La transformada de Laplace

Universidad de AntioquiaFacultad de Ingeniera

Departamento de Ingeniera Mecnica

(Universidad de Antioquia) La transformada de Laplace 1 / 21

1 Variable y funciones complejas

2 Transformada de Laplace

3 Funcion de excitacin

4 Tabla de transformadas de Laplace

5 Teoremas de la transformada de Laplace

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Variable compleja

Variable complejaUn nmero complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, ambasson constantes. Si la parte real y/o la parte imaginaria son variables, elnmero complejo se denomina variable compleja. En la transformada deLaplace se usa la notacin s como una variable compleja.

s = + j

donde: es la parte real y es la parte imaginaria.

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Funcion compleja

Un funcin compleja F(s) tiene una parte real y una parte imaginaria.F (s) = Fx + jFy donde Fx y Fy son cantidades reales.

Los valores de s para los cuales la funcin F (s) es indeterminada sedenominan polos y los valores de s para los cuales la funcin F (s) escero se denominan ceros. Por ejemplo, considere la funcin compleja

G(s) = K(s+ 2)(s+ 10)s(s+ 5)(s+ 15)2

tiene ceros en s = 2 y s = 10, polos simples en s = 0 y s = 5 y unpolo doble (polo mltiple de orden 2) en s = 15.

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Funcin compleja

Una funcin compleja puede ser representada mediante una magnitudy un ngulo como: F (s) = |F (s)|F (s) esto representa la magnitud ydireccin de un vector trazado desde el origen de un plano complejo alvalor que toma la funcin para el valor de s especfico.

|F (s)| =F 2x + F 2y

F (s) = tan1(FyFx

), medido en sentido antihorario.

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Teorema de Euler

A partir del teorema de Euler

cos() + jsen() = ej

cos() jsen() = ej

Se puede expresar el seno y el coseno en trminos de una funcin expo-nencial:

cos() = 12(ej + ej)

sin() = 12j (ej ej)

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Transformada de Laplace

Su principal caracteristica es la transformacin de una ecuacin diferenciallineal en una ecuacin algebrica.

Se define como: F (s) = L {f(t)} =0

f(t)estdt donde:

f(t) es una funcin del tiempo tal que f(t) = 0 para t < 0s es una variable complejaL simbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se vaa transformar mediante la integral de Laplace.F (s) es la transformada de Laplace de f(t)t es tiempo.

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Transformada de Laplace

Su principal caracteristica es la transformacin de una ecuacin diferenciallineal en una ecuacin algebrica.

Se define como: F (s) = L {f(t)} =0

f(t)estdt donde:

f(t) es una funcin del tiempo tal que f(t) = 0 para t < 0s es una variable complejaL simbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se vaa transformar mediante la integral de Laplace.F (s) es la transformada de Laplace de f(t)t es tiempo.

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Definicin de la funcin f(t)

La funcin f(t) en el contexto del diseo de los sistemas de control puedeser una expresin matemtica de:

Variables manipuladas y controladas.Seales provenientes del sensor o transmisor.Perturbaciones.Posicion de una vlvula de control.Flujo a travs de las vlvulas de controlCualquier otra variable o seal presente en el sistema.

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Funciones de excitacin

Existen algunas seales empleadas comunmente para excitar un sistema(como perturbaciones, cambios en el punto de control, etc.) con el fin deconocer como stas afectan el comportamiento del sistema. Algunas destas son:

Funcin escalnFuncin pulsoFuncin impulso unitarioFuncin rampaFuncin senoidal

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Funcin escaln

Definicin matemtica Transformada de Laplace

1(t) ={

0 t < 0A t > 0 L {1(t)} = 1(s) =

A

s

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Funcin pulso

Definicin matemtica Transformada de Laplace

f(t) ={

0 t < 0A 0 t < T L {f(t)} = F (s) =

A

s(1 esT )

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Funcin impulso unitario

Definicin matemtica Transformada de Laplace

(t) ={ t = 00 t 6= 0 L {(t)} = 1

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Funcin rampa

Definicin matemtica Transformada de Laplacef(t) = At L {f(t)} = F (s) = A

s2

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Funcin senoidal

Definicin matemtica Transformada de Laplacef(t) = Asen(wt) L {f(t)} = F (s) = A w

s2 + w2

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Tabla de transformadas deLaplace

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Tabla de transformadas de Laplace

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Tabla de transformadas de Laplace

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Teoremas de la transformada deLaplace

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Teorema de la diferenciacin real

L

{df(t)dt

}= sF (s) f(0)

L

{d2f(t)dt2

}= s2F (s) sf(0) df(0)dt

L

{dnf(t)dtn

}= snF (s) sn1f(0) sn2 df(0)dt sd

n2f(0)dtn2 d

n1f(0)dtn1

Teorema de la integracin real

L

t

0

f(t)dt

= 1sF (s)

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Teorema de la diferenciacin compleja

L {tf(t)} = dF (s)ds

Teorema de la traslacin real(Retardo)L {f(t t0)} = est0F (s)

Teorema de traslacin realL{eatf(t)

}= F (s a)

Teorema del valor finallm

t+ f(t) = lms0 sF (s)Teorema del valor iniciallmt0 f(t) = lms+ sF (s)

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Propiedades de la transformada de Laplace

LinealidadL {kf(t)} = kL {f(t)} = kF (s)

L {f1(t) + f2(t)} = L {f1(t)}+L {f2(t)} = F1(s) + F2(s)

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