Sistema de Resortes y Masa Mate III

FACULTAD DE INGENIERIA ARQUITECTURA Y URBANISMO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Trabajo:

sistema de resorte y masa

Profesor:

edinson idrogo burga

ALUMNOS:

Chávez burgos Yoner

Flores Vallejos William Norbi

tesen guerra JUAN ALEXIS

Slather calderón bravo

.

matematica III SISTEMA DE RESORTES Y AMORTIGUAMINETO

INDICE

SISTEMAS DE RESORTES Y MASAS................................................................................................2

MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO.....................................................................................2

MOVIMIENTO AMORTIGUADO LIBRE...........................................................................................7

MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO..................................................................12

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN Página 1


INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales se usan para obtener resultados aproximados en

distintos campos, uno de ellos es la Ingeniería Civil y la Física (que están

ligadas estrechamente).

En el presente trabajo presentamos un sistema masa – resorte, cuya masa

estará conformada por una viga unida a dos resortes, en cuyo centro le

aplicaremos una masa para que esta viga se deflexione, y el resorte adopte

una postura de fuerza de restitución.

Generalmente, este tipo de sistemas se dan en los sistemas antisísmicos

(amortiguadores y aisladores de energía), por lo que son muy usados en la

construcción de edificios.

OBJETIVOS

Determinar experimentalmente el coeficiente de restitución del resorte

Obtener la ecuación del movimiento del resorte

Obtener la ecuación de la curva elástica y su máxima deflexión vertical

(flecha)

Relacionar el curso de Ecuaciones Diferenciales con la vida real.



SISTEMAS DE RESORTES Y MASAS

Sistema masa resorte en esta sección consideramos diversos sistemas lineales

dinámicos en los cuales cada modelo matemático es una ecuación diferencial

lineal de segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones

iniciales especificadas en el tiempo to.

MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura una masa m1 está unida a

un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza m1 con

una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte

cambiará.

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F,

opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de

alargamiento s. En concreto, F = Ks, donde k es una constante de

proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos

pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este está caracterizado

esencialmente por su número k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras

estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. Entonces,



necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte f de

pie.

Segunda ley de Newton

Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a

una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza

de restauración AZS. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la

masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980

cm/s2, respectivamente. Como se aprecia en la figura 5.2 (b), la condición de

equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x

respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x

+ s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y

que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre),

entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o

resultante, de la fuerza de restitución y el peso:

El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del

resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, podemos

adoptar la conversión que los desplazamientos medidos debajo de la posición

de equilibrio son positivos.



PROBLEMA Nº1: Resuelva e interprete el Problema de valor inicial.

d2 xdt2

+16x=0 , x(0)=10, x ' (0 )=0

SOLUCIÓN

El problema equivale a tirar hacia abajo una masa unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posición de equilibrio, sujetarla hasta que t = 0 y soltarla desde el reposo en ese instante. Al aplicar las condiciones iniciales a la solución.

ANALIZANDO EL PROBLEMA



x (t )=c1 cos (4 t )+c2 sen(4 t)

x (0 )=10

10=c1∗1+c2∗0

luego decimosque

10=c1

Por lo tanto la ecuación que de esta forma

x(t) = 10 cos 4t + c1 sen 4t

Derivando obtenemos la velocidad

x '(t) = -40 sen4t + 4c1 cos 4t……..(1)

Reemplazando x ' (0 )=0en1

x '(t) = -40 sen4t + 4c1 cos 4t

c1=0

Entonces la ecuación del movimiento será

x(t) = 10 cos 4t.

Entonces afirmamos que la solución indica que el sistema permanece en movimiento y la masa va y viene 10 unidades a cada lado de la posición de equilibrio x = 0. Como se ve en la imagen, el periodo de oscilación es 2π/4 = π /2.



PROBLEMA Nº2:

Una masa que pesa 2 Ib. hace que un resorte se estire 6 in. Cuando t = 0, la

masa se suelta desde un punto a 8 in abajo de la posición de equilibrio con una

velocidad inicial, hacia arriba, de 43

ft/s. Deduzca la ecuación del movimiento

libre.

SOLUCIÓN

Como empleamos el sistema técnico de unidades inglesas, las medidas

expresadas en pulgadas se deben pasar a pies: 6 in = 12

ft; 8 in = 23

ft. Además,

debemos convertir las unidades de peso, que están en libras, en unidades de

masa. Partimos de m = W/g y, en este caso, m = 232

; = 116

slug. También,

según la ley de Hooke, 2 = k( 12 )implican que la constante del resorte es k = 4

lb/ft; por lo tanto, la ecuación (1) se transforma en.

El desplazamiento y la velocidad iniciales son x(O) = 23

, x’(O) = - 43

, donde

el signo negativo en la última condición es consecuencia de que la masa recibe

una velocidad inicial en dirección negativa o hacia arriba.

Entonces, w2 = 64, o sea, w = 8, de modo que la solución general de la

ecuación diferencial es.

X(t) = C1 cos 8t + c2 sen 8t.

Al aplicarlas condiciones iniciales a X(t) y x’(t) se obtienen C1 = 23

y c2 = - 16

.

Así, la ecuación del movimiento es.

X(t) = 23

cos 8t - 16

sen 8t.



MOVIMIENTO AMORTIGUADO LIBRE

El concepto de movimiento armónico es un tanto irreal, dado que el movimiento descrito anteriormente asume que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre la masa puesta en movimiento. A menos que la masa está suspendida en un vacío perfecto, habrá al menos una fuerza resistente debida al medio circundante. La masa podría estar suspendida en un medio viscoso o estar conectada a un dispositivo amortiguador de aceleración.

Constante de Amortiguamiento β es proporcional a la velocidad instantánea dx/dt.

Una masa de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de

amortiguamiento numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa

sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta

de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.

De acuerdo con la ley de Hooke, 8 = k(2) da k = 4 lb/ft. Entonces W = mg da

m= 832

=14

slug. Entonces la ecuación diferencial del movimiento es

La ecuación auxiliar de (17) es m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = 0, de forma que m1 =

m2 = -4 . Luego el sistema es críticamente amortiguado y



Al aplicar las condiciones iniciales x(O) = 0 y x’(O) = -3 vemos, a su vez, que c1

= 0 y c2 = -3. Así, la ecuación del movimiento es

Para graficar x(t) procedemos igual que en el ejemplo 4. De x’(t) = -3e -4t ( 1 - 4t)

tenemos que x’(t) = 0 cuando t = 14

. El desplazamiento extremo

correspondiente es x(14

) = -3(14

) e-1 = -0.276 ft. En la figura vemos que

podemos interpretar este valor como el punto en que el contrapeso alcanza una

altura máxima de 0.276 ft sobre su posición de equilibrio

PROBLEMA Nº4:

Un objeto que pesa 16 Ib se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición

de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en

un punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine los

desplazamientos, x(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una

resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea.

SOLUCIÓN

El alargamiento del resorte, después de unir el peso, es 8.2 - 5 = 3.2 ft, de

modo que, según la ley de Hooke, 16 = k(3.2), o sea k = 5 lb/ft. Además, m =

1632

=12

slug y la ecuación diferencial es



Las raíces de m2 + 2m + 10 = 0 son m1 = -1 + 3i y m2 = -1 -3i, lo cual implica

que el sistema es subamortiguado y que

Por último, las condiciones iniciales x(O) = -2 y x’(O) = 0 determinan las

constantes C1 = -2 y C2 = - 23

así que la ecuación de movimiento es

Forma alternativa de x(t) De manera idéntica al procedimiento que

empleamos en la página 200, podemos escribir cualquier solución

En la forma alternativa

En donde A = √C₂²+C₁² y el ángulo de fase Ø queda determinado por las

ecuaciones

En ocasiones, el coeficiente Ae− λt se denomina amplitud amortiguada de las

vibraciones. Dado que la ecuación (23) no es una función periódica, el número

2π/ √ω2−λ ² se llama cuasiperiodo y √ω2−λλ ²/ 2π es la cuasifrecuencia. El

cuasiperiodo es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). El

lector debe comprobar que en la ecuación de movimiento del ejemplo 6, A = 2

√ 103 y ϕ = 4.391. En consecuencia, una forma equivalente de (22) es.



PROBLEMA Nº5: Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies un resorte.

Suponiendo que una fuerza amortiguada que es igual a dos veces la velocidad

instantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación de movimiento si la

masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad

ascendente de 3 pies/seg.

SOLUCIÓN

De la ley de Hooke se ve que 8=k (2 ) da k=4 lb/ pie y que W=mg da

m= 832

=14slug . La ecuación diferencial de movimiento es entonces

1d2 x4 d t 2

=−4 x−2 dxdt

od2 xd t 2

+8 dxdt

+16 x=0 (1)

La ecuación auxiliar para (1) es: m2+8m+16=(m+4 )2=0, así que m1+m2=−4.

Por tanto el sistema está críticamente amortiguado y

( x ) t=C1 e−4 t+C2te

−4 t

Aplicando las condiciones iniciales x (0 )=0 y x ' (0)=−3, se encuentra, a su vez,

que C1=0 y C2=−3. Por tanto la ecuación de movimiento es

x (t )=−3t e−4 t

De x ' (t )=−3e−4 t (1−4 t ) vemos que x ' (t )=0 cuando t=14

. El desplazamiento

correspondiente es x ( 14 )=−3 ( 14 )e−1=−0.276 pies . Como se muestra en la figura

este valor se interpreta para indicar que la masa alcanza una altura máxima de

0.276 pies arriba de la posición de equilibrio.

Sistema críticamente amortiguado



PROBLEMA Nº6:

Se comprueba fácilmente que la solución del problema de valor inicial

es

SOLUCIÓN

El problema se puede interpretar como representando el movimiento

sobreamortiguado de una masa unida a un resorte. La masa se libera una

posición 1 unidad abajo de la posición de equilibrio con una velocidad

descendente abajo 1 pies /s .

Para graficar x (t) , se calcula el valor de t donde la función tiene un extremo;

esto es, el valor del tiempo para el que la primera derivada (velocidad) es cero.

Al derivar la ecuación (16) se obtiene x ’ ( t )=−53e−t±8

3e−4 t

Así que

x ’ ( t )=0

Implica que: e3 t=83, o t=

13ln83

❑

=0.157

Se tiene de la primera derivada, así como de la intuición física

x (0.157)=1.069 ft es, en realidad, un máximo. En otras palabras, la masa llega

a un desplazamiento extremo de 1.069 ft abajo de la posición de equilibrio.

También debemos comprobar si la gráfica cruza al ejet ; esto es, si la masa

pasa por la posición de equilibrio. Esto no puede suceder en este caso, porque

la ecuación x (t)=0 , o e3 t=25,tiene la solución t=

13ln25=−0.305 que es

físicamente irrelevante.



En la figura mostramos la gráfica de x (t) y algunos de sus valores.

Sistema sobre-amortiguado

MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO

Ahora se debe suponer que se toma en consideración una fuerza externa f (t)

que actúa sobre una masa vibratoria en un resorte. Por ejemplo f (t) podría

representar una fuerza conducida que ocasiona movimiento oscilatorio vertical

del soporte del resorte. La inclusión de f (t) en la formulación de la segunda ley

de Newton da la ecuación diferencial del movimiento forzado.

Esta ecuación modela el movimiento forzado Amortiguado, esta es una

combinación de la ecuación del movimiento armónico simple y las diferentes

variables que lo hacen forzado y amortiguado

Esta es una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea.



Una ecuación normalizada para aplicar el problema. Lo único que se hizo es

dividir a la original por m.

PROBLEMA Nº7:

(Sin Amortiguación) Este problema se le llama de Amplitud

Modulada (A.M.).

Donde F0 = constante, x(0) = 0 y x′(0) = 0.

SOLUCIÓN: La ecuación característica:

m2 + ω 2 = 0 ⇒ m = ±ωi

Por lo tanto la solución homogénea y particular es:

Xh(t) = C1 cosωt + C2 senωt

x p=1

D2+w2F0 cos γt=F0

1−γ 2+w2

cos γt=F0

w2−γ 2cos γt

Solución general.

x (t )=C1 coswt+C2 sinwt+F0

w2−γ 2cosγt

Si seguimos con la ecuación inicial

x(0) = 0, x′ (0) = 0

Entonces

C1=−F0w2−γ2

;C2=0

Luego



x (t )=F0

w2−γ 2(−coswt+cosγt ) ¿

2F0w2−γ 2

sin(w−γ2 ) t sin(w+γ

2 ) tEl periodo de sin( w−γ

2 ) se calcula así.

(w−γ2 )T1=2π→T 1=

4 πw−γ

El periodo se sin( w+γ2 ) se calcula así

(w+γ2 )T 2=2 π→T 2=

4 πw−γ⇒ T1 > T2

PROBLEMA Nº8: Resuelva el problema con valor inicial

d2 xd t 2

+w2 x=F0 senγt x (0 )=0 x ' (0 )=0

Donde F0 es una constante y γ ≠ω

SOLUCIÓN

La función complementaria es xc (t )=C1cosωt+C2 senωt. Para obtener una

solución particular se supone x p (t )=A cosγt+B (ω2−γ 2). Por tanto,



x p (t )=F0

ω2−γ 2senγt

Aplicando las condiciones iniciales a la solución general:

x (t )=C1 cosωt+C2 senωt+F0

ω2−γ2senγt

Se obtiene: C1=0 y C2=−γ F0/ω (ω2−γ2 ). Por tanto, la solución es

x (t )=F0

ω (ω2−γ2 )(−γsenωt+ωsenγt ) γ ≠ω

PROBLEMA Nº9:

Cuando una masa de 2 kilogramos se adjunta a un resorte cuya constante es

32N / m, que se detiene en la posición de equilibrio. A partir de t = 0, una fuerza

igual a f (t)=68e−2 t cos (4 t) se aplica al sistema. Encuentra la ecuación de

movimiento en ausencia de amortiguamiento

SOLUCIÓN

Tenemos: m = 2 kg

K = 32 N/m

β=0

Y f (t )=68 e−2 t cos 4 t

Ahora, la ecuación diferencial de la fuerza de movimiento es

m∂ ² x∂ t ²

=−kx−β ∂ x∂ t

+ f (t)

Obtenemos

2∂² x∂ t ²

=−32 x+68e−2t cos4 t o

∂ ² x∂ t ²

+16 x=34 e−2 t cos 4 t …………. (*)

Y las condiciones iniciales son x(0) = 0 , x’(0) = 0

A partir de la ecuación (*) tenemos:



m2+16=0↔m=±4 i

Por lo tanto, la función complementaria es

Xc=C₁cos 4 t+C₂ sen 4 t

Ahora, vamos

Xf=e−2t ¿

Entonces

X ´ f=e−2 t ¿

X ´ ' f=e−2 t ¿)

Ahora, sustituimos estos valores en la ecuación original, obtenemos

e−2 t ¿) = 34 e−2 t cos 4 t

e−2 t ¿] = 34 e−2 t cos 4 t

Igualando los coeficientes, tenemos:

4 A−16 β=34

16 A+4 β=0

La solución de estas dos ecuaciones, obtenemos A=12y B=−2

Entonces Xf=e−2t (12cos 4 t−2 sen 4 t)

Así x (t )=Xc+Xf

x (t )=C ₁cos 4 t+C₂ sen 4 t−e−2 t( 12cos4 t−2 sen4 t)

x ' (t )=−4C₁ sen 4 t+4C₂cos 4 t−2e−2 t( 12cos 4 t−2 sen 4 t)+e−2 t(−2 sen4 t−8 sen 4 t)

Ahora, el ajuste x(0) = 0 da 0=C₁+12↔C ₁=−1

2

Y, el ajuste x’(0) = 0 da 0=4C ₂−1−8↔C₂= 94

Asi, x (t )=−12cos 4 t+ 9

4sen 4 t+e−2 t( 1

2cos 4 t−2 sen 4 t)

Es la solución requerida de movimiento


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