LOGO

PROGRAM LINIERBy GISOESILO ABUDI

Tentangku

Alamat Rumah :Kemlaten Baru Barat Kenongo Kav.

57 Surabaya 60222

Telepon : 031-72687730Email : gisoesilo_wp@yahoo.com soesilo180571@gmail.comBlog : soesilongeblog.wordpress.com

PROGRAM LINIER

A. Pengertian Program linier / Motivasi

B. Grafik Himp. Penyel. S Pertidaksamaan L

C. Model matematika

D. Nilai Optimum Fungsi Objektif

E. Garis Selidik

C. Model MatematikaMasalah-masalah program linier dalam

bidang teknik, perdagangan, bisnis, maupun dalam kegiatan perindustrian akan lebih mudah diselesaikan jika permasalahan tersebut diterjemahkan terlebih dahulu ke dalam pernyataan Matematika. Pernyataan matematika ini menggunakan variabel (peubah) dan notasi matematika. Dengan ini akan diperoleh suatu model matematika

Model MatematikaContoh 1

Pedagang buah mempunyai rak yang hanya cukup ditempati untuk 40 keranjang buah. Buah mangga dibeli dengan harga Rp6000,00 setiap keranjang dan buah jeruk dibeli dengan harga Rp8000,00 setiap keranjang. Pedagang tersebut mempunyai modal Rp300.000,00. Buatlah model matematika untuk masalah ini.

SolusiPertama kita misalkan :

Buah mangga = x

Buah jeruk = y, maka :

Sehingga

x + y ≤ 40

6000x + 8000y ≤ 300.000 ⇔ 3x + 4y ≤ 150

Jadi diperoleh sistem pertidaksamaan :

x + y ≤ 40; 3x + 4y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0

B. Mangga B. Jeruk Kapasitas

Banyak x y 40

Harga 6000x 8000y 300.000

Solusix + y ≤ 40; 3x + 4y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0

X 0 40

Y 40 0

X 0 50

Y 37,5 0

X

Y

HP

40 50

40

37,5

x + y ≤ 40

3x + 4y ≤ 150

Model MatematikaContoh 2

Seorang pemilik toko sepatu hendak menjual dua jenis sepatu untuk anak-anak dan dewasa. Rata-rata harga beli sepasang sepatu anak-anak adalah Rp50.000,00 dan sepatu dewasa Rp100.000,00. Etalase yang tersedia hanya dapat menampung 80 pasang sepatu dan modal yang tersedia Rp5.000.000,00. Buatlah model matematika untuk masalah ini.

SolusiPertama kita misalkan :

Sepatu anak-anak = x

Sepatu dewasa = y, maka :

Sehingga

x + y ≤ 80

50.000x + 100.000y ≤ 5.000.000 ⇔ x + 2y ≤ 100

Jadi diperoleh sistem pertidaksamaan :

x + y ≤ 80; x + 2y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0

S. Anak-anak S. Dewasa Kapasitas

Banyak x y 80

Harga/pasang Rp50.000,00x Rp100.000,00y Rp5.000.000,00

Solusix + y ≤ 80; x + 2y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0

X 0 80

Y 80 0

X 0 50

Y 100 0

X

Y

HP

50 80

100

80

x + y ≤ 80

x + 2y ≤ 100

Latihan

Jika Anda siswa kelas X kelompok teknologi kerjakan soal latihan halaman 158 - 159 (buku sumber Matematika Program Keahlian

Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian, Penerbit Erlangga)

Jika Anda siswa kelas X kelompok bisnis kerjakan soal latihan halaman 178 - 179 (buku sumber Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan, Penerbit Erlangga)

D. Nilai Optimum Fungsi ObjektifSalah satu cara menentukan nilai optimum

dengan menggunakan uji titik pojok.

Langkah-langkah

1. Rumuskan persoalan kedalam model matematikan. Dan tentukan pula fungsi objekftif (ax + by)

2. Gambarlah daerah penyelesaian yang memenuhi

3. Hitunglah nilai dari bentuk objektif (syarat untuk maksimum atau minimum)

Nilai Optimum Fungsi ObjektifContoh 1.

Pedagang buah mempunyai rak yang hanya cukup ditempati untuk 40 keranjang buah. Buah mangga dibeli dengan harga Rp6000,00 setiap keranjang dan buah jeruk dibeli dengan harga Rp8000,00 setiap keranjang. Pedagang tersebut mempunyai modal Rp300.000,00, keuntungan yang diperoleh Rp500 dan Rp750 untuk masing-masing buah mangga dan jeruk. Buatlah model matematika untuk masalah ini dengan tujuan memaksimumkan keuntungan.

SolusiPertama kita misalkan :

Buah mangga = x, dan Buah jeruk = y, maka :

Sehingga

x + y ≤ 40

6000x + 8000y ≤ 300.000 ⇔ 3x + 4y ≤ 150

Jadi diperoleh sistem pertidaksamaan :

x + y ≤ 40; 3x + 4y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0

F(x, y) = 500x + 750y

B. Mangga B. Jeruk Kapasitas

Banyak x y 40

Harga 6000x 8000y 300.000

Fungsi 500x 750y

Solusix + y ≤ 40; 3x + 4y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0

X 0 40

Y 40 0

X 0 50

Y 37,5 0

X

Y

HP

40 50

40

37,5

x + y ≤ 40

3x + 4y ≤ 150

AB

C

D

Solusi x + y = 40 |x3| 3x + 3y = 120

3x + 4y =150 |x1| 3x + 4y = 150

-y = -30 ⇔ y = 30

x + y = 40 ⇔ x + 30 = 40 ⇔ x = 10

Uji titik pojok

Jadi nilai maksimumnya adalah Rp28.125

_

F(x, y) 500x + 750y Keterangan

A(0, 0) 500.0 + 750.0 = 0

B(40, 0) 500.40 + 750.0 = 20.000 Nilai minimum

C(10, 30) 500.10 + 750.30 = 27.500

D(0, 37,5) 500.0 + 750.37,5 = 28.125 Nilai maksimum

Nilai Optimum Fungsi ObjektifContoh 4

Seorang pemilik toko sepatu hendak menjual dua jenis sepatu untuk anak-anak dan dewasa. Rata-rata harga beli sepasang sepatu anak-anak adalah Rp50.000,00 dan sepatu dewasa Rp100.000,00. Etalase yang tersedia hanya dapat menampung 80 pasang sepatu dan modal yang tersedia Rp5.000.000,00. Keuntungan yang diperoleh pada tiap penjualan adalah Rp10.000,00 dan Rp15.000,00 masing-masing untuk sepatu anak-anak dan dewasa. Buatlah model matematika untuk masalah ini dengan tujuan memaksimumkan keuntungan dari penjualan tersebut.

SolusiPertama kita misalkan :

Sepatu anak-anak = x, Sepatu dewasa = y, maka :

Sehingga

x + y ≤ 80

50.000x + 100.000y ≤ 10.000 ⇔ x + 2y ≤ 100

Jadi diperoleh sistem pertidaksamaan :

x + y ≤ 80; x + 2y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0

F(x, y) = 10.000x + 15.000y

S. Anak-anak S. Dewasa Kapasitas

Banyak x y 80

Harga/pasang Rp50.000,00x Rp100.000,00y Rp5.000.000,00

Fungsi 10.000x 15.000y

Solusix + y ≤ 80; x + 2y ≤ 100; x ≥ 0; y ≥ 0

X 0 80

Y 80 0

X 0 50

Y 100 0

X

Y

HP

50 80

100

80

x + y ≤ 80

x + 2y ≤ 100

Solusi x + y = 80

x + 2y =100

-y = -20 ⇔ y = 20

x + y = 80 ⇔ x + 20 = 80 ⇔ x = 60

Uji titik pojok

Jadi nilai maksimumnya adalah Rp1.200.000

_

F(x, y) 10.000x + 15.000y Keterangan

A(0, 0) 10.000.0 + 15.000.0 = 0

B(50, 0) 10.000.50 + 15.000.0 = 500.000 Nilai minimum

C(60, 20) 10.000.60 + 15.000.20 = 900.000

D(0, 80) 10.000.0 + 15.000.80 = 1.200.000 Nilai maksimum

Latihan

Jika Anda siswa kelas X kelompok teknologi kerjakan soal latihan halaman 164 - 165 (buku sumber Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian, Penerbit Erlangga)

Jika Anda siswa kelas X kelompok bisnis kerjakan soal latihan halaman 187 - 189 (buku sumber Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan, Penerbit Erlangga)

E. Garis Selidik

Garis selidik merupakan garis sejajar garis acuan.

Misal :

Diketahui fungsi objektif f(x, y) = ax + by, maka garis acuan adalah garis ax + by = ab. Sehingga, garis selidik adalah ax + by = k yang diperoleh dengan cara menggeser garis acuan ax + by = ab ke kanan atau ke kiri, hingga didapatkan nilai optimum.

Sifat-sifat garis selidik

Untuk ax + by = k

1. Jika k = 0, maka garis selidik ax + by = k melalui titik pangkal O (0, 0)

2. Jika nilai k semakin besar, maka garis-garis ax + by = k semakin menjauh titik pangkal O (0, 0). Begitu juga sebaliknya, jika garis-garis ax + by = k menjauhi titik pangkal, maka nilai ax + by = k semakin besar.

Nilai optimum dengan garis selidik

1. Untuk mencari nilai maksimum fungsi obyektif, garis selidik ax + by = k digeser ke kanan hingga diperoleh nilai maksimum

2. Untuk mencari nilai minimum fungsi obyektif, garis selidik ax + by = k digeser ke kiri hingga diperoleh nilai minimum.

Contoh Seorang penjahit hendak membuat 2

model pakaian jadi dari dua jenis kain, yaitu kain polos dan kain bergaris. Model I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Penjahit tersebut memiliki persediaan 20 m kain polos dan 15 m kain bergaris. Tentukan jumlah total maksimum pakaian yang dapat dibuat.

Solusi

Misal model I = x dan Model II = y

Tabel

Diperoleh :x ≥ 0, y ≥ 0x + 2y ≤ 20 1,5x + 0,5y ≤ 15 ⇔ 3x + y ≤ 30

Model I Model II Kapasitas

Banyak X Y

Kain Polos x 2y 20

Kain Bergaris 1,5x 0,5y 15

x + 2y ≤ 20; 3x + y ≤ 30; x ≥ 0; y ≥ 0X 0 20

Y 10 0

X 0 10

Y 30 0

Y

30

10

10 20X

Koordinat titik potongx + 2y = 20 |x1| x + 2y = 203x + y = 30 |x2| 6x + 2y = 60 _ -5x = -40 x = 8Substitusi x = 8 ke persamaanx + 2y = 208 + 2y = 20 2y = 20 – 8 2y = 12 y = 6Jadi koordinat titik potong P(8, 6)

P

Y

30

10

10 20X

P

Pembuktian dengan garis selidik

14

14

2

2

x + y = 0x + y = 2

x + y = 10x + y = 14

Garis putus-putus pada gambar adalah garis selidik x + y = k. Fungsi (x + y) mencapai maksimum dititik P(6, 8) dengan nilai maksimum 14

Latihan

Jika Anda siswa kelas X kelompok teknologi kerjakan soal latihan halaman 168 (buku sumber Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian, Penerbit Erlangga)

Jika Anda siswa kelas X kelompok bisnis kerjakan soal latihan halaman 187 - 189 (buku sumber Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan, Penerbit Erlangga)

Motivasi

Hati-hatilah dengan perkataan Anda, karena akan menjadi suatu tindakan.Hati-hatilah dengan tindakan Anda, karena itu akan menjadi perilaku Anda.Hati-hatilah dengan perilaku Anda, karena itu akan menentukan masa depan Anda. (by Cak Gie)

LOGO

Kegagalan awal keberhasilan