Bab 1 Transformasi Laplace
-
Upload
verosalinda -
Category
Documents
-
view
407 -
download
18
Transcript of Bab 1 Transformasi Laplace
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012 BDA, RYN
Transformasi Laplace
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Referensi
• Desjardins S J, Vaillancourt R, 2011, Ordinary Differential
Equations Laplace Transforms and Numerical Methods for
Engineers, University of Ottawa, Canada.
• Poularikas A D, Seely S, 2000 , Laplace Transform, CRC
Press LLC
• Kreysziq, 2006, Advanced Engineering Mathematics 9th ed.
John Wiley & Sons, Inc.
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Silabus
• Transformasi Laplace ( 1)
• Transformasi Turunan dan Integral (2)
• Transformasi Persamaan differensial berbatas (1)
• Teori pergeseran (2)
• Aplikasi (1)
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
I. TRANSFORMASI LAPLACE
Review Differensial
Review Integral
Transformasi Laplace
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
REVIEW DIFFERENSIAL
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Differential Rule
1. dk
2. d(ku)
3. d (u + v)
4. d (uv )
5. d (u/v)
6. d (un)
= 0
= k du
= du + dv
= u dv + v du
= (v du – u dv)/v2
= nun-1 du
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Tentukan dy/dx untuk fungsi di bawah ini.
2 siny x x
sin xy
x
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
2
2sin
sin
dy dv duu v
dx dx dx
d xd xx x
dx dx
2 siny x x
2
2
cos sin 2
cos 2 sin
dyx x x x
dx
x x x x
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
sin xy
x
2 2
2
sinsin
cos sin
d x d xdu dvv u x x
dy dx dx dx dx
dx v x
x x x
x
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Review Integral
Cxxdx
Cxxdxx
Cxxdxx
Cxxdx
Ca
axaxdx
Ca
axaxdx
n
xdxx
Cxdx
nn
cotcsc
csccotcsc
sectansec
tansec
sincos
cossin
1
2
2
1
Cxxx
dx
Cxx
dx
Cxx
dx
Cxx
dx
Ck
edxe
kxkx
arcsec1
arctan1
arcsin1
ln
2
2
2
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
21 2 x x dx
Salah satu petunjuk yg kita cari adalah jika
kita dapat menemukan fungsi dan
turunannya dalam integran
Turunan dari adalah 21 x 2 x dx
1
2 u du3
22
3u C
3
2 22
13
x C
2Let 1u x
2 du x dx
Contoh
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Contoh
4 1 x dxLet 4 1u x
4 du dx
1
4du dx
Penyelesaian untuk dx
1
21
4
u du3
22 1
3 4u C
3
21
6u C
3
21
4 16
x C
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Fungsi Hiperbola
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Definisi
• Transformasi: Konversi matematika dari satu cara berpikir
ke cara berpikir yang lain yang membuat penyelesaian
permasalahan lebih mudah
Transform
Solution in transform
way of thinking
Invers Transform
Problem in original way of thinking
Solution in original way of thinking
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Laplace Transform
Solution in s domain
Inverse Laplace Transform
Problem in time domain
Solution in time domain
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Laplace transformation
linear
differential
equation
time
domain
solution
Laplace
transformed
equation
Laplace
solution
time domain
Laplace domain or
complex frequency domain
algebra
Laplace transform
inverse Laplace
transform
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
• Dikembangkan oleh seorang Matematikawan Prancis,
Pierre Simon Marquis De Laplace (1749-1827) yang
memiliki kontribusi penting pada ilmu mekanika astronomis,
astronomi umum, teori fungsi dan teori probabilitas.
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Jika 𝑓(𝑡) sebuah fungsi yang didefinisikan untuk t ≥ 0
maka Transformasi Laplace (L )-nya merupakan fungsi
integral dari 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 dengan t = 0 hingga t = ∞.
Ini merupakan fungsi dari 𝑠, atau 𝐹(𝑠), atau dinotasikan dengan L [𝑓(t)]
L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
• Dengan demikian, 𝑓(𝑡) merupakan transformasi balik (invers) dari 𝐹(𝑠) atau dinotasikan dengan L -1[F(s)]
𝑓(𝑡) = L -1[F(s)]
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Review
• Anda punya suatu fungsi yang tergantung pada waktu yaitu
f(t)
• Maka bentuk transformasi laplace adalah:
L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Catatan
• Penulisan notasi 𝑡 pada fungsi awal akan berubah menjadi
𝑠 setelah Transformasi Laplace
• Fungsi awal selalu menggunakan notasi dgn huruf kecil
(misal: 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)), akan berubah menggunakan notasi dgn
huruf kapital (misal: 𝐹(𝑠), 𝐺(𝑠)) setelah Transformasi
Laplace
L [𝑓(t)] = 𝐹(𝑠) = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
L [g(t)] = G(𝑠) = 𝑔 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Contoh 1. Transformasi Laplace sederhana
Jika 𝑓(𝑡) = 1 dengan t ≥ 0, Carilah Transformasi Laplacenya
L [𝑓(t)] = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
L [1] = 1 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
= −1
𝑠𝑒−𝑠𝑡
0
∞
= −1
𝑠𝑒−𝑠∞ − −
1
𝑠𝑒−0
= 0 +1
𝑠=
1
𝑠
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Contoh 2. Fungsi Eksponensial
• Jika𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡dengan t ≥ 0 dan 𝑎 adalah sebuah konstanta, Carilah Transformasi Laplacenya
L [𝑓(t)] = 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
L [𝑒𝑎𝑡] = 𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0= 𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡𝑑𝑡
∞
0
= - 1
𝑠−𝑎𝑒−(𝑠−𝑎)𝑡
0
∞
= - 1
𝑠−𝑎𝑒−(𝑠−𝑎)∞ − −
1
𝑠−𝑎𝑒 𝑎−𝑠 0
= 1
𝑠−𝑎
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Contoh 3. Fungsi Hiperbola
Carilah transformasi Laplace dari cosh at dan sinh at.
Jawab:
Diketahui
cosh at = 1
2𝑒𝑎𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡
sinh at = 1
2𝑒𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
cosh at = 1
2𝑒𝑎𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡
L cosh at) = 1
2 𝑒𝑎𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= 1
2 𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
∞
0
= 1
2
1
𝑠−𝑎+
1
𝑠+𝑎
= 1
2
𝑠+𝑎
(𝑠−𝑎)(𝑠+𝑎)+
𝑠−𝑎
(𝑠+𝑎)(𝑠−𝑎)
= 1
2
2𝑠
𝑠2−𝑎2 =𝑠
𝑠2−𝑎2
sinh at = 1
2𝑒𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡
L (sinh at) = 1
2 𝑒𝑎𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= 1
2 𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 − 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
∞
0
= 1
2
1
𝑠−𝑎−
1
𝑠+𝑎
= 1
2
𝑠+𝑎
(𝑠−𝑎)(𝑠+𝑎)−
𝑠−𝑎
(𝑠+𝑎)(𝑠−𝑎)
= 1
2
2𝑎
𝑠2−𝑎2 =𝑎
𝑠2−𝑎2
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Contoh 4. Fungsi Sinus
Buktikan bahwa:
L (sin at ) = 𝑎
𝑠2+𝑎2
L (sin at ) = 𝑒−𝑠𝑡sin at 𝑑𝑡∞
0 = y
𝑑
𝑑𝑡𝑢𝑣 = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′
𝑢𝑣 = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′
𝑢′𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑢′ = 𝑒−𝑠𝑡
𝑢 = −1
𝑠𝑒−𝑠𝑡
𝑣 = sin 𝑎𝑡 𝑣′ = 𝑎 cos 𝑎𝑡
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
𝑦 = −1
𝑠𝑒−𝑠𝑡 sin 𝑎𝑡 − −
1
𝑠𝑒−𝑠𝑡𝑎 cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡
𝑠sin 𝑎𝑡 +
𝑎
𝑠 𝑒−𝑠𝑡 cos 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
𝑢′ = 𝑒−𝑠𝑡
𝑢 = −1
𝑠𝑒−𝑠𝑡
𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 𝑣′ = − 𝑎 sin 𝑎𝑡
𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡
𝑠sin 𝑎𝑡 +
𝑎
𝑠−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 − −
1
𝑠𝑒−𝑠𝑡(−𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡) 𝑑𝑡
∞
0
𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡
𝑠sin 𝑎𝑡 −
𝑎
𝑠2𝑒−𝑠𝑡 cos 𝑎𝑡 −
𝑎2
𝑠2 𝑒−𝑠𝑡 sin 𝑎𝑡 𝑑𝑡
∞
0
𝑦
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
𝑦 +𝑎2
𝑠2𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡
1
𝑠sin 𝑎𝑡 +
𝑎
𝑠2cos 𝑎𝑡
𝑠2 + 𝑎2
𝑠2𝑦 = −𝑒−𝑠𝑡
1
𝑠sin 𝑎𝑡 +
𝑎
𝑠2cos 𝑎𝑡
0
∞
= 0 + 1 0 +𝑎
𝑠2 =𝑎
𝑠2
𝑠2 + 𝑎2
𝑠2𝑦 =
𝑎
𝑠2
𝑦 =𝑎
𝑠2
𝑠2
𝑠2 + 𝑎2=
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Tabel Transformasi Laplace