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    Vitesse de libration

    par Jean-Pierre MARTIN

    http://www.planetastronomy.com 1

    1 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE

    LA VITESSE DELA VITESSE DELIBRATIONLIBRATION

    Par JeanPar Jean--Pierre MARTINPierre MARTINjpmgaugejpmgauge@@wanadoowanadoo..frfr

    ASSOCIATIONASSOCIATION DASTRONOMIEDASTRONOMIEVGA PLAISIR 78370VGA PLAISIR 78370

    LASTROLASTROMAISMAIS CESTCESTTRS SIMPLETRS SIMPLE

    2 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLELE CONCEPT DELE CONCEPT DE VITESSEVITESSEDEDE LIBLIBRATIONRATION ENEN

    ASTRONOMIEASTRONOMIELe concept de vitesse de libLe concept de vitesse de libration d'un corpsration d'un corps

    soumissoumis l'attraction gravitationnelle d'un autrel'attraction gravitationnelle d'un autre

    corps est fondamental en astronomie, car il estcorps est fondamental en astronomie, car il estlili au phau phnomnomne des orbites spatiales, au faitne des orbites spatiales, au faitque certaines planque certaines plantes ont perdu leurtes ont perdu leuratmosphatmosphre, et mre, et mme au concept (trme au concept (trs anciens anciend'ailleurs) de trou noir.d'ailleurs) de trou noir.

    Il faut tout d'abord nous rafraIl faut tout d'abord nous rafrachir la mchir la mmoiremoiremathmathmatique avec certains rappels de physiquematique avec certains rappels de physiquede Terminale.de Terminale.

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    SIMPLESIMPLE

    Un corps (Terre, lune etc..) de masse m tourneUn corps (Terre, lune etc..) de masse m tourneautour dautour dun autre corps de rayon R de masse Mun autre corps de rayon R de masse M

    (Soleil, Terre,(Soleil, Terre,

    etcetc

    ))

    la distance d sur unela distance d sur une

    trajectoire suppostrajectoire suppose circulaire ene circulaire en quilibre sousquilibre sousl'action de deux forces :l'action de deux forces :

    F1 : Force de gravitation universelle (attraction)F1 : Force de gravitation universelle (attraction) F2 : Force centrifuge dueF2 : Force centrifuge due la rotationla rotation (rpulsion)(rpulsion)

    d

    F1

    F2

    RRmm

    MM

    4 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE

    ( )21

    dRGmMF

    += =CES 2 FORCES SQUILIBRENT

    d

    F1

    F2

    RRmm

    MM

    )(2

    2dR

    mF V+

    =

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    SIMPLESIMPLE

    EnEn galisant les deux termes, on peut engalisant les deux termes, on peut enddduire la vitesse du corps en orbite :duire la vitesse du corps en orbite :

    On peut dOn peut dfinir Vfinir V00 la vitesse au ras desla vitesse au ras desppquerettes soit pour r=0, on a doncquerettes soit pour r=0, on a donc

    dRGMV

    +=

    2

    VG M

    R0 =

    6 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE La vitesse orbitale peut s'La vitesse orbitale peut s'crire maintenant :crire maintenant :

    Que remarqueQue remarque--tt--on de cette formule :on de cette formule : la vitessela vitesse

    orbitale ne dorbitale ne dpend pas de la masse du corps enpend pas de la masse du corps enorbiteorbite, c'est fondamental., c'est fondamental. On remarquera que la vitesse minimale pour resterOn remarquera que la vitesse minimale pour rester

    en orbite autour de M est la vitesseen orbite autour de M est la vitesse l'altitudel'altitudezzro (r=0) soit Vro (r=0) soit V00. C'est ce qu'on appelle la. C'est ce qu'on appelle lavitesse de satellisationvitesse de satellisation, c'est la vitesse minimale, c'est la vitesse minimaleque doit atteindre la navette spatiale pour seque doit atteindre la navette spatiale pour semettre en orbite par exemple.mettre en orbite par exemple.

    V VR

    R r=

    +0

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    SIMPLESIMPLE

    ET LA TERRE !ET LA TERRE !On sait queOn sait queG= 6,67 10G= 6,67 10--1111 N mN m22 kgkg--22 M= 6 10M= 6 102424kg (voirkg (voir

    note prnote prccdente) et R= 6400km d'odente) et R= 6400km d'o

    Cette vitesse dCette vitesse dcrocrot bien st bien sr avecr avecl'altitude, elle est par exemple de 3 km/sl'altitude, elle est par exemple de 3 km/spour une orbite gpour une orbite gostationnaireostationnaire(36.000km).(36.000km).

    VV00 = 7,9 km/s (Mach 26 approx)= 7,9 km/s (Mach 26 approx)

    8 Jean-Pierre MARTIN

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    SIMPLESIMPLEPEUTPEUT--ON SCHAPPERON SCHAPPERDE LA TERRE?DE LA TERRE?

    par exemple quelle vitesse fautpar exemple quelle vitesse faut--ililcommuniquercommuniquer un satellite comme Voyager,un satellite comme Voyager,pour qu'il quitte l'attraction terrestre pourpour qu'il quitte l'attraction terrestre pour

    toujours?.toujours?.

    Il faut pour rIl faut pour rsoudre ce problsoudre ce problme faireme faireintervenir la notion de conservationintervenir la notion de conservationd'd'nergie.nergie.

    ReconsidReconsidrons notre figure drons notre figure dune des pagesune des pagesprprccdentes.dentes.

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    SIMPLESIMPLE

    Un corps en orbiteUn corps en orbite la surface de M (r=0)la surface de M (r=0)doit avoir unedoit avoir une nergie cinnergie cintique :tique :

    mVmV22

    Elle doitElle doit tre au moinstre au moins galegale l'l'nergienergieproduite par le travail de la Force deproduite par le travail de la Force degravitation passant de Rgravitation passant de R l'infini, que l'onl'infini, que l'oncrit mathcrit mathmatiquement sous la formematiquement sous la formesuivante :suivante :

    ( )F d r

    G M m

    R rG

    M m

    R rR R

    1 2. =+

    =+

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    SIMPLESIMPLECette derniCette dernire expression doitre expression doit tretregalegale l'l'nergie cinnergie cintique pour la vitessetique pour la vitesseminimale Vminimale Vll qui permet d'qui permet d'chapperchapper l'attraction de M (s'appelle vitesse del'attraction de M (s'appelle vitesse deliblibration de l'astre M, "escaperation de l'astre M, "escape velocityvelocity""en anglais) On en den anglais) On en dduit :duit :

    soitsoit

    ( )RdRGMRdRGMVl +=+= 22

    dRRVVl+

    = 20

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    SIMPLESIMPLEREMARQUESREMARQUESQue remarqueQue remarque--tt--on lon l encore : bien entendu,encore : bien entendu,

    cette vitesse ne dcette vitesse ne dpend pas de la masse dupend pas de la masse ducorpscorps envoyer dans l'espaceenvoyer dans l'espace, mais aussi,, mais aussi, neneddpend QUE de la distance au centre de lapend QUE de la distance au centre de laplanplantete autour de laquelle il orbite (R+d) et nonautour de laquelle il orbite (R+d) et nonpas de la distance au Soleil par exemple,pas de la distance au Soleil par exemple,intintressant n'est ce pas!ressant n'est ce pas!

    La vitesse de libLa vitesse de librationration partir du sol departir du sol del'astre M pour r=0 donne la vitesse del'astre M pour r=0 donne la vitesse de

    liblibration minimale nration minimale ncessaire qui est toujourscessaire qui est toujourspour tous les astrespour tous les astres 2 fois plus grande que la2 fois plus grande que lavitesse orbitale.vitesse orbitale.

    V VGM

    Rl = =0 2

    2

    12 Jean-Pierre MARTIN

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    SIMPLESIMPLE

    Pour la Terre cela donne le chiffre bienPour la Terre cela donne le chiffre bienconnu de :connu de :

    VVll ((TerreTerre) = 11,2km/s) = 11,2km/s

    Il est intIl est intressantressant partir de maintenantpartir de maintenantde voir comment varie cette vitesse dede voir comment varie cette vitesse deliblibration pour diffration pour diffrents corps durents corps dusystsystme solaire : ci joint Tableau I :me solaire : ci joint Tableau I :

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    SIMPLESIMPLE

    Approx 300km/sApprox 300km/s25.000 AL25.000 AL10101616 (10(103030 kgkgapprox)approx)

    Soleil pour quitter laSoleil pour quitter laGalaxieGalaxie

    300.000!!!!!=c!!!!300.000!!!!!=c!!!!332 102 1066Corps de mCorps de mmememasse que Soleilmasse que Soleil

    6176177 107 10552 102 1066SoleilSoleil0,005 (18km/h!)0,005 (18km/h!)ApproxApprox 303050 1050 10--1010ErosEros0,50,5ApproxApprox 4904900,0010,001CeresCeres

    1,2?1,2?1.1501.1500,0120,012PlutonPluton23,823,824.80024.800105105NeptuneNeptune21,321,325.56025.5608787UranusUranus2,42,4240024000,140,14TitanTitan35,535,560.00060.000570570SaturneSaturne59,659,671.40071.40019001900JupiterJupiter0,007 (25km/h!)0,007 (25km/h!)ApproxApprox 25251010--88PhobosPhobos5,055,05340034000,650,65MarsMars2,42,4174017400,0740,074LuneLune11,211,26400640066TerreTerre10,4010,40605060504,94,9VenusVenus

    4,24,2244024400,330,33MercureMercureVit.Vit. LibLibrr. (km/s). (km/s)Rayon (km)Rayon (km)MASSE (10MASSE (102424kg)kg)CORPSCORPS

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    SIMPLESIMPLEDES REMARQUESDES REMARQUES

    Plus l'astre est petit, plus la vitesse dePlus l'astre est petit, plus la vitesse deliblibration est faible; plus la masse estration est faible; plus la masse estgrande, plus la vitesse de libgrande, plus la vitesse de libration estration est

    grande.grande.Pour une masse donnPour une masse donne, le rayon peut devenire, le rayon peut deveniraussi petit de telle sorte que la vitesse deaussi petit de telle sorte que la vitesse deliblibration atteigne la vitesse de la lumiration atteigne la vitesse de la lumire;re;on a alors un trou noir.on a alors un trou noir.

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    SIMPLESIMPLE

    SI VOUS TIEZ SUR ROSSI VOUS TIEZ SUR ROSSi vousSi vous tiez surtiez sur ErosEros

    (voir photo ci(voir photo ci--contrecontreprise parprise par NEARNEARNASANASA--jhuapljhuapl) ou) ousursur PhobosPhobos

    au moindre gesteau moindre geste

    brusque vousbrusque vousquitteriez le sol etquitteriez le sol etvous vous envoleriezvous vous envoleriezaux confins deaux confins del'Univers.l'Univers.

    16 Jean-Pierre MARTIN

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    SIMPLESIMPLE

    Vous avez entendu parler des mVous avez entendu parler des mttoritesorites"martiennes", est"martiennes", est--ce possible?ce possible?

    Et bien oui thEt bien oui thoriquement, car on saitoriquement, car on saitqu'aprqu'aprs un choc provenant d'uns un choc provenant d'unastastrorode sur la surface de Mars, lesde sur la surface de Mars, les

    pierres composant le sol peuventpierres composant le sol peuvent tretreprojetprojetes avec une vitesse de 5km/s sanses avec une vitesse de 5km/s sanstre vaporistre vaporises dans l'atmosphes dans l'atmosphre, orre, orces 5km/s sont la vitesse de libces 5km/s sont la vitesse de librationrationde Mars, c'est donc thde Mars, c'est donc thoriquementoriquementpossible qu'elles atterrissent sur Terre.possible qu'elles atterrissent sur Terre.

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    SIMPLESIMPLEATMOSPHATMOSPHRESRESPLANPLANTAIRESTAIRES

    AtmosphAtmosphre, atmosphre, atmosphrerecomme diraitcomme diraitquelqu'un de connuquelqu'un de connu

    Qu'est ce qui caractQu'est ce qui caractrise une atmosphrise une atmosphre dere de

    planplante?te?C'est un mC'est un mlange gazeux par principe. Il estlange gazeux par principe. Il est

    ddfini principalement par sa composition, parfini principalement par sa composition, parsa pression et sa tempsa pression et sa temprature (lirature (lies ensemblees ensembled'ailleurs).d'ailleurs).

    Photo Calvin HamiltonPhoto Calvin Hamilton

    18 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLETEMPRATURETEMPRATURE Comment dComment dfinitfinit--on la tempon la temprature d'un gaz (et plusrature d'un gaz (et plus

    ggnnralement d'un corps)? C'est une mesure deralement d'un corps)? C'est une mesure del'l'tat des mouvements des particules, c'esttat des mouvements des particules, c'est diredirede leur vitesse. Les particules dans un gaz chaud sede leur vitesse. Les particules dans un gaz chaud seddplacent plus rapidement que dans un gaz froid, auplacent plus rapidement que dans un gaz froid, auzzro absolu mro absolu mme, c'est le repos total. Si vous vousme, c'est le repos total. Si vous vous

    reportezreportez vos livres de thermodynamique des gaz,vos livres de thermodynamique des gaz,vous vous rappelez certainement que la vitessevous vous rappelez certainement que la vitessemoyenne des particules de gaz est limoyenne des particules de gaz est liee lalatemptemprature etrature et la masse molla masse molculaire par la formuleculaire par la formulesuivante :suivante :

    oo k est la constante de Boltzmann.k est la constante de Boltzmann.

    Vk T

    mg a z =

    3

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    SIMPLESIMPLEMAIS OU VEUTMAIS OU VEUT--ILIL

    EN VENIR?EN VENIR? Que se passeQue se passe--tt--il si la vitesse moyenne desil si la vitesse moyenne descomposants formant l'atmosphcomposants formant l'atmosphre d'une planre d'une plante dete detemptemprature moyenne T, est suprature moyenne T, est suprieure ou du mrieure ou du mmemeordre de grandeur que la vitesse de libordre de grandeur que la vitesse de libration de cetteration de cetteplanplante??? Et bien oui, vous avez raison, l'atmosphte??? Et bien oui, vous avez raison, l'atmosphrerea tendancea tendance sschapper. Voilchapper. Voil pourquoi votre fille estpourquoi votre fille estmuette et pourquoi la Lune n'a pas d'atmosphmuette et pourquoi la Lune n'a pas d'atmosphre parre parexemple. Mais revoyons tout cela en dexemple. Mais revoyons tout cela en dtail.tail.

    Les tempLes tempratures moyenne de surface des diffratures moyenne de surface des diffrentsrentscorps du systcorps du systme solaire sont connues,me solaire sont connues, partir de cespartir de cesvaleurs on peut calculer pour chaque type de gaz lavaleurs on peut calculer pour chaque type de gaz lavitesse moyenne de ses molvitesse moyenne de ses molcules. On dira en premicules. On dira en premirereapproximation que les diffapproximation que les diffrents gaz peuventrents gaz peuvents's'chapper avec certitude du corps considchapper avec certitude du corps considrr si 10 foissi 10 foiscette vitesse est supcette vitesse est suprieurerieure la vitesse de libla vitesse de librationrationdu corps considdu corps considrr..

    20 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE Tableau II reprTableau II reprsentantsentantla rla rtention destention desdiffdiffrents gaz : vitesserents gaz : vitessemolmolculaire x10 enculaire x10 enfonction de lafonction de laTempTemprature de surfacerature de surfacepour diffpour diffrents astres.rents astres.

    Un corpsUn corps ou planou plante nete ne

    peut retenirpeut retenir unun gazgazconsidconsidrr que s'il estque s'il estsitusitu AUAU--DESSUS ouDESSUS oudansdans lele voisinagevoisinage de lade lacourbe du gazcourbe du gazcorrespondantcorrespondant.. AutrementAutrementditdit,, toustous lesles gaz situgaz situssAUAU DESSUSDESSUS desdes planplantestesouou corpscorps considconsidrrss sesesont progressivementsont progressivementCHAPPCHAPPSS..

    (d'apr(d'aprs "s "IntroductoryIntroductoryAstronomy and AstrophysicsAstronomy and Astrophysics" de" deSmith & Jacobs chezSmith & Jacobs chez SaundersSaunders))

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    SIMPLESIMPLE On voit immOn voit immdiatement que la Lune etdiatement que la Lune et

    Mercure sont situMercure sont situ

    es aues au

    --dessous de tous les gazdessous de tous les gaz

    intintressants et que donc elles ne PEUVENT PASressants et que donc elles ne PEUVENT PASavoir d'atmosphavoir d'atmosphre. Elles ont en fait perdu leurre. Elles ont en fait perdu leuratmosphatmosphre primitive en quelques centaines d'annre primitive en quelques centaines d'annes.es.(Pression sur la Lune= 10(Pression sur la Lune= 10--1414 atmatm!!! Le vide parfait)!!! Le vide parfait)

    Mars, GanymMars, Ganymde, Titan et Triton ont la possibilitde, Titan et Triton ont la possibilitd'avoir une atmosphd'avoir une atmosphre de CO2, d'Oxygre de CO2, d'Oxygne oune oud'azote; Triton peut md'azote; Triton peut mme avoir du Mme avoir du Mthane ou dethane ou del'Ammoniaque. Par contre ils ont perdu leur H etl'Ammoniaque. Par contre ils ont perdu leur H et HeHeprimitifs.primitifs.

    22 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE

    Venus et la Terre ont des valeurs bien auVenus et la Terre ont des valeurs bien au--dessus dedessus dece qui est nce qui est ncessaire pour retenir une atmosphcessaire pour retenir une atmosphre,re,ce qui est le cas. Par contre on comprend pourquoice qui est le cas. Par contre on comprend pourquoielles ont perdu leur H et Helles ont perdu leur H et Hlium.lium.

    On voit aussi que les planOn voit aussi que les plantes gtes gantes gazeusesantes gazeusesretiennent principalement leur atmosphretiennent principalement leur atmosphre primitivere primitive

    d'Hydrogd'Hydrogne et d'Hne et d'Hlium.lium.

    PhotosPhotos nasanasa

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    SIMPLESIMPLE

    LESLES TROUSTROUS NOIRSNOIRS AuAu XVIIIXVIIImeme sisicle l'Anglais Johncle l'Anglais John MichellMichell et leet leFranFranais Pierre Simon de Laplace se sontais Pierre Simon de Laplace se sontintintressresss au concept de vitesse de libs au concept de vitesse de libration deration dela thla thorie de Newton sur la gravitation.orie de Newton sur la gravitation.

    Ils se demandIls se demandrent ce qui pouvait se passer sirent ce qui pouvait se passer sil'astre devenant si petit et si dense, la vitesse del'astre devenant si petit et si dense, la vitesse deliblibration atteignait la vitesse de la lumiration atteignait la vitesse de la lumire. Ilsre. Ilsen conclurent (incroyable pour l'en conclurent (incroyable pour l'poque!) que rienpoque!) que rienne pouvait plus s'ne pouvait plus s'chapper et notamment lachapper et notamment la

    lumilumire.re. Ce fut l'acte de naissance du concept de trouCe fut l'acte de naissance du concept de trou

    noir.noir.

    24 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE

    On voit bien dans le tableauOn voit bien dans le tableauI que pour un astre de mI que pour un astre de mmememasse que le Soleil mais demasse que le Soleil mais derayon 3km, la vitesse derayon 3km, la vitesse deliblibration est de 300.000ration est de 300.000km/s (Vitesse de la lumikm/s (Vitesse de la lumire).re).

    De mDe mme pour une masseme pour une masse

    donndonne, le rayon limite quie, le rayon limite quiaboutitaboutit une vitesse deune vitesse deliblibration de 300.000km/sration de 300.000km/sest appelest appel RAYON DERAYON DESCHWARZSCHILDSCHWARZSCHILD..

    Pour les matheux, il est bienPour les matheux, il est bienvident que :vident que :

    Rsch = (2 G M) /c2

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    htt // l t t 13

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    SIMPLESIMPLE

    Pour le Soleil on vient de voir qu'il est de 3kmPour le Soleil on vient de voir qu'il est de 3km

    Pour le trou noir situPour le trou noir situ au centre de notre Galaxieau centre de notre Galaxieayant pour masse 3 milliard de masses solaires, leayant pour masse 3 milliard de masses solaires, lerayon derayon de SchwSchw. est de 60. est de 60 UAUA..

    On peut voir cela aussi autrement, cela veut direOn peut voir cela aussi autrement, cela veut direque par exemple, uneque par exemple, une toile de massetoile de masse quivalentequivalente celle du Soleil DEVIENDRA un trou noir, si soncelle du Soleil DEVIENDRA un trou noir, si sonrayon est ramenrayon est ramen 3km etc..3km etc..

    Tous les corps ont un rayon deTous les corps ont un rayon de SchwarzschildSchwarzschild : la: laTerre : 1cm; un homme (!) : 10Terre : 1cm; un homme (!) : 10--2525m etc.m etc.

    Pour votre information, la sphPour votre information, la sphre ayant pour rayonre ayant pour rayonle rayon dele rayon de SchwarzschildSchwarzschild est appelest appele "horizon" due "horizon" dutrou noir.(trou noir.(eventevent horizon en anglais)horizon en anglais)

    26 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE

    IMAGE B LELARD

    ILL BE SEEING YOUILL BE SEEING YOU*** cest fini pour aujourdhui* cest fini pour aujourdhui