Sistemas Lineales Homogeneos con Coeficientes Constantes

Ecuaciones Diferenciales SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

11-7-2011

ESTUDIANTE:

-Emilio Rodríguez Cárdenas

PROFESOR:

-Ing. Raúl Ortiz

SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

1

INDICE

Agenda de Contenidos INDICE ......................................................................................................................................... 1

RESUMEN DE CONTENIDOS ................................................................................................ 2

Ejemplo 1 ......................................................................................................................................... 2

SISTEMAS HERMITIANOS ................................................................................................................ 4

SISTEMAS NO HERMITIANOS .......................................................................................................... 5

Caso 1 .......................................................................................................................................... 5

Caso 2 .......................................................................................................................................... 5

Caso 3 .......................................................................................................................................... 5

PROBLEMAS Y EJERCICIOS ................................................................................................. 7


2

RESUMEN DE CONTENIDOS Para comenzar, se debe demostrar cómo obtener la solución de un sistema lineal homogéneo con

coeficientes constantes, es decir, un sistema de la forma:

(1)

Donde A es una matriz constante de . Similarmente al método de resolución de las

ecuaciones lineales de segundo orden, se debe determinar soluciones de la forma:

(2)

En donde debemos determinar el coeficiente y el vector constante . Si sustituimos de la

ecuación (2) en el sistema (1) obtenemos:

Como el factor: nunca será igual a cero, podemos simplificarlo de ambos miembros, y

agrupando términos semejantes tenemos:

( ) (3)

En donde el termino es la matriz identidad de . Por tanto, consecuentemente debemos

resolver el sistema de ecuaciones (3) para poder obtener la solución del sistema (1).

Para dar solución a este problema, debemos calcular los eigenvalores y eigenvectores de la Matriz

A. Entonces el vector , dado por la ecuación (2) será una solución del sistema (1) solo si es un

eigenvalor y es un eigenvector asociados a la Matriz de coeficientes A.

Para comprender mejor este concepto se analizara el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 1: Encontrar la solución general del Sistema:

*

+ (4)

Si se supone que: y se sustituye en la ecuación (4) se llega al sistema de ecuaciones:

*

+ [

] *

+ ( )


3

Las ecuaciones (5) tienen una solución diferente de la trivial, solo si el determinante de los

coeficientes es igual a cero. Por tanto, a partir de la ecuación tenemos:

*

+ ( )

(6)

En donde las raíces de la ecuación (6) son y , que no son más que eigenvalores de

la matriz de coeficientes de la ecuación (4). Si tomamos la raíz , entonces el sistema (5) se

reduce a:

Por tanto, y el eigenvector correspondiente a puede tomarse como:

( ) * +

De igual manera, correspondiendo a se tiene que , de modo que el eigenvector

es:

( ) *

+

Entonces las soluciones correspondientes de la Ecuación diferencial son:

( ) * + ( ) *

+

Para comprobar que las soluciones obtenidas constituyen un conjunto fundamental de soluciones,

procedemos a calcular el Wronskiano de ( ) ( ).

[ ( ) ( )]( ) [

]

Como el Wronskiano es diferente de cero, se comprueba que ambas soluciones son linealmente

independientes, y la solución general del sistema (4) es:

* + *

+

Donde y son constantes arbitrarias.


4

El sistema planteado (1) se resuelve como en el ejemplo. Para encontrar soluciones del sistema se

deben encontrar los eigenvalor y eigenvectores de A, a partir del sistema algebraico asociado (3).

Los eigenvalores (los cuales no necesariamente son diferentes) son raíces de la ecuación:

( )

Por tanto, la naturaleza de los eigenvalores y eigenvectores determinan la naturaleza de la

solución general del sistema (1).

SISTEMAS HERMITIANOS El problema se vuelve mucho más sencillo cuando A es una matriz hermitiana, es decir, todos los

eigenvalores son reales. Además, siempre existe un conjunto completo de n

eigenvectores ( ) ( ) que son linealmente independientes. EN donde, las soluciones

correspondientes del sistema diferencial (1) son:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (14)

Y para poder demostrar que estas soluciones son independientes, nuevamente se evalúa su

Wronskiano:

[ ( ) ( )]( ) [

( )

( )

( )

( )

]

( ) [

( )

( )

( )

( )

] (15)

Como se puede deducir, la función exponencial nunca es cero, y como los eigenvectores son

linealmente independientes, el determinante del último término de la ecuación (15) es diferente

de cero. Como consecuencia, el Wronskiano nunca es cero, y ( ) ( ) forman un conjunto

fundamental de soluciones. Es decir, cuando la Matriz A es hermitiana, la solución general de la

ecuación es:

( ) ( ) (16)

Una subclase importante de las matrices hermitianas es la clase de las matrices reales simétricas.

Si A es real y simétrica, entonces los eigenvalores y eigenvectores son reales. Por tanto, las

soluciones son reales. Similarmente, si la Matriz A no es real, entonces los eigenvectores y

eigenvalores tienen partes imaginarias diferentes de cero y las soluciones son complejas.


5

SISTEMAS NO HERMITIANOS Si la matriz de coeficientes del sistema:

No es hermitiana, la situación referente a la solución es más complicada. Supongamos que la

Matriz A es real, entonces tendremos 3 posibilidades para los eigenvalores y eigenvectores de A:

1. Todos los eigenvalores son reales y distintos.

2. Algunos eigenvalores ocurren en parejas conjugadas complejas.

3. Algunos eigenvalores se repiten.

Caso 1:

Este caso no presenta dificultades. Para cada eigenvalor existe un solo eigenvector real

linealmente independiente y, consecuentemente, existen n soluciones linealmente de la forma:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

Por tanto, la solución general está dada por la ecuación:

( ) ( )

En donde se entiende que son todos diferentes.

Caso 2:

En este caso aún se tienen soluciones n soluciones linealmente independientes de la forma (14),

siempre que todos los eigenvalores sean diferentes. Obviamente las soluciones que surgen de

eigenvalores complejos serán igualmente complejas.

Caso 3:

La mayor dificultad se presenta cuando algunos eigenvalores se repiten. En este caso, el número

de eigenvectores linealmente independientes es menor que la multiplicidad del eigenvalor. De ser

así, el número de soluciones linealmente independientes será menor que n. Entonces, es

necesario encontrar soluciones adicionales para obtener el conjunto fundamental de soluciones.

La situación es algo semejante a una ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes; una

raíz repetida de la ecuación da como resultado soluciones de la forma:


6

Finalmente, si la Matriz Aes compleja, pero no hermitiana, los eigenvalores complejos no

necesariamente ocurren en parejas conjugadas y los eigenvectores suelen ser de valores

complejos aun cuando el eigenvalor asociado es real. Por tanto, las soluciones de la ecuación

diferencial (1) siguen siendo de la forma (14), pero en general, todas las soluciones son de valores

complejos.


7

PROBLEMAS Y EJERCICIOS En cada uno de los problemas, encuentre le solución general del sistema de ecuaciones dado.

También trace algunas trayectorias y describa el comportamiento de las soluciones cuando t→∞.

1 - *

+

Respuesta:

Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:

*

+ [

] *

+

Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:

( ) De donde obtenemos las raíces: y .

Para , el sistema de ecuaciones se reduce a:

El eigenvector correspondiente es: ( ) ( )

Para , el sistema de ecuaciones es:

Un eigenvector correspondiente es: ( ) ( )

Por tanto, la solución general es:

* + *

+

3 - *

+

Respuesta:


*

+ [

] *

+


( ) De donde obtenemos las raíces: y . Para , el

sistema de ecuaciones se reduce a:



8




* + *

+

Gráfica:

5 - *

+

Respuesta:


*

+ [

] *

+








9


*

+ *

+

Gráfica:

En los problemas dados, encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dado. También,

trazar una cuantas líneas de las trayectorias. En cada uno de estos problemas, la matriz de

coeficientes tiene un eigenvalor cero.

7 - *

+

Respuesta:


*

+ [

] *

+








* + *

+


10

Gráfica:

9 - *

+

Respuesta:


*

+ [

] *

+








*

+ *

+


11

Gráfica:

En cada uno de los problemas, encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dados:

11 – *

+

Respuesta:

La ecuación característica está dada por:

*

+ [

] *

+


( ) ( ) De donde obtenemos las raíces: y . Para

, los componentes del vector solución debe satisfacer: ( )





*

+ *

+


12

13 - [

]

Respuesta:

Analizando la ecuación obtenemos el siguiente eigensistema:

[

] [

] [ ]

De donde, la ecuación característica de la matriz de coeficientes es:

Obtenemos las raíces: . Tomando tenemos:

[

] [

] [ ] El sistema se reduce a las ecuaciones:

Un vector solución correspondiente está dado por: ( ) ( )

Ahora tomamos , y el sistema se reduce a una simple ecuación:

Obtenemos dos soluciones independientes de la forma: ( ) ( ) ( ) ( )


[ ] [

] [

]

15 - [

]

Respuesta:

Analizando la ecuación obtenemos el siguiente eigensistema:

[

] [

] [ ]


( ) De donde obtenemos las raíces:

. Para , el tenemos:


13

[

] [

] [ ] El sistema se reduce a dos ecuaciones:

Un vector solución correspondiente está dado por: ( ) ( )



Finalmente para el sistema de ecuaciones es:



[

] [

] [

]

En cada uno de los problemas, resuelva el problema con valor inicial dado. Describa el

comportamiento de la solución cuando t∞.

17 - *

+ ( ) *

+

Respuesta:


*

+ [

] *

+







Por tanto, la solución general es: * + *

+


14

Tomando las condiciones iniciales, obtenemos el sistema:

Calculamos las constantes

Entonces, la solución particular del problema es:

* +

* +

19 - [

] ( ) [

]

Respuesta:


[

] [

] [ ]


( ) De donde obtenemos las raíces: y

. Para , el sistema de ecuaciones se reduce a:







[

] [ ] [

]


15

Tomando las condiciones iniciales, obtenemos el sistema: [

]

Calculamos las constantes

Entonces, la solución particular del problema es:

[

] [ ]

21 - *

+

Respuesta:


*

+ [

] *

+







Por tanto:

( ) * + ( ) *

+

Evaluamos el Wronskiano de la solución: [ ( ) ( )] Es decir, las soluciones son

linealmente independientes para t>0.

Entonces la solución general es: * + *

+


16

23 - *

+

Respuesta:


*

+ [

] *

+







Por tanto:

( ) * + ( ) *

+

Evaluamos el Wronskiano de la solución: [ ( ) ( )] Es decir, las soluciones son

linealmente independientes para t>0.

Entonces la solución general es: * + *

+

25 –

Respuesta:

a) La solución General es: *

+ * +


17

b)

c)

27 –

Respuesta:

a) La solución General es: *

+ * +


18

b)

c)

d)


19

31 –

a) La solución del sistema, requiere el análisis de las ecuaciones algebraicas:

[

] [

] *

+

La ecuación característica es:

(

) (

)

Los eigenvectores son reales y diferentes, ya que el discriminante es positivo:

(

)

(

)

Simplificando la condición: (

) (

)

b) Todos los parámetros del sistema son positivos. La suma de las raíces es:

Además el producto de las raíces es:

Deduciendo que ambas raíces son negativas, Por tanto, la solución de equilibro I=0, V=0

representa un nodo estable, que contiene a todas las soluciones.

c) Si la condición del literal a) no se cumple:

(

)

(

)

Entonces la parte real de los eigenvalores es:

( ) (

)

Mientras los parámetros sean positivos, las soluciones siempre convergerán con respecto

al punto de equilibro (0,0).

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