Problemas de Geometría Analitica
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D. KLETENIK
PROBLEMASDE GEOMETRIA ANALITICA
1"e1JisacloR ¡JO" et. I"1'ofeso1"
N. I~~'IMOV
Tradrwtdo de~ 'ruso
por
I!:MILlANO APARICIO DEnN'ARDO.
(Jnn1litlat() a Dootor Ct't Cfe-Jh"(."# }:4slr.o-.3ra.f,!,m(d'k(M,(;rrletll'ót<lt:--O rlr. lfFa.tr:1tlttiHcff8 .""'''pl;,,,U,'t'~11 r7f:t ./)IHti-h't"
E.,UtJ"OI:UC.d (Te .íYtMeÚ{tncC1·a. (HHci6n)
EDITORIAL MIRMOSCU
Primera Parte
GEOMETRIAANALITICA
PLANA
1
Capítulo
PROBLEI\{AS ELEMENTALES DE LA GEOltfETRTAANALITICA PLANA
§ 1. El eje y segmentos del eje. Las coordenadas. en la recta
So llama eje a Iu recta en la <¡UO so ha elegido unu diruccién posí-tl vn. el segmento, limitado por los puntos A y D, 8() Huma dirigido,si 80 ha convenido cuál do MtOS puntos es el origen y cuál ()I extremodel segmento, El segmento dirigido, con el origen A y con el extremoJJ: se designa con el aímbolo AIJ, So llama magnitud el01 segmentodirigido del ojo Il su longitud, tomada con signo más, si la direcciénde] segmento (es decir, la dtroccién del origen al extremo) coincidocon la direccíón positiva del cje, y con signo menos, si cstn díreccíénes contraria a la dirección positiva del cje. La magnitud del segmentoAl) se designa con 01 símbolo A./J y su longitud con el símholo IAB l.Si los puntos Ji y JJ coíucidcn, se dice que el segmento que determinan('8 nulo; es ovídento qua en este caso AI1 = DA = O (la direccióndel segmento nulo os 'indefini(1u).
Supongamos duda una recta arbitraria e, Tornemos un segmento1)('1'unidad do medida do longitudes, elijamos en la recta la dirocc¡ónposttiva (dMPUé.5 do lo cual la recta se convierto en ojo) *) y designe-mos con la Ietru O algún !HmLO do ella. Con esto, 011 la recta a quedaestablecido un sistem a de coordenadas. •
So llama coordenada de un punto cualqulera M de la recta a.(en el sistema do ooonlcnudas establecido) al número z , iguul a lamagnitud del segmento 0111:
x=OM,El punto O se llama origen de coordenadas y su coordenada C8 i~\lula COto. A continuación, 01 símbolo M (x) indica quo el punto M Llenela coordonadu x.
Si Mj (XI) Y M2 (X2) son dos puntos arbitrarios do la recta a,la fórmula
M1M2=X2-XI
expresa la magnitud dol segmento M,1l12 y la Iórmula1.1tIjMzl=1 :Z;2-Xj
expresa su longitud.
") Por lo general, en los diugrnmus Se señala do izquierda a dere-cha la dirección positiva en los ojos horizontales.
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f. Trazar los pun Los:A(3). B(5~. C(-i.), D(4), E(-f),
F (V'2) y H ( - V5).2. Trazar los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las
ecuaciones1) J.,t[=2¡ 2) IX-'1I=3¡ 3) 1-1-:cl=2; 4) 12+;:¡;1=2.
3. Caractenizar geométricamen te la posición do lospuntos, cuyas coordenadas satisfacen a las desigualdades:
1) x>2; 2) x-3<0; 3) 12-,7;<0;4) 2.:1:-3.,.;:0; 5) 3.1'-5>0; G)1<:1:<3;
7) -2<x<3;8) 2-x O' C) 2z-1 . 10 2-z O' 11) 23:-1. ..x-t> , U x-2 >1., ) .:-1< " x-2 <1,
12) x2-8x+15<0; 13) x2-8x+15>O;14) :r.2+x-12>0; 15) x2+.:¡;-12<0.
4. Determinar la magnitud AB y la longitud 1 AHJeI segmento definido por los puntos:
1) A (3) y B (11); 2) A (5) y B (2);3) A (-1) y B (3); 4) A (- 5) "Y B (- B);
5) A(-l) y B(-3); G) A(-7) Y B(-5).5, Calcular la coordenada del punto A, si se conocen:
1) B(3) y AB=5; 2) B(2) y AB= -3;3) B(-1) y BA=2; 4) B(-5) y BA= -3;
5) B(O) y IABI=2; 6) B{2) y IABI=3;7) B(-1) y IABI=5; 8) B(-5) y IABI=2.
6. Caractcrtznr geométrtcamonte la posición de lospuntos, cuyas coordenadas satisfacen a las siguíentes des-igualdades:
1) Ixl<1¡ 2) Ixl>2; 3) Ixl<2;4) jxl>3; 5) Ix-21<3; 6) Ix-51<1;
7) Ix-11>2; 8) Ix-31>1; 9) 1$+11<3;10) Ix+21>1; 11) Ix+51<1; 12) Ix+11>2.
8
7. Determinar la r.allón }..= ~; , en la que 01 punto Cdivide al segmento AB en los siguientes casos;
1) A (2), B (6) y C (4); 2) A (2), B (4) y C (7);3) A (-1), B (5) y C (a); 4) A (1), B (13) Y e (5);
5) A(5), B(-2) y C(-5).
8. Se dan tres puntos A (-7), B (-1) y e (1). Deter-minar la raz6n A., en la que cada uno de ellos divide alsegmento Iimitado por los otros dos.
9. Determinar la razón }..= :~ , en la que un puntodado 111(x) divide al segmento MtM2 limitado por lospuntos Mt(Xt) y M2 (x2).
10. Determinar la coordenada x del punto M, que dividoal segmento M1M2 limitado por los puntos dados MI (XI)
Y M2(x",) en una razón dada A.(A.= ~:~~).11. Determinar la coordenada x del punto medio del
segmento limitado por los dos puntos dados MI (XI) YM2 (X2)'12. Determinar la coordenada x del punto medio del
segmento limitado por los dos puntos dados en cada unode los casos siguientes:
1) A (a) y B (5); 2) e (-1) y D (5);3) lvJt(-1) y Mz(-3); 4) Pt(-5) y P2(1);
5) o, (3) y Q2 ( - 4).13. Doterrninar la coordenada del punto M couocicndo»
1) 1'\.11(3), M2 (7) y A.= ::~~= 2;
2) A (2), B ( - 5) y '" = ~ = 3;CM 1
3) C(-1), D(S) y A.= MD ='2;AM
4) A(-1), B(3) y J..= MB =-2;
BM5) A(1), B(-3) Y A.= MA = -3;
o) A(-2), B(-1) y A.= !~= -f.9
14. Dados dos puntos A (5) y B (-3). detcrruiuar:1) la coordenada del punto 1111 simétrico al punto A con
respecto al punto B;2) la coordenada del punto N simétríco al punto B con
respecto al punto A.15. m segmento limitado por los puntos A (-2) y B (19)
se ha dividido en tres partes iguales, Determinar las (.001'-donadas de los puntos de división.
16. Determinar Ias coordenadas de los extremos A y 8del segmento dividido en tres partes iguales por los puntosP (-25) y Q (-9).
§ 2. Coordenadas cartesianas rectangulares en el plano81 sistema (lo coordunadas cnrtosian o roctungular 50 detcnnln a
por IIIlU unidad Iíneal para )0 mcrltcíén do Ionglmdcs y por dos ojoa,perpendiculares entro sí, numerados 011 un orden determinado.
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11v1------oH
toPig. 1.
[~I punto do Intorauccién do los cíos 50 Ilauiu origen do coordenu-dll~, y los mismos (IJCS. ojos do ooordcnudna. El primero de Los ejescoordenados se Il ama ojc .1(, nbscisas y o! segundo, ejo do ordenadas.
El or-igen do coordeuadus so indica con la letra O, 01 eje do absci-sas con 111notaclén Ox , y 01 de ordenadas con In notación Oy.
So llaman coordenadas do \ID punto arbitrario M, en el sístemadado, u los números
z=OMx• 1/=011-11/(fig. 1), donde ~1:e y Mil son Ias proyecciones tlol punto ./Id sobro losejes O" yOy; 0_""",08 la waguitu,l dcl aogmento OMr dol oje de abscísns.y OMv indico la magnitud ele) segmento OMII dol l'je do ordonndas.El número % se Ilama abscisa del punto M; el número y ordenada doesto mismo punto. La notación M (%; y) indica que la abscisa del punto/01 os (JI número 3), In ordonadn, 01 número y.
El tljo Off divido tUllo 01 plano en (los sumíplanos: el que cstlÍaituadc en la llil'oceibn positiva del cío Ox se Llamo. derecho y, alotro, izquierdo. An álognnionte, 01 eje 0% divido el plano en dos semi-
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planos; 1)1que está situadu en La diroociún positiva tllll lljÓ Oy so lla-ma superior y, el otro, in(crior.
Los cíes coordenados dividon conjuntamente el plano en cuatrocuadrantes que estiín numerados segun la slgulentc regla: el primercuadrante coordenado es el quo está situado a la vez en los semtplancaderecho y superior; 01 segundo. en los somlnlnnos izquierdo y superior:el tercero, en los semtpíencs izquierdo o inferior y, el cuarto, on lossumiplunos derecho o inforiur.
f 7. Trazar los puntosA (2; 3). B (-5; 1), e (-2; -3), D (O;3),
( 1 2 )E (-5; O).F - 3' ; '3 .
18. Hallar las coordenad as de las proyecciones el o lospuntos
A (2; -3), B (3; -1), e (-5; 1), D (-3; -2),E (-5; -1)
'I;O})J'Ü 01 ejo do abscisas.19. Hallar las coordenadas al) las proyecoioncs de los
puntos.ti (-3; 2), B (-5; 1), e (3; -2), D (-1; 1),
E (-U; -2)
sobro el oje de ordenadas.20. Hallar las coordenadas do los puntos simétricos
a los puntos1) A (2; 3); 2) B (-3; 2); 3) e (-1; -1);4) D (-3; -5); 5) E (-4; 6); 6) F (a; IJ)
con respecto al eje O«.21. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos
n los puntos1) A (-1; 2); 2) B (3; -1); 3) e (-2; -2);
4) D (-2; 5); 5) E (3; -5); 6) F (e: b)con respecto al eje Oy.
22. Hallar Ias coordenadas de los puntos simétricosa los puntos
1) A (3; 3); 2) B (2; -4); 3) e (-2; 1);4) D (5; -3); 5) E (-5; -4); 6) F (a; h)
con respecto al origen de coordenadas. '
1t
23. Hallar las coordenadas de los puntos simétricosa los puntos
1) A (2; 3); 2) B (5; -2); 3) e (-3; 4)
con respecto a la bisectriz del primer ángulo coordenado.24. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos
ti los puntos1) A (3; 5); 2) B (-4; 3); 3) e (7; -2)
con respecto a la bisectr-iz del segundo ángulo conrdauado ,25. Determinar en qué cuadrantes puede estar situado
el punto M (x; y), si;1) xy >O; 2) xy < O; 3) x - y = O;
4:) x + y = O; 5) x + y >Q; 6) (C + y < O;7) z - y >O; 8) x - y < O.
§ 3. Coordenados polares
El sistoma de coordenadas polares se determina por un punto Ollamado polo, por un ravc OA que parto de este punto y que so dono-mina oje polar, y por una unidad Iíneal para la medición de Iongí-tudes. Además, cuando so consídora un sistema polar hay que con-venir en qué rotaciones alrededor del punto O se toman como posit.ivas(en las figüras, por lo general, se toman como positivas las rutacíonesen dirección contraria a la de las agujas do un reloj).
Se Ilaman coordenadas polares de un punto arhrtraio M (conrespecto al sistema dado) a los números p = OM r e=~ AOM (fig. 2).El ángulo O ticllo el significado que se da a los ángulos en trigonome-tría. El numero p es la primera coordenada v se llama radío poial';01 número e es la segunda coordenada y se llama ángulo POIIlI' delpunto /11*).
I~I símholo M (p; O) indica que el punto M tiene las coordenadaspolares p y O.
El ángulo polar e tiene infinidad de valores posibles (quo sediferencian unos de otros en \IDa magnitud de la forma ±2nn, donden es un número entero positivo). El valor del ángulo polar que satis-face a las desigualdades -n < e -< + n so llU1I1R valor fundamental.
Convengamos en que. cuando se consideren a la vez un sistemacarteaiano de coordenadas y un sistema polar de coordenadas: t) uti-l izaromos una misma unidad de medida, 2) en la definición do los
*) Aquí, OM indica la Ion g i tu d del segmento y tiene elsignificado que so da a las longitudes en geometría (es decir, ae tomasu valor absoluto sin tener en cuenta el signo). En este caso no esnecesarto emplear el símbnlo 10111 " tan complicado, puesto que lospuntos O y M 89 consideran como puntos arbitrarios del plano y nocomo puntos de un eje. En adelante, a menudo so empleará, un casosantílogos, uno simplificación semejante de 108 aímholos.
ángulos polares tomaremos como posltívaa las rotaciones en la dlrcc-ción en que debo girar el semício positivo de abscisas para que delmodo más corto coincida con 01 sonuoje positivo do ordonadas (deesto manero, si los cies do coortlcnadns están situados en su formahahitu~l. es. decir, si el ojo Of ostá dirigido hacia la derecha y el ejeOy hacía arriba, entonces, los nngulos polares se toman como do costum-bre, o son, son positivos los ángulos quo 80 toman en díreccién con-traria 11 In do las agujos eJo un reloj).
LN
O AFig. 2.
Con ostu condíclón, si ol polo del sistema do coordonndas polnroscoincide con el origen (lo coordenndaa cartesianas rectangulares. y elojo polar con el semiojo positivo do abscisas, el paso do las coordc-nndas polares do un pun to arbitrario u las coordenadas cortcsíanasdel mismo pun to se ef(\Ctúa medíantn las fórmulas
z=pcos9,I/=P son e.
En este mismo caso, las fórmulas
son Las fórmulas de p8S0 do las coordenadas cartesianos a Las polares.Convengamosen quo, on lo sucesivo, al considerar conjuntamente
dos sistemas de coordenadas polares, la direcctén positiva do las rota-ciones y la unidad do medida do los dos sistemas serlÍn iguales.
26. Trazar los puntos, dadas sus coordenadas poiMes:
A (3; ~), B (2; n), e (3; - ~ ), D (4; 3 ~ ) ,
E(5¡ 2) y F(1; -1)
(ofectuar, aproximadamente, el~trazado de los puntos D, Ey F, empleando el transportador).
'2:1. Determinar las coordenadas polares de los puntossimétricos a los puntos
Mt(3; ~), M2(2; -~), Ms(3; -~),J'III,(1; 2} y M~(5; -1)
con respecto al eje polar, si estos están dados en un sis-tema de coordenadas polares.
28, Determinar las coordenadas polares de los puntossimétricos a los puntos
Mi{l¡ ~) 1 M2(S; ~) 1 M3(2¡ - ~),
ll:f,. ('i; f n) y M5 (3; - 2)
con respecto al ])010, sí éstos están dados en un sistemade coordenadas polares.
29. En un sistema de coordenadas polares so han dadodos vértices
A (3; - ~ 1C) Y B (5; 1: 10)do un paralelogramo ABCD 1 cuyo punto de interseccióndo las diagonales coincide con el polo. Determinar los otrosdos vórtices de este paralelogramo,
30. En un sistema do coordenadas polares se han dadoJos puntos A (8; - f n) y B (6; ~). Calen lar las coor-denadas polares del punto medía del segmento que une lospuntos A y B.
31. En un sistema de coordenadas polares se han dadolos puntos
A(3; ~), n(2; -~), C(1;n), D(5; -fn).E(3; 2) y F(2; -1).
La dirección positiva del eje polar se ha cambiado por lacontrarta. Determinar las coordenadas polares do estospuntos en el nuevo sistema.
32. En un ststeme de coordenadas polares se han dadolos puntos
MI (3; ~). Mz(1¡ in), M3(2¡ O),
M~(5i :). Ms(3; -in) y Mo(1; gn).El cíe polar ha girado do manera que en la llueva posi-ción pasa por el punto M l. Determina!' las coordenadasdo Jos puntos dados en 01 lluevo sistema (polar).
33. En un sistema do coordenadas polares se han dadolos puntos MI (12; in) y Mz(12; -fn). Calcular las
14
coordenadas polares del punto medio del segmento que unelos puntos JY! I Y 11<[!l'
3,1. En un sistema de coordenadas polares se han dadolo~ puntos M t(PI; 01) y Mz (pz, O2), Calcular la distancia dentre ellos.
:35. En un sistema de coordenadas polares se han dadolos puntos MI (5; :) y M2 (8; - ~). Calcula l' ladístancia d entre «llos.
3(t I~n un sistema de coordenadas polares se han dadodos vértices adyacentes de un cuadrado MI (12; - ~ )
y Mz (:~; .~) . Determínar su área.37. En un sistema de coordenadas polares so han dado
dos vért.ices opuestos de un cuadrado P (6; - 172 :n)y. Q (4; f n) . Determinar Sil área.
38. En un sistema de coordenadas polares se han dado
dos vértices do un tl'iiÍJlgulo equilátero A (4; - 112 1t)
Y B (8; 17'}"n) . Determinar su área.
39. Uno de los vértices de) triúngulo OAB está en elpolo; los otros dos son los puntos A (PI; 01) y B (P2; O2),Calcular el área de este trhingulo.
/jO. Uno de los vértices del triángulo OAB estó. en elpolo O; los otros dos son los puntos A (5; ~) y B (4; ~).Calcular el úrea de este triángulo.
41. Calcular el área del triángulo, si sus vértices
11 (3; i:n), B (8; ~ 1t) Y e (6; ~ 11) están dados encoordenadas polares.
42. El polo de un sistema de coordenadas polares coin-cide con 01 origen de coordenadas cartesianas rectangula-res; el eje polar coincide con el semieje positivo de abscisas.En 01 sistema de coordenadas polares se han dado los puntos
¡'!tri (6; ~), M2 (5; O), IV!l (2; ~), M~(10; - ; ) •
M6 (8; i1t), MG (12; - ~ ) . Detormínar las coordenadascartesianas de ellos.
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43. El polo de un sistema de coordenadas polares coin-cide con el origen do coordenadas cartesianas rectangulares:01 eje polar coincido con el scmro]o positivo de abscisas.En el sistema cartesiano de coordonadas rectangulares sehan dado los puntos Mi (O; 5); j'¡l[2 (-3¡ O); M 3 (Va; 1);M4 (- V2; - Vi); M6 (1; - V3). Determinar las coor-denadas polares de ostos puntos.§ 4. Segmento dirigido. Proyección de un segmento sobreun eje arbitrario. Proyecciones de un segmento sobre los
ejes coordenados. Longitud y ángulo polar de unsegmento. Distancia entre dos puntos
Un segmento rccliHnoo so [lama dirj~jdo. si so ha indicado cuáldo los pun tos que lo limitan es el origen yeual os el extremo. El segmentodirigillo con ol origun (\1\ 1.'1punto A y con 01 oxtromo en el plinto B
B
AFig.3.
(Ug. 3) so indica con 01 símbolo AB (os decir ,lo mismo quo 01 segmentoldel ojo; véase § i). La longitud del segmento dirigido AB (respectoa la unidad de medida considerada) so indica con el símbolo IABI(o Allí véase la observación de la pág. 12).
Se llama proyección de) segmento A/J sobre un eje u, al nümoroigual a la magnitud del segmento AtllJ del ejo u: se supone que 01punto Al os la proyección dol punto A sobre el ojo Il y que el punto/JI es la proyección del punto 1) sobro el mismo eje.
Ln proyección dol segmento ifjj' sobre el cíe " se indica con o)símbolo PTuAB. Si en 01 plano se ha dado un sistema de coordenadascartesian« rectangular, la proyección del segmento sobre el eje 0%so Indica con el sÚDbolo X y la proyección sobre el ejo Oy, con elsímbolo Y.
Si se conocen las coordenadas do los puntos MI (;1;1: YI) y M2(xz: Y2),las proyeccionos X o y del segmento dirigido ~ sobro los ojoscaoordcrinüos pueden calcularse mediante Iás rórmullls
X=X2-"'I'Y=YZ-YI'
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I~s uoctr, p:lra hallar JIIS proyecciones del segmento dirigido sobrelos ejes coordenados es necesarlo restar lae coordenadus de su nrígendo las coordenadas do su extremo.
Se llama ángulo polar del segmento M 1M2 al ángulo e en 01 quehoy que hacer girar el semle]o positivo O» pnru que su direcclóncoincida con la dirección del segmento M 1M",.
El ángulo fl tíono el signíficudo que so (11, a Jos ángulos en latrtgonomutrta. Oc acuerdo con esto O tiene 1I11a infinidad do valoresposibles, que se difercncran entro sí on ·UlIB mugnitud de la Iorma±2mt (donde n os un número entero y positivo). Se llama valor (1111-damenral del ángulo polar a uno do sus valores que satisface a lasdesigualdades -1\ < e -< + n ,
Las fórmulasX=d.cos6. Y=d·scnEl
expresan las proyecclones do U1I segmento arbitrarto sobre los ejescoordenados medrante su longitud y 511 ángulo polar, D() aquí se dodu-cen los fórmulas
y.
cos Il xVxz+ylí •
d= -VX~+ y2
~en6y
-VX2+ )'2 •
que expresan la longitud y 01 ángulo polar d()l segmento mediantesus proyecciones sobre los <:jCs coordenados.
Si en el plano se han duJo dos puntos MI (;);',; 111) Y M2 (;);'2; Y2),10.dístanoín d entro ellos so dotormina )lor h. fórmula
d= V(X2-X.)2+(YZ-Yl)2.
44. Calcular la proyección del segmento sobre el eje u.•si se ban dado su longitud d y su ángulo de inclinación<phacia el eje:
lO1) d=6. <P='T;
3) d = 7. <p = ~ ;
5) d=5. <p=1C;
4) d=5, <p=0;
:rt6) d=4, <P= --¡r'
45. Trazar el segmento que parte del origen de lascoordenadas. conociendo sus proyeccicnes 80I)l'(! los ejescoordenados:
1) X =3,3) x= -5,5) X =0,
Y=2;y=o;Y=3;
2-3~2
2) X=2,4)X= -2,6) x= -5,
Y=-5;Y=3;y= -1.
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1¡6. Trazar los segmentos que tienen el origen en el punto111 (2; -1), conociendo sus proyecciones sobre los ejescoordonados:
11) X=4, Y=3; b) X=2, Y=O;e) X=-3, Y=1; d) X=-4, Y=-2;e) X=O, Y=-3; f) X=l Y=-3.
47. Dados los puntos Mt(1; -2), M2(2.; 1), Ma(5; O),M d-1; \"1.) y }liTs (O; - 3), hallar las proyecciones de lossiguientes segmentos sobro los ejes coordenados:
1) M1Mz, 2) M3il¡[j, 3) M,Ms, 4) k15Ma.
1¡8. Dadas las proyecciones del segmento M1,'\Il2 sobrelos ejes coordenados X = 5, y = -4, hallar las coordena-das de Sil extremo, sabiendo que 511 origen está en el puntoMI (-2; 3),
~9. Dadas las proyecciones del segmento AB sobre losejes coordenados X = 4, y = -5, hallar las coordenadasde su origen, sabiendo que su extremo está en el puntoB(1;-3),
50. Trazar los segmentos que parten del origen de coor-denadas, conociendo la longitud d y el ángulo potar O decada llll0 de ellos:
1) d=5, O ¡r. 2) d=3, 5=5'; O=(f1t;
3) d=~., O n, 4) d=:l, -1=-1l' 0= -g:Jt.
5i. Trazar los segmentos que tienen (11 oeigon en elpunto M (2; B), conociendo la longitud y el ángulo polarde cada uno de ellos:
1) cl=2, 0=-1~; 2) <l='J, e=~;
3) d=5, 9= - ~
(las coordenadas del punto ]'y! son cartesíanas]',t'i2. Calcu lar las proyecciones de los segmentos sobre
los ejes coordenados, conociendo Ia longitud d y el ángulo
'18
polar a de cada uno de ellos:
1) d=12, 6=fn; 2) d=6, G= - ~;
3) d = 2, f) = - T .53. Dadas las proyecciones do los sogmontos sobro los
eje~ coordenados:1) X = 3, y = _IL; 2) X = 12. Y = 5;
3) X= -8, Y=6,calcular la longttud de cada uno de ellos.
51. Dadas las proyecciones do los segmentos sobro loseies coordenados:
1) X =1, y= V3; 2) X=3V2, Y= -3VZ;3) x= -2V3, Y=2,
calcul ar la longitud d y el ángulo polar 6 de cada unodo ellos.
55. Dados Jos puntos.M¡(2; -3), ft/2(1; -4), M~(-1; -7)
y Jli[d-4; 8),calcular la longitud y el úugulo polar de los siguientessegrnen tos:
a) M1M2, b) /111M3, e) MzM,. d) M4M3'
56. La longitud d do un segmento es igual a 5. su proyec-ción sobre el eje de abscisas es igual a 4. Hallar la proyec-ción de este segmento sobre el eje de ordenados, si forma conel eje de ordenadas: a) un ángulo agudo, b) un ánguloobtuso.
57. La longitud del segmento MN es igual a 13; suorigen está en el punto M (3; -2); la proyección sobre eleje de abscisas es igual a -12. Hallar las coordenadas delextremo de este segmonto, si forma con el eje de ordenadas:a) un ángulo agudo, b) un ángulo obtuso.
58. La longitud del segmento MN es igual a 17; suextremo está en el punto N (-7; 3) y la proyección SObl'Oel oje de ordenadas es igual a 15. Hallpr las coordenadas
2· 19
del origen de este segmento. si se sabe que forma con eleje de abscisus: a) un áugulo ngudo. b) un ángulo obtuso.
59. Conociendo las proyecciones del segmento sobre losejes coordenados X = L Y = - V~3. hallar su proyocoiónsobre 01 eje que forma el ángulo 0= f n con el eje Ox,
60. Dados dos puntos 1vI¡(1; -5) y M:d.4; - 1), hal larlas proyecciones de} sogrnen to M 1M z sobre el eje quo formacon el eje 0:& el ángulo e = - ~ .
61. Dados dos puntos P ( - 5; 2) y Q (3; 1). hallar laproyección del segmento PQ sobro el eje que forma con eloje O» el ángulo 9=arctgf.
62.Dados dos puntos M¡(2; -2) y Mz(7; -3), hallarla proyección del segmento M¡Mz sobre el eje que pasa porJos puntos .4(5;-4),8(-7; 1) Y cuya dirección es: 1)deA hacia B, 2) de B hacia A.
63. Dados los puntos A (O; O), B (3; -4), e (-3; 4),D (-2; 2) y E (10; -3), determinar la distancia d entrelos puntos: i) A y B; 2) B y e; 3) A y e; 4) e y D;5) A y D; 6) D y E.
M. Dados dos vértices adyacentes do un cuadradoA (3; -7) y B (-1; I.!), calcular su área.
65. Dados dos vértices opuestos de UII cuadrado P (3, 5)y Q (1; -3), calcular su área.
(j(). Calcular el área de un triángulo regular, si dos desus vórtices son 4 (-3; 2) y B (1; 6).
67. Dados tros vértices A (3; -7), B (5; -7); e (-2; 5)de un -paralologramo ABeD, cuyo cuarto vértice D es opues-to a B. determinar las longitudes de las diagonales de esteparalelogramo.
68. El lado de un rombo es igual a 5 V 1.0 y dos de susvértices opuestos son los puntos P (4; 9) y Q (-2; 1).Calcular el área de esto rombo-
69. El lado de un rombo os igual a 5 V2" y dos de susvértices opuestos son los puntos P (3; -4) y Q (1; 2). Cal-cular la longitud de la altura de este rombo.
70. Demostrar que los puntos A (3; -5), B (-2; -7)y e (18; 1) están en una recta.
71. Demostrar que el triángulo con los vértices Al (1; 1).A2(2; 3) y A3(5;. -1) es rectángulo.
20
72. Demostrar que los puntos A (2; 2), B (-1; 6),e (-5; 3) y D (-2; -1) son vórtices de un cuadrado.
73. Averiguar si entre Jos ángulos internos del triángulocon los vértices M. (1; 1), 1112(O; 2) y M3 (2; -1) hayalgún ángulu obtuso.
74. Demostrar que todos los ángulos internos del trián-gulo con los vértices .1It! (-1; 3), N (1; 2) y P (O; 4) sonagudos.
75. Los puntos A (5; O), B (O; 1) y e (3; 3) son vérticesde un tL'iángulo. Calcular sus ángulos Internos.
76. Los puntos A (- V3; 1), B (O; 2) y e (-ZV3; 2)son vértices de un triángulo. Calcular su ángulo externoCOJl el vértice en el punto A.
77. Hallar en el eje de abscisas UIl punto ]11, cuya dis-tancia hasta el punto N (2; -3) sea igual ¡l 5.
78. Hallar en el eje de ordenadas un punto 11-.1,cuyadistancia hasta el punto N (-8; 13) sea ígna l a 17.
79. Dados dos plintos M' (2; 2) y N (5; -2). hallar enel eje. de abscisas un punto P de modo que el ángulo MPNsea recto.
80. Por 01 punto A (4; 2) se ha trazado una circunfe-rencia, tangente a los dos ejes de coordenadas. Determinarsu centro e y su radio R.
81. Por e] punto M'I (1; -2) se ha trazado una circun-ferencia de radio 5, tangente al eje 03.:, Determinar el centroe de la misma.
82. Determinar las coordenadas del punto Jl!rz• simé-trico al punto ¡"VI (1; 2) con respecto a la recta que pasapor los puntos A (1; O) 'Y B (-1; -2).
83. Dados dos vértices opuestos de un cuadrado. A (3; O)y e (-4; 1), hallar los otros dos vér-tices.
84. Dados dos vérttces adyacentes de 11n cuadrado.A (2; -1) y B (-1.; 3), determinar los otros dos vértices.
85. Los vértices de un trrángulo son: ]!t!. (-3; 6),M2 (9; -10) y M3 (-5; 4). Determinar el centro e y elradio R de la circunferencia cirounscrita en él.
§ 5. División de un segmento en una razón dadaSi el punto M (x; y) está en la recta quo pasa por dos puntos
d MIMda os M. (xI: y,). MZ(X2: y'.)) y se ha dadn la razón '.= MM" enla que el punto M divíde al segmento MIMz, las coordenadas del
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punto M se dotorminan medtanto las IórznulasXI+"x2 Yl+AY2
x = 1+1.. ' y = ---¡-::¡::r- .Si M es el punto medio del segmento ""sM2, BUS cocrdenadas Sil deter-minan POI' las fórmulas
xs+xz _ !/S+Y23:=--2-' 11---2-,
86. Los extremos de una varllla homogénea sOllA (3; -5)y B (-1; 1). Determinar las coordenadas de su centro dogravedad.
87. El centro de gravedad de una varilla homogéneaestá situado en el punto.M (1; 4); uno de sus extremos enel punto P (-2; 2). Determinar las coordenadas del otroextremo Q de la varilla.
88. Los vértices do un triángulo son: A (1; -3),B (3; -5) y e (-5; 7). Determinar los puntos modios desus lados.
89. Dados dos puntos A (3; -1) y B (2; 1), determinar:1) las coordenadas de punto M simétrico al punto .ti
con respecto al punto B;2) las coordenadas del punto N símétrico al punto B
con respecto al pun to A.90. Los puntos medios do los lados de un triángulo
son: M (2; -1), N (-1; 4) y P (-2; 2). Determinar susvértices.
91. Dados tres vértices de un paralelogramo: A (3; -5),B (5; -3) y e (-1; 3), determinar el cuarto vértice Dopuesto a B. .
92. Dados dos vórtices adyacentes de un paralelogramo:A (-3; 5), B (1; 7) y el punto de intersección de sus diago-nales fI.f (1; 1), determinar los otros dos vértices.
93. Dados tres vértices de un paralelogramo ABCD:A (2; 3), B (4; -j.) y e (O; 5), hallar el cuarto vórtice D.
94. Los vértices de un triángulo son: A (1; 4.), B (3; -O)y e (-5; 2). Determinar In longitud de la mediana trazadadesdo el punt o B.
95. El segmento limitado por los puntos A (1; -3)y B (4; 3) ha sido dividido en tres partes iguales. Deter-minar las coordenadas de los puntos de división.
96. Los vértices de un triángulo son: A (2; -5),B (1; -2) y C (4; 7). Hallar el punto de intersección dellado AC con la bisectriz. del ángulo interno del vértice B.
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97. Los, vértices do un triángulo son: A (3; -5),B (-3; 3) y e (-1; -2). Determinar la longitud de labisectriz del ángulo interno del vértice A.
98. Los vértices do un triángulo son: A (-1; -1),B (3; 5) y e (-4; 1.). Hallar el punto do intersección deIn bísectcí» del ángulo externo del vórtice A cou 13 pro-longación del lado Be,
99. Los vértices de un triángulo son: A (3; -5),B (1; -3) y e (2; -2). Determinar la longitud de lobisectriz del ángulo externo del vértice B.
tOO. Los puntos A (1; -1), B (3; 3) y e (4; 5) estáusituados en una recta. Determinar la razón A, en la quecada punto divide 01 segmento limitado pOI' los otros dos.
tOI. Determinar las coordenadas de los extremos A y Bdel segmento que es dividido en tres partes iguales por lospuntos P (2; 2) Y Q (1; 5).
102. Una recta pasa por los puntos 1111 (-12; -13)Y M2 (-2; -5). Hallar en esta recto 01 punto cuya abscisaes igual a 3.
103. Una recto pasa por los puntos M (2; -3)y N (-6; 5). Hallar en esta recta el punto cuya ordenadaes igual a -5.
l04. Una recta pasa P()'C los puntos A (7; -3)y B (23; -6). Hallar el punto de Intersección de esta rectacon el eje do abscisas.
t05. Una recta pasa por los puntosA (5; 2) y B (-4; -7).Hallar el punto de ínterseccíón de esta recta con el eje deordenadas.
106. Los vértices de un cuadrilátero son: A (-3; 12),B (3; -4), e (5; -4) y D (5; 8). Determinar lo razón enla que su diagonal A e divide la díugonal BD.
t07. Los vértices de un cuadrilátero son: A (-2; 14.),B (4; -2), e (6; -2) y D (6; 10). Determinar el punto deIntorseccíén de sus diagonales Ae y BD.
108. Dados los vérticos de una lámina homogénea I;rion-guiar A (XI; YI), B (xz; Y2) y e (X3; Y3), detorminar lascoordenadas do su centro de gravedad.
O b s e r v a ció n. El centro de gravedad se encuentra en elpunto de Intersección do las medianas.
109. El punto M de intersección de las medianas do untriángulo está situado en el ejo do abscisas; dos do sus vért.i-ces son los puntos A (2; -3) y B (-5; 1); el terc.er vértice
23
e esLú en el eje do ordenadas. Determinar las coordenadasde los plintos M y C.
110. Se han dado los vértices de una lúmina homogé-nea triangular A (XI; YI). B (xz. Y2), y e (xs; Ya)' Uniendolos puntos medios de sus lados se forma otra lámina horno-g6nen teiangular. Demostrar que coinciden los centros deg¡'ovedllu de Las Iámínas.
O 11s o r va e i 6 n , Aplicar Los resultados del problema 108.
i11. En una lámina homogénea que tiene la forma deun cuadrado, de lado igual a 12. se ha hecho un corte cua-
y
/Ir~•I•\~O~-~·_-_-__~~~_-_-_~-~;~-----x
y
.Fig./,. Fig. 5.
druugular: las rectas dol corte pasan por el centro de!cuadrado; los ejes coordenados están dirigidos por los ladosde la lám ina (fig. 4). Determinar el centro de gravedaddo esta lá mina.
112. En una lá minn homogénea que tiene la forma deun rectángulo. con los lados iguales a a y b, se ha hachoun corte rectangular: las rectas del corte pasan pOI' elcentro: los ejes coordenados están di rígidos por los ladosde la lámina (fig. 5). Determina r el centro de gravedadde esta lámina,
113. 1)0 una lámina homogénea que tiene la forma doun cuadrado, de lado igual a 2a. se ha cecortado un trián-gulo; la recta del corto une los puntos medios de dos ladosadyacentes y los ejes de ccordenadus están dirigidos por loslados de la lámina (Hg. 6). Determinar 01 centro de gra-vedar! de la misma.
114. En los puntos A (XI; YI), B (X2; Y2) y e (X3; Ya)están concentradas las masas In, n y p. Determinar las Coor-denadas del centro de gravedad de este sistema de tresmasas.
Fig.6.
115. Los puntos A (4; 2), B (7; -2) y e (1; 6) son losvértices de UIl triángulo de alambre homogéneo. Determi-nar el centro de gravedad de este triángulo.
§ 6. Area del triánguloCuulesquíora quo sean los puntos A (:1'1: rI,), B (xz; yz) y e (X3. Y3)'
el área S del triángulo ABe se dctormlna por la rórmula
11X2-XI Y'l-1I11±s=- .2 x3-xl Ya-YI
El segundo miembro de ostn Iórmula es igual a + S. cun ndo la rota-ción más corta del sogmont.o;¡¡¡ hacía 01 segmentu AC I!S positivay a -8. cuando es negativa.
1'16. Calcular el área del triángulo cuyos vértices sonlos puntos:
1) A (2; -3). B (3; 2) y e (-2; 5);2) MI (-3; 2), M2 (5; -2) y M 3 (1; 3);3) ivI (3; -4). N (-2; 3) y P (4; 5).
117. Los vértices de un tritíngulo son los puntos A (3; 6),B (-1; .,) y e (2; -'1). Calcular la longitud do su alturabajada desde -el vértice C.
118. Determinar el área del paralelogramo, tres de cuyosvértices son los puntos A (-2; 3). B (4; -5) y e (-3; 1).
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H9. Tres vértices de un paralelogramo son 105 puntosA (3; 7), B (2; -3) y e (-1; 4). Calcular la longitud desu altura bajada desde el vértice B al lado AG.
120. Dados los vértices consecutivos de una láminahomogénea cuadrangulnr A (2; 1), B (5; 3), e (-1; 7)Y D (-7; 5), determinar las coordenadss de su centro degravedad,
121. Dados los vértices consecutivos de una láminahomogénea pentagonal A (2; 3), B (O; 6), G (-1; 5),D (O; 1) Y E (1; 1), determinar las coordenadas de su centrodo gravedad.
122. El área de un triángulo es S = 3; dos do sus vér-tices son los puntos A (3; 1) y B (1; -3); el tercer vérticee está situado en el ejo Oy. Determinar las coordenadasdel vértice c.
123. El área de un triángulo es S = 4; dos de sus vér-tices son los puntos A (2; 1) Y B (3; -2); 01 tercer vérticee está situado en el eje Ox, Determinar las coordenadasdel vértice G.
124. El área de un triángulo os S = 3; dos do sus vér-tices son los puntos A (~; 1) y B (1; -3); el centro degravedad de este triángulo está situado en el eje Ox. Dctor-minal' las coordenadas del torcer vértice c.
125. El área dEl UH paralelogramo es S = 12 unidadescuadradas; dos do sus vértices son los puntos A (-1; 3)y 8 (-2; 4). Hallar los otros dos vértices de este para-lelogramo , sabiendo que el punto do intersección de susdiagonales es~ú situado en el eje de abscisas.
126. El área de un paralelogramo es S = 17 unidadescuadradas; dos do sus vértices son los puntos A (2; 1)y B (5; -3). Hallar los otros dos vértices de este para-lelogramo, sabiendo quo el punto de intersección de susdiagonales está en 01 eje de ordenadas.
§ 7. Transformación de coordenadas
La trunsformaci6n do coordenadas carWSiQD8S rectangulares l~ortraslación paralela de los ejes S6 determina med iante las fórmulas
y=y'+b.
AClllí, x e y son las coordenedns de un punto 8l'bitra'l'io M do! plano.relativo a los ejes primf tivos; e'; IJ' son las coordonadas del mismopunto, relativo a los »[es IIUOVOS; a, b son los coordenadas del nuevoorigen O', relativo a los ejes primitivos (también so dice que a es lu.
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magnitud eJotraslación en dirección del ejo de abscisas y b. la magni-tud de traslación en dirección del eje de ordenadas).
La transformacién de coordenadas cartesianas rectangulares porrotación do los ej<'S en un ángulo a. (que tiene (\1 significado que seda a los ángulos on la trigonometría) so determina mediante las fór-mulas
:1:=%' cosa.-y' SOlla,y =x' son a+ ¡¡' cos 01.
Aquí. x o 11 son las coordenadas do un punto ar hitrnrio M del planu,rolati vo 1\ los ejos primitivos; x'. v' son las eoordonadns dol mismopunto, rulntí vo a los cjes nuevos.
Las fórmulasx=x' COSOl-¡¡' sona+a,y=x' sen a.+y' cos et+ b,
detcrmlnun la transformación de coordenadas por traslación paraleladel sistema <lo ejes en una magnitud a en dtroecién do O», en unamngnitud b en dirocción do OY. y por rotación sucesiva de los CjC8en un ángulo a. Todas las Iérmulas indicadas corresponden a la trans-Iorrnaelén de coordenadas manteniendo invariable la unida'] do medida.En los problemas que siguen se supone quo la unidad de medida semanuene invariable.
127. Escribir las fórmulas de transformación de coor-denadas, si el origen do coordenadas se ha trasladado (sincambiar la dirección de los ejes) al punto: 1) A (3; 4);2) B (-2; 1); 3) e (-3; 5).
128. El origen de coordenadas so ha trasladado (sincambiar la dirección de los ejes) al punto O' (3; -4). Lascoordenadas do los puntos A (1, 3), B (-3; O)y e (-1; 4)están determinadas en el nuevo sistema. Calcular las coor-denadas do estos puntos en el sistema de coordenadas pri-mitivo.
129. Dados los puntos A (2; 1), B (-1; 3) y e (-2; 5),hallar sus coordenadas en el nuevo sistema, si el origende coordenadas se ha trasladado (sin cambiac la direcciónde los ejes): 1) al punto A; 2) al punto B; 3) al punto C.
130. Determinar las coordenadas primitivas del origenO' del nuevo sistema, si las íórmulas de transformación decoordenadas se han dado mediante las igualdades Siguientes:
1) x = x' + 3, y = y' + 5; 2) x = z' - 2, y = y' + 1;3) x = x", y = y' -' 1; 4) x = x' - 5, y = y'.t 31. Escribir las fórmulas do transíormación de coor-
denadas, si los ejes coordenados han girado en uno de los
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ángulos siguientes:
1) 60°; 2) -45"; 3) 90°; 4) _90°; 5) 180°...132. Los ejos de coordenadas han girado un ángulo
a = GO°. Las cocrdenadas de los puntos A (2 Ií"3; - 4) I
B eV3; O) y e (O; - 2 vg) están determinadas en el nuevosistema. Calcu tú las coordenadas do estos mismos puntosen el 'sistema de coordenadas primitivo.
133. Dados los puntos M (3; 1),N(-1;5)yP(-3;-1),hallar sus coordenadas en el lluevo slstcma, Ki los ejes coor-denados han girado un ángulo:
1) -45"; 2) 90"; 3) -900;. 4) 180~.
131i. Determinar el ángulo a, en al que han girarlo losejes, si las fórmulas de transformación de coordenadas sedeterminan por las siguientes ig,ualdndes:
t 35. Determinar las coordenadas del nuevo origen O'de coordenadas, sabiondo que el punto A (3; -4) estásituado en el nuevo eje de abscisas, el punto B (2; 3)está situado en el nuevo eje de ordenados y los ejes de lossistemas de coordenadas primitivo y nuevo tienen respecti-vamente las mismas direcciones.
136~ Escribir las fórmulas de transformación de coor-donadas, si 01 punto MI (2; -3) está situado en el nuevoejo de abscisas, el punto Jlt!2 (1; -7) está situado en elnuevo eje de ordenadas y los ejes de los sistemas de coor-denadas primitivo y nuevo tienen respectivamente lasmismas direcciones.
f 37. Dos sistemas de ejes coordenados O», Oy y Ox',Oy' tienen un origen común O y se transforman el unoen el otro mediante una rotación en cierto ángulo. Lascoordenadas del punto A (3; -4) están determinadas respec-to al primero de ellos. Deducir las fórmulas de transforma-ción do coordenadas, sabiendo que la dirección positivadel eje Ox' está definida por 01 segmento OA.
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138. El eje de coordenadas se ha trasladado ni puntoO' (-1, 2). y los ejes coordenados han girado un ánguloex = arctg :&. Las coordenadas de los puntos Mi (3i 2)",M 2 (2; -3) y M 3 (13; -13) están d~terminadas en elnuevo sistema. Determinar las coordenadas de estos mis-mos puntos en el sistema de coordenadas primitivo.
139. Dados tres puntos: A (5; 5),B (2; -1) yC (12; -6),hallar sus coordenadas en el nuevo sistema, si el origendo coordenadas se ha trasladado al punto B y los ejes coor-denados han girado un ángulo ex = arctg -} .
140. Determinar las coordenadas primiLivas del lluevoorigen y el ángulo a, en el que han girado los ejes, sí lasfórmulas de transformación de coordenadas se dan mediantelas siguientes igualdades;1) x= -y'+3, y=x'-2; 2) x= -.'t'-1, y= -y'+3;
3) Vi, +Ví r I - V2 '+ Vi, 3x=Tx TU --<), Y= -Tx TY - .141.. Se han dado dos puntos: Mi (9; -3) y Mz (-6; 5).
El origen de coordenadas se ha trasladado al punto M1y los ejes coordenados han girado do manera que la direc-ción positiva del nuevo eje de abscisas coincide con ladirección del segmento MIJIII 2. Deducir las fórmulas detransformación de coordenadas.
142. El eje polar de un sistema de coordenadas pola-res es paralelo al eje de abscisas de un sistema cartesianorectangular y t iene la misma dirección que él. Se handado las coordenadas cartesianas rectangulares del polo0(1; 2) y las coordenadas polares de los puntos MI (7; ~) ,M2 (3; O), JllIa (5; - ~ ), M, (2; i- ,,;) y M5 (2; - ~) .Determinar las coordenadas de estos puntos (m el sistemacartesiano rec tangular.
143. El polo de un sistema de coordenadas polares coin-cide con el origen de coordenadas de un sistema carte-siano rectangular, y el eje polar tiene la direcciónde la bisectriz del primer ángulo coordenado. So han da-do las coordenadas polares de los puntos MI (5; ~),M~ ( 3; - ~) • M3 ( 1; 4 rt ), M, ( 6¡ - {- 11) Y
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M b (2; - ~ ). Determinar las coordenadas car tesianasrectangulares de estos pun Los.
144. El eje polar de un sistema de coordenadas pola-res es paralelo al ejo de abscisas de un sistema cartesianorectangular y tiene la misma dirección que él. Se han dadolas coordenadas cartesinnas rectangulares del polo O (3; 2)y de Jos puntos
MI (5; 2) •• /lt12{3; 1). M3(3; 5),
M" (3+ 112; 2- 1Ii) y Ms (3+ y3; 3).Determinar las coordenadas polares de estos puntos.
145. Bl polo do un sistema de coordenadas pol.aroscoincido con el origen de coordenadas cartesianas rectan-gulares, y el eje polar Liene In dirección de In bisectriz delprimer ángulo coordenado. Se han dado las coordenadascartesianas rectangulares de los puntos
MI( -1: 1), M2 (112; - Y2), M3 (1;V3),M,(-1I3;1) y Ms(2Y3; -2).
Determinar las coordenadas polares de los mismos.
IICapítulo
ECUACIO N DE U NA LI NFA
§ 8. Función de dos variables
Si existe una ley, según la cual a cada punto M del plano (o dealguna parte del plano) Sil 10 pone <.'11 correspondencia un número 11,se dice que en C)} plano (o en la parte del plano) «eslá dada una Iuncíóndel punto»; ésta so exprosa mediante una igualdad de la forma u == / (M). El número u que corresponde al punto M, so llama valorde la Iuncíén en el punto M. Por ejomplo, si A os IIn punto rijo del[,Iano y M es UII punto arbitrario, la distancia desdo A basta M es unaunción del pun to M. En esto caso, f (M) = A M.
Supongamos que se ha dado una [unción u = t CM) y 1\ la vozun sistema de coordenadas. Entonces, cada punto arbitrario M sedetermina por sus coordenadas s , y. Do acuerdo a esto, el valor (11)lafunción en el plinto M so determina por las coordenadas "', y, o dichodo otro modo, u = t (M) es una función <lo dos variables x e y. Lafunción do dos variables "'i y se indica con ln notación I ("" y); sif (M) = I (x, y), la [órmu a 11 = f (x, y) so llama expresión de lafunción en 01 sistema de coordenadas elegido. Así. on 01 ejemplo ante-rior f (M) = AM Y en IIn sistema 110 coordenadas cartesiano rectan-gular con el origen en el punto A, la expresión de esta función será:
u= V:rZ+y2.
146. Se han dado dos puntos P y Q, la distancia entrelos cuales es igual a a y la función f (M) = di - d!, dondedI = lVIP y d2 = MQ. Determinar la expresión. de esta fun-ción, si el punto P se ha tomado como origen de coorde-nadas y el eje Ox está dirigido por el segmento PQ.
~'147. Con los datos del problema 146, determinar laexprosíón de la función f (M) (directamente y medianteuna transformación de coordenadas, aplicando el resultadodel problema 146), si:
1) 01 punto medio del segmento PQ se ha tomado comoorigen de coordenadas y el eje O» tiene la dirección delsegmento PQ;
31
2) .el punto P se 11a tomado como origen de coorde-nadas y el eje O» tiene la dirección del segmento QP.
\48. Dados un cuadrado ABCD con el lado a y unafunción f (M) = di + d~ + ~ + d¡, donde di = MA, dz == MB, da = Me y di, = MD, determinar la expresiónde esta función, si las diagonales del cuadrado se han tomadocomo ejes de coordenadas (el eje Ox tiene la dirección delsegmento AC y el eje Oy, la dirección del segmen-to BD).
149. Con los datos del problema 148, determinar laexpresión de la función j (M) (directamente y medianteuna transformación de coordenadas, aplicando el resultadodel problema 148), si el punto A se ha tomado como ori-gen de coordenadas y los ejes de coordenadas están diri-gidos por sus lados (el eje O» por el seg mento AB y el ejeOy por el segmento AD).
150. Dada la función f (z, y) = X2 + y2 - 6x -1- 8y,determinar la expresión de esta función en el lluevo sistemade coordenadas, si el origen de coordenadas se ha trasladado(sin cambia.' la dirección do los ejes) al punto O' (3; -4).
151. Dada la función I (z, y) = X2 - y2 - 16, determi-nar la expresión de est a función en el nuevo sistemu de coor-denadas, si II)S ejes (jo coordenadas han girado un ángulode -45<',
152. Dada la función j (x, y) = X2 -1- yZ, determinar laexpresión de esta función en el nuevo sistema de coorde-nadas. si los ejes de coordenadas han girado un ángulo ex.
153. Hallar un punto, en el que, al trasladar el origende coordenadas a él, la expresión de la función f (z, y) == a;2 - 4y2 - 6x + By + 3, después de la transformación,no contenga términos de primer grado respecto a las nuevasvariables.
154. Hallar un punto, en el que, al trasladar el origende coordenadas a él, la expresión de la [unción t (x, y) == x1. - 4xy + 4y2 + 2x + y - 7, después de la transfor-mación, no contenga términos de primer grado respecto a lasnuevas variables,
155. ¿Qué ángulo tienen que girar los ojes courdenadospara que la expresión de la Iuución f (x, y) = X2 - 2xy ++ y2 _ 6x + 3, después de la transformación, 110 contengael término del producto de las nuevas variables?
3:1.
156. ¿Qué ángulo tienen que girar los ejes coordena-dos para que la expresión de la función f (x, y) = 3X2 ++ 2 V3XY + y~, después de la transformación, no contengael término del producto de las nuevas variables?
§ 9. Concepto de ecuacíén de una linea.Determinación de la línea mediante una ecuación
Una igualdad de la forma F (:2:, y) = O so llama ecuación de dosvariables 3;, 11, si no se verifica para cualquier par de números :2:, y.También se dice que dos números :2: = XO, y = Yo satlsfacon a una ecua-ci6n de la forma F (:2:, y) = O, si al sustituir estos números en la ecua-ci6n, en lugar de las variables :2: e y, el primer miembro se convier-te en cero,. Se llama ecuación de una línea dada (en el sistema de coordenadasasignado) a una ecuación de dos variables que satisfacen a las coorde-nadas de cualquier punto situado en la linea y quo no satísíacen a lascoordenadas de ningún otro punto situado fuera de olla,
. En adelante, en lugar do la expresi6n «se ha dado la ecuaei énde' la Iínca F (x, V) = o» diremos, frecuentemente, de modo más abre-viudo: so ha dado la Jínea F (x, y) = O.
Si se han dado dos líneas F (x. y) = O y <l> (x, y) = O, la solu-ción común del sístoma
{r t», y)=O,<D (x, y)=O
proporciona todos Jos puntos do su intorsoccién. Con más exactitud,cada par do números quo es solución común de este sistema determínauno,do los puntos do intersección.
157. Dados los puntos*) Mj (2; -2), Mz (2; 2), Ma (2;-1), M, (3; -3), .M5 (5; -5), M¿ (3;-2), determinarcuáles de estos puntos están en la línea definida por laecuaci6n x + y = O y cuáles no están en ella. ¿Qué líneadeííne esta ecuación? (Representarla en el plano).
158. En la línea definida por la ecuación X2 + y~ = 25,hallar los puntos cuyas abscisas son iguales a los siguien-tes números: a) O, b) -3, e) 5, d) 7; hallar en esta línealos puntos cuyas ordenadas son iguales a los siguientesnúmeros: e) 3, f) -5, g) -8. ¿Qué línea se define por estaecuación? (Representarla en el plano).
159. Determinar las líneas que están dadas por lasecuaciones (construirlas en el plano):
1) x - y = O; 2) x + y = O; 3) x - 2 = O;4) x + 3 =, O; 5) y - 5 = O; 6) y + 2 = O;----
..) En los casos en que no se nombro el sistema do coordenadas,S9 supone que es cartesiano rectangular.
3-352 33
7) x = O; 8) y = O; 9) ;¡;2 - xy = O; 10) xy+ y' = O;1'1) x.1 - y2 = O; 12) xy = O; 13) !¡Z - 9 = O;
14) ;);2 - 8.'1; -1- '15 = O; '15) y2 + Sy + 4. = O;16) xZy-7;-ey+10y=O: 17) y= Ix 1: 18) x= IY 1;
19) y + Ixl = O; 20) a: + 1 y I = O;21) y =)x-1I; 22) y=I:r,-+ 21; 2::3) x2+y2=16;
24) (:¡; - 2)2 ;- (y - 1? = 16; 25) (x + 5}e + (y - 1)2=9;26) (x - 1)2 + y'l = 4; 27) X2 + (y -1- 3)2 = 1;
28) (x - 3)Z + y'l = O: 29) zZ + 2y2 = O;30) 2x2 + 3y~ + 5 = O; 31) (x - 2)2 + (y -1- 3)2 + 1 = O.
160. Dadas las Iíneas:1) x + y = O; 2) x - y = O; 3) X2 + yÜ - 36 = O;
4) X2 + y2 _ 2x + y = O; 5) :¡;'~+ y2 + 4x - Gy - 1 =0,determinar cuáles de ellas pasan por el origen de coorde-nadas.
161. Dadas las líneas:1) x'l + y2 = 49; 2) (x - 3)Z + (y + 4)2 = 25;
3) (.1: + 6}2 + (y - 3)W = 25; 4) (x -1- 5)~ + (y - 4)2 = 9;5) .1:2 + y2 - 12x + 16y = O; 6) X2 + y'l - 2x +8y +7~Oj
7) X2 + y~ - Gx + 4y + 12 = O,hallar sus puntos de intersección: a) con el eje Ox; b) COIlel eje Oy. ¡
162. Hallar los puntos de ínterscoclén de las dos lineas:1) X2 + ye = 8, x - y = O;'
2) X2 -(- y2 - 16x + 4y + 18 = 0, x + 11= O;3) 3;2 + y2 _ 2x + 4y _ 3 = 0, :e2 + y2 = 25;4) ;);2 + y: _ 8x + 10y + 40 = O. ;);2 + y2 = 4.
163. En un sistema de coordenadas polares se handado los puntos
M1 (1; ~). M2(2; O), M3(2; ~) .(" - n ) (2)M" ~(3", G y M6 1",31( "
34
Determinar cuáles de estos puntos están en la lí neadofinida por la ecuación dada on coordenadas polares p =-= 2 cos () y cuáles no lo están. ¿Qué Ii nea está deñnidapor esta ecuación? (Representarla gráítcamonte).
164. En la línea definida pOI' In ecuncí ón p =- __2_o 'cos
bullar los puntos cuyos ángulos polares son iguales a lossiguientes números: a) ~ , b) -;, e) O, d) ~. ¿Quólínea está definida por esta ecuación? (Construirla eJl elplano).
165. En In línea definida por la ecuación P=~ ,sen \1
hollar los puntos cuyos radios polares son iguales a lossiguientes números: a) 1, b) 2, e) V2'. ¿Qué linea estádefinida por esta ecuación? (Ccnstruírla en el plano).
1611. Determinar las Iíneas que se determinan en COOl'-denudas polares por las siguientes ecuaciones [conatru ir-lusen el plano):
1 p = 5; 2) e = ~ ; :3) e = - ~ ;4) pcosO=2; 5) psenS=1; 6) p=6cosO;
"( 17) P = 10 sen O; 8) sen fJ =:r; 9) sen p = 2 .
167. Construir en el plano los sigutcntos espirales deArquímedes:
O ti'1) p=26¡ 2) p=58; 3) P=-n; 4) p= -n-'tG8. Construir en el plnno las siguientes espirnlcs
hiperbólicas:
1) p = t; 2) p = ir; 3) p = ~ ¡ 4) P = - ~ .
169. Construir en el plano 1n5 slgutcntos oaplrnlcslogluitnticas:
1) p = 20¡ P= ( ~t .170. Determinar las longitudes de los segmentos inter-
secados por In espiral do Arquímedesp=36
en el rayo que parLe del polo con una inclinación al ejepolar do un ángulo 1) = ~ . Hacer el dibujo.
171. En la espiral de Arquímedes5
P=li'0
se 11<'\ tomado un punto e cuyo radio polar es igual a 4.7.Determinar en cuántas partes divide esta espiral el radiopolar del punto C. Hacer el dibujo.
172. En la espiral hiperbólica6
P="ij"
hallar un punto P, cuyo radio polar sea igual n 12.liacer el dibujo.
i73. En la espiral logarítmica
p=3°hallar un punto Q, cuyo radio polar sea igual a 8i.Hacer el dibu jo.
§ 10. Deducción de las ecuaciones de líneaspreviamente dadas
En los problemas dol párrafo anterior, la linea estaba definidamediante la ecuación dada. Aquí consideraremos problemas de carác-ter Inverso: en cada uno do ellos la curva se deClne goométrtcamcntey so pide hallar su ecuaci6n. .
E j e ro p 1 o 1. Deducir on un sistema de coordenadas cartesia-no rectangular la ecuación del lugar gecmétrico do los puntos, cuyasume de los cuadrados do distancias a dos puntos dados Al (-a;O) y A2 (a; O) sea uno cantidad constante, igual a 4a~.
S o 1 u ció n. Indiquemos con la letra M un punto arbítrarlode la línea y con las lotras x o y las coordenadas do este punto. Como01 punto M puede ocupar cualquier posición en la linea, x o 11 soncan Lidadl's variables, llamadas coordenadas variables.
Escribamos simb6lícamento la prcpiodnd geom6trica de estaIínea:
(1)
Al moverse el punto M, en esta Igualdad pueden variar las lon-gitudes MA I Y M A,2' Sus ox.presiones mediante las coordenadas varia-bles dol punto M son:
MAt= Y(;-"x-'+-a""')Z"""+""'y-::2, MA2= Y(x-a)z+ V~.
36
Sustituyendo estas expresiones obtenidas on la Igualdad (-O, hallamosla ecuación que relaciona las coordenadas :1' o 11 del punto M:
("'+a)2+!lZ+(:¡;-a)II+!I~=4a2. (2)Esta es la ecuación do la linea dada.
En efecto, para cado. punto M sítuadc en esta línea, se cumplola condtcién (1) y, por consiguiente, IRS coordenadas del punto 111satisfacen a la ocuacíén (2); para cada I)Un~OM no situado en la linea,DO se cumple la condíclén (1) y, por lo ranto, sus coordenadas nosattsfacen a la ecuación (2).
H
Fig. 7.
As{ pues, el problema está resuelto. Se puode, sin embnrgo,aímplíücar la ecuación (2); abriendo flaréntcsis y reduciendo los térml-110S semejantes, obtenemos lit ecuación do la Iín ea dada en la. forma
a:'+y2=a~.Ahora se observa fácilmonto que la linea dada es una circunferenciacon el centro en el origon do coordenadas y con el radio igual a 4.
E j e m .p 1 o 2. Deducir en 01 sistema de coordenadas polaresla ecuación do la circunforoncia con el centro C (Po; Bo) y con el radio T(fig. 7).
S o 1 u ció n. Designomos con la letra M un punto arbttrarlodo la circunforoncia y con las letras r y O sus coordenadas polares.Como el punto M puede ocupar en Ia circunferencia una posiciónarbitraria, las cantidades p y O son var iahles , 001 mismo modo quoon 01 caso del slatoma cartesiano, éstas se Ilnman coordonadasvariables.
Todos los puntos de la circunferencia están a In distancia r dolcentro; escribamos esta condición stmbóllcamontc:
CM=T. (t)Expresemos CM mediante las coordenadns variables del punto M(apliquemos el teorema do los cosenos; ligo 7):
CM= Vp~+p~-2Popcos (0-00).Sustituyondo la oxprcsión obtenida on la igualdad (1), hallamos laecuación que relaci6na las coordonadas p, B del punto 111:
lIp3+pa-2Popcos (0-00)= r. (2)Esta es la ecuaclén do la circunferencia dada.
37
En cíectc, para cada punto M sltuado en la circunferencia dadu, socumplo la condición (1) Y. por conaiguíentc, las coordenadas delpunto M satlsfacon a la ecuación (2); para cada punto M, no situadoon la clrcunfcroncia dado. no so cumplo la condíclén (1) Y. por lotan to, sus coordonadas no aatístaccn s la ecuación (2).
Así pues, 111problema queda resuelto. Se puede tamhién slmpli-Ilcar un poco In ecuación obtenida y representar+a sin radical
pZ-2pop cos (6-00) = r\\-p8.
174. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos que equidistan de los ojes coordenados.
175. Deducir la ecuación del lugar geométrico do lospuntos que están a una distancia a del ejo Oy.
t76. Doduci r la ecuación del lugar geométrico de lospuntos quo están a una distancia b del oje Ox,
1.77. Desde el punto P (6; -8) se han trazado todoslos rayos posibles hasta su intersección con el eje de abscisas.Hallar la ocuación del lugar geométrico do sus puntosmedios.
178. Desde el punto e (10; -3) se han trazado todoslos rayos posibles hasta su intersección con 01 eje de orde-nadas. Hallar la ecuación dol lugar geom6tricO de suspuntos modios.
179. Hallar Ia ecuncíón de In trayectoria del puntoque en cada momento do su movimiento equidista de lospontos:
1) A (3; 2) y B (2; 3); 2) A (5; -1) y B (1; -5);3) A (5; -2) y B (-3; -2); 4) A (3; -1) Y B (3; 5).
t80. Ha'llar Ia ecuación del lugar geométrico do lospuntos cuya diferencia de los cuadrados de sus distanciasu los puntos A (-a; O) y B (a; O) sea igual a c.
181. Deducir la ecuación de la circunferencia concentro ou 01 origen de coordenadas y radio r.
182. Deducir In ecuación de la clrcun'Inranci a con cen-tro e (a; ~) y radio r.
1.83. Dada la ecuación de la circunferencia x! + y2 = 25,hallar la ecuación dol lugar goométl'ico de los puntos modiosdo las cuerdas do esta circunferencia cuyas longi tudossean iguales a 8.
i84. Hallar la ecuación del lugar geométrtco de lospuntos cuya suma de los cuadrados de sus distancias n lospuntos A (-3; O) y B (3; O) sea igual a 50.
al:!
185. Los vértices de un cuadrado son los puntos A (a; a),B (-a; a), e (-a; -a) y D (a; -a). Hallar la ecuacióndel lugar geométrico de los puntos cuya suma de los cuadra-dos do sus distancias a los lados de este cuadrado sea unacantidad constante, igual a 6a2•
186. Por el origen do coordenadas Se han trazado todaslas cuerdas posibles de la circunferencia (x -8)~ + y~ = 6ft.Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntosmedios de estas cuerdas.
187. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos en que la suma do sus distancias a dos puntos dadosFI (-3; O)y F 2 (3; O)sea una cantidad constante, igual a '10.
188. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos en que ],11 diferencía de sus distancias a dos puntosdados Fl (-5; O) y F2 (5; O) sea una cantidad constante.igual a 6.
189. Hallar la ecuación del lugar geométrico de lospuntos, cuyas distancias a un punto dado F (3; O) senoiguales a sus distancias a la recta x + 3 = o.
190. Hallar la ecuación del lugar geométrico de lospuntos en que la suma de sus distancias a dos puntos dadosFI (-e; O) y F2 (e; O) sea una cantidad constante. i~uala 2a. Este lugar geométrico so llama oltpso y los puntos FIy F2 se llaman focos do la elipse.
Demostrar que la ecuación do la oltpsc os;¡;~ y21i2+"i)2= 1.
donde b2 = a~ - ca.191. Deducir la ecuación del Lugar gcométrtco de los
puntos en que la diferencia de sus dtstancias a dos pun-tos dados Pi (-e; O) y F'l. (e; O) SM uno cantidad cons-tante. igual a 2a. Este lugar geométl'Ít.() se Iln ma htpér-bola y los puntos F1 y F2 se Ila man locos de la hipérbola.
Demostrar que la ecuación de la hipérbola es;¡;~ y2/i1i'- b2 =1,
donde b2 = c2 - a~.192. Deducir la ecuación del Iugnr geométrico do los
puntos para los cuales sus distancias a un punto dadoF (-tr-; O) sean igualas a sus distanclns a una recta dada
39
x = - f. Este lugar geométrico se llama 'parábola, elpuntoF se llama foco de la parábola y la recta dada, directriz.
193. Deducir la ecuación del lugar geométrico de Jospuntos para los cuales la razón de sus d istancras a un puntodado F (-4; O)respecto a sus distancias a una recta dada4$ + 25 = O sea igual a ;_.
¡¡
194. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos para los cuales la razón de sus distancias a un puntodado F (-5: O)respecto a sus distancias a una recta dada5x + 10 = O sea' igual a {.
195. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos para los cuales sus distancias mini mas a dos circun-ferencias dadas (x + 3)2 + y2 = 1, (x - 3ra + y'l. = 81sean iguales entre si.
196. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos para los cuales sus distancias mínimas a dos circun-ferencias dadas (x + 10)2 + yZ = 289, (x _ '10)2 -1- y~ == 1sean iguales entre sí"
197. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos para los cuales sus distancias mínimas a una cir-cunferencia dada (x - 5)2 + y2 = 9 y a una recta dadax + 2 = O sean iguales entre sí.
198. Una recta es perpendicular al eje polar e inter-cepta en él un segmento igual a 3. Hallar' la ecuación deesta recta en coordenadas polares.
199. Un rayo parte del polo con una inclinación aleje polar de un ángulo -F. Hallar la ecuación de este rayoen coordenadas polares.
200. Una recta pasa por el polo con una inclinaciónal eje polar de un ángulo de 450
• Hallar la ecuación ele estarecta en coordenadas polares.
201. Hallar. en coordenadas polares, el lugar geomé-trico do los puntos, cuyas distancias al eje polar soniguales a '5.
202. Una circunferencia de radio R = 5 pasa por elpolo y su centro está en el ejo polar. Hallar la ecuaciónde esta circunferencia en COOrdenadas polares.
203. Una circunferencia de radio R = 3 es tangente aleje ,polar en el polo. Hallar la ecuación de esta circun-ferencia en coordenadas polares.
40
§ 11. Ecuaciones paramétricas de una líneaDesignemos por las letras x e y las coordenadas do un punto M;
consíderomoa dos funciones del argumento t:
%= q> (1), } (1)y=1j>(t).
Al voriar 1, generalmente, también varían las cantidades XI)IIy, por consiguionte, so desplaza el punto M. Las igualdades (1) sollaman ecuaciones paramétrtcas de la Iínoa, que es lo. trayoctoria dolpunto M; 01 argumento t recibe el nombre de parámetro. Si (lo lasigualdades (i) se puede eliminar el parámetro 1, obtendremos la ecua-ción de la trayectoria del punto M en la forma
F(x, y)=O.
204. Los extremos de una varilla AB resbalan sobrelos ejes de coordenadas. El punto M divide la varilla en
Fig.8.
dos partes A M = a y BJI.f = b. Deducir las ecuacionesparamétrtcas del punto M, tomando por parámetro elángulo t = ,2í: OBA (Hg. 8). Eliminar después el pará-metro t·y hallar la ecuación de la trayectoria del punto Men la forma F (x, y) = o. .
205. La trayectoria del punto M es una elipse, cuya2 2
ecuación es :2 +h = 1 (véase el problema 190). Deducirlas ecuaciones para métricas de la trayectoria del punto M,tomando por parámetro t el ángulo que forma el segmen-to OM con el eje Ox.
206. La trayectoria del puoto M es una hipérbola,cuya ecuación es ~ - ~ = 1 (véase el problema 191).Ded ucir las ecuaciones paramétrtcas de la trayectoria del
punto M, tomando por parámetro t el ángulo que formael segmento OM con 01 oje O:;;.
207. La trayectoria del punto M es una parábola,cuya ecuación es y2 = 2px (véase el problema 192). Ded u-cir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del pun-to M, tomando por parámetro t:
1) la ordenada del punto 111;2) el ángulo que forma el segmento 01')([ con el eje Ox;3) el ángulo que forma el segmento F1J.{ con el eje Oz;
siendo el punto F 01 foco de la parábola.208. Dadas las ecuaciones polares do las siguientes
líneas:
1\ 0= 2R cos O: 2) p = 2R sen 9; 3) p = 2p ~~2~' hallar
las ecuaciones para métricas de estas líneas en coordena-das cartesianas rectangulares, haciendo coincidir el semi-eje positivo de abscisas con el eje polar y tomando porparámetro el ángulo polar.
209. Dadas las ecuacíonos para métricas do las línoas
1) x=t2-2t+1,} 2) x=acost.} 3) x=asect,y=t-1; y=asent; y=btgt;
(1. ( 1)} 5) x=2ROOS2t,}4.) x=:r t+T 'Y =R sen 2t;
y=~(t-+);6) x=Rsen2t. }
y =2R son" t;7) x = 2p ctg2~, }
y=2pctgt,ol irninando 01 parámetro t. hallar las ecuaciones de estaslíneas -de la íormn
F (.r.. y) = O.
111Capítulo
LINEAS DE l'Hll'tlliR OHDEN
~ 12. Fom13 general de la ecuación de Ia recta.Ecuación de la recta en funci6n del
coeficiente angular.Angulo de dos rectas. Condición de paralelismo y de
perpendicularidad de dos rectas
En coordenndas cartesianas, cada recta so deturmiua por unaecuación de prhncr grado ~', recíprucamcntc, cada ecuación de primergrado determina una 1'00[,8.,
. La ecuaciéu de la formaA.r+llY-I-C=O (1)
50 Llama ecuación general do la recta.El angula (;(, definido como muestra In fig. 9, so llama úngu!r> de
inclinación de la recta respecto al eje O», La tangento del ángulo doy
Fig. 9.
inclinación de la recta respecto al 1*' 03: so llanta cooñcíontc angulardo la recta y so designa ordínnríamonte con In letra k:
k= tg <x.La ecuación y = ka; + b se llama ecuución do la recta en Iun-
cíón del coeficiente angular: k es el cooñcionto angular y 1, es la mag-nitud del segmento que íntcrcupta la recta M 01 oío Oy desdo 01 origoudo coordenadas.
Sí la ecuación do la recta so da en su forma gencrnlAz+.8y+C=O,
su coeficiente angular so determina por lu IórmuluA
k=-B'
43
La ecuación y - /lo = k (x - xo) es la ecuación de la recta quepasa pOI' el punto Mo (xo; /10) y tieno el coeficiente angular k.
Si In recta pasa por los puntos M, (x,; //,) y }l,f2 (X2; /12) su coeft-oíon LO angular se dctermlna por la fórmula
jo //2-//1..=-;;=-;;¡ .La ccuucíén
X-XI = Y-YIX:!-x( //2-/11
es In ecuación do la recta que Ilasa por dos puntosMt(xl; /11)y M"2(XZ; II'/).
Si so conocen los coeñcíentes angulares de dos rectas k, y "2,uno do 108 ángulos rp formado por cst.as rectas so dotermma por laIónnula
k2-k,tgq>=i+k11'2 .
El crttorío do paralelismo do dos rectas es la igualdad do suscoeñcten tes angulares
k,~k2'El criterio de perpendicularidad de (los rectas es la relación
1k,k2= -1 o ka= -T¡'
Es decir, los coeficientes angulares de dos rectas perpendicularesson recíprocos en valor absoluto y contrarios do signo.
210. Deterrninarcuáles de los puntos M1 (3; 1), M2 (2; 3),Ma(6;3), M~ (-3; -3), Ms (3; -'1), M6 (-2; 1) estánsituados en la recta
2x - 3y - 3 = Oy cuáles no lo están.
2(1. Los puntos PI, Pz, Ps, P, Y P5 están situados enla recta
3x - 2y - 6 = O;sus ahscísas son igual es respocti Vilmente a los nú meros:4, O, 2, -2 y -ti. Determinar las ordenadas de estos puntos.
212. Los puntos Q" Q2, Qa. Q4 y Q5 están situados eu Iarecta
x - 3y + 2 = O;sus ordenadas son iguales respectivamente a los números:1, 0, 2, -1, 3. Detormínar las abscisas de estos puntos.
213. Determinar los puntos do intersección de la recta2x-3y-12=0
con los ejes coordenados y construir esta recta en el plano.
214. Hallar el punto de tntersección de dos rectas
3z - 4y - 29 = O, 2x + 5y + 19 = O.
215. Los lados AS, Be y A e del triángulo A Be sondados medianto sus ecuaciones correspondientes .*)
4x + 3y - 5 = O, x - 3y + 10 = O, x - 2 = O.
Determinar las coordenadas de sus vértices.216. Dadas las ecuaciones do dos lados de nn paralelo-
gramo8x + 3y + 1 = O, 2x + y - 1 = O
y la ecuación de una de sus díngonnles
3x + 2y +3 = O,
determinar las coordenadas de los vértices de este paralelo-gramo.
217. Los lados de un triángulo están en las rectas
x+ 5y - 7 = O, 3x - 2y - 4 = O, 7x + y + 19 = O.
Calcular su área S.218. El área de un triángulo es S = 8 unidades cuadra-
das; dos de sus vórtices son los puntos A (1; -2), B (2; 3)y el tercer vértice e está en la recta
2x + y - 2 = O.Determinar las coordenadas del vértíce C.
219. El área de un triángulo es S = 1,5 unidadescuadradas; dos do sus vértices son los puntos A (2; -3)y B (3; -2) y el centro de gravedad do este tl'iángulo ostáen la recta
3x - y - 8 = O.
Determinar las coordenadas del tercer vértice e.220. Hallar la ecuación de la recta )' trazar ésta 011
el plano, conociendo su coeficiente angular k y el segmen-
.) Aquí y en lo sucesivo, In frase dos ecuaciones do los lados.tlene el sentido do las ecuaciones da los ¡·COI.AS en las que estén loslados.
45
to b que ella intercepta en el eje Oy;
1) k=i-, &=3; 2) k=3, b=O; 3) k=O, b=-2;
4) k= -t, &=3; 5) k= -2, &= -5;1 2
6) k=-1f' u=1f'
221. Determinar 01 coeficiente angular k y el segmento bque intercepta en el eje Oy cada una de las rectas:
1) 5$ - y + 3 ~ O; 2) 2x + 3y - ü = O;3) 5x + 3y -;- 2 = O; 4) 3x + 2y = O; 5) y - 3 = O.222. Se da la recta
5x + 3y - 3 = O.Determínar 01 coeficiente angular k de In recta:
'J) paralela n la recta dada;2) perpendicular n la recta dada.223. So da In recta
2x + 3y +4 = O.Hallar la ecuación do la recta que pasn por el punto
Mo (2; 1) :1) paralela a la rectn dada:2) perpendicular u la recta dada.224. Dadas las ocuncíones de dos lados de un rectángulo
2.'l! - 3y + 5 = O; 3x + 2y - 7 = Oy uno do sus vértices A (2; -3), hallar las ecuaciones de losotros dos lados de este rectángulo.
225. Dadas las ecuacioues de dos Indos de un rectángulo
x - 2y = 0, x - 2y + 15 = °y la ocuacíún de una de sus diagonales
7x + y -15 = 0,hallar los vértices del rectángulo.
22(i. Hallar la proyección dol punto P (-6; 4) sobrela recta
4x - 5y +3 = o.227. Hallar 110 punto Q simétrico nI punto P (-5; 13)
relatí vo a la recta2x - 3y - 3 = O.
228. Hallar en cada uno de los casos siguientes la ecua-ción de la recta paralela a las dos rectas dadas y que pasapor el medio de ellas:
'1) 3x - 2y - 1 = O, 2) 5x + y + 3 = O,3.1' - 2y - 13 = O; 5x + y - 17 = O;
3) 23: + 3y - 6 = O, 4) !ir. + 7y + 15 = 0,4.x + 6y + 17 = O; 5x + 7[/ + 3 = O;
5) 3x - "l5y - 1 = O,x - 5y - 2 = Q.
229. Calcular el coeficiente angular le de la recta quepasa por dos puntos dados:
n) M1 (2; -5), JltIz (3; 2); b) P (-3; 1), Q (i; 8);e) A (5; -3), B (-1; 6).
230. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por16Svértices del trilÍngulo A (5; -4), B (-1; 3), e (-3; -2)y son paralelas a los lados opuestos.
231. Dados los puntos medios de los lados de un trilÍll-gulo:
MI (2; 1), 1112(5; 3) y M3 (3; -4),hallar las ecuacíones de 5\IS lados.
232. Dados dos puntos: P (2; 3) y Q (-1; O). hallarIn ecuación de la rectn que pasa por el punto Q. perpendi-cular al segmento PQ.
233. Hallar la ecuación do la recta, si el punto P (2; 3)es la base de la perpendicular bajarla del origen ele coor-denadas a esta recta.
234. Dados los vértices ele UIl triángulo MI (2; 1),M2 (-1; -1) Y M3 (3; 2), hallar las ecuaciones de susalturas.
235. Los Indos de un triíingulo se dan por sus ecua-ciones
~x - y - 7 = O, x + 3y - 31 = O, x + 5y - 7 = o.Hallar el punto de intersección de sus alturas.
236. Dados los vórtices de un trtáugulo A (1; -1),B (-2: 1) y e (3; 5), hallar la ecuación do la porpendi-cular bajada desde el vértice A a la mediana, trazadadesde el vértice B.
237. Dados los vért.lces de un triángulo A (2; -2),B (3; -5) y e (5; 7), hallar la ecuación de la perpendicular
47
bajada desde el vértice C a In bisectriz del ángulo internodel vórtice A.
238. Hallar las ecuaciones de los lados y do las medianasdel triángulo que tiene los vértices A (3; 2), B (5; -2),C (1; O).
239. Por los puntos M, (-1; 2) y M 2 (2; 3) se hatrazado una recta. Determinar los puntos do intersección deesta recta con los ejes coordenados.
240. Demostrar quo la condición, según la cual traspuntos MI (XI. YI). M2 (X2; Y'J.) y M3 (X3; Ya) están situadoson una recta, puede escribirse on la forma siguiente:
XI YI 1.Xz yz 1 =0.$3 V3 1.
241. Demostrar que la ecuación do la recta que pasapor dos puntos dados Mi (Xl; VI) Y M'l. ($2; Vz), puedeescribirse on la forma siguiente:
x y 1XI YI 1 =0..2:2 Y2 1
242. Dados los vórtices consecutivos de un cuadriláteroconvexo A (-3i 1), B (3; 9), C (7; 6) y D (-2; -6),detorminar el punto de intersección de sus diagonales.
243. Dados dos vértices adyacentes A (-3; -1)y B (2; 2) de un paralelogramo ABCD y el punto Q (3; O)de intersección de sus diagonales, hollar los ecuaciones desus lados.
244. So dan las ecuaciones de dos lados de un rectán-gulo 5x + 2y - 7 = O, 5x + 2y - 36 = O y la ecuaciónde una do sus diagonales
3x + 7y - 10 = O.Hallar las ecuaciones de los otros lados y de la otra diagonal.
245. Dados los vértices de un triángulo A (1; -2),B (5; ti) Y C (-2; O), hallar las ecuaciones de las hísec-trices de los ángulos interno y oxterno del vórtice A.
2lj6. Hollar la ecuación de lo recta que pasa por elpunto P (3; 5) a igual distancia de los puntos A (-7; 3)y B (11; -15).
247. Hollar la proyección del punto P (-8; 12) sobrela recta que pasa por los puntos A (2; -3) y B (-5; 1.).
48
248. Hallar un punto MI, simétrico al punto M2 (8; -9),relativo a la recta que paso. por los puntos A (3; -q)y B (-1; -2).
249. Hallar, en el oje de abscisas, un punto Pite manernque la suma de sus distnncías a los puntos M (1; 2) y N (3; 4)sea miníma.
250. Hallar, en el eje de ordenadas, un punto P demanera que la diferencia de sus distancias a los puntosM (-3; 2) y N (2; 5) sea máxi ma.
251. Hallar en la recta 2.x - y - 5 = O un punto P demanera que la suma de sus distancias a los puntos A (-7; 1),B (-5; 5) sea mínima.
252. Hallar en la recta 3x - y - 1 = O un punto Pde manera que la diferencia de sus distancias a los puntosA (4; 1) y B (O; 4) sea máxima.
253. Determinar el ángulo q> formado por las rectas
1) 5x - y + 7 = O, 3x + 2y = O;2) 3x - 2y + 7 = O, 2x + Sy - 3 = O;3) x - 2y - 4 = O. 2x - 4y + 3 = O;4) 3x + 2y - 1 = O, 5x - 2y + 3 = O.
254. Dada la recta2x + 3y +4 = O,
hallar la ecuación do la recta que pasa por el punto Mo (2; 1)y forma un ángulo de 450 con la recto. dada.
255. El punto A (-4; 5) es un vértice dol cuadradocuya diagonal está en la recta
7x - y +8 = O.Hallar las ecuaciones de los lados y de In segunda diagonaldo este cuadrado.
256. Dados dos vértices opuestos de un cuadradoA (-1; 3) y e (6; 2), hallar las ecuaciones de sus lados.
257. El punto E (1; -1) es 01 centro de un cuadrado,uno de cuyos lados est.á (m la recta
x - 2y + 12 = O.
Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están losotros lados de oste cuadrado.
258. Desde el punto iV.l o (-2; 3) so ha dirigido haciael oje O» un rayo de luz con una inclinación de un ángulo Ct.So sabe que tg ex= 3. El rayo se ha refloiado del eje O«.
49
Hallar las ecuaciouos do las rectas en la quo ostán los rayosincidente i/ reítejado.
259. Un rayo de luz va dirigido por la recta x - 2y ++ 5 = O. Al llegar a la recta 3x - 2y + 7 = O se ha refleja-do da ella. Hallar la ecuación de la recta 011 la que estáel rayo reflejad o.
260. Dadas las ecuaciones do los Indos de UIl. triúngulo
3x + 4y - 1 -= 0, z - 7y - 17 = 0, 7x + y + 3'1 = 0,
demostrar que esto triángulo es isósceles. Resolver esteproblema comparando los ángulos de este triángulo.
261. Demostrar que la ecuación de In recta quo paso. porel punto ]111(;¡;I; YI) Y es parulcla a la recta
Ax +By + e = 0,puede escribirse en la Iorma siguiente:
A (x - XI) + B (y - Yt) = O.262. Hallar la ecuación de la recto. quo pasa pOI' 01punto
MI (2; -;'3) y es paralela 11 la recta:1) 3x - 7y + 3 = O; 2) J; + 9y - '1 t =. O;
3} 10;1: - 24y - 7 = O; 4) 2x + 3 = O; 5) ;)y - 1 = O.
Resotver el. problema sin calcular los coeficientes angularesdo las rectas dadas.;:; el l. U. Aplicur (jI resultado (101 problemu anterior.
263. Demostrar que la condíclón do perpeudicularidadde las rectas
At·t: +BIY +(;. = 0, A2·t: +B2y +C2 ~~ ()
puede escribirse en la forma síguícn Le:
A1A2 + BlB2 -= (J.
2(11. Detorrni llar qué PUI'OS do eectus son perpe ud icu 111ros:
1) 3x - y +:3 = 0, 2) 3x - 4y + 1 = O,x + :3y - 1 = O; 4.:r. - 3y + 7 = ú;
3) ÜX - 15y + 7 = 0, 4) ~h;- 12y + 5 = 0,10x + 4y - ;) = 0, 8x + (iy - 13 = O;
5) T» - 2y + 1 = 0, 6) 5x - 7y + ~= 0,4x + By + 17 = O; 3x + 2y - 5 = O.
50
Rcsclvce (,1 prohlem» sin Cl\lculM los cooñcicntes angularesde las rectas dadas,
N u t n, A 1,l.ear la condloión de 11t"'J)l'II,lIclllarida,] de las 1'I.'ctl1'ltledlJeld" en el prcblema 26iJ.
26.'~. Demostrar que In fÓl'ltIul¡¡ pon'! dctorminar elángulo 'P Jormorlo por las rectas
A.r + S.!! +C, ::..0, A 2_X +B:y +C~ = Opuede escribirse ('11 la siguiente íorma:
l _ ..1,B;-Azn\g q> - AIA:d B.lJ: •
266. Determinar 01 Itngulo Ij) formado por las dos rectes:
'1) :~-y+5=O. 2) xV2-V}f3-5=O.l:t+y-7=0¡ (3+ V2}x+ (V6- V3) y+ 7=0;
3) xV3+yV2-2=O.xJ{ij-3y+3=O.
Resolver 1:1 problema sin calcular Jos coeficientes angularesele 1I1s rectas dadas.
N .. t 11. Apltcar I~ lóm1Ul:l. obtt'lIidl1 en el problema 265 pnrndetorminar 1)1ángulo Iormndo por dos rectas.
267. Dados dos vértices de un triángulo M, (-10; 2)y 1\11.(6; 4), cuyas alturas so cortan 011 el punto N (5, 2),determinar las coordenadas del tercer vértice 11-1s-
268, Dados dos vértices A (3; -1) ')' B (5; 7) del triün-gulo ABC y ~I puuto N (4; -1) de iuterseccíén de susalturas, bullar las ecuaciones de los lados ele ~sLO tri:ingl110.
269. En 01 triángulo ABe se dan: la ecuación del lu-do AB. que es 53' - 3y + 2 = O. y lns ecuncíonos de JII~ultura» A:'V y EN, que son respectlvamente 1).1: - 3y + l = Oy 7$ _L 2y - 22 = O. Hallar las ecuaciones de los otrosdos Indos y de In tercera altura.
270. Hallllr las ecuaciones ¡fe lus Indos del lrionguloA BC, si se don uno de 1l1lS vértices A (t; 3) y las C('lII1CiOllOSdo dos medianas
X - 2y + 1 = O e y - 1 = O.27t. Hallar las ecuaciones de los Indos de UJI tr'iángulo.
si se dan un" de sus ....6rLices B (_/1; -5) y las ecuaciones
do dos alturas5x + 3y - 4 = O y 3.1' + 8y 1- 13 = O.
272. Hallar las ocuacíunes do los Indos de un tl'it\ugulo,conociendo uno de los vértices A (4; -1) y las ecuacionesde dos bisectrices
x - f = ° y x - y - 1 = O.273. Hallar Ias ecuaciones de los lados de un triángulo,
conociendo uno de sus vértices B (2; 6) y las ccuacíoncs do laaltura ,'1; - 7y + 15 = O y de la bisectriz 7x + y + 5 = 0,trazadas desde uno de sus vértices.
274. Hallar las ecuaciones de los lados de 111\ triángulo,conociendo uno de sus vértices B (2; -1) Ylas ecuacionesde la altura
3x - 4.y + 27 = Oy de la bisectriz
x + 2/1 - 5 = 0,trazadas desde diferentes vértices.
275. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo,conociendo uno de sus vórtices e (4; -i) y las ecuacionesde la altura
y de la mediana2x - 3y + 12 = O
2x + By = O,trazadas desde un vértice.
276. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo,conociendo uno de sus vértices B (2; -7) y las ecuacionesdo la alura
3x+y+11=0
x + 2y + 7 = O,trazadas desde diferentes vértices.
277. Hallar las ecuaciones do los lados do UD triángulo,conociendo uno de sus vértlcos e (4; 3) y las ecuacionesde lo bisectriz
y do la mediana
a: + 2y - 5 = Oy de la mediana
(LX + 13y - 10 = O,trazadas desde un vértice
278, Hallar las ecuaciones de los Indos de UII L1'iáJI gu lo,conociendo UI\O do sus vértices A (3; -1) y las ecuaciouasde la bisectriz
z - 4y + 10 = Oy de la mediana
6x + 10y - 59 = O,trezudas desdo d ¡forentes vértices.
279. Hallar la ecuación de la recta que pasa por elorigen de coordenadas y forma con las rectas
x - y + 12 = 0, 2x + y + 9 = °un triángulo, cuyo área es igual a 1,5 unidades cuadradas.
280. Entre las rectas que pasan por el punto P (3; O)hallar una cuyo segmento, eomprendldo entro las rectas
2x - y - 2 = O, a: + y + 3 = O,
sea dividido por la mitad en el punto P.281. Por el punto P (-3; -1) se han trazado todas
las rectas posibles. Demostrar que el segmento de coda111)[1 do ellas, comprendido entro las rectas
a: - 2y - 3 = 0, x - 2y -1- 5 = 0,se di vide por la mitad on el punto P.
282. Por 01 punto P (O; 1) se han trazado todas lasrectas posibles. Demostrar que entre ellas no hay una rectacuyo segmento, comprendido entre las rectas
x - 2y - 3 = O, x - 2y + 17 = O,sea dividido por la mitad en el punto P.
283. Hollar la ecuación do la recta que pasa por elorigen de coordenadas, sabiendo que la longitud de su seg-mento, comprendido entro las rectas
2x - y + 5 = O, 2x - y + 10 = 0,
es igual a V 10.284. Rallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
e (-5; 4), sabiendo que la longitud do su segmento, com-prendido entre las rectas
a: + 2y + 1 = 0, x + 2y - 1 = 0,es igual a 5.
§ (3. Ecuaciones íncompletas de 111 recta.Dtscusién do las ecuaciones aírnul táneas de. dos y do
tres rectas, Ecuación (,segmontarla» do la rectaSí on 10 ecuación dll In recta, dado on su formo {tenorol
1'''':+Dy'¡''C=O (1)
so anula lino o (los do los tres coctiotontes (iucluyondu I~ILérmlnoindt'pc.lldiCI\ te). la ecuación so llama incom plot a . 1'110<1 en d 1I1'SIl Iosoasos síguien tos:
1) e = o: la ocullcil;n es do la forma ,4% + DI! = O V dotcrmín aun a recta que pasa pOI' 1.'1origen de coordennd aa. '
2) J) "'" O (A =1= O); la ecuación ('5 do la fOl1JlR A.r- + c: = Oy tlctel'lnillll una recta perpeudicuinr 01 oje 03:, Estn.ocullci6n ~ll puede
ecprosontar do la Iorrua :r =. u, en In que a = - ~ es lit magn itud
del segmQllto quo int erccptn 13 recta en el t'lo Ox, paruendo del orlgondo coordenadas.
3) 13 = O, e = O (A + O); 111 ecuación puede representarse enlo forma :r = O y dotermínu 01 ejo de ordenadas,
-:1) A "" O (13 =F O); In ecuucién I:lS de 111 r01'll'11I l/y _¡.. <.: = OY determínn una recta perpendicular al cíe Oy. E~la ('.(,.u8ci611ac J,uurll'
roproscntar en In Iorma u=b. en la qvc b = - i os la magní tud dl!l
segmento que [a re(,to Intercepta en l'[ ojo 011, pal·tieudo del urigunek cU(H'dtllllldllS.
5} A = O. e = o (D o:¡b. O); 111 (!c.tlIlc.ilíll SI) (lUcdl\ reprosoutnr en1(1 Iorma !I "" Ú y dotormína dejo de' ahscisas.
Si ninguno de los coeñotontos de la ocuacnin (1) es ignal a 1:1.'1' .. , és-L¡\ pUI!(I(!. reductrsc .1 Lu Iorm a
z ,Y (a'bf!Sl I(2)
lec l 1en H 1(11(111 = -j¡ y 1, = - Jj sal) a~ mllgnitlldllR do us segmentes
I1UO inLl.'rc.o"LIl la roctu en los ojes coordonudos.La I!C11I>c.iím (2) SI' tl am« ccuncién .~~lI.'lHnrin. de 1.1 recr».Si Se dun dos rectas medíanto 11u; ecuaciones
Ai.r+DJ!I+CJ=O y Atx+1f2Y·¡-('2,.,.-(I.
~(' /ll}I,dl'lI preson tal' los tres cusos :ligu íent es:A, n, 1 •a) A;'" =r- 1l2,' as rectes t.((·IlNI 1111 punto comán:
A, ¡JI C\IJ) "'A'2 = B?, "!~G' IIIS reclas ~('n parn lclns;
e) ~ - lJ, - el Jns rectas cuínciden, os «ce-ir, las dos ecua."'2 - /12 - C2 'cíones tlcLorulinao una mismo recta,
285. Determinar IH1I'a qUIÍ valor de a lu recta
(a ~ 2) z + (a~ - 9) y + :Ja~- 8a + 5 = O
'1) es paralela 01 eje do ubscisas:2) P.S paralela 01 eje de ordenados:3) IIIISo. por el orlgcn de coordcnndes.
E"rl'ibir en cada caso 111 ecuación de In rcctu.286. Determiunr para {lll1~ valores de lit y 11 J:l recta
(I/~+ 211 - 3) x + (21/~ - n ~ 1) y + Sm + 9 = O
es paralela al eje <le 11bscisas e in tcrcepta en 01 ojo de ord Irnadas UIl segmento igual ti -3 (partiendo del origen decoordenados). Escribir la ecuación de esta recta.
287. Determinar para (LIIÓ valorea do In y n: la recta
(2m - n ~ !í) x + (m + 3n - 2) y + 2/11 1- 7n + 19 = O
el! pnralel» aloje de ordenadas e intercepta 011 01 eje del1bsrisa.s un segmento igual a +5 (partiendo rlel origende coordeundns). Escribir la ecuación de esta recta.
288. Demostrar que, 011 los casos siglliellles, se cortanlas dos rectas dadas y hallar el punto de Sil iuterseccién :
1) x + 5y - 35 = O. ~x + 2y - 27 = O;2) 14.4 - 9y - 2ft = O, ;3; - 2y - 17 = O;3) i 2:t ~, '15y - g = O, 1Gz + 9y - 7 ~ O;4) 8.t - aay - 19 = O, 12x + fíSy - 10 = O;5) 3x + 5 - O, y - 2 = O.
28!l. Demostrar quv. ('11 los casos sigllientos. son para-lelas 1M dos rectas dadas:
1) 3x + liy - 1, - O,2) 2.r - 411 + 3 = O,3) 2;c - '1 ...,. n,4) y -+-:~ = O,
6.1: + 10!1 + í -O;.r. - 2y .... O;x -1- 3 = O;Sy - 7 = O.
290. Demostrar que. en 10$ casos sígulcntcs, coincidenI:'IS dos rectas dadas:
1) 3.r+5y-4;:...O, 6x+10y-8=O;2) X-JI ~/'2=O, xVZ-2!1=O;3) ,t}'H-l=O, i3.t-!·'J .....O.
!i5
291. Determinar para qué valores de a y b las dos rectas(IX - 2y - 1 = O, 6x - 4y - b = O
1) tienen un punto común; 2) son paralelas; 3) coinciden.292. Determinar para qué valores de m y n las dos rectas
mx + 8y + n = O, 2x + my - 1 = O1) son paralelas; 2) coinciden; 3) son perpendiculares.293. Determinar para qué valor de m las dos rectas
(m - 1) x + my - 5 = O, mz + (2m - 1) y + 7 = Ose cortan on un punto situado en el eje de abscisas.
294. Determinar para qué valor de m las dos rectasma: + (2m + 3) y + m -1- 6 = O,
(2m + 1) .'1: + (m - 1) y + m - 2 = Ose cortan en un punto situado en el eje de ordenados.
295. Verificar si se cortan o no en un punto las tresrectas en los casos siguientes:1) 2x + 311 - 1= O, 4x - 5y + 5 = O. 3x - y + 2 = O;2) 3x - 11+ 3 = O, 5x + 3y - 7 = O, x - 2y - 4 = O;3) 2x - y + 1 = O, .'1: + 2y - 17 = O, X + 2y - 3 = O.
296. Demostrar que sí las tres rectasA1x + Bly + Cl = O, A2x + B2y + C2 = o.
Asx+B3Y+ Ca = O,se cortan en un punto, entonces
Al BI C11Az s, C2 =0.Aa B3 Ca I
2H7. Demostrar que síAl El elA2 Bz C2 =0,Aa É3 Ca
las tres rectasAlx -1- EIl! + CI = O. Azx -1- Bz1l + C2 = O.
A3x + BoY + C3 = O,se cortan en un punto o sou paralelas.
298. Determinar para qué valor de a las tres rectas2:t - y + 3 = O, x + y + 3 = O, ax + y - 13 = Oso cortan en '111 punto,
299. Se dan las rectos:1) 2x + 3y - 6 = O; 2) 4x - 3y + 24 = O,3) 2x + 3y - 9 = O; 4) 3x - Sy - 2 = O;
5) 5x + 2y - i = O,
Hallar sus ecuaciones esegmentarias» y trazar estas rectasen el plano.
300. Calcular el ároa del triángulo que forma la recta3x - 4y - 12 = O
con los ejes coordenados.301. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
J111 (3; -7) e intercepta en los ejes coordenados segmentosiguales y diferentes de cero (cada segmento se consideradil'igido a partir del origen de coordonadas).
a02. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntojJ (2; 3) e intercepta en los ejes coordenados segmentosde igual longitud, considerando cada segmento desde elorígon de coordenadas.
303. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntoe (1; 1) e intercepta en el ángulo coordenado un triángulode área igual a 2 unidades cuadradas. '
304. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntoB (5; -5) e intercepta en el ángulo coordenado un triángulode área igual a 50 unidades cuadradas.
305. Hallar la ecuación do la recta que pasa por el puntoP (8; 6) e intercepta on 01 ángulo coorden ado un triángulode área igual a 12 unidades cuadradas.
306. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntoP (12; 6) o intercepta en el ángulo coordenado un triángulode área igual a 150 unidades cuadradas.
307. Por 01 punto M (4; 3) so ha trazado una recta queintercepta en el ángulo coordenado un triángulo de áreaigual a 3 unidades cuadradas. Deter-minar los puntos de inter-sección de esta recta con los ejes coordenados.
308. Por el pun to MI (x,; y,), siendo x,y, > O, se hatrazado una recta
57
que intercepta en el ángulo coordenado U11 trtángulo do áreaiguul a S. Determinar la relacíén entre las ca 11tidades XI' y,Y S para que los segmentos a. y b tengan 01 mismo sigilo.
§ 1~. Eeuaeíén normal de la recta. Problema delcálculo de In dístancia de un punto a una recta
Dndn unn recta en 01 plano xOy, tracemos por 1>1Ol'igoll UO C(/\)I'-,IOIII,!Ins una l1~rpolldlculnr a In recta dadn y Ilamérnosla normal.Señulomos 1"'1' P ,,1 punto do intersección rle la normul C.()JJ la rcr·~;1<lndll y establuzcnmus la dirección positiva de la normal dol punto Oal I'UlltC) 1'.
Fig.10.
_ Si C( es 01 ángulo polur do Iu normal y /)10 IOllgitud del s('llnll1l1tCJ01' trigo 10), la ccuacíón do la recta dada so PUOOl\ cscri hir on la formn
X,CO!! a+ y·l!f¡n Gt- p=\);
In ccuacion do esta Iorma so llamn normal.Dndos una ructu cunlquteru y un punto nrhitrnrto M": lll'!!i!¡'ICIIIIIS
pClf ti lu dist.anc¡a del punto M* n la recta dalla. So llama ~d"s\'Hlclém.Ii del 1""lt" M* de la recta (o distancía dirigida) ni número + d. si el1)""1,1' ciado y el origen de coordonedas están sítuados a diversos I~do~tlu 111 recta dnrla, y -el. si el punto dudo y el origen lit' r.1)()rdcn1l11a~'$(,r'íll situados a un mismo lndo do lit recta dada. (!!sl'a II)~ {lUIII!,S quel'SLáll en la misma recta. 11"... 0.\ Si 8" dan lo., coordonudas ,¡;*, 11* Ill'lj'UII to M* y In ocuacíón normal (ll' la recta x CIIS n: + !I sen f1. - JI =0,n desviuciún 11del pun (o .ti" do esta recta se puede calcular I",r 111
fórlnt.da/) .... x" cos a.+ 1/* sen (X.- {l.
DQ estn manera. paru hatlar lu desviación de cnakruíor punt« M't1u la recta <1lid 11 es necesario susti tuir en el primor ruíenibr« do laecuacrón normal do eS~8 rcctu lAS coordenadas vnrlnblcs por las coor-dé),H\(III~ dol plinto M*. 131 número ohtentdo ('/j igllnl n la rlesvínció«buscnrlu.
P"m hallnr 13 dístnncta d dl,l puuto a la recta ()~ suñcícnto cal-Clllul' 1.. '¡cS\lllc'i(1II y tomnr SI.1In,;IIIII,,:
d_I~I·
Si 111' da la ecuación general rlc la rctta A.l'+lJlI 1- C= 0, !,lIrareducirla 11 In forma 1I(>rm~1 es neccsn-io multiplicar todos los t6r-miJII\~ do "st'l ecuación por 01 Iuctor nunnalixadur ~I, que SI) dllfhll¡)lo!' lit fórmula
1u-± .. VAa+,JZ
ni MigJ1() (Id factor nOI'llIftlizl).lor' tiene quo sor CÓIlIl'lll'io nl sigUI) 11,,1161'IIIi111>independiente do la l)I'uución 11110so normullm ,
309. Determinar cuáles de las ecuaciones siguientesde lns rectas SOJl nor lOa les:
3 -1 z 31.) ~ x - ... 1/- 3= O; 2) c.1; - -¡:; ,1/- 1=O;
tl·, ., '",;¡ t2 á 12 •3) I3X-TIiIl+2=O; 4.) -mx-r-TIiy-2 ..!.'I);
5) -x-I-2.=O; 6) :c-2=0; 7) ~:+2=O; 8) -y-2=O,
310, Reducí.r, en los casos siguientes. la ecuacióngenernl oc la recta a la Iurrnu normal
1) 4,¡:-31/-10=0; 2) ~x-i-y+1O-0;
::1) 12:¡;-;,y+13=O; 4) .~~+2=O; 5) 2:I'-y-l/5~~(I.;,111. Dadas las ecuaciones de las i-ectns
1) x-2=0; 2) x+2=0; :3) y-3=O;4) y+3=0; 5) xV"g'l-y-6=O; 6) ,2'-y+2=0;
7) x+y"V3+2=O;8) xcos~-ysell~-CJ=O. q>O; ~ es UJl {il1gulo agudo:{l) ,2:cos~+ysen~+q=O, q>O; ~ es UH ángulo agudo:determinar el áug'ulo polar a de la normal y el segmentoJI pal;a cada una de las rectas dadas. Construtr estas rectnsen el plano "oliéndose de los valores obtenidos do losparámetros a y p (en Jos dos últlrnos casos, verificar Jnconstrucción do la recta lomando I~= 30" y q = 2).
312. Calcular la magnitud de la desviación 6 y ladistancia d del punto n la recta en cado uno de los casossiguientes:
i) A (2; -1),2) B (O; -3),il) P (-2; 3),oi) Q (1; -2).
qX 1, 3y -1- tO = O;5x - 12!f - 23 = O;3x - 4y - 2 = O;;¡: - 2.l1 - 5 := O.
5V
313. Determi llar si el punto lyI (1; -3) y el origen decoordenadas están a un mismo lado o a diferentes ladosde cada uno de Ias siguientes rectas:
1) 2x - y + 5 = O; 2) x - 3y - 5 = O;3) 3x + 2y - 1 = O; 4) a: - 3y + 2 = O;
5) 10x + 24y + 15 = O.
314. El punto A (2; -5) es un vórtico de un cuadrado,uno do cuyos Iados estó OH la recta
x - 2y - 7 = O.Calculal' el área de este cuadrado.
315. Dadas las ecuaciones de dos Indos de un rectángulo3x - 2y - r.; = 0, 2z + 3y + 7 = O
y uno de sus véruces A (-2; 1), calcular el área de estorectángulo.
316. Demostrar que In recta
2x + y + 3 = O
corta 01 segmento limitado por los puntos A (-5; 1)y B (3; 7).
317. Demostrar quo la recta
2.x - 3y + 6 = O
no corta el segmento limitado por los puntos M¡ (-2; -3)y M:\ (1; -2).
318. Los vértices consecutivos de un cuadrilátero sonlos puntos A (-3; 5), B (-1; -4), e (7; -1) y D (2; 9).Detecruiuar si esto cuadrilátero es convexo.
3-J 9. Los vértices consecutivos de un cuadrilátero sonlos puntos A (-1; 6), B (t; -3), e (4; 10) y D (9; O).Determinar si este cuadrilátero es convexo.
320. Dados los vérticos de un tri ángu lo: A (-10; -13),B (-2; 3) y e (2; 1), calcular la longitud de la pcrpendí-cu lar bajada desde el vértice B a la mediana trazada desdeel vértice C.
321. Los lados A 8, Be y CA del triángnlc A BC vienendados respectí vumcnto por Ias ecuncíonos
x + 21y - 22 = O, !ix - 12y + 7 = O,4x - 33y + 146 = O.
(\0
Calcular In distancia desdo 01 centro de gr'ovo(lad d(l estotriángulo hasta el lado BC.
a22. Calcular la distancia d entro las rectas paralelasen cada uno de los casos siguientes:
1) ;:h:-~y-l0=O, 2) 5x-12Y-I-26=0,6x-8y+5=O; 5x-12y-13=0;
3) 4x-3y+15=0, 4) 24x-10y+39=O,8~-(ly+ 25 = O; 12x- 5y- 2(3= O.
1123. Dos lados de un cuadrado están en las rectas5,:¡; - 12y - 65 = 0, 5x-12y+2B=0.
Calculo!' su área.324. Demostrar que lo. recta
5x - 2y - 1 = Oes paralela R las rectas
5x - 2y + 7 = 0, 5x - 2y - Id = Oy divide por la mitad la distancia entro ellas.
325. Dadas tres rectas paralelas10x -1- 15y - 3 = 0, 2x + 3y + 5 = O.
2x + 3y - 9 = 0,determinar si Ia primera de ellas está entre las otras dosy calcular la razón en que divide la distancia entre ellas.
326. Demostrar que se pueden trazar por el puntoP (2; 7) dos rectas de manera q uo sus distancias al puntoQ (1; 2) sean iguales a 5. Hallar las ecuaciones de estasrectas.
327. Demostrar que se pueden trazar por el puntoP (2; 5) dos rectas de manera que sus dtstanctas al puntoQ (5; 1.) sean iguales a 3. Hallar las ecuaciones de estasrectas.
328. Demostrar que sólo se puede trazar una recta porel punto C (7; -2) do manera que su distancia al puntoA (4; -(» see igual a 5. Hallar Sil ecuación.
329. Demostrar que no so puedo trnz ar por el puntoB (4; -5) una recta de manera que su distancia al puntoe (-2; 3) sea igual a 12.
330. Deducir la ecuación del lugar geométrico de Jospuntos, si sus desviaciones de la recta 8x - 15y - ~5 = Oson iguales a -2.
(ji
331. HaBar. las écuaciunes de las rectas paralelas a larecta 3:t. - 'IY - 10 .;..._0, que so encuentran a unn dístanciude ella de d = 3.
332. Dados dos vértices adyacentes de un cuadradoA (2.; O) y B (-1; 4), hallar las ecuaoiones ele sus lados.
333. El punto A (5; -1) es un vértice de un cundrado ,uno de cuyos lados e!ltú en la recta
4x - 3.1/ - 7 = O.Hnl lar las ecuaciones de las ro('·Las en las que ('sti\n los otroslados do este cuadrado.
334. Dadas las ecuaciones de dos lados de un cuadrado4x - 3y + 3 = O, 4x - 3y - 17 = O
y uno de sus vértices A (2; -3), halla!' las ecuaciones delos otros dos Indos de este cuadrado.
335. Dadas las ecuaciones de dos lados de un cuadrado5.1'+ 12y - 10 = 0, 5;);+ 12y + 29 = 0,
hallar las ecuaciones de los otros dos lados, si el punto111'.(-3; 5) está en un lado do este cuadrado.
336. Las dcsvl acloncs del punto NI de las roctas5:1: - 12,1/ - 13 = O y 3:1; - 4y - 19 = O
son iguales rcspectiva mente a -3 y -5. Determina!' lascoordenadas del punto ]1.[.
337. Haltar la ecuación do' la recta que pasa por elpunto P (-2; 3) a igual distancia de los puntos A (5; -1.)y B (3; 7).
338. Hallar la ecuación del Iugar geométrico de lospuntos equidistantes de las rectas paralelas:
1) 3:c-y+7 =0, 2) x-2y-H = O,:3;¡;- y-;{=O; ;1:-2y+ 7 =0;
3) 5z - 2y -Ii = 0,:I0x-4y+:1=O.
339. Hallar las ecuaciones de las hisoctrícos de losángulos Iorrnados pOI' dos rectas concurrentes:
1) x-3y+5=O, 2) :c-2y-;~-O,3x-y-2=0; 2:c+4y + 7 = O;
3) 3x+4y- t =0,5x + 12y-2=O,
ü2
Mo. HalÍar las ecuaciones de las recias que pnsan porel punto P (2: -'1.) y junto con las rodas
2x - y + 5 = 0, 3x + l3y - 1 = O
Iorman t"i{¡Tlgulos isósceles.341. Determinar I>i el plinto 111{' (1; -2) y el origeu de
coordenadas están en lH1 :íllgll.lo, en ángulos adyacentes() en iíllglllos 0])1Iest08 formados por In tntcrsocoíón de dosrectas:
'1) 2x-y-!í=o, 2) 4x+3y-10=O,3;r.+¡¡+10=O; 12x-5¡¡-5=O;
3) x-2y-1.=O,3x-y-2=O.
342. Averiguar si los puntos 11[ (2; 3) y N (5; -"1) estánen. un ángulo, en ángulos adyacentes o en ángulos opues-tos formados pOI" la in torsecctón do dos rectas:
1) x-3y-5=O, 2) 2x+7y-5=O,2a:+9y-2=O; x 1-3u+7=O;
3) 1.2x+y-1. =0,13x+2y-5=O.
343. Averiguar si el origen de coordenadas esta dentro() fuera del tríúngulo , cuyos lados son dados por las ecuaciones
7x - 5y - 11 = O, &1: + 3y + 31 '-= 0,
x -1- 8y - 1!~= O.344. Averiguar si el punto .Af (-3; 2) estú dentro
o lucra del triángulo, cuyos lados son dados por las OCl1a-cíones
x + y - II = O, 3$ - 7y -1- 8 =.. 0,4;r. - y - 31 = O.
345. Averiguar qué ángulo (agudo u obtuso) Jormadopor las rectas
3x - 2y + 5 = O y 2x + y - 3 = 0,
contiene el origen do coordenadas.
63
846. Averiguar qué áuguf o (agudo ti obtuso) Inrmudopor las rectas
3x - 5y - 4 = O y a: + 2y + 3 = O,contiene el punto M (2; -5).
347. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo for-mado por las rectas .
3x - y - 4 = O y 2x + 6y + 3 = O,que contiene el origen de coordenadas.
348. Hallar la ecuación do la bisectriz del ángulo for-mado por las rectas
x - 7y + 5 = O, 5x + Sy - 3 = O,que es adyacente al án:;ulo que contiene el origen de coor-denadas. ,1
349. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo ffit:.tmado por las rectas
x + 211 - 11 = O Y ~.l. - 6y - 5 = O,'.~
en 01 que está el pupto M (1; -3),350. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo for-
mado por las rectas2x - Sy - 5 = O, 6x - 4y -+ 7 = O,
que es adyaconte al ángulo que contiene el punto e (2; -1).351. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo
agudo formado pOI' las dos rectas3x + 4y - 5 = O, 5x - 12y + 3 = O,
352. Hallar la ecuación do la bisectriz del ángulo obtusoformado pOI' las dos rectas
x - 3y + 5 = O, 3x - y + 15 = O,
§ 15. Ecuación de un haz de rectasEl cenjunto de reatas Cilla pasan por un punto S so llama hu do
rectas con el conteo S,Si A1%+lJ,U+C¡=O y Az:t+B2y+C2=O son las
cuaclonos do dos rectas (IUe se cortan on el punto S, Ia ecuaciónex (At.:+Bly+C,}+P CAz.%:+B2V+C2) = O, (t)
on la que Ct y P son unos números cualesquiera, pero no aimultáneamen-te iguales a cero, dotcrmtnn una recta que pasa también por el pun lo S,
G4
Es 100S, slempre so pueden e.1l'gir loe números CI. y P do maneraque la ccuactén (1) represento una recta cualqulern (I\sigll!lda pro-viamente) que pase por 01 punto S. 08 decir. una recta arhitrnrta dolhaz con el centro en S. POI' eso, In ecuaclón (1) 80 Ilamu ecuncióndel haz (con el centro en S).
Si (% "" 0, div:idieudo los dos miembros do la ecuneién (1) por ay suponiendo que! =). tendremos:
a.A1z+B1V+Ci+). (A2%+B2U+C2) =0. (2)
Por medio de esta ecuación se puede determinar cualquier recta delha? C01l el centro en S, excluyendo la que corresponde a ct = 0, e"decir, excluyendo la recta A:x +- BzV + C2 = O.
353. Hallar el centro del JII\Z de rectas dado por laecuación .
ct (2x + 3y - 1) + j3 (x - 2y - 4) = O.354. Hallar 'a ecuación de la recta que portenece al
1.." de rectasCG (x + 2y - 5) + j3 (3x - 2y + 1) = O
y que:1) pasa por el punto A (3; -1);2) pasa por el origen de coordenadas;3) es paralela al eje Ox;4) es paralela al eje Oy;5) es paralela a la recta 4x + 3y - 5 = O;6) es perpendicular a la recta 2x + 3y + 7 = O.
355. Hallar la ecuación de la recta que pasa por elpunto de intersección de las rectas
3x - 2y + 5 = O, 4x + 3y - 1 <= Oe intercepta en el eje -do ordenadas un segmento b = - 3.Resolver el problema sin hallar las coordenadas del puntode intersección de las rectas dadas.~;:;j356. Hallar la ecuación de la recta que pasa por elpunto de intersección de las rectas
2x + y - 2 ... O, x - 5y - 23 = Oy divide por la mitad el segmento limitado por los puntosMI (5; -6) y M2 (-1; -4). Resolver el problema sin cal-cular las coordenadas del punto de intersección de las rectasdadas.
357. Dada la ecuación de un baz de rectasce. (3z - 4y - 3) + P (2x + 3y - 1.) = O,
5-352 65
escribir la ecuacion de la recta de este haz que pasa porel centro de gravedad do una lámina trjangular homogénea,cuyos vértices sean los puntos A (-1; 2), B (4; -4)y C (6; -1).
358. Dada la ecuación de un haz de rectas
ex (3x - 2y - 1) + ~ (4x - 5y + 8) = O,
hallar la recta de este haz que pasa por la mitad del seg-mento de la recta
x + 2y + 42: O,comprendido entre las rectas
2x + 3y + 5 = O, x + 7y - 1 = O.359. Dadas las ecuaciones de los lados de un triángulo
x + 2y - 1 = O, 5x + 41/ - 17 = O, x - 4y + 11 = O,hallar las ecuaciones de las alturas de este triángulo sindeterminar las coordenadas de sus vértices.
360. Hallar la ecuación de la recta que pasa por elpunto de intersección de las rectas
2x + 7y - 8 = O, 3x + 2y + 5 = Ocon una iJlc,linación de 45° respecto a la recta
2x + 3y - 7 = O.Resolver el problema sin calcular las coordenadas delpunto de intersección de las rectas dadas.
361. En el triángulo ABC se dan la ecuación de la altu-ra AN: x + 5y - 3 = O; la de la altura BN: x + 11-- 1 = O y la del lado AB: x + 3y - 1. = O. Hallar lasecuaciones de los otros dos lados y de la tercera altura sindeterminar las coordenadas de los vórtices y de los puntosde intorsocción do las alturas do esto triángulo.
362. Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo A BC I
connclondo uno de sus vértices A (2; -1) Y las ecuacionesde la altura
y de In bisectriz7x -10y + 1 = O
3x - 2y + 5 = O,trazadas desde: un vértice. Resolver el problema sin cal-cular las coordenadas de' los vérticos B y C.
66
363. Dada la ccuactón do un haz do rectas
eL (2x + y + 8) + ~(x + .IJ + 3) = 0,
hallar las rectas de este haz, cuyos segmentos, compren-didos entre las rectas
x - y - 5 = 0, x - y - 2 = 0,
sean iguales a V5.364. Dada la ecuacíén de un haz de rectas
Ct (3x + y - 1) + fl (2x - y - 9) = 0,demostrar que la recta
x + 3.11 + 13 = Opertenece a este haz.
3H5. Dada la ecuación de un haz do rectas
ct (5x + 3.11 + 6) + ~(3x - 4y - 37) = 0,demostrar que la recta
7x + 2.11 - 1.5 = °no pertenece a esto haz.
366. Dada la ecuaclén de un haz de rectas
a (3x + 2.11 - 9) + ~(2x + 5.11 + 5) = O,
determinar el valor de e, para que la recta
4x - 3y + e = Opertenezca a este haz.
367. Dada la ccuaclén de un haz do rectosa (5x + 3.11 - 7) + ~ (3x + 10.11 + 4) = 0,
determinar para quó valores de a, In recta
ax + 5y + 9 = Ono pertenece a este haz.
368. El centro del haz de rectasa (2x - 3y + 20) + ~(3x + 5y - 27) = O
es el vértice de un cuadrado cuya diagonal está en la rectax + 7y -16 = O.
Hallar las ecuaciones de los lados y do la segunda diago-nal de este cuadrado.
3G9. Dudn la couacíón do un haz de rectas
a (2.'1: + 5'y + 4) + ~(3x - 2y + 25) = 0,
hallar la recta de este haz que intercepta en los ejes coor-denados unos segmentos do igual magnitud (partiendo delorigen de coordenadas) y diferentes de cero.
370. Dada la ecuación de un haz do rectasa (2x + y + 1) + ~(a; - 3y - 10) = 0,
hallar las rectas de este haz que interceptan en los ejescoordenados segmentos de igual magnitud (pactiendo delorigen de coordenadas).
371. Dada la ecuación de un haz de rectas
a (21x + 8y - 18) + il (11a; + 3y + 12) = 0,
hallar las rectas de este haz que interceptan en los ánguloscoordenados triángulos de área igual a 9 unídados cua-dradas.
372. Dada la ecuación de un haz de rectasa (2x + y -1- 4.) + ji (x - 2y - 3) = 0,
demostrar que entre las rectas de este haz exíste solamen-te una que está a la distancia d = V 10 del punto P (2; -3).Escribír la ecuación de esta recta,an. Dada la ecuación do un haz de rectas
a (2$ - y - 6) + B (a; - y - 4) = 0,
demostrar que 110 hay entre las rectas do este haz una queesté a la distancia d = 3 del punto P (3; -1).
37~. Hallar la ecuación do la recta que pasa por elpunto de intersección de las rectas
3z + y - 5 = 0, x - 2y + 10 = Oy está a la distancia d = 5 del punto e (-1; -2). Resol-ver el problema sin calcular Ias coordenadas del punto deintersección de las rectas dadas.
375. Dada la ecuación de un haz de rectas
ex. (5x + 2y + 4) + ~(x + 9y - 25) = 0,
68
escribir 11\secuaciones de las rectas de este haz, que juntocon las rectas
2x - 3y + 5 = O, 12;"1;+ 8y - 7 = O
forman tciángulos isósceles.376. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto de intersección de las rectaso
11x + 3y - 7 = 0, 12x + y - 19 = O
a igual distancia de los puntos A (3; -2) y B (-1.; 6).Resolver el prohlema sin calcular las coordenadas del puntode intersección de las rectas dadas.
a77. Dadas las ecuaciones de dos haces de rectas
al (5x + 3y - 2) + ~1 (3x - y - 4) =0,0:2 (x - y + 1) + ~2 (2x - y - 2) = O,
hallar la ecuación de la recta quo pertenece a los dos hacessin determinar sus centros.
378. Dados los lados AB, Be, co y DA del cuadri-látero ABCD por sus ecuaciones correspondientes
5x + y + 13 = 0,3x + 2y - 13 = 0,
2.1: - 7y - 17 = 0,3x - 4y + 17 = 0,
hallar las ecuaciones de sus diagonales AC y ED sin deter-minar las coordenadas de sus vértrces.
379. El centro del haz de rectas
CG (2x + 3y + 5) + 0 (3x - y + 2) = O
os uno de los vértices de un triángulo, dos de cuyas altu-ras so dan por las ecuaciones
x - 4y + 1 = O, 2x + y + 1 = O.
Hallar las ecuaciones de los lados de este triángulo.
§ H;. Ecuación polar de In rectaLa recta tcazad a por el polo, perpendicular u. la recta dada, so
llama normal. Dcsignernos con P 01 punto en el que la normal cortaa la recta; elijamo~ en la normal la dirección positiva desde el puntoO hacía (>1plinto P. El ángulo, ('11 el que hay qUG hacer girar 01 ojepolar hasta que cuhru el segmento OP, lo llamaremos ángulo polardo la normul,
69
380. Deducir la ecuación polar de In recta, conociendosu distancia p del polo y el ángulo polar a de la normal.
S o 1 \1 ció n , fer ro 6 t o do. Tomemos en la recta dada &
(fig. 1'1) un punto arbitrario M con las coordon adas polares r y O.Designemos con la letra P el punto do íntersccoién de la recta $ consu ncrmal. En elU'iángulo rectángulo OPM hallamos:
p= cos (e-a) , •p
(1)
Hemos obtenido una ocuacíén do dos variables p y O, n la que aatís-facen las cootdonadus do cualqulor punto M sltuudo en la recta s,
sFIg, 11.
y no sntisfncon 11 las coordenadas do ningún punto «UC no ~.'!w situadoen esta recta. flor 10 tanto, la ocuoclón (1) ()S la ecuación de la recta s,1)0 esta manera, queda resuelto el problema.
2° m 6 t o d o. Consrdoromos UII sistema cartosiano (]" coordena-das rectangular, cuyo semieje positivo do absoísas coincida con 01ojo polar del sistema polar dado, En este sistoma cartosinno, In ecua-ción normal de la recta $ es:
o:cos a+ y sen a- p=O. (2)
Sirvámonos do los fórmulas de transíormaclón de coordenadas polaresen cartesianas:
o:=pcose, y=psenll, (3)
S.ustituy()ndo ¡¡; 1) y en la ecuecíén (2) por las oxpresiones (3), obtenemos:
{I (cos S cos ce-l-sen e seo a)= po
P= cos (O-a) .
70
381. Deducir la ecuación polar de la recta, si se dan.1) el ángulo ~ de inclinación de la recta respecto al
eje polar y la longitud p de la perpendicular bajada desdeel polo a esta recta. Escribir la ecuación de esta recta enel caso de que
~= ~ . p=3;
2) el segmento a que intercepta la recta en el eje polar,partiendo del polo, y el ángulo polar Ct de la normal a estarecta. Escribir la ecuación de esta recta S11 el caso de que
2a=2, Ct= -"3:n;
3) el ángulo p de inclinación de la recta respecto al ejepolar y el segmento a, que intercepta la recta en el ejepolar, partiendo del polo. Escribir la ecuación do esta rectaen el caso de que
n~=6' a=6.
382. Deducir la ocuacíén POIUl' de la recta quo pasapOI' el punto Mi (Pi; (}I) con una inclinación respecto aleje polar de un ángulo ~.
383. Deducir la ecuación polar de la recta que pasapor 01 punto M 1 (Pi; 01), si el ángulo polar de la normales igual a ce, •
38~. Hallar la ecuación polar do la recta que pasa porlos puntos MI (PI; 01) Y M 2 (P2; 82).
IVCapitulo
PROPIEDADES GEO~fETR(CAS DE LAS LINEASDE SEGUNPO ORDEN
§ 17. La cireuníerencía
La ecuacién(1)
dotermíns uno. clrcunlerencin do radio R con centro e (exi ~).Si 01 centro do la circunferencia coincido con 01 origen do coorde-
nadas, es decir, si QI = O, P = O, la ecuactén (t) toma la íMIDa~+~=~ ~
385. Hallar la ecuación de la circunferencia en cadauno do los casos siguientes:
1) el centro do la circunferencia coincide COII 01 ol'igonde coordenadas y su radio R = 3;
2) el centro de la circunferencia coincide con el puntoe (2.; -3) y su radio R = 7; •
3) la circunferencia pasa por el origen de coordenadasy su centro coincido con el punto e (6; -8);
4) la ci rcuníercncta pasa por el punto A (2; 5) y sucentro elucide con el punto e (-1; 2);
5} los pontos A (3; 2) y B (-1; 6) 5011 extremos deWIO de los d iámetros de la circunferencia;
6) el centro do la circunferencia coincide con el origende coordenadas y la recta 3x - 4y + 20 = O es tangentea la circunferencia:
7) el centro de la circunferencia coincido con el puntoe (t; -1) y Ia recta 5x - 12y + 9 = O es tangente a lacircunferencia; i
8) la otrcuufcrcncia pasa por los puntos ¡A",{3; 1) yy B (-1; 3) 'Y su centro está situado on la recta 3x - y -- 2 ='0' 1I i '
9) l~ \~ircunfercncia pasa por tres puntos: 'A (1; 1),B (1; -1) y e (2; 10);
10) la circunferencia pasa por tres puntos: MI (-1; 5),iVI2 (-2; -2) y M3 (5; 5),
386. El punto e (3; -1) es el centro do una circun-ferencia que intercepta en In recta
2x - 5y + 18 = °una cuerda, cuya longitud es igual a o, Hallar In ecua-ción de esta circun Ierencia.
387. Escribir las ecuaciones de las circunferencí as deradio R = Vil, que son tangentes a la recta x - 2y - 1 = Oen el punto Ms (3; 1),
3SB. Hallar la ecuación de la circunferencia que estangente a las dos rectas paralelas: 2x + y - 5 = 0, 2x +-1- y + 15 = O y, a una de ellas, en el punto A (2; 1).
389. Hallar las ecuaciones de las circunferencias quepasan IlOI' 01 punto A (1; O) y son tangentes a las dos rectasparalelas:
2x + y + 2 = 0, 2x + y - 18 = O,390. Hallar la oouacíén de la clrcunfsrencia que, tenien-
do el centro en In recta2x -1- y = O,
es tangente a las rectas4x - 3y + 10 = O, 4x - 3y - 30 = O,
a91. Hallar las ecuaciones de las circunferencias queson tangentes a dos rectas concurrentes: Ts: - y - 5 = 0,a: + y + 13 = O y, a una de ellas. en el punto .1111 (1; 2).
392. Hallar las ecuaciones de las circunferencias quepasan por el origen de coordenadas y son tangentos a lasdos rectas concurren Les:
a; + 2y - 9 = 0, 2x - y + 2 = O,393. Hallar las ecuaciones de las círcunferonclas que ,
teniendo sus centros en la recta4:(. - 5y - 3 = 0,
son tangen tes a las rectas
2x - 3y - 10 = 0, 3x - 2y -1- 5 = (1,
394. Hallar las ecuaciones de las circunferenoias quepasan por el punto A (-1; 5)' y son tangentes a las dos
73
rectas concurren tes:3x + 4y - 35 = O, 4.x + 3y + g = O.
395. Hallar las ecuaciones de las circunferencias queson tangentes a las tres rectas: .
4x - 3y - 10 = O, 3x-4y-5=0 y 3x-4y-15=0.
396. Hallar las ecuaciones de las circunferencias queson tangentes a las tres rectas:
3x + 4y - 35 = O, 3x - 4y - 35 = O y x - 1 = O.
397. ¿Qué ecuaciones de las expuestas a continuacióndeterminan circunferencias? Hallar el centro e y el radioR de cada una do ellas:
1) (X-5)2+(y+2)2=25; 6) :¡;2+y2-2x+4y-I-14=O;2) (:c+ 2)2+ y2 =64; 7) x2+yn+4x-2y+5=0;3) (x-5)2_l-(y+2)2=O; 8) X2+y2+X=O;4.) x2+(y-5)2=5; 9) x2+y2+6x-4.y+14=O;fl) x2+yZ-2x+4y-20=O; 10) X2+y2+y=O.
398. Averiguar qué líneas determinan las siguientesecuac iones:
1) Y = +V9"='X2;2) f/= - V25-X23) x = - V4='Y"'2¡4) x= +V 16-y2;5) y = 15+VB4-x2;
6) y='15- V64-x2¡
7)x= -2- V9 y2;
8) x=-2+~;9) y= -3- V21-4x-x2;
10) x= -5+ V40-.6y-yz.
Representar estas líneas en el plano.399. Determinar cómo está situado el punto A (1; -2)
con relación a cada una de las sigüíentes circunferencias:dentro, fuera o en el contorno:
1) xZ + y2 = 1; 3) X2 + yZ = 9;2) ;¡;2 + 112 = 5; 4) X2 + y2 - 8x - 4y - 5 = O;
5) x'J. + y2 - i0x + 8y = O,
400~ Determinar la ecuación do. a línea de los centrosde las dos circunferencias dadas por las ecuaciones:
1) (X_3)2+y:l=9 y (X+2)2+(y-1.)z=1;2) (x+ 2)2+ (y_l)2 = '16 y (x+ 2)2+ (y+5)2=25;3) x:l+y2-4x+6y=O y X2+y2_6x=O;4) X2+yll-X+2y=O y x~+y2+5x+2y-l=O.
401. Hallar la ecuación dol diámetro de la circun íe-rcnci a
X2+ y2 + 4x - oy - 17 = O,
que es porpcndtcular a la recta5x + 2y - 13 = O.
402. Hallar la distancia mínima del punto a la círcun-Ie rencia en cada uno de los casos siguientes:
. a) A(6; -8), X2+y2=9;b) B(3; 9), xZ+y2-26x+30y+313=O;e) C(-7; 2); xll+y2-10x-14.y-151=O.
403. Determinar las coordenadas de los puntos de inter-sección do la recta 7x - y + 12 = O y la circunferencia
(x - 2)2 + (y - 1)2 = 25.404. Determinar cómo está situada la recta con relación
a la circunferencia (la corta, es tangente () pasa fuera deella), si la recta y la circun lerencia se dan mediante lassiguientes ecuaciones:
1) y=2x-3 y X2+y2-3x+2y-3=O;
2) y={x-~ y x2+yll-8x+2y+12=O;
3) y=x+l0 y:t2+y2-1=O.
405. Determinar para qué valores del coeficiente angu-lar k la recta y == kx
1.) corta a la circunferencia X2 + y2 - fOx -1-16 = O;2) es tangente a esta circunferencia;3) pasa fuera de esta círeunferencin.406. Deducir la condición según ln cual, la recta
y = ks: + b es tangente a la circunferencia X2 + y2 = RIl.
75
407. Hallar la ecuación del diámetro de la circunfe-rencia
(x - 2)2 + (y + 1)2 = 16;
que pasa por la mitad de la cuerda que intercepta en larecta
x - 2y - 3 = O.
./J08. Hallar la ecuación de la cuerda de la círcuníeroncía(x - 3)% ..¡. (y - 7y = 169.
que se di vide por la mitad en el pun to Jl1 (8.5; 3,5).409, Determinar la longitud de la cuerda de la circun-
Iercncía(z - 2)2 + (y - 4)2 = lO,
que se divide pOI' la mitad en el punto A ('1; 2) ../J10. Dada la ecuación de un haz de rectas
CG (x - 8y + 30) + ~(x + 5y - 22) = O,hallar las rectas de este haz, en las que la circunferencia
:1;2 + yZ - 2x + 2y - 14 = O
j n terccp La cuerdas de longitud 2'V3.411. Dadas dos circunferencias
(x - m¡r~+ (y - n¡)2 = Bi.(x - 11/.2)2 ,1- (y - n2)2 = R~,
que se cortan 1311 los pU11tOS M¿ (:1'1; Yl) y ]l-f 2 (·1:2; Y2),demostrar que cualquier circunferencia que pasa por lospuntos M'I, M2• y también la recta Jl1¡lvf2• se pueden deter-minar por una ecuación de la .forma
CG 1($ - m¡)2 + (y - nl)~ - Ri] + P I(x - m2)2 +-\- (y - n2}2 - Ri] = O,
eligiendo adecuadamente ]OS números el y 13."í12, Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa
por el punto .4 (1; -1) y por el punto ele íntersocción deIlIS dos circnnfercncfas
x·a -1- y2 + 2x - 2y - 23 = O.x~ + y'!. - (ix + 12y - 35 = 0,
7G
413. Hallar la ecuación de la circunferencia que pas-por el origen de coordenadas y por el punto do intersec-ción de las dos circunferencias:
($ + 3)2 + (y + 1)~ = 25, (x - 2}2 + (y + 4)2 = 9.
414. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntode intersección de las dos circunferencias:
:c'l. + yt + 3x - y = O, 3x2 + 3y! + 2x + y = O,
415. Calcular la distancia del centro do la ctrcunferencia
r + y~ = 2.1:a la recta quo pasa por el punto de intersección de las doscircunforencias:
x'J. + y2 + 5x - 8y + 1. = O,xt + y2 - 3:r + 7y - 25 - O.
416. Determinar la longitud de la cuerda común a lasdos circunferencias:
x~ + y2 - 1.0x - 10y = O,x9 + y2 + 6x + 2y - 40 = O.
417. El centro de una circunferencia está en la recta
x + y = O.
Hallar la ecuacion de esta circunferencia, si se sabe quepasa por el punto de intersección de las dos circunferencias:
(x - 1)2 + (y + 5)t = 50, (x + 1)2 + (y + 1l = 10.4iS. Hallar la ecuación do la tangente a la circunfe-
rencia
en el punto A (-1; 2).419. Hallar la ecuación de la tangente a In circunfe-
rencia(x + 2)2 + (y - 3)2 -= 25
en el punto A (-5; 7).~20. Hallar en la circunloroncta
16x2 + 16y~ + 48x - 8y - 43 = O
77
1)1\punto 111, más próximo a la recta
8x - 4y + 73 = 0,y calcular la distancia d del punto }IIf, a esta recta.
42t. El punto J1IJj (Xl' YI) ostá en la circunferenciaXli + Y~ = Ra.
Hallar la ecuación de la tangente a esta circunferencia enel punto MI'
422. El punto 1\1I (XI; UI) está en la circunferencia
(x - a)2 + (y - ~?= RIl.Hallar la ecuación de la tangente a esta circunferencia enel punto MI'
423. Determinar el ángulo agudo formado por la inter-sección de la recta
3x-y-l=O
y la circunferencia(x - 2)2 + y2 = 5
(se llama ángulo formado por una recta y una circunferen-cia al ángulo :comprendido entre la recta y la tangentea la circunferencia trazada en el punto do intersección).
424. Determinar el ángulo formado por la intersecciónd e las dos circunferencias:
(x - 3)2 + (y - 1)2 = 8, (x - 2)2 + (y + 2):1 = 2
(se llama ángulo formado por dos circunferencias al ángu-)0 comprendido entre sus tangentes en el punto de inter-sección).
425. Deducir la condición según la cual dos circunfe-rencias
(x - al)2 +. (y - ~1)2 = R~, (x - (2)2 + (y - ~2)2=R~
se cortan, formando un ángulo recto.426. Demostrar que las dos circunferencias
X2 + y2 _ 2mx - 2ny - mZ + n2 = O,X2 + y2 _ 2nx + 2my + m2 - n'" = O
se cortan, formando un ángulo recto.
78
( 5 5 )r~27. Desde el punto A 3"; - 3"gentes n If¡ círcuníoreuc¡a
.1;2 +y2=5.
se han trazado ta n-
Hallar sus ecuaciones.428. Desde el punto A (1; 6) se han trazado tangentes
a la circunferenciax~ + y2 + 2x - 19 = O.
Hallar sus ecuaciones.429. Se da la ecuación de un haz do rectas
~ (3x + 4y - 10) + ~(3x - y - 5) = O.Hallar las rectas de este haz que son tangentes a la cir-cunferencia
X2 + y'J. + 2x - 4y = O.430. Desde el punto A (4; 2) se han trazado tangentes
a la circunferencia3;2 + y" = 10.
Determinar el ángulo formado por estas tangentes,431. Desde el punto P (2; -3) se han trazado tangen-
tes a la circunferencia(z - 1)2 + (y + W = 4.
Hallar la ecuación de la cuerda que une los puntos de con-tacto. : I • '
432. Desde el punto e (6; -8) se han trazado tangen-tes a la círcuníeroncta
X2 + y2 = 2.'),
Calcular la distancia d del punto e a la cuerda queune los puntos de contacto.
433. Desde el punto P (-9; 3) se han trazado tangentesa la circunferencia
,xli + y2 - 6x + 4y - 78 = O.Calcular la distancia d del centro de la circunferencia aa la cuerda que une los puntos de contacto.
434. Desdo el punto M (4; -4) se han trazado tangen-tes a la circunferencia
x'J + y'J. _ 6x + 2y + 5 = O.
79
Calcular la longitud d de la cuerda que une los puntos decontacto.
435. Calculnr la longitud do la tangente trazada desdeel punto A (1; -2) a la circunferencia
X2 + y2 + X - 3y - 3 = O.436. Hallar las ecuaciones do las tangentes a la cir-
cunferenciaXZ + y2 + fOx - 2y + 6 = O,
que son paralelas a la recta2x + y -7 = O.
437. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la cir-cunferencia.
x~ + y2 - 2x + 4y = O.que son perpendiculares a la recta
x - 2y + 9 = O.438. Hallar, en coordenadas polares, la ecuación de la
circunferencia, si se han dado el radio H y las coordena-das polares de su centro e (R; 00),
439. Hallar, en coordenadas polares, la ecuación de lacircunferencia, si se han dado el radio R y las coordena-das polares del centro de la circunferencia:
1) C(R; O); 2) C(R; n); 3) C(R; i); 4) C (R; -T)'440. Determinar las coordenadas polares del centro
y el rad io do cada una de las circunferencias:1) p = 4 cos O; 2) p = 3 son S; 3) p = - 2 cos O;
4) p= -5senEl; 5) (>=6008 (1f-0) ;6) p = 8 sen (9 - -F) ; 7) P= 8 sen (i -e)
441. Las ecuaciones de las circunferencias se dan encoordenadas polares:
1) p = 3 cos 9; 2) P = - 4 son El; 3) p = cos e-sen O.Hallar sus ecuaciones en coordenadas cartesianas rectan-gulares, con la condición de que el eje polar coincida conel semieje positivo Ox y el polo con el origen de coor-denadas.
80
~<12. Las ecuaciones ele las circunferencias se dan enconrdcnndas cartesianns rectangulares:
1) x~ -1- y~ = x; 2) x~ + y2 = - 3x; 3) x:+y~ = 5y;4) X2 + y2 = _ y; 5) ;r.~+ y2 = ;t: + y.
11.1I11ar las ecuacloues de ()''1t(IS circuuforencras en coord o-nadas pelaros, con In condícíón de quo 01 eje polar coin-cida con 01 semieje positt vo O» y 01. polo con el origen docoordensdas.
!tlt3. Hallar la ecuación polar de la tangente a la cir-01111(01'oncia fJ = n en el punto M t (Ili 60),
§ 18. Ln elipse
Sí' llamo elipse (11lugar g@onl6trico do los puntos cuya sumade dístancias a dos puntos fijos del »18n\), llamados focos, os unacnndídad constante, mayor qua la distancia entro Ios focos. Ln sumaconstante de Ias distancius de un punto arbitrnrlo do In elipse a loslocos so indica mediante 2a. Los !oc.os do la elipse se designan porlas Ietrns PI y Fz; U¡ distancia entro ellos por 2c. Según la definiciónde la C}!i¡ISO, 2<%> 2c o a > c.
Si los ojos del sistema carteaiano rectnn¡:ular do coordenadas eehan elegido de manera qUD los focos do In ohpso se sitúan simétrlcn-lI\~nLG en III eje do abscisas, con respecto DI (¡(igen do coordenndas,11.' ocuaclón de la tlliJllJo (¡II esto sistema do coordcnudns os do la formo
x2 y2ii.2+~ =1, (1)
en donde b = 'Va" - c~: (\S evidente que a > b. La eouncíón de laforma (1) se llama ecuación canóníca de la olípsc.
En el sístema do coordenadas elegido como so ha indicado. losejes (lo coordenadas son los oj«!9<le símetrla do la elipse y el origell !locoordenadas su centro de stmotría (Hg. 12). Los ('jes de simetría de laelipse se llaman stmplemente ojos, SU centro de slrnotrla se llama sim-plemente centro. Los puntos, en los que In eH pso corta a sus ejes,so llaman vértices, En la Hg. 12 los vórtices .]0 la elipse son los puntosA', A, s' Y D. Procueutomcn te, so Ilaman tambtén ojos do 111 C!i.PSDa los segmentos A' A = 2a y B'D = 20; asüntsmc, al segmento OA = a80 lo llama semieje muy"r de la olépse y al segmento OlJ = b, scmroíomenor.
Si los focos de In eltpso «!9WÍnsítuados en el ojo Oy (simétrica-mento con respecto al origon de coordenadas). In ecuación ele elipsoos también de la Iorma (1), poro en este caso b:;:. n; por lo tanto, sideseamos indicar con lit letra a el semlojo mayor, dobemos cnmbíurdo Jugar Ias letras a. ')/ b en la ocuaci6n (1). Sin embargo, para símplt-IIMr los enunciados do los problemas, es convcniento indicar síemprccon In letra a el somiojo süuado on el ojo O» y con la lotra b, (11somiojosituado en ()I eío 0[(, Indepcndiontemonto de cuñl son mayor, si a O b.SI,. = b, la ecuación (1) detormínu una clrcunforenoía, considerada
0-352 111
como un <:1180pnrticulnr OC la oltpso. Ei n(¡mcróee==-;¡ ,
E~ni!c·nd(). (l. os el semieie mayor, so llama excentricidad rlo la I'JipRc.,Es oviEl(mtc que e < 1 (para la ctrcunforenctn 87' O). Si M (:r, 1/)
Fig.12.
es un punto arbitrario rle la clipso, los segmentos F,M = r¡ Y P2M = T2(Hg. t2) so llaman radios focales del punto M. Los radios focalesse pueden calcular medianto las fórmulas
TI=a.+ez, Tz=a-ex,Si la olipso e5t6 definida por la ecuación (t) y 11 > b, las rCCl~!I
az=- e(fig. 12) so llaman directrices do la elipso (Si b > a, las directrices
S9 dofinen por las ecuactoncs y =_!. y =.!) ,e 8
Coda rlirectl'iz poseo la propiedad siguiento; si r es la distancia deun punto arbitrario de la elipse a UII foco y d es la dlstancía del mismo
plinto a la directriz, unílateral a osto mismo foco, la razón ~ es una
cantidad constante, iguul 11 la excentrtcldad do }1I elipser-;r=e.
Si dos planos a y ~ forman un ángulo agudo <p, la proyección sobroel plano 11 do una clrcunforencf a de radio a. situado. en el plann (L,
es unn elipse cuyo semieje mayor es a,; 01semieje menor b do esta elipse50 determina por la fórmula
b=a. cos (p(fig.13).
Si la dlrcctvíz do un cilindro circular es una ctrcunfcrcncía deradiu 1). la sección do esto ci línrlro por un plun o que Corroa con el ejedel cilindro un úngul(),ugudo qJ, será una elí pso, cuyo serníujn menor
82
b4=--
SCUep
es igua] 3 b; el semieje mayor n de esta cllpse so determína por lafórmula
(Iig. i4).444. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están
ea 01 eje do abscisas y son si métricos COIl respecto al ori-gen de coordenadas, sabiendo, adomás, que:
Fíg.13. ·Fig.14.
1) sus semiejes son iguales a 5 y a 2;2) su eje mayor es igual a 10 y la distancia entre los
focos 2c = 8;3) su ojo menor es igual a 24 y la distancia entre los
focos 2c = 10;4) la distancia entre sus focos 2c = G y la excontrlci-• 3
dad E = i-;5) su eje mayor es igual a 20 y la excentricidad e = ~ ;
,)
1')6) su eje menor es igual a 10 y la excentricidad e = m ;7) la distancia entre sus directrices es igual a 5 y In
distancia entre sus focos 2c = 4;8) su eje mayor os igual a 8 y Jo. distancia entre sus
directrices es igual a 16;9) su eje monor es igual a 6 y la distancia entre sus
directrices es igual a 13;
10) la distancia entre sus directrices os igual a 32 yIn oxccnt vicidnd ".:-= -}.
4.15. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos estánen el eje de ordenadas y son simétricos con respecto al ori-gen ele coordenadas, sabiendo, además, quo:
1) sus semiejes son Iguales respectivamente a 7 y 2;2) su eje mayor es igual a 10 y la distancia entre sus
locos 2c = 8¡3) la distancia entre sus focos 2c = 24 y In excen l.ri-
. 12cidad e = 13;
.(¡) su eje menor es igual a '16 y la excentricidad e = {- ;5) la distancia entre sus focos 2c = 6 y J .. distancia
entre las directrices es igual a 16*;26) la distancia entre sus directrices es igual a 101f
y la excentricidad e = *.446. Determinar los semiejes de cada una de las elipses
siguien tes:
:1:2 ya . 2.:z:z 2 1 21) m+1f=l, ) 4'!-Y = ; 3) x2+25y2= 5¡
4) x2+5y2=15; 5) 4X2+9y~=25¡H) !h:2+25y~=1¡ 7) x2-j-4y2=1;8) lC)j;2.-f-y2='16; 9) 25x2+9y2=1;
10) 9a:2 + y2 = 1..447. Dada In elipse
9xz + 25y2 = 225,hallar:
1) sus semiejes:2) sus focos;3) su excentricidad:4) las ecuacíoues de sus directrices.448. Calcular el área del cuadrilátero quo tiene rlos
vértices on los focos de la elipseX2 + 5y2 = 20,
y los otros dos coinciden con los extremos do su eje menor.
84
449. Dada la elipse9X2 + 5y'l = 45,
hallar:1) S\lS semiejes;2) sus focos;3) su excentricidad;4) las ecuaciones de sus el irectrtoes.450. Calcular el úrea del cuadrilátero que tiene dos
vértices 011 los Iooos do la elipso9x2+5y2=1,
y los otros dos coinciden con los extremos de su eje menor.451. Calcular In distaucía del foco F (c; O) de la elipse
",2 y2-az+¡¡2=1
a la directriz unilateral con este foco.452. Construir los focos de La elipse
x2 yZ¡¡¡+!)=1,
sirviéndose solamente de un compás (se supone que estánmarcados Jos ejes do coordenadas y que se ha dado launidad de medida).
453. Hallar en In elipse",2 y2:25+"4=1
los puntos cuyas abscisas son iguales a -3.4M. Determinar cuáles de Jos puntos Al (-2; 3),
A~ (2; -2), Aa (2; -4), A, (-1; 3), A5 (-4; -3),Aa (3; -1), A7 (3; -2), As (2; 1), Av (O; 15) y Alo (O; -1ü)está n en 1a eli pse
cuáles están dentro y cuáles fuera de ella.455. Averiguar qué líneas determinan las
siguientes:
1) y = -1- f V 1I:i 3;2;
ecuaciones
Representar estas líneas en el plano.
85
456. La excentricidad de una elipse es e = -}, 01 radiofocal de un punto M do la elipse es igual SJ. 10. Calcular ladistancia del punto M a la directriz unilateral a este foco.
457. La excentricidad de una elipse es e = i, la dis-tancia de un punto ft,f de la elipse a la directriz es iguala 20. Calcular la distancia del punto M al foco unilaterala esta directriz.
458. Se da el punto Jlfl(2" -i) en Ia elipse
,,2 !/29+5=1;
hallar las ecuaciones de las rectas en las que estén losradios tocales del punto Afj•
459. Habiendo verificado que el punto MI (-4; 2,4)está en la elipse
X2 y225 +16=1,
determinar los radios focales del punto MI'460. La excentricidad do una elipse es e = i'su centro
coincido con el origen de coordenadas y uno do los focos esF (-2; O). Calcular la distancia del punto MI de la elipse,cuya abscisa es igual a 2, a la directriz unilateral al focodado.
461. La excentricidad de una elipse es e = t 'su centrocoincide con el origen de coordenadas y una de sus directri-ces se da mediante la ecuación x = 16_ Calcular la distanciadel punto Mi de la elipse, cuya abscisa es igual a -4, alfoco unilateral a la directriz dada.
462. Determinar los puntos de la elipse,2;2 y2100+36=1,
cuyas distancias al foco derecho son iguales a 14.463. Determinar )os puntos de la elipse
x~ y216 +7=1,
cuyas distancias al foco izquierdo son iguales a 2,5.
86
4M. Por el foco de la elipse
se ha traeado una perpendicular a su cíe mayor, Determi-nllr las distancias de los puntos de intersecclón de estaperpendicular con la elipse hasta los focos,
y
Fig.15.
465. Hallar la ecuación de la elipso cuyos focos estánsituados en el eje de abscisas y són simétricos con respectoal origen de coordenadas, si se dan:
1) el punto Mt( - 2 V5; 2) de la elipse y su semiejemeDor b=3;
2) el punto MI (2; - 2) de la elipse y su semieje mayora=4;
3) los puntos MI (4; - V3) y M2 (2 V2; 3) de la elipse;4) el punto MI (VIS; -1) de la elipse y la distancta
entre sus focos 2c = 8;5) el punto MI (2; - i) do la elipse y su exccn trici-
2dnd 6=3;6) el punto MI (8; 12) de la elipse y la distancia rl = 20
desdo él hasta el foco izquierdo;7) el punto MI (- V5; 2) de la clips~ f tª- di:i~ancia
entro sus directrices es igual a 10.
87
466. Determinar la excentricidad e de la elipse, si:1) su eje menor se ve desde uno do los focos formando
un úngulo de 60°;2) el segmento entre los focos so ve desde los vértices
del eje menor formando un ángulo recto;3) la distancia entre las directrices es el triple de la
distancia entre los focos;4) el segmento do la perpendicular bajada desde el centro
de la elipse a su directriz se divide por la mitad en elvórtice de la elipse.
467. POI." el foco F de la elipse se ha trazado una perpen-d icular a su oje mayor (fig, 15). Determinar para qué valorde la excentricidad de la elipse seráu paralelos los segmentosAB y OC.
468. Hallar la ecuación de la elipse de semiejes a y bcon el centro e (.1:0; Yo), si se sabe quo los ojes de simetríade la elipse son paralelos a los ejes coordenados.
4,69. La el ipse es tangente al eje de abscisas en el puntoA (3; O)y al eje de ordenadas en el punto B (O; -4). Hallarla ecuación de esta elipse, sabiendo que sus ejes de simetríason paralelos a los ejes coordenados.
470: El punto e (-3; 2) es el centro de una elipse, quees tangente a los dos ojes coordenados. He llar la ecuacióndo esta elipse, sabiondo que sus ejos de slmetria son para-lelos a los ejes coordenados.
471. Verificar que cnda una de las ecuaciones siguientesdetermina una elipse y hallar las coordenadas del centro e,los semiejes, la excentricidad y las ecuaciones de' lasd íroc trices: .
1) ;)x2+9y~-30..r.+18y+9 =0;2) 16:r.2+25y~+32c -100y - 284 = O;::1) 4x2+::Iy2~8 ..c+12!1-32=O.
472, Detormiuar qué Iínoas dcñnon las ecuacionessiguientes:1) y=-7+-}V16+6x-X2; 2) y=1-iv -6;¡;_x2;
3) x= -21/ _5_6y_y2; 4):1:=-5+* V8+2y-y~.Representar estas líneas en el plano.
473. H allnr la ecuación de IH elipse, sabiendo que:1) Sil eje mayor es igual a 26 y los focos son FJ (-10; O),
F2 (14; O);
88
2) su eje menor es igual a 2 y los focos son FI (-1; -1),r, (1; 1);
3) sus focos son r, (- 2; i), F:; (2; - i) y la excen-
t . id d Vi-rrci a es 8=-2-;4) sus focos son 1"1 (1; 3), F2 (3; 1) y la distancia entre
sus directrices es igual a 12 V2.474. Hallar la ecuación de la elipse, si se conoce su
excentricidad 8=i, su foco F (2; 1) y la ecuación do ladirectriz correspondlcnto
x-5=0.1j75. Hallar la ecuación de la elipse, si se conoce su
excon trícidad e=i. su foco F (- 4; 1) y la ecuación dela directriz correspondiente
y -1- 3 = O.476. El punto A (-3; -5) está en una elipse, uno de
cuyos focos es F (-1; -4) y la directriz correspondientese da mediante la ecuación
x - 2 = O.Hallar la ecuación de esta elipse.
4.77. Hallar la ecuación de la elipse, si se conoce suexcentricidad e = -}, el foco F (3; O) y la ecuación de ladirectriz correspondiente
z -1- y -1 = O.478. El punto MI (2; -1) está en la elipse, uno de cuyos
focos es F (1; O)y la directriz correspondlen te se da median tela ecuación
2x -.1/- 10 = O.Hallar la ecuación de esta elipse.
479. El punto M, (3; -1) es un extremo del eje menorde una elipse, cuyos focos están en la recta
y -1- 6 = O.Hallar la ecuacíón de esta elipse, conociendo su oxcentrl-
cidad e = Vi.89
480. Hallar los puntos de ínterseccíón de la rectax+2y-7=O
y la olipseXZ + 4y'" = 25.
481. Hallar los plintos de intersección de la recta3x + iOy - 25 = ,O
y In elipse
1,82. Hallar los puntos de íutersocclén de la recta3x - 4y - 40 = O
y la elipse,%2 y2Ttf+g-=1.
483. Determinar la posición de la recta con rolaci6na la elipse (la corta, es tangente o pasa fuera de ella),si lo. recta y la elipse se dan mediante las siguientesecuaciones:
1) 2x-y-3=0, 2) 2x+y-10=O,,%2 u~ • ,%:1 y2 •16+9=1, 9+T=1,
3) 3x+2y-20= 0,%11 y2
40+10=1-484. ¿Para qué valores de m la recta
y=-x+m:1) corta a In elipse
%~ yZ20 +5=1;
2) es tangente a ella;3) pasa íuera de esta elipse?485. Deducir la condición, según la cual la recta
y = k» + mes 'tangente a la elipse
,%2 y2
~+/i2=:' 1.
90
486. Hallar la ecuación de Ia tangente a la elipse::r:2 y242 +¡;¡-= 1
en uno de sus puntos MI (Xli Ys).487. Demostrar que las tangentes u la elipse
xi , y2"ili"'fj2=1.
trazadas en los extremos de un mismo diámetro son paralelas.(Se llama diámetro de la elipse a la cuerda que pasa porsu contro.]
488. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse3;2 2¡¡z10+5=1,
que son paralelas a la recta3x+2U+ 7=0.
489. Hallar Ias ecuaciones de las tangentes a la elipsez2+4y2=20.
que son perpendiculares a la recta2x-2y-13=O.
490. Trazar las tangentes a la ClíJlS8x2 y230 +24=1
paralelas a la recta4x-2y+23=0
y calcular la distancia d entre ellas.Ml1. Hallar en la elipse
3;1 y~18+'8=1
el pun to Mi más próximo a la recta2x-3y+25=O,
y calcular la distancia d del punto MI a esta recta492. Desde el punto A (~; t) se han trazado tangentes
:t la elipse
Hallar sus ecuaciones.
9t
493. Desde el punto e (10; - 8) se han trazado tangentesa la elipse
.z~ y225 +16=1.
Hallar Ja ecuación de la cuerda que une los puntos do con-tacto.
494. Desde el punto P (-16; 9) se hall trazado tangen-tes Il la elipse
%2 y2
"+3=1.Calcular la distancia d del punto P a la cuerda de la elipseque une los puntos de contacto.
495. Una elípse pasa pOI' el punto A (4; -1) y es tan-gente a la recta
z + 4y - 10 = O.Hallar la ecuacíón do esta elipse, si sus ejos coinciden conlos ejes coordenados.
496. Hallar la ecuación de la elipse que es tangentea las dos rectas
3z - 2y - 20 = 0, s: + By - 20 = O,si sus ejes coinciden con los ejes coordenados,
497. Demostrar que el producto de 11\ distancia delcentro de la elipse al punto do intersección de una tan-gente arbitraria Con el eje focal pOI' la distancia del mismocentro hasta la base de la perpendicular bnjada desde elpunto de contacto al eje Iocal , es una cantidad constante,igual al cuadrado del semieje mayor de In elipse.
498. Demostrar que el producto de las distancias de losfocos a cualquier tangente de la el ipsc es igual al cuadra-do del semieje menor.
~99. La rectax-y-5=O
es tangente a una elipse cuyos focos están en los pun tosFI (-3; O) y F 2 (3; O). Hallar la ecuación de esta elipse.
500. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos estánsil uados on el eje de abscisas y son si métricos con respectoal origen do coordenadas, si se conoce la ecuación de laLllugento a la ollpse
3x + 10y - 25 = Oy su semieje menor b = 2.
92
501. Demostrar que la recta, tangente n In elipse en unplinto 1'11,forma ángulos Iguales C01l los radios Encales F.A1,l/2M' 'Y pasa por fuera no1 ÚJlglllo F,MP~.
502. Desde el foco izquierdo do la ellpsolx'l !J~105 + 20=1
se ha dírigido un rayo e10 luz con una inclinación al <,je0.7,; de. un ángulo obtuso a. Se sabe que t.g a = - 2. Lle-gando el ruyo a la elipse so ha reflejado .10 ella. Hallarla ecuación de In recta en la que esl;á situado 01 'rayo 1'0-Ilejado.
503. Determinar Jos puntos de intersección de las doselipses:
:(1- + 9yZ - 45 = 0, x~ + 9y2 - 6:r - 27 = O.504. Vertfícando que las dos elipses
n2z2 + ¡n2J12 - fI1.2n2 = O,m2x2 + nZy~ - m2n2 = O (m. =1= 11.)
se cortan en cuatro puntos situados en una circunferenciacon el centro en el origen de coordenadns, determinnr elmdio .R do esta circuníarencín.
505. Dos planos a y ~ forman un ángulo (p = 30". Deter-minar los semiejes de la elipse formada por la proyecciónsobre el plano ~ do una circunferencia do radio R = 10,situada en el plano ex.
506. Una elipse, cuyo semieje menor es igual a 6, e:¡la proyección de una circun ícroncia de radio R = 12. Dcter-minar el ángulo q> formado por Jos planos, en los ([UOestán la elipse y la ctrcunterencta.
507. La dírectríz do tul cilindro circular os una circun-fcrencia de radio R = 8. Determinar los semiejes de laelipse obtenida en la sección de este cilindro al ser cortadopor un plano que forma con sn eje un ángulo q> = 30~.
508. La directriz de un cilindro circular es una circun-rer'oncia de radio R = V3'. Determinar qué ángulo debeIormar 111'1 plano con el oje del cilindro, para que en susección se obtenga una elipse con un semieje mayor a = 2.
509. Se llama contracción uniforme (o dilatación un i-forme) del plano hacia el ojo do abscisas a una transforma-ción de los puntos del plano, según la cual un puntoarbí trnr'io M (:&, y) se traslada al punto M' (x', y') (fig. 16)
{)3
de manera quex' = x, y' = gy,
en donde q >O es IIl1a constante, llamada coeficiente decontracción (o dilatación) uniforme.
?I
~MII
tM'II
M' J.f-----o-----~-
--o~--------------r
Fig.16. l~ig. 17.
La contracción (o dilatación) uniformo del plano hadael eje Oy se define por analogía mediante las ecuaciones
x' = q», y' = y(Lig. 17).
Determinar en qué línoa se transforma la circunferenciaX2 + y'J = 25,
si el coeficiente de contracción uniforme de] plano haciael eje de abscisas es q = i- .
510. El coeficiente de contracción uniforme del planohacia el oje Oyes igual a f. Determinar la ecuación dela línea en que so trnnsforma la elipse
",2 1I216+0=1
modianto tal contracción.511. Hallar la ecuación de In línea en que se t ran s-
forma la elipse
94
después de dos contracciones uniformes consecutivas delplUJ10 hacia los ojos coordenados, sí los cooñciontes delas contracciones uniformes del plano hacia los ejes 0$y Oy son respectivamento iguales a t y ..;;..
e 512. Determinar el coeficiente q de contracción uni-forme del plano hacia el eje O», según la cual la elipse
x2 y2"36+9=1
se transforma en la elipsexZ y23"6+16=1.
5i3. Determinar el coeficiente q de contracción uni-forme del plano hacía 01 eje Oy, según la cual la elipse
x2 y281+ 25 =1
se transforma en la elipse.x2 y2"36+25=1.
511. Determinar los coeñcíentes g. y q2 de dos conersc-clones uniformes consecutivas del plano hacia los ejes OzJI Oy, según las cuales la elipso
x2 gil25+9=1
so transforma en la circunferenciaxZ+y2=16.
§ 19. La hipérbola
So Ilama hipérbola al lugar geométrico de los puntos para loscuales la dífcrencta de sus distancias a dos puntos fijos del plano,llamados Incos, es una cantidnd constante: In diferencia índlcadaso toma en I1U valor absoluto y suele desígnarso con 2a. Los focos dela hipérbola se designan con las letras) FJ y F2 y In distancia entreellos con 2c. Según la definición de la hipérhola, 2a < 2c o a < c.
Si los ejes del sistema de coordenadas cartesiano rectangular sohan elegido do manera que 1(>$ íocos de In hipérbola se sitúnn on elcío do abscisas, simétricamente con respecto al origen de coordonndas,la ecuación de la hipérbola on este sistema do coordenadas es do Laforma
(1)
95
en donde b = 'Vc2 - ,,2. La ecuación de In forma. (1) se llama ecua-ción canóntca de la hipérbola. En el sistema do coordenadas elegtdocomo se ha mdícndo, los cíes do coordenadas son los oícs de sírnotr íado la hipérhola y ,,1 origcJl ,11)coordenudas GS su centro de simetr-ía(Iig. 18). L(,~ejes de simetría do la hipérbola so llaman abreviadamenteejes, y su centro de :¡imotría, centro de la hipérbola. La hipérbolaCOI'la uno (lo sus ejes: los puntos (lo íntorscccíón Sil Ilamun vérticesdo la hipérbola. En 111Hg. 18, los vértices do la hipérbola son lospuntos A I Y A.
a+ .~it /"
:i'
~Fig.1.8.
m rectángulo con los lados 2a y 2b, situado simétricamente conrespecto a los ojes (le la hípérbola y (lUO os tangente 11 ella en sus vér-tices, so llama rectángulo princí pal de la hipérbola.
Los segmentos do longitud 2" y 2b, q\10 unon los puntos mediosde los lados del rectángulo principal do la hipérbola, so llaman tum-hién ejes. Las diagonales del rcctñugulo principal (prolongadas indo-Iinldamente) son las usintotas de In hipérbola y $IIS ecuaciones son:
b by=-¡¡ x , y= -ji' x.
L(I ecuecíón:r;2 !/2
- ,,2 +"'t2=1 (2)dotormina una hípéebola slmétrIca con respecto a los ejes coordenadosy tiene los focos en el eje do ordouudas; la ecuacíón (2), así como laecuaclén (1), BO llama ecuación canónica do la hipérboln; en esto caso,la diterencla constante do las distancias de un punto urhitrurí o doIn lupérbola a 105 focos ('3 igual a 2b.
Las dos hipérbolas, que (\11 UD mismo aistema do coordenadas Sildotermínan por las ecuaciones
x2 y2 x~ y2az--¡;2=1, -Q2+V=1,
;¡ () llaman conjugadas.La hipérbola Mil los semiejes Iguales (a = b) se llama eqllUálera
y Sil ecuación canónica es de la ínrmua'3_y2=a2 o _:;:2+-y2=a2•
9fi
El número
en donde a es la distancia del centro do la hi pérboln a su vértico, sollama excentricidad de la hipérbola. Es evldcnto que para cualquierhip6rbola e > t. Si M (x: 1/) es un punto arbttrar¡o do la hípérbolu,los segmentos F1M y F"M (vAaso la fig. 18) so llaman radios Iocnlcsdel punto M. Los radios focales do los puntos de la rama derecha dela tupérbola se calculan por las f6rmulas
rl=ex+a, r:¡=s.t:-a,y los radios focales de los puntos de la rama izquieeda, por las fór-mulas
rl= -ex-a, 72= -e:t+a..Si la hipérbola SEI da medianto la ecuación (1), las rcctae deter-
minadas por las ecuacionesa a
:1:==-7' z=7'se llaman directrices (véase la lig. 18). Si la hipérbola se da mediantela ecuacién (2), las diroctrices se determinan por las ecuaciones
b b1/--7' Y=e-'
Cada directriz tiene la siguiente propiedad: si r es la distanciade un (>UDtoarbitrarlo do In hipérbola a uno de los focos y d es ladistancia desdo el mismo punto hasta la directriz, unilateral a estofoco, l(raz6n i es una cantidad constante, igual a la excontricidadde la hipérbole:
515. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán situados en el eje de abscisas y son simétricos conrespecto al origen de coordenadas, sabiendo, además, que:
1) sus ejes 2a = 10 y 2b = 8;2) la distancia entre los focos 2c = 10 y el eje 2b = 8;3) la distancia entre los focos 2c= 6 y la excentrici-
3dad e='2;
4) el eje 2a = 16 y la excen tricidad e = !;5) las ecuaciones de las asíntotas
4Y=±3'X
y la distancia entre los focos 2c = 20;
7-3$2 97
6) la dístancia entre las directrices es igual ay la distancia entre Jos focos 2c = 26;
7) la distancia entre las direc trices es igual a ~o
eje 2ú=6;8) la distancia entra las directrices es igual a f
oxccntricidad 8=1-;9) las ecuaciones de las asíntotas son
3Y=±-¡X
y la distancía entre las directrices es igual a i2~.;)
516. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán situados en el eje de ordenadas y son simétricos conrespecto al origen de coordenadas, sabiendo, además, que:
1) sus semiejes a = 6, b = 18 (señalamos con la letraa el semieje situado en el eje de abscisas);
2) la distancia entre los focos 2c = 10 y la excentrici-dad 8 = f;
3) las ecuaciones de las asíntotas SOD
12Y=±sx
22.!.13
y el
y la
y la distancia entre los vértices es igual n 48;14) la distancia entre las directrices es igual a 7 7' y la
. id d 7excentcíci a 8= '5 ;5) las ecuaciones de las asíntotas son
4Y=±'3X
y 111 distancia entre las directrices es igual n 6';' .J
517. Determinar los semiejes a y b de cada una de lashipérbolas sigu iontes:
orZ y~ 2:r.2 2 3 2 ~ •1)T-T=1; )'TIf-y=1; ).t'-4y=lb;
4) x~-y2=1; 5) 4,x1l-9y2=25; 6) 25x2_16y2=1;7) 9X2 - 64yi = 1.
98
518. Dada la hipérbola 1[j~ - 9y~ = 144, hallar:1) los semiejes a y b; 2) los focos; 3) la excontrlcldad:
4) las ecuaciones de las asíntotas; 5) las ecuaciones de lasdirectrices.
5i9. Dada la hipérbola 16x~ - 9y2 = - 144, hallar:1) los semiejes a y b; 2) los íocos: 3) la excentricidad;
4) las ecuaciones de las asíntotas; 5) las ecuaciones de lasdirectrices.
520. Calcular el área del triángulo formado pOLO lasasíntotas de la hipérbola
'::-~=14 9
y la recta9x + 2y - 24 = O.
521. Averiguar qué líneas determinan las ecuacionessiguientes:
2y-1) y=+¡¡ xl_n.2) y= -311x:l+1.
3) x= -iYy2.+9.
4) Y= +i 1Ix2+25.
Ropresontar estas líneas en 01 plano,522. Se da 01 punto M1 (10; - Y5) en la hipérbola.
x~ ya80 -20=1.
Hallar las ecuaciones de las rectas, en las cuales estánlos radíus focales del punto M l'
523. Habiendo verificado que el punto MI ( - 5; i)ostlÍ en In hipérbola
:1"2 v2Ttí-g=1,
detorminar los radios focales del punto .M •.524. La excentricidad de una hipérbola es e = 2; el
radio focal de su punto M trazado desde uno de los focoses igual a 16. Calcular la distancia del punto M a ladirectriz, unilatoral a este foco.
525. La excentricidad de una hipérbola es e = 3; ladistancia de un punto M de la hipérbola a la directriz esigual a 4. Calcular la distancia del punto M al foco, uní-lateral a esta directriz.
526. La excentricidad de una hipérbola es e = 2; sucentro ostÍl en el origen de coordenadas y uno de los focoses F (12; O). Calcular la distancia del punto 111, de lahipérbola, de abscisa igual a '13, a la directriz correspon-diente al foco dado,
527. La excentricidad do una hipérbola es e = f; sucentro está en el origen de coordenadas y una de sus di-rectrices se da mediante la ecuación x = - 8. Calcular ladistancia del punto Mi do la hipérbola, de abscisa iguala 10, al foco correspondiente a la directriz dada,
528. Determinar los puntos de la hipérbola:r2 y264-3(f=1,
cuyas distancias al foco derecho soo iguales a 4,5.529. Determinar los puntos de la hipérbola
",2 y29-16=1,
cuyas distancias al foco izquierdo son iguales a 7.530. Por el foco izquierdo de la hipérbola
Xll y2144- 25 =1
so ha trazado una perpendicular al eje que contiene losvért.íces. Determinar las distancias de los focos a los 'pun-tos de intersección de esta perpendicular con la hipérbola.
531. Construir los focos de la hipérbola:¡;2 y2Vi- 25 = 1,
sirviéndose solamente del compás (se supone que estánrepresentados los ejes de coordenadas y que se ha dadola unidad de medida).
532. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán en 01 ejo do abscisas y son simétricos con respectoal origen de coordenadas, si se dan:
1) los puntos Mi (6; -1) y M2 (-8; 2 V2') de la hi-pérbola;
100
2) el PUIlt.O MI( - 5.3) do In hipérbola y la excentri-cidad e= 'J!2;
3) 01 punto MI ( {; - f) de la hipérbola y las ecua-ciones de las asíntotas
2Y=±-g-X¡
~) el punto MI ( - 3; f) de la hipérbola y las ecua-ciones do las directrices
I¡x=±3i
5) las ecuaciones de las aslntotas3Y=±¡;x
y las ecuaciones do las dírecu-íees16x=±s·
533. Determinar la exccntrtcídad de una hipérbolaoqu ilá lera.
534. Detorrniuar la excentricidad de la hipérbola, si elsegmento comprendido entre sus vórtices se ve desde losIocos de la hipérbola conjugada Lajo un ángulo de 60°.
535. Los focos de una hipérbola coinciden con losfocos de la elipso
:t2 y2"25+T=1.
Hallar la ecuacion de ]a hípérbola, si su excentricidades 8=2.
536. Hallar la eeuaoión de la hipérbola cuyos focosestán en los vértices de la elipse
",2 y'Z.'lOO+ 6~ .=1
'Y las directrices pasan por los focos de esta elipse.537. Demostrar que la distancía del foco de la hipérbola
..::_ yo:. = 1a~ b2
a S1l asíntota es igual a b,
t01
538. Demostrar que 01 producto de las distancias decualquier punto de la hipérbola
",$ y't-;;¡r - -¡;i" = 1
a sus dos asíntotas es una cantidad constante, iguala~ba
a 1l2+bi'539. Demostrar que el área dol para lelogramo, limitado
por las asíntotas de la hipérbola",2 y27-bi"=1
y las rectas truzndns por cualquiera de sus puntos y para-lelas fl las asíntotas, es una cantidad constante, igual
aba 2'
540. Hallar la ecuación do la hipérbola, si se conocensus semiejes a y b, asi como su centro e (xo; Yo) y los focosestán situados en una recta:
1) paralela al eje O:r¡2) paralela al ejo ay.
541. Verificar que cada una de las ecuaciones siguientesdetermina una hipérbola y hollar las coordenadas de sucentro e, los somiejes, la excentricidad, las ecuaciones delas asíntotas y las ecuacioncs de las directrices:
1) 16x'1 - 9y$ - 64% - 54y - 161 = Oí2} 9x2 - 16yt + 90x + 32y - 367 = O;3) 16xll - 9y2 - 64x - 18y + 199 = o.
542. Averiguar qué líneas determinan las ecuacionessiguientes:
1) y= -1+-} Vx~-4x-5;
2) y=7-~ Vx!-6x+1::1¡
::1) ,r=!.l-2VY!:-1-4y+8;
4)x=5-{ VyZ-H.y-12,Hoprcsentar estas líneas en el plano.
tOZ
543. Hallar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que:1) la distancia. entre sus vértices es igual a 24 y los
focos SDn F¡ (-10; 2). F2 (16: 2);2) los Iocos son PI (3; 4). F 2 (-3; -4) Y la distancia
entre las directrices es igual a 3,6;3} el ángulo entre las asíntotas es igual a 90" y 1135 Iocos
son FI (4; -4). F2 (-2; 2).544. Hallar la ecuación de la hipérbola, si se conoce su
excentricidad e = {, el foco F (5; O) y la ecuación de ladirectriz correspondiente
5x -16 = O.545. Hallar la ccuacién de la hipérbola, si se conoce su
excentricidad e = H. el foco F (O; 13) y la ecuación de ladirectriz correspond iente
13y - 144 = O.546. El punto A (-3; -5) está en uno hipérbola, UIlD
de cuyos focos es F (-2; -3) y la directriz correspondientese da medíante la ecuación
;¡; + 1 = O.Hallar In ecuación de esta hipérbola.
M7. Hallar la ecuación de In hipérbola, si se conoce suexcentricidad e = V5", el foco F (2; -3) y la ecuación de ladirectriz correspondiente
3x - y + 3 = O.548. El punto MI (1; -2) está en una hi pérbola, ILnO
de cuyos focos es F (-2; 2), y la directriz correspondientese da mediante la ecuaci6n
2x - y -1 = O.Hallar la ecuación de esta hipérbola.
549. Se da la ecuación de una hipérbola equilátera:z;~ _ y't = at.
Hallar su ecuación en el nuevo sistema, tomando sus asín-Lotas por ejes de coordenadas.
550. Habiendo verificado que cada una de las ecuacionessiguionues determina una~hipérbDla, hallar para cada unade ellas su centro. les samlejes, las ecuaciones de las asin-
103
totas y construir cada una de ellas en el plano.
1) xy = 18, 2) 2xy - 9 = O, 3) 2xy + 25 = O.551.. Hallar los puntos de intersección de la recta
2x - y -10 = Oy la hipérbola
2::1 y220 -""5=1.
552. Hallar los puntos do intersección de la recta4x - 3y -16 = O
y la hipérbola2:2 y22'5-1G=1.
553. Hallar los puntos do intersección de la recta2x-y+1=O
y la hipérbola..:2 y'l.T-T=1.
554. Doterrnlnar, on los casos siguientes, la posiciónde In recta con relación a la hipérbola y verificar si lacorta, es tangente o pasa fuera de ella:
,%;2 y~1) :.t:-y-3=O, 12-3"=1;
x, yfJ2)x-2y+1=O'1ií-g=1;
3 ~ e O.x2 y2) Ix-~y= '25-16=1.
555. Determinar los valores de m para los que la recta5Y=2x+m:%2 yZ
1) corta a la hipérbola 9-36= 1;2) es tangente a olla;3) pasa por fuera de esta hipérbola.556. Deducir la condición, según la cual, la recta
y=lcx+m
101
os tangente II la hipérbola;r2 y2az-b"2=1.
557. Hallar la ecuación de la tangente a la hipérbolazZ y2az-¡;z=1
en su punto Mi (Xi; YI)'558. Demostrar que las tangentes II la hipérbola, tra-
zadas desde un mismo diámetro, son paralelas.559. Hal lar las ecuaciones de las tangentes a la hipér-
bola",2 y2
20-'1)=1,
que son perpendiculares a la recta4x+3y-7=O.
560. Hallar las ecuaciones de las tangentes a In hipér-bola
",2 1/216- 64 =1,
que son paralelas a la recta10.t-3y+9=O.
561. Trazar las tangentes a la hipérbola%2 y'l16-8=-1,
que son paralelas a la recta2:v+4y-5=O
y calcular la distancia d entre ellas.562. Hallar en la hipérbola
",2 1/2"24-16=1
el punto MI más próximo a la recta3:t:+2y+1=O
y calcu lar la distancia d del punto MI a esta recta.563. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la
hipérbola
-'
;¡;2_ y2 = 16,trazadas desde el punto A (-1; - 7).
564. Desde el punto e (1; -10) se han trazado tangen-tes a la hipérbola
%2 y2T- 32 =1-
Hallar la ecuación do la cuerda que une los puntos decontacto.
565. Desde el punto P (1; -5) se han trazado tangentesa la hipérbola
%2 y23-5=1-
Calcular la distancia d del punto P a la cuerda de lo.hipérbola que une los puntos de contacto.
566. Una hipérbola pasa por ol punto A (ViI; 3) y estangente a la recta
9x + 2y - 15 = O.Hallar la ecuación de esta hipérbola, si sus ejes coincidencon los ejes coordenados.
5U7. Halla l' la ecuación de. la hipérbola que es tangentea las dos rectas:
5x _ By _ 16 = O, f3x - 10y - 48 = O,
si sus ojos coinciden con los ejes coordenados.568. Habiendo verificado que los puntos de intersección
do la elipse
y la hipérbola
-=:-_¿=112 3
son los vórtices de un rectángulo. hallar las ecuacionesde sus lados.
569. So da la hipérbola
"'z -~=1ai /)2
y una tangente cualquiera de ello; P es 01 punto de inter-sección do la tangente y 01 eje Ox; Q l:1S la proyeccióndel punto do contacto sobre el mismo eje. Demostrar que
OP.OQ = é,
iou
570. Demostrar qt..: los focos de la hipérbola estánsituados a diversos lados de cualquier tangente de ella.
571. Demostrar que el producto de las distancias de losfocos de cualquier tangente a la hipérbola
.%2 y2a2 --¡;:r = 1
es una cantidad constante, igual a b2•
572. La recta2x - y - 4. = O
es tangente a una hipérbola cuyos Iocos están en los puntosFI (-3; O) y F2 (3; O). Hallar la ecuación de esta hipér-bolll.
573. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos.están situados en el eje de abscisas y son simétricos conrespecto al origen de coordenadas, si se conoce la ecuaciónde In tangente a la hipérbola
15x + i6y - 36 = Oy lo. distancia entre sus vértices es 2a = 8.
574. Demostrar que la recta, tangente a la hipérbolaen cierto punto M, forma ángulos iguales con los radiosfocales FIM y FzM y pasa por dentro del ángulo FtMFz.
575. Desde el foco derecho de la hipérbolaXZ y25-4=1
se ha dirigido un rayo de luz que forma con el eje Ox unángulo a (st < a < -}st). So sabe que tg a = 2. Lle-gando a la hipérbola, el rayo se ha reUejado do ella. Ha-llar la ecuación de la recta en la que está situado el rayorefleiado.
576. Demostrar que, teniendo focos comunes, la elipsey la hipérhola se cortan, formando un ángulo recto.
577. El coeficiente de contracción uniforme del planohacín el eje Ox es igual a f _Determinar la ecuación dela línea, en la cual so transforma la hipérbola
,r.2 _ y~ =11tl \l
después de esta contracción,
107
o b 9 e l' v U ció n , Véllsu el problema 509.
578. El coeficiente de contracción uniforme del planohacia 01 eje Oy es igua] a : . Determinar la ecuación dola línea, en In cual so transforma la hipérbola
::;2 II~25 -0=1
después de esta contracción.579. Hallar la ecuación de la línea, en la cual se trans-
forma In hipérbolax" -:- y2 = 9,
después de dos contracciones uniformes consecutivas delplano hacia los ejes coordenados, si los cocñoientes decontracción unííormo del plano hacia los ejes Ox y Oy SOll
~ . 1 2 5respec rvamento Igua es a 3" y '3'580. Determinar el coeficiente IJ de contracción uniformo
del plano hacia 01 cjo O:¡;, según la cual, la hipérbola,%2 ya25 - 36 =1
se transforma en la hipérbolax2 y~25 -16=1.
581. Determinar el coeficiente q do contracción uni-forme del plano hacía el eje Oy, según la cual, la hipér-bola •
:t~ y2_1T-'1)-se transforma en la hipérbola
x3 y216-9=1.
582. Determinar los coeficientes q, y q2 do dos con-tracciones uniformes consecutivas del plano hacia los ejesO» y Oy, según las cuales, la hipérbola
%2 _ y~ =1<1!) 16
se transformn en la hipérbolax2 y225-61=1.
108
§ 20, J..a parábolaSe llama parábola al. lugar geométrico do Jos puntos, para cada
uno .10 los cuales la distancia a un punto fijo del plano, llamado foco,es igual a In distancia (1 U11a recta fija, Ilnmnda directrtz. El Jocodo la pm'ábola so Ilesigna pOI' la letra F, In d íatuncl a del Joco a ladirectriz por la letra p. El número p so llama parámetro do laparábola.
Consideremos un sistema de coordenadas cartesiano rectangulartal, qua el ojo do abscisas paso por el foco do In parábola dada, seaporpendlcular a In directriz y tenga la d irección de la directriz ElI
Fig.19. Fig.20.
foco; el origen de coordonadua lo supondremos situado a igual distan-cia del foco y de la directriz (lig. 19). En esto sistema do coordenadas,la parábola dada se determina por la ecuación
112=2px. (1)La ecuación (1) so llama ecuación canónica de la parábola. En estemismo sí~t~:n1Ddo coordenadas la directriz de la pnrábola tiene laecuación
x= - ~ .
El radio focal de un punto erbttrarío 111 (x; 1/) do 111 pnráboln (es decir,111 Iongitud del segmento FM) se puedo cnlculur por In fórmula
r=x-{- ~ .
La parúhola tiene un ojo oJostmetría, llamado eje, con el cual so corta('11 un punto único. El punto de íntorsccctón de la parábola y el ejese Ilama vértlcc. En el sistema do coordunndns elegido. como se haIudicado antertormento, (.1 l.jO de lu parábolu coincide con 01 eje deabscisns, el véruco está en 01 origen de coordenados y toda In paráboluse encuentra en 01 semiplano derecho.
Si el sistema de coordenadas 50 ha elegido de manera que el ejodo ahscísas Coincide con el eje de la parábola y el origen de coorde-
109
nades con 01 vértice, poro In parábola csLá en el semiplano lzqulerdo(fig. 20). su ccuacién lil'l'(o:
1/2= -2/)x, (2)
Si el origen do cocrdcnadas se encuontru on ol vért.ice y el ojocoincido (:00 el l'jo de urdunnd ns, la ¡Hlrál¡olu LOlHll'{1 la ccuactén
%2 ==2PYt
,,~=-2py,
on 01 caso do quo esté sttuada en 01 somiplauo supcrlor (rig. 21), ,y Inecuacién
(4)
en L.I caso de que cst6 situada en el scmíplauo inferior (Iig; 22),elida una de las ecuaciones do la pur6boJa (2), (3). (4), así como
la ecuación (1), so Uamo. ecuación eanónica.
y
Fig.2t. Fig.22.
583. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vérticees tÍ! en el origen de coordenadas, sabiendo que:
1) la parábola está situada en el samíplano derecho,es aímétrica con respecto al ejo O« y su parámetro osp = 3;
2) la parábola está situada en el semínlano í zquierdo ,es si métrioa con respecto al eje Oe y Sil parámetro esp = 0,5;
3) In parábola está sítuada en el semi plano superior,es simétrica con respecto al eje Oy y su parámetro es
1P = 7;;4) la parábola está situada en el somiplano inferior,
es simétrica con respecto al eje Oy y su parámetro es p = 3;
110
584. Determinar el valor del parámetro y la situaciónde las parábolas siguientes con respecto a los ejes coorde-nados:
1) y2 = 6x; 2) x~ = 5y; 3) y~ = - 4x; 4) 3;2 = - y.585. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice
está en 01 origen de coordenadas, sabiendo que:1) la pnrábcla es simétrico con respecto aJ eje Ox
y pasa por el punto A (9; G);2) la parábola es simétrica con respecto al eje Ox
y pasa por el punto B (-1; 3);3) la parábola es simétrica con respecto al eje Oy'
y pasa por el punto e (1; 1)j4) la parábo.la es simétrica con respecto aloje Oy
y pasa por el punto D (11; -8).586. Un cable de acero está colgado por los dos extre-
mos; los puntos de suspensión están situados a una mismaaltura y a una distancia de 20 m. La magnitud de la He-xión a la distancia de 2 ro de los puntos de suspensiónen sentido horizontal, es igual a 14.4 cm. Determinar lamagnitud de la flexión de este cable en Sil punto medio(la flecha), suponiendo que el cable tiene la forma de unarco de parábola.
587. Hallar la ecuación do la parábola que tiene 01foco F (O; -3) y pasa por el origen de coordenadas,sabiendo que su eje sirve de eje Oy.
588. Averiguar las líneas quo determinan las ecuacio-nes siguiou tes:
1) y= +2yX, 2) y= +V=X, 3) y= -3Y ~,4) y=-2V;, 5) x=+V5y, 6) x=-5V-y,
7) x = - V l1y, 8) x = +4 V - y.Representar estas Iíneas en el plano.
589. Hallar el foco F y la ecuación de la directriz dela parábola
y2 = 24x.590. Calcular el radio focal del punto M de la parábola
y~ = 20x,si la abscisa del punto M es igual a 7.
591. Calcular el radio Iocal del punto M' de la parábolay'l. = 12x,
si la ordenada del punto M es igual a 6.
1.1.1
592. Hallar en la parábolay2 = 16x,
los puntos cuyos radios focales son iguales a 13.593. Hallar la ecuación de la parábola, si se da el foco
F (- 7; O) y la ecuación de la directrizx - 7 = O.
594. Hallar la ecuación de la parábola, sabiendo que suvértice coincide con el punto (a; ~), el parámetro os iguala p, el eje es paralelo aloje Ox y la parábola se prolongaindefinidamente:
1) en la dirección positiva del eje Ox;2) en la dirección negativa del oje O».595. Hallar la ecuación de la parábola, sabiendo que su
vértice coincide con el punto (a; ~), el parámetro es iguala p, el eje es paralelo al eje Oy y lo. parábola. se prolongaindefinidamonte:
1) en la dirección positiva del eje Oy (es decir, la pará-bola es ascendiente):
2) en la dirección negativa del eje Oy (es decir, la pará-bola es descendiente).
596. Verificar que cada una de las ecuaciones siguientesdetermina una parábola y hallar las coordenadas de su vér-tice A, la magnitud del parámetro p y la ecuación de ladirectriz:
1) y2 = 4x - 8,3) X2 = 6y -1- 2,
2) y2 = 4 - 6x,4) X2 = 2 - y.
597. Verificar que cada una de las ecuaciones siguientosdetermina una parábola y hallar las coordenadas de suvértice A y la magnitud del parámetro p:
'1) y=txL1-:¡;+2, 2) y=4.v2-8x+7,
3) y= -i-x~+2.x-7.
598. Verificar que cada una de las ecuaciones siguientesdetermina una parábola y baIlar las coordenadas de suvértice A y la magnitud del parámetro p:
11) X=2y2_12y+14. 2) x= -'4y2-1-U,3) x= -y2-1-2y_1.
112
599. Averiguar las líneas que determinan las ecuactonessiguientes:
t) V=3-4.Vx t.3) :1:=2- V6-2y,
2) x= -4+3Vy-=t:5,4) y= -5+V -3$-21.
Representar estas líneas en el plano.600. Hallar la ecuación de la parábola, si se dan su
foco F (7; 2) y la directriz
x - 5 = O.601. Hallar la ecuación de la parábola, si se dan su
foco F (4: 3) y la directrizy + 1 = O.
602. Hallar la ecuación de la parábola, si so dan sufoco F (2; -1) y la directriz
z - y -1 = O.603. Dado el vértice do una parábola A (6; -3) y la
ecuación de Sil directriz
3x - 5y + 1 = 0,hallar el foco F de esta parábola.
6011. Dado el vértice de una parábola A (-2; -1) Y laecuación de su directriz
x + 2y - 1 = 0,hallar la ecuación de esta parábola.
605. Hallar los puntos de intersección de la recta
x+y-3=0y la parábola
X2 = 4y.606. Hallar los puntos de intersección de la recta
3x + 4y - 12 = °y la parábola
y2 = _ 9,x.
607. Hallar los puntos de intersección de la recta
3x - 2y + 6 = O
8-352113
y la parábolal· = (5x,
608. Determinar, en los casos siguientos, 11\ posiciónrelativa de la recta y la parábola: si la corta, si es tangenteo pasa por fuera de ella:
1) x-y+2=O, y2=8x;2) 8:¡;+3y-15=O, X2= -3y;B) 5x-y-15=O, y2= -5x.
609. ¿Para qué valores del coeficiente angular k, larecta
y = lcx + 2:1) corta a In parábola yZ = 4xj2) es tangente a ella;3) pasa por fuera de esta parábola?610. Deducir la condición, según la cual, la recta
y=kx+bes tangente a la parábola
y2 = 2px.
611. Demostrar que se puede trazar una, y solamenteuna, tangente a la parábola
y2 = 2px,cuyo coeficiente angular sea igual a k:::j= O.
612. Hallar la ecuación de la tangente a la parábolay2 = 2px
en su punto Mi (XI; YI)'613. Hallar la ecuación de la recta que es tangente
a la parábola
y paralela a la recta2x + 2y - 3 = O.
614. Hallar la ecuación do la recta que es tangentea la parábola
y perpendicular a la recta2x + 4y + 7 = O.
114
615. Trazar una tangente a la parábola
y2 = '12x
que sea paralela a la recta
3x - 2y + 30 = Oy calcular la distancia d entre esta tangente y la rectadada.
me. Hallar en la parábolay2 = {)!f.1:
el punto MI más próximo a la recta
4x + 3y - 14, = Oy calcular la distancia d del punto MI a esta recta.
617. Hallar las ecuaciones do las tangón tes a la parábolayZ = 3()x
tratadas desde el punto A (2; 9).618. Se ha tratado una tangente a la parábola
y2 = 2px.
Demostrar que 01 vértice de esta parábola está en mediodel punto de intersección de la tangente con el ojo O»y de la proyección del punto do contacto sobre el eje Ox.
619. Desde el punto A (5; 9) se han trazado tangentesa la parábola
Hallar la ocuacioncontacto.
620. Desde el punto P (-3; 12) so hall trazado tangentesa la parábola
y2 = 5x.
do la cuerda que une los puntos de
y2 = 10x.
Calcular la distancia d del punto P a la cuerda do laparábcla (IUC une los puntos de contacto.
621. Determinar los puntos de lntersecctón do la elipsex2 y2100+225= 1
y do la paráholay'l = 24x.
8· 115
022. Determinar los puntos do intersecci6n de la htpér-bola
y do la parábolay2 = 3x.
623. Determinar los puntos de intersección de las dosparábolas:
y = XZ - 2x -1- 1, x = y2 - fJy + 7.624. Demostrar que la recta, que es tangente a la pa-
rábola en un punto M, forma ángulos iguales con el radiofocal del pun to M y con el rayo que, partiendo del punto M,va paralelo al eje de la parábola en la dirección en quela parábola se prolonga mdeñnídamente.
625. Desde el foco de la parábolay2 = i2x
se ha dirigido un rayo de luz hacia el eje O», forma'ndocon él un ángulo agudo a. Se sabe que tg a = !.Al llegara la parábola se ha reflejado el rayo de ella. Hallar laecuación de la recta en la que está 01 rayo reflejado.
626. Demostrar que dos parábolas que tienen un ejecomún y un foco común, situados entre sus vórtices, socortan formando un ángulo recto.
627. Demostrar que, si dos parábolas con los ejes per-pendiculares entre sí se cortan en cuatro puntos, estospuntos estlín situados en una circunferencia.
§ 21. Ecuación polar de la elipse, de la hipérbolay de la parábola
La ecuación polar común a la elipse, a 11Ilarama do la hipérbolay a la parábola es
pp= 1-e cos El (1.)
en donde j> y O son las coordenadas polares de un punto arbitrariode la Ilnea: p es el parámetro focal (la mitad de la cuerda focal quees perpendicular alojo); e es la excentricidad (para la parábolae = t). Se supono que el aistema polar de coordenadas se ha elegidodo manera quo el polo está en el foco y 01 ejo polar va por el eje dela Iínea en dirección contrarie a la directriz más próxima a este foco.
H6
628. Dada la eCU3ClOnde la elipseZ3 y22!+«f=1.
hallar su ecuación polar, suponiendo que la dirección deleje polar coincido con la dirección positiva del eje deabscisas y que el polo está:
1) en 01 foco izquierdo do la elípse;2) en 01 foco derecho.629. Dada la ecuación de la hipérbola
,$2 y216-9=1,
hallar la ecuacion polar de su rama derecha, suponiendoque la dirección del eje polar coincide con la direcciónposítíva del ejo de abscisas y que 01 foco está:
1) en el foco derecho de la hipérbola;2) en el foco izquierdo.630. Dada la ecuación do la hipérbola
:z:2 y225-'144=1,
hal lar la ecuación polar de su rama izquierda, suponiendoque la dirección del eje polar eoíncíde con la direcciónpositiva del eje de abscisas y que el polo está:
1) en el foco izquierdo do la hipérbola;2)' en el foco derecho.631.. Dada la ecuación do la parábola
y2 = 6x,hallar su ecuación polar, supontondo que la dirección deleje polar coincide con la dirección positiva del eje deabscisas y que el polo está en el foco de la parábola.
632. Determinar las líneas que se dan en coordenadaspolares mediante las ecuaciones siguientes:
5 G1) I}= 1 ,2) p= i-cosO' 3)
i-Tcos&
4) _ 12P - 2-cos9 •5) _ :1
p- 3-4cosO '
10(J= 3 •
1-TCOSO
16) P = 3_ 3 cos O
633. Verificar que la ecuación144
p= 13-5cos Odetermina una elipse y hallar sus semiejes.
117
634. Verificar quo la ecuación18
p 4-500s9determina la rama derecha de una hipérbola y hallar sussemiejes.
635. Verificar que la ecuación21
5-~cos O
determina una clipse y hallar las ecuaciones poluros do susdirectrices.
636. Verificar que la ecuación. 16p= 3-5cose
determina la rama derecha de una hipérbola y hallar lasecuaciones polares de las directrices y de los asíntotas deesta hipérbola.
637. Hallar en la elipse12p=--":::--
3- -l/2cus O
los puntos cuyos radios polares son iguales 11 6.638. Hallar en la hipérbola
15p= 3-;C036
los puntos cuyos radios polares son iguales a 3.639. Hallar en la parábola
P- p- 1-QOS O
los puntos:1) cuyos radios polares sean mínimos;2) cuyos radíos polares sean iguales al parámetro de la
parábola.640. Dada la ecuación de la elipse
:z:2 y2(ii'+-¡;¡r= 1,
hallar su ecuación polar, suponiendo que la dirección deleje polar coincide con la dirección positiva del eje deabscisas y que el polo está en el centro de la elipse.
H8
64L Dada la ecuación de la hipérbola",2 y2li'i"- /¡2 = 1,
hallar su ecuación polar, suponiendo que la dirección deleje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisasy que el polo está en el centro de la hipérbola.
642. Dada la ecuación de 'la parábolay2 = 2px,
hallar su ecuación polar, suponiendo que la Mrección deleje polar coincide con la dirección positiva dol eje doabscisas y que el polo está en el vértice de la parábola.
§ 22. Diámetros de las líneas de segundo ordenEn los cursos do geometría analítica se demuestra que los puntos
medios do las cuerdas paralelas de las líneas de segundo orden estánsituados L'O 111111 recta. Esta recta se IlIlIDII dtámotro de la linea desegundo orden. El dlámotro quo divide por 111 mitad alguna cuerda(y, por In tanto, todas las cuerdas paralelas 11 ella), se llama conjugadoa esta cuerda (y n todas las cuerdas paralelas 11 ella).
Todos los diémctrus de In el ipse y de In hí pérbolu pasan por elcentro. Si la elipse so ha dado por la ecuación
/1:2 y2az+-¡¡z=i, (i)
el diámetro conjugado a las cuerdas que tienen ol coeücicnte ungular k.so dotermina por la ccuacíón
b:l.y= - a~"x.
Si In hipérbola se 1Ul dudo por la ecuaciónx2 y~(i2-1)2=1. (2)
el diámetro conjugado a las cuerdas que tienen el cocñcíontc ungular'e, se determina por Ia ecuaciónb~
y= aZ"x.
Todos los diámetros do la parábola son pacalelos a su l\jO. Sila parábola 50 ha dudo mcdiaute la ecuación
y2=2p:z:,el diémetro conjugado a las cuerdas quo tienen 01 coeficientu angular k,50 dctcrmína per la ecuación
py=¡¡ .
t19
Si llllO de los diámetros do la elipse o de la hipérbola divido porla mitad las cuerdas paralelas 11 otro diámetro, este último divida01HollCCS por la mitad 185 cuernas paralelas al diámotro anterior.'I'ales diámetros ac llaman conjugados entre sí.
Si k Y TI son los cosftcientos angulares de dos diámotros conju-gados entre sí de la Cli¡lllO (1), tendremos que
b2 (3)kk:' = -(i2 .
Si r, y k' son los coeficientes angulares do dos díémetrcs conjugadosentre sí de In hipérbola (2), tendremos que
"2klc'=-¡¡:r' (4)
Las relaciones (3) y (1,) so llaman condícloucs de ccuíugacíén do losdiámetros de )a olípso y de la hipérbola, respect.ivamonto.
El dlúmoteo do 111línea do sognndo orden, perpcndículur a lascuerdas conjugadas, se llama principal.
643. Hallar la ecuación del diámetro ele la elipsex2 II~25 +16=1,
que pasa por la mitad do la cuerda que intercepta en larecta
Zx - y - 3 = O.
644. Hallar la ecuación de la cuerda de la elipsex3 y21ü+g=1,
punto A (1; -2) y es dividida en él porque pasa por ella mitad,
645. Hallar las ecuaciones do dos dtámetros conjugadosentre sí de la elipse
X2 + 4y2 = 1,uno de los cuales forma un ángulo do 45° con el eje Ox,
646. Hallar las ecuaciones de dos diámetros conjugadosentre sí de la elipso
4x2 + 9y2 = 1,si uno, de ellos es paralelo a la recta
x + Zy - 5 = O.647. Hallar las ecuaciones de dos diámetros conjugados
entre sí de la elipse
120
si uno de ellos es perpendicular a la recta3x + 2y - 7 = O.
{jq8. En el plano está representada una elipse. Construirsu centro sirviéndoso de una regla y un compás.
649. Demostrar que los ejes de la elipse forman el únicopar de sus diámetros principales.
650. Aplicando las propiedades de los diámetros conju-gados, demostrar que cada diámetro de la circunferenciaes principal.
65'1. a) En la elipse se ha inscrito un triángulo isóscelesde manera quo uno de sus vértices coincide con uno de losvértices de la elipse. Demostrar que la base de este trián-gulo es paralela a uno de los ejes de la elipse.
b) Demostrar que los lados del rectángulo inscrito enla elipse son paralelos a los ejes de esta elipse.
e) En el plano está representada una elipse. Construirsus diámet.ros principales, sirviéndose de una regla y uncompás.
652. Demostrar que las cuerdas de la elipse que unenun punto arbitrario de olla COn Jos extremos de cualquierdiámetro de esta elipse, son paralelas al par de sus diámetrosconjugados.
653. a) Demostrar quo la sumo de los cuadrados de dossemidiámetros conjugados de la elipse es una cantidad cons-tan te (igual a la suma de los cuadrados de sus semiejes).
b) Demostrar que el área del paralelogramo, construidosobre dos semidiámetros conjugados de la elipse, es unacantidad constante (igual al área del rectángulo construidosobre sus semiejes).
654. Hallar la ecuación del diámetro de la hipérbola.1'2 yZT-T=1,
que pasa por la mitad de la cuerda que intercepta en larecta
2x-y+3=O.655. Dada la hipérbola
"=:'-.!:-13 7 - ,
hallar la ecuación de la cuerda que pasa por el puntoA (3; -1) Y se divide en él por la mitad.
121
656. Hallar las ecuaciones do dos diámetros conjugadosde la hlpérhola
;¡;2 _ 4y~ = 4,
si uno de ellos pasa por el punto A (8; 1.).657. Hallar las ecuaciones do los diá metros conjugados
de la hipérbola
que forman un ángulo de 45°.658. En el plano está representada una hipérbola. Cons-
truir su centro, sirviéndose de una regla y un compás.659. Demostrar que los ejes de la hipérbola forman el
único par de sus diámetros principales.660. En el plano está representada una hipérbola. Cons-
truir sus diámetros principales, sirviéndose de una reglay un compás. .
661. Hallar la ecuación del diámetro de la parábolay2 = 12%,
que pasa por la mitad de la cuerda que intercepta en la recta3x + y - 5 = O.
662. Dada la parábolaya = 20x,
ballar la ecuación de la cuerda que pasa por el puntoA (2; 5) y se divide en él por la mitad.
663. Demostrar quo el eje de la parábola es el únicodiámetro principal.
664. En el plano está representada una parábola. Cons-truir su diámetro principal empleando una regla y un compás.
vCapítulo
SJMPLlFICAClON DE LA ECUACION GENERAl, DE I,ALINEA DE SEGUNDO onDEN. EC1JACIONES DE ALGUNAS
cunvxs QljE SE pnESENTAN EN LAS MATEJlfATlCASy EN SUS APLICACIONES
§ 23. Centro de la línea de segundo orden
So llama línea do segundo orden, a lo. línea quo en ciorto sístomndr coordenadas cartosinno so dotcrmína modíanto unu ccuuoién dosegundo grado. Se ha convenido on escribir" la ocuecíón general dosegundo grado (de dos variables) (In la forma:
Ax2+2Bxy+Cyz+2Dx+2Ey+F=O. (1)
So llama centro de una línea al punto do) plano con respectoal cual 105 puntos de esta línoa están situados on pares do puntossimétricos. Las lineas do segundo orden que tíenen un solo centrose llaman centrales.
El punto S (xo; Yo) es centro de la linea detormínada por la eCIH\-ción (1) cuando, y solamente cuando, sus conrdonadas satisfacen a lasecuaciones:
Axo+BYo+D=O, }Bxo+CYo+E=O,
Dcsígncmos por 1) 01 determinante de este sistema:
(Z)
LlI cantidad 1) se forma con los cocñcíentes de los términos superroresde la ,JlCUaCiÓll (1). '1 se llama díscrtmtnante de los térmtuos supe-rrores de esta ocuacion.
Si 1) + 0, el sistema (2) es compatiblo y determinado, es decir,tiene solución, quo, ndemás, es única, En este caso so pueden hallarlas coordenadas del centro mediante las fórmulas:
I~~IYo= I~'~I'
La desigualdad 6 ::f= O caracterl za la línea central de segundo orden.
123
Si S (:ru; Yo) os el centro de la línea de segundo orden , despuésdo la transformación de coordenadas mediantn las Iérmulas
z=:;+zo, y=y+uo«(IUn corresponde al traslade del origen de. coordenadas al centro dolu Iíuea) su ecuaoíén tornaré la forma
A;2+211;y+CV~+F=O,l!JI JI! que A, B, e son Ius mísmos que cn Ja ecuación dada (") y F sedoterurlua modínnto la fórmula
F=Dzo+Eyo+F.Si ti ..¡. 0, se verifica tmubién la Iórmula ljiguionlo;
~ óF=T'
I!II donde
lA B DIó= B e E .DEP
El dotermínante IJ. 50 llama disceimínante del primor miembro do laecuaeíón lteneral de segundo grado.
665. Determinar cuáles de las líneas siguientes son cen-trales (es decir, tienen un centro único). cuáles no tienencentro y cuáles tienen infinidad de centros:
1) 3x2-4xy-2y2+3x-12y-7=0;2) 4x:l+5xy+3y2_X+9y-12=0;3) 43;2 - 4.2,'1/ +y2- 6x + 8y+13 = O;4) 4x2-4xy+y2_12.x+6y-11 =0;5) x2-2:ry+4y~+ 5x-7y+ 12=0;6) x2-2.?;y+y2-6x+6y-3=0;7) 4x2 - 20xII+25y2-14x +2y -15 = O;8) 4x2-6xy-9y2+3x-7y+12=0.
666. Verificar quo las Líneas dadas a continuación soncentrales y hallar para cada una de ollas las coordenadasdol centro:
1) 3X2+5.?;y+y~-8x-11y-7=0;2) 5xz+4xy +2y2+ 20x+20y -18 = O;:3) 9xz-4 ..ty_7y2_12 =0;I!) 2,:¡;Z-6xy+5y2+22.x-36y+11 =0.
124
667. Verificar que cada una de las líneas dadas a conti-nuación tiene infinidad de centros: hallar paro cada una deellas la ecuación del lugar geométrico do los centros:
1) x~-6xy+9y~-12x+36y+ 20= O;2) 4x2+4.xy+ y2_8x -4y-21 =O;3) 25x2-10xy+y2+40x-8Y-I-7=O.
668. Verificar que cada una de las ecuaciones dadasa continuación determina una línea central; transformarcada una de ellas mediante un traslado del origen de coor-denadas al centro:
1) ~x2-6xy+2y2_q.x+2y +1 = O;2) G,Z2+ 4.xy+y2+4.x-2y +2=0;3) 4xz+6xy+y2_10x-10=O;4) -1x2+2xy+6yz+6x -10y+9=O,
669. ¿Paro. qué valores de m y n la ecuaciónmx2 + 12xy + 9y2 + 4x + ny - 13 = O
determina:a) una línea central;J¡} una línea sin centro;e) una línea que tiene infinidad de centros?670. Dada la ecuación de la línea
4X2 - 4xy + y2+ 6x + 1 = O,determinar para qué valores del coeficiente angular k larecta
y = kxti) corta a esta línea en un punto;h) es tangente a esta línea;e) corta a esta linea en dos puntos;d) no tiene puntos comunes con esta línea.671. Hallar la ecuación de la línea de segundo orden,
que, teniendo el centro en el origen de coordenadas, pasapor el punto M (6; - 2) y es tangente a la recta
x-2=0en el punto N (2; O).
672. El punto P (1; -2) es el ceotro de una línea desegundo orden que pasa por el punto Q (O; -3) y es tangentealoje O» en el origen de coordenadas. Hallar la ecuaciónde esta Jínea.
125
§ 24. Redueclén do lo ecuacíén do la línea central desegundo orden 11 la fOnDa más simple
Supongalnos quo se da una ecuaciónIh:!i.+20.,y+Cv~+2Dz+ 2l!.'1I+F=O, (1)
(lUO determina W1U Iínce central do segundo orden (6 =AC - DI .p O),Trastadando el origen de coordenadas al centro S (ol:o;!lo) do lISIa 1IMay u-ausfonnaudo lo ecuación (1) mediante las f6rmulas
%=x+.xo. Y=Y+1I0,
....;7.+ 21EY+CY2+P=ú.Para calcular F se puede apl icar In Iórmula
F =D%o +Eyo + F'
(2)
o la ('¡I'OIlIla
La rcduocíún ul torlor de In ecuación (2) se consigue modlantc unatransíormucíón de eoordonndns
X'=%' cosa-y' sen e, }(3)y=z' sen a+y' cosa,
(1110 corrCs\,ondc a lino rutnoíóu do los ejes en 110 ángulo a.S. so In elegldu 01 ángulo a de numera que
n tg~a-(C-A) tga-B=O, (4)la ecuación dc In Iinca (m las coordenadas nuevas torna la forma
A'Z'2+C'V'2+F"",0, (5)
eu donde A' "p O. C' + O.N OLa. La ecuación (4) permite hallur tg a, mientras que en
las fórmulas (3) figuran seu c y cosa. Conocícndo tea so pUOII" hallurson Ct y ceJI! a mediante las fórlllulas <lo In tl'igunulllelrill
sena= tga ,cosa= 1. •± Vt+tg2 Ct ± Vt+ tB~Ct
Entre los coeücientcs de las ecuaciones (1) y (5) existen las impor-tantes relaciones
A'O'=AC-J)~,A' +C'=A+C,
que permiten determinar los coeficientes A' Y e' sin hacer ningunatranslermacíén de coordenadas.
Una ecuación do sogundu orden se 1111.11\3 elipuca, si I~ >O;hiperbólica, si {j < O Y paruhúlica, si Ii = O. La ocunclún di! unalínea central solamente puede ser elíptica o hiperb6lica.
126
'l'oda ecunciún elipLica es una ocuncién, hlcn .1e una cltpso 01·11:-nur-in , btun ([(1 una elipse. dcgeneradu (es dcci r , dotorm íuu un puntoúulco) , O do una CliPS0 itlla~illal'io. (en este cusu, 1[1ccuucióu no dolor.milla ninguna figura gcométrrca).
Toda ecuación hí pcrbéltca detcrmíuu, bien uua htpérbola ord l-ruu-ia, bien una hipérbola dogcneradn (es decir, IIn par de rectas con-currcntes).
673. Determinar el tipo de cada una de las ecuacionessiguientes *): roducir cada una de ellas a la forma más simplemedianto un traslado paralelo de los ejes coordenados;averiguar qué figuras geométricas determinan y representaren un plano la situación de estas figuras con relación a losejes de coordenadas antiguos y nuevos:
1) 4x2+9y~-40x + 36y + 100= O;2) 9.1;2-16yZ-54x-64y-127 =0;3) 9xz+4y2+ 18;¡;- 8y+49 = O;4) 4X2- y2+ 8x- 2y.-¡-3 = O;5) 2.1:2+3y2+8x-6y+11 =0.
674. Reducir cada una do las ecuaciones siguientes a laforma más simple; hallar el tipo de cada una de ellas;averiguar las figuras geométricas que determinan y repre-sentar en un plano la posición de estas figuras con respectoa los ejes coordenados antiguos y nuevos:
1) 32.x2+52xy-7y2+180=O;2) 5x2_6xy+5y~-32=Oj3) 17,¡;2-12:-¡;y +ByZ= O;11)5x2+V1:cy-5y2=0;5) 5x2-6.-¡;y+5y2+8=0.
675. Calculando el d iscr-ituinanto de los términos supe-rieres de las ecuaciones siguientes, datorm inar el tipo decada una de ellas:
1) 2X2+ 10xy + 12y2-7x+ 18y -15= O;2) 3X2- 8xy+ 7Y2-1- 8x-15y+20= O;3) 25x2;_ 20xy +4y2_12x+ 20y-17 = O;4) 5x2+ 14xY-I'-l1y2+ 12x-7y + 19 = O;5) x2 - 4.xy -1- 4y2+ 7x -12 = O;O) 3;~:2- 2xy - 3y2+ 1.2y- 15 = O.-----
") Es ducir , determinar cuáles do ollas son oltpttcas, cuáleshiperbólicas y cuáles parabólicas.
127
676. Reducir cada una de las ecuaciones siguientes a laforma canónica; hallar el tipo de cada una de ellas; averi-guar qué figuras georuétricas determinan; representar encada caso, en un plano, los ejes dol sistema inicialde coordenadas, los ejes de los otros sistemas ele coorde-nadas que se emplean durante la resolución y las figurasgeométricas que determinan los ecuaciones dadas:
1). 3x~ -1- 10xy +3y2_ 2x-14y -13 = O;2) 25xz -14xy +2.'Jy2+64x - 54y - 224 = O;3) 4xy+3y2+16x+12y-36=O;4) 7xz+6xy_y2+2Bx+12y .¡-28=0;5) 19x2 + u:r:y.1- 11y2+38x + 6y + 29 = O;6) 5X2'- 2:r.y+ 5y2 - 4x + 20y + 20 =O.
677. Hacer 10 mismo que en el problema anterior paralas ecuaciones:
1) 14x'+24xy+ 21y2-4x+ 18y-139=0;2) 11.'l:2-20xy-/¡y2-20x-8y+1=0;3) 7X2+ BOxy+32y2_14x-60y+ 7 = O;4) 50xll-8xy + 35yt··1-100x-·8y +67 =0;5) MxZ + 24xy +34y2 + 34x-112y+ 129=0;6) 29x2-24ry+36y2+82x-96y-91=O;7) 4xz + 24xy + Hy2 + 64x +42y ·t-!ji = O;8) 41x2 + 24xy + 9y2 -1- 24x +18y - 36 = O.
678. Sin transformar las coordenadas, vcr í íícar quecada una de las ocuacíonos siguientes determina unaelipse y hallar las magnitudes de sus semiejes:
1) 41x~+24xy+9y2+24x+18y-3G=O;2) 8x2+4xy+5yz+ 16x+4y-28=0;3) i3x2 + 18xy+ 37yZ- 26x-18y +3 = O;4) 13x2+ 10.cy+ 13y~+46x+ G2y+13= O.
679. Sin transformar las coordenadas, verificar quecada una de las ecuaciones siguientes determina un punto
t28
único (una elipse degenerada) y hallar sus coordenadas:a) 5x2-6xy+ 2y~-2.r. -1- 2= O;b) X2+ 2xy +2y2 + ü!J +·9 =0;e) 5:l2-f- 4.r.y+y2-6x- 2y +2=0;d) x2-6.r.y +10y'l+ 10.1;- 32!1+ 26"", O.
680. Sin transformar las coordenadas, verificar quecada una de las ecuaciones siguientes determina unahipérbola y hallar las magnitudes de sus semiojes:
1) 4X2+ 24l'Y+ 11y~+61x+42y -1- 51 =0;2) 1Zx2+ 26xY-r- 12y2_52x-48y+ 73=0;3) 3l:2+~.xy-12x+1(1=0;4) .1,2_ f3xy-7y2+10;t:-30y +23=0.
681. Sin transformar las coordenadas, verificar quecada una de las ecuaclones siguientes determina un pardo rectas concurrentes (una hipérbola dogonerada) y hallarsus ecuaciones:
a) 3xs+4.2:y+y~-2x-1=0;b) :c2-6,xy+8y2-4y-4=O;e) x2-4.xy+3y2=0;d) X2 +4xy + 3y2-6x-12Y-r9 = O.
682. Sin transformar las coordenadas, averiguar quéfiguras geométricas determinan las ecuaciones siguientes:
1) 8x2-12xy+ 17.'12+1Gx -12y + 3 = O;2) 17x2-1.8xy-7y2+34.x-18y+7=0;3) Zx2+3xy-2y2+ 5x+ 10.'1 = O;4) 6X2- 6xy+911D-4x+ 18.'1+ 14= O;5) 5x2-2.xy·+5y2-4x+ 20.'1 + 20=0.
683. Demostrar que, para cualquier ecuación ollprica,los coeficientes A y e no pueden convertirse en cero y sonnúmeros de un mismo signo.
684. Demostrar que una ecuación eltpuca de segundogrado (o >O) determina una elipse cuando, y solamentecuando, A y ti son números de signo contrario.
685. Demostrar que una ecuación elíptica de segundogrado (6 >O) es la ecuación de una olipso imaginaria
11-862 t20
cuando, y solamente cuando, A y b. son números de igualsigno.
686. Demostrar que una ecuación elíptica de segundogrado (6 >O) determina una elipse degenerada (un punto)cuando, y solamonte cuando, 6 = O.
687. Demostrar que una ecuación hiperbólica de segundogrado (& < O) determina una hipérbola cuando , y sola-mente cuando, e. =1= o.
688. Demostrar que una ecuación hiperbólica de segundogrado (& <O) det.ermina una hipérbola degenerada (un parde rectas concurrentes) cuando, y solamente cuando, 11 = O.
§ 25. Reducción de la ecuación parabólica a la form.amás simple
Supnngnmos que la ocuacíénAx2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey-i-F=O
es parabólica, es decir, sausíaco a la condiciónó=AC-Bz=O.
En esto caso, la línea doñnida por la ecuacíéu (1) o no tione centroo tiene Iufin idad de centros. Resulta conveniente comonzar la sim-plificación de la ecuacién parabóllca mediante una rot ación de losoje~ coordenados, o son, transformando primero la ccuacíón (1) nunlian-le lns fórmulas
(1)
x = z' cos et- y' son a., }y=x.' sella.+!I' COSet.
El állgulo a. se halla do la ecuaciónB tg2 a-Ce-A) tg a-lJ=O;
(2)
(.3)entonces, la ecuaci6n (1), on coordcnadns nuevas, se reduce a la forma
A'z'2+2D'x'+2E'y'+F=O, (4)en donde A' "1= O, o a In forma
O'y'LI-2D'x' +2E'y' +F=O, (5)CIl donde C' =!= O.
La simplificnción u!tl?riol' do las ecuaclonos (4) y (5) S~ consiguemediante un traslado paralelo de los ejes (girados).
(j89. Verificar que cada una de las ecuaciones siguienteses parabólica; reducir cada una de ellas a la forma. másSimple; averiguar qué figuras geométricas doterminan;representar en cada caso, en un plano, los ejes del sistemade coord enadas inicial, los ejes d e los otros sistemas decoordenadas que aparecen durante la resolución y la
130
figura geométrica determinada por la ecuación dada:1) 9.1;2.- 24;ry+ 1Gy~- 20x -;-110y - 50 = O;2) 9X2+ 12.xy+ 4y2 - 24x -16y-+ 3 = O;3) 1Hx' - 24xy + 9ya -160x + 1201/ + 425 =O.
(i90. Hacer lo mismo que en el problema anterior parnlas ecuaciones:
1) 9x2.+ 24xy+ 1.6y2_18x+22I>y + 209=0;2) x2-2.xy+y2-12x+12y-14=0¡3) 4X2 +12xy -:-9!1'- 4x - liy ;-1 = O.
691. Demostrar que, para cualquier ecuación parabólica,los coeficientes A y e no pueden SOr números de signocontrario y 110 pueden convertirse en C01'O simultáneamente.
692. Demostrar que cualquier ecuación parnbélíca puedoescribirse en la forma:
{a.x + ~y)t + 2Dx + 2Ey + F = O.Demostrar también que las ecuaciones clíptic.as e hiper-bólicas no pueden tener esta Iorma.
693. Verificar que las ecuaciones siguientes son para-bólicas y escribir cada una de ellas en la Iorma indicadaen el problema 692:
1) x2+4ty+4yz+4x+y-1.5=0;2) 9x2-6xy+y2_X+2y-14=O;3) 25x2 - 20xy +4y2+3x - y j_ 11 = O;4) 16x2+16xy+4y2-5x+7y=0;5) 9xlI-4Zxy+49y2+3x-2y-24=0.
694. Demostrar que, si una ecuación de segundo gradoes parabólica y está. escrita en la forma
(ctx + ~y)~ + 2-Dx + 2By + F = O,el discriminante del primer miembro de la ecuación sodetermina mediante la fórmula
ó = - (D~ - Ea)2.
(¡95. Demostrar que la ecuación parnhóltca
~"t_~ + ~y)2 + 2Dx -1- 2Ey + F = O
!la IHI
después de la transformacíénx =x' cos 9- y' SOn 9.1/ =x' sen El 1- y' cos e,
en dando
se red uce a la formaC'y'2 + 2D'x' + 2E'y' + F' = O,
C' 2 1).3 D' .. ~=a+I'" =±V ~'y 6. es 01 discriminante del primer miembro de la ecuacióndada.
696. Demostrar que la ecuación parabólica determinauna parábola cuando, y solamente cuando, 6. =1= O. Demos-trar que en este caso el parámetro de la parábola se deter-mlna mediante la fórmula
p= V (A-=i-~)a .
697. Verificar. sin transformación de coordenadas, quecada una de las ecuaciones siguientes determina unaparábola y hallar el parámetro de esta parábola:
1) 9X2+24xy+16y2_120x+90y=0;2) 9x'-24xy+ 16y~-54x-178y + 181 = O;3) X2_ 2.xy+ y'+6x-14y+29=0;4) 9xl-6xy+y2-50x+50y-275=0.
698. Demostrar que una ecuación de segundo gradoos la ecuación de una línea degenerada cuando, y sola-mente cuando, 6. = O.
699. Verificar, sin transformación de coordenadas, quecada una de las ecuaciones siguientes determina un parde rectas paralelas y hallar sus ecuaciones:
a) 4x2+4.xy+y2-12x-6y+5=0;b) 4x2-12xy+9y2+ 20x - 30y-11 =0;e) 25x2 -10xy + y2 1-10x - 2y -15 =O.
700. Verificar, sin transformación de coordenadas, quecada una do las ecuaciones siguientes determina una recta(\1T1 par de rectas coincidentes) y hallar la ecuación de
1a2
esta recta:a) x2-6:l:y+9y2+4x-12y+4=0;b) 9.t' + 30xy +25y2 +42x + 70y + Il9= O;e) 16.t2-16:cy +4y2-72x + 36y -1- 81 = O.
§ 26. Ecuaciones de algunas curvas que so presentan enlas matemáticas y en sus aplicaciones
701. Hallar la ecuación del lugar geométrico de lospuntos que el producto de sus distancias a dos puntos
y '" y
Fig.23.
dados FI (-Ci O) y F2 (Ci O) es una cantidad constante,igual a a2• Este lugar geométrico de puntos so Llama6 val o d e e a S sin i (lig. 23).
702. Hallar la ecuación del lugar geométrico de lospuntos que el producto de sus distancias a dos puntosdados Fi (-a; O) y F2 (a; O) es una cantidad constante,igual a a1.. Este lugar geométrico do puntos se llama1 e ro n i s e a t a (fig. 24). (Hallar, primero, la ecuaciónde la lemniscata direc1&Jnente y, después, considerándolacomo un caso particular del óvalo de Cassínl). Hallartambién la ecuación de la lemniscata en coordenadas pola-res, haciendo coincidir el eje polar con el semieje posi-tivo Ox y el polo con el origen de coordenadas.
703. Hallar la ecuación del lugar geométrico de lasbases de las perpendiculares bajadas desdo el origen decoordenadas a las rectas quo interceptan en el ángulocoordenado triángulos de un area constante, igual a S.
o b s e r v a ció n, Hullar, primero, la councíén en coordenadnspolares, haciendo coincidir el polo con el orígen de coordenadas y eleje polar con el semieje posltívo O:r.
133
704. Demostrar que 01 lugar geométrico de los puntosdel problema 703 es uno. Iomníscata (véase el problema 702).
o b s e r v a ció n. H ncor girar Ioe cjus coordonadoe un ángulodo 45°.
705. Un rayo a, cuya posición inicial cotnci dia con eleje polar, gira alrededor del polo O con una velocidad angu-lar constante t», Hallar. on el sistema polar de coordenad as
dado, la ecuación de la trayec-toria de un punto M que semueve uniforme monte por elrayo a con una velocidad v,si en su posición inicial coincidecon el punto O (la e s p ¡-r a 1 d e A r q u í ID e d e s,(fig. 25).
706. Se da la recta x = 2ry una circunferencia de radio rque pasa por el origen de coor-denadas O y es tangente a larecta; desde el punto O se hatrazado un rayo que corta a lacircunferencia dada en el punto By a la recta dada en el punto Cjen él se ha marcado un segmento01v1 = BC (fig. 26). Al girar elrayo, varia la longitud del seg-
mento 0/1.( y el punto M describe una curva llamadae i s o i d e. Hallar la ecuación de la cisoido.
707. Se da la recta x = a (a >O) y una circunferenciade diámetro a que pasa por el origen de coordenadas O yes tangente a la recta dada: desd.el punto O se ha traza-do un rayo que corta R la circunferencia en el punto Ay a la recta dada en el punto B. Desde los puntos A y Bse han truzado rectas paralelas a los ejes Oy y O», rospectí-va mente (fig. 27). Al girar el rayo, el punto lVl de inter-socción de estas rectas, describe una linea llamada e u r v ad e A g n e s i. Hallar su ecuación.
708. Desde el punto A (-a; O), OJI donde a > 0, se hatrozndo IIn rayo A" (fig. 28), en el cual, a ambos ladosdel punto B, se han trnzadn unos segmentos BN! y EN deigual longitud b (b = const.). Al girar 01 rayo, los puntos111 y N describen uua curva, lla mada con e O i d e. Ha-
III
I/
'"'"'".... ~/
Fíg.25.
llar su ecuación, primero, en coordenadas polares, tomando01 punto A por polo y dirigiendo el eje polar en la direcctón
Fig. ze. Fig. "1.7.
positi va del eje O» y, después, pasando al sístema carte-siano de coordenadas rectangulares dado.
Fig. <!8. Pig , "1.9.
709. Desde el punto A. (-a; O). en donde a > O, seha trazado un rayo A B (fig. 29), en el cual, a ambos ladosdel punto B se han trazado uuos segmentos B]I,f y BN,
f3.5
iguales 11 OB. Al girar el rayo, los puntos M y N descri-ben una curva, llamada e s t r o f o i d e. Hallar su ecua-ctén, primero, en coordenadas polares, tomando el puntoA por polo y dirigiendo el eje polar en la dirección positivadel oje O» y, después, pasando al sistema cartesiano docoordenadas rectangulares dado.
7tO. Desde el origen de coordenadas se ha trazado unrayo que corta a una circunferencia dada r- + yZ == 2ax (a > O) en el punto B (fig. 30); en 01 rayo, a arnbos
~'ig.30. Fig. 31.
Indos del punto B, se hall trazado unos segmentos, igualesa BM y BN do long itud constante b, Al girar el rayo, lospuntos ll1 y N describen una curva, llamada ca r a cold e P a s e a I (ñg. 30). Hallar su ecuación, primero,en coordenadas polares, tomando el origen de coordenadaspOI' polo y el semieje positivo Os: por eje polar y, después,pasando al sistema cartesiano de coordenadas rectangulares.
711. Un segmento de longitud 2a se mueve de maneraque sus extremos están situados todo el tiempo en los ejesde coordenadas. Hallar la ecuación de la trayectoria dela base M de la perpendicular bajada del origen do coor-denadas al segmento (fig. 31), primero, en coordenadaspolares, tomando el origen de coordenadas por polo y elsemieje positivo O» por ejo polar y, después, pasando alsistema cartesiano de coordenadas rectangulares. El punto Mdescribe una curva llamada r o s a d e e u a t r o h o j a s.
136
712. Un segmento de longitud a se mueve de maneraque sus extremos están situados todo el tiempo en los ejesde coordenadas (fig. 32). Por los extremos del segmentose han trazado rectas paralelas a los ejes coordenados hastasu intersección en el punto P. Hallar la ecuación de la
!/
[ligo sa.
!/
I!'ig. as.
trayectoria do la baso 11,1 de la porpondiculur hajada delpunto P ni segmento. Esta trayectoria se llama a s t r o i d e.
N o t a. Hallar. prlmero, las ecuaciones paramétrlcas do laastroído, oligicndo 0\ parámetro t como so indica 011 la fig. 32 (olí-minar. después, el parámotro t).
7i3. Desde el punto B de intersección del rayo OBcon la circunferencia x~ + y2 = ax se ha bajado una per-pendicular ·BC al eje Oz; Desde el punto C se ha bajadouna perpendicular CM al rayo OB. Deducir la ecuaciónde lo. trayectoria del punto M, primero, en coordenadaspolares, tomando el origen de coordenadas por polo y elsemieje positivo Ox por eje polar y, después, pasando alsistema cartesiano de coordenadas rectangulares.
714. Un hilo, enrollado en la circunferencia :r;2 + y'J == a'4, SCl desenrolla de manern que se mantiene tangentea la circunferencia en el punto B, donde el hilo se separade ella (Hg. 33). Hallar las ecuaciones para métricas de In
137
línea que describo 01 extremo del hilo, si ésto, en su posl-ción inicial, está 00 el punto A (a; O), donde a >O. LaIínoa considerada se llama o vol ven t o do 1 ae i r e u n f o r ti JI c I a.
FIg.34.
715. Un círculo de radio a rueda sobre 01 eje O» si 11resbalar. La trayectoria de un punto M de la circunferenciade esto círculo so Ila ma e i e 1 o i d e (Hg. 34). Deducirlas ecuaciones paramétricas de In cicloide, tomando porpurá metro t el ángulo en que gira la ci rcunfcrenei a rod an te
y
F'ig. 35.
y
Fig.311.
a lrcdodor do su con tro: so SUp0l10 que en el momento IIH-cíal (t = O) el punto M está en el origen de coordenadas.Eliminar el parámetro t de lus ecuaciones obtenidas.
716. Un círculo de radio a rueda exteríormeutc, sinresbalar, sobre la ctrcuníerencln Xl + y'l. = (¿'J. La trayectoria
138
<10 UII punto lv! tle la clrcun lerencia del círculo rodnnteso llama e a r dio ido (fig , 35). Deducir las ecuacionesparamétricas de la cardioide , tomando por parámetro t elángulo que forma con el eje Ox el radio do la circunferenciafija. trazado al punto do contacto COI1 la circunferenciarodante. Se supone que en el momento inicial (t = O) elpunto M estaba a la derecha, en el eje Ox. Pasar a coor-denadas polares, suponiendo que la dirección del eje polarcoincide con la dirección positiva del eje de abscisas y queel polo está en el punto A.
Demostrar que la cardioide es un caso part.icular delcuracol de Pascal (véase el problema 710).
y
Fi~. 37.
7t7, Un círculo do radio a rueda extcrlormentc, sinresbalar, sobre la ci rcunferanc ia z'' + y~ = b:. La traycctortnde un punto N[ de la circunleroncia del círculo rodantese llama epi e j e 1 o i d o (fig. 36). Deducir las ecuacionespnramétricas de la epicicloide, tomando por parámetro tel ángulo que forma con el ejo O» el radio de la circun-Ierencia fija, trazado por el punto 4'10 su contacto con lacircunferencia rodante; se supone que en el momento ini-cial (t = O) el punto M estaba a la derecha, en el eje 0%.Demostrar que la. cardioide (véase 01 problema 716) es unaforma particular de la opicicloide.
718. Un círculo do radio a meda intcrlorrnentc, sinresbalar, sobre la circuu lereucln ;~2 + y'! ¿.,. bZ• La traytl<.'tol'Íade un punto M de la circunferencia del circu lo rodante
139
so llama 11i p o e í e 1 o í d e (lig. 37). Deducir las ecuacio-nes paramétricas de la hipocicloide, tomando por paráme-tro t el ángulo que forma con el eje O» el radio de la circun-ferencia fija, trazado por el punto de su contacto con lacircunferencIa rodante; se supon o que en el momento inicial(t = O) el punto M estaba a la derecha, en el eje Ox,Demostrar que Ia astroíde (véase el problema 712) es unaforma particular de la hipocicloide.
Segunda parte
GEOMETRIAANALITICA
DEL ESPACIO
VICapítulo
l·nOIH.E~rAS ELEMENTALES IlE I.A GEOMI'i:TRlAANALITICA nEL ESPACIO
§ 27. Coordenadas cartesianas rectangulares en elespacio
~l sistema cartesiano ole coordcnndas rccrnngulares en el espuel»Se determina por una unidad Ilnoal para 1M medidas de longitudy por tres ejes, perpendículares eutro si. concurrontes en 111\ puntoy numerados on un orden dctcrmlnado.
z,, . - - - - - - ;1
, IM,'----«f-'---
I
Io II I~¡ -~ ......--:_-,-,-J-...:y~
~' ------_...!/.t:
Fig.38. Fig.39.
El punto 00 intersecctén do los ejt'S se Ilama origen oc coordenadasy los propíos ejes. ejes cocrdcnados. EL primer ojo coordenado S9llama ('Ojode abscisns; el segundo, ojo do ordenadas y 01 tercero, ojodo cotas.
El origen do coordenndas so mdíca con In lctrn O, los ojo.q docoordcuadas so Indlcan respecnvamonto con los aímbolos O», Oy. Oz ,
Sea M un punto arbltrnrlo del espaclo y M ..... 111'!I Y M z sus proyec-cienos sobro los cíes coordonadoa (Hg. 38).
So llaman coordenadas del punto il'1. con respecte ni sistema con-siderado. a los nfrmeros:
x=O,..f",. y~OMIJ' z=O,..,z
143
(fig. 38), en donde 0/1(. es la magnitud del segmento OM", del ejedo abscisas; OM 11'la magnitud del segmento OM 11 del oje de ordenadasy OM .. la magnltud del segmento OM. dol oje do cotas.
El número s: so llama abscisa, y, ordonada y z, cotn del punto M.El símbolo M (:2:, 1/; z) denota que el punto M tiene Ius coordenadasx, (/t z .
El plano Ouz divido todo el espacio en dos semi espacios: 01 situadoen la díroccién positiva del eje O» se llruna anterior y, el otro, poste-rior. El plano Oz« divide también o) espacio en dos semtespacíos:el situado en la dirección positiva do) ejo Ov 59 llama derecho 'Y elotro, izquierdo. Por último, el plano Ozy divide el espacio en dossern iespacios: 01 situado on la dirección positiva del ojo Oa so llamasu períor y el otro, inferior.
Los tres planos O"'y, 0:&% Y Ous dividen conjuntamente 01 espacioen ocho 'Partes, llamadas octantes coordenados y se numeran comose indica en la fig. 39.
719. Trazar (en proyecciones axonométricas) los puntossiguientes, si sus coordenadas cartesianas son: A (3; 4; 6),B (-5; 3; 1), e (1; -3; -5), D (Oj-3; 5), E (-3; -5: O)y F (-1; -5; -3).
720. Se dan los puntos: A (4; 3; 5), B (-3: 2; 1),e (2; -3; O) y D (O;o: -3). Hallar las coordenadas desus proyecciones: 1) sobre el plano Oxy; 2) sobro el planoOxz; 3) sobre el plano Oyz; 4) sobre el eje de abscisas; 5) so-bre 01 eje do ordenadas; 6) sobre el eje de cotas.
721. Hallar las coordenadas de los puntos simétricosa. los puntos A (2; 3; 1), B (5; -3: 2), e (-3; 2: -1)y D (a; b; e) con respecto: 1) al plano Oxy; 2) al plano Oxz;3) al plano Oyz; 4) al eje de abscisas; 5) al eje de ordenadas;6) al eje de cotas: 7) al origen do coordenadas. .
722. Se dan cuatro vértices de un cubo: A (-a; -a: -a)B (a: -a: -a), e (-a; aj -a) y D (a: a; a), Hallar losdemás vértices.
723. Determinar en qué octantes pueden estar situadoslos puntos cuyas coordenadas satisfacen una de las condi-ciones siguientes:
1) x - y = O:4) x + z = O;
2) x + y = O;5) y - z = O;
3) x - z = O;6) y + z = o.
724. Determinar en qué octantes pueden estar situados lospuntos si:
1) xy >O; 2) xz < O; 3) 1IZ > O, 4) xY~á> O;5) xyz < O.
725. Hallar el centro de una esfera de radio R = 3.qua es tangente a los tres planos coordenados y está situada:1) en el segundo octante; 2) en el quinto octante; 3) en el sex-to octante; q) en el séptimo octante; 5) en el octavo octante.
§ 28. Distancia entre dos puntos. Di visión de unsegmento en una raz6n dada
La distancia d entre dos puntos M. (x.; Y.; t¡) y M% (z%; Y2; z:Jun el espaciu se determina por la (órmula
d= y(Z2-Xl)~+(Y2-Yl)2+(%2-%1)2.Las coordcnades x. Y. z del punto M que divido on In razón?
el segmento M.¡M2, limitado por los puntos M, (x.; Y.; %J) y 1112 (X2;112; %2), so hallan jnediante las fórmulas
XJ .!- ¡"X2 YI + "112 zJ + ¡"%2X=~' y=~, z=""TjT'
En particular, para? = 1, tenemos las coordenadas del punto mediodel segmento dado:
x= xl+~ y=J!.1+1{2, z=ZI..L,' %2.2' 2 2
726. Se dan los puntos: A (1; -2; -3), B (2; -3; O),C (3; 1; -9), D (-1; 1; -12). Calcular la distancia entre:1) A y C; 2} B y D; 3} C y D.
727. Calcular la distancia del origen de coordenadas Oa los puntos: A (4; -2; _!~);B (-4; 12; (5), C (12; -<Á; 3),D (12; 16; -15).
728. Demostrar que es isósceles el triángulo cuyos vérti.-ces son A (3; -1; 2), B (O; -4; 2) y C (-3; 2; 1).
729. Demostrar que es rectángulo 01 triángulo cuyosvértices sonAl (3; -1; 6), A2 (-1; 7; -2) y A3 (1; -3; 2).
730. Determinar si hay un ángulo obtuso entre los ángu-los internos del triángulo iVf1 (4; -1; 4), M2 (O; 7; -/1),M 3 (3; 1; -2).
731. Demostrar que son agudos los ángulos internos deltriángulo Al (3; -2; 5), N (-2; 1; -3), P (5; 1; -1).
732. Hallar en el eje de abscisas un punto cuya distan-cia al punto A (-3; 4; 8) sea igual a 12.
733. Hallar en el eje de ordenadas un punto equidistantede los puntos A (1; -3; 7) y B (5; 7; -5).
734. Hallar el centro e y el radio R de la superficieesférica que pasa por el punto P (4; -1; -1) y es tangentea los tres planos coordenados.
735. ; ados los vértices de un triángulo: Mi (3; 2; -5),
10-352 14;'
M z (i; -4; 3) y 1113 (-3; O; 1), hallar los puntos mediosde sus lados.
736. Dados los vértices de un triángulo A (2; -1; 4),B (3; 2; -6), e (.-5; O; 2), calcular la longitud do la me-diana trazada desde el vértice A.
737. El centro de gravedad de una varilla homogéneaestá en el punto e (1; -1; 5), uno de sus extremos está enel punto A (-2: -1; 7).Averiguar las coordenadas del otroextremo de la varilla.
738. Dados dos vértices A (2: -3; -5), B (-1; 3; 2)del paralelogramo ABCD y el punto de intersección <le susdiagonales E (4: -1; 7), determinar los otros dos vérticesde este paralelogramo.
739. Dados tres vértices A (3: -4.; 7), B (-5; 3; -2)y e ('1; 2; -3) dol paralelogramo ABCD, hallar el cuartovértice D, opuesto a B.
740. Dados tres vértices A (3; -1: 2), B (1; 2; -4)y e (-1; 1; 2) del paralelogramo ABCD, hallar el cuartovórtice D.
71i1. m segmento de una recta, limitado por los puntosA (-1; 8; 3)y B (9; -7; -2), estn dividido en cinco par-tes iguales por los puntos e, D, E y F. Hallar las coordena-das de estos puntos.
742. Determinar las coordenadas de los extremos delsegmento que es dividido en tres partos iguales por los puntose (2; O; 2) y D (5; -2; O).
743. Dados los vértices de un triángulo A (1; 2; -1),B (2; -1; 3) y e (-4; 7; 5), calcular la longitud de la bi-sectriz del ángulo interno del vértice B.
744. Dados los vértices de un triángulo A (1; -1; -3),B (2; 1; -2) y e (-5; 2; -6), calcular la longitud do labisectriz del ángulo externo del vértice A.
745. En los vértices do un tetraedro A (Xi; YI; %1).B (X2; YZ; %2), e (X3; Y3; %3), D (X.; y,; z~) están concentra-das masas iguales. Hallar las coordenadas del centro de gra-vedad de este sistema da masas.
74G. En los vértlces del tetraedro Al (XI; YI; %1),Az (X2: Y2; %2), Aa (X3; Y3; %a), A4 (x,; Y4; %~) están concen-tradas las masas mI! m2, m3, Y m,:,. Hallar las coordenadasdel centro de gravedad de este sistema de masas.
747. Una recta pasa por dos puntos Mi (-1; 6; 6)y M z (3; -6; -2). Hallar los puntos do su intersección conlos planos coordenados.
1"6
VIICapítulo
ALGEBRA VECTORIAL
§ 29. Noción de vector, Proyección de un vector
Los segmentos dirigidos so llaman también vectores gcométrlcoao símplomento vectores. Siendo 01 vector un segmento dirigido, lodesignaremos en 01 texto como se hizo antoriormente, con dos letrasmayúsculas Iatinas y una rayita común encima de ellas; la primera10t1"n indicará eL origen y la segunda el extremo del vector. Al mismotíem po designaremos 01 'vector con una lotra mlnúscula latina ennegrttas, que CII Los diagramas so coloca en el extremo de la flecha que
Fig. I¡O.
representa el vector (véase In fig. I¡O, en la que eatá representado elvector a con el origen A y 01 extremo B). A menudo, el origen dol vectorse llama también BU punto de aplicación.
Los vectores se dicen iguales (equipolentes), si tienen la mls mnlongitud, están situados en rectas paralelas o en una misma rectay tic non la misma dirección.
El número, igual a. In longitud del vector (con respecto a la. unidadl ineal), se llama. módulo. El módulo del vector a se representa por lanotaolén lal (l a. Si lal =1, el vector a S9 llama vector unitario.
El vector unitario quo tiene la misma dirección que el vectordado a, se llama versor del vector a y se Indica ordtnarlamcnto conel símbolo a",
Se llama proyección (lel 'lector iiB sobre 01 eje l' al número Iguala la magnitud del segmento AtO. del e]o u. en donde Al es la proyec-ción del punto A sobre el ejo u y BI la proyección del plinto B sobro01 mismo cjo.
La proyección del vector AS sobre el eJe,. so representa con lBnotación pr .. AB. Si el vector está designado por 01 símbolo u, suproyección sobro el ejo ,. se representa ordinariamente con la notnclónpr'L a.
Lu proyocción del vector a sobre 01 oio u so expresa mediante sumódulo y 1.'1ángulo cpque íorma con (!I eje u, ¡IOC In fórmula
pr"a=lal·coscp. (i)En lo sucesivo, las proyecciones de un vector arbitrario a sobre 109
oics de un ststoma de coordenadas dado se dostgnarán con 1M letrasX, Y, Z. La igualdad
a={X; Y; Z}indica que los números X, Y, Z son las proyecciones del vector sobrelos ejes coordenados.
Las proyecciones del vector sobre los eios coordenados so llamantambién coordenadas (cartesianas) de él. Si se dan dos puntos M, (:a:.
Z
y
Fig.4i.Yt; t,) y M2 (X2; Y2; Z2), q\10 son respcctívnmente el origen y 01oxtromooel vector a; SUR coordenadas X, Y, Z están dadas por las fórmulas
(2)permito hallar el módulo del vector, conociendo SII9 coortlonudas.
Si a, ~, y son 109 ángulos que formo a} vector a con los ojos coor-donados (hg. 41), entonces, cos a, cos B, cos y so llaman COSOllOS direc-tores del vector a,
De III Iérmuln (1), se deduce que:X=lalcosa. Y=lalcoslJ, Z=lalcosy.
De aquí y do la fórmula (2), tonemos que:cos2 a+c()s2 ~+COS2y=1.
Esta última igualdad permite hallar uno de l.IS ángulos a, fl, "', sise conocen los otros dos.
148
748. Calcular el módulo de vectora = {6; 3; -2}.
749. Dadas dos coordenadas ele un vector X = 4., Y =- 12, hallar la tercera coordenada Z, siendo 1(.(, I = 13.750. Dados los puntos A (3; -1; 2) y B (-1; 2; 1),
hallar las coordenadas de los vectores AB y EA.75'1. Hallar el punto N, con el que coincido 01 extremo
del vector ce = {3; -1; 4}, si su origen coincide con elpunto 111(1; 2; -3).
752. Hallar el origen del vector a = {2; -3; -1},si SIL extremo coincí de con el punto (1; -1; 2).
753. Dado el módulo de un vector 1((, 1= 2 y los ángulosex= 45", f3 = 60°, "\'= 120", calcular la proyección delvector (1, sobre los ejes coordenados.
7M.. Calcular los cosenos directores del vectorQ, = {12;-15; -10}.
755. Calcular los cosenos directores del vector
{3 4 12}a.= 1]; 13; 13 .
756. <"Puede formar un vector con los ejes coordenadoslos ángulos siguientes: 1) ex= 4.'5°, ~ = 60", "\'= 120";2) ex = <\5°, [1 = 135°, "\'= 60"; 3) ex = 90'°, t3 = 150",Y = 6(n
757. ¿Puede formar un vector, con dos ejes coordenados,los ángulos siguientes: 1) ex= 30", B = 45"; Z) j3 = BO°,V = fjÜ"'; 3) ex ~~ 1500, "\' = 30o'~
758. Un vector forma con los ejes Ou: y Oz los áugu losCI. .",. 12(r' Y Y = 45·~. ¿Qllé ángulo forma con el eje Oy?
759. Un vector a, forma con los ejes coordenados Oa: y Oylos ángulos ex= noo, f.I = 12O-~.Calcular sus coordenadas,sabiondo que la I = 2.
760. Hallar las coordenadas del punto M, si su radiovector forma con los ejes coordenados ángulos iguales y sumódulo es igual a 3.
§ 30. Operaciones lineales con vectoresSe llama suma a + " de dos vectores a y lJ al vector que va desdo
01origendel vectora. al ox tremodel vectorb ; soSil pone quo el extremode! vector a es 01 punto ¡loaplicacióndel vectorb (reglu del triángulo).En la fig. 42 estú.representada la construcción de la suma a + (J.
149
Ademñs do la regla del triángulo, a menudo so emplea la r e g J ad o 1 1) a r a 1 O 1 o g r a ID o (que os equivalente): si los vectores ay b tionen un orlgcn común y sobre ellos se ha construido un paralologru-mo, la suma a + b será 01 vector que coíncído con la diagonal deesto paralelogramo y qU!l parte del origen com ún <lo los vectores a y (J(lIg. 43). Do aquí so deduce inmediatamente que a + b = (J + a.
Fig.42.
k?7aF.ig.43.
La suma do muchos vectores se otectúa mediante la aVlicncióllsucesiva do lo regla del triángulo (véase la (ig. '1" en dund<1 IlSlárepresentada la construcción do la suma de cuatro vectores a, 11, e, el).
So llama diíeroucia a - (J de los vectores a y (1 al vector que. alsor sumado con el vector o, <la el vector a·, Si dos vectores a y b nunenun origen común, Sil díícroncla a - b es UD vector que va del extremo
aFig.44.
do b (esustraondos) al extreme do a (smínuendos). Dos vectores ¡le¡guallongl~ud, snundcs on lino. recta y orientados on sentido contrarlo,so llaman opuestos entro sí: si UI1(1 de ellos so Indico. con la notación a,el otro so indicará con In notación - a. Es evidente, que a - (1 =-= a + (- (J). Do esto modo, lo construcción de la diferencia osequivalente a sumae al vector emluuendoe 01 vector opuesto al esus-traendos.
El producto aa (o también aa) del vector a por el número a es unvector cuyo módulo es igual al producto del módulo del vector apor el módulo del número 0:, es paralelo al vector a o está con 61 enuna misma recta y tiene la misma dirección que el vector a, si a esun número positivo, y la dirección opuesta, si o: es un número nogauvo.
La suma do vectores y 01 producto do un vector por un número 30Hamnn operaciones lineales con vectores.
Subsisten 109 dos teoremas fundamentales siguientes sobre lasproyecciones do los vectores:
t50
1. La proyección do la suma do vectores sobro un eje os iguala la suma do sus proyecciones sobre el mismo eje:
pru(al+a2+'" + a,,)=pru(l.l+pruaz+··· +prua".2. Al multiplicar un vector por un número, su proycccíén queda
multtphcada por el mismo número:PTu(cta)~ apr"a.
En particular, sia={X1; Y1; ZI}, ()={X2; Yz: Z2},
80 tiene:
ya.-(J=~XI-X2; Y1-Y2; ZI-Z2}'
Si a = {Xi Y; Z}. IHIl':1 cualquier número a,aa={ctX; «V; aZ}.
Los vectores situados 011 una recta o cm rectas llal'nluh.s, se llamancolincalcs. La condición do cohncaltdad de dos vectores
a={X1i l'¡; ZI}, (J={X2; 1'2: Z2}consiste en la proporcíonultdad do sus coordenadas:
Xz 1'2 Z2X¡-=Y;'='Zt.o
Una terna elo vectores t; J, le se llama baso coordenado, si estos VectoressntisfllclIn a las cond íciones siguientes:
1) el vector i estlÍ. altuudo en 01 ojo O», 01 vector 1, en el ojo 011y 01 vector le, en el eío Oz;
2) la dirccci6n do cada uno de los vectores 1., j, le coincido conla dirección IKmitiva do su ojo;
3) i, 1. I~ son vectores uní \uri(,s. es decir, 1( I = 1, 11 1= 1,110: I = 1.
Cualquleru que son ,,1 vector a., siOlllpre SIl 10 puedo descomponermediante los vectores básícos t, s, le, os decir. síompre se puede oxpro-Sil r en 1.. íorma:
a=Xi+yj +7,1,;los coeíícloutos <In esta dcscorupusicrén IIIlU las coordenadas del Vl'C-1.<1(' a. (es decir, X, Y, 7, son las proyecciunes del vector a sobre losejes coordenados).
761. Dados los vectores a y 11, construir los vectoresñiguientes: 1) a+1I; 2) (t-b; 3) l'J-a.; 9.) -a-h.
762. Dados: la 1= 13. 1b 1= 19 y I a+b 1= 24, calcularla-bl·
763. Dados: I ti I = 11, 1 b I = 23 y 1 (1, - b I = 30, deter-minar Ia.+bl.
764. Los vectores a y b son porpendiculcres entre síy lal=5, Ibl=12. Determinar la+bj y la-bl·
151
765. L08 vectores a y TI Iortna n un ángUlo <P= 60°;sahíando que lal=5 y 1"1=8, determinar la+bl y !a-bj-
766. Los vectores u y b forman un ángulo 'P = '120 ,sabiondo que 1a 1=3 y lb 1=5, determinar 1(1,+b 1 yla-"I·
767. ¿Quó condiciones deben sattsjacor los vectores (l.
y b para que subsistan las siguientes relaciones?1) la+bl=la-1Jli 2) la+lJl>lfL-úl;
3) 1({.+bl<la,-bl.768. ¿Qué condiciones deben satisfacer los vectores u.
y 1) para que el vector Q,+b bisecte el ángulo formadopor los vectores o. y b?
769. Conociendo los vectores a y b, construir los voc-tores síguíentes: 1) 3(t; 2) -{-¡Ji 3) 2a++b; 4) -}a-31>,
770. En el triángulo ABC el vector AB = 'In y 01 vec-tor AC = 'I'l.. Construir los vectores siguientes: 1) ni, ~n ;
nt-')~ , n-m ,,' 'I1t+n T ....2) -2-; 3) -2-; 1) --2-' 'omando por uuídadde
medida ~ In 1, construir también los vectores: 5) 1n I'm ++lm,ln; 6) Inl'ln-Imln.
771. m punto O es el centro de gravedad del triánguloABC. Demostrar que OA+OB+OC=O.
772. En un pentágono regular ABCDE se han dado losvectores que coinciden con sus Iados: A13 = ·tU·, Be = '11.
CD=p, DE=q y EA=1'. Construir Jos vectores:1) m-n+p-q..!...r; 2) 1n+2p+{'J'; 3) 2nt+f·n-- :3]) - (/-l- 21',
773. En 01 paralelepípedo ABeDA' B'C' D' (fig. ~:i) sehan dado los vectores que coinciden con SIlS aristas:AB='IJ"I., A[)= n: y AA' =1). COnstruir los vectores slguion-
1 1 1tes: 1) ·n¿+n+p; 2) ·m.+n 1-2'1); :~) T1Jt+Tn+l);14) m.+n.-Pi 5) -m-n '1-2'1)'
774. Tres fuerzas M, N y P están aplicadas n unpunto y tienen direcciones perpendiculares antro sí. Hallarla magnitud de su resultante R, sabíendo que lil{I=2 kgf,IlV 1=10 kgf y lE I= 11 kgf.
152
775. Se dan dos vectores a={3; -2;0} y b={-2¡1; O}. Determinar las proyecciones sobre los ejes coorde-nados de los vectores siguientes: 1) a+ b; 2) u- o; 3) 2a.j
l ,t4) -2' l); 5) 2u-l- 3b; 6) 3' Cf,- b.
776. Verificar que los vectores a.= {2; -1; 3} y b == {- 6; 3; - 9} son colíneaíes. Determinar cué 1 es 01 máslargo y en cuántas veces; cómo están dir ig idos, en unamisma dirección o en direcciones opuestas.
D' e'A'p
I
11ID e~.r----- ---.,.
.4 m BFig.45.
777. Determinar para quó valores de el. y ~ los vectoresa = - '2>i + 3j +~k Y b = ad. - 6j + 2k son cof ineales.
778. Verificar. quo los cuatro puntos A (a; -1; 2),B(!; 2; -1). C(-1; 1; -3), D(3; -5; 3) son vértices deun trapecio.
779. Dados los puntos A(-1; 5; -10), B(5; -7; 8).C (2j 2; -7) y D (5; -4; 2), probar que '95 vectores ABy CD son coltneales: determinar cuál es el más largo yen cuántas veces; écémo están dirigidos, en una mismadirecc ión o en direcciones opuestas?
780. Hallar el versor de igual dirección que el vectora.={6; -2; -3}.·
781. Hallar el versor de igual direccíén que el vectora=F~; 4; -12}.
782. Hallar el módulo de la suma y de la diferenciade los vectores a={3j -5; 8} y b={ -1; 1; -4}.
783. Dada la descomposición del vector e en la base i,j, Te:e = 16i -15j + 12T~.,determinar la descomposición en
153
la misma base del vector d, que os paralelo al vector ey tiene la dirección opuesta a él, si 1 e1.1 = 75.
784. Dos vectores a={2; -3; 6} y b={-1¡ 2; -2}están aplicados a un mismo punto. Hallar las coordenadasdel vector e que tiene la dirección de la bisectriz del ánguloformado por los vectores a. y b, si le 1= 31ro.
785. Los vectores AB = {2¡ 6; - 4} y AC = {4,; 2; - 2}coinciden con los lados del tciángulo ABe. Hallar las
AqFig, 1¡6.
q
coordenadas do los vectores aplicados a los vértices deltriángulo que coinciden con sus medianas AM, EN, CP.
786·). Demostrar que, si p y q son unos vectores cua-lesquiera no colineales, cada vector situado en su planopuede ser representado en la forma:
a=ap+~q.Demostrar que los números a.. y ~ su det erminau un ívo-
camente por los vectores a, lJ y q. (La representación delvector u en la forma a.= al> +~q se Ilama descomposicióndel vector en la base p, '1; los uúmeros ex y ~ se llamancoeficientes de esta descomposición.)
O o rn o s t r a e i 6 n. Trnslndomos los vectores a, l' y q a unorigen común, que lo designaremos por la letra O (fig. 1,6). El oxtromudel vector a lo designaremos por la Iotra A. Tracemos POl' (11punto Auna recta paralela al vector q. El punto do intersección do esta rectacon la línea do acción del vector p lo indicaremos por A r- Análogamente,trazando por el punto A una recta paralela al vector p, obtendremosen la intersección con la linea do acción del vector q el punto A,¡.
Según la regla del paralelogramo, 80 tieno;(.l-=OA=OAl'+OAlj• (1)
.) Los problemas 786 y 792 son Iundumontalcs para la compren-sión correcta de los demás problemas. Aquí 59 expone la rcsoluciéncomplota del primero de ellos.
154
Como los VOCLor05 OA p Y 1) ustán en unu recta. (JI vectur OA p se puedoobtener mulvipltcendc 01 vector p por cierto número ex:
OAp=(1.p. (2)
Por analogía,(3l
Do las Igualdados (í ), (2) y (3) OhWDClIDOS; a = ap + ~q. Deesta manera, queda demostrada la posibilidad do la rlescompoalciénbuscada. Queda por demostrar quo los cooítcíentcs a y ~ do esta des-composici6n S9 determinan unívocamente.
Supongamos que el vector a \i<.loodos descomposiciones:a=(1.1)+~q, a=a.'p+~'g,
y que, por ejemplo, (1.' .;. (1.. Ilcstando míombro a miembro, se tiene:(Ot'-(1.)p+<Il'-lll '1=0
o
Peru esta Igue ldud muestra que los vectores t) y q sun colioeales;sin embargo. según la hipótesis, no lo son. Por Jo tanto, la desigualdada' '4= ex ('S imposible. Do un modo análcgo se demuestra que la desi-gualdad. ji' .,. ji es imposible. Así pues, et' = (1., W = ~.es decir. unvector DO puede tenor dos descomposiciones dííerenrcs.
787, Dados dos vectores en el plano p = {2; - 3}.q = {1; 2}. hal lar Ia descomposición del vector (1; = {9; o4}en la base 7), a-
788, Dados .tres vectores en el plano (¿ = f{; - 2}.b = {- 2, 1} y (J = {7; - 4}, determinar In descomposiciónde cada uno de estos tres vectores, tomando por base losotros dos.
789. Se dan tres vectores a={3; -1}, b ={1; -2};e = {-1; 7}. Determinar la descomposición del vector 1)==u, + b+c en la base a, TJ.
790. Tomando por baso los vectores AB = 11 y AC =e,que coinciden con los lados del trióngulo ABC, determinarla descomposición de los vectores que coinciden con susmedíanns, si éstos están aplicados a los vértices del triángulo.
71)1. En el plano se dan cuatro puntos A (1; - 2),B (2; 1), C (3; 2) y D (- 2; 3). Hallar la descompcsíclónde los vectores AD, BD, CD y AD+BD+CD, tomandopor base los vectores AB y AC.
792, Demostrar que si p, q y '1' son unos vectores
155
cualesquiera no coplanares"), cualquier vector a en elespacio so puedo expresar en la forma:
a=ap +~q+1'7'.Demostrar que los números a, ~, '),se determinan por losvectores a. p, q r » unívocamente. (La expresión delvector a en la forma a = a,p + ~q -1- 1'1' se llama descom-posición del mismo en la base p, q, -r. Los números a.~ y l' se llaman coeficientes de esta descomposiclón.)
793, Se dan tres vectores p. = {3; - 2; 1}, q = { -1; 1;-2}, 1'={2; 1; -3}, Hallar la descomposición del vectort.i = {ii; - G; 5) en la hase p. q, '/'.
794. So dan cuatro vectores a = {2; 1; O}. b = {i; -1; 2},c={2; 2; -1} y d.={3; 7; -7}. Hallar la descomposiciónde cada uno de estos vectores tomando por hase los otros tres.
§ 31. Producto escalar de vectoresSe Ilama producto escalar de dos vectores al númoro Igual al
producto de los módulos de estos vectores por el coseno del ánguloformado por ellos,
El producto escalar 11elos vectores a. b se representa con la nota-ción a(} (os índiforeutc 01orden en quo se escriben los factores. es decir,at» = bal,
Si el ángulo formado por 105 vectores a, (, so ind íca por !p, su pro-dueto escalar se puede expresar mediante la fórmula
ab=1 a 1·1b I·cos<p. (1)
El producto escalar de los vectores a, (J se puede expresar \am-hién pOI' la fórmula
(,b=1 ((.¡'pr ..b, o ab=1 () I·pr¡,a.Do In íórmula (1) so deduce que ah > 0, si 'p es un ángulo agudo
y (trI < O. si 'r os un úngulo obtuso; ab = 0, si, y sulamento si. losvectores u y () son perpendiculares (en particular, alJ = 0, si a = Oo si (1 = O),
El producto escalar aa so llama culturado escalur dol vector y sedesigue pOI' la notación a2, Según 1;1 íórmulu (1). resulta que 01 cua-drado escalar do un vector es igual 111 cuadrado al' Sil módulo:
a2=1 a IZ,Si llls vectores a y o so dan mcdíanto sus coordenadas:
a={XI; YI; ZI}. b={X2: Y2; Z2},
su producto escalar so puede calcular por la lórmulual)=X1X2+ YIY2+ZIZ2'
.) So dice que tres vectores no son coplanaros, si después de sertrasladados ti un erigen común no quedan situados en un plano,
156
De aquí se deduce la condición necesaria y suficiente para la perpen-dicularidad de los vectores:
X.X2+Y1Y2+Z1Z2=O.
El ángulo <p Iormado por los vectores(~={XI;YI;ZI} y b={X2;Y2;Z2}
so da por la fórmula
cos cp ab
o (ID coordenadas,XtX2+ Y1Y2+Z.Z2
cos<p= "VXHYHZ¡VXi+Yi+Z¡'
La proyección do un vector arbitrario S = (X; Y; Z) sobre un<ljo cualquiera u 50 determina por la fórmula
pruS=Se,
1311 donde e os el vector unitario en dirección del eje u. Si se dan losángulos a, ~, 1', que íormu 01 cío u con los ejes coordenados, tendremos
.IIUO e = {cos 0.; cos B; cos y} y parn el cálculo de la proyección delvector S so puede aplicar la fórmula
pruS=X cos a:+ y cos ~+Z cos y.
2795. Los vectores a y b forman un ángulo t:p ="3:n;sabiendo que 1 al = 3, 1 b 1 = 4. calcular: 1) tt'b¡ 2) a,2; 3) b2;4.) (a,+b)2; 5) (3a-2b) (a-I-2b); 6) (a-b)2; 7) (3a+2b)2.
796. Los vectores u: y b son perpendiculares entre sí;el vector e forma COII ellos ángulos iguales a ~ ; sabiendoque Iltl=3, Ibl=5, Icl=8, calcular: 1) (3u.-2b)XX (b+;3e); 2) (a+7)+(;)2; :,) (a-f-21)-3c)2.
797. Demostrar la identidad(a.+ b)2 + (a- b)2= 2 (a2 -1- IJ2)
Y averiguar Sil sigo ificado geométrico.798. Demostrar que
- ab ~ nl) ~ ab;
éen qué casos so ver ifleurá el signo de igualdad?799. Suponiendo que cada uno de los vectores a, b. e
es diferente de cero, determinar pota qué posición relativade ellos se verifica la. igualdad:
(alJ) e = a (be).
157
800. Dados los vectores unitarlos (t. b y e. que satis-facen a la condición a. + b +e = O. calcular ab + 7M + ca·.
801. Dados tres vector os a., b y e, que satisfacen a lacondición a+ b + o =0, y sabiendo que I a.1= 3, lb I = 1y 101=4, calcular aQ ..¡"bc+t,o »,
802. Cada par de vectores a, 1) y e forman entre síun ángulo do 60°; sabiendo que 1 ti 1=4, 1 b I = 2 y le 1= 6,determinar el módulo del vector p =ct-I- () + c.
803. Sabiendo que Ial =3. 1" I= 5, determinar para quévalor de o. los vectores a.+aQ, a-ab son perpendicularesentre sí.
804,. ¿A qué condición deben satisfacer los vectores ay " para que el vector «(,+ b sea perpendicular al vectorf1,-b?
805. Demostrar que el vector 1) = b «,(,0) - e (ah) es per-pendicular al vector (.1,.
806. Demostrar que el vector 1')= b _ a. ~~b} es perpen-dicular al vector €C.
807. Dados los vectores AB = b y AC = e, coincidentescon Jos lados del triángulo ABC, hallar la descomposiciónen la hase b, e del vector que coincide con la altura BDy que está aplicado al vértice B de este triállgulo.
808. Los vectores a y b forman un ángulo q> = '~ ;sabiendo que Ia.1= Vl:l, I 'fJ 1= 1, calcular el ángulo o. Ior-mudo POL' los vectores 1>:= (1, +b y q = a.- b.
809. Calcular el ángulo obtuso formado por las media-nas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos' deun tr iángulo rectángulo isósceles.
810. Determinar el Jugar geométrico de los extremosde un vector variable :A:!, si su origen estÍl en un puntodado A y el vector x satisface a la condición
en donde u: es un vector dado y a. un número dado.811. Determínar el lugar goométr íco de los extremos
de un vector variable x, si su origen está en un puntodado A y el vector x satisface a las condiciones
xa=o., xb=~.en donde a, b son unos vectores dados, no colineales, y 0.,~ unos números dados.
158
8t2. Dados los vectores a={4; -2; -4}, h={6: -3;2}, calcular:
1) ao; 2)~; 3) Voz: 4) (2(.(,-3')«(1--1-20);5) (a+o)2; 6) (a-o)~.
813. Calcular el trabajo realizado por la fuerza f == {~;- 5; 2}, al desplazarse su punto do aplicación delorigen al extremo del vector S (2; - 5; -7)*).
81,.. Dados los puntos A (-1; 3; -7), B (2; -1; 5)y e (O;1; - 5), calcular:
1) (2AS -CB) (2HC + 8.1); 2) yAB2; 3) ~"
~ h~~ las coordenadas de los vectores (AB AC) Bey AB JAC Be).
81a. Calcular el trabajo realizado por In fuerza l== {3; - 2; - 5}, si su punto de aplicación se desplaza, enun movimiento rectillneo, de la posición A (2¡ - 3¡ 5) a laposición B (3; - 2; -1).
8·t6. Dadas tres fuerzas M={3¡ -4¡ 2}, iV={2; 3; -5}y .l' = {- 3; - 2; 4}, aplicadas a un pun Lo. Calcular eltrabajo realizado por la resultante de estas fuerzas, si elpunto de su aplicación se desplaza, on un movimientorectí lfneo, de la postción MI (5¡ 3; - 7) a la posiclén)l1'z(4; -1; -4).
817. Se dan los vértíces de un cuadrilátero A (1; - 2; 2),B(1; 4; O), C(-4;1;1) y D(-5; -5;3). Demostrar quesus diagonales AC y SD son perpendiculares entre si.
818. Determinar para qué valor de " los vectoresc"= a:i - 3j +2h y b = i+2j - ak son perpendicularesentre sí.
819. Calcular el coseno del ángulo formado por losvectores a,={2; -4; 4} y lJ={-3; 2; 6}.
820. Se dan los vórtices de un triángulo: A (-1; - 2¡ 4),B(-4; -2;0) y C(3; -2; 1). Calcular el ángulo internodel vértice B.
821. Se dan los vért.ices de un triángulo A (3; 2; - 3),B(5; 1; -1) y C(1; -2; 1). Deterrninnr 01 ángulo externodel vértice A .
• ) Si el veclorf representa una Iuerza, cuyo punto do apll~ciónsu desplaza del orígen 111extremo del. vector S. (.\1trubajn w realizadopor esta fuerza so dutermtna mediante la ígualdnd
w=fS.
159
822. Calculando los ángulos internos del triánguloA(1;2;1), B(3;-1;7), C(7;4;-2), verificar que estetriángulo es isósceles.
823. El vector xescolioealnI vector a={6; -8; -7,53y forma un ángulo agudo con el eje Oz: Hallar sus coor-denudas, sabiondo que Ixl = 50.
824. Hallar el vector ;l:, que es colineal al vector(t={2; 1; -1) Y satisface a la condición
xa=3.825. El vector x es perpendicular n los vectores (J, =
= 3'¿ + 2j + 2/r, y b = 18,[- 22j - 5le y forma COD el eje Oyun ángulo obtuso. Hallar sus coordenadas, sabiendo queI:r;j = 14.
826. Hallar el vector x, si se sabe que es perpendiculara los vectores (l. = {2;3; -1} y b = {1; - 2; 3} y satisfacea la condición
x (2i - j + Iv) = - 6.827. Se dan dos vectores: a.= {3; -1; 5} y b = {i; 2;
- 3}. Hallar el vector x, que es perpendicular al eje Oz'y satisface a las condiciones:
xa=9, xb= -4..828. Se dan tres vectores:
a=2i-j+3lc, b=i-3j+2k y c=3·i+2j-4/.~.Hallar 01 vector. x, que satisface a las condiciones:
xa= -5, x7J= -11, xc=20.829. Hallar la proyección del vector S = {4; - 3; 2} sobre
el ejo que forma con los ejes coordenados ángulos agudosiguales.
830. Hallar la proyección del vector S= fi2; -3; -51sobre el eje que forma con los ejes coordenados OJ.' y O;.los ángulos a=45°, )'=60' y con el eje Oy un ánguloagudo ~.
831. Se dan dos puntos A (3; -4; - 2). B (2; 5; - 2).Hallar la proyección del vector AB sobre el eje que formacon los ejes coordenados O» y Oy los ángulos a= 60°,~= 1200 y con el eje 0% un ángulo obtuso y.
832. Calcular la proyección del vector (/'={5; 2; 5} sobreel eje del vector b={2; -1;2}.
iliO
833. Se dan tres vectores:(I,=3i-6j-k, b=i+4j-5/~ y c=3·i-4j+127 e.
Calcu lar prc (tt.+b).834. Se dan tres vectores:(,¿={1;-3;4}, 0=(3; -4;2} y c={-1;1;4}.
Calcular prb+e o;835. Se dan tres vectores:u= -U+j+/r.. h=i+5j y c=/1i+4j=k.
Calcular pre (3n- 2b).836. Una fuerza, definida por el vector R= {í ; -8;
- 7}, se ha descompuesto en tres direcciones perpendi-culares entre sí, una do las cuales se da mcdinnto el vector((.=2i-I-2j+lc. Hallar la componente de la fuerza R endirección del vector ti".
837. Se dan dos puntos M(-5; 7; -6) 'Y N(7; -9; 9).Calcular la proyección del vector a={1; -3; 1} sobre eleje del vector A1lV.
838. Se dan los puntos A (- 2; 3; -4), B (3; 2; 5),e (1; -1; 2), D (:~;2; - 4). Calcular pr(;DAB.
§ 32. Producto vectorial de vectoresS(, llama producto voctortal del vector a por 1)1vector b al vector
que se ind ica con la nllución (~{JI, definido por Ins W'CScondícloncssigui entes:
1) el módu lo del vector (abJ es igual a la I . Ibl son cp, en don-do cp 1)5 (» ángulo formado nor los vectores a y (l.
2) el vector lab les perpend ícular a cadu uno do los vectores a y b;3) la dirección del vector la.I») corresponde el «la regla do Ia mano
derechas. Esto significa que, si los vectores (l. U Y [abJ uonen unorlgon común, el vector labl tendrá Iu dirccc.i6n del dedo cordial do111 mano derecha, cuando el dedo pulgar vaya NI direcctón del primerIactor (o sea. dQI vector a) y el dedo índ íco en dirección del segundo(o Sl'U, dol vector 1»).
El producto vectorial depende del orden de los [actores:la(J)= -[bal.
El módulo del producto vectoriul 1ab) es igual al ,írea S dolparalologrnmo construido sobre los vectores a y (i:
l(abJ(=S,El propio produoto vectortul so puedo expresar Jlhl' 111 fórmllln
(abJ=$(1
11-362 161
en dondo e es un versor unitario de le misma direec.i6n quo el productovectorial.
El producto vectorial (ab I se convierto en cero si, y solamentesi, 105 vectores a y b son colínealoa. En particular, (aal = O.
Si 105 ojos coordenadoa Corman un slstema do mano derecha y losvcctorea lt y b se dan on esto sistema mediante sus coordenadna:
a={X1; YI; ZI}, b={X2; Yz; Zz},el pl'udllclu vectoriul del vector u )lOI' 01 vector t, SI' detormtna por laIórmula
[abJ= {I~:~~\;-I~:~~I;I~:~~I}o
IUIJI=¡;I~I :110X2 Y2 Z2
839, Los vectores tI. y 7J forman un lingulo Q) = ~ o
Sabiendo que I (~I= 6, t b 1=5, calcular Itublto
8qO, Se da: I(~I= 10, lb I= 2 y (J.b=12. Calcular I(nlJ] l·8q1. Se da: ul=~, 17J!=26y !(t~H=n. Calcularlf.b.842. Los vectores a y () son perpendiculares entre sí.
Sabiendo que 1«.1 = 3, 1b 1=/1, calcular:1) lI(tH-b)«¿-b)ll; 2) ¡¡(3H·-b)«(.~-2b)ll·
8{¡3. Los vectores l¡. y b forman un úug ulo q; = ! :11:.
Sabiendo que I (l. 1= 1, 1b 1=2, calcular:1) [ltb¡!; 2) [(2a,+ b) (ct+ 2b)J2; 3) [(a. + 3b) (3ít- b)J2.
84tj. lA qué condición deben sattslacer los vectores a,b para que los vectores a. -1- b y (.l. - 7) sean col inealos?
84[l. Demostrar la iden LidHillal'J~ -1- «((b)2 = (I,2b1.
84(). Demostrar que[(1.1))2".;;; ((2b2;
¿en qué C<lSO se vorificar:í el signo de igualdad?81j7. Dados los vectores arbitrarios: J), (1, 1', n, demos-
trar que los vectores(.t.=[lm.¡, 11=[([11], c=['I'n]
son coplanares (es decir, que teniendo un origen común,se si túan en un plano).
\02
848. Los vectores (~. b, e satisíacou a la cond.ición(~+b+c=O.
Demostrar quelttb) = [1Jc) = {culo
849. Los vectores a, b, e y d. están ligados por lasrelaciones
[(lb1 = le,l), {<te] = (1)(11.Demostrar que los vectores (1.-<1 y b-c son colíneal cs.
850. Dados los vectoresa={3; -1i -2} y b={1¡ 2i -1},
hallar las coordenadas de los productos vector-iales:
1) [(lb]; 2) ((2a+b}b); 3) l(2a,-b)(2t¿+b)}.
851. Dados los puntos A(2; -1; 2), B (1¡ 2; -1)y e (3; 2; 1), hallar los coordenadas de los productos vec-toriales: 1) [ABBC]; 2) [(BC-2GA) CO].
852. La fuerza r = {3; 2; -4} está aplicada al puntoA (2; -1; 1). Determinar el momento de esta fuerza conrespecto al origen de coordenadas *).
853. La fuerza P. = {2; -4; 5} cst¡í aplicada al puntok10 (4; -2; 3). Dctcrmluar el momento de esta fuerza conrespecto al punto A (3;2; -1).
854. La fuerza Q = {3; 4; -2} está aplicada al puntoe (2; -1; -2). Determinar la magnitud y los cosenosdirectores del momento de esta fuerza con respecto al ori-gen de coordenadas.
855, La fuerza P = {2; 2; 9} está aplicada al puntoA (4; 2; -3). Determinar la magnitud y los cosenos direc-tores del momento de esta Iuerza con respecto al puntoe (2; 4; O).
856. So dan tres fuerzas: M = {2; -1; -3), N == {3; 2; -1} y J> = {-4; 1; 3}, aplicadas al puntoC (-1; 4; -2). Determinar la mngnitud y los cosenosdirectores del momento de la resultante de estas fuerzas conrespecto al punto A (2; 3; -1).
") Si el vector f representa una fuerza. aplicada a cierto punto M]y (lJ vector a va del punto O al punto M, el vector f(~1'I representarn01momento do estn fuerza respecto a] punto O.
857. So dan los puntos A (1; 2; O), B (3; O; -3)y e (5; 2; 6). Calcular el área del lrilingul0 ABC.
858. Se dan los vértices de un triángulo A (1; -1; 2),B (5; -6; 2) y e (1; 3; -1). Calcular In longitud de sualtura. bajada desdo 01 vértice B al lado AC.
859. Calcular 01 seno del ángulo formado por los vccto-res tI- = {2; -2; 1} y 7)= {2; 3; 6}.
860. El vector x es perpendicular a los vectores (L == {4; -2; -3} y lJ = {O; 1; 3} y forma con 01 eje Oyun ángulo obtuso. Hallar sus coordenadas, sabiendo queIx 1=26.
861. El vector m. os perpendicular al eje Oz y al vectora = {Si -15; 3} y forma un ángulo agudo con el eje 0%.Hallar sus coordenadas, sabiendo que 1m I = 51.
862. Hallar el vector x, sabiendo que es perpend icularII los vectores a. = {2; -3; 1} y b = {1; -2; 3} y satlsfacen La cond ición:
x ('l.+ 2j -7k) = 10.863. Demostrar la identidad
(li + In~+ n~) (l;+In~+n!) - (ll[2 +m,ln'1.+ nln2)l! == (mln2 - m2.n,)2 + (l2.nJ -l,n2,)'J -1- (llm2 -l2m,)2.
N o t a. Scrvirsu de la identidad del prublemn 8105.
864. Se dan los vectores:a={2; -3; 1}, h={-3; 1i 2} y e={1; 2; 3}.
Calcular ([ah) e} y [a [be]].
§ 33. Producto mixto de tres vectoresSo dice quo tres vectores Iorman una torna do vectores. sí 8(1
señala cuól de ellos 80 toma como prlmero , cuál como segundo y cuálcumo tercero. La torna de vectores se escribe en el orden de 511 nume-ración; {lor ejemplo, la notación a, /J, e indica que el vector a se tomacomo pr-imer vector, 1J como segundo yc como tercero.
Una terna de vectores a. b, e no coplanarea, se dice que es UIIUterna de mano derecha si. trasladando los vectores que la componena un mismo origen, se sitúan, en el orden de su numoración, de igualmodo que los dedos pulgar, índice y cordial de la mano derecha. Silos vectores a, b, e se sitúan Igual que los dodos pulgar, indico y cor-dial do la mano izquierda, se dice que la terna de vectorse es de manoizquierda.
Se llama producto mixto do tres vectores a, /J, e al número, Igualal producto vectortal Labl, multiplicado escalarmente pvr el vector 1:.es decir, labl c.
{64
EH vrstu do (JI"" SO verifica la identidad la" le = a \bel, ¡"u·a 01producto rnixto La" I e se emplea la notncíóu abe qul.l es más abreviadu.Do este modo:
aúc=(a('j e, a.(Jc=a [be).
El producto mixto aoc os igual al volumou del paralolopipodoconstruido sobre los vectores u, (J, e, tomado con signu más, r,¡i la tcrnuaoo ('5 de mauo dorochn, y con signo mOHOS, si es de mano izquiordu.Si los vectores a, b, e son coplanares (y solamente 011 este C851.». IIIproducto mixto abo es igual a cero: 1.1 sea, la igualdad
ubc=O
es la cundicióu necesaria y suficiente para In coplauuridad de losvectores u, (J. c.
Si los vccturcs U, b, e se dan mcd ianto sus coordenadas:a={Xj; Y¡; Z.}, lJ={X2; }'2; Z2}, c={Xs; Ya; 7,J},
el producto mixto abe so determina pOI' la fórmula
]\eCOl'rlllIIIUS que su SUPOU!) que 01 sistema de ejes coonlenadus"S de rnuito derecha (C()11 J" cual la ternu ,Jo vectores t, :J, le es do manoderecha).
~{j5. Determinar de qué mano es la terna (1" (), t; (dI::derecha o de izquierda), si:
1) (I.=k, b = 'i, o =i:3) ((,=,1, h=,¿" c=/~;5) a='i+j, b='i-j, c=j;
2) n='l, (J.=k, c=J:It) u=;,+J, b=j; c=k;6) a=i-I-j, b=i-j, c=k.
866. Los vectores a" {J, (; forman una torna do manoderecha y son perpcndículares entro sí. Sabiendo que1« I= 4, I b 1= 2, I o 1= 3, calcular abe.
867. El vector e es perpendicular a los vectores u. y 7J,el ángulo formado por a y b es igual a 30°. Sabiondo que1«,1=6, Ibl=3, 101=3, calcular «110.
868. Demostré r, qua
1abe 1< 1u.11b 1I e 1;éen qué caso se verificará aquí el signo de igualdad?
869. Demostrar la identidad
(a+ b) (b+o) (o+a) +2«710.
165
870. Demostrar la identidada.b(c-l-M.+lA-b) =a'bc,
en donde t.. y lA- son unos números cunlesquiera.8i t. Demostrar que si los vectores a, b, e saustaccn
a la condición
[ubJ +[fH:I+lcuj =0,
son coplanaces.872. Demostrar que In condición nccesarta y sufictente
para quo los vectores (l" (1, e sean coplanares, es la depen-dencia 1ineal
a.a.+ ~b +'Vc = O,
en donde, por lo menos uno de los números a.. ~, 'V no esigual n cero.
873. Dados tres vectores:
(l,={1; -1; 3}; b={-2; 2; 1}, c={3; -2; 5},
calcula e 0))(;.871,. Determinar si son coplannros los vectores a; 11,0, si:
1) a = {:¿; 3; -1},
2) a={B; -2: 1}.H) (t={2: -1; 2).
7)={1; -1; 3}. c={1; 9; -11};lJ={2; 1; 2}, c={3; -1; -2};
()= {1; 2; - H}, e ~ {3; - q; 7}.
875. Demostrar que los cuatro puntosA (1; 2; -1), B (O; 1; 5), e (-1; 2; i) y D (2; t; 3)
están situados en un plano.876. Calcular 01 área del tetraedro cuyos vértices están
en los puntos A (2; -1; 1), B (5; 5; 4), e (3; 2; -1)y D (4; 1; 3).
877. Dados los vértices de UD tetraedro:A (2; 3; 1), B ('1; 1; -2). e (6; 3; 7), D (-[); -4; 8),
hallar In Iongítud de SIL altura bajada desde el vért.ice D.878. El volumen de un tetraedro, tres de cuyos vér-
tices están en los puntos A (2; 1; -1), B (3; O; 1), e (2; -1;3). es v = 5. Hallar las coordenadas del cuarto vértice D,si se sabe que está en el eje Oy.
166
§ 34. Producto vectorial doble de tres vectoresSupongamos que ElI vector a so multiplica vectoríalmcnto por
el vector Ii y que el vectorobtentdc fa/J) Sil mulupltca, a su vez, vecto-rialmento pur el vector (l. Como resultado, Sil tiene el producto vecto-rial doblo [)ab 101 (es Qvidento que llar) Iel es UII vector) , Mllltipli-cando vectorlalmonto o] \'t'(;!"f a por el vector I{¡e) obtenemos elproducto vectorial doblu [al be J),
Por I (J general,[[«(,J cJ =/= la [{¡cll·
Demostremos que so verifica la identidad[(abJ eJ =b (ac)-a(be).
D o m o s t r a c, i Ó n. Consideremos un sistema (cevtcstano)de' coordenadas rectangulnros. Para mayor COO1(1I1idtltl. colocamos 105ejes coordenados de un modo espeeinl . 1\ sabor: el ~je 0.-,: lo dirigimosen dlrocciún dol vector ,.. y 01 ejo O!J lo colocamos en u1 plano de Josvectores R, y b (suponiendo que los vectores a y /; tienen un orlgencOlDÍlII). EIl estas condtclonos. tendremos que:
a={Xj; O; O}, r;={Xz; Yz; Oh (.·={X3; Ya: ZJ.A'hnl'tI hnllurnos:
labJ-{O; O; x.Yz}, }[[ali] e} = {-XjYZY3; X.Y2X.; O}.
(1 )
Por otra purte,ac=X,Xa; b(ac)={X,XaXa; X'YZX3: Oj,
bC-=X2X3'f-VzVa: a (be) ={X.XZX3+XIYzYa; O; OJ.Por consiguiente,
b(ae)-a(bc)=(-X')'2Ya: X.Y2X3; OJ. (:!)
Comparando los segundos miembros de las Iérmulas (1) y (2), obtene-mos:
lIab) c)=b(ac)-a(('c),que !\S 10 'lUO SI) (lQdíu,
87!). Demostrar In iden tidndla. (ilen = b «tc.) - e «([1/).
880. Resolver el problema 864 utilizando las identida-des expuestas en 01 comienzo de este párrafo y la identi-dad del problema 879.
881. Dados los "érLiMs de un tri<Íngulo A (2; -1; -3),B (1; 2; -(,) y e (3; -1; -2), calcular las coordenadasdel vector h. que es colineal n la altura bajada desde elvértice A al lado opuesto, si el vector JI, forma con el cíeOy un ángulo obtuso}' su módulo es igual a 2 Y34.
167
882. Suponiendo que cada UDO do los vectores a, b, oes diferente de cero, averiguar su posición relativa paraque se verifique la igualdad
(a (bcll = lIab) el.883. Demostrar las identidades:
1) [a (baH -1- (b lcall + [e ([((.bll = O;2) [al~j [cd.] = (ae) (bd.) -(ad) (be);3) lab) Ic(ll + [aejlclbj + lad) [bo) = O;4) [IabJ(etl)) = o (abd) - a (abo);5) [ablll~cl [ca] = «(~(~C)2;6) la [a [a (abllll =tt41J, si los vectores a y b son
perpendicujaras en tre si;7) [a.lb [cll]l] = [ac] (bd) -(tulj (be);8) {a.lb [(;I'llll = (aetl) b -(ab) [0(7);9) la.b)2 [Mj! - ([(¿b] [u(.~I)~ = rt~ (UbC)2;
10) [[«7)) [be]] ([be) I(!all [(cal 1all 11 = (abc)4¡11) (nb) [ed) +(ac) [<lb] + (eH7) 'fJC;1= a (bo(7);
Ia7ld alu] I12) (abe) (a.de) = l .aoa. ace
884. Tres vectores, no coplanares, a, b , y o t.ienen 111\)l'igen común. Demostrar que el plano que pasa pOI' losextremos de estos vectores es perpendicular al vector
[ab]_¡" rbcI+[oaJ.
VIIICapítulo
ECUACroN DE UNA SUPERFICIE Y ECUACJON DE UNALINEA
§ 35. Ecuación tic una superficie
Su llama ecuacién do una suycl'CiCicdada (en el sistCIIHI do c oor-denudas considerado) a la ecuación de tres vnriables
F (x, y, z) =0,a la cual sutíslacon las coordenadas do cada punto situado en estosuperficie y no satisfucen las C(10rdCDad3S do ning(11lotro punto suundorúol'a do ella.
885, Dados los puntos M!(2¡ -3; 6), Mz(O¡ 7; O),M3(3; 2; -<1), Md2V2; 4; -5), 1115(1;-4.; -5),jl<f6 (2; 6; -- V5), avoriguar cuáles están situados en losuperficie determinada por la ecuación
:¡;'I. + y2 + 2,2 = 49,
Y cuáles no lo están. ¿Qué superficio determina la ecua-ción dada?
886. Hallar en la superficieX2 + y~ + Z2 = 9,
un punto para el cual: 1) la abscisa es igual a 1 y laordenada es igual a 2; 2) la abscisa es igual a 2 y Inordenada es igual a 5; 3) la abscisa os igual a 2 y lacota es igual a 2; 4) la ordenada es igual a 2 y la cotaes igual a 4.
887. Averiguar qué Iiguras geométricas representan lasecuaciones siguientes, en coordenadns cartesianas rectan-gulares del espacio:
1) x = O; 2) y = O; 3) z = O¡ 4) x - 2 = O;5) y + 2 = O; f.i) z + 5 = O; 7) x~ + y2+Z2=25;
169
8) (x - 2)2 + (y + 3)2 + (z - W = 49;9) :& -+ 2y2 + 3z2 = O; 10) X2 + 2y2+3z2-j-5=O;11) x - y = O; 12) x + z = O; 13) y - z = O;14) xy = O; 15) xz = O; 16) yz = O; 17) xyz=O;18) :x2 - 4x = O¡ 19):ty - y2 = O;20) yz + z~ = Q.
888. Dados dos puntos FI (-c; O; O) y F2 (e; O; O),deducir In ecuación del lugar geométrico de puntos cuyasuma do distancias a dos puntos dados es una cantidadconstante, igual u 2a¡ se supone que a >O, C >O, a >c.
s o I u ció n, lnd iqucmos con la Ietra M un ¡JUnLo arbitruriodL,1espacio y sus ooordeuadus con I(\~ letras x, y, z , Como 01 punto ,'1puede ocupar cualquier posición, z, 11, z seráu cauudades vuriables,por lo que so llaman courdenadas variables.
El punto M está on la superficie dada cuundo, y solamente cuando,MFt+MF2=2a. (1)
Esta es la JofjlliciÍ>1l de la suporíício expresada por símbolos.H eprosentcmos M'JI¡ Y M 1"z mediante las coordonadns variables
del punto .M:
111Ft=1I(.x+C)2+y2+z2, MF2= V(x-c)2+y2+z2_
Sust.ltuyurulo ,tus expresiones obtenidas en la Igualdad (1), ten-dremos la ecuación
V(X+c)2+y2.¡.z2+ V(x-c)2+y2+z2=2a. (2)que rolaclona entro sí Q las coordenadas variables x, y, z. Esta esla ecuación do la superficie considoruda. ,
En electo, pura cada punto M situado en la superfícle dada, socumple lo cond icíón (1) y, por lo tanto, las coordenadas do tal puntotendrán que satisfacer a la ecuación (2); sin embargo, la condición (1)no so cumple para ningún punto situado fuera de la superficie dadaY. por lo tanto, sus coordenadas no sarísíacen a la ecuación (2). Doestn manera, queda resuelto el problema; l<ls cálculos ulteriores tienenpor objeto represcntcr la ecuación de la superficie en la forma mássimple.
Pasemos ¡;I sogundo radical de la ecuación (2) al segundo miembro:
V(:r+c)2+y2+z2=2a- V(x-C)Z+y2_Z~¡
elevando )('5 ¡]()I! miembros d o esta igualdad al cuadrado').' abriendoparéntesis. oLI.ellE:'OlOS:
x2+2c.:z;+cZ+ 1/2+z2=
=4a2 -tía V(.x-c)~+ 1/2 +%~+ :¡;Z-.2cx+c2+ y2+za,o
1.70
o
El iminand c nuevamente el rutl ical , hallamos:a~x2-2a2cx+ a2c2+ 42112+ a2zll=a4 -2o.2c;I:+c2z2,
(o.~-c2) z2+a2y~+a2z2=42 (0.2_02). (3)
Corno 11 > e, tendremos '¡1I0 a2 - c' > O: índlcuromos el númeroposluvc 11." - c· por ,,~. La ecuación (3) tomará, f)IILI)!lC~S, lu Iorma
&2",2 +42y2 +o.2z2 =a2b2o
(I¡)
tu superficie constdvruda so Ilema cllpscide tic [evolución, LaCCUll¡·.Í<JII (4) se llamo ecuación cnnónicn do esto eltpsoido.
889. Deducir la ecuación de la esfera cuyo centro estáen el origen de coordenadas, si su radio es igual a r.
890, Deducir Ia ecuación de la esfera cuyo centro ese 0;; ~; y), si su radio es igual a r.
891. Desdo el punto P (2; 6; -5) se han tra sado t()COSlos rayos posibles hasta la intersección con el plano OXll.Hál la r la ecuación de) lugar geométrico de sus puntosmedios.
892. Desde el punto A (3; -5; í) se han truz ado todoslos rayos posibles hasta la intersección con 01 plano Oxy.Hallar la ecuación del lugar geométrico de sus puntos medios.
893. Desdo el punto e (-3; -5; 9) se han trazado todoslos rayos posibles hasta la intersección con el plano Oyz.Hallar la ecuación de) lugar geométrico de sus puntosmodios.
894, Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos cuya diferencia de cuadrados de sus distancias alos puntos F, (2; 3; -5) Y F2 (2; -7; -5) sea una can-tidad constante, igual a 13.
895. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos cuya suma de los cuadrados de sus distancias a dospuntos FI (-a; O; O) y F2 (a, O; O) sea igual !l la cantidadconstante 4a2•
896. Los vérttces de un cubo son A (-a; -a; -a),B (a; -a; -a), e (-a; a; -a) y D (a; a; a). Hallar laecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma decuadrados de sus distancias a las caras de este cubo seauna cantidad constante, igual a 8a2•
897. Deducir la ecuación del lugar geométrico delos puntos equidistantes de dos puntos MI (1; 2; -3)y 1112 (3; 2; 1).
171
898. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos cuya suma de sus distancias a dos puntos dadosPI (O; O; -4) y F2 (O; O; 4) sea una cantidad constante,igual a 10.
899. Deducir la ecuación del lugar geométrico de lospuntos cuya diferencia do sus distancias a dos puntos dadosFI (O; -5; O) y r, (O; 5; O) sea una cantidad constante,igual a 6.
§ 36. Ecuación dc una linea. El problema tic 111intersección de tres superficies
Una I1noll CIl el espacio su determluu como lu intorsccción de UOSsuporflcies JI (;¡:. !l. z) = O y <J.l (x, yo z) = O Y SI) da por dos ecuacionessnuultüncas
{JI (z. u, =)=0,
(]J [z , 11. z) =0.Si F (x, /J. z) = O, ID (x. /Jo z) = o. '1' (x, 11, z) = O son lus ecuaciones detres euperücies, para hallar lus puntos do sus intersecciones es nece-sario resol ver shnultánocmento el sistema:
{
P(x. Yo %)=0,(J) (x. 11. ::) =0.'V (x. y, .)-0.
Coda solución z. !J, z do este ststumu nos proporciona las coordenadasde uno do los puntos do Iutorscceién do 111..'>suporñcíos dadas.
900. Se dan los puntos Mt(3; 4; - 4}. M 2 ( - 3; 2; 4).M3 (-1; - 4; 4) Y M, (2; 3; - 3). Averiguar cuáles estánen la línea
J (x _1)2+y2+zl1.= 36.ly+z=O
y cuáles no lo están.901. Averiguar cuáles de las lineas dadas n cont inuacióu
pasan pOI' el origen de coordenadas:
{
X2 + y2 -f- Z2 - 2z = 0,1) y =0;
{(x- 3)~+ (y + 1)2+ (z- 2)z.= 25.
2) x+y=O;
3) {;X-z1~~(Y+2)Z+(Z+2)~=9.
t72
902. Hallar on In línea
{
Xl +y~ +z~= 49,xt + y~+z2-4z-25 = O
un punto:1) cuya abscisa sea igual a 3;2) cuya ordenado sea igual a 2;3) cuya coto sea igun] a 8.903. Hallar las líneas que determinan las ecuaciones
siguientes:
1) [;:~; 2) [X=O, 3 {y=O. {X-2=O,z=O; ) z=O; 4) y=O;
_ {X+2=O, {X-5=O, {y+2=O,;) y-3=0; 6) z+2=0; 7) z-5=0;
{ X2 + y~ + Z2 =9, {X~+ y~ + Z2 = 49,8) z = O; 9) y =O;
10) (X2+y2+Z2=25, 11) {X2+y2+Z~=20,lx=O; z-2=0.
904. Hallar la ecuación de la linea de intersección delplano Oxz y la esfera con centro en el origon de coordenadasy radio igual a 3.
905. Hallar la ecuación de la línea de intersección dela esfera con centro en el origen de coordenadas y radioigual a 5, y el plano, paralelo al plano Oxz ; situado en 01semícspacio izquiordo, a la distancia de dos unidades de él.
906. Hallar la ecuación do la línea de interseccióndel plano Dyz y la esfera con centro en el punto e (5; -2; 1)y radio igual a 13.
907. Hallar las ecuaciones de la línea de intersección dedos esferas, una de las cuales tiene un radio igual a G yel centro en el origen de coordenadas y la otra, uo radioigual a 5 y el centro en el punto e (1; -2; 2).
908. Hallar los puntos de intersección de las tres super-ficies:
r + y2 + z~ = 49, y - 3 = O, Z + 6 = O.
909. Hallar los puntos de intersección de las tres super-flcies:
XZ + y2 + ZZ = \J, .x~ +. y2 + (z _ 2)2 = 5, y - 2=0.
173
§ 37. Ecuación de una superficie cilíndrica cuyasgeneratrices son paralelas <1 uno de 1')5 ejes
coordenadosUna ecuación de dos variables de la forma
F(~, y)=O
doterrnlna, en un sistema dI) coordenadas del cSl!acio, una ~ltlll;rfi"¡l!cilíndríc,a cuyas genoratrtccs son paralelas al ero O., En ",1 plano,en el sistema do coordcnadns dcterminndo por Jos cios O~ y Oy. Iuccuaciún F (x, y) = O determina una linea, (Jl14) es, prccisumentc, ladirectriz del cilindro conslderado. Pero (ISla linea, on el sistema docoordenadas del espacio, uono que ser dada por dos ecuaciones'
{F(x, y)=O,z=O.
Análogarncntc, In ecuaciónF(~, z)=O
(on el espacio) dotcrmtna una superficf e eil induica cuyus goncratrIccsson puralelus al ejo Oy; la ecuación F (y, a) = O determina unu super-riel() cilíndricu cuyas gcnocatrtces son paraleles 01 ojo 0:&.
910. Averiguar qué figuras geométricas determinan lasecuaciones siguientes en un sistema de coordenadas delespacio:
1) $2 +- Z2 = 25; 2) ~; + ~:= '1; 3) ~~ _ ~2 = 1;
4) x2=6z; 5) x~-xy=O; 6) X2_Z2=O;7) y2 ¡··Z2= O; 8) xZ+4y~ + 4 = O; 9) X2+Z2 = 2z;
10) yZ + Z2 = - z,911. Hallar la ecuación del ciH ndro que proyecta a La
circunferencia
{X2 -1- (y-j- 2)2 -¡- (Z-1)2 = 2G,X2 -1- y2+ Z2 = 113
sobre el plano: 1) Ol~Y; 2) OJ'Z; H) Oyz.H12. Hallar la ecuación de la proyección de la circuu-
Ierencia
{(x+ 1)2+ (y +2)2 + (z - 2)2= 36,:c2+ (y + 2)2+ (z-1f= 25
sobre el plano: 1) Oxy; 2) O:z;z; 3) Oyz.
IXCapítulo
F:CUACION DEL PLANO. ECUACJON DE LA nECTA.ECUAClOl.IiF.S DE LAS SUPE1tFICIES DE SEGUNOO ORDEN
§ 38. Eeuacíéu general del plano. Ecuación del planoque pasa por un punto dado y tiene un vector
normal dado
En coordenadas cartesianas, cada plano se determina por unaecuación do primer grado y cada ecuación do primer grado determinaun plano.
T.,du vector (dífercnto de COr(I), perpendicular 0.1 plano dado. sellama vector norma] dol plano, La ceuncién
A (.:t-xo)+E{Y-lIo)+C(=-%o)=O (1)determina un I'lallCl que pasa por el punto Mo (.:to; Yo; "o) Y cuyo vectornormal es n = {,t; E; e}.
¡\ brlcndo parón tesis de la ccunción (t) y dosignando 01 número- Axo - Eyo - Czu por La Ietra D, reprnsentnmoa 111 ecuación (1)(~II In f(.rIUII:
Esta ecuación so llama ccunclén general ,1el plano,
913. Hallar la ecuación del plano que pasa por el pun-to MI (2; 1; -1) y cuyo vector normal es n: = {1; -2; 3}.
9J4. Hallar la ecuación del plano que pase por el ori-gen de coordenadas y cuyo vector normal es n = {5; O; -3}.
915. El punto P (2j -1; -1) es 01 pie de la perpen-dicular bajada del origen de coordenadas a un plano. Hallarla ecuacíén de este plano,
916. Dados dos pUI1tosM1 (3; -1; 2) y M2 (~; -2; -1).hallar 111 ecuación del plano que posa por el punto .NI1
y os perpendicular al vector MIM'l'917. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
MI (3; 4; -5) y es paralelo a los dos vectores U·I == {3; 1; -1} y U2 = {1j -2; 1}.
918. Demostrar que la ecuación del plano que pasa porel punto M¿ (.ro; Yo; zo) y es paralelo a los dos vectores
UI = {tI; ,ni; nt} Y U,2 = {l2; nL2; nz).
175
se puede representar en la íormn
X-Xo Y-Yo z-zoII mi n, =0.lz m2, d<¿
919. Hallar la ecuación del plano que pasa por lospuntos M'd2; -1; 3) y Mz (3; 1; 2) y es paralelo al vectora={3; -1; -4).
920. Demostrar quo la ecuación del plano que pasa porlos puntos MI (x,; YI; z,) y j1f2 (:r.2; yz; Z2) Y es paraleloal vector
a= {l; mi n},
se puedo representar en la formaX-XI y-y, Z-ZI
x2-x¡ Y2.-YI Z2-Z¡ =0.t m n
921. Hallar la ecuación del plano que pasa por trespuntos:
Mt(:;; -1; 2),Mz(4j -1; -1) y M3(2; O;2).922. Demostrar que la ecuación del plano que pasa
por tres pun tos:1"'I1I(xl; YI¡ ZI), M2,(X2; Y2; Z2) Y Ms (:1:3; Ya; z~)
se puede representar en la forma:X-XI y-y! Z-ZI
XZ-X¡ Y2-YI Z2-Z¡ =0.X3-XI Ys-y¡ Z3-Z1
923. Determinar las coordenadas de algún vector nor-.mil) de cada U110 de los siguientes planos. Escribir, en cadacoso, la expresión general de las coordenadas de u n vectornormal arbitrario:
1) 2:r:- y- 2z + 5=0;3) 3x - 2y - 7 = O;5) $··1- 2=0;
2) x+5y-z=0;4} 5y-3z=0;6) y-3=O.
17li
n24. Determinar quó pares, de Ias ecuaciones dadas acontiuuación, determinan planos paralelos:
1) 2x-Hy+5z-7=0, 2;r;-3y+5z+3=O:2) 4:r;+2y-4z+5 =0, 2x+ y+2z-i = O;3) :¡:-Hz+2=O, 2.;¡,-Üz-7=O.
925. Determinar qué pares, de las ecuaciones dadas !l
couttnuucién, determinan planos perpendiculares:1) 3x-y-2z-5=O. x+!Jy-3z ¡-.2=0;2) 2x+3!1-z-S=O, x-y-z-t-5=O:3) 2.l:-5y+z=0, $+2z-:1=0.
~)26. Determinar para qué valores da l 'i In los IHHOSdo ecuaciones, dadas n continuación, determinan planosparalelos:
1) 2x+ly+:iz-5=O. m..:r.-6y-6z+2=O;2) 3x-y+lz-9=O, 2x+my 1-2z-3=(I:i:l) mx+3y-2z-1=U, 2x-5y-lz=O.
927. Determinar para qué valores de l 105 pares doecuacíones, dadas 11 cont innación, determinan planos por-pendiculares:
1) 3x-:íJl-I-lz--:~=O,2) :>x-y-3¡;-2=Ü,3) 7:'C-2y-z =0,
:r -1- 3y ;- 2z -1- 5 = O;2.¡; + ly-3z+ 1 = O;Lc+y-3z-1 =0.
928. Datcrmínar los ángulos diedros formados pOI' lainterseccién de lo" pares de planos Siguientes;
1) ;¡:-yV2-j-z-1=O, ;t'l-ylr2-z~-;3-=O;2) ;,y-z = (J, 2y+ z·= O;3) 6.r.+3y-2z=0, x+2y+üz-12=Oi4) te r2Y-I-2z-3=O, 16;¡:-1-12y-15z-1=O.
929. Hal lar In ecuación del plano que pasa por elorigen de coordenadas y es paralelo 1\1 plano 5x-3y 1-+2z-:3=O,
930. Hallar la ecuación del plano que pasa por 01punto M. (3; -2; -7) y el; paralelo 01 plano 2x-::lz++5=0.
12-352 177
931. Hallar la eouacion del plano que pasa por elorigen de coordenadas y os perpendicular U los dos planos:
2:l:-y+3z-1=O. x+2y+z=O.932. Hallar la ecuación del plano que pasa por el
punto MI (2¡ -1; 1) y os perpendícular n los dos planos:
2x-z ·1-1=0, y =0.933. Demostrar que la ecuación del plano que pasa por
el punto Mo (xo; Yo; zo) y es perpendicular a los dos pla-nos Alx +- Bly 1- Clz+ D, = 0, A2x+ B2Y-I-Czz+Dz= O, sepuede representar on la forma siguiente:
X-:1:(I Y-Yo Z-Zo
Al Bi el =0.A:¿ B2 C2
931. Hollar In ccuaclón dol plano que pasa por dospuntos M, (1; -1; -2) Y .Jlf2(3: 1; 1) y os perpendiculara l plano
x-2y+ 3:::-5 =0.
935. Demostrar quo la ecuación del plano que pasa pordos puntos MI (XI; y,; zJ) y ll-f2 (.r:.., Y2; Z2) Y os porpoudt-cular al plano
Ax+By+Cz+D=O.se puedo representar en la. forma siguiento:
:I:-X, Y-YI Z-Z,
Xa-X, Y2-YI Z2-Z, =0.A B C
936. VoriIlcnr que los tres planos x-2y :·z-7=0,~ rY-z -1-2=0, x-3U+2z-11=0 'tienen un 'Puntocomún y calcular sus coordenadas.
937. Demostrar que los tres planos
7:¡;'1-4y 1-7z + 1 =0, 2x -y-z+ 2 =0,x + 2y+3z-1 =0
pasan por una recta.
178
938. Demostrar quo los tres planos2.¡; - y + 3z - 5 = O. 3x + y 1- 2z - 1 = O.
4x -1- 3y + z -1- 2 = Ose cortan en tres rectas paralelas diferentes.
939. Determina!' para qué valores de a y b los planos2x - y + 3z _ 1 = 0, x + 2y _ z + b = O.
x + ay - 6z + 10 = O:f) tienen \111 pun Lo común;2) pasan por UUiI recta;3) so cortan en tres rectas paralelas diferentes.
§ 39. Ecuaciones incompletas de Jos planos.Ecuación «segmentarla» del plano
'l'odn ecuación de pcimer grado
- Az+BV+C::+D=O(<'11 coorríceartas cartcsianns) determina un plan o. Si esta eeuaciéncarece do término índopendtonte (D = O), Clj.llaul> pasa por el origendo coordenadas. SI carece de UDi! do las coor criadas vartablcs (o sen.si uno de los coeñclerues JI, B, e os igual a coro), ni plano es paraleloa uno (le los cíes coordenados y es, prcetsamontc. paralelo al ojohomónimo de la coerdonada ausente. Si, además, In ecuacíón careen dot.(¡.'mino Independiente, 01 plano [lasa por esto ojo. Si la ecuaetón carece(lo dos coordenadas vartnblcs (dos do los coef ícícn tes A, B. e sonigullles a. cero). el plano os Jlnralclo a UIIO de los plnnos cconlonados;es, precisam cu Lo, paralelo al plano que pasa por los ejes homúnímosde lila coordenadas ausentes. Si, además, la ecuaetén carece de tér-mino Indcpcndíeutc, el plano coincide con este plano coordenado,
S! en la ecuaci6n dol planoAz+By+C,,-f-D=O,
ningun« de lo'! coefjc,iente~ JI, B, C, D (]S iguul a cero, esta ecuacíónso puede transforrnar en la forma
en donde0= _E... b~ _.!l.... c= _E..
.Il B' Cson las magrlÍtlldelj de IOl<segmentos que Q) plano int.orc.cl't<1 en loseies coordenados (partiund« .101 origen do coordenndas), La ccuacrén(1) se Barna eeuación «sC!gnlcnlllria¡ del pleno.
9<10.Hallar la ecuación del plano que pasa:1) por el punto MI (2; -3; 3) y es paralelo al plano Oxy;2) por el punto M 2. (1; -2; 4) y es paralelo al plano 03;Z;
12- 171)
3) pur el PlU\(;O !113 (-S; 2; -1) 'Y os paralelo al pla-no Oyz.
941. Hallar 11\ecuación del plano que pasa:1) pOI' 01 eje O« y por el punto Mi (.{~;-1; 2);2) por ol (:)je 01/ y pOI" 01 pun to M 2 (1; 4; -3);:3) por el eje Oz y por el punto jl'J 3 (3; -tÍ; 7).962. Hallar 111 ecuación del plano que plll<a:1) por J()S puntos MI (7; 2; -3) y ll12 (.j; 1;; -4) y es
pnrn lelo al ejo Ox;2) por los puntos Pi (2; -1; 1) y »2 (3; 1; 2) y os PUI'H-
lolo nl eje Oy;3) por los puntos Ql (3; -2; 5) y Q2 (2; 3; 1) y es para-
lelo al eje Oz,913. Hnltar 1.05 puntos de Intersección del plano
2x - 3y - 4z - 2/~ = Ocon los cios coordenados.
Qtjla. Dada la ecuación de un plano;1: + 2y - :~z- (j = O.
escr iblrln (11) la forma «segmentaría».915. Hallar Jos segmentos que el plano
3.1: - 4y - 21¡z + 12 = Ointercepta en 1011 ejes coordenados.
946. Calcular el área del triángulo intcrsectado en 01ángulo coordenado Oxy por el plano
5:c - 6y + 3z +- 120 = O.947. Calcular el volumen de la pi rám idc l imitnda por
el pluno 2x - 3/1 + ('¡z - 12 = O y por Ios planos coordena-dos.
948. Un plano pasn por 01 plinto Mi (6; -to; 1)o íutercepta en el lIje de UUSCiSRS el segmento a .= - 3 y NIel eje de cotas cl seg mouto e = 2. HHJJul' la ecuucióu«seg rneu tar+a» de este plano.
949. Un plano pasa por los puntos M¿ (1; 2; -1) yM'¿ (-3; 2; 1) e intorcepta en el cío de ordenadas el sog-mento lr = 3. Hallar la ocuación «segmontariu» cle esteplano.
950. Hallar la ecuación del plano que pasa por el pun toM'I (2; -:->; -4) y que intercepta en los lijes coordenadossegmentos de igual magnitud y diferentes de 1;01'0 (se suponeque cada segmento parte del origen de coordenadas).
Iflll
951. Hallar la ecuación de] plano que pasa por los pun-tos 11,11(-1; 4; -1). 1112,(-13, 2; -10) y que interceptaen los ejes de abscisas y de Gotas scg montos de igual Iongi-tud y dí íerentes de cero.
952. Haltar I¡lS ecuaciones de Ius planos que pasan porel punto 1111 (4; 3; 2) y que Interceptan en los ejes COOI'-dcnados segmentos de igual longitud y diferentes de cero.
95:i. Hallar la ecuación del plano que Intercepta en eleje Oz el segmento e = -5 y os perpendicular al vectorn '"'""{-2; 1; 3}.
95~. Hallar la ccuución del plano que es paralelo alvector: l '-= {2;1; -1} y que interceptu en los ejes C()Ol'-denados 03: y Oy los sog mcntos a = 3, b =, -2.
955. Hallar la ccuaclún del plano que os perpendícularal plano 2x - 2y + 4z - 5 = O y que íutercepta en los oíos
2coordenados 0:& y Oy los segmentos a = -2, b = 1f '
§ 40. Eeuactén normal del plano.Distaneía de un punto a un plano
Se llama ecuacíón n01111111 del plano 11 ROl ecuncíén, (,SCl'ita en laIorma
x cosce-j-j, co"ll+z cosy- p=O, (1)
en donde cos c/., rus ~. ces y son los COSt'IlOS d ircctores do la normal111plano y p os la dlstancia del origen do coordcundus al plano. Alcalcular Jos cosenos d irectures (lo la normal so dobe suponer que éstatiene la dirección del origen do coorrlcnadas (11plano (si «l plano pasapor l'l or-igen de coordenadas, es iTulifct'olltc la elccclón de In dírcccíónpcsttí va de la normal) , .,
Supongumos que M> (JS un punto cunlqutcra dl)1 espacio y que dI~~ la dlstuncla rlcsd,) 61 hasta ()I ¡,'!fUI{) Iludo. SI> 1111111a (,dl>.wincióJ)h 6(lol plHItU ,'t¡- del plano dado, al númoro + d, si 01 punto M* y elI,rigen de coordenadas estún a diversos Indos <1(.J plano dado y, alnúmero -d. si están L'U 1Hl mismo Indo del plano dado (si M'* ()S~Ú1:1\ el mismo plano, Sil dcsvínción será igual a cero).
Si (,1 IlImt,o .~f*t.ione las coordenadas :t*, y*, Z" y III plnnu su hudado mediante su CCU(lL'¡Ó" normal
".'cos a+!I tOS fI+z COI! )'-p=O,
la i!cl'<viur,irín ,101 punt« 1'V/~ rJo ",'t.e pluuo se dn por la Iórmulao=x·col<a'-; !/*ccl~~': z*CO$,\,-p.
Es evidente quo d - I c~ 1,La ccunriún general rlcl l'JllflV
Ilx+lJU+Cz+D-=O
18'1
S9 reduce u In forma normal (f) después no muluplicurla por 01 Iactornormalizado¡' que se dctormína por In fórmula
1Jl-± .- lÍA3+D2+C~ •
el slguo del Iactor nonuullzador c:¡ contrul'lo al slguo d...l tértuíuoiudollt'utlicllLe do la ecuación que se normaliza.
956. Determinar cuáles de las ecuaciones de los pla-nos dadas a continuación están escritas eu lo forma normal:
1 2 21) aX-aY-:rz-5=0;
6 3 23)"fx-1'Y+Tz+5=0;
5) '!.t:-2.z-3=O·fJ 5 '5 12
7} 'f¡jY-13z-1 =0;
9)x-1 = O;11) -y-2=0¡
2 '1 12) aX+1fY-:rz-3=O;
6 3 24) -Tx+TY-T.o-5=0;
;; 12O) - 13 Y t 13 z-j- 1 = O¡
4 ¡¡8) 5 x-i"y+3=0;
10) y+2=0;12) .0-5=0.
957. Reducir a la forma normal cada uua de las ecua-ciones do los planos siguientes:
a 6 21) 2x-2y+z-18=0¡ 2) 7'x-7'Y+Tz+3=0;
3) 4,r;-Gy-12.o-11=0¡5) 5y-12.o+2B=0;7) U+2=0;9) - .o-j- 3 =O;
4) -4.x-4.y+2.o+1";'0;6) 3x-4y-1 =0;8) -x+5=O¡
10)2.0-1=0.
958.. Calcular, para cada uno do los planos siguientes.los ángulos a, 13 y "i formados por la normal y los elescoordenados y hallar lit distancia p del origen de coorde-nadas a ellos:
1) x+y1!Z+z-10=0; 2) X-y-zV2+16=0¡3) :t +.0-6 =0; ó) y-z-I-2=0; 5) x 'V3+y {-1O=0;6) z-2=0¡ 7) 2x+1=0; 8) 2y+1 =O¡9) x -2y +2z-6 =0; 10) 2x+::ly-6z+4=0.
182
959. Calcular, en cada uno do los casos sigutentcs, ladesvinción 6 y la distancia d del pun Lo al plano:
'1) MI(-2: -4; :),2) M2(2.; -1; -1),3) u,(1; 2; - ~),4) M4(3; - 6; 7),5) Ms (9; 2; - 2),
2x-y+2z-t-:3=0;lO;,; -12V+ 15:-4=0;5:1:- 3y+: + 4=0;4.1;-3z-1 =0;12y-5z+5=0.
U60. Calcular la distancia d dol punto P(-1, 1; -2)al phmo que pasa por tres puntos 1111(1; -1; 1).M2(-2; 1;3) y Ma(4; -5; -2).
961. Averiguar si el punto Q (2; -1; 1) y el origen decoordenadas están n un mismo lado o a diversos Indos decado uno de los planos siguientes:
1) 5x-::IV+z-18=O; 2) 2x+7y+3z+1=0;3) x+5y+12z-1 =0; 4) 2x-V+z-f-11 =0;5) 2x+3y-6z+2=O; 6) 3x-2Y-l-2z-7=0.
962. Demostrar que el plano 3x - 4y - 2z -1- 5 = O corta0.1 segmento Iimitado por los puntos MI (3; -2; 1)y Mz(-2; 5; 2).
963. Demostrar que el plano 5x - 2y·+ z -1 = O nocorta a) segmonto limitado por los pun tos MI (1; 4; - 3)y Afz(2; 5; O).
964. Calcular la distancia entro los planos paralelosen cada uno de los casos siguientes:1) x-2y-2z-12=O, 2) 2x-3y+6z-14.=O.
x -2y-2z -6=0; 4x-6y+12z.+21 =0;3) 2x-y+2z·+-9=0. 4) 16x-I-12y-15z+5o.=0,
4.x-2y·.J-4z- 21= O; 16x+12y-15z +25 =0;5) :~Ox-32y+24z-75=0, 6) 6x-18y-9z-28=0,
15x-1Gy '1-12z-25=0; .4.z-12y-6z-7=O.965. Dos caras de un cubo están en los planos
2x - 2y+z -1 = 0, 2;2: - 2y + z +;,) =0,
Colcular 01 volumen ele este cubo,
183
966. Hallar, on el eje Ou, un punto que esté a la distan-da J, = 4 del plano
x + 2y - 2z - 2 = O.967. Hallar, (\11 el eje Oz; un punto equidiatante del
punto 11,[('1; -2; O) 'Y del plano 3:t - 2y + (jz - 9 = O.968. Hallnr, en el eje O», un punto oqutdístautc de
Jos dos planos
12x - 16y + 15z + 1 = O, 2x + 2y - z - 1 = O.969. Deducir la ocuacióu del Jugar geométrico de los
puntos cuyas desviaciones del plano 4x - 4y - 2z + ::1 = Osean iguales a 2.
970. Deducic la ecuación del lugar geométrico de lospuntos cuyas desviaciones del plano 6x .+ 3y -+ 2z - 10=0sean iguales a -3.
971. Hallar las ecuaciones de los planos paralelos alplano 2x - 2y - z - ::1 = O, que están a la distaucia II ~= 5 de él.
972. Hallar. en cada 11110 de los casos siguientes, laecuación del lugar geométrico do los puntos equidistantesele dos planos paralelos:
1) ~:1.'-y-2z-3=O, 2) 3:¡;+2y-z+3=O,4'1~-y-2z- 5= O; :;x+2y -z-1 = O;
3) 5:1.'- 3y-I- z .¡-3=O,fOx -6y ',"2z 1- 7 = O.
973. Haltar, en cada uno de los casos siguientes: lasoouaciones de los planos que dividen por la mitad Jos ángu-los diedros formados por los dos planos concurrentes:
1) x-::\Y-l-2z-5=O, 2) 5l:-5y-:¿z-:1,.d),i:b:-2y-z 1- B = O; :¡;+ 7y- 2z-:..1 = O;
3) 2:c - y -1- 5z -1- 3 = O,2;¡;-10y r4z-2=O.
974. Averigunr, en cada ULlO de los casos siguientes,si el punto 111[ (2; -1; 3) y el origen de coordenadas estánen un mismo ángulo diedro, en ángulos diedros adyacen-tes o ca ángulos diedros opuestos, formados por la ínter-
scccién de los dos planos:
1) 2.x-y··,3z-fi=O, 2) 2x ·.L:~y-5z-15=O,:;,:c-I· 2y-z-H~=O; 5x-y-3z-7 =0;
;'3)x"1-5y-z+1=O,2.'1: '1-17U+z-j- 2,,-,,0,
!l75. Averiguar, cm cada uno do los casos siguientes,si los pUllLOS M (2; -1; 1) y N (1; 2; -3) están en un mis-mo ángulo diedro, en IÍngulos diedros adyacentes o en ángu-los dícd ros opuestos, formados por los dos planos:
1) 'Ix-y 1-2z-3=O, 2) 2x-y-¡-5z-1 ",-O,x-2y-z 1-(t=O; 3x-2y·Hiz-1=O.
976. Averiguar si el origen de coordenadas está situadoen el ángulo agudo u obtuso formado por los dos planos:
x - 2y + 3z - 5 = 0,2.'1: - y - z + 3 = O.
977. Averiguo!' si el punto M' (3; 2; -1) está situadoen 01 ángulo agudo 11 obtuso formado por los dos planos:
5:c - y -+- z + 3 '-= O,4x - 3y + 2z + 5 = O.
978. Hallar la ecuación del plano que divide pOI' lamitad el ángulo diedro formado por Jos dos planos
2x - 14y + 6z - 1 = O.3.t: + !iy - 5z + 3 = 0,
en que está situado el origen de coordenadas.!I79. Halla}' la ecuacíón del plano qua divido por la
mitad ul ángulo diedro lormado por los dos planos
2x - y + 2z - 3 = O,3x + 2y - 6z - 1 = O.
on que está situado ('1 punto M (1; 2; -3).9RO. Hallar 11.ecuaciéu del plano que divide por 111
mitad el ángulo diedro agudo formado por los dos planos
2x - i3y - 4z - 3 .:......O.4x - Sy - 2z - 3 = O.
185
98:1. Hallar la ecuacion del ptano que divide por lamitad el ángulo diedro obtuso formado pOI' los dos planos
3x - 4.y - z + 5 = O,4x - Sy + z + 5 = O.
§ 41. Ecuaciones de la rectaLa recta, como iutorseccién de dos pl111105, so determina por dos
ccuncíones simultáneas do primer grudo:
{AIZ+BIY-I-CIZ+D1=O,A2:lO I-B2Y+C2,z+D2=O. (I)
CI'I\ la condición do que los coefíciontos Al> Eh CI de Ja primera deollas no sean proporcionales a los coeficlentosAz, B2, C: (le la segunrla(on caso contrario. estas ecuaciones dctermlnurlun planos paraleloso colucídontes).
Supongamos que una recta a está determinada por las ecuaciones(1) y que Ct y ~ son unos números cualesquiera, no simultáneamenteiguales a coro; entonces la ecuación
a. (Atx+nly+CIZ+Dl)+~ (A2%+B2y+C2z+D2) =0 (2)dotermlua un plano quo pasa por la recta a.
La ecuación de In forma (2) se puada determinar por cualquierplano (con In correspondiente elección do los números a. y (1) quepase por la recta a.
El conjunto de todos los pIIIDOS que pasan por una misma rectaso llama haz de planos. La ecuación de lu forma (2) se Ilama ecuacióndol haz de planos.Si a. *O, poniendo .!= ¡" la ecuacíén (2) se reduce a la Iorma
Ct
Alz+B¡y+Ctz+D¡+i. (Az:l:+B2V+CZz+D2)=-O. (3)Esta forma do la ecuación del hall <10 planos es más usual qua
la ocuacíén (2), sin embargo, la ecuacién (3) determina todos . losplanos del haz menos 01 que corresponde a a = 0, E<S decir, menos 01plano .112% + B2y .,¡.. Caz" Dz = O.
982. Hallar 1al! ecuaciones de las rectas formadas porlas ínterseccioues del plano 5x - 7y + 2z - 3 = O con losplanos coordenados.
983. Hallar la ecuación de la recta formada por laintersección del plano 3x - y - 'lz + 9 = O con el planoque pasa por el eje O» y por el punto E (3: 2; -5).
98~. Hallar los puntos do intersección do la recta
{2x+.y--z-3=O,
x+y+z-1=OCOD los plauos coordenados.
18(i
993. Hallar la ecuación del plano que pasa POI' la rectade intersección de los planos 3x - 2y + 2 - 3 =- O, ;1.: -
- 2z = O y es perpendicular al plano x - 2y ..;-2 + [)'"'"O.994. Hallar la ecuación del plano que pasa por' la rect.a
{5:!:-y-2z-a=O.
:~;¡:-- 2y - 5z -1 2 = 1)
y es perpendicular al plano :c + 19y - 72 - 11. = O.995. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta
de Intersección de los planos 2x -1- y - 2 + 1 = O. x +y -1-+ 2z + 1 = O y es paralelo al segmento l imitudo por los!lUnCOS Mi (2; 5; -:3) y J1I{ 2 (3; -2; 2).
996. Hallar la ecuación del plano que pertenece al hazde planos
IX (3x - 4:y + z 1- 6) + ~(2x - 3y + z + 2) = Oy os equidistante do los puntos .Il1', (3; -4; -(;). j~f a (1; 2; 2).
997. Averiguar si 01 plano
fu-8y+17z-8=Opor(.CJlOCO al llar. de planos
IX (5:v -!J 1- 42 - i) + II (2l: + 2y - 3z + 2) = (J.
998. Avorígu ar si ol plano
5.1: - Uy - 2z + 12 .= ()pertenece a] haz do planos
a (2x - 3y + z - 5) + r~(x - 2y - 2 - 7) = O.
999 . Dctermtnar los valores de l y In para que el plano5:l' + ly + t.lZ T In .., (1
p ertcnezc a al hay. de. planos
IX (3.1::- 7y + z - 3) -1- ~ (:1: - 9y - 2z T 5) = O.
1000. Hallar ]a ecuación del plano que pertenece alhaz de planos
IX (:l: - 3y + 7z + 36) + [1 (2x + y - z - 15) = 0,
cuya distancia al origen de coordenadas es igual a p =:~.188
1001. Hallar la ecuaclén del plano quo pertenece alhaz de pl a nos
a (10:1: - 8y - 1[¡Z + 56) +~(4a;'1 y + 3z - 1) = O,cuya d istancia al plinto e (3; -2; -3) 0$ igual a d = 7.
1002. Hallar la ecuación del plnno que pertenece a)haz ele planos
IX (4:z; + 13y - 2z - nO) + ~(ltx -l- 311 + 3z - 30) = oy recor-ta 001 ángulo coordenado Oxy 'In tríringulo do áreai~lIal a 6 unidades cuadradas.
1003. Hallar las ecuaciones de los planos que proyectil nIn rocta
{2:t:-Y +2z- 3··,0,
:1'., 2y-z-1 =0sobro los planos coordenados.
1004, Hallar las ecuaciones de IIIS proyecciones do In-ree ta
{
J + 2y-3z-5=O,2:r. - y ,1- Z ,1- 2 =- O
sobre los planos coordenados,i005, Hallar )(1 ecuación del plano que proyecta la recta
{:~x+2y-z-1 = 0,
2:& - 3y + 2z - 2 ~. O
sobre el plano rr 1-2Y-I-3z-5=O.1006. Hal lar las ecuaciones do 11\prnyecciún ele la recta
{S;t-tíY-2Z-S-,0,
ti' ...:.• 2z - 2 ,~, Osobre ll! plano
2.1' - y -1- z - 1~.O,
§ 42. Vector director de la recta. Ecuacioneseanénícus de la recta. Ecuaciones paramétrtcae
de la rectaSo 1111 lila vector d iroctor tle una ,'ccta 11 \1(1 vector cualqunn-n ,
tlil'()I'r.nte do coro , situudn en (lSI·ll recta o (.)11 una recta paralela a ulln ,E" lo sucesivo, 01 vector director de unn l"I!ctn nrhit.rnriu :;e desig-
IIUI"I; cou In Ietru u y sus CIUII·t!,.'n¡,clIlS con lns )ol.l'ns 1, m. n:a :»: 11: m; II}.
1811
Si SO conoce uno ele 811S puntos Mo ("'o; Vo; :0) y el vector dirccl.Qra. = ti; 111; n}. la rcctn su podrá determtnur medtaute (do~) ccuacíonesde la íorma:
:1:-"0 Y-l/o %-Zo (1)-¡-=-m=-n- o
Las ecuaciones de la recta que tienen esa Iorma 5(1 llaman canénlens,Las ecuacíoues cnnónícas de la recta que pllSU por dos 1'111\\<1:;
dados MI (x.; /l.: :1) Y M. (%2: Y2: '2) SOl! do la forma:.r.-ZI '1/-111 z-zl~=y;;::y;-= %1-:. o
Designemos por In lctrn I cada una do las relaciones iguales deecuaciones canónlcas (1); tendremos:
(2)
los
Do IICfuf quef x=zo+ll,
t y=yo+mt,z=zo+nto
Estas son las ceunclones I'uramólricas .10 111recto que (lasa por 01punto ,'1'/0 (%0; Vo; z.) on direcci6n del vector a. = {I; In; Il}. En J08eeuacrones (3). t so considera como un parámetro variable arbitrarlo;;r. y, • son Iunclonos do 'o Al variar 1, las cantidades x, y, z vnrlando mudo que el punto /lo:( (x: 1/; z) S(! muovo ror Jo. rcc\n dada.
SI so Interpreta ,,1 parémotro t como e I.¡ampo vartablo y 1Mecuaciones (3) como las ecuaciones del movlmtento del punto M.ostns ecuacíoncs dctermínarén un movimientu unlforme rcctillneo.101 punto Mo Cunndo t = 00 01 punto M culncido con el punto M~.La velocidad IJ del punto M os constante- y se determina por la íérmulu
v=Vl2+m~+"201007. Hallar las ecuaciones canónicas de la recta que
pasa por el punto MI (2; O; -3) y es paralela:1) al vector a = {2; -3; 5};( . z-l y +2 z-I-12) a la recta -5- =-r = -=T ;3) al eje Ox; 4) al eje Oy; 5) al eje Oz,1008. Hallar los ecuaciones canénicas de la recta que
pnsa por los dos puntos dados:1) (1.; -2; 1), (3; 1; -1); 2) (3; -1; O). (1; O;-3);3) (O;-2; 3), (3; -2; 1); 4) (1; 2; -4), (-1; 2; -4)01009. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta
que pasa por el punto MI (1; -1; -3) y es paralela1) al vector a = {2; -3; 4};2) z-1 1/+2 z-1a la recta --:r- =-5- = -0- ;3) a la recta x = 3t - 1, Y = -2t + 3. z = 5t + 20
HlO
1010. Hallar las ecuaciones para métricas do la rectoque pasa por los dos puntos dados:
1) (3; -1; 2), (2; 1; 1); 2) (1; 1; -2), (3; -'1; O);3) (O; O; 1), (Ú; t; -2).
1011. Por los puntos Nj (-6; 6; -5) y M2 (12; -6; 1)se ha trazado una recta. Halla, los puntos do tntorsecclónde esta recta con los planos coordenados.
1012. Dados los vértices de un triángulo A (3; 6; -7),B (-5; 2; 3)yC (4; -7; -2), bailar las ecuaciones pnramé-trícas do su medianil trazada desdo el vértice C.
1013. Dados los vértices de I1n tl'iángulo A (3; -1; -1),B (1; 2; -7) y e (-5; 14; -3), hallar las ecuaciones cunó-nicas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.
1014. Dados los vért.ices de un triángulo A (2; -1; -3),B (5; 2; -7) yC (-7; 11; 6), hallar las ecuaciones canóni-cas de la bisectriz del ángulo externo del vértice A.
1015. Dados los vérticos de un triángulo A (1; -2; -4),B (3; 1; -3) y e (5; 1; -7), hallar las ecuaciones pararué-trícas ele la altura bajada desde el vértice BaIlado opuesto,
1016. Doda In recta
\2r-5Y-I-Z-3=O,
x+2y-z+2=0,
calcular los proyecciones sobro los ojos coordenados de algúnvector director a de ella. Hallar In expresión general delas proyecciones de un vector director arbitrario de estarecta sobre los ejes coordenados.
1017. Dada la recta
{2:¡;-y+3z +1 =0,
3x+y-z-2=0,
hal lnr la descornposíctón do algún vector. director a: y Inexpreslén general de la descompoalclón de un vector diroc-tor a.l'bitrado de esta recta en ID baso 'l, j, le.
1018. Hallar las ecuaciones CAnónicas de la recta quepasa por 01 punto M¿ (2; 3; -5) y es paralela a la recta
{3X-U+2z-7=O,x+3y-2z+3=0.
101
1019. Hallar las ecuaciones canónicas de las rectassigutentes:
1) {x-2Y-I-3z-4=O, 2) {~X+Y-I-Z=(),;l.'l.·+2y-5z-4=O; 2:r.-1-3y-2z+5 ~(J;
3) {x- 2y+3z-r- t =0,2:1.:+ y -4z- 8= O.
1020. Hallar las ecuaciones paramétr icas de las rectassíguientes:
1) l2;r.-;-:.¡v-Z-4.=O,3x-5y+2z+1=O;
2) {X'I 2y-z-6=O,2x-y+z+1 =0.
102'1. Veri Iicar que SOl! paralelas 1M rectas:x-+-2 y-I Z {X ¡-y-z=O,
1) --=---y¡¡ -2 - 1 x-y-5z-8=O;
2-) $= 2t t 5, y-= -t+ 2, Z -= t-7
{X+3Y I-z 12=0,
y x-y-;~z-2=O;3) t;~+y-3z ,:1=0, y {X 1-2y-flz-'1=O,
x-y .¡_,z ,-H=O x-2V+3z-f)=O.1022. Verificar ([UC son perpendiculares Jns rectas:
1 .!._ !I- t _.:_ y {3X +y - 5z":' 1 ~ U,) 1 - -2 - 3 2x+3y-8z 1-3=0;2) ;r=2t 'r-1; y=3t-2, z=-6t·I·1
y {2:r -1- y-4z ;·..2-~O,4.'1:-Y-5z+4= O;
3 {;¡:-,-Y-~Z-1=O, (2.t+Y 1·2z-1-5=0,) 2x-y-Hz-2=O y 2x-2y-z ,2=0.
1023. Hallar 01 áugulo agudo formado llar las rectas:x-3 v..¡ 2 z ",+2 1/-3 z~·5-1-=-=:¡-= 11'2' -1-=-1-= VÍ .
1024. Hallar el ángulo obtuso Iormudo por las rectas:x=at-2, y=Ú, z=· -t+·3;x=2t-1, y=O, z=-I-·;'.
11/2
1025. Hal lar el coseno del ángulo formado pOI' lasrectas:
{
X-Y-4Z-5=O,2:!'+U-2z-4=O; {
x- 6y- 6z+ 2=0,2x+2y +9z-1 =0.
1026. Demostrar que las roetes, dadas mcdlant.e susecuaciones paramérricas
x =2t - 3, y = 3t - 2, z = - 4t t- 6y
x=t+5, y= -M-l, z=t-4,son concurrentes.
1027. 80 dan las rectasx+2 y :-1 x-a Y-'I 70-7-2-= -3 =-"-.- --l-=-4-=-2-;
écuál debe de ser el valor do l paro. que estas rectas seanconcurrentes?
, 1028. Demostrar que la condioíón, según la cual lasdos rcctas
x-o¡ y-b¡ 7o-l:'t X-02 y-b2. Z-C2-l-t - = ---;;;-= -11-1 - Y ---¡;- = --¡;¡;- = ---;¡;-
están si t uadas en un plano, se puede expresar de ]a formasiguiente:
az-al i--». CZ-Ci
i, mi ni =0.lz mz nz
1029. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa porel punto MI (-1; 2; - 3), es perpendicular al vectora.= {6; - 2; - 3) y se corta con la recta
%-1 y+1 z-3-1\-=-2-= -5 .
1030. Hal lar las ecuaciones de la recta que pasa porel punto M', (-4; - 5; 3) y se corta con las dos rectas
x-(-J y-l' (1 z-2 x-2 v+1 z-1.-:1-= -2 =-=1' -2-=-3-= -5 .
1031. Hulla r las ecuaciones paramétrtcas de la perpen-dicular común S\ los dos rectas, dadas por las ecuaciones
.l,=3t-7, y= -2t+4. z=3t+4
13-352
yx = t + t, y = 2t - 9, z = -t - 12.
1032. Dadas las ecuaciones del movimiento del punto¡I-[ (x; y; z)
a: = 3 - 4t, y = 5 + 3t, z = -2 + 12t,hallar su velocidad v.
1033. Dadas las ecuaciones del movimiento del punto111 (x; y; z)
x = 5 - 2t, y = -3 + 2t, z = 5 - t,hallar la distancia d recorrida por este punto e11 el intervaloda tiempo comprendido desde ti = O hasta t2 = 7.
1034. Hallar las IlCUaCiOllCS del movimiento del puntoJl1 (x; y; s), cuya posición inicial es M¿ (3; -1; -5), si elmovimiento es recti lineo y uniforme y va en dirección delvector foJ = {-2; 6; 3} con la velocidad v = 21,
1035. Hallar las ecuaciones dol movi miento del punto11:[ (x; y; z), si el movimiento es rectilíneo y uniforme y enel íntervalo de tiempo comprendido desde tI = O hastatz =. 4, el punto ha recorrido la distancia del puntoMI (-7; 12;5) al puuto M2 (9; -4; -3).
1036. La posición inicial del punto lIt (z ; y; z) en unmovimiento uniforme rectilíneo es M¿ (20; -18; -32-);la d irecclén del movtmíento es opuesta a la del vector
JO:i = {3; -4; -12} y la velocidad es v = 26. Hallar lasecuaciones del movimiento del punto 111 y hallar el puntocon el que coincide en 01 tiempo t = 3. .
1037. Los movimientos de los puntos ]\tf (x; y; z)y N (x; y; a) S011 uniformes y rectilíneos. La posición unicialdel primer punto es M¿ (-5; 4; -5), la velocidad esv,\[ = 14 y la dirección coincide C011 la del vector .'1 == {3; -(¡; 2}; la posición inicial del segundo punto esNo (-5; 16; -ü), la velocidad es VN = 13 y la direcciónes opuesta a la del vector r = {-4; 12; -3}. Hallar lasecuaciones del movimiento de cada UllO de los puntos y,verificando que se cortan sus trayectorias, hallar:
1) el punto P de intersección de sus trayectorias;2) el tiempo que tarda el punto lJt[ en trasladarse del
punto 1110 al punto P;3) el tiempo que tarda el punto N en trasladarse del
punto No al punto P;4) las longitudes de, los segmentos MoP y NoP.
194
§ ~3. Problemas mixtos relativos a la ecuación de'lplano y a las ecuaciones de la recta
1038. Demostrar que la rectax = 3t - 2, y = -4t + 1, z = 4t - 5
es paralela al plano 4x - 3y - 6z - 5 = O.1039. Demostrar que la recta
{5:¡,-3y+ 2z- 5=0,2x-y-z-1=O
está situada 01) el plano 4x-3y-j-7z-7=0.H>40. Hallar el pun Lo de in terseccíón de la recta y el
plano:1) x-1 -.!!±.! - ..:_ 2x -1_ 3y _L z -1 = O,'1 - -2 - ()• -¡
2) x+:.¡ _ y-2 _ :+1 x-2y' +z-1fJ=0,'3 - -1 - -5 •
3) x!..} = y 3 1 = Z-;3 • x+2y-2z+{j=O.
1041. Hallar las ecuaciones canónicas de In recta quepasa por el punto M¿ (2; -4; -1) y por el punto mediodel segmento do la recta
{3x+4y +5z-26=O3x - 3y- 2z - 5 = O~
contenido entre los planos5x+3y-4z+11 =0, 5x+3y-4z-41 =0.
1042. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa porel punto M 0(2; - 3; - 5) y es perpendicular al plano
6x-3y-5z+2=0.1043. Hallar la ecuación del plano que pasa por el
punto M¿ (1; -1; - 1) Y es perpendicular a In rectax+3 y-1 z+2-2- = '""=3 = -¡- .
1044. Hallar la ecuación del plano que pasa por elpunto M'o (1; - 2; 1) y es perpendicular a la recta
{X-2y+z-3=0.x+V-z+2=0.
1045. ¿Para qué valor de lit la recta%+i v-2 z+3-3-=-m-= -2
es paralela a 1 plano
x-3y·+.6z+ 7=0?
1046. ¿Para qué valor de C la recta
{3X-2y+Z+3=O,4x - 3y+4z +~= °
es paralela al plano2;~-y+Cz- 2=0?
1047. ¿Para qué valores de A y D la recta:&=3+4t, y=1-4t, z= -3+t
está si tuada en el planoAx+2y-'4z+D=O?
i048. ¿Para qué valores de A y B 01 planoAx -1- By +3z- 5 =°
es perpendicular a la rectax=3+2t, y=5-3t, z= -2-2t?
1049. ¿Para qué valores de 1 y e la recta%-2 v+1 %-5-1-= --¡-= -~{
es perpendicular al plano
3:x-2y+Cz+1=0?1050. Hallar la proyección del punto P (2; -1; 3) sobré
la rectax=3t, y=5t-7, z=2t+2.
1051. Hallar 01 punto Q quo es simétrico al puntoP (4.; 1; 6) con respecto a la recta
{x-y-4Z+12=O,2x+ y-2z+ 3=0.
t96
t052. Hallar el punto Q que es sí mdtrtco al puntoP (2; -5; 7) con respecto a la recta que pasa por los puntosMI (5; 4; 6) y 11,12(-2; -17; -8).
1053. Hallar la proyección del punto P (5; 2; -1) sobroel plano
2x - y + 3z + 23 = O,1054. Hallar el punto Q que es simétrlco al punto
P (1; 3; -4) COIl respecto al plano 3x + y - 2z = O.1055. Hallar en el plano Oxy un punto P de modo que
la suma de sus distancias a los puntos A (-1; 2; 5)y B (11; -16; 10) sea minima.
J056. Hallar en el plano Oxz un plinto P do modo quola diferencia de sus distancias a los puntos .M s (3; 2; -5)y Jlf'). (8; -4; -1,3) sea máxima.
1057. Hallar en el plano2x - 3y + 33 - 17 = O
un punto P do modo quo la suma de sus distancias a lospuntos A (3; -4; 7) y B (-5; -14; 17)sea mínima.
J058. Hallar en el plano2x + 3y - 4z - 15 = O
un punto P de modo que la diferencia do sus distanoiasa los puntos MI (5; 2; -7) y M'J, (7; -25; 10) sea máxima.
1059. La posición inicial del punto 1\1 (Xi y; z), en unmovi míento uniforme y rectilíneo en dirccción del vector8 = {-2; 2; 1}. es M¿ (15; -24; -16); la velocidad esu = 12. Tras vertñcar que In trayectoria de) punto M seoorra con el plano
3x + 4y + 7z - 17 = 0,hallar:
1) el punto P de su intersección;2) el tiempo que se necesita para que el punto M bago
el recorrido desde M o hasta P;a) la longitud del segmento M oP.1060. La posición inicial del pun\,o M (x; y; z), en UI
movimiento uniforme rectilíneo, es JVJ o (28; -30; -27); Invelocidad es v = 12,5 y la dircccion es la de la perpendicu-lar bajada del punto M o al plano 15x - 16y - 12z + 26=0.Hallar las ecuaciones del movi miento del punto M y deter-minar:
197
1) el punto P de intersección de su trayectoria con esteplano;
2) el tiempo que se necesita para que el punto M hagaet recorrido desde k!o basta P;
3) la longitud del segmento MoP.1061. La posición inicial del punto M (x; y; z)' en un
movimiento uniforme rectilíneo en díreccíén del vectors = {-1; 2; -2}. es Mo (11; -21; 20); la velocidad esr; = 12. Determinar el tiempo que necesita el punto pararecorrer un segmento de S\I trayectoria comprendido entrelos planos paralelos:
2,:¡;+ 3y + 5z - 41 = O, 2x + 3y + 5z -!- 31 = O.1062. Calcular la distancia d del punto P (1; -1; -2)
a la rectax-I·3 y f-2 z-8-3-=-2-= -2 •
1063. Calcular la distancia d del punto P (2; 3; -1)11 las rectas siguientes:
1) x-.'í =.!!.. _ z+25 •3 2 - -2 '
2) x=tj-1; y=t+2, z=4H-13;3 l2X-2Y-!-Z+ 3=0,) 3x-2y+2z+ 17=0.
106~. 'I'ras verificar que son paralelas las rectas
{2x+2V-Z-10=0, x+7 = y·-5:.~ z-9 ,x-y-z-22=O, 3 -1 4
calcular la distancia d en tre ellas.1065. Hallar la ecuación del plano que pasa por el
punto M'I (1; 2; - 3) y es paralelo a las rectasx-1 y+l z-7 x+fi y-2 .+3~= -3 =-3-' -3-= -2 =-=-1'
1066. Demostrar que la ecuación del plano que pasapor el punto Mo (xo; Yo; zo) y es paralelo a las rectas
x-al y-bl %-CI X-Q-2 y-b2 Z-C2-11- = ~ = -n-1-' -la- = -;;;;-= "'ñ2 '
t98
se puede representar en la forma:
X-:&o Y-Yo %-Zo
II ~ mi ni =0.t2 m2 n2
1067. Demostrar que la ecuacrón del plano que pasapor los puntos MI (.rl; YI; ZI) Y MZ(.c2; y'J,; zz) Y es paraleloa la recta
%-(1 !/-b z-c-1- = ---m- = -n-
se puede representar en tu Jorma,x-XI Y-Yl z-z.
·'tZ-Xl Y2-YI Z2-%1 =0.l m n:
t 068. Hallar la ecuación del plano que pasa por la rectax=2t+1. y= -3t-I-2. z=2t-3
y por el punto MI (2; - 2; 1).1069. Demostrar que In ecuación do) plano que pasa
por la recta:c=xo+lt. y=yo+mt, z=zo+nt
y por el punto k/¡ (XI; YI; Z'I) se puede representar en ]0.forma:
~-.:rt Y-YI Z-ZI
XI-XO lit-Yo 21-20 =0.In n
t070. Demostrar que las rectas%-1 .+2 2-5 ~-2-= -3 +-4- y :C=at +-7,
z= -2t+1
están 01\ un plano y hallar IR ecuación de este plano.1071. Demostrar que si dos rectas
y=2t+2.
1119
se cortan, la ecuacion del plano en el que están situadasse puede representar en la forma siguiente:
x-a, y-b,II m., z-c, '1
1~1 =0.n'}.
del plano que pasa por las1072. Hullar lados rectas paralelas
ecuación
x-2 v+ I z-3 X-" {/-2 z+3--¡¡-""'-;r-= -2 ' -'l-=-r=-=:f'
1073. Demostrar que In ecuaclón del plano que pas spor las dos rectas paralelas
x=a,--I-lt, y=bl-rm,t. z=c.+rtty
.:r. = a2 + lt; Y = b2 -1- mt, z = C2 + nt.,
se puede representar en la formn slgulente:
x-a. y-hl Z-C,
(l-¿-at b2-bl C2-Ct =0.l m n
107,.. Hallar la proyección del punto e (3; -1Í.; - 2)sobre el plano que pasa por las dos rectas paralelas
x-s y-6 z+3 %-2 y-3 z+3---:¡r = -1- =--1, ' ---:¡¡r- = -t- = --=t;" .
1075. Hallar el punto Q que es simétrico al puntop (3; - 4; - 6) ('·011 respecto al plano que pasa por lospuntos Mt (- 0; 1; - 5), M 2 (7; - 2; -1) Y Ma (10; -7; 1).
t076. Hallar el punto Q que es simétrlco al puntoP (- 3; 2¡ 5) con respecto al plano que pasa por las rectas
r .:1: - 2y -1-3z - 5 = O, { 3.x -,. !I +3z 1-7 "-= 0,1 :.c-2y-4z-t-3=O¡ 5x-3y!· 2z+5=O.
1077. Hallar la ecuación del plano qua pasa por la rectax =3t+ 1, y= 2t -t-3, z = -t- 2
y es paralelo u In rectaJ 2x-y+z-3=O,1.'1:+ 2y-z-5=O.
:l(lO
1078. Demostrar que la ecuación del plano que pasapOI" la recta
y es paralelo a la recta
x=xo+lt, y=yo+ml, z=zo+nl •se puede represen tar en la forma
X-Xi Y-Y1 z-z,In n =0.
l,
1079. Ha llar la ecuación del plano que pasa por larecta
x-1 y+2 z-2---:r- = - :! =-r.y es perpendlcular al plano
3x+2y-z-5=O.1080. Demostrar que la ecuación del plano que pasa
por la recta3:=Xo+ lt, y=yo+m.t, z=zo··i···nt
y es perpendicular al planoAx· .....By +Cz·; D=O
so puede representar en la forma:
.timB
n =0.e
X-.l'o y- Yo z- Zo
1081. Rallar las ecuaciones canónicas de la recta quepasa por el punto Mo (3; - 2; - 4), es paralela al plano
3x-2y ....::3z-7 =0y se corta con In recta
z-2 y-!.!¡ z-i-3-= -=i' =--r '
f082. Hallar las ecuaciones paramétrtcas de la rectaque os paralela a los planos
3x+ 12y-3z-5=O, 3x-4y+9z+ 7=0y se corta con las rectas
70+5 11-3 z+ i x-3 11+·1 :-2--:r- = - <( = ---:r- ' -=:r = ---:r- =-4- .
1083. Ha llar la distancia más corta entre las dosrectas, en cada uno de los casos slgulentos:
%+7 y H %+-3 %-21 11+5 :-2.1) ---¡¡-=-4-=-=:r' -6-=-=5= -1 '2) x=2t-4. y'= -t+4, z= -2t-1;
x=4t-5, y= -3t+5. z= -SH-S;3} %+5._y.f-5_:.=:2.. -6l-I-C) 2:1 - 2 - -2' x- .. y= - l ,
z= -t+2.
§ 44. La esferaLa osíera do radio r, con centre 00 e (a; ~; ¡t). so determina OH
courdenadus cllrtll~illn1l8 rectangulares por la ecunción(:t-a)2+(!I-~)~+(z_y):l=r2.
La ocuacíéu do la O5[OI'ado radio r , cuyo centre ostú on el origen docoordenadas, (.'-5
.%~+y2+z2=r2.1084. Hallar la ecuacron do la esfera on cada uno ~e
los casos siguien Les:1) 01 centro do la esfera está en el punto e (O; O; O)
y el radio es r = 9;2) el centro do la esfera está en el punto e (5; -3; 7)
Y el radio es r = 2;3} la esfera pasa por 01 origen do coordenadas y tiene
el centro en 01 plinto e (4.; -4; -2);4) la estera pasa pOI' 01 punto A (2; -1; -:3) y lieoe
01 centro en 01 punto e (3; -2; 1);5) los puntos A (2; -3; 5) Y B (4; 1; -3) son los
extremos da uno de los diámetros de la estora:6) el centro de la esfera está en el origen de coordenadas
y el plano 16x - 15y - 12z + 7.5 = O es tangente a IIIcsíera¡
202
7) el centro de la esfera es e (3¡ -5; -2), y el plano2.~ - y - 3z -1- 11 = O es tangente a la esfera;
8) la esfera pasa por los tres puntos MI (3; 1; -3),M2 (-2¡ 4; 1) y M3 (-5; O; O) y su centro está on elplano 2x + y - z + 3 = O;
9) la esfera pasa por los cuatro puntos:
MI (1; -2; -1), M2 (-5; 10;-1), M3 (4¡1; 11) yM4 (-8; -2; 2).
t085. Hallar la ecuación de la esfera de radio r = 3,que es tangente al plano z + 2y + 2z + 3 = O en el puntoMI (1; 1.; -3).
1086. Calcular el radio R de la esfera que es tangen-te a los planos
3x + 2y - 6z - 15 = O, 3x + 2y - 6z + 55 = O.1087. Una esfera tiene el centro en la recta
{2x + 4y - z - 7 = O,4x + 5y + z - 14 = O
y es tangente a los planosx + 2y - 2z - 2 = O, x + 2y - 2z + <1 = O.
Hallar su ecuación.1088. Hallar la ecuación de la esfera que es tangente
a los dos planos paralelos
6x - 3y - 2z - 35 = O, 6x - 3y - 2z + 63 = O,
y el punto MI (5; -1; -1) es el punto de contacto con unode ellos.
1089. Hallar la ecuación de la esfera con el centro ene (2; 3; -1), que corta en la recta
{5x - 4y + 3z + 20 = O,3x - 4y + z - 8 = O
una cuerda de longitud igual a 16.1090. Determinar las coordenadas del centro e y el
radio r de la esfera dada. por cada una de las ecuacionessiguientes:
1) (X-3)2+(y+2)2+(z-5)B=16;2) (:c+t)z+ (y-3)~+Z2 =~;
203
3) X2 + yl + z~- 4x - 2y + 2z - 19 =O;
4.) X2+y~+Z2_6z=0;5) X2 + y~+ z2+20y = O.
1091. Halla r las ecuaciones paramétrícus del diámetrode la esfera
X2 + y2 + z'~ + 2x - By + z - 11 = 0,
que es perpendicular al plano
5x - y + 2z - 17 = O.
1092. Hallar las ecuaciones canónicas del diá metro dela estera
x~ + !l + Z2 - x +3y + z - 13 = 0,
que es paralelo a la rectax = 2t - 1, y = - 3t + 5, z = 4t + 7.
t093. Determinar la situación del punto A (2; -1; 3)con respecto a cada una de las esferas dadas a contínuaclén:averiguar si el punto está dentro, fuera o en la superficie:
'1) (x-3)~+(y 1-1)2+(z-1)2=4;2) (x+14)2+(y-1W+(z+12)2=625;3) (x-6)2+(y-1)~+{z-2)1I=25;4) X2+y2+Z2-4x+6y-8z-t-22=0;5) x2+y2+Z2-X+3y-2z-i3=0.
1094.. Calcular la distancia rnús corta del punto Aa la eslera dada, en caca uno de los casos sigutcntes.
a) A(-2; 6; -3), Z!l+y2+Z2=4;b) A(9; -4; -3), x~-I-y2+Z2+14.r-16y-24z+
-1-241 =0;e) A (1; -1; 3), x'+ y2 +z2-6x ·1-4y-iOz-62=O.
1095. Determinar cómo está situado el plano COIIrespecto n la esfera: si la corta, si es tangento o si pasa
204
por Iuera de ella. Las ecuaciones del plauu y de la esfera50n:
1) z=3,2) y = 1,3) .,,&=5,
X2 + y~+ Z2 - 6x + 2y - 10z+ 22 = O;:r;2 +y~+z2+4x-2y-{jz+14 =0;
x~+ y2+Z2_2x+ljy-2z ·-4=0.1096. Determina¡' cómo está situada la recta con res-
pecto a la esfera: si la corta, si es tangente o si pasapor fuera de ella. Las ecuaciones de In recta y de laesfera son:
1) x= -2t+2, 7y=3t-T, z= t-2.
X2 + y2+ Z2 +X - 4,11- 3z -1- ~ = q;2) .x-5 _ 11 _ %,1-25
-¡r-:r---=2 ':r;! + y2+Z2 - 4x - By + 2z - 67 = O;
l2X-Y+2Z-12=0.3) 2x-4y-z-\-6=0,
X2 + y2 -\- Z2 - 2x + 2y + 4z - 43 = O.1097. Hallar en la esfera
(x - 1)2 + (y + 2)~+ (z - 3)~ = 25el punto MI más próximo al plano
3x - 4z + 19 = 0,y calcular la distancia d del punto MI a este plano.
J098. Determinar el centro e y el radio R de la cir-cunferencia
{(x - 3)2 -1- (y + 2)2 + (z - 1)2 = 100,
2x - 2y - z + 9 = O.1099.Los puntos A (3; -2; 5) y B (-1; 6; -3) son
los extremos de un diámetro de una circunferencia quepasa por el punto e (1; -4; 1). Hallar la ecuación de estacircunferencia.
1100. El punto e (1; -1; -2) es el centro do unacircunferencia que corta en la recta
{2x - y + 2z - 12 = 0,4x - 7y - z + 6 = °
205
una cuerda de longitud igual a 8. Hallar la ecuación deesta circunferencia.
1 \01. Ha1lar la ecuación de la circunferencia que pasapor los tres puntos M, (3; -1; -2), lJtJ'z (1; 1; -2)y Ma (-1; 3; O).
t f 02. Se dan dos esferas
(x - m,)2 + (y - nl)~ + (s - pt)2 = .ni.(x - ln2)2 + (y - nz)2 + (z - pZ)2 = R~,
qua se cortan por una circuníerencia situada en '\10 plano T.Demostrar que cualquier esfera que paso por la circun-ferencia de intersección de las esferas dadas y tambiénel plano ,., se pueden representar por una ecuación de Informa
a. [(x - 1It,)2 + (y - nI)! + (z - p,)2 - R;I ++ ~[(x - fn2)2 + (11 - n2)~ + (z - P2)2 - R~I = Ocon una adecuada elección de los números a. y ~.
1103. Hallar la ecuación del plano que pasa por la Iineade intersección de las dos esferas:
2.r + 2112 + 2zz + 3.l: - 211 + z - 5 = O,x3 + y2 + :2 _ x + 3y - 2z + 1 = O.
1104. Hallar la ecuación de la erfera que pasa por elorigen de coordenadas y por la circunferencia
{x!!+ y'!.+ z~= 25,
2.x-3y+5z-5=0.1105. Hallar la ecuación de la esfera que pasa por la
circunferencia
txZ+y~+zs-2x+3y-6z-5=O.
5x+2y-:-3=0y por el punto A (2; -1; 1).
1106. Hallar la ecuación de la esfera que pasa por lasdos circuulerenctas:
{X2+Z2=25, {Xl l-z~=1r"
y= 2¡ y=3.1107. Hallar la ecuación del plano tangente a la estera
x' + lit + Zl = 49 en el punto MI (6; -3; -2).
200
t tOO.: Demostrar que el plano
2x - 6y + 3% - 49 = Oos tangen te a la esfera
X2 + y~ -1- Z2 = 49.Calcular las coordenadas del punto de contacto.
1109. Hallar los valores de a para los cuales el planox+y+z=a
es tangente a la esferax~ + y'}. + Z2 = 12.
titO. Hallar la ecuación del plano tangon te a la estorn• (.~ - 3)2 + (y _ 1)2 + (z + 2)t = 24
en el punto MI (-1; 3; O).j t t 1. El punto MI (XI; YI; %1) está en la esfera x3 ++ yt + z~= r2• Hallar la ecuación del plano tangente
a esta esfera en el plinto /1-.11,
1112. Ded uci r la condición, según la cual 01 planoAx + By + Cz + D = O
es tangente a la esferaX2 + y2 + Zll = RZ.
1113. El punto MI (ZI; YI; Zl) está en la esfera(x - a)2 + (y - f3)'l + (z _ y)~= r'l.
Hallar la ecuación del plano tangente a esta esfera en 01punto MI'
1114. Por los puntos de intersección de la recta~= 3t - Ii, y = 5t - 11, z = -4t + 9
y la esfera(x + 2)2 + (y - 1)2 + (z + 5)2 = 49
se han trazado planos tangentes a esta esfera. Hallar S\ISecuaciones.
1115. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes::1 la esfera.
X2 + y2 + Z2 = 9paralelos aJ plano, x + 2y - 2z + 15 = O
21Ji
1116. Hallar las ecuaciones de los planos tangentesa la esfera
(x - 3)2 + (y + 2)~ + (z - 1)~ := 25
y paralelos al plano
4:r. + 3z - 17 = O.
ti t 7. Hallar las ecuaciones de los planos tangentesa la estera
x'l + yZ + za _ 10x+ 2y + 2Hz - 113 = O
y paralelos a las rectas%+5 y-1 : 1-13 z+7 y+t :-8-r=-=a=-2-' -3-=-=-r=-0-'
1t18. Demostrar que se pueden trazar por la recta
{8x-11y+8z-30=O,
x-y-2z=0dos planos tangentes R la esfera
x' + y2 + 22 + 2x - 6y + 4z - 15 = O,y hallar sus ecuaciones.
1119. Demostrar que 110 se puede trazar por la recta
x +6 3-r=Y+ =z+'1
un plano tangente a la esíora3;2 + y't + Z2 - 4:& + 2y - 4z + I¡ = O.
t 120. Demostrar que por la rectax = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1
so puede trazar solamente un plano tangente a la esferax'l + y2 + Z2 _ 2x + 6y + 2.z + 8 = 0,
y hallar su ecuación.
§ 45. Forma vectorial de las ecuaciones del plano,de la recta y de la cslere
En lo sucesivo, la notncién M (,.) ~ignificariÍ que r es el radiovector del punto M,
1121. Hallar la ecuación del plano a, que pasa por elpunto M o (1'0) y cuyo vector normal es 'no
208
s o I u ció n=). Supongrunos que 111 (1') es un punto arhl trnrio.Este está situado 011 ('1plano o; si, y solnmonte si, ol vector MoM es por-pendicular n 'n. La condición do pcrpcndículartdad de Ios vcctcresOS la lgualdad a cero de su producto escalar. Por lo tanto, Mo1'tl1.?~si, y solamente si,
(1)EJ.:pTC.$(.'mosahora 1,1 vector J1foM modiantu Jos radíos vectores
do su extremo y su origen:M¡¡M-r-ro·
De aquí y de (1), obtonomos:('·-1·0)?t...,O. (2)
EHtu es In Icrma vectorial de la ecuación del plano a. a la que satis-Iaco 01 radio vector ,. del punto M si, y solamento st, ",1 punto 111 t'shísü.uado en ol plano el. !.' es 01radio vector vueíubto de Ia ecuación (2) ,.
1122. Demostrar que la ecuución 1-n+D=O determinaun plano perpendicular al vector n. Escribir la ecuaciónde este plano en coordenadas, si n= {A; B; e}.
1123. Dados el vector unitario nO y el número p >O.demostrar que la ecuación
-rno_ p=Odetermina un plano perpondícu.lar al vector nO y que pes la distancia del origen de coordenadas al plano. Es-cri bi r In ecuación do e.ste plano on coordenadas, si elvector nO forma con los ejes coordenados los ángulosa, ~ y ",
112(1. Calcular la distancia d dol punto MI (')'1) alplano I'nO_ p=O. Hallar también la expresión de ladistancia d en coordenadas, si
1'1= {Xj; YI; Zl}, nO={cosa, cos ñ, cos v},1125, Se dan dos puntos MI (/'1) y Mz(l'2}' Hallar la
ecuación del plano que pasa por el punto MI y os per-pendicular al vector MIMz• Escribir tarnbién la ecuaciónde este plano en coordenadas, si
'1'1 = {XI; Y.; Zt}. '1'2 = {"¡'z; yz; zz}'1126. Hallar la ecuación del plano que pasa por el
punto M o( 1'0) Y es paralelo a los vectores al Y (tz. Escribir.) Los problemas 1121 y 1129 son osencíales para comprender
bien los problemas de esto parúgrafo. Sus soluciones se exponen enel texto.
14-352 209
también la ecuación de este plano en coordenadas, si'}'o·={xo; Yo; zo}. u¡={ll; mi; ni}, a'2={lz; m2; llZ}'1127, Hallar la ecuación del plano que pasa por los
tres puntos .ilft(1't), Mz('t·z} y M3('t03}. Escribir tambiénla ecuación de este plano en coordenadas, si
1'1={XI; VI; z¡}, 1'2={XZ; Yú zz}, '1'3={X3; Ya; Z3}'1128. Hallar la ecuación del plano quo pasa por el
punto M o ('1'0) Y es perpendicular a los planos:¡'ni+Di = O, rn,z +D¿ = O,
Escribir también la ecuación de este plano en coordena-das, si
'1'0= {xo; Yo; zo}, n,={AI; BI; CI}, 'fl.z={Az; Bz; Cz}.1129, Demostrar que la ecuación
[(')0- ro) al =0determina una recta que pasa por el punto M¿ (ro) y esparalela al vector u, es decir. que a esta ecuación sa tísfaceel radio voctor '1' del punto M (1°) si, y solamente si, elpunto M está situado en la recta indicada.
D o m o s t rae. i ó n, Consideremos un punto arbitrario .NI (:1").Supongamos que l' satisface a In ecuación dada; según la regla de lasustracción de vectores ',. - 1'0 = M oJlf¡ como [('r - ro) al = O, tone-mos que [MoMa} = O¡ por lo tanto. el vector JlfoM os colíneál nivector a. O sea. que el punto JI,[ verdaderamente está situado en larecta que pasa por el punto Mo en dirección del vector a. Recíproca-monte. supongamos quo el punto M ostá situado en esta recta. EntoncosMoM es coline.al a a. Por 11) tanto, [MoMa J = O; pero MoM = r':_ "'0;de aq uí qUI> 1(1'- 'ro) a J = o. O soa, que el radio vector ?' del plintoM satisfaco a la ecuación dada si. y solamente si, el punto M estásituado en In recta dada (r es 1.') radio vector vurtablo do la ecuación).
11300 Demostrar que la ecuación""al = 'm,
detormtnn una recta paralela al vector (.1,.
1131. Demostrar que la ecuación paramétrica''0 = 1'0 +at,
en donde t es un parámetro variable, determina una rectaque pasa por el punto 1'1-10(/°0) (es decir, al variar t , el puntoM ('l') so mueve por la recta indicada). Escribir en coor-
210
denudas 1M ecuaciones canónicos ele esta recta, si1'0= {Xo; Yo; Zn}, lt={l; m; n},
1132, Una recta pasa por dos puntos: MI (/'I) y M 2 (-1'2)'Hallar sus ecuaciones en la forma Indicada en los problemas1129, 1130 y 1131. -
1133, Hallar la ecuación MI plano que pasa por el puntoMI ('I'~ Y es perpcnd lcular a )0 recta 'r= '¡'o +at . Escrihirtambién la ecuación de este plano en coordenadas, sí
'1'1 = {Xf; YI; ZI}, a={l; m; n},HM. Hallar la ecuación de) plano que pasa por 01punto
M¿ ('ro) y es paralelo a las rectas I'ratl= '1)1,. 1'1'(121 = 'm2'HM. Hallar la ecuación del plano que pasa por 01punto
Mo ('¡'o) Y es perpendicular a los planosl'ni -1- DI = O. '17I.z+ Dz = O.
1i36, Hallar la ecuación en forma pnramétríca de unarecta que pasa por el punto Mo (1'0) y es perpendicular alplano 1'11, -1- D = O. Escrlhír también las ecuaciones canónicasde esta recta en coordenadas, si
1'0 = {:to; Yo; zo}, 11-= {A; B; C}.t137, Hallar la ecuación en forma pararuétrlca de una
recta que pasa por el punto Mo ('ro) y os paralela n losplUDOS 1'11.1 + Di = O. 1'1l.z +D2 = O, Escribir también lasecuaciones canónlcas de esta recta en coordenadas, si
1'0= {zoi Yo; Zo}. 'Il-l={AI; BI; el}, {nt={A2,; B2; Cz}·
t t 38, Deducir la condición de pertenencia de la recta'I'=1·0+f.Lt al plano ?'n+D=O. Escribir también esta con-dición en coordenadas, si
'1'0= {Xoi YQ; zo}, (L={l; m; n}, n={A; B; C}.H39. Hallar la ocuacíón del plano que pasa por la recta
r = "'o + alt y es paralelo a 1a recta[ru,tl = 'm..
1140. Deducir la condición para que dos rectas'r=1't+a,tt y '}'= 1'1+1t.~t
est6n sítuadas en un plano.
'1141. Hallar el radio vector dol punto de intersección(le la recta -r ="'0 1-a.t y 01 plano 1''1/, 1-D = O. Caleu lartambién las coordenadas x. y. z del punto do intersección, si
'/'0= {xo: Yo; zo}. a={l; m; n}, n={A; B; C}.1142. Hallur 01 rad io vector de la proyección do ¿~{1('/'1)
sobro 01 plano rn.+ D = O. Calcu lar también las coorde-nadas x, y, z do esta proyección. si
'1'1= {XI; Y.; Zl}. 11. = {A; B; C},1lt.3. Hallar el radio vector de la proyección del punto
MI (/'1) sobre la recta r = '/'0+ at, Calcular también lascoordenadas x. y, z de esta proyección, si
'J'I={XI; 111;z¡}. '¡'o={xo; Yo; zo}, a={l; m; n}.
1144. Calcular la distancia d del punto 11:/1 (I'¡) a larecta '1'= ¡'o ~((,t. Expresar también la distancia d en COor-denadas, si
'1'\= {XI; y,; z¡}, "'0= {:t:9; Yo; zo}, a: = {l; m; n}.1145. Calcular la distancia d más corta entro las dos
rectas que se cruzan:·l'=·)'I-! ..att y 'r='I·z-!-azt.
Expresar también esta distancia d on coordenadas, si1'¡={XI; Yl; z,}, '/'Z={X2; Y't.: zz},l¿I={l¡; In.j; nl}. a2,={lz; tn.a; n2.}'
1146. Demostrar que la ecuación(1'-1'())~= ff-
determina una esíera de radio R con centro en 01 puntoe ('1'0) (es decir, que a esta ecuación satisface el radíovector .¡. del punto M si, y solamente si, el punto Ni' esL¡)situado en la esfera indicada).
1147. Hallar los radios vectores de los puntos de inter-sección de la recta
)'=aty la esfera
1·2=RZ.Calcular también las coordenadas de los puntos de ínter-socclén, si
u= {l; m; n}.
212
1148. Hollar los 1'Ildlos vectores de [os puntos 00 intor-secct ón de In recta
r= /'0 + aty la esfera
(r -1'0)2= R~.Calcular también las coordenadas de los puntos de intor-sección, si
)'0= {xo; Yo; zo}, «(,= {t; m; n}.lH9. El punto 1If1 (1"1) está situado en la esCera
(l' - ,.o)~= R!.Hallar la ecuación del plano tangonto o. esta osforll en elpunto MI'
1150. Hallar la ecuación de la esfera con centro en elpunto e (1'1) y que es tangente al plano ,-",+ D = O. Escri-hir también la ecuación de esta esíera en coordenadas, si
'1'1 = {Xl; Vi; ZI}, n = {A; .8; e}.1151. Hallar las ecuaciones de los planos que son tan-
gentes o. la esfera
y son paralelos al plano'rn+D=O.
Escribir también las ecunclones de estos planos en coor-denadas, si
n={A; B; C}.1152,. POI' ",1punto do intersección do la recta
-r = '1'0 -1- a.ty la esfera
('l' - 'I'o)~ = R~se han trazado planos tangentes a esta osfuru. Hallar suseouací ones,
Esoribu' también las ecuaciones de estos planos en COOr-denadas, si
1'0 = {xo; Yo; zo}. a.={l; m; n}.
§ 46. Superflefes de segundo orden (cuñdrícas)Se llmnn clípsoíde a la superñcto que en un sístomn cartostano
do coortlunadas rectangulares apropiado 50 deterunnn por la ccuactén:r:& y:' :z02+/j2+Ci=1. (i)
2t3
La ecuación (1) so llama ecuaeíén canónica 1101 elipsoide. Las can-~idadcs 4, b, e son los semíoies del olipsoido ({ig. 41). Si todos ellosson diferentes, el elipsoide so llama escaleno; cuando dos de ollos soniguales, el elipsoide es una suporñcie de rovolucíén. Si, por ojemplo,(l. = b, 01 eje de revolución es Oz. Si (1 = b < e el elipsoide do revo-lución so llama nlargadu, y si 4 = b > e se llanta achatado o esforoi-do. Cuando a = b = e el elipsoide representa una esfera.
Z
Fig.47.
So llaman hiperboloides a las superficies que en UD sistema car-tesiano do coordenadas rectungulares aproplado se determinan por108 ecuaciones:
(2)
:z:11 ya zll(ji'+íi2-~~ -1. (3)
El híperboloide determinado por la ecuaoión (2) se llama hiper-boloido de una hoja (Hg. 48); 01 hiperboloide determinado por 1.&ecuacíón (3) se llama hiperboloide de dos hoias (Iig. 49); las ecuaciones(2) y (3) so llaman ecuaciones canónicas do los bi porboloides corros-pendientes. Las cantidades 4, b, e se llaman semiejes del hiperboloide.En la figura 48. pura el caso del hiperboloide de una boja, están re-presentados solamente dos de ellos (a y b). En la figura 49, para eleMO del hipcrboloíde de dos hojas, está representado solamente unode ellos (precisamente e). Si a. = b, los hiperboloides determinadosl)e)l' las ecuaciones (2) y (3) son supcrñcies de revolución.
So llaman paraboloides a los suporñcies que en un sistema carte-siano de coordenadas rectangulares apropíado so determinan porLas ecuaciones:
:z:~ lit-+-=2:,p q(4)~-~=. (5)p q ,
en dundo p y q son números positivos Ilamados parámetros del pu.ra-boloklc,
El parabololdc dctorminndo por la ecuación (4) so llama parabolcl-do elíptico (fig. 50); el paraboloide determinado por la ecuación (5)
21&
s
Fig.I,8.
z
Fig. &O,
Pig. 49.
fi~,51.,
so llama para Ij(' uido hiperbólico (Iig. 51). Las ccuacíonos (4) y (5)Sé llaman ecuucíunes canónicas do los paraboloides correspondientes.::>¡ P = IJ. el paraboluide determinado por la ecuación (4) es una 811-porficie de revolución «m lomo de Oz).
Consideremos ahora una transformación del espacio, llamada di-latación uniforme (o contracctón uniforme).
Tomemos un plano arhiu-ar¡o o indiquémosJo con la letra a.Sea (j un número positivo. Supongnmos que M ()S un punto arbttrar io
1
MM'
Fig.52,
del espacio, situado fuera <lel plano 0:, y que 1110 es la base de la per-pendicular bajada del punto M al plano Ct. Traslademos el punto M,
llor la recta M'Mo, a una nueva p(lsidón M', de manera que se verí-ique la igualdad
MoM',=q.MoMy (lUO 01 punto, en la 1JIlClVa posición, esté al mismo lado del plano aen <¡uc so encontraba antes (fig. 52). Hagamos lo mismo con todos108 puntos del cspncio aituados fuera del plauo a; los puntos sit.lJlIdoson el plano Ct los dejarnos en su sitio. Do este modo, todos los puntosdel espacio, monos los que están situados en (.>J plano a., cambian deposicíún: In distancia de cade punto al plano Ct 50 altera en l11H\ canti-ilad do veces dotcrminnda. que es común para todos los puntos. Eltraslado de los puntos del eapaci«, efectuado de la mnnera descrltn, soliman contrucción uniforme hacia el plano a (o dilat-llción); el núme-ro q es el coeñcíento de contraccíón (o de dilatación).
Supongamos que se ha dado una superficie F: los puntos que lacornponon so tresladan, como resultado do la contraccíén, y 011 susnuevas pcsícíoncs Iurmnn IWII superf'lcie 1<". Djrcmos que la super-Iicio F' 5" ha obtcnblo do Ia suporñctc F como resultado ele UIIR con-tracción (o dilat.uciún) uniforme del espaeío. Resulta que muchassuperñcíes do segundo orden (t{)']~l$ monos el paraboloide hi pcrbó-Iico) se pueden obtener de las superttcles de> revolución modinnte unaconí.rncctén uniforme del espacio.
B j e m p I u. Demostrar que un elipsoide escalono arbitrario",,2 yZ z2-azof bF+ c2 =1.
SO puedo obtener de la osíorn;¡:Z+y2+z2=a2
corno resultado de dos contracciones uniformes consecutivas del espaciohacia los planos coordenados; hacia el plano 03:(1 cou el coefíciente de
216
contracciéu q, = ¿_ y hucín 1'1 plann Oxz CUII el coeficiente de COil-a
., 11traccron 92 =b .
D II m o s t r a ció n. Supongamos que se efectúa una contrac-ción unifnrme del espacio hacía ~.L plano O~I! con ol cooñcíonto (jI =~ay quo ;11' (;1:'; y'; z') os el plinto al que 6'1 traslada <>1punto ilf (;1;; y; a).Exp"c~crnos las coordenadas x', y', .' el el punto 101' mediante lasconrdenades e, y, Z lid punto At. Como la recta MM' es perpendicularal plano OX1l, tt>nemos que x: =;1;, y' = y. Por otrn parto, como ladistancia del punto M' al plano O:ry es Igual a la dístaucia del punto
M 11 esto plano, multiplícnda por ol número 9, = !., tendremos quen
t' ... ~:. De este modo, hallamos las expresiones buscadas:a
x'==x, v'r=». (O)
o;r=%', Y=lI', z=~ z", (7)
oSupongamos que M (.1', 11; :) es un punto arbitrario do la esfera
%~+y2+zZ.=a2.Sustituyendo aquí x, y, % por sus expresiones (7), tendremos:
a2x'2+V'2.7·";;2 z'2;:::aa2,
do donde3;'~ 1/'2 :'2la~+(ii'+¡;i' =1.
)'1>1' 1.. tanto, ol punto M' (x'; 1/'; t) está en 01 elipaoido do revolución.¡\lIóJogllmllnto, l'fe.c\uando 111111contracción del espacio hacia el plano0:&% mediante las fórmulas
:t'=- ..." 1/'_ 11 ylt Z/:::~"..... --¡; , • f
obtenemos un elipsoide esenlono, prceisamentu aquél cuya ecuaciónse da (In el enuncíado del problema.
Señalemos tambíén, que el hiperboloide (le UIlU hoia y el pomohnloido hiperbólico son superficies regladas, es declr, 8(' l'OIDPOU!!1\(lo fl1CWS¡ estas rectus se llameu generatrices do diohns superficies.
El lrípcrboloklo do una hoja.:1:1 1/2 z:>.a~ + b~ -C2'=i
uenc dos sistemas dI) gcnoratrtces que se dctornunan por las ecuaciones:
{O:(:+7)=~(i+f), {«(-;+7)=Jl(1-f) I
Ji (= -~)~a(l-f) , ~(~-+)=O:(1+ ~) I
217
en donde ex. y ~ son \InOS números no aimultáncamente iguales a cero.El paraboloide hiberbólico
..::_ y2 =2zP '1
también tíeno dos sistemas de generatrices que so dotcrmtnan por lasecuaciones: .
So Llama superficie cónica o cono Q la superficie engendrada poruna recta (genoratriz) que se mueve de manera que pasa siempre porun punto fijo S y por una línea determinada L. El punto S seJlamavártice del cono y la linea L directriz.
Se llama superficie cilíndrica o cilindro a la generada por unarecta (generatriz) que se mueve de manera que se mantiene siempreen dirección constante y pasa por una linea determinada L (directriz).
1153. Verificar que la línea de intersección del planox - 2 = O y el elipsoide
:1:2 y2 zll16+12+-¡-=1
es una elipse; hallar sus semiejes y sus vértices.1154. Verificar que la línea de intersección del plano
z +1 = O y el hiperboloide de una hojax2 1/2 zZ3'2-18+-¡¡-=1
es una hipérbola; hallar sus semiejes y sus vértices.1155. Verificar que In línea de intersección del plano
y + 6 = O y el paraboloide hiperbólicoxl! y2T-T=6z
es una parábola; hallar su parámetro y el vórtice.1156. Hallar las ecuaciones de las proyecciones sobre
los planos coordenados do la intersección del paraboloideelíptico
y el planox+2y-z=O.
218
1157. Averiguar qué Iínea se forma en In interseccióndel elipsoide
con el plano2x - 3y +4z -11 =O,
y hallar su centro.1158. Averiguar qué línea se forma en la íutersección
del paraboloide hiperbólico%~ :2T-a=Y
con el plano3x - 3y +4z + 2 = O,
y hallar su centro.1159. Avertguar qué líneas Se determinan por los ecua-
ciones siguientes:
{
",: 'y23+7=2z,1)3x-y+6z-14=0;
{
Z2 y~4-3=2z,
2)x-2y+2=0¡
3) { "'; + y; - ~~ =1,9x-6y+2z-28=O,
y hallar el centro de cada una de eUas.tiOO. Hallar los valores de In para los cuajes la inter-
sección del plano z+mz-1=0 con el hiperboloide de doshojas
x9+ y9_Z2= -1sea: a) UDa elipse, 1» una hipérbola.
1161. Hallar los valores de m para los cuales la intersec-ción del plano z +my - 2=O con el paraboloide elíptico
:.t! z2T+T=Y
sea: a) una elípse, b) una parábola.1162. Demostrar, que el paraboloído elíptico
zl z2T+T=2y
219
Llene U1) punto común C01l el plano2x-2y-z-10=O
y ha llar sus coordenadas.1163. Demostrar que ~l hiperboloide de dos hojas
..::. y'l. _ z~ __ 13+" 25-
t icno un punto común con el plano5x+2z+5=O
y hallar sus coordenadas.1164. Demostrar que el olípsoidc
",2 y2 %281+ 3(; +9=1
tiene un punto común con el plano.,4x-3y+ 12·z'-54=0
y hallar sus coordenadas.1165. Hal lur el valor de m par.a que el plano
x-2y-2z+m=Osea tangente al elipsoide
..:2 y2 z2H4 +3if+-¡¡ = 1.
H6(i. Hallar la ecuación del plano que es perpendicularal vector ·n -_ {2j - 1; - 2} y tangente al paraboloide allptíco
Z2 y2 23+'4= z,
H67. Trazar los planos tangentes al elipsoide4X2 -1- i()yz.+ 8z2 = 1
quo son 1)arl11010s al planox - 2y -1- 2z -1- 17 = O
y calcular la distancia entre los planos hallados.it68. El coeficiente de contracción uniforme del espacio
hacia el plano Oyz es igual a f. Hallar la ecuación de lasuperficie en que se transforma la esfera
$2 + y~ + Z2 = 25mediante esta contracción.
220
1169. Hallar la ecuación de la superficie en qua so trans-forma 01 ellpsoíde
al efoctuar tres contracciones uniformes consecutivas delespacio hacia los planos coordenados, si el coeficiente decontracción hacia el plano Oxy es igua l a f, hacía el
plano 03;Z es igual a ; y hacía el plano Oyz es igual a f .1170. Determinar los coeficientes q, y qz de dos con-
tracciones uní íoemes consecutivas del espacío hacia losplanos Ozy y Oxz, que transforman In esfera
$2 -r- y2 + Z2= 25en el el ípsoide
Xli 1/2 z~25 +1iI+T=1.
1171. llallar 1<1ecuación de la superficie engendrada porrotación de la elipse
en tomo del oje Oy.s o 1u ció n=). Supongamus que M (.2:; 1/; %) os un punte ar-
hitrnr¡o del espacio y quo e es el pie de In porpsnd lcular hajadu delJlunt.n M al uj(' 011 (HS' :;3). El punto ]1( .se puedo trasladar al pluuoOyz mediante UUlI l'()tación ¡JO) esta perpendicular nlrodedor del ojoOy; destgnemos esto ponto en dicha situación por N (O; Y¡ Z), ComoCM = CN y CM = Vx' + z~, eN = I Z J, tendremos que
IZI=Vxll+z~, (1)
Es evidente, además, que(2)
El punto M cst.á situado on la superficie Jo rovolucién consídoradasi, y solamente si, 01 punto N cstú on la elípse dada, os decir, si
(3)
*) La rcsolucléu del problema .(171 es ~¡l'icn en esto cnsu,
221
teniendo 00 cuenta las igualdades (1) y (2), hallamos la ecuacién parnlos coordonudes del punto M:
y~ ;1:2+Z2~+~=t. (4)
Oc lo anterlormonte expuesto se deduce que esta ecuación sesatisface si, y solamente si, el punto M I'stIÍ. on la superficie de rOYO'
Fig.53.
lución consíderada. Por lo tanto, la ocuacién (lo) es la ecuación husocada tic este superficlo.
t 172. Hallar la ecuación do la superficie engendradapor la rotación de in elipse
{ :: + ~:= 1.,
z=oalrededor del ojo O»,
1173. Hallar la ecuación de la superficie engendrada porla rotación de la hipérbola
{:: - ;: =1,
'y=Oalrededor del eje Oz,
1174. Demostrar que el olípsoido escaleno determinadopor la ecuación
o;~ y!1., z24F+b2.-;r=1,
se puede obtener como resultado de UDa rotación de la elipse
222
alrededor del eje O» y una sucesiva contracción uniformedel espacio hada el plano Oxy.
1175. Demostrar que o) hiperboloide de una hoja, deter-minado por la ecuación
:z:2 "s ,,2a2 + b~ _ C2 = 1.
so puede obtener por rotación de la hipérbola
{
%2 _..:.: =1az c2 ,
y=oen torno del eje Oz y una sucesiva contracción uniformedel espacio hacia el plano Oa z:
1176. Demostrar que el hiperboloide de dos hojas, deter-minado por la ecuación
%2 v2 ,,242+~-C2= -1,
so puedo obtener por rotación de la hip6rhola
{~:-~=1,
y=Oen torno de eje Oz y una sucesiva con tracción uniformedol espacio hacia el plano Oxz,
1177. Demostrar que el paraboloide elíptico, determí-nado por la ecuación
X2 +lC=2zp q ,
se puede obtener por rotación de la parábola
{x2=2pz,y=O
en torno del eje Oz y una sucesiva contracción uniformedol espacio hacia 01 plano Oxe.
1118. Hallar la ecuación de la superficie generada por elmovimiento de una parábola que se manuone siempre enUD. plano perpendicular al eje Oy, si el eje de la parábolano cambia do dirección y Sil vértice resbala por otra pará-bola ciada por la ecuación
{y'l= -2qz,x=O.
223
La parábola que se mueve tiene, en una de sus posiciones,la ecuación
{x2=2p;:,y=O.
t t 79. Demostrar que la ecuaciénz=xy
determina un paraboloide hiperbólico.i180. Hallar los puntos de Intersección de la superficie
y la recta::I:~ y2;2 %-3 _ !I~4 _ =+2 .
a) 81+ 311+0= 1 Y -3-- -6 -~.:1: Y _ s-] 2 •
Y -¡-= -3 --r.-'%+1 y-2 =+3
y -2-=-=r= -2x y-2 z+i
y '3= -2 =_,-H8!. Demostrar que las intersecciones del plano
2x-12y-z+16=Ocon el paraboloide híperbóllco
x~-4y2=2zson generatrices de éste. Hallar las ecuaciones de estasgeneratrices.
1182. Demostrar gue Jas intersecciones del plano4~ - 5y -1 Oz- 20 = O
con el hiperboloide de una hoja%' y~ :225 +16--¡-=1
son generatrices de éste. Hallar las ecuaciones de estasgoneratrtces.
1183. Una vez comprobado que el punto M (1; 3; -1)está situado en el paraboloide hiperbólico
1.IX~_;:2 = y,
hallar las ecuaciones de sus generatrices que pasan por elpunto M.
224
1184. Hallar las ecuaciones de las gcnerntrícee delhíperbuloíde de una hoja
Z2 y~ :2T+T-TtS= "
que son paralelas al plano6x+4y+3z--17=0 .
.H85. UnD vez comprobado que el punto A (- 2; O; 1)Ci'tÍl si tundo en el paraboloído hiperbólico
determinar el ángulo agudo formado por sus generatricesque pasan por el punto A.
1186. Hallar la ecuación del cono cuyo vértice estáen el origen de coordenadas, Si so dan las ecuaciones de sudirectriz:1) {X2 yZ 2) {X'2 :11"'"?:+-b2 =1. ","?:+-n=1,a a O"
z=c; y= b;
3) {y2 Z2b2 +"7= 1,
X=(I.
1187. Demostrar que la ecuaciónZ2=:r.y
determina un cono con el vértice en el origen de coordenadas.1188. Hal lar la ecuación de) cono qua tiene el vórtice en
el origen de coordenadas, si las ecuaciones do In directriz SOJl
{
$2 _ 2:0 + 1 = 0,y-z+ 1=0.
1189. Hal lar In ecuación de l cono que t.iene el vérticeen el punte (O; O; e), si las ecuaciones do la directriz son
j :: + Z~= 1,
l z=O.1190. Hallar la ecuación del cono cuyo vértice está en
el punto (3; -1; - 2), si las eeuacíones de la directriz son
{
X2 -+ yt _ Z2 = 1,x-y+z=O.
t5-S52 225
t 191. El eje Oz es el eje de un cono circular que tiene DIvértice en el origen do coordenadas; el punto Mi (3; -4; 7)os~á situado en su superficie. Hallar Laecuación de este cono.
1192. El eje Oyes el oje de un cono circular que tiene elvértlce en el origen de coordenadas; sus generatrices formanun ángulo de (lO° con el eje Oy. Hallar la ecuación de este cono.
1193. La recta%-2 y+1 :+1---r=-=r = -1
es el eje de un cono circular cuyo vérttce está si tundo en 01plano Oyz. Hallar la ecuación do este cono, si se sabe que elpunto M,(1; 1; -f) está situado en su superficie.
1194. Hallar la ecuación del cono circular, si los ejes decoordenadas son generatrices de él.
1195. Hallar la ecuación del cono que tiene el vérticeen el punto S (5; O; O), si las generatrices son tangentesa la esfera
x' + y2 + z~ = 9.J J 96. Hallar la ecuación del cono que t.iene el vértice en
al origen de coordenadas, si las generatrices son tangentesa la esfera
(x + 2)2 + (y - 1)2 + (z - 3)2 = 9.l197. Hallar La ecuación del cono que tiene el vértice
en el punto S (3: O; -1), si sus generatrices son tangentesal eHpsoido
:e2 y2 %2
T+T+T=1.1198. Hallar la ecuación del cilindro cuyas goneratrices
Son paralclae al vector t = {2; - a; 4}, si las ecuaciones dela directriz son
{;¡;'+y2=9,
z=1.1199. Hallar la ecuación del ci Iind ro. si 88 dan las
ecuaciones de la directriz
{x9_y2=Z,
x+y+z=Oy las gcneratrtces son perpendiculares al plano de la directriz.
220
1200. Las generatrices de un cilindro circunscrito en laesfera
x~ + y~ + Z2 = 1son perpend lculares al plano
x + 11 - 2z - 5 = O.Hallar la ecuación de este cilindro.
1201. Las generatrices de un cilindro circunscrito en laesfera
x'!. + y2 + z! - 2x + 4y + 2z - 3 = OSOIl paralelas a la recta ~
x=2t-3, y=-t+7, z=-2t+5.Hallar la ecuación de este cilindro.
1202. Hallnr la ecuación de un cilindro circular quepasa por el punto S (2; -1; 1), si la recta
x = 3t + 1, y = -2t - 2, z = t + 2,es el ejo del mismo.
1203. Hallar la ecuación del cilindro circunscrito en lasdos esferas: .
(x - 2)2 + (y _ 1)2 + zt = 25, x~ + yi + Z2 = 25.
APENDICE
ELEMENTOS DE LA TEOBIA DE LOS OETEnl'tIlNANTES
§ 1. Determinantes de segundo orden y sistema de (losecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Supongamos que se ha dado un cuadro do cuatro números 4,. a2,Úl. bz:
(i)
El número a,b2 - 42bl Sil LLama determinante do soguudo orden C,(I-rrespondtonte al cuadro (1). Esto determinante BO designa con lu
notacién 1 (11 bl 1 i por consiguiente, tenemos:a2 b2 I:~:~I=a!b2-a2bi. (2)
Los números ji¡, 42. blo b2 se llaman elementos do! determinante.Se dice que los elementos al, b2 están en la diagonal principal deldoterminante y que (12. b, esLán en su diagonal secundurla. O SOu. ((UOel determínantc de segundo orden es igual a la (liferencin do los pro-ductos de los elementos situados en las diagonales principal y secun-daria.POl' ejemplo,
1-3 21 =-3·4-(-1)·2= -tO.-1 4
Considercaios un sistema de dos ecuaciones
{4IZ+b1y=h¡,
~%+ bt!l=h2(3)
con dos íncégnuas :x:. !J. (Se supone que so han dadu los cocííciontcsal. b¡, 4a. b2 y Jos términos indepondtentes ht, h!.l Hagamos las nota-ciones
~=l:::~I,~x=l~::1· ~v=l::~:l- (4)El determlnunte 6, formado por los coolíctentcs do los incógnitas delsistema (¡¡l, se llama determinante do este sistema. El detormtnauta4" se forma sustituyendo los elementos de la primera columna del
231
detennínanto 1:. por lus términos tudcpendiemes dl'} sistema (a):el dotcrmínunto 6v se obtíeno del determinante Ó, sustttuyeude loselementos do su sogunda columna por los térmínos Indopcndíentcsdol sistema (3).
Si tJ. ;/= O, 01 sistema (3) uono soluclón única; las fórmulas parahallar esta solución SOIl
Si 6 = O y si nl menos uno do los determinantes 1:."" ti'} es dlfe-rento de cero, el sistema (3) no tione ninguna solución (su dice que01 sistema es incompat.lhle).
SI tJ. = O Y también Óx = A¡¡ = O, el sistema (3) tíene infinidaddo soluciones (en este caso, una do las ecuacionos del sistema es con-secuencia do la otro).
Supongamos que en las ocunclones del sistema (3) ht = h2 = O;entonces, el sistema (3) es 110la forma:
{4,.:r:+blY=O,02% +b2y =o. (6)
El sistema do ecuaciones do In forma (6) se Huma homogéneo:Cllto sistema siempre tíono soiocíén nula: x = O, y = O. Si ó. .¡.O,esta solución es única; pero, si 6 = O, además de la solución nula,el sistema (6) tiene inflnidatl do soluciones.
1204. Calcular los
1)I-! 4.1:-.) 2
4) 13 161.5 10'
determinantes:
2) 1 ~ -~ 1;
5) la 11.laS a'
3) 13 61.S 10'
6) 11 1 1;XI %2
b-c Iab-c-ac '
8) Icos ~ - sen a 1_sen n cosa
1205. Resolver las ecuaciones:
1) I~ X-4j 2) I!x 4. I-O· -O·4 -, x -1-22 - ,
3) I x X+11 =0. 4)13;
-1 I 3=_.-4 x+1 ' 2,~-3 2 '
5) IX ,ti -51 6) IXZ-4 -11=0; -O·x-'I. x-2 x-I-2 - ,
7) 14s~nx '1. 18) ICOS8x -
sen5xl-O· =0.cosx - , sen B» cos 5x
2a2
1206. Resolver los inecuaciones:
1) 13,¡;;3 ~I>O; 2) I~X~51<O;
3) 12.2:-2 ~1>5; 4) 1: 3Xl7x 2x <14.
1207. Hallar todos las soluciones de cada uno de lossistemas de ecuaciones síguiontes:1) {3.x-5Y=13, 2) {3Y-4X=1, 3) {2x-3y=6,
2x+7y=81; 3x+4y=18; 4x-ny=5;4) f X::::-lIV3=1.:_ 5) f a:r.-I-by=c,
l xV3-3y= V3; l bx-ay= dí
6) r xV'5-5y=VS.l x-yY5=5.
1208. Determinar los valores de a y b para que elsistema de ecuaciones
{3:¡;-ay=1,6x+4y= b
1.) tenga solución única;2) no tenga solución;3) tenga infinidad de soluciones.1209. Determina!' el valor de a para que el sistema de
ecuaciones homogéneas
{13x+2y=O.5x+ay=O
admito. solucíóu no nula.
§ 2. Sistema de dos ecuaciones homogéneas de primergrado con tres incógnitas
Suponguruos (!UO so JIU i111(11) un sistema do dos ecuactouos l"UlIO-gén(ltlS
{ o¡x+b¡y+c¡z=O, (1)a:x+b2y+C2z~O
con tres incógnitas z , 11. z, Hagamos las notaclones:
Ó1=1~~ :~I,L\2=1:~ :~I.6~=1:~ ~~j.283
Si, por Io ID(lnOS, uno do los determinantes ~ .. ~2, ~3 no es igual acoro, todas 19.5 soluciones del sistema (t) se determinan por las fórmulas
%=~lt, II=-Á:¡t, %=~at,on donde t es un número arbitrarlo. Cada valor de t nos proporcionauna solución particular.
Para hacer el cálculo, es conveniente tener en cuenta. que los do-tormínantos A" ~2, ~3 se obtienen eliminando sucesivamonto 11118 delas columnas del cuadro:
(al 1>1 el).a:¡ b:¡ c2
Si los tres determinantes &" &2, 6.. son iguales a cero, los coeficientesde las ecuaciones del sistema (1) son proporcionales. En este caso,una <le las ecuactonos del sistema es consecuencta de la otra, y enroalidad el sistema se reduce a unn ecuación. Claro que, tal alstoma,tione infinidad do soluciones; para obtener alguna de ollas es neceaa-río dar a dos incógnitas valores numéricos arbttrartos y bailar la ter-CNa mediante la. ecuación.
1210. Hallar todas las soluciones do cada uno de lossistemas de las ecuaciones siguientes:
1) {3X-2Y+5Z=0, 2) { 3x-2y+z=0,x-l· 2y-3z =0; 6x-4V+3z= O;
3) {X-3y+z=0, 4) {3X-2Y+Z=0,2:c-9y+3z=O¡ x+2y-z=O;
5) {3:r-2y+z=0, 6) { 2x-y-2z=O,x+2y-3z=O¡ x-5V+2z=O¡
7) {X+2Y-Z=0, 8) { 3x-5y+z=O,3x-5y+2z=O; x+2y-z=O;
9) {X+3y-z=O, 10) {ax+v+z=O,5x-3y+z=O; x-y+az=O;
11) {UX+2y-z=O, 12) { x-3y+az=O,2x+by-3z=O; ¿'x+6y-z=O.
§ 3. Determinantes de tercer ordenSupongamos quo se ha dado un cuadro do nUQVO números al> a2,
a~h bl~ lJ2• úa, DJ1 ct, es
(1)
234
So llainl! determinante do tercer orden, cerrespoadíonte al cuadro(1), al uúmero que so designa COII la notacíón
I:~ ~~~~I08 ba Cs
y que se define por la igualdad
1:: :~ :~ 1= alb2C3+blC2o'3+CI02~-clb2a3-blo2c3-alC2b3'
as b3 c31
Los números a-s. az. as. b.. b2, b3, el' e1, e3 se llaman elementos dol do-termlnanto. Los elementos aJ, bz• C3están situados en la diagonal del.Ic:>torminanw, llamada llrincir81: los elementos "3, bz, e, fonuaola diagonal secundaria. Para lO cálculo convíeno tonor en cuenta, quelos primeros tres sumnndos del segundo míomhro do la igualdad (2) ro-preaentan productos do 108 olemontos del determínnnto, tomados tresa tres, as] como ss ind íca con rayas do trazos on el esquema de )0izquierda que so expone a continuación.
(2)
Para obtener 109 otros tres términos del segundo miembro dela igualdad (2) es necesario multiplicar tres 11 tres los elementos doldeterminante, como so indica con rayas de trazos en el esquema do laderecha, después de Locual so deben do cambiar los signos a los pro-ductos obtenidos.
Calcular el determinante de torcer orden en los ejercicios1211-1216.
1211. 3 -2 1-2 1 3
2 0-2O 53 16
O -1 10
1213. 21
1212. t 2 OO 1 35 O -1.
2 -1 3-2 32
O 2 5
1214.
285
1215. 2 1 O 1216. O a a1 O 3 a O aO 5 -1 aTa· O... -§ 4. Propiedades de los determinantes
P r (1 l' Le rl a u 1. El valor (lo IIn determinante no vuria , siso MIlI)¡jCIJI todas SUS fijas Jlnr ~U$ columnas, (1$ declr, si cadu rilaso cumhlu 1'01· la columnn do} mismo orden, o sea
l
a 1 v. ell 1111 a·2 IlS 1Q2 b2 c2 = hl h2 ha •a3 h3 C3 el c2 e3
PI' o JI i (1 d a el 2, La permutqcrén de ')(l!l columnns o do dosfilas do un determinante es oquiva!l>illo 11su multrpltcacíén 1'01'-1-Por (ljomplo,
I:~:: ::1=-1:: :: :~I·!la 1>3 ca 43 C3 h3
P r o P i e dad 3, Pn dctcruünantc que tiClUC dos CO}¡unlJIIS odos filos lI:!óntiells es nulo,
P ro 1I i o d a d q. La multiplicación de todos los elementos deuna columna (¡ de una fila do un dotenuhranto pOI: un número cual-qutcra Ir. \l8 uquivnlonte U la multtpltcnclén ,101 dotormtnanto por estonúmero k: Por cjl!lnplo,
1::~ :: :: 1= k 1:: :: :: l'ket3 h3 C3 aJ b3 Cs
JI r o p ¡ o dad 5, Si todos los elementos do una columna o douna Ií la son igunles a cero, el mismo doternnnnnte será igual a coro.Estn rrOPll'dnd constituye un caso particular de la anterior (parak= O,
Pro p i 1) d a el 6, Si los elementos corrcspondíentes de dos co-lumnas o do dos filas do un dotermínante son proporcionales, o) deter-mínante es nulo.
l' r o J) j o d 8 d 7. Si cada elemento de la n-ésimn columna o deLa n-ésüna Illa de un determinante representa una suma eJe dos suman-dos, ,)1 dotermmautc so puede descomponer en una RUJIlIl de dos cIl'tl'l'-mínnntes: )(':1 elementos de la n-ésímn columuu, o los currcspondteutesdo la n-ésíma file, de uno do estos determinantes, son Iguales a losprírueros sumandos citados y los del otro determinante, son iguatesa lo~ segundos sumandos; los elementos situados on los demás lugnrosson los mismos parn Jos tros dotcrmtnantcs. Por ejemplo,
I:~¡:~::::I=I:~ ~~::I+I:~ :~ ::1·a.+a~ b3 Cl as b;J Cs a. b3 ca
I? r (1 p j o ,1 11 d 8. Si n !(\S olouion tos lit' una eolumn« (1'1 c!0 unn[Hu) se I<~ sumen los vtomentos C.,II·I'CSI)(JIlIlionll'Sde otrn columna(o de otrn filo), multiplicados por un Iactor cualqutera, 01 doterminan-to no varta. Por ejcmplo.
la. -1 kb1 b, elll al &1 el I4~+ "b2 b2 C2 : Q2 "2 C21.4s+kb3 bs e3 ..:.. a3 b3 e3
Las propíedades ulteriores do los determtnantes ~stán relacionn-d as con los conceptos do complemento algobraico y menor.
Se Ilama menor de un elemento al dotcrmínanto (JUO resulta sien el determinante dndo se suprimen la columna y In fila en cuyaIntersección está situado ese elemento.
)~l complomonto algobratco de un elemento 1101dctormmante ..sIgual 111menor de este olornento , tomado con SIl mismo slgno, ai 111suma do los números do orden de In columna y de In lila. on cuyaintersección está situado ese clemente, es un número par, )' con signoeontrarío, si este número es impar.
El complemento algebraico do un elemento 111 índ ícaromos conla misma IOLm, poro mayúscula, y con ol mismo fIlC),C(; que ucne Ia) etra qUII designa dicho elemento.
. Pro pie ti a d 9. El dotermiunnte
t.= I:~:~;~I1>3 b3 c3
Os igual a la suma 0(\ los productos do Jos C)Cn!C1IÚlS ele cualquier co-lumna (o lila) por sus complementos nlgebrnícos.
Es c'!ocir, se ver iIíoan las iguuldotlcll siguientes:
II =njAl+a2A2+nsAa, L\~alAI + b,81+ cIC ..ll=b1nl+b2B,,+ b3B3, A~~Aa +b2n2+C2C2,A=cICt +~2C2 +r.aCa, t.=asAa+ b3n3+C;Cc3·
En 10$ problemas 1217-1222 hay quo demostrar queso verifican JII5 igualdades, sin desnrro llar para eso losdeterminantes.
1217. a 2 1-232
4 !.i :J
3 2 7-23 -2
4 5 11o ¡, 5(1 r v n o i 6 n, A¡lliror la proptcdad 8.
1218. 1 - 2 3 1 O O-2 1 -5 = -2 -3 1
3 2 7 3 8-2o b s e r v ji e i ó n. Aplicar la propiedad 8.
1219. ¡al bl el
a2 bz e2 =0.ad·CI;az /)1+0:.[,2 el+o:.Ct
o b 8 o r v a ció n. Aplicllr las propiedades 7, 3, 6.
j 220. ~bl + -yel 61 CI
~b2+-YC2 b2 Cz =0.~b3 + ,/e3 bJ C3
o b s e r v a ció n. Aplicur las propiedndos 7 y G.
1221. sen" o; cosll o; cos2asen2~ cos2 ~ cos2~ =0.sen2y cosll-y cos 2-y
1222. O -a -ba O -c =0.b C O
En Jos problemas 1223 -1227 hay que calcular losdeterminantes, aplicando solamente la propiedad 9.
i223. 1 1 -1 1224. 1 17 -71 -1 1 -113 1
-1 1 1 1. 7 1
2 O .5 1226. 1 2 41 3 HI -2 1 -3O -'1 10 3 -4 2.
1225.
1227. 1 1 1;¡; y Z
;¡;2 y~ z'l
1228. Aplicando la propiedad 8, transformar los deter-minantes dados en lo.s problemas 1223-1227 de modoque en alguna columna (o fila) se conviertan en cero dos delos elementos, y, después., calcular cada uno do los deter-minantes aplicando la propiedad 9.
238
En los problemas 1229 -1232 hay que calcular Josdeterminantes.
1229. O a b 1230. O sena ctg «a O a sena O son ab a O ctg e sena O
1231- ::; Y z 1232. a b e::;2 y2 iJ e a b;¡;3 ya Z3 b e a
1233. Demostrar que se verifican las igualdades:1) 1 sena senlla
1 sen~ Senil~ = (sen a,- sen ~) (son p - sen )') XX (son y-sena):
1 sen)' sen2 '\'
2) 1 1 1tga tg~ tgl' _sen (a-f3) sOI1(f\-y) sen (j'-a.)
- cos2 a C032 ti COS2 ytg2 a tg2 ~ tg2 Y
1234. Resolver las ecuaciones:1) 1 3 x 2) 3 x -4
4 5 -1 =0; 2 -1 3 =0.2 -1 5 x+10 1 1
1235.Resolver las inecuaciones:
1) 3 -2 11 :1: -2 < 1;
-1 2-1
2) -2 x+2 -11 1 -2 >0.5-3 ::;
§ 5. Resolución y discusión de un sistema de tresceuaetones de primer grado con tres incógnitas
Consideremos un sistema do ecuaciones{ a¡x+b¡y+o¡z=h¡,{ a2z+ bzV+czz=hz'la3z+bay+03= = h3
con tres incógnitas z , 11, : (se suponen dados Ios coeficientcs ah b"••• , C3 Y los términos independiontes h,., ~, h.).
(1)
239
Hagnmos las notaciones:
ó=I:~ ~~:~I·Ax=I:~:~:::I,a3 113 Ca ha ba Ca
Áz= 1:: :: :: 'l,a3 b3 h3
El determinante á, formado por los coeüclentes de las Incég-nltas del sistema (1), so llama dctormtnante dol sistema dudo.
Es conveniente tener presento que los determinantes á", áy• á.Sil obtienen del (kt.crrninante L\, cambiando respectivumento la prí-mera. segunda y tercera columna por la columna do los términos índe-pendientes del sistema dado.
Si á = O el sistema (1) tiene solución única, la cual so llallapor 13S fórmulas
Supongamos que el determinante del sistema es igual a cero:t:. = o. s¡ 6. = O. y flor Lo menos 11IlO de los determinantes á:t,Av' Ó,. es diferente de cero, 01 sistema ('1) no tiene solución alguna.
S. !J. = ° y, a la VO?;, t." = 0, ál1 = 0, D.z = O, el Sistema (1)también puede no tener soluciones; pero, si el sistema (i) cuenta, enestas corulícínnua, por lo menos con una solución, tendrá entoncesinfinidad do soluciones diíerentes.
Su llama sistema do tres ecuaciones homogéneas de. primer grado';<)11 tres incéguüus ni sistema do L(1 forma:
( alx+bIY+CIZ=O,
'{ a2x+ú2U+C2Z=O,l43X+b3U+CaZ=O,
(2)
os decir, al sistema do ecuucioues cuyos términos independleutos sonIguales a cero. Es ovírlonte que tal sistema siempre tiene la solucién::¡; = 0, y = 0, z = ° y se dice que es nula. Si A '* 0, 68ta es la únicasolución. Si Ó = 0, (JIsistema lHlmog6nel' (2) tiene iPfinidad do solu-clones no nulas.
VcrHiC.'lr en los problemas 1236 -12':¡,3, que el sistemade ecuaciones t ione soluciúu única y hallarla.
1236. {:r: l·y-z=3ü, 1237: {Z+2Y+Z=4'x+z-y=13, 3x-:Jy+3z=1,y+z-x=7. 2x+7y-z=8.
1238. {2X-4Y+9Z=28, 1239. {2,t+Y=5'7x+3y-6z= -1, x+3z=16,7x+9y-9z=5, 5y-z=10.
240
t240. {X+Y+Z=3B, 1241. {7X+2Y..¡-3Z=15,2x-3z= -17, 5x-3y+2z=15,Bx + 5z = 7. 1Ox-11y+5z=3B.
1242. {X f-y+ z=a, 1243. {X-v+z=a,x-y ·I-z=o, x+V-z=b.x + y-z=c. y +z-x=c.
t244. Hallar todas las soluciones del sistema
{
X ·j-2·y-4z=1,2x+y-5z= -1.x-y-z= -2.
1245. Hallar todas las soluciones del sistema
{
2x-y +z= -2,x+2y+3z= -1,x-3y-2z=3.
12<16.Hallar todas las soluc lonos del siatcma
{
3x-V+2z=5,2x-y-z=2,4x-2y-2z= -3.
1247. Determinar los valores de a y b para que elsistema
{
3x-2y+z=b,5x-8y+9z=3,2x+y+az= -1
1) tenga solución única;2) no tenga solución;3) tenga infinidad de soluciones.1248. Demostrar que si el sistema de ecuaciones
{
a.x+ b.y = C¡,
azx -1- bzy= C2'
a3x l' U3V = C3
16-352 241
és compatíble, se verínca la igualdadal &1 CI
a2 b2 C2 =0.aa &3 Ca
1249. Hallar todas las soluciones del sistema.
{
2x+y-z=0,x+2y+z=0,2x-y+3z=0.
1250. Hallar todas las soluciones del sistema
{
x-y-z=O,x+4y+2z= O,3x+7y+3z=0.
1251. Determinar el valor de a para que el sistemade ecuaciones homogéneas
{
3x-2y+z=0,ax-14y+15z= 0,x+2y-3z=O
tonga solución no nula.
§ 6. Determinantes de cuarto ordenLos determinantes de cualquier orden poseen todas las propíedades
de los determínantes expuestas en el § 4. En esto párrafo, para. elcálculo de los determinantes de cuarto orden se doben aplicar estaspropiedades. '
En los problemas 1252-1.260 hay que calcular losdeterminantes de cuarto orden.
1252.
1254.
-30 O O 1253. 2 -1 3 4.2 2 O O O -1 5 -31. 3 -1 O ° 05 -3
-1Q 3 5 O O Q 2
2 -1 1 O 1255. 23 -3 4O 1 2 -1 21 -1 23 -1 2 3 {l 2 1 O3 1 Ü 1 23 O -5
t256. 8 7 2 O 1251. O bcd-82 7 10 b O d e
44 4 5 . e d O b .O 4 -3 2 el e Ú O
1258. a b c el 1259. a b e elb a d e d a b ee d a b e d a b •d e b a bcd a
1260. O -a -b -da O -c -eb e O Od e O O
1261. Demostrar que si el sistema de ecuaciones¡A,x+Bty+C,z+DI =0,A2x+ B2y +C2z+D2= O,Aax+BaY +Caz +D3=O,A,x+B,y+C.z+D4=O
os compatible, se verifica la igualdadAl BI CI DIA2 B2 C'}. o,
C =0.A3 Bs 3 DaA4 B, C, D,
IIES)'UI,STAS E INDICACIONESA LOS l'HonLElIlAS
Primera parte
1. Véase la fig. 54. 2. N o t a. La ecuaclón Ixl = 2 es equivn-lento a las dos ecuaciones. x = -2 Y :r; = 2; tenernos rcspocti va-mento dos puntos A, (-2) '1 A % (2) (Hg. 55). La ocuaclón I z - 1 I = Ses equivalente a dos ecuaciones :c - 1 = - 3 Y :c - 1 = 3. do dondoobtenemos z = - 2. :z: == 4 Y sus puntos correspondientes D, y D1
(flg. 55). En los d()más casos, Las soluciones son análogas. 3. Los
1-..H e E o D,. A B
~ I c--<)-Q o o Q o_._.
I~
I~
2Fig.54.
puntos cslán~ situados: 1) o. la derecha del punto MI (2); 2) o. laizquierda el punto M~ (a), incluyendo el punto M2; 3) a la derecha
del punlo M. (12); 4) o. la izquierda del punto M. (i) . incluyendo
el punto M.: 5} a 18 derecha del punto Mr, (~) ; (j) dentrodel segmento Iimitndo 1'01' los puntos Mo (1) y M2 (3); 7) dentrode:l segmento limitado por Ios puntos M, (-2) y Mz (3), íncluyoudolos puntos M, y M~: 8) dentro del segmento limitado por los
244
puutos A (i) Y B (2); O) fuera del segmento limitado por los puntosP (-1) Y Q (2); 10) fuera del segmento limitado por los puntosA (1) Y B (2); il} dentro del segmento limitado por los puntosP (-1) Y Q (2); 12) dentro del segmento .limilndo por Los puntosIr! (3) y N (5), incluyendo Los puntos JI{ y N¡ 13) fuera del segmento
/-.A, O A.! 81
lflFig.55.
limitado por los puntos JI{ (3) y N (5); 14) fuera del segmento limi-tado por los puntos PI (-4) y Ql (3)¡ 15} dentro del segmento limi-tado por los puntos PI (-4) y QI (3), incluyendo los puntos PI y Ql'4:.1) AD=8, IABI=8;2)AD=- 3, IAB 1=3¡3)AB=4.I/lBI=4;4) A8=2, I A81=2; 5) AB=-2, IABI=2¡ (1) A8=2, IABI2.s. 1) -2; 2) 5; 3) 1; 4) -8; 5) -2 y 2: 6) -1 Y 5; 7) -G y 4¡8) -7 y -3. 6. 1.) Dentro del segmento Limitado por Los puntos
ey
o 11
B
1 Fr-DE o :r
.i;CÓ--- e
Pig.56. .'ig. 57.
A (-1) Y B (1); 2) Juera del segmento Iimttado por los puntosA (-.2) y B (2);1 3) dentro del segmento limitado por los puntosA (-2) Y B (2), incluyendo los puntos A y D; 4) fuera del segmentolimitado por les puntos A (-3l y B (3). incluyendo los puntos Ay B; 5) dentro del sCgD1QnlO limitado por los puntos A (-1) Y B (5);(i) dontro del segmento limitado por los puntos A (1,) YB (6). incluyen-do Los puntos A y B; 7) íuera del segmento limitado por lospuntos A (-1) y lJ (3), incluyendo los puntos A y D; 8) fuera delsegmento ümitado por los puntos A (2) y B (4), incluyendo lospuntos A y B; 9} dentro del segmento limitado por los puntosA (-4) y D (2); 10) íucrn del segmento limitado por los puntosA (-3) y B (-1); 11) dentro del segmento limitado por los puntosA (-6) y B (-4), incluyendo los puntos A y D; 12) fuera del seg-monto limitado por los puntos A (-3) y 1J (1), incluyendo los pun-
5 1. 10 ADtos Ay]]. 7.1) 1; 2) -11; 3) 2: 1,) 2; 5) -3.8. ).,1= J'JC=3;
CB AC J]C 1 8A S)..2=DA="3; )..3-=cn=-4; "'1o=CA=-4; "'G= Ac=-T;
CA 4 :-%1 xl+).,%2 xl+%~"'0= A8"'-"3' 9. "'=%2-Z' 10. z=~. U. x=---r-'
1 17 13 112.1) 4; 2) 2; 3) -2: 4) -2; 5) -'2' 13.1)3; 2) -T; 3) a;/¡) 7; 5) 3; 6) O. 14. 1) M (- t 1); 2) N (13). 15. (5) y (12), 16. A (7)y]](-41). 17. Véase !lg. 56. 18. A",(2; O). Bx(3; O), C",(-5; O},D",(-3; O): B,,(-5; O). re. AI/{O; 2), nli(o: 1), el/(O; -2), Du(O; 1),Eu(O; -2). 20.1} (2;-S); 2)(-3i -2); 3)(-1; 1); 4) (-3; 5);5) (-4; -6); 6) (4; -b). 21. 1) (1; 2): 2} (-Si -1): 3) (2; -2);4) (2; 5); 5) (-3; -5\; 6) (-4; b). 22. {) (-3; -3); 2) (-2; 4);S) (2: -1); 4) (-5; 3); 5) (5; 4); 6) (-a; -b). 23. 1) (3; Z); 2) (-2: 5);3) (4; -3). 24. t) (-5; -3); 2) (-3; 4); 3) (2; -7). 25. 1}En elprimero y en el tercero; 2) on l'1 segundo y en el cuarto; 3) on elprimero y on 01 tercero: 4) en el segundo y en el cuarto; 5) en elprimero, segundo y cuarto; 6) on 01 segundo, tercero y cuarto;7) on 01 prímero, tercero y cuarto; 8) en el primero, segundo y ter-cero. 26. Véase In fig. 57. 27. (3; -2}), (2; ~), (3; ~) ,
(1.; -2). (5; 1). 28. (1; -! n). (5: - ~ ); (2; ~ n) ,(4; -+ n), (3; n-2). 29. C (3; ~ n) ~.D (5; - !! ;t) .30. (1: _2;), SI. ti (9; - ~), n(2; !n). e (t; O),
JJ (5; ~), E (3; 2-n), [l (2; n-I). 32. .Md3; O)• .'11'2 (i: ;) .Ma(2; -;). 1114(5; --rr)' .M~(3; n). Mo(1; 1~n).
33. (o; ~). a4. d ... 1Ip~+pl-2p,r2COR (1:12-0,). 35. a=7.3G. 9(17-4113) unid. cuad. 37. 2(13+6112) unid. cuurl,38. 28V3 unid. cuad. 39. s= ~ P,flzX [sen °1-62»)' 40. 5 unid.
cundo 41. 3 (4113-1) unid, cuad. 42. 1111(0; 6). M2 (5; O),1113(112; 112), Md5; -5113). M~(-4; 4113). M6(6 V3¡ -O).4S, MI(S; ~), M2(3;n), Ma(2; ~), M,(2; -~ n).1115 ( -2; _r; ). 44. '1) 3; 2) -3; 3) O; 4) 5; 5) -5; t;) 2.
47.1) X=t. Y=S; 2) X=-4, Y=-2; 3) X=I. Y=-í; 4) X=5.Y=3, 48. (3; -1). 40. (-3; 2), 52. f} X= -6, Y=6 VS;2) X=3 V3; y= -3; 3) x= V2. y- - 112.53. t) 5; 2) 1a; 3) 10.
n n 554. f) d ... 2, 9=3'; 2) d=O. 0= -'4; 3) d=4. 0='6 n.
246
3 455. a) d= Ví. 9= -T"'; b) d=5. 6=nretg a-ni e) d=13,
9=n-arctg ~"j2; d) d= 1/237., 0= -aretg5. 56. a) 3; b) -3.
57. a) (-9; 3); b) (-!J; -7). SS. a) (-15; -12): b) (t; -t2).
6 3113-4511.-2. O. 2 . 61. 4. 62. 1) -5; 2) 5. 63. '1) 5; 2) 10;
3) 5: 4) 115; 5) 2 V2; 6) 13. 64. 137 unid. cuad. 65.34 unid. cuad.66. s0 unid. cuad. 67.13,15. 68, 150 unid. cuad. 69." 112.73. 4 MzMJM3 es obtuso. 75. 4 DAC=45°, 4 ABC=45°.<'¡:ACB=90°. 76.60°. Nota. Calcular las longitudes do loslados del triángulo y aplicar después el teorema do los coso-nos. 77. MI (S; O) y M2(-2; O). 78.1111(0; 2S) y M2(0; -2).79. Pd1; O) y P2«(I;·0). SO. O¡(2; 2), RJ=2; C2(iO; 10), Rz=10.81. el (-3; -5), CdS; -5); 82. Mz(3; O). 83. D(O; 4) y D(-1;-3). 84. A las condiciones del problema satisfacen dos cuadrados,situados simétricamente con respecto al Indo AD. L08 vér tíces doun cuadrado son G, (-S', O). DJ (-2; -4), los vér-tices del otroson C~(3; 6) y Dz(6; 2). 85. C(S; -2). R=10. 86. (1; -2).87. Q (4; 6). 88. Los puntos medios do los lados AB, BC y AC sonrespectivamente (2:-6). (-1: 1). (-2; 2). 89. 1) M (t; 3);2) N (4; -3). 90. (t; -3). (3; 1) Y (-5; 7). 91. D(-S; 1).92. (5; -3), (i; -5). 93. D¡(2; f), D2(-2; 9), D3«(\; -3). Nota.m cuarto vért.ice del parnlo ogramo puedo SGr opuesto a cualquiorade los dados. POI' lo tanto, a las condiciones del prohlomnsatisfacen tres paralelograrnos !l4. 13. 95. (2; -1) y (3; I).
96.(i; -2).97. 134Ví. 98. (-11: -3).99.4. 100. 'i.1=-;¡~=AC DA 2
=2; A2=Cñ=-3; .1.3= AC=-S' 101. A(3; -1) Y B(O, 8).t02. (3; -1). 103. (4; -5). 1M. (-!J: O). 105. (O; -3). 106. 1: 3.. (1) .%1+.%2+.%3par ttondo del punto B. 107. 4 T; 1 . 108..%= S •
11=1I11-Y;+ 113 . 100. M (-1; O), C (O; 2). 111. (5; 5). U2. ('~2a;
...i. b) ns (.!2. . ~) 11'-.= m.%l+n.%2+P.%a 11=12 . e , 21 a, 21. a. ... x m+ n.+ p ,
"'" /Il.!l1 +;Y:: PY3.115. (4; 2). N o t a. El poso del alambro homogéneom n. p
es proporcional a su longitud. U6. 1) 14 unirlo cuad. 2) 12; 3) 26 unid.cuud. 117.5. 118.20 unid. cuad, 11!).7,/1. 120.:2:= -ft, 1I=4.ft .
121. :z:=f.;, y=3 ~. t22. (O; -8) 6 (O; -2). 12:1.(5; O) Ó ( - !;0) .124. (5; 2) Ó (2; 2). 125. CI (-7; -3), DI (-6; -4) 6 C2 ('17;-3), D2 (18;
-/1). 126. CI (-2: 12), o, (-5; 1.6)Ó Cz ( -2; ~). D2 ( -5i ~) .
127. 1) %=%'+3, u=u' +4; 2) %=.%'-2, II=V'+I; 3) ,%=$'-3,y-y' +5. 128. A (4; -1), lJ (O; -1,), e (2; O). 129.1) A (O; O),
247
n (-3; 2). e (-4; 1,): 2) A (3; -2),. n «(1: O),e (-1; 2); 3) A (4: -4),B('J; -2), C(O; 0).130.1) (3; 5); 2) (-2; 1); 3) (O; -1);~) (-5; O).
%'-1/'113 z ' 113+1/' %'+y'HU. 1) %= 2 ,1/= 2 ,2}.2:= 112 ' 1/=
~-~t"'; 3).2:=-Y', y=:z'; 4)z_y', y=-r'; 5) x=-r',
y- -y' 132. A (3 Va; 1), D ( ~g, ~), e (3; -va),133. 1) M (1/2:2 V2), N (-30; 2 Vi), p (- 112; -20);2)M(1;-a), N(5, 1), P(-t;3); 3)M(-1,3), N(-5:-1),P (1; -3); t.} M (-3, -'1), N (1; -5), P (3; 1). 134. 1) 60°;
2) -30°.135. O' (2; -4).136. %=r'+I. Y-II'-3, i:r7. x=fx'++iY', y=-4x'+fy'. 138. M'di; 5), Jlf2(2; O), .Ma(16; -5).139. A (6: 3), n (O; O), e (5; -10). t40. 1.} O' (3; -2), a=OOo;
152) O' (-1; 3). a='1f!O°; 3} O' (5;-3), a= -1,5°.141. x= -17 .,'-
8 8 15-17Y' +1). y =1'7 x' -1711'-3. 11,2. .1111(1; 9), M2 (4; 2),1\'[3 (1; -3),
1114 (O; 2+ 1t'3), M~ (1+ VS; 1). Jli~'¡.1',11(O; 5), M2 (3; O), Ma (-1, O),
M,(O;-O), M5(V3;1}. '144. .1111(2;0), Mz(I:-~), MJ(S:
~ ), 1114 (2; -:), Ms (2; ~). 145. MJ (112; ~ n) •
M2(2; -~), M3(2;~), M.(2; 172n), Ms(4;-~n).HG. J (x. y) = 2ar. - a2• 1/.7. 1). f (x; .11) = 2ar; 2) t (x, II).== - 2nx - a~. 148. I (x, y) = 4x· ;J- 4y- + 2a'. 149. I (:r. !Ir == 4x~ + 41/~ - 4a:r - 4ay + 4a2• t;)O. I (x, y) = %2 + 1/' - 25.t5t. f (!I:, ¡¡) = 2xI/ - lG. 152. La rotación do los ejes coordenadosno altera In expresión do la función. 153. (3; 1). 154. No existe talpunto. 155. ±rl5° Ó ±135°. 156. 30°, 120°, _60°, _150°. t57. Losplintos },fl' M. y A15 están snuadcs en la lincn; los puntos M1, M. y/118 no están Situados en ella. La ecuación determina la bisectriz delsegundo y del cuartc ángulos coordouados (Iig, 58). t58. a} (O; -5),(O; S); b) (-3; -4), (-3; 4); c) (5; O); d) no hay tal punto en laIínen dada; e) (-4; 3), (4; 3); í) (O¡ -5); g) no bay tal punto enIn linea dada. La ecuactén doterrntna una clreunlerencia de radio 5con el centro en O (O; O) (Hg. 59). t51). 1) I-H biscctri'l, dol primeroy del torcer ángulos coordenados; 2) la bisllCtri7. del segundo y delcuarto án~ulo8 coordenados; 3) una recta paralela al eje Oy que cortaun 01 semieje positivo O», partiendo del orl~t'n de coordenadas, unsegmento de longitud igual s 2 (íig, 60); 4) una recta paralela aloje Oy que corta en el semieje negativo O», partiendo dol origende coordenadas, un segmento igual 11 3 (Hg. GO); 5) una recta para-[ola 81 oju Or, que corta en ol semieje poaitlvo Oy, partíemló delorigen de coordenadas, un segmento igunl a 5 (Hg. (0); G) una rectaparalela al oio O"" que corta en el) semieje] negativo: 011, par-
248
tiendo dol origen de coordenadaa, un. segmento igual a 2 (lig. 60);7) la recta que coincide con el ejo do ordenadas; 8) la recta quecoiucidc con el ejo do abscisas: 9) la Hnea so compone (lo dos rec-tas: la hisectriz del primero y del tercer ángulos coordenados
y Hz
Fig.58.
y
Pig.59.y a recia que coincide con el ejo do ordenadas; tO) la línea SilCOlO puno do dos rectas: la bisectriz del segundo y del cuarto ángu-los coordenados y la recta que coincide con el eje de abscisas;ti) la linea so compone do las dos bisectrices do Jos ñngulos coorde-Dados (fig. Gi); 12) la línea se compone do dos rectas: de la
y y-5...
.2'
O y+2=
c¡r <:::>11
<-, "".~ 1~i f-i
Fig. OO.
O
y
O
Fig. (ji.
recta quo coincido con el ejo de abscisas y de la recta que coín-cído cun el ole ele ordenadas: 13) In Iínea se com pono~de dos rec-tas paralelos ni ojo de abscisas, que corlan-cn"ct eje de ordenadas.~rticn(lo del origen de coordenadas, segmentos íguales a 3 y - 3(Hg. (2); 14) la línea se compone do dos rectas paralelas al eje Oy,
249
y y <:::> <:::>Q u
'" .....,i Ifi Ii
rQ o 1:
Fig.62. Fig. 63.
Y YO z
y+/-o
y+/¡=o
FIg.64. Fig.65.
(a) yce) y
Fig.66.
que cortan en el semic]e posit.ivo 0:&. pnrt.iento del origen de coordo-nadas, segmentos iguales a 3 y 5 (fig. 63); 15) la línea socompone do dos rectas paralelas al t>je 0:&, que cortan en el semi-ojo negativo 011, parttondo del origen de coordenadas. segmentosiguales a 1 y 4 (fig. 64); 16) la línea se compone de tres rectas:la recta qUG coincide con el oje do abscisas y dos rectasparalelas al ejo do ordenadas, que cortan el) el semiejeposlttvo de abscísas, partiendo del origen do coordenadas. segmen-tos iguales a 2 y 5; 1.7) la linea se compone de dos rayos: las hisccLri-C".8 del primero y del segundo ángulos coordenados (fig, 65); 18) lalínea se compone do dos rayos: las híscctrtces del primero
Fig.67.
y del cuarto ángulos coordenados (fig. GG a); 19) la Iínca se componedo dos rayos: las hisoctrfces del tercero y del cuarto ángulos coordo-nados (fig. 66 b); 20) la línea se compone de dos rayos: las hisectrícesdel segundo y del tercer ángulos coordenados (fig. 66 e); 21) la. Iínoasu compone de dos rayos situados on el somíplano superior. que parumdel punto (1; O) Y son paralelos a las bisectrices de los ángulos coor-denados (Hg. 65); 22) la linea se compone de dos rayos, situados enel somíplano superior, que parten del punto (-2; O) y son paralelosn las bisectrices de los ángulos coordenados (rig. 65); 23) una circun-Coronc¡a de radio (1 con el centro en el origen do coordenadas (rig. (7);24} una circunferencia do radío 4 con 01 centro 01 (2; 1) (fig, 67); 25)una circunferencia de radio 3 con el centro (-5; 1); 26) una circun-Iorcncíc de radio 2 con ..,1centro (1; O); 27) una circunferencia do radiot con el centro (O; -3); 28) la línea 80 compone de un punto (3; O)y C5 una linea degenerada; 29) la línea se compone do un punto (O; O)y PS una Iínca degenerada; 30) no hay ni un plinto, cuyas coorde-nadas satisfagan a la ecuación dada (<<línea unagtnartae): 3i} nohar ni ~m p~lnt~, cuyas coorde~adas satisfagan a la ecuacíón dada(elínea í magmartas). 160. Las líneas 1). 2) Y (1) pasan por 'el orrgende, coorde,?a¡¡~s, 16t. ,1) 0.) (~; O), ~-7í O); h) (O; 7). (O; .-7~;2) 0.)(O, O), (6. O), b) (O, O), (Ó. -8), 3) a) (-10. O). (-2, O). b) la
251
Jínen un se corta con 01 oje Oy; 4) la línea no SO corta con ka ejoscoordenados; 5) a) (O; O), (1.2; O); b) (O; O). (O; -16); 6) a) lalínea no so corta con el cío O:r.; b) (O; -1), (O; -7); 7) la línea IIHsu cona con los ejes eoordenados. 162. 1) (2; 2), (-2; -2);,]
fI~
Fig,li8.
o
p=s1;;e
Fig. so.
2) (1; -1), (9; -9); 3) (3; -4), (1-f; -4+); 4) las líneas no
se cortan. 163. Los punto~ /lfj• M~ y M, están en la línea dada;los puntos Ma y Ms no están en ella. La ecuacíén determina una
l~ig. 70. Fig.71.
ctrcunfuronc¡a (fig. 68). 164. a) (6; ;) ; b) (6; - ~ ) ; e) (3; O);
d) (2 Va; ~); la recta es perpendicular al eje polar y cortaen 61 un segmento Igunl a 3, partiendo del polo (fig. 69).
165. a) (1; ~); b) (2; :) y (2; ~ ti); e) (112; :)252
y (Vii t n) ; la recta situada en el semlplano superior os
paralela al eje polar y está a la distancia 1 do 61 (Hg. 69).166. 1) Una circunferencia. de radio 5 con el centro en el polo;2) un rayo que parlo del polo y fonna con el eje polar un ángulo
Fig.72. Fig.73.
igual a ~ (fig. 70); un rayo que parto Idol polo fy forma con el
ojo polar un ángulo igual a- ~ (fig. 70); 4) una recta perpondi-
cular aloJo polar quo corta en él, partiendo del polo, un segmento
p=R
Fig.74.
a =2; 5) una recta situada en el semtplano superior, paralela alojo polar y que está a la distancia igual 8 1 de él; 6} una circun-Ierenoia de radio 3 con 01 centro el (3; O) (Hg. 7-1); 7) una circun-
ferencia de radio 5 con el centro C2= (5; ~) (fig. 71.); 8) la
línea se compone de dos rayos, que partan del polo, lino do los
253
cuales forma con el e]o polar un ángulo igual a : y el otro for-
ma con el mismo eje un ángulo igual él !n (fig. 71); 9) la línea se
compone de circunferencias eoncéntrtcas con el centro en 01 polo,
~----------------------'.... ...._
---------¡=~--------Fig.75.
cuyos radios r so determinan por la Iérrnula r=(-i)n ~ +nn,
en donde n es un númoro entero positivo, arbitrario o cero.167. I~jg. 72 Y Hg. 73. 168. Fig. 74 y lig. 75. 169. Fig. 70.
,,"",,
./I,,l',,\
"..-------- ......,
-,,(=ut"",,,
\\\
Fig.76.
170. El segmento contiguo al polo tiene la longitud ~ y cada unoue los otros segmentos tiene 111 longitud igual u On (Hg. 77).
171. En cinco partes (Hg. 78). 172. P (1.2; ~) (fíg. 79).
173. Q (81; 4) (Hg. 80). 174. Las rectas :t ± y =0, 175. Las rectas
2:>4
z ± a=O. 176.Las reéta~ V± b=O. 117. U+4=O. 118. z-5=0.179. t) la recta z-y=O: 2) la recta z+g=O; 3) la recta z-1=0;4) la recta y-2=0. t80. Las rectas 4az ± ,,=0. 181. z~+II'1=Tt.182. (z-a)g+(V-~)'=T2. t83. :c2+!lZ=9. 184. z~+!I~-11l.
Fjg. 77.",2 y2 • %2
t85.z~+y2=a~.186. (z-4)Z+g3=t6.187. 25+16""1. 188.T-y2 ~ ~-16-1. 181l, 1I'=t2:1:. lU2. yll~2pz, parábola. 193. rs+T¡=1,
Fig.78.:1:2 g2 z2 [12
elipse. 194. 16-g-i, hipérbola. 195. rs+16= 1, elipse.",2 !I~
196. La rama derecha du In hip6rbola 64'-36=1. 197. y2=20z,
1tparábola. 198.pcosO=3. 199. 9-a. 200. tgO=1. 201. pson&+
255
+5=0,pscnO-5=0.202.p=iOcos6. 203. A la condici6n delproblema satisfacen dos ctrcunícreectas, cuyas ccuacíones encoordenadas polares son p+6senO=0. p-6sen 9=0.204. x=acost, } x~ +.r.=1. 205• .:r= abcost , 11=
y=bsont¡ a- b'l Va~sell~t+bllcos2tab sen t 206. x = ab cos t y =
-Va2scn2t+b2cos2t Vb2cos2t-a2:'!(ln2t'ab sen t t2
= .207. 1) x= 2p' y=t¡ 2) .:>:=2pctg2 t,Vb2coS2 t-a2sen2t
Fig.79.
p
3 p 2 t t 208 X-=211COS20,}y=2pctgt¡ ) :¡:=TcLg T' y=pctgZ' .1) y=Rson29¡2) x=Rson29,} 3) :¡:=2pctg26,} 20n. 1} $- 2=0: 2) %2+ 2_
y=2Rsen20; y=2pctg9. y y.,2 112 z2 y2
-a2=0¡ 3)(ii"-bir-1 =0; 4)~-""i)i"'-1=0¡ 5):t~+y2-2Rz==0: 6) %2+y2_211y=0; 7) 2px_y2=0. 210. Los puntos MIJ M3y M, están situados on la recta dada; los puntos Mz, Ms y Ma noestán situadosen ella. 211. 3. -3, O.-6 y -12. 212. í , -2,4, -5 y 7. 213. (6¡ O),(O; -4).214. (3i -5). 215. A (2; -1), B(-1; 3),C (2; 4). Z16. (1; -3), (-2; 5), (5: -9) y (8; -17).217. S=17 unid.cundo 2t8. Ct(-1¡ 4) 6 Cz (~; - 3;) .219. CtCl; -1) 6 Cz(-2; -iO).
220.1) 2:¡:-3y+9=0: 2} 3x-y=O; 3) y-\-2=O; 4) 3x+4y-12=0.25) 2.:>:+y+5=0; 6) x+3y-2=0. 221. i} k=5. b=3; 2) /c= -3 ;
523b=2; 3) k=-S' 1>=-3; 4) k=-Z' b=O¡ 5) k=O, b=3.
222. 1) --}; 2) t. 223. 1) 2x+¡jy-7=O; 2) 3x-2y-4=0.221j. 3:1:+2y=0, 2ao-3y-13=O. 225. (2; i). (4; 2), (-1; 7). (i; 8).226. (-2; -1). 227. Q(H; -11). 228. 1) 3x-2y-7=0; 2) 5",++U-7=O; 3) 8J+12y+5=0; 1,) 5x+7y+9=0; 5) 6x-30y-7=
25G
... 0. 22!1. a) k=1; b) k= lo; e) k""--}. 230. 5:1.'-211-33=0.:I.'+4y-11 =0. 7.>:+011+33=0. 231. 7%-2V-t2=O, 5%+y-28==0. 21'-3y-18=0. 232. %;-u+1=O. 23S. 2.r+3y-13=0. 234.4.I:+3y-H=O, '>:+11+2=0. 3%+2y-13=0. 235. (3; 4). 236. 4%++y-3=0. 237. .>:-5 ... 0. 238. La ecuación del lado AD: 2%+11--8=0; IJC: .>:+2y-1=0; CA: .>:-y-1=0. Lo ecuación de In
Fig.80.
medlana trazado por 01 vértice A: ",-3=0; por el vér t.íce B: %+y--3=0; por el vértice C: y=O. 230. (-7; Ú). (O; +2i-). 2~2.(-1; 3). 243. 3:1:-5U+4-O; %+7Y-'16=0: 3%-5y-22=0; 0;+7y++'10=0. 244. Las ecuacionos do los lados del rectángulo: 2%-511++3=0. 2z-Sy-26=0; 111 ecuación de su diagonal: 7%-3y-33==0. ViS. 5%+11-3=0 es la bisectriz del óogulo interno; %-5y--11=0 es la bisectr iz del ángulo externo. 24"6.%+y-8=0.1b--1/-28=0. N o t a. A las condlciones dol problema satisfacen dosrectas: una de ellas pasa por el punto P y por la mitad del segmentoque uno los puntos A y B; la otra pasa por el punto P y es Earalelaal segmento AH, 247. (-12; 5). 248. Mi (iO; -5). 21j9. P ( 3' ; O) .
N o t a. El problema s& puede resolver por el método siguiente: 1.) 50verifica quo los puntos M y N están situados a un Indo del t'je doabscisas: 2) se halla el punto simétrico a uno de los puntos dadoscon respecto al ele de abscisas, por ejemplo, el punto Nt. símétrtcoal punto N; 3) hallamos la eeuacién do la recta que pasa por 10.'1puntos M y NI; 4) resolviendo símul táneamente In ecuación halladay la ecuación dol eje de abscisas so obtienen las coordenadas delpunto buscado. 250. P (O; 11). 251. P (2; -1). 252. P (2;. 5). 253.
n rtt) CP=T; 2) CP=:r; 3) q>=O, las rectes son paralelas; 4) cp:::o
=llrctg ~. 254. %-5y+3=0 Ó 5%+11-11=0. 255. Ecuaciones de
257
los lados del cuadrado: 4,1;+ 3rt + j = O. 3:1:- 4y + 32 = O, 4:c ;t+ 3y - 2/, = O, 3:c - 411 + 7 = Ú; ecuación 110su segunda dragona ::c+7y-3i =0. 256. 3,l; - 4y+15 = 0, 4:c + 3y - 30 = O. 3x-- 4y - 10 = {l. ,tl; + 3y - 5 = (l, 257. 2x + 11 - 16 = 0, 2.1:++ y + 14 = O. ,;-21/-18=0. 2ii8. 3l'-1I+9=0, 3l'+y+9=0.2))9. 2!Jx-2y+33=0. 262. 1) 3.1' - 7y- 27 = O; 2) :c + 0y -1-: 25 = O;3) 2x - 3y - 13 = O; 4) x - .2 = O; 5) 11 + 3 = O. 2M. SOIl 1101'-pondtcularos 1), 3) Y ti). 266. 1) C{' = 45", 2) q> = (lO'; 3) q> = no".267. Ms (G; -6).268. 4:c- y - 13 = 0, x - 5 = 0, x -!- 8y -1- 5 =-= O. 2611. IJC:3:r + qy - 22 = O; CA:2x - 7y - 5 = o: eN:;;Ix + ;>y - 23 = (J. 270. x + .2y - 7 = O; :r - /oy - 1 ~ o: :r-- y + 2 = O. N ola. El problema so puede resolver por ol método
!I A
Fig. 8'1.
siguiente: 1, So verifica que el véruce A no está situado en ningunade las rectas (Indas. 2, Se halla el punto de íuterseccíóu de las media-nas y se señala con alguna letra, por ejemplo, con M. Conociendo elpunto JI,[ y (1] vértice A se puede hallar la ecuación de la tercera media-na, 3, En 111 recta que pasa por 10$ puntos A y M se traza 01 segmen-to MD = A M (fig. 81). Después, conociendo el punto mcd io M dolsegmento A D Y uno de sus extremos A t S6 hallan las coordenadas delpunto D. ti. Se vortñca que 01 cuadrilátero BDCM es un paralelo-gramo (sus diagonales se dividen entre sí por la mitad) y se hallanlas ecuaciones .le las rectas DE y DC. 5. So calculan las coordsna-das do los puntos B y C. 6. Conociendo todos los véruces del trián-gulo se pueden hallur las ecuaciones de S\lS Indos, 271. 3:1:- 5y-- 13 = O. 8$ - 3y + 17 = 0, 5x + 2y - 1 = O. 272, 2x - y ++ 3 = O. 2x + y - 7 = 0, :r - 2y - 6 = O, N o t a. Si en \111lado do un ángulo so da un punto A. el punto simétrico al punto Acon respecto tl la hísectrfz (lo este ángulo estará en el otro lado.27:-!. 4:r - 3y t 'lO = O. T» + y - 20 = O. 3x + I¡y - 5 = O.274. qX + 7y- = O, y-¡j=O. <Ix + 3y-5 = O. 275, 3x+7y-- 5 = 0, 3x + 2y - 10 = O. !lx + tiy -1- 5 = 0, 276, x - 3y -- 23 = 0, T» -1- 9y + 19 = O. q;r;- 3y + 13 = O. 277. x + y -- 7 = O. :r + 7y ..f: 5 = 0, :r - 8y + 20 = O. 278. 2:r + Hy - 65 == 0, (Ix - 7y - 25 = 0, i8x + 13y - 41 = O. 27~. x + 2y = O,23:r + 2.')y = O, 280, 8% - y - 24 = O, 283. 3:1:+ y = O, x--3y = O. 284, 3l' + /¡y - 1 = 0, 7x + 21¡x - '(jI = O.285. 1) a = -2, 5y - 33 = O; 2) al = - 3. :r - 5(¡ = O;
5a~ = 3, 5x + 8 = O; 3) al = 1, 3x - 8y = O; a2 =8'; 33:r-
-56,=0.286. m=·7. n=-2. y+3=0. 287, m=-4. n=2; x-
258
-5=0. 288. 1) (5; 6); 2) (3; 2); 3} (!; -¡}); 4) (2; - i\) ;5) (-i; 2) . 291. 1) Para a*, ::l; 2} para a=3 y b *' 2; 3) para
a=3 y b=2. 292. 1} m= -4. l' '* 2 Ó m=4. n ,*,-2; 2}m=-4.1'=2 Ó m--=!",,=-2; 3)n~=O. n es arbitrario. 293. m=~.2!)I¡.1\ las condiciones del problema sattslacen dos valores do m: mJ ~ O.
Fig.82.
'2=6.2115. '1) so cortan: 2) no se cortan; iI) no se cortan. 2H8. a=9 :;:; y ,x y :I:+!/.=-7. 29. 1) 3+2=1; 2} _6+'8=1; 3) 'lii2 3'=1.
4} 2;3 + -~/5 =1; 5) 175 + 1~2 =1 (rig. S2). 300. 6 unid. cundo301. x+y+4=O. 302. x+y-5=O. x-y+1=O. 3x-2y=0. 803.S o 111 ció n. Escribimos la ocuací én «ljogmlJ1)Lllria» de la rectabuscado
(1)
El problema consiste en hal lar los valores de ]QS purúmetros a y b.El punto e (1; 1) está situado en la recta buscada y. POI'consíguten-te , sus coordonadas satistacen n la .)cHUI:.iÓn (1). Sustituyendo en luecuación (f) tus coordenadas variables por las coordenadas del puntoe y reduciendo u UIl común denominado!' tendremos:
n+b=ab. (2)
Seña lemos ahora quo 01 área R de l triángulo que Intercepta larecta en 01 úngu)o coordenado so determina por la fórmula
±S= a: ; -1-8 cuando los segmentos a y b son de un mismo signo,y -5 cuando estos segmentos son de signo contrario. Según las
eondícíonus del problema tenemos:ah=:t: lo.
I\osolvicndo el sistema de ecuaciones (2)y (3):
(3)a+b=~, }ab=l¡;
a+b= -f.. } 12ab=-l.; oblenemos:at=2. bJ=2; a2",,-2+212. bz== -2-21/2'; 43= -2-2 'V2, b3-- -2+2 V2". As!puos,ti lascondioiones del prohlemn satisfacen Iros rectas. Sust ituysndo 011 laecuación (1) los valores obtentdos do 105 parámetros a y b tenemos:~ + ~=1. ::t. + 11 1, x +2 2 -2+2 \12 -2-2 V2 -2-2 V2+ -2;2112 '1. Después de simplificar ost.as ecuaciones obtene-
mos: %+11-2=0. (1+ V2) x+(I- 1/2) 1/-2=0. (1- V2) x++ (1 +V2)I/-2=0.3M. A los condicionas del problema sattsfucen lastr os rectas siguientes: (1/2+i) %+(V2' -1) '1-10=0. (Vi' -1) "'++(112-1-1) 1/+10=0.20-1/-10=0.805. 3:r-2y-12=0. 3%-8y++2Ii=0. 306. :1:+3/1-30=0. 3:1:+"'1-00=0, 3:&-y-:30=0. %--12y+60=0. 307. A las condiciones del problema sat.isfuecn dosrectas, qua se cortan con los ejes coordenados rospect lvamente en
los puntos (2; O), (O; -3) y (-4; O). (o; i) .808. S>2%IYI' 809.Las ecuaciones de las rectas 1), 4). 6) y 8) ban sido dadas en la
4 3 4 3formula normal. 310.1) 5"2O-5"y-2=0. 2) -S:l:+SV-10=O,
12 5 "2 1.3) -1]:&+1311-1=0,4,) -1:-2=0,;¡) 115' x- 115 y-1 - O.
311. 1) a=-O. p=2: 2) a=n. p=2; 3) a=i, p=3; ~) a= -i .n n,/.O 2p=3: 5) 0:=6' p=3; O) (1.=-'4' p= v2; 7) a=-:rn.p~1;
8) a= -~. p=q; !l) a"",~-n. p~q. 812.1) <'1= -3. a=3; 2) 11='1.d=1; 3) 6=-4, d=4; 1,)6=0, d=O. el punto Q ostá situado enIn recta. 813. t) A un Indo; 2) a diversos lados; 3) a un lado; 4.) aUD lado; 5) a diversos lados. 314. 5 unid. cuad, 315. G unid. cund.318. Es convexo. 319. No es convexo. 320. 4. 321. 3. 322.1) d=2.5;2) d=3; 3) a=0.5; ~) d=3.5. 323. 49 unid. cuad. 825. En la razón2 : 3, a part.ír do la segunda recta, 32ti. S o 1 u-e i ó n. El problemado trazar por 1)1 punto. P rectas a la distancia 5 de punto Q esequivalente al problema de trazar por el punto P tangentes a laoircuníerenci a de radio 5 con el centro en Q. Calculemos la distan-cia QP; QP=1I(2-1)~+(7-2}~='V2f.. Se vo que la distancinQPes mayor que el radío do la clrcunícrcnola; por lo tanto, desde elpunto P se pueden trazar dos tangentes a esto. clrcuntcrencln.Hallemos estas ocuacíones. La ecuación de cualquier recta que pasapor el punto P es do la forma
y-7=k(x-2) (-1)o k.r;-v+7-2k=0, en donde k es por ahora un coef lctentc angularindeterminado. Beduzeamos esta ecuación a In forma normal. Con
260
esto Iln, hallamos el (lictor normalizador
± i1'= v'F+1
Mul ti pl icando lu ccuaclén (1) por f~, obtenernos In ecuación nonnnlbuscada;
kx-U+7-2k =0.:±: y¡r.:¡::I
(2)
Suatltuycndo IIIS coordenadas % e y por las del punto Q (m el primermiembro de la ocuactén (2). tenemos: 11:-2;+ 7 -2k I=5. üesolvtcn-
1 kt+1do 051n ecuación hallamos dos valores de k: ".= -Iz' k2=0.Sustituyendo en la ecuacíén (1) el coef íclcnte angular por los valoreshallados, obtenemos lns ecuacionos buscadas: g-7 = - ¡;(x-2)6 1,).1'+-121/-94=0 e y-7=0. El problema (¡umla resuelto.327. 7x+24y-134 =0. x-l!=0. 328. 3x+4y-13=O. 330. 8x-1511+9=0.S31. 3z-4y-25=0. 3x-4y+5=0. 332. A las condiciones delproblema satisfacen dos cuadrados situados slmétrtcementc ccnr091lCCLc. al lado Afl. Las ecuaeiones do los lados dt' uno de ellosson: 4%+3y-8=0. (¡x+3y+17=0,3x-4g-f,=0, 3%-4y+19=0.Las eouacíones de los lados del otro son; 4x+3U-8=0. 4:1:+3y--33=0, 3x-4g-6",,0, 3%-4g+19=0. 333. A las condíctonosdel problema satisfacen dos cuadrados; los otros lados de UIIO doellos ustán situados en las rectas: 3%+/1y-11=0, 4x-3g-23=0,3%+4y-27=0; los otros lados del segundo oslán eu las rectas:3z+4y-H =0. 4x-3¡¡-23=O, 3x+411+5=0. 334. 3x+4y+6=0.3%+411-14=0 ó 3x+4y+6=0. 3%+4y+2G=0. 335. 12x-5y++61=0. 12x-Sy+22=0 Ó 12%-5(/+01=0, 12x-5y+iOO=0.336. M (2,3). 337. 4z+y+5=0, y-3=D. 338.1) 3%-y+2=0;2) :z:-2y+5=0; 3) 20%-8g-9=0. 339. t) 1\%-4y+3=0. 2%++2V-7=0; 2) 4%+1=0, 8y+i3=0; 3) [tl\%-8y-3=0, 64%++11211-23=0. 3~0.%-3y-5=0. 3:Z:+lI-5~0. N o la. Las rectasbuscadas pasan por el punto P y son perpendiculares a las bisectri-ces do los ángulos formados por las dos rectas <ladas. 3~1. 1) Enun ángulo; 2) 011IÍng\.lo!! adyacentes: al en ángulos opUOS~08. 342.1) En ángulos opuestos; 2) en ángulos adyacentes: 3) en un ángulo.MS. Dentro del tr iéngulo. 344. Fuera del I,riángul<l. 345. El ángulongudo. 346. El ángulo obtuso. 347. 8%+4g-5=0. 348. z+3y-2=O.849. :-)x-19=0. 350. 10%-10y-3=0. 351. 7:z:+5i)y-40=0.552. z+ 1I+.'i=0.353.' S (2; -'1).3501.1) 3%+2¡¡-7=0, 2) 2:z:-y=0¡3) y-2=0: 4) z-1 =0; 5) 4x-t 3!/-10=0: (J) 3z-2y+1 =0.355. 74%+13l1+3U=0. 35(). :z:-y-7=0. 357. 7z+19/(-2=0.858. x-Y+'I =0. aS!).4.%:-5y-I-22=0. 4:z:+u-H!=O. 2z-y+1 =0.360. x-511+13=0. 5x+y+t3;=0. 361. 5x-U-5=O(flC),z-y++3=0 (AC).3z-y-l=0 (CN).362. .%-5v-7=0, 5%+y+17=0.10z+7ri-13=0. 363. 2%+g+8=0, %+2y+l =0. 366. C=-2().367. a '* -2. 368. Las ecuaciones do los Indos del cuadrado: 4::++3(1-14=0, 3%-4V+27=0. 3x-4!1+2=0. 4z+3g+11=0; la
261
ccuacíén de su segunda diagona l: 7x-1I+·13-0. 369. x+y+5=(l.370. z+U+2=0. x-y-4=O, 3x+!I=0. 371. 2z+U-6=O, 9z++2y+18=0. 372. 3x-y+J =0. 374. Sz-4y+20=O, 4x+3y-15=-O. 375. x+5!1-13~0, 5x-I/+-13=0. 376. A las condiciones delpr eblcmn satlsíacen dos rectas: 7z+y-9=0, 2.1:+y.¡-i=O. 377.5x-2y-7=0. 378. AC: f-Ja:+8y-7=O, DD: 8:1:-3y+7=0. 3711.4x+V+5=O, x-2y-·J =0, 2:z:+5y-11 =0. 3111.1)p sen (jl-O) = p,
(l son (lj--O) =3; 2) PCO!! (0-0:) = 4 cos a, PCOS (o+-} it ) = -1;3) P son (~-O) = a sen p, p son ( ~ -El) = 3. 38.2. P son (p-O) "'P
=p, sen (p-O,). 383. p cos (O-a)=p\(OS (O,-a). 384. ps.en (~-~'»=P2:;Cll( 2- I
=V()~"I-pr-2pp,cos(O-é!) .385. 1) x~+!I~=t): 2) (z_2)2+Vp~+pi-2()2PI cos (El2-01)
+(11+3)2=49: 3) (x-v)2+(U+8)2=iOO: ") (;¡:+'1)Z+(y-2)~=2~:5) (X_1)2+(y_,,)2~8: G) ;¡:Z+y2=dH; 7) (z-1)Z+(y+1)z=4;8) (x-2)'L\-(y-4)2=IO: 9) (x-1)2+yZ=I; 10) (x-2)~+(y-1)z=25.386. (%-3)2+(y+1):_38. 387. {x-4)2+(y+1)2=5~y (x-2)~++(y-3)2=5. 388. (x+2)2;t<y+J)2=20. seo. (x-5)-+(v+2)z=
=20 y (:r-i)2+(Y-~r=20. 300. (x-1)z+(g+2)2=16.3\11. (x+G)Z-I· (y-3)1I=50 y (x-29)z+(y+2)2_IlOO. 392. (x_2)2+
(22)2 3.1)2 2W)
+(y-1)2=5 y x-y, + (y+'5 =-i-' ¡¡!lit (X-2)9+
81 35+(y-1)Z~ ra: (:r+8)2 +(y+7)2=f3' gOf¡. (X-2)2+(y_j)~=r:2&
( 202)2 (_3411)2=(185)2z + 49 + y 4!J 49'
( 25)~ (30)2 ( 5)2+ Y+7 =1 Y 70-7 + Y-T = 1. 396. (x-5)2;-
(x-~r + (y_~)2 = (~)2( 35)2 ( 40)2 (32)2y r-i + 11+7 = 3' . 397. LIl~ ocUUCiOUl'¡¡ 1), 2),
4), 5), 8) y 'LO) dotormluan círcuntercncius: 1) e (5: -2), R=5;2) () (-2: O), R =8: 3) la ecuación determina un punto úmco (5: -2);1,) e (O: 5), R= 115; 5) e (1; -2), R=5; 6) la ecuación no deter-mina en el plano ninguno üguru geométr ícu; 7) la ecuación determina
un punto único (-2; i); 8) e ( -}; o) . R= ~ ; 9) In _ecuaci6n
no determina en el plano ninguna figura geomótricn; 10) C( O; - ~) ;
R = !.3!l8. 1) Una semicircunferencia do radio R =3 con el centro
on el origen de coordenadas, situada en el semipluno superior (flg. 83);
y 395.
262
2) una scmtctrcuuterencía de radio JI =5 con el centro en el origendo coordenadas, situada en el sem íplano inferior (Ijg. 84); 3) una semi-oi rcunícrencia do radio R =2 con el centro en el origon do coorde-nadas, situada on el somíplano izquierdo (tig. 85)¡ 4) una somioircun-lereucla do radio JI =4 con el centro en el origen de coordonadaa,situada en 01 semiplano dorocho (fig. 86); 5) una semíclrcnníuruncíade radio JI=8 con el centro e (O; 15), situada sobro la recta y-15 =0(lig. 87); 6) una semicircunferencia do radio 1l=8 con el contru ene (O; 15), situada bajo la recta y-15=O (fig. 88)¡ 7) liria sem ícir-ountorcnctu de radio R=3 con el centro C(-2;0). situada a la izquier-da de la recta x+2=0 (Hg. 80);8) una semicircunferencia do radíoR =3 con el centro C (-2: O), sftuada a la derecha de la recta.~+2=0 (Iig. 90): 9) una semicí rcunlerencia do rnd io R=5 C01\ el centro0(-2' -3). situada linjo la recta y+3=0 (lig.91); 10) una somí-circuntex(lncia de radio R=7 COII el centro C(-5; -3), situada11 la derecha de la recta x+5=0 (fig. 92).3\19.1) Fuern do la ci r-cunleroncia; 2) en la oircunfcrencín: 3) dentro de la circunferencia;4) en la clrcuníerencia: 5) den Lro de la círcuuterencta. 400. 1) z+ 5y--3=0; 2) "'-1-2=0; :3) 3x-y-9=0; lr) U+1=O. 401. 2x-5v++H)=O. 402. a) 7; b) 17; e) 2. 41l3. Mt(-1; 5) y M2(-2; -2).404. l) Se corta con la círcunícrencia; 2) 011 tangente u lo. circun-
ferencia; 3) pasa por Iuoru do la circunferencia. I¡05. 1) 1 k 1 <i;3 3 ~2) k=±i"; 3) Ikl>4' 406. 1+k2=R2. li07. 2."+y-3=0.
/j08. Hx-7y-G9=O. (¡09.2 y5. 1010. 2;¡;-311+8=0. 3x+2¡¡-14=0.412. x2+y2+6x-9y-17=0. 413. 13xZ+13y2+3x+71v=0. 414.7",-4y=0. 415. 2.1i16. 10.417. (x+3)a+<y-3)2=10./d8. x-2U+
+5=0.410. 3x-4y+43=O. 420. M1 (-f; ~);d=2V5". (¡21-
x¡X+IM=R2. 422. (;c¡-a)(x-a)+(YJ-~)(U-Il}=R2. 423.45°.424. 90°. 425. (ctl-a2)2+ (fll-~V2=R~+R~. 4Z1. x-2y-5=0y 2x-1/-5=0. 428. 2x+y-8=O y x-2y+11=0. 429. 2':+11--5=0, x-2y=0. 430. 90°. 431. x+2y+5=0. 432. d=7,5. 433.d=6. 434. d= Vw. 435. 3. 436. 2x+y-t=0 y 2x+V+10-0·437. 2x+y-ii=O~' 2x+V+5=0. 438. p=2Rcos(O-Oo) {(ig. o:~)·439. t) p=2RcosO (Hg. (4); 2) p=-2RcosO (Iig. 95); 3) p=2RsenO (fig. (6); 4) p=-2Rs&nO (fig. 97). 4/jO. 1) (2; O)~' R=2;
2) (-}; i) y R =-}; ;-1) (1; n) y Ji =1; 4) ( ~: -i) y R =i i
5) (3; i) y JI=3; 6) (4; -in) y R=4; 7) (4; -íf) y R=4'
441. i) xa+y'-3.:r:=0; 2) X2+y2+4y=0; 3) ;¡;:l+v2-x+U=0.442.1) p=cos9; 2) p=-3cosO; 3) (l=5sonO; 4) p=senO:
x~ ya1) 25+4' = 1;
",2 yZ _ •100+64-1,
5) p=cos9+sen9. 443. p=Rsec(9-90). 444.
x2 y~ . .:r:' y2 x2 y~ •2} 25+"9=1,3) 169+144.=1; 4) 25+16=1, 5)
263
vy
.r
I
Fig.83. ~'ig.IYI
Yy
c::.11
""..IiFig.89.
e
y
----------~O~---------I
~'jg.HL
y
Fig.90.
y
Fig.92.
2G!>
Fig.94.
Pig. !lG.
Fig. 93.
FIg.95.
Fig.97.
!I
.4
Pig. 98.
y
l1ig. 100.
y
YIg. eo.
y
Pig. 101.
:r~ y2 . ;r~ t') •. x:J V2 . %2 .yZ6) 16!)+25 = 1.7) 5+11-=1. 8) 16 +"jT=1. 9) 13+9=16
:eZ y2 3;2. y'! ;r2 y! .:z~ v21l7/~ +-¡¡-=1; tO) 66+ 1¡8 ~ l. 445. 1) 4+"49=1; 2) 9+,25= 1;
Ill~ 112 %2 tI'J. %2 y? X2 II'J.3) 2+169=1; 4) 64'+100=1; 5) 16+W=I: 6) 7+16=1-
Y- y:- 5 5 1446. 1) I¡ Y 3; 2) 2 y 1: 3) 5 y 1; 4) 15 y .~; 5) '2 y '3; 6) '31 1 1 1 1
Y '5; 7) '1 Y "2; 8) 1 Y 4: 9) 5' y '3; 10) a y t. 447. 1) 5 y 3;4 252) PI (-4; O); 1'2,(4; O); 3) e="5; 4) r=± -;r' 1¡1¡8. 16 unid. cuad ,
2 O"4!l. 1) V5 y 3; 2) FdO: -2), F2(0; 2); 3) e.='3; 4) Y=±;r'
4115' b'J.450. '45 unid. cuad. 451. --;:. 452. Véase )a ligo 98.
267
453. (-3; -f). (--:3; i) .454. Los puntos Al y As estén ou laelipse; Az. A, Y As estlÍn dentro do la olipso: .13, A5, A7\¿ .10 ~ Alo
están fuera do la elipse. 455. 1) La mitad de la ellpso rs+Jtr-=1si~"ada 2en 01 semiplano superior (Iig. 99); 2) la mitad do la olípsoT+ :5 = 1, situada en el semi plano inferior (fig 100); 3) la mitad
s ade la elipse T + +. = 1. situada en el semiplano izquierdo
(üg. 101); 4) lo ~ita(l de la cltpse x2+ ~~ =1. situada on 01 somí-plano derecho (Hg. 102). 456. 15. 457.8. 458. 5x+12y-l-tO=O.x-2=0. 459. rl=2,6, rz = 7.4. li60. 20. 461. 10.
Y 462. (- 5; 1:1 VH) y (-5; -3Va).
463. (-2, ~2I) y (-2; _ \21). 46/j.3y7.
xZ y2 x2 y'J.465. 1) 3'6+T=1; 2} 16 + 16=1;
",1'. 1/2 . %2 y'l. xII y23) 20+15=1; 4) 20 +T=1; 5)'9+'5=1;
xII yll . ,%2 yll V~6) 256+102=1,7) 15+6=1. 466. 1)"2 ;
vs V'3 1 1/2-~I-+--x 2) T; 3) T; 4) '2' 467. 8=2 .O
468. (x-::O)2
(y+4)2-1-6- =1.
(Y-Yo)\'. 1 469. (X-3)2 "+--ba-= . -9-'10170. (30+3)2 + (y-2)2
-9- -4-=
= 1. 47t. 1) C" (3; -1); los semiejes son:- 23 y JI 5.8 =3'; las ecuaciones de las díroc-
trices son: 2x-15=O,2x+3=0; 2}e (-1;2);
2), los semiejes son: 5 y 4.. e= 4- ; las ecua-;)
Fig. 102. clones de las directrices son: 3x - 22 = O;3x + 28 = O; 3) e (1; - 2); los semiejes
son: 2 Vii y 4, e=i- ¡las ccuaclones de las dírectr icos son:(x-3)2u,:-6=O, u+10=O. 472. 1) La mitad de la elipse -2-5-+
+ (y:7)i =1 sltunda sobre la teCta y+1=0 (Hg. i03); 2) la mitad(.1:+3)2 (y_i}2
de la eliPse--9-+-1-e-=i situ~~a .._.b_a)~,~ recta, y-j.,=O
(Hg. 10!,); 3) la mitad de la elipse s- (Yt3)2 =1 situada en el
somíplano izquierdo (Hg. 105); 4) la mitad de la elipse (z+ 5)2 +4
+ (y-;1)2 =1 situada a la derecha de la recta x+5=0 (fig. 106).<0:_2)2 y2
473. 1) ~+25=1; 2) 2;¡:Z-2xy+2y2-3=0; 3) 68;¡:2 + 480:11+
+82y~-625=0; 4) H",z+2xy+Hy2-48x-48y-24=0. 474. 50:2++9y~+4x-'J8y-55=0. 475. 4x2+8y2+32.x-14y+59=0. 47S.4x2+5y2+14x+40y+81=0. 477. 7x2-2.1:y+7y2-46.1:+2y+71=0.478. 17;¡;2+8xY+23y2+30x-40y-175 =0.'471) . .x2+2y2-6x+24y+
+31=0./.80. (4;%-), (8;2). 481. (3;{--) , la recta es tangente
a la elipse. 482. La recta pasa por fuera de la elipse. 483. 1) Larecta se corta con In elipse; 2) pasa por fuera de la elipse; 3) es tan-gonto a la olípso, l¡84. 1) Se corta con la elipse, si 1m 1<5; 2) estangente a la eltpsc, si m=±5; 3) posa por- 'Cuera do la elipse,si Iml>5. 485. k2a2+b2=m2. 486. :':+W=1. 488. ax+2y--10=0 y 3:z:+2y+1D=0. 489. x+y-5=O y x+y+5=0.
24 Vs490. 2x-y-12=O, 2x-y+12=0; d=--S-' !¡()l. M1(-a; 2);
cl= y:rn. (092. x+ y-5=0 y x+4y-tD=0. 493. 4:t-5y-10=0.xl! y2 :¡;2 4!1~ x2 g3
494. iL=18. 495. 20+5=1 Ó 80+-5-=1. 4!J6.40+10= j.2 11.
499. ~7 +t-=1. N o t a. Aplicar la propiedad de la elipse enunciadax2 y2
en el problema 498. 500. 25+4 =1. N o t a. Aplicar la propiedaddo In eltpso enunciada en el problema 498. 502. 2x+ Hy -10 = O.N o t a. Aplicar la propiedad do la el ipse enunciada en el problema501. 50S. (3; 2) y (8; -2). SO<í.R .;;n Vz 505. 10,5 Vi 506.
m2+n2
c¡>=60°. 507. 16,8. 508. 60°. 509. En una elipse, cuya ecuación os:z:2 y2 _ ",2 yi 42'5+16=1. I>tO. x2+y2=9. 5U. 36+16=1. 512.q="3' 513. q=
2, _ 4 <}. _ x2 y~ xl! y2=3" 1>14.QI='3' Q2=5'. ata. 1) 25 - 16=1; 2) 9" --:¡¡¡= 1;
x2 y2 • xli. y2 ,. ",2 y2 . x2 y2 .8) '4 - T=1. 4) 64 - '36= 1, 5) 36 - 64'=1, 6) 144- 25 = 1,~ x2 y2 x2 y2 ",2 y2 x2 yll1) TIi--¡¡=I; 8) 'T, - 5=1; 9)64 - 36= 1. 516.1) ;:¡¡¡-;¡24=
26!l
o
Pig. '103.
Flg. 105.
y
y
Fig. 104.
?/
y-f=O
IO
"""u,..I-¡
Fíg. lOS.
'1J
Fíg.108.
/¡) a=i, b=1;
1b=S' 518, 1) a=3, b=4; 2}4 !l
4) y=±-¡¡x; 5) x=±5" 519. 1) 11=3, b='¡; 2) FdD; -5),,'j 4 16
F2{D; r,); 3) e=7;; l.) y=± 3x; 5) Y=±S' 520. 12 unid. cundox2 y2
521. 1) La parte de la hipérbola 9--¡;-=1 situada en 01 semiplano
supor ior (flg. 107); 2) la rama dl1la hipérbola ~2_ YUZ=-1 situada en
1/
Fig. iOD, Fig.l10.
el somíplano inferior (Hg. 108); 3) la rama do la hipérbola ~-f=lsituada en el semlplano izquierdo (lig. 109); 4) la rama do In
hipérbola ~~ - ~z = -1 situada en el semi plano supor ior (lig. 110).
- V- 1-1;,22. ",+4 51/+10=0 y x-IO=-O. 523. r¡ =2 t;, rz= 104" 5210. 8.
525. 12. 526. 10. 527. 27. !i28. (10; t) y (10; -i-). [¡29.
(-c,; 4. Vii) y (-6; -41/3). 530. 2 -ril y 26 b, 531. véaso lax~ V2 x2 y2 x2
ligo 111. 532. 1) 32-8=1; 2) x2-y~=16; 3) T-S=1 Ó Gí'/-y2 • • X2 1/2. X2 y2 _. 9 r
-aoo/¡a=J, 4) 18-'8=1, 5) 16-9='1. ¡¡33. e=V2.V- :1:2 y2 ",2 y2 (x-"0)2
;'34. E= a. a35. 4-12=1. 536. 65- 40 =1. 540. 1) --a2--
27t
_(II-Vo)~ =1' 2) (%-:1'0)9_(11-1/0)3=_1 54t.1) e (2' -3),4=3,b~ , a~ b'l. . ,
b=4, 8=5/3; las ecuaciones de las directrices: 5x-1. =0,5:&-1.9=0;las ecuacíonos de las asíntotas: 4x-3y-1.7=O, 4.:>:+311+1.=0;2) e (-5; 1), a=8, b-=6, 8=1,25; las ecuaciones de las directrices:x=-11,4 y %=1,'\1; las ecuaciones de las asíntotas: 3,,;+411+11=0y 3%-'\Iy+19=0; 3l e (2: -1), a=3, b=4, 8=1.,25; las ecuacionesdo las dírectrtcos: y= -4,2,11=2,2; las ecuaciones de las asíntotas:4x+31/-5=O, 4x-3y-11 =0. 542. 1) La parte de la hipérbola
y
eó
Fig.111..
(x-2)9 _ (11+1.)2=1 situada sobre la recta 11+1=0 (f ig. 112);1) " (x-3)2 (y_7)2 .
2) la rama do la hipérbola --4----9-= -'1 situada bajo la(X-9)2
recta 1/-7=0 (fig. 1.13); 3} la rama do la hipérbola 16-
- (Y:2)~ =1 situada a la izquierda de la recta z-9=O (fig. :1'14);(x-5}2 (y+2)~
4) la parte de la hipérbola --9----16-= -1 situada a la~ (y_2}3
i~quierda de la recta x-5=0 (Hg. '115).543. 1) 144 -~= 1;x2 y1
2) 24zy+7yt-i44=0; 3) 2xy+2.I:-211+7=0. M4. 16-9= 1.",2 y2
5~5. 25-144 =-1. 546. z~-4y2_6x-24y-47=0. 51\7. 7z2-
-6",y-y~+26x-i8y-17=0. 548. !Jb2-100xy+iG1I2-136.x++86y-47 =0. 519. "'y= ~2 , si los ejes antiguos giran un ángulo
de _45°; xy= - a22
, si giran un ángulo de +45°. 550. 1) e (O;O),a=b=6; las ecuaciones de las asíntotas: x=o e y=O; 2} e (O;O),a=b=3: las ecuaciones de las asíntotas: x=O e 11=0; 3) e (O;O),
272
a=h=5¡ las ecuaciones de las asíntotas: .z:=0 e V=O. 551. (6; 2)
( 14 2) ( 25 )'Y Tic-a . 55Z. T; 3 • la recta es tangente a la hipér-bola. 553. La recta pasa por fuera de la hipérbola. 554. 1) Es tangente ala hipérbola; 2) se corta con la hipérbola en dos puntos; 3) pasapor Juera de la hipérbola. 555. 1) So corta con la hipérbola, si117(1)4.5; 2) es tangonlfl a la hipérbola. si m=±4,5; 3) pasa porluera de Ia hipérbola, si Iml< 4,5.556. k2a2_b2=m'. 551. :',"-
!/,y 1-¡;¡r= 1. 55!). 3z-'fy-10=O, 3z-4y+1O=0. 660. 10%-3V-
-32=0, iO.z:-3v+32=0. 561. z+2v-4=0; z+2v+4=-0;8115' 11 -
d=-r' 562. Mt(-6; 3); d=131143. 563. 5z-3y-16 ... 0,17 - %.
13z+5v+48~0. 564. 2:r:+5y-i6=0. 565. d =101IiO. 566. 5-y2 3%~ 4y' x' yl
- 4;i =1, w-45'= L 567. Ttf-T=i. 568. "=-4, %=4,%2 v2 :z;S yl
y==-t o V=1. 512. 5-T=1. 573.16-9=1. 575. 2,,++H!I+6-=O. N o t a. Aplicar la propiedad de la hipérbola enun-
x' V'ciado en el problema 574. 517. ,,·-,,'=16. 578. Ttf-T=t.X2 V2 2 5
579. '25--¡-=1.580. q=3" 581. q=2. 582. q,=2¡ qZ=T'1583.1) y2=6z; 2) y~=-z; 3) :t2=2' y; 4)x2=-6y.584.1)p=S;
en el semí plano derecho, simétr ícamente el eje Oz; 2) p=2,5; enel semiplano superlor, simét.ricamente aloJe 011; S) p= 2; en elsemiplano Izquierdo, simétricamente al ejo 0%; 4} p=t; en elsemi plano inferior, simétricamente al eje OVo f,85. 1} V·-4,,;2) y2= -9z; S) :0:'= v; 4) z~= -2y. 586. 40 cm. 581. :¡;II= -t2V.588. 1) La parte de la parábola yll= 4:r: situada en el primer ángulocoordenado (fig. 116); 2) la parte de la parábola ,,2= -% situadeen el segundo ángulo coordenado (Hg. 1.17); 3) la parte de la pará-bola V2~ -18% situada en el tercer ángulo coordenado (fig. 118);4) la parte de la perábcle !l2=4% situada en GI cuartc ángulocoordenado (f ig. 119);5) la parta de la parábola "2",, 5V situada enel primer ángulo coordenado (lig. 120); 6) la parte de la parábola%2= -25y situada on el tercer lingulo coordenado (Hg. 121);7) la parte de la parábola 2:2= 3V situada en el segundo ángulocoordenado (Iig. 122); 8) la parte de la parábola ,,2= -i6y situadaen 01 cuarto lingulo coordenado (Hg. 123). 589. F(6; O), :0:+6=0.590. 12. 591. 6. 592. (9; 12); (9; -12). 593. y2= -28%. 594. 1) (v--Ml\= 2p (z-Gt); 2) (y-~)2=-2p(:t-Gt). 595. 1) (:¡;-Gt)'==2p(V-~); 2) (x-Gt)3=-2p(y-~). 596.1) A (2; O), p=2,
z-1=0; 2) A (i; O) • p=3, 6,,-13=0: 3) A (O; -}) • p=-3.
1/, U-S52 273
Pig. H2.
Fig. ua.
Fig. H4.
------~--~~~----xy+2=O
Fig. US.
Pig. US.
Fig. 118.
y
Flg. 117.
y
o :r
Q--~-------------r
Fig. 119.
Fig. 120. Fig. 12'1.
Fig.122 FIg. i23.
Y
y-3=O
.r yO O
x<:)n......~
Fig. 124. Fig. 125.
~
yy
Fig. 126.
16y+11=0; 4) A(O; 2), p=-:¡, 4y-9=O. 59?. 1) A(-2; J), p=~;'
1 12) .11(1; 3), p=s-; 3) .11(6; -1) p=3. 508.1) ..4(-4; 3l, P=-T;
2) A (1; 2), p=2; 3) .ti (O; 1), P=T' 599. 1) Lu parle de la pará-hola (!I_~)2= 16 (x-l) sttuada bajo la rocta y-a =0 (fig. 124); 2) In.parto do la parñbala (z+4)2=0(y+5) situada a la derecha do la roelax+4~0 (Hg. 12ó); 3) la parte de la parábola (z_2)2=-2 (y-3) sítuadaa la í1.quierda de la recta :1:-2=0 (fig. 126); 4) la parte de laparábola (11+5)2= -3 (x+ 7) situada bajo la recta y +5=0 (fig. 127).600. z= ~ y2-y+7. 001. y= ~ :1;2_%+3. 002. x~+2xlJ+Y'--6x+2y+9=O. 603. P (O; -81. 604. "%~-"%!I+y$+32%+34v+
yo X
Fig. 127:+89=0. 605. (2; 1), (-6; OJ. 606. (-Jl; 6), In recta es tangentea la paráboln. 607. La recta y la p'arábola no se cortan, 608, t) Estangente a la parábola; 2) corta a la parábola en dos puntos;al pasa por fuera de la parábola. 609. 1) Ji <-}; 2) k = 1/2;31 k> 1/2. 610. p= 2bk. 612. YIII= P (%+%1)' 6t3. x+y+2=O,614. 2%-y-16=0. 615. d=o2 1113. 616. MI (9; -24); d=10.617. 3%-y+3=0 y 3%-2y+12=0. 6t9. 5x-18!1+25=0. 620. d ..
5= 1313, 621. (6; 12) Y. (6; -12). 622. (10; VSO), ('lO; - 1/30)(
,_ _. (a+ 1113 7+ ym)(2; Y6), (2; - Y6). 623. (2; 1), (-f; 4), 2; 2
(3- Vi3 7-1/'1] ) .
y 2 ; 2 .625. y-18=O. Nota_ Aplicar In pro-piedad de la parábola onunciada en el problema 624. 628. 1) p==- 16 . 2) = t6 629) 9. 2) =
~-3 cosO' p 5+3cosEl - .1 P 10-:; cos El , p= _ 9 630 t) P 141\ • 2) (1= 144
4-5wse . 5+13cos9' 5+13cos9'
l/Z 18-352 277.
3631. p 1. -cos 9 . 632. 1) Una el ípse: 2) una parábola; 3) unarama de una hipérbola; 4) una ol ipse; 5) una rama de. una hipér-
bola: 6) una parábola. 633. 13, ra, 631. 8,6. 635. (1= - _221 o: ,cos u29 6 6 d d" 3/,p='"'2CoS'O' 3. Las ecuaciones e las irectrtces; P=-ScosO'
16. :/.0p = - 5 cos O; las ecuacrones de las asíntotas: p = 3 sen 0-4 cos O '
20 ( n) ( Jt ) (J!)p= 3sen9+4cosO' 637, 6; T ' 6; -" . 638. 3; -r1t ,
(3;-~n).639.t) (~;n);J!) (p; ~), (p;-~).640.pZ=/)2 64i Z _ /)2 6~2 _ 2p cos a
- 1-ellcos20 . . P - e2cos~e-1 l. 11::- -scn29 'M3, 8:z:+25y=0, 6-14.9:z:-32y-73 =0, 645. x-y=O, a;·,·lty=O.646. a:+2y=O, 8x-9y=O. 647. x+2y=O, 2x-3y=0. 654. 2x--5y=O. 055. 7x+V-20=O. 656. x-8y=O, 2x-y=O. 657. x--2y=O, 3x-¡¡=0; x+2y=O, 3x+y=0. 661. y+2=O. 662.2x--y+1=O, 665. Las l inoas 1), 2), 5) y 8) tienen un centro único;3), 7) no tienen centro; (¡), 6) tienen infiuidad de centros.666. 1) (3; -2); 2) (O; -5); 3) (O;O): 4) (-1; 3), 667. 1) x-3y--6=0: 2) 2x'+y-2=O; 3) 5x-y+4=O, 668, 1) 9x2-18a:y++6y2+2=0: 2) 6x2+4xlI+yZ-7=O; 3) 4x2+6xy+y2-5=O;4} 4xZ+2xy+6yz+1=O. 66!).a) m+4, n es arbitrario; b) In=4,n;;66; el m='Í, n=G, 670. (1) k=2; b) kt=-1, k~=5; e) paratodos los valores de k + 2 que sat isfnceu a las desig\laldud()s-1<"<5; d) para "<-1 y pura k>5. 671. z2-8y·J-4=0,672, x2+xy+v2+3y=0. 673.1) Ecuación el ípt íca; determina una
.x'Z y 1'1.elípsc -9-+---¡-= 1; O' (5; -2) os el nuevo origen; 2) ecuación
'2 'Zluperból íca; doterrniua una hipérbola ~G - Y9 =1: O' (3; -2) os
'2 'Zel nuevo or-igen: 3) ccuacíóa elíptica T+7=-1; no deter-mina ninguna figura geométrica (es la ecuaclón de una «el ipseimaginaria»); 4) ecuación hiperbólica; determina una hipérboladogonerada, un par de rectas concurrentes 4x'~_y'2=0; el nuevoorigen es O' (-1; -1); 5) ecuación ellptica; determina una elipsedegenerada (un punto) 2x'2+3y'2=0, 674.). 1.) Ecuación h íperbó-
. X'2'2Ilca; determina una hipérbola -g--lS;-=1; Lga= -2, cosa=
1. 2= .,/_' sona=- .,/_ ; 2) ecuación elíptica; detcrmíua unav5 v5
. x'~ y'2el ípse Ts+-4-=:,1; a='Í5°¡ 3) ecuación elíptica; determina una
*) En los problemas 674 1) -5) a es el ángu.l« medido desdela dirección positiva del eje antiguo de abscisas hasta el nuevo,
278
telipse degenerada, UD punto .%'~+4!1'3=O; tg Ct=2, COS<x= 115' 'sen ex= ":5; 4) ecuación hiperbólica; determina una hipérboladegenerada, UD par de rectas concurrentes .%/3_ V'2=O; tgex=
2 3 2oc '3' cos ex=Vi3 ' sen ex= 'ViS ; S) ecuación elíptica; no detcr-
Fig.128.
mina ninguna figura ~cométrica (es la ecuación de una «olipselmaginar ías}: su ecuaclén en coordenadas nueves es do la forma,~.%4 +y'3= -1; ex=4So. 675. 1) hiperbólico; 2) elíptica; 3) para-bólica; 4) elíptica; 5) parabólica; 6) híporbéltca. 676. 1) Ecuaciónhiperbólica; determina una hipérbola, cuya ecuación so reduco a la
!J'2forma %'2_-4- == 1 después de (los transformaciones sucesivas de
- - -.; ,2:'-11' - %'+11'coordenndas .%=.%+2, y=y-1 y % = 11;¡--' 11= y:i'(fig. 128); 2) ecuación elípticn; determina una el ipsc, cuya ecuación
%/~ u'?se reduce a la forma ""16+-9- = 1 después do dos trunslormacio-
:'-1/'DOS suecaívas de coordenadas %=;'-1, v=v+1 y .% = 112y = Z:;';' (fig. 129): 3) ecuación hiperbólica; determina una
:x:: '2 y/~hipérbola, cuya ecuaci6n su reduce a la forma -9-- 3(i= idespués de dos trensfcrmaetones sucesivas de coordenadas % "'"
x'-2y' 2x'+y'J= Z +3, 11=~y-4 y -; = y - ----;,:::--V5 ' - V54) ecuación hiperbólica; determina una hipérbola degenerada: unpar de rectas concurrentes, cuyas ecuaciones so reducen a la formaz'~-4y'2=0 -después de dos transformaciones sucesivas do coorde-
~ - - :>;'+3y' _ -3x'+1I'nadas %=x-2, y=y y :>; = V ,11 = 11 (fig,131);.. 10 105) ecuación elíptica; no determina ninguna figura gcométr lea:«elipse imaginaria»; su ecuación se reduce a la forma x'a+2y'2="'"-:1 después de dos transformacíenes sucesivaa de coordenadas
(Hg, 130);
y'yx'11'
----+------ ~~+-----f_-----r----+-----~~~~---r-------x
Fig. 129,
_ _ ~ x'+3y' _ -3x'+y'x=x-i. s=» y '" = ViO • y = ViO ; 6) ecuación elfp-t íca: determina una elipse degenerada; un punto; su ecuación sereduce a la forma 2%'2+3y'2=0 después de dos transforrnactonos_ _ ,.._; x'_ ..y' .sucesivas de coordenadas: x=x, y=y-2 y x = V:2-' 11 =
X' +y' X2 y2= 112" .617.1) 30+5=1, olipse; 2) 9x2-16y2=5.h ípérhola; 3) x2_4y2=0, hipérbola degenerada: un parde rectas concurrentes, cuyas ecuaciones son x- 2y=O.x+2y=0; 4) 2x2+3g2= -1: «elipse imaginaria»; la ecua-cion no determina ninguna figura geométrica; 5) x2+2y2==0: elipse degenerada; la ecuación determina 1lU punto: 91 origen
%20 y2 xado coordenadas; 6) '"'9+T= 1, elipse; 7) T- y2=1. hipérbola;
8)~ +y2=1, e'l í pse. 678. 1) 3 y 1; 2) 3 y 2; 3) 1 Y f; 4) 3y2_
679. a) x=2, y=3; h) x=3, y=-3; e) x=1, y= -1; d) x= -2;1
y=1. 680. 1) 2 Y 1; 2) 5 y 1; 3} 4 y 2; 4) 1 y '2 _68(. a) x+y--1=0, 3x+y+1=0; b) x-4y-2=0, x-2y+2=0; e) x-y=O.
280
Fíg. 130.
Fig. 1a!.
a:-oy-O¡ d) .l:+y-3=0, .%+31/-3-0. 682. t) Elipse; 2) hipér-bola; 3) un par de rectas concurrentes (hipérbola degenorada);4) la ecuación no determina ninguna 'figura geométrica (.elipseimaginaria.): 5) un punto (elipse degenerada). 689. i) ecuaciónparabólica; determina una parábola, cuya ecuación so reduce a laforma v"2 =21:" después de dos tra.Dsformaciooes sucesivas de
281
-4x'+3 ' -3x'-4y'coordenadas: x= 5 y • y= y :&'=x"-3. y'==y" +2 (Hg. 132); 2) ecuación parabólica; determina una paráboladegenerada: un par do rectas paralelas, cuyas ecuaciones so reducen
Fig.132. Fig. 133.
a la forma x'~ ""1 después de dos transformaciones sucesivas de3x' ~ 2 ' 2x' - 3 ' 4.
coordenadas: x= VI3Y 'loe V1;iy Y z'=z·+ .. /7"';' y'=y"13' 13 v 13
(Hg. 133); 3) ecuacíén parabél ica; no determina ninguna [igurageom6trlca; se reduce a 111 forma y'~+1=O después de dos tr8118-
3x' - 4 I 4x' + 3 rformaciones sucesivas de coordenadas: 2:= 5 {/ , y 5 yY :z:'=z". {/'=y"-4. 690. 1) y2=6:z:, parábola; 2) y2=25, paráboladegenerada: un par de rectas paralelas cuyas ecuaciones son '1--5=0. U+5=0; 3)yl=O. parábola degenerada: un par de rectascoincidentes quo se confunden con el eje de abscisas. 693. 1.) (x+ 2y)2-i-+4x+y-15=O; 2) (3:z:-y)2_:z:+2y-14~ O; 3) (5:z:-2y)~+3:c-il++H=O; 4) (4:e+2/1}2-5z+7y=0; 5) (3x-7yP+3z-2y-24-0.
697. 1) 3; 2) 3; 3) V2; 4) ~ VIO. 699. a) 2x+y-5=0. 2x+y--1=0; b) 2z-311-1=0. 2:z:-3y+1t=0; e) 5x-y-3=O. 5%--y+5-=O; 700. a) x-3y+2=0; b) 3xí5y+7=O; e) 4:z:-2y--9=0. 70L (:z:"+y2)2_2c2(:z:2_yl!)=a -.:4. 702. (x2+y2)2== 2a2 (z~ -112); P'-= 2a2 cos 26. 703. p'= S sen 20; (:z:2+y2)'_ 2Szy.705. p=~e y p-=-~e. 706. (2r-z)y'=x3: 707. :I:(a2+V~)=43.ro (l)
a a O708. p= cos é ± b; z2y2+(z+a)2 (x2_bZ) =0.709. P ~ cos El± a tg .;:z:2(z+a)z+y21=a2y2. 710. p=24COSO±b; (x'+y2-2a:t)z=~b2(z:+y2). 7t1. p=418&0261; (:tZ+yll)3=4a2:t2y2. 712. %=
222
=4 cosa t. y= a senS t; x3+y3=a3. 713. p=a co.s3El,(%2+¡¡2)2=4Z3.714. :z:=a(cost-I-lsllnt). 1I=4(sont-tcost). 715. X-=4(t-sent);
282
y=a (1-cost); x-+ Vy(2a.-y) = a acccos ~. 716. z=a (2 cos t-a-cos2t), y=a(2sent-sen2t); p=2a(1-cos9). 717. z=(a+b)x
a+b . a+bX cos t-a C08-- t, y=(a+ b) son t-a SGn-- t. 718. $= (b-a)xa aX COS t+4 coe ~ t , y=(b-a) sont-4~en b-a t.
4 a
Segunda parte
720. 1) (4; 3; O), (-3; 2; O), el punto e estú situado en el pla-no O.x~ y: P?f ~o tan~o,. su pro~~cci.ón sob.rB esto flano. coincid~con el, (O, O, O), 2) (4, O, 5), (- 3, O, 1), (2, O, O), e punto D estasi tuado en 01 plano O;r:z y, por lo tanto, su proyoocíéu sobre estoplano coincide con él; 3) (O; 3; 5), (O; 2; 1), (O; -3; O), el punto Destá situado en el plano Oyz y, por lo tanto, su proyeccíon sobreeste plano coincide con él; 4) (4; O; O), (-3; O; O), (2; O; O), (O; O; O);5} (O; 3; O), (O; 2; O), (O; -3: O). (O; O; O); 6) (O; O; 5), (O; O; 1),(O; O; O), el punto D está situado en 01 ejo de cotas y, por lo tanto,s~. pro~ecci~n sob~e c.ste ojeo co.incido. c~m ~l: 721.. 1) (2;c~; :-:),(:>, -3, --), (-3, 2, 1), (a, b, -e), 2) (2, ~3, 1), (a, 3, 2),(-3; -2; -t); (a; -b; e); 3)(-2; 3; t), (-5; -3; 2), (3i2; -1),(-a.; b; e); 4)(2;-3; -1), (5;3; -2) (-3; -2; 1).(a; - b; -e);~)(-2¡ 3; -1), (-5; -3; -2), (3;2;1),(-a; b; -e); 6)(-2; -3; 1),(-5; 3; 2), (3; -2; -1), (-a; -b; e); 7) (-2; -3; -1),(-5; 3; -2), (3;-2; '1),(-a; -b; -e). 722. (a; a; -a), (a; -a; a),(,-a; ai a), (-a; -4; a). 723. 1) En el prtmero, tercero, quinto yst>plimo; 2) en el segundo, cuarto, sexto y octavo; 3) en el primero,tareero, sexto y séptimo; 4) en 01 segundo, cuarto, quinto y octavo:5) en el tercero, cuarto, sexto y séptimo. 724. 1) En (\1 primero,tercero, quinto y s6ptimo; 2) en el segundo, tercero, quinto y octavo;3) en el prímero, segundo, séptimo y octavo; 4) en el primero;torcero, sexto y octavo; 5) en el segundo, cuarto, quinto y séptimo.725.1) (-3; 3; 3); 2) (3;3; -3); 3) (-3; 3; -3); 4)(-3; -3; -3);5) (3; -3; -3). 726. 1) 7; 2} 13; 3) 5. 727. OA=6; OB=14:OC=13; OD=25. 730. <¡:MtMsMa es obtuso, 732. (5; O; O) Y(-11; O;O).733. (O;2; O}.734. C (3; -3; -3), R=3. 735. (2; -1; -1);(-1; -2; 2), (O;1; -2). 736, 7. 737. %=4, y= -1, z=3.738. e (6; 1; 19) y D (9; -5; 12). 739. D (9; -5; 6). 740. El cuartovórtice del paralelogramo puada coincidir con uno de los puntos:Dt(-3; 4; -4), Da(i; -2; 8), D3(5; O; -4). 741. C(1; 5; 2),D (3; 2: 1), E (5i -1; O), F (7; -4; -1). 742. A (-1; 2; 4),s (8; -4; -2).743. f VR 744.t V14. 745. $ %1+%2:%3+%4
YI+rl2+Ya+Y4 "l+z2+Z3+:, 746 mIXt+'?l2%2+m:¡x;¡+m.Z4y 4 ,Z"'" 4 .• z 17'11+17'12+17'13+17'1. '
mlYI-l-m2Y2+m3Y3+m~y& m.IZt +m2z2+m3zS +m,z4y= m't+m2+m3+m.Io· z md-m2+m3+m..747. (2; -3; O), (1; O; 2), (O; 3; 4). 748. la I=7. 749. z =± 3.750. AB={-4¡ 2; -1}, DA={4; -3; 1}. 75t. N (4; 1; 1).
283
'6 <::E!f;.O a-b<!5:> a+b.....(1. 6
Fig. 134.
752. (-1; 2; 3).75,1. X=-lI2, Y=1. Z= -1. 754. COSI%=i~, cosp~3 16 3 4 12
- -'5' COS)'= -2'5' 755. COS a,= 1]. cosll~ 13' cosY=I3'756. 1) Puede; 2) no puedo; 3) puede. 757. 1) No puede; 2) puedo:
ríg. 135.
3) no puede. 758. r,oo ó '120". 759. a~{1: -1; VZ} o a--t1; -t; - V2}. 760. MI(va; Va; 113). M2(- y;;. -1/3;- V3). 761. Véase la Hg. 134.762.1 a-b 1=22. 763. 1a+ ,. 1=20.7()q. Ia+Q 1= 1a-b 1=13.765·1 a+ 1;1= Y129 "" 11,4, 1a -/.11 =7.76G.1a,+bl=V¡¡¡~4.4, la-bl=7. 767. 1) Los vectores u y (,ucncn quo sor perpendiculares entre sí; 2) el á_ngulo furmado por109 vectores (~ y (J ttene que ser agudo; 3) el ángulo formado )l0rlos vectores (t y b tíene quo !loro obtuso. 768. la 1=JI'> l. 769. VOlasela Hg. 135. 774. IRI-=15. 77;;,. '1) ti; -ti G}; ¿) {5; -3; G};
3)16: -1\; 12}; 4) {t; -¿; o}; 5) {O; -ti t2}; 6) {3; -i; 2}.776. El vector b es el triple de largo que el vector ai sus direccio-nes son opuestas. 777. a,-4. ~= -1. 779. El vector AB es el dohlede largo que el vector CD; tienen una misma dirección. 780. uo"",".H·: -f: -f}· 7t1!. aO={1
33; m; -~}. 782·la+bl=6,
Ia-{;I=i4. 783. c.t--48t+45J·-36k. 784. c={-3; 15: 12).785. .IIM={3; 4; -3}, llN={O; -p; 3}, CP={-3; 1; O).
284
1 ·1787. a=2p+5q. 788. a=2fJ+C, b=:r a-:r e, c=a-2().-11-1 -1789.p=2a-3b. 790. ¿IM=;rb+:rc,BN=:ro-b. CP=:rb-c,
en donde M, N y P son Jos puntos medios de los lados del l.riúnguLoAlJC.791. AD=11AH-7AC. iJB=iOAB-7AC, CD=1IAB-8.4G,AD+liD+CD=32/lB-22I:1C. 79a. c=2p-3'l+·¡·. 794. d=
=2a-3(l+c, c=-2a+3b+tl, b=-}a+i-c-f el, a=3 f 1
=:rb-2'C-f-Td. 79ú. 1) -6; 2) 9; 3) 16; 4) 1.3; 5) -61; 6) 37;
7) 73. 796. 1) -62; 2) 162; 3) 373. 797. La suma do los cuadrados delas diagonales dol paralelogramo es igual a la suma do los cuadradosde sus -lados. 798. -ab= ab, si los vectores a y b son c.olinoaLosy tienen direcciones opuestas; ab=ab, si los vectores a y /) soncolíneales y tienen direcciones iguales. 799. Si el vector b es por-pendicular a los vectores a y e, y también, si los vectores a y e
son eolíneales. 800. ab+bc"¡ ca= -f. 801. ab+bc+ca= -1;).
802·lpl=10. 803. a=±i. 804. lul=lbl. 807. ¡jJj=~~C-("
808. a=orccos ~7 . 809. !p=arc.cos ( - : ). 810. El plano I)S
perpendicular al eje dol vector a e Intercepta en /il un segmento,
cuya magnitud, medida desdo el punto A, es igual D 1: ,. 8H. La
recta de intersección de los planos que son perpendiculares 11 losejes de los vectores a y b Y qlle interceptan en ostos ejes segmentos,cuyas magnitudes, medidas desdo 01 punto A, son iguales a
: I y 1: I . 812. 1) 22; 2) 6; 3) 7; 4) -200; 5) 129; 6) 4-1. 81i1. 17.
81.4.1) -524; 2) 13; 3) 3; 4) (.tW·AC)·SC={-70; 70¡ -350}y AB(AC.BCJ={-78; 104¡ -312}. 8154 31. 8H>. 13. 818. a=-G.819. coscp=;rr.820.45°.82f.arccos (-y). 823.ro={-24; 32; 30}.
824. ro={1; -}; -i} -825. ro=-41-(lj +12h.826. x={-3; 3;3}.827. ro=(2; -3; O}.828. ro=U+3j-21~. 829. Va. sse. -3.
1/,831. -5. 832. 6. 833. -4. 834. 5. 835. -11. 836. x= -3'
14 7 5Y=-s' Z=-¡r' 837. 3. 838. -6 "7' 839. 1 [abll=15.840. I [abll = 16. 8<11. Ct(.= ± 30. 842. 1) 24; 2) 60. 84a. 1) 3; 2) 27;3) 300. 844. fAS vectores a y h tienen que ser colincalca. 846. Si 10svectores a y b son perpendiculares. 850. 1) {5; 1; 7}; 2) uo, 2; 14};3) {20; 4: 28}. 85t. 1.) {6; _/,; -(jI; 2) (-12; 8; ~2). R52. (2; 11; 7}.
19-352 285
8&3. {-4; 3; 4}. 854. 1S; cosa=-}. CO:¡~=-~. C08'1'=H'
3 6 285S. 28; =r=r r- cos~=-7' cos'I'=T' 856. 'V66;
1 /, 7 .cosa=,/_, COs~=-V-' c.QsV=-,¡_· 857. 14 1IJ11(1. euad.
V 66 . 611 V 6(15111'r1358. ,5, 859. sen t¡l=~. 860. {- G; - 24; 8}. 8G1. nt= {45; 24; O).
862. a; = {7: 5: 1}. 864. [[ab! c l = {-7; l~; -7}; la (be)1 == {i0; 13; 19}. 865. 1) OC!mano derecha; 2) do mano izcluiorda; S)de mano Izquierda; 4) dI) muno derecha; 5) IOl! voctores son coplaua-res: 6) ilo mano izquierda. 866. abe = 24. 867. abo = :±27; el signoJllIÍM. si la torna <le vectores a, b, e es de mano derccba, y 01 signo me-IW:¡. ~I esto torna es do ruauo izquierda. 868. Si los vectores a, b, eson porllondicularcs entro sl, 873. abe = -7. 874. 1) Son coplann-rus; 2) 110 80n coplanares; 3) son coplanarus. 87G. 3 uníd. cúb. 877.H. 878. DJ (O: 8; O); D. (O; -7; O). 881. X = -6. y = -8, Z "'"= -IS. 882. Los vectores a y e tienen que sor cohnealcs o (JI vector hueno quo ser perpendicular 8 los vectores a y c. 885. Los puntos Mio}11ft) M, están situados en la superñcío, los puutos M., lffs. M6 no loestán. La ecuación determina una eslora de radio 7 con el conteo onol erígen de coordenadas. 886. i) (1; 2; 2) Y (1; 2; -2); 2) no hay tal pun-tAl 011la supcrficio dada; S) ~2; 1; 2) Y(2; -1; 2); lo) no hay tal pUIII" enla superficie dada. 887. 1) El pleno Oy%; 2) 01 plano Oxz: 3) ,,1 plnnu0.XI/; tI) UJl plano paralelo al plano Oy: y situado C)I) el scmíespaclopróximo a una distancia do dos unnlades: 5) un plano paralelo nIplauo O:r.z y situado on 1)1 seru lcspacio izquierdo n una dístuncín dodos unidades; 6) un plano paralelo al planu Ozy y sltundo en 01 ~o-mtespacio inft.l'loI' ti unu distancia do cinco unídudcs: 7) uua l'sfol'lldo radto 5 con el centro en el origen de coordenadas; 8) una l's{cra doradto 7 con ol centro en el punto (2; -3; 5); {) la ecuación dOI(>['IIII-»a un punto único: 01 origon de coordenadns; 10) la ecuactén no 1'0-presenta en 01 espacio ninguno. Iíguru gtlométrico.: 11} uo plano. quedi vide por la mitad 01 6..og1l10 diodro comprendido entre los planos0%: y Oyz y que pasa por el 1°, 3°, SO Y 7° octantes: 12) un plano(IUO divido por la mitad el ángulo diedro comprendido entre los pla-1I0S O;;;y y Oy:: y pasa por el 2°, 3·, 5° y So oetantos: {a) un plano que<livide IH>1'la mitad 01 ángulo diedro comprcndído entre los planosO%y y 03)% Y quo pasa !l(lI' 0110• 2°, 70 Y 8° octantes; 1<1) los planos 0%:y Oyz; 15) los planos Ozy y 011%; 16) 10$ planos O:r.y y Oxz; 17) lostres planos coórdenados; t8) el plano Oyz y un plano paralelo alplano Oy::, situado (In ol somiespacio próximo a una dlstanoia docuatro uuidades; t 9) el Illano Oxs: Y un p lnno que divido por la mitadel ángulo diedro comprendido cnu-e los planos Ox;: y Oyz y que pusaflor diO, 3° ~ 5° y 7· octantes: 20) ol plano Oxg y un plano quo dividoTllJr la mitad el ángulo diedro comprendido entre los planos O%f yOx: y que pasa por el So, 4·, 5° Y 6' octantes. 889. ",. -1- V' + % == ,1, 890. (% - a)t + (v - fI)2 + (z - ¡o)t = ,l. 891. y - 3 =- O. 892. 2% - 7 = O. 8!J3. 2% + ::1 = O, 89~. 20y + 53 = l). 895.x~ + 1/" + 1'2 = a~. S96. x'l + y2 + %2 = a', 897. s: -+ 2z = O. 89ll.%2 y1. z~ X2 yZ .29-1-'9+25=-1. 8119. 16-'\)+16=-1. 900. Loa puntos M"
286
M 3 están suuados on la linea dada; los puntos M2• M" no 10 están.902.1) (3; 2: (j) y (3; -2: li); 2) (3; 2; 6) 'i (-3; 2; 6); 3) no hay talpunto on lu Ilnoa dudn, !JOIl. 1) IEI ojo de cotas: 2) ol eje do ordena-das; 3) 01 t>je do abscísas; 4) una recta que pasa por 01 punto (2: O; O)y es paralela al cíe 0.1:; 5} una recta que pasa por el punto (-2; 3; O)y es paralela al eje Os; Il) una recta quo pasa por 01 punto (5; O; -2)Y es paralela al eje 011; 7) una recta que pasa J,or ti! punto (O; -2; 5)Y Il5 paralela al eje 0:1:: 8) una circunferencia e radio 3 con 01 centroen el origen de coordenadas y situada en (>1plano OZIl; 9) una círcun-Ierencia do radio 7 con el centro en 01 orígon dI) coordenadas y situa-da en 01 plano Oxz; 10) una círcuníorcncin do radio 5 con el centroen el orígon de coordenados y sítusda en el plano Ouz; 11) una cir-cunleroncia do mdio " con 01 centro en el punto (O; O; 2) situada cmel plano
{%~+y2+Z~ = 9,
y=O.
{(z-5}~+(y+2)2_1-(:;-i)~=1G9,
!l06. z~O,
{xZ+y2+z!l=2.'\,
v+2=0.:.r:2+y2+z2=3G,
(:t:-1)2+(1I+2)~+-1-<:-2)2=25.
I)U8.(2; 3; -~, (-2; 3; -6). 909. (1; 2; 2), (-1; 2; 2).910. t) On.asuper íícte cihndrica, cuyas goneratrices SOn paralelas nl ojo 01/,y que tieno por directriz una clrcunforeJlcia que on (>1 plano 0%:so dotormína por la ecuación z2+,,2=25; 2) una suporf ícto cilín-drica, cuyas generatrices son paralelas al eje 0% y cuya directrizes una elipso detorminada en 01 plano Oyz por la ecuación
z-2=0. 90!,. 905.
907. {
112 z225 +16=i; 3) una superficiti cilíndrica, cuyas generatrices son
paralelas aloje Os y cuyn d irectr íz es una hipérbola determinada• 2
en 01 plano 0%1/ por la eouaciún ~~ --\- = -1; !,) una suparficle
cllíll\lrico, cUy3S genoratrtces son paralelas aloje Oy y cuyadirectriz es una parábola determinada en el plano O:rz por lo licua-ción x2= 6:: 5) una superf ícte cilíndrica, cuyas goueratr lces sonparalelas al eje Oz, que t ieue por directrtces un par de rectas quese dotermluan en 01 v.Iano 0%1/ mediante las ecuaciones :<=0,%-y=O; esta superficie cilíndrica se compone de dos planos:6) una superñoío cí líndríca , cuyas goneratrtcos son pnrnletas alojo 01/ y que tlene por dircct.rrces un par de rectas que se deter-minan en el plano Ozz mediante las ecuaciones z-:=Q, :<+:=0:esta superficie cl'llndr íca se compone do dos plenos: 7) el ojo deahsclsns: 8) la ecuactóu no determina en ,'1 ospnclo figura geomé-trica alguna: 9) una superficio clllndrlca, cuyas generatrices sonparalelas al eje Oy y cuy" llirectriz es una circunferoncia; la d irec-triz so determina en el plano Ox: mediante la ecuación >;'++(%_1)2= t: 10) una superflcie cIlíndrica, cuyas goneratr iccs sonparalelas al ojo 0%; la directriz so detoruuna on 01 plano Oyz
mediante la ecuación y3+ ( z + +f!=+.. 911. t) z~+5y'2-
19" 287
-8v-12-0; 2) ~;¡:t+5zt+42-60=0; 3) 2y-.::-2=0.
{8x'+4yZ-36x+Hly-3=O, { 2",-2z-7=O,
912. 1) ~=O; 2) l/=O;
{4y:l+8z2+i6y ~20:-31=O,
3) 2:=0.913. %-2V+3:+3=0. 914. 5:.:--3:=0.915. 22:-y-z-6-=-0. 916. .x-y-3z+2=0. 9'17 • .x+4y++7=+16=0. 919. 9x-V+ 7:-40=0. 921. 3%+3vtZ-8=0.923. i} n~{2; -'1; -2}, ,»={2}.; -i.; -2?.}; 2) 11>= { ; 5; -ll,11>~ {A; 5}.¡ -}.}; 3) 11>= {3; -2; Ol, "~"""l3}.; -2}'; O}; Ij) 11>~={O; 5; -3}, '1I.=(0¡ 5A¡ -3)'}¡ 5) n={'li O; O}, n={)..; Oi O};H) n={O; 1i O}; .,,= \0; )..; D}, en donde X es un nÚDlGrO tlrbltrarío,diforontc do cero. 921. 1) y 3) dctormlnan planos pare le los.925. il y 2) determinan planos perpendiculares. 926. t) l = 3,
2 1 1m~-4; 2) 1=3, m=-a; 3} l=-3'3; m=-1S' 927. 1) 6;1 t 2 1 3 11
2) -19; 3)-T' 928.1)"311 Y'3"¡ 2)7.11 'iT,n; 3)2;2 2
4) arccos 15 y 11- arccos15. 929. 5%-3y+2z=0. 930. 2x-3:-27=0.!l3!. 7:::-y-5:-0. 932. :¡;+2z-4=0. 934. I\%-y-2:-9=0.936. z=1, y=-2, :=2. 1l39. 1) 11 *' 7; 2) a=7, /)=3; 3) a=7,07-"3.940.1) :-3-=0; 2} y+2=0; 3) %+5=0. 0/,1.1) 2y·I-z=Il;2) 3z+z=0: 3) I\z+3y=0. !J!í2. 1} y+l,z·j-iO=O; ~) %-:-1=0;3) 5%-1y-'I3=0. 943. (12; O; O), (O; -8: O), (O; O; -6). 9.1". ~ ++f+ _:;¿ =1. !Yl5. a= -1" b.=3, c=-}. 9"6. 21¡0unld. cund ,
.' %!/ % z y z!l47.8 IULHI. cubo \)0"8.-3 + _4+2=1. 949. _s+a+--¡¡-=1.
-"2950.z+y+ z+ 5=0. 95f. 2x-21!1+2.+88=0, 2.:z:-3y-2z-H2=0.952. x+!I+:-9=O, z-y-z+1=O, .x-I/ +;-3=0, .x+!I-z--5=0. 953. 2x-y-3z-15=0. 054. 2x-3y+:-()=O. 955. x--3y-2z+2=0. 9.'56. Lo.'3 planos 1), 4), 5), 7), ~, 11.) i 12) so han
dado rnedtauto ecuaciones normales. 957. i) 3'.:z:- '31/+ ~ .-
3 6:1 2 3 G-()=O; 2) -7%+7Y-1'z-3~0; 3) -:¡:':-1'Y-Tz-
11 2 2 '1 '1 5 12-14=0; 4) T%+:rY-3'z-(f=O; 5) -1311+13"-3 4 1
-2=0; 6) 1í"'-5"Y-S=O; 7) -y-2=0; 8):.:-5=0; 9)z-B=Oó
10) .-1-=0. 958. 1) «=(100. ~=-45°, y ....Ü()", p=5: 2) ct=1200,
f}=600, )'-45°, p=8; 3) «=45°. 13=00°, 1'=45°, p-=3 V2¡1,) 0'.=90°, 1\=135°, y=45°, p=V2¡ 5) 0'.=150°, ~=1200, 1'=00°,p=5: 6l «=90", ~=ooo, y=Oo, p=2; 7) cx=18{)', 1\=00°, 1'=90°,
1 1 1n= '2: 8} 0;=,00°, ~=180·, 1'=\)()<'. P=:r; 9) «=:ll'CCOSa,
288
A 2 2 O 2,,,=n-arccos¡r, y"",arccosg, p=2; 1) a.=n-urc.cos"73 6 4
fl-n-arceos"7' y=arccos "7 , =v 1)59. 1) ~= -3, d=3;2) 6-1, d=1; 3) 6=0, d=O, el punto 1118eslá situado un 01 plano:4) 11... -2. d=2; 5) (¡ ... -3, d=3. 960. d=4. 96t.1) A un lado; 2) a unlado; S) a diversos ludes; 4) u un lado; 5) a diversos lados; 6) n di-versos lados. 964. 1) d=2; 2) d=3.5; 3) d=6,5; 4) d=1; 5) d=0.5;6) d=i. 96.'\. 8 unid. cúb. U66. A la condici6n del problema saus-Iacen dos puntos: (O; 7; O), (O; -5; O). 967. A la condición delproblema satisfacen dos puntos: (O; O; -2) Y (O; O; -6 :s) .908. 1\ 18
condtctén dol problema 88Usfnct>n dos puntos: (2; O; O) Y (~!;O; O) .
969. <lx-4y-2:&+15=0. 970. 6x+·3y+2z+11=0. 971. 2x-2y--z-18=0, 2,,-2y-z+12=0. 972. 1) 4x-/l-23-4=0; 2) Sx++2y-z+1 =0; 3) 20x-12y+4=+1S=0. \)73. 1) 4x-511+Z-2=0.2x+y-3% ~ 8=0; 2) x-3y-1=O, 3x+y-2,:-1=0; 3) 3x-()y++7:+2=0, x+(\y+3.:-1-'1=0. 974. 1) El punto 111y el or igon docoordenadas están sttuados en ángulos adyacentes; 2) 01 punto 111y el origen de coordenades están situados on un mismo 'lOgulo;3) el punto M y el origen de coordenadas ostán situados en ángulosopuestos. 975. 1) Los puntos M y N están situados en ángulos adya-contcs; 2) los puntos M y N cSL·5n sttuados en ángulos opuestos.976. El origen de coordenadus está situado dentro dol ángulo agudo.!l77. EL punto M está si tuado dentro dol ángulo obtuso. 978. 8x--4y-4::+5=0. 97!1. 23x-II-4z-24=0. fl80. ",-y-z-1.".O.981. x+y+2:=0. 082. {5X-7V-3=00' {5"'+2.:-3=00,
%-= ; y~ ;
{ 7V-2z+3=O, 983. {3X-Y-7=+9=0, 984. (2; -1; O);x=O. 5y+2:=0.
(1.~;0; -f); (O; 2; -1) 086. i) D=-4; 2) D=9; 3) D=3.987. 1) Al =;42 = O y ~or lo menos uno do los números DI, ])2es dí lercnte do cero; 2) lJ,=B2=0 y por lo menos uno do losnümoros V •• D2 es dí ícrontc de cero; 3) CI- C2= O y por lo menos
uno do los números DI' D2 es dlfcrcnto de cero. 988. 1) ~~ = ~~;
2 1J I DI 3) C.. o, D O O - O)v= D2
¡ C2= D2; 1\) A1= 1= ,A2 ... D2= ;:J) lJ1=D.-
lJ2=~2=O; O) C.=DJ=O. C2=D:=0. 98'J. 1) 2z+15y+7:'1-7=0;2) 0,,+3.+5=0; 3) 3x+3:-2=0; 4) 3x-OU-7=0; 990. i) 23.%:--2,,+21.:-33=0; 2) V+:-18=0; 3) "'+ ::-3=0; 4) z-,,+15=0:mlt. 5%+50:-8=0. \102. a.(5;1;-2y-z-3)+~(x+3y-2z+5)=0
N o t a. La recta de intersección do los planos 5,7;-2,,-.:-3 = O.%+311-2.+5=0 es parulela al vector l={7¡ !J; 17}; por lo tanto.ti La condición del problema satisfacen todos los planos del haz doplanos que pasan por esta recta. 9113. 11x-2y-i5z-3=O.004. (l(5:t-y-2z-3)+~(3;1;-2y-5z+2)-0. Nota. La recto.
289
do tntorseccíén de los planos !>:r-y-Zz-3=O, 3z-2y-~z+2=0es pcrpeudlcular al plano a;+19y-7z-H-0: por lo tanto,n la condición dol prohlorna sarisfacen tudos 105 planos del hnzde planos que pasan (JOI' esta recta. !J95. 9:r.~-7Y-r 8z-l-7=().990. x-2y+z-2=O, x-5y-I-4z-20=O. 997. Pertenece. !J98. Nopertenece. mm. t= -5, m- -11. 1000. 3x-2(!-I- 6=+ 21 =0, 181l11+-l' 28y+,'l8z-ó91=0. 1001. 2,;-3y-6z·+ 1\)=0,0 a;-2y-3z+ 18=0.1002. 4,;-3y+Gz-12=0, 12x-4.9y+38z+84=O. to03.4x-¡-3y-
-,0;",,0, 5",+33-7 ... 0. ,o;y-tí:+1=O. 1004. {7",-y+~:g:{
52:-:-1=0, {5Y-7Z-'12=0. 100:;.v z-8y+5z-3=0.U~O; %=0.
100G. {2x-41/-8t+1=0. 1007. 1) ~=_Y_= :+3 ;2:C-1/+%-1=0. 2 -3 [,
. %-2 u z+S x-2 y z+S x-2 u2) -r=;r=-=-r-; 3) -'l-=Ü=()"'; 4) -o-=T== :+Oa; 5) x-2 =4= %+3. 1008. 1) ..:.::.!.=U+2=%-1o u 1 2 3 -22) x-a=v+1=~., S) -=-=y+2= :-3. 4):ll+1=y-2=z+-1.
2 -1 3 3 o -2' L o o1009. 1) %=2t+1, y= -31-1, ::=41-3: 2) :I:=2t+ L, y=51-1,::=-3; 3) x=3t+1, y= -Zt-1, :=5t-3. 1010. 1) 3:=t '¡-2,y= -21"¡·1, :=t+1; 2) x~t..l..3, y= -e-1, z~t: 3) :.=0, y=t,z= -3t+"1. 1011. (ti; -4; O) (3; o: -2), (O; 2: -3). 1012. x=51··1 4,
x-1 y-2 =+ 7 .1'-211= -11/-7, z= -2. 1013.-1-= -3 = -8 . lU1~.-6--
y-l. '1 z'-I-3 '" ,= -1 = -7 . 101.). x=3t+a, y=15t+1, '=191-3. t016. (1,.,.."
~ {'l. 1; 31: a ={Xi i.; 3A}, 011 deudo 1" C~ \111 número arbi trariodifcroutc de coro. t017. (1,= -u 1·Hi+5'.:; u= -2H+1t~.J ~5t.1',
:r;-?un donde J.. es un número ar hí trar io diferente do cero. 1018. T~
y-3 z+ 5 %-2 11+'1 z . . .= -4 = -5 . 1019. 1) -2-=-7-=7,' Soluclon. Supo-
u iendo, por ejemplo, zo=O y resolviendo el aístema, hallamos:12'0 - 2. Yo""" -'1; por lo tanto, ya conocemos 111\ punto do la I'()C.lJl:M0(2; -1; O). Hallamos ahora <>1 vector director. 'I'enemos que,n,.={'I; -2; 3l, '1t2=t3; 2¡ -5}; y do aquí q11& a=lnln21={/t. 14; 81, o SNI, quo l_/" m=H, n=8. Las oeuactonos canónicasdo In ructa dada se obvíonen Sustituyendo los valores hullados
ti.) :ro, !lo. ro y de t, m, n en las ecuaciones z-;.ro = 11-;;; Yo =
:-:0.,-,-2 Y'I t z ,%-2 y+1 z • :r; !l+1 ;-L~-n-' """?l~-v.-~8° ;r-=-7-=-¡;; 2)-s=jT""1T:
.1:-3 y-2 zS) -1-=""""2"""=T' 1020. 1) .%=/+'1, y= -7t, z= -191-:1;2) ;¡:.= -t+1, y=3t+2, :=51-1. 1023. 60·. 1024. 1;¡[j" 11)2:).
4 3:+1 y-2 :+3 %·1-4COS_(P=±:rr' 1027. l=3. 10211. -2-= -3 =--¡r-' 1030. -3-"'"
290
=yt5=Z~1S. 1rol. ;t=21-:" !I=-3t ;'1, :=-I,t. rosa 0=131033. a=21. 103.j. x=3-6t. y= -1.+18t, := -5+0/. 1035.$= -7 -1-4t, y=12-1tt •• =.,)-2t. 1036. x=20-6t, y= -18+81,:=-32+24t; (2; 6; 40). 1037. Las ecuacíonos del movimiento delpunto 111son: r=-5+6t, !/=4-12t, :=-5+4t; las ecuacionesdel ntovímiont.o dol punto N son: x=-5+4t. y=16-12t, z== -6+3t; '11 l' (7; -20; 3); 2) un intervalo do trompo igual a 2:3} un intorva o <lo tiempo igual a 3; 4} MoP=2S, NoP=3!). 1040.1) (2: -3; 6): 2) la recta es paralela al plano; 3) la recta so
x-2 U+4 :+1 x-2encuentraen el nluno.10H. -z=-g-=-3-' 1012. --¡¡-=[/+3 :+5
= -3 =---=5' iOlj3. 2x-3Y-I-4z-1=O. 1044. x+2y+3z=O.10ft5.111-= -3. 1046. C= -2. iO·n. A=3, D= -23. 1048.A= -3,JJ=4-}. 1(}4!). L=-H, c=i. 1050. (3; -2; 4). Solución.
gl punto buscado so halla resol viendo simultáneamente las CC·IIII-clones do la recta dada y In ecuación del plano que pasa por elplinto P y O~ perpend icu lar a esta recta. (1ljémonos 1.'11 (IUC el Vl'C-tor director (le la recta dada {a; 5; 2} es un vector norma del planoconstdura.lo. La ecuación del plano que pasa por el punto P (2;-'1; 3) y (IUO tiene por vector normnl 1t={3; 5; 2}, (1) do laIorma ;1(x-2.)+5 (!¡+1}+2(z-3)=O 6 3x+511+2z-7=O. Busol ,
{X=3t x=5t-7 z=2t+2
viendo simulténeamonte Ias ecuaciones 3x+5y+2z_':7=0, 'hallamos las coordenadas de la proyección buscada x=3, 1/= -2.z = 4. t051. Q (2; -3; 2). 1052. Q (4; 1; -3). 1053. (1; 4; - ¡).S o l u ció n. El punto buscado so hulla resol viendo sim\lltáJl(~A-monte la ecuacíén del plano dado y las ocuacíoncs do la rectatrazada por 01 punto P y perpendicular a este plano. Advirtamosante todo, qua 01 vector normal de este plano {2; -1; 3} es unvector director do la roela buscada. Las ecuaciones paramétricasde la recta quo pasa por el punto P (5: 2; -1). cuyo vector direc-tor (\S f.€={2; -1.; 3}. son de In forma: x=Zt'i-5, y= -t+2,z =3t- '1. Hesolviend.o simultanemacnte las scuacíonos
{ 2x-y+:1z+23 =0. l 1l d d d l_ 21 f ~ - t + 2 _ 3' -1 la amos las coor enn (\5 o ax - .. - i), Y - - , Z - 40 I
proyeccióu buscada: :1:=1, u=», z= -7. 10M. Q(-5; 1; O). t055.T' (3; -4; O). ]\' o t a. El problema puede resolverse del modosiguiente: 1) ver íf'icamos que 1<)5 puntos A y IJ estén situadosa un lado del plano Oxy. 2) Hallamos 01 punto simétrico a uno dolos puntos dados con respecto al plano Oxy; por. ejemplo, el punto1J,. simétr íco al punto B, 3} Hallamos la ecuación do la recta quepusa ]l01' los puntos A y [11. 4) Hul lunde la soluclén simultánoado las l'CUI1CiOnL19 do la recta )' do In ccuación del plano Oxyobtenemos las coordenadas del punto buscado. 1056. P (-2¡ O; :~).1057. Jl(-2; -2; 5}. 10fJ8. P(-1;3; -2).1059.1) P(-25; 16; 4);2) durante un intervalo de tiempo l¡tual a 5; 3) M oP.,., no.10GO. %=2B-7.5t, 1/=-30-1 8t, :=-27-1 Ut¡ 1) P(-2; 2; -a};2} desde tl=O hasta 12=4; 3) MoP=50. 1061. Durante un intervalodo tiempo igual a 3. t062. a=7. S o 1 ti e i 6 n. Tomemos algún
291
%+3 !I+2 z-8 .puuto en la. recta 3=--Z-=--=-2' por ejemplo, el puntoMI (-3; - 2; 8); supongamos que Mi 0$ el punto de npl ícacién delvector director a=t3; 2¡ -21 do la recta. El módulo dol productovectorial de 10$ vectores a y M .p nos 'Proporciona el área delI!nralologrn.mo construido sobre estos vectores como Indos; la alturado este paralologrnmo bajarlu d05M el vértlce P stl.rá la distanciabuscada d. Por lo tanto, la fórmula que nos permito calcular la
l[a,1« PIIdistancia rJ es d,.- Ial, . Calculemos ahora las coordenadas
del vector M IP, conociendo las coordenadas do su extremo y de
:::5 o:,~:C:~e:1~:{:f :;,;~ :~:;IP::IIT:S~'2 Plr:::t:~;:5:~41 -10
Determinemos su módulo: I [aM ¡PII = l/17.B;iri-'-;·I~·2""2;;;~'''¡-;.5"'~- V883~... 7 "Vi7, Calculemos el módulo del vector CJ: I al = y9 +4+'¡ =." Yi7. La distancia buscada (.'5 d = 7.;:"'; = 7. 1063. 1) 21j 2) (1;
3) 15. 10G4. d-25. 106:5. O%+i1y+5z-16=0. 1008. 4%+6y+:iz--1 =0. 1070. 2:¡;-16y-13: +31 =0. 1072. Oz-20y-i1z+1 =0.107~. (2¡ -3¡ -5). 1075. Q(1: 2; -2). 1076.Q(1; -6; 3).1077.13",-
%-3 y.J..2-1!¡y+Hz+51=0. t07!). %-8y-13:+9=0, 1081. -5-= "':'6""
_ .~-4 .1082. %=8t-3, y= -3t-1, z= -4t+2, 1083.1) 13; 2) 3;
:-1) 7. 108". 1) :rB+V2+z2=81¡ 2) (x-5)2+(y+3)2+(z-7)9=4;3) (x-4)2+(yt4)~+(:+2)~=3B; 4) (x_S}2+(y+2)2+ (z_'1)2,..-=18; 5) (:r-3)··Hv+ 1)~+(2-1)2=21; 6) %2+112+:2=9; 7) (z--3)2+(y+5)2+(z+2)2=5{\j 8) (%_1)B+~!I+2)2+(z_3)2=49:9) (%+2}~+(y_I¡)B+(z-5)2=81. 1085. (x-2)1 +(1I-3)2+{:+i)2=!ly z2+(I/./-1)2+(z+5)l1=9. 1086. R=5. 108'7. fE+1)2+(y-a)2++(:-3)2=4. 1088. (%-1-1)2"'(y-2)S+(:-1)~"",9. 1089. (z-2)~++(y-3¡:I+(z+I):=289. 10!)O. 1) C(3;-2j 5), r=Io; 2) C(-t; a; O),r=3j 3) C(2; 1; -1), r ....5j ~) C(O; O; 3), r-3: 5) e(o; -10: O),
1%-2,.",,10, 1091.%=5/-1, y=-t+3, .-",2t-0,5, 1092. -2-·-=
;1 1u+'2 =+2= -=3=-1\-' 1093. 1) fuera de la estora: 2) y 5) en la super-
lioio de In esfera; 3) y 4) dentro de la eslora. 10M. 3) 5; b) 21j e) 7.10'J5. 1) El plano corta a lo. esfera; 2) el pl8110 os tangente a Inostcra: 3) el plano pasa por luera de la esfera. 1096. 1) Lo. reciacorta a In esfera; 2) la recta pasa por fuera do la esfera; a) In roeteos tangente a la eslora. 1097. .llfl (-2: -2: 7), d=3. 1(1)8. e (-1;2' 3), R=8. t01l9. {(%-1)2+(U-2)~+{:-1)2=36,, 2x-z-1-0.
292
294
el centro de esf·1) hipérbolu os (2; -3; -(¡l. USO. a) 1 < Iml < Vi;b) Imi < 1. 1161. a) m'¡; ° y m;;..-f, PO"(), 51 m=-{-resulta una eii PSI) degenerada, un punto; h) In = O. 1162. (\1; 5; - 2).1163. (3; O; -10).1164. (6; -2; 2).1165. m=±18. 1166. 2x-y-
2-2z-.Q~0. 1167. x-2y +-2z-1=0, x-2y·!-2¡:';-1=0: 3",,2 -'- yLt- 22 '" I :r~ yi zll
H68. o -.- 25 _. 1169. w+1if·l-lf=1. 117(1. '11=2 4 x~ ,y~+zl: . X2.+y2 :2
=5' '12=5" 1172. "ii2'7'~=t. 1173. ~-(i2~1.x~ 1/2
tl78. ---,-=2:. 1180.a) (3;4; -2) y (6; -2; 2) b) (4; -3; 2),P q
la recta es tangente a la super licie; c) la recta 110 liene puntoscomunes con la superficie; d) la recta cslÍl situada en la suporttcío.11'81 {2x - 12!1- z + 16 = 0, {2x - 12y - z -1- lü = O,
. x - 2!1 +: <1 = O; x +2)( - 8 = O.1182. {y+2.=0, {2:r-5Z=0, 1183. ..::.=y-I-i ~ z-1. .
x-5=0; ((-1-4=0. 1. 4 -2'~.,_ Y'I-O = z+3 1t1!4 ..::.= y-a =_z_ :1:-2 ~J!..='1 12 2 . 1 o -2 . (} 3
x2 !I'~ z2 •-r , _Q' H85. arccos 17' 1186. 1) ii2-I"/j2 -. e.2 =v:
x:.! y~ z'2 x2. l¡'l. z22) ,,2 - bl: -1- CZ =0; 3) --¡i' +-'¡jz + c2 =(). H8B. ",2 +. yll_zl:=O.
H8!). :: + t: - (Z~C)2 =0. 1H10. 3x2.-fly'3+7z2.-0xY-I"·Wu-;):2 '/a z2
-2YZ-!lX+4y_/,z+4=O. tHl1. 25 + 25 - 1,9 =0, 11\)2. x2_
-ay2+ &2=0. 1193. 3.5x2+35y~-52.z2-232xy-116xz·Hj(iyz+-¡-·232x-7(1y-116:+35=0. l1!M. xy+xz+yz=O. 61 oio del cono'pasa por 01 pr-imero y séptimo octantes: xY+XZ-l/z=(/. el ejedel cono pasa por B1 segundo y octavo octantes: xy-xz-yz=O,,,1 oje del cono pasa por' 01 tercero y quinto octantes: ~:fl-xz-I-+ !lz~(), el eje del cono pasa por 01 cuarto y sexto octantes.nos. !lx~-16y2_i(l.2_90x-¡-225=0. 11\)6. x2+loy2_4z2+I,:ry+-!-12xz-flyz=0. 1197. 4x~-15y2_(iz2_'12xz-3(3x+24z l· (¡fl=O.11!J8. '16xa + 161/2 + 13z2 -16x% +- 24yz + 16x - 24y-26z-!/.:~= O.uus. X2_1/2_2x:-,2yz+x+y-2z=O. 1200. 5x2+5y2.j-2.z2--2xy +4xz...i.4yz-6 =0. i20!. 45x2+ 72y2 +(¡5z2+ 3Gxy+ 72rz--3l'iyz+54x+216y-54z-f¡67=0. 1202. 5",~+10U2 + 13z~..!-i2xy--6xz+4yz+26x-r20y-38z+3=O. 1203. $2+1\¡¡2+.'\z2_4xy--12;).-0. 1204. '1) lB; 2) 10', 3) O; 1,) -50: 5) O; (i) x2-xl:7) (1; 8) I. 120!>. -1) x=12; 2) x=2; a) ZI= -j, x2= -lo: l." Xt~-=-116; x2=111z; 5) xl.2=±2i; 6) zl=2~·2.3=-2±i; 7) x-",
=(-1)'" ;2 + ~ n, on donde 11 es un número entero; 8) x=
n·="6 (2/1-¡-1), en donde n os un número entero arbit.rar io.
295
1206.1) %>3; 2) %>-10; 3) %<-3; 4) -t<%<7. 12m. i) %=
=16, 1/=7; 2) %=2, y=3; 3) el slstomn 110 tiene soluciones;4) el ststcmn Licuo ínfínidad de soluciones diferentes y cada una
do elllls se puedo calcular mediante 111 Iérmuln 1/= %-;!si ,en donde los valores numéricos de % so dan arbí trar-íamento
ac+bd be-aay so calculan los valores do {/; 5) %= 0.:1+ 02 ' Y = a2 + b~ ;G) el srstoma no tiene soluciones. 1208.1) 4:¡!=-2; 2) a=-2,6+2; 8) 0.=-2,0=2.1200. a=10/13. 12{0. 1.) %=-21, !/=7t,z=tlt; 2) %=2t, 1I=3t; %=0; 3) x=O, I/=t, z=3{; 4) :1:=0, 1/=1,.=2t; 5) x=21; 1/=5t, z=4t; 6) %=~t, 11=21, z=3t; 7) x=t,11"",5t; :-11t·, 8) %=3t, !/=/Jt, %=0111; 9) x=O. y=I, %=31;10) %=(a+1.)t. !I~(1-a2)t, z=-(a+l)t con la condición deC}UO a </= -t (si 4= -1, cualquier solución dol sístoma se componede trCII númoros z , U, s, en donde %, y son arbttrartos y z=x+v);11) 2:=(6-6)1, 1/=(34-2)t, z=(ab-4)t con la condición de queo. =F ~ o b =F 6 (Si a=; y b=6, :z:, V son arbí trar íos y z=
2 )=3x.,.2// ; 12) x=3(1-24)I, u=(ab-j-l)t, z=3(b~.2)t con la
coudtcién do que 4 ~ - ~ 6 b *' -2 (Si a= -f y b= -2, en-
touces %, V son arbitrarios y :=2 (31/-x) ). 12ft. -12. 1212. 29.
1213. 87. 1214. O. 12Hí. -29. 121.6. 20,3. 1223. -4. 1224. 1801225.87.1226. 0.1227. (x-y) (y-:) (z-x). 1229. 2a~b. 1230. sQn2~:1231. XVZ (x-y) (1/-%) (.-x). 1232. (4+ b+o) (a2+b2+ cZ_ab_-nc-be). 1234. 1) x=-3; %j=-1O, x2=2. 1235. 1) x>7/2;2) -6< x<=4. 1236. %=24f, y.,,21 ~ • %=10. 1237. :z:=1,
y=1, %=1. 1238. x=2, u=3, ::=4. 1239. x=1.. y=3, z=5 ..
1240 . .%=13!, !I=8!, ;=H ~. 1241. %=2, y=-1 .:=1-
• • b -,- e o. - 6 a - e a -1- b b + e121\2. %=-2-' u= -2-' %=-2-' 1243. x=-2-' Y= --;r--'•= 4~ e • 1244. BI sístome tíeuo infinido.d do soluciones y cadauna do cllns so puede calcular por las fórmulas %=2:-1,y==+1, on donde z tomo. valores arbitrarios. 1245. El sistemano ticno solucíonos. 1246. El sistema no UlIne soluciones.1247.1) a*--3; 2) a=-3, b-:p. {-; 3) 0.=-3, b=!. 121\0. Bl
sístomu liono solución única; 2:=0, V=O, :=0. 1250. El alstcmutiene inCinido.d de sol!1ciones y carla una de las cuales so puedehal lar medianto Ias formulas 3O=2t, y=-Bl, %=5t. en donde ttoma valores nrbt trarios. 1251. a= 5. 1252. 30. 1253. -20. 12M. O.1255.48. 1256.1800. 1257. (b-I-c-I-d) (b-c-d) (b-c+d) (b-f-c-d).1258. (a-l-o+c-l-d) (4-1-b-c-d) (a-b+e-d) (a-b-c+d)1259. (a + 6+e+ d)(o.- b+c-a)[(4-c)2+ (b_d)2). 1260. (be-cd)~:
296
INDICE
Primera p a r t oG ~~O M E T n I A A N A " l 'r I c;\ l' 1, A N ,\
Capítulo 1. Problemas elementales de la geometría analíticaplana .. ' .
1. El ojo y segmentos del ejo. Las coorrlouudns en larecta . . . . . . . . . . . . . . . 7
§ 2. Coordenadas cartesianas rectangulares en el plano 10§ 3. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . .. 12§ 4. Segmento dirigido. Proyección do un segmento 501"'0
un ojo arbitrario. Proyecciones de un segmento sobrolos ejes coordenados. Longitud y úngulo polar de 1111
8egmeuto. Distancia entro dos puntos . . . t!i§ 5. División do un segmento en una razón (inda 2-1§ 6. Aren del tri5.ngulo . . . . . . 25§ 7. Transformación do coordonndus . . . . . . 2G
Capítulo J l. Ecuaci6n do una Iínea .
§ 10.
8. Funcíén do dos variables ..9. Concept-o de ecuación de una línea. ucLürmittilciÓIl
de la línea mediante una ecuación .Deducción de los ccuac íones ele linoaa prevtumcntcdadas , .
§ ti. 'Bcuaciones paramátrtcas de ulla tillen . . . . . .
31
33
Capitulo JI/. Líneas de primer orden
§ 12. Forma genorn] do In ecuación de la recta. lscuncléude la recta en función del cooficionte angular. Angu-lo do dos rectas, Condición do pnrnloltsmo y deperpendiculnrldad do dos rectas . . . . . . .. 43
297
§ 13. Ecuaciones incompletas de la recta. Dlscustóude las ecuactoncs símulténeas do dos y de tres rectas .lscuncíón escgmcutnrla» do la recta . . . . . . .. 51,
§ 14. Ecuación normal de la recta. Problema del cálculodo la distancia de un punto a una recta 58
§ 15. Ecuación elo UIl haz do rectas 64§ 10. Bcuacíén polar de la recta •. , . . . 6!J
Capítulo IV. Propiedades geométricas 00 las líneas de segundoorden
§ 17. I..n circunferencia 72§ 18. La elipse. . 81§ i 9. La hipérhoJa 95§ 20. La paráhola . . . , . . . . . . . 109§ 21. Ecuación polar de In cl ipse, de In h ipérbola )' de la
parábola ,... 116• § 22. Diámetros de las IInCllS do segundo orden .. , ., 119
Capitut« V. Simplificación de la ccuación gcneral de In IíJICa
de segundo orden. Ecuaciones de nlguuUI; curvas,¡UC S(! presentan en las matemáticas yen SUl; apilen-ctonos ..••••• , ..•••
§ 23. Centro do In linea de segundo orden . , . . . i2:~§ 24. n.)¡)tJce.i<íJ) de 11. ecuación (le la Iínea central do
8(,gulI\10 orden 11la forma más simple . . . . . 12(;25. Reducción dE! la ecuacién parahélica a he forma más
simple . . . . . . , , . . . . . . . . . . .. '13.0§ 2(l. Er,.uacioncs (le algUllll~ ClHVI\8 que SI' presentan en las
mllLomút.ichS y Oll ~llS apllcacíones . , . . . . .. 133
s e g u n d a partoG I~ () M ¡:; T u 1 /1. A N A 1, r TIC A [l E J, r:: s [> A e 1 o
Capítulo VI. Problemas elernentules de la g(".melría analHi':l'tlcl espaeío ..•.............
§ 27, Courdenadns cartesianas rectangulares en el espacio '143§ 28. rH"tsncia entre (los puntos, Dtvisién de un seg-
mento ()II una razón da(1a • • . . .• ...•. 145
298
Ca.pítulo V TJ. Algebra vectorial .
§ 211. Noción <I{' vector, Proyecc.i6n de UII vector§ ao. Oporar iones lineales con los vectores§ 1l1. Producto escalar de vectores . .§ 32. Producto vectorial 110 vectores ..§ 33. Producto mixto do tres vectores .§ 34. Producto voctonal doblo do lNS VCCLOr(l5
it.71<11>-HiG161iG41(l7
Ca.¡¡!tulo VII I , Ecuación de una supcrnllle)' ecuación de unalínoa .. .
§ 35. Ecuación do una superfíc¡e . . . . . 169§ M. ECII8('.lón ele una linea. El problema do 1:1 ínter-
sección do tres superficies . • . . . . . . 172§ a7. Ecuación de una superftcie citindrica cuyas
(ll'n('ralric-ES son paralelas 11 uno de In", ojps cnorde-nades . . . . . . . . • . . . . . . . . . 174
Capítulo IX. Ecua()iólI do) plano. Ecullción de la recta. Ecun-ciOI\CS de 108 supcrüetcs d" sc.'gulldo orden
§ as. Ecuación gen oral del plano. EClloeióu del planoque pasa por un plln~o liado y ueue 11(1 vector normaldud o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175
§ 89. Ecuacíones íncomplctus dI' los planos. Ecuaclón*segmcnlal'íolt del pluno . . . . . . . . . . .. 170
§ 10. Eeuación normal (101 plan u. Dlstancta tic 1111 puntoa 111\ plano . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1St
§ 41.. KcuacionllS do la recta . . . . . • • . . . . .. 186§ 42. Vector director de In recta, Ecuaciones canónicas
do la recta. Ecuaciones paraméu-ieas de In recta 189~ .sa. Problemas mixtos relat.ivos o lo. ecuación del plano
y a las ecuaciones do In recta . . . . 195§ 44. La esfera . . . . . • . . . • . . . 202S 411. Forma vectorial de IJJ~ ('CuMJoHe!! del plano, do la
recta y do la esfera . . . . .. , . 208§ ItG. Superf'lcies do segundo orden (cuñdricus) . . 213
.E1~tnelltos dC) Ia teoría de Jos dcterminautes
1. Determinantes de ~cgunrlo orden y sistema de dosecuaciones do primer grado con dos inc.(>gnilru¡ . 23'1
299
§ 2. Sistema de dos ecuaciones homogeneas de primorgrado con tres incógnitas . . .
§ 3. Determinantes de tercer orden . . . . .§ 4. Propiedades de los determinantes . . . .§ 5. Resolución y discuslón do un sistema de 1 res ecua-
clones rlo primer grado con tres incóguitas§ 6 •• Determinantes do CUarto orden .
Respuestas e indicaciones a los problemas
Pcimera parteSegunda parto
In el i e o ....
233234236
239242
244283
297
![Problemas Geometría Y Trigonometría [1] -Baldor](https://static.fdocuments.in/doc/165x107/577c83dd1a28abe054b69754/problemas-geometria-y-trigonometria-1-baldor.jpg)
