Structural Analysis of an Aircraft Fuselage

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIAIngenierıa Aeronautica

Analisis estructural de un fuselaje

Diseno Estructural de Aviones4o Curso

David Andres SanchezAdrian Azorın Albero

Valencia, 2013

DISENO ESTRUCTURAL DE AVIONES, 2013TRABAJO DE CURSO. ANALISIS DE LA RESISTENCIA DE FUSELAJES.Titulacion Ingenierıa Aeronautica. 4o Curso

TRABAJO DE CURSO. ANALISIS ESTRUCTURAL DE UN FUSELAJE

El presente trabajo tiene como objetivo analizar la capacidad resistente de un fuselaje. La definicion geometricadel fuselaje se facilita en el plano adjunto, ası como los materiales utilizados.

1. Obtener la resistencia a compresion fcd de los tres tipos de larguerillos junto con el recubrimiento.

2. Obtener la resistencia a traccion fyd de los tres tipos de larguerillos junto con el recubrimiento.

3. Representar las leyes de tension deformacion de los tres larguerillos en un mismo grafico, segun el modelo deRamberg-Osgood.

4. Obtener los axiles mınimo Nmın y maximo Nmax que resiste la seccion (para curvatura nula). Calcular losmomentos asociados.

5. Obtener los momentos Mmın, Mmax para axil nulo (Nx = 0).

6. Obtener y representar el diagrama de interaccion Nu,Mu en hipotesis no-lineal.

7. Obtener y representar el diagrama de interaccion Nu,Mu asumiendo linealidad entre tensiones/deformacionesy considerando como criterio de rotura las tensiones maximas calculadas arriba. En este apartado debe seguirasumiendose que el ancho eficaz es variable con la tension.

8. Obtener el diagrama momento curvatura χ,M, cuando Nx = 0.5Nmın, 0.2Nmın, 0, 0.2Nmax, 0.5Nmax.

9. Obtener y representar los flujos debidos a un cortante Vz cuando M = Mmax, Nx = 0.

10. Obtener el cortante ultimo de la seccion Vu a partir de los resultados del apartado anterior.

11. Obtener el torsor ultimo de la seccion. Tu.

Notas:

En cada apartado, debera realizarse una introduccion describiendo las bases teoricas de lo quese pide, las hipotesis adoptadas, el procedimiento de calculo.

Se recomienda ordenar los calculos con una hoja de Excel

Se pueden usar otros programas como Mathematica o Matlab, si se considera necesario.

Se valorara el orden y claridad en la presentacion de los resultados

Las tensiones se calcularan en [MPa] y las deformaciones en [mm/m]

Los momentos se obtendran en [mkN] y los axiles en [kN]

La curvatura se representara en [m−1]

La presentacion del trabajo se realizara en formato LaTeX (se facilita plantilla).

Se recomienda ordenar los resultados en forma de tablas y graficos para facilitar la visualizacion.

DISENO ESTRUCTURAL DE AVIONESANALISIS ESTRUCTURAL DE UN FUSELAJETitulacion Ingenierıa Aeronautica. 4o Curso

1. Resistencia a compresion

Para determinar la resistencia a compresion de cada larguerillo habra que tener en cuenta por una partela resistencia a pandeo de Euler y por otra la resistencia a abolladura o crippling. Ambas resistencias se venrelacionadas mediante la curva de Johnson-Euler, dependiendo de la esbeltez longitudinal (afectara a fcr) y laseccional del perfil (afectara a fcc). A continuacion se presentan las tablas que se han utilizado para el calculode las caracterısticas de los perfiles y de las diferentes resistencias.

Los larguerillos utilizados son:

Figura 1: Numeracion de alas/almas de perfiles segun tipo

Para la obtencion de los centros de gravedad y los momentos de area se han considerado medidas limpias ypared delgada como se puede ver en la tabla.

bi ti Zi Ai AiZi AiZ2i fcc,i fcc,iAi

Alma/Ala Codigo [mm] [mm] [mm] [mm2] [mm3] [mm4] [MPa] [N ]

1 1L 25.1 1.2 0 30.06 0.00 0.00 59.95 1802.462 1L 25.1 1.2 0 30.06 0.00 0.00 59.95 1802.463 2A 10.0 0.6 0 6.00 0.00 0.00 399.17 2395.024 2L 5.0 0.6 2.5 3.00 7.50 18.75 303.19 909.575 2A 25.0 0.6 12.5 15.00 187.50 2343.75 198.18 2972.706 2L 5.0 0.6 22.5 3.00 67.50 1518.75 303.19 909.577 2A 10.0 0.6 25 6.00 150.00 3750.00 399.17 2395.02

Totales 93.13 412.50 7631.25 13186.79

Cuadro 1: Larguerillo tipo L1

Los valores de fcc,i se han obtenido de la modelizacion de las curvas de crippling para perfiles conformadosen frıo, dependiendo de si su ala o alma tiene borde libre o no y del material del que estan fabricados. Esto serefleja en el campo “codigo”, cuya explicacion (numeros y letras) se recoge a continuacion:

Numero:

1: aleacion de aluminio 2024-T3

2: aleacion de aluminio 7075-T6

1



1 1L 23.4 1.2 0 28.11 0.00 0.00 65.64 1845.302 1L 23.4 1.2 0 28.11 0.00 0.00 65.64 1845.303 2L 14.0 0.8 0 11.20 0.00 0.00 122.26 1369.354 2A 28.0 0.8 14 22.40 313.60 4390.40 226.42 5071.915 2A 28.0 0.8 28 22.40 627.20 17561.60 226.42 5071.916 2A 28.0 0.8 14 22.40 313.60 4390.40 226.42 5071.917 2L 14.0 0.8 0 11.20 0.00 0.00 122.26 1369.35

Totales 145.82 1254.40 26342.40 21645.05




1 1L 112.0 1.2 0 134.40 0.00 0.00 7.95 1067.922 1L 112.0 1.2 0 134.40 0.00 0.00 7.95 1067.923 2L 16.0 1 0 16.00 0.00 0.00 136.44 2183.014 2A 32.0 1 16 32.00 512.00 8192.00 242.47 7759.155 2A 32.0 1 32 32.00 1024.00 32768.00 242.47 7759.156 2A 32.0 1 16 32.00 512.00 8192.00 242.47 7759.157 2L 16.0 1 0 16.00 0.00 0.00 136.44 2183.01

Totales 396.8 2048.00 49152.00 29779.31


Letra:

L: borde libre - articulado

A: biarticulado (sin borde libre)

En la figura numero 2 mostramos las curvas de resistencia a crippling para perfiles conformados en frıo.A partir de esta grafica podemos estimar la resistencia a compresion por abolladura de cada ala y/o alma

del perfil, y con la siguiente formula estimar la del perfil:

fcc =fcc,1b1t1 + ...+ fcc,nbntn

b1t1 + ...+ bntn

La resistencia a pandeo de Euler se calcula con la siguiente expresion:

fcr =π2E

λ2y

La esbeltez mecanica se define como sigue:

λy =LP

iy

siendo LP la longitud de pandeo, que se puede estimar como la longitud entre cuadernas o costillas.

Ambas ecuaciones se relacionan segun el modelo de Johnson-Euler, dependiendo de la esbeltez mecanica. Acontinuacion definimos los intervalos en los que limita cada resistencia:

fcd =

fcc

(

1−fccλ

2y

4π2E

)

0 ≤ λy < λL

fcr =π2E

λ2yλy ≥ λL

o lo que es lo mismo:

2

1

10

100

1000

1 10 100

fcc

[MP

a]

b/t [-]

Resistencia a crippling para perfiles conformados en frío

1L 2L 1A 2A

Figura 2: Curvas de tension de abolladura para perfiles conformados en frıo

fcd =

fcc

(

1−fccλ

2y

4π2E

)

fcc/2 ≤ fcd < fcc

fcr fcd < fcc/2

La esbeltez lımite se define al igualar fcc/2 y fcr y despejar. Finalmente se obtiene:

λL = π

√

2E

fcc

En las figuras 3, 4 y 5 se muestran las curvas de Johnson-Euler para cada tipo de larguerillo.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150 200 250 300

fcc

[MP

a]

ly [mm]

Curva de Johnson-Euler L1

Figura 3: Curva de Johnson-Euler para larguerillo tipo L1

Ademas, el area del larguerillo incluye tanto el area del perfil como la porcion de recubrimiento que resistela tension.

3

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150 200 250 300

fcc

[MP

a]

ly [mm]



0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150 200 250 300

fcc

[MP

a]

ly [mm]



Ai = Ωi + bet

El ancho de piel o recubrimiento que contribuira a la resistencia a compresion dependera de la tensionaplicada; lo denominaremos ancho eficaz (be = 2we), y se determinara mediante un proceso iterativo, comosigue:

be = mın

S, 1.7t

√

E

|σ|

Los resultados se muestran en la tabla 4.En la siguiente lista resumimos las caracterısticas del perfil tras los calculos:

Caracterısticas de larguerillo tipo L1:

Modulo elasticidad: E= 70 GPa

Area: A = 93.13 mm2

CdG: ZG = 4.429 mm

4

Larguerillo L1 L2 L3fcd[MPa] 116.02 132.71 159.45λL[−] 98.78 96.48 88.75we[mm] 25.1 23.4 21.4

Cuadro 4: Resistencias a compresion, esbelteces mecanicas lımite y semianchos eficaces

Inercia global: IY = 8433 mm4

Inercia local: Iy = 6605 mm4

Radio giro: iy = 8.42 mm

Longitud pandeo: LP = 500 mm

Esbeltez mecanica: λy = 59.37

Tension de Euler: fcr = 196.01 MPa

Tension abolladura: fcc = 141.60 MPa

Resistencia compresion: fcd = 116.02 MPa

Esbeltez mecanica lımite: λL= 98.78

Espesor recubrimiento: tr = 1.2 mm

Ancho eficaz: we = 25.1 mm

Separacion maxima: S = 174 mm



Area: A = 145.82 mm2

CdG: ZG = 8.602 mm















Area: A = 179.29 mm2

CdG: ZG = 11.423 mm







5







2. Resistencia a traccion

Para el calculo de la resistencia a traccion se procedera de igual forma que en el caso anterior; sin embargo,ahora es mas sencillo puesto que el area de los larguerillos no depende de la tension debido a que se encuentrantraccionados y el ancho eficaz del recubrimiento sera maximo, es decir:

be = S

La expresion para estimar la resistencia a traccion es:

fyd =Ωifyp + bitifyr

Ωi + biti

siendo fyr la resistencia a traccion del recubrimiento y fyp la resistencia a traccion de los perfiles. Ademascabe comentar que Ωi se refiere al area del perfil excluyendo el ancho eficaz que contribuye a soportar la tension.

Finalmente presentamos los resultados en la tabla numero 5.

Larguerillo L1 L2 L3

fyd[MPa] 465.43 491.45 501.39we[mm] 87 107.5 112

Cuadro 5: Resistencias a traccion y semianchos eficaces

En la siguiente lista resumimos las caracterısticas del perfil tras los calculos:



Lımite elastico recubrimiento: fyd,rec = 430 MPa

Lımite elastico larguerillo: fyd,lar = 530 MPa

Area: A = 241.8 mm2

CdG: ZG = 1.706 mm




Resistencia a traccion: fyd = 465.43 MPa


Ancho eficaz: we = 87 mm






6

Area: A = 347.6 mm2

CdG: ZG = 3.609 mm












Area: A = 396.8 mm2

CdG: ZG = 5.161 mm






Ancho eficaz: we = 112 mm


3. Leyes de tension-deformacion

En esta seccion representaremos las leyes de tension-deformacion adoptadas para los tres larguerillos, segunel modelo de Ramberg-Osgood. Este modelo tiene en cuenta la plasticidad del material una vez se sobrepasael regimen elastico, se trata por tanto de un modelo no lineal. Empezamos presentando la ecuacion que locaracteriza:

ǫx =1

E

[

σx +fnm

(

σxfn

)m]

Se observa que en la expresion aparece la tension fn, que desconocemos y, por lo tanto, deberemos calcularusando la siguiente ecuacion que relaciona la tension y deformacion ultima, el parametro m caracterıstico delmaterial y el modulo de elasticidad E:

fn = fult

[

mǫultE

fult

]

−

1

m−1

Mostramos a continuacion los valores de fn calculados y otros parametros relacionados con el modelo em-pleado que nos serviran mas adelante y cuya expresion podemos encontrar en la ESDU 76016:

E fyd fn m ǫt k βLarguerillo [MPa] [MPa] [MPa] [−] [mm/m] [−] [−]

L1 70000 465.43 360.46 23 80 17.310 0.742L2 70000 491.45 381.55 23 80 17.310 0.742L3 70000 501.39 389.62 23 80 17.310 0.742

Cuadro 6: Tensiones y parametros para traccion

Con todo esto podemos representar las curvas para cada larguerillo. Se pueden ver en la figura 6.

7

E fcd fn m ǫu k βLarguerillo [MPa] [MPa] [MPa] [−] [mm/m] [−] [−]

L1 70000 -116.02 -84.52 16 -12 11.777 0.726L2 70000 -132.71 -97.55 16 -12 11.777 0.726L3 70000 -159.45 -118.64 16 -12 11.777 0.726

Cuadro 7: Tensiones y parametros para compresion

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

-20 0 20 40 60 80 100

s [

MP

a]

ϵ [mm/m]

Curvas de Ramberg-Osgood

L1 L2 L3

Figura 6: Modelo de Ramberg-Osgood

4. Axiles mınimo y maximo

Para el calculo de los axiles mınimo y maximo deberemos modelizar en primer lugar el fuselaje, obteniendolas coordenadas de cada larguerillo estableciendo un sistema de referencia inicial arbitrario (se situara en ellarguerillo superior 01). A partir de ahı se calculara el centro de gravedad y se establecera ese punto como elcentro del sistema de referencia. Presentamos en la tabla 8 estos resultados.

El centro de gravedad del fuselaje se encuentra, segun el sistema de referencia arbitrario:

ZG = 1362.23mm

YG = 0mm

Representamos el semifuselaje para mostrar la modelizacion hecha en la figura 7.Ahora deberemos imponer las deformaciones ultimas en los larguerillos para calcular el axil maximo y

mınimo.

4.1. Axil mınimo

El axil mınimo se corresponde al axil maximo en modulo de compresion. Se calculara imponiendo deformacionultima de compresion (ǫu) en todos los larguerillos:

ǫ1 = ǫu = −12 mm/m

ǫ2 = ǫu = −12 mm/m

Cabe destacar que en la deformacion se esta siguiendo una hipotesis de deformacion plana, es decir, defor-macion lineal. La caracterizaremos por los parametros ǫ0 y κ, que son la deformacion en z = 0 y la pendiente,respectivamente. Se calculan como sigue, aunque ya conocemos sus valores para este caso en particular:

8

Larguerillo T ipo w1,max w2,max Yi Zi Ai,maxni Ai,maxZi zi[mm] [mm] [mm] [mm] [mm2] [mm3] [mm]

1 L1 87.0 87.0 0.00 0.00 241.8 0E+00 -1362.232 L1 87.0 87.0 172.59 20.01 483.6 1E+04 -1342.213 L1 87.0 87.0 335.99 78.99 483.6 4E+04 -1283.244 L1 87.0 87.0 481.50 173.80 483.6 8E+04 -1188.435 L1 87.0 87.0 601.37 299.40 483.6 1E+05 -1062.836 L2 107.5 107.5 717.32 481.47 695.2 3E+05 -880.767 L2 107.5 107.5 817.50 671.88 695.2 5E+05 -690.358 L2 107.5 107.5 896.65 871.94 695.2 6E+05 -490.289 L2 107.5 107.5 953.84 1079.36 695.2 8E+05 -282.8710 L2 107.5 107.5 988.43 1291.71 695.2 9E+05 -70.5211 L2 107.5 107.5 1000.00 1506.55 695.2 1E+06 144.3312 L3 112.0 112.0 974.93 1729.07 793.6 1E+06 366.8513 L3 112.0 112.0 900.97 1940.44 793.6 2E+06 578.2114 L3 112.0 112.0 781.83 2130.04 793.6 2E+06 767.8215 L3 112.0 112.0 623.49 2288.39 793.6 2E+06 926.1616 L3 112.0 112.0 433.88 2407.52 793.6 2E+06 1045.2917 L3 112.0 112.0 222.52 2481.48 793.6 2E+06 1119.2518 L3 112.0 112.0 0.00 2506.55 396.8 1E+06 1144.33

11505.8 15673531

Cuadro 8: Modelizacion de fuselaje: coordenadas de larguerillos

κ =ǫ2 − ǫ1z2 − z1

=ǫ2 − ǫ1h

= 0m−1

ǫ0 = ǫ1 − κz1 = ǫ2 − κz2 = −12mm/m

siendo h la altura total del fuselaje, que es 2506.55 mm; z1 y z2 son la coordenada vertical segun el sistemade referencia situado en el centro de gravedad para el larguerillo inferior y el superior, respectivamente.

Los axiles en cada larguerillo se calculan de la siguiente forma:

Nx,i = Aiσi

Y los momentos asociados:

My,i = Aiσizi = Nx,izi

Presentamos los calculos, que recogemos mediante la tabla 9.Las variables hacen referencia a:

Area de perfil y ancho eficaz de recubrimiento: Ai = w1t+ w2t+Ωi

Numero de larguerillos (por simetrıa vertical de fuselaje): ni

De la tabla anterior obtenemos el axil mınimo y su momento asociado:

Axil mınimo: Nx,min =∑

Nx,i = −700.55 kN

Momento concomitante asociado: My,Nmin=∑

My,Ni= −99.12 kN ·m

4.2. Axil maximo

El axil maximo se corresponde al axil maximo en modulo de traccion. Se calculara imponiendo deformacionultima de traccion (ǫt) en todos los larguerillos:

ǫ1 = ǫt = 80 mm/m

9

CdG

0

500

1000

1500

2000

2500

050010001500

Z [

mm

]

Y [mm]

Coordenadas semifuselaje

Figura 7: Coordenadas de larguerillos en fuselaje

ǫ2 = ǫt = 80 mm/m

Los parametros ǫ0 y κ, toman los siguientes valores, sabiendo que estamos en hipotesis de tension plana:

κ =ǫ2 − ǫ1z2 − z1

=ǫ2 − ǫ1h

= 0m−1

ǫ0 = ǫ1 − κz1 = ǫ2 − κz2 = 80mm/m

Presentamos los calculos, que se realizaran de forma analoga al caso anterior, mediante la tabla 10.De la tabla anterior obtenemos el axil maximo y su momento concomitante asociado:

Axil maximo: Nx,max =∑

Nx,i = 5649.16 kN

Momento concomitante asociado: My,Nmax=∑

My,Ni= 112.34 kN ·m

5. Momento mınimo y maximo para axil nulo

En este apartado se calcularan los lımites de momento cuando se tiene un axil nulo aplicado sobre la secciondel fuselaje. Este axil tendra asociados dos momentos que seran los maximos en modulo que soportara laseccion. Como se vera mas adelante, si barremos los diferentes axiles a los que puede estar sometido el fuselaje(delimitados por el axil maximo y mınimo previamente calculados), se obtendra el diagrama de interaccion.

5.1. Momento mınimo

Para el calculo deMmin impondremos, en principio, la rotura del larguerillo inferior por compresion (ǫ1 = ǫu)y emplearemos como parametro de iteracion la deformacion en el larguerillo superior (ǫ2). Esto es ası porque parael calculo de este momento tenemos traccion en el larguerillo superior y compresion en el inferior, y queremosobtener justamente el punto en el que se produce la rotura. Estamos suponiendo, en principio, que la rotura seproduce antes a compresion que a traccion. Dicho esto, definimos la siguiente funcion objetivo:

ψ (ǫ2) = |Nx (ǫ2)−N0|

10

Larguerillo T ipo σi w1 w2 Ωi Ai ni Nx,i My,i

[MPa] [mm] [mm] [mm2] [mm2] [−] [kN ] [kN ·m]

1 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 1 -10.80 14.712 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 2 -21.60 29.003 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 2 -21.60 27.724 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 2 -21.60 25.675 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 2 -21.60 22.966 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 34.077 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 26.708 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 18.979 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 10.9410 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 2.7311 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 -5.5812 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -20.9513 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -33.0214 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -43.8515 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -52.9016 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -59.7017 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -63.9218 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 1 -28.56 -32.68

-700.55 -99.12

Cuadro 9: Tensiones y momentos para calculo de axil mınimo



1 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 1 112.54 -153.312 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 2 225.08 -302.113 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 2 225.08 -288.844 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 2 225.08 -267.505 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 2 225.08 -239.236 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -300.917 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -235.868 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -167.519 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -96.6410 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -24.0911 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 49.3112 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 145.9713 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 230.0714 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 305.5215 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 368.5216 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 415.9317 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 445.3618 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 1 198.95 227.67

5649.16 112.34

Cuadro 10: Tensiones y momentos para calculo de axil maximo

11

Donde N0 es el valor del axil para el que vamos a obtener los dos momentos asociados que rompen la seccion.Calcularemos Nx (ǫ2) y minimizaremos la funcion objetivo anterior (tratando de anular la diferencia entre axilescalculado y dato) mediante la iteracion de ǫ2 con el paquete Solver de Excel. De esta manera, una vez anuladala funcion objetivo, con el valor de ǫ2 obtenido podemos ya obtener el momento mınimo asociado al valor delaxil N0: Mmin =My (ǫ2).

Hay que decir que lo expuesto en el parrafo superior es valido mientras ǫ2 < ǫt. En el momento en el que enel larguerillo superior se alcanza ǫt se debera cambiar el procedimiento de calculo, de manera que a partir dedicho momento se impondra ǫ2 = ǫt y se utilizara ǫ1 como parametro de deformacion en la iteracion, obteniendoel momento mınimo como: Mmin =My (ǫ1).

Fijando el axil dato a cero e iterando las deformaciones como se ha comentado obtenemos los resultadosrecogidos en la tabla 11.



1 L1 274.60 87.00 87.00 33.00 241.80 1 66.40 -90.452 L1 265.74 87.00 87.00 33.00 241.80 2 128.51 -172.493 L1 239.55 87.00 87.00 33.00 241.80 2 115.84 -148.664 L1 197.39 87.00 87.00 33.00 241.80 2 95.46 -113.445 L1 141.54 87.00 87.00 33.00 241.80 2 68.45 -72.756 L2 60.57 107.50 107.50 89.60 347.60 2 42.11 -37.097 L2 -24.11 54.96 54.96 89.60 221.51 2 -10.68 7.378 L2 -101.41 26.80 26.80 89.60 153.92 2 -31.22 15.319 L2 -116.18 25.04 25.04 89.60 149.69 2 -34.78 9.8410 L2 -122.34 24.40 24.40 89.60 148.16 2 -36.25 2.5611 L2 -125.66 24.07 24.07 89.60 147.38 2 -37.04 -5.3512 L3 -153.19 21.80 21.80 128.00 180.33 2 -55.25 -20.2713 L3 -155.31 21.65 21.65 128.00 179.97 2 -55.90 -32.3214 L3 -156.84 21.55 21.55 128.00 179.72 2 -56.37 -43.2815 L3 -157.93 21.47 21.47 128.00 179.54 2 -56.71 -52.5216 L3 -158.67 21.42 21.42 128.00 179.42 2 -56.94 -59.5217 L3 -159.10 21.39 21.39 128.00 179.35 2 -57.07 -63.8718 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 1 -28.56 -32.68

0 -909.61

Cuadro 11: Tensiones y momentos para calculo de momento mınimo para axil nulo

En la figura 8 se muestran representadas las deformaciones y tensiones en cada uno de los larguerillos enesta situacion (Mmin para axil nulo).

Las deformaciones impuestas para obtener los resultados anteriores han sido:

ǫ1 = −12.00mm/m

ǫ2 = 3.92mm/m

ǫ0 = −4.73mm/m

κ = −6.35× 10−3 m−1

Finalmente, el momento mınimo para axil nulo sera:

My,min = −909.61 kN ·m

5.2. Momento maximo

Para el calculo de Mmax el procedimiento es analogo al anterior. Impondremos en principio la rotura dellarguerillo superior por compresion (ǫ2 = ǫu) y emplearemos como parametro de iteracion la deformacion en el

12

0

500

1000

1500

2000

2500

-15 -10 -5 0 5

Z [

mm

]e [mm/m]

Deformaciones

0

500

1000

1500

2000

2500

-200 -100 0 100 200 300

Z [

mm

]

s [MPa]

Tensiones

Figura 8: Deformaciones y tensiones para la situacion de Mmin con axil nulo

larguerillo inferior (ǫ1). Esto es ası porque para el calculo de este momento tenemos traccion en el larguerilloinferior y compresion en el superior, y queremos obtener justamente el punto en el que se produce la rotura.Definimos la siguiente funcion objetivo:

ψ (ǫ1) = |Nx (ǫ1)−N0|

Donde N0 es el valor del axil para el que vamos a obtener los dos momentos asociados que rompen la seccion.Calcularemos Nx (ǫ1) y minimizaremos la funcion objetivo anterior (tratando de anular la diferencia entre axilescalculado y dato) mediante la iteracion de ǫ1 con el paquete Solver de Excel. De esta manera, una vez anuladala funcion objetivo, con el valor de ǫ1 obtenido podemos ya obtener el momento maximo asociado al valor delaxil N0: Mmax =My (ǫ1).

Al igual que en el caso anterior, hay que decir que lo expuesto en el parrafo superior es valido mientrasǫ1 < ǫt. En el momento en el que en el larguerillo inferior se alcanza ǫt se debera cambiar el procedimiento decalculo, de manera que a partir de dicho momento se impondra ǫ1 = ǫt y se utilizara ǫ2 como parametro dedeformacion en la iteracion, obteniendo el momento maximo como: Mmax =My (ǫ2).

En la tabla 12 se presentan los resultados para axil nulo.

En la figura 9 se muestran representadas las deformaciones y tensiones en cada uno de los larguerillos enesta situacion (Mmax para axil nulo).

Las deformaciones impuestas para obtener estos resultados han sido:

ǫ1 = 2.48mm/m

ǫ2 = −12.00mm/m

ǫ0 = −4.13mm/m

κ = 5.78× 10−3 m−1

13



1 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 1 -10.80 14.712 L1 -115.90 25.07 25.07 33.00 93.16 2 -21.60 28.993 L1 -115.69 25.09 25.09 33.00 93.22 2 -21.57 27.684 L1 -115.32 25.13 25.13 33.00 93.31 2 -21.52 25.585 L1 -114.82 25.19 25.19 33.00 93.44 2 -21.46 22.816 L2 -130.33 23.64 23.64 89.60 146.33 2 -38.14 33.607 L2 -129.20 23.74 23.74 89.60 146.58 2 -37.88 26.158 L2 -127.77 23.87 23.87 89.60 146.90 2 -37.54 18.409 L2 -125.88 24.05 24.05 89.60 147.33 2 -37.09 10.4910 L2 -123.10 24.32 24.32 89.60 147.97 2 -36.43 2.5711 L2 -118.32 24.81 24.81 89.60 149.14 2 -35.29 -5.0912 L3 -124.38 24.20 24.20 128.00 186.08 2 -46.29 -16.9813 L3 -55.30 36.29 36.29 128.00 215.09 2 -23.79 -13.7614 L3 21.37 112.00 112.00 128.00 396.80 2 16.96 13.0215 L3 85.41 112.00 112.00 128.00 396.80 2 67.78 62.7716 L3 133.58 112.00 112.00 128.00 396.80 2 106.01 110.8117 L3 163.49 112.00 112.00 128.00 396.80 2 129.75 145.2218 L3 173.63 112.00 112.00 128.00 396.80 1 68.90 78.84

0 585.81

Cuadro 12: Tensiones y momentos para calculo de momento maximo para axil nulo

Y finalmente, el momento maximo para axil nulo sera:

My,max = 585.81 kN ·m

6. Diagrama de interaccion en hipotesis no lineal

6.1. Introduccion

En el presente apartado vamos a obtener y representar el diagrama de interaccion Nu,Mu en hipotesis nolineal. En primer lugar debemos decir que la rotura en la seccion frente a esfuerzos normales se produce cuandoal menos un larguerillo alcanza la deformacion ultima, que puede ser a traccion o a compresion. De esta manera,el diagrama de interaccion se define como el conjunto de puntos en los que al menos un larguerillo ha alcanzadola deformacion ultima.

Se trata, por tanto, de una region de pares de puntos momento, axil en la que no se produce rotura,delimitada por un contorno de puntos en los que sı hay rotura. En el eje horizontal tendremos representado elaxil y en el vertical el momento. Para cada valor del axil hay asociados dos momentos que rompen la seccion,que denominaremos Mmax y Mmin.

El procedimiento de calculo que se va a llevar a cabo se basa en la obtencion de este diagrama punto porpunto, obteniendo las distintas situaciones de rotura de la seccion. Para ello se va a imponer el lımite de roturaen los larguerillos superior o inferior (ǫ2, ǫ1) dependiendo del caso. En definitiva, estableceremos un intervalode valores para el axil Nx y calcularemos para cada uno de ellos los dos momentos asociados que rompen laseccion.

6.2. Calculo y resultados

6.2.1. Proceso de calculo

Llegados a este punto podemos proceder de diversas maneras, la primera serıa aplicar lo comentado en elapartado anterior para diferentes axiles dato, dentro del intervalo [Nx,min, Nx,max], haciendo uso del paqueteSolver. De esta forma se fijarıa el axil y se calcularıa el par de momentos ultimos asociado.

14

0

500

1000

1500

2000

2500

-15 -10 -5 0 5

Z [

mm

]e [mm/m]

Deformaciones

0

500

1000

1500

2000

2500

-200 -100 0 100 200

Z [

mm

]

s [MPa]

Tensiones

Figura 9: Deformaciones y tensiones para la situacion de Mmax con axil nulo

Otra forma de calcular el diagrama de interaccion serıa fijar deformacion ultima en el larguerillo superior(ǫ2) o inferior (ǫ1) e ir variando la del otro larguerillo, acatando siempre la hipotesis de linealidad de lasdeformaciones. El procedimiento completo serıa el explicado a continuacion:

Fijar ǫ2 = ǫ1 = ǫu → se calcularıa el momento ultimo asociado al axil mınimo.

Fijar ǫ2 = ǫu variando ǫ1 hasta un valor de ǫt → se obtendrıan los momentos ultimos positivos, desde elaxil mınimo hasta el momento ultimo maximo.

Fijar ǫ1 = ǫt variando ǫ2 hasta un valor de ǫt → se obtendrıan los momentos ultimos positivos, desde elaxil correspondiente al momento ultimo positivo hasta el axil maximo.

Fijar ǫ1 = ǫ2 = ǫt → se calcularıa el momento ultimo asociado al axil maximo.

Fijar ǫ2 = ǫt variando ǫ1 hasta un valor de ǫu → se obtendrıan los momentos ultimos negativos, desde elaxil maximo hasta el momento ultimo mınimo.

Fijar ǫ1 = ǫu variando ǫ2 hasta un valor de ǫu → se obtendrıan los momentos ultimos negativos, desde elaxil correspondiente al momento ultimo negativo hasta el axil mınimo.

Cabe destacar que, pese a que este ultimo metodo es mas sencillo, adoptamos el comentado en primer lugar,es decir, fijamos un axil dato y calculamos los pares de momentos ultimos asociados mediante iteracion de lafuncion objetivo.

6.2.2. Resultados y diagrama de interaccion

Hemos establecido un intervalo de valores para el axil desde Nx,min hasta Nx,max, ya calculados antes, conun espaciado entre valores de 250 kN. Para cada uno de estos valores del axil hemos llevado a cabo el procedi-miento descrito en los puntos anteriores, obteniendo los resultados recogidos en la tabla 13.

Representando graficamente los valores de la tabla anterior obtenemos el diagrama de interaccion en hipotesisno-lineal (figura 10).

15

Nx Mmin Mmax

[kN] [kN ·m] [kN ·m]

-700.55 -99.12 -99.12-500.00 -334.92 94.00-250.00 -630.56 345.460.00 -909.61 585.81

250.00 -1174.13 818.10500.00 -1417.02 1040.77750.00 -1620.45 1261.441000.00 -1797.80 1467.041250.00 -1943.84 1651.301500.00 -2058.52 1810.651750.00 -2140.89 1941.522000.00 -2188.03 2047.032250.00 -2204.07 2121.322500.00 -2186.63 2165.152750.00 -2143.65 2174.463000.00 -2070.09 2152.473250.00 -1979.63 2099.393500.00 -1865.21 2016.523750.00 -1708.16 1912.444000.00 -1502.90 1779.044250.00 -1273.72 1634.164500.00 -1026.42 1433.334750.00 -763.27 1162.125000.00 -495.87 857.005250.00 -225.28 535.595500.00 18.75 225.545649.15 112.32 112.32

Cuadro 13: Valores diagrama de interaccion

16

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

My

[kN

·m]

Nx [kN]

Diagrama de interacción

My,mín My,máx

Figura 10: Diagrama de interaccion (hipotesis no-lineal)

7. Diagrama de interaccion en hipotesis lineal

7.1. Introduccion

En este punto vamos a obtener y representar el diagrama de interaccion Nu,Mu asumiendo linealidadentre tensiones/deformaciones y considerando como criterio de rotura las tensiones maximas calculadas en losprimeros apartados.

A diferencia del apartado 3, en el que hemos representado las leyes de tension-deformacion de los tres tiposde larguerillo segun el modelo de Ramberg-Osgood (modelo no lineal), en este caso vamos a emplear un modelolineal. Para determinar el criterio de rotura en deformaciones calcularemos las deformaciones ultimas asociadasa las tensiones maximas de traccion y compresion para cada tipo de larguerillo (ya calculadas antes) a partirdel modulo de elasticidad del material E.

Mientras que con Ramberg-Osgood asumıamos que el material plastificaba deformandose una cierta cantidadtras el punto de cambio de pendiente de la curva hasta alcanzar la deformacion ultima, en hipotesis lineal tenemosun comportamiento totalmente elastico. La ley de tension-deformacion en este caso sera:

σx = E ǫx

Y el intervalo de deformaciones a considerar entre los puntos de rotura sera el siguiente:

−fcdE

≤ ǫx ≤fydE

Por otra parte, hay que decir que aunque vamos a emplear un modelo lineal para la ley de tension-deformacion, vamos a seguir asumiendo que el ancho eficaz es variable con la tension.

Por ultimo, dado que el criterio de hipotesis lineal (elasticidad) es mas conservador que el criterio no lineal,es de esperar a priori que el diagrama de interaccion que obtengamos se encuentre en la region interior deldiagrama obtenido en el punto anterior. Posteriormente se representaran conjuntamente ambos para comprobarque se cumple esto.

7.2. Modelo lineal de tension-deformacion para cada tipo de larguerillo

De los primeros apartados tenemos los siguientes datos (tablas 14, 15 y 16).Los puntos lımite de rotura en deformaciones para los tres tipos de larguerillo se resumen en la tabla 17.

17

E fcd fyd[MPa] [MPa] [MPa]70000 -116.02 465.43

Cuadro 14: Tensiones maximas (L1)



Graficamente las leyes de tension-deformacion en hipotesis lineal para cada uno de los larguerillos son lasmostradas en la figura 11.


7.3.1. Calculo de Mmax

Para el calculo deMmax vamos a suponer, en primer lugar, que la rotura se produce por compresion en el lar-guerillo superior (ǫ2 = ǫu) con el valor de deformacion correspondiente al tipo de larguerillo L1 (ǫ2 = −1.66 mm/m).Estableceremos un intervalo de valores para el axil que abarque desde Nmin hasta Nmax, y para cada valor cal-cularemos el correspondiente momento maximo que produce la rotura.

El valor de Nmin lo obtenemos a partir del analisis de los valores de deformacion de los larguerillos en el lımitede rotura, mostrados antes en la tabla correspondiente. Podemos ver que los larguerillos tipo L3 son capacesde soportar hasta una deformacion lımite por compresion ǫu = −2.28 mm/m. Si imponemos directamente estevalor de deformacion en todos los larguerillos de la seccion, logicamente esta habra fallado, pues los larguerillostipo L1 y L2 rompen antes que los L3.

Si en lugar de eso imponemos en todos los larguerillos de la seccion el valor mınimo de ǫu, correspondientea los larguerillos tipo L1, entonces podemos asegurar que en ese punto se producira la rotura debido al fallopor compresion de los larguerillos L1, y podemos obtener directamente el valor del axil que provoca estasituacion. No obstante, vamos a demostrar a continuacion que la seccion es capaz de soportar un axil porcompresion todavıa menor (mas negativo) que el correspondiente a dicha situacion. Para obtener este Nmin,fijamos ǫ1 = −2.28 mm/m e iteramos con ǫ2 hasta el punto lımite en el que se produce la rotura en al menosun larguerillo intermedio de la seccion. Los valores obtenidos para dicho punto son los siguientes:

ǫ1 = −2.28 mm/m

ǫ2 = −1.3204 mm/m

Nmin = −652.44 kN

De manera analoga obtenemos Nmax fijando ǫ1 = 7.16 mm/m e iterando con ǫ2 hasta el punto lımite en elque se produce la rotura en al menos un larguerillo intermedio de la seccion. Los valores obtenidos en este casoson:

ǫ1 = 7.16 mm/m

ǫ2 = 6.579 mm/m

Nmax = 5554.42 kN



18

fcd ǫu fyd ǫt[MPa] [mm/m] [MPa] [mm/m]

L1 -116.02 -1.66 465.43 6.65L2 -132.71 -1.9 491.45 7.02L3 -159.45 -2.28 501.39 7.16

Cuadro 17: Lımites de rotura

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

-4 -2 0 2 4 6 8

s [

MP

a]

ϵ [mm/m]

Ley tensión-deformación con hipótesis lineal

L3 L2 L1

Figura 11: Ley tension-deformacion (hipotesis lineal)

Una vez que tenemos Nmin y Nmax, como hemos comentado antes, estableceremos un intervalo de valorespara el axil entre esos lımites con un espaciado de 250 kN. Para cada axil en ese rango calcularemos el momentomaximo asociado que produce la rotura, a partir de fijar ǫ2 = ǫu e iterar con ǫ1 minimizando la siguiente funcionobjetivo con Solver:

ψ (ǫ1) = |Nx (ǫ1)−N0|

No obstante, en cada iteracion, una vez que hemos obtenido el ǫ1 correspondiente, debemos comprobar queno se ha producido la rotura en ninguno de los larguerillos intermedios de la seccion. Esto es ası porque, talcomo se muestra en la tabla de los lımites de rotura para cada tipo de larguerillo, el larguerillo inferior puedellegar a aguantar hasta una deformacion por traccion de ǫt = 7.16 mm/m, pero los larguerillos intermediosaguantan menos que este lımite. Podrıa ocurrir, por tanto, que obtuviesemos un valor de ǫ1 por debajo del ǫtcorrespondiente, pero ya se hubiese producido la rotura en alguno o varios de los larguerillos intermedios dela seccion. Por ello, para cada valor del axil se calcula el momento maximo asociado y se comprueba que nohaya roto ningun larguerillo intermedio. Si se da esta situacion, se debe imponer el valor de la deformacion maslimitante para obtener la situacion lımite en la que se producirıa la rotura de estos larguerillos intermedios, yentonces obtener el momento correspondiente.

Como ejemplo de lo explicado en el parrafo superior vamos a analizar que ocurre cuando deseamos calcularel momento maximo asociado al caso particular de un axil dato Nx = −600 kN . Como estamos calculandoel Mmax imponemos ǫ2 = −1.66 mm/m e iteramos con ǫ1. Al hacer esto obtenemos: ǫ1 = −1.72 mm/m,pero se ha producido la rotura de los larguerillos 2, 3, 4 y 5 (todos los del tipo L1 menos el primero). Es-to era de esperar observando el valor obtenido para ǫ1 tras la iteracion, pues tenemos en la parte superiorǫ = −1.66 mm/m, en la inferior ǫ = −1.72 mm/m, los primeros larguerillos (tipo L1) tienen un lımite igual alprimero (ǫu = −1.66 mm/m) y al ser el perfil de deformacion lineal, estos primeros larguerillos romperan porsuperar el valor lımite de deformacion a compresion que les corresponde.

La solucion a lo anterior consiste en imponer entonces ǫ1 = −1.66 mm/m manteniendo ǫ2 = −1.66 mm/m.

19

De esta manera estamos ajustando el lımite de rotura de los primeros larguerillos que antes rompıan al haberiterado ǫ1. Los valores que obtenemos al hacer esto son:

Nx = −589.47 kN

ǫ1 = −1.66 mm/m

ǫ2 = −1.66 mm/m

Mmax = −35.69 kN ·m

Por otra parte, hay que destacar que para los axiles dato positivos el momento maximo se calcula como seha expuesto al principio del presente punto, es decir, imponiendo ǫ2 = −1.66 mm/m e iterando con ǫ1. Llega unmomento en el que las tracciones en los larguerillos de la parte inferior de la seccion superan el valor lımite de loslarguerillos tipo L3 (ǫt = 7.16 mm/m). Cuando ocurre esto, lo que se hace es imponer entonces ǫ1 = 7.16 mm/m,que es el que limita a partir de ese punto, e iterar con ǫ2 obteniendo los correspondientes momentos maximos.De esta forma se asegura que no se produce rotura en ninguno de los larguerillos intermedios.

7.3.2. Calculo de Mmin

El calculo de Mmin es analogo al calculo de Mmax, teniendo en cuenta que en este caso imponemos que larotura se produce por compresion en el larguerillo inferior (ǫ1 = ǫu) con el valor de deformacion correspondienteal tipo de larguerillo L3 (ǫ1 = −2.28 mm/m). Se itera con ǫ2 para cada valor del axil y se obtiene el correspon-diente momento mınimo. Al igual que se ha explicado en el punto anterior, es necesario ir comprobando en laiteracion para cada valor del axil que no se produce rotura en ninguno de los larguerillos intermedios. En el mo-mento en el que esto ocurre se ajustan las deformaciones al caso mas limitante para obtener el correspondienteMmin.

7.3.3. Resultados y diagrama de interaccion

Hemos establecido un intervalo de valores para el axil desde Nmin hasta Nmax, ya calculados antes, con unespaciado entre valores de 250 kN. Para cada uno de estos valores del axil hemos llevado a cabo el procedimientodescrito en los puntos anteriores, obteniendo los resultados de la tabla 18.

Representando graficamente los valores de la tabla anterior obtenemos el diagrama de interaccion en hipotesislineal (figura 12).

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

My

[kN

·m]

Nx [kN]


My,mín My,máx

Figura 12: Diagrama de interaccion (hipotesis lineal)

20

Nx Mmin Mmax

[kN] [kN ·m] [kN ·m]

-652.44 -116.14-600.00 -146.16-589.47 -152.34 -35.69-550.00 -176.13 -13.03-500.00 -208.65 15.78-250.00 -421.93 172.300.00 -626.83 353.67

250.00 -821.68 522.73500.00 -1010.46 683.30750.00 -1192.80 838.461000.00 -1374.03 988.371250.00 -1549.41 1136.811500.00 -1723.97 1281.891750.00 -1826.82 1424.982000.00 -1744.29 1567.802250.00 -1646.31 1710.132500.00 -1522.63 1849.882750.00 -1389.31 1875.093000.00 -1255.99 1753.773250.00 -1122.67 1599.093500.00 -989.35 1440.383750.00 -856.03 1281.674000.00 -722.71 1122.974250.00 -589.38 964.264500.00 -456.06 805.554750.00 -322.74 646.845000.00 -189.42 488.135250.00 -56.10 329.435355.20 0.00 262.645554.42 136.17

Cuadro 18: Valores diagrama de interaccion

21

7.4. Comparacion diagramas de interaccion en hipotesis no-lineal y lineal

En el siguiente grafico se ha representado de manera conjunta el diagrama de interaccion obtenido antespara hipotesis no-lineal y el obtenido para hipotesis lineal en el presente apartado. Se puede apreciar el efectoconservador de la hipotesis lineal entre tensiones/deformaciones, tal como se ha anunciado en los primerosparrafos. El modelo lineal predice unos momentos maximos y mınimos de rotura de la seccion menores en valorabsoluto que los predichos por el modelo no lineal, como se puede ver en la figura 13.

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

My

[kN

·m]

Nx [kN]


My,mín My,máx My,mín My,máx

Figura 13: Diagrama de interaccion (hipotesis no-lineal y lineal)

8. Diagrama momento curvatura

8.1. Introduccion y proceso de calculo

A continuacion vamos a obtener el diagrama momento curvatura κ,M para diferentes valores del axil.Concretamente vamos a estudiar los siguientes casos: Nx = 0.5Nmin, 0.2Nmin, 0, 0.2Nmax, 0.5Nmax repre-sentando en cada caso el diagrama momento curvatura correspondiente.

El diagrama momento curvatura para un axil dado representa una sucesion de pares de puntos κ,M queabarca desde Mmin hasta Mmax correspondiente a dicho axil. Consta de una parte aproximadamente lineal enla que la pendiente se corresponde con la rigidez a flexion, de acuerdo a la siguiente expresion:

My = E Iy κ

El procedimiento de calculo que vamos a llevar a cabo consiste en fijar un valor de la deformacion y obtenerpara dicha deformacion la curvatura κ y el momento M correspondientes. Para obtener la parte de curvaturasy momentos positivos fijaremos ǫ2, mientras que para la parte negativa lo haremos con ǫ1.

Expondremos el proceso de calculo solamente para la parte positiva por simplificar, ya que la negativa estotalmente analoga. Como hemos expuesto arriba, fijamos ǫ2 y establecemos un valor inicial para Z0 (posicionde la lınea neutra de la seccion), que sera nuestro parametro de iteracion. Se puede trabajar con distintascombinaciones de parametros caracterısticos del problema. En nuestro caso, se ha decidido trabajar con ǫ2 y Z0

de tal manera que una vez fijados estos es posible obtener directamente ǫ0 y κ, pues conocemos perfectamente lageometrıa. Con estos dos ultimos tenemos la deformacion en cada uno de los larguerillos ǫi, con lo que podemosobtener tensiones σi, areas Ai, axiles Ni y momentos Mi. De esta manera tenemos:

Nx (Z0) =∑

Ni

22

My (Z0) =∑

Mi

Y definiendo la funcion objetivo:

ψ (Z0) = |Nx (Z0)−N0|

Se trata ahora de iterar con Z0 para el valor fijado de ǫ2 con objeto de minimizar esta funcion para el axildato que se esta considerando. Tras la minimizacion obtenemos la Z0 solucion de tal manera que ya tenemosκ (ǫ2, Z0) y M (ǫ2, Z0). Repitiendo este proceso para el resto de deformaciones ǫ2 del intervalo escogido iremosobteniendo los distintos puntos de la parte positiva del diagrama.

Las expresiones empleadas para el calculo de ǫ0 y κ las obtenemos a partir de la expresion de la deformacionpara un larguerillo:

ǫi = ǫ0 + κ zi

Imponiendo lo siguiente:

ǫ2 = ǫ0 + κ (− |z2|)

0 = ǫ0 + κ (− |z2|+ Z0)

Resolviendo para ǫ0 y κ:

ǫ0 = ǫ2

(

1−|z2|

Z0

)

κ = −ǫ2Z0

Donde z2, segun nuestra geometrıa, es: z2 = −1.362m

Para el caso de la parte negativa de la curva, como se ha comentado antes, el proceso es analogo peroestableciendo un intervalo de valores para ǫ1 en lugar de ǫ2. En este caso trabajaremos con ǫ1 y Z0, obteniendoǫ0 y κ a partir de las expresiones que se deducen de las siguientes ecuaciones:

ǫ1 = ǫ0 + κ z1

0 = ǫ0 + κ (− |z2|+ Z0)

Resolviendo:

ǫ0 = −ǫ1Z0 − |z2|

z1 + |z2| − Z0

κ = −ǫ1

Z0 − z1 − |z2|

Donde z1, segun nuestra geometrıa, es: z1 = 1.144m

8.2. Resultados y diagrama momento curvatura

Siguiendo el procedimiento descrito en el punto anterior, y habiendo establecido un intervalo de diez valorespara la deformacion ǫ entre 0 y ǫu, los resultados obtenidos se recogen en las tablas 19, 20, 21 y 22.

Hay que decir que para el caso de la curva correspondiente a 0.5Nmax ha sido necesario anadir adicional-mente algunos puntos en la zona de curvaturas pequenas para obtener una mejor representacion grafica. Noobstante, en la parte de curvaturas muy pequenas correspondientes a la parte negativa del diagrama se obtenıaun error significativamente elevado al iterar con Solver.

La figura 14 muestra en un mismo grafico los diferentes diagramas momento curvatura para cada uno de losaxiles propuestos en el enunciado.

23

0.5Nmin (-350.27 kN) ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6κ (m−1) 0.00 2.36E-04 9.18E-04 1.49E-03 2.04E-03 2.58E-03

My (kN ·m) 0.00 37.04 120.18 159.08 182.92 200.230.2Nmin (-140.11 kN) ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6

κ (m−1) 0.00 5.85E-04 1.20E-03 1.80E-03 2.36E-03 2.90E-03My (kN ·m) 0.00 177.52 278.24 341.14 372.02 393.32

0 ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6κ (m−1) 0.00 7.40E-04 1.38E-03 1.97E-03 2.54E-03 3.10E-03

My (kN ·m) 0.00 276.56 396.52 456.16 492.19 517.620.2Nmax (1129.83 kN) ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6

κ (m−1) 0.00 1.83E-03 2.54E-03 3.19E-03 3.82E-03 4.43E-03My (kN ·m) 0.00 965.36 1154.77 1274.78 1355.13 1415.48

0.5Nmax (2824.58 kN) ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6κ (m−1) 0.00 3.83E-03 4.89E-03 5.92E-03 0.01 7.97E-03

My (kN ·m) 0.00 1706.41 1853.80 1942.41 2010.17 2053.57

Cuadro 19: Momento curvatura (ǫ2 entre 0 y -6 mm/m)

0.5Nmin (-350.27 kN) ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12κ (m−1) 3.11E-03 3.63E-03 4.15E-03 4.67E-03 5.18E-03

My (kN ·m) 213.58 223.95 232.54 239.83 245.960.2Nmin (-140.11 kN) ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12

κ (m−1) 3.44E-03 3.98E-03 4.51E-03 5.03E-03 5.56E-03My (kN ·m) 409.61 423.44 435.02 444.52 452.53

0 ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12κ (m−1) 3.64E-03 4.18E-03 4.72E-03 5.25E-03 5.78E-03

My (kN ·m) 536.81 551.81 564.97 576.38 585.810.2Nmax (1129.83 kN) ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12

κ (m−1) 5.02E-03 5.62E-03 6.20E-03 6.79E-03 7.37E-03My (kN ·m) 1459.75 1496.56 1525.64 1546.38 1564.28

0.5Nmax (2824.58 kN) ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12κ (m−1) 8.98E-03 1.00E-02 1.10E-02 1.20E-02 1.30E-02

My (kN ·m) 2088.78 2117.10 2140.08 2158.19 2172.97

Cuadro 20: Momento curvatura (ǫ2 entre -7.2 y -12 mm/m)

0.5Nmin (-350.27 kN) ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6κ (m−1) 0.00 -3.23E-04 -1.14E-03 -1.77E-03 -2.36E-03 -2.93E-03

My (kN ·m) 0.00 -83.45 -289.00 -367.62 -411.87 -441.690.2Nmin (-140.11 kN) ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6

κ (m−1) 0.00 -6.90E-04 -1.45E-03 -2.10E-03 -2.71E-03 -3.30E-03My (kN ·m) 0.00 -251.85 -476.13 -571.66 -625.20 -662.08

0 ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6κ (m−1) 0.00 -8.69E-04 -1.64E-03 -2.31E-03 -2.93E-03 -3.53E-03

My (kN ·m) 0.00 -363.03 -594.39 -699.58 -760.73 -802.520.2Nmax (1129.83 kN) ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6

κ (m−1) 0.00 -2.17E-03 -3.01E-03 -3.79E-03 -4.57E-03 -5.32E-03My (kN ·m) 0.00 -1161.23 -1448.28 -1594.99 -1683.39 -1740.88

0.5Nmax (2824.58 kN) ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6κ (m−1) 0.00 -5.53E-03 -7.32E-03 -9.04E-03 -1.07E-02 -1.23E-02

My (kN ·m) 0.00 -1730.85 -1868.68 -1946.64 -1993.02 -2028.41

Cuadro 21: Momento curvatura (ǫ1 entre 0 y -6 mm/m)

24

0.5Nmin (-350.27 kN) ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12κ (m−1) -3.48E-03 -4.02E-03 -4.56E-03 -5.10E-03 -5.62E-03

My (kN ·m) -463.33 -479.68 -493.04 -504.21 -513.520.2Nmin (-140.11 kN) ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12

κ (m−1) -3.88E-03 -4.44E-03 -4.99E-03 -5.53E-03 -6.08E-03My (kN ·m) -689.76 -710.61 -727.76 -741.72 -753.84

0 ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12κ (m−1) -4.11E-03 -4.68E-03 -5.25E-03 -5.80E-03 -6.35E-03

My (kN ·m) -833.46 -857.70 -878.01 -895.67 -909.610.2Nmax (1129.83 kN) ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12

κ (m−1) -6.07E-03 -6.81E-03 -7.53E-03 -8.25E-03 -8.98E-03My (kN ·m) -1782.79 -1816.23 -1839.46 -1858.89 -1875.84

0.5Nmax (2824.58 kN) ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12κ (m−1) -1.40E-02 -1.56E-02 -1.72E-02 -1.88E-02 -2.04E-02

My (kN ·m) -2056.33 -2078.02 -2096.96 -2113.71 -2127.05

Cuadro 22: Momento curvatura (ǫ1 entre -7.2 y -12 mm/m)

Hay varios aspectos importantes a destacar que se deducen de la figura anterior. En primer lugar, se puedever que la curva momento curvatura para cada uno de los axiles dato se mueve entre dos valores de momentolımite, que son precisamente el Mmax y el Mmin asociados al axil en cuestion. Si se comparan estos valoreslımite para un axil en concreto con los que aporta el diagrama de interaccion en hipotesis no lineal (ya mostradoanteriormente) para dicho axil, se puede comprobar que efectivamente coinciden. Esto ya era de esperar, puesel intervalo de deformaciones que hemos definido para la representacion abarca hasta la deformacion ultima acompresion (ǫu) que es capaz de soportar el larguerillo superior (ǫ2) o inferior (ǫ1), segun el caso para Mmax oMmin, repectivamente.

Por otro lado, se puede apreciar tambien que a medida que el axil es mayor (mas positivo) la separacionentre los lımites de Mmin y Mmax aumenta, es decir, la seccion es capaz de soportar momentos mayores hastala rotura. Ademas, puede verse que entre Nx = 0 y Nx = 0.2Nmax hay un salto especialmente relevante en estaseparacion. Este comportamiento queda justificado porque la traccion alivia la parte comprimida de la seccion,por lo que esta es capaz de soportar un mayor momento hasta alcanzar la deformacion ultima a compresion.

9. Flujos de cortante


En este apartado vamos a obtener y representar los flujos debidos a un cortante Vz cuando M = Mmax,Nx = 0. Esta situacion de momento maximo y axil nulo nos determina la geometrıa que debemos considerarpara el estudio, pues quedan perfectamente determinados los anchos eficaces a tener en cuenta en la zona decompresion. Por tanto, a partir de la informacion de M = Mmax y Nx = 0 definiremos una nueva posicion delcentro de gravedad y calcularemos un nuevo momento de inercia. Para ello asumiremos los larguerillos con susanchos eficaces como areas discretas cuyo valor obedece a la siguiente expresion:

Ai = w1 t+ w2 t+Ωi

Los valores de estas areas se muestran en el cuadro 12, mostrado antes para el calculo del momento maximoM =Mmax.

El centro de gravedad con esta configuracion y el momento de inercia son los siguientes:

ZG =∑

Ai Zi∑Ai

= 1.677 m

Iy =∑

Ai z2i = 4.78× 109 mm4

Donde la referencia para el calculo del centro de gravedad se ha tomado en el larguerillo superior, con laparte positiva del eje Z hacia abajo. La posicion se muestra en la figura 15.

25

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

My

[kN

·m]

k [-]

Diagrama momento-curvatura

Nx = -350 kN Nx = -140 kN Nx = 0 kN Nx = 2825 kN Nx = 1130 kN

Figura 14: Diagrama momento curvatura

Para el calculo de los flujos asumiremos la hipotesis lineal y los calcularemos de acuerdo a la siguienteexpresion general para cada uno de los paneles entre larguerillos:

qij = q0 −Vz Ai ziIy

−Vy Ai yiIz

Asumimos que los flujos se concentran en los paneles entre larguerillos y que el flujo entre dos larguerillosconsecutivos es constante.

En nuestro caso, como solamente vamos a analizar los flujos debidos a un cortante Vz, la expresion a emplearsera:

qij = q0 −Vz Ai ziIy

Para calcular el flujo de un panel necesitamos, por tanto, el flujo del panel anterior y el momento estatico delarea discreta entre ambos paneles. Hay que anadir que este area discreta debe incluir no solamente el area delperfil del larguerillo, sino tambien el ancho efectivo de piel a su alrededor que es capaz de resistir los esfuerzos.Segun la hipotesis de calculo no lineal que estamos llevando a cabo, para una situacion de M =Mmax, Nx = 0habra unos larguerillos que trabajen a compresion y otros a traccion, habiendo una reduccion de area en losque lo hacen a compresion, en funcion de la tension a la que estan sometidos. Por tanto, para el calculo de ca-da uno de los flujos en los paneles habra que considerar el area discreta correspondiente para el momento estatico.


Para poder calcular el flujo asociado al panel 1-2 (q1,2) necesitamos imponer la condicion de simetrıa quetenemos en el fuselaje respecto al eje vertical. Tenemos lo siguiente:

q1,2 = q34,1 −Vz A1 z1Iy

26

CdG

CdG anchos

reducidos

0

500

1000

1500

2000

2500

-1500-1000-500050010001500

Z [

mm

]

Y [mm]

Posición CdG para cortante

Figura 15: Posicion del centro de gravedad con anchos eficaces

Por simetrıa: q34,1 = −q1,2

Por tanto:

2 q1,2 = −Vz A1 z1Iy

q1,2 = −Vz A1 z12 Iy

A partir del flujo en el panel 1-2 ya podemos calcular el resto de flujos en los paneles, pues conocemosperfectamente la geometrıa y las areas discretas para el caso M = Mmax, Nx = 0. Calcularemos los flujossolamente para los paneles de un lado del fuselaje pues, como hemos comentado ya, hay simetrıa respecto al ejevertical. El proceso de calculo es el siguiente:

q1,2 = −Vz A1 z12 Iy

= 0.016Vz

q2,3 = q1,2 −Vz A2 z2

Iy= 0.049Vz

q3,4 = q2,3 −Vz A3 z3

Iy= 0.080Vz

Y ası sucesivamente para todos los paneles.Los resultados obtenidos se resumen en la tabla 23.Estos flujos de cortante se representan graficamente sobre la seccion en la figura 16 y en la 17 podemos verlos

de forma mas visual aplicados en cada panel.

10. Cortante ultimo de la seccion


En este punto vamos a calcular el cortante ultimo de la seccion Vzu. Para ello necesitamos, en primer lugar,los flujos de cortante en cada uno de los paneles (ya calculados en el punto anterior). A partir de ellos calculamos

27

Panel qij/Vz[1/m]

1,2 0.0162,3 0.0493,4 0.0804,5 0.1095,6 0.1366,7 0.1727,8 0.2038,9 0.2289,10 0.24610,11 0.25811,12 0.26412,13 0.26213,14 0.25014,15 0.21215,16 0.16216,17 0.10117,18 0.034

Cuadro 23: Flujos de cortante

las tensiones tangenciales con el espesor de cada uno de los paneles: τij = qij/tij . Una vez calculadas las tensionesdebemos observar que panel tiene el valor de tension tangencial mas elevado, pues este sera el panel crıtico queprimero rompera. Estableceremos, por tanto, lo siguiente:

τmax = max τij

τmax ≤ τu

Donde τu es la resistencia tangencial de la piel, que en nuestro caso vale: τu = 160MPa. El espesor de lapiel t es constante para todos los paneles y vale: t = 1.2mm.

De la ultima desigualdad obtendremos el cortante ultimo Vzu.


A partir de los flujos de cortante calculados en el punto anterior, las tensiones tangenciales en cada uno delos paneles son las mostradas en la tabla 24.

Donde observamos que el panel crıtico es el 11, 12 con un valor de tension tangencial:

τmax = 219.643Vz

Por tanto:

219.643Vz ≤ τu

Y obtenemos:

Vz ≤ 728.455 kN

Donde 728.455 kN es el valor del cortante ultimo de la seccion Vzu.

28

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

1,2

2,3

3,4

4,5

5,6

6,7

7,8

8,9

9,10

10,11

11,12

12,13

13,14

14,15

15,16

16,17

17,18

qz,ij/Vz [m-1]

tra

mo

ij

Flujos cortantes

Figura 16: Flujos de cortante

11. Torsor ultimo de la seccion


En este apartado vamos a calcular el torsor ultimo de la seccion Txu. Para ello consideraremos el fuselajecomo una seccion cerrada de una celda en la que tenemos aplicado un torsor Tx. Los flujos seran constantes yde igual valor en todos los paneles, de acuerdo a la siguiente expresion:

q =Tx2AR

Donde AR es el area encerrada en la celda (seccion del fuselaje), que en nuestro caso vale:

AR = 3.925× 106mm2

Ahora se trata de calcular las tensiones tangenciales en cada uno de los paneles: τij = qij/tij y, como losflujos tienen el mismo valor en todos ellos, el panel crıtico que este sometido a una mayor tension tangencialsera aquel que tenga un espesor t menor. Tendremos, por tanto, lo siguiente:

τmax = max τij

τmax ≤ τu

Obteniendo de esta desigualdad el valor del torsor ultimo de la seccion Txu.

29

0

500

1000

1500

2000

2500

-100100300500700900110013001500

z [m

m]

y [mm]

Representación visual de flujos por paneles

Figura 17: Flujos de cortante (representacion visual)


En nuestro caso el espesor es el mismo para todos los paneles (t = 1.2mm), por tanto, tendremos:

τmax =q

t= 106.16Tx

Donde el valor 106.16 esta calculado en unidades [1/m3].

De la desigualdad:

106.16Tx ≤ τu

Obtenemos:

Tx ≤ 1507.13 kN ·m

Donde 1507.13 kN ·m es el valor del torsor ultimo de la seccion Txu.

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Panel qij/Vz τij/Vz[1/m] [1/m2]

1,2 0.016 13.6052,3 0.049 40.4953,4 0.080 66.4434,5 0.109 90.8765,6 0.136 113.3006,7 0.172 143.7467,8 0.203 169.3868,9 0.228 189.9679,10 0.246 205.29210,11 0.258 215.21611,12 0.264 219.64312,13 0.262 217.96713,14 0.250 208.12314,15 0.212 176.87115,16 0.162 134.67816,17 0.101 84.24217,18 0.034 28.671

Cuadro 24: Tensiones tangenciales

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Structural Analysis of an Aircraft Fuselage

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