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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL

LUCIANO CAETANO DO CARMO

DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA

REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS:

ANÁLISE VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil da

Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Mestre em

Engenharia Civil

Goiânia

2005

Livros Grátis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL

DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS:


Mestrando: Engenheiro Civil Luciano Caetano do Carmo Orientador: Prof.º Dr. Ademir Aparecido do Prado Co-orientador: Prof.º Dr. Daniel de Lima Araújo

Goiânia 2005




Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás, como parte dos requisitos para obtenção do titulo de Mestre em Engenharia Civil. Área de concentração : Estruturas e Materiais. Orientador: Prof.º Dr. Ademir Aparecido do Prado Co-orientador: Prof.º Dr. Daniel de Lima Araújo

Goiânia 2005

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)

(GPT/BC/UFG)

Carmo, Luciano Caetano do. C287d Ductilidade de vigas de concreto armado convencional e de alta resistência reforçadas com fibras metálicas: análi- se via método dos elementos finitos / Luciano Caetano do Carmo. – Goiânia, 2005. 188 f. : il. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Civil, 2005. Bibliografia: f. 161. Inclui lista de figuras, de tabelas, de símbolos, de abre- viações. Anexo

1. Concreto armado – Vigas 2. Fibras de metal - Vi- gas 3. Vigas de concreto - Fibras de metal I. Universida- de Federal de Goiás. Escola de Engenharia Civil II. Título. CDU: 693.554

Referência Bibliográfica CARMO, Luciano Caetano do. Ductilidade de vigas de concreto armado convencional e de alta resistência reforçadas com fibras metálicas: Análise via Método dos Elementos Finitos. 2005. 188 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Escola de Engenharia Civil, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2005.

Cessão de Direitos Nome do Autor: Luciano Caetano do Carmo Título da Dissertação de Mestrado: Ductilidade de vigas de concreto armado convencional e de alta resistência reforçadas com fibras metálicas: Análise via Método dos Elementos Finitos. Grau/Ano: Mestre/2005 É concedida à Universidade Federal de Goiás permissão para reproduzir cópias desta dissertação de mestrado e para emprestar tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor. ______________________________

Luciano Caetano do Carmo Rua Monte Castelo esq. C/ Rua Maçonaria. Qd.08 Lt.14 – Vila Jardim Pompéia CEP: 74685-220 – Goiânia /GO – Brasil




Dissertação defendida e aprovada em 01 de Abril de 2005, pela Banca Examinadora constituída pelos professores.

____________________________________________________ Prof.º Dr. Ademir Aparecido do Prado (UFG)

ORIENTADOR

____________________________________________________ Prof.º Dr. Daniel de Lima Araújo (UFG)

CO-ORIENTRADOR

_____________________________________________________ Prof. Dr. Magid Elie Khouri (UFG)

EXAMINADOR INTERNO

_____________________________________________________ Profa. Dra. Sylvia Regina Mesquita de Almeida (UFG)

EXAMINADORA INTERNA

_____________________________________________________ Prof. Dr. Humberto Breves Coda (EESC/USP)

EXAMINADOR EXTERNO

À minha avó, Maria da Conceição, in memorian, amiga, incentivadora e exemplo.

MEUS AGRADECIMENTOS

A Deus, por todos os benefícios e oportunidades que me tem concedido.

Ao Prof. Dr. Ademir Aparecido do Prado, por estar sempre a meu lado,

apoiando-me e incentivando-me, durante todas as etapas deste trabalho.

Ao Prof. Dr. Daniel de Lima Araújo, pelo apoio, incansável dedicação e

paciência, que durante este trabalho esclareceu minhas dúvidas, que não foram poucas,

principalmente quando as coisas não davam certo. O meu muito obrigado pelas horas

trabalhadas no Natal, no Ano Novo e no Carnaval. Eu sei que foi duro !!!

Ao professor Dr. Zenon del Prado, pela amizade e apoio constante

durante toda a execução deste trabalho.

Aos demais professores do CMEC-UFG pela formação e pela

colaboração para o meu aprendizado.

À minha mãe e à minha irmã, duas pessoas maravilhosas que eu amo

muito e sempre me incentivaram.

Ao meu avô Iracy, que sempre esteve do meu lado, em toda minha vida

acadêmica.

Aos meus grandes amigos Flávio Lima, Tatiana, Rogério Aques, Beatriz,

Márcio Araújo, Daniela, Luis Enéias, Virgínea, Robson Donizeth e Alice. Estas pessoas

maravilhosas que me acompanharam durante todo o tempo dessa jornada me

incentivando, sempre dizendo palavras amigas e principalmente agüentando as minhas

“chatices”

Aos amigos do mestrado Carlos Eduardo, Gabriel, Luciana, Magnus,

Jadir, Helen, Renata e Paulo Alexandre, com os quais compartilhei momentos

inesquecíveis nesses últimos anos. O mestrado não teria sido o mesmo sem vocês. Bons

tempos, estes de mestrado !

À secretária do CMEC-UFG, Neuza, por toda atenção fornecida aos

alunos cuidando de cada um como se fosse um filho.

À Roberta Paula, pessoa especial que nas horas difíceis, com muita

paciência e carinho, sempre foi um ombro amigo, principalmente naqueles dias em que

tudo parecia não dar certo ou não funcionar.

A todos que, direta ou indiretamente, colaboraram para a realização deste

trabalho.

À Coordenação de Aperfeiçoamento Pessoal de Nível Superior (CAPES)

pelo apoio financeiro.


ABRIL/2005

RESUMO

Neste trabalho são realizadas modelagens numéricas de vigas de concreto armado executadas com concreto convencional e concreto de alta resistência, reforçadas ou não com fibras metálicas. A modelagem numérica possibilita a análise de diversas variáveis em uma estrutura, com custo reduzido. O objetivo deste trabalho é a verificação da ductilidade de vigas de concreto armado reforçadas com fibras empregando programas comerciais de elementos finitos. Para tanto foi utilizado o programa comercial ANSYS 6.1©. A validação das modelagens é realizada através da comparação dos resultados numéricos com os obtidos com resultados experimentais da literatura. Esta validação é inicialmente realizada com vigas de concreto convencional e concreto de alta resistência, sem a adição de fibras. Durante essa etapa percebeu-se problemas de convergência nas malhas mais refinadas das vigas superarmadas e de algumas vigas subarmadas. As malhas menos refinadas apresentaram respostas numéricas coerentes com os resultados experimentais. A aplicação da metodologia desenvolvida para modelagem de vigas de concreto armado reforçadas com fibras metálicas apresentou dificuldades de implementação devido à ausência de dados sobre a resistência ao arrancamento fibra-matriz. Este parâmetro, também utilizado no modelo mecânico, foi determinado a partir de retroanálises em ensaios de vigas disponíveis na literatura. Outra dificuldade encontrada foi a limitação do programa ANSYS 6.1© que não considera o efeito do amolecimento do concreto após o pico de resistência à compressão. Dessa forma, foi definida uma ruptura convencional para as vigas, sendo a deformação última à compressão do concreto com fibras obtida com a utilização de modelos analíticos disponíveis na literatura. A ductilidade das vigas é analisada através do índice de ductilidade global. É analisada a influência das seguintes variáveis: resistência à compressão do concreto, relação de forma das fibras e volume de fibras. Dos resultados, observa-se que é possível aumentar a ductilidade de vigas de concreto de alta resistência com a adição de fibras metálicas. Observa-se também que a ductilidade das vigas é mais sensível ao aumento no volume de fibras que ao aumento no fator de forma das mesmas. Do exemplo analisado conclui-se que a adição de baixos volumes de fibras nas vigas de concreto de alta resistência já proporciona ductilidade semelhante à de vigas de concreto convencional com altos volumes de fibras.

Palavras-chave: concreto reforçado com fibras, modelagem numérica, análise não-linear, ductilidade.

ABSTRACT

In this work, finite element analysis of reinforced concrete beams, made with both, normal and high strength concrete and with or without addition of steel fiber, are carried out. The main advantage of the finite element analysis is the possibility of study several variables in a structure with a smaller cost if compared to experimental tests. The objective in this work is to verify the ductility of fiber reinforced concrete beams, using the finite element method. In this work, the analysis is carried out using the commercial finite element software ANSYS 6.1©. The validation of the finite element analysis is accomplished through the comparison of the numeric results obtained with experimental results of the literature. This validation is accomplished initially with beams of normal concrete and concrete of high strength, without the addition of steel fibers. During the validation, it was noticed convergence problems with the finest meshes with high ratio and some low ratio beams and numerical answers were coherent with the experimental results using gross mesh model. The application of the methodology developed for modelling steel fiber reinforced concrete beams, presents implementation difficulties due to absence of interfacial bond stress. This parameter, also used in the mechanical model, was determinated starting from reverse analysis in tests of available beams in the literature. The analysis was restricted to the limitation of the program ANSYS 6.1©, which that doesn't consider the effect of softening of the concrete after the compression strength pick. Then, a conventional rupture criteria was defined as being the last strain in compression for steel fiber concrete obtained from available analytical models in literature. The ductility of beams was analyzed through the index of global ductility. The influence of the following variables was analyzed: concrete compressive strength, aspect ratio of fiber and fiber content. It was observed that is possible to increase the ductility of beams made with high strength concrete due to addition of steel fibers. It was also observed that ductility of the beams is more sensitive to the increase in the fiber content that to the increase in aspect ratio. From the analyzed examples is possible to conclude that the addition of low fiber content in beams with high strength concrete provides similar ductility to the ones with normal concrete with high fiber content.

Keywords: steel fiber reinforced concrete, finite element analysis, nonlinear analysis, and ductility.

Sumário

Lista de Figuras_______________________________________________ 10

Lista de Tabelas ______________________________________________ 14

Lista de Símbolos _____________________________________________ 16 Símbolos Maiúsculos ____________________________________________________ 16

Símbolos Minúsculos ____________________________________________________ 17

Símbolos Gregos ________________________________________________________ 19

Lista de Abreviações___________________________________________ 22

1 Introdução ________________________________________________ 23 1.1 Objetivo__________________________________________________________ 25

1.2 Justificativa _______________________________________________________ 25

1.3 Estrutura do trabalho ________________________________________________ 26

2 Revisão Bibliográfica _______________________________________ 28 2.1 Introdução ________________________________________________________ 28

2.2 Comportamento Mecânico do Concreto com Fibras Metálicas _______________ 31

2.3 Modelo mecânico para vigas fletidas reforçadas com fibras _________________ 38

2.4 Ductilidade de Vigas de Concreto Armado_______________________________ 41

2.5 Modelagem numérica de vigas reforçadas com fibras metálicas ______________ 49

2.6 O Programa ANSYS ________________________________________________ 68

2.6.1 Elementos Utilizados ____________________________________________ 69

3 Modelagem de Vigas de Concreto Armado sem Fibras ___________ 74 3.1 Introdução ________________________________________________________ 74

3.2 Araújo (2002) _____________________________________________________ 75

3.3 Ribeiro (1996) _____________________________________________________ 79

3.4 Barbosa (1998), apud Gamino (2003)___________________________________ 84

3.5 Considerações sobre as Modelagens Numéricas___________________________ 88

4 Modelagem de Vigas de Concreto Armado com Fibras ___________ 91 4.1 Introdução ________________________________________________________ 91

4.2 Validação da Metodologia de Modelagem de Concreto Reforçado com Fibras __ 93

4.3 Determinação da Tensão de Arrancamento Fibra-Matriz____________________ 98

4.4 Comparação dos Momentos Últimos Numérico e Mecânico ________________ 103

4.5 Comparação da Ductilidade Numérica com Valores Experimentais __________ 106

4.6 Considerações Finais_______________________________________________ 113

5 Análise Paramétrica _______________________________________ 115 5.1 Introdução _______________________________________________________ 115

5.2 Modelagem da Viga para a Análise Paramétrica _________________________ 115

5.3 Análise dos Resultados _____________________________________________ 118

5.4 Considerações Finais_______________________________________________ 153

6 Conclusão________________________________________________ 156 6.1 Proposta para trabalhos futuros_______________________________________ 159

7 Referências Bibliográficas __________________________________ 161

8 Anexo ___________________________________________________ 167 8.1 Introdução _______________________________________________________ 167

8.2 Superfície de Plastificação de Tresca e Von Mises________________________ 168

8.3 Superfície de Plastificação de Mohr-Coulomb ___________________________ 171

8.4 Superfície de Plastificação de Drucker-Prager ___________________________ 176

8.5 Superfície de Plastificação de Chen-Chen ______________________________ 180

8.6 Superfície de Plastificação de Willam-Warnke __________________________ 183

Lista de Figuras

Figura 1.1 – Representação da curvatura da seção transversal para concreto sem fibras e concreto com fibras _______________________________________________________ 24

Figura 1.2 – Curvas Força-Deformação para concreto de alta resistência com fibras (Aïtcin, 2000). ___________________________________________________________ 24

Figura 2.1 - Comportamento plástico (Proença, 1988) ____________________________ 29

Figura 2.2 - Comportamento Uniaxial do Concreto (Proença, 1988). ________________ 30

Figura 2.3 – Curva Tensão-Deslocamento no ensaio de arrancamento de fibras (Naaman, 1998). _________________________________________________________ 32

Figura 2.4 – Comparação entre as equações para o traçado da curva Tensão-Deformação. 38

Figura 2.5 – Representação do equilíbrio de forças normais atuantes na seção transversal de uma viga reforçada com fibras metálicas. ______________________________________ 39

Figura 2.6 – Curva Força – Deslocamento utilizada para a quantificação da ductilidade global de vigas de concreto armado (Ribeiro, 2003). _____________________________ 43

Figura 2.7 – Curva Momento-Curvatura utilizada para a quantificação da ductilidade local de vigas de concreto armado (Gamino, 2003). __________________________________ 44

Figura 2.8 – Detalhe das vigas 1, 2 e 3 ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (2003). _______________________________________________________________________ 45

Figura 2.9 – Detalhe da viga 1-R ensaiada por Ribeiro (1996). _____________________ 45

Figura 2.10 – Detalhe da viga 2-A ensaiada por Ribeiro (1996). ____________________ 46

Figura 2.11 – Detalhe da viga 3-B ensaiada por Ribeiro (1996). ____________________ 46

Figura 2.12 - Detalhe das vigas ensaiadas (Padmarajaiah; Ramaswamy, 2002). ________ 52

Figura 2.13 - Elemento de mola-amortecimento COMBIN14 (ANSYS Release 6.1, 2000). _______________________________________________________________________ 52

Figura 2.14 - Área líquida empregada para calcular a quantidade de fibras entre cada elemento finito da seção transversal da viga (Padmarajaiah; Ramaswamy, 2002). ______ 55

Figura 2.15 - Representação teórica das fibras metálicas no concreto protendido segundo Padmarajaiah e Ramaswamy, (2002). _________________________________________ 56

Figura 2.16 - Diagramas σ xε uniaxial equivalente de concretos com fibras para os regimes a) tração; b) compressão (Simões, 1998). ______________________________________ 57

Figura 2.17 – Detalhe da viga ensaiada por Craig (1987). _________________________ 58

Figura 2.18 - Detalhe da viga ensaiada sem armadura por Schnütgen; Erdem (2001). ___ 59

Figura 2.19 - Detalhe da viga ensaiada, com armadura por Schnütgen; Erdem (2001). ___ 59

Figura 2.20 - Modelagem das vigas de concreto sem armadura e com fibras no ANSYS segundo Hemmy (2002). ___________________________________________________ 60

Figura 2.21 - Modelagem das vigas de concreto com armadura e com fibras no ANSYS segundo Hemmy (2002). ___________________________________________________ 61

Figura 2.22 – Relação tensão – deformação da armadura com encruamento, Hemmy (2002). _______________________________________________________________________ 64

Figura 2.23 – Curva Tensão- Abertura da Fissura obtida da análise reversa (Hemmy, 2002). _______________________________________________________________________ 64

Figura 2.24 – Curva Tensão-Deformação equivalente para o concreto reforçado com fibras metálicas, para a malha fina (Hemmy, 2002). ___________________________________ 65

Figura 2.25 – Relação tensão-deformação fictícia pra as fibras de aço para o ANSYS, Hemmy (2002). __________________________________________________________ 67

Figura 2.26 – Gráfico Força-Deslocamento viga sem armadura longitudinal de tração, viga experimental e modelagem de Hemmy (2002). __________________________________ 67

Figura 2.27 – Gráfico Força-Deslocamento viga com armadura longitudinal de tração, viga experimental e modelagem de Hemmy (2002). __________________________________ 68

Figura 2.28 – Elemento de concreto armado 3-D SOLID65 (ANSYS Release 6.1, 2000). 70

Figura 2.29 – Perfil de Superfície de Ruptura de Willam-Warnke utilizando pelo programa ANSYS (ANSYS Release 6.1, 2000). _________________________________________ 70

Figura 2.30 – Condição de Resistência a Ruptura do Concreto (ANSYS Release 6.1, 2000). _______________________________________________________________________ 71

Figura 2.31 - Elemento de barra 3-D LINK8 (ANSYS Release 6.1, 2000). ____________ 73

Figura 3.1 – Detalhe da Viga V1 ensaiada por Araújo (2002). ______________________ 76

Figura 3.2 – Curva Força-Deslocamento da viga V1 ensaiada por Araújo (2002). ______ 78

Figura 3.3 – Resposta Tensão-Deformação uniaxial do concreto: a) Concreto, b) Willam-Warnke. ________________________________________________________________ 78

Figura 3.4 – Detalhe da Viga 2R ensaiada por Ribeiro (1996). _____________________ 79

Figura 3.5 – Detalhe da Viga 3A ensaiada por Ribeiro (1996). _____________________ 79

Figura 3.6 – Detalhe da Viga 3B ensaiada por Ribeiro (1996). _____________________ 80

Figura 3.7 – Curva Força-Deslocamento da viga 2R ensaiada por Ribeiro (1996). ______ 82

Figura 3.8– Curva Força-Deslocamento da viga 3A ensaiada por Ribeiro (1996). ______ 83

Figura 3.9 – Curva Força-Deslocamento da viga 3B ensaiada por Ribeiro (1996). ______ 84

Figura 3.10. – Curva Força-Deslocamento da viga V1 ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino, (2003). __________________________________________________________ 87

Figura 3.11 – Curva Força-Deslocamento da viga V2 ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino, (2003). __________________________________________________________ 87

Figura 3.12 – Curva carga-deslocamento, viga V3 ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino (2003). __________________________________________________________ 88

Figura 4.1 – Gráfico Tensão-Deformação do concreto com fibras submetido à tração. ___ 92

Figura 4.2 – Gráfico Força-Deslocamento da viga sem armadura ensaiada por Schnütgen; Erdem (2001). ___________________________________________________________ 95

Figura 4.3 – Gráfico Força-Deslocamento da viga com armadura ensaiada por Schnütgen; Erdem (2001). ___________________________________________________________ 96

Figura 4.4 – Diagrama Carga-Deslocamento, da viga ensaiada por Craig, (1987). ______ 98

Figura 4.5 - Detalhe geral das Vigas ensaiadas por Ashour et al. (2000). _____________ 99

Figura 4.6 – Detalhe da malha utilizada na modelagem das vigas ensaiadas por Ashour et al. (2000). ________________________________________________________________ 100

Figura 4.7 – Gráficos expPPnum em função da resistência ao arrancamento da fibra ( ufτ ), modelagem das vigas de Ashour et al. (2000). _________________________________ 101

Figura 4.8 – Curvas Força-Deslocamento das vigas ensaiadas por Ashour et al. (2000). 102

Figura 4.9 – Representação da deformada da seção na ruína na viga de concreto armado reforçada com fibra metálica. ______________________________________________ 107

Figura 4.10 – Determinação dos índices de ductilidade global da viga ensaiada por Ashour et al. (1999). _____________________________________________________________ 109

Figura 5.1 – Detalhamento da viga utilizada na análise paramétrica. ________________ 116

Figura 5.2 – Detalhe da malha utilizada na análise paramétrica. ___________________ 118

Figura 5.3 – Curvas Força-Deslocamento, vigas com fc = 40 MPa, l/d=48. ___________ 125

Figura 5.4 – Curvas Força-Deslocamento, vigas com fc = 40 MPa, l/d =65. __________ 127




Figura 5.8 – Curvas Força-Deslocamento, vigas com fc = 70 MPa, l/d = 80. __________ 133

Figura 5.9 – Curvas Força-Deslocamento, vigas com fc = 100 MPa, l/d = 48. _________ 135

Figura 5.10 – Curvas Força-Deslocamento, vigas com fc = 100 MPa, l/d = 65. ________ 136

Figura 5.11 – Curvas Força-Deslocamento, vigas com fc = 100 MPa, l/d = 80. ________ 138 Figura 5.12 – Gráficos Ductilidade Global x Resistência à Compressão com Volume de fibras de 0,0%. __________________________________________________________ 140

Figura 5.13 – Gráficos Ductilidade Global x Resistência à Compressão, relação de forma, l/d, igual a 48. __________________________________________________________ 141



Figura 5.16 – Gráficos Ductilidade Global x Relação de forma, l/d, com fc = 40 MPa. _ 144

Figura 5.17 – Gráficos Ductilidade Global x Relação l/d com fc = 70 MPa. __________ 145

Figura 5.18 – Gráficos Ductilidade Global x Relação de forma, l/d, com fc = 100 MPa. 146 Figura 5.19 – Gráficos Ductilidade Global x Volume de Fibras com fc = 40 MPa. _____ 147

Figura 5.20 – Gráficos Ductilidade Global x Volume de Fibras com fc = 70 MPa. _____ 148

Figura 5.21 – Gráficos Ductilidade Global x Volume de Fibras com fc = 100 MPa. ____ 150

Figura 5.22 – Comparação das Resistências à Compressão através dos Gráficos Ductilidade Global x Volume de Fibras. ________________________________________________ 152

Figura 8.1 – Superfície de Tresca e Von Mises no plano desviatórico (Proença, 1989). _ 169

Figura 8.2 - Mohr-Coulomb modificado no sistema σ-τ (Proença, 1988). ____________ 172

Figura 8.3 - Círculo de Mohr-Coulomb (Proença, 1989). _________________________ 173

Figura 8.4 - Representação no plano meridiano r-ξ, (Proença, 1988). _______________ 175

Figura 8.5 - Projeção no plano desviatórico do hexágono irregular (Proença, 1988). ___ 176

Figura 8.6 - Representação da superfície de Drucker-Prager (Proença, 1988). ________ 177

Figura 8.7 – Comparação, no plano 21 σσ − , entre os cones de Drucker-Prager inscritos e circunscritos à pirâmide de Mohr Coulomb (Proença, 1989). ______________________ 179

Figura 8.8 - Aspecto da superfície de plastificação num plano meridiano (Proença, 1988). ______________________________________________________________________ 181

Figura 8.9 - Representação da superfície de Chen-Chen no sistema 21 σσ − (Proença, 1988). ______________________________________________________________________ 183

Figura 8.10 - Representação no plano anti-esférico da superfície de Willam-Warnke (Proença, 1988). _________________________________________________________ 184

Figura 8.11 - Traçado elíptico da superfície de ruptura de º600 ≤≤ θ (Chen, 1982). ___ 188

Figura 8.12 - Violação das condições de convexidade da superfície (Proença, 1988). ___ 188

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Propriedades físicas e mecânicas das vigas experimentais utilizadas nas modelagens de Gamino (2003). ______________________________________________ 45

Tabela 2.2 – Valores dos coeficientes c1 e c2 para a determinação de f1 e f2, utilizados nas modelagens de Padmarajaiah e Ramaswamy (2002). _____________________________ 54

Tabela 2.3 - Propriedades dos materiais da viga ensaiada por Craig (1987). ___________ 58

Tabela 2.4 – Propriedades das vigas ensaiadas por Schnütgen; Erdem (2001). _________ 60

Tabela 2.5 – Detalhe das malhas utilizadas nas viga modeladas por Hemmy (2002). ____ 63

Tabela 3.1 – Características mecânicas dos materiais aço e concreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Araújo (2002). ______________________________ 76

Tabela 3.2 – Detalhamento da malha da viga V1, ensaiada por Araújo (2002), cotas em cm. _______________________________________________________________________ 77

Tabela 3.3 – Características mecânicas dos materiais aço e concreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Ribeiro (1996). _____________________________ 80

Tabela 3.4 – Detalhamento das malhas das vigas 2R e 3A ensaiadas por Ribeiro (1996), cotas em cm. ____________________________________________________________ 81

Tabela 3.5 – Detalhamento das malhas das vigas 3B, ensaiadas por Ribeiro (1996), cotas em cm. ____________________________________________________________________ 81

Tabela 3.6 – Características mecânicas dos materiais aço e concreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Barbosa (1998), apud por Gamino (2003). ________ 85

Tabela 3.7 – Detalhamento da malha utilizada nas vigas 1, 2 e 3, ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (2003), cotas em cm. ____________________________________ 85

Tabela 3.8 – Valores da coesão (c) e ângulo de atrito (φ) obtidos pelas equações deduzida por Proença (1988) e Chen (1982). ___________________________________________ 86

Tabela 4.1 – Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Schnütgen; Erdem (2001). _________________________________________________________________ 94

Tabela 4.2 – Detalhe das malhas utilizadas, na viga ensaiadas por Craig (1987). _______ 97

Tabela 4.3 – Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Craig (1987). _____ 97

Tabela 4.4 – Características mecânicas das vigas ensaiadas por Ashour et al. (2000). __ 100

Tabela 4.5 – Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Ashour et al. (2000). ______________________________________________________________________ 105

Tabela 4.6 – Variação dos Momentos Experimentais, Analíticos e Numéricos, das vigas ensaiada por Ashour et al. (2000). ___________________________________________ 106

Tabela 4.7 – Validação do índice de ductilidade global, dµ , das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o critério de Mansur et al. (1992). _______________________ 110

Tabela 4.8 – Validação do índice de ductilidade global, dµ , das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o critério de Ezeldin; Balaguru; (1992). ___________________ 111

Tabela 4.9 – Validação do índice de ductilidade global, dµ , das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o critério de Abdul-Ahad; Aziz (1999). ___________________ 112

Tabela 4.10 – Médias e Desvios Padrões utilizando dos critérios de parada de Mansur et al. (1999), Ezeldin; Balaguru (1992) e Abdul-Ahad; Aziz (1999). ____________________ 112

Tabela 5.1 – Valores das características mecânicas das vigas utilizadas na análise paramétrica. ____________________________________________________________ 117

Tabela 5.2 – Comparação dos momentos analíticos com os momentos numéricos. _____ 119

Tabela 5.3 – Resultados obtidos da modelagem das vigas considerando o critério de Mansur et al. (1999). ___________________________________________________________ 121

Tabela 5.4 – Resultados obtidos da modelagem das vigas considerando o critério de Ezeldin; Balaguru (1992). ________________________________________________________ 122

Tabela 5.5 – Resultados obtidos da modelagem das vigas considerando o critério de. Abdul-Ahad; Aziz (1999). ______________________________________________________ 124

Lista de Símbolos

Símbolos Maiúsculos

A Constante

Ae Área da seção transversal do elemento finito de concreto

Af Área da seção transversal da fibra de aço

As Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração

Cv Coeficiente de Amortecimento

Ec Módulo de elasticidade longitudinal do concreto

Ecs Módulo de elasticidade longitudinal secante do concreto

Es Módulo de elasticidade longitudinal do aço

Fult Força última

I1 Primeiro invariante do tensor de tensões

J2 Segundo invariante do tensor desviatório de tensões

J3 Terceiro invariante do tensor desviatório de tensões

[Kc] Lei constitutiva do concreto

L Comprimento da viga

Mn Momento resistente da seção transversal

Mu,anl. Momento último analítico

Mu,exp. Momento último experimental

Mu,num. Momento último numérico

Ne Força normal no elemento finito

Nef Força normal no elemento finito com a opção “rebar”

Nf Quantidade de fibras por unidade de área da seção transversal de concreto

Nfe Número de fibras por elemento finito

Rc Esforço Normal de Compressão do Concreto

Rf Esforço Normal do Concreto Reforçado com Fibras

RI Índice de reforço das fibras

Rs Esforço Normal da armadura longitudinal

R Coeficiente adaptador descendente e minimizador

T Tensor de tensões

Tc Fator de minoração da tensão de tração

Vf Volume de Fibras metálicas

Volf Volume de Fibras metálicas

Wf Fração, em peso, de fibras adicionadas

Símbolos Minúsculos

b Largura

c Coesão do material

c1 Coeficiente para a determinação das tensões f1

c2 Coeficiente para a determinação das tensões f2

d Diâmetro equivalente da fibra de aço

d Altura útil da seção transversal

df Fator de aderência da fibra com gancho, igual a 0,75

e Profundidade até o bloco de tração, a partir da fibra mais comprimida

f Função de plastificação

f1 Resistência última à compressão para o estado biaxial de compressão sobreposta na tensão hidrostática

f2 Resistência última à compressão para o estado uniaxial de compressão sobreposta na tensão hidrostática

fc Resistência à compressão

fcb Resistência à compressão biaxial

cbf Tensão de compressão biaxial adimensional

fcf Resistência à compressão do concreto reforçado com fibras

fct Resistência à tração do concreto

fct,r Resistência à tração residual do concreto simples

fct,inf Resistência inferior à tração do concreto simples

fct,sp Resistência à tração indireta do concreto

fctf* Resistência à tração fictícia do concreto reforçado com fibras ou resistência à tração no concreto com fibras metálicas quando surge a primeira fissura.

fctf,f Resistência à tração na flexão do concreto reforçado com fibras

fctf,r Resistência residual de tração do concreto com fibras

ft Resistência à tração

tf Tensão de tração adimensional

fuf Resistência última a tração da fibra metálica

fy Resistência ao escoamento da armadura longitudinal

h Altura total da viga de concreto armado

k Constante elástica de mola

k Tensão de cisalhamento máxima

k Constante

l Comprimento equivalente da fibra metálica

lch Comprimento característico da fissura

l/d Relação de forma das fibras metálicas

r Invariante

r0 Parâmetro relacionado ao coeficiente k do cone de Drucker-Prager

w Largura da abertura da fissura

x Atura da linha neutra a partir da fibra mais comprimida

xb Altura da linha neutra a partir da fibra mais comprimida para armadura balanceada

Símbolos Gregos

α Constante positiva relacionada à coesão e ao ângulo de atrito do material

α Fator de orientação das fibras

βc Coeficiente de transferência do cortante para fissuras fechadas

βf Fator que define a altura equivalente do bloco de compressão do concreto reforçado com fibras

βt Coeficiente de transferência do cortante para fissuras abertas

δu Deslocamento último no meio do vão

δy Deslocamento quando inicia o escoamento da armadura longitudinal de tração no meio do vão

ε Deformação

εc Deformação do concreto

εc,lim Deformação limite específica do concreto à compressão

εct Deformação limite específica do concreto à tração

εct,max Deformação última do concreto com fibras

εcu Deformação última do concreto

εcuf Deformação última do concreto com fibras

εe Deformação elástica do concreto

εf Deformação do concreto reforçado com fibras

εp Deformação plástica do concreto

εs Deformação da armadura longitudinal de tração

εsf Deformação específica do concreto reforçado com fibras

φ Ângulo, em relação ao eixo y, que define a direção do taxa de armadura

no elemento SOLID65

φ Diâmetro das barras da armadura

φ Ângulo de atrito do material

φc Meridiano de compressão para θ = 60º

φt Meridiano de tração para θ = 0º

φu Curvatura da viga relativa ao momento fletor último

φy Curvatura da viga relativa ao momento fletor correspondente ao início do escoamento do aço da armadura longitudinal de tração

γf Fator que define a intensidade da tensão de compressão equivalente para o retângulo de tensão do concreto

µc Coeficiente de ductilidade local

µd Coeficiente de ductilidade global

ν Coeficiente de Poisson

θ Ângulo, em relação ao eixo x, que define a direção do taxa de armadura no elemento SOLID65

θ Ângulo no plano de Nadai

ρ Taxa de armadura longitudinal

ρ Parâmetro de plastificação

ρb Taxa de armadura balanceada

ρb0 Taxa de armadura balanceada sem armadura de compressão

ρc Taxa de armadura longitudinal de compressão

ρt Taxa de armadura longitudinal de tração

ρf Taxa de fibra metálica no elemento SOLID65

σ Tensão normal

σ1 Tensão principal na direção 1



σct Tensão de tração máxima do concreto

σh Tensão hidrostática

σA Tensão Normal

σy Tensão de escoamento

τ Tensão de cisalhamento

τ13 Tensão de cisalhamento

τm Tensão cisalhante

τuf Tensão de arrancamento da fibra metálica na matriz a base de cimento

ξ Invariante

Lista de Abreviações

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

ACI American Concrete Institute

UFG Universidade Federal de Goiás

EESC Escola de Engenharia de São Carlos

USP Universidade de São Paulo

CAR Concreto de Alta Resistência

ND Número de Divisões

rebar Reinforcing bar

1 Introdução

O aumento nos vãos dos projetos arquitetônicos e a necessidade de redução das

dimensões das peças estruturais têm incentivado o uso mais freqüente do concreto de alta

resistência (CAR) na construção civil. O seu emprego se justifica pelo fato de o mesmo

apresentar uma resistência à compressão relativamente alta, maior durabilidade, menor

permeabilidade e menor fluência quando comparado ao concreto convencional o qual possui

uma resistência à compressão até 50 MPa, segundo a NBR 6118:2003 (ABNT, 2003).

O uso do concreto de alta resistência, contudo, apresenta um inconveniente que é

a sua fragilidade, não recomendada em projetos estruturais.

Não é recomendável a ruptura brusca em peças estruturais. Os elementos

estruturais devem ser projetados para que sofram grandes deformações e deslocamentos

antes que ocorra o colapso local ou global da estrutura, pois isso proporciona um aviso

prévio antes da ruína (Gamino, 2003; Gamino; Barbosa, 2003). Elementos estruturais

executados com concreto de alta resistência são frágeis e necessitam de um aumento na

deformação última do concreto.

Estruturas frágeis possuem menor ductilidade. Alguns métodos podem ser

utilizados para aumentar a ductilidade das peças de concreto armado executadas com

concreto de alta resistência, como, por exemplo, utilização de armadura dupla, redução do

espaçamento dos estribos ou forma dos estribos (Ho et al., 2004). Outra forma de aumentar a

ductilidade do material é a adição de fibras metálicas, sem, é claro, reduzir a resistência a

compressão do concreto. A Figura 1.1 ilustra o aumento da deformação última de

compressão do concreto na flexão, provocado pela adição de fibras metálicas no concreto.

Este aumento na deformação proporciona um aumento da curvatura da seção transversal,

que ocasiona um aumento na ductilidade da peça estrutural.

Capítulo 1 – Introdução

24

Figura 1.1 – Representação da curvatura da seção transversal para concreto sem fibras e

concreto com fibras

Segundo Aïtcin (2000), o aumento da ductilidade do material utilizando fibras

metálicas está relacionado com o aumento da deformação do concreto promovida pelas

fibras, as quais provocam a plastificação do mesmo. Essa plastificação faz com que ocorra

uma redistribuindo dos esforços e a manutenção dos mesmos nas vizinhanças de uma

possível ruína. Portanto, as fibras metálicas proporcionam um aumento na energia dissipada

e, principalmente, um aumento da deformação última do concreto, conforme é mostrado na

Figura 1.2.

Figura 1.2 – Curvas Força-Deformação para concreto de alta resistência com fibras

(Aïtcin, 2000).


25

1.1 Objetivo

O presente trabalho tem por objetivo verificar se a adição de fibras metálicas ao

concreto aumenta a ductilidade de vigas de concreto armado executadas com concreto de

alta resistência. Além disso, procura-se verificar a validade de modelos mecânicos

atualmente existentes na avaliação da resistência à flexão de vigas de concreto reforçado

com fibras.

A análise será realizada empregando o programa comercial ANSYS Release 6.1

(ANSYS, 2002) baseado no método dos elementos finitos. Pretende-se definir uma

metodologia de modelagem que permita o emprego deste programa na representação do

comportamento de vigas de concreto reforçado com fibras quando são empregados modelos

elastoplásticos perfeitos.

A análise numérica deverá levar em consideração as seguintes variáveis: a

resistência do concreto, a quantidade de fibras adicionadas (até um volume de 2,0%) e a

relação de forma das fibras. Serão estudadas apenas fibras com ganchos nas extremidades.

1.2 Justificativa

A adição de fibras de aço à matriz à base de cimento melhora algumas das

características do concreto como, por exemplo, a tenacidade. As fibras de aço proporcionam

também um aumento da parcela resistente ao cisalhamento do concreto, tornando possível

uma redução no uso de armadura transversal nas peças de concreto armado. Além disso, as

fibras metálicas proporcionam um aumento na ductilidade do concreto de alta resistência, o

que resulta em um aumento das deformações e das flechas da estrutura antes da ruptura,

tornando-a dúctil e conduzindo a uma ruptura com aviso prévio.

A análise empregando uma modelagem numérica, entre outras coisas, possibilita

a redução de ensaios em laboratório, reduzindo substancialmente os custos de pesquisa, e o

estudo de um número maior de variáveis para o problema.


26

1.3 Estrutura do trabalho

O presente trabalho está divido em 7 capítulos, organizados da seguinte forma:

Capítulo 1: Introdução;

Capítulo 2: Breve revisão sobre plasticidade em estruturas de concreto armado com ênfase

nos modelos constitutivos empregados no trabalho. Em seguida, explica-se resumidamente o

comportamento do concreto reforçado com fibras metálicas e são apresentados os modelos

mecânicos disponíveis na literatura para representação do comportamento à flexão das vigas

reforçadas com fibras metálicas. De forma sucinta, é tratada a obtenção da ductilidade de

peças estruturais, numericamente e experimentalmente. Na seqüência são apresentadas

modelagens numéricas de vigas reforçadas com fibras metálicas. Ao final são apresentadas

as vantagens e desvantagens do programa ANSYS Release 6.1 (ANSYS, 2002) na

modelagem de peças de concreto armado.

Capítulo 3: Neste capítulo são realizadas modelagens de vigas de concreto armado

convencional e de alta resistência, todas sem fibras. Essas modelagens têm o objetivo de

validar o modelo numérico e as técnicas para a sua realização. A validação das modelagens é

realizada através da comparação dos gráficos de Força-Deslocamento com valores

publicados em artigos, dissertações ou teses que possuem em seu escopo trabalhos

experimentais. As principais variáveis analisadas nas modelagens são: tamanho do elemento

finito, coesão, ângulo de atrito e módulo de elasticidade longitudinal do concreto.

Capítulo 4: São realizadas as modelagens de vigas de concreto armado reforçado com fibras

metálicas. Inicialmente são refeitas as modelagens de Hemmy (2002). Neste trabalho o autor

modelou vigas de concreto simples e armado, ambas reforçadas com fibras metálicas,

empregando programas baseados na mecânica da fratura. A validação do modelo numérico

deste trabalho é realizada através da comparação com valores experimentais de vigas

ensaiadas por diversos autores. Em seguida, é verificada numericamente, a influência da

resistência da matriz de cimento na tensão de arrancamento das fibras. Esta verificação se dá

utilizando as vigas ensaiadas por Ashour et al. (2000). Utilizando as mesmas vigas são,

verificados ainda:


27

• A validade de modelos mecânicos para a determinação do momento último

em vigas reforçadas com fibras, mostrados no Capítulo 2;

• A validade do processo de determinação da ductilidade de vigas de concreto

armado através do índice de ductilidade global. Esta validação torna-se

necessária pelo fato de o programa ANSYS Release 6.1 (ANSYS, 2002) não

representar o efeito do amolecimento do concreto após atingido o pico de

resistência.

Capítulo 5: É realizada a análise paramétrica de vigas de concreto armado reforçado com

fibras metálicas. São analisados três valores de resistência: 40 MPa, 70 MPa e 100 MPa. São

considerados os seguintes volumes de fibras adicionadas ao concreto: 0,0%; 0,5%, 1,0%,

1,5% e 2,0%. São consideradas as seguintes relações de forma (l/d): 48, 65 e 100. Na

análise é verificada a influência dessas variáveis no momento último e na ductilidade das

vigas. A ductilidade é calculada utilizando três processos para a determinação do

esmagamento do concreto com fibras e o momento último é comparado aos valores obtidos

nos modelos mecânicos. Estes três processos para a determinação do esmagamento do

concreto são denominados critérios de parada.

Capítulo 6: São apresentadas as dificuldades encontradas durante o trabalho e as

conclusões. São também sugeridos possíveis temas para trabalhos futuros.

Capítulo 7: Referências Bibliográficas.

2 Revisão Bibliográfica

2.1 Introdução

O concreto é um material com comportamento mecânico complexo, visto que

suas propriedades são função também dos agregados, do cimento, da forma de execução,

da forma de solicitação dentre outros. O mesmo é composto por uma variedade muito

grande de materiais diferentes (cimento, areia, agregados e água). A ocorrência de

microfissuras entre a pasta da matriz à base de cimento e os agregados, a presença de água

e a grande quantidade de poros favorecem, durante o carregamento, a ocorrência de

fissuras, que são as principais responsáveis pelo comportamento não linear do concreto

(Pimenta; Silva, 2003).

Para a análise numérica do concreto armado é necessário o conhecimento do

comportamento do concreto tanto na tração quanto na compressão. Em ambos os casos,

essa representação é possível através de modelos constitutivos baseados na teoria da

plasticidade (Proença, 1988; Chen, 1982).

A teoria da plasticidade foi fundamentada para a análise de materiais metálicos.

Então, fazendo uma análise do comportamento do concreto, após uma situação de carga-

descaga-carga, conforme a Figura 2.1, é possível verificar nitidamente duas regiões

distintas (Proença, 1988).

A primeira região é limitada superiormente por uma tensão de escoamento

( yσ ), caracterizando o final do regime elástico linear. Nesta primeira etapa, para

sucessivas situações de carga e descarga, cumprindo ciclos completos de tensão, o caminho

percorrido é o mesmo, sem o aparecimento de deformações residuais.

A segunda região é caracterizada como regime plástico. Neste regime,

representado na Figura 2.1a, é evidenciado quando o corpo está solicitado por um nível de

tensão yA σσ > , o descarregamento não se dá mais pelo mesmo caminho percorrido no

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica

29

carregamento, mas por um trajetória aproximadamente paralela ao do regime elástico. No

nível nulo de tensão, ocorre o surgimento de uma deformação residual denominada de

deformação plástica. Conclui-se então que a deformação total, correspondente ao nível de

tensão Aσ , é composta de uma parcela elástica, recuperável, e outra plástica, irrecuperável.

Prosseguindo com uma nova etapa de carga, o caminho percorrido é

novamente linear, estendendo-se até um ponto B ao qual corresponde uma tensão maior

que yσ . A partir daí a tendência da curva é a de atingir a mesma região que seria definida

se o carregamento tivesse sido contínuo, sem a primeira descarga. Nessa nova etapa de

carga, a tensão de escoamento ( yσ ) tem um novo valor definido em função do

aparecimento da deformação plástica anterior. Esse fenômeno é chamado de encruamento.

O comportamento real é, por motivos de simplificação da análise teórica,

idealizado pela forma mostrada na Figura 2.1b. Despreza-se o ciclo de histerese

apresentado a partir da sucessão de carga-descarga-carga no regime plástico e admite-se

que na nova situação de carga o regime elástico linear estenda-se até o nível de tensão Aσ .

(a)

(b)

Figura 2.1 - Comportamento plástico (Proença, 1988)

A utilização de modelos plásticos na modelagem de peças de concreto vem

sendo utilizada como uma forma simplificada, pois a teoria da plasticidade não incorpora

todas as características do concreto após a fissuração. Daí a necessidade de incorporar ao

modelo plástico as teorias que considerem a fissuração do concreto.


30

Para que se possam reproduzir os fenômenos isolados do concreto, de tal modo

que proporcione resultados numéricos satisfatórios, é necessário levar em conta que na

compressão e na tração o concreto apresenta comportamentos distintos.

A hipótese básica consiste em desprezar o regime de amolecimento. O concreto

na compressão é considerado como um material de comportamento elastoplástico com

endurecimento e ductilidade limitada. Na tração admite-se que o mesmo apresente

fragilidade ao final do regime elástico linear. A Figura 2.2 ilustra o comportamento

uniaxial do concreto. Na tração o regime elastoplástico é limitado por uma tensão máxima.

Já na compressão, a principal característica é a ductilidade limitada por uma deformação

máxima.

Figura 2.2 - Comportamento Uniaxial do Concreto (Proença, 1988).

A plastificação observada no concreto em compressão, por exemplo, no caso

uniaxial para tensões entre 30% e 75% da tensão máxima de compressão, é o resultado de

um processo de microfissuração (superação da coesão interna por efeito da tensão de

cisalhamento). Na tração, adotando o critério da máxima tensão, a ruptura se dá por

separação segundo uma superfície cuja normal tem direção coincidente com a direção da

maior tensão principal de tração. Nessa situação, caracteriza-se uma perda na capacidade

de carga do material através da redução total da tensão normal associada ao plano de

ruptura. Na compressão, por outro lado, a ruptura ocorre com base no critério da máxima


31

deformação por compressão e recebe a denominação de esmagamento. O concreto nesta

situação perde todas as suas características de resistência no ponto considerado.

Deve-se observar que, nos casos unidimensionais, a ruptura aqui conceituada

pode representar de modo bastante aproximado o fenômeno físico real. Nas situações de

duas ou três dimensões, deve-se criar critérios que representem o comportamento real. O

mais utilizado é definir superfícies de plastificação e ruptura no espaço das tensões

principais e compara-las com as resultantes de tensões atuantes na estrutura. No caso da

compressão, as superfícies descritas no espaço das tensões deverão ser associadas a um

critério de deformação máxima para configurar efetivamente a ruptura. Esse critério é

representado pela chamada superfície de esmagamento descrita no espaço das

deformações.

Uma hipótese adicional, freqüentemente utilizada para simplificar a definição

das superfícies, é a de admitir que o encruamento do concreto seja do tipo isótropo. Nessas

condições, sucessivas superfícies de plastificação terão a mesma forma da superfície inicial

de plastificação, porém maior.

Para mais informações sobre modelos de plastificação no concreto sugere-se

consultar, por exemplo, os trabalhos de Chen (1982), Proença (1988) e Proença (1989). Em

anexo a este trabalho é apresentada uma revisão sucinta dos principais modelos de

plastificação que foram utilizados neste trabalho.

2.2 Comportamento Mecânico do Concreto com Fibras Metálicas

Segundo Araújo (2002) e Chunxiang; Patnaikuni (1999), a adição de fibras

curtas ao concreto melhora a ductilidade, a resistência ao impacto, a resistência à fadiga, o

controle de fissuração, o comportamento pós-fissuração e, em alguns casos, a resistência à

tração. Algumas dessas vantagens são sensíveis à quantidade e ao tipo de fibras

adicionadas. As fibras, em quantidade, comprimento e formato adequado, podem

incorporar deformações plásticas significativas à matriz, melhorando seu emprego na

construção civil, já que se pode alterar o comportamento pós-fissuração e tornar menos

brusca a ruptura do material.


32

A presença descontínua das fibras faz com que ocorra um obstáculo ao

desenvolvimento das fissuras. Quando as fibras interceptam o aparecimento das

microfissuras que surgem durante o endurecimento da pasta, as fibras impedem sua

progressão e evitam o aparecimento prematuro das microfissuras. Na mistura endurecida, a

abertura e o comprimento das fissuras também tornam-se menores.

O mecanismo básico do reforço devido as fibras deve-se à diferença na

capacidade de deformação das fibras e da matriz. Inicialmente, ambas deformam-se

conjuntamente até a ruptura da matriz quando a força resistida pela matriz é transferida

para as fibras. A idealização deste comportamento baseia-se na transferência de tensões de

aderência entre a fibra e a matriz junto às fissuras. Portanto, ele depende das propriedades

da fibra e da matriz e, principalmente, da tensão de aderência na interface entre elas.

Segundo Naaman (1998) e Araújo (2002) as fibras com ganchos nas

extremidades possuem uma maior resistência ao arrancamento do que as fibras lisas e

retas. As fibras lisas e retas perdem a aderência rapidamente com o início do

escorregamento da fibra. As fibras que possuem ganchos nas extremidades tendem a

retificar o gancho antes que ocorra o escorregamento. Estas fibras proporcionam um

aumento muito grande na energia dissipada durante o ensaio de arrancamento, Figura 2.3.

Figura 2.3 – Curva Tensão-Deslocamento no ensaio de arrancamento de fibras

(Naaman, 1998).


33

Com relação ao aumento da resistência à compressão do concreto, as fibras

raramente proporcionam um aumento superior a 25%. Nas aplicações usuais, a quantia é

normalmente limitada a 0,75% (60 kg/m³). Para essa quantia de fibras, o aumento da

resistência a compressão pode ser desprezado. Apenas quando a quantidade de fibra é

maior que 1,5% (120 kg/m³) espera-se um aumento na resistência. Em muitos casos, a

resistência pode até ser menor do que a do concreto sem a adição de fibras, uma vez que

ocorre a incorporação de vazios ao concreto quando as fibras são adicionadas (Araújo,

2002).

Para concretos convencionais, as fibras podem trazer uma contribuição na

ductilidade. A adição de 0,75% (60 k/m³) de fibras de aço com ganchos nas extremidades é

suficiente para proporcionar uma boa ductilidade ao material, enquanto que para concretos

de alta resistência é necessário a adição de 1,5% (120 kg/m³) para proporcionar uma

ductilidade semelhante.

Conforme Araújo (2002), o fator de forma e a relação de forma, l/d, influem na

ductilidade do concreto à compressão. Para as fibras lisas, o aumento do fator de forma

resulta em um aumento da ductilidade do concreto, sendo seu limite definido pela

capacidade de misturá-las ao concreto. As fibras com ganchos nas extremidades

proporcionam maior capacidade de absorção de energia ao concreto que as fibras lisas.

Nesse caso, o fator de forma também é importante, entretanto não é tão significativo

quanto nas fibras lisas.

Diversos autores trazem equações que tentam mostrar o comportamento à

compressão do concreto reforçado com fibras, incluindo o ramo de amolecimento do

concreto (“strain softening”). Neste trabalho são apresentadas, de forma resumida, algumas

equações desenvolvidas para representar a curva Tensão-Deformação do concreto com

fibras e que são utilizadas na determinação da ductilidade das vigas de concreto armado.

São apresentadas apenas curvas desenvolvidas para fibras metálicas com gancho nas

extremidades, que é o tipo analisado neste trabalho.

Ezeldin; Balaguru (1992) estudaram concretos com resistência à compressão

variando de 35 MPa a 85 MPa. Foram empregadas fibras com fatores de forma de 60, 75 e

100. O volume máximo de fibras adicionadas foi de 0,75% (60 kg/m³). A equação que

fornece a tensão no material em função de sua deformação foi definida como:


34

β

εε

β

εε

βσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

lim,

lim,

1c

c

c

c

c

c

f ( 2.1 )

onde:

55,14,32

3

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= c

fβ para Vf = 0% ( 2.2 )

( ) 926,07132,0093,1 −+= RIβ para Vf < 0,75% ( 2.3 )

RIc 000446,0002,0lim, +=ε ( 2.4 )

dWRI f

l= é o índice de reforço de fibras

Nestas equações (2.1) a (2.4), fc é a resistência do concreto (MPa), lim,cε a

deformação correspondente à tensão fc (deformação máxima), e l é o comprimento e d o

diâmetro equivalente das fibras, respectivamente. O parâmetro Wf é a fração, em peso, de

fibras adicionadas, que pode ser relacionada, de forma aproximada, com o volume de

fibras por ff VW ⋅= 24007850 , onde Vf é o volume de fibras adicionadas.

Hsu; Hsu (1994) estudaram concretos com resistência à compressão variando

de 62 MPa a 88 MPa. Foram empregadas fibras metálicas com fator de forma de 60. O

volume máximo de fibras adicionadas foi de 1,0% (80 kg/m³). A equação que fornece a

tensão no material em função de sua deformação foi definida como:

βββσ

nc

c

xnn

f +−=

1 para dxx ≤≤0 ( 2.5 )

( )( )8,07,06,0 dxxc

c ef

−−=σ para dxx > ( 2.6 )

onde:


35

lim,c

cxεε

= ( 2.7 )

cc

c

Ef

lim,

1

1

ε

β−

= para concreto sem fibra ( 2.8 )

CAfc +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3

β para concretos com fibras ( 2.9 )

( ) 501,8717,1 3 += fVA e 742,226,0 +⋅−= fVC ( 2.10 )

11lim, Cfa cc +=ε para concreto com fibra ( 2.11 )

22 CfaE cc += para concreto com fibra ( 2.12 )

002,0lim, =cε e cc fE 4700= para concreto sem fibra ( 2.13 )

Nestas equações, xd é a deformação, da curva tensão-deformação no ramo

descendente, correspondente à tensão de 0,6fc , fc é a resistência a compressão do concreto

(MPa), lim,cε a deformação correspondente à tensão fc, Ec o módulo de elasticidade

tangente inicial, e Vf o volume de fibras adicionadas. Os parâmetros n, a1, a2, C1 e C2 são

definidos pelos autores em função da resistência do concreto e do volume de fibras

adicionadas.

Mansur et al. (1999) estudaram concretos com resistência à compressão

variando de 70 MPa a 120 MPa. Foram empregadas fibras metálicas com fator de forma de

60. O volume máximo de fibras adicionadas foi de 1,5% (120 kg/m³). A equação que


β

εε

β

εε

βσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

lim,

lim,

1c

c

c

c

c

c

f para lim,cc εε ≤ ( 2.14 )


36

β

εε

β

εε

βσ

2

lim,1

lim,1

1k

c

c

c

c

c

c

k

k

f⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

= para lim,cc εε > ( 2.15 )

onde:

cc

c

Ef

lim,

1

1

ε

β−

= ( 2.16 )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5,23

1 5,2150

dV

fk f

c

l ( 2.17 )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

− 1,13,1

2 11,0150

dV

fk f

c

l ( 2.18 )

35,0lim, 00000072,000050,0 cfc fd

V ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

lε ( 2.19 )

( ) 3140010300 cfc fVE −= (MPa) ( 2.20 )

Nestas equações, fc é a resistência a compressão do concreto (MPa), lim,cε a

deformação correspondente à tensão fc, Ec o módulo de elasticidade tangencial inicial, Vf é

o volume de fibras adicionadas, l é o comprimento e d o diâmetro equivalente das fibras,

respectivamente.

Barros; Figueiras (1999) estudaram concretos com resistência à compressão

variando de 30 MPa a 60 MPa. Foram empregadas fibras metálicas com fatores de forma

de 60 e 75. O volume de fibras adicionadas foi de 0,75% (60 kg/m³). A equação que



37

( )( ) pq

c

c

c

c

c

c

c

c

pqqpf /1

lim,lim,

lim,

1−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

=

εε

εε

εε

σ ( 2.21 )

onde:

c

cs

EEpq −−=1 , 10 −

pq ( 2.22 )

fc W⋅+= 0002,00022,0lim,ε para l/d = 60 ( 2.23 )

fc W⋅+= 00026,00022,0lim,ε para l/d = 75 ( 2.24 )

fWep 394,0919,01 −−= para l/d = 60 ( 2.25 )

fWep 144,0722,01 −−= para l/d = 75 ( 2.26 )

Nestas equações, fc é a resistência do concreto (MPa), lim,cε a deformação

correspondente à tensão fc, l é o comprimento e d o diâmetro equivalente das fibras,

respectivamente. O parâmetro Wf é a fração, em peso, de fibras adicionadas, que pode ser

relacionada, de forma aproximada, com o volume de fibras por ff VW ⋅= 24007850 , onde Vf é

o volume de fibras adicionadas.

A Figura 2.4 apresenta as curvas Tensão-Deformação para representar as

equações mostradas.

Conforme Araújo (2002), em concretos convencionais utilizando porcentagens

inferiores a 3% não ocorre aumento significativo na resistência à tração. Em concretos de

alta resistência, contudo, a melhor aderência entre a fibra e a matriz pode proporcionar

aumentos de até 200% na resistência à tração.


38

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0Deformação (‰)

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

f c (M

Pa)

fc = 50 MPaVolf = 1,0%

Ezeldin; Balaguru (1992)Hsu; Hsu (1994)Mansur et al. (1999)Barros; Figueiras (1999)

Figura 2.4 – Comparação entre as equações para o traçado da curva Tensão-Deformação.

2.3 Modelo mecânico para vigas fletidas reforçadas com fibras

Conforme o ACI 544.4R (ACI, 1988), muitos modelos mecânicos têm sido

desenvolvidos para a avaliar a resistência à flexão de elementos de concreto armado

reforçados com fibras metálicas. Alguns utilizam dados experimentais de laboratório

enquanto outros utilizam a área de contato fibra-matriz ou a lei de mistura, mas todos

consideram a distribuição aleatória de fibras na matriz de cimento e a tensão de aderência

entre as fibras e a matriz.

A determinação de um modelo mecânico que forneça o momento último de

uma viga reforçada com fibras submetida à flexão é feita de forma similar ao feito para

uma viga de concreto armado submetida à flexão sem fibra. No entanto, é necessário que

se avalie a contribuição da fibra na resistência à compressão e à tração. A representação do

equilíbrio de forças está mostrado na Figura 2.5, onde existe uma contribuição do bloco de

tração e uma contribuição do bloco de compressão do concreto.


39

Figura 2.5 – Representação do equilíbrio de forças normais atuantes na seção transversal

de uma viga reforçada com fibras metálicas.

Da compatibilidade de deformações de seção transversal, obtêm-se as seguintes

relações:

xexsfc

−=

εε

( )c

csfxeε

εε += ( 2.27 )

sendo sfε a deformação do concreto com fibra metálica e x a distância da fibra de concreto

mais comprimida até a linha neutra.

A resistência à tração residual do concreto com fibra, rctff , , pode ser avaliada,

segundo o ACI 544.4R (ACI, 1988), por:

uffrctf Vdf τl3, 10.722,7

−= (MPa) ( 2.28 )

com valores de ufτ e rctff , em MPa.


40

Este valor para a tensão residual de tração do concreto com fibra, rctff , ,

entretanto é subestimado. Dessa forma, neste trabalho será adotado o valor fornecido por

Abdul-Ahad e Aziz (1999), através da seguinte equação:

ddVf ffufrctf

lτ82,0, = (MPa) ( 2.29 )

Nessas equações ufτ é a resistência ao arrancamento da fibra metálica da

matriz a base de cimento, em MPa, fV o volume de fibras adicionadas e fd o fator de

aderência da fibra com gancho, igual a 0,75.

O momento resistente da seção é avaliado pela equação:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

222x

xeehRx

dRM ffff

sn

ββ

β

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

22xeh

Rx

dRM fff

sn

ββ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

22xeh

ehbfx

dfAM fctff

ysn

ββ ( 2.30 )

A determinação dos valores de fγ é realizada conforme a equação fornecida

por Abdul-Ahad e Aziz (1999):

88,0450

.03,085,0 ≤+= d

W ff

lγ ( 2.31 )

O valor do coeficiente fβ também pode ser obtido conforme Abdul-Ahad e

Aziz (1999):

90,0450

05,085,0 ≤⋅

+= dW f

f

lβ para MPafc 56,27≤


41

90,06895

58,2705,0450

.25,01

450

.05,085,0 ≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+−+= c

fff

fdWdWll

β para

MPafc 16,5656,27 ≤≤

65,0=fβ para MPafc 16,56>

A deformação última do concreto correspondente ao seu esmagamento é dada

pela seguinte equação:

004,0450

001,0003,0lim, ≤⋅

+= dW f

c

lε ( 2.32 )

Na equação (2.32) a deformação máxima que o concreto reforçado com fibras

2pode atingir é de 4,0‰, sendo ff VW 27,3≅ a fração, em peso, de fibras adicionadas.

Nestas equações Vf é o volume de fibras adicionadas, em porcentagem, l o comprimento e

d o diâmetro equivalente das fibras, respectivamente.

A determinação do valor de x deverá ocorrer de forma iterativa, até que a

seguinte condição seja satisfeita:

csf RRR =+ ( 2.33 )

( ) bxffAehbf fcfysrctf )..(, βγ=+−

( )bf

fAehbfx

fcf

ysrctf

βγ+−

= , ( 2.34 )

Onde, uma vez equilibradas as forças normais na seção transversal, tem-se o

valor de linha neutra e com este valor o momento resistente da seção pode ser obtido pela

equação (2.30).

2.4 Ductilidade de Vigas de Concreto Armado

Segundo Farage (1995), a ductilidade é a capacidade que um material, uma

seção, um elemento estrutural ou um sistema estrutural tem de se deformar plasticamente


42

sem perda substancial de resistência. A ductilidade pode ser abordada para materiais,

concreto e aço, para elemento estrutural e para estruturas. Este trabalho tratará a

ductilidade do elemento estrutural, através de uma análise numérica.

Nas vigas, a ductilidade depende não só das propriedades dos materiais

utilizados, mas de outros parâmetros, como: tipo de solicitação, geometria do elemento,

condições de contorno e interação entre os materiais utilizados. Não há um critério único

para definir quantitativamente a ductilidade de uma determinada viga. Por esse motivo, é

possível avaliar a ductilidade das vigas utilizando alguns índices que são normalmente

utilizados para quantificar a flexão de uma viga: o índice de ductilidade global, dµ , e o

índice de ductilidade local, cµ .

A ductilidade global é uma relação entre flechas, caracterizada pela

deformabilidade de uma viga como um todo. Ela é influenciada pelos seguintes

parâmetros: vão, carregamento e tipo de apoios do elemento estrutural. O índice que

determina a ductilidade global de uma estrutura é dado na equação (2.39) e é obtido a partir

de curvas do tipo Força-Deslocamento do elemento, obtidas teoricamente ou a partir de

ensaios.

y

ud δ

δµ = ( 2.35 )

onde:

uδ - o deslocamento vertical máximo relativo à carga de ruptura.

yδ - o deslocamento vertical máximo relativo à carga correspondente ao início

do escoamento do aço da armadura longitudinal de tração.

No trabalho de Ribeiro (1996) o deslocamento correspondente ao escoamento,

yδ , é definido como sendo aquele correspondente ao ponto de intersecção, no diagrama

Força – Deslocamento, da tangente ao trecho elástico-linear com a reta plástica, Figura 2.6.


43

Figura 2.6 – Curva Força – Deslocamento utilizada para a quantificação da ductilidade

global de vigas de concreto armado (Ribeiro, 2003).

A ductilidade local é obtida utilizando curvas do tipo Momento-Curvatura

obtidas de forma teórica ou experimental. Neste caso, os parâmetros influentes são apenas

as características da seção transversal e dos materiais.

y

uc φ

φµ = ( 2.36 )

sendo:

uφ - Curvatura da viga relativa ao momento fletor último;

yφ - Curvatura da viga relativa ao momento fletor correspondente ao início do

escoamento do aço da armadura longitudinal de tração.

Conforme Gamino (2003), a curvatura “ yφ ” pode ser obtida através do ponto

de intersecção de duas retas no diagrama Momento-Curvatura: uma formada pelo ponto de

origem e o ponto correspondente a 75% do momento nominal (Mn) e a outra uma reta

horizontal correspondente ao momento nominal (Mn). O momento nominal, neste caso,

corresponde à deformação de 3,5‰ na fibra mais comprimida da seção transversal, (Figura

2.7). Já a curvatura “ uφ ” e o deslocamento “ uδ ” são obtidos no momento da ruptura do

elemento estrutural.


44

Figura 2.7 – Curva Momento-Curvatura utilizada para a quantificação da ductilidade local

de vigas de concreto armado (Gamino, 2003).

Dentre os fatores que influenciam a ductilidade destacam-se: quantidade de

armadura longitudinal tracionada; tipo de aço (com patamar de plastificação ou não) e a

resistência deste; tipo de armadura tracionada (passiva e/ou ativa); presença ou não de

armadura de compressão; quantidade e arranjo de estribos; forma da seção transversal, com

ou sem flange; relação entre dimensões lineares (efeito escala); resistência do concreto;

dentre outros.

Gamino (2003) e Gamino; Barbosa (2003) realizaram um trabalho no qual foi

analisada a ductilidade de vigas de concreto armado, executadas com concreto de alto

desempenho, através de uma abordagem numérica. A determinação da ductilidade se deu

através dos índices de ductilidade global ( dµ ) e de ductilidade local ( cµ ).

Esses trabalhos analisaram seis variáveis que poderiam afetar a ductilidade de

vigas de concreto: resistência à compressão do concreto, taxa geométrica de armadura

longitudinal de tração, tensão de escoamento das armaduras, espaçamento entre estribos,

base do elemento estrutural e efeito escala.

Foram avaliados dois casos de flexão simples, um com duas forças

concentradas e outro com uma força concentrada no meio do vão.

Os resultados numéricos foram comparados com resultados experimentais de

seis vigas ensaiadas por outros pesquisadores. Foram utilizadas três vigas ensaiadas por

Barbosa (1998), apud Gamino (2003), denominadas vigas 1, 2 e 3. As outras três vigas


45

utilizadas por Gamino (2003) foram às vigas 1-R, 2-A e 3-B ensaiadas por Ribeiro (1996).

As características físicas e mecânicas das vigas encontram-se na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 – Propriedades físicas e mecânicas das vigas experimentais utilizadas nas modelagens de Gamino (2003).

Viga fc (MPa) fy (MPa) Ec (GPa) Es (GPa)

1 40,0 620 38,2 210,0 2 75,0 830 42,0 210,0 3 100,0 830 51,2 210,0

1-R 28,3 560 -- 186,21 2-A 65,5 540 -- 186,21 3-B 68,0 540 -- 186,21

Os detalhes das vigas utilizadas nas modelagens de Gamino (2003) estão

mostrados nas Figuras 2.11 a 2.14.

Figura 2.8 – Detalhe das vigas 1, 2 e 3 ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (2003).

Figura 2.9 – Detalhe da viga 1-R ensaiada por Ribeiro (1996).


46

Figura 2.10 – Detalhe da viga 2-A ensaiada por Ribeiro (1996).

Figura 2.11 – Detalhe da viga 3-B ensaiada por Ribeiro (1996).

Conforme Gamino (2003), os resultados, em termos gerais, apresentaram boa

concordância entre os valores experimentais e os numéricos. No entanto, o autor percebeu

que as forças últimas numéricas foram superiores aos resultados obtidos

experimentalmente. O autor sugeriu que isto ocorreu em função da adoção da hipótese de

aderência perfeita entre o aço e concreto, não havendo a possibilidade, portanto, de

deslocamentos relativos entre eles.

Gamino (2003) não encontrou um modelo constitutivo para o concreto que

englobasse todos os comportamentos do mesmo. O autor encontrou muitas dificuldades

durante as modelagens para a determinação de um modelo computacional que garantisse

uma conformidade entre os resultados numéricos e experimentais, e não apresentasse

problemas de convergência.

As modelagens realizadas por Gamino (2003) proporcionaram as seguintes

conclusões:


47

• Quando se manteve constante a taxa de armadura longitudinal de tração,

bρρ , e ampliou-se o valor da resistência à compressão do concreto,

observou-se um decréscimo nos índices de ductilidade global e local;

• O aumento da taxa geométrica de armadura longitudinal de tração

provocou uma diminuição na ductilidade;

• O aumento da tensão de escoamento das armaduras longitudinais de tração

causou uma redução na ductilidade das vigas de concreto armado;

• O aumento do espaçamento dos estribos causou uma diminuição no

deslocamento último alcançado pelas vigas, o que ocasionou uma redução

na ductilidade das mesmas;

• O aumento da base do elemento estrutural provocou um aumento na rigidez

e nas forças de fissuração. Isso causou uma ampliação também dos valores

últimos dos deslocamentos e das curvaturas, o que conseqüentemente

causou o aumento dos índices de ductilidade global e local.

• Observou-se que o estudo do efeito escala provocou um aumento na

esbeltez na região de momento fletor constante. Isto proporcionou um

comportamento mais frágil nas vigas de concreto armado. Paralelamente a

isso, o autor percebeu que os deslocamentos e as curvaturas últimas

permaneceram praticamente constantes, os deslocamentos e as curvaturas,

correspondentes ao escoamento das armaduras longitudinais de tração,

sofreram um aumento, isto provocou uma queda nos índices de ductilidade

global e local.

Ho et al. (2004) realizaram a verificação da ductilidade mínima em concretos

de alta resistência utilizando o índice de ductilidade local, cµ . Para tanto os autores

variaram a resistência à compressão do concreto e a tensão de escoamento do aço.

Ho et al. (2004), apresentaram uma lista de normas onde a ductilidade mínima

em vigas é prescrita:


48

• Norma Americana ACI 318, item 10.3.3: limita a taxa de armadura

longitudinal de tração a um valor não maior que bρ75,0 .

• Norma Neozelandesa NZS 3101, item 8.4.2: restringe a altura da linha

neutra obedecendo a relação 75,0≤bx

x para qualquer resistência do

concreto.

• Norma Britânica BS 8110, item 3.4.4.4: determina que seja seguida a

relação 50,0≤dx para todos os concretos com MPafc 100≤ .

• Norma Européia EC 2, item 2.5.3.4.2; determina a relação 45,0≤dx para

concretos com MPafc 50< e 35,0≤dx para concretos com MPafc 50≥ .

• Norma chinesa GBJ 11, item 6.3.2: determina que seja seguida a relação

35,0≤dx para todas as resistências de concretos.

Além destas normas internacionais, cita-se a norma brasileira:

• NBR6118 (2003), item 14.6.4.3: limita a redistribuição de momentos e

condições de ductilidade, determinando a relação 50,0≤dx para concretos

com MPafc 35≤ e 40,0≤dx para concretos com MPafMPa c 5035 ≤< .

Ho et al. (2004) estudaram o comportamento não-linear à flexão e a ductilidade

das vigas de concreto armado através da variação da resistência dos materiais. Os autores

encontraram uma forma para determinar o índice de ductilidade local das seções

transversais das vigas sub-armadas e superarmadas. O índice de ductilidade foi

determinado em função de ( )0b

ct

ρρρ − ou

bxx . Sendo, a relação ( )

0b

ct

ρρρ − a representação da

variação das taxas de armaduras de tração e compressão em relação à taxa de armadura

balanceada sem armadura de compressão. A outra relação, bxx , representa a altura relativa

da linha neutra em função da altura da linha neutra da armadura balanceada. A armadura


49

balanceada corresponde à armadura determinada na fronteira entre os Domínios 3 e 4.

Porém, as relações cµ -( )

0b

ct

ρρρ − e cµ -

bxx dependem da resistência do concreto e da

resistência do aço. As normas tratam de forma diferenciada a ductilidade das peças,

limitando a altura da linha neutra ou a taxa de armadura em função da resistência dos

materiais. Os autores sugeriram um valor mínimo único para o índice de ductilidade local

de 32,3=cµ que independe da resistência do concreto. Baseado neste valor, é possível

limitar o valor máximo da taxa de armadura ( )ct ρρ − de modo a garantir uma ductilidade mínima para as vigas de concreto armado.

2.5 Modelagem numérica de vigas reforçadas com fibras metálicas

Conforme Simões e Napoleão Filho (1997), tem-se conseguido fabricar

concreto com resistência à compressão cada vez mais elevada e isso tem causado uma

redução da sua ductilidade que é um fator imprescindível como critério de projeto. Tal fato

é comprovado por ensaios de compressão uniaxial de cilindros de concreto de diferentes

resistências. Isto impõe uma limitação ao uso do concreto de alta resistência (CAR), que

normalmente tem resistências à compressão, fc, maiores que 60 MPa. Isto torna o uso do

CAR em estruturas de certo modo complicado, principalmente naquelas onde o critério

principal de projeto é a ductilidade, como as estruturas sujeitas a abalos sísmicos, impactos

e explosões.

Por outro lado, a adição de fibras metálicas ao concreto de alta resistência é

uma forma eficaz de aumentar a tenacidade desse material. O mecanismo de reforço das

fibras permite que uma maior parcela de energia de deformação seja absorvida até a

ruptura do concreto, suavizando sua resposta no trecho pós-pico do diagrama tensão-

deformação ( εσ − ), tanto na compressão quanto na tração. Observa-se também que a

presença das fibras proporciona um aumento na resistência à tração e na deformação

associada, retardando o início do processo de fissuração. Além disso, as fibras induzem

uma distribuição de fissuras mais gradual e uniforme (Simões, 1998). Desta forma, a

adição de fibras metálicas ao CAR possibilita a obtenção de um material com atributos

favoráveis com relação à ductilidade e à capacidade de carga.


50

Estruturas executadas com esse material são, em geral, mais eficientes, devido

à diminuição das dimensões dos elementos e à menor necessidade de armadura

convencional. Mas a falta de modelos constitutivos para o CAR reforçado com fibras tem

forçado o seu uso apenas em pavimentos e pisos.

Padmarajaiah e Ramaswamy (2002) realizaram um estudo para a determinação

da resistência à flexão de vigas de concreto armado e protendido executadas com concreto

de alta resistência reforçado com fibras de aço. A modelagem utilizou o programa ANSYS

Release 5.5.

Para simular o efeito das fibras de aço inseridas na matriz a base de cimento, o

trabalho foi dividido em duas partes:

• Primeiro: o estado de tensão mutiaxial do concreto reforçado com fibras foi

simulado pela modificação dos parâmetros usados para descrever a

superfície de ruptura do concreto e as propriedades da curva tensão-

deformação, εσ − .

• Segundo: as fibras, orientadas na direção do vão da viga, foram modeladas

com elementos de treliça de modo que elas pudessem combater as fissuras

do concreto, fornecendo uma resistência adicional através da ação e da

costura das fibras.

Padmarajaiah; Ramaswamy

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