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Doctoral Thesis

Dynamisches Verhalten eines schwingenden Systems mittrockener Reibungsdämpfung unter der Einwirkung periodischerImpulse

Author(s): Bornand, René A.

Publication Date: 1938

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000090874

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Diss. E T H ' ^OOfc &

Dynamisches Verhalten

eines schwingenden Systems mit trockener

Reibungsdämpfung unter der Einwirkung

periodischer Impulse

Von der

Eidgenössischen Technischen Hochschule

in Zürich

zur Erlangung der

Würde eines Doktors der technischen Wissenschaften

genehmigte

Promotionsarbeit

vorgelegt von

RENÉ A. BORNAND

von Ste-Croix (Waadt)

Referent : Herr Prof. Dr. E. Meissner

Korreferent: Herr Prof. Dr. ing. G. Eichelberg

See.

1938

Buchdruckerei Vogl-Schild A.-G., Solothurn

INHALTSVERZEICHNIS

Seite

Einleitung 5

Der Resonanzfall 5

/. Darstellung und Untersuchung des Einschwingvorganges 5

//. Die Restlösungen 10

a) Abklingende Lösungen 10

b) Aufschaukelnde Lösungen 13

c) Periodische Lösungen 13

Zusammenfassung 14

Literaturverzeichnis 14

Meinem verehrten Lehrer

HERRN PROFESSOR Dr. E. MEISSNER

in Dankbarkeit gewidmet

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Einleitung.

Treten bei schwingenden Systemen unstetigeKräfte und Widerstände auf, so ist der Bewegungs¬verlauf nicht mehr oder nur sehr mühsam schritt¬

weise analytisch zu verfolgen. Hier führen gra¬

phische Integrationsmethoden rascher zum Ziel

und gestatten einen viel besseren Ueberblick über

den Verlauf, als es analytische Methoden je im¬

stande wären.

Im folgenden soll nun das Verhalten eines

schwingenden Systems mit trockener Reibungs¬

dämpfung unter dem Einfluss periodischer Im¬

pulse vermittelst der graphischen Integrations¬

methode von E. Meissnerl) näher untersucht wer¬

den.

Dabei soll die Hauptaufgabe dieser Methode

darin bestehen, die Konvergenz aller möglichen

Bewegungen gegen Restlösungen (abklingende,aufschaukelnde, periodische) zu zeigen, das heisst

über die Schwierigkeiten des Einschwingvorgangsin anschaulicher Weise hinwegzuhelfen. Sind dann

diese, aus allen Anfangsbedingungen angestrebten

Restlösungen einmal graphisch gefunden, so lassen

sie sich meist auch rechnerisch in Funktion der

massgebenden Parameter ausdrücken.

Der Resonanzfall.

I. Darstellung und Untersuchung des Einschwing¬

vorganges.

Wie Prinzipskizze Abb. 1 veranschaulicht,handelt es sich darum, die Bewegung einer

elastisch gebundenen Masse mit konstanter Dämp¬

fung von der Art der Gleitreibung unter der Ein¬

wirkung von nach Grösse und Richtung konstan¬

ten, periodischen Impulsen zu untersuchen.

r/2ywwwvV-

ù£° FA-Wi www

+P

Die Differentialgleichung dieser Bewegunglautet:

djpdû

m •-£= —F+R + S(t)

oder: (1) mdt2+f-p= + R + S(t)

wo: m

f

P

R

Masse des schwingenden Körpers.

Federkonstante.

Lagenkoordinate der Bewegung mit

einem Freiheitsgrad, gemessen vonder Gleichgewichtslage aus.

Konstante, stets der Bewegung ent¬

gegengerichtete Dämpfung, Gleit¬

reibungskraft.Annahme: Haftreibungsmaximum =

Gleitreibung.

Stosskraft, die während der kurzen

Zeit At innert jeder Eigenperiode in

Richtung der wachsenden Lagen¬koordinate auf das System wirkt.

Wenn man nun zunächst von dem Störungs¬

glied S(t), herrührend von der intermittierenden

Stosskraft S absieht, so handelt es sich darum, die

Eigenschwingung eines Systems mit konstanter

Reibungsdämpfung zu bestimmen. Die Differential¬

gleichung (1) vereinfacht sich dann zu:

S(t)

(2)dt2+f.p=+R

oder umgeformt mit f/m = k2, wo k = Kreisfre¬

quenz der Eigenschwingung:

(2a) ^ + *I-/»=+Ä/i.') E. Meissner, Graphische Analysis. Rascher & Co.,

Zürich, Kommissionsverlag, 1932.

5

Um diese Differentialgleichung der graphischenIntegration2) leicht zugänglich zu machen, führt

man zweckmässig einen neuen Zeitmasstab ein,nämlich u — k'l, dann ist:

(3)

()', Striche sollen im folgenden stets Ableitun¬

gen nach der neuen Zeitvariablen u = fc• f be¬

deuten.

dt= k-

dp_

du= & p'

d*p_dt2

= **du2

= k* 'P

GO ,

je '

,'c\r'P%)

*

Dieser Impuls erteilt der Masse m im Zeitele¬

ment A t eine'Geschwindigkeitsänderung A v und

es ist:

J = m • A v

In unserem neuen Zeitmasstab ist nach (3):

Av = k' Ap', J = m • fr • A p'

und somit:

J(8) J«/ = / =

y = «plötzliche» Geschwindigkeitsänderung, Mass

für die Grösse des Impulses. Dimension:

Länge!

AbklingendeLösungenA=3

Die den gesuchten Bewegungsverlauf darstel¬lenden Linienbilder C setzen sich also zusammen

aus Kreisbogen vom Radius r (resp. 1) und Ge¬radenstücken (Impulse) von der Länge j (resp. X).Siehe Abb. k, 5, 6,7.

Anstatt den Verlauf des Linienbildes C zu ver¬

folgen, untersucht man bequemer seine Evolute C,das heisst den Streckenzug, der die MittelpunkteP'a (Abb. 2, 7) der Kreisbogenstücke verbindet.Dieser Streckenzug setzt sich zusammen aus denVektoren:

r = Länge 4 r (resp. 4); Richtung gegen 0.

j = Länge j (resp. X); Richtung || +y-Achse.

Das Durchlaufen der Vektoren r und j ent¬

spricht dem Ablauf eines Zyklus 2 n der Bewegung.

Der Bewegungsverlauf kann also vereinfachtauch dargestellt werden durch die Aneinander¬

reihung der Vektoren £ = r 4- i. Dabei bedeuten die

Anfangspunkte Ai der Vektoren t desVektors £; gegen die + f-Achse zu:

(i4) **=%= %-yr+toiW'.Die Grösse des Vektors E, wird:

(15) Ci = ^J$*-{-Jf

mo

Abb. 7. Ableitung der Kurve K. I = ilr = 7.

Wie aus Abb. 7 ersichtlich, lassen sich aus den

Koordinaten des Punktes A; (xi, y,) und den Para¬metern j und r leicht die Koordinaten des Punktes

/4,4-t (xi+t, yi+t) ermitteln. Es ist:

(11) ATj+i = xi — 4 r • sin ?-,•

(12) #+1 = ^ -}- y — 4 / • cos ?-,•oder um mit dimensionslosen Verhältniszahlen zu

rechnen:

(13) ft = xj/r, rjj = Sijr, X =j/r, d= d r=

Erste Grenzkurve Kx. Zweite Grenzkurve K2.

ipi = /^+^=^-'(7o+ d0)

(i9b) «*=^'*-'>foo-*+v/(%zräFR!)Die Gleichungen (18 a) und (18 b) stellen also

die beiden Grenzkurven Kx und K2 dar.

Die durch die gedachte Kurve K verbundenePunktfolge At des Linienzuges C muss sicher indem.von den beiden Kurven Kr und K2 begrenztenGebiet liegen. Man kann also anhand der Kurven¬gleichungen (18 a) und (18 b) den durch C dar¬gestellten Bewegungsverlauf eingrenzen und diemöglichen Bewegungen in Abhängigkeit von den

Anfangsbedingungen und dem Parameter X dis¬kutieren.

Variation der Anfangsbedingungen.

Aus Abb. 4, 5, 6 ersieht man, dass sich die

Lösungen im ersten und vierten Quadranten

0»o>, p'0^0)und im zweiten und dritten Quadranten

(/> 4 (Abb. 5). Der

Exponent (1—A/4) wird negativ, alle Grenz¬kurven K verlaufen asymptotisch an die tj-Achse.

Alle Linienzüge C nähern sich unabhängigvon den Anfangsbedingungen der +jy-Achse,längs der sie als aufschaukelnde RestlösungC** ins Unendliche abwandern.

c) Periodische Lösungen, X = 4 (Abb. 6). Der Ex¬

ponent des ersten Gliedes (1—X/4) wird Null.Die Grenzkurven K sind gegen die negative r\-Achse geöffnete Parabeln.

Alle Linienzüge C streben gegen periodischeLösungen C*** (Scheitelpunkte der Parabeln),deren Lage auf der + »7-Achse von den Anfangs¬bedingungen abhängt.

II. Die Restlösungen.

a) Abklingende Lösungen.

(Periodische Stillstandslösungen.)

X = jlr < 4 (Abb. k).

Wie die Diskussion der Grenzkurvengleichun¬

gen (18a) und (18b) zeigte, streben in diesem Falle

alle Bewegungen direkt gegen den Nullpunkt hin

oder nähern sich ihm als abklingende RestlösungC*, wenn sie sich anfänglich in der Nähe der

rj-Achse befinden.

Alle Bewegungen kommen also sicher einmal in

einer Umkehrstelle in dem Bereich des Reibungs¬kreises zum vorübergehenden Stillstand. Dies seider Ausgangspunkt der weiteren Untersuchung.

Nach der Art des ersten Stillstandes sind zwei

Fälle zu unterscheiden:

av Stillstand im ersten Umkehrpunkt Ut.

Die Bewegung sei im Punkte A* im Abstand z*

vom Nullpunkt zum Stillstand gekommen. Durchden Impuls j setzt der Massenpunkt sich wieder in

*sf,sAbb. 8. Stillstand im ersten Umkehrpunkt Ut.

Bewegung und kommt beim ersten Umkehrpunkt

U1 im Abstand z* von 0 wieder zur Ruhe. Er befin¬det sich also vor Eintreten des nächsten Impulsesim Punkte A"2 im Abstand z* von 0.

Aus den geometrischen Beziehungen der Abb. 8

(Dreieck 0 0' F) lässt sich der zweite Stillstands¬

ausschlag z* leicht in Funktion des ersten z* undden Parametern j und r, resp. X = jlr berechnen.Man erhält

(*; + ,)*-(*; + ,)«=/»oder mit den dimensionslosen Verhältnissen

allgemein

(22) (C^. + l)2-

= z2fr, k=jlr

(C. + iy = p.

a.y Stillstand im zweiten Umkehrpunkt U2.

Man kann zwei Fälle unterscheiden:

Stillstand mit positivem Ausschlag (Abb. 9a),Stillstand mit negativem Ausschlag (Abb. 9b).

Für beide Fälle ergibt sich aus den geome¬trischen Beziehungen der Abbildung:

(23) (c;;,-3)«-(£• + !)' = *'•

Es soll nun untersucht werden, ob und wie

diese Stillstandslösungen gegen periodische Lösun-

X =1,5Abb. 9a. Stillstand im zweiten Umkehrpunkt U2.

Z positiv.

\=3.5Abb. 9b. Stillstand im zweiten Umkehrpunkt Uz.

Z negativ.

10

gen konvergieren. Zu diesem Zwecke studiert man

die Folgen Çv C2 .... C» C,--h der aufeinander¬

folgenden Stillstandsausschläge.

Die Einfachheit der Beziehungen (22) und (23)

legt eine graphische Untersuchung der Konvergenzdieser Folge nahe.

Iterationsverfahren zur Untersuchung der

Konvergenz gegen periodische Stillstands¬

lösungen})

Die unter 1. und 2. gefundenen Gleichungen (22)und (23) stellen in einem G, C,+1-Koordinaten-system gleichseitige Hyperbeln mit gleichemParameter X und verschiedenen Parallelverschie¬

bungen dar. Diese Hyperbeln sind für einen

bestimmten Wert des Parameters X = 1,5 in

Abb. 10a dargestellt, und zwar gilt für Fall 1 das

Ç., C, -Koordinatensystem und für Fall 2 das

C*, C* -Koordinatensystem. Die zu untersuchende

Folge der Ausschlagverhältnisse Cv

kehrpunkt) liegen. Die Hyperbel für X = 4 ist die

letzte, die die 45 "-Linie durch 0** gerade noch im

Gültigkeitsgebiet schneidet, also sind periodische

Stillstandslösungen nur möglich für X-Werte von:

0 < X < 4.

Rechnerische Bestimmung der periodischen

Stiüstandslösungen.

Ausgehend von den Gleichungen (22) und (23)

ergibt sich:

Stillstand im ersten Umkehrpunkt Ur Für eine

periodische Lösung müsste C.- = C,-+i sein, also:

(22) (C„ + 1)* - (C„ + l)2 = X\

woraus: X = 0.

Eine periodische Lösung mit Stillstand im

ersten Umkehrpunkt wäre also nur im Grenzfall

X = 0, das heisst bei verschwindendem Impuls

möglich.

Stillstand im zweiten Umkehrpunkt U2. Es muss

wieder sein: £•_)., = £-,

also (23) (Cp — 3)2 — (Cp -f l)2 = X\

woraus (24) tp = 1 — XV8

mit dem Gültigkeitsbereich

0< X

b) Aufschaukelnde Lösungen.

X = jlr>4 (Abb. 5).

Nach Gleichungen (18a) und (18b) konvergierenin diesem Fall alle Streckenzüge C gegen Restlösun¬

gen C**, die auf der positiven ^-Achse ins Unend¬liche abwandern. Liegen die Anfangspunkte im

vierten, resp. dritten Quadranten, so überquerendie Streckenzüge C" sicher einmal die £-Achse, um

in den ersten, resp. zweiten Quadranten einzu¬

gehen (siehe Seite 7, Abb. 5).Für Anfangspunkte in der Nähe der negativen

^-Achse ist auch der Spezialfall möglich, dass C*

die f-Achse mit einem t-Vektor im Nullpunkte

überquert und dabei im Bereich des Reibungs¬kreises ein — und nur ein — Stillstand auftritt

(z. B. Linienzug C in Abb. 5).Die Bewegungen schaukeln sich also aus allen

Anfangsbedingungen auf.

In Abb. Hu ist die Restlösung für X = 4,5 in

Liniendiagramm und Fahrplan eingetragen. Sie ist

durch folgende Grössen charakterisiert:

(29) C0 =po/r = -l

(30) Jfi=JPn lax/r

(31) rAl=TE/i = n/2

tb = rE/2 = n

~A2 = teI'4 = x/2

Anfangsausschlagvor Einsetzen des

Impulses, konstant!

4 Zunahme der Maxi-

malausschläge proPeriode.

Erste Anstiegszeit.

Abstiegszeit.

Zweite Anstiegszeit.

Der Impuls J setzt also immer beim selben Aus¬

schlag C0 = — 1 ein und die Maximalausschläge ^

jAo liegen stets bei xFJ4 und 3 rE!4. Sie nehmen

proportional mit der Zeit zu, und zwar ist der

konstante Zuwachs J /n pro Periode proportionaldem Impulsstärkeverhältnis X — jlr.

c) Periodische Lösungen.

X = j/r = 4 (Abb. 6).

In diesem Falle konvergieren alle Linienzüge C

nach Doppelstrecken auf der + ^-Achse, die die

periodischen Restlösungen C*** darstellen.

Die Lage dieser Restlösungen auf der + ^-Achsehängt von den Anfangsbedingungen ab und kann

nach Gleichungen (18a) und (18b) abgeschätztwerden. Mit X — 4 wird:

_ci1

(18a) *=i~/;Ci=9o+ô0

(18b) %=|__f»+4; C2=5?0_4+V(%-4)s+^.. c2

Die Schnittpunkte dieser Grenzparabeln mit der

rj-Achse (£ = 0, Scheitel), werden als Funktion der

Anfangsbedingungen

%»! =

Vp* =

__

Vo + *0

7o + ^+V(?o-^)'+^

Um nun die aus gegebenen Anfangsbedingun¬

gen A0 (£0, 7]0, ß0) angestrebte periodische Lösungohne Zeichnen des Linienzuges C rechnerisch

bestimmen zu können, kann man in erster An¬

näherung annehmen, die Lösung r\„ liege in der

Mitte zwischen den Grenzlagen r\ . und »; ,. Daraus

ergibt sich:

(32) %,:.^i+%*_27o+ o-4r)')

Positive Amplitude.

Negative Amplitude.

Der Impuls J setzt immer beim selben Aus¬

schlag z = — r ein. Die von den Anfangsbedingun¬

gen abhängenden positiven und negativen Ampli¬tuden (Umkehrpunkte) liegen stets bei den

Phasen n/2 und 3 ti/2.

13

Zusammenfassung.

Steht ein Schwinger mit der Eigenfrequenz k

und mit konstanter Dämpfung jR (Gleitreibung)unter dem Einfluss von nach Grösse und Richtungkonstanten Impulsen J derselben Frequenz k (Reso¬

nanzfall), so ergeben sich durch graphische Inte¬

gration der Bewegungsdifferentialgleichung fol¬

gende Resultate:

Die Bewegungen konvergieren bei beliebigen

Anfangsbedingungen gegen Restlösungen, die, jenach dem Impulsstärkeverhältnis X — jlr = J• klR,in folgende drei Gruppen zerfallen:

a) X < 4, J • fc < 4 • R.

Alle Bewegungen konvergieren gegen ab¬

klingende Resllösungen C*. Diese gehen, unab¬

hängig von den Anfangsbedingungen, in perio-

Meissner E., Graphische Integration. Schw. Bauzeitg.,Bd. 62, Nr. 15, 16,1913; Bd. 84, Nr. 23, 24, 1924; Bd. 98,Nr. 23, 26, 1931; Bd. 99, Nr. 3, 4, 13, 1932.

Meissner E., Graphische Analysis (Sonderdruck S. B. Z.J.Kommissionsverlag Rascher & Co., Zürich, 1932

Meissner E., Ueber eine nichtharmonische Schwingung.S. B. Z

,Bd. 104, S. 35—36, 1934.

Meissner E., Resonanz bei konstanter Dämpfung. Zeit¬

schrift für ang. Math, und Mech , Bd. 15, Heft 1/2,Febr. 1935, S. 62—70.

Eckholt W., Erzwungene Reibungsschwingungen. Zeit¬schrift für technische Physik, 1926, S. 226—232.

dische Stillstandslösungen über, die in Funktion

des alleinigen Parameters X eindeutig rechnerisch

angegeben werden können (Abb. 12).

b) ;. > 4, J • k> 4 • R.

Alle Bewegungen konvergieren gegen sich insUnendliche aufschaukelnde Resllösungen C**, die

von den Anfangsbedingungen unabhängig sind.

c) X = 4, J • k = 4 • R.

Alle Bewegungen nähern sich periodischenLösungen an, die von den Anfangsbedingungen ab¬

hängig sind. Es wird ein Näherungsverfahren an¬

gegeben, das die Berechnung dieser periodischen

Lösungen bei gegebenen Anfangsbedingungen

gestattet.

Söchting, Schwingungsausschläge bei Resonanz. Aka¬demie der "Wissenschaften, Wien, 1932.

Söchting, Zur Berechnung des Reibungsschwingungs-dämpfers. Zeitschrift für ang. Math, und Mech.,Bd. 15, 1935, S. 286—289.

Föppl O., Graphische Berechnung der Bewegungsvor¬gänge einer zweigliedrigen Schwingungsanordnungmit Reibung. Zeitschrift für ang. Math, und Mech.,Bd. 15, 1935, S. 41—47.

den Hartog J., Forced vibrations with combined cou¬lomb and viscous damping.

Literaturverzeichnis.

14

Lebenslauf

Ich wurde am 30. Oktober 1908 in Teufen

(Appenzell) geboren. In St. Gallen besuchte ich die

Primarschule und die Kantonsschule, an der ich

mir im Herbst 1927 das Maturitätszeugnis erwarb.

Anschliessend studierte ich an der Abteilung für

Maschineningenieurwesen und Elektrotechnik der

Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zü¬

rich. Ein Jahr lang unterbrach ich dann das

Studium, um mich in Werkstätte und Konstruk¬

tionsbureau einer Maschinenfabrik praktisch zu

betätigen. Ende 1932 erhielt ich das Diplom als

Maschineningenieur und bin nun seit April 1933 als

Assistent für theoretische Mechanik bei Herrn

Prof. Dr. E. Meissner tätig.