Recordes què és…? - spain-s3-mhe-prod.s3-website-eu...

Expressió algebraica

És una combinació de nombres i lletres relacionats mitjançant operacions aritmètiques.

Propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma

Si a, b i c són tres nombres qualssevol, es compleix que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Multiplicació de potències

El resultat de multiplicar potències d’igual base és una potència la base de la qual és la mateixa i l’exponent és la suma dels exponents.

an · am = am + n

Divisió de potències

El resultat de dividir potències d’igual base és una potència la base de la qual és la mateixa i l’exponent és la diferència dels exponents.

am

an = am – n

Recordes què és…?

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:80 Unidad_05_2ESO.indd Sec1:80 21/4/08 04:58:1721/4/08 04:58:17

5EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques en què es fan servir lletres per a representar relacions aritmètiques. De la mateixa manera que en l’Aritmètica, les operacions fonamentals de l’Àlgebra són l’addició, la sostracció, la multiplicació i la divisió.

L’Aritmètica, no obstant això, no és capaç de generalitzar les relacions matemàtiques, com el teorema de Pitàgores, que diu que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa. L’Aritmètica només dóna casos particulars d’aquesta relació, per exemple, 3, 4 i 5, ja que 32 + 42 = 52. L’Àlgebra, per contra, pot donar una generalització del tipus: a2 + b2 = c2.

L’Àlgebra es considera l’idioma de les Matemàtiques, i per això ha anat evolucionant al llarg del temps gràcies a l’estudi de molts matemàtics.

Els objectius d’aquesta Unitat són:

• Expressar algebraicament enunciats verbals simples.

• Dominar la jerarquia d’operacions aritmètiques i aplicar-la en operacions amb expressions algebraiques.


82

5 EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES. EL LLENGUATGE ALGEBRAICL’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de nombres i lletres per a representar relacions aritmètiques. Per exemple, per a expressar l’àrea d’un rectangle de costats a i b es té:

a

b

Àrea = costat × costat

A = a × b

Si a = 6 cm i b = 4 cm, l’àrea és 6 × 4 = 24 cm2.

Observa que hem generalitzat l’expressió del càlcul de l’àrea d’un rectangle mitjançant lletres. Cada lletra representa un costat.

Les expressions algebraiques, o llenguatge algebraic, s’utilitzen per a expressar una situació qualsevol o per a generalitzar propietats matemàtiques.

Exemples:

a) Si considerem que x és la capacitat en litres d’un embassament, expressem

el doble d’aquesta capacitat com 2x i la meitat com x2

.

b) L’àrea d’un cercle s’expressa com · r 2, on r representa el radi del cercle.

L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de nombres i lletres per a representar relacions aritmètiques.

Una expressió algebraica és la combinació de nombres i lletres relacionats mitjançant operacions aritmètiques per a expressar una situació qualsevol o per a generalitzar propietats matemàtiques.

11

1 Si en una llibreria el preu d’un llibre és x euros i el de cada bolígraf és 7 € menys, expressa alge-braicament el que costen:

a) Quatre llibres.

b) Deu bolígrafs.

c) La meitat del que costen sis llibres.

d) Cinc llibres més tres bolígrafs.

e) Cinc llibres amb un descompte de 3 €.

f) Dos bolígrafs i sis llibres.

g) Tres bolígrafs i dos llibres.

h) Sis llibres i un bolígraf.

2 Si x és un nombre natural, escriu les expres-sions algebraiques que representen:

a) El doble d’aquest nombre.

b) La tercera part d’aquest.

c) El seu cub.

d) El seu anterior.

e) El seu posterior.

f) El seu triple més tres unitats.

g) La meitat del seu triple.

h) El quàdruple més quatre unitats.

i) El doble del seu posterior.

Exercicis

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Interpretacion_expresiones_algebraicas_d3/indice.htm

Activitats interessants per a familiaritzar-se amb l’ús de lletres com una generalització dels nombres, visualitzant les operacions algebraiques elementals. A més, hi trobarem activitats interactives per a treballar altres aspectes del tema: valors numèrics, identitats…

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/index.htm

Pàgina de José Antonio Ortega amb activitats interactives molt interessants per a treballar tots els conceptes de la unitat.

WEB

CDA la pestanya Activitats/ Unitat 1 trobaràs l’activitat Relació unitat 5, per a repassar el llenguatge algebraic.


83

VALOR NUMÈRIC D’UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICAL’expressió algebraica següent descriu la suposada despesa que puc fer en una fruiteria en funció del nombre de quilos de tomàquets que compri i si demano el lliurament a domicili:

2 €/kg 1 €Tomàquets Comanda a domicili

2x + 1

Anomenem x la quantitat de tomàquets que compro. L’expressió algebraica associada a aquesta situació és: 2x + 1.

En substituir x per un nombre i fer operacions s’obté un altre nombre, que s’anomena valor numèric de l’expressió algebraica. En el cas que siguin dos quilos, és a dir, si x = 2:

2x + 1 = 2 · 2 + 1 = 5 €. El valor numèric és 5 €.

El valor numèric d’una expressió algebraica s’obté calculant les operacions aritmètiques d’aquesta expressió i substituint les lletres per nombres.

Fixa’t bé en els exemples següents:

a) Si x = 2, el valor numèric de 3x 2 – 2x es: 3 · 22 – 2 · 2 = 8.

b) Si el costat d’un quadrat és 3 cm, la seva àrea és A = l · l = 3 · 3 = 9 cm2.

c) Si x = –2, el valor numèric de 2x 2 és: 2 · (–2)2 = 2 · 4 = 8.

Valor numèric d’una expressió algebraica és el resultat que s’obté quan se substitueixen les lletres de l’expressió per nombres.

22

3 Calcula el valor numèric de les expressions algebraiques següents per als valors que es do-nen:

a) 12x + y si x = 2, y = 3

b) xy3

si x = 3, y = 4

c) (2x)2 si x = 2

d) a2 – b

a si a = 4, b = 6

e) 1

3 x 2 + 2y si x = 3, y = 2

4 Troba l’expressió algebraica que represen-ta l’àrea de la fi gura següent i calcula’n el valor numèric, sabent que les bases mesuren 5 cm i que l’altura dels dos triangles és 7 cm.

h

b b

h

Exercicis

WEBhttp://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/potencia/index.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Potencias_y_raices/potencias2.htm

Pàgines amb activitats per a repassar les propietats de les potències, que les introdueix amb exemples per a obtenir-ne l’expressió algebraica.

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/enteros2/opcombin.htm

Activitats per a repassar la jerarquia d’operacions.

1,9 /kg1,6 /kg2 /kg

2,3 /kg


84

5 MONOMIS I POLINOMISLes expressions algebraiques que estan formades només per la multiplicació de nombres, lletres o nombres i lletres s’anomenen monomis.

Per exemple, 1

2x y 4Îx , no són monomis.

Són monomios: 3x 2, 4x, 7x 2y 3.

En cada monomi hi ha una part numèrica que anomenem coefi cient, i una part expressada amb lletres que s’anomena part literal. Cadascuna de les lletres d’un monomi s’anomena variable. La suma dels exponents de les variables que formen la part literal és el grau del monomi.

Els monomis que tenen la mateixa part literal s’anomenen monomis sem-blants.

Per exemple:

En el monomi: –7x 2y 3 es té:

— Coefi cient: –7

— Part literal: x 2y 3

— Grau: 2 + 3 = 5

— –7x 2y 3 és semblant a –2x 2y 3.

— –7x 2y 3 no és semblant a 6x 3y 2.

Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes o restes de mo-nomis no semblants anomenats termes. El grau d’un polinomi és el grau més alt dels monomis que el formen.

Per exemple, el polinomi P(x)= 3x 2 – 2x + 5, té tres termes i el seu grau és 2.

Un monomi és una expressió algebraica formada per la multiplicació de nombres, lletres o nombres i lletres.

El coefi cient d’un monomi és la part numèrica d’aquest.

La part d’un monomi expressada amb lletres s’anomena part literal.El grau d’un monomi és la suma dels exponents de la part literal.

Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal.

Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes o restes de monomis no semblants anomenats termes.

El grau d’un polinomi és el més alt dels graus dels monomis que el formen.

33

5 Assenyala quants termes hi ha en cadascuna de les expressions algebraiques següents. En cas de ser polinomis, concreta de quin tipus són:

a) 3mn 2 b) 3y 2 + 2xy – 1

c) 5

2 x + 1 d) 4ab – 2b + a

e) 7x 2z + z + 2 f) 2ya

6 Descriu aquestes expressions algebraiques (monomi, binomi, trinomi, etc.), i indica la part literal, el coefi cient i el grau de cada terme:

a) 9a 3b 4 + 3 b) 4y 2z 3 – 5y

c) 8z + y – 2y 5 d) 3

4 m 4

e) 7a + 4b 2a – 2b + 1 f) x

Exercicis

Tingues en compteEn el monomi x2y el coefi cient és 1, no 0.

En un polinomi, el terme que no té part literal s’anomena terme independent.

Un polinomi format per dos termes s’anomena binomi. Si està format per tres termes s’anomena trinomi.

Defi nició

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Polinomios/monomios.htm

Activitats interactives per a la classifi cació i operacions de monomis.

http://www.mismates.net/modules.php?name=Encyclopedia&op=list_content&eid=1

Pàgina de Francisco Burzy que pretén arribar a ser un diccionari de les matemàtiques que es veuen a l’ensenyament secundari. L’alumne pot investigar quines de les defi nicions d’aquest tema hi ha en aquest diccionari i completar-les.

WEB


85

OPERACIONS AMB MONOMISEls monomis són les expressions algebraiques més senzilles. És important conèixer com s’hi fan les operacions.

SUMA I RESTA DE MONOMIS

Dos monomis només es poden sumar o restar si tenen la mateixa part literal, és a dir, han de ser semblants. Per a obtenir-ne el resultat se sumen o resten els coefi cients i es manté igual la part literal.

Exemples:

— 7x + 2x = 9x: «7 vegades un nombre més 2 vegades aquest mateix nombre és 9 vegades aquest mateix nombre, és a dir, 9x».

— 10n + 3n – n = 12n

— 5a2 + 3a2 – 2a2 = 6a2.

— 7x + 2y: aquesta suma de monomis no es pot fer perquè no tenen la mateixa part literal, no són termes semblants.

Pot donar-se el cas que els coefi cients siguin fraccions. La suma entre els coefi cients haurà de fer-se com una suma de fraccions.

1

2 x +

3

4 x =

5

4 x

1

2 +

3

4 =

2

4 +

3

4 =

5

4

MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE MONOMIS

Per a multiplicar o dividir monomis no cal que les parts literals siguin iguals. El resultat en aquests casos sempre serà un monomi.

La multiplicació es fa de la manera següent:

1. Es multipliquen entre si els coefi cients tenint en compte els signes dels coefi cients.

2. Per a obtenir la part literal, es multipliquen les parts literals dels mo-nomis.

Exemple 1

a) 2x 2 · 4x 3 · x = 2 · 4 · x 2 + 3 + 1 = 8x 6

b) –2a · 5a3 · b = –2 · 5 · a · a · a · a · b = –10a4b

Regla dels signes

+ · + = + – · – = + + · – = – – · + = –

+ : + = + – : – = + + : – = – – : + = –

44

AA

BB

Si dins d’una suma o resta hi ha algun monomi no semblant, no s’operarà i quedarà tal com està en el resultat.

12y + 3y + x = 15y + x

Tingues en compte

Refl exionaFixa’t bé en les parts literals:

No és el mateix 7x3y2 que 7x2y3:

7x3y2 = 7 · x · x · x · y · y

7x2y3 = 7 · x · x · y · y · y

Sí que és el mateix x · y que y · x per la propietat commutativa de la multiplicació.

WEBhttp://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Polinomios/monomios.htm#opmon

Activitats per a practicar les operacions amb monomis.


86

5

7 Troba el resultat de les operacions amb mo-nomis següents:

a) 5z + 6z + z

b) 10x 2 – 7x 2 + x 2

c) 6yx + 4xy + yx

d) 2n2m + 3n2m

e) 3

4 x – 2x + x

f) a2 + 3a2 + 9ab

8 Fes la multiplicació dels monomis següents:

a) 5x 2 · 3x b) 3b2 · 1

2 b

c) 2a2 · a · 5a d) 4y · (–4)y 2

e) 4y · 2y 2 f) 6a3 · 2a

9 Indica quines d’aquestes igualtats són correc-tes i quines són incorrectes. Raona la teva resposta:

a) 3a + a = 4a2

b) 5x + x + x = 7x

c) 1

2 x 2 +

1

2 x 2 = x 2

d) 2n2 + 3n2 – 5n2 = 0

e) 3zy + 5zy = 8yz

f) 5x 2 + 2x = 7x 3

10 Fes la divisió dels monomis següents:

a) 24a4

6a2

b) 4ab2b

c) 12m2

15m d)

–9x 2y 2

3x

e) 12y 5

6y 2 f)

6y 8x3x 3y

Exercicis

Dos monomis només es poden sumar o restar si tenen la mateixa part lite ral, és a dir, han de ser semblants. Per a obtenir el resultat se sumen o resten els coefi cients i es manté igual la part literal.

Per a multiplicar monomis, es multipliquen entre si els coefi cients tenint en compte els signes, i la part literal s’obté multiplicant les parts literals dels monomis.

Per a dividir monomis, es divideixen els coefi cients tenint en compte el seu signe, i la part literal s’obté dividint les parts literals dels monomis.

Exemple 2

a) 2a3 : 6a = 2a3

6a =

26

a3 – 1 = 26

a2 = 13

a2

b) 10x 4y 3 : (–2)x 2y 3 = 10–2

x 4 – 2y 3 – 3 = –5x 2 · y 0 = –5 · x 2 · 1 = –5x 2

c) 4b3

2b =

2 · 2 · b · b · b2b

= 2 · b · b = 2b2

http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=2205

Paquet d’activitats a Clic propostes per Antonio Francisco Devesa Botella, Carmen Gutiérrez Vargas, Fernando López Juárez i Rosa Fargueta Calatayud per a introduir el llenguatge algebraic i exercitar les operacions amb monomis i polinomis.

http://www.jesuitasperu.org/almacen/archivos/arch171-Polinomios%203.htm

A la secció de recursos trobarem interessants enllaços relacionats amb monomis i polinomis.

WEB

Per a fer la divisió, els passos que cal seguir són:

1. Es divideixen entre si els coefi cients tenint en compte el seu signe.

2. Per a obtenir la part literal, es divideixen les parts literals dels monomis, tenint en compte com es fan les operacions amb potències.


87

OPERACIONS AMB POLINOMISFer les operacions amb polinomis és molt senzill si es domina el càlcul amb monomis.

SUMA I RESTA DE POLINOMIS

Per a sumar polinomis, se sumen entre si els termes semblants.

Exemple 3

Si P(x) = 3x 2 + 10x – 7 y Q(x) = 2x 2 – 6x + 5

P(x) + Q(x) = (3x 2 + 10x – 7) + (2x 2 – 6x + 5)

3x 2 + 10x – 7

2x 2 – 6x + 5

P(x) + Q(x) = 5x 2 + 4x – 2

Per a restar polinomis, els passos que cal seguir són:

Pas 1. S’ordenen els termes del polinomi de més gran a més petit en funció del grau.

Pas 2. Restar és sumar l’oposat, després es canvien els signes del polinomi subtrahend.

Pas 3. Se sumen els termes semblants dels polinomis.

55

AA

11 Donats els polinomis:

A(x) = 12x 6 + 6x 4 + 3x + 2

B(x) = 4x 6 – 4x 4 + 2

C(x) = 4x 4 – 5x 3 + x – 1

Calcula les operacions següents:

a) A(x) + B(x) + C(x) b) A(x) – B(x)

c) B(x) + A(x) d) C(x) – A(x)

12 Fes la suma o resta dels polinomis:

a) 13

4 z 2 + 6z 2 + 5z 3 – 3z2 + 11

2 z 2 + 4z 3 + z2

b) (3n5 – 4n2 + 5) – (2n5 + 6n2 + 3)

c) (m3 + 3m + 7) – (m3 – 2m + 1)

d) (y 10 + 3y 3 – y) + ((y 5)2 – 4y 2 + 5y + 8)

Exercicis

No és 3a2

3a + a Sí és 4a

No és 4a2b2

4ab + ab Sí és 5ab

No és 6ax2

6ax + x No són

monomis semblants. No es poden sumar.

Recorda

WEBhttp://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Polinomios/polinomios1.htm#suma

Activitats interactives per a les operacions amb polinomis.

http://www.ejercitando.com.ar/teormate/suma%20de%20polinomios.htm

Activitats de suma de polinomis acompanyades de les seves propietats.

Exemple 4

P(x) = 6x 3 + 5x – 7x 2 + 7 Q(x) = 2x 3 – 6x 2 + 3x – 2

P(x) – Q(x) = (6x 3 + 5x – 7x 2 + 7) – (2x 3 – 6x 2 + 3x – 2)

6x 3 – 7x 2 + 5x + 7

– 2x 3 + 6x 2 – 3x + 2

P(x) – Q(x) = 4x 3 – x 2 + 2x + 9


88

5 MULTIPLICACIÓ DE POLINOMIS

Multiplicació d’un monomi per un polinomi

Per a multiplicar un monomi per un polinomi s’hi aplica la propietat distribu-tiva de la multiplicació respecte de la suma.

En l’exemple, 3a · (a2 + 3a + 1) cal multiplicar el monomi «3a» per cadascun dels termes del polinomi. S’opera com una multiplicació normal entre mono-mis: es multipliquen els coefi cients respectant el seu signe i es multipliquen les parts literals:

3a · (a2 + 3a + 1) = 3a · a2 + 3a · 3a + 3a · 1 = 3a3 + 9a2 + 3a

Multiplicació de dos polinomis

Per a obtenir el resultat de la multiplicació de dos polinomis caldrà multiplicar cadascun dels monomis del primer polinomi per cadascun dels monomis del segon polinomi. Posteriorment, ens fi xem si en el resultat es poden su-mar monomis semblants per reduir el més possible l’expressió del polinomi resultant.

BB

13 Calcula les multiplicacions següents i redueix-ne al màxim el resultat:

a) (–z)2 · (z 3 + z 2 – 5z) b) 7y · (6y 2 + 3y – 3)

c) (–2m)2 · (3m2 + 2m) d) x 6 · (2x 2 – 4x + 3)

e) 3x · 11

3 x + x 22 f)

1

3 x · (9x 2 + 27)

14 Tenint en compte els polinomis:

A(x) = 5x 5 + 3x 4 – 4x 2 + 1

2 x – 2 B(x) = 3x 2 + x – 2

C(x) = 7x – 10x 2 + 10 D(x) = 1

5 x 2 + 2x + 2

Calcula:

a) A(x) · B(x) b) –A(x) · C(x) c) C(x) · B(x)

d) B(x) · C(x) e) A(x) · C(x) f) D(x) · C(x)

g) D(x) · B(x) h) –D(x) · B(x) i) A(x) · (–D(x))

Exercicis

Exemple 5

Si A(x) = 3x + 4x 3 + 1 i B(x) = x + 2, calcularem A(x) · B(x)

Pas 1. S’ordenen els polinomis col.locant els termes de més gran a més petit segons el grau.

A(x) = 4x 3 + 3x + 1 B(x) = x + 2

Pas 2. Es col.loquen els dos polinomis un sota de l’altre. Si falta algun terme en el polinomi que se situa sobre, es posa zero o s’hi deixa un espai.

4x 3 + 3x + 1 x + 2

Pas 3. Es multiplica cada monomi del segon factor per tots els termes del primer, i s’hi col-loquen adequadament els graus per després sumar-los. Finalment, se sumen els termes sem-blants. 4x 3 + 3x + 1 x + 2

8x 3 + 6x + 2 A(x) · B(x) = 4x 4 + 8x 3 + 3x 2 + 7x + 2 4x 4 + 3x 2 + x

4x 4 + 8x 3 + 3x 2 + 7x + 2

a · (b + c) = a · b + a · c

Recorda

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0453-02/ed99-0453-02.html

En aquesta pàgina, Ignacio del Pino ens proporciona una interessant calculadora per a operar amb polinomis.

http://www.fi sicanet.com.ar/matematica/m2_polinomios.php

En aquesta pàgina hi ha exercicis per a practicar les operacions amb polinomis.

WEB


89

IDENTITATS NOTABLESHi ha multiplicacions entre binomis que es poden expressar de manera sen-zilla sense necessitat d’operar pel procediment habitual. Aquestes multipli-cacions s’anomenen identitats notables.

QUADRAT DE LA SUMA DE DOS MONOMIS

El quadrat d’una suma (a + b)2 = (a + b) · (a + b) és la multiplicació de dos bi-nomis, i el seu resultat és a2 + 2ab + b2. Ho comprovarem fent la multiplicació entre els polinomis esmentats tal com hem après:

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Per exemple:

(2x + 3)2 = (2x + 3) · (2x + 3) = (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 32 = 4x 2 + 12x + 9

QUADRAT DE LA DIFERÈNCIA DE DOS MONOMIS

En el cas d’una diferència ocorre el mateix, però el resultat en aquest cas és: (a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – ab – ba + b2, i agrupant termes semblants tenim el resultat:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Per exemple:

(7 – 5x)2 = (7 – 5x) · (7 – 5x) = 72 + 2 · 7 · (–5x) + (–5x)2 = 49 – 70x + 25x 2

PRODUCTE D’UNA SUMA DE DOS MONOMIS PER LA SEVA DIFERÈNCIA

En aquest cas, el producte seria (a + b) · (a – b), i el resultat és a2 – b2. Ho com-provem fent la multiplicació:

(a + b) · (a – b) = a2 – a · b + b · a – b2 = a2 – b2

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Per exemple:

(6x + 2) · (6x – 2) = (6x)2 – 22 = 36x 2 – 4

66

AA

BB

CC

15 Calcula les identitats notables següents:

a) (x + 2)2 b) (2x – 3)2

c) (3x 2 – 4x)2 d) (x + 2) · (x – 2)

e) 12

3 x – 32

2

f) (2x – 5) · (2x + 5)

16 Indica si les igualtats següents són certes:

a) (5x + 8)2 = 5x 2 + 82

b) 11

2 y + 2z2 · 11

2 y + 2z2 =

1

4 y 2 – 4z 2

c) (3m – m2)2 = 9m2 – 6m3 + m4

Exercicis

WEBhttp://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/encontexto/productos_notables_contexto.htm

Interessants comentaris històrics i geomètrics sobre les identitats notables.

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/pnotable.htm

Interessants explicacions interactives de les identitats notables.

a + b

a + b

ab + b2

a2 + ab

a2 + 2ab + b2

Recorda

a – b

a – b

–ab + b2

a2 – ab

a2 – 2ab + b2

Recorda

a + b

a – b

–ab – b2

a2 + ab

a2 – b2

Recorda


90

EXERCICIS RESOLTS5 1 Fes l’operació següent: (–2)x 2 · (x – 2 + 3x 2)

(–2)x 2 · (x – 2 + 3x 2) A(x) B(x)

El signe negatiu pertany al coefi cient del monomi. No s’ha de confondre amb una resta.

1) S’ordena el polinomi col.locant els termes de més gran a més petit segons el grau.

A(x) = –2x 2 B(x) = 3x 2 + x – 2

2) Es col.loquen els dos factors un sota de l’altre. Si algun grau no existeix s’hi deixa un espai.

3x 2 + x – 2

–2x 2

3) Es multiplica el monomi per tots els termes del polinomi i s’hi col.loquen adequadament els graus.

3x 2 + x – 2

– 2x 2

A(x) · B(x) = –6x 4 – 2x 3 + 4x 2

2 Resol aquesta operació entre polinomis:12

x · 125

x 2 + 3x + 221

2 x · 12

5 x 2 + 3x + 22

A(x) B(x)

Recorda que per a la multiplicació de fraccions, no cal buscar el denominador comú.

1) S’ordena el polinomi col.locant els termes de més gran a més petit segons el grau.

A(x) = 1

2 x B(x) =

2

5 x 2 + 3x + 2

2) Es col.loquen els dos factors l’un sota de l’altre. Si algun grau no existeix s’hi deixa un espai.

2

5 x 2 + 3x + 2

1

2 x

+ · + = + – · – = + + · – = – – · + = –


91

3) Es multiplica el monomi per tots els termes del polinomi, i s’hi col.loquen adequadament els graus.

2

5 x 2 + 3x + 2

1

2 x

A(x) · B(x) = 1

5 x 3 +

3

2 x 2 + x

3 Fes l’operació següent entre polinomis:

16x 3 + 3x 2 + 12

x2 · (x 3 – 2x + 7)

A(x) B(x)

1) S’ordenen els polinomis col.locant els termes de més gran a més petit se-gons el grau.

A(x) = 6x 3 + 3x 2 + 1

2 x B(x) = x 3 – 2x + 7

2) Es col.loquen els dos polinomis l’un sota de l’altre. Si hi falta algun grau del polinomi que es col.loca sobre, s’hi posa zero o s’hi deixa un espai en blanc.

6x 3 + 3x 2 + 1

2 x

x 3 – 2x + 7

3) Es multiplica cada terme del segon factor per tots els termes del primer factor, i s’hi col.loquen adequadament els graus. Es fa després la suma dels termes semblants.

6x 3 + 3x 2 + 1

2 x

x 3 – 2x + 7

42x 3 + 21x 2 + 7

2 x

–12x 4 – 6x 3 – x 2

6x 6 + 3x 5 + 1

2 x 4

6x 6 + 3x 5 – 23

2 x 4 + 36x 3 + 20 x 2 +

7

2 x

A(x) · B(x) = 6x 6 + 3x 5 – 23

2 x 4 + 36x 3 + 20 x 2 +

7

2 x


92

EXERCICIS PROPOSATS5Expressions algebraiques. El llenguatge algebraic

1 La variable x representa un nombre natural. Ex pres sa en funció d’aquest:

a) El seu quàdruple.

b) El doble del seu posterior.

c) La meitat del seu anterior més quatre unitats.

2 Expressa algebraicament els enunciats se-güents:

a) Les dues terceres parts del quadrat d’un nombre.

b) El quadrat del doble d’un nombre.

c) El triple d’un nombre més tres.

d) El triple d’un nombre, més tres.

3 Expressa algebraicament l’àrea del dibuix:

a

cc—2

c—2

b

h

4 Expressa algebraicament el valor de la diagonal següent:

a

b

d

Valor numèric d’una expressió algebraica

5 Troba el valor numèric de les expressions alge-braiques següents:

a) x 2 + 2x; si x = 2

b) x 2 + 2x + mx; si x = 1, m = –1

c) 2m + mx; si x = 2, m = 1

2

d) xy – x 3; si x = 4, y = 3

6 Copia en el teu quadern i completa la taula següent indicant el valor numèric de cada expressió:

x = –1 x = 0 x = 12 x = 2

x3 – x

6x – x2

2

x · (10 – 6x)

2 · (x – 1) – 3

7 La velocitat d’un cos en moviment ve defi nida

per l’expressió següent: v = et

, on v és el valor de la velo-

citat esmentada, e l’espai recorregut i t el temps que ha estat en moviment. Si un cos ha recorregut 500 metres en 30 segons, quina és la seva velocitat?

8 Escriu les expressions algebraiques següents de manera que quedin ordenades de més petita a més gran en funció del seu valor numèric a x = –3.

a) x 2 + 2x – x

b) 3x 2 + 10x

c) x 3 + 2x – 7

9 Troba el valor numèric en cada cas:

a) m2 + nx – m + 7; si m = 4, n = –1, x = 2

b) 2xy – x + y 2 + 2y; si x = 3, y = 5

c) 7m – 1

2 x 2 – 12; si m = 2, x = 2

d) 8y 3 – 7y 2 + y – 2; si y = –2

e) x 2 + 2xy + y 2; si x = 3, y = –2

Monomis i polinomis

10 Explica amb les teves pròpies paraules el signi-fi cat dels termes:

a) Monomi. b) Polinomi.

c) Terme. d) Coefi cient.

e) Binomi. f) Factor.


93

11 Classifi ca les expressions algebraiques següents, i indica el coefi cient i la part literal de cadascun dels mo-nomis. Quants termes té cadascun?

a) 12x 2y + 15y – 2 b) –2nm3 + 1

2 x

c) x 2 + x – 2 d) 3

5 x 2yz

e) –x 2y

2 + 1 f)

3

5 ym5 – x

12 Classifi ca les expressions següents i digues quin és el coefi cient i quina és la part literal de cada monomi.

a) – x 2yz

2 b) (2xy)2 + x +

1

2

c) 3

4 xy + 5 d) mnx +

x 2

2 –

4

5

13 Descriu els polinomis següents, i indica el nom-bre de termes que el componen i quins són els coefi -cients i les parts literals de cadascun.

a) A(x) = 64x 3 + 24x 2

b) B(x) = 6x + 3x – 5x – 4

c) C(x) = 8x – 28x 3 + 6x 3 – 49x 5 – 20

d) D(x) = 6x + 3x – 6x – 4

14 Són certes les afirmacions següents? Raona-les.

a) La part literal del terme independent és x.

b) El coefi cient del monomi xy2 és zero.

c) Tots els binomis estan compostos per dos monomis.

d) Dos termes d’un polinomi són semblants si tenen la mateixa part literal.

Operacions amb monomis

15 Quines condicions han de complir dos monomis perquè es puguin sumar o restar? Ocorre el mateix en el cas de multiplicar o dividir monomis?

16 Redueix al màxim les expressions següents:

a) x 2 + 3x + 5x 2 – x + 2 b) 2x 5 – x 2 + 7x 2 – x 5 – 1

c) 2x 3 – x 3 + 2 d) x 2 – 7x 2 + 30

17 Calcula:

a) 6x 2 + 3x 2 b) 5y 2 + y 2

c) m3 + 10m3 + 3m3 d) –9x 6 + 3x 6 – x 6

18 Opera els monomis següents:

a) (7x) · y b) (2x 5) · x 2

c) (–2x 2) · x d) 13y4 2 · y 2

19 Fes les operacions següents:

a) (2z)3

1— z

2

+ 3z 2

b)

3– — xy 4

1— xy

4

+ 1

4 xy

c) 2z · z 2

d) –2m3

3 ·

(3m)2

m2

e) 3m · m3 – m4

20 Opera:

a) 7xy + 2xy

2xyb) 2x · (5x + x 2) – x 3 + 5x 2

c) 1 72 xy2 · (2xy)

d) 4x 3 + 5x 3

e) –6m2 + m2

21 Són certes les igualtats següents?

a) 1– 1

2 xy2 · (2x 2y) = –x 3y

b)

1– — m2

4

1— m2

4

= 1

c) x 2 · y 2 · z 2

xyz = x 3y 3z 3

d) 6x + 2x 2 – 6x · 2x 2 = 0


94

EXERCICIS PROPOSATS5 22 Copia en el teu quadern i uneix les columnes:

12

xy 2

–5

8ab + b

4m2

No és un monomi.

Encara que té igual variable no es pot sumar amb 3m.

La part literal d’aquest monomi no existeix.

El coefi cient d’aquest monomi és un nombre fraccionari.

23 Contesta si és verdader o fals:

a) Un monomi amb coefi cient negatiu no es pot multi-plicar per un altre.

b) El resultat de la multiplicació entre dos monomis és sempre un altre monomi.

c) Per a sumar dos monomis, els coefi cients han de ser iguals.

d) A l’hora de dividir polinomis, primer es divideixen els coefi cients i després, la part literal.

e) Per a multiplicar monomis, les parts literals han de ser semblants.

24 Calcula mentalment:

a) 7mx 2 + x 2m – 5x 2m

b) 6y + 4y – 10y

c) 4x 2 + x 2 + 5x 2

d) 2 · (4xm + 5xm)

Operacions amb polinomis

25 Fes la suma o resta dels polinomis següents:

a) (2x + 3x 2 + 2) + (4x 2 + 2x + 1)

b) (5m2 + 3m + m3) + (2m2 + 2m – m3)

c) (3x 2 + 2x 4 + 3x) – (–x 2 + x 4 + 2x)

d) (2x 3 – 2) – (3x 3 – 2x + 2)

26 Opera:

a) 10x · (6x 2 + 3x)

b) 6x 2 · (x 2 + x 4 + 3x 4)

c) 3x 2 · (2x + 3x 2 – x)

d) 5x · (3x 2 –1)

27 Fes la multiplicació dels polinomis següents:

a) (3x + 2x 2 + 7) · (4x – 2x 2 + 3)

b) (2x 3 + x) · (5x 2 – 2x + 3)

c) (–3x 2 + 2) · (5x 2 + x 3 + 2)

d) (2x – 2) · (3x + 3)

e) (3x 4 – 2x + 5) · (x 2 – x)

28 Fes les operacions següents:

a) 311

2 x 22

2

– 2x 3 – x4 + (x 4 + 3x 3 + 2x)

b) 1 x 3

2 + x 2 +

3

5 2 – 1–x 3 – 2x 2 + 3

4 2c) 2(x + y) –

1

2 x –

1

2 y + 3

d) x 2

3 –

1

3 x 2 + 2

e) 1

4 y 5 –

2

4 y 5 + y 2 + 3 y 4 +

3

4 y 5 – y 5

29 Opera:

a) 3

8 m(m + n2) + mn2

b) 1–4x 2 + 1

3 xy – 22 · 11

2 x 2 – xy + 22

c) [4(x + y) – 3x – y] · (2x + y)

d) [3(a · b)2 + 2] · (x – 2y)

30 Opera i redueix al màxim les expressions se-güents:

a) 5x · (x + 2) – x 2

b) x 2 · (x + 1) + x 2

c) xy + 3y · (x + y)


95

31 Fes les operacions següents entre polinomis:

a) 1y 3 – 1

3 y2 · 1y 2 +

1

2 y2

b) 2 · (6 – a) + 4a – 6 + a – 4 – 6a – 4

c) 12x · 12

3 x2

2

– 6x · (–2x)2 + 2x 2

d) 3

4 x · (–4x 2) · 1–

1

2 x 22 –

3

2 x · (–x 2)

32 Fes les operacions següents i redueix al màxim l’expressió algebraica resultant.

a) 4 · (x + b) + (–2) · (x + b)

b) 10 · (2 – 4x) – 6 · (4x – 2)

c) 3(x 2 – 1) – 1

2 (x + 2) ·

1

2 (2x + 1)

d) (3x + 2)2 + 3x 3 – 10x – 2

33 Donats els polinomis A(x) = x 2 + 4x + 4 i B(x) == 2x 2 + x – 2, comprova que la multiplicació de polinomis compleix la propietat commutativa, és a dir, A(x) · B(x) = = B(x) · A(x).

34 Opera:

a) 3x · (4xy + 2x) – 2 · 1x 2y + 1

2 x2

b) (5x 2 + 3x + 2) · (4x – 3) – x 3 + 5x 4

c) (3x 2y + yx 2 – y) – 11

2 y + 3x 2 + 4x 42

d) (4a2 – b2) · (b2 + a) – (a3 + 2b4) · 3

Identitats notables

35 Què són les identitats notables? Explica-ho aju-dant-t’hi amb exemples.

36 Troba les identitats notables següents i compro-va que, operant de la forma habitual, s’obté el mateix resultat.

a) (3x 2 + 2)2 b) (4m2 – 2m) · (5m2 + 3m)

c) (5 – y 2)2 d) (5x – 2)2

e) (x – 4) · (x + 4) f) (2a – 2)2

37 Són certes les igualtats següents?

a) (5a2b + 2)2 = (5a2b)2 + 20a2b + 4

b) (2 + x)2

2 = 2 + 2x + x

c) (xy – 3x) · (xy + 3x) = x 2 y 2 – 9x 2

d) (x 2 + 1) · (x 2 – 1) = x 4 – 1

38 Simplifi ca les expressions:

a) x 2 + 2x + 1

x + 1

b) (a + b) · (–b + a)

a2 – b2

c) 9x 2 – 100

3x – 10

d) 25 – 2x + x 2

(5 – x)2

39 Basant-te en les identitats notables factoritza les expressions següents:

a) a 2 + 2ax + x 2 b) 4a 2 + 4a + 1

c) 81 – 4x 2 d) 9 – 6y + y 2

40 Opera tenint en compte les identitats notables:

a) 49a2 – 25

8a – a + 5 + 5a

b) (64 – 16xy + x 2y 2) · (8 – xy)

(8 – xy)3

4x 4 – 2x 3 + 3x 2 – 2x + 5+

– 5x 3 – x 2 – 2x

4x 4 + 3x 3 + 2x 2 + 5

(x + 5)2 = x 2 + 10x + 25

(2a + 3b)(2a – 3b) == 4a2 – 9b2


96

PER A REPASSAR EN GRUP5

Elabora amb el teu grup de treball un esquema amb els conceptes següents de la Unitat i posa’n un exemple de cadascun.

CONCEPTE DEFINICIÓ

ÀlgebraBranca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de símbols i lletres per a representar relacions aritmètiques.

Expressions algebraiques

És la combinació de nombres i lletres relacionats mitjançant operacions aritmètiques per a expressar una situació qualsevol o per a generalitzar propietats matemàtiques.

Valor numèric d’una expressió algebraica

És el resultat que s’obté quan se substitueixen les lletres de l’expressió per nombres.

MonomiÉs una expressió algebraica formada per la multiplicació de nombres, lletres o nombres i lletres.

Coefi cient És la part numèrica d’un monomi.

Part literal És la part d’un monomi expressada amb lletres.

Grau d’un monomi És la suma dels exponents de la part literal.

PolinomiÉs una expressió algebraica formada per sumes o restes de mo-nomis no semblants.

Operacions amb monomis

— Suma— Resta— Multiplicació— Divisió

Identitats notables

Quadrat d’una suma:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Quadrat d’una diferència:(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Producte de suma per diferència:(a + b) · (a – b) = a2 – b2

CDA la pestanya Mapa del CD/Jocs matemàtics trobaràs la fi txa El regal de l’oncle Andreu, per a repassar la unitat.

CDA la pestanya Activitats/Unitat 1 trobaràs l’activitat Resposta múltiple unitat 5, per a repassar els conceptes més importants.


97

CURIOSITATS, JOCS I DESAFIAMENTSFIXA-T’HI BÉ I ENCERTA!

Quin és el producte de la sèrie següent?

(x – a) · (x – b) · (x – c) … (x – z)

El resultat de la sèrie és «0», perquè té el terme (x – x), que anul.la tot el producte.

APLICANT LÒGICA AMB LES FITXES DEL REVÉS

Les fi txes del revés tenen la mateixa forma que les fi txes del joc de dames, però amb una cara blanca i l’altra negra. En una taula hi ha un nombre «x» de fi txes del revés. Només 10 tenen la seva cara blanca cap per amunt. Ens trobem davant la taula amb els ulls embenats, i el nostre objectiu és dividir totes les fi txes en dos grups, de manera que en cada grup hi hagi el mateix nombre de fi txes amb el costat blanc cap per amunt. Òbviament, no es poden mirar les fi txes.

Com podem assolir l’objectiu?

Simplement, cal treure 10 fi txes i donar-los la volta. Suposem que les 10 fi t-xes separades són b blanques i (10 – b) negres. En donar-los la volta, el nou conjunt tindrà (10 – b) blanques i b negres. A la pila originalment n’hi havia 10 de blanques i (x – 10) de negres. Per tant, com que en retirem 10 fi txes, de les quals b són blanques, en quedaran (10 – b) de blanques.

DESAFIAMENT MATEMÀTIC

Posant valors a les variables

Has de col.locar els valors en els llocs que fi guren les variables perquè es verifi quin els resultats horitzontals i verticals.

8 × c + f = 12

+ + +

a × d + g = 10

– × +

b × e × h = 12

= 10 = 8 = 16


Recordes què és…? - spain-s3-mhe-prod.s3-website-eu...

Documents

Transcript of Recordes què és…? - spain-s3-mhe-prod.s3-website-eu...