1

Topološka optimizacija betonskih konstrukcija

mr.sc. Igor Gukov, dipl.ing.građ.

Tri osnovna tipa optimizacije struktura

1. Dimenzionalna optimizacija (sizing optimization) 2. Optimizacija oblika (shape optimization)3. Topološka optimizacija (topology optimization)

Dimenzionalna optimizacijaOptimizacija oblika

Topološka optimizacija Topološka optimizacija

2

Optimizacija konzolne rešetke Optimizacija konzolne rešetke

Primjer 1 – dva truss elementa Primjer 1

Moment inercije

Sila u štapu

Naprezanje

Primjer 1 - funkcija volumena

Prva derivacija funkcije volumena

Primjer 2 - parabolični luk

3

Primjer 2 - parabolični luk

2

8M w LHh h

⋅= =⋅

-horizontalna sila u luku

V w x= ⋅ -vertikalna sila u luku 2 2F V H= + -uzdužna sila u luku

FAσ

= -površina poprečnog presjeka

Primjer 2 - funkcija volumena luka

Modeli s većim brojem

elemenata

Problem traženja minimuma funkcije

Derivacija pokazuje smjer pada funkcije U višedimenzionalnom prostoru

1 2 3( , , )if f x x x x= …

0i

fx∂

=∂

2

2 0i

fx

∂>

∂

4

Metoda tangente Heurističke metode i umjetna inteligencija

Primjena:

•Za rješavanje "mutnih" problema, koji se ne mogu dobromatematički formulirati

•Za probleme opterećene "kombinatoričkom eksplozijom".

Problem 8 dama Šahovska ploča dimenzija nxn

Na ploči svako polje može imati jednu od četiri ponuđene boje.

Cilj je razmjestiti polja na način da nemajususjeda s istom bojom

Heurističke metode i umjetna inteligencija

•Metode Monte Carlo•Ekspertni sustavi•Neuralne mreže•Fuzzy logika•Genetski algoritmi•Evolucijsko programiranje•Simulirano kaljenje•Tabu algoritam•Mravlja kolonija•Čovjek u petlji

Ekspretni sustavi

Pravila:

Pr 1. AKO m TADA p b, c, d

Pr 2. AKO g ILI m TADA r

Pr 3. AKO f TADA g

Pr 4. AKO f I e TADA m

Pr 5. AKO a I d TADA f

Pr 6. AKO b TADA a

Pr 7. AKO b I c I d TADA e

IF .... THEN

5

Neuronske mreže 60 ulaza 6 skrivenih 2 izlaza

Trenirana mreža-prepoznavanje govoraMarko

Maja

0.01

0.99

0.99

0.01

Genetski algoritmi (GA)

•su heurističke metode optimiranja zamišljeni kaoimitacija prirodne evolucije.

•potraga za jedinkom koja je najbolje prilagođenauvjetima koji vladaju u okolini.

•prirodnom selekcijom se biraju jedinke koje ćepreživjeti i stvoriti potomstvo

Primjena GA

• Problem trgovackog putnika.• Projektiranje komunikacijske (cestovne, vodovodne, ...) mreže.• Određivanje parametara neuronske mreže.• Financijske i ekonomske analize i planiranje.• Optimiranje funkcija, • Rješavanje kombinatoričkih problema, teorija igara,• Raspoznavanje uzoraka, • Problem rasporeda

Osnovni pojmovi GA

Gen – jedinicna informacijaKromosom (jedinka) – skup gena, predstavlja jedno rješenje

zadanog problemaPopulacija – skup jedinki u i-tom koraku algoritmaFunkcija cilja – mjera kvalitete pojedinog rješenja (jedinke)

6

Genetski algoritmi

Algoritam:Stvori pocetnu populacijuIzracunaj vrijednost funkcije cilja za sve jedinkePonavljaj:

kopiraj k najboljih jedinki u novu populacijuponavljaj dok se ne popuni nova populacija

odaberi dva roditeljarekombinacijom stvori potomkeumetni potomke u novu populaciju

ponavljaj dok se ne obavi zadani broj mutacijaodaberi slucajni genmutiraj

izracunaj vrijednost funkcije cilja za sve jedinke

Problem trgovačkog putnika

Lista gradova:1) London 2) Zagreb 3) Rome 4) Tokyo5) Venice 6) Singapore 7) Washington 8) Brasilia

Lista1 (3 5 7 2 1 6 4 8)Lista2 (2 5 7 6 8 1 3 4)

Genetski algoritmi

• Roditelj1 (3 5 7 2 1 6 4 8)• Roditelj2 (2 5 7 6 8 1 3 4)

• Dijete (5 8 7 2 1 6 3 4)• Prije: (5 8 7 2 1 6 3 4)

• Poslije: (5 8 6 2 1 7 3 4)

Genetski algoritmi - mutacija

Genetski algoritmi - križanje

1011001

1011001

0111010

0111010

XX

0111001

0111001

1011010

1011010

Genetski algoritmi - mutacije

1011001

1011001

1011011

1011011

7

Primjer GA: udaljenost = 941 Primjer GA: udaljenost = 652

Primjer GA: udaljenost = 420 Primjer GA: razvoj iteracija

Određivanje strut–tie modela - konzolaVeličine glavnih normalnih naprezanja:

( ) ( )2 21 0.5 0.25x y x y xyσ σ σ σ σ τ= ⋅ + + ⋅ − +

( ) ( )2 22 0.5 0.25x y x y xyσ σ σ σ σ τ= ⋅ + − ⋅ − +

Kut djelovanja glavnih normalnih naprezanja:

22 xy

x y

tgτ

ϕσ σ⋅

=−

8

Uvjet čvrstoće za dvoosno stanje naprezanja prema HMH teoriji:

2 21 2 1 2ekvσ σ σ σ σ= + − ⋅ 2 2 3ekv x y x y xyσ σ σ σ σ τ= + − ⋅ + ⋅

Uvjet čvrstoće za troosno stanje naprezanja prema HMH teoriji:

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 1

12ekvσ σ σ σ σ σ σ= − + − + −

Jednoosno savijanje s poprečnom silom:

2 23ekvσ σ τ= +

Topološka optimizacija zidnog nosača, 3D model

Topološka optimizacija zidnog nosača, 3D model Problemi topološke optimizacije

9

Utjecaj gustoće mreže

10

Simetrično opterećenje Nesimetrično opterećenje

3D model – brick elementi