dt

xdm (10)


)(2 2

2

2

tFxdt

dx

dt

xd (11)




Exemplo


dx21

dt

xd

5

1

2

2

com2

1)0(x

e 0)0(x


117

Soluccedilatildeo










01062

2

xdt

dx

dt




504cos

102

25)cos()( 21

3


tsentsenttetx t 451

504cos

102

25)

51

86cos

51

38()( 3






Exemplo


xd 0

2

2

2


constante e

)(

2

2

tfkxdt

xdm

Soluccedilatildeo



tsenFtsenBtAxx pp 0

22222 )(cos)(


FB

220

Logo

tγsen)γω(

F)t(x

220

p


118



F)t(x

220

com ωγ



)(2

2

tEC

q

dt

dqR

dt

qdL (12)





LR


LR

Subamortecido 042 C

LR


e portanto





Exemplos



Soluccedilatildeo


0400040

01000104

1

qqq

qqq





119

)603

160(cos)( 20

0tsenteqtq t




















)(2

2

xwdx

Md (13)


EIkxM )( (14)





120


23

2)(1

y

yk





4

4

2

2

2

2

dx

ydELy

dx

dEL

dx

Md (15)




)(4

4

xwdx

ydEL (16)







engastada x = 0









Engastada 0y0y

Livre 0y0y






121








gt0





nL ou2

22

L

n n = 1 2 3




4

2

2

2

2

2

2

LLL


sequumlecircncia 3

2

xL

senxL

senxL

sen





compressiva





Py

dx

ydEL

2

ou 02

2

Pydx

ydEL (17)


122



Exemplo



Soluccedilatildeo


0)(

0)0(

02

2

Ly

y

Pydx

ydEI






0)(

0)0(

0

Ly

y

yy



321 222 nLnEIPnn




1 LEIP chamada







carga critica 22



123

9213 Corda Girando


0 yy (18)






















12 TsenTsenF (19)





124



)()( xyxxyTF (20)





aproximada por

2 yxF (21)



2)()()( yxxyxxyT

ou (22)

yx

xyxxyT 2)()(


xyxxy

)()(em (22) eacute



ydx

ydT 2

2

2

ou (23)

02

2

2

ydx

ydT




125















9

4

6

8

12








considerando que



para cima




para cima





a) superamortecido


c) subamortecido






3t



f(t)=68e-2t


amortecimento


126





















periacuteodo









Respostas

1) 8

π2

2) t64cos4

1)t(x

3)

4) a)4

1

12

πx

2

1

8

πx

4

1

6

πx

2

1

4

πx

4

2

32

π9x


c)16

π)1n2(t

n= 0 1 2

5) a)t8t2 e

3

1e

3

4)t(x

b)t8t2 e

3

5e

3

2)t(x


127

6)

7) a) gt 52b) = 52 c) 0 lt lt 52

8) t3sent3cos3

10t

2

47sen

473

64t

2

47cos

3

4e)t(x 2

t


14

4

94cos

2

1)( 22

10) )sin13cos99099(500

1 27 tteex xx

11) ttttx 4cos4

14sin

16

14cos50

12) (

)

13) 41078C 00509s

14) q(t)=10+10e-3t

(cos3t+sen3t)

i(t) = 60e-3t

sen3t 10432 C

15) C2

3

2

3)t10sent10(cose

2

1)t(q t10

16)

17) radic radic


128

AULA 24










)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy










a um sistema normal




Exemplos

1)

senxxzdx

dy

senxxdx

dzy

cos

cos


129

2)

xzydx

dz

dx

yd

xdx

dz

dx

yd

22

3

2

2

2

2

2


130


1)

02

02

zdx

dz

dx

dy

zydx

dz

dx

dy

2)

x

x

ezydx

dz

dx

dy

ezydx

dz

dx

dy

2

5

32

4

3)

2

2

2

2

2

2

2

xzdx

zd

dx

dy

eydx

dz

dx

yd x

4)

03

42

zydx

dy

ezydx

dz

dx

dy x

5)

xzDyD

senxzDyD

cos)1()1(2

2)2(2)3(

Respostas

1)

x

x

eCeCy

eCeCz

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

ou

x

x

eCeCz

eCeCy

3

33

23

33

1

3

33

23

33

1

)32()32(

2)

xxx

xxx

eeeCy

eeeCz

252

5

1

252

5

1

25

2

5

3

3)

xexCsenxCeCeCy

xesenxCxCeCeCz

xxx

xxx

22

3cos2222

2

3

2

1

2

1cos

43

2

2

2

1

2

43

2

2

2

1

4)

x

x

esenxCCxCCz

esenxCxCy

2)3(cos)3(

2cos

2121

21

5)

senxxeCeCz

xsenxeCeCy

x

x

x

x

130

61cos

130

33

3

4

)cos8(65

1

5

23

1

5

23

1


131

AULA 25


Dado o sistema

)(

)(

)(

21

2122

2111

nn

n

n

n

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy

yyyxFdx

dy


n

n

F

dy

F

dy

F

dydx

1 2

2

1

1



)(

)(

2

1

zyxFdx

dz

zyxFdx

dy

(1)


321 F

dz

F

dydx

ou generalizando

)()()( zyxR

dz

zyxP

dy

zyxM

dx (2)


dois paracircmetros



se

nRmPlM

ndzmdyldx

R

dz

P

dy

M

dx


lM + mP + nR = 0

o que faz com que

ldx + mdy + ndz = 0


132




Exemplos

1)x

dz

x

dy

y

dx

2)zx

dz

yx

dy

zy

dx

2


133

3))()()( 222222 xyz

dz

zxy

dy

yzx

dx




1) cybx

dz

axcz

dy

bzay

dx

2) )()2()2( 444444 yxz

dz

xzy

dy

zyx

dx

3) yx2

dz

x3z

dy

z2y3

dx

4) z

dz

x

dy

y

dx

5) yx

dz

x

dydx

221

Respostas

1) x2 + y

2 + z

2 = C1

cx + by + az = C2

2) x4 + y

4 +z

4 = C1

xyz2 = C2

3) x2 + y

2 + z

2= C1

x + 2y + 3z = C2

4) x2 ndash y

2 = C1

zC2 = y + x

5) y = x2 + C1

z = 3

2x

3 + xy ndash x

3 + C2


134

AULA 26


ORDEM



dx


dx


dx

nnnm22n11nn

2nm22221212

1nm12121111


)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

)t(a)t(a)t(a

x

x

x

dt

d

nm2n1n

m22221

m11211

n

2

1

ou ainda

)t(FX)t(Adt

dX


homogecircneos

X)t(Adt

dX


XAX


tλeξX

temos

tλeξλX


0eξ)λA(

eξAeξλ

tλ

tλtλ


135


e autovetores

Exemplo 1


t10y3x4dt

dy

t2ey5x2dt

dx t


t10

t2eX

34

52

dt

dX t

ou

t10

2e

0

1X

34

52X t

onde

y

xX



)t(x

)t(x

)t(x

X

n

2

1


)t(FX)t(Adt

dX

no intervalo

Exemplo 2

Verifique que

t2

t2t2

1e

ee

1

1X e

t6

t6t6

2e5

e3e

5


X35

31X

no intervalo )(

Soluccedilatildeo


136

Temos

t2

t21

e2

e2X

e

1t2

t2

t2t2

t2t2

t2

t2

1 Xe2

e2

e3e5

e3e

e

e

35

31AX

Agora

t5

t612

e30

e18X

e

12t6

t6

t6t6

t6t6

t6

t6

2 Xe30

e18

e15e15

e15e3

e5

e3

35

31AX





)t(x

)t(x

)t(x

)t(X

0n

02

01

0

e

n

2

1

0

γ

γ

γ

X


00 X)X(tasujeito

)t(FX)t(Adt

dXResolver









comum I


137



X)t(Adt

dX


kk2211 XcXcXcX





Exemplo 3


102

011

101

X

eacute

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X1


tcoscsentc

tcosc2

1sentc

2

1

sentc

dt

dX

11

11

1

e

tcoscsentc

sentc2

1tcosc

2

1

sentc

sentctcosc

sentc2

1tcosc

2

1

tcosc

102

011

101

AX

11

11

1

11

11

1


Exemplo 4


102

011

101

X

Se

0

e

0

X t2 entatildeo

0

e

0

X t2 e

2tt

2 X

0

e

0

0

e

0

102

011

101

AX




138

0

e

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcX t212211




X)t(Adt



0XcXcXc kk2211








Sejam

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X




wronskiano

0

xxx

xxx

xxx

)XXX(W

nn2n1n

n22221

n11211

n21


139

Exemplo 5


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X


X35

31X



0e8e5e

e3e)XX(W t4

t6t2

t6t2

21

para todo t real

Exemplo 6


1 e1

1X

e

t62 e

5

3X



31X



entatildeo

t6

2t2

12211c e5

3ce

1

1cXcXcX








X)t(Adt


nn2211 XcXcXcX



140

Exemplo 7

Os vetores

tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

Xe

0

1

0

X

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

X 3t

21 satildeo

do sistema X

102

011

101

X

no exemplo 3 Agora

0etcossentsenttcos

senttcose

tcossent0senttcos

tcos2

1sent

2

1esent

2

1tcos

2

1sent0tcos

)XXX(W ttt321



tcossent

tcos2

1sent

2

1sent

ce

0

1

0

c

senttcos

sent2

1tcos

2

1tcos

cXcXcXcX 3t

21332211




sistema )t(FX)t(Adt

dX


X)t(Adt





dX em um


nn2211c XcXcXcX


141


dX correspondente


pc XXX




dX

Exemplo 8


6t5


homogecircneo

3

11t12X

35

31X no intervalo )(

Soluccedilatildeo

Temos

5

3X

p e

3

11t12

6t5

4t3

35

31

3

11t12X

35

31p

pX

5

3

3

11t12

2

14t12

3

11t12

)6t5(3)4t3(5

)6t5(3)4t3(

Exemplo 9


3

11t12X

35

31X em )( eacute

6t5

4t3X p



31X

eacute

t62

t21c e

5

3ce

1

1cX


65

43

5

3

1

1 62

21

t

tececXXX tt

pc eacute


3

11t12X

35

31X em )(


142


)t(FX)t(Adt




Seja

nn

n2

n1

n

2n

22

12

2

1n

21

11

1

x

x

x

X

x

x

x

X

x

x

x

X


dX em um

intervalo I

A matriz

nn2n1n

n22221

n11211

xxx

xxx

xxx

)t(



Exemplo 10


t

t

t

e

eeX

2

2

2

11

1 e

t

t

t

e

eeX

6

6

6

25

3

5

3constituem


35

31 em )(

tt

tt

ee

eet

62

62

5

3)(


Exemplo 12


c ececXcXcX 62

212211

5

3

1

1

dada no exemplo 6


2

1

t6t2

t6t2

c

c

e5e

e3eX






143

)t()t(A)t(

0)t()t(A)t(







t no intervalo

Exemplo 13


tt

tt

ee

eet

62

62

5



1121

1222

1112

21221

det

1

det

1

aa

aa

aa

aa

AA

T

que

tt

tt

tt

tt

t

ee

ee

ee

ee

et

66

22

22

66

4

1

8

1

8

18

3

8

535

8

1)(




1

0

0

0

1

0

0

0

1

00201

tVtVtV n





144

1000

0100

0010

0001

00

t


Exemplo 14


35

31

Soluccedilatildeo

Por tt ececXcXcX 6

22

122115

3

1

1



22

15

3

1

1


0

1

5

3

1

121 cc ou

05

13

21

21

cc

cc

Obtemos 8

51 c e

81


tt eeV 621

5

3

8

1

1

1

8

5


1

0

5

3

1

121 cc ou

15

03

21

21

cc

cc


31 c e

81


tt eeV 622

5

3

8

1

1

1

8

3

Dai


145

tttt

tttt

eeee

eeeet

6262

6262

8

5

8

3

8

5

8

58

3

8

3

8

3

8

5

)(

Observe que

10

01)0(





Por

1000

0100

0010

0001

00

t





Por 0

1 ttt



1)

y8x4dt

dy

y5x3dt

dx

2)

z3y4x10dt

dz

yx6dt

dy

z9y4x3dt

dx


146

3)

2ttzyxdt

dz

t3zyx2dt

dy

1tzyxdt

dx

2

2


4) te

1

1X

31

24X

5) t

1

1

3

e

2

2

1

z

y

x

652

143

211

z

y

x

dt

d t


6)

y7x4dt

dy

y4x3dt

dx

t5e

2

1X

7) 2t3

e2

1XX

114

11

X

8)

13

6

1

121

016

121

XXdt

dX



9) t6

2t2

1 e1

1Xe

1

1X

10)

4

4

2

t

12

6

3

X

4

2

1

X

2

2

1

t

4

2

1

X 321


147


dado

11)

18423

724

tyxdt

dy

tyxdt

dx

1

5

1

2tX

p

12) tt

p

t teeXeXX

1

1

1

1

7

1

43

12


011

101

060


t33

t22

t1 e

1

1

2

ce

1

1

3

ce

5

1

6

cX



t1

14) t7

2t2

1 e3

1Xe

2

1XX

56

14X

15) tt

2t

1 e1

0te

3

1Xe

3

1XX

29

14X


14


15


148

Respostas

1) 84

53 XX

onde

y

xX

2)

3410

016

943

XX

onde

z

y

x

X

3)

2

0

1

03

0

111

112

111

2

2

t

t

t

tXX onde

z

y

x

X

4)

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx

3

24

5)

tezyxdt

dz

tezyxdt

dy

tezyxdt

dx

t

t

t

2652

243

32




9) Sim

10) Natildeo




14)

tt

tt

t

tt

tt

ee

ee

et

ee

eet

22

77

9

1

72

72

2

3

5

1)(

32


149

15)

tt

ttt

t

ttt

tt

ee

teete

et

eee

teet

3

31

33

2

1

16)

tttt

tttt

eeee

eeeet

7272

7272

5

3

5

2

5

6

5

65

1

5

1

5

2

5

3

17)

ttt

tt

etete

tetet

39

3


150

AULA 27



X)t(Adt

dX


XAX


tekX

temos

tekX


0)(

t

tt

ekA

ekAek


e autovetores






t

nn

t

b

t

anekcekcekcX

21

21


151


yxy

yxx

2

32

Soluccedilatildeo


012

32

0)det(

IA

41

043

0622

0)1)(2(

21

2

2

e

Para 11 temos

0

0

22

33

0

0

)1(12

3)1(2

0)(

b

a

b

a

K

K

K

K

KIA

1

1

1

022

033

1K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba

Para 42 temos

0

0

2

32

0

0

412

342

b

a

b

a

K

K

K

K

2

3

2

2

3

032

032

2K


KKKK

KK

b

ba

ba

ba


ii eKx temos

tt eXeX 4

212

3

1

1


tt

tt

tt

eCeCy

eCeCx

eCeCy

x

XCXCX

4

21

4

21

4

21

2211

2

3

2

3

1

1


152




t

ekX 1

11

e t

ekX 1

12




Exemplo

Resolva o sistema

yxdt

dy

yxdt

dx

45

6

Soluccedilatildeo

045

16

0)det(

IA

2

525

2

410

2

11610010

02910

054624

05)4)(6(

2

2

i

i

Para i25 temos

ab

ba

b

a

b

a

KiK

KKi

K

K

i

i

K

K

i

i

KIA

)21(

0)21(

0

0

)21(5

121

0

0

)25(45

1)25(6

0)(


153

iKi

K


2

0

1

1

21

1

1

11

tt

tt

tt

tt

t

t

etsentCetsentCy

etsenCetCx

etsent

tsenCe

tsent

tCX

etsentCetsentCX

XCXCX

etsentX

etsentX

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

5

2

5

1

2221

5

2

5

1

)22cos2()222(cos

)2()2cos(

22cos2

2

222cos

2cos

21

12cos

2

02

2

02cos

1

1

21

12cos

2

0

22

02cos

1

1





t

ekX 1

11

tt

ektekX 21

212


para o sistema

t

m

tm

tm

mmeke

m

tke

m

tkX

21

)2()1(

2

2

1

1




PeKteX 11

2

()

Onde


154

nk

k

k

K2

1

e

np

p

p

P

2

1


0)()( 11

11 tt

eKPAPteKAK


KPIA

KIA

)(

0)(

1

1

Exemplos


zyxz

zyxy

zyxx

22

22

22

0

122

212

221

51

Re

0593

0593

012121733

0)1(1216133

0)1(4)1(4)1(488)1(

321

23

23

23

23

3

e


Para 11 temos

21

0|222

0|222

0|222 1

L

31

21

)2(

2

0|222

0|222

0|111

LL

LL

0|000

0|000

0|111

cba

cba

KKK

KKK


0

1

1

1K


155


1

1

0

2K



teX

0

1

1

1 e teX

1

1

0

2

Para 53 temos

31

21

21

)2

1(

0|422

0|242

0|224

LL

LL

32

12

)1(3

2

0|330

0|330

0|224

LL

LL

)1(

)4(

0|000

0|330

0|404

2

1

L

L

0

0

cb

ca

KK

KK

cb

ca

KK

KK


1

1

1

3K

ttt eCeCeCX 5

321

1

1

1

1

1

0

0

1

1


yxy

yxx

92

183

092

183

3

Re

096

0369327

036)9)(3(

21

2

2



156

Para 321 temos

ba

ba

ba

b

aKK

KK

KK

K

K3

062

0186

0

0

62

186

fazendo 1bK temos

1

31K


1 1

3

2

1

1

3

p

pPK

IPSLL

L

L

p

p

KPIA

KPIA

0002

131

2131

2131

2

6

162

3186

1

3

62

186

3

21

2

1

2

1

1

21

21

32

1

2

13

pp

pp

fazendo

02

10

2

121 Ppp

ttt

tt

eetCeCX

eetX

33

2

3

1

33

2

02

1

1

3

1

3

02

1

1

3


157


1) Resolva

z3ydt

dz

zy5xdt

dy

zyx4dt

dx

2) Resolver X21

82acuteX

3) Resolver X1

2

121

acuteX


yxy

yxx

3

4

5)

yxdt

dy

yxdt

dx

34

2

6)

yxdt

dy

yxdt

dx

22

5

24

7)

yxdt

dy

yxdt

dx

25

6

8)

yxdt

dy

yxdt

dx

32

5

9)

yxdt

dy

yxdt

dx

39

3

10)

yxdt

dy

yxdt

dx

53

3

Respostas

1) t53

t42

t31 e

1

8

1

ce

1

1

10

ce

1

0

1

cX

2)

t2sen

t2sen2t2cos2c

t2cos

t2sen2t2cos2cX 21

3) t

2t

1 etcos

sent2ce

sent

tcos2cX

4)

ttt etececX

1

1

1

2

1

221

5) tt ececX

1

1

2

12

5

1

6) tt ececX

5

2

1

22

3

1

7) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin2

sin

sincos2

cos

8) tt e

tt

tce

tt

tcX 4

2

4

1cossin

sin

sincos

cos

9)

414

1

3

1

3

121 tccX

10)

ttt etececX 22

2

2

10

31

1

1

1

1


158

AULA 28








Exemplos


41034

66

tyxy

tyxx


XX

XAX

34

16


034

16

0)det(

IA

72

0149

043618

0)3)(6(

21

2

2

e


Para 71 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

44


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

4

1

04

0

0

14

14

fazendo 4bK temos

4

12K


tt

tt

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

2

7

1

2211

2211

4

1

1

1

21


159


c

aX

dct

batX

t

ttf

p

p

410

6)(


cdbtca

adbtca

t

t

t

t

dctbat

dctbat

c

a

t

t

dct

bat

b

a

34)34(

6)6(

104

6

410

6

3344

66

410

6

34

16

7

107

242

7

4

62814

234

6318

6434

26

434

06

6

1262

662814

1034

18318

1034

66

d

db

bdb

db

db

db

db

cdb

adb

c

ca

aca

ca

ca

ca

ca

Logo

7

106

7

42

t

tX p


7

106

7

42

4

1

2

12

2

7

1

2221

t

teCeCX

XXCXCX

tt

p


160


5

3

yxy

yxx

XX

11

11


011

11

0)det(

IA

20

0)2(

0121

01)1(

21

2

2

e


Para 01 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

11


1

12K


t

tt

tt

eCCX

eCeCX

eKCeKCX

XCXCX

2

21

2

2

0

1

2211

2211

1

1

1

1

1

1

1

1

21


c

aX

dct

batX

tf

p

p

5

3)(



161

5

3

)(

)(

5

3

11

11

dbtca

dbtca

c

a

dct

bat

b

a

ca

ca

0 fazendo 11 ca

4

1

3

db

adb

adb

4

51

5

db

db

cdb

Fazendo 04 db

t

tX p

4

Logo

t

teCCX t 4

1

1

1

1 221








CtX )(



)()( tUtX p


)()( tFXtAdt

dX

entatildeo



162



)()()( tFtUt

)()()()()( 11 tFttUtt

)()()( 1 tFttU

dttFttU )()()( 1

entatildeo

dttFttX p )()()( 1


Exemplo

Resolva o sistema

teyxy

tyxx

42

33


XX

42

13


043

13

0)det(

IA

25

0107

024312

21

2

2

e


Para 51 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

2

1

02

0

0

12

12

fazendo 2bK temos

2

11K

Para 22 temos

ba

ba

b

a

KK

KK

K

K

0

0

0

22


1

12K


2

1

25

25

2

2

5

1

2211

2211

21

1

2

1

21

C

C

ee

eeeCeCX

eKCeKCX

XCXCX

lfundamentamatriz

tt

tt

tt

tt


163


tt

tt

ee

ee25

25

2

212

10

01 LL

t

tt

e

ee2

25

30

12

312

01

LL

t

t

e

e2

5

30

0

2

2

1

5

2

112

31

31

Le

Le

t

t

10

01

tt

tt

ee

ee

22

55

3

1

3

23

1

3

1

Logo

tt

tt

ee

ee

22

55

1

3

1

3

23

1

3

1

tt

tt

tt

tt

ete

ete

e

t

ee

eetft

2

45

2

55

1

6

3

3

13

23

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

eete

eetedt

ete

etedttft

22

455

2

45

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

6

3

3

1)()(

ttt

ttt

tt

tt

p

eete

eete

ee

eedttfttX

22

455

25

25

1

2

33

4

1

25

3

5

3

3

1

2)()()(

t

t

p

t

t

p

tt

tt

p

et

etX

et

etX

eetet

etetX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

2

3

50

63

5

24

3

50

81

5

18

3

1

2

3

2

1

25

6

5

62

33

4

1

25

3

5

3

3

1

Soluccedilatildeo

t

t

tt

et

eteCeCX

2

1

50

21

5

34

1

50

27

5

9

1

1

2

12

2

5

1


164



1)

122

433

yxdt

dy

yxdt

dx

2)

2

2

4

3

53

t

t

eyxdt

dy

eyxdt

dx


indeterminados

3)

52

732

yxdt

dy

yxdt

dx

4)

53

23 2

tyxdt

dy

tyxdt

dx

Respostas

1)

10

15

11

11

2

3

1

121 teccX t

2) 2223

22

1

49

215

413

213

3

10

1

2 tttt

eteececX

3)

3

1

1

3

1

121

tt ececX

4)

43

2

414

1

43

41

1

1

1

1 242

21 ttececX tt


165

AULA 29



xCey 2

2

02


44

0

33

2210 xCxCxCxCCxCy

n

nn

1

1

34

2321

432

n

nnxnCy

xCxCxCCy


021

1

n

nn

n

nn xnCxnC

Trocando

1

1

01

1

Nn

Nn

n

n

II

NN

NN

I

n

nn xCNxnC

011

)1(

1


0

2321)1(

2321

1

1

32)1(

32

N

NN

n

nn

xCxCCxCNII

xCxCCxnCI

Satildeo iguais

Voltando


166

0)1(

2

02)1(

02)1(

02)1(

1

1

0

1

01

1

nn

CC

CCn

xCCn

xCxCn

nn

nn

n

nnn

n

nn

n

nn

Para

234

)2(

234

)2(2

4

23

23

)2(

23

)2(2

3

22

2

)2(

2

)2(2

2

21

21

20

04

03

34

03

02

23

02

012

00

1

CCCCn

CCCCn

CCCCn

CC

Cn


1

)2( 0

nn

CC

n

n

Entatildeo

0

44

33

2210

n

nn xCxCxCxCCxCy C

0

0

1

0

443322

0

30

320

20

0

)2(

)2(1

4

2

3

2

2

2

1

21

3

)2(

2

)2(

1

2

n

nn

n

nn

n

xC

n

xC

xxxxC

xCxCxCC

Como

3

)2(

2

)2(21

321

322

32

xxxe

xxxe

x

x

Logo

xeCy 2

0


167


2

ydx

yd

i

1

01

2

2

senxCxCy 21 cos


2

2

1

1

0

)1(

n

nn

n

nn

n

nn

xCnny

xnCy

xCy

2

2

2

Nn

Nn

n

24

132

0

)2(

22

)2(

2

2

34232

)1)(2()1)(2()1(

xCxCC

xCNNxCNNxCnnyN

NN

N

NN

n

nn

Que fica igual a

24

132

2


nn

Logo substituindo

2

2)1(n


0)1)(2(02

)2(

n

nn

n

nn xCxCnn

0)1)(2(2

)2(

n

n

nn xCCnn

0)1)(2( )2( nn CCnn

0)1)(2(

)2(

n

nn

CC n

n

para 12

0 02

CCn

para 23

1 13

CCn

para 412

)(

34

1

342 002

4

CCCCn


168

para 523

)(

45

1

453 113

5

CCCCn

para 6456

1

564 004

6

CCCCn

para 7567

1

675 115

7

CCCCn

765432

17

06

15

04

13

02

CC

CC

CC

CC

CC

CC


1)12(

)1(1

)2(

)1( 1)12(

02

k

k

CCk

k

CC

k

k

k

k

Voltando

0n

nnxCy

5

53

314

42

20 xCxCxCxCxCCy

senxCxCy

k

xC

k

xCy

xxxxC

xxxCy

n

kk

n

kk

n

10

0

12

1

0

2

0

753

1

642

0

0

cos

)12(

)1(

)2(

)1(

7536421


169

REFEREcircNCIAS








UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ -...

Documents

Transcript of UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ -...