PERSAMAAN DIFFERENSIAL

𝑐

𝑓 (𝑐 )

𝑐+h

𝑓 (𝑐+h)

h

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

IDE AWAL: GRADIEN GARIS SINGGUNG (Tangent Line)

© 2015 - Supaat

𝑐

𝑓 (𝑐 )

𝑐+h

𝑓 (𝑐+h)

h

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

IDE AWAL: GRADIEN GARIS SINGGUNG (Tangent Line)

© 2015 - Supaat

𝑐

𝑓 (𝑐 )

𝑐+h

𝑓 (𝑐+h)

h

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

IDE AWAL: GRADIEN GARIS SINGGUNG (Tangent Line)

© 2015 - Supaat

IDE AWAL: GRADIEN GARIS SINGGUNG (Tangent Line)

𝑐

𝑓 (𝑐 )

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

© 2015 - Supaat

IDE AWAL: GRADIEN GARIS SINGGUNG (Tangent Line)

𝑐

𝑓 (𝑐 )

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

© 2015 - Supaat

DEFINISI FORMAL TURUNAN FUNGSI f DI TITIK c

CONTOH 1: Menentukan Turunan Suatu Fungsi di Titik c = 4 dengan menggunakan definisi formal

Misalkan . Carilah

𝑓 ′ (4 )¿ limh→0

𝑓 (4+h )− 𝑓 (4 )h

¿ limh→0

(13 (4+h )−6 )− (13 (4 )−6 )h

¿ limh→0

(13h+13 (4 )−6 )− (13 (4 )−6 )h

¿ limh→0

13hh

¿13

© 2015 - Supaat

CONTOH 2: Menentukan Turunan Suatu Fungsi di Titik c dengan menggunakan definisi formal

Misalkan . Carilah

𝑓 ′ (𝑐 )¿ limh→0

𝑓 (𝑐+h )− 𝑓 (𝑐 )h

¿ limh→0

((𝑐+h )3+7 (𝑐+h ) )− (𝑐3+7𝑐 )h

¿ limh→0

(𝑐3+3𝑐2h+3𝑐 h2+h3+7𝑐+7h )− (𝑐3+7𝑐 )h

¿ limh→0

h (3𝑐2+3 h𝑐 +h2+7 )h

¿3𝑐2+7

© 2015 - Supaat

CONTOH 3: Menentukan Turunan Suatu Fungsi di Titik c = x dengan menggunakan definisi formal

Misalkan . Carilah

𝑓 ′ (𝑥 )¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )h ¿ lim

h→0

1𝑥+h −

1𝑥

h∙ (𝑥+h ) 𝑥

(𝑥+h ) 𝑥¿ limh→0

𝑥−(𝑥+h)(𝑥+h )𝑥 ∙ h

¿ limh→0

−h(𝑥+h )𝑥 ∙ h

¿ limh→0

−1(𝑥+h )𝑥

¿− 1𝑥 ∙𝑥 ¿− 1

𝑥2

© 2015 - Supaat

𝑐

𝑓 (𝑐 )

𝑐+h

𝑓 (𝑐+h)

h

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

BENTUK LAIN, ARTI TETAP SAMA

𝑐

𝑓 (𝑐 )

𝑥

𝑓 (𝑥)

𝑥−𝑐

𝑦= 𝑓 (𝑥 )

SAMA

ARTINYA DENGAN

© 2015 - Supaat

DEFINISI FORMAL ALTERNATIF

CONTOH 4: Menentukan Turunan Suatu Fungsi di Titik c dengan menggunakan definisi formal alternatif.

Misalkan . Carilah

𝑔 ′ (𝑐 )¿ lim𝑥→𝑐

𝑔 (𝑥 )−𝑔(𝑐 )𝑥−𝑐

¿ lim𝑥→𝑐

2𝑥+3−

2𝑐+3

𝑥−𝑐∙ (𝑥+3 ) (𝑐+3 )

(𝑥+3 ) (𝑐+3 )

¿ lim𝑥→𝑐

2 (𝑐+3 )−2(𝑥+3)(𝑥−𝑐)(𝑥+3)(𝑐+3)

¿ lim𝑥→𝑐

2𝑐−2𝑥(𝑥−𝑐)(𝑥+3)(𝑐+3)

¿ lim𝑥→𝑐

−2(𝑥−𝑐 )(𝑥−𝑐)(𝑥+3)(𝑐+3)

¿ lim𝑥→𝑐

−2(𝑥+3)(𝑐+3)

¿−2

(𝑐+3 ) (𝑐+3 )¿−2

(𝑐+3 )2

© 2015 - Supaat

ATURAN MENCARI TURUNAN (ASAL-USUL)

Misalkan dengan merupakan konstanta. Tentukan

𝑓 ′ (𝑥 )¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )h

¿ limh→0

𝑘−𝑘h ¿ lim

h→0

0h¿0

Teorema A (Aturan Turunan Fungsi Konstanta)Jika dengan adalah konstantan, maka Atau dengan notasi lain:

© 2015 - Supaat

Misalkan . Tentukan

𝑓 ′ (𝑥 )¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )h

¿ limh→0

𝑥+h−𝑥h

Teorema B (Aturan Turunan Fungsi Identitas)Jika , maka Atau dengan notasi lain:

¿ limh→0

hh¿ limh→0

1¿1

© 2015 - Supaat

ATURAN MENCARI TURUNAN (ASAL-USUL)

Misalkan untuk suatu bilangan bulat positif.Tentukan

𝑓 ′ (𝑥 )¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )h

¿ limh→0

𝑥𝑛+𝑛𝑥𝑛−1h+𝑛 (𝑛−1 )2

𝑥𝑛− 2h2+…+𝑛𝑥h𝑛−1+h𝑛−𝑥𝑛

h

Teorema C (Aturan Turunan Fungsi Pangkat)Jika untuk bilangan bulat positif, maka Atau dengan notasi lain:

¿ limh→0

(𝑥+h )𝑛− 𝑥𝑛

h

¿ limh→0

(𝑛𝑥𝑛−1+𝑛 (𝑛−1 )2 𝑥𝑛− 2h+…+𝑛𝑥h𝑛−2+h𝑛−1)∙ h

h

¿ limh→0 (𝑛𝑥𝑛−1+

𝑛 (𝑛−1 )2 𝑥𝑛−2h+…+𝑛𝑥 h𝑛− 2+h𝑛−1)¿𝑛𝑥𝑛−1

© 2015 - Supaat

ATURAN MENCARI TURUNAN (ASAL-USUL)

Misalkan untuk suatu konstanta. Tentukan

𝐹 ′ (𝑥 )¿ limh→0

𝐹 (𝑥+h )−𝐹 (𝑥 )h

Teorema D (Aturan Turunan Kelipatan Konstanta Suatu Fungsi) atau dalam notasi lain

¿ limh→0

𝑘 ∙ 𝑓 (𝑥+h )−𝑘 ∙ 𝑓 (𝑥 )h

¿ limh→0

𝑘1∙ 𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )

h¿𝑘 ∙ lim

h→0

𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )h

¿𝑘 ∙ 𝑓 ′ (𝑥 )

© 2015 - Supaat

ATURAN MENCARI TURUNAN (ASAL-USUL)

Misalkan . Tentukan

𝐹 ′ (𝑥 )¿ limh→0

𝐹 (𝑥+h )−𝐹 (𝑥 )h

Teorema E & F (Aturan Turunan Jumlah & Selisih Dua Fungsi) atau dalam notasi lain

¿ limh→0

( 𝑓 (𝑥+h )+𝑔 (𝑥+h ) )− ( 𝑓 (𝑥 )+𝑔 (𝑥 ) )h

¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )h

+𝑔 (𝑥+h )−𝑔 (𝑥 )

h

¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )h

+limh→ 0

𝑔 (𝑥+h )−𝑔 (𝑥 )h

¿ 𝑓 ′ (𝑥 )+𝑔 ′ (𝑥 )

© 2015 - Supaat

ATURAN MENCARI TURUNAN (ASAL-USUL)

Misalkan . Tentukan

𝐹 ′ (𝑥 )¿ limh→0

𝐹 (𝑥+h )−𝐹 (𝑥 )h

Teorema G (Aturan Turunan Hasil Kali Dua Fungsi) atau dalam notasi lain

¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h ) ∙𝑔 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔 (𝑥 )h

¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h ) ∙𝑔 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥+h ) ∙𝑔 (𝑥 )+ 𝑓 (𝑥+h ) ∙𝑔 (𝑥 )− 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔(𝑥 )h

¿ limh→0 ( 𝑓 (𝑥+h )

(𝑔 (𝑥+h )−𝑔 (𝑥 ) )h

+𝑔 (𝑥 )( 𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 ) )

h )¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h ) ∙ limh→ 0

𝑔 (𝑥+h )−𝑔 (𝑥 )h

+limh→ 0

𝑔 (𝑥 ) ∙ limh→ 0

𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )h

¿ 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔′ (𝑥 )+𝑔 (𝑥 ) ∙ 𝑓 ′ (𝑥 )

© 2015 - Supaat

ATURAN MENCARI TURUNAN (ASAL-USUL)

Misalkan dengan . Tentukan

𝐹 ′ (𝑥 )¿ limh→0

𝐹 (𝑥+h )−𝐹 (𝑥 )h

Teorema H (Aturan Turunan Hasil Kali Dua Fungsi) atau dalam notasi lain

¿ limh→0

𝑓 (𝑥+h )𝑔 (𝑥+h )

− 𝑓 (𝑥 )𝑔 (𝑥 )

h∙ 𝑔 (𝑥+h ) ∙𝑔 (𝑥 )𝑔 (𝑥+h ) ∙𝑔 (𝑥 )

¿ limh→0

𝑔 (𝑥 ) ∙ 𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔 (𝑥+h )h ∙𝑔 (𝑥+h ) ∙𝑔 (𝑥)

¿ limh→0

𝑔 (𝑥 ) ∙ 𝑓 (𝑥+h )−𝑔 (𝑥 ) ∙ 𝑓 (𝑥 )+ 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔 (𝑥 )− 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔 (𝑥+h )h ∙𝑔 (𝑥+h ) ∙𝑔(𝑥)

¿ limh→0 {[𝑔 (𝑥 ) 𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )

h− 𝑓 (𝑥 )

(𝑔 (𝑥+h )−𝑔 (𝑥 ) )h ] 1

𝑔 (𝑥+h ) ∙𝑔 (𝑥 ) }¿ [𝑔 (𝑥 ) ∙ 𝑓 ′ (𝑥 )− 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔′ (𝑥 ) ] ∙ 1

𝑔 (𝑥 ) ∙𝑔 (𝑥 )

© 2015 - Supaat

ATURAN MENCARI TURUNAN (ASAL-USUL)

ATURAN MENCARI TURUNAN (Cobalah untuk menghafalkannya)

(A) untuk

(B)

(C) untuk

(D) untuk

(E) 𝐷𝑥 ( 𝑓 (𝑥 )+𝑔 (𝑥 ) )=𝐷𝑥 𝑓 (𝑥 )+𝐷𝑥𝑔 (𝑥 )

(F) 𝐷𝑥 ( 𝑓 (𝑥 )−𝑔 (𝑥 ) )=𝐷𝑥 𝑓 (𝑥 )−𝐷𝑥𝑔 (𝑥 )

(G) 𝐷𝑥 ( 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔 (𝑥 ) )=𝐷𝑥 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔 (𝑥 )+𝐷𝑥𝑔 (𝑥 ) ∙ 𝑓 (𝑥 )

(H) 𝐷𝑥( 𝑓 (𝑥 )𝑔 (𝑥 ) )=𝐷𝑥 𝑓 (𝑥 ) ∙𝑔 (𝑥 )−𝐷𝑥𝑔 (𝑥 ) ∙ 𝑓 (𝑥 )

𝑔2 (𝑥 ), asalkan

© 2015 - Supaat

SEMUA RUMUS-RUMUS INI SUDAH KALIAN PELAJARI DI TINGKAT SMA

CONTOH 5: Menentukan Turunan dengan Aturan Mencari Turunan

Carilah turunan

𝐷𝑥 [3 𝑥−5𝑥2+7 ]¿ 𝐷𝑥 (3 𝑥−5 ) ∙ (𝑥2+7 )−𝐷𝑥 (𝑥2+7 ) ∙ (3 𝑥−5 )

(𝑥2+7 )2

© 2015 - Supaat

¿3 ∙ (𝑥2+7 )−2 𝑥 ∙ (3𝑥−5 )

(𝑥2+7 )2

¿3 𝑥2+21−6𝑥2+10 𝑥

(𝑥2+7 )2

¿−3 𝑥2+10𝑥+21

(𝑥2+7 )2

CONTOH 6: Menentukan Turunan dengan Aturan Mencari Turunan

Carilah jika diketahui

𝐷𝑥 𝑦¿𝐷𝑥 [ 2𝑥4+1

+3𝑥 ]

© 2015 - Supaat

¿𝐷𝑥( 2𝑥4+1 )+𝐷𝑥( 3𝑥 )

¿𝐷𝑥 (2 ) ∙ (𝑥4+1 )−𝐷𝑥 (𝑥4+1 ) ∙ (2 )

(𝑥4+1 )2+𝐷𝑥 (3 ) ∙ (𝑥 )−𝐷𝑥 (𝑥 ) ∙ (3 )

𝑥2

¿0 ∙ (𝑥4+1 )−4 𝑥3 ∙ (2 )

(𝑥4+1 )2+0 ∙ (𝑥 )−1∙ (3 )

𝑥2

¿−8𝑥3

(𝑥4+1 )2+−3𝑥2

CONTOH 7: Menentukan Turunan dengan Aturan Mencari Turunan

Tunjukkan bahwa Aturan Pangkat (Teorema C) juga berlaku untukpangkat bilangan bulat negatif

𝐷𝑥 (𝑥−𝑛 )¿𝐷𝑥( 1𝑥𝑛 )

© 2015 - Supaat

Bukti:

¿𝐷𝑥 (1 ) ∙ (𝑥𝑛)−𝐷𝑥 (𝑥𝑛 ) ∙ (1 )

(𝑥𝑛)2

¿0 ∙ (𝑥𝑛 )−𝑛𝑥𝑛− 1∙ (1 )

𝑥2𝑛¿−𝑛𝑥𝑛− 1

𝑥2𝑛 ¿−𝑛𝑥𝑛−1−2𝑛

¿−𝑛𝑥−𝑛− 1 Q.E.D.

LATIHAN 1 (Lihat Contoh 1 s.d. 4)(A) Dengan menggunakan definisi formal turunan

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut:

© 2015 - Supaat

1) 2)

3) 4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

LATIHAN 1 (Lihat Contoh 5 s.d. 7)(B) Carilah dengan menggunakan aturan-aturan mencari turunan!

© 2015 - Supaat

1) 2)

3) 4) 5) 6)

7)

8)

9)

10)

11) 12)

13) 14)

15)

16)

17)

LATIHAN 1(C) Soal-soal berikut akan menantang Anda untuk lebih bereksplorasi

© 2015 - Supaat

1) Dengan menggunakan Aturan Hasil Kali, tunjukkan bahwa:

2) Kembangkan suatu aturan untuk menentukan

3) Tunjukkan bahwa 4) Tunjukkan bahwa 5) Tunjukkan bahwa 6) Tunjukkan bahwa

7) Tunjukkan bahwa 8) Tunjukkan bahwa