Seminaire serres andrieu_profils vitesse

Introduction ADF Modélisation fonctionnelle Lissage sous contraintes Application Conclusion

Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse deréférence adapté à l’infrastructure

Cindie Andrieu

Directeur de thèse : X. Bressaud (Université Paul Sabatier, Institut deMathématiques de Toulouse)

Encadrant IFSTTAR : G. Saint Pierre (IFSTTAR, LIVIC)

Séminaire SERRES, Bron, 21-22 mars 2013

Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 1 / 43


Plan1 Introduction

ContexteObjectifs

2 Généralités sur l’Analyse des Données Fonctionnelles (AFD)3 Modélisation fonctionnelle des profils spatiaux de vitesse

DéfinitionPropriétés

4 Lissage sous contraintesChangement d’espace d’étudeDes données brutes aux fonctions : l’étape de lissage1ère étape : Ajout des observations sur la vitesse2ème étape : Lissage sous contrainte de monotonie

5 ApplicationDes données brutes aux courbesRecalage de courbesEnveloppes de vitesses

6 ConclusionCindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 2 / 43


Gestion de la vitesse

La connaissance de la vitesse réelle pratiquée sur nos routes estessentielle pour :

I Situer les points noirs du réseauI Améliorer la connaissance des temps de parcoursI Connaître les effets de modification de l’infrastructure (ajout

de dos d’ânes, rond-point, ...)



Objet d’étude

Profils spatiaux de vitesse = vitesse vs position

Objectif : Construire un profil de vitesse de référence

' "profil moyen"Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 4 / 43


Profil de vitesse de référence

A quoi ça sert ?

I Fournir une vitesse de consigne aux systèmes d’aides à la conduiteembarqués (Intelligent Speed Adaptation Systems) et aux véhicules"intelligents" (ex : Google Car).

I Informer les gestionnaires d’infrastructure de l’impact d’une modificationde l’infrastructure (ajout de ronds-points, de ralentisseurs).

Profils de vitesse de référence actuels ?

I Vitesse de conception (basée sur la géométrie de la route).Inconvénient : nécessite une information très précise de la géométrie de laroute (pente, devers, ...).

I V85 (vitesse en dessous de laquelle circulent 85% des véhicules libres).Inconvénient : fournit plutôt une borne supérieure (vitesse sécuritaire à nepas dépasser) sans tenir compte des conditions de conduite (ex : météo,état des feux).

I Limitation de vitesse.Inconvénient : c’est une borne supérieure.



Moyen de collecte des données

Véhicules traceurs = capteurs mobilesMesures continues de la vitesse et de la position tout au long du

trajet.

Actuellement : flottes privées (taxis, bus, ...).Non représentatif de l’usage réel du réseau. Instrumentation lourde.

Futur proche : Toute personne équipée d’un smartphone.Instrumentation légère.



Objectifs

I Utiliser les mesures répétées de vitesses réellement pratiquées issuesde véhicules traceurs.

I Développer une méthodologie statistique permettant d’extrairedivers profils de vitesse de référence, chacun étant adapté à unesituation de conduite (feu rouge ou vert, trafic libre ou contraint, ...)

Approche statistique fondée sur le comportement longitudinaladopté par les utilisateurs de la route

En pratique : profil spatial de vitesse = succession de mesures horodatéesde position et de vitesse.

Originalité de notre approche : Traiter les profils de vitesse comme desfonctions et non comme des vecteurs de Rn (Functional Data Analysis).



Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Quand les données sont des courbes

I Données de nature continue (courbes, images...) dans denombreux domaines. Ex : chimiométrie, météorologie,traitement d’images, ...

I En pratique, observations en un nombre fini de points dediscrétisation ⇒ utilisation de méthodes statistiquesmultivariées usuelles ?

I Méthodes classiques inadéquates lorsque la fréquenced’échantillonnage est élevée :

fléau de la dimension ;Forte corrélation entre les points de discrétisation d’une mêmecourbe.

I Solution : Traiter les données comme des fonctions et noncomme des vecteurs de Rn.



Avantages de l’AFD

I Permet de prendre en compte la structure sous-jacentefonctionnelle des données : dérivées, intégrales, déphasage dedeux courbes, ...

I Développement de méthodes classiques adaptées aux donnéesfonctionnelles : modèles linéaires, ACP, analyse discriminante,classification ...

I Développement de méthodes spécifiques : recalage de courbes.



Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Lien entre vitesse, position et temps

En pratique : profil spatial de vitesse = succession de mesures horodatéesde position et de vitesse.

Conséquence : Un profil spatial de vitesse peut être manipulé dans lestrois espaces suivants :

Figure: Lien entre les trois espaces : [position × temps], [vitesse × temps] et[vitesse × position].

Principale difficulté : Assurer la correspondance entre vitesse et position(et implicitement temps) afin de préserver les caractéristiquesdynamiques d’un profil de vitesse valide.



Définition de l’espace ESSP

Définition

Soit xf ∈ R+. Alors l’espace des profils de vitesse spatiaux estdéfini de la façon suivante :ESSP = {vS : [0, xf ] −→ R+ tel qu’il existe un réel positif T et unefonction C2 croissante F : [0,T ] −→ [0, xf ] avec F (0) = 0 tels quevS(x) = F ′(F−1(x)), x ∈ [0, xf ]}

où F−1 est l’inverse généralisée de F défini parF−1(x) = inf {t ∈ [0,T ],F (t) = x}.

Figure: Diagramme fonctionnel.



Propriétés de l’espace ESSP

Propriétés

I Positivité

I Continuité

I Sous certaines hypothèses (faibles), non dérivabilité en tout point deH0 = {x ∈ [0, xf ], vS(x) = 0}.

Figure: Point de rebroussement de 1ère espèce.

I La somme de deux profils spatiaux de vitesse n’est pas toujours unprofil spatial de vitesse (cas où l’un s’annule en x0 mais pas l’autre).



Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Introduction

Données : mesures bruitées (yi , xi ), i = 1, . . . , n, de la position et de lavitesse du véhicule issues de capteurs.

Objectif : Estimer au mieux le vrai profil vS par un estimateur v̂S .

Modélisation : Modèle de régression non paramétrique :

yi = vS(xi ) + εi , i = 1, . . . , n

où les εi sont les erreurs non corrélés entre elles, de moyenne 0 et devariance σ2 et vS est la fonction de régression que l’on cherche à estimer.

Contrainte : L’estimateur v̂S doit appartenir à l’espace ESSP des profilsspatiaux de vitesse ⇒ Non dérivabilité en tout point deH0 = {x ∈ [0, xf ], v̂S(x) = 0}



Changement d’espace d’étude


Principe : On se place dans l’espace [position × temps] et l’on cherche àestimer la fonction F représentant la distance parcourue au cours du temps.Modèle de régression non paramétrique :

yi = F (ti ) + εi , i = 1, . . . , n

où les yi sont les "observations" bruitées de la distance parcourue (obtenuesavec l’un des deux estimateurs de position), les εi sont les erreurs non corrélésentre elles, de moyenne 0 et de variance σ2 et F (t) est la fonction de régressionque l’on cherche à estimer.






yi = F (ti ) + εi , i = 1, . . . , n

Avantage : La seule contrainte sur l’estimateur F̂ est une contrainte de monoto-nie.






yi = F (ti ) + εi , i = 1, . . . , n

On en déduit une estimation du profil spatial de vitesse par :

v̂S(x) = F̂ ′(F̂−1(x))



Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Construction des fonctions

Principe : Décomposition de la fonction F dans une base de fonctions :

F (t) =K∑

k=1

ckφk(t)

Exemples de base de fonctions :I monômes (fonctions polynomiales)I base de Fourier (fonctions périodiques)I splines (polynômes par morceaux)I ondelettes, . . .

Intérêt :I expression explicite de F ;I cadre d’étude de dim. finie (même si F ∈ espace de dim. infinie) ;I réduction de la dimension (généralement K � n) ;I possibilité d’effectuer des opérations fonctionnelles telles que la

dérivée.



Construction des fonctions

Principe : Décomposition de la fonction F dans une base de fonctions :

F (t) =K∑

k=1

ckφk(t)

Exemples de base de fonctions :I monômes (fonctions polynomiales)I base de Fourier (fonctions périodiques)I splines (polynômes par morceaux)I ondelettes, . . .

Intérêt :I expression explicite de F ;I cadre d’étude de dim. finie (même si F ∈ espace de dim. infinie) ;I réduction de la dimension (généralement K � n) ;I possibilité d’effectuer des opérations fonctionnelles telles que la

dérivée.Cindie Andrieu Modélisation fonctionnelle d’un profil de vitesse de référence 19 / 43


Méthode de régularisation : lissage avec pénalité

Principe : Contrôler la régularité de la fonction par l’ajout d’unepénalité.

Minimisation du critère des moindres carrés pénalisés :

PENSSEλ =n∑

i=1

(yi − F (ti ))2︸︷︷︸Fidélité aux donnés

+λ

∫ T

0(F (m)(t))2dt︸︷︷︸Régularité

où λ est le paramètre de lissage qui contrôle le compromisbiais-variance.

Choix du paramètre λ :I Méthodes de sélection automatique (CV, GCV) ;I Sélection "à la main".



Existence et unicité des splines de lissage

On suppose que F appartient à l’espace de Sobolev :

W m[0,T ] = {f : f , f ′, . . . , f (m−1) absolument continues

et f (m) ∈ L2[0,T ]}

Alors dans cet espace, il existe une unique fonction F̂ qui minimise

n∑i=1

(yi − F (ti ))2 + λ

∫ T

0(F (m)(t))2dt

Cette fonction est une spline polynomiale naturelle d’ordre 2mayant pour noeuds les points d’échantillonnage t1, . . . , tn.

Remarque : Généralement, m = 2 : spline cubique.



Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Splines de lissage : utilisation de la théorie des RKHS

Lissage à partir d’observations sur f et f’ :{yi = f (ti ) + εi , i = 1, . . . , ny ′i = f ′(ti ) + ε′i , i = 1, . . . , n

Critère à minimiser dans l’espace de Sobolev H = W m[0,T ] :

1n{

n∑i=1

wi (yi−f (ti ))2+n∑

i=1

(1−wi )(y ′i −f ′(ti ))2}+λ

∫ T

0(f (m)(t))2dt (1)

On décompose H = H0⊕H1 où H0 = vect{φν , ν = 1, . . . ,m} (e.v. de

dim. finie) et H1 est un RKHS de noyau R1(s, t).D’après le th. de Kimeldorf et Wahba, le critère (1) admet un uniqueminimum donné par :

f̂ (t) =m∑

ν=1

dνφν(t) +n∑

i=1

ciR1(ti , t) +n∑

i=1

c ′i∂

∂sR1(s, t)|s=ti

où les coefficients dν , ci et c ′i sont estimés à partir des observations.



Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Lissage monotone : méthode de J. Ramsay (1998)

Principe : Se ramener à un problème de lissage sans contraintes.

Idée : Toute fonction f strict. monotone vérifie l’équationdifférentielle suivante :

D2f (t) = w(t)Df (t)

où w(t) est une fonction sans contraintes.

Par conséquent, toute fonction f strict. monotone peut s’écrire sousla forme (sol. de l’ODE) :

f (t) = β0 + β1

∫ t

0exp[

∫ u

0w(v)dv ]du

Le problème revient alors à estimer la fonction w(t) (noncontrainte) et les constantes β0 et β1.



Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Données brutes : Section de 1500m avec un stop et un feu.

●

0 50 100 150 200

050

010

0015

00

Distance as function of time (42 curves) Raw data (odometer)

Time (sec)

Dis

tanc

e (m

)

●

0 50 100 150 200

020

4060

80

Speed as function of time (42 curves) Raw data (speed Bus CAN)

Time (sec)

Spe

ed (

km/h

)

●

0 500 1000 1500

020

4060

80

Speed as function of Distance (42 curves) Raw data (speed Bus CAN vs odometer)

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)



Lissage avec obs. sur la dérivée puis lissage monotone.

●

0 50 100 150 200

050

010

0015

00

Distance as function of time (42 curves) Smoothing spline (quintic) using derivative info and monotonization

Time (sec)

Dis

tanc

e (m

)

●

0 50 100 150 200

020

4060

80

Speed as function of time (42 curves) Smoothing spline (quintic) using derivative info and monotonization

Time (sec)

Spe

ed (

km/h

)

●

0 500 1000 1500

020

4060

80

Speed as function of Distance (42 curves) Smoothing spline (quintic) using derivative info and monotonization

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)



Profils moyens : cas feu rouge / feu vert

0 500 1000 1500

020

4060

80

Speed as function of Distance (25 curves + mean curve) Red light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)

mean curve

0 500 1000 1500

020

4060

80

Speed as function of Distance (17 curves + mean curve) Green light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)

mean curve



Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Recalage des courbes : alignement à partir de landmarks

Def : landmarks = ensemble de points caractéristiques d’une courbe(ex : position de maxima, de minima, de points d’inflexion).

Principe : déterminer des transformations qui mettent encorrespondance les landmarks qui sont communs à l’ensemble descourbes devant être recalés.

Exemple de 2 courbes : On suppose que l’on dispose de deuxensembles de N landmarks (τ1,1, . . . , τ1,N) et (τ2,1, . . . , τ2,N)obtenus à partir de la forme des courbes f1 et f2.On cherche alors une application u, strictement croissante, telle quepour tout i = 1, . . . ,N : τ2,i = u(τ1,i )



Profils moyens après recalage : cas feu rouge / feu vert

0 500 1000 1500

020

4060

80

Speed as function of Distance : registered curves (25 curves + mean curve) Red light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)

mean curve

0 500 1000 1500

020

4060

80

Speed as function of Distance : registered curves (17 curves + mean curve) Green light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)

mean curve



Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Boxplots classiques

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0 500 1000 1500

020

4060

80

Pointwise Boxplots (25 curves − distance sampling : 10m) Red light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)

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0 500 1000 1500

020

4060

80

Pointwise Boxplots (17 curves − distance sampling : 10m) Green light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)



Functional Boxplots (Sun and Genton, 2011)

Idée : Etendre la notion classique de boxplots au cas fonctionnel.

Principe : Ordonner les courbes par leur "profondeur".

Exemples de profondeur :I Band depth : BD(f ) = nombre de bandes contenant la courbe

f par rapport au nombre total de bandes.I Modified Band depth : MBD(f ) = prend en compte le % de

temps que f appartient à chaque bande. (Si f appartiententièrement à chaque bande, alors MBD(f ) = BD(f ))

La médiane est la courbe ayant la plus grande valeur de profondeur.



Functional Boxplots

0 500 1000 1500

020

4060

80

Enhanced functional boxplot with Modified Band Depth (25 curves) Red light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)

25% central region 50% central region 75% central region

0 500 1000 1500

020

4060

80

Enhanced functional boxplot with Modified Band Depth (17 curves) Green light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)




Exemples de profils de vitesse de référence

0 500 1000 1500

020

4060

80

Examples of reference speed profiles (case red light)

dist_eval

med

ian_

mbd

_red

light

.vec

* 3

.6

mean median (MBD) V85

0 500 1000 1500

020

4060

80

Examples of reference speed profiles (case green light)

dist_eval

med

ian_

mbd

_gre

enlig

ht.v

ec *

3.6

mean median (MDB) V85



Functional boxplots : application à l’éco-conduite

0 500 1000 1500

020

4060

80

Enhanced Functional boxplot with Modified Band Depth (14 curves) Normal driving − Red light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)


0 500 1000 1500

020

4060

80

Enhanced Functional boxplot with Modified Band Depth (11 curves) Eco driving − Red light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)


0 500 1000 1500

020

4060

80

Enhanced Functional boxplot with Modified Band Depth (7 curves) Normal driving − Green light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)


0 500 1000 1500

020

4060

80

Enhanced Functional boxplot with Modified Band Depth (10 curves) Eco driving − Green light case

Distance (m)

Spe

ed (

km/h

)




Plan1 Introduction

ContexteObjectifs







Conclusion

I Application de l’Analyse des Données Fonctionnelles aux profilsde vitesse :

permet de garder le caractère fonctionnel sous-jacent desdonnées ;facilite le calcul des dérivées et intégrales ;utilisation de méthodes spécifiques : recalage de courbes.

I Développement de méthodes de lissage appropiées aux profilsde vitesse :

splines de lissage (permet de contrôler le degré de lissage avecun unique paramètre) ;généralisation des splines de lissage au cas où l’on disposed’observations sur f et sa dérivée f ′ ;lissage sous contraintes de monotonie.



Perspectives

Exemples d’application de la construction d’enveloppes de vitesse :I développement d’un système ISA basé sur les vitesses

pratiquées ;I étude de l’impact (sécuritaire, environnemental) d’une

modification de l’infrastructure ;I enrichissement des cartes numériques (détection d’éléments de

l’infrastructure).



Merci de votre attention



Bibliographie

Ramsay, J.O. and Silverman, B.W. (2005)Functional Data Analysis, Second Edition.Springer Series in Statistics.

Berlinet, A. and Thomas-Agnan, C. (2004)Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Probability and Statistics.Kluwer Academic.

Wang Y. (2011)Smoothing Splines : Methods and Applications.Chapman and Hall/CRC

Ramsay, J. (1998)Estimating smooth monotone fonctions.Journal of the Royal Statistical Society : Series B, vol. 60(2), pp. 365-375.

Sun, Y. and Genton, M. G. (2011)Functional boxplots.Journal of Computational and Graphical Statistics 20 : 316-334.

Andrieu, C. and Saint Pierre, G. and Bressaud, X. (2012)Modélisation fonctionnelle et lissage sous contraintes d’un profil spatial de vitesse.44ème Journées de Statistique, Bruxelles, Belgique.

Andrieu, C. and Saint Pierre, G. and Bressaud, X. (2013)Estimation of space-speed profiles : A functional approach using smoothing splines.IV2013, Gold Coast, Australia.


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