transformasi z.docx

8/18/2019 transformasi z.docx

1/21

1. Definisi transformasi z

Transformasi-Z, seperti halnya transformasi laplace merupakan suatu metode atau alat

matematis yang sangat bermanfaat untuk mendesain, menganalisa dan memonitor suatu

sistem. Transformasi-z mirip dengan transformasi laplace namun bekerja pada domain diskrit

dan merupakan generalisasi dari transformasi fourier dari fungsi khusus. Transformasi-z

sangat diperlukan untuk mempelajari filter digital dan sistem. Transformasi-z dapat digunakan

untuk mendapatkan solusi dari persamaan diferent.

Pada domain diskrit, yang dalam aplikasi pada sinyal merupakan diskrit dari aktu, dinyatakan

sebagai suatu barisan bentuk !"n#, dengan n merupakan bilangan bulat. $otasi,

%&!"n#&'(,!"-)#, !"-1#, !"*#, !"1#, !")#,(+(((((((.. .1

ontoh soal .1

isal diberikan sebuah barisan atau sinyal diskrit yang diperlihatkan pada gambar .1 berikut.

Tentukan transformasi-z dari barisan tersebut,

/aab 0

arisan mempunyai sejumlah hingga elemen 0


2/21

%"-2#&2 !"-)#&-) !"-1#&1 !"*#&-2 !"1#&1 !")#&-)

Transformasi-z dari barisan diatas dapat dirumuskan dengan,

X ( z )=∑n=−3

2

x (n ) x−n=3 z3−2 z2+ z−3+ z−1−2 z−2

Dari persamaan diatas kita dapatkan polynomial %"z# dalam bentuk yang pendek, sesuai

dengan jumlah elemen barisan. 3al tersebut disebabkan 4ariable z dapat diinterpresentasikan

sebagai 5penentu posisi6. /adi jumlah pengali z -n identik dengan n buah elemen dari barisan.

Definisi 0 Transformasi-z ilateral dan uniteral

isal diberikan barisan seperti pada ".1#, maka didefinisikan sebagai suatu fungsi

polynomial %"z#,

X ( z )=∑n=−∞

∞

x (n) x−n

ontoh .)

Tentukan transformasi-z dari barisan konstan

{ A ,n=0,1,2,3,…0,n


3/21

entuk paling kanan merupakan hasil penderetan dari fungsi1

1−(1/ z ) , sehingga

transformasi-z dapat dituliskan !"z#&1

1−(1/ z ) & Az

z−1

aka telah diketahui baha deret geometri yang dituliskan dengan rumus

∑n=0

k

rn=

1−rk + 1

1−r

7kan mempunyai jumlah yang kon4ergen "untuk n & 8# bila 9 r 9 : 1. ;leh karna itu dapat

dituliskan

∑n=0

∞

rn=

1

1−r ,|r| 1. /adi daerah kekon4ergenan merupakan

daerah diluar lingkaran satuan. ?ambar .) menunjukan barisan konstan dan transformasi-z

dengan

a. arisan konstan membentuk .@,b. Z&1 merupakan kutub dari transformasi-z dan daerah kekon4ergenan 9 z 9 >1


4/21

Antuk nilai 7&1 maka didapatkan barisan tangga satuan "unit step# atau implus satuan,

u(n)={1,n=0,1,2,3,…0,n


5/21

%"z# dinamakan transformasi-z dua sisi atau bilateral dari barisan !"n#. edangkan

transformasi-z satu sisi atau uniteral dari barisan !"n# dirumuskan dalam bentuk 0

X ( z )=∑n=0∞

x (n) x−n

Eungsi atau barisa !"n# dikatakan sebagai in4ers dari transformasi-z, %"z#. Antuk memudahkan

dalam penulisan antara transformasi-z dan in4ersnya, maka akan digunakan notasi pasangan

transformasi,

ZF!"n#G & %"z# atau !"n# %"z#

ontoh tentukan transformasi-z dari barisan eksponensial !"n# & a n u"n#

/aab 0

ila digunakan definisi ".)# dan bentuk perderetan acHaurin maka didapatkan,

Iadius atau daerah kekon4ergenan adalah adalah 9 z 9 > a.

Dengan menggunakan cara serupa seperti contoh .2 "bentuk .12# maka dapat ditentukan

transformasi-z dari fungsi e!ponsial,

x (n )=e− Anu(n)

yaitu dengan memandang a & e-7,

X ( z )= z

z−e− A


6/21

?rafik barisan e!ponensial dan transformasi-z ditunjukkan pada gambar .2 dengan "a#

merupakan barisan e!ponensial !"n#&an u"n# dan "b# kutub terletak di z & a dan daerah

kekon4egenan 9 z 9 > a.

elanjutnya dengan menggunakan defenisi fungsi sinus dan cosinus pada bilangan kompleks,

sin An=e− An−e− Ani

2i

dancos An=e

Ani+e− Ani

2

Didapatkan hasil transformasi dari barisan sinusoidal dengan radius kekon4ergenan 9 z 9 > 1

yaitu,


7/21

a#

An u(n)sin ¿¿

A

sin ¿ z¿

A

2cos¿ z+1¿

z2−¿¿

Z ¿

atau

An u(n)sin¿¿

Z ¿

?rafik barisan sinus dan transformasinya ditunjukkan pada gambar .J dengan "a#

barisan sinus dan "b# hasil transformasi-z dengan daerah kekon4ergenan di luar

lingkaran satuan. 9z9>1.

b#

Anu (n)cos¿¿

A

cos¿+ z−2

¿ z2−2¿Z ¿

atau

An u(n)cos¿¿

Z ¿

?rafik barisan cosinus dan transformasinya ditunjukan pada ,gambar . dengan "a# barisan

cosinus dan "b# hasil transformasi-z dengan daerah kekon4ergenan di luar lingkaran satuan, 9

z9>1.


8/21

Table .1. Transformasi-Z

$o. !"n# %"z#

1.u (n )={1,∧ x ≥00 ,∧ x


9/21


10/21

Y ( z )=∑n=−∞

∞

y (n ) z−n=∑n=−∞

∞

[ a x ( n )+b h (n ) ] z−n

¿a

∑n=−∞

∞

x (n ) z−n+b

∑n=−∞

∞

h (n ) z−n=aX ( z )+b H ( z )

ontoh .JTentukan transformasi-z dari !"n# & )u"n#-2 )n u"n#/aab 0enggunakan sifat linear " * ditentukan berikut,

Z [ x (n−k ) ]=∑n=0

∞

x (n−k ) z−n=∑n=0

∞

x (n−k ) z−( n−k ) z−k

¿ z−k ∑i=−k

∞

x (i ) z−i ; i=n−k

karena !"n# & * untuk n : *, maka sigma dapat dimulai pada i&*,

sehingga diperoleh

Z [ x (n−k ) ]= z−k ∑i=0

∞

x (i ) z−i= z−k X ( z)

jadi didapatkan pasangan transformasi,

x (n−k ) ↔ z−k X ( z)

entuk ".1=# merupakan pergeseran aktu delay "backard time shift#,

sedangkan untuk pergeseran aktu maju "forard tim shift# diperoleh

berikut.

Z [ x (n+k ) ]=∑n=0

∞

x (n+k ) z−n=∑n=0

∞

x (n+k ) z−(n+k ) zk


11/21

zk ∑

i=k

∞

x (i ) z−i ; i=n+k

Tidak seperti pada pergeseran aktu delay, maka sigma tidak dapat

dimulai dengan i&*, sebab sub suku k-1 dari !"n# belum tentu bernilai nol.

Antuk itu dilakukan langkah pemisahan suku berikut.

x (i ) z−i

∑i=0

∞

x (i ) z−i−∑i=0

k −1

¿

Z [ x ( n+k ) ]= zk ¿

x (i ) z−i

X ( z )−∑i=0

k −1

¿

¿ zk ¿

¿ zk X ( z )− zk x (0 )− zk −1 x (1 )−…− z x (k −1)

entuk pergeseran aktu maju ".)*# identic dengan metode penurunan

fungsi dari transformasi laplace. Antuk k&1 maka didapatkan,

Z [ x (n+1 ) ]= z X ( z )− zx (0 )

edangkan untuk transformasi Haplace, L [ x ' (t ) ]= L [ x (t ) ]− x (0)

ontoh .

Diketahui transformasi-Z dari !"n# adalah X ( z )=

2 z

z−2 . Tentukan

transformasi-Z dari

a. x (n−2)

b. x (n+2)bila x (0 )=2dan x (1 )=−2

/aab 0


12/21

a. Digunakan rumus pergeseran aktu delay, maka didapatkan

x (n−2 )= z−2 X ( z )= 2

z ( z−2)Z ¿

b. Digunakan pergeseran aktu maju,

Z [ x (n+2 ) ]=2 z

X ( z )− z2 x (0 )− zx (1) maka didapatkan

Z [ x (n+2 ) ]= 2 z

3

z−2−2 z2

+2 z

Perkalian

Missal x(n) x(z) dan y(n)= an x (n) .

Menggunakan defnisi 5.2 di dapatkan

Y ( z )=∑n=−∞

∞

y (n) z−n=∑n=−∞

∞

[an x (n ) ] z−n

¿ ∑n=−∞

∞

x (n )( za )= X ( za )

Transormasi –Z dari n x(n) akan mengasilkan penurunan teradap

domain z! yaitu

z

x (n ) d

dz(¿¿−n)

Y ( z )=∑n=0

∞

[ n x (n ) ] z−n=− z∑n=0

∞

¿


13/21

¿− z d

dz (∑n=0∞

x (n) z−n)=− z ddz ( X ( z ))

"onto 5.#

Misal transormasi$Z dari x(n) adala %(z)= z+1 z−1 . Tentukan

transormasi$Z dari &

'. 3n x(n)

2. n x(n)

aa*&

'.Z (3n x (n ) )= X ( z3 )= z+3 z−3

2.

z−1¿2

¿

Z (n x (n ) )=− z ddz=

(

z+1 z−1

)

2 z¿

Pembalikan Waktu (Time Reversal)

Misal %(z) merupakan transormasi$Z dari *arisan x(n)! maka transormasi

dari x(n) didapatkan *erikut.

Z ( x (−n ) )=∑n=−∞

∞

x (−n ) z−n=∑n=−∞

∞

x (n ) zn=∑n=−∞

∞

x (n )

(1

z

)

−n

= X

(1

z

)"onto 5.+


14/21

Tentukan transormasi$Z dari x(n) *ila asil transormasi$Z dari x(n) adala

%(z) =

z

z−2

aa*&

Z(x($n)) = % ( 1Z )= 1

1−2Z

Konvulasi

,on-ulasi dari dua *arisan x(n) dan (n) di*erikan dengan!

x (n )∗h (n )=∑k =0

∞

x ( k )h (n−k )

ila di*erikan pasangan transormasi$Z! x /(n) dan y(n) = x(n) 0 (n)

maka

Y(z) = X(z) H(z)

"onto 5.1

iketaui *arisan x(n) = 3'!2!4!!56 dan (n) = 3'!'!'!'!'6. Tentukan

'. y(n)=x(n)0(n)2. /(n)=%(z) 7(z)

aa*&

'. ari *entuk (+.2) didapatkan! y (n )=∑k =0

∞

x (k ) h(n−k )

8edangkan *entuk *arisan x(n)=3'!2!4!!56 dan (n) =3'!'!'!'!'6

erturut$turut dapat diuraikan men9adi!

x(:)='


15/21

x(')=2

x(2)=4 dan (:)=;.=()='

x(4)=

x()=5

8eingga diperole

n=: y (0 )=∑k =0

∞

x (k ) h (−k )= x (0 ) h (0 )=1

n=' y (1 )∑k =0

∞

x (k ) h (1−k )

= x (0 )h (1 )+ x (1 ) h (0 )=1+2=3

n=2 y (2 )=∑k =0

∞

x ( k ) h(2−k )

= x (0 )h (2 )+ x (1 ) h (1 )+ x (2 ) h (0 )=1+2+3=6

n=4 y(4)= ∑k =0

∞

x (k ) h(3−k )

= x (0 )h (3 )+ x (1 )h (2 )+ x (2 ) h (1 )+ x (3 ) h(0)

= '


16/21

n= y (4 )∑k =0

∞

x (k ) h (4−k )=15

n=5 y (5)∑k =0

∞

x (k ) h (5−k )=14

n=# y (6)∑k =0

∞

x (k )h (6−k )=12

n=+ y (7)∑k =0

∞

x (k )h (7−k )=9

n=1 y (8)∑k =0

∞

x (k )h (8−k )=5

adi y(n )= x(n) 0 (n) = 3'!4!#!':!'5!'!'2!!56

2. 7asil Transormasi$Z dari x(n) dan (n) *erturut$turut adala

%(z)= 1+2 z−1+3 z−2+4 z−3+5 z−4 dan

7(z) ¿1+ z−1+ z−2+ z−3+ z−4

7asil kali keduanya mengasilkan!

/(z) ¿1+3 z−1+6 z−2+10 z−3+15 z−4+14 z−5+12 z−6+9 z−7+5 z−8

ila di*andingkan antara asil kon-olusi dengan asil transormasi! maka

terliat *aa koefsien dari polynomial transromasi merupakan suku$

suku dari *arisan asil kom-olusi.


17/21

Masalah nilai awal dan nilai akhir

Missal %(z) merupakan transormasi$Z dari x(n) danlim

z ! ∞

X ( z) ada maka

nilai aal dari *arisan di*erikan dengan!

X (0 )=lim z ! ∞

X ( z)

ila x(:) *ukanla nilai dari X (∞) maka kesalan tela ter9adi pada

saat melakukan transormasi. Masala nilai aal ini dapat digunakan

untuk menge>ek peritungan dari in-ers transormasi$z. 8edangkan nilai

akir ditentukan se*agai *erikut. ari siat pergeseran yang di*erikan!

Z [ x (n−1 ) ]= z−1 X ( z )=∑n=1

∞

x (n−1) z−n

?otasi sigma dimulai dengan n=' se*a* nilai x($') dipandang sama

dengan nol. 8elan9ut akan digunakan argumentasi ini untuk mem*uat

notasi sigma di mulai n=:! yaitu

(1− z−1 ) X ( z)=∑n=0

∞

x (n ) z−n−∑n=1

∞

x (n−1) z−n

@andang 9umla sampai suku ke$? *erikut!

x (n ) z−n−¿∑n=1

"

x (n−1) z−n

# ( " )=∑n=0

"

¿

¿ x (0 ) (1− z−n )+ x (1 ) ( z−1− z−2 )+ x (2 ) ( z−2− z−3 )+…+ x ( " ) z− "

ila diam*il limit pada zA'! maka z−1

!1 dan ( zk −1− z−k )!0. adi


18/21

lim z ! 1

# ( " )= x ( " )

Bkirnya dengan menagam*il limit pada ?AC maka didapatkan nilai

akir!

(1− z−1 ) X (Z )=¿ lim " ! ∞

lim z !1

# ( " )=lim x (n) z ! ∞

lim z !1

¿

"onto &

Tentukan nilai aal dan akir dari X (n )=

2( z−1

2)

z ( z−1)( z− 9

10)

aa* &

Menggunakan *entuk persamaan 5.24 didapatkan nilai aal!

x (0 )=lim z ! ∞

X ( z )2( z−

1

2)

( z−1)( z− 9

10

)=0

8edangkan dengan 5.2 didapatkan nilai akir!

(1− z−1 ) X (Z )=¿lim z !1

2( z−1

2)

z2( z− 9

10)=10

x ( ∞)=limn !∞

x (n)=lim z !1

¿

Ta*le 5.2 8iat$siat transormasi$z

?o

.

x(n)%(z) 8iat


19/21

'. ax (n )+b h (n ) a X ( z )+bH ( z) Dinear

2.n x (n) X (

z

a)

@erkalian dengan an

4.n x (n )− z d

dz X ( z) @erkalian dengan n

. x (−n ) z−k X ( z ) @em*aliakan aktu

5. x (n−k ) z−k X ( z ) @ergeseran aktu

delay#. x (n+k )= zk X ( z )− zk x (0 )− zk −1 x (1 )−…− z @ergeseran aktu

ma9u+.

x1 (n )∗ x2 (n ) X 1 ( z ) X 2 ( z ),on-ulasi

1. x (0 )= lim z ! ∞

X ( z) Teorema nilai aal

. lim z ! ∞

x (n)=lim z !1

[ (1− z−1 ) X ( z )] Teorema nilai akir

nvers trans!ormasi"z

Entuk mendapatkan in-ers transormasi$z dapat dilakukan dengan

menggunakan *e*erapa metode! antara lain &

• Metode perluasan pe>aan par>ial

• Metode in-ersi intergral atau metode residu

• Metode deret pangkat atau deret kuasa

i dalam Bplikasi! *anyak di9umpai transormasi$z yang *er*entuk unsi

rasional yaitu!

X ( z )=b0 z$

+b1 z$−1

+…+b$ z

n+a1 z

n−1+…+anuntuk $% n

ika diperatikan *aa koeesien a: = '. 7al ini dapat kita perole dari

semua *entuk ungsi rasional dengan mem*agi a: teradap semua


20/21

koeesien. 8e>ara umum kita dapat memaktorkan ungsi rasional %(z)

*entuk (5.21) men9adi!

X ( z )=b0 ( z− z1 )( z− z2 ) …( z− z$)

( z− &1 ) ( z− &2 ) …( z− &n)

?ilai zi! F = '!2!4...m dikatakan pem*uat nol (Zeros) dari %(z)! se*a*

%(zi)=:! sedangkan niali pi! i='!2!4...!n dikatakan kutu* (poles) dari %(z)

se*a* nilai %(pi) akan menu9u GC.

Hungsi rasional (5.21) 9uga sering dinyatakan se*agai ungsi rasioanal

dalam z$'

. Fni dapat dilakukan dengan mem*agi pem*ilang dan penye*ut

dengan zn yaitu!

X ( z )=b0 z

−(n−$)+b1 z−(n−$−1)+…+b$ z

−n

1+a1 z−1+…+an z

−n

Metode #erluasan #e$ahan #arsial

Entuk mendapatkan in-ers dari transormasi$z! dapat dilakukan dengan

metode perluasan pe>aan parsial. ila kutu* dari %(n) mempunyai order

pertama atau merupakan kutu* sederana dan n=m! maka dapat kita

tuliskan kem*ali *entuk transormasi (5.2) men9adi!

X ( z )= b0 z

$+b1 z$−1+…+b$

( z− &1 )( z− &2 ) …( z− &n)

ari persamaan 5.4' dapat diurakan men9adi!

X ( z )=k 0+k 1 z

z− &1+k 2

z

z− &2+…+k n

z

z− &n

8elan9utnyan! dari persamaan 5.42 didapatkan!


21/21

X ( z) z =

k 0

z +

k 1

z− &1+

k 2

z− &2+…+

k n

z− &n

,oeesien ki dengan i=:!'!2!4!...!n merupakan residu dari ungsi

' ( z)= X ( z )

z dititik singular (kutu*) z = :!p'!p2!...!pn.

?ilai residu dari X ( z)

z di kutu* sederana pi diperole dengan

menggunakan rumus!

Entuk kutu* order m maka aka nada suku dari X ( z)

z dengan *entuk

∑i=1

$ k i

( z− &i) ! seingga residu dikutu* order m! didapatkan dengan rumus

transformasi z.docx

Documents

Transcript of transformasi z.docx