Title

Transformada ZAquiles Caldern, Marlon Cabreja, Leonardo de la Cruz

rea de Ingeniera

Instituto Tecnolgico de Santo Domingo, INTEC

Ave. Los Prceres, Gal, Santo Domingo, Distrito Nacional, Repblica Dominicanaaquilesbayoan@hotmail.com, marlondca@gmail.com, leonardodelacruz20@gmail.com,

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Resumen- En este documento informa sobre las aplicaciones y usos de la Transformada Z en sistemas en tiempo discreto.Objetivos Investigar y presentar las aplicaciones de la transformada Z.IntroduccinLa Transformada de Zeta es un modelo matemtico similar a la transformada de Fourier para el caso del tiempo discreto o las transformadas de Fourier y Laplace para el caso de tiempo continuo, que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del procesamiento de seales digitales, como son el anlisis y proyecto de circuitos digitales, los sistemas de radar o telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos por computadoras.Fundamentos TericosLa transformada de Laplace puede utilizarse para el anlisis de seales y sistemas en tiempo continuo. Un mtodo operacional equivalente para el estudio de sistemas de ecuaciones deferenciales de tipo lineal discreto, es el mtodo de la transformada Z (TZ). Es decir que la TZ est basada en la serie de Laurent y tiene como objetivo, resolver problemas de seales y sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo (LIT).De modo general la transformada Z se representa de la siguiente forma:

En general sea A : Xk= 1 Xk = k Xk= k Se puede demostrar que para:Xk= sen kT (, t constantes) Xk= cos kT (, t constantes) Xk= senh k ( constante) Xk= cosh k ( constante) Propiedades: Z{AXk + BYk} = aZ{Xk} + bZ{Yk}1era de traslacin Retraso Z{X k k0} = 2da de traslacin Avance Z{Xk+k0)= Multiplicacin por Multiplicacin por Teorema del valor inicial Teorema del valor final

El Campo de Convergencia de la Transformada Zeta es el anillo: A (r1, r2) = {z: r1 < |z| < r2}

En el caso de Transformada Zeta unilateral el Campo de Convergencia es una Bola de centro y radio r: A (r1, r2) = B (,r)

Obs: La abreviatura ROC para el Campo de Convergencia proviene del ingls: Region of Convergence

Aplicaciones

Diseo de sistemas de tiempo discreto:Un sistema en tiempo discreto es un operador matemtico que transforma una seal en otra por medio de un grupo fijo de reglas y funciones. La notacin T[.] es usado para representar un sistema general. Las propiedades de entrada-salida de cada sistema puede ser especificado en algn nmero de formas diferentes. x(n)y(n) =T[x(n)]T[.] Figura 1. Sistema Discreto en tiempo como una transformacin T[.] que mapea una seal de entrada x(n) en una seal de salida y(n).

Algunos ejemplos de sistemas discretos son:RadarSonar

-Equipos biomdicos tales como:TomgrafosEcongrafosResonancia MagnticaElectrocardigrafos.

-ComputadoresEquipos industrialesEquipos militares.

Filtros analgicos:Los filtros analgicos son un tipo de filtro electrnico que discriminan las seales o componentes de una seal analgica que pasan a su travs atendiendo a algunas de sus caractersticas, habitualmente su frecuencia.Filtro digital:Un filtro digital es un tipo de filtro que opera sobre seales discretas y cuantizadas, implementado con tecnologa digital, bien como un circuito digital o como un programa informtico.

ConclusionesLas transformadas Z, se convierten en una excelente tcnica la cual, a pesar de tener su sustento terico prctico definido, como consecuencia de la tecnologa se reinventa para aplicarse, en este caso particular a una de las necesidades humanas fundamentales, que es la comunicacin, y dentro del contexto tecnolgico a las telecomunicaciones. Cabe destacar, que las telecomunicaciones obedecen a un sistema de comunicacin que incluye equipos electrnicos e inclusive la manipulacin de seales digitales, las cuales vienen compuestas por unos parmetros discretos

Leer ms: [1] CDIGITAL, [En lnea]. Available: http://cdigital.dgb.uanl.mx/la/1020115814/1020115814_019.pdf.

[2] Wikipedia, [En lnea]. Available: https://es.wikipedia.org/wiki/Condensador_el%C3%A9ctrico.

[3] F. B. Atienza, Diccionario politcnico de las lenguas espaola e inglesa, 1997.

[4] A. Jaramillo, J. Torres y A. Castro, Medicion de Capacitancias e Inductancias con Voltimetro Digital, Barranquilla, 2011.

"Transformada Z."Apuntes de Electronica. N.p., n.d. Web. 13 July 2013. .

Transformada Z - Monografias.com."Monografias.com - Tesis, Documentos, Publicaciones y Recursos Educativos.. N.p., n.d. Web. 13 July 2013. .

"Transformada Z - Monografias.com."Monografias.com - Tesis, Documentos, Publicaciones y Recursos Educativos.. N.p., n.d. Web. 13 July 2013. .

EJEMPLO 1. 1. la seal Y[n] es la salida de un sistema LTI con respuesta al impulso h[n]. si Y[n] es estable y el diagrama de polos y ceros de su transformada Z es como se indica en la figura 1, y la seal X[n] tambin es estable y el diagrama de polos y ceros de su transformada es como se indica en la figura 2.

Figura 1

Figura 2

1. Cual es la regin de Convergencia de Y(Z)?

2. Es Y[n] una secuencia Izquierda, Derecha, o bilateral?

3. Cual es la Regin de Convergencia de X(Z)?

4. X[n] es causal?

5. Dibuje el diagrama de polos y ceros de H(Z) y especifique su Regin de Convergencia.

6. h[n] es anticausal? Es decir que h[n]=0 para valores de n > 0.

2. Cuando la entrada a un sistema LTI h[n] Causal, es:

La transformada Z de la salida es:

a) Determine la transformada Z de la entrada X[n]? b) Cual es la regin de convergencia de Y(Z)? c) Encuentre la respuesta al impulso.

a) Como Y[n] es estable, la ROC debe contener el circulo unitario. ROC 1.

Finalmente de la interseccin de estas dos regiones de convergencia resulta:

Como H(z) tiene un polo en -1, la regin de convergencia no incluye el circulo unitario, por lo tanto NO es ESTABLE.