11 Transformada De Laplace

78
1 0 ) ( ) ( ) ( dt t y e t y L s Y st La transformada de Laplace

Transcript of 11 Transformada De Laplace

Page 1: 11 Transformada De Laplace

1

0

)()()( dttyetyLsY st

0

)()()( dttyetyLsY st

La transformada de Laplace

Page 2: 11 Transformada De Laplace

2

Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:

donde s es una variable compleja

Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.

dtetfsFtfL st

0

)()()}({

.iws

La transformada de Laplace

Page 3: 11 Transformada De Laplace

3

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)

"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."

Page 4: 11 Transformada De Laplace

4

Observa que la transformada de Laplace es una

integral impropia, uno de sus límites es infinito:

0 0

( ) lim ( )h

s t s t

he f t dt e f t dt

( ) ( ),f t F sL

( ) ( ),

( ) ( ), etc.

y t Y s

x t X s

L

L

Notación:

Page 5: 11 Transformada De Laplace

5

Condiciones suficientes de existencia de la TL

Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y

),0[,|)(| tMetf at

Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:

0|)(|lim

bt

tetftqb

Entonces:

L{f(t)} = F(s) existe s > a.

dtetfsFtfL st

0

)()()}({

Page 6: 11 Transformada De Laplace

6

Unicidad de la TL

Si f1(t) y f2(t) poseen la misma TL:

)()()(

:por definida nulafunción lay0

0)(

21

0

tftftN

N(t)a

dttNa

L{f1(t) } = L{f2(t) }= F(s),

entonces el teorema de Lerch garantiza que

Page 7: 11 Transformada De Laplace

7

se

sdtesFL tsst 11

1)(1

0

1

0

Calcula la transformada de f(t) = 1:

ssFtf

1)(1)(

Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.

Page 8: 11 Transformada De Laplace

8

1

0

1

0

1

0

0 )(

nstn

stn

stnstnn

tLs

ndtet

s

n

dts

ent

s

etdtetsFtL

Calcula la transformada de f(t) = tn:

1

!)()(

nn

s

nsFttf

10

1

!

1

nn

nn

s

ntL

stL

tLs

ntL

Page 9: 11 Transformada De Laplace

9

1

1

1

1

)(

0

1

0

1

0

se

s

dtedteesFeL

ts

tssttt

Calcula la transformada de f(t) = e-t:

1

1)()(

ssFetf t

Page 10: 11 Transformada De Laplace

10

asas

Ae

as

A

dtAedteAesFAeL

tas

tasstatat

,)(

)(

0

0

0

Calcula la transformada de f(t) = Aeat:

asas

AsFAetf at

,)()(

Page 11: 11 Transformada De Laplace

11

dteatsens

a

s

adt

s

eatsena

s

eat

s

a

dts

eata

s

eatsendteatsensFatsenL

ststst

ststst

0 22

0

0

0

0

0

)()()cos(

)cos()()()()(

Calcula la transformada de f(t) = sen(at):

22)()()(

as

asFatsentf

222

2

2

2

;1as

aI

s

aI

s

a

Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)

Page 12: 11 Transformada De Laplace

12

)()cos(

11

)(

)()cos(

2222

22

0

0

0

atseniLatLas

ai

as

s

as

ias

ias

ias

iase

ias

dtedteesFeL

atseniate

tias

tiasstiatiat

iat

Calculemos la transformada de f(t) = eiat:

Page 13: 11 Transformada De Laplace

13

c

1

t

0 if ( )

1 if

t cu t c

t c

La función Heaviside o escalón unidad:

c0

1

0

1 1

( ) ( ) lim

lim lim ( )

hs t s t

hc

h s cs t s h s cs sch h

u t c e u t c dt e dt

ee e e s

L

Page 14: 11 Transformada De Laplace

14

Función delta de Dirac

/1

a a

área = 1Sea la función parametrizada:

t

)(lim)( 0 tfat

s

ee

s

e

s

etfL

sas

saas

11

)()(

ass

ass

as es

see

s

eetfL

000 lim1

lim)(lim

)(tf

)()(1

)( atuatutf

Observemos que

Page 15: 11 Transformada De Laplace

15

ta

1)(

)(

tL

eatL as

)( at )(t

Así la transformada de la función delta de Dirac es:

Page 16: 11 Transformada De Laplace

16

Funciones periódicas

Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T. Entonces:

)(1

1)()( 1 sF

etfLsF

sT

donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t) sobre el primer periodo y cero fuera.

T

st dttfesF0

1 )()(

t t

T

Page 17: 11 Transformada De Laplace

17

)()(

)()(

,)()(

)()(

)()(

0

00

0

)(

0

0

0

sFedttfe

dfeedttfe

TtdTfedttfe

dttfedttfe

dttfesF

sTT

st

ssTT

st

TsT

st

T

stT

st

st

Demostración

Page 18: 11 Transformada De Laplace

18

Ejemplo: onda cuadrada

a 2a

aT 2

)(1

1)( 12

sFe

sFas

asasa

a

sta

st ees

dtedttfesF 222

0

1

1)()(

)1(

1

)1()(

2

2

asas

asas

eses

eesF

Page 19: 11 Transformada De Laplace

19

Tabla de transformadas de Laplace

2 2

2 2

2 2

2 2

1

sen

cos

sen

cos

!

at

at

n atn

ts

st

s

e ts a

s ae t

s a

nt e

s a

ase

s

nt

t

s

t

at

nn

1

!

s

1

1 1

1

1

2

Page 20: 11 Transformada De Laplace

20

Page 21: 11 Transformada De Laplace

21

Page 22: 11 Transformada De Laplace

22

Page 23: 11 Transformada De Laplace

23

Page 24: 11 Transformada De Laplace

24

Page 25: 11 Transformada De Laplace

25

La TF es un caso particular de la TL

dtetffFtfF ti )()(ˆ)()]([

Supongamos que es complejo: = + i

dteetfdtetfif tittii )()()(ˆ )(

Antitransformando tendríamos (observa que es la variable conjugada):

deifetf tit )(ˆ2

1)(

Page 26: 11 Transformada De Laplace

26

Recordemos que = + i . Si tomamos constante:

deife

tf tit

)(ˆ2

)(

deiftf tii )()(ˆ2

1)(

)Im(

)(ˆ2

1)( deftf ti

didd )(

Llegamos a la integral compleja:

Page 27: 11 Transformada De Laplace

27

Re ()

Im()

tief )(ˆ es analítica para

todo perteneciente a la región en rojo.

)Im(

)(ˆ2

1)( deftf ti

Camino de integración: cte y de -∞ a +∞.

Donde suponemos un tal que

Haciendo s = i = i( + i) llegamos a la transformada de Laplace.

Page 28: 11 Transformada De Laplace

28

Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:

conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.

i

i

st tdsesFi

tfsFL

0,)(

2

1)()}({1

Transformada inversa de Laplace

Page 29: 11 Transformada De Laplace

29

Re(s)

Im(s)

γ

i

i

st tdsesFi

tfsFL

0,)(

2

1)()}({1

γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas lassingularidades de F(s) queden a su izquierda.

Con condiciones de existencia:

)(lim)2(

0)(lim)1(

ssF

sF

s

s

Page 30: 11 Transformada De Laplace

30

Por ejemplo, determinemos:

Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1, entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el contorno de integración C de la figura.

21

)1(

1

sL

Re(s)

Im(s)

γ=0-1

C1R

-R

ds

s

e

idsesF

i C

sti

i

st2)1(2

1)(

2

1

iR

iRC

stst

s

e

ids

s

e

i1

22 )1(2

1

)1(2

1

0 por la desigualdad ML cuando R→∞ con t≥0.

21

121 )1(

1lim

)1(Res

2

2

sLtee

ds

d

s

e

i

i tst

s

st

s

Haciendo R→∞ y utilizando teoría de residuos:

Page 31: 11 Transformada De Laplace

31

Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para todo s del semiplano Re(s) γ y |s| > R, tenemos que

ks

msF |)(|

).( de polos losson s,...,s,s donde

)(Res)}({

n21

1

1

sF

sFesFLn

k

st

ss k

Entonces si t > 0:

En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s) polinomios de grado n y d respectivamente, d > n; entonces podemos usar la igualdad anterior.

Page 32: 11 Transformada De Laplace

32

Ejemplo, determinar:

21

)1)(2(

1)(

ssLtf

.1sy 2s :doble otroy simple uno polos, dos posee

)1)(2()(

21

2

ss

esFe

stst

9

3

2lim

)1(lim

)1)(2(Res

)1)(2(Res)(

2

122

2122

tttst

s

st

s

st

s

st

s

etee

s

e

ds

d

s

e

ss

e

ss

etf

Page 33: 11 Transformada De Laplace

33

1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente; entonces:

).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL

La transformada de Laplace es un operador lineal.

Propiedades

Page 34: 11 Transformada De Laplace

34

)()(

)()(

)()(

)()(

2211

0 22

0 11

0 2211

2211

tfLctfLc

dtetfcdtetfc

dtetfctfc

tfctfcL

stst

st

Demostración:

Page 35: 11 Transformada De Laplace

35

2. Desplazamiento temporal

)(

)(

)(

)()()(

)()(

0

0

0

0

0

0

0

00

0

sFe

tt

dfee

dtttfe

dtttuttfesX

dttfesF

st

sst

t

st

st

st

0

000 ,0

),()()()(

tt

ttttfttutftg

)()}()({

)()}({0

0 sFettutfL

sFtfLst

Page 36: 11 Transformada De Laplace

36

Ejemplo:

3

31

s

eL

s

3

2 2

stL

332 2

)3()3(s

etutL s

)3()3(2

1 23

31

tuts

eL

s

3t

Page 37: 11 Transformada De Laplace

37

)(

)()()(

)()(

0

)(

0

0

asF

dttfedttfeesX

dttfesF

tasatst

st

22 )(

11

asteL

stL at

3. Desplazamiento en frecuencias

Ejemplo:

)()}({

)()}({

asFtfeL

sFtfLat

Page 38: 11 Transformada De Laplace

38

4. Cambio de escala en tiempo

)/()/1(

)(1

)()(

)()(

0

)/(

0

0

asFa

atdfea

dtatfesX

dttfesF

as

st

st

a

sF

aatfL

sFtfL

1)}({

)()}({

Page 39: 11 Transformada De Laplace

39

5. Derivada de la transformada de Laplace

)(

)(

)()(

)()(

0

0

0

ttfL

dtttfe

dttfeds

dsF

ds

d

dttfesF

st

st

st

)()(

)}({)(

ttfLsF

tfLsF

Page 40: 11 Transformada De Laplace

40

6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función

La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:

donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.

La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:

)0()()}('{ fssFtfL

)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL

Page 41: 11 Transformada De Laplace

41

En forma similar:

Demostración:

)0()0(')0()()}({ )1(21)( nnnnn ffsfssFstfL

)0()()()0(

)()()(')('

0

00

0

fssFdttfesf

dttfsetfedttfetfL

st

ststst

0)(lim

tfe st

t

Page 42: 11 Transformada De Laplace

42

Supongamos que:

)0()0(')0()()}({ )2(321)1( nnnnn ffsfssFstfL

)0()0(')0()(

)0()()()0(

)()()()(

)1(21

)1()(

0

)1()1(

0

)1(

0

)1(

0

)()(

nnnn

nnnstn

nstnstnstn

ffsfssFs

ftfsLdttfesf

dttfsetfedttfetfL

Entonces: 0)(lim )1(

tfe nst

t

Page 43: 11 Transformada De Laplace

43

Page 44: 11 Transformada De Laplace

44

Page 45: 11 Transformada De Laplace

Gracias a esta propiedad y a la linealidad de la TL podemos convertir una ec. diferencial como

" 3 ' 4 ( 1)

(0) 1, '(0) 2

y y y t u t

y y

en una ec. algebraica

Resolver paray(t)

Resolver para Y(s)

Page 46: 11 Transformada De Laplace

Ec. Diferencial

Transformada de Laplace

Ec. Algebraica

Page 47: 11 Transformada De Laplace

Si resolvemos la ec. algebraica:

2

2 2

( 1) ( 1)( )

( 3 4)

s ss s e eY s

s s s

y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), encontraremos la solución de la ec. diferencial.

Page 48: 11 Transformada De Laplace

Ec. Algebraica

Solución de la Ec. Diferencial

Inversa de la Transformada

de Laplace

Page 49: 11 Transformada De Laplace

La transformada inversa de Laplace de:

es

4 43 32 15 80 4 16

4325 5

( ) ( 1)( + ( ) )

( )( ( ) )

t tee

t t

y t u t e e t

u t e e

2

2 2

( 1) ( 1)( )

( 3 4)

s ss s e eY s

s s s

Page 50: 11 Transformada De Laplace

4 43 32 15 80 4 16

4325 5

( ) ( 1)( + ( ) )

( )( ( ) )

t tee

t t

y t u t e e t

u t e e

es la solución de la ec. diferencial:

" 3 ' 4 ( 1)

(0) 1, '(0) 2

y y y t u t

y y

De modo que:

Page 51: 11 Transformada De Laplace

Para conseguirlo hemos aplicado:

Primero, que la TL y su inversa son lineales:

1 1 -1

( ) ( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( )

cf t g t c f t g t

cF s G s c F s G s

L = L +L

L = L +L

2

'( ) ( ) (0),

''( ) ( ) (0) '(0)

f t s f t f

f t s f t s f f

L = L

L = L

and

etc...

Y segundo, la TF de las derivadas de una función son:

Page 52: 11 Transformada De Laplace

A este método se le conoce como cálculo de Heaviside.

Por ejemplo:

012

1

012

01

)0()0(')0()(

0)()}0()({)}0(')0()({

0)()(')(''

asas

fafsfsF

sFafssFafsfsFs

tfatfatf

Y antitransformando obtendremos la solución.

Page 53: 11 Transformada De Laplace

Veamos un ejemplo concreto: Resolver la ec. diferencial

)4)0(y0()(2)(' 3 ftetftf t

tt

t

tt

eetfss

sF

ssFssF

ssFfssF

eLtfLtfL

etftfLetftf

32

3

33

5)(3

1

2

5)(

03

1)(24)(

03

1)(2))0()((

0}{)}({2)}('{

0})(2)('{;0)(2)('

Page 54: 11 Transformada De Laplace

54

Ejemplo

Resolver

2222 )1()1(

1)(

s

e

ssY

s

0)0()0(,0

0sin

yyt

ttyy

11

1

)sin()(sin

sin)(sin)()(

22

2

s

e

s

ttutL

ttutLsYsYs

s

tt

tttt

ttttutttty

cos

0cossin

)cos()()sin()(cossin)(

21

21

21

21

Page 55: 11 Transformada De Laplace

55

Ejemplo:

2

1

1

1

23

1)(

)(2)(3)(

2

2

sse

ssesY

esYssYsYs

ss

s

)1(2)1()1()( tt eetuty

Resolver 0)0()0(),1(23 yytyyy

Page 56: 11 Transformada De Laplace

56

7. Transformada de Laplace de la integral de una función

s

sFtfL

sduufL

t )()}({

1)(

0

)(1

)(11

)(

)()(

)()(

000

00

0

sFs

dttfes

es

df

dtdfesX

dttfesF

ststt

tst

st

Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p ≥ 0, entonces:

para Re(s) > p.

Page 57: 11 Transformada De Laplace

57

s

sFduufL

t )()(

0

)(2

)(1

1

1

1}{;

2

20

sarctguarctgduut

tsenL

stsenLdte

t

tsen

t

tsenL

ss

st

sduuF

t

tfL )(

)(

)()(con tfLsF Ejemplo:

8. Transformada de Laplace de f(t)/t

Page 58: 11 Transformada De Laplace

58

)cos()()(Si attftg

24

222

2222

0

4

2

222

2

)()()()(

)(1

)(

as

aaisa

aisa

i

aiasa

aiasa

i

dtet

atsensG

atsent

tg

st

2

)()()(

iasFiasFsG

acon

Ejemplo:

)()()(Si atsentftg

2

)()()(

iasFiasFisG

acon

9. TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at)

Page 59: 11 Transformada De Laplace

59

10. Teorema del valor final

Si existe, entonces:

11. Teorema del valor inicial

El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:

)(lim tft

)(lim)(lim 0 ssFtf st

)(lim)(lim)0(0

ssFtff st

Page 60: 11 Transformada De Laplace

60

Recordemos que

la operación se conoce

como la convolución de y y se denota como

La transformada de Laplace de esta operación está dada por:

dtff )()( 21

)(1 tf ),(2 tf

)}({)}({)}(*)({

)()()}(*)({

2121

2121

tfLtfLtftfL

sFsFtftfL

).(*)( 21 tftf

12. Integral de convolución

Page 61: 11 Transformada De Laplace

61

0,0

0,)()()(*)( 0

t

tdtgftgtft

Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda:

Así que para estas funciones podemos definirla convolución como:

t

tdtgftgtf0

)0(,)()()(*)(

Page 62: 11 Transformada De Laplace

62

44

1

2

)()()(*)(

2

0

22

0

)(2

ttt

t t

etdee

dedtgftgtf

)}({)}({)}(*)({ 2121 tfLtfLtftfL Ejemplo: Verificar que funciona para f(t) = t y g(t) = e-2t

con valores 0 para t < 0.

)2(

1

)2(

1

4

11

4

11

2

1

}{4

1}1{

4

1}{

2

1

44

1

2

2

2

2

2

ss

sss

eLLtL

etL

t

t

)2(

1

)2(

11

)2(

1}{;

1}{

22

22

ssss

seL

stL t

Page 63: 11 Transformada De Laplace

63

De hecho, podemos utilizar la convolución para encontrar transformadas inversas de Laplace:

1

1

11

)1(

1

0

21

21

tede

etss

Lss

L

tt

t

t

Page 64: 11 Transformada De Laplace

64

1

1)(

41)(;

1

10)}(*{41)(

1

1)0()}({4)0()(

}{)(4)(;)()(4)(

)(1

)}({}{

)()(*

0

2

ssX

sssX

stxtLsssX

shthsLxssX

eLthdt

dLtx

dt

dLedssxst

dt

dtx

dt

d

sXs

txLtL

tt

thtxt

t

1)0(;)()(4)(0

xedssxsttx

dt

d tt

Resolver la ec.integro-diferencial:

Page 65: 11 Transformada De Laplace

65

ttt eeetx

ssssX

sss

ssX

ssX

sssX

22

2

3

1

3

1)(

2

1

3

1

2

1

1

1

3

1)(

)3)(2)(1()(

1

1)(

41)(

Antitransformando:

Page 66: 11 Transformada De Laplace

66

Raíces del denominador D(s) o polos de F(s):

Caso I – Polos reales simples

Caso II – Polos reales múltiples

Caso III – Polos complejos conjugados

Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples

)( as 2)( as

))(( *asas

01

1

01

1

)(

)()(

bsbs

asasa

sD

sNsF

mm

m

nn

nn

Desarrollo en fracciones parciales: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.

2*))(( asas

Page 67: 11 Transformada De Laplace

67

Caso I – Polos reales simples )( as

32

)3)(2(

1

6

1

)(

)()(

23

s

C

s

B

s

A

sss

s

sss

s

sD

sNsF

Ejemplo

as

A

Page 68: 11 Transformada De Laplace

68

15

2

)2(

1

3

10

3

)3(

1

2

6

1

)3)(2(

1

3

2

0

s

s

s

ss

s

s

C

ss

s

s

B

ss

s

s

A

32)3)(2(

1)(

s

C

s

B

s

A

sss

ssF

assD

sNasA

)(

)()(

Page 69: 11 Transformada De Laplace

69

)3)(2(

)2()3()3)(2(326

123

sss

sCssBsssAs

C

s

B

s

A

sss

s

)2()3()3)(2(1 sCssBsssAs

Ass

s

s

0)3)(2(

1

)6()23()(

)2()3()6(12

222

ACBAsCBAs

ssCssBssAs

16;123;0 ACBACBA

métodoalternativo

y resolver...

Page 70: 11 Transformada De Laplace

70

3

1

15

2

2

1

10

31

6

132

6

1)(

23

sss

s

C

s

B

s

Asss

ssF

La transformada inversa de Laplace es:

tt eetf 32

15

2

10

3

6

1)(

Page 71: 11 Transformada De Laplace

71

Otro ejemplo

2

1

1

2

1

1

211

)2)(1)(1(

372

)2)(1(

372)(

2

2

2

ssss

C

s

B

s

A

sss

ss

ss

sssF

1)1)(3(

3148

)1)(1(

372

2)3)(2(

372

)2)(1(

372

1)1)(2(

372

)2)(1(

372

2

2

1

2

1

2

s

s

s

ss

ssC

ss

ssB

ss

ssA Transformada inversa de Laplace:

ttt eeetf 22)(

Page 72: 11 Transformada De Laplace

72

Caso II – Polos reales múltiples 2)( as

12)1)(2(

44

)(

)()(

22

23

s

D

s

C

s

B

s

A

sss

ss

sD

sNsF

Ejemplo

)()( 2 as

B

as

A

Polos realessimples

Polos realesmúltiples

Page 73: 11 Transformada De Laplace

73

3)1)(2(

44

2)1)(2(

44

0

230

23

2

s

s

ss

ss

ds

d

s

B

ss

ss

s

A

assD

sNasA

)(

)()( 2

assD

sNas

ds

dB

)(

)()( 2

)1)(2(

44)(

2

23

sss

sssF

Page 74: 11 Transformada De Laplace

74

Transformada inversa de Laplace:

tt eettf 232)(

1

1

2

113

12

12

)1)(2(

44)(

2

2

2

23

ssss

s

D

s

C

s

B

s

A

sss

sssF

Page 75: 11 Transformada De Laplace

75

En general, para polos reales múltiples:

sN

sDsF n

r pspspssD 21

n

nr

rr

r

ps

a

ps

a

ps

a

ps

b

ps

b

ps

bsF

3

3

2

2

1

11

1

1

1

1

1!

1

ps

r

j

j

jr pssFds

d

jb

ipsii pssFa

1

1

1

1

]))(([)!1(

1

]))(([!

1

]))(([

]))(([

11

1

1

1

11

1

ps

rr

r

ps

rj

j

jr

ps

rr

psr

r

pssFds

d

rb

pssFds

d

jb

pssFds

db

pssFb

Page 76: 11 Transformada De Laplace

76

Caso III – Polos complejos conjugados

ejemplo

))(( *asas

iaas

B

as

B

s

A

ss2,

)4(

4*

*

2

2

1

)2(

4

2

1

)2(

4

14

4

2

*

2

02

is

is

s

issB

issB

sA

conjugados complejos

*

11

2

11

asass

Transformada inversa de Laplace:

)2cos(1)( ttx

Page 77: 11 Transformada De Laplace

77

ejemplo

iaas

B

as

B

ss

s43,

256

4*

*

2

)4(8

1

43

4

)4(8

1

43

4

43

*

43

iis

sB

iis

sB

is

is

Transformada inversa de Laplace:

)cos(2)( teBtf t

245.0,4,3

,8

17),4(

8

1

BiB

)245.04cos(4

17)( 3 tetf t

donde

Page 78: 11 Transformada De Laplace

78

Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III,teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.

Caso IV – factores complejos conjugados múltiples

2*))(( asas