UNIVALLE COCHABAMBA

INVESTIGACION OPERATIVA II VERANO 2011 TEORIA DE COLAS

Ing. M.Sc. Luis Alfredo Rimassa M.

COMPARTIR EL CONOCIMIENTO ES UNA ACCION DE SERES INTELIGENTES, QUE HAN COMPROBADO QUE EL CONOCIMIENTO ES UN BIEN QUE CRECE A MEDIDA QUE SE LO COMPARTEProf. Mario Hertor Vogel Director Club Tablero de Comando www.tablerowww.tablero-decomando.com

PLAN GLOBAL

PROCESOS POISSON Y TEORIA DE COLAS Introduccin a los procesos aleatorios a tiempo continuo Generalidades sobre los modelos de colas. Procesos de nacimientos y muertes. Notacin y terminologa. Ecuaciones bsicas Formulas de Little. Modelos de Poisson Modelos con disciplina de prioridad Aspectos econmicos en la teora de colas Problemas propuestos.

BIBLIOGRAFA

-Introduccin a la Investigacin de Operaciones, HILLIER/LIEBERMAN -Investigacin de Operaciones, Una Introduccin, TAHA, HAMDY A. -Mtodos y modelos de Investigacin de Operaciones, PRAWDA JUAN. -Investigacin de Operaciones, LLECCA, Raffo, Per, 1990. -Investigacin de Operaciones en la Ciencia., MOSKOWITZ, HERBERT McGraw -Hill, Mxico

BIBLIOGRAFA

-Tcnicas De Simulacin En Computadoras, NAYLOR/BALINTFY -Investigacin de Operaciones, Un enfoque Didctico TERRAZAS RAFAEL. -Simulacin de Sistemas, TERRAZAS RAFAEL. - Mtodo del Camino Critico, Diana Mxico, SHAMBLIN,J. Y STEVENS, G.T. - www.investigacion-operaciones.com www.investigacion-

PROCESOS ESTOCASTICOS

Los modelos y procesos estocsticos se constituyen en una expresin importante y particular de la modelizacin matemtica. La matemtica. naturaleza estocstica hace que su campo de aplicacin sea cada vez mas amplia sobre todo en los diferentes dominios de la ingeniera y la administracin tales como: transmisin de como: seales telegrficas, transporte, mantenimiento, fiabilidad, estudios de marketing, previsin, produccin, etc. etc.

PROCESOS ESTOCASTICOS

Este tipo de problemas tiene que ver sobre todo con el comportamiento aleatorio y/o probabilstica de las variables que se intervienen y que normalmente bajo ciertos supuestos siguen distribuciones de probabilidad conocidas. conocidas. Los modelos y procesos estocsticos proveen de modelos matemticos asociados a fenmenos aleatorios donde la dependencia con el tiempo o con cualquier otro parmetro, juega un rol preponderante. preponderante.

Los Procesos Aleatorios a Tiempo Continuo

En muchos problemas de los procesos estocsticos, tales como la confiabilidad de un sistema, la teora de colas; estamos colas; interesados en un modelo estocstico que haga intervenir todos los instantes pertenecientes a un intervalo dado y que adems nos permita poder reaccionar sin retraso. retraso. Estos son llamados procesos a tiempo continuo. continuo.

Ejemplos de estos Procesos

El arribo de clientes hacia una ventanilla La ocurrencia de accidentes en una empresa. empresa. La aparicin de fallas en una sala de maquinas. maquinas. La llegada de trabajos a una central de cmputos. cmputos. Arribo de automviles a una gasolinera. gasolinera. Aterrizaje de aviones en un aeropuerto Etc. Etc.

Concepto de un Proceso Poisson

Un proceso de Poisson responde a la idea de Arribos al Azar de personas u objetos hacia un lugar determinado. En trminos determinado. formales se habla de asociar un proceso PUNTUAL n(t), t 0 al tiempo y que representara el numero de arribos en un periodo o intervalo [0,t]. ,t].

Introduccin a la Teora de Colas

Muchas industrias de productos y de servicios tienen un sistema de colas en el que los productos (o clientes) llegan a una productos estacin esperan en una fila (o cola), estacin fila obtienen algn servicio y luego salen del servicio sistema. Ejemplos: sistema. Ejemplos: Los clientes llegan a un banco, esperan en una fila para obtener un servicio de uno de los cajeros, y despus salen del banco. banco.

Las partes de un proceso de produccin llegan a una estacin de trabajo particular desde diferentes estaciones, esperan en un compartimiento para ser procesadas por una mquina, y luego son enviadas a otra estacin de trabajo. trabajo. Despus de hacer sus compras, los clientes eligen una fila en las cajas, esperan a que el cajero les cobre y luego salen de la tienda. tienda. Las llamadas telefnicas llegan al centro de reservaciones de una aerolnea, esperan al agente de ventas disponible, son atendidas por ese agente y dejan el sistema cuando el cliente cuelga. cuelga.

DESARROLLO

Los problemas administrativos relacionados con tales sistemas de colas se clasifican en dos grupos bsicos: bsicos: Problemas de anlisis Problemas de diseo

Problemas de anlisis. Usted podra estar anlisis. interesado en saber si un sistema dado est funcionado satisfactoriamente. Necesita responder una satisfactoriamente. o ms de las siguientes preguntas: preguntas:

Cul es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? Qu fraccin de tiempo ocupan los servidores en atender a un cliente o en procesar un producto? Cules son el nmero promedio y el mximo de clientes que esperan en la fila

Basndose en estas preguntas, los gerentes tomarn decisiones como emplear o no ms gente, agregar una estacin de trabajo adicional para mejorar el nivel de servicio, o si es necesario o no aumentar el tamao del rea de espera. espera.

Problemas de diseo. Usted desea disear las diseo. caractersticas de un sistema que logre un objetivo general. general. Esto puede implicar el planteamiento de preguntas como las siguientes: siguientes: Cuntas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable? Debern los clientes esperar en una sola fila (como se hace en muchos bancos) o en diferentes filas (como en el caso de los supermercados)? Deber haber una estacin de trabajo separada que maneja las cuestiones especiales(como el especiales caso del acceso a primera clase en el mostrador de una aerolnea?

Qu tanto espacio se necesita para que los clientes o los productos puedan esperar? Por ejemplo, en un sistema de reservaciones por telfono, qu tan grande debe ser la capacidad de retencin? Esto es, cuntas llamadas telefnicas se deben mantener en espera antes de que las siguientes obtenga la seal de ocupado? Estas decisiones de diseo se toman mediante la evaluacin de los mritos de las diferentes alternativas, y luego seleccionando la alternativa que cumpla con los objetivos administrativos. administrativos.

El anlisis de colas tambin sirven en el contexto de un modelo de optimizacin de costos, donde la suma de los costos por ofrecer el servicio y esperar se minimizan. minimizan.El problema principal con la puesta practica de los modelos de costos es dificultad de estimar el costo unitario espera, en particular cuando comportamiento humano influye en operacin del modelo. modelo. en la de el la

Costo Total Costo de espera de los clientes por unidad de tiempo C O S T O C. De operacin de instalaciones por Unidad de tiempo

Nivel optimo de servicio Nivel de servicio

La teora de colas fue investigada por ERLANG en el ao 1909. este matemtico se preocupo de los problemas de congestin en el trafico de comunicacin telefnica. Su inters se centro en el anlisis probabilstica que se presentaba en este tipo de problemas y por eso escribi el libro solutions of some problems in the theory of probabilities . Mas tarde , Molina (1927) y Thornton (1928) enriquecieron este trabajo.

SAATY dice que la teora de colas trata de desarrollar un modelo simblico del sistema fsico para simplificar la solucin del problema y que La teora de colas no es una tcnica de optimizacin, pero si una herramienta analtica que permite explorar y conocer el comportamiento de un sistema de servicio, logrando de esta manera indirectamente una optimizacin aproximada

DEFINICION DE TC

Es una tcnica matemtica, probabilstica que se ocupa del anlisis de problemas caracterizados por un flujo de CLIENTES (personas, maquinas, productos, etc) hacia una o mas ESTACDIONES DE SERVICIO (bancos, estaciones de gasolina, supermercados, etc) con el propsito de estudiar este tipo de comportamientos y obtener informacin relevante tal como: como: el tiempo medio de espera de un cliente, el tiempo medio de ocio, la longitud promedio de clientes en la cola, la probabilidad de que haya `n clientes en `n el sistema de colas, etc. Esta informacin permitir la etc. toma de decisiones y el calculo de costos asociados para tomar o no las acciones correctivas necesarias en procura de lograr mayor eficiencia del sistema

La teora de colas se basa en que los procesos de llegada y tiempos de servicio, en los sistemas de espera, pueden ser descritos por apropiadas distribuciones probabilsticas. A partir de esas distribuciones se pueden derivar los modelos para esos sistemas. Los tiempos de servicio y el proceso de llegada son independientes en el sentido de que la duracin del servicio no depende de cuando ocurra la llegada (ni los tiempos de llegada dependen de la duracin del servicio), pero el proceso de servicio es dependiente del proceso de llegada, en el sentido de que no puede comenzar hasta que la llegada haya ocurrido.

La descripcin de un sistema implica analizar los siguientes aspectos:

a) El proceso de llegada b) La configuracin de la fila. c) La disciplina en la fila, d) La disciplina en el servicio y e) El servicio.

ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS

FUENTE DE ENTRADA

COLA

Disciplina En la cola

MECANISMO DE SERVICIO

CLIENTES SERVIDOS

SISTEMA DE COLAS

EJEMPLOS DE LINEAS DE ESPERA

Fuente de entrada

Los clientes que entran al sistema se generan a travs del tiempo en una fuente de entrada Tambin se denomina poblacin y puede ser finita o infinita. Las llegadas ocurren infinita. aleatoriamente pero se utiliza una tasa promedio; promedio; generalmente se supone que las llegadas siguen una distribucin Poisson. Poisson.

COLA

Constituye el numero de clientes esperando a ser atendidos en el sistema de colas, pudiendo ser tambin finita o infinita. infinita. La cola no incluye al cliente que esta recibiendo el servicio, como ya se menciono los clientes en la cola no necesariamente pueden ser personas, y no necesariamente debe haber una cola fsica sino que los clientes pueden estar dispersos en toda una rea. rea.

Disciplina en la Cola

Se refiere al orden o norma con el que los clientes son atendidos, pudiendo ser:

PEPS (FIFO, First Input First Output) UEPS. (LIFO, Last Input First Output) Aleatorio. Con Prioridad (PR, Service With Priority)

MECANISMO DE SERVICIO

Se refiere a la forma y/o manera en la que se encuentran el o los servidores para atender al cliente que llegan al sistema. El sistema. tiempo de servicio generalmente se ajusta a una distribucin de probabilidad. En este probabilidad. caso no es necesario que el servidor sea un solo individuo, puede ser un grupo de personas que combinan sus fuerzas para llevar acabo simultneamente el servicio. servicio.

Un solo servidor una sola fase Varios servidores una sola fase (paralelo) Un solo servidor y varias fases Varios servidores y varias fases.

S

S S

S

S

S S

S S

Tiempo de servicio

Es el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminacin. terminacin. Un modelo de sistemas de colas debe especificar la distribucin de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. servidor. La distribucin mas usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es comn encontrar la distribucin degenerada o deterministica (tiempos de atencin constantes) o la distribucin Erlang (Gamma)

Caractersticas de una lnea de espera

Patrn de llegadas: distribucin de probabilidad del llegadas: numero de llegadas al sistema. sistema. Patrn de servicio: distribucin de probabilidad del servicio: tiempo de servicio al cliente. cliente. Capacidad del sistema: numero mximo de clientes en el sistema: sistema que pueden permanecer simultneamente en las instalaciones del servicio. servicio. Canales de servicio: numero de servidores en el sistema. servicio: sistema. Fuente o poblacin: que puede ser finita o infinita. poblacin: infinita. Estado del sistema: es el numero de clientes en el sistema: sistema de colas. colas.

Estado Estacionario y Estado Transitorio

Cuando se analiza el problema de la TC, nuestro inters es estudiar la evolucin del sistema o proceso en el tiempo. El estado tiempo. transitorio o rgimen transitorio se refiere al caso donde las variables de operacin del sistema varan con el tiempo; esta tiempo; situacin se presenta en las primeras etapas donde hay una influencia notable de las condiciones iniciales. iniciales.

Estado Estacionario y Estado Transitorio

Cuando el anlisis del proceso se lo realiza a Largo Plazo , es decir, cuando t tiende a infinito, el comportamiento del sistema se estabiliza y hablamos de un rgimen estable. estable.Variable

t

Una condicin necesaria dentro desde marco conceptual, nuestro trabajo consistir en calcular los valores esperados de las variables relevantes en estado estable (EE). (EE). Una condicin NECESARIA para hablar de EE, es que el tiempo sea lo suficientemente largo. largo.

Notacin y Terminologa

Con el objeto de especificar las principales caractersticas de un sistema de colas se empleara una notacin especial denominada notacin de KENDALLKENDALLLEE. LEE. La notacin de Kendall descrita como X/Y/Z es una de las ms usadas para la clasificacin. El espacio X clasificacin. describe el proceso de llegada, Y describe el proceso de servicio y Z el nmero de servidores. servidores. En 1971 la Conferencia de estandarizacin de la notacin en Teora de Colas extendi la Notacin de Kendall agregndole ms trminos. trminos.

(a/b/c/d/e/f)

a = Distribucin de probabilidad del numero de llegadas

M = Distribucin Poisson (o su equivalente la distribucin exponencial para tiempo entre llegadas). E = Distribucin Erlang. G = Distribucin General. D = Deterministica con tiempos constantes

(a/b (a/b/c/d/e/f)

b = Distribucin de probabilidad del tiempo de servicio.

M = Distribucin Exponencial (o su equivalente a Distribucin poisson con el numero de clientes servidos) E = Distribucin Erlang. G = Distribucin general D = deterministica con tiempos constantes.

(a/b/c (a/b/c/d/e/f)

c = Numero de servidores o canales de servicio en paralelo. d = Magnitud de cola

Finita: N, numero de clientes en el sistema Infinita (N>30) ; N = (N>30) Finita: N, numero de elementos potenciales Infinita (N>30) : N = (N>30)

e = Magnitud de la poblacin

f = disciplina de servicio ( PEPS, UEPS, etc)

(a/b/c/d/e/f)

Por ejemplo: (M/D/3 (M/D/3/N/ /PEPS) , significa: arribo significa: exponencial (o Poisson), servicio constante (deterministico), 3 servidores, N clientes en la cola, poblacin infinita, primero en entrar primero en salir. salir.

Por otro lado se considera la siguiente terminologa: terminologa:

n (t) = numero de clientes en el sistema de colas en el instante t ( t>0). t>0 n = numero de clientes en el sistema en cualquier instante. instante. Pn(t) = probabilidad de estado transitorio de que exista n clientes en el sistema en el tiempo t. Pn = probabilidad de estado estable de que exista n clientes en el sistema en cualquier tiempo. tiempo.

= tasa promedio de llegadas cuando existe n clientes en el sistema. = tasas promedio de llegadas. = efectiva = tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio o tasa efectiva de llegadas de clientes que vienen y se quedan. quedan. 1/ = tiempo promedio de llegadas entre clientes. clientes.n

n = tasa promedio de servicio cuando existen n clientes en el sistema. = tasa promedio de servicio 1/ = tiempo promedio de servicio por cliente. = /S = tasa de utilizacin del sistema. /S L = longitud promedio de clientes en el sistema (en el sistema y siendo atendidos) Lq = longitud promedio de clientes en la cola, es decir que esperan servicio.

= variable aleatoria que indica el tiempo que un cliente permanece en el sistema (incluye tiempo de servicio). W = E( ) = tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema o el tiempo que el cliente pasa esperando por el servicio y siendo atendido. q = variable aleatoria que indica el tiempo que un cliente permanece en la cola esperando por el servicio.

Wq = E( q) = tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola antes de recibir servicio. Sn = numero de servidores en paralelo cuando existen n clientes en el sistema. S = numero de servidores en paralelo. = / = intensidad de trafico ( = S)

Ecuaciones Bsicas

Formulas de LITTLE

Las siguientes cuatro ecuaciones donde las dos primeras son llamadas formulas de LITTLE son de bastante uso en la TC:

L= e ( e = tasa de arribo efectivo) Lq = e q = q + 1/ = q + e / L = Lq +

Si la capacidad del sistema es infinita, se tiene que e = ; si no significa que algunos clientes debern marcharse sin ser servidos y e < .

PROCESOS DE NACIMIENTOS Y MUERTES

El proceso de nacimientos y muertes es un proceso matemtico que nos va a permitir inferir las principales formulas de la teora de colas a partir de la suposicin de un comportamiento exponencial en los tiempos de llegada y de servicio. servicio. Un nacimiento se identifica cuando ocurre una llegada al sistema y una muerte se conceptualizara cuando ocurre un servicio en el sistema. sistema.

Para este efecto existen tres hiptesis: hiptesis:

Todos los nacimientos (llegadas) siguen la distribucin exponencial. exponencial. Todas las muertes (salidas) siguen la distribucin exponencial. exponencial. Solamente puede ocurrir un nacimiento o una muerte a la vez. vez.

PROCESOS DE NACIMIENTOS Y MUERTES

Un diagrama apropiado para esta situacin es el diagrama de tasas: tasas:00 1

12 n-1

n-1n

nn+1

1

2

n

n+1

El objetivo es conocer el estado del sistema para n clientes en el tiempo t.

Para estado estable se tiene las siguientes ecuaciones, denominadas Ecuaciones de balance de estado estable :

n+1 Pn+1 + n-1 Pn-1= ( n+1 n+1 n Pn = n-1 Pn-1

n

+ n) Pn

A partir de estas ecuaciones es posible deducir las siguientes ecuaciones: ecuaciones:

Pn =

0

1

2

n-1

po

para todo n 1

1 2 3......n ......

(Ver Cuadro de ecuaciones 1)

Ejemplo

Cierta tienda de comercio tiene una caja de pago con una cajera de tiempo completo. Los completo. clientes llegan a la tienda siguiendo un proceso Poisson a una tasa media de 30 por hr. Cuando hr. hay un cliente en caja, es atendido por la cajera con un tiempo esperado de servicio de 1,5 min. min. Sin embargo, cuando hay mas de un cliente en la caja de pago el almacenista ayuda a la cajera en la atencin, reduciendo la tasa promedio de servicio a 1 min. La distribucin del tiempo de min. servicio siempre es exponencial. Hallar Po, Pn, L, exponencial. Lq, , q, para el sistema. sistema.

Solucin

Construimos el grafo de transicin o diagrama de tasas: tasas:0=30

301 2 n-1

30n

30n+1

0

1=40

60

60

60

Ver solucin en pizarra

Modelos Poisson1.

Modelo bsico con cola infinita.infinita.1. 2.

Un servidor (S=1) (M/M/1/ / /PEPS) (S=1 (M/M/1 Con S servidores (M/M/S/ / /PEPS) Un servidor (S=1) (M/M/1/N/ /PEPS) (S=1 (M/M/1/N/ Con S servidores (M/M/S/N/ /PEPS) (M/M/S/N/

2.

Modelo Bsico con cola Finita.Finita.1. 2.

3.

Modelo Bsico con fuente de recursos limitados.limitados.1. 2.

Un servidor (S=1) (M/M/1/N/N/PEPS) (S=1 (M/M/1/N/N/PEPS) Con S servidores (M/M/S/N/N/PEPS) (M/M/S/N/N/PEPS)

Modelos Con Prioridad

En este modelo la disciplina de servicio se basa en clases de prioridad de acuerdo a la importancia de los clientes que pueden ser atendidos. atendidos. Hiller y Liberman plantean las formulas siguientes para un sistema de esta clase, donde existen N clases (la clase 1 es la mas prioritaria y as sucesivamente). En este caso las entradas sucesivamente). siguen siendo Poisson y los tiempos de servicio son exponenciales, para cada clase considerada. considerada. Ver cuadro de ecuaciones 2

Aspectos Econmicos en la TC

En todo sistema de colas existe una pugna econmica entre el cliente y la entidad que presta servicio. Por una parte esta el cliente que servicio. trata de minimizar el costo de espera (lo que implica un aumento en el costo de servicio) y por otra el servidor que trata de minimizar el costo de servicio (lo que implica un incremento en el costo de espera); luego, el sistema debe espera); contemplar ambos criterios y tratar de llegar a un equilibrio entre ambos. ambos.

Aspectos Econmicos en la TC

Costo de espera (CE): Es el costo que le significa (CE): al cliente por el tiempo perdido. Si bien existen perdido. varios criterios para determinar este costo, el mas apropiado es aquel que considera solamente el tiempo perdido en la cola esperando por el servicio. Por tanto, si: servicio. si: C1 = costo de espera de un cliente por unidad de tiempo. tiempo. Luego el costo de espera ser: ser:

CE = C1 * Lq CE = $us/unidad de tiempo

Aspectos Econmicos en la TC

Costo de Servicio (CS): Es el costo que le (CS): representa a la entidad que presta servicio a los clientes, empleando S servidores. servidores. Por tanto si: si: C2 = costo de servicio de un servidor por unidad de tiempo. CS = C2 * S CS = S/unidad de tiempo.

Aspectos Econmicos en la TC

En realidad no existen expresiones generales que permitan calcular E(CS) y E(CE); lo que E(CE); quiere decir que su calculo depender del problema especifico a ser tratado. Pero el costo tratado. total del sistema ser la suma de ambos costos, es decir: decir:

CT = CE + CS

El objetivo ser hallar parmetros de tal forma que el costo total del sistema sea el mnimo. mnimo.