UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

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Introducción

Rafael Salas Febrero de 2007

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Referencia básica

Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press.

Nociones de bienestar (medidas de bienestar) y

políticas sociales.

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Objetivos

Desigualdad, bienestar, pobreza, progresividad, redistribución

Comparar dos distribuciones: 2 países1 país en dos periodos1 país antes y después de impuestos o gasto público

4

Índice

Introducción Medición de la desigualdad: metodología Índices de desigualdad Pobreza

5

Introducción

Bases de datos

Individual: Ej. Panel de hogares de la UE, Encuesta Presupuestos Familiares Agrupada: Tabulada por intervalos

Unidad de análisis:• Definición de la unidad de análisis: hogar, individuo• Definición nivel de vida: renta, gasto, riqueza

• Escalas de equivalencias:• Escala OCDE: E=1+0.7(A-1)+0.5N• Escala Coulter et al. (1992) E=nθ, θ[0,1] Ej: θ=0,5• Escala Cutler (1992) E=(A+cN)θ, c, θ[0,1]• Deaton, Zaidi (2002) E=(A+c1N1+c2N2)θ c1,c2 θ[0,1] Ej: c1=0,5;c2=0,75

θ=0,9

N=número de niños (N1, menores de 6 años, N2, entre 6 y 14 años)A=número de adultosn= número total

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Riqueza

• Share of top…• 1% 5% 10% Gini• USA 1983 35 56 0,79• France 1986 26 43 0,71• Denmark 1975 25 48 65• Germany 1983 23• Canada 1984 17 38 51 0,69• Australia1986 20 41 55• Italy 1987 13 32 45 0,6• Korea 1988 14 13 43 0,63• Ireland 1987 10 29 43• Japan 1984 25 0,52• Sweden 1985 16 37 53• Source: See Davies and Shorrocks (2000) p637

7

Consumo

Gini coefficient

Year Consumption Income

Albania 1996 0.252 0.392

Bulgaria 1995 0.274 0.392

Bangladesh 2000 0.334 0.392

Vietnam 1998 0.362 0.489

Nepal 1996 0.366 0.513

Morocco 1998 0.390 0.586

Nicaragua 1998 0.417 0.534

Thailand 2000 0.428 0.523Peru 1994 0.446 0.523

Panama 1997 0.468 0.621

Russia 1997 0.474 0.478

Brazil 1996 0.497 0.596

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Introducción

Representación de la distribución:

• F. densidad• F. de distribución

• Distribuciones discretas y contínuas

9

Introducción

Distribuciones discretas, con N hogares y ordenadas:

x1 x2 ··· xN

Frecuencias o densidad relativa:

Nj/N hogares en el intervalo [x, x+x]

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F. densidad

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

500000 2500000 4500000 6500000 8500000 10500000

sin EE

EE 0.5

11

F. densidad y distribución:intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares

500000 24 24 0,012

1000000 238 214 0,107

1500000 489 251 0,1255

2000000 734 245 0,1225

2500000 972 238 0,119

3000000 1164 192 0,096

3500000 1315 151 0,0755

4000000 1467 152 0,076

4500000 1582 115 0,0575

5000000 1656 74 0,037

5500000 1731 75 0,0375

6000000 1793 62 0,031

6500000 1835 42 0,021

7000000 1862 27 0,0135

7500000 1893 31 0,0155

8000000 1918 25 0,0125

8500000 1939 21 0,0105

9000000 1950 11 0,0055

9500000 1961 11 0,0055

10000000 1970 9 0,0045

10500000 1977 7 0,0035

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F. densidad y distribución θ=0.5:intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares

500000 23 23 0,0115

1000000 75 52 0,026

1500000 378 303 0,1515

2000000 682 304 0,152

2500000 962 280 0,14

3000000 1195 233 0,1165

3500000 1388 193 0,0965

4000000 1537 149 0,0745

4500000 1656 119 0,0595

5000000 1734 78 0,039

5500000 1803 69 0,0345

6000000 1845 42 0,021

6500000 1884 39 0,0195

7000000 1917 33 0,0165

7500000 1934 17 0,0085

8000000 1949 15 0,0075

8500000 1962 13 0,0065

9000000 1968 6 0,003

9500000 1976 8 0,004

10000000 1979 3 0,0015

10500000 1981 2 0,001

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F. densidad

Distribuciones contínuas, para N muy grande:

Función de densidad relativa:

Nj/N hogares en el intervalo [x, x+dx] a lo que converge la función discreta cuando x tiende a cero. Se denomina f(x)dx que es la frecuencia o probabilidad de que un hogar obtenga x de renta.

Nf(x)dx expresa el total de hogares con renta xNxf(x)dx expresa el total de renta de los hogares con renta x

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F. densidad

Función de densidad relativa:

Si hacemos la integral de esas expresiones de 0 a infinito: calculamos esos valores para toda la población. Si hacemos la integral entre a y b, calculamos los valores respectivos para la población entre a y b.

Expresan la proporción de hogares, el total de hogares y el total de renta entre a y b, respectivamente

b

adxxfN )(

b

adxxf )(

b

adxxxfN )(

15

F. densidad

Expresiones:

NdxxfN

0)(

1)(0

dxxf

totalrentadxxxfN

0)(

totalmediarentadxxxf

0

)(

16

F. densidad

Expresión útil de la densidad relativa:

totalNarelaciónenpoblaciónesademediarenta

dxxxfb

a )(

17

F. distribución

Función de distribución: es el acumulado de la función

de densidad

indica la proporción de hogares con renta inferior o igual a x.

t

dttfxF0

)()(

x

xFxf

)(

)(

18

F. distribución

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

500000 2500000 4500000 6500000 8500000 10500000

sin EE

EE 0.5

19

Expresiones

Expresiones útiles:

donde m es la mediana (expresar gráficamente).

2

1)( mF

ianzadxxfx var)()( 2

0

2

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Medición de la desigualdad y la pobreza

• Introducción

• Ínteres por temas distributivos Atkinson (JET, 1970)• Estudios sobre desigualdad, redistribución, desigualdad

horizontal, desigualdad de oportunidades, privación, movilidad, polarización, etc.

• A partir de Sen (1976) se formaliza el análisis de la pobreza: tiene elementos comunes con la desigualdad. Y surgen otros: exclusión social.

• Análisis axiomáticos• Vínculos normativos, con marcos de evaluación social y

conexión con la política económica

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• Desigualdad económica

• Atkinson (JET, 1970), algunos ven en Kolm (1969) el comienzo

• La desigualdad trata de medir la dispersión de la distribución de la renta o la riqueza

• Se establecen una serie de axiomas: destacamos el principio de las transferencias Pigou-Dalton: una transferencia de un individuo más rico a uno más pobre reduce la desigualdad

• Índices consistentes: Gini, Theil, Indices de Atkinson, etc.• Tests de dominancia: Curva de Lorenz• Vínculo con bienestar: Curva de Lorenz generalizada,

Shorrocks (1980)

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Línea de igualdad

Proporción acumulada de renta

Proporción acumulada de ind.

5%

25%

20%

50%

55%

75%

Curva de Lorenz.

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• Pobreza

• Sen (1976) plantea un análisis axiomático• Siguiendo a Lambert (2003):

• Identificación• Cuantificación • Agregación

• Índices de Pobreza• Criterios de dominancia

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• Identificación

• ¡Quién es pobre!• Enfoque operativo:

• Definición nivel de vida• Definición de la unidad de análisis: hogar,

individuo • Definición del umbral de pobreza

• Pobreza absoluta-pobreza relativa

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• Cuantificación

• ¿Cómo de pobres son los pobres?• Nos preguntamos por la intensidad

• Definición de función de intensidad

• T(xi, Z)=

• en términos de la brecha de la pobreza Z-xi (poverty gap)

• Cuantificación o intensidad es 0 si xi > Z (Focus axiom)• La función f(Z-xi) es determinante

Zxi

ZxixiZf

0

)(

28


• Ejemplo 1: 4 individuos

Dados X=(x1,x2,x3,x4) = (1,2,3,14) Z=2.5 (50% de la mediana)

CASO A: f(Z-xi)=1 = (Z-xi)0

Entonces, T1=1, T2=1, T3=0, T4=0.

CASO B: f(Z-xi)=Z-xi Entonces, T1=1.5; T2=0.5; T3=0; T4=0.

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• Agregación

• ¡Cómo se agregan las funciones de intensidad!• Una posibilidad, se hace la media aritmética para todos los

individuos:

• P(X, Z)=

• Con ello obtenemos la clase de índices aditivamente separables

• En los casos 1A y 1B anteriores valdría P(X, Z)=0,5

n

i

n

i n

xiZf

n

ZxiT11

)(),(

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• Índices de pobreza

• Ratio de pobreza H(X, Z) “headcount ratio”• El más utilizado

• H(X, Z)=

• Donde q es el número de individuos por debajo de Z

• Corresponde al caso 1A anterior • La función f(Z-xi)=1• Mide sólo la incidencia, no la intensidad (pega)

n

q

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• Déficit de pobreza D(X, Z) “poverty deficit”• Captura además la intesidad

• D(X, Z)=

Se puede expresar como:

• D(X, Z)=H(X, Z)(Z-Z)

• Corresponde al caso 1B anterior • La función f(Z-xi)=Z-xi• Mide sólo la incidencia y la intensidad , aunque no la

desigualdad (pega)

Zn

i n

xiZ1

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• Déficit de pobreza normalizado d(X, Z) “normalized poverty deficit”

• Se obtiene partiendo de la función de intensidad igual a la brecha de pobreza normalizada f(Z-xi)=(Z-xi)/Z

• d(X, Z)=

Se puede expresar como:

• D(X, Z)=H(X, Z) I(X, Z)

• donde I(X, Z)= 1-

• es el ratio de la brecha de la pobreza (Zheng, 2000 y Lambert, 2003)

Zn

i Zn

xiZ1

Z

Z

33



• Medida de Foster, Greer, Thorbecke 1984 PFGT(X, Z) • Se obtiene partiendo de la función de intensidad igual a la

brecha de pobreza normalizada transformada f(Z-xi)=((Z-xi)/Z), 0

• PFGT(X, Z)=

Introduce la tercera dimensión, desigualdad entre los pobres >1 (coherente con el principio de transferencias por debajo de Z)

• PFGT(X, Z) puede expresarse en función de H(X, Z), d(X, Z) y el coeficiente de variación (para =2)

=0 implica H(X, Z) =1 implica d(X, Z) • Descomponibilidad aditiva en subgrupos de población

Zn

i n

ZxiZ1

)/)((

34



• Índice de Sen 1976 PSEN(X, Z) • Se obtiene partiendo de un conjunto de axiomas

• PSEN(X, Z)=H(X, Z){I(X, Z)+[1-I(X, Z)]G}

Introduce la tercera dimensión, desigualdad entre los pobres. Esta vez medida por el índice de Gini de los individuos por

debajo del umbral de pobreza Z

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• Tests de dominancia

• Curvas TIPs Jenkins y Lambert (1997) y Shorrocks (1998) • Se obtienen acumulando de mayor a menor las brechas de

pobreza normalizadas (Z-xi)/Z

• Permite comparar dos distribuciones sin necesidad de aplicar índices: de acuerdo con los principios de incidencia, intensidad e inequidad

• Criterio más robusto

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Proporción depoblación

10 Incidencia(longitud)

q=i/n

Poverty gapAcumulado y noralizado

Intensidad(altura)

TIP (g;p)

Curvatura(desigualdad)

-Curvas TIPs normalizadas:

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INDICES DE POBREZA EN EL PERÍODO 1994-1997

Pobreza

Personas Hogares

1994 1995 1996 1997 1994 1995 1996 1997

Relativa (U50)

H 20,1 19,2 19,9 19,5 19,1 17,7 18,0 17,6

FGT1 6,6 6,3 7,3 7,1 6,0 5,3 6,1 5,9

FGT2 3,5 3,4 4,3 3,9 3,2 2,8 3,6 3,2

Moderada (U40)

H 11,8 11,3 12,5 12,8 10,9 9,4 10,4 10,6

FGT1 4,3 4,1 5,2 4,8 3,8 3,4 4,2 3,9

FGT2 2,5 2,3 3,2 2,8 2,3 2,0 2,7 2,3

Extrema (U25)

H 4,7 4,2 6,6 5,8 4,2 3,6 5,0 4,5

FGT1 2,2 2,0 2,9 2,4 2,0 1,7 2,3 2,0

FGT2 1,4 1,3 1,9 1,5 1,3 1,2 1,6 1,3

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INDICES DE POBREZA EN EL PERÍODO 1994-1997

POBLACIÓN POR DEBAJO DE DISTINTOS NIVELES DE RENTA EN RELACIÓN A LA MEDIA Y LA MEDIANA, 1994

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

< 10

< 20

< 30

< 40

< 50

< 60 <7

0<

80<

90

< 10

0

% P

erso

nas

1994-Media

1994-Mediana

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