2

ÍNDICE

DEFINICIÓN DE SUPERFICIE ........................................................................................................................................................ 3

CAMPO ESCALAR .......................................................................................................................................................................... 3

CAMPO VECTORIAL ...................................................................................................................................................................... 3

REPRESENTACIÓN CARTESIANA ................................................................................................................................................ 3

CLASIFICACIÓN DE ALGUNOS TIPOS DE SUPERFICIE ............................................................................................................. 4

SUPERFICIES CILÍNDRICAS .......................................................................................................................................................... 6

SUPERFICIES CUADRÁTICAS ....................................................................................................................................................... 6

PARA CLASIFICAR A UNA SUPERFICIE CUADRÁTICA, SE PUEDE LOGRAR ESCRIBIENDO EN SU FORMA CANÓNICA Y

DETERMINANDO SUS TRAZAS EN LOS PLANOS COORDENADOS. ...................................................................................... 7

SUPERFICIES CÓNICAS ................................................................................................................................................................. 7

SUPERFICIES REGLADAS .............................................................................................................................................................. 9

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN ................................................................................................................................................... 9

CILINDROS ................................................................................................................................................................................... 10

CILINDRO PARABÓLICO ....................................................................................................................................................................................................... 10

CILINDRO ELÍPTICO .............................................................................................................................................................................................................. 11

CILINDRO HIPERBÓLICO ...................................................................................................................................................................................................... 11

MÉTODO DE LAS GENERATRICES PARA LA DETERMINACIÓN DE UNA SUPERFICIE....................................................... 11

SIMPLIFICACIÓN DEL MÉTODO PARA ALGUNOS TIPOS DE SUPERFICIE .......................................................................... 12

DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE .............................................................................................................. 14

ECUACIONES VECTORIALES Y PARAMÉTRICAS DE UNA SUPERFICIE ................................................................................ 17

REFERENCIAS ............................................................................................................................................................................... 19

3

Definición de Superficie

Se le llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una

sola ecuación de la forma:

F(x,y,z)=0

Campo Escalar

Suponga que a cada punto P(x,y,z) de una región D en el espacio le corresponde un número (escalar) (x,y,z).

Entonces se denomina función escalar de posición, y se decimos que se ha definido un campo escalar

sobre D.

Ejemplo

La función (x, y, z)= x3y-2z2 define un campo escalar. Considere el punto P (2, 5, 3).

(P)= 23(5)-2(3)2=8(5)-2(9)=40-18=32

Campo Vectorial

Un campo vectorial es una función que asigna un vector a cada punto en su dominio. Un campo de

vectores bidimensionales tiene una fórmula como

F(x, y,) = M(x, y)i + N(x, y)j

Y un campo de vectores tridimensionales en el espacio tendrá una fórmula:

F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k.

Ejemplo

Sea la función V(x,y,z)=2xy2i-3yz2j+x2zk defina un campo vectorial. Considere el punto P(1,4,2).

V (P)= 2(1)(4) 2i-3(4)(2) 2j+(1)2(2)k= 32i-48j+2k

Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son los campos de velocidades, gravitatorios y los de

fuerzas eléctricas.

Representación cartesiana

-Ecuación cartesiana implícita

Los puntos de una superficie contienen la ecuación de tipo: F(x,y,z), la cual se denomina ecuación cartesiana

implícita de la superficie, por ejemplo una esfera está dada pon la ecuación x2+y2+z2=R2.

4

-Ecuación cartesiana

En algunas ocasiones una superficie de puede escribir de la forma z=f(x,y) donde (x,y) , o bien y=f(x,z) donde

(x,z) , o x=f(y,z) donde (y,z) , en cuyo caso se dice que la superficie está dada por una ecuación cartesiana

explicita. Por ejemplo el casquete superior de la esfera se puede escribir en forma:

z=√ ;

Toda ecuación explicita se puede escribir en forma implícita sin más que definir g(x,y,z)=z-f(x,y). Pero

una esfera x2+y2+z2=R2 no puede escribirse en forma explícita pues para cada valor(x,y) hay dos soluciones de

la ecuación a saber: ( ( ) √ ) y ( ( ) √ )

Clasificación de algunos tipos de superficie

Tipo (I):Ax2+By2+Cz2=R

Lugar Geométrico Ejemplo Ejemplo

visualizado

R*

>0 Todos positivos Elipsoide 2x2+3y2+4z2=16

>0 Todos positivos y A=B=C Esfera x2+y2+z2=4

>0 Todos negativos Ningún lugar geométrico

>0 Dos positivos, uno negativo Hiperboloide de una hoja 4x2+5y2-7z2=4

>0 Uno positivo, dos negativos Hiperboloide de dos hojas 4x2-5y2-7z2=4

>0 Uno cero, dos positivo Cilindro elíptico (o circular)

recto

3y2+5z2=4

>0 Uno cero, dos negativos Ningún lugar geométrico

>0 Uno cero, un positivos, un

negativo

Cilindro hiperbólico recto 3y2-4z2=4

>0 Dos cero, uno positivo Dos planos paralelos

diferentes

4z2=16

>0 Dos cero, uno negativo Ningún lugar geométrico

5

=0 Todos del mismo signo Un solo punto, el origen. 2x2+3y2+2z2=0

=0 Dos positivos, uno negativo Cono recto 5x2+4y2-3z2=0

=0 Uno cero, dos del mismo signo Todos los puntos sobre el eje

coordenado

-2y2-2z2=0

=0 Uno cero, dos de signos

contrarios

Dos planos que se cortan -3y2+4z2=0

=0 Dos cero Un plano z2=0

*Cuando R<0, se invierten los signos de los coeficientes A, B, C; los lugares geométricos correspondientes

estarán dados entonces como R>0.

Tipo (II):Ax2+By2=zR

Coeficientes Lugar Geométrico Ejemplo Ejemplo visualizado

R** A,B

>0 Del mismo signo Paraboloide elíptico z=x2+y2

>0 Signos opuestos Paraboloide Hiperbólico z=x2-y2

>0 Uno cero Cilindro parabólico recto z=x2

=0 Del mismo signo Todos los puntos sobre un

eje coordenado

6x2+3y2=0

=0 Signos opuestos Dos planos que se cortan x2-y2=0

6

=0 Uno cero Un plano coordenado (dos

planos coincidentes)

y2=0

**Cuando S<0, Se invierten los signos de los coeficientes A y B, los lugares geométricos correspondientes

estarán dados como para S>0.

Superficies cilíndricas

Se le llama superficie cilíndrica a la generada por una recta que se mueve de tal manera

que se mantiene siempre paralela a una recta fija dada y pasa siempre

por un curva fija dada.

La recta móvil se llama generatriz y la curva fija directriz de una

superficie cilíndrica.

Un ejemplo de cilindro es el generado por una recta vertical que se

mueve alrededor del círculo x2+y2=a2.

Superficies cuadráticas

Una superficie cuadrática es el conjunto de puntos (x, y,z) que satisface a la ecuación:

Nota: A, B, C, no todos iguales a cero, debido a que si todos son iguales a cero la ecuación ya no sería igual a

cero.

Existen seis tipos de superficies cuadráticas: elipsoide, hipérbole de una hoja, hipérbole de dos hojas,

cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.

A la intersección de una superficie con un plano se le llama la traza de la superficie en el plano. Para

visualizar una superficie en el espacio, es útil determinar sus trazas en algunos planos elegidos

inteligentemente. Las trazas de las superficies cuadráticas son cónicas.

A continuación se presenta la clasificación de las superficies cuadráticas con sus respectivas ecuaciones, trazas,

y aplicaciones:

Elipsoide Hiperboloide de una hoja ( )

( )

( )

( )

( )

( )

7

Hiperboloide de dos hojas Cono eliptico ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Paraboide elíptico Paraboide hiperbolico ( )

( )

( )

( )

Para clasificar a una superficie cuadrática, se puede lograr escribiendo la ecuación cartesiana de la

superficie en su forma canónica y determinando sus trazas en los planos coordenados.

Ejemplos

Identificar y hallar las coordenadas con respecto al origen x2+2y2+z2-4x+8y-2z+4=0

Solución

(x2-4x+ )+2(y2+4y+ )+(z2-2z+ )=-4

(x2-4x+4)+2(y2+4y+4)+(z2-2z+1)=-4+8+4

(x-2)2+2(y+1)2+(z-1)2=8

( )

( )

( )

En el caso de que uno, al menos, de los coeficientes D, E y F, sea diferente de cero de la ecuación:

, entonces el eje o ejes de la superficie son

oblicuos respecto a los ejes coordenados. En este caso, para hacer la identificación de la superficie lo más

recomendable es hacer una rotación de los ejes de coordenadas, de modo que se eliminen los términos

“cruzados”, y ya después poder identificar el tipo de superficie.

8

Superficies cónicas

Se le llama superficie cónica a la engendrada por una línea recta que se mueve de tal manera que pasa siempre

por una curva fija, y un punto fijo, no contenido en el plano de esa curva.

La recta móvil se llama generatriz, la curva fija dada directriz y el punto fijo dado vértice de la superficie

cónica. Evidentemente, el vértice divide a la superficie en dos proporciones distintas; cada una es una hoja o

rama de la superficie cónica.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la superficie cónica cuya directriz es la elipse 4x2+z2=1, y=4 y cuyo vértice es el punto

V(1,1,3).

Las ecuaciones de las generatrices son:

Y como la generatriz está en el plano XY

Despejando x, z.

( )

( )

Sustituyendo y=4

( )

( )

Desarrollando

Sustituyendo Generatriz en

( ) ( )

Sustituyendo y

(

)

(

)

Simplificando la expresión se obtiene:

36x2+12y2+9z2+24xy+18yz-96x-102y-72z+207=0

D:

G:

G:

G:

G:

9

Superficies regladas

Una superficie reglada es aquella que puede ser engendrada por el movimiento de una línea recta.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la superficie reglada generada por la familia de rectas

,

Despejando a k:

,

⇒ ( )( ) ⇒ ⇒

Superficies de revolución

Una superficie en revolución es la engendrada por la rotación de una curva plana en torno

de una recta fija contenida en el plano de esa curva. La curva plana se llama generatriz y la

recta fija eje de revolución. Cualquier posición de la generatriz se llama meridiano, y cada

circunferencia descrita por un punto de la generatriz se llama paralelo de la superficie.

En la discusión que se sigue se encontrarán ecuaciones de superficie de revolución

cuando C es una curva en un plano de coordenadas y el eje de revolución es un eje de

coordenadas.

Se va a suponer que ( ) es una curva C en el plano yz y que C se rota en torno al eje z de modo

que se genera una superficie S. Si (x,y,z) denota un punto general sobre S que resulta de rotar el punto (0, y0,z)

en C, entonces se advierte que la distancia de (x,y,z) a (0,0,z) es la misma que la distancia de (0,y0,z) a (0,0,z);

esto es, √ . Del hecho de que ( ) llegamos a una ecuación para S;

(√ )

Es posible que una curva en un plano de coordenadas rote en torno a cada eje de coordenada. Si la curva C en

el plano yz definida por ( ) se rota ahora alrededor del eje y, puede demostrarse que una ecuación de

la superficie de revolución resultante es:

( √ )

A continuación se muestra una tabla ecuación de superficies generadas al rotar una curva en un plano de

coordenadas alrededor de:

x=eje √

y=eje Implica el termino √

z=eje √

Ecuación de la curva C Eje de revolución Ecuación de la superficie S

( ) eje x ( √ )

( ) eje y ( √ )

( ) eje x ( √ )

( ) eje z ( √ )

( ) eje y ( √ )

( ) eje z ( √ )

10

Ejemplos

*La gráfica de se rota en torno al eje x. Encuentre una ecuación de la superficie de revolución.

Solución. La ecuación contiene la forma ( ) Puesto que el eje de revolución es el eje x por √ . Por

tanto:

( ( √ ) )

Si la gráfica de una función radio r se gira sobre uno de los ejes coordenados, la ecuación de la superficie de

revolución resultante tiene una de las formas siguientes.

*Girada sobre el eje x: y2+z2=[r(x)]2

*Girada sobre el eje y: x2+z2=[r(y)]2

*Girada sobre el eje z: x2+y2=[r(z)]2

Ejemplos

*Obtenga la ecuación de la superficie en revolución al girar la curva alrededor del eje inclinado x2=4y en el

plano xy alrededor del eje y.

√ √ ⇒ ( √ )

⇒ ⇒

*Hallar una directriz y eje de revolución de la superficie dada:

( √ )

Como los coeficientes x2 y y2 son iguales, se de escribir:

( √ )

El eje z es de revolución. Se puede elegir una directriz de las siguientes trazas

( √ ) Traza en el plano xz

( √ ) Traza en el plano yz

Por ejemplo, usando la traza, la directriz es:

√

Cilindros

Un cilindro es una superficie que se genera por el movimiento de una línea recta paralela a una recta fija dada

a lo largo de una curva plana dada.

Cilindro parabólico

Es una superficie cuya ecuación Ax2+By2=zR, uno de sus coeficientes A, o B va ser cero, y R va a valer más de

cero.

Ejemplo:

z=2y2

Aplicación

Conector Solar

En la forma canónica las ecuaciones del cilindro parabólico son:

, ,

11

En la energía el cilindro parabólico es una tecnología que utiliza la energía solar con una técnica de

concentración de energía solar con el fin de obtener temperaturas de hasta 200-300 °C, la cual es la

temperatura necesaria para producir agua caliente para uso doméstico y para la calefacción.

Cilindro elíptico

Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica.

En la ecuación Ax2+By2+Cz2=R un coeficiente debe ser cero, y 2 positivos y un valor de R mayor a 0, en caso de

que los dos coeficientes se positivos habrá un cilindro circular.

Ejemplo:

5x2+2z2=10

Aplicación

un tubo

En la forma canónica las ecuaciones del cilindro parabólico son: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Cilindro hiperbólico

En la ecuación Ax2+By2+Cz2=R un coeficiente debe ser cero, y 1 positivos, uno negativo y un valor de R mayor

a 0, en caso de que los dos coeficientes se positivos habrá un cilindro circular.

Ejemplo:

3x2-2z2=10

Aplicación

Dos conectores solares

En la forma canónica las ecuaciones del cilindro parabólico son: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Método de las generatrices para la determinación de una superficie

Las superficies de generan por medio de una curva que se mueve en el espacio (generatriz) siendo a una o

varias trayectoria (directrices).

Una superficie F(x,y,z)=0 basta con despejar a una de las varias variables y asignarle valores a las otas

dos para generar todos los puntos de la misma superficie.

Para las curvas en R3, la expresión matemática consiste en un par de ecuaciones asociadas a dos de

superficies f1(x,y,z) f2(x,y,z)

La intersección de dichas superficies genera la curva en R3

Para una curva en R3 se forma un sistema como el siguiente:

12

( )

( )

Donde es un parámetro real.

Al asignarle valores a , se generan diversas curvas que pueden interpretar como una sola curva al ir

variando el parámetro .

Si se denomina del sistema de ecuaciones se obtendrá una ecuación cartesiana de la forma f(x,y,z)=0

que representa dicha superficie.

Sea la generatriz:

…1

…2

Determina la ecuación de la superficie que forma:

=0 z=10 x=10

De 1 despeja y sustituirlo en 2

=10-

z=(10- )=10

z-x=10-10

z=x=0 z=x

Simplificación del método para algunos tipos de superficie

Si el sistema se plantea de la forma

( )

( )

Donde y son parámetros reales.

La generatriz está formada por el sistema de curvas que se obtienen para cada par de valores de los

parámetros y , la intersección no genera ninguna superficie.

Con el sistema solo se puede eliminar uno de los parámetros, por lo que será necesario generar una

ecuación auxiliar que relacione a ambos parámetros y permita eliminarlos.

g( , )=0 Ecuación de condición.

*Obtener la ecuación de la esfera con un radio (a) y centro (h,k,l), dadas las generatriz y directriz.

( ) ( ) …1

…2

( ) ( ) …3

…4

Solución

Sustituyendo 4 en 1

(x-h)2+(y-k)2=α2 ⇒ (h-h)2+(y-k)2=α2 ⇒ (y-k)2=α2

Sustituyendo 2 en 3

(y-k)2+(ß-1)2=a2 ⇒ α2+(ß-1)2=a2…ecuación de condición

Igualando 3 con la ecuación de condición

α2+(ß-1)2=(y2-k)2+(z-l)2 donde α= √ ( ) …4

G:

G:

D:

13

Sustituyendo en la ecuación 4

(√ ( ) ) =(x-h)2+(y-k)2 ⇒ a2- (ß –l)2=(x-h)2+(y-k)2 ⇒ (x-h)2+(y-k)2+( ß -l)2=a2 Si z= ß

(x-h)2+(y-k)2+(z-l)2=a2

Si el sistema se plantea de la forma:

( )

( )

α, ß, γ, son parámetros reales, para eliminar los parámetros se necesitan generar dos ecuaciones de condición

g1(α, ß, γ)

g2(α, ß, γ)

Determine la ecuación de la superficie que genera la generatriz:

Apoyada en las directrices:

Solución

Si x=0 Si y=0

α (0)2= ßy2=1 ⇒ y2=

x2=

Sustituir

y2=

z= γ

en y2=-b2z

=-b2γ ßγb2=1..Ecuación condición

Sustituir

y2=

z= γ

=a2γ αγa2=1…Ecuación de condición II

Sustituyendo en la generatriz

,

además γ=z

*Obtener la ecuación de la superficie que se forma cuando una circunferencia se desplaza verticalmente,

manteniendo su centro sobre el eje z y su plano horizontal, además su radio varía. Tomando un valor de ½ de

centro sobre el cual se encuentra.

r=(1/2)2

Ecuación de la superficie:

⇒ z2-4x2-4y2=0

G:

G:

D1: D2:

G:

14

Discusión de la ecuación de una superficie

Es ventajoso discutir la ecuación de una superficie antes de construirla, a continuación se mencionaran 5 pasos

para dicha discusión:

1. Interpretaciones con los ejes coordenados

Un punto contiene tres coordenadas y cuando pertenece a un eje, las coordenadas correspondientes a los

otros ejes valen 0.

*Con el eje x: la intersección de una superficie con el eje x, de existir, son puntos de la superficie que están

sobre el dicho eje.

Haciendo y=z=0 en la ecuación y despejando x hallamos dicha intersección:

*Con el eje y: análogamente debemos anular las variables x= z=0, luego:

*Y con el eje z: debe cumplirse x= y =0.

2. Trazas sobre los planos coordenados

La traza de una superficie con un plano coordenado es la curva intersección de la superficie con el plano

coordenado.

Traza sobre el plano xy: si z=0

Traza sobre el plano xz: si y=0,

Traza sobre el plano yz: Si x=0

3. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.

El analizar la simetría de una superficie implica analizar que sucede con su ecuación cuando se cambia el signo

de una, de dos o de las tres variables.

Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a un plano si y solamente si el plano es perpendicular al

seguimiento que los une en su punto medio.

A continuación se muestra una tabla con la cual presenta que variable debe alterarse a la ecuación de

la superficie para saber sus ejes de simetría:

Si la ecuación de la superficie no se

altera cuando las viables x, y, y z son

remplazadas por:

La superficie es simétrica con respecto al :

-x,y,z Plano YZ

x,-y,z Plano XZ

x,y-,z PlanoXY

-x,-y,z Eje Z

-x,y,-z Eje Y

x,-y,-z Eje X

-x,-y,-z Origen

*Si la ecuación de la superficie no se altera cuando se da el cambio de signo de la las variables, la superficie es

simétrica con respecto al plano coordenado a partir del cual se mide esa variable, y recíprocamente.

*Si la ecuación de la superficie no se altera cuando se da el cambio de signo de la las variables, la superficie es

simétrica con respecto al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuyo signo no cambió, y

recíprocamente.

4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.

Se puede obtener una bueno idea de la forma de la superficie conociendo sus secciones plana. Las cuales

pueden determinar convenientemente cortando la superficie por una serie de planos paralelos a los planos

coordenados.

15

* Los planos XY pertenecen a la familia cuya ecuación es z=k, donde k es una constante.

* Los planos XZ pertenecen a la familia cuya ecuación es y=k, donde k es una constante.

* Los planos YZ pertenecen a la familia cuya ecuación es x=k, donde k es una constante.

5. Extensión de la superficie

Este procedimiento consiste en determinar los intervalos de variación para los cuales los valores de x,y,z son

todos reales. Para ello se expresa cada variable en función de las otras dos.

Ejemplo

Discutir la superficie la superficie cuya ecuación es

1. Interpretación

Las interpretaciones con el eje x son:

*Sustituyendo y=0 y z=0 en

( ) ⇒ ⇒ √ , La intersección con el eje X es el P(+√ ,0,0) y P’(-√ ,0,0)

*Sustituyendo x=0 y z=0 en

( ) ( ) ⇒-3=0, lo cual no existe, por tanto no hay intersección con el eje Y

*Sustituyendo y=0 y x=0 en

( ) ⇒ z=3, La intersección con el eje X es el R(0,3,0)

2. Trazas sobre los planos coordenados

*Sustituyendo z=0 en

⇒ √ . La traza sobre el plano XY son las rectas √ .

*Sustituyendo y=0 en

La traza sobre el plano XZ es la parábola

*Sustituyendo x=0 en

( ) ⇒ z=3, La traza sobre el plano XZ es la recta

3. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.

La superficie es simétrica

con respecto

Sustituyendo

por:

Evaluando a

Ecuación

sustituida

Simetría

Plano YZ -x,y,z ( ) Si

Plano XZ x,-y,z Si

PlanoXY x,y-,z ( ) No

Eje Z -x,-y,z ( ) Si

Eje Y -x,y,-z ( ) ( ) No

Eje X x,-y,-z ( ) Si

Origen -x,-y,-z ( ) ( ) No

4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.

Al cortar la superficie por un plano z=k se obtiene √ siempre y cuando k 2.

Los planos y=k cortan a la superficie en las parábolas

Y los planos x=k cortan a las rectas en las rectas

5. Extensión

Para x y y no existen restricciones pero para la variable z no es posible tomar valores mayores a z=3.

6. Grafica

16

Curvas de Nivel

Una forma de visualizar una superficie es atreves de su curvas de nivel. Al conjunto de puntos en el plano

donde la función f (x, y) tiene un valor constante f (x, y) =c se llama curva de nivel de f.

Ejemplo

Determinar las curvas de nivel de la función f(x,y)=x2+2y2

Solución

z= x2+2y2 Dando valores a z, z=0, z=1 z=2 z=3 z=4 z=5

Entonces se obtiene x2+2y2=0, x2+2y2=1, x2+2y2=4, x2+2y2=9, x2+2y2=16, x2+2y2=25.

Graficando se tiene:

Las curvas obtenidas se para los ejes coordenados XYZ, y luego se unen las curvar y así obtendremos nuestra

superficie.

Una aplicación de la curvas de nivel suelen ser los mapas topográficos.

17

Superficies de Nivel

El conjunto de puntos (x, y, z) en el espacio, donde una función de tres variables independientes tiene un valor

constante f (x, y, z) =c, es una superficie de nivel de f.

Ejemplo

Descríbase las superficies de nivel de la función ( ) √

Solución

√

Dando valores a w, w=1 w=2, w=3

Se tiene:

√ , √ √

Ecuaciones vectoriales y paramétricas de una superficie

Una superficie en su forma paramétrica es la imagen de una función o transformación definida en una región

R de un plano uv y que tiene valores en el espacio xyz. La imagen bajo en cada punto (u,v) en R es el punto

del espacio xyz con vector de posición.

(u,v)= x(u,v)i+ y(u,v)j+ z(u,v)k

Dado que una superficie paramétrica es una imagen de una transformación en el espacio, es posible

por lo tanto tomar coordenadas cilíndricas y esféricas, para expresar la superficie con otros parámetros

distintos a los rectangulares.

Coordenadas cilíndricas

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio se representa por

medio de una terna ordenada P = (r, θ, z),

Donde (r, θ) es una representación polar de la proyección en P en el plano XY. Y z es

la distancia dirigida de (r, θ) a P.

Para convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas o viceversa se utilizan las

siguientes formulas.

Cilíndricas a rectangulares:

Rectangulares a cilíndricas:

Ejemplo

Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie representada por la ecuación

( )

Solución

Usando identidades trigonométricas, y luego sustituyendo por x y por y

( ) ⇒ ( ) ⇒ ⇒

⇒

18

Coordenadas esféricas

En un sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio se representa por

medio de una terna ordenada ( )

1. es la distancia entre P y el origen, .

2. es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas para

3. es el ángulo entre el eje z positivo y el segmento de recta , 0 .

Para convertir de un sistema u otro se utilizan las siguientes formulas:

Esféricas a rectangulares:

, ,

Rectangulares a esféricas:

,

, (

√ )

Para cambiar entre sistemas de coordenadas cilíndricas se utiliza lo siguiente

Esféricas a cilíndricas

, ,

Cilíndricas a esféricas

√ , (

√ )

Halla una ecuación en coordenadas esféricas de la siguiente superficie representada en su forma rectangular.

Solución

( )

Algunos ejemplos de superficies paramétricas

Ecuación Nombre de la superficie Superficie

Elipsoide

Cono elíptico

√

√

Paraboloide elíptico

Cilindro hiperbólico

19

Ecuación Nombre de la superficie Superficie

Paraboloide hiperbólico

( ) ( )

Toroide

Astroide elíptico

( )

( )

( )

Cross cap

( ) ( )

Octaedro hiperbólico

Trompeta

Referencias

Estrada Castillo, Octavio Calculo vectorial y sus aplicaciones, Mexico, Grupo editorial Iberoamericana, 2003

Larson, Ronal E., Hostetler, Robert P. y Eduards, Bruce H. Cálculo de Varias Variables. Vol. 2, 9ª Ed., México,

Editorial Mc Graw Hill, 2010.

Lehman, Charles Geometría Analítica Ed. México, Editorial limosa 2011

Zill, Denis Cálculo de varias variables 4ª edición, México, Editorial Mc Graw Hill, 2011

Murray Spiegel Analisis vectorial 2° edición editorial Mc Graw Hill, 2011

http://dmaii.etsii.upm.es/~azarzo/downloads/Tema7_Superficie_0910.pdf

http://mathworld.wolfram.com/topics/Surfaces.html

http://mathworld.wolfram.com/topics/AlgebraicSurfaces.html