Sistem persamaan linier_a

Pokok BahasanPengantar Sistem Persamaan Linier

Eliminasi Gauss

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIKS

Zahnur 1

1Matematika FMIPA Unsyiah

December 1, 2009

Zahnur SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIKS


Eliminasi Gauss

Referensi:Anton, Howard and Rorres, Chris, ”Elementary Linear Algebra withApplications”, 9th Edition, John Wiley and Sons, 2005

Chapter 1.1 Introduction to Systems of Linear Equations

Chapter 1.2 Gaussian Elimination



Eliminasi Gauss

1 Pengantar Sistem Persamaan LinierPersamaan LinierSistem LinierMatriks yang DiperbesarOperasi Baris Elementer

2 Eliminasi GaussBentuk EselonMetode EliminasiSubstitusi BalikSistem Linier Homogen



Eliminasi Gauss

Persamaan LinierSistem LinierMatriks yang DiperbesarOperasi Baris Elementer

Persamaan linier

Persamaan linear (linear equation) dengan n variabelx1, x2, ⋅ ⋅ ⋅ , xn adalah persamaan yang dapat dinyatakan dalambentuk

a1x1 + a2x2 + ⋅ ⋅ ⋅+ anxn = b

dimana a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅ , an dan b merupakan konstanta real.Variabel-variabel dalam persamaan linier seringkali disebut sebagaifaktor-faktor yang tidak diketahui (unknows).



Eliminasi Gauss


Persamaan linier

Persamaan-persamaan berikut adalah persamaan-persamaan linier:

x1 + 5x2 −√2x3 = 1 (Latihan 1.1 No. 1.a)

x1 = −7x2 + 3x3 (Latihan 1.1 No. 1.c)

�x1 −√2x2 +

13x3 = 71/3 (Latihan 1.1 No. 1.f)

Perhatikan bahwa persamaan-persamaan diatas tidak mengandungkasilkali atau akar dari variabel, semua variabel dalam bentukpangkat pertama dan tidak dalam argumen dari fungsi-fungsitrigonometri, logaritma atau eksponensial.



Eliminasi Gauss


Persamaan linier

Persamaan-persamaan berikut adalah bukan persamaan-persamaanlinier:

x1 + 3x2 + x1x3 = 2 (Latihan 1.1 No. 1.b)⇒ Bukan Persamaan linier karena terdapat perkalian x1x3

x−21 + x2 + 8x3 = 5 (Latihan 1.1 No. 1.d)⇒ Bukan Persamaan linier karena terdapat perpangkatan x−2

1

x3/51 − 2x2 + x3 = 4 (Latihan 1.1 No. 1.e)

⇒ Bukan Persamaan linier karena terdapat perpangkatan x3/51



Eliminasi Gauss


Persamaan linier

Solusi dari persamaan linier a1x1 + a2x2 + ⋅ ⋅ ⋅+ anxn = b adalahsuatu urutan dari n bilangan s1, s2, ⋅ ⋅ ⋅ , sn sedemikian rupasehingga persamaan tersebut akan terpenuhi jika kitamenggantikan x1 = s1, x2 = s2, ⋅ ⋅ ⋅ , xn = sn. Kumpulan semuasolusi dari persamaan itu disebut himpunan solusi (solution set)atau disebut juga solusi umum (general solution) dari persamaantersebut.



Eliminasi Gauss


Persamaan linier

Perhatikan:Aljabar Linier : y = x+ 7Kalkulus : y = f(x) = x+ 7Apakah sama ???Apakah linier ???



Eliminasi Gauss


Sistem linier

Sistem dari m persamaan linier dengan n variabel x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅ , xnyaitu sebuah keluarga dari persamaan-persamaan linier disebutsistem persamaan linier (system of linear equations) ataudisingkat sistem linier.

a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2nxn = b2

......

......

am1x1 + am2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amnxn = bm.

(1)



Eliminasi Gauss


Sistem Linier

Kita ingin menentukan apakah sebuah sistem (1) mempunyaisolusi, yaitu menemukan bilangan-bilangan x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅ , xn yangmemenuhi setiap persamaan pada sistem (1) tersebut.Kita katakan sebuah sistem adalah konsisten (consistent) jikasistem tersebut mempunyai solusi.Jika sebuah sistem tidak mempunyai solusi disebut takkonsisten(inconsistent).Setiap sistem persaaam linier dapat tidak memilki solusi, memilkitepat satu solusi, atau memiliki takhingga banyaknya solusi.



Eliminasi Gauss


Sistem Linier

Contoh

Sistem linier

4x1 − x2 + 3x3 = −13x1 + x2 + 9x3 = −4

memiliki solusi: x1 = 1;x2 = 2;x3 = −1. Jadi konsisten.Sistem linier

x − y = 42x − 2y = 6

tidak memiliki solusi. Jadi tidak konsisten.



Eliminasi Gauss


Matriks yang Diperbesar

Sistem (1) diatas dapat ditulis sebagai

n∑j=1

aijxj = bi, i = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ,m.

Matriks ⎡⎢⎢⎢⎣a11 a12 ⋅ ⋅ ⋅ a1na21 a22 ⋅ ⋅ ⋅ a2n...

...am1 am2 ⋅ ⋅ ⋅ amn

⎤⎥⎥⎥⎦disebut matriks koefisien (coefficient matrix) dari sistem(1) danmatriks



Eliminasi Gauss



⎡⎢⎢⎢⎣a11 a12 ⋅ ⋅ ⋅ a1n b1a21 a22 ⋅ ⋅ ⋅ a2n b2...

......

am1 am2 ⋅ ⋅ ⋅ amn bm

⎤⎥⎥⎥⎦disebut matriks diperluas (augmented matrix) dari sistem (1).



Eliminasi Gauss



Contoh

(Latihan 1.1 No.4.a) Tentukan matriks yang diperbesar untuksistem persamaan linier berikut ini.

3x1 − 2x2 = −14x1 + 5x2 = 37x1 + 3x2 = 2

Penyelesaian: ⎡⎣ 3 −2 −14 5 37 3 2

⎤⎦Perhatian!! Faktor-faktor yang tidak diketahui harus ditulis dalamurutan yang sama untuk setiap persamaan dan konstanta harusberada pada bagian paling kanan.



Eliminasi Gauss


Operasi baris elementer

Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalahdengan menggantikan sistem yang ada dengan sistem baru yangmemiliki himpunan solusi yang sama tetapi penyelesaiannya lebihmudah. Salah satu cara yang sering digunakan untuk mendapatkansistem yang baru adalah dengan melakukan operasi baris yangdisebut operasi baris elementer (elementary row operation).Operasi baris elementer dilakukan dengan:

1 Mengalikan baris dengan konstanta taknol.

2 Menukarkan posisi dua baris.

3 Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.



Eliminasi Gauss



Contoh

Gunakan operasi baris elementer untuk menyelesaikan sistempersamaan berikut:

x + y + 2z = 92x + 4y − 3z = 13x + 6 − 5z = 0



Eliminasi Gauss



Lanjutan dari contoh sebelumnya ...

Penyelesaian:Rubah sistem di atas menjadi bentuk matriks yang diperbesar,sehinga menjadi ⎡⎣ 1 1 2 9

2 4 −3 13 6 −5 0

⎤⎦Tambahkan −2 baris pertama ke baris ke dua untuk memperoleh⎡⎣ 1 1 2 9

0 2 −7 −173 6 −5 0

⎤⎦Zahnur SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIKS


Eliminasi Gauss




Tambahkan −3 baris pertama ke baris ke tiga untuk memperoleh⎡⎣ 1 1 2 90 2 −7 −170 3 −11 −27

⎤⎦Kalikan baris kedua dengan 1

2 untuk memperoleh⎡⎣ 1 1 2 90 1 −7

2 −172

0 3 −11 −27

⎤⎦



Eliminasi Gauss




Tambahkan −3 baris kedua ke baris ke tiga untuk memperoleh⎡⎣ 1 1 2 90 1 −7

2 −172

0 0 −12 −3

2

⎤⎦Kalikan baris ketiga dengan −2 untuk memperoleh⎡⎣ 1 1 2 9

0 1 −72 −17

20 0 1 3

⎤⎦



Eliminasi Gauss




Tambahkan −1 kali baris kedua ke baris pertama untukmemperoleh ⎡⎣ 1 0 11

2352

0 1 −72 −17

20 0 1 3

⎤⎦Tambahkan −11

2 kali baris ketiga ke baris pertama dan 72 kali baris

ketiga ke baris kedua untuk memperoleh⎡⎣ 1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

⎤⎦Jadi diperloleh solusinya x = 1; y = 2; z = 3.



Eliminasi Gauss

Bentuk EselonMetode EliminasiSubstitusi BalikSistem Linier Homogen

Bentuk Eselon

Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi(reduced row-echelon form) jika matriks tersebut memilkisifat-sifat berikut ini:

1 Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, makabilangan taknol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan 1ini disebut 1 utama (leading 1).

2 Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, makabaris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagianpaling bawah dari matriks.

3 Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnyaterdiri dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendahterdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama padabaris yang lebih tinggi.

4 Setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol padatempat-tempat lainnya.



Eliminasi Gauss


Bentuk Eselon

Sebuah matriks yang hanya memiliki sifat-sifat 1 sampai 3 di atasmaka matriks tersebut dikatakan dalam bentuk eselon baris(row-echelon form).

Contoh

Matriks-matriks berikut ini adalah dalam bentuk eselon baristereduksi: ⎡⎣ 1 0 0

0 1 00 0 1

⎤⎦ ,⎡⎣ 1 0 2

0 1 30 0 0

⎤⎦ ,⎡⎣ 0 0 0

0 0 00 0 0

⎤⎦(Latihan 1.2 No. 1.a, 1.h dan 1.j)



Eliminasi Gauss


Bentuk Eselon

Contoh

Matriks-matriks berikut ini adalah bukan dalam bentuk eselonbaris tereduksi: (Latihan 1.2 No. 1.e (revisi), 1.f dan 1.g)⎡⎣ 1 0 0

0 0 00 0 1

⎤⎦⇒ Sifat 2 tidak dipenuhi.

⎡⎣ 0 1 01 0 00 0 0


⎡⎣ 1 1 00 1 00 0 0




Eliminasi Gauss


Bentuk Eselon

Contoh

Matriks-matriks berikut ini adalah dalam bentuk eselon baris:(Latihan 1.2 No. 2.b, 2.d dan 1.e)⎡⎣ 1 2 0

0 1 00 0 1

⎤⎦ ,⎡⎣ 1 3 4

0 0 10 0 0

⎤⎦ ,⎡⎣ 1 5 −3

0 1 10 0 0

⎤⎦



Eliminasi Gauss


Bentuk Eselon

Contoh

Matriks-matriks berikut ini adalah bukan dalam bentuk eselonbaris: (Latihan 1.2 No. 2.c, 2.f)⎡⎣ 1 0 0

0 1 00 2 0


⎡⎣ 1 2 30 0 00 0 1




Eliminasi Gauss


Metode Eliminasi

Untuk mereduksi suatu matriks maenjadi bentuk eselon baristereduksi, dilakukan langkah-langkah berikut ini:

1 Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruh entrinya nol.2 Jika perlu, perrtukarkan baris paling atas dengan baris lain

untuk mendapatkan entri taknol pada puncak kolom dari hasillangkah 1.

3 Jika entri yang kini berada pada puncak kolom hasil langkah1. adalah a, kalikan baris pertama dengan 1

a sehinggaterbentuk 1 utama.

4 Tambahkan kelipatan yang sesuai dengan baris paling atas kebaris-baris di bawahnya sehingga semua entri di bawah 1utama menjadi nol.

5 Sekarang tutuplah baris paling atas dari matriks dan ulangilangkah 1. pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkahini hingga matriks berada dalam bentuk eselon baris.



Eliminasi Gauss


Metode Eliminasi

Untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi dilakukan langkahtambahan

Mulai dengan baris taknol terakhir dan bergerak ke atas,tambahkan kelipatan yang sesuai dari tiap baris di atasnyauntuk memperoleh nol di atas 1 utama. Ulangi langkah inisampai matriks berada dalam bentuk selon baris tereduksi.

Catatan:Jika kita hanya menggunakan langkah 1 sampai 5 maka disebuteliminasi Gauss (Gaussian emlimination). Jika kemudiandilanjutkan dengan langkah tambahan maka disebut eliminasiGauss-Jordan (Gauss-Jordan elimination)



Eliminasi Gauss


Metode Eliminasi

Contoh

Selesaikan sistem berikut ini menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.(Latihan 1.2 No. 8.a)

2x1 − 3x2 = −22x1 + x2 = 13x1 + 2x2 = 1



Eliminasi Gauss


Substitusi Balik

Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linier denganmenggunakan eliminasi Gauss, maka matriks yang diperbesar yangdiperoleh umumnya dalam bentuk eselon baris. Untukmenyelsaikannya secara tuntas dilakukkan dengan metode yangdisebut substitusi balik (back-substitution). Langkah-langkahnyaadalah:

1 Selesaikan persamaan-persamaan untuk variabel utama.

2 Mulai dari persamaan paling bawah dan bergerak ke atas,berturut-turut lakukan sustitusi setiap persamaan ke dalampersamaan di atasnya.

3 Terapkan nilai-nilai sebarang (parameter)untukvariabel-variabel bebas, jika ada.



Eliminasi Gauss


Substitusi Balik

Contoh

Selesaikan sistem berikut ini menggunakan eliminasi Gauss.(Latihan 1.2 No. 9.c)

4x1 − 8x2 = 123x1 − 6x2 = 9−2x1 + 4x2 = −6



Eliminasi Gauss


Sistem Linier Homogen

Suatu sistem persamaan linier disebut homogen (homogenous)jika semua konstantanya adalah 0, yaitu:

a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2nxn = 0

......

......

am1x1 + am2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amnxn = 0.



Eliminasi Gauss



Setiap sistem persamaan linier homogen adalah konsisten karenaselalu memiliki solusi x1 = 0, x2 = 0, ⋅ ⋅ ⋅ , xn = 0 yang disebutsolusi trivial (trivial solution). Jika terdapat solusi lain, makasolusi-solusi tersebut disebut solusi nontrivial (nontrivialsolution).



Eliminasi Gauss



Contoh

Selesaikan sistem persamaan linier homogen berikut:

2x − y − 3z = 0−x + 2y − 3z = 0x + y + 4z = 0


Sistem persamaan linier_a

Documents

Transcript of Sistem persamaan linier_a