TRANSFORMADA DE LAPLACE

El método de la transformada convierte las ecuaciones diferenciales en el dominio del

tiempo, en ecuaciones algebraicas en el dominio de la variable s.

La transformada de Laplace de una función del tiempo “f(t)”se define por,

DEFINICIÓN

Para la integral tenga sentido se debe satisfacer en particular la condición:

Propiedades de la transformada de Laplace

• Linealidad: la transformada de Laplace es lineal =>si k es una constante

Como es lineal => la propiedad distributiva es válida para “L”

Establece la relación de la transformada de Laplace de una función con la de su derivada.

De la definición de transformada de Laplace

Luego

•Teorema de la diferenciación real

Demostración.

P r o p i e d a d e s d e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

Derivada de 2do orden

La extensión a derivadas de orden superior es directa

Derivada de orden superior

En general, para condiciones iniciales nulas, y(0) = 0, y`(0) = 0, … yn(0) = 0

P r o p i e d a d e s d e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

Teorema de la Integración Real

P r o p i e d a d e s d e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

La función trasladada es la función original con retardo en tiempo.

Teorema de la Traslación Real

L [ f ( t - d) ] = e - s . d. F (s)

Los teoremas de los valores inicial y final, pueden brindar información de cómo se comporta el sistema al principio y al final de la respuesta a una perturbación, sin necesidad de conocer la ecuación diferencial.

Teorema del valor Final

P r o p i e d a d e s d e l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e

Teorema del valor inicial y del valor final

Teorema del valor Inicial

INVERSA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

El último paso en el proceso de solución de una ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace es la inversión de la ecuación algebraica de la variable de salida Y(s)

y (t) = L -1 [ Y (s) ]

METODO DE EXPANSIÓN DE FRACCIONES PARCIALES

Dada la transformada de Laplace de la variable dependiente de una EDL de “orden n” con coeficientes constantes.

Y (s) se puede expresar como:

Coef. ctes del polinomio numerador N(s) de grado j (j ≥ m)

Coef. ctes del polinomio Denominador D(s) de grado k (k ≥ n)

factorización del polinomio Denominador D(s) :

Hacemos Tal que

donde r1, r2, ..., rk son las raices del polinomio de D (s)

MÉTODO DE EXPANSIÓN DE FRACCIONES PARCIALES

Es posible demostrar que la transformada Y(s) se puede expresar como la suma de k fracciones

A1 , A2 , … , Ak son una serie de coef. constantes

Obtención de la función Inversa de Y (s)

propiedad distributiva de la transformada inversa

Las inversas individuales generalmente se pueden determinar mediante el uso de una tabla de transformadas de Laplace

Evaluación los coeficientes de las fracciones parciales A1 , A2 , … , Ak

METODO DE EXPANSIÓN DE FRACCIONES PARCIALES

4 casos posibles

1. Raíces reales no repetidas. 2. Pares no repetidos de raíces complejas conjugadas. 3. Raíces repetidas. 4. Presencia de tiempo muerto.

1. Raíces reales no repetidas

Para evaluar el coeficiente A i se multiplican ambos miembros de la ecuación por el factor (s - ri )

Luego haciendo s = r i

y (t) = A1 . e r 1 t + A2 . e r 2 t+ ... + Ak . e r k t

La inversa de los términos individuales correspondientes de Y(s)

Finalmente la función

Inversa de Y(s) será

Tabla de Transformadas de

Laplace.

Ejercicio de Aplicación Una ecuación diferencial de segundo orden, como:

Puede resolverse aplicando transformada de Laplace

Aplicamos Distributiva

reemplazamos “Transformada de Laplace de la ecuación Diferencial”

Despejamos la función de salida X (s)

Factorizamos el denominador

La Solución de la ecuación diferencial se obtiene mediante la transformación inversa de X(s) mediante el método de fracciones parciales. Para ello es necesario conocer la función de entrada U(s) POR EJEMPLO PARA EL “ESCALÓN UNITARIO”

ESCALÓN UNITARIO TRANSFORMADA

Reemplazamos U (s) en la función X (s)

Sacamos como factor común en el Numerador a x(0), x`(0). Ordenamos y distribuimos

Cálculo de la función inversa

Calculamos los “coeficientes A” para estos 2 términos también

Mediante la tabla de Transformadas de Laplace obtenemos las fnes inversas de cada uno de los terminos

solución completa de la ecuación diferencial, que incluye términos para todas las posibles condiciones iniciales y todas las entradas.

Por Ejemplo, para condiciones iniciales nulas, la respuesta del sistema al escalón unitario será:

respuesta del sistema al escalón unitario

Teorema del valor Final para este ejemplo, considerandos condiciones iniciciales nulas