TEMA 4 TransformadaDeLaplace

5/24/2018 TEMA 4 TransformadaDeLaplace

1/32CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Transformada deTransformada de LaplaceLaplace



Transformada de Laplace

[ ]

Laplacedecomplejale variabjs

dte)t(f)s(F)t(f0

st

+=

==

L

f(t) funcin temporal

f(t) = 0 para t < 0t

f(t)

[ ] [ ]

)s(G)s(F

)t(g)t(f

)t(gf(t)si

=

==LL Cambio de

variable t s




Si la ecuacin algebraica se resuelve en s, se puede

encontrar la solucin de la ecuacin diferencial(Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla detransformadas, o bien mediante la tcnica de expansin en

fracciones parciales.

La Transformada de Laplace es un mtodo operacional que

puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas

de una variable complejas

.




[ ] [ ])s(G)s(F

)t(g)t(f

)t(gf(t)si

==

=

LL

Cambio de

variable t s

Resolucin del problema en el dominio s X(s)

Interpretacin y expresin de la solucin en el

dominio t

Cambio de

variable s t[ ]

==j

j

st1 dse)s(X)s(X)t(x L


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CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Transformada de LaplaceDominio temporal Dominio de Laplace

Tomar(TABLA)

Tomar-1

(TABLA)

PASO 4

PASO 1

Factorizar D(s)

Descomponer en

fracciones simples

PASO 3

Resolver

Y(s)=N(s) / D(s)

PASO 2

Solucin

y (t)

Cond. Inic.

Ec.Dif.Ord.


6/32


Propiedades de la T. Laplace (I)

[ ]

s

)(f

s

)s(F

dt)t(f

dt

)(df)(sf)s(Fs

dt

)t(fd)(f)s(sF

dt

)t(df

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

)(t +

=

=

=

+=+

0

000

1

0

22

2

L

LL

L

Linealidad

Diferenciacin en el dominio del tiempo

[ ] ==0

stdte)t(f)s(F)t(fL

Integracin en el dominio del tiempo


7/32


Propiedades de la T. Laplace (II)

)s(sFlim)t(flim0st

=

[ ] )s(Fe)dt(f sd

=- -

L

Desplazamiento en el tiempo

Teorema del valor final

Teorema de convolucin

NOTA: Este teorema slo es vlido si s F(s) no tienepolos sobre el eje imaginario o con parte real positiva.

Es vlido solamente si, existe

lim f t t ( )

Teorema del valor inicial

sF(s)limf(t)lim s0t =

)s(G)s(Fd)t(g)(f0

=

-t

L


8/32


Propiedades de la T. Laplace (III)Transformacin de variables. Cambio de escala

Traslacin en el campo complejo

( )[ ] s)F(t/fL =

( )[ ] ( )

s/F1

tfL =: Constante positiva

[ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 =

(t)fe(t)f 1t2m=

: Constante

Diferenciacin en el campo complejo

[ ] dsdF(s)

tf(t)L =


9/32


Propiedades I

[ ]

[ ] [ ] )s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

0

st

0

st

0

st +=+=+=+

+=+

L

L

[ ] )s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt

)t(df

dt

)t(df

dtsedu)t(fveudtdt

)t(dfdvduvuvdvu

dtedt

)t(df

dt

)t(df)0(f)s(sF

dt

)t(df

0

st

00

stst

stst

0

st

+=+==

=====

=

=

L

LL

[ ]

==0

stdte)t(f)s(F)t(fL


10/32


Propiedades II[ ]

[ ]

)s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f

t;d0tdtdte)dt(f)dt(f

)s(Fe)dt(f

sd

0

ssd

0

ssd

d

)d(s

0

st

0

st

sd

+

====

======

=

L

L

)(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f

)0(fdttd

)t(fd)0(fdte

td

)t(fdlim)s(sFlim

)0(fdtetd

)t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim

0

00

st

0s0s

0

st

0st

=+=+=

=+=+=

+==


11/32


Propiedades III

)s(G)s(Fde)(gde)(f

de)(gde)(fde)(gde)(f

dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f

t;0tt

dted)t(g)(fd)t(g)(f

)s(G)s(Fd)t(g)(f

0

s

0

s

s

0

ss

0

s

0

)(s

0 0

st

0

st

0

0

st

00

0

=

=

=

=

=

=

=

=

=====

=

=

+

L

L


12/32


Transformada de Laplace de

funciones bsicas (I)

[ ]sk

sekdtkedte)t(f)s(F)t(f

0

st

0

st

0

st =====

L

f(t) funcin escaln

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = k para t >= 0t

f(t)=k

f(t) funcin rampa

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = kt para t >= 0

t

f(t)=kt

2

0s

Kdte.Kt)s(F st ==


13/32


t

+

+===

0 0

t)s(stt

s

KdteKdte.e.K)s(F

f(t) funcin exponencial

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = ke-t para t 0

Tablas de transformadas de lasfunciones mas comunes

Transformada de Laplace de

funciones bsicas (II)


14/32


Tabla de las transformadas ms

comunes

tn

e-t

e-t

t n

1

1Impulso unitario

F(s)f(t)

s

1

1ns

!n+

+s1

1++ n)s(

!n


15/32


Tabla de las transformadas ms

comunes

wtAsen. A w

s w.

2 2+

A wt.cos A s

s w.

2 2+

A e wtat

. sen

A

w

s a w( )+ +2 2

A e wtat. cos A

s a

s a w

+

+ +

( )

2 2

f(t) F(s)


16/32


Mtodo de reduccin en

fracciones parciales

F sN s

D s

N s

s p s p s p s pn( )

( )

( )

( )

( )( )( )...( )= =

+ + + +1 2 3

En los sistemas de control cuyo comportamiento se rige por una

ecuacin diferencial de coeficientes constantes, la funcin F(s) tienenormalmente la forma:

s p

s p

s pn

=

=

=

1

2

...son las races del polinomio D(s)donde:

Estas races podrn ser: reales simples, reales mltiples, complejas

simples, complejas mltiples.


17/32




RAICES REALES SIMPLES:

- La funcin F(s) se podr descomponer en la siguiente forma:

-Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de

Laplace

==

+=

+++

++

+=

+==

n

1i i

i

n

n

2

2

1

1

n

1i

ips

A

ps

A...

ps

A

ps

A

)p(s

N(s)

D(s)

N(s)F(s)

[ ]

+++

++

+==

n

n

psA

psA

psAsFtf 1-

2

21-

1

11-1- ....)()(


18/32




RAICES REALES SIMPLES:

- Por lo tanto la antitrasformada de Laplace es:

- La manera de calcular el valor de cada residuo Ai es la

siguiente:

ipsiisFpsA

=+= )()(

= =n

itpi ieAtf

1.)(

ip-polodelresiduo

polo

i

iA

p


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fracciones parciales EJEMPLO 1:

Hallar la antitrasformada de Laplace de:SOLUCION

La funcin F(s) la podemos poner en la forma:

A continuacin calculamos los valores de Ai

Por tanto la transformada inversa de Laplace es:

( ) ( )( ) ( ) ( )652 43)( +++ ++= ssss sssF

( ) ( )( ) ( ) ( ) 652652 43)(3210

++++++=+++ ++= sAsAsAsAssss sssF

41

6s6)F(s)(s3152

5s5)F(s)(s2A

121

2s2)F(s)(s1A51

0sF(s)s0A

==+===+=

==+====

A

f t e e et t t( )= + 1

5

1

12

2

15

1

42 5 6


20/32




Hallar la antitransformada de Laplace de:

SOLUCION

Vamos a calcular los Ai de otra forma:

Igualando los coeficientes:

Por tanto la solucin es:

)3()1()2(10)( ++ += ss ssF

31)3()1(

)2(10

)(21

+++=++

+

= S

A

S

A

ss

s

sF

212121 AA3s)AA(20s10)1s(A)3s(A)2s(10 +++=++++=+

55320

1021

21

21 ==

+=

+=AA

AA

AA

tt eetf 355)( +=


21/32



fracciones parciales RAICES REALES MLTIPLES:

- Los coeficientes A1...An se calculan segn lo visto

anteriormente y los arde la siguiente manera:

ri

r

iin

n

ri

ps

a

ps

a

ps

a

ps

A

ps

A

pspsps

sN

sD

sNsF

)(...)()()(...)(

))...()((

)(

)(

)()(

2

21

1

1

21

+++++++++=

=+++

==

i

ii

ps

r

i1r

1r

1

ps

r

i1r

ps

r

ir

)ps()s(D

)s(N

ds

d

)!1r(

1

a

)ps()s(D

)s(N

ds

da)ps()s(D

)s(Na

=

=

=

+=

+=+=


22/32



fracciones parciales RAICES REALES MLTIPLES:

- Teniendo en cuenta que:

- Por lo tanto la Transformada inversa de F(s) ser de la forma:

-11

1

1

( ) ( )!s p

t

r

e

i

r

rp ti

+

=

[ ]f t F s A e A e A e

a

rt

a

rt a t a e

p t p t

n

p t

r r r r p t

n

i

( ) ( ) . . ... .

( )! ( )!... .

= = + + + +

+

+

+ + +

-11 2

1 1 2

2 1

1 2

1 2


23/32





SOLUCIN

Lo ponemos en la forma:

F ss

s s s( )

( ) ( )( )=

+

+ + +

1

2 4 32

2)3s)(s(FA

43)4s)(s(FA

3s

A

4s

A

2s

a

)2s(

a

)3s)(4s()2s(

1s

)s(F

3s2

4s1

211

2

2

2

=+=

=+=+++++++=+++

+

=

=

=


24/32




- Por lo tanto la solucin ser:

t2t3t4 et2

1

4

5e2e

4

3)t(f

+=

4512s7s

1s

ds

d)2s)(s(Fds

da

21)2s)(s(Fa

2s

2

2s

2

1

2s

2

2

= +++

=+=

=+=

==

=


25/32





SOLUCIN

F s s s

s( )

( )= + +

+

2

3

2 3

1

2C;0B;1A

CBA3

BA22

A1

C)1s(B)1s2s(A3s2s

C)1s(B)1s(A3s2s

)1S(

C

)1S(

B

1S

A

)1s(

3s2s)s(F

22

22

323

2

===

++=

+=

=

+++++=++

++++=++

++

++

+=

+

++=


26/32




Por lo tanto la solucin queda:

Y finalmente, la funcin temporal es:

F s s s( ) ( )= + + +

1

1

2

1 3

)t1(e)t(fete1)t(f 2tt2t +=+=


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fracciones parciales RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS:

- Supongamos el denominador de 2 orden cuyas races son: +jwd- Los pasos a dar son los siguientes:

1. Obtener fracciones con un denominador de segundo grado (cuyasraces son

complejas conjugadas) y un numerador de primer grado.

2. Obtener los valores de A y B

3. Descomponer y trasformar la fraccin en transformadas de Laplace

cuya

antitransformada est en las tablas.

0122 asasa

BAs

++

+


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- Hallar la antitransformada de Laplace de la funcin:

SOLUCIN

Identificando coeficientes de potencias de s se obtienen A, B yC:

)52(

3)(

2 ++=

ssssF

52)52(

3)(

22 +++

+=++

=ss

CsB

s

A

ssssF

56

53

5353

20

0

=

=

==

+=

+=

C

B

AA

CA

BA


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- Poniendo las fracciones como transformadas de Laplace conocidas:

- Y la solucin ser:

++++

+=

+++

= 22222 2)1(2

2

1

2)1(

11

5

3

52

21

5

3)( ss

s

sss

s

ssF

= tetetf tt 2sen2

12cos1

5

3)(


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Resolucin de ecuaciones

diferencialesEjemplo:

tdtdtd

=

u.ud

Lyydyd

L

0tparae)t(u;td

)(yd;)(yu.tdudy

tdyd

tdyd t

=

++

===++

502

0000502

2

2

2

2

2

)s(sU)s(Y)s(Y)s(Ys U(0)-0.5U(s)=++2s2 10.5)U(s)(s1)2sY(s)(s2 =++

2s

1U(s)

+

=

2)1)(s2s(s

2.5Y(s)

2

+++

=

[ ])s(YL)t(y == 12)(s1)(s

2.5Y(s)

2

++

=

...=

++

2)(s1)(s

2.5L

21

dominio t dominio s dominio t


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Descomposicin en fracciones simples

( )( ) ( )2222

)2s(1s)2s(c

)2s()1s()2s)(1s(b

)2s(1s1sa

++ ++++ +++++ +

++ ( )21sc

1s

b

2s

a +++

( )ttt2

2

1 te5.2e5.2e5.21s

5.2

1s

5.2

2s

5.2L)t(y

+=

+

+

++

+

=

[ ]1 )s(YL)t(y ==

++

2)(s1)(s

2.5L

21

=++

2)(s1)(s

2.52

=++

2)(s1)(s 2.52

0ba =+

0cb2a =++ 3

2.52c2ba =++

-2.5a= 2.5b= -2.5c=


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PROPIEDADES DE LA T. LAPLACE TRANSFORMADAS MS COMUNESLinealidad [ ] )()()()( sbGsaFtbgtaf +=+L f(t) F(s)

Impulso unitario 1Diferenciacin en eldominio del tiempo

dt

dfsfsFs

dt

tfd

fssFdt

tdf

)0()0()(

)(

)0()()(

2

2

2

=

=

L

L

)0(...)0('

)0()()(

102

1

=

nn

nnn

n

fsfs

fssFsdt

tfdL

1s

1

Integracin en eldominio del tiempo s

f

s

sFdttf

t )0()(

)(

)1(

0

+

=L [ ] )0(1)(

)()(

11

)( +

=+

=i

n

iinn

n

fss

sF

tfL n

t 1!+ns

n

Desplazamiento en eltiempo [ ] )()( sFedtf

sd=L ate as+

1

Teorema del valorinicial

sF(s)limf(t)lims0t

= atnet 1)(

!++ nas

n

Teorema del valor final sF(s)limf(t)lim 0st = Asenwt 22 ws wA +

Teorema deconvolucin

)()()()(0

sGsFdtgtf =

L Acoswt22 ws

sA

+

( )[ ] s)F(t/fL = Transformacin devariables. Cambio de

escala ( )[ ] ( )

s/F1tfL = = constante positiva

senwtAe

at

22)( was

wA

++

Traslacin en el campocomplejo

Si [ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 = siendo = constante, entonces(t)fe(t)f 1

t

2

m= wtAe at cos 22)( was

asA

++

+

Diferenciacin en elcampo complejo

[ ]ds

dF(s)tf(t)L =

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