UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Introducción
Rafael Salas Abril de 2011
2
Referencia básica
Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press.
Nociones de bienestar (medidas de bienestar) y
políticas sociales.
3
Objetivos
Desigualdad, bienestar, pobreza, progresividad, redistribución
No solo importa la renta media, crecimiento medio
Comparar dos distribuciones:2 países1 país en dos periodos1 país antes y después de impuestos o gasto público
4
Índice
Introducción Medición de la desigualdad: metodología
Enfoque ordinal (parcial)
Índices de desigualdad Enfoque cardinal (completo)
Bienestar: enfoque parcial/completo Pobreza: enfoque parcial/completo
Desigualdad de oportunidades
5
Introducción
Bases de datos
Individual: Ej. Panel de hogares de la UE, Encuesta Presupuestos Familiares
Agrupada: Tabulada por intervalos
6
Introducción
Unidad de análisis:• hogar, individuo, unidad fiscal
• Definición nivel de vida: • renta, gasto, riqueza
• Escalas de equivalencias:• Escala OCDE: E=1+0.7(A-1)+0.5N• Escala Coulter et al. (1992) E=nθ, θ[0,1] Ej: θ=0,5• Escala Cutler (1992) E=(A+cN)θ, c, θ[0,1]• Deaton, Zaidi (2002) E=(A+c1N1+c2N2)θ c1,c2 θ[0,1] Ej: c1=0,5;c2=0,75
θ=0,9
N=número de niñosA=número de adultosn= número totalN1, menores de 6 años, N2, entre 6 y 14 años
7
Introducción
Representación de la distribución:
• F. densidad• F. de distribución
• Distribuciones discretas y contínuas
8
Introducción
Se supone que la distribución de la renta en una
población es una variable aleatoria, que se puede representar primariamente por una:
• F. densidad• F. de distribución
• Distribuciones discretas y contínuas. En trabajo empírico, discretas y en trabajo teórico, contínuas.
9
Introducción
Distribuciones discretas, con N hogares (o individuos) y
ordenados:
0 x1 x2 ··· xN
Frecuencias o densidad relativa:
NJ/N hogares en el intervalo J, [x, x+x]
10
F. densidad
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
500000 2500000 4500000 6500000 8500000 10500000
sin EE
EE 0.5
11
F. densidad y distribución:intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares
500000 24 24 0,012
1000000 238 214 0,107
1500000 489 251 0,1255
2000000 734 245 0,1225
2500000 972 238 0,119
3000000 1164 192 0,096
3500000 1315 151 0,0755
4000000 1467 152 0,076
4500000 1582 115 0,0575
5000000 1656 74 0,037
5500000 1731 75 0,0375
6000000 1793 62 0,031
6500000 1835 42 0,021
7000000 1862 27 0,0135
7500000 1893 31 0,0155
8000000 1918 25 0,0125
8500000 1939 21 0,0105
9000000 1950 11 0,0055
9500000 1961 11 0,0055
10000000 1970 9 0,0045
10500000 1977 7 0,0035
12
F. densidad y distribución θ=0.5:intervalos de renta; hogares acumulados, hogares; porcentaje de hogares
500000 23 23 0,0115
1000000 75 52 0,026
1500000 378 303 0,1515
2000000 682 304 0,152
2500000 962 280 0,14
3000000 1195 233 0,1165
3500000 1388 193 0,0965
4000000 1537 149 0,0745
4500000 1656 119 0,0595
5000000 1734 78 0,039
5500000 1803 69 0,0345
6000000 1845 42 0,021
6500000 1884 39 0,0195
7000000 1917 33 0,0165
7500000 1934 17 0,0085
8000000 1949 15 0,0075
8500000 1962 13 0,0065
9000000 1968 6 0,003
9500000 1976 8 0,004
10000000 1979 3 0,0015
10500000 1981 2 0,001
13
F. densidad
Distribuciones contínuas, para N muy grande:
Función de densidad relativa:
A lo que converge NJ/N hogares en el intervalo [x, x+x] cuando x tiende a cero. Se denomina f(x)dx y expresa la frecuencia o la probabilidad de que un hogar obtenga rentas en el entorno de x: [x, x+dx].
Nf(x)dx expresa el total de hogares con renta xNxf(x)dx expresa el total de renta de los hogares con renta x
14
F. densidad
Función de densidad relativa:
Si hacemos la integral de esas expresiones de 0 a infinito: calculamos esos valores para toda la población. Si hacemos la integral entre a y b, calculamos los valores respectivos para la población entre a y b.
Expresan la proporción de hogares, el total de hogares y el total de renta entre a y b, respectivamente
b
adxxfN )(
b
adxxf )(
b
adxxxfN )(
15
F. densidad
Expresiones continuas:
NdxxfN
0)(
1)(0
dxxf
totalrentadxxxfN
0)(
0)( dxxxf
16
F. densidad
Expresiones continuas: Discretas:
NdxxfN
0)(
1)(0
dxxf
totalrentadxxxfN
0)(
0)( dxxxf
1)(1
N
iixf
NxfNN
ii
1
)(
N
iixN 1
1
totalrentaxN
ii
1
17
F. densidad
Expresión útil de la densidad relativa:
byaentrepoblaciónesadetotalrenta
dxxxfNb
a )(
18
F. distribución
Función de distribución: es el acumulado de la función
de densidad
indica la proporción de hogares con renta inferior o igual a x.
x
dttfxF0
)()(
x
xFxf
)(
)(
j
iij xfxF
1
)()(
19
F. distribución
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
500000 2500000 4500000 6500000 8500000 10500000
sin EE
EE 0.5
20
Expresiones
Mediana m:
Moda mo:
Varianza:
2
1)( mF
0
22 )()( dxxfx
0)(' mof
2/)1(
1
N
iixm
N
iixN 1
22 )(1
21
F. cuantílica
Función cuantílica: es la inversa de la función de
distribución
Donde p es el cuantil p correspondiente.
Gráficamente es la parada (desfile) de los enanos, Pen (1974).
10)(:inf)(1 ppxFxpF
22
Parada de los enanos
23
Bienestar
Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:
W:R+R como:
donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava
0
)()( dxxfxuW
24
Bienestar
Funciones de Bienestar Social. Utilidad esperada:
W:R+R como: W:RN
+R como:
donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava
0
)()( dxxfxuW
N
i ixuN
W1
)(1
25
Bienestar
Funciones de Bienestar Social. Dependientes del
rango, Yaari 1987, 1988:
W:R+R como: :
donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.
1
0
1 )()( dppFpwW
26
Bienestar
Funciones de Bienestar Social. Dependientes del
rango, Yaari 1987, 1988:
W:R+R como: : W:RN
+R como:
donde w(p) es no negativo, no creciente y suman la unidad.
1
0
1 )()( dppFpwW
N
iixNiwW
1
)/(
27
C. Lorenz
Curva de Lorenz. Partimos de la versión discreta p= j/N:
• El porcentaje del renta total que gana el cuantil p= j/N más
pobre.
N
x
x
xNjL
j
i i
N
i i
j
i i
1
1
1)/(
28
5
Persona j
1
2
3
4
15
35
45
0.50
0.75
1.00
5
20
55
100
0.05
0.20
0.55
1.00
0.25
Veámoslo con el ejemplo
Curva de Lorenz
j
i ix1N
jxF j )(jx
N
i i
j
i i
x
xNjL
1
1)/(
29
Proporción acumulada de renta
Proporción acumulada de ind.
5%
25%
20%
50%
Representamos esto...
75%
55%
A
B
30
Línea de igualdad
Proporción acumulada de renta
Proporción acumulada de indivi
En caso de máxima desigualdad...
Max desigualdad
31
Así pues, cualquier distribución de renta cuya curva de Lorenz esté más cercana a la diagonal ...
Es más igualitaria
Sin embargo tendremos dificultades para comparar dos distribuciones cuando...
Sus dos curvas de Lorenz se cortan
Curva de Lorenz
32
C. Lorenz
Partimos de la versión contínua p= F(x) Entonces
Gastwirth (1971) agregado de la f. cuantílica normalizada:
x
xx
dtttf
N
dtttfN
dtttfN
dtttfNpL
0
0
0
0 )()(
)(
)()(
10)(
)( 0
1
pduuF
pL
p
33
C. Lorenz
TEOREMA Pendiente de la curva de Lorenz L(p)=y/
DEMOSTRACIÓN
IMPLICACIONES: Entonces L(p) es creciente y convexa. La pendiente en el percentil de la media es 1. El índice de Schulz es:
))(()( FLFS
y
yf
yyf
dydp
dypdL
dp
pdL
)(
/)(
/
/)()(
34
Proporción acumulada de renta
Proporción acumulada de ind.
En términos contínuos...
A
B
S
35
C. Lorenz
Si la curva de Lorenz de una distribución A va por encima de la de una distribución B (AB):
Para todo conjunto de individuos más pobres p, en A reciben más proporción de renta total que en B (hay inequívocamente menos desigualdad) y para todo conjunto 1-p de individuos más ricos, en A reciben menos proporción de renta que en B (inequívocamente menos desigualdad).
Esta unanimidad no ocurre cuando se cortan las curvas de Lorenz.
]1,0[),()( ppLpL BA
36
C. Lorenz
El índice de Gini es:
o alternativamente
que coincide con 1-2B=2A del gráfico anterior
dppLpG )(21
0
1
0)(21 dppLG
37
I.Gini
2
1 1
2N
xx
G
N
j
N
iji
Si lo ordenamos de menor a mayor:
21
1
)12()12(
N
Nix
N
Ni
N
xG
N
iiN
i
i
Originalmente Gini 1914:
38
I.Gini
2
11
)2(
N
Nkkxk
Gi
i
jj
n
iii
Si agrupado: x1, k1 veces,…., xn, kn veces:
39
I. Gini
))(,(2
yFyCovG
NN
NxxxxG NNN 1)...32(2
12
121
Yitzhaki (1998) “More than a dozen alternative ways of spelling Gini”,
REI.
40
Otros índices descriptivos
N
xV
N
ii
1
2
2
Otra mediada de dispersión, la desviación media relativa:
Hemos hablado de la varianza:
N
xDMR
N
ii
1
41
Otros índices descriptivos
La DMR tiene interpretaciones gráficas:
Desfile de los enanos
Curva de Lorenz: equivale a 2S, S= coeficiente de Schulz
La desviación típica de los logaritmos:
2/1
1
2log
log
log
N
xN
ixi i
42
Ejercicio
Dibujar la curva de Lorenz para 2001 de los
hogares españoles y computar el índice de Gini.
43
C. Concentración
Partimos de la versión discreta p= j/N Entonces ordenamos T por la variable X (renta
antes de impuestos)
El porcentaje del impuesto total que paga el j/N porcentaje más pobre.
T
j
i i
N
i i
j
i iXT N
T
T
TNjL
1
1
1, )/(
44
C. Concentración
Partimos de la versión contínua p= j/N Entonces ordenamos T por la variable X (renta
antes de impuestos)
El porcentaje del impuesto total que paga el p porcentaje más pobre.
0 0, 0
0
( ) ( ) ( )( )
( )
y y
y
T X
N Tf x dx N Tf x dx Tf x dxL p
Nt tN Tf x dx
45
C. Concentración
No es la curva de Lorenz ni tiene sus
propiedades, aunque la curva de concentración coincide con la Lorenz en el caso:
Aunque genéricamente:
)/()/(, NjLNjL XXX
)/()/(, NjLNjL XXT
46
C. Concentración
Un impuesto es progresivo si:
Relación importante si hacemos Y=X-T y t=tipo medio:
)/()1()/()/( ,, NjLtNjtLNjL XYXTX
jNjLNjL XXT ),/()/(,
júnaNjLNjL XXT lg),/()/(,
47
C. Concentración
De otra forma:
Definimos el coeficiente de concentración de T:
)/()/()/()/( ,, NjLNjLNjLNjL XXTXXY
1
0 ,, )(21 dppLC XTXT
48
C. Concentración
Definimos el coeficiente de concentración de T y el de X-T
análogamente:
Entonces índice de progresividad de Kakwani:
Veremos su relación con el índice de redistribución:
1
0 ,, )(21 dppLC XTXT
XXT GCK ,
YX GG
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Introducción
Rafael Salas Abril de 2011
50
Deigualdad versus PIB per capita
DESIGUALDAD versus PIB per capita
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 45.000 50.000
PIB per capita
de
sig
ua
lda
d
Fuente:http://devdata.worldbank.org/wdi2005/Table1_1.htmhttp://devdata.worldbank.org/wdi2005/Table2_7.htm
51
Riqueza
• Share of top…• 1% 5% 10% Gini• USA 1983 35 56 0,79• France 1986 26 43 0,71• Denmark 1975 25 48 65• Germany 1983 23• Canada 1984 17 38 51 0,69• Australia1986 20 41 55• Italy 1987 13 32 45 0,6• Korea 1988 14 13 43 0,63• Ireland 1987 10 29 43• Japan 1984 25 0,52• Sweden 1985 16 37 53• Source: See Davies and Shorrocks (2000) p637
52
Consumo
Gini coefficient
Year Consumption Income
Albania 1996 0.252 0.392
Bulgaria 1995 0.274 0.392
Bangladesh 2000 0.334 0.392
Vietnam 1998 0.362 0.489
Nepal 1996 0.366 0.513
Morocco 1998 0.390 0.586
Nicaragua 1998 0.417 0.534
Thailand 2000 0.428 0.523Peru 1994 0.446 0.523
Panama 1997 0.468 0.621
Russia 1997 0.474 0.478
Brazil 1996 0.497 0.596