Coloracin de Grafos

Definicin:Es un caso especial de etiquetado degrafos; es una asignacin de etiquetas llamadas coloresa elementos del grafo. De manera simple, una coloracin de losvrticesde un grafo tal que ningn vrtice adyacente comparta el mismo color es llamado vrtice coloracin. Similarmente, unaaristacoloracin asigna colores a cada arista tal que aristas adyacentes no compartan el mismo color, y una coloracin de caras de un grafo plano a la asignacin de un color a cada cara o regin tal que caras que compartan una frontera comn tengan colores diferentes. El vrtice coloracin es el punto de inicio de la coloracin, y los otros problemas de coloreo pueden ser transformados a una versin con vrtices. Por ejemplo, una arista coloracin de un grafo es justamente una vrtice coloracin delgrafo lnearespectivo, y una coloracin de caras de un grafo plano es una vrtice coloracin delgrafo dual. PropiedadesCotas del nmero cromticoAsignando distintos colores a distintos vrtices siempre obtendremos una coloracin propia, entonces

El nico grafo que es 1-coloreable es el grafo sin aristas, y elgrafo completode n vrtices requierecolores.Si G contiene un clique de orden k, entonces a lo menos son necesarios k colores para colorear elclique; en otras palabras, el nmero cromtico es a los menos el nmero de clique:

Los grafos 2-coloreables son exactamentegrafos bipartitos, incluidosrbolesy bosques. Por elteorema de los cuatro colores, todo grafo plano es 4-coloreable.

Cotas del ndice cromticoLa arista coloracin es una vrtice coloracin de su grafo lineal, y viceversa. Esto es,

Existe una fuerte relacin entre la arista coloracin y el grado mximo del grafo. Como todas las aristas incidentes a algn vrtice necesitan colores distintos, tenemos

Numero Cromtico

Grafo G se define como un par (V, A), donde V es un conjunto no vaco cuyos elementos son denominados vrtices o nodos y A es un subconjunto de pares no ordenados de vrtices que reciben el nombre de aristas o arcos.Si V = {v1, v2, ...,vn}, los elementos de A se representan de la forma {vi, vj} con ij . Dos vrtices viy vjse dicen adyacentes si {vi, vj}A.La representacin grfica de un grafo se lleva a cabo asociando a cada vrtice un punto del plano y a cada arista {vi, vj} una lnea continua que une los puntos asociados a los vrtices viy vj. No existe ninguna restriccin sobre la forma de las lneas que representan las aristas.Una coloracin propia de G ocurre cuando se asignan colores a los vrtices de G de modo que si viy vj son adyacentes, entonces viy vjtengan colores distintos asignados. El nmero mnimo de colores necesarios para una coloracin propia de un grafo es lo que se conoce como nmero cromtico del grafo.Coloracin de VrticesEs la asignacin de los vrtices de un grafo con colores tal que dos vrtices que compartan la misma arista tengan colores diferentes. Un grafo conbuclesno puede ser coloreado, y solo se consideran grafos simples.La terminologa de usar colores para etiquetar vrtices proviene del problema de colorear mapas. Las etiquetas como rojo o azul son solamente utilizadas cuando el nmero de colores es pequeo, y normalmente los colores estn representados por los enteros {1, 2, 3, }.Una coloracin que usa a lo ms k colores se llama k-coloracin (propia).

Coloracin de AristasEs una coloracin de las aristas, denotada como la asignacin de colores a aristas tal que aristas incidentes tengan un color distinto. Una arista coloracin con k colores es llamada k-arista-coloracin y es equivalente al problema de particionar el conjunto de aristas en k emparejamientos. El menor nmero de colores necesarios para un arista coloracin de un grafo G es el ndice cromtico o nmero cromtico de aristas. Una coloracin Tait es una 3-arista-coloracin de un grafo cbico. El teorema de los cuatro colores es equivalente a que cada grafo cbico sin puentes admite una coloracin Tait.

Coloracin de RegionesUna coloracin de losvrticesde un grafo tal que ningn vrtice adyacente comparta el mismo color es llamado vrtice coloracin. La convencin de usar colores se origina de la coloracin de pases de un mapa, donde cada cara es literalmente coloreada. Esto fue generalizado a la coloracin de caras de grafos inmersos en el plano. En representacionesmatemticasy computacionales se utilizan tpicamenteenterosno negativos como colores. En general se puede usar unconjuntofinitocomo conjunto de colores. La naturaleza del problema de coloracin depende del nmero de colores pero no sobre cuales son.

Redes de FlujoUna red de flujoes ungrafo dirigidodonde existen dosvrticesespeciales, uno llamadofuente, al que se le asocia unflujopositivo y otro llamados sumideroque tiene un flujo negativo y a cada arista se le asocia ciertacapacidadpositiva. En cada vrtice diferente a los dos especiales se mantiene laley de corrientes de Kirchoff, en donde la suma de flujos entrantes a un vrtice debe ser igual a la suma de flujos que salen de l. Puede ser utilizada para modelar el trfico en un sistema de autopistas, fluidos viajando en tuberas, corrientes elctricas en circuitos elctricos o sistemas similares por lo que viaje algo entre nodos.Teorema de Flujo Mximo y Corte MnimoFlujo mximo:En algunas redes circula por los arcos unflujo(envo o circulacin de unidades homogneas de algn producto: automviles en una red de carreteras, litros de petrleo en un oleoducto, bits por un cable de fibra ptica) desde elorigen ofuentealdestino, tambin denominadosumideroovertedero. Los arcos tienen una capacidad mxima de flujo, y se trata de enviar desde la fuente al sumidero la mayor cantidad posible de flujo, de tal manera que: El flujo es siempre positivo y con unidades enteras. El flujo a travs de un arco es menor o igual que la capacidad. El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de l.

Corte MnimoEs un corte cuyo porte es mnimo, es decir, el corte mnimo en una red correspondea la capacidad mnimasobre los dems cortes de la red o si dicha capacidad del corte posee un valor menor, es importante acotar que este corte nos muestra la mnima capacidad del corte efectuado enun grafo. Los cortes mnimos sern aquellos cortes cuyo valor de la capacidad coincida con el valor del flujo en este ltimo paso. Este teorema del corte mnimo se establece como sigue: Sea F un flujo en G y sea (P, P) un corte en G si la igualdad se cumple entonces el flujo es mximo y el corte es mnimo si y solo si se cumple lo siguiente:

1)Fij=Cij Para i ep, jep2)Fij=0 Para i ep, jep

Una nota importante es que el valordel flujo maximal de una red esigual a la capacidad del corte mnimo que sepuede aplicar a la red. Porconsiguiente el corte mnimo se obtiene pormedio del algoritmo anterior.

Redes De Flujo De Costo Mnimo

Modelo de la ruta ms cortaConsidere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta ms corta (la trayectoria con la mnima distancia total) del origen al destino.Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia delprocedimientoes que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta ms corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (ms cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino.Algoritmo de la ruta ms corta:1. Objetivo de la n-sima iteracin: encontrar el n-simo nodo ms cercano al origen. (Este paso se repetir para n=1,2, hasta que el n-simo nodo ms cercano sea el nodo destino.)2. Datos para la n-sima iteracin: n-1 nodos ms cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta ms corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.)3. Candidatos para el n-simo nodo ms cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexin directa por una ligadura con uno o ms nodos no resueltos proporciona un candidato, y ste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura ms corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)4. Clculo del n-simo nodo ms cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta ms corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total ms pequea es el n-simo nodo ms cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta ms corta es la que genera esta distancia.