Suites de matrices Quelques usages récurrents
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Suites de matricesQuelques usages récurrents
Enseignement de spécialité en Terminale S à compter de la rentrée 2012
Académie de Créteil
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Extraits du nouveau programme : Introduction de « Matrices et suites »« Il s’agit d’étudier des exemples de
processus discrets, déterministes ou stochastiques, à l’aide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel ».
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Perspective de la présentationUne entrée spécifique par la
résolution de problèmes : les matrices comme outil, une liste d’exemples phares.
Phénomènes stochastiques : des ressorts communs et des variantes.
Phénomènes discrets : l’outil matriciel dans des situations diverses.
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Phénomènes stochastiquesPhénomènes se ramenant à des
Marches aléatoires sur un graphe probabiliste
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Un exemple contextualiséUne petite station de ski dispose de 3
remontées mécaniques (1), (2) et (3).Pour un skieur adoptant un comportement
aléatoire, on note Xn la variable aléatoire donnant le numéro de la remontée utilisée après n descentes.
On note Ln la matrice ligne représentant la loi de Xn : Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), P(Xn = 2), P(Xn = 3))
Ln est appelé l’état probabiliste à l’instant n.
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Données numériquesOn suppose que la station est configurée de
telle sorte qu’arrivé au sommet de la remontée (1), le skieur se rende ensuite au départ de la remontée (2) avec une probabilité = (Xn+1 = 2) = 0,3
Plus généralement, on donne = (Xn+1 = j)
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Arbre de probabilités conditionnelles
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Graphe probabilisteLa transition de n à n+1 (indépendante de n)
peut se visualiser sur un graphe probabiliste.La somme des poids des arrêtes orientées
issues de chaque sommet est égale à 1.
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Matrice de transitionA partir de l’arbre :- On note x1, x2, x3 les probabilités respectives que le
skieur vienne d’emprunter respectivement la remontée (1), (2), (3) à la descente n.
- On note y1, y2 et y3 les probabilités pour qu’il enchaîne sur la remontée (1) , (2), (3) à la descente n+1.
- On a alors : y1 = 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.5 x3
- Et les deux autres relations analogues.
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Matrice de transitionCes relations se traduisent matriciellement
par :
Ln+1 = Ln . T
où T est la matrice : T =
lisible directement sur le tableau :
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Etat probabiliste après n descentesIl est alors facile de montrer par
récurrence que :
Ln = L0 . Tn
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Calculs de Tn sur logicielSur tableur : Ski T puissance n.xlsxAvec Xcas, en mode calcul approché, on
observe une stabilisation à partir de n=15 sur la matrice :
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Convergence de Tn Une condition suffisante pour que Tn
converge : On peut démontrer que dans le cas des matrices stochastiques,
si T (ou une puissance de T) a tous ses coefficients non nuls, alors (Tn) converge vers une matrice stochastique [dont toutes les lignes sont égales entre elles et égales à un état stable de T (état alors unique)].
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Convergence de Ln Par passage à la limite dans Ln = L0 . Tn , (Ln)
converge vers Linf .Par passage à la limite Ln+1 = Ln . T , Linf est
stable pour T (autrement dit, Linf est un vecteur propre associé à la valeur propre 1).
Valeur exacte de l’état stable, et donc de l’état probabiliste limite : ……………………………………….
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L’essence de la démarcheSuite de VA Xn dont la relation de récurrence peut-
être visualisée sur :- Un arbre de probabilités conditionnelles tel que :(Xn+1 = j) est indépendante de n.- Graphe probabiliste exprimant la transition entre
les différents états probabilistes :Ln = (P(Xn = 0), P(Xn = 1), ….. , P(Xn = N)) (taille N+1) - Matrice de transition T stochastique indépendante
de n- Ln+1 = Ln . T ; Par récurrence : Ln = L0 . Tn
Puis on peut procéder à une étude asymptotique :
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Etude asymptotiqueCas où Tn converge : - Une condition suffisante : pas de zéro (exige
en particulier que la probabilité de stationner sur un sommet du graphe soit non nulle).
- Condition suffisante moins restrictive : matrice « régulière » : il existe une puissance de T dont tous les coefficients sont non nuls.
- Etat stable en cas de convergence : cas général
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Cas où Tn ne converge pasExistence d’un état stable : convergence
possible de LnCas des suites extraites convergentes
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Champs d’application de la démarcheMarche aléatoire sur un graphe probabiliste déclinée dans une multitude de contextes :Marche aléatoire dans labyrinthe
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Champs d’application de la démarcheSurf aléatoire sur un mini-réseau intranet :- Sans saut- Avec saut Un+1 = A Un + B
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Champs d’application de la démarcheEhrenfest
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Phénomènes déterministes
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