Stochastic Finance: An Introduction in Dis- -...

Martingal-Maße

Manuel Muller | 29.04.2016 | Mathematisches InstitutStochastic Finance: An Introduction in Dis-crete Time (Hans Follmer, Alexander Schied)

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Inhaltsverzeichnis

Ausgangssituation

Idee und Ziel von Martingalen

Martingale

1. Fundamentalsatz der Finanzmathematik

Beispiel zum FTAP1

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Uberblick

Ausgangssituation


Martingale


Beispiel zum FTAP1


Ausgangssituation

Kurze Wiederholung der wichtigsten Definitionen und Annahmen:

) (⌦,F ,Q) bezeichnet einen Wahrscheinlichkeitsraum versehen miteiner Filtrierung (Ft)t={0,...,T}, wobei T 2 N fur einen festenZeithorizont (Zahl der Handelsperioden) steht.

) Ein Finanzmarkt mit d + 1 Anlagegutern und Zeithorizont T ist ein(Ft)-adaptierter Prozess St = (S0

t ,S1t , ...,Sd

t )t={0,...,T} mit Wertenin Rd+1.

) Eine Handelsstrategie ist ein vorhersehbarer Rd+1-wertigerProzess ⇠ = (⇠0, ⇠) = (⇠0

t , ⇠1t , ..., ⇠

dt )t={1,...,T}.


Ausgangssituation

) Eine Handelsstrategie ⇠ heißt selbstfinanzierend, wenn⇠t ⇤ St = ⇠t+1 ⇤ St fur t = 1, ...,T � 1.

) Der diskontierte Wertprozess V = (Vt)t={0,...,T} fur eineselbstfinanzierende Handelsstrategie ⇠ ist gegeben durch:V0 = ⇠1 ⇤ X 0 und Vt = ⇠t ⇤ X t fur t = 1, ...,Tund X i

t =Si

tS0

tfur t = 0, ...,T , i = 0, ..., d .

) Eine selbstfinanzierende Handelsstrategie ⇠ heißt Arbitrage,wenn V0(⇠) 0 VT (⇠), Q-fast sicher, und P(VT (⇠) > 0) > 0.

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Ausgangssituation


Martingale


Beispiel zum FTAP1

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Zur Untersuchung von Finanzmarkten auf Arbitragefreiheit betrachtenwir haufig andere Wahrscheinlichkeitsmaße auf (⌦,F) als Q.

) Arbitragefreiheit einer Handelsstrategie hangt nur von denNullmengen unter dem Maß Q ab.

) Ersetzt man Q durch ein Maß P mit gleichen Nullmengen, so sindim neuen Marktmodell die Arbitragen die gleichen wie im alten.

) Dann ist P aquivalent zu Q (P ⇠ Q)

Gibt es besondere aquivalente Maße, unter denen dieArbitragefreiheit leicht ersichtlich ist?

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Ausgangssituation


Martingale


Beispiel zum FTAP1


Q-Martingale

Es sei (⌦,F ,Ft ,Q) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Einstochastischer Prozess M = (Mt)t={0,...,T} heißt Q-Martingal indiskreter Zeit, wenn folgende Bedingungen erfullt sind:

(1) Mt ist messbar bezuglich Ft 8 t (adaptiert)(2) EQ[|Mt |] < 1 8 t (Mt 2 L1, integrierbar)(3) EQ[Mt |Fs] = Ms 8 0 s t T (innovativ)

) Der bedingte Erwartungswert einer Beobachtung ist gleich demWert der vorigen Beobachtung.

) Ein Martingal kann als faires Spiel betrachtet werden.


Martingal-Maß und EMM

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (⌦,F) im filtrierten Raum(⌦,F ,Ft ,Q) heißt Martingal-Maß, wenn der diskontiertePreisprozess X i

t fur jedes i = 1, ..., d ein (d-dimensionales)P-Martingal ist. Es muss also gelten:

) EP [X it ] < 1 und EP [X i

t |Fs] = X is, 0 s t T

Ist das Martingal-Maß P zu Q aquivalent (P ⇠ Q), so heißt es einzu Q ¨

aquivalentes Martingal-Maß (EMM).

Die Menge aller aquivalenten Martingal-Maße bezeichnen wir mit P.


Arbitragefreiheit

Arbitragefreiheit einer Handelsstrategie hangt nur von denNullmengen unter dem Maß Q ab.

Zwei Wahrscheinlichkeitsmaße Q und P auf (⌦,F) heißenaquivalent, falls sie dieselben Nullmengen haben, d.h. fallsfur alle A 2 F gilt P(A) = 0 , Q(A) = 0. (Q ⇠ P)

) Ersetzt man Q durch ein Maß P mit gleichen Nullmengen, sosind im neuen Marktmodell die Arbitragen die gleichen wie im alten.

Ist P zusatzlich ein Martingal-Maß, so lasst sich die Arbitragefreiheiteines Finanzmarktes mithilfe des 1. Fundamentalsatzes der Finanz-mathematik charakterisieren.

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Ausgangssituation


Martingale


Beispiel zum FTAP1


1. Fundamentalsatz der Finanzmathematik (FTAP1)

Mithilfe von aquivalenten Martingal-Maßen konnen wir diedynamische Version des 1. Fundamentalsatzes der Finanz-

mathematik einfuhren:

Folgende Aussagen sind fur einen Finanzmarkt auf (⌦,F ,Ft ,Q)aquivalent:

(1) Der Finanzmarkt ist arbitragefrei

(2) Der Finanzmarkt besitzt mindestens ein Q-aquivalentesMartingal-Maß P (P 6= 0)



Beweisidee: (1) ) (2) : arbitragefrei ) EMM existiert

Jedes Mehr-Perioden Modell kann als T Ein-Perioden Modelleaufgefasst werden. Dieses ist genau dann arbitragefrei, wennalle T Ein-Perioden Modelle arbitragefrei sind.

Idee ist nun, durch iteratives Anwenden des FTAP1 im Ein-PeriodenModell ein Wahrscheinlichkeitsmaß PT , ...,P1 =: P 2 P zukonstruieren.

Dann zeigt man: EP [X it |Ft�1] = ... = EPt [X

it |Ft�1] = X i

t�1,d.h (X i

t ) ist ein Martingal unter P.



Beweis: (2) ) (1) : EMM existiert ) arbitragefrei

Zum Beweis der Implikation nutzen wir Doob’s System Theorem.


Doob’s System Theorem

(Doob’s System Theorem). Fur ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q auf(⌦,F) sind folgende Aussagen aquivalent:

(1) Q ist ein Martingal-Maß.

(2) Fur jede selbstfinanzierende Handelsstrategie ⇠ = (⇠0, ⇠) mitbeschranktem ⇠ ist der Wertprozess V (⇠) ein Q-Martingal.

(3) Fur jede selbstfinanzierende Handelsstrategie ⇠ = (⇠0, ⇠) mitEQ[(VT (⇠))

�] < 1 ist V (⇠) ein Q-Martingal.

(4) Fur jede selbstfinanzierende Handelsstrategie ⇠ = (⇠0, ⇠) mitVT (⇠) � 0, Q-fast sicher, gilt EQ[VT (⇠)] = V0(⇠).



Beweis: (2) ) (1) : EMM existiert ) arbitragefrei

Ersetzt man Q durch ein EMM P, so andern wir nichts an der Mengeder Arbitragen. Es genugt also zu zeigen, dass es keine Handels-strategie ⇠ gibt, die unter P eine Arbitrage ist.

Sei ⇠ eine selbstfinanzierende Handelsstrategie mitV0(⇠) 0 VT (⇠), P-fast sicher.

(Doob’s System Theorem (4)) ) EP [VT (⇠)] = V0(⇠) 0.

Aus der Nichtnegativitat von VT (⇠) folgt, dass VT (⇠) = 0, P-fast sicher.

) ⇠ ist keine Arbitrage.

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Ausgangssituation


Martingale


Beispiel zum FTAP1


Beispiel zum FTAP1

Sei ⌦ = {!1,!2,!3} und sei (⌦,P(⌦),Q) ein Wahrscheinlichkeits-raum mit der Filtrierung {{;,⌦},P(⌦)}. Weiter sei St = (S0

t ,S1t ,S2

t )ein Finanzmarkt mit Anfangspreisen S0 = (S0

0 ,S10 ,S

20) = (1, 15, 28)

und Zeithorizont T = 1. S0 bezeichne die risikolose Anlage mitkonstantem Preisprozess in ! und der Zinssatz sei r = 20%.Zu T = 1 seien die Preise durch folgende Matrix gegeben:

✓S1

1(!1) S11(!2) S1

1(!3)S2

1(!1) S21(!2) S2

1(!3)

◆=✓

36 12 1212 36 72

◆

) Ist der Finanzmarkt arbitragefrei?


Beispiel

L

¨

osung:

Um zu bestimmen ob der Finanzmarkt arbitragefrei ist, genugt esdie Menge der EMM P 2 P von Q zu bestimmen (FTAP1). DieEMM ergeben sich als Losungen der linearen Gleichungen:

EP [X k1 |F0] = X0 , EP [

Sk1

S01] =

Sk0

S00= Sk

0 , k = 0, 1, 2.

(1) p1S0

1(!1)

S01

+ p2S0

1(!2)

S01

+ p3S0

1(!3)

S01

= S00

(2) p1S1

1(!1)

S01

+ p2S1

1(!2)

S01

+ p3S1

1(!3)

S01

= S10

(3) p1S2

1(!1)

S01

+ p2S2

1(!2)

S01

+ p3S2

1(!3)

S01

= S20


Beispiel(1) p1 + p2 + p3 = 1(2) 30p1 + 10p2 + 10p3 = 15(3) 10p1 + 30p2 + 60p3 = 28——————————————(1) p1 + p2 + p3 = 1(2) �20p2 � 20p3 = �15(3) +20p2 + 50p3 = 18——————————————(1) p1 + p2 + p3 = 1 ) p1 = 1

4(2) �20p2 � 20p3 = �15 ) p2 = 13

20(3) +30p3 = 3 ) p3 = 1

10

) LGS hat eindeutige Losung P = (p1, p2, p3)T = (14 ,

1320 ,

110)

T , pi > 0.) P 6= 0 , Markt arbitragefrei.


Ende

Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!!!

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