Topologie StNclUrala * 21 * Structural Topology * 1995

Pierre Mongeau Universite du Quebec a Rimouski Richard Pallascio Richard Allaim Universite du Quebec a Montreal C.1.R.A.D .E. C.P. 8888, succursale A Montrea I [Quebec) Canada H3C 3P8

English translation: Traduction anglaise : Harout Kodjian

- Spatial geometric competencies development

Abstract

T childhood to the adult years, following the overlap ping of geometric levels (topological, projective, affine, fol- lowed by metric). Since no geometrically complete and valid research instrument has been identified, a new one had to be developed. Groups of subjects at different ages-children (11- 12 years), adolescents (1 5-1 6 years), young adults (1 8-24 years), adults (3040 years)-were tested to see how they performed at each geometric level. While test results do not confirm the original hypothesis, they do show poor perform- ances related to projective representations. The authors at- tempt to explain these results in relation to the psychometric factors of spatial “relations” and “visualization.”

he authors started with the hypothesis that spatial geometric competencies development evolves, from

Introduction For any representation of space and the objects within it to be accurate, it must progress according to the laws of geom-

- Le developpement des competences spatiales geometriques

RburnB

L de l’enfance jusqu’a l’ige adulte, sur l’imbrication des niveaux geometriques (topologique, projectif, d n e puis metrique). Aucun instrument de recherche geometriquement complet et valide n’ayant ete recense, les auteurs en ont deve- loppe un nouveau. Les performances de groupes de sujets de differents iges, enfants (11-12 ans), adolescents (1 5-1 6 ans), jeunes adultes (18-24 am), adultes (30-40 ans), ont ete testees selon chacun des niveaux geometriques. Les resultats ne per- mettent pas de confirmer l’hypothese de depart. 11s mettent cependant en evidence la faiblesse des performances relatives aux representations projectives. Certaines explications sont avancees en lien avec les facteurs psychometriques de (( rela- tion )) spatiale et de (( visualisation )) spatiale.

es auteurs ont emis l’hypothese que le developpement des competences spatiales geometriques se calque,

Introduction mute representation juste de l’espace ou des objets qu’il con-

Spatial geometric competencies development

Le d4veloppement des competence8 spatiales #4omBtriquer

etry. Yet little is known about how spatial geometric compe- tencies development proceeds beyond childhood. The per- formance of groups of subjects at different ages has been measured to better understand how this development takes place. A brief review of the major work done on spatial com- petencies is followed by the methodology used and the re- sults of the study.

Aside from the work done by Piaget, few studies have tried to measure how spatial competencies evolve, or exam- ined their geometric aspects. In fact, many researchers (Cooper, Glaser, Kosslyn, Pellegrino, Shepard, Sternberg and others: see [lOl) seem more interested in better understand- ing the fundamental processes that underlie the solving of spatial competencies problems than they are in looking at the intrinsic geometrical characteristics of the studied repre- sentations. The same holds true in psychometry, where a statistical analysis is made comparing results from a large number of subjects to specific items without any attention being given to geometric characteristics. Instead, an attempt is made to break results down into their principal compo- nents.

Thus, McGee [8], Lohman [5,6], Eliot and Smith [Z] and Pellegrino, Alderton and Shute [lo] show, through exhaustive and detailed analyses of the body of studies published in the field, that the notion of spatial competencies as measured by the psychometric tests generally used in research can be broken down into two main factors: “spatial relations” and “spatial visualization.”

“Spatial relations” refers to the ability to define and under- stand the relationships that connect various elements te gether into a “spaW unity and to compare unities. The sub- ject must recognize a figure or shape seen from a different point of view, for example.

“Visualization” refers to the ability to manipulate three- dimensional shapes mentally. Visualization is usually meas- ured using two-dimensional representations, or projections. Through a mental operation, the subject transforms one rep resentation so that it corresponds to another, to be chosen from a group of several representations. For example, a pro- jection which corresponds to a surface development is se- lected from a group of several projections.

lkst analysis (see [Zl) shows there is no geometrically complete and valid instrument for measuring spatial compe- tencies, that is, no instrument which includes the geometric

tient s‘elabore en accord avec les lois geometriques. Cepen- dant, le developpement des compktences spatiales geome- triques demeure peu mnnu au dela de l’enfance. Aussi, afin de mieux connaitre cette evolution, les performances de groupes de sujets diiges differents ont ete mesurees. Suite a un bref rappel des principaux travaux portant sur les compe- tences spatiales, les resultats obtenus sont presentes apres l’expod de la methodologie.

Outre les travaux de Piaget, rares sont les etudes qui cherchent a mesurer l’evolution des competences spa- tiales ou prennent en consideration leurs aspects geome- triques. En effet, plusieurs chercheurs (Cooper, Glaser, Kosslyn, Pellegrino, Shepard, Stemberg et dautres : voir [lo]) s’efforcent de mieux comprendre les processus de base sous-jacents a la solution de problemes exigeant des competences spatiales mais aucun ne semble prendre en consideration les qualites geometriques intrinseques des representations etudiees. De mCme le travail des psycho- metriciens, qui repose sur des analyses statistiques compa- rant les resultats obtenus par une masse de sujets a des items donnes, ne prend aucunement en consideration ces qualites gkombtriques. 11s cherchent plutBt a identifier les composantes principales de ces resultats.

Ainsi, selon McGee [8], Lohman [5,6], Eliot et Smith [2], Pellegrino, Alderton et Shute [lo], qui ont effectue des ana- lyses a la fois exhaustives et detaillees de l’ensemble des etudes publiees en ce domaine, il resort, en resume, que la notion de competence spatiale, telle que mesuree par les tests psychometriques generalement employes lors des recherches, est composee de deux facteurs principaux communement appelks ((relation spatiale )) et (( visualisa- tion spatiale D. Le generique de ((relation spatiale )) refere a la capacite detablir et de comprendre les relations qui unissent les divers elements d’un ensemble (( spatial )) et de comparer des ensembles entre eux. Par exemple, le sujet doit reconnaitre une figure ou une forme presentee d’un point de vue different.

Le generique de (( visualisation )) refere, quant a h i , a la capacite de manipuler mentalement des objets tridimension- nels. Cette competence est le plus souvent mesuree a partir de representations bidimensionnelles (projections). Le sujet doit transformer mentalement une premiere representation de fawn 5 choisir parmi plusieurs autres representations celle qui illustre le resultat dune operation. Par exemple, il

Fgum 1 Repdsentations d‘un polyMre (a prisme tmiangulaire 3). Representations of a Polyhedmn (%angular prism”).

levels (see next section) and which can be used to evaluate the spatial geometric competencies development. Topologi- cal, projective and affine aspects are almost always over- looked for the sake of metric aspects. Over 80% of the tests retained as suitable for geometric analysis (212/256) were metric. Of the rest, 11 6% were affine, 2% were projective and only 4% were topological. There are even a few tests (2%) which contain blatant geometric errors [9].

Since the aim of this study was to acquire a better un- derstanding of the spatial geometric competencies devel- opment, a new, geometrically valid research instrument had to be developed before groups of subjects at different ages could be tested.

Geometric Representations of Space The geometric representations of space relie on axioms grouped into four geometric levels which overlap each other: the topological, projective, affine and metric levels. The hier- archical structure proceeds from the topological level to the metric level. Consequently, for a metric representation, the properties that characterize the topological, projective and affine levels are necessarily retained, whereas a topological representation does not display any projective, affine, or met- ric properties per se. In fact, a same family of polyhedrons (prisms, for example) can be depicted using four distinct and geometrically exact representation types (see Figme 1).

A metric representation also contains topological informa- tion since topological properties are previous in the hierar- chy. On the contrary, a topological representation does not necessanly contains the information relative to the projec- tive, affine and metric levels.

Principal topological characteristics include the number of

Topologique Topological

Projectif Projective

Affine Affine

m Metrique

Metric

Topologie sttucturale - 21 Sttuet~ral Topology 1995

doit choisir panni plusieurs projections celle qui correspond a une forme presentee a l’aide dun developpement-plan.

Par ailleurs, l’analyse de la panoplie de tests udises pour mesurer les compt5tences spatiales (voir [2D permet de cons- tater que, dun point de vue geometrique, il n’existe aucun instrument de mesure geometriquement complet et valide. Aucun ne couvre l’ensemble des niveaux geometriques (voir la section suivante) et ne permet devaluer le developpement des compt5tences spatiales geometriques. Les aspects topolo- giques, projectdk et affines y sont presque toujours ignores au profit des aspects metriques. Plus de 82 % (2121256) des tests retenus, parce que pouvant Ctre analyses dun point vue geometrique, sont de nature metrique, 11,6 % sont affines, uniquement 2 % sont project& et seulement 4 96 sont de nature topologique. Un petit nombre (2 %) contient mCme des emurs geometriques flagrantes [9].

L’objectif de cette etude etant de mieux connaitre le developpement des competences spatiales geometriques, il a donc ete necessaire d’elaborer un nouvel instrument de recherche geometriquement valide avant de tester les performances de groupes de sujets d’ages differents.

Repnhentations ghmetriques de I’espace Les representations geometriques de l’espace s’appuient sur des axiomes regroup& en quatre niveaux geometriques im- briques. I1 s’agit des niveaux topologique, project$, affine et metrique. L’imbrication se fait du topologique au metrique. Ainsi une representation metrique conserve necessairement toutes les proprietes propres aux niveaux topologique, projec- tif et affine, tandis qu’une representation topologique ne rend compte d’aucune propriete proprement projective, f i n e ou metrique. En fait, une mCme famille de polyedres, prisma- tiques par exemple, peut Ctre representee par quatre types de representations distinctes et geometriquement exactes (voir figure 1).

Une representation metrique contient egalement les infor- mations topologiques car les proprietes topologiques sont hierarchiquement prealables. Par contre, une representation topologique ne contient pas necessairement les informations relatives aux niveaux projectif, affine et metrique.

Les principales caracteristiques topologiques sont le nombre de faces, de sommets et d’aretes et les proprietes d’adjacence et de connexite. La representation sous forme de graphes conserve ces caracteristiques et proprietes et

I 17

Spatial geometric competencies development

Le ddveloppernent des comp4tences spatiales g4om6triques

sides, vertices and edges and the properties of adjacency and connection. While the representation in graph form retains these characteristics, it does not &play the characteristics of higher levels. When the graph is continuously distorted through stretching, shrinking, bending and twisting, its exact- ness remains unchanged. Thus, when the graph of a prism is continuously distorted, the adjacency of sides is respected, as is the number of vertices, edges and sides.

The projective level corresponds primanly to the proper- ties of incidence of straight lines and planes. These proper- ties are retained in a representation created from a central projection.

The affine level corresponds primanly to the properties of parallelism and convexity. These properties are retained in a representation created from a parallel projection.

The metric level corresponds principally to the study of properties related to distance and angle measurement. ?hro projections need to be used to recover the distances and an- gles’ measurements.

Working Hypothesis In his work on the development of space in the child, Piaget argued that spatial competencies develop according to a set of successively overlapping geometric levels. Development proceeds from the topological to the metric, via the projective level; the notion of proximity precedes the other Euclidean axioms, while intuition based on interiority and exteriority precedes abstraction of a volume. However, little is known with any certainty about the order in which development occurs after 11 to 12 years of age.

petencies development continues to progress according to the overlapping of geometric levels until adulthood. Accord- ing to this hypothesis, performance at the topological level should, therefore, remain higher than at the other levels until adulthood. Similarly, performance at the metric level should improve with age and remain lower than at other levels, while performance at the projective and affine levels should lie between the topological and metric levels.

The observations of Lunkenbein [6,7] deviate from our hypothesis. He notes, using hdactic activities, that children seem to find topological graphs easier than metric represen- tations (surface developments), whereas adults find metric representations easier and tend to reject graphs as possible

The working hypothesis states that spatial geometric com-

ignore celles des niveaux superieurs. Des deformations continues telles que l’etirement, le retrecissement, le pliage et la torsion n’affectent pas la justesse du graphe. Ainsi lorsque le graphe dun prisme est deforme de faqon continue, l’adjacence des faces est respectee, les nombres de sommets, d’arktes et de faces demeurent inchanges. k niveau projectif correspond principalement aux pro-

prietes dincidence des droites et des plans. Ces proprietes sont conservees dans une representation creee suite a une projection centrale.

Le niveau affine correspond principalement aux proprie- tes de parallelisme et de convexite. Ces proprietes sont con- senrees dans une representation creee suite a une projection parallele.

Le niveau metrique correspond principalement a l’etude des proprietes reliees aux distances et aux mesures des angles. Cutilisation de deux projections permet de retrouver ces distances et ces mesures angulaires.

Hypoth&se &travail Piaget dans ses travaux concernant la genese de l’espace chez l’enfant soutient que son developpement respecte l’imbrication des niveaux geometriques. Ce developpe- ment procederait du topologique vers le metrique, en pas- sant par le niveau projectif: la notion de voisinage interve- nant avant les autres axiomes euclidiens, l’intuition des dimensions fondee sur l’interiorite et l’exteriorite interve- nant avant l’abstraction dun volume. Cependant l’ordre des developpements ulterieurs, c’est-adire de 1’8ge de 11- 12 ans a 1’8ge adulte, demeure peu connu et incertain.

Chypothese de travail est que le developpement des com- pktences spatiales geometriques continue a se calquer sur l’imbrication des niveaux geometriques jusqu’a l’8ge adulte. Ainsi, selon cette hypothese, les performances de niveau topologique devraient toujours demeurer supkrieures jusqu’a l’8ge adulte a celles observees pour les autres niveaux geome- triques. De mkme, les performances de niveau metrique de- vraient s’accroitre avec l’8ge et demeurer inferieures aux autres, tandis que celles des niveaux pmjecH et affine de- vraient s‘intercaler entre les niveaux topologique et metrique.

de notre hypothese. I1 note, a partir dactivites didactiques, que les enfants semblent avoir plus de facilite avec les gra- phes topologiques qu’avec les representations metriques que

Tbutefois, les observations de Lunkenbein [6,7] s‘ecartent

Topologie structurale - 21 * Structural Topology * 1995

representations of polyhedral objects. He also observes that both children and adults find it more natural to recognize perspective drawings than to recognize other forms of repre- sentations such as graphs, surface developments and or- thogonal projections. These projections are probably the most accessible. Consequently, the entry point for recogniz- ing geometric properties is likely projective, not topological, for reasons apparently unrelated to geometric properties but rather for purely perceptual and figurative reasons. Lunkenbein, however, made use of relatively familiar axono- metric projections (affine representations of cubes, pyramids, and so on), which cannot be used to state that projective no- tions are actually acquired.

Also, to venfy that spatial geometric competencies devel- opment proceeds effectively from the topological to the met- ric level until adulthood, we wanted to test groups of subjects at different ages to see how they performed at the four geo- metric levels using a geometrically valid method.

Methodology As no geometrically valid and complete test was identified among the many spatial tests inventoried by Eliot and Smith [2], a new battery of tests was developed which minimally covers the four geometric levels. It consists of four tests, each containing ten items. Each of the forty items is made up of two-dimensional representations of three-dimensional ob- jects. The representations are in the form of either graphs or central, parallel or orthogonal projections. A1 the items in the four tests are of the paper-pencil variety for reasons of efficiency in subject examination, as several subjects can be tested at the Same time. This type of item is also in keeping with the tradition of psychometric testing for spatial compe- tencies.

Tb validate item content, large numbers of “question-prob- lems” were sent to several people involved in teaching geom- etry for their comments and reactions. These comments and reactions were used to make final adjustments to the ques- tion-problems and accompanying examples.

The final selection of question-problems for final item preparation was made by a select committee of five experts. For a question-problem to be selected it had to be geometri- cally correct, and simple. Each item involves a different task at the same geometric level. The item is accompanied by the simplest possible example to illustrate the item in question.

sont les developpements-plan, tands que les adultes ont plus de facilite avec ces derniers et ont tendance a rehser les graphes en tant que representations possibles dobjets polye- driques. De m&me, il observe que tous, enfants ou adultes, reconnaissent plus naturellement les dessins en perspective que les autres formes de representation : graphes, developpe- ments-plan, projections orthogonales. Ces projections se- raient les representations les plus accessibles. Ainsi, le point dentree pour la reconnaissance des proprietes geometriques ne serait pas topologique mais projectif et ce, evidemment pas pour des raisons liees a m proprietes geometriques mais plut6t pour des raisons strictement perceptuelles et figura- tives. Lunkenbein utilisait toutefois des projections cavalieres (representations affines) relativement familieres (cube, pyra- mide, etc.), lesquelles ne peuvent pas permettre daffirmer que les notions pmjectives sont veritablement acquises.

Aussi, afin de verifier si effectivement le developpement des comp6tences spatiales geometriques procede du topolo- gique au metrique jusqu’a l’Age adulte, nous avons voulu tester dun point de vue geometriquement valide les perfor- mances spatiales de sujets de merents Ages aux quatre dse- rents niveaux geometriques.

M6thodologie Puisque aucun instrument de mesure geometriquement complet et valide n’a ete identifie parmi la masse de tests spatiaux recenses par Eliot et Smith, [2], une nouvelle batte- rie de tests, couvrant minimalement l’ensemble des niveaux geometriques, a ete developpee. Elle est constituee de quatre tests comportant chacun dix items. Tbus les quarante items sont constitues de representations geometriques bidimen- sionnelles d’objets tri&mensionnels. Il s’agit soit de graphes, soit de projections centrales, affines ou orthogonales. n u s les items de chacun des quatre tests sont donc de type (( crayon- papier )). Ce choix a ete fait pour des raisons defficacite au niveau de la procedure dexamination des sujets. 11s permet- tent de ((tester )) plusieurs sujets simultanement. Par ailleurs, ce type ditem s’inscrit dans la tradition des tests psychome- triques utdises pour mesurer les competences spatiales.

Afin dassurer la validite de contenu de l’ensemble des items, une masse de (( questions-pmblemes )) a ete soumise a plusieurs personnes concernees par l’enseignement de la geometrie. Suite a leurs commentaires et reactions, les (( questions-problemes )) et les exemples les accompagnant

Spatial geomaric competencies development

Le dkreloppement des comp6tences spatiales g6om6triques

Ekemple : Example: Les figures ci-dessous correspondent a une meme forme. Les liens entre les sommets A, B, C et D sont les memes.

The figures below correspond to the same shape. The connections between vertices A, B, C and D are the same.

C

Question : Lequel des graphes cidessous correspond a la forme representee ci-contre.

Which graph below corresponds to the shape represented

Question:

opposite. 0b - - - - - - - -

Indiquez votre reponse. Indicate your answer.

Figure 2 A

Figure 2 Exemple et question accompagnant un item topologique. Example and question accompanying a topological item.

Figure 3 Exemple et question accompagnant un item projectif. Example and question accompanying a projective item.

Figure 4 Exemple et question accompagnant un item affine. Example and question accompanying an affine item.

fiemple : Si on prolonge dans l'espace les aretes de la forme representee cidessous, certaines d'entre elles se croiseront tandis que d'autres ne se rencontreront- jamais. Par exemple I'ar&AB ne rencontre pas l'are5CD. Par contre elle croise CE en un point.

Example: If the edges of the shape represented below are extended into space, some of them cross while others never me% For example, the edxe AB does not meet edge CD. Howevsr, at one point it crosses CE.

Question : Question: En examinant la pyramide representee cidessous, quelle est la paire daretes qui se croisemnt en un point a l'exterieur de la forme, si on les prolonge dans l'espace ?

Choix de reponses / Choice of answers 1) et/and ;

3) 2) D e t / a n d a a E et/and ; c: reponse. 4) AD et/and m.

answer.

Looking at the pyramid represented below, which pair of edges will cross each other at a point outside the shape if the edges are extended into space?

----___ --- -___ B

D

Four of these items-one item per level-are shown in Figurn 2,3,4 and 5. Ests are marked on a pass-fail basis.

The sample is made up of six regular classes of students, ranging from primary level to university: a first group of 45 children (11 and 12 years old), a second group of 23 ado- lescents (15 and 16 years old), three groups of young adults (104 indwiduals) between 18 and 24 years of age, and a final group of 20 adults between the ages of 30 and 35 years. The test was given to 192 people in all. None of them had re- ceived any specific training in geometry.

Of the total sample, the female component is slightly larger than the male component: 65% female, 35% male. The breakdown for children is 62% female, 38% male. For adolescents, the breakdown is 39 % female, 61 % male. The

Exemple : Example: On peut grouper des formes selon le parallelisme de leurs faces. sides.

Shapes can also be grouped by the parallelism of their

Aucune face parallele No parallel side

Une paire de faces paralleles ' h o parallel sides

Question : Lequel des enonds suivants groupe correctement selon le parallelisme de leum faces les cinq formes representees cidessous ? 1) Les formes % A, Bet C 8 ensemble ; 2) Les formes u B et E s ensemble ; 3) Les formes x A, C et E B ensemble ; 4) Les formes x A, C et D v ensemble.

Question: Which statement correctly groups the five shapes represented below by the parallelism of their sides? 1) Shapes "A, Band C" together; 2) Shapes 'Band E" together; 3) Shapes 'A, C and E" together, 4) Shapes "A, C and D" together.

Indiquez votre reponse. Indicate your answer.

FyluN? 4 A

ont ete mis au point.

une derniere selection des (( questions-problemes v mis au point pour la confection finale des items. Les criteres de se- lection hrent la justesse geometrique de la thhe et sa simpli- cite. A chaque item correspond une Gche differente et de niveau geometrique difFerent. Cet item est accompagne dun exemple le plus simple possible illustrant la tiiche demandee. Ainsi, les figum? 2, 3,4 et 5, presentent quatre de ces items, un par niveau geometrique. La correction s'effectue selon le mode su&s ou echec.

reparties du niveau primaire jusqu'au niveau universitaire : un premier groupe de 45 enfants de 11 et 12 ans, un

Finalement, un cornite restreint de cinq experts a effectue

L'echantillon est compose deleves de six classes regulieres

Topolagie structurale 21 -Structural Topology * 1995

Exemple : Ezumple: Les vues de face et de dessus de Using the side and top view la forme representee cidessous of the shape represented permettent de connaitre la below, the real size of the vraie grandeur des faces et des shape’s sides and edges can ar&tes- On peut alors faire un be determined. A surface develmppement plan qui, une development can then be fois replie, permet dobtenir la made which, once folded, forme illustree. results in the illustrated

Vue de face shape.

n Side view - +- Vue du 0 dessus ?bp view

Developpement plan Surface development

Question : Question: Lequel des developpements- plan cidessous permet dobtenir la forme representee par les vues de face et de dessus ci-contre ? opposite?

Which surface development below can be used to get the shape represented by the side and top views shown

2:: Indiquez votre mp view rewnse.

Indicate your

Figure 5 A

Fgwe 5 Exemple et question accompagnant un item m&rique. Example and question accompanying a metric item.

breakdown for young adults is 68% female, 32% male. The adult group consists entirely of females. Subjects were tested in groups. The maximum time allowed for completion of all items was three hours. Subjects could use a pencil, ruler, compass and eraser.

The forty items are significantly correlated at a confidence level of a = .01 with the total of the test. The Cronbach [I] reliability index for all forty items together is ,886. The items are grouped in four blocks according to geometric level. Each block contains ten questions. All items are significantly correlated to the totals of their respective blocks. Similarly, the coeffi- cients are good, given that the items involve a variety of tasks and response modes: .71 for the topological level, .63 for the projective level, .72 for the affine level, .60 for the metric level.

Results As expected, there is a very strong correlation between total performance and age: r = .67. The confidence level is greater than .01. The performance of the groups of subjects does not improve uniformly but, instead, grows sharply between childhood and adolescence and then stagnates (see lable 1).

No significant difference in performance is observed between the sexes (a = .05), nor is

any sigmficant difference between the sexes observed at any one geometric level.

The correlation between age and the total on the test is reflected in the way performance, according to geometric level, progresses from one age group to next. When all 192 subjects are considered together, a significant correlation exists between age and performance accordmg to geometric level: topological = S58, projective = .432, affine = ,675, metric = .52.

In line with overall performance, results compiled accord- ing to age can be broken down into two quite distinct groups, with children on one side and the other age groups on the other (see Bble 2).

els and tend to decrease from the topological to the affine The averages for the children are low at all geometric lev-

deuxieme groupe de 23 adolescents de 15 et 16 ans, puis trois groupes de jeunes adultes (104 individus) entre 18 et 24 ans et finalement un dernier groupe de 20 adultes entre 30 et 35 ans. Un total de 192 personnes ont passe le test. Aucune n’a suivi de formation particuliere en geometne.

Au total, l’echantillon comporte legerement plus de femmes que dhommes : 65 % de femmes, 35 % dhommes. Chez les enfants, la repartition entre les sexes est de 62 % de filles pour 38 % de garGons. Chez les adolescents, elle est de 39 % de filles pour 61 % de garCons. Chez les jeunes adultes, elle est de 68 % de femmes pour 32 % d’hommes. Le groupe de sujets adultes examines est compose exclusi- vement de femmes. Les sujets ont ete examines en groupe. Le temps maximum alloue etait de trois heures pour l’en- semble des items. Les sujets avaient droit a un crayon, une regle, un compas et une gomme a effacer.

Chacun des quarante items est significativement correle a un niveau de confiance de a = 0,Ol avec le total du test. L’in- dice de fiabilite de Cronbach [l] pour les quarante items pris dans leur ensemble est de 0,886. Les items sont regroupes en quatre blocs selon les niveaux geometriques. Chaque regrou- pement comporte dix questions. n u s les items sont significativement correles au total de leur regroupement respectif. De meme, les coefficients de chacun de ces regrou- pements sont bons, compte tenu que les items sont de tAches et modes de reponse vanes : 0,71 pour le niveau topologique ; 0,63 pour le niveau projectf; 0,72 pour le niveau affine ; 0,60 pour le niveau metrique.

R6sultats Conformement aux attentes, la performance totale aux tests est tres fortement correlee a 1’8ge : r = 0,67. Le niveau de con- fiance est de plus de 0,01. mutefois, la performance des groupes de sujets ne s‘accroit pas uniformement. Elle le fait plut6t brusquement entre l’enfance et l’adolescence puis stagne ensuite (voir tableau 1).

entre les sexes n’a ete observee. De plus, il n’existe aucune difference de performance significative entre les sexes quel que soit le niveau geometrique.

L’evolution des performances selon les niveaux geome- triques a travers les groupes d’8ge reflete la correlation observee entre 1’8ge et le total au test. Pour l’ensemble des 192 sujets, 1’8ge et les performances observees selon les

Aucune difference significative (a = 0,OS) de performance

Spatial geometric competencies development

La dbveloppement der compdtences spatieles gbombtriques

Tableau 1 / Table 1 Performance tota le selon I’dge. Total performance according to age.

and increase slightly at the metric level. Their average is significantly lower than those of other age groups for the topological, projective and affine levels. At the metric level their performance cannot be differentiated from the perform- ance of adolescents. The greater success that children show with topological items and the gradual deterioration in their performance at the projective and affine levels are in line with our hypothesis and fit the extended Piagetian model. While improved performance at the metric level seems to contradict this model, it can be explained by the impact of school programs, which are concerned primanly with metric notions: regular figures and shapes, the measurement of area and volume, etc.

It is important, first of all, to note that the difference in performance between adolescents, young adults and adults, increases as one approaches the metric level. Consequently, topological ability does not appear to improve with age, while slightly greater progress is observed at other geometric levels. The results that most improve with age are those for affine items; results on projective items show the least improve- ment, but an improvement which is nonetheless significant.

It is possible that, here too, the situation is only a reflec- tion of the almost exclusive attention given to the metric notions, or isometric projections, employed at all stages of academic training.

A marked decline in performance is observed at the projective level. Contrary to our hypothesis, which supposed

lntervalle de confiance : 95 96 Interval of confidence: 95%

22.5

20

17.5 0 Q \ 15 w

12.5 -

10

7.5 -

5 -

1 I I I I

Enfants Adolescents Jeunes adultes Adultes Children Adolescents Young Adults Adults

Groupe d’8ge Age Group

Enfants (11-12 ans) Adolescents (15-16 ans) Jeunes adultes 06-24 ans) Adultes (30-40 ans)

Children (1 1-12 years) Adolescents (15-16 years) Young Adults (16-24 years) Adults (30-40 years)

niveaux geometriques sont significativement correles : topologique = 0,558; projectif = 0,432 ; affine = 0,675 ; metrique = 0,52.

lorsqu’ils sont compiles selon l’ige, se divisent en deux groupes bien distincts regroupant dune part les enfants et dautre part les autres groupes d’ige (voir tableau 2).

Quel que soit le niveau geometrique, les moyennes des enfants sont faibles et ont tendance a baisser encore du topo- logique a l’affine puis a remonter legerement au niveau me- trique. 11s obtiennent une moyenne signlficativement infe- rieure aux autres groupes d’ige pour les niveaux topologique, projectif et affine. Au niveau metrique, leurs resultats ne peuvent 6tre distingues de ceux des adolescents. Cette reus- site superieure des enfants aux items topologiques et la baisse progressive de leurs performances aux niveaux projec- tif et affine, sont en accord avec notre hypothese et se situent dans le prolongement du modele piagetien. Toutefois, la re- montee des performances au niveau metrique semble en contradiction avec ce modele. Elle peut cependant s’expli- quer par l’impact des programmes scolaires, lesquels font essentiellement reference a des notions metriques : figures et formes regulieres, mesure de surface et de volume, etc.

Chez les adolescents, les jeunes adultes et les adultes, il faut d’abord souligner que les resultats se distinguent de plus en plus entre les groupes dige au fur et a mesure que l’on s’eleve vers le niveau metrique. Ainsi, les performances topo- logiques ne semblent aucunement progresser avec l’ige, tandis que les performances semblent progresser un peu plus a chacun des autres niveaux geometriques. Les items de niveau affine sont ceux dont les resultats s’accroissent le plus en fonction de l’ige et les items de niveau projectif sont ceux dont les resultats s’accroissent le moins mais ils s’accroissent tout de mCme significativement.

Encore une his cette situation ne reflete peutgtre que le peu dattention portee aux notions autres que metriques, ou aux dessins en perspective autres que cavaliere, tout au long des apprentissages academiques.

Ce qui doit Ctre aussi note, c’est la baisse marquee des performances au niveau projectif. Contrairement a notre hypothese de depart qui supposait un affaiblissement con- tinu des performances du topologique au metrique, nous assistons globalement a une chute significative des perfor- mances au niveau projectif et a une homogeneisation des

En accord avec les performances generales, les resultats,

Topologie structurala * 21 * Structural Topology 1995

Tableau2 /Table2 Performances selon I’t9ge et les niveaux gbm6tJiques. Performance according to age and geometric level.

that performance would continuously weaken from the topo- logical to the metric level, there was a significant all-round deterioration in performance at the projective level, while performance at the other three levels-topological, affine, and metric-tended to become more uniform. From this we can posit that the projective level is the one least directly called upon during a person’s many daily learning activities or that the projective level is the most specifically spatial, in that it seems more difficult to solve projective items than items at other levels (topological, affine or metric) using ana- lytical strategies (observation, counting, measuring, etc.). lb solve projective items, the subject has to use strategies that are more specifically spatial in nature, requiring operations and transformations in space characteristic of what psychom- etrists call “visualization;” items for other levels, meanwhile, would be considered more “analytical” as defined by the “re- lations” factor, which is concerned with the ability to “recog- nize” shapes.

More specifically, the averages of adolescents increase in relation to those of children at the topological and affine lev- els, but their performance remains poor at the projective and metric levels. Adolescents have as little success with projec- tive items as they do with metric items. The results for young adults (1 8-24 yrs) are significantly lower (a = .Ol) for projee tive items. Success among adults (30-35 yrs) is relatively uni- form across the board. The hfference between averages becomes less apparent. Adults continue to be less successhl only with projective items.

lntelvalle de confiance : 95 46 - lntewal of confidence: 9546

T I

--- f I _---- -_ - - -__ -_ - -_

I I I 1 I Topologique Projectif Affine MBtrique Topological Projective Affine Metric

Nveaux gbm6ttriques Geometric Levels

Adolescents l - Adolescents Jeunes adultes Young Adults

Adults 1 - Adultes

Enfants (1 1-12 ans) Adolescents (15-16 ans) Jeunes adultes (18-24 ans) Adultes (30-40 ans)

Children (11-12 years) Adolescents (15-16 years) Young Adults (18-24 years) Adults (30-40 years)

performances entre les trois autres niveaux geometriques: topologique, affine et metrique. Ce phenomene nous porte a supposer que le niveau projectif est peut2tre le moins direc- tement sollicite par les diverses activites dapprentissages de la vie quotidienne ou qu’il est peut4tre le plus specifique- ment spatial en ce sens qu’il semble plus a c i l e de resoudre les items projectifs que les autres items (topologiques, &nes ou metriques) a l’aide de strategies analytiques (observer, compter, mesurer, etc.). Les items project& semblent faire appel a des strategies plus proprement spatiales exigeant des operations et des transformations dans l’espace pmpre au facteur wisualisationn identifie par les psychometriciens, tandis que les items des autres niveaux seraient plus (( analy- tiques )) au sens du facteur ((relation D. 11s feraient plus appel a une capacite de (( reconnaissance N des formes.

Plus specifiquement, chez les adolescents, les moyennes augmentent par rapport aux enfants aux niveaux topologique et affine, mais leurs performances aux niveaux projectif et metrique restent faibles. Les items de niveau p r o j e c ~ sont aussi peu reussis que ceux du niveau metrique. Les jeunes adultes (18-24 ans) ont des resultats significativement plus faibles (a = 0,Ol) aux items de niveau projectif. Les adultes (30-35 ans) reussissent de faGon relativement plus homo- genes a travers les niveaux geometriques. Les differences entre les moyennes s’attenuent. Seuls les items de niveau projectif demeurent moins bien reussis.

a pas de dserence significative entre les groupes dadoles- cents, de jeunes adultes et dadultes. Aux niveaux affine et metrique, l’accroissement de la performance entre les groupes dtige semble plus regulier que pour les niveaux topologique et projecM. Au niveau metrique, les adolescents ne se distinguent plus des enfants, seuls les jeunes adultes et les adultes obtiennent alors des resultats significativement superieurs.

Dans les deux premiers cas, topologique et projectif, il n’y

Conclusion Les resultats de nos plus jeunes sujets (11-12 ans) sont en accord avec le modele piagetien. Butefois, les performances observees chez l’ensemble des quatre groupes diige etudies (enfance, adolescence, jeune adulte et adulte) ne permettent pas de confirmer notre hypothese quant a l’ordre dapprc- priation des proprietes geometriques selon leur imbrication (du topologique au metrique) jusqu’a l’iige adulte. En opposi-

cbmpetincies development

Le d6veloppement des compCences spatiales ghnbtriques

Rkferences f References

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At the topological and projective levels, no significant difference is observed between adolescents, young adults and adults. At the affine and metric levels, the improvement in performance among age groups seems to proceed more regularly than at the projective and topological levels. At the metric level, there is no longer any distinction between ado- lescents and children: only the results of young adults and adults are significantly better.

Conclusion The results for the youngest subjects (11-12 years) fit the Pi- agetian model; however, overall performance of the four age groups that were studied (children, adolescents, young adults, adults) does not confirm our hypothesis that geomet- ric properties are appropriated in their overlapping (from the topological to the metric) until adulthood. Contrary to the observations of Lunkenbein, subjects are, from adolescence on, less successful with projective items than they are with other geometric items: a situation that continues into adult- hood. Consequently, the preference for projected representa- tions does not seem to reflect a better mastery of projective notions. On the other hand, while performance on these items continues to improve after the age of twenty, perform- ance on the other items stabilizes and tends to become more uniform as the person gets older.

In fact, performance at each of the four levels improves into the adult years. The most significant change takes place between childhood and adolescence, around 12 to 14 years of age. This change is particularly noticeable for topological items. Weaker performance at the projective level may be explained in part by the relative familiarity of metric and f i n e figures, found more commonly in school books than in day-today life. It may also be explained by the type of psy- chological ability required to solve the items connected with the various geometric levels. Projective items, where a p m jection of the object is interpreted, seem more “operative” as defined by the psychometric factor of “visualization,” which is concerned with the transformation of shapes; items for other levels, where the structure of the object has to be de- scribed, seem more “analytical” as defined by the “relations” factor, which is concerned with shape recognition.

tion avec les observations de Lunkenbein, les items de niveau projectif sont, a partir de l’adolescence, constamment moins bien reussis que ceux des autres niveaux geome- triques et le demeurent jusqu’a l’gge adulte. Ainsi, les prefe- rences exprimees pour les representations en perspective ne semblent pas refleter une meilleure maitrise des notions projectives. Par contre, les performances a ces items conti- nuent de s’ameliorer apres l’ige de vingt ans pendant que les autres se stabilisent et ont tendance a s’homogeneiser en vieillissant.

En fait, les performances a chacun des quatre niveaux progressent jusqu’a l’gge adulte. L‘evolution la plus significa- tive a lieu entre l’enfance et l’adolescence, vers l’sge de 12 a 14 ans. Il est alors particulierement marque pour les items du niveau topologique. Les performances inferieures observees au niveau projectif s’expliquent peut2tre en partie par la relative familiarite des figures metriques et affines, lesquelles sont plus couramment employees tant dans les manuels scolaires que dans la vie courante. Elles peuvent aussi s’expli- quer par le type d’habilete psychologique sollicitee par les items rattaches a ces differents niveaux geometriques. En effet, les items de niveau projectif, ou il s’agit d’interpreter une projection de l‘objet, semblent plus (( operatoires )) au sens du facteur psychometrique (( visualisation )) qui refere a la transformation des formes, tandis que les items des autres niveaux, ou il s’agit de decrire la structure de l’objet, semblent plus (( analytiques )) au sens du facteur ((relation ))

qui refere a la reconnaissance des formes.