Tolomeo Bernoulli Eulero Fourier

Gauss Abel Dirichlet Riemann

Gibbs Cantor Michelson Poincar�e

Leonardo Colzani

QUALCHE TEOREMA SULLE SERIE TRIGONOMETRICHE

1

Joanne Keplero �Astonomia Nova�Il moto retrogrado di Martecontro il cielo delle stelle �sse

Secondo Apollonio di Perga (III secolo a.C.), Ipparco di Rodi (II secoloa.C.), Tolomeo (II secolo d.C.), ed altri, il moto dei pianeti intorno alla Terraè composizione di moti quasi circolari uniformi. Se al moto del Pianeta intornoal Sole si somma il moto del Sole intorno alla Terra, con raggi delle orbite A eB e periodi di rivoluzione � e �, l�orbita è

P � T = (P � S) + (S � T ) = A exp

�2�i

�t

�+B exp

�2�i

�t

�:

Per esempio, l�anno marziano è 1,88 volte quello terrestre e la distanza mediadi Marte dal sole è 1,52 volte la distanza del Sole dalla Terra. Quindi l�orbitadi Marte rispetto alla Terra è circa exp (2�it) + (1; 52) � exp (2�it= (1; 88)). Difatto c�è una certa discrepanza tra questa teoria e le osservazioni e, per vincerela sua guerra con Marte, Keplero (1571-1630) formula l�ipotesi di moti nonuniformi su orbite ellittiche. Un modo alternativo per far tornare i conti èdi aggiungere termini alla serie, A exp (i�t) + B exp (i�t) + C exp (i t) + :::.L�astronomo Giovanni Schiaparelli (1835-1910) osserva che con un sistema diepicicli abbastanza complicato è possibile descrivere con buona approssimazionequalsiasi moto. Più in generale, ogni fenomeno periodico o quasi periodico puòessere scomposto in somma di funzioni sinusoidali con frequenze multiple dellefrequenze fondamentali che sono causa del fenomeno. Una precisa de�nizionedi funzione, di convergenza, di integrale, la teoria degli insiemi, e tanti altriconcetti matematici, hanno una origine conune: le serie trigonometriche, Sivuole presentare qualche teorema di Eulero, Dirichlet, Riemann, Cantor, edaltri, cercando di seguire più o meno fedelmente le dimostrazioni originali.

2

Leonhardo EuleroSULLA DETERMINAZIONE DI UNASUCCESSIONE, UN NUOVO METODOPER TROVARE I TERMINI GENERALI

DI UNA SUCCESSIONE

Se un teorema ha un nome, non è stato lui. Almeno non sempre. JeanBaptiste Joseph Fourier (1768-1830) il 21 Dicembre 1807 presenta al Institut deFrance un manoscritto �Sur la propagation de la chaleur�, ed una versione rive-duta e corretta �Théorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides�,con il sottotitolo �Et ignem regunt numeri (Plato)�, viene ripresentata il 28Settembre 1811. La memoria viene premiata, ma per delle riserve sul rigorenon viene pubblicata. Solo nel 1822 Fourier riesce a pubblicare la �Théorie an-alytique de la chaleur�. In quest�opera Fourier introduce l�equazione del calore@u=@t = k

�@2u=@x2 + @2u=@y2 + @2u=@z2

�, che risolve con il metodo di sep-

arazione delle variabili sviluppando in serie di seni e coseni le soluzioni. Manon è stato lui il primo a de�nire le serie che ora portano il suo nome. Le serietrigonometriche compaiono molto presto in calcoli astronomici, gli epicicli diApollonio, Ipparco, e Tolomeo, sono serie trigonometriche, e queste serie com-paiono anche in altri problemi di �sica matematica. Nel XVIII secolo Brook Tay-lor (1685-1731), Daniel Bernoulli (1700-1782), Leonhardo Eulero (1707-1783),Jean Baptiste Le Ronde d�Alembert (1717-1783), Giuseppe Lodovico Lagrangia(1736-1813), sviluppano un modello matematico per le vibrazioni di una corda,@2y=@t2 = v2@2y=@x2. Nelle �Recherches sur la courbe que forme une corde ten-due mise en vibration, 1747&1750�d�Alembert ricava e risolve l�equazione delleonde, y = ' (x+ vt) + (x� vt). Eulero osserva che le vibrazioni della cordarisultano univocamente determinate dalla posizione e velocità iniziali. Taylorosserva che le funzioni y = cos (�nvt=L) sin (�nx=L) soddisfano l�equazione delleonde con le condizioni al bordo y (0) = y (L) = 0, in accordo con l�osservazionesperimentale che le vibrazioni di una corda hanno una frequenza fondamen-tale, delle frequenze doppie, triple,... Di fatto, tutte queste frequenze possonocoesistere contemporaneamente. Nelle �Ré�exions et éclaircissemens sur lesnouvelles vibrations des cordes exposées dans les mémoires de l�Académie de1747&1748�Bernoulli congettura il suono è superposizione di armoniche e chetutte le possibili vibrazioni di una corda di lunghezza L sono superposizione divibrazioni sinusoidali,

A sin��xL

�cos

��vt+ a

L

�+B sin

�2�x

L

�cos

�2�vt+ b

L

�+C sin

�3�x

L

�cos

�3�vt+ c

L

�+:::

In particolare, se le soluzioni di d�Alembert e Bernoulli fossero le stesse, ogni

3

funzione avrebbe uno sviluppo in serie trigonometriche. Questo provoca unavivace controversia. Anche Lagrange studia il problema, e costruisce delle serietrigonometriche �nite che interpolano una funzione in una successione �nita dipunti equidistanti, ma non passa dal �nito all�in�nito.Nel 1750 Eulero presenta all�Academiae Scientiarum Petropolitanae la memo-

ria �Methodus aequationes di¤erentiales altiorum graduum integrandi ulteriuspromota�, con una ricetta per risolvere le equazioni di¤erenziali a coe¢ cienticostanti non omogenee,

Ay (x) +Bd

dxy (x) + C

d2

dx2y (x) + ::: = X (x) :

Se le radici f�jg del polinomio P (z) = A+Bz+Cz2+ ::: sono tutte distinte,e se fyj (x)g sono le soluzioni dell�equazione di¤erenziale del prim�ordine

d

dxyj (x)� �jyj (x) = X (x) ;

yj (x) = exp (�jx)

ZX (x) exp (��jx) dx;

la soluzione dell�equazione di partenza è una superposizione di queste soluzioniparziali,

y (x) =Xj

yj (x) =P0 (�j) :

Infatti, in notazione operatoriale,

P (d=dx) y (x) =Xj

P (d=dx)

P 0 (�j) (d=dx� �j)(d=dx� �j) yj (x)

=

0@Xj

P (d=dx)

P 0 (�j) (d=dx� �j)

1AX (x) :

Basta poi osservare che P (z) =P 0 (�j) (z � �j) è il polinomio di interpo-lazione che vale 1 in z = �j e vale 0 in z = �i se i 6= j. Quindi,X

j

P (z)

P 0 (�j) (z � �j)= 1:

Eulero considera anche le equazioni con radici multiple o complesse, e nellamemoria seguente anche delle equazioni di¤erenziali di ordine in�nito. Questamemoria, �De serierum determinatione seu nova methodus inveniendi terminosgenerales serierum�, contiene dieci problemi. Il nono è sull�equazione

y (x)� y (x� 1) = X (x) :

È chiaro che una funzione arbitraria in un intervallo unitario può essereestesa ad una soluzione. Ma forse questo concetto di soluzione è estraneo adEulero, che cerca una espressione analitica e procede diversamente.

4

�Problema IX. Trovare i termini di una successione i cui termini sono ugualiai precedenti più una data funzione dello stesso indice.Se il termine di indice x è y (x), il suo antecedente è

y (x� 1) = y (x)� 11

d

dxy (x) +

1

1 � 2d2

dx2y (x)� 1

1 � 2 � 3d3

dx3y (x) + :::

Essendo la legge della progressione y (x) = y (x� 1) +X (x), si ha

X (x) =1

1

d

dxy (x)� 1

1 � 2d2

dx2y (x) +

1

1 � 2 � 3d3

dx3y (x)� :::

... Ponendo zn al posto di dny=dxn si ha l�espressione

Z =z

1� z2

1 � 2 +z3

1 � 2 � 3 � ::: = 1� exp (�z) ;

di cui si cercano tutti i fattori. Il primo è z e gli altri sono z2 � 4�2k2. Dalfattore z � 0 nasce la parte integrale

y (x) =

ZX (x) dx+ etc:

... Dal fattore z2 � 4�2k2 nasce la parte integrale...

y (x) = 2 cos (2�kx)

Zcos (2�kx)X (x) dx+ 2 sin (2�kx)

Zsin (2�kx)X (x) dx:

Sommando tutti i valori ottenuti al variare di k, si ottiene il termine generalecercato:

y (x) =

ZX (x) dx+8><>:

2 cos (2�x)

Zcos (2�x)X (x) dx+ 2 cos (4�x)

Zcos (4�kx)X (x) dx+ :::

2 sin (2�x)

Zsin (2�x)X (x) dx+ 2 sin (4�x)

Zsin (4�kx)X (x) dx+ :::

Q.E.I.�

In questa dimostrazione, il polinomio P (z) della prima memoria è sostituitodalla funzione 1�exp (�z), con radici semplici f2�ing e con derivata 1 in questipunti. Si può mostrare che la formula

Xj

P (z) =P 0 (�j) (z � �j) = 1 valida per

un polinomio, per la funzione 1� exp (�z) diventa

+1Xj=�1

1� exp (�z)(z � 2�ij) =

1 + exp (�z)2

:

5

Quindi la soluzione di Eulero è

y (x)� y (x� 1) = 1 + exp (�d=dx)2

X (x) =X (x) +X (x� 1)

2:

Se X (x) è periodica di periodo 1 il conto torna. Questa la dimostrazionerichiede l�analiticità della funzione y (x) e di X (x) = y (x) � y (x� 1), ma laformula �nale richiede solo l�integrabilità di X (x). In�ne, se X (x) è periodicadi periodo 1, da X (x) = y (x)� y (x� 1) si ricava

X (x) =

Z 1

0

X (y) dy+

+1Xn=1

�2 cos (2�nx)

Z 1

0

cos (2�ny)X (y) dy + 2 sin (2�nx)

Z 1

0

sin (2�ny)X (y) dy

�:

Questa stessa formula è trovata in altro modo da A.Clairaut (1713-1765)nella memoria del 1754 �Sur l�orbite apparente du Soleil autour de la terre, enayant égard aux perturbations produites par les actions de la Lune et des planètesprincipales�, come limite di polinomi trigonometrici di interpolazione.

6

Johann Carl Friedrich GaussLA TEORIA DELL�INTERPOLAZIONETRATTATA CON UN NUOVO METODO

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) non diviene famoso per le �Dis-quisitiones Arithmeticae�, il suo capolavoro pubblicato nel 1801, ma grazie allascoperta dell�astronomo Giuseppe Piazzi (1746-1826):

�Risultati delle osservazioni della nuova stella scoperta il dì primo gen-naio all�Osservatorio Reale di Palermo - Palermo 1801. Già da nove annitravagliando io a veri�care le posizioni delle stelle che si trovano raccolte ne�vari Cataloghi degli astronomi, la sera del primo gennaio dell�anno corrente,tra molte altre cercai la 87.a del Catalogo delle stelle zodiacali dell�Abate LaCaille. Vidi pertanto che era essa preceduta da un�altra, che secondo il costume,volli osservare ancora, tanto maggiormente, che non impediva l�osservazioneprincipale. La sua luce era un poco debole, e del colore di Giove, ma simile amolte altre, che generalmente vengono collocate nell�ottava classe rispetto allaloro grandezza. Non mi nacque quindi alcun dubbio sulla di lei natura. La seradel due replicai le mie osservazioni, e avendo ritrovato, che non corrispondevané il tempo, né la distanza dallo zenit, dubitai sulle prime di qualche errorenell�osservazione precedente: concepii in seguito un leggiero sospetto, che forseesser potesse un nuovo astro. La sera del tre il mio sospetto divenne certezza,essendomi assicurato che essa non era Stella �ssa. Nientedimeno, avanti diparlarne aspettai la sera del 4, in cui ebbi la soddisfazione di vedere, che si eramossa colla stessa legge che tenuto aveva nei giorni precedenti.�

Piazzi non riesce ad osservare il nuovo pianeta Ceres abbastanza a lungo perdeterminarne l�orbita, perché scompare entrando in congiunzione col Sole. Ciònonostante, con i pochi dati pubblicati Gauss riesce in breve tempo a ritrovarlo.Sempre nel 1801 si scopre Pallas, poi Juno nel 1804 e Vesta nel 1807. I diari diGauss nel 1796 contengono le annotazioni �Formula interpolationis elegans�(44)e �Formulae trigonometricae per series expressae� (46), e nel 1805 �Theoriaminterpolationis ulterius excoluimus� (124). Nel manoscritto �Theoria interpo-lationis methodo novo tractata�, databile al 1805, Gauss costruisce una serietrigonometrica che interpola l�orbita di Pallas. L�ascensione retta x, la longi-tudine sulla sfera celeste, è misurata in gradi e la declinazione y, la latitudinesulla sfera celeste, è misurata in primi.

7

x = 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330y = 408 89 �66 10 338 807 1238 1511 1583 1462 1183 804

y = 780; 6�411; 0 cos (x)� 720; 2 sin (x)+43; 4 cos (2x)� 2; 2 sin (2x)�4; 3 cos (3x) + 5; 5 sin (3x)�1; 1 cos (4x)� 1; 0 sin (4x)+0; 3 cos (5x)� 0; 3 sin (5x)

+0; 1 cos (6x) : 0 100 200 3000

500

1000

1500

x

y

Di fatto, le serie trigonometriche �nite che interpolano una funzione in unasuccessione �nita di punti equidistanti compaiono già negli studi sulla corda vi-brante di Giuseppe Lodovico Lagrangia (1736-1813). Dati N+1 punti nel pianocon ascisse distinte, esiste un polinomio algebrico di gradoN che passa per questipunti. Similmente, per 2N+1 punti esiste un polinomio trigonometrico di gradoN per questi punti, e si può calcolare questo polinomio risolvendo un sistemadi equazioni lineari. Ad ogni funzione f(x) in �1=2 � x � 1=2 si può associareil suo campionamento ff (k=(2N + 1))gNk=�N nei punti fk=(2N + 1)gNk=�N , eda questo campionamento si può associare una serie di Fourier �nita

NXj=�N

1

2N + 1

NXk=�N

f

�k

2N + 1

�exp

��2�ijk2N + 1

�!exp(2�ijx)

=

NXk=�N

f

�k

2N + 1

�0@ 1

2N + 1

NXj=�N

exp

�2�ij

�x� k

2N + 1

��1A=

NXk=�N

f

�k

2N + 1

�sin(� ((2N + 1)x� k))

(2N + 1) sin

��(2N + 1)x� k

2N + 1

� :Si ha

sin(� ((2N + 1)x� k))

(2N + 1) sin

��(2N + 1)x� k

2N + 1

� = � 0 se x = j=(2N + 1) con j 6= k,1 se x = k=(2N + 1).

Quindi il polinomio trigonometrico interpola la funzione nei punti del cam-pionamento. In�ne, per N +1 si riconosce lo sviluppo in serie di Fourier,

limN +1

8<:NX

j=�N

1

2N + 1

NXk=�N

f

�k

2N + 1

�exp

��2�ijk2N + 1

�!exp(2�ijx)

9=;=

NXj=�N

Z 1=2

�1=2f (y) exp (�2�ijy) dy

!exp (2�ijx) :

8

Comunque, nè Lagrange nè Gauss considerano questo limite all�in�nito. Nelcalcolo di un coe¢ ciente del polinomio di interpolazione compaiono 2N sommee 2N + 1 prodotti, quindi un calcolo brutale dei 2N + 1 coe¢ cienti di Fourierrichiede circa 8N2 operazioni. Però Gauss scopre un modo furbo di calco-lare questi coe¢ cienti di Fourier, che abbatte in modo drastico il numero dioperazioni. E questa trasformata di Fourier rapida è riscoperta nel 1965 daJ.W.Cooley e J.W.Tukey.

Teorema: Per una data funzione f(x) in 0 � x � 1 ed un intero positivoN , sia

F (N; k) =N�1Xj=0

f(j=N) exp (2�ikj=N) :

(1) Se per una generica f(x) è possibile e¤ettuare il calcolo degli N coe¢ ci-enti di Fourier fF (N; k)gN�1k=0 con non più di X (N) addizioni o moltiplicazioni,allora è anche possibile calcolare gli MN coe¢ cienti di Fourier fF (MN; k)gMN�1

k=0

con non più di MN +MX (N) +NX (M) addizioni o moltiplicazioni.(2) Il calcolo dei coe¢ cienti di Fourier fF (N; k)gN�1k=0 quando N = 2n non

richiede più di 2N log2(N) = 2n2n addizioni o moltiplicazioni.

Dimostrazione: (1) Decomponendo il vettore ff(j=MN)gMN�1j=0 e la sua

trasformata di Fourier fF (MN;w)gMN�1w=0 secondo gli indici j = hM + k e

w = aN +b, si può ridurre il calcolo di una trasformata di Fourier suMN puntial calcolo di due trasformate di Fourier su M e N punti,

F (MN;aN + b) =M�1Xk=0

N�1Xh=0

f((hM + k) =MN) exp (2�i (aN + b) (hM + k) =MN)

=

M�1Xk=0

exp (2�ibk=MN)

N�1Xh=0

f(h=N + k=MN) exp (2�ibh=N)

!exp (2�iak=M) :

Per ipotesi, per un dato k, si può calcolare la trasformata di Fourier diff(h=N + k=MN)gN�1h=0 conX (N) operazioni. Questo vettore deve essere molti-plicato per exp (2�ibk=MN), e con queste moltiplicazioni il parziale delle op-erazioni sale a N + X(N). Ripetendo queste operazioni per ogni 0 � k <M � 1, si arriva a MN +MX (N) operazioni. Rimangono poi da calcolare N ,una per ogni 0 � b < N � 1, trasformate di Fourier di ordine M , e questorichiede NX(M) operazioni. Il totale del numero di operazioni è arrivato aMN +MX (N) +NX(M).(2) Il calcolo di fF (2; 0); F (2; 1)g richiede una somma ed una sottrazione,

F (2; 0) = f(0) + f(1=2); F (2; 1) = f(0)� f(1=2):

Quindi X (2) = 2. Per induzione, assumendo X (2n) � 2n2n, dal punto (1)si ricava che

X�2n+1

�� 2n+1 + 2nX (2) + 2X (2n) � 2n+2 + 4n2n = 2(n+ 1)2n+1: �

9

Per esempio, se N = 1024 = 210 il calcolo brutale dei coe¢ cienti di Fourierrichiede circa otto milioni di operazioni, mentre il calcolo furbo ne richiede circaventimila.

10

Lejeune DirichletSULLA CONVERGENZA DELLESERIE TRIGONOMETRICHE CHESERVONO A RAPPRESENTAREUNA FUNZIONE ARBITRARIA

ENTRO DATI LIMITI

Nel 1822 Joseph Fourier (1768-1830) pubblica la �Teoria analitica del calore�,dove risolve un certo numero di equazioni di¤erenziali con il metodo di sepa-razione delle variabili scomponendo le soluzioni in serie trigonometriche ed enun-cia un principio generale: �Le funzioni arbitrarie, anche discontinue, possonoessere sempre rappresentate da sviluppi in seni o coseni di archi multipli�. Inparticolare, nell�Articolo 235 compare la formula

�Fx =

ZF�d�

�1

2

+ cos :x cos :�+ cos :2x cos :2�+ cos :3x cos :3�+ etc:+sin :x sin :�+ sin :2x sin :2�+ sin :3x sin :3�+ etc:

�=

ZF�d�

�1

2+ cos :x� �+ cos :2x� �+ cos :3x� �+ etc:

�:

Fourier ottiene questi sviluppi in serie risolvendo un sistema in�nito diequazioni lineari. Se f (x) è una funzione dispari in �� < x < +�, e sef 0 (0) = A, f 000 (0) = B, f 00000 (0) = C,...,

a sin (x) + b sin (2x) + c sin (3x) + ::: = f (x) ;

a+ 2b+ 3c+ ::: = f 0 (0) ;

a+ 23b+ 33c+ ::: = f 000 (0) ;

a+ 25b+ 35c+ ::: = f 00000 (0) ; :::

Si può risolvere il sistema delle prime N equazioni nelle prime N incog-nite, ponendo tutte le altre incognite uguali a zero, e calcolando il limite perN +1 si ottiene lo sviluppo completo. Però la dimostrazione rigorosa cheogni funzione su¢ cientemente regolare ha uno sviluppo in serie trigonometrichenon è di Fourier, ma di Lejeune Dirichlet (1805-1859), che nel 1829 pubblica unamemoria �Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent a représen-ter une fonction arbitraire entre des limites données�. Dopo aver criticato delleprecedenti presunte dimostrazioni, Dirichlet enuncia il suo teorema.

Teorema: Se f (x) è una funzione periodica con periodo 1, limitata e conun numero �nito di massimi e minimi in 1=2 � x < 1=2, allora in ogni punto

11

x,

limN +1

(+NX

n=�N

Z 1=2

�1=2f (y) exp (�2�iny) dy

!exp (2�inx)

)

= lim" 0

�f (x� ") + f (x+ ")

2

�:

Dimostrazione: Sommando una serie geometrica si ottiene

+NXn=�N

Z 1=2

�1=2f (y) exp (�2�iny) dy

!exp (2�inx)

=

Z 1=2

�1=2f (y)

+NX

n=�Nexp (2�in (x� y))

!dy

=

Z 1=2

�1=2f (y)

sin(�(2N + 1) (x� y))sin(� (x� y)) dy:

Con una traslazione si può assumere x = 0. Basta quindi mostrare che

limN +1

�Z 0

a

f (y)sin(�(2N + 1)y)

sin(�y)dy

�=1

2lim" 0�

ff (")g se a < 0,

limN +1

(Z b

0

f (y)sin(�(2N + 1)y)

sin(�y)dy

)=1

2lim" 0+

ff (")g se b > 0,

limN +1

(Z d

c

f (y)sin(�(2N + 1)y)

sin(�y)dy

)= 0 se c < d < 0 o 0 < c < d.

In particolare, spezzando la funzione negli intervalli in cui è monotona, bastamostrare che se f (x) è monotona in 0 � a < x < b � �=2,

limN +1

(Z b

a

f (x)sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)dx

)=

(1

2limx 0+ ff (x)g se a = 0,

0 se a > 0.

Per semplicità si consideri prima il caso a = 0 e b = 1=2. Assumendof (x) continua positiva decrescente in 0 � x � 1=2, spezzando l�intervallo diintegrazione nei punti fn= (2N + 1)g ed applicando il teorema della media negliintervalli ottenuti si ha Z 1=2

0

f (x)sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)dx

=N�1Xn=0

f ((n+ #) = (2N + 1))

Z (n+1)=(2N+1)

n=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)dx

!

+f (1=2� #)Z 1=2

N=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x))dx:

12

Se f (x) non è continua vale una formula simile, con f ((n+ #) = (2N + 1)) unopportuno valore tra gli estremi inferiore e superiore di f (x) in n= (2N + 1) <x < (n+ 1) = (2N + 1). I termini della somma hanno segni alterni e modulodecrescente e, per la disuguaglianza sin(x) > 2x=� in 0 < x < �=2, questitermini sono dominati da

jf ((n+ #) = (2N + 1))jZ (n+1)=(2N+1)

n=(2N+1)

���� sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)

���� dx�sup0�x�1=2 fjf (x)jgsin(�n= (2N + 1))

Z (n+1)=(2N+1)

n=(2N+1)

jsin(�(2N + 1)x)j dx �sup0�x�1=2 fjf (x)jg

�n:

Quindi, ricordando che una somma di termini con segni alterni e modulodecrescente è limitata dal primo termine, per ogni M < N si ha�����

N�1Xn=M

f ((n+ #) = (2N + 1))

Z (n+1)=(2N+1)

n=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)dx

!

+f (1=2� #)Z 1=2

N=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x))dx

������sup0�x�1=2 fjf (x)jg

�M:

Questa stima non dipende da N , e si può rendere piccola a piacere pur diprendere M su¢ cientemente grande. Posto poi f (0+) = limx 0+ ff (x)g, si ha

M�1Xn=0

f ((n+ #) = (2N + 1))

Z (n+1)=(2N+1)

n=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)dx

!

= f (0+)

N�1Xn=0

Z (n+1)=(2N+1)

n=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)dx

!+

Z 1=2

N=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x))dx

!

�f (0+) N�1Xn=M

Z (n+1)=(2N+1)

n=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)dx

!+

Z 1=2

N=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x))dx

!

+M�1Xn=0

(f ((n+ #) = (2N + 1))� f (0+))

Z (n+1)=(2N+1)

n=(2N+1)

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)dx

!:

Il primo termine è uguale a

f (0+)

Z 1=2

0

sin(�(2N + 1)x)

sin(�x))dx

=1

2f (0+)

Z 1=2

�1=2

+NX

n=�Nexp (2�inx) dx

!dx =

1

2f (0+) :

13

Il secondo termine è una somma di termini a segni alterni con modulo de-crescente, ed è dominato dal primo termine,

jf (0+)jZ (n+1)=(2N+1)

n=(2N+1)

���� sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)

���� dx � jf (0+)j�M

:

Questa quantità si può rendere piccola a piacere pur di prendere M su¢ -cientemente grande. Il terzo termine è dominato da

M�1Xn=0

jf ((n+ #) = (2N + 1))� f (0+)j �M sup0<x<M=(2N+1)

fjf (x)� f (0+)jg :

FissatoM , questa quantità si può rendere piccola a piacere pur di prendereNsu¢ cientemente grande. La stessa dimostrazione mostra che se f (x) è monotonapositiva e decrescente in 0 < a � x � b � 1=2, allora

limN +1

(Z b

a

f (x)sin(�(2N + 1)x)

sin(�x)dx

)= 0:

In�ne, siccome il risultato vale per funzioni costanti, sostituendo se neces-sario una nuova funzione c � f (x), si può assumere f (x) positiva decrescentein a < x < b. �

Vista l�importanza del risultato, ci permettiamo di accennarne un altra di-mostrazione.Nel 1900 L.Fejér dimostra che le medie aritmetiche delle somme parziali

della serie di Fourier di una funzione integrabile convergono in ogni punto dicontinuità:

SNf (x) =

+NXn=�N

bf (n) exp (2�inx) ;S0f (x) + S1f (x) + :::+ SNf (x)

N + 1=

+NXn=�N

�1� jnj

N + 1

� bf (n) exp (2�inx) ;lim

N +1

�S0f (x) + S1f (x) + :::+ SNf (x)

N + 1

�= lim

" 0

�f (x� ") + f (x+ ")

2

�:

Questo risultato segue facilmente dalla rappresentazione integrale

S0f (x) + S1f (x) + :::+ SNf (x)

N + 1

=1

N + 1

Z 1=2

�1=2

�sin(�(N + 1) (x� y))

sin(� (x� y))

�2f(y)dy:

14

Nel 1909 G.H.Hardy dimostra che se S (N) =NXn=0

a (n) e se ja (n)j � c=n,

allora

limN +1

fS (N)g = limN +1

�S (0) + S (1) + :::+ S (N)

N + 1

�:

In�ne, i coe¢ cienti di Fourier di una funzione limitata e monotona a tratti

veri�cano la stima��� bf (n)��� � c= jnj. Infatti se f (x) è monotona in un intervallo

a � x � b, per il teorema della media esiste a � # � b tale cheZ b

a

f (x) cos (2�nx) dx

= f (b)

Z b

a

cos (2�nx) dx�Z b

a

Z x

a

cos (2�ny) dyd

dxf (x) dx

= f (b)

Z b

a

cos (2�nx) dx�Z #

a

cos (2�ny) dy

Z b

a

d

dxf (x) dx

=f (a) (sin (#)� sin (a)) + f (b) (sin (b)� sin (#))

2�n:

Nel 1881 C.Jordan mostra che il teorema di Dirichlet si applica anche alle fun-zioni a variazione limitata. Infatti ogni funzione a variazione limitata è somma didue funzioni monotone, una crescente ed una decrescente. Inoltre, se la funzioneè a variazione limitata e continua in un intervallo, la serie di Fourier convergeuniformemente in ogni sottointervallo interno. In�ne, nel trattato del 1880 �Se-rie di Fourier ed altre rappresentazioni analitiche per funzioni di una variabilereale� U.Dini enuncia un altro semplice ed importante criterio di convergenzadelle serie di Fourier: �La serie di Fourier per x = � sarà convergente e avrà persomma f (x) quando il rapporto ff (�+ t)� 2f (�) + f (�� t)g =t non cresceinde�nitivamente col diminuire inde�nitivamente di t, o almeno resta atto allaintegrazione anche ridotto ai valori assoluti.�

15

Bernhard RiemannSULLA POSSIBILITÀ DIRAPPRESENTARE UNA

FUNZIONE PER MEZZO DIUNA SERIE TRIGONOMETRICA

Per l�abilitazione all�insegnamento nel 1854 Bernhard Riemann (1826-1866)presenta alla Facoltà di Filoso�a dell�Università di Gottinga una memoria �Sullapossibilità di rappresentare una funzione per mezzo di una serie trigonometrica�,e tiene una lezione �Sulle ipotesi alla base della Geometria�. La memoria sulleserie trigonometriche, pubblicata nel 1867 dopo la morte dell�autore, si divide intre parti. Nella prima si ripercorre la storia di queste serie: D�Alembert, Eulero,Bernoulli, Lagrange, Fourier, Poisson, Cauchy, Dirichlet,... Nella seconda, perde�nire i coe¢ cienti di Fourier si presenta una precisa e rigorosa de�nizionedi integrale de�nito, con condizioni necessarie e su¢ cienti per l�integrabilità.Nella terza si studia la possibilità di rappresentare una funzione per mezzo diuna serie trigonometrica, senza alcuna ipotesi su questa funzione. Prima dilui si è studiato sotto quali proprietà una funzione è sviluppabile in serie diFourier. Lui studia il problema inverso: Che proprietà deve avere una funzionesviluppabile in serie trigonometriche? Prima si sono studiate delle condizionisu¢ cienti, ora si cercano delle condizioni necessarie.Una serie trigonometrica nei punti dove converge la serie de�nisce una fun-

zione,

f (x) = 2C ++1Xn=1

(a (n) sin (nx) + b (n) cos (nx)) :

Riemann assume che i coe¢ cienti fa (n) ; b (n)g tendano a 0, G.Cantor di-mostra che se la serie converge in un intervallo allora i coe¢ cienti tendono a 0,e H.Lebesgue dimostra che se la serie converge in un insieme di misura positivaallora i coe¢ cienti tendono a 0.

Teorema: Se+1Xn=1

(a (n) sin (2�nx) + b (n) cos (2�nx)) converge su un in-

sieme di misura positiva, allora fa (n) ; b (n)g 0.

Dimostrazione:

fa (n) sin (2�nx) + b (n) cos (2�nx)g = c (n) sin (2�nx+ d (n)) :

16

Se fc (n)g non tende a 0, allora fsin (2�nx+ d (n))g tende a 0, ed anche�2 sin2 (2�nx+ d (n))

tende a 0. MaZ

2 sin2 (2�nx+ d (n)) dx =

Z

(1� cos (4�nx+ d (n))) dx = jj+ o (1) : �

Il primo teorema dimostrato da Riemann è il seguente.

Teorema: Integrando due volte termine a termine una serie trigonometricacon coe¢ cienti che tendono a 0,

f (x) =+1X

n=�1a (n) exp (2�inx)

si ottiene una serie che converge uniformemente ed assolutamente ad una fun-zione continua,

F (x) = B + Cx+a (0)

2x2 �

Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�inx) :

Se la serie f (x) converge in un punto x, in questo punto

lim�;� 0

�F (x+ �+ �)� F (x+ �� �)� F (x� �+ �) + F (x� �� �)

4��

�= f (x) :

Se la serie converge uniformemente in un insieme , anche questo limite èuniforme in .

Dimostrazione: Raggruppando i termini con gli indici �n si può scrivere

f (x) = a (0) ++1Xn=1

A (n) ; F (x) = B + Cx+a (0)

2x2 �

+1Xn=1

A (n)

4�2n2:

Assumendo per semplicità � = �, si ha

exp (2�in (x+ �))� 2 exp (2�inx) + exp (2�in (x� �))4�2n2

= � exp (2�inx)�sin (�n�)

�n

�2:

Quindi,

F (x+ �)� 2F (x) + F (x� �)�2

= a (0) +

+1Xn=1

A (n)

�sin (�n�)

�n�

�2:

17

Sommando per parti,

a (0) ++1Xn=1

A (n)

�sin (�n�)

�n�

�2= f (x)

�sin (��)

��

�2+ a (0)

1�

�sin (��)

��

�2!

++1Xn=1

0@ +1Xj=n+1

A (j)

1A � sin (� (n+ 1)�)� (n+ 1)�

�2��sin (�n�)

�n�

�2!:

Per ogni " > 0 esiste N tale che

������+1X

j=n+1

A (j)

������ < " per ogni n > N . Quindi,

+1Xn=N+1

������+1X

j=n+1

A (j)

������������sin ((n+ 1)�)

(n+ 1)�

�2��sin (n�)

n�

�2������ "

+1Xn=N+1

�����Z (n+1)�

n�

d

dt

�sin (t)

t

�2dt

������ "

Z +1

0

����2 sin (t) (t cos (t)� sin (t))t3

���� dt:Questa stima vale per ogni �. Ma, per ogni n, lim�!0

(�sin (n�)

n�

�2)= 1.

Quindi, �ssato N , esiste � > 0 tale che se j�j < �,�����a (0) 1�

�sin (��)

2��

�2!����� < ";

NXn=1

������+1X

j=n+1

A (j)

������������sin ((n+ 1)�)

(n+ 1)�

�2��sin (n�)

n�

�2����� < ";

lim�!0

(f (x)

�sin (�)

�

�2)= f (x) : �

De�nizione: La serie a (0) ++1Xn=1

A (n) è sommabile secondo Riemann alla

funzione f (x) se

lim� 0

(a (0) +

+1Xn=1

A (n)

�sin (�n�)

�n�

�2)= f (x) :

18

In particolare, il teorema di Riemann asserisce che una serie convergente èRiemann sommabile. Questo teorema ha degli antecedenti e conseguenti. Il piùnoto è un classico risultato di Abel sulla convergenza di serie di potenze.

Teorema: Se+1Xn=0

A (n) = A allora limz!1�

(+1Xn=0

A (n) zn

)= A.

Il secondo teorema dimostrato da Riemann è il seguente.

Teorema: Se fA (n)g tende a 0, allora

lim� 0

�F (x+ �)� 2F (x) + F (x� �)

�

�= 0:

In particolare, la funzione F (x) non ha angoli,

lim� 0

�F (x+ �)� F (x)

�� F (x) + F (x� �)

�

�= 0:

Dimostrazione:

F (x+ �)� 2F (x) + F (x� �)�

= �a (0) + �+1Xn=1

A (n)

�sin (�n�)

�n�

�2:

Per ogni " > 0 esiste M tale che jA (n)j < " per ogni n > M . Quindi, sej�j < "=M e se N = [1= j�j] > M , si ha������

+1Xn=1

A (n)

�sin (n�)

n�

�2������M j�j sup

1�n�MfjA (n)jg+N j�j sup

n>MfjA (n)jg+ sup

n>MfjA (n)jg 1

j�j

+1Xn=N+1

1

n2:

� c"+ c"+ c": �

Il terzo teorema dimostrato da Riemann è il principio di localizzazione.

Teorema: Se fa (n)g 0, se

f (x) =+1X

n=�1a (n) exp (2�inx) ;

F (x) = B + Cx+a (0)

2x2 �

Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�inx) ;

19

se a < c < d < b e b� a < 1, se g (x) è una funzione in�nitamente di¤erenzi-abile con supporto in a � x � b e con g (x) = 1 in c � x � d, allora per ognic � x � d,

limN!+1

(+NX

n=�Na (n) exp (2�inx)�

Z b

a

g (y)F (y)d2

dy2

+NX

n=�Nexp(2�in (x� y))

!dy

)= 0:

In particolare:

(1) La convergenza o divergenza della serie+1X

n=�1a (n) exp (2�inx) in un

punto x dipende solo dal comportamento della funzione F (y) in intorno arbi-trario del punto x.(2) Se due funzioni integrabili coincidono in un intervallo, le rispettive serie

di Fourier sono equiconvergenti nell�intervallo.

Dimostrazione: Con una traslazione si può assumere x = 0. Si haZ 1=2

�1=2g (y)F (y)

d2

dy2

+NX

n=�Nexp(2�iny)

!dy

=

Z 1=2

�1=2g (y)

�B + Cy +

a (0)

2y2�d2

dy2

+NX

n=�Nexp(2�iny)

!dy

�Z 1=2

�1=2

0@Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�iny)

1A d2

dy2

+NX

n=�Nexp(2�iny)

!dy

+

Z 1=2

�1=2(1� g (y))

0@Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�iny)

1A d2

dy2

+NX

n=�Nexp(2�iny)

!dy:

Integrando per parti due volte si haZ 1=2

�1=2g (y)

�B + Cy +

a (0)

2y2�d2

dy2

+NX

n=�Nexp(2�iny)

!dy

=

Z 1=2

�1=2

+NX

n=�Nexp(2�iny)

!d2

dy2

�g (y)

�B + Cy +

a (0)

2y2��

= a (0) :

Similmente, derivando due volte ed integrando si ha

�Z 1=2

�1=2

0@Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�iny)

1A d2

dy2

+NX

n=�Nexp(2�iny)

!dy

=

Z 1=2

�1=2

0@Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�iny)

1A +NXn=�N

4�2n2 exp(2�iny)

!dy =

X0<jnj�N

a (n) :

20

Similmente, derivando due volte il nucleo di Dirichlet si ottieneZ 1=2

�1=2(1� g (y))

0@Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�iny)

1A d2

dy2

+NX

n=�Nexp(2�iny)

!dy

=

Z 1=2

�1=2(1� g (y))

0@Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�iny)

1A d2

dy2

�sin(�(2N + 1)y)

sin(�y)

�dy

=

Z 1=2

�1=2(1� g (y))

0@Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�iny)

1A���2(2N + 1)2sin(�(2N + 1)y)

sin(�y)+ :::

�dy

=�i2

Xn 6=0

(N + 1=2)2a (n)

n2

Z 1=2

�1=2

1� g (y)sin(�y)

exp (2�i (n�N � 1=2) y) dy + :::

=�i8�2

Xn 6=0

(N + 1=2)2a (n)

n2 (n�N � 1=2)2Z 1=2

�1=2

d2

dy2

�1� g (y)sin(�y)

�exp (2�i (n�N � 1=2) y) dy + :::

=�i8�2

Xn 6=0

(N + 1=2)2a (n) b (n�N)

n2 (n�N � 1=2)2+ :::

Si ha supN

8<:Xn 6=0

(N + 1=2)2

n2 (n�N � 1=2)2

9=; < +1, e fa (n)g 0 e fb (n)g 0.

Quindi, 8<:Xn 6=0

(N + 1=2)2 ja (n)j jb (n�N)j

n2 (n�N � 1=2)2

9=; 0:

In�ne, le serie di Fourier di funzioni integrabili si possono integrare terminea termine, e le funzioni di Riemann coincidono a meno di termini lineari condegli integrali iterati

F (x) = Ax+B +

Z x

a

�Z y

a

f (z) dz

�dy:

Quindi, se due funzioni integrabili coincidono in un intervallo, in questointervallo le loro funzioni di Riemann di¤eriscono solo per termini lineari. �

Nei teoremi precedenti i coe¢ cienti delle serie tendono a zero. Riemann pre-senta anche esempi di funzioni integrabili in senso generalizzato con coe¢ cientidi Fourier che non convergono a zero:

f (x) =d

dx(x� cos (1=x)) ;Z 2�

0

d

dx(x� cos (1=x)) cos (nx) dx �

p�=2 sin

�2pn+ �=4

�n(1�2�)=4:

21

In�ne Riemann conclude la sua memoria con degli esempi di serie con coef-�cienti che non convergono a zero ma che convergono in in�niti punti:

+1Xn=1

sin (n!�x) :

Ogni 0 � x � 1 ha uno sviluppo in base variabile, x =+1Xk=1

a (k) =k!, con

0 � a (k) < k. Si può dimostrare per induzione chek�1Xn=1

n! � 2 (k � 1)!. Quindi,

+1Xn=1

�����sin n!�

+1Xk=1

a (k)

k!

!������ �

+1Xn=1

n!

+1Xk=n+1

a (k)

k!

!= �

+1Xk=2

a (k)

k!

k�1Xn=1

n!

!� 2�

+1Xk=2

a (k)

k:

Se+1Xk=2

a (k) =k converge, la serie+1Xn=1

sin (n!�x) converge. In particolare, la

serie converge per ogni razionale e in un insieme non numerabile di irrazionali.Accenniamo ad un risultato posteriore a Riemann. Dall�identitàZ +1

�1��1 (1� jx=�j)+ exp (�2�inx) dx

= 2

Z 1

0

(1� y) cos (2�n�y) dy =�sin (�n�)

�n�

�2si ricava che seK� (x) è la periodizzazione di ��1 (1� jx=�j)+, per ogni funzionef (x) periodica e localmente integrabile si ha

+1Xn=�1

�sin (�n�)

�n�

�2 bf(n) exp(2�inx) = Z 1=2

�1=2K� (x� y) f (y) dy:

Da questa rappresentazione integrale segue facilmente che la serie di Fourierdi una funzione continua è Riemann sommabile in ogni punto, e la serie diFourier di una funzione integrabile è Riemann sommabile quasi ovunque.Terminiamo con una congettura formulata da Riemann nel 1861. Secondo

Riemann la funzione de�nita dalla serie+1Xn=1

sin��n2x

�è continua ma non è

derivabile in nessun punto. K.T.W.Weierstrass non riesce a dimostrare la con-

gettura, ma nel 1872 dimostra che+1Xn=1

an cos (�bnx) non è derivabile in nessun

22

punto se 0 < a < 1, b dispari, e ab > 1+3�=2. Nel 1916 G.H.Hardy dimostra lafunzione di Weierstrass non è di¤erenziabile in nessun punto se ab � 1, e la fun-zione di Riemann non è di¤erenziabile nei punti irrazionali e nei razionali dellaforma p=q con p e q non entrambi dispari. In�ne, nel 1970 J.Gerver dimostrache nei punti p=q con p e q dispari la funzione di Riemann ha derivata ��=2.

23

Georg CantorDIMOSTRAZIONE CHE UNA FUNZIONEF(X) DATA PER OGNI VALORE REALEDI X DA UNA SERIE TRIGONOMETRICAHA UNA SOLA RAPPRESENTAZIONE

DI QUESTA FORMA

Se una serie trigonometrica converge uniformemente, la somma è continua,si può integrare termine a termine, ed i coe¢ cienti della serie sono i coe¢ cientidi Fourier, Z 1=2

�1=2

+1X

n=�1a(n) exp(2�inx)

!exp(�2�imx)dx

=+1X

n=�1a(n)

Z 1=2

�1=2exp(2�i (n�m)x)dx = a(m):

Se non c�è convergenza uniforme o in qualche norma integrale, la funzionelimite può non essere integrabile. Ma anche ammesso che lo sia, non è chiarose l�integrazione termine a termine sia lecita. In particolare, non è ovvio seun eventuale sviluppo in serie trigonometrica sia unico. Georg Cantor (1845-1918) ha mostrato che questa unicità è un semplice corollario della teoria delleserie trigonometriche di Riemann e, come sottoprodotto di questo studio, ènata la de�nizione di numero reale come successione di Cauchy di razionali e lateoria degli insiemi. Ma prima di occuparci dell�unicità della rappresentazione inserie trigonometrica, presentiamo una semplice caratterizzazione delle funzioniconvesse.

Teorema: (1) Se F (x)è di¤erenziabile due volte,

lim� 0

�F (x+ �)� 2F (x) + F (x� �)

�2

�=

d2

dx2F (x) :

(2) Una funzione continua è convessa in un intervallo se e solo se per ognix� � nell�intervallo

lim supx 0

�F (x+ �)� 2F (x) + F (x� �)

�2

�� 0:

Dimostrazione: (1) è conseguenza della formula di Taylor

F (x� �) = F (x)� d

dxF (x)�+

d2

dx2F (x)

�2

2+ o

��2�.

24

(2) è una conseguenza di (1) se la funzione è derivabile due volte. Il casogenerale è po�più complicato. Le di¤erenze seconde di funzioni convesse sonopositive,

F (x+ �)�2F (x)+F (x� �) = (F (x+ �)� F (x))�(F (x)� F (x� �)) � 0:

Viceversa, poiché il limite di funzioni convesse è convesso, se F (x) non èconvessa esiste n tale che F (x) + x2=n non è convessa. Quindi per a e b op-portuni la funzione G (x) = F (x) + x2=n� (ax+ b) ha un massimo all�internodell�intervallo. In punto di massimo

G (x+ �)� 2G (x) +G (x� �) � 0:

Ma

G (x+ �)� 2G (x) +G (x� �) = F (x+ �)� 2F (x) + F (x� �) + 2=n > 0: �

Questa caratterizzazione delle funzioni convesse è di H.Schwartz. Invece ilseguente risultato è di Cantor.

Teorema: La rappresentazione di una funzione in serie trigonometrica seesiste è unica. Se una serie trigonometrica

f (x) =+1X

n=�1a (n) exp (2�inx)

converge a zero ovunque, tutti i suoi coe¢ cienti sono nulli. Più in generale,se una serie trigonometrica è Riemann sommabile a zero salvo al più in uninsieme chiuso di eccezioni, se = (0), se (n+1) è l�insieme dei puntidi accumulazione di (n), e se esiste N tale che (N) è vuoto, allora tutti icoe¢ cienti della serie sono nulli.

Dimostrazione: Se f (x) = 0 ovunque, per il primo teorema di Riemann,

lim� 0

�F (x+ �)� 2F (x) + F (x� �)

�2

�= 0:

Questo implica che F (x) è lineare,

F (x) = B + Cx+a (0)

2x2 �

Xn 6=0

a (n)

4�2n2exp (2�inx) = D + Ex:

Per x +1 si ricava a (0) = 0 e poi C = E. In�ne, moltiplicando per unesponenziale ed integrando si ricava B = D e a (n) = 0.Più in generale, se la serie è Riemann sommabile a 0 salvo al più in un

insieme chiuso di eccezioni, allora F (x) è una funzione continua lineare inogni intervallo del complementare di . Ma per il secondo teorema di Riemannla funzione F (x) non ha angoli, quindi se è lineare in due intervalli con un

25

estremo in comune, è lineare anche nell�unione di questi intervalli. Quindi F (x)è una funzione continua lineare in ogni intervallo del complementare di (n) perogni n. �

Studiando gli insiemi di possibili eccezioni per l�unicità della rappresen-tazione in serie trigonometriche, Cantor crea la teoria degli insiemi. All�induzione�nita si può sostituire quella trans�nita. Se è chiuso e se (n+1) è l�insieme deipunti di accumulazione di (n), al limite si ottiene il più grande insieme perfettocontenuto in . Nel 1903 H.Lebesgue mostra che ogni insieme chiuso numer-abile è un insieme di unicità, e nel 1909 W.H.Young mostra che ogni insiemenumerabile è di unicità, se una serie trigonometrica converge a 0 in ogni puntoin R�, allora converge a 0 anche in e tutti i coe¢ cienti della serie sono nulli.Il successo dell�integrale di Lebesgue porta a congetturare una stretta relazionetra misura ed unicità, ma si scopre presto che il problema è più complicato. Nel1916 D.E.Menchov costruisce una misura di probabilità singolare, supportatain un insieme chiuso di misura nulla, con coe¢ cienti di Fourier che tendonoa 0, e con serie di Fourier che converge a 0 in R � . L�insieme di molteplic-ità di Menchov è un insieme di Cantor con rapporti di dissezione variabili, nelpasso n esimo si elimina (n+ 1) = (2n+ 4) degli intervalli precedenti. Menchovdimostra anche che per ogni funzione misurabile �nita e periodica esiste un serietrigonometrica che ci converge quasi ovunque. Nel 1955 R.Salem e A.Zygmunddimostrano che un insieme di Cantor con rapporti di dissezione costanti 1=� èdi unicità se e solo se � è un numero algebrico maggiore di 1 con tutti i co-niugati con modulo minore di 1. Le potenze di questi numeri si avvicinano adegli interi. Le serie di Fourier di funzioni regolari a tratti convergono pun-tualmente dappertutto. Quali altre funzioni che possono essere rappresentateda serie trigonometriche? Come calcolarne i coe¢ cienti? P.du Bois-Reymondnel 1873 costruisce una funzione continua con serie di Fourier che diverge in unpunto, e nel 1877 dimostra che se una funzione integrabile può essere rappre-sentata dalla somma di una funzione trigonometrica allora i coe¢ cienti dellaserie sono precisamente i coe¢ cienti di Fourier. Nel 1922 A.Kolmogorov costru-isce una funzione integrabile con serie di Fourier che diverge quasi ovunque, equattro anni dopo una serie che diverge ovunque. Quindi esistono funzioni inte-grabili che non sono rappresentabili da serie trigonometriche. Ma esistono serietrigonometriche che convergono dappertutto e che non sono serie di Fourier difunzioni integrabili. Un classico esempio di P.Fatou è

+1Xn=2

sin (2�nx)

log (n):

26

UNA SERIE DIEULERO - FOURIERED IL FENOMENO DIWILBRAHAM - GIBBS+1Xn=1

(�1)n+1n

sin(nx) =x

2

­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4

­1.5

­1.0

­0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

Ogni funzione localmente integrabile e periodica di periodo 2� può esserescomposta in serie di Fourier,

'(x) =a02+

+1Xn=1

(an cos(nx) + bn sin(nx)) ;

an =1

�

Z �

��'(x) cos(nx) dx; bn =

1

�

Z �

��'(x) sin(nx) dx:

Sotto opportune ipotesi, veri�cate per ogni funzione ragionevole, la serie con-verge in ogni punto, ma le somme parziali della serie di Fourier di una funzionecon un salto, in un intorno della discontinuità hanno delle rapide oscillazionie, per così dire, mancano il bersaglio per circa il 9% del valore del salto. Per

esempio, sommando i primi m termini della serie x=2 =+1Xn=1

(�1)n+1n

sin(nx),

in un periodo �� < x < � si notano m oscillazioni ed avvicinandosi ai puntidi salto x = �� le oscillazioni divengono più marcate. Questo fenomeno hauna semplice spiegazione, ma è ancora oggetto di studio perché nei processidi approssimazione si cerca spesso di eliminare o almeno di tenere sotto con-trollo queste oscillazioni. Inoltre, questo fenomeno ha una storia interessante epersonaggi importanti vi hanno contribuito. E�questa storia che qui vogliamopresentare.

Il 21 Dicembre 1807, J.B.J.Fourier presenta un manoscritto �Sur la propa-gation de la chaleur� all�Istituto di Francia a Parigi. I risultati sorprendenti manon del tutto giusti�cati causano una vivace controversia tra gli esaminatori,Lacroix, Lagrange, Laplace, Monge. Comunque, una versione riveduta e cor-retta del lavoro, �Théorie du mouvement de la chaleur daps les corps solides�,vince nel 1811 un premio sul problema della di¤usione del calore con la moti-vazione:

�La classe a décerné le prix, d�une valeur de 3000 F, au mémoire enregistrésous le n.2, portant cette épitaphe �Et ignum regunt numeri (Plato)�. Cettepièce renferme les véritables équations di¤érentielles de la transmissions de la

27

chaleur, soit à l�intérieur des corps, soit à leur surface: et la nouveauté dusujet, jointé à son importance, a déterminé la Classe à couronner cet Ouvrage,en observant cependant que la manière dont l�Auteur parvient à ses équationsn�est pas exempte de di¢ cultés, et que son analyse, pour les intégrer, laisseencore quelque chose à desirer, soit relativement à la généralité, soit même ducôté de la rigueur.�

�La classe ha assegnato il premio del valore di 3000 franchi alla memoriaregistrata con il n.2 e sottotitolata �Et ignem regunt numeri (Plato)�. Questamemoria contiene le corrette equazioni di¤erenziali della trasmissione del calore,sia all�interno dei corpi, che sulla loro super�cie: e la novità del soggetto, in-sieme alla sua importanza, hanno determinato la Classe a premiare questo la-voro, osservando tuttavia che il modo con cui l�autore arriva alle sue equazioninon è esente da di¢ coltà, e che la sua analisi, per integrarle, lascia qualcosaa desiderare, sia relativamente alla generalità, sia anche dal punto di vista delrigore.�

Nel 1822 Fourier pubblica la �Théorie analytique de la chaleur�. Per risolveredelle equazioni alle derivate parziali con il metodo di separazione delle variabili,Fourier introduce le serie di seni e coseni che poi prenderanno il suo nome. Nel1827 P.G.L.Dirichlet presenta la prima dimostrazione rigorosa della convergenzadelle serie di Fourier. Esempi speci�ci di sviluppi trigonometrici erano noti dalXVIII secolo e c�erano stati tentativi di A.L.Cauchy, S.D.Poisson ed altri, diprovare questo importante risultato, ma nessuna delle dimostrazioni presentatesembrava essere completamente soddisfacente. In particolare, riferendosi ad unamemoria di Cauchy, Dirichlet scrive:

�L�auteur de ce travail avoue lui même que sa démostration se trouve endéfaut pour certain fonctions pour lesquelle la convergence est pourtant incon-testable. Un examen attentif du Mémoire cité m�a porté a croire que la dé-monstration qui y est exposeé n�est pas même su¢ sante pour les cas auxquellel�auteur la croit applicable.�

�L�autore stesso di questo lavoro confessa che la sua dimostrazione si trova indifetto per certe funzioni per le quali la convergenza è tuttavia incontestabile. Unattento esame della memoria citata mi ha portato a credere che la dimostrazioneesposta non è neppure su¢ ciente per casi ai quali l�autore la crede applicabile.�

Anche se non del tutto soddisfacenti, le dimostrazioni di Fourier, Poisson,Cauchy dell�inversione della trasformata di Fourier sono però convincenti e moltointeressanti. Comunque, questo è l�enunciato del teorema di Dirichlet, �Sur laconvergence des séries trigonométriques qui servent a représenter une fonctionarbitraire entre des limites données�, Crelle, Journal für die Reine und Ange-wandte Mathematik 4, 1829:

28

�Si la fonction '(x), dont toutes les valeurs sont supposées �nies et déter-minées, ne présente qu�un nombre �ni des solutions de continuité entre les lim-ites �� et �, et si en outre elle n�a qu�un nombre determiné de maxima et deminima entre ces même limites, la série

1

2�

Z'(a) da+

1

�

8><>:cosx

Z'(a) cos a da+ cos 2x

Z'(a) cos 2a da+ :::

sinx

Z'(a) sin a da+ sin 2x

Z'(a) sin 2a da+ :::

;

dont les coe¢ cients sont des intégrales dé�nies dépendantes de la fonction '(x),est convergente et a un valeur généralement exprimée par:

1

2['(x+ ") + '(x� ")] ;

où " désigne un nombre in�niment petit. ...On aurait un exemple d�une fonction qui ne remplit pas cette condition, si

l�on supposait '(x) égale à une constante déterminée c lorsque la variable x ob-tient un valeur rationnelle, et égale à une autre constante déterminée d, lorsquecette variable est irrationnelle. La fonction ainsi dé�nie a des valeurs �nieset déterminées pour toute valeur de x, et cependant on ne saurait la substituerdans la série, attendu que les di¤érentes intégrales qui entrent dans cette série,perdraient toute signi�cation dans ce cas.�

�Se la funzione '(x), i cui valori si suppongono �niti e determinati, nonpresenta che un numero �nito di discontinuità tra i limiti �� e �, e se inoltrenon ha che un numero �nito di massimi e minimi tra questi limiti, la serie

1

2�

Z'(a) da+

1

�

8><>:cosx

Z'(a) cos a da+ cos 2x

Z'(a) cos 2a da+ :::

sinx

Z'(a) sin a da+ sin 2x

Z'(a) sin 2a da+ :::

;

i cui coe¢ cienti sono degli integrali de�niti dipendenti dalla funzione '(x), èconvergente ad un valore generalmente espresso da:

1

2['(x+ ") + '(x� ")] ;

dove " denota un numero in�nitamente piccolo...Si ha un esempio di funzione che non soddisfa questa condizione, se si sup-

pone '(x) uguale ad una costante determinata c quando la variabile x assumeun valore razionale, ed uguale ad un�altra costante determinata d quando questavariabile è irrazionale. La funzione così de�nita assume dei valori �niti e de-terminati, tuttavia non si sa come sostituirla nella serie, perché in questo casogli integrali che entrano in questa serie perdono ogni signi�cato.�

In particolare, le serie di Fourier di funzioni con semplici discontinuità con-vergono in ogni punto a queste funzioni. Una serie di funzioni continue può con-vergere ad una funzione discontinua, questo è il paradosso alla base del fenomenodi Gibbs.

29

In una lettera a A.M.Legendre, C.G.J.Jacobi scrive:

�M.Fourier avait l�opinion que le but principal des mathématiques était l�utilitépublique et l�explication des phénomènes naturels; mais un philosophe comme luiaurait dû savoir que le but unique de la science, c�est l�honneur de l�esprit hu-main, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu�une questiondu système du monde.�

�Fourier riteneva che lo scopo principale della matematica fosse la pubblicautilità e la spiegazione dei fenomeni naturali; ma un �losofo come lui avrebbedovuto sapere che l�unico scopo della scienza è l�onore dello spirito umano, esotto questo aspetto un problema di teoria dei numeri ha lo stesso valore delsistema del mondo.�

Di fatto, le serie di Fourier si applicano sia ai numeri, che ai fenomeni natu-rali. Le maree sono un e¤etto delle forze gravitazionali della Luna e del Sole edella rotazione della Terra. Le ampiezze e frequenze delle maree sono legate aisuddetti fenomeni astronomici, distanza, inclinazione dell�orbita sul piano equa-toriale, e alla morfologia della costa e del fondale, ma hanno in�uenza anche, ilvento e la pessione atmosferica,... Se si trascurano questi fenomeni atmosferici,l�altezza della marea si può scomporre in costituenti armoniche A cos (!t� ')con velocità angolari combinazioni di velocità astronomiche:

T = 15 gradi/ora, la rotazione della Terra intorno al suo asse rispetto alSole,

H = 0; 04106864 gradi/ora, la rotazione della Terra intorno al Sole,S = 0; 54901653 gradi/ora, la rotazione della Luna intorno alla Terra,P = 0; 00464183 gradi/ora, la precessione del perigeo della Luna,N = �0; 00220641 gradi/ora, la precessione del piano dell�orbita della Luna.Per esempio, la rotazione della Terra rispetto al cielo delle stelle �sse è T+H,

ed il cambio di longitudine della Luna è T + H � S. Le forze di marea dellaLuna sono circa doppie di quelle del Sole. La velocità angolare con ampiezzamaggiore èM2 = 2T+2H�2S, seguita da S2 = 2T . Conoscendo le frequenze !,e monitorando le maree su un opportuno intervallo di tempo, si possono stimarele ampiezze A ed i ritardi di fase ', e prevedere le maree future

XA cos (!t� ').

Di fatto, se le frequenze non sono commensurabili tra loro, la serie è quasiperiodica.

30

ThomsonTide Predicting Machine

Nel 1872 W.Thomson, Lord Kelvin, progetta e costruisce una �Tide Predict-ing Machine�, che somma �no a 10 componenti di marea, e versioni perfezionatedi questa apparecchiatura sono rimaste in uso �no all�avvento dei calcolatorielettronici. Queste macchine meccaniche calcolano i coe¢ cienti di Fourier diuna funzione data e, viceversa, a partire dai coe¢ cienti disegnano la funzione.Nella rivista �Nature�, 3 Febbraio 1898, troviamo una breve descrizione di unodi questi analizzatori armonici.

�A new harmonic analiser, by A.A.Michelson and S.W.Stroud. This is aninstrument designed to sum up as many as eighty terms of a Fourier series, orto analise a given curve into its original series. The pen which traces the curveis worked up and down by a lever controlled by a spring. This spring is stretchedby an excentric, which imparts a �simple harmonic�variation to the force. Thestretching is resisted by another spring. Eighty such elements are connectedtogether, with one resisting spring to counterbalance the sum of the elementarysprings. The pen therefore moves in accordance with the sum of the elementaryperiodic motions. The authors obtain by this machine the mathematical seriesrepresenting the pro�le of a human face.�

�Un nuovo analizzatore armonico, di A.A.Michelson e S.W.Stroud. Questoè uno strumento progettato per sommare �no ad ottanta termini di una seriedi Fourier, o per analizzare una data curva nella sua serie. Il pennino chetraccia la curva è mosso su e giù da una leva controllata da una molla. Questamolla è tesa da un eccentrico che fornisce una variazione �armonica semplice�alla forza. La tensione è controbilanciata da un�altra molla. Ottanta di questielementi sono connessi insieme, con una molla che controbilancia la sommadelle molle elementari. Il pennino quindi si muove in accordo con la somma deimoti periodici elementari. Con questa macchina gli autori ottengono la seriematematica che rappresenta il pro�lo di una faccia umana.�

�Nature�prosegue poi con �Un esame delle velocità registrate dei cavalli datrotto americani, con osservazioni sul loro valore come dato ereditario�. E�unostudio su 5703 cavalli che hanno corso un miglio in meno di 2�30�.

31

Il �sico Michelson, probabilmente motivato da esperimenti con questo anal-izzatore armonico, in una lettera a �Nature�, 6 Ottobre 1898, critica l�asserzionedei matematici che la serie di Fourier di una funzione converge a questa funzioneanche in un intorno di una discontinuità.

�In all expositions of Fourier series which have come to my notice, it isexpressly stated that the series can represent discontinuous functions. The ideathat a real discontinuity can replace a sum of continuos curves is so utterly atvariance with the physicists�notion of quantity, that it seems to me worth whilegiving a very elementary statement of the problem in such simple form that themathematicians can at once point to the inconsistency if any there be.Consider the series

y = 2

�sinx� 1

2sin 2x+

1

3sin 3x� :::

�:

In the language of the text-books (Byerly�s �Fourier�s Series and SphericalHarmonics�) this series �coincides with y = x from x = �� to x = �... More-over the series in addition to the continuous portions of the locus ... gives theisolated points (��; 0) (�; 0) (3�; 0), &c.�If for x in the given series we substitute x+ " we have, omitting the factor

2,

�y = sin "+ 12sin 2"+

1

3sin 3"+ :::+

1

nsinn"+ :::

This series increases with n until n" = �. Suppose therefore " = k�=n,where k is a small fraction. The series will now be nearly equal to n" = k�, a�nite quantity even if n = 1. Hence the value of y in the immediate vicinityof x = � is not an isolated point y = 0, but a straight line �y = nx.The same result is obtained by di¤erentiation, which gives

�dydx= cosx� cos 2x+ cos 3x� :::

Putting x = � + " this becomes

�dydx= cos "+ cos 2"+ cos 3"+ :::

which is nearly equal n to for values of n" less than k�. It is di¢ cult to seethe meaning of the tangent if y were an isolated point.Albert A.Michelson.�

�In tutte le esposizioni sulle serie di Fourier che mi sono note, si dice espres-samente che la serie può rappresentare una funzione discontinua. L�idea che unadiscontinuità può rimpiazzare la somma di curve continue è così in totale con-trasto con la nozione di quantità dei �sici, che mi sembra opportuno dare unaelementare esposizione del problema in una forma così semplice che i matematicine possano mostrare l�inconsistenza se presente.

32

Consideriamo la serie

y = 2

�sinx� 1

2sin 2x+

1

3sin 3x� :::

�:

Nel linguaggio del libro di testo (Byerly �Fourier�s Series and Spherical Har-monics�) questa serie �coincide con y = x da x = �� a x = �... Inoltre laserie oltre al luogo continuo di punti... dà i punti isolati (��; 0) (�; 0) (3�; 0),&c.�Se per x nella data serie sostituiamo x+ " otteniamo, omettendo il fattore

2,

�y = sin "+ 12sin 2"+

1

3sin 3"+ :::+

1

nsinn"+ :::

Questa serie cresce con n �no a n" = �. Supponiamo quindi " = k�=n, conk piccolo. La serie sarà ora quasi uguale a n" = k�, una quantità �nita anchequando n =1. quindi il valore di y nelle immediate vicinanze di x = � non èun punto isolato y = 0, ma una linea retta �y = nx.Lo stesso risultato si può ottenere per di¤erenziazione,

�dydx= cosx� cos 2x+ cos 3x� :::

Ponendo x = � + " questo diventa

�dydx= cos "+ cos 2"+ cos 3"+ :::

che è quasi uguale a n per valori di n" minori di k�. E�di¢ cile vedere il sensodella tangente se y è un punto isolato.Albert A.Michelson.�

Una risposta a Michelson viene da A.E.H.Love con due lettere a �Nature�,13 Ottobre 1898 e 29 Dicembre 1898. La prima lettera è piuttosto brusca escortese.

�If there are physicists who hold �notions of quantity�opposed to the math-ematical result that the sum of an in�nite series of continuous functions mayitself be discontinuous, they woud be likely to pro�t by reading some standardtreatise dealing with the theory of in�nite series... Neither of these statementsis correct... The processes employed are invalid... It is not legitimate...�

�Se ci sono �sici che sostengono �nozioni di quantità� opposte al risultatomatematico che la somma di una serie in�nita di funzioni continue può es-sere essa stessa essere discontinua, questi trarrebbero probabilmente pro�tto dalleggere qualche trattato di base sulla teoria delle serie in�nite... Nessuna diqueste a¤ermazioni è corretta... I metodi impiegati non sono validi... Non èlegittimo...�

33

Nella seconda lettera Love spiega la di¤erenza tra convergenza puntuale eduniforme.

�This peculiarity is always presented by a series whose sum is discontinuous:in the neighbourhoodof the discontinuity the series do not converge uniformly,or the sums of the �rst n terms is always appreciably di¤erent from the graphof the limit of the sum.�

�Questa peculiarità è sempre presente in una serie la cui somma è discon-tinua: in un intorno della discontinuità la serie non converge uniformemente,o la somma dei primi n termini di¤erisce in modo apprezzabile dal gra�co dellimite della somma�

Anche se questa a¤ermazione è formalmente corretta, di fatto Love nonprende seriamente in considerazione il punto di vista di Michelson. Michelsonreplica brevemente con una lettera a �Nature�, 29 Dicembre 1898. Quindi, indue lettere a �Nature�, 29 Dicembre 1898 e 27 Aprile 1899, J.W.Gibbs chiariscela di¤erenza tra

�... the limit of the graphs... and the graph of the limit...�

�... il limite dei gra�ci... e il gra�co del limite...�

Se la serie di Fourier converge, il gra�co del limite è il gra�co della fun-zione, ma se la funzione è discontinua il limite dei gra�ci delle somme parziali èdi¤erente dal gra�co della funzione limite.Come Michelson, anche Gibbs considera la serie di Fourier della funzione

y = x in�� < x < �. La periodicizzata di questa funzione è una funzione linearea tratti con salti da +� a �� nei punti x = � + 2k�, questa funzione è dettadente di sega. La prima lettera di Gibbs contiene un errore e non fa menzionedel fatto che le somme parziali della serie di Fourier mancano il bersaglio percirca il 9% del salto, mentre la seconda lettera descrive con precisione, masenza dimostrazioni, il limite dei gra�ci delle somme parziali. Questo limiteè una linea a zigzag formata alternativamente da segmenti centrati nei punti(2k�; 0) e inclinati di 45o, e da segmenti verticali centrati in (� + 2k�; 0). I

segmenti verticali sono lunghi 4Z �

0

sin(x)

xdx = 7; 407748::: e si estendono oltre

il punto di intersezione con i segmenti inclinati. Il rapporto tra questo numero

e l�ammontare del salto è7; 407748:::

6; 283185:::= 1; 178979:::, quindi le somme parziali

mancano il bersaglio di circa il 9%, per eccesso in x = � � " e per difetto inx = � + ".

34

Il grafico del limite

­3 ­2 ­1 1 2 3

­1

1

x

y

Il limite dei grafici

­3 ­2 ­1 1 2 3

­2

­1

1

2

x

y

Come abbiamo detto, la lettera di Gibbs contiene una precisa descrizione delfenomeno, ma senza alcuna dimostrazione. Dopo tre settimane troviamo ancorauna difesa del punto di vista di Michelson in un�altra lettera a �Nature�, 18Maggio 1899.

�I have M.Poincaré authority to publish the accompanying note regarding theapplicability of Fourier�s series to discontinuous functions, and send it accord-ingly for pubblication in Nature.A.A.Michelson.

Mon cher collègue, comme je l�avais prévenu vous avez tout à fait raison.

Prenons d�abord l�integraleZ y

0

sinxz

xdx, dont la limite pour y = 1 est �=4,

0, ��=4 selon que z est positif, nul ou négatif. Faisons maintenant tendresimultanément z vers 0 et y vers l�in�ni de telle façon que zy tende vers a. La

limite seraZ a

0

sinx

xdx qui peut prendre toutes valeurs possibles depuis 0 jusqu�àZ �

0

sinx

xdx. Si prenons maintenant n termes de la série

X sin kz

zen faisant

tendre simultanément z vers 0 et n vers l�in�ni de telle façon que le produitnz tende vers a, cela sera évidemment la même chose; et la di¤érence entre lasomme et l�integrale sera d�autant plus petîte que z sera plus petît. Cela se voitaisément. Tout à vous,Poincaré.

�Ho il permesso del Sig. Poincaré di pubblicare la seguente nota sull�applicabilitàdelle serie di Fourier a funzioni discontinue, e la invio per la pubblicazione suNature.A.A.Michelson.

Mio caro collega, come avevo previsto voi avete del tutto ragione. Per com-

inciare prendiamo l�integraleZ y

0

sinxz

xdx, il cui limite per y = 1 è �=4, 0,

��=4 (�=2?) a seconda che z è positivo, nullo o negativo. Facciamo ora ten-dere simultaneamente z verso 0 e y verso l�in�nito in modo tale che zy tenda

35

verso a. Il limite saràZ a

0

sinx

xdx che può prendere tutti i valori da 0 �no aZ �

0

sinx

xdx. Se prendiamo ora n termini della serie

X sin kz

z

�X sin kz

k?

�facendo tendere simultaneamente z verso 0 e n verso l�in�nito in modo taleche il prodotto nz tenda verso a, questo sarà evidentemente la stessa cosa; e ladi¤erenza tra la somma e l�integrale sarà tanto più piccola quanto z sarà piùpiccolo. Questo si vede facilmente. Vostro,Poincaré.

Probabilmente Poincaré ha scritto la lettera di getto e non la ha neancheriletta, infatti contiene un paio di errori. La lettera di Poincaré su Nature èseguita da �Una nota su dei lombrichi fosforescenti�.

La serie+1Xk=1

sin(kx)

k=

+1Xk=1

(�1)k+1k

sin(k(��x)) è lo sviluppo della funzione

� � x2

nell�intervallo 0 < x < 2� e in zero c�è un salto di �. Le somme parzialinXk=1

sin(kx)

kse x = a=n sono somme di Riemann dell�integrale

Z a

0

sin(t)

tdt,

nXk=1

sin(ka=n)

k=

nXk=1

sin(ka=n)

(ka=n)� (a=n) �

Z a

0

sin(t)

tdt:

Più precisamente, se n! +1 e x! 0+,

nXk=1

sin(kx)

k=� � x2

�Z +1

nx

sin(t)

tdt+ o(1):

Ricordiamo cheZ +1

0

sin(t)

tdt =

�

2= 1; 570796:::, il massimo dell�integraleZ a

0

sin(t)

tdt si ha per a = �,

Z �

0

sin(t)

tdt = 1; 851937:::

Dopo gli interventi di Gibbs e di Poincaré c�è un�ultima lettera di Love su�Nature�, 1 Giugno 1899. Si ribadisce che il fenomeno osservato da Michelson èparadossale solo se non si chiarisce il signi�cato di somma di una serie in�nita,ma il tono di questa lettera è più cortese delle precedenti.Di fatto, cinquant�anni prima di Gibbs, questo fenomeno è stato descritto

con precisione da H.Wilbraham, �On a certain periodic function�, Cambridge& Dublin Mathematical Journal 3, 1848). Wilbraham considera la funzione

y = cos(x)� cos(3x)3

+cos(5x)

5� :::

che prende alternativamente i valori ��=4 e descrive una onda quadra. Il com-portamento delle somme parziali della serie di Fourier dell�onda quadra è deltutto analogo a quello dell�onda triangolare. Più in generale, la serie di Fourier

36

di una funzione a variazione limitata in un intorno di una discontinuità presentail fenomeno di Gibbs. Questo segue dal teorema di convergenza di Dirichlet. Sef(x) e g(x) sono due funzioni a variazione limitata con un salto in x = a e sef(x)�g(x) è continua in un intorno di a, allora la serie di Fourier di f(x)�g(x)converge uniformemente in un intorno di a. In particolare, le serie di Fourier dif(x) e g(x) hanno lo stesso comportamento in un intorno di a. Per funzioni nona variazione limitata c�è ancora un fenomeno di Gibbs, ma le oscillazioni dellesomme parziali sono più marcate e possono mancare il bersaglio di più del 9%.

+1Xn=0

(�1)n2n+ 1

cos((2n+ 1)x) =8<: �=4 se jxj < �=2;0 se jxj = �=2; �;��=4 se �=2 < jxj < �:

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­0.8­0.6­0.4­0.2

0.20.40.60.8

x

y

Abbiamo accennato al fatto che nelle applicazioni si cerca a volte di smorzarele oscillazioni delle somme parziali di Fourier in un intorno delle discontinu-ità. Un possibile modo di procedere è quello di considerare opportune medieche pesano meno le frequenze alte rispetto a quelle basse. Nel gra�co sonorappresentate la funzione x=2, le somme parziali della sua serie di Fourier10Xn=1

(�1)n+1n

sin(nx) e le medie di Fejér10Xn=1

11� n11

(�1)n+1n

sin(nx).

x

2;

10Xn=1

(�1)n+1n

sin(nx);

10Xn=1

11� n11

(�1)n+1n

sin(nx):

0 1 2 30.0

0.5

1.0

1.5

x

y

Il fenomeno di Gibbs non è una particolarità delle serie trigonometriche, maè una patologia presente in molti processi di approssimazione. Molti sistemi difunzioni speciali, per esempio i polinomi di Legendre o di Jacobi o le funzioni diBessel, hanno dei semplici sviluppi asintotici in termini di funzioni trigonomet-riche ed il comportamento degli sviluppi in serie con queste funzioni speciali nonè troppo di¤erente dagli sviluppi in serie trigonometriche. Nel 1908 C.J. de la

37

Vallée Poussin considera un analogo del fenomeno di Gibbs nell�interpolazionecon polinomi trigonometrici o con funzioni intere di tipo esponenziale �nito. Nel1910 H.Weyl studia il fenomeno di Gibbs per sviluppi in armoniche sferiche. Poiil numero di lavori su questo fenomeno si moltiplica.Avremmo ancora parecchio da dire su questo argomento, ma invece che

andare avanti con la storia del fenomeno di Gibbs, preferiamo tornare indietrocon la storia delle serie di Fourier. In particolare, andando a ritroso nel tempo

vogliamo presentare qualche curiosità sulla serie+1Xn=1

(�1)n+1n

sin(nx).

Nel 1826 N.H.Abel pubblica un lavoro sulla formula del binomio (1 + x)� =+1Xn=0

��n

�xn e dimostra che una serie di potenze è una funzione continua sui raggi

del cerchio di convergenza.Considerando la serie di Taylor del logaritmo nel piano complesso

log(1 + z) = log j1 + zj+ iArg(1 + z) =+1Xn=1

(�1)n+1n

zn:

Ponendo z = cos(x) + i sin(x), si ottengono le serie

logp2 + 2 cos(x) = �

+1Xn=1

(�1)nn

cos(nx);

x

2=

+1Xn=1

(�1)n+1n

sin(nx):

Niels Henrik Abel �Recherches sur la série

1 +m

1x+

m(m� 1)1 � 2 x2 +

m(m� 1)(m� 2)1 � 2 � 3 x3 + :::etc:�

Crelle, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1, 1826.

�L�exellent ouvrage de M.Cauchy �Cours d�analyse de l�école polytechnique�qui doit être lu par tout analyste qui aime la riguer dans les recherches mathé-matiques, nous servira de guide...Dans l�ouvrage cité de M. Cauchy on trouve le théorème suivant:�Lorsque les di¤érent termes de la série, u0 + u1 + u2 + :::etc: sont des

fonctions d�une même variable x, continues par rapport à cette variable dansle voisinage d�une valeur particulière pour laquelle la série est convergente, lasomme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière,fonction continue de x.�Mais il me semble que ce théorème admet des exceptions. Par example la

sériesin'� 1

2sin 2'+

1

3sin 3'� :::etc:

38

est discontinue pour tout valeur (2m + 1)� de ', où m est un nombre entier.Il y a, comme en sait, plusieurs séries de cette espèce...

1

2log�1 + 2� cos'+ �2

�= � cos'� 1

2�2 cos 2'+

1

3�3 cos 3'� etc:

arc:tang

�� sin'

1 + � cos'

�= � sin'� 1

2�2 sin 2'+

1

3�3 sin 3'� etc:

Pour avoir les sommes de ces séries lorsque � = +1 ou �1, il faut seulementfaire � converger vers cette limite.�

�L�eccellente opera del Sig. Cauchy �Corso d�analisi della scuola politecnica�che deve essere letta da ogni analista che ami il rigore nelle ricerche matem-atiche, ci servirà da guida...Nell�opera citata del Sig. Cauchy si trova il seguente teorema:�Quando i diversi termini della serie, u0+u1+u2+:::etc: sono delle funzioni

di una stessa variabile x, continue rispetto a questa variabile in un intorno diun valore particolare per il quale la serie è convergente, anche la somma s dellaserie è, nell�intorno di questo valore particolare, funzione continua di x.�Ma mi sembra che questo teorema ammetta delle eccezioni. Per esempio la

seriesin'� 1

2sin 2'+

1

3sin 3'� :::etc:

è discontinua per ogni valore (2m+ 1)� di ', dove m è un numero intero. Cisono, come è noto, parecchie serie di questo tipo...

1

2log�1 + 2� cos'+ �2

�= � cos'� 1

2�2 cos 2'+

1

3�3 cos 3'� etc:

arc:tang

�� sin'

1 + � cos'

�= � sin'� 1

2�2 sin 2'+

1

3�3 sin 3'� etc:

Per avere le somme di queste serie quando � = +1 o �1, basta solamentefare convergere � verso questo limite.�

Nel 1807 Fourier introduce le serie che poi prenderanno il suo nome e pre-senta vari esempi di sviluppi trigonometrici. Tra questi troviamo lo sviluppo+1Xn=1

(�1)n+1n

sin(nx) = x=2.

Jean Baptiste Joseph Fourier �Sur la propagation de la chaleur�, mano-scritto presentato il 21 Dicembre 1807 al Institut de France, Paris.

�Soit par example

y = sin :x� 12sin :2x+

1

3sin :3x� 1

4sin :4x:::+

1

m� 1 sin :m� 1x�1

msin :mx

39

(m étant un nombre pair quelconque), on tire de cette équation

dy

dx= cos :x� cos :2x+ cos :3x� cos :4x:::+ cos :m� 1x� cos :mx:

Si l�on multiplie les deux membres par 2 sin :x on aura

2dy

dxsin :x = ::: = sin :x� 2 cos :(m+ 1

2)x sin :

1

2x:

Donc

dy

dx=1

2�cos :(m+ 1

2 )x sin :12x

sin :x=1

2�cos :(m+ 1

2 )x

2 cos : 12x:

On a donc

y =1

2x�

Zcos :(m+ 1

2 )x

2 cos : 12xdx = C +

1

2x� 1

2

1

m+ 12

sin :(m+ 12 )x

2 cos : 12x+&c:;

et si m est in�ni on aura

y = C +1

2x:

La valeur de y etant nulle en même temp que x, la constante est nulle etl�on trouve

1

2x = sin :x� 1

2sin :2x+

1

3sin :3x� 1

4sin :4x+ :::&c:;

équation connue qui a été remarquée par Euler.... Il est essentiel d�observer à l�égard de toutes ces séries que les équations

qui la contiennent n�ont point lieu de la même manière toutes les valeurs dela variable, et que les valeurs des séries in�nie de sinus ou de cosinus d�arcschangent de signes subitement.... Quant à la fonction

sin :x� 12sin :2x+

1

3sin :3x� 1

4sin :4x+ :::&c:;

elle donne la valeur1

2x tant que l�arc x est plus grand que zéro et moindre que

�. Elle devient nulle subitement à la �n de cet interval et au-delà elle reprendeles valeurs précédentes avec le signe contraire. Ainsi l�équation

1

2x = sin :x� 1

2sin :2x+

1

3sin :3x� 1

4sin :4x+ :::&c:;

appartient à une ligne composée des parallèles inclinée aa...bb...cc... &c. et desdroites perpendiculaires ab, bc, cd,... &c.

�Sia per esempio

y = sin :x� 12sin :2x+

1

3sin :3x� 1

4sin :4x:::+

1

m� 1 sin :m� 1x�1

msin :mx

40

(essendo m un numero pari qualunque), da questa equazione si ricava

dy

dx= cos :x� cos :2x+ cos :3x� cos :4x:::+ cos :m� 1x� cos :mx:

Se si moltiplicano i due membri per 2 sin :x si avrà

2dy

dxsin :x = ::: = sin :x� 2 cos :(m+ 1

2)x sin :

1

2x:

Dunque

dy

dx=1

2�cos :(m+ 1

2 )x sin :12x

sin :x=1

2�cos :(m+ 1

2 )x

2 cos : 12x:

Si ha dunque

y =1

2x�

Zcos :(m+ 1

2 )x

2 cos : 12xdx = C +

1

2x� 1

2

1

m+ 12

sin :(m+ 12 )x

2 cos : 12x+&c:;

e se m è in�nito si avrà

y = C +1

2x:

Il valore di y essendo nullo nello stesso tempo di x, la costante è nulla e sitrova

1

2x = sin :x� 1

2sin :2x+

1

3sin :3x� 1

4sin :4x+ :::&c:;

equazione nota che è stata trovata da Eulero.... E�essenziale osservare riguardo a tutte queste serie che le equazioni che le

contengono non hanno a¤atto luogo nella stessa maniera per tutti i valori dellavariabile, e che i valori delle serie in�nite di seni e coseni di arco cambiano disegno all�improvviso.... Quanto alla funzione

sin :x� 12sin :2x+

1

3sin :3x� 1

4sin :4x+ :::&c:;

questa assegna il valore1

2x quando l�arco x è maggiore di zero e minore di

�. Questa diviene all�improvviso nulla alla �ne di questo intervallo e al di làriprende i valori precedenti con il segno contrario. Così l�equazione

1

2x = sin :x� 1

2sin :2x+

1

3sin :3x� 1

4sin :4x+ :::&c:;

appartiene ad una linea composta di parallele inclinate aa...bb...cc... &c. e dirette perpendicolari ab, bc, cd,... &c.�

Fourier attribuisce a L.Eulero la scoperta, nel 1754, della relazionex

2=

+1Xn=1

(�1)n+1n

sin(nx). Per il lettore italiano non è di¢ cile decifrare l�originale

latino.

41

Leonhardo Eulero �Subsidium calculi sinuum�, Novi Commentarii Acad-emiae Scientiarum Petropolitanae 5, 1754/1755.

�Theorema. Si assignari queat summa huius seriei

Azm +Bzm+n + Czm+2n +Dzm+3n + Ezm+4n + etc: = Z;

semper quoque exhiberi poterunt summae harum serierum

A cos :m'+B cos :(m+ n)'+ C cos :(m+ 2n)'+D cos :(m+ 3n)'+ etc:;

A sin :m'+B sin :(m+ n)'+ C sin :(m+ 2n)'+D sin :(m+ 3n)'+ etc:

Demonstratio. Ponantur summae harum serierum

A cos :m'+B cos :(m+ n)'+ C cos :(m+ 2n)'+D cos :(m+ 3n)'+ etc: = S;

A sin :m'+B sin :(m+ n)'+ C sin :(m+ 2n)'+D sin :(m+ 3n)'+ etc = T;

sitque ut supra

cos :'+p�1 sin :' = u et cos :'�

p�1 sin :' = v ;

eritcos :�'+

p�1 sin :�' = u� et cos :�'+

p�1 sin :�' = vv .

Hinc ergo erit

S + Tp�1 = Aum +Bum+n + Cum+2n +Dum+3n + etc: = U;

S � Tp�1 = Avm +Bvm+n + Cvm+2n +Dvm+3n + etc: = V:

Summae scilicet harum serierum U et V per hypothesin dantur, cum U etV tales sint functiones ipsarum u et v, qualis functio Z est ipsius z. Hincitaque elicitur

S =U + V

2et T =

U � V2p�1

,

ideoque summae propositarumserierum S et T innotescunt. Q.E.D.

Corollarium. Cum sit

zm + azm+n + a2zm+2n + a3zm+3n + etc: =zm

1� azn ;

... Sit m = 1 et n = 1; erit

cos :'+ a cos :2'+ a2 cos :3'+ a3 cos :4'+ etc: =cos :'� a

1 + aa� 2a cos :' ;

... Sin autem sit a = �1, erit

cos :'� cos :2'+ cos :3'� cos :4'+ etc: = 1

2;

42

... Illa autem series per d' multiplicata et integrata dat

sin :'� 12sin :2'+

1

3sin :3'� 1

4sin :4'+

1

5sin :5'� etc: = '

2;

ubi additione constantis non est opus, cum posito ' = 0 summa sponte evanescat.�

Cioè, se siamo capaci di sommare una serie di potenze, siamo anche capaci disommare le serie trigonometriche corrispondenti. Se z = r (cos(#) + i sin(n#)),

+1Xn=0

cnzn =

+1Xn=0

cnrn cos(n#) + i

+1Xn=0

cnrn sin(n#):

Eulero non si preoccupa nel prendere valori di z sul bordo del cerchio diconvergenza della serie e questo lo porta a considerare delle serie divergenti chepoi integra e deriva a piacimento. Sentiamo cosa ne pensa J.d�Alembert:

�Devo confessare che tutti i ragionamenti ed i calcoli fondati su serie chenon sono convergenti o che si può supporre non essere tali, mi sembrano sempremolto sospetti.�

E Abel rincara la dose:

�Le serie divergenti sono una invenzione del demonio ed è una disgraziafondarci sopra delle dimostrazioni.�

Comunque, proprio con i risultati di Abel non è di¢ cile rendere rigorosi gliargomenti di Eulero. La serie 1=2 � cos(x) + cos(2x) � cos(3x) + ::: è la seriedi Fourier della misura che associa massa � ad ogni punto (2n + 1)�. Questaserie converge nel senso delle distribuzioni e le operazioni di di¤erenziazione edintegrazione termine a termine sono lecite.Eulero non disdegna di tornare più volte sulle sue conquiste ed in un altro

lavoro riottiene questi sviluppi trigonometrici come limite di processi di inter-polazione.

Leonhardo Eulero �De eximio uso methodi interpolationum in serierumdoctrina�, Opuscula Analytica 1, 1783.

�Si enim quaeratur eius modi aequatio inter binas variabiles x et y, utsumpto x = 0, a, b, c, d, e etc. �at y = 0, p, q, r, s, t etc., aequatio haecin genere ita repraesentari poterit

y

x=p

a� bb� xxbb� aa �

cc� xxcc� aa �

dd� xxdd� aa �

ee� xxee� aa � etc:

+q

b� aa� xxaa� bb �

cc� xxcc� bb �

dd� xxdd� bb �

ee� xxee� bb � etc:

+r

c� aa� xxaa� cc �

bb� xxbb� cc �

dd� xxdd� cc �

ee� xxee� cc � etc:

+s

d� aa� xxaa� dd �

bb� xxbb� dd �

cc� xxcc� dd �

ee� xxee� dd � etc:+ etc:;

43

ex qua forma simul manifestum est, quomodo sigulis conditionibus satis�at.... Progrediantur arcus a, b, c, d, etc. secundum seriem numerorum nat-

uralium sitque a = ', b = 2', c = 3', d = 4', etc. in in�nitum: ex quorumsinibus p, q, r, etc veram longitudinem arcus ' determinari oporteat.Solutio ergo problematis pro hoc casu suppediat hanc equationem

' =sin :'

1� 2 � 21 � 3 �

3 � 32 � 4 �

4 � 43 � 5 �

5 � 54 � 6 � etc:

� sin :2'2

� 1 � 11 � 3 �

3 � 31 � 5 �

4 � 42 � 6 �

5 � 53 � 7 � etc:

+sin :3'

3� 1 � 12 � 4 �

2 � 21 � 5 �

4 � 41 � 7 �

5 � 52 � 8 � etc:

� sin :4'4

� 1 � 13 � 5 �

2 � 22 � 6 �

3 � 31 � 7 �

5 � 51 � 9 � etc:

+sin :5'

5� 1 � 14 � 6 �

2 � 23 � 7 �

3 � 32 � 8 �

4 � 43 � 7 � etc:+ etc:;

omnia autem haec producta eundem reperiendum habere valorem = 2, ita ut sit

1

2' = sin :'� 1

2sin :2'+

1

3sin :3'� 1

4sin :4'+

1

5sin :5'� etc:;

cuius seriei veritas casu, quo angulus ' est in�nite parvus, per se est manifesta.Evolvamus ergo casus seguentes:Sit ' = 90o =

�

2ac prodit series Leibniziana

�

4= 1� 1

3+1

5� 17+1

9� etc:;

... Circa seriem invenita1

2' = sin :' � 1

2sin :2' +

1

3sin :3' � etc: dubium

oriri potest, quod sumto arcu ' = 180o = � singuli seriei termini evanescant

ideoque summa nequeat1

2� aequari. Verum ad hoc dubium solvendum statuatur

primo ' = � � ! et resultabit haec equatio

� � !2

= sin :! +1

2sin :2! +

1

3sin :3! +

1

4sin :4! + etc:

nunc vero arcus ! in�nite parvus sumatur, unde adipiscimur hanc� � !2

=

!+!+!+!+ etc:, quae nihil amplius continet absurdi. Quod idem tenendumest, si velimus accipere ' = 2� vel ' = 2� etc.�

44