APLIKASI KOMPUTER

NAMA : RESTU SRI RAHAYUNIM : 06081181520001MATA KULIAH : PROGRAM APLIKASI

KOMPUTERMATERI : PERSAMAAN LINEAR 3

VARIIABELDOSEN PENGAMPUH : HAPIZAH, S.Pd, MTPROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

EVALUASI

SOAL LATIHAN

PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu persamaan yang terdiri atas tiga persamaan dan tiga variable. Bentuk Umum persamaan Linear Tiga Variabel adalah:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, R

Persamaan a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, dan a3x + b3y + c3z = d3 merupakan persamaan di R3. Ketiga bidang tersebut dapat saling berpotongan di sebuah titik, sebuah garis, atau tidak berpotongan.

1. CARA SUBTITUSI2. CARA ELIMINASI SUBTITUSI

3. CARA DETERMINAN

CARA MENYELESAIKAN SPLTV

1. CARA SUBTITUSIUntuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut:2. Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana,

kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

3. Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah pertama (1) ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga diperoleh SPLDV.

4. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah kedua (2)

2. CARA ELIMINASI SUBTITUSIUntuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:1. Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh Sistem

Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV).2. Selesaikan SPLTV yang diperoleh dari langkah (1)3. Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah-langkah

2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lainnya.

3. CARA DETERMINANJika bentuk umum SPLTV:

a1x + b1y + c1z = d1 …………………………………………………… (1)a2x + b2y + c2z = d2 …………………………………………………… (2)a3x + b3y + c3z = d3 …………………………………………………… (3)

maka:

D = Dy=

Dx = Dz =

333

222

111

cbacbacba

333

222

111

cbdcbdcbd

333

222

111

cdacdacda

333

222

111

dbadbadba

Penyelesaian SPLTV tersebut adalah: x = y =

z =

Jika D 0, Dx 0, Dy 0, Dz 0, maka SPLTV tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

Jika D = 0, Dx 0, Dy 0, Dz 0, maka SPLTV tersebut tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

Jika D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0, maka SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

DDx

DDy

DDz

WINTERTemplate

01Dengan metode substitusi tentukan penyelesaian dari x + y – 3z = 22x + y + z = 06x – 3y + 5z = 6

a. x=1, y=-3/4, z=5/4 c. x=1, y=-3/4, z=-5/4b. x=-1, y=3/4, z=5/4 d. x=-1, y=-3/4, z=-5/4

02Dengan metode eliminasi tentukan penyelesaian dari :2x - 5y + 3z = -103x + 4y + 7z = -115x + 3y + 7z = -3

a. x=1, y=2, z=-3 c. x=1, y=-2, z=-3b. x=-1, y=2, z=-3 d. x=-1, y=-2, z=-3

03Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV: x + 2y - z = 6

x + y + 2z = 72x + 2y + 4z = 5

a. HP { } c. HP {2,3,4}b. HP {1,2,3} d. HP {3,4,5}

04Jika Adi, Beni, dan Ceri bekerja bersama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 20 hari, Beni dan Ceri bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 12 hari serta Adi dan Ceri bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan pekerjaan selama 10 hari.Berapa hari waktu yang diperlukan jika mereka bekerja sendiri-sendiri?

a. 20 hari c. 18 harib. 10 hari d. 15 hari

05Diketahui segitiga ABC, DEF, dan GHI. Sudut-sudut D, E, dan F masing-masing dan kali sudut-sudut yang terletak pada segitiga ABC, begitu juga sudut-sudut segitiga GHI masing-masing dan kali sudut-sudut yang setelak pada segitiga ABC. Tentukan besar A, B, dan C.

a. A=40, B=60, C=90 c. A=45, B=65, C=75 b. A=45, B=60, C=75 d. A=40, B=60, C=70

PEMBAHASAN 1. x + y – 3z = 2 . . . . . (1)

2x + y + z = 0 . . . . . (2)6x – 3y + 5z = 6 . . . . . (3)

Dari persamaan (1) didapatkan x = 3z – y + 2 . . . . (4) Persamaan (4) di subtitusikan ke persamaan (2) & (3)

2(3z – y + 2) + y + z = 06z - 2y + 4 + y + z = 07z – y = -4 . . . . . (5) dan

6(3z – y + 2) – 3y + 5z = 618z – 6y + 12 – 3y + 5z = 623z – 9y = -6 . . . . . (6)

Sehingga diperoleh SPLTV berikut: 7z – y = -4 . . . . . (5) 23z – 9y = -6 . . . . . (6)

Selanjutnya kita bisa mencari nilai y & z dengan subtitusi seperti pada SPLDV.

PEMBAHASAN Dari persamaan (5) diperoleh y = 7z + 4 . . . . . (7) Subtitusi persamaan (7) ke persamaan (6)

23z – 9(7z + 4) = -623z – 63z – 36 = -6-40z = 30z = -3/4

Kemudian nilai z = -3/4 di subtitusikan ke persamaan (7)y = 7(-3/4) + 4y = -21/4 + 16/4y = -5/4

Subtitusikan y = -5/4 & z = -3/4 ke persamaan (4)x = 3(-3/4) – (-5/4) + 2x = -9/4 + 5/4 + 8/4x = 4/4 = 1

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah x = 1, y = -3/4, z = -5/4

PEMBAHASAN 2. 2x - 5y + 3z = -10 . . . . . (1) 3x + 4y + 7z = -11 . . . . . (2) 5x + 3y + 7z = -3 . . . . . (3) Eliminasi z dari persamaan (1) & (2) sehingga diperoleh :

2x – 5y + 3z = -10 x 7 14x – 35y + 21z = -705x + 3y + 7z = -11 x 3 9x + 12y + 21z = -33 -

5x – 47y = -37 . . . . . (4) Eliminasi z dari persamaan (2) & (3) sehingga diperoleh :

3x + 4y + 7z = -115x + 3y + 7z = -8 --2x + y = -3 . . . . . (5)

Eliminasi x pada persamaan (4) & (5) diperoleh nilai y: 5x – 47y = -37 x2 10x – 94y = -74 -2x + y = -3 x5 -10x + 5y = -15 -

-89y = -89 y = 1

PEMBAHASAN Eliminasi y dari persamaan (4) & (5) sehingga diperoleh x :

5x – 47y = -37 x1 5x – 47y = -37-2x + y = -3 x47 -94y + 47y = -141 -

- 89x = -178 x = 2

Subtitusikan nilai x = 2 & y = 1 ke persamaan (1) sehingga diperoleh z :2(2) – 5(1) +3z = -104 - 5 + 3z = -10 -1 + 3z = -10

3z = -9 z = -3

Jadi, didapat penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah x=1, y=2, dan z=-3.

PEMBAHASAN

Jawab :D =

- - - + + +

= [(1)(1)(4) + (2)(2)(2) + (- 1)(1)(2)] – [(2)(2)(1) + (1)(2)(2) + (4)(1)(2)]

= 0Dx =

- - - + + +

= [(6)(1)(4) + (2)(2)(5) + (1)(7)(2)] – [(9)(1)(-1) + (2)(2)(6) + (4)(7)(2)]

= -45Dy =

- - - + + + = [(1)(7)(4) + (6)(2)(2) + (-

1)(1)(5)] – [(2)(7)(-1) + (5)(2)(1) + (4)(1)(6)]

= 27

212

211

4232111-21

212

576

4252171-26

276

211

4522711-61

PEMBAHASANDz =

- - - + + + = [(1)(1)(5) + (2)(7)(2) + (6)(1)(2)] – [(2)(1)(6) + (2)(7)(1) + (5)(1)(2)] = 9

SPLTV tak punya anggota dalam HP nya.x = (Tak terhingga)

y = (Tak terhingga)

z = (Tak terhingga)

211

211

522711621

~045

DDx

~0

27

DDy

~09

DDz

SPLTV tak punya anggota dalam HP nya.

PEMBAHASANJika jumlah hari yang diperlukan Adi, Beni, dan Ceri berturut-turut adalah a, b, dan c, maka :

Misal:x = , y = , dan , maka :x + y = …… (1)y + z = …….(2) ……..(3)

Eliminasi z pada persamaan (2) dan (3)y + z = x + z = y – x = ….. (4)

20111

ba 12

111

cb 10111

ca

a1

b1

cz 1

201

121

101

zx

121

101

601

PEMBAHASANEliminasi x pada persamaan (1) dan (4)y + x = y – x = 2y = y = Substitusikan y = ke persamaan (1) = x + y =

x +

Substitusikan x = ke persamaan (3) = maka a = 30

z =

201

601

301

601

601

201

201

601

301

x

301

101

301

z

101

301

z

151

3011

xa

PEMBAHASAN

maka b = 60

maka c – 15

Waktu yang diperlukan Adi, Beni dan Ceri untuk menyelesaikan pekerjaan jika bekerja sendiri-sendiri berturut adalah 30 hari, 60 hari dan 15 hari.

6011

yb

1511

zc

PEMBAHASAN Jawab:

Misalkan A = x, B = y, dan C = z, maka besar jumlah sudut-sudut dalam segitiga = 180°, maka:x + y + z = 180 x + y + z = 180 ………… (1)6/5 x + 11/10 y + 4/5 z = 180 12x + 11 + 8z = 1800 …… (2)10/9 x + 2/3 y + 6/5 z = 180 50x + 30y + 54z = 00 …….. (3)Persamaan x + y + z = 180 z = 18 - x – y substitusi ke persamaan (2) dan (3)12x + 11y + 8z = 1800 12x + 11y + 8(180 – x – y) = 1800 4x + 3y = 360 ………………………………………….. (4)Dan 50x + 30y + 54z= 180050x + 30y + 54(180-x-y) = 8100-4x – 24y = -1620 ………………………………………...(5) 

PEMBAHASAN Eliminasi variabel x dari persamaan (4) dan (5):4x + 3y = 360-4x – 24 y = -1620 +

-21y = -1260 y = 60

Substitusi y = 60 ke dalam 4x + 3y = 360 4x + 3(60)= 360x = 45

Substitusi y = 60 dan x = 45 ke dalam persamaan (1):x + y + z = 18045 + 60 + z = 180

z = 75A = x = 45°B = y = 60°C = z = 75° Besar sudut A = 45°; besar sudut B = 60°; besar sudut C = 75°

MULAI KUIS

WINTERTemplate

01

Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi x + y + 2x = 9 ……….. (1)2x + 4y – 3z = 1 …….. (2)3x + 6y – 5z = 0 …….. (3)

x=1, y=-3, z=5 x= 1, y= 2, z= 3

x=-1, y=3, z=5 x=-1, y=-3, z=-5

SOAL EVALUASI

a

b

c

d

02Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasix + y + 2z = 9 ………………. (1)2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2)3x + 6y – 5z = 0 ……………. (3)

x=1, y=2, z=3 x=1, y=-2, z=-3

x=-1, y=2, z=-3 x=-1, y=-2, z=-3

SOAL EVALUASI

a

b d

c

03Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV: x + y + z = 1

x + 2y + 3z = 53x + 2y – z = -9

HP {-3, -2, 4} HP {2,3,4}

HP {1,2,3} HP {3,4,5}

SOAL EVALUASI

a

b d

c

04Sebuah bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali. Jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu!

1,2,3 3,4,5

4,5,6 3,4,9

SOAL EVALUASI

a

b d

c

05Grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c melalui titik (-1,0), (1,6), dan (2,12). Carilah nilai a, b, dan c kemudian tuliskan persamaan grafik fungsi kuadrat itu!

y = x² + 3x - 2 y = x² - 3x + 2

y = x² + 3x + 2 y = x² - 3x - 2

SOAL EVALUASI

a

b

c

d

CEK SKOR

1. Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi x + y + 2x = 9 ……….. (1)2x + 4y – 3z = 1 …….. (2)3x + 6y – 5z = 0 …….. (3)

Jawab:Dari persamaan (1), kita dapatkan x = 9 – y – 2z ……….. (4)Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3)2(9 – y – 2z) + 4y – 3z = 1 2y – 7 z = -17 ………………………………………………. (5)Dan3(9 – y – 2z) + 6 – 5z = 0 3y – 11z = -27 ……………………………………………….(6)Sehingga diperoleh SPLTV berikut ini.

PEMBAHASAN

2y – 7z = -17 ………………………………………………… (5)3y – 11z = -27 ……………………………………………….. (6)Selanjutnya, kita dapat mencari nilai y dan z dengan cara substitusi seperti pada SPLDV.Dari persamaan (5) diperoleh: y = ………. (7)Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6)

-51 + 21z – 22z = -54 -z = -3 z = 3• Kemudian nilai z = 3 disubstitusikan ke persamaan (7),

diperoleh nilai y = 2• Substitusikan y = 2 dan z=3 ke persamaan (4) diperoleh nilai

x= 1.• Jadi SPLTV tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu

(1,2,3) atau Himpunan Penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}.

2717 e

27112

7173

ze

2. Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasix + y + 2z = 9 ………………. (1)2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2)3x + 6y – 5z = 0 ……………. (3)

Jawab:

Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:x + y + 2z = 9 | x 3 3x + 3y + 6z = 272x + 4y – 3z = 1| x 2 4x + 8y – 6z = 2 +

7x + 11y = 29 ……………..(4)Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh persamaan:2x + 4y - 3z = 1 | x 5 10x + 20y - 15z = 53x + 6y – 5z = 0| x 3 9x + 18y – 15z = 0 _

x + 2y = 5 ………….. (5)

PEMBAHASAN

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu: 7x + 11y = 29 …………… (4) x + 2y = 5 …………….. (5)Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y7x + 11y = 29 | x1 7x + 11y = 29x + 2y = 5 | x7 7x + 14y = 35 _

-3y = -6 y = 2

Eliminasi y pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai x7x + 11y = 29 | x2 14x + 22y = 58 x + 2y = 5 | x11 11x + 22y = 55 _

3x = 3

PEMBAHASAN

Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang paling sederhana (misal persamaan (1)) sehingga diperoleh nilai z x + y + 2x = 9 1 + 1 + 2z = 9

2z = 6 z = 3

Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, z = 3 atau (1, 2, 3)Sedangkan himpunan penyelesaiannya {(1,2,3)}

PEMBAHASAN

Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV: x + y + z = 1

x + 2y + 3z = 53x + 2y – z = -9

PEMBAHASAN

Jawab :3.D =

- - - + + + = [(1)(2)(-1)+(1)(3)(3)+(1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)] = 6

Dx =

- - - + + + = [(-1)(2)(-1)+(1)(3)(-9)+(1)(5)(-2)] – [(-9)(2)(1)+(-2)(3)(-1)+(-1)(5)(1)] = 18

221

311

123

321111

221

9

51

129-

325111-

PEMBAHASAN

Dy =

- - - + + + = [(1)(5)(-1)+(-1)(3)(3)+(1)(1)(-9)] – [(3)(5)(1)+(-9)(3)(1)+(-1)(1)(-1)] = -126

Dz =

- - - + + + = [(1)(2)(-9)+(1)(5)(3)+(-1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)] = 24x =

y =

z =

951

311

193

35111-1

221

311

923

5211-11

3618

DDx

2612

DDy

4624

DDz

HP = {(-3,-2,4)}SPLTV punya satu anggota dalam HP nya.

x =

=

PEMBAHASAN

PEMBAHASAN 4. Misal bilangan itu adalah xyz.x menempati tempat ratusany menempati tempat puluhanz menempati tempat satuanJadi nilai bilangan itu 100x + 10y + zBerdasarkan data pada soal diperoleh SPLTV sebagai berikut:x + y + z = 16 x + y + z = 16 …………….(1)x + y = z - 2 x + y - z= -2 …………….(2)100x+10y + z = 21(x+y+z)+13 79x-11y-20z = 13 …………….(3)Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2)x + y + z = 16x + y – z = -2 _ 2z = 18

z = 9 …………………………………………………….. (4)

PEMBAHASAN Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (3)x + y + z = 16 | x11 | 11x + 11y + 11z = 17679x-11y-20z= 13 | x1 | 79x - 11y - 20z = 13 _

90x - 9z = 189 ……….. (5) Substitusi nilai z = 9 ke persamaan (5) diperoleh:90x – 9(9) = 189 90x – 81 = 189 90x = 270 x = 3Substitusi nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan (1) didapat3 + y + 9 = 16 y = 4 Bilangan itu adalah xyz = 349

PEMBAHASAN Melalui titik (-1,0) x = -1, y = 0y = ax² + bx + c0 = a(-1)² + b(1) + c a – b + c = 0Melalui titik (1,6) x = 1, y = 6y = ax² + bx + c6 = a(1)² + b(1) + c a + b + c = 6Melalui titik (2,12) x = 2, y = 12y = ax² + bx + c12 = a(2)² + b(2) + c 4a + 2b + c = 12

PEMBAHASAN Dengan demikian diperoleh model matematika SPLTV dalam a, b, c sebagai berikut:a – b + c = 0a + b + c = 64a+2b+c = 12Eliminasi variabel c:a – b + c = 0 a + b + c = 6a + b + c = 6 _ 4a + 2b + c = 12 _ -2b = -6 -3a – b = -6 b = 3 3a + b = 6 Substitusi b = 3 ke persamaan 3a + b = 6 diperoleh:3a + 3 = 6 a = 1Substitusi a = 1 dan b = 3 ke persamaan a – b + c = 0, didapat 1 – 3 + c = 0 Jadi nilai a = 1, b = 3, dan c = 2 c = 2 Persamaan fungsi kuadratnya adalah:

y = x² + 3x + 2

JAWABAN ANDA BENAR

12345

JAWABAN ANDA SALAH

12345

TERIMA KASIH