Una exploración intelectual sobre las posibles nuevas versiones ...

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ANALESde la Universidad Metropolitana

Una exploración intelectual sobre las posibles...

Mario Paparoni M.

Una exploración intelectual sobre las posiblesnuevas versiones modernas ocultas de la Elipse

de Elasticidad de Culmann-RichterAn intellectual exploration about the possible

new and hidden modern versions of the

Elasticity Ellipse of Culmann-Richter

MARIO PAPARONI M.1

[email protected]

Universidad MetropolitanaUniversidad Católica “Andrés Bello”

Recibido: 21/07/2011

Aceptado: 31/01/2012

1 Graduado de Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela en 1956. Graduado enMaestría en 1957 en el Politécnico di Milano. Profesor titular de la UCV por 30 años, de laUCAB por 15 años y de la UNIMET por 20 años. Miembro de la junta directiva del Colegiode Ingenieros de Venezuela. Decano de la Facultad de Ingeniería de la UNIMET duranteocho años. Director del IMME (Instituto de Materias y Modelos Estructurales).

Resumen

La ingeniería estructural moderna ha sido avasallada por el predominio demétodos del Análisis lineal, y en especial los del álgebra lineal. Esos méto-dos son condicionados para los computadores y no para las personas.Ninguna de las dos herramientas posee la visibilidad operativa de los viejosmétodos geométricos, hoy prácticamente abandonados. Uno de ellos, la elipsede Culmann, presenta indudables ventajas cuando se trata de manejar elproblema de la flexotorsión en plantas de edificios, para utilizarla comoherramienta de optimización y verificación de configuraciones estructurales

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para zonas sísmicas. La Elipse de Culmann es una forma cuadrática, una delas muchas que se pueden asociar a un sistema cualquiera de ecuacioneslineales. Este artículo muestra como, a través de los homomorfismos forma-les que existen entre la fórmula de Rankine para el cálculo de tensiones enuna sección de una viga y la elipse de Culmann, ambas basadas en unconcepto de la geometría proyectiva que llamamos Polaridad, es perfec-tamente posible el análisis formal de plantas de edificios sujetas a fuerzashorizontales excéntricas contenidas en sus planos, tomando en cuenta, co-mo no lo hacen las normas sísmicas actuales, las propiedades configu-racionales de los esqueletos tridimensionales que hoy utilizamos. El autorde este artículo inició este camino en un capítulo de su libro Dimensiona-

miento de Edificios Altos de Concreto Armado, publicado en 1992. El caminoha sido muy lento, cerca de una docena de trabajos especiales de grado a lolargo de unos 20 años, para el desarrollo de una herramienta de trabajo queamalgame viejos conocimientos geométricos con los computadores actua-les. Este artículo pretende hacer conocer el camino seguido.

Palabras clave: polaridades, transformaciones afines, formas cuadráticas.

Abstract

Modern structural engineering has been virtually ovewhelmed by linearanalysis methods, especially by linear algebra. Their methods have beenconditioned for computer use, but not for human use. None of of these dis-ciplines show the operational visibility given by the old abandoned geometricalmethods. One of them, the Culmann ellipse, brings undeniable advantageswhen dealing with the problems of flexotorsion in bulding storeys, when usedas an optimization or grading tool for structural configurations in seismis areas.Culmann’s ellipse is a quadratic form, one of the many associated with anylinear equations system. This paper shows how, using the formal homorphismsbetween the classical Rankine formulation for excentric loading of columnsections and the Culmann elipse, both based on a projective geometryconcept, Polarity; it is entirely feasible to perform the formal analysis of bui-ding storeys having eccentric loadings by horizontal forces in their own pla-nes, taking into account, as it is not done by most seismic codes, the con-figurational properties of the tridimensional skeletons now used in buildings.The author of this paper initiated this way of thinking in Chapter 9 of hisbook Dimensionamiento de edificios altos de concreto armado, published in

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1992. It has been a long way, about one dozen of undergraduate thesis du-ring a period of 20 years, to come to terms with a tool which tries to amalga-mate old geometrical knowledge with modern computer programs. This pa-per attempts to explain the followed path.

Key words: polarities, affine transforms, quadratic forms, structuralconfigurations.

1. Motivaciones

Prácticamente toda esa disciplina que se llama análisis estructurales una de las tantas aplicaciones de lo que llamamos, en la teoría deconjuntos, transformaciones lineales. Muy pocos nos atrevemos a in-cursionar en los campos del análisis no-lineal, y casi siempre esas no-linealidades se las atribuimos totalmente a las respuestas de los mate-riales. Solemos olvidar que, especiamente en el campo de las mega-estructuras o de las modernas estructuras extremas, la forma predominasobre la función, y no como antes, cuando la función debía predominarsobre la forma. Además, como una simple consecuencia del principio dela debilidad de los gigantes, expresado por primera vez por Galileo, exis-ten también las no-linealidades de origen puramente geométrico, quepueden ser el germen primario de muchas catástrofes, pues se olvida elque las cargas permanentes (y las tensiones) crecen linealmente con laescala, y que podemos obtener materiales cada vez más resistentes,pero no cada vez más rígidos. Ello origina el aumento del predominio delas deformaciones sobre las fuerzas en el comportamiento estructural, yla aparición de inestabilidades inesperadas para un mundo que sólo miraa las fuerzas y sólo da una ojeada rápida a las deformaciones.

Se suele decir que no utilizamos los métodos computacionales nolineales, que ya tenemos, porque pueden ser hasta diez veces más carosque los métodos lineales y que, por tanto, las finanzas de la construcciónno los toleran. El intento de sustituirlos con incontables combinacionesde cargas o con el cálculo de incontables modos de vibración, no ha sidoexitoso. La abundancia de información numérica no sustituye a la visión

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de conjunto y al lenguaje simple, breve y preciso que la geometría clásica,la disciplina más vieja de la ingeniería, permite.

La casi completa desaparición de la geometría de los pensa deestudios ingenieriles modernos, junto con la sobreabundancia de las for-mulaciones puramente analíticas, arregladas para complacer a las má-quinas (computadoras) y no a los humanos ingenieros, nos ha llevado aesto, a la era de los “catecismos estructurales” sin sus correspondientes“teologías”. Es decir, a aprender las reglas solamente, sin preocuparsepor sus fundamentos físicos (la naturaleza).

Podríamos decir lo mismo de otras cosas, quizá una de ellas es lamala costumbre de no dictar un curso elemental de vibraciones en pre-grado de Civil, para luego tratar de proponerle al estudiante de post-gradouna extraña combinación de análisis matricial y dinámica, cuando el alumnono posee ni el lenguaje de la dinámica elemental ni sabe qué es lo quehacen las matrices, pues el álgebra lineal queda ahogada por el análisis.Pero sabemos que es mucho más importante el saber qué hacen esasmatrices (geométricamente) que el saber cómo operar con ellas con reglaspuramente algebraicas aplicables a la computación. Conozco muchasfrustraciones en este campo a través de mis ex-alumnos.

Las cosas se han ido complicando: a fines del siglo XIX y comienzosdel siglo XX los ingenieros DIBUJABAN las fuerzas y LUEGO las medíanen un gráfico; hoy las CALCULAMOS Y NI SIQUIERA LAS GRAFICAMOS másallá de los diagramas que nuestros programas nos suministren. Cuandouno dibujaba con sus manos, la información quedaba grabada en algunaparte del cerebro en dos formas diferentes, con los movimientos de lamano y con la visión de dibujos completos, que se interpretaban comouna sola cosa, no como una suma de partes. Los números como talesno se ven, no tenemos visión digital. Estamos hechos para ver figurascomo análogos de realidades.

Uno de esos métodos gráficos análogos es la Elipse de Culmann,que desgraciadamente sólo sobrevive aún, y eso a duras penas, en lasuniversidades italianas, algunas universidades francesas y, curiosamente,en la Europa del Este y Rusia, donde el régimen de centralización del

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pensamiento acabó o retrasó el espíritu supercrítico, supersimplificativoo simplemente campanilista del pragmatismo occidental. Además, pordecir algo constatable, las referencias bibliográficas originadas y lasclases dictadas en USA, han ignorado sistemáticamente lo que pensado-res con lenguas distintas del inglés han creado. Hay que tener cuidadoen no olvidar que otras lenguas, además del inglés y del español, tambiéntienen creaciones intelectuales publicadas en Internet. Los bachilleratos“simplificados” son los responsables de esto, quizá nuestra generaciónde los años 30 fue la última en recibir algún baño de lenguajes ajenoscomo el francés, el latín y el griego (sólo salpicaduras de estos últimos),y en nuestra educaciónde hoy día sólo queda el inglés.

No le resulta raro al que esto escribe el que la inmensa mayoría delas referencias sobre estos métodos añejos que ha encontrado en Internet,estén escritas en italiano, en francés, en español y en alemán. Al fin y alcabo, las lenguas de los tradicionales competidores no suelen ser delagrado de sus contrarios, y Culmann escribió en alemán e inmediata-mente se lo tradujo al italiano y al francés, las dos lenguas con mayortradición en las geometrías clásicas, en especial la geometría proyectiva.También ha sido satisfactorio el comprobar que la tradición geométrica,como tal, aún perdura en los textos españoles formales sobre geometríaclásica y sobre cónicas.

También hay un hecho curioso: cuando algo se enseña intensa yprofundamente porque permite manejar muchos problemas cotidianos(el cálculo de secciones de miembros estructurales, p. ej.), uno terminapensando que ese algo vale sólo para eso que se enseña, y no da paramás. El que esto escribe no ha encontrado ninguna referencia bibliográficaque diga que esos mismos métodos son generalizables a edificios y quelas informaciones necesarias para su aplicación al análisis estructuralprovienen de los mismos programas de computación que se usan parael día a día del ingeniero estructural. Ese algo, en este caso, es la Elipsede Culmann y otras elipses asociadas que permiten visualizar las propie-dades estructurales de los edificios, esta vez usando programas moder-nos como primer paso.

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2. Origen histórico de la elipse de Culmann-Richter

Como en muchos teoremas o fórmulas que usamos en ingeniería,tales como el teorema de Buckingham en Modelística; los principios termo-dinámicos de William Gibbs; los principios estructurales de Betti y Maxwelly el teorema de Castigliano, prácticamente hemos perdido en el caminosus formas originales de planteamiento. Lo mismo ha ocurrido con laElipse de Culmann, pues los textos que la citan no nos dicen cuálesfueron las bases originales de la misma. Sólo se nos explica cómo usarlay se nos dice que proviene de la geometría proyectiva, como un casoparticular de unas oscuras cosas llamadas involuciones. Oscuras porquela geometría proyectiva, o mejor dicho, su idioma particular, es hoy unalengua tan muerta como el koinè del período helenístico mediterráneo.

En realidad, se trata de unas relaciones geométricas sorprendente-mente simples que existen, siempre asociadas a una elipse (cónicacerrada), que nos dicen que hay una única y determinada elipse paracada condición estructural predeterminada; que hay dos puntos, el poloy el antipolo, y que hay una recta polar que relaciona geométricamentela recta de aplicación de una fuerza con la posición del centro de rotacióninstantáneo de la sección o del miembro o de la estructura para la cualcalculamos esa elipse. Llevándolo a una sobresimplificacion, podemosdecir que se trata de una POLARIDAD, es decir, relación de este tipo:ec=r2, en donde e es la excentricidad de una fuerza respecto a un punto,c es una distancia entre dos puntos de una sección y r2 el cociente de unmomento de inercia areal entre un áea (en la resistencia de materiales)o bien, entre una rigidez torsional y una rigidez lineal (en el análisisestructural). Tanto e como c como r tienen dimensiones de longitud [L].Tienen, además, junto con su elipse asociada, magnitudes tales quepermitan dibujarlos sobre una planta de edificio a la misma escala. SON

POR TANTO PROPIEDADES VISIBLES. No lo son en cambio ni las rigidecessingulares de una sección, ni las flexibilidades, ni otras cosas parecidas.La Elipse de Culmann se usó mucho porque era una forma VISIBLE deoperar sobre los mismos planos del edificio. Lo curioso ha sido su noextensión generalizada a los esqueletos portantes de los edificios.

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Las relaciones entre polos, polares y antipolos se determinan, unavez conocida la Elipse de Culmann, a través de operaciones sencillas degeometría descriptiva, tales como trazar las tangentes a una elipse desdeun punto (el polo). Lo demás es como aquel dicho clásico, dime cómo semueve una estructura y te sabré decir cómo trabaja y cuánto aguanta.Esa es la regla que utilizábamos los modelistas estructurales antes deque el computador acabara con el oficio y con los laboratorios dedicadosa ello. Si queremos verlo de algún modo distinto, diríamos que lo quehemos hecho es repetir las reglas de la modelación estructural, en par-ticular el análisis dimensional, para desarrollar por analogía, esta vezsobre un modelo VIRTUAL, no real, la extensión del uso de viejas técnicaspara nuevos usos. Vino viejo en odres nuevos, mejor aprovechados.

3. La elipse de Culmann-Richter como instrumentomoderno de optimización de estructuras de edificios

Hace ya casi ciento cuarenta años desde que la Elipse de Culmannabrió un nuevo campo en el análisis de estructuras, al permitir que meto-dologías de análisis puramente gráficas, basadas en métodos totalmentegeométricos, en particular la geometría proyectiva, pudiesen abarcartambién a las estructuras hiperestáticas y que, además, permitieran eldiseño más rápido de secciones, a través del concepto de los núcleoscentrales. Su importancia fue tal que, en muchos países, esa era la casiúnica base de la enseñanza del análisis estructural. En Italia, y en pequeñaparte en Francia y Alemania también la usan todavía, así como, en elEste de Europa, simplemente manteniendo ese método en vida.

El siglo XX marcó, para la geometría proyectiva, el alcance de sucompletitud y el cese de las investigaciones sobre ella, al publicarse elúltimo de sus teoremas hacia 1917. Quedó entonces la geometría des-criptiva, y luego, a mediados del siglo XX los computadores, o mejordicho, los planificadores de pensa de ingeniería, terminaron de darte lapuntilla a esta última. La geometría como herramienta ha prácticamentedesaparecido de la ingeniería civil, con pocas excepciones en el continen-te europeo. Ciertas especialides tales como la Informática y la Gerencia,

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la consideran inútil para sus fines. En cierta forma es irónico, pues lainformática en especial probablemente ha realizado más transformacioneslineales (ahora invisibles) que la geometría clásica en tres mil años.Ciertamente, lograron acabar con la profesión de dibujantes, entrenadospara tomar por sí mismos decisiones, tales como despieces de cabillas,solapes, trazado de tuberías eléctricas e hidráulicas, de aguas negras,etcétera, ahora realizadas por operadores de programas de dibujo quetoman decisiones ya preprogramadas y difíciles de cambiar. También haacarreado la pérdida del idioma geométrico, mucho más conciso, claro ypreciso que las informaciones tabuladas o que los gráficos estandariza-dos, o que los dobles o triples subíndices de los términos de las matrices.Quizá deba sobrevivir por necesidad en los malignos monstruos virtualesque ahora aparecen en las películas, dado que son muy rentables comoentes que aparentan tener vida a través de las miles de transformacionesgeométricas que sufren a través de miles de operaciones matriciales.

La abrumadora influencia del cálculo en los pensa de Ingeniería y dealgunos aspectos restringidos del álgebra lineal, es decir el análisis ma-tricial, con los autovalores y los autovectores, vistos como disciplinaspuramente simbólicas y operativas, terminó por prácticamente liquidarlos métodos geométricos. La geometría siempre ha trabajado con figurasCOMPLETAS, es decir sistémicamente, no con el simple ensamble de pie-zas susceptibles de rutinizaciones computacionales, como lo hace elanálisis. Recordemos que esta palabra significó originalmente en griego“dividir” o “seccionar”, o “cortar” o “descomponer”. La Geometría tambiénenseñaba a buscar en los dibujos la información pertinente en ambientescon elevados niveles de “ruido”, constituido por todas las líneas auxiliaresque había que incluir y que raramente se borraban. Esa eliminacióntambién redujo considerablemente la propagación de esa habilidad quellamábamos “percepción espacial”, que se adquiría con su estudio.

La Elipse de Culmann, utilizando los modernos programas de com-putación, es todavía un instrumento vivo y susceptible de ser aplicadoa necesidades muy modernas, sorprendentemente basándonos encosas muy conocidas antes, pero que no se desarrollaron o que seescondieron dentro de la vorágine metodológica que caracterizó al sigloXX en la ingeniería.

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Las ideas personales que nos llevaron a lo que hoy se ha logradocomenzaron en 1992, en el libro Dimensionamiento de Estructuras Altas

de Concreto Armado, en el cual se dedicó un capítulo entero al problemade la flexotorsión de edificios y se desarrolló un método derivado de unaanalogía formal con el método usado para resolver el problema de unacolumna que recibe carga axial más momento. Para ello se creó elconcepto de “factor de amplificación de cortantes de pórticos”, análogoal de “factor de amplificación de tensiones” presente en la fórmula deresistencia de materiales muy conocida (Rankine), que nos dice s=(P/A)*(1 ± ec/r2), en donde el segundo paréntesis es adimensional y sepuede interpretar como un factor de amplificación. Para esa fecha elconcepto de la Elipse de Culmann tratada como base de una relación deantipolaridad entre una fuerza aplicada (recta polar) y el antipolo comocentro de giro no nos era claro, ni como problema algebraico ni comoproblema geométrico, al menos para el autor de este trabajo. Ha costadomucho tiempo, varios trabajos especiales de grado y la lectura de variostextos de geometría (coordenada, vectorial, proyectiva) y otros de álgebralineal y de álgebra lineal comparada con geometría analítica, los cualesse mencionan en otras partes de este trabajo, todo ello para poder ave-riguar que ese segundo paréntesis mencionado arriba es una polaridad,y además que no es tan difícil trazar dos tangentes desde un polo haciasu elipse asociada para determinar la polar. El antipolo se obtiene poruna relación simple de simetría. Esto no es más que una prueba de quecada disciplina matemática tiene su propio idioma y que si uno no conoceese idioma, no es posible ni entender qué significan sus vocablos nipoder relacionarlos con otras cosas. Anecdóticamente diré que preguntéa muchos profesores de Matemáticas acerca de ese problema y sólouno de ellos me supo contestar algo con un dibujito no muy claro. Enotras palabras, el lenguaje de la geometría proyectiva es hoy una lenguabien muerta.

Hoy el autor tiene que reconocer algo que es simple y obvio

(despúés de haberlo visto demostrado), y es que las transfor-

maciones lineales vistas como problemas algebraicos y las

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transformaciones lineales vistas, como problemas geométricos

son, simplemente, el anverso y el reverso de una misma moneda.

No era tampoco ni obvio ni claro el hecho de que todas las operacio-nes de análisis estructural (análisis matricial) que realizamos son trans-formaciones AFINES, no son ni proyectivas ni perspectivas, pues estasúltimas no son lineales sino semilineales. Esto explica ahora el por qué,a lo largo de esos 18 años que transcurrieron entre la primera idea y losresultados actuales, hayan aparecido en los trabajos ya publicados,siempre, elipses, elipsoides, círculos, rizos, etcétera, (formas cuadráticas),y explica también por qué un análisis estructural lineal no puede, fácil yvisiblemente, mostrar cuándo en estructuraciones extremas de edificios,aparezcan las señales de posibles inestabilidades, a menos que nosdediquemos a examinar los determinantes de sistemas de ecuacionesque manejamos con las matrices, o que caigamos en la cuenta (pareceque nadie lo había notado antes) de que todo nodo de una estructuraque suponemos elástica y lineal, tiene, embebidas en sus matrices derigidez y de flexibilidad, formas cuadráticas cerradas, abiertas y degene-radas. No encontramos ningún libro que nos mostrara cómo se ven lasmultiplicaciones matriciales en estructuras de forma sólo simbólica y nonumérica, tal que permita ver qué patrones hay dentro de esas agrupa-ciones simbólicas. Dos TEG de la serie hecha lo demostraron.

Esto mismo está apareciendo en los últimos TEG que hemos dedicadoa ello, el hecho de que aquellas plantas de edificios que posean, comoelipses de Culmann, elipses muy alargadas o muy achatadas, puedenpasar, de golpe y porrazo, a ser parábolas, o cilindros parabólicos (figurasque no pueden ser afines a las elipses) con pequeñísimas variacionesde algún parámetro focal; o que plantas de edificios que tengan formade segmentos de corona circular sean tendencialmente inestables antesismos, si sus pórticos tangenciales no son suficientemente rígidos ysus pórticos radiales son muy fuertes y concurrentes a un punto, que asu vez puede convertirse en un centro de rigidez externo a la planta yque podría requerir, en teoría, hasta 6 ó 7 veces más acero de refuerzoque una planta normal, debido a la influencia de la excentricidad inherente

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dada por la posible gran distancia mutua entre los centros de rigidez yde masa. No todos los programas ahora populares avisan cuando estoocurre, y algunas veces más de un ingeniero ha confundido los muñequi-tos bailantes que muestran cómo se mueve un edificio con los verdaderosmovimientos que éste sufre. Hay más de un edificio en forma de segmentode corona en Caracas que permite, al verlos, pensar que esto ocurrió, ajuzgar por los miembros “correctores” visibles.

Lo dicho hasta ahora significa que no sólo se ha llegado de nuevo auna forma sencilla y fácil de entender para gradar o calificar configura-ciones de planta extremas (con inestabilidades potenciales inherentes),o a comparar entre sí cambios formales de estructuraciones de un mismoedificio, pues creo sinceramente que se ha destapado una olla de grillosy que hay que ponerse a pensar otra vez en términos geométricos y nosólo en términos numéricos, pues una lista de resultados numéricos notiene forma, y son sólo los cambios de forma los que, de un golpe, nosdicen si algo es mejor o peor que otro algo.

En resumen, no tengamos pena en el volver a a usar algo ya viejo ypasado de moda, y además démonos cuenta de que si enseñamos sólodestrezas (como alimentar una computadora con un programa dado) sinenseñar más bases, podemos llevarnos tremendas sorpresas. Hay quevolver a las bases matemáticas de la Ingeniería Civil.

Los breves párrafos o capítulos que siguen, no necesariamente orde-nados cronológica o metodológicamente, son explicaciones de los variosaspectos que han surgido a lo largo de este camino intelectual. Hay otrosaspectos aún en estudio que no aparecen aquí, y que cada vez se hanido aclarando más.

4. Explicaciones sobre las diferentes elipses de utilidadestructural asociadas a la elipse de Culmann

A continuación explicaremos cómo se pueden obtener elipses deutilidad estructural utilizando un programa de computación tal como SAP

o ETABS.

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En principio se trata de aplicar una fuerza rotante constante en eltope de una estructura cuyos pisos puedan considerarse como diafragmasrígidos, es decir, sin rigidez vertical pero capaces de compatibilizar lasdeflexiones horizontales x y y que se produzcan en cada piso. Obvia-mente también se pueden utilizar elementos compatibilizantes tipo losa.También se deberá aplicar un momento puro en la planta cimera, o bienun par de fuerzas iguales y contrarias. Recordemos de Estática el queun momento no modifica las respuestas estructurales si se aplica comomomento puro en cualquier punto de esa losa cimera rígida, o bien queen el par de fuerzas éstas sean paralelas entre sí, obviamente consentidos contrarios, y además que el brazo (virtual) de unión sea per-pendicular a dicha pareja de fuerzas. Cada piso tendrá su propia se-cuencia de elipses determinables con estos procedimientos. Si se aplicanen el tope, es obvio que todas esas acciones se transmiten a todas lasplantas que estén por debajo de la planta cimera (tope del edificio). Paraalgunos propósitos podría ser conveniente aplicar estas “calibraciones”losa a losa. Sabemos que en un análisis estructural las fuerzas de pisono sólo se transmiten hacia abajo, sino también hacia arriba, para luegobajar por otros caminos.

Antes de aplicar los procedimientos que siguen, es necesario en-contrar los centros de rigidez de las plantas, ello se logra aplicando unMomento o un Par y determinando el punto de cada planta que no sufradesplazamientos (son los centros de giro o de rigidez). También es nece-sario obtener el ángulo de giro de cada planta, producido por el momentoaplicado, a través de las salidas del programa que se utilice. El cocienteentre el momento aplicado y el giro producido (medido en radianes) nosdeterminará la rigidez torsional de cada planta de la estructura. Estarigidez normalmente crece cuando analizamos los resultados en ordendescendente de pisos.

4.1. Elipse de deflexiones

Si la fuerza rotante es constante en magnitud, ese vector rotantegenerará una circunferencia, y las deflexiones que se midan en el centro

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de rigidez de cada planta formarán una figura elíptica afín a la circun-ferencia de las fuerzas. Si las fuerzas tuviesen también un perfil elíptico,las deflexiones horizontales que causasen también formarían una elipse.Sólo en las direcciones principales de cada planta los vectores deflexiónserán colineales con los vectores fuerza; en las demás direcciones no loserán. Si tratamos de graficar en un diagrama polar las magnitudes delas deflexiones en función de las mismas direcciones de las fuerzasaplicadas, obtendremos una figura que no será elíptica. A esa figura suelellamársele “Hueso de Perro” (Dogbone en inglés). Este procedimientoes capaz de determinar con suficiente precisión los ejes principales consus direcciones y sus magnitudes, y con ellas se puede obtener laecuación de la elipse de deflexiones en su forma canónica:

(x2/a2 +y2/b2) = 1, siendo a y b las magnitudes de los semiejes prin-cipales. La elipse de deflexiones se expresa en unidades de longitud [L].

4.2. Elipse de flexibilidad

Se obtiene simplemente dividiendo las longitudes de los ejes prin-cipales entre las magnitudes de las fuerzas aplicadas según esas mismasdirecciones. Sus dimensiones son Longitud/Fuerza [L/F].

4.3. Elipse de rigidez

Las magnitudes de sus ejes principales son los inversos de las delos ejes pricipales de las elipse de flexibilidad. Sus dimensiones son lasde Fuerza/longitud: [F/L.]. Puede también obtenerse directamente de laelipse de deflexiones, dividiendo la magnitud de la fuerza rotante aplicadaentre las correspondientes deflexiones (en los ejes principales).

4.4. Elipses de radios de giro al cuadrado

Sus ejes principales se obtienen dividiendo la rigidez torsional decada planta entre el valor de la Rigidez Traslacional de cada planta segúncada dirección principal (la longitud de un semieje). Sus dimensiones

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son las de una longitud al cuadrado, pues resulta de dividir un momentoentre una rigidez lineal, sus dimensiones son por tanto: [F*L/F:L] = [L2].Esta elipse es un análogo de lo que clásicamente llamamos en mecánicaracional una elipse central de inercia de una sección de una viga flectada.En el caso de la viga, esa elipse de inercia se obtiene dividiendo cadamomento de inercia principal areal entre el área de la sección. En elcaso de la viga manejamos sólo propiedades geométricas; en el casoque tratamos, plantas de edificios, esta elipse de radios de giro alcuadrado resulta de operaciones con parámetros mecánicos (rigideces).

4.5. Elipses de radios de giro

Sus ejes principales se obtienen utilizando las raíces cuadradas delos valores de los ejes principales de las elipses anteriores con r2 cua-drado. Estas elipses serían los análogos de las elipses de Culmanntradicionales, pero aplicándolas a una planta de edificio sujeta a flexotor-sión. Estas elipses tienen dimensiones de longitud [L], y pueden dibujarsedirectamente sobre las plantas de los edificios representadas en losplanos constructivos de una obra2.

4.6. Elipses de torsión

Las hay derivables de la elipse de radios de giro al cuadrado (r2/ci) y(r2/ei ), es posible elaborar una para cada pórtico. Estas elipses seríanaplicables cuando el momento torsor entre como momento puro. Tienendimensión de longitud [L2/L] = [L]. Su utilidad práctica y frecuente es debatible.

4.7. Núcleos centrales límites

Aplicables a las posiciones del centro de masas que no produzcanretrocesos de pórticos (factores de amplificación menores que dos). Estaúltima es una herramienta de optimización de configuraciones. Requiere

2 Para poder utilizar esta elipse así lograda como una Elipse de Culman propiamente dicha,es decir, que sirva directamente para trabajar con excentricidades y distancias de trazas depórticos, debemos trasponerla, que es lo mismo que decir que tenemos que girarla 90º.

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del empleo de polos y polares. Estas elipses han sido objeto de investiga-ción a través de TEG de pregrado en la UNIMET y en la UCAB, y continúanen desarrollo. Hasta la fecha no han podido ser ubicados antecedentesbibliográficos, con excepción de un libro en italiano dedicado a efectosflexotorsionales en miembros estructurales, no en edificios. Esto quizáse explica por la creencia generalizada de que la Elipse de Culmann eshoy día un instrumento de cálculo estructural obsoleto. La mayoría delas referencias a métodos geométricos de fecha reciente tienen biblio-grafías en italiano, no en inglés. Hay sí bibliografías en inglés sobre trans-formaciones algebraicas y geométricas que comprueban el absolutoparalelismo entre ambas formas de ataque (Ver Baer, Reinhold; Linear

Algebra and Projective Geometry. DOVER N.Y., 2005).

5. Descripción de las transformaciones rígidas,afines, proyectivas y perspectivas

A causa de los movimientos como figuras rígidas que aplica la geome-tría euclidea al demostrar sus teoremas, podríamos decir que las trans-formaciones que induce en sus figuras no existen. Si hay una relaciónde congruencia, todo punto o está relacionado con sí mismo o con otropunto equivalente desplazado; se preservan además las intersecciones,las colinealidades, las relaciones métricas entre segmentos y los ángulos.Es decir, una figura simplemente se desplaza o rota, cambiando de lugaren un espacio homogéneo.

Cuando pasamos a las transformaciones afines puede haber cambiosde escala diversos entre los ejes coordenados, y éstos pueden dejar deser ortogonales y tomar cualquier angulación. Las relaciones métricaspueden cambiar, pero hay correspondencias punto a punto; se preservanlas intersecciones de rectas, las colinealidades de puntos y las relacionesentre las partes de un segmento que contenga un punto que lo divida endos partes. No necesariamente se preserva los ángulos. El paralelismotambién se preserva.

Las transformaciones perspectivas difieren de las simplemente afinesen que no se preservan las relaciones métricas, ni las angulaciones ni

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los paralelismos, sí se preservan las colinealidades y las relaciones derelaciones métricas entre los segmentos que se forman al colocar cuatropuntos alineados a lo largo de una recta.

Las transformaciones conformes sólo preservan los ángulos deintersección entre dos rectas o dos curvas, al operar una transformaciónque haga pasar una primera imagen a una segunda que sólo se le parecepor la preservación de las conectividades.

Las operaciones matriciales que realizamos con las estructurasestables con fines puramente estructurales (análisis estructural) no vanmás allá de aplicar una afinidad entre fuerzas y deformaciones.

Esto lo que quiere decir es que el grafo original de la estructura sindeformar es isomorfo con el grafo de la estructura deformada, es decirque se preservan las conectividades de la red total, y además, quecualquier grupo o función de los desplazamientos nodales es afín con lafunción de carga. Por ejemplo, un vector fuerza genera un vector despla-zamiento (no necesariamente en la misma dirección) y, por ejemplo, unacarga rotante con magnitud constante o variable genera una trayectoriade desplazamientos que es afin a la trayectoria de la carga. Si la trayec-toria de la carga es circular, la trayectoria de los desplazamientos estambién circular o elíptica.

6. Definiciones aplicables a las transformacionesafines en estructuras3

6.1. ¿Qué es una transformación afín?

• Una transformación afín general del plano es aquella en la cualuna red dada de paralelogramos iguales entre sí es transformadaen otra red arbitraria de otros paralelogramos iguales entre sí.

3 Esta parte del trabajo se ha basado, fundamentalmente, en el el estudio de libros de análisisy geometría) Traducción parcial glosada del texto “Mathematics Its Contents, Methods andMeanings”, por A.D. Aleksandrov, A.N. Kolgomorov y M.A. Laurent’ en versión inglesa deloriginal ruso, Editorial Dover Publications INC., 1969. Corresponde sólo a los puntos 6.1,6.2 y 6.3.

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• Más precisamente, es una transformación del plano bajo la cualun marco de coordenadas Oe1e2 se transforma en otro cierto marco(hablando en general, con otra “métrica”, con diferentes longitudespara los vectores e’

1 y e’2 y un ángulo mutuo diferente entre ellos

diferente del original) y un punto arbitrario M es enviado al puntoM’, conservando las mismas coordenadas (numéricas) relativasen el nuevo marco de referencia. (Equivale a un cambio de unida-des en los nuevos ejes respecto a los originales.)

• Bajo una transformación afin toda línea recta es enviada comolínea recta, todas las rectas paralelas son enviadas como paralelas.Si un punto divide a un segmento de recta en dos partes en propor-ción conocida, esa misma proporción entre sus partes se mantieneal enviar ese segmento.

• Un teorema de geometría afín muy importante nos dice que cual-quier transformación afín plana puede obtenerse realizando unacierta moción rígida del plano dentro de él mismo, y luego reali-zando dos “contracciones” de ese espacio plano, con diferentescoeficientes de contracción para los ejes coordenados perpendicu-lares iniciales. (Esa cierta moción rígida quiere decir que hay dossistemas distintos de rectas paralelas dentro de ese plano y queesos sistemas cambian angulaciones mutuas manteniendo susparalelismos propios y su pertenencia al plano original; es lo quellamamos en la resistencia de materiales clásica una distorsión decortante en una sección.)

• Estas ideas se pueden generalizar a espacios de varias dimen-siones.

• Si comparamos las arquitecturas de las matrices que resultan deaplicar estos conceptos a las transformaciones afines multidi-mensionales y las comparamos con las arquitecturas de las ma-trices estructurales, veremos que son totalmente semejantes, yen ambos casos los determinantes de esas matrices son no nulos,si la transformación es posible en el campo real.

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6.2. ¿Qué significa la afinidad para las cónicas?

Todas las elipses son afines entre sí; todas las parábolas son afinesentre sí; todas las hipérbolas son afines entre sí, pero es imposibleconvertir por ejemplo una elipse en una parábola con la aplicación detransformaciones afines solamente. En el campo estructural usamos esteprincipio sin nombrarlo, cuando suponemos que una estructura cambiasólo muy poco su configuración original al ser cargada. También implicaque siempre suponemos, en los cálculos ordinarios, que tenemos unasituación estable. Cuando hay inestabilidades estructurales tenemos queadmitir que no podemos ya considerar las transformaciones afines comodescriptores de la conducta estructural esperada; el comportamiento linealya no existe en condiciones inestables.

6.3. Diferencias entre una transformación afín

y una perspectividad

• En una perspectividad (un dibujo lineal por ejemplo) existe un punto,o más de uno, por los cuales pasan los “rayos visuales”, esto noocurre en una afinidad, pues no hay proyecciones sino cambiostipo zoom. El zoom es una transformación afín sin distorsión an-gular, pero con “estiramientos” o “contracciones” normales entresí. Cuando dibujamos en computadora y aplicamos lo que se llamaen computación shear (cortante), hemos cambiado la angulaciónrelativa de las líneas horizontales y verticales de las figuras.

• En la afinidad las relaciones entre dos partes de un segmento derecta se mantienen en las transformaciones. En las perspectivi-dades eso no ocurre, se mantienen otras relaciones entre cuatropuntos cualesquiera de una recta. Esas “relaciones” son, a su vez,cocientes de dos relaciones entre pares de puntos de ese cuarteto.

• En las perspectividades las relaciones entre las coordenadas“viejas” y “nuevas” vienen dadas por términos que son cocientesde ecuaciones lineales y no directamente por términos fijos deecuaciones lineales simples.

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• Los determinantes de los sistemas de ecuaciones que permitencambiar coordenadas en las perspectividades tienen significadosdiferentes. Si los determinantes son nulos en las perspectividades,los puntos transformados son “ideales” (se van al infinito).

• Las estabilidades o inestabilidades estructurales parecerían estarrelacionadas con las afinidades y las perspectividades (valoresde los determinantes de las matrices de transformación).

6.4. Afinidades estructurales

Son bastante frecuentes, las aplicamos al referirnos a momentos deinercia de figuras afines (distorsiones de cortante); las aceptamos alaplicar la teoría de la Elipse de Elasticidad de Culmann, al decir quetodas esas figuras que se pueden formar utizando lo que dimensional-mente llamaríamos radios de giro, son necesariamente elipses afines ala elipse de cargas y a la elipse de deformaciones. Los diagramas deinteracción en columnas de concreto armado, o en columnas de acero,los suponemos como afinizables, es decir, extensibles a secciones afines.Todas las respuestas locales de una estructura son afinidades de larespuesta global. Las diferentes configuraciones estructurales afinesposeen respuestas afines. ESAS AFINIDADES SE DAN ENTRE LA FUNCIÓN

DE CARGA Y LAS FUNCIONES DE RESPUESTA. No hay afinidades obviasentre las geometrías estructurales y las conectividades de sus miembrosy las respuestas esperadas.

La afinidad sólo se aplica al cargarlas. Pero sí podemos decir quehay afinidades entre las respuestas de estructuras semejantes. Por ejem-plo, una celosía tiene esfuerzos (fuerzas membrales) que son semejantesentre todas las celosías cargadas con cargas semejantes.

Existen muchas prácticas usuales de configurar estructuras en donde,erróneamente, se supone que, por ejemplo, la orientación caprichosa delas columnas rectangulares puede ser favorable al comportamiento estruc-tural. Tampoco se suele considerar que la traslación sísmica y la torsiónsísmica son, desde el punto de vista puramente estructural, interdepen-

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dientes. Por ello un edificio optimizado para cargas verticales solamente,no necesariamente es bueno para la respuesta sísmica, y viceversa.

7. Algunas peculiaridades algebraicasde las formas cuadráticas

Las afirmaciones siguientes provienen del estudio de los libros“Applied Analysis de Cornelius Lanczos (reimpresión del 2005, Dover); yLinear Algebra and Projective Geometry de Reinhold Baer (reimpresión2005, Dover).

7.1. El álgebra lineal que utilizamos en los análisis estructurales sóloproduce transformaciones afines. Las transformaciones afinesy perspectivas son semilineales (las dualidades de los teoremasde geometría proyectiva). Las colineaciones son también partede las afinidades.

7.2. Un par de matrices tales que sus ejes principales (obtenidoscon un proceso de diagonalización) sean paralelos, poseen laconmutabilidad mutua de sus multiplicaciones matriciales. Estoexplica el porqué en este trabajo, al calcular las sucesivas distin-tas elipses que manejamos, se pueda trabajar directamente conlos ejes principales (inversión directa o por otras operacionestales como la radicación y la transposición).

7.3. Todo sistema de ecuaciones lineales tiene una cónica, unaconicoide o una hiperconicoide asociada. En el caso de estructu-ras estables, esas formas cuadráticas son elípticas y cerradas.Lo laborioso es diagonalizar esas matrices originales.

7.4. Ningún libro de estructuras de los que el autor haya consultadoa lo largo de su vida profesional se preocupa de estas cosas.La mayoría de ellos están destinados a enseñar destrezas, nobases de partida. Queda mucho por hacer al tratar de aplicarestos conocimientos matemáticos nuevos al análisis estructural.

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8. Aplicaciones de la clásica elipse de Culmann-Richtery su justificación como instrumento moderno delanálisis de comportamientos estructurales

8.1. La Elipse de Culmann-Richter fue y en ciertos medios europeoses parte de la enseñanza de la ingeniería estructural. Fue por muchotiempo un instrumento de análisis para toda clase de estructuras.En casi todos los textos italianos todavía se menciona.

Si hoy tratásemos de demostrar la pertinencia de esa Elipse deCulmann o Elipse de Elasticidad utilizando los argumentos ori-ginales de Culmann o Rankine, nos encontraríamos con quemás de un 99% de los posibles lectores actuales no podría enten-der los argumentos de estática gráfica y de geometría proyectivaque la originaron, por la sencilla razón de que hablaríamos unas“lenguas muertas” con términos de “disciplinas fósiles”. Tratare-mos entonces de ilustrar su origen en experimentos mentalescon principios físicos o, simplemente, en el manejo de resultadosde análisis estructurales realizados por métodos matricialesimplementados en programas modernos de aceptación general.Esta vía ha sido la seguida por el autor durante el último decenio.Los viejos métodos dicen por dónde hay que ir, los modernosmétodos nos permiten hacerlo de maneras rápidas y fáciles.

Meditemos entonces sobre las siguientes afirmaciones, todasellas comprobables a través de la resolución de casos-modeloo a través de lo aprendido en los cursos iniciales de mecánicaracional.

8.2. Si suponemos un miembro o una estructura cuya sección termi-nal (o cimera) se considere rígida y plana y a la cual le aplicamosun momento puro, materializado por ejemplo en dos fuerzassituadas en ese plano, paralelas, iguales y contrarias, situadasa una cierta distancia mutua (un par puro), dicha sección rotaráun cierto ángulo alrededor de un punto situado en esa secciónplana o fuera de ella, sin que en ese punto ocurran desplaza-

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mientos. A ese punto lo llamaremos centro de rigidez (o centrode torsión). Al cociente entre el valor del par aplicado y el ángulode giro de la sección lo llamaremos rigidez torsional seccional oplantar (Existencia de un centro de rigidez). Al cociente entreuna fuerza y un desplazamiento lo llamamos rigidez lineal sec-cional o plantar (Es una propiedad direccional).

8.3. Si aplicamos una fuerza pura contenida en el plano de esasección terminal, tal que su recta de acción pase por el centrode rigidez anteriormente definido, ese punto (y toda la seccióno la planta) se desplazarán sin rotar, según una dirección queno necesariamente coincidirá con la dirección de la fuerzaaplicada. Ello sólo puede ocurrir cuando la fuerza posea una delas dos direcciones que llamamos principales (las de losdiámetros de las elipses que se nombran a continuación).

8.4. Si aplicamos una fuerza contenida en el plano de la secciónterminal y dicha fuerza no pasa por el centro de rigidez, la seccióno la planta se traslada y rota a la vez, como si hubiese la super-posición de los casos (1) y (2). Como sabemos de la cinemática,esa traslación y rotación simultáneas equivalen a un giro alredorde un centro de rotación instantáneo que no puede estar situadosobre la línea de acción de la fuerza aplicada, pues si elloocurriese, la fuerza aplicada no realizaría trabajo al desplazarsela sección.

8.5. Si repetimos la operación anterior, pero esta vez girando unvector fuerza alrededor de un punto fijo cualquiera situado en lalínea de acción de esa fuerza inicial, veremos que los centrosde giro correspondientes a cada dirección angular se irán ali-neando sobre una recta, que tendrá una posición y una orienta-ción única para cada ángulo de giro y que esas rectas van cam-biando posición y orientación según donde esté cada punto degiro de la fuerza. Esto equivale a decir que hay una relaciónbiunívoca entre las rectas que contienen los centros de giro dela sección y los puntos de aplicación de las fuerzas giratorias.

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Esa relación es una antipolaridad, hablando en el idioma de lageometría proyectiva. La recta donde están los centros de giroes la antipolar del punto donde se aplica la fuerza rotante. Esarelación es independiente de la magnitud de las fuerzas aplica-das y se asocia a una elipse (de Culmann), la cual depende dela estructura,

8.6. Es lógico pensar que esa relación biunívoca irá cambiando deacuerdo con las propiedades de cada estructura o viga queestemos analizando u observando. Es también lógico pensarque cuando esas relaciones presenten semejanzas geométricasde algún tipo, estaremos ante una situación de semejanzaestructural de algún otro tipo.

8.7. Los textos clásicos de estructuras que manejaron esta teoríade la Elipse de Elasticidad (o Elipse de Culmann-Richter) utiliza-ron argumentos tomados de la geometría proyectiva para indicarque la relación entre la recta que contiene los puntos de giro dela sección terminal de la estructura o viga y el punto en dondeaplicamos la fuerza constante giratoria, mantienen una relaciónde antipolaridad que ocurre entre una recta, un punto y unaelipse propia de cada caso analizado, y que esa relación se dacon una elipse real y que esa elipse es una elipse de radios degiro, la cual puede existir para relaciones entre áreas seccionalesy momentos de inercia seccionales, o entre momentos de inerciapolares de rigideces de plantas aporticadas y rigideces globalesdireccionales de plantas aporticadas (estos últimos son sistemasseccionales que pueden considerarse como reglados y no comoareales). Esto quiere decir que los conceptos que se aplican asecciones planas de vigas son trasladables a las plantas deedificios, las cuales sólo difieren de las secciones clásicas devigas en el hecho de manejar, en lugar de diferenciales de áreas,diferenciales de líneas (superficies areales vs. superficiesregladas). Esos argumentos, para un ingeniero que no hayarecibido conocimientos de geometría proyectiva, una materia

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muerta en la mayoría de los pensa actuales no europeos, lesresultan incomprensibles.

8.8. Si no queremos utilizar esos argumentos podemos apelar aotros, tomados de trabajos recientes, pertenecientes a esta líneade investigación del autor.

8.8.1. La existencia de un paraboloide elíptico como superficiede energía del caso de una planta aporticada estable, enlugar de un cilindro parabólico o un paraboloide hiperbólicoen el caso de arreglos inestables en la orientación de lospórticos. Esas conicoides representan la cantidad de ener-gía que es necesaria para producir un determinado giro,si cambiamos las posiciones de los centros de giro, dejan-do el resto igual, pues el tradicionalmente llamado centrode rigidez es el punto de energía mínima al girar la planta,es decir el vértice inferior de un paraboloide elíptico, o deuna recta basal de un cilindro parabólico o un punto dependiente nula de un paraboloide hiperbólico (superficiesde energía). Esas figuras contienen todos los casosposibles de fuerzas horizontales aplicables a una plantade edificio, variando sus posiciones y orientaciones.Obviamente, en ingeniería estructural deberíamos trabajarsólo con el caso del paraboloide elíptico, los demás casosson inestables.

8.8.2. Dos TEG de la Unimet (Pedro Jiménez) y Ucab (AntonioOsteicoechea) demuestran que las matrices de rigidezde una estructura contienen elipsoides como expresionesmatemáticas embebidas dentro de los resultados de lasoperaciones matriciales que realizamos con las matrices.Eso era de esperarse, pero no suele mencionarse, o nose menciona en absoluto en los textos de Análisis Matricialde Estructuras, el cual se ha ocupado cada vez más delcómo hacerlo en lugar del por qué esto ocurre y cómo lodescribimos.

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8.8.3. Si buscamos las respuestas de las deflexiones en unpunto de un sistema estructural dado, sea continuo o dis-creto y ante fuerzas constantes rotantes situadas en unplano, encontraremos que el lugar geométrico de las de-flexiones es una elipse, la elipse de deflexiones (no ne-cesariamente en el mismo plano de la fuerza rotante), dela cual se pueden deducir elipses de rigidez y elipses deflexibilidad, y de las elipses de rigidez se pueden deducirlas elipses de radios de giro al cuadrado, y de éstas, laselipses de radios de giro, que son las únicas que se pue-den dibujar con la misma escala sobre la planta de unedificio o sobre la superficie de una sección. Estas trans-formaciones geométricas son afines entre sí. Si trabajamoscon los planos y con los ejes principales, la cónica defuerzas y la cónica de deflexiones serán coplanares.

8.8.4. Un sistema estructural es direccionalmente isótropo enun plano si la elipse de deflexiones es una circunferenciay ortótropo si es una elipse. No son posibles formas cua-dráticas abiertas, como las parábolas y las hipérbolas, simanejamos estructuras estables. La transición desde unaelipse alargada hacia una parábola o a una hipérbola indi-caría que manejamos una estructura que ya no es estable,su elipse de deflexiones ya no es una figura cerrada.

8.8.5. Las formas cuadráticas en las estructuras provienen dela capacidad de absorber o almacenar trabajo, si lasestructuras son lineales esas formas son forzosamentecuadráticas. La energía es una función cuadrática en lasestructuras lineales.

9. Una relación de polaridad implica que hay tres distancias que estánrelacionadas por esta expresión: por ejemplo, en la sección de unaviga esa relación se suele escribir como r2=ec siendo r2=I/A (momentode inercia seccional / área seccional); e= la excentricidad de la fuerzay c la distancia del eje baricéntrico al borde de la sección (usualmente

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el más alejado). Esa expresión se usa normalmente de esta forma:s=P/A(1+ec/r2). En el caso de una circunferencia, las relaciones polo-polar serían siempre las siguientes: r= radio del círculo; e=distanciadesde la recta polar al centro del círculo (también vale para unarelación antipolar); c=distancia del polo (o antipolo) del centro de lacircunferencia. s es una tensión en un punto dado. (1+ec/r2) es unparámetro adimensional que podemos llamar Factor de Amplificaciónde Tensiones. En el caso de una elipse, esas relaciones se mantienenpero referidas a diámetros conjugados de elipses.

10. Es interesante notar que las relaciones de polaridad se mantienencuando se realicen transformaciones afines sobre las figuras que semanejen, y una elipse se obtiene de una transformación afín de unacircunferencia. Por ello es posible trabajar con circunferencias y luegopasar a una elipse aplicando esas transformaciones, que son posiblesen muchos programas de dibujo.

11. Si tenemos una circunferencia y desde un punto externo a ellatrazamos dos tangentes a la misma, la recta polar pasa por los puntosde tangencia y el polo es el punto escogido. Si el polo es externo, lapolar es secante a la circunferencia; si el polo es interno, la polar esexterna; si la polar es tangente a la circunferencia, el polo está en elpunto de tangencia. El antipolo es el punto simétricamente opuestoal polo con respecto al centro de la circunferencia. La antipolar es, asu vez, la simétrica central de la Polar. Iguales relaciones valen paratodas las elipses.

12. En toda estructura de comportamiento lineal hay relaciones entrelas elipses aquí mencionadas que siguen la ley de Maxwell, alcomparar las que se generen en puntos recíprocos (punto de apli-cación de la fuerza vs. punto de medición de un desplazamiento).Todas las relaciones estructurales de este tipo son relaciones deafinidad entre las elipses que resulten.

13. Cerramos estas notas definiendo de la manera clásica a la Elipsede Culmann: si tenemos una cierta elipse de radios de giro, asociadaa un cierto miembro o a una sección estructural o a una estructura

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dada, y dibujable a la misma escala del referente, y trazamos unasecante a esa elipse, y esa secante está asociada al antipolo co-rrespondiente, el antipolo es el centro de rotación del movimientoque la fuerza induzca sobre la sección o estructura correspondiente.Si la recta es tangente, el antipolo está del lado opuesto al punto detangencia, en el contorno de la elipse. Si la recta está fuera de laelipse, el antipolo estará fuera de la elipse y del lado opuesto al dela recta. Si la recta (fuerza) está en el infinito, el polo estará en elcentro de la elipse.

14. La única diferencia entre esta visión clásica y la versión modernaque hemos considerado aquí, es que la Elipse de Culmann ya no esun instrumento de cálculo de tediosa determinación, como lo era ensu época, sino que, al poder ser determinable con el uso de losmodernos programas de computación, se convierte en un instru-mento de caracterización, es decir en un descriptor sistémico de laestructura o sección que estudiemos. Ello permite el manejo de los“puntos” resultantes de los “casos de carga estudiados”, comopertenecientes a unas funciones conocibles, y no a un conjuntoamorfo de datos individuales.

15. No es aceptable la tendencia dominante en el mercado del diseñoestructural actual el “ver“ la estructura como un simple conjunto deresultados buscados y no como unas ciertas “formas” impuestaspor la misma naturaleza de los problemas, las hipótesis y lastécnicas de resolución que utilicemos. Un ingeniero no sólo analiza,también decide estrategias y aplica tácticas; en otras palabras, crea,no sólo mira.

16. Resultados obtenidos hasta ahora

Comenzaremos con los resultados más recientes, los cuales se re-fieren a la creación de una metodología de diagnóstico, caracterizacióny optimización de plantas diafragmadas de edificios irregulares, partiendodel análisis directo de la flexotorsión de plantas de edificios.

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El capítulo del diseño de edificios ante solicitaciones sísmicas tor-sionales concomitantes con las traslacionales ha sido hasta ahora unode los aspectos menos claros, más sujetos a correciones en las normasy, también debemos decirlo, incompletos, pues no siempre se han ma-nejado en las metodologías propuestas, que vienen y se van, todas lasvariables que influyen marcadamente en el problema.

Si queremos decirlo de otra manera, se tiende a suponer que elproblema del sismo traslacional se sabe resolver satisfactoriamente, yluego se intenta, a través de alguna variable geométrica sencilla de definir,tal como una excentricidad, la caracterización de la torsión. En otraspalabras, se suele suponer que la torsión y la flexión son dos cosassuperponibles y no el resultado de una combinación de factores, el másolvidado siendo la rigidez torsional de la planta, la cual está íntimamenteligada a las rigideces traslacionales. También a veces se ha tomado laposición de suponer que es sólo la forma de la planta, sin tomar en cuentasu estructuración, la que determina la vía de ataque.

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