Test - Geometría Analitica

7/25/2019 Test - Geometra Analitica

1/176

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERADepartamento de Matematica

Quizzes

Ph Valenzuela

GEOMETRIA ANALITICA

Directorio Tabla de Contenido Inicio Artculo

c 2006-2006 [email protected]

Actualizado el: 11 de Abril de 2006 Version 1.0
mailto:[email protected]:[email protected]


2/176

Tabla de Contenido

1. A gozar a gozar! con analtica

2. Rectas

3. Redondita como una circunferencia

4. Parabolas parabolicas parabolticas

5. Elipses e hiperbolas

6. Ejercicios varios

7. Elipses

8. parabolas

9. Hiperbolas

Soluciones a los Ejercicios

Soluciones a los Tests


3/176

Seccion 1: A gozar a gozar! con analtica 3

1. A gozar a gozar! con analtica

Test.

1. La interseccion con el eje x de

2y

x= 8 es:

(a)(4, 0) (b)(0, 8) (c) (0,4) (d)(8, 0)2. Determinar la interseccion con el eje y de la curva f(x) =x2 2x 3.

(a)(0,3) (b)(3, 0) (c) (1, 0) (d)(0, 2)3. Hallar distancia entre los puntos (2, 3) y (3,4).

(a)2

5 (b)5

2 (c) 3

2 (d)4

5

4. Hallar el punto medio del segmento que une (2,3) y (4,1)(a)(3,2) (b)(2, 3) (c) (1,1) (d)(1,1)

5. Hallar el punto medio del segmento que une (2, 3) y (2, 7)(a)(2,2) (b)(5, 0) (c) (0, 5) (d)(2, 2)

6. Determinar el punto medio del segmento que une los puntos (2, 3) and (4,

7).

(a)(3, 2) (b)(3, 2) (c) (3,2) (d)(3,2)7. Hallar distancia entre los puntos (1,1) y (3, 4)

(a)

29 (b)

21 (c)

19 (d)

15


4/176

Seccion 2: Rectas 4

Ejercicio 1.

(a)Sean P1(3, y) y P2(9, 2). Si la d(P1, P2) = 13, encontrar el valor de y.(b)Encontrar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB, con A= (2, 1) y

B= (8, 4), en 3 partes iguales.(c) Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento AB, donde A = (1. 3) y

B= (3, 4).

(d)Encontrar el punto P tal que AP

AB =r, si A= (3, 4), B = (7, 0) y r= 2

5

(e) Encontrar el punto P tal que AP

P B

=r, si A= (5,

3), B = (

1, 6) y r= 1

2

2. Rectas

Test.

1. La pendiente de la recta y= 3 es:

(a)4 (b)0 (c)4 (d) 1

4

2. Determinar si alguna ecuacion siguiente corresponde a una recta vertical.

(a) y= 2x 3 (b) y= 3 (c) x= 5 (d) y= 2x 33. Hallar la pendiente de la recta que contiene los puntos (4 ,2) y (3,1).

(a)3 (b)17

(c) 17

(d)0

4. Hallar la pendiente de la recta paralela a la recta 6y+ 3x= 7.


5/176

Seccion 2: Rectas 5

(a)2 (b) 12

(c)2 (d) 12

5. Hallar la pendiente de la recta de ecuacion 3x 4y= 12(a) 3

2 (b)3

4 (c) 2

3 (d) 3

4

6. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el origen y que es perpendicular a la rectaque muestra la figura 1.

(a) y= 2x (b) y= 35

x (c) y= 78

x (d) y= 12

x

7. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (5, 4).(a)2x + y= 3 (b)2x 3y= 6 (c) 2x y= 3 (d)2y x= 3


6/176


7/176

Seccion 2: Rectas 7

Ejercicio 3. Considerar los puntos (1, 2) y (2, 8).(a)Escribir la ecuacion de la recta que pasa por ambos puntos.

(b)Hallar la ecuacion de la recta que pasa por (1, 1) y es perpendicular a la que pasa por

los dos puntos antes mencionados.Ejercicio 4. Considerar los puntos (3, 2) y (2, 7).(a)Escribir la ecuacion de la recta que pasa por ambos puntos.

(b)Hallar la ecuacion de la recta que pasa por (1, 1) y es perpendicular a la que pasa porlos dos puntos antes mencionados.

Ejercicio 5. Considerar los puntos (5, 3) y (1, 0).

(a)Hallar la distancia entre estos puntos

(b)Escribir la ecuacion de la recta que pasa por ambos puntos.

(c) Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por (1, 0) y tienen centro en (5, 3).

(d)Hallar el conjunto de puntos tales que su distancia a (5, 8) es 3.

(e) Hallar el conjunto de puntos tales que su distancia a (2, 4) sea el triple que su distanciaa (4, 0)

(f) Hallar el conjunto de puntos (x, y) tales que la suma de sus distancias a (3, 0) y a (3, 0)sea 8.

(g)Escribir la ecuacion de la recta que pasa por (1, 5) y paralela a la recta 4y 12x= 5


8/176

Seccion 2: Rectas 8

Ejercicio 6. Considerar los puntos (6, 4) y (3, 0).

(a)Hallar la distancia entre estos puntos

(b)Escribir la ecuacion de la recta que pasa por ambos puntos.

Ejercicio 7.

(a)Encontrar el angulo de inclinacion de la recta que une las coordenadas (1, 3) y (5, 7)

(b)Encontrar el angulo formado por las rectas L1 que pasa por los puntos (1, 4) y (2, 1)y L2 que pasa por los puntos (4, 5) y (2,2).

(c) Determinar el conjunto de puntos (x, y) que equidisten de los puntos (1, 3) y (2, 5).(d)Encontrar la ecuacion en forma general del conjunto de puntos (x, y) que forman la recta

que tienen pendiente 2 y contiene al punto (3,2).(e) Encontrar la ecuacion en forma general de la recta que pasa por (7,1) y tiene pen-

diente m= 54

.

(f) Encontrar la ecuacion en forma general de la recta que pasa por (3, 5) y (7, 2).(g)Un barco navega con una trayectoria representada por la ecuacion 7x 3y 1 = 0,

sabiendo que un faro se localiza en la posicion (9,15) Cual ser la distancia mascercana entre el faro y el barco?

(h)Calcula la distancia del punto (2, 5) a la recta x + y 5 = 0.(i) Calcula la distancia del punto (2, 4) a la recta 4x + 5y 3 = 0.(j) Calcula la distancia entre las rectas 2x 5y+ 3 = 0 y 2x 5y+ 7 = 0.(k)Se sabe que el agua se congela a 0 o 32F, y que hierve a 100Co 212F. Ademas, la

relacion entre la temperatura, expresada en gradosC, y en gradosF, eslineal. Encontrar

esa relacion.


9/176

Seccion 3: Redondita como una circunferencia 9

3. Redondita como una circunferencia

Ejercicio 8.

(a)Identificar el lugar geometrico de ecuacion x2 + y2 8x + 6y+ 24 = 0.(b)Identificar el lugar geometrico de ecuacion x

2

+ y2 6x + 8y+ 21 = 0.

(c) Identificar el lugar geometrico de ecuacion x2 + y2 2x + 8y+ 1 = 0.(d)Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por (3, 0) y tiene centro en (6, 4).

Test.

1. Identificar la ecuacion de la circunferencia que muestra la figura 3.

(a)(x + 1)2 + (y 1)2 = 3 (b) x2 + (y 1)2 = 3(c) (x + 1)2 + (y

1)2 = 9 (d)(x

1)2 + (y+ 1)2 = 9


10/176

Seccion 4: Parabolas parabolicas parabolticas 10

2. Indicar la ecuacion de la circunferencia de centro (1,2) y que pasa por el punto (4, 4).(a)(x 1)2 + (y+ 2)2 = 29 (b)(x + 1)2 + (y 2)2 = 45(c) (x 4)2 + (y 4)2 =

45 (d)(x 1)2 + (y+ 2)2 = 45

Ejercicio 9.

(a)Encontrar la ecuacion de la circunferencia de centro (3, 2) y radio r= 4.

(b)Encontrar la ecuacion de la circunferencia de centro ( 34

, 12

) y radio r= 2.

(c) Encontrar la ecuacion de la circunferencia de centro (0,3) y radio r= 3.

4. Parabolas parabolicas parabolticas

Ejercicio 10.

(a)Graficar la parabola de foco F(1, 2) y directriz D dada por x= 5.

(b)Graficar la parabola de foco F(1,5) y durectriz D dada por y= 2.(c) Graficar la ecuacion y2 6y 20x + 9 = 0.(d)Graficar la ecuacion x2 + 8y 8x + 24 = 0.(e) Graficar la ecuacion 9y

2

6y+ 45x 44 = 0.Test.

1. Si P(x, y) es un punto sobre el grafico de y = x2, entonces la distancia entre el puntoQ(2, 0) y el punto P como funcion de x es:

(a)

2x2

4x + 4 (b)

x4 + x2 + 4

(c) x4 + x2 4x + 4 (d) x4 3x2 + 4


11/176


2. Hallar el maximo valor que toma la parabolay=x2 + 2cx + c.

(a) c + c2 (b)1 + c (c) c c2 (d) c2 c3. Una interseccion de la parabolay= x2 2x 2 con el eje xes:

(a)1 + 2 (b)2 2 (c) 3 3 (d)1 34. Hallar el maximo valor de la funcion f(x) = 4 2x x2

(a)4 (b)3 (c) 5 (d)1

5. Identificar el eje de simetra de la parabolay= 2x2 x 1.(a) y= 1

4 (b) y= 1

2 (c) x= 1

4 (d) x= 1

2

Ejercicio 11.Considerar la ecuacion cuadraticaf(x) = 2 13

(x + 1)2.

(a)Hallar las coordenadas de vertice.

(b)Hallar la ecuacion del eje de simetra

(c) Identificar y graficar la ecuacion.

Ejercicio 12.Considerar la parabolay= 5

4x

x2.

(a)Escribir la ecuacion en forma general.

(b)Hallar intersecciones con los ejes.

(c) Graficar la parabola indicando eje de simetra y vertice.


12/176


Ejercicio 13.Considerar la parabolay= 3x2 12x + 15.(a)Escribir la ecuacion en forma general.

(b)Hallar las coordenadas del vertice.

(c) Determinar si el vertice es punto de maximo o mnimo.

Ejercicio 14.Considerar la parabolay= 4x2 16x + 12.(a)Escribir la ecuacion en forma general.



Ejercicio 15.Considerar la parabolay= 2x2 + 16x 2.(a)Escribir la ecuacion en forma general.



Ejercicio 16.Considerar la parabolay= 3x2 + 18x

9.

(a)Escribir la ecuacion en forma general.




13/176


Ejercicio 17.

(a)Encontrar la ecuacion de la parabola que muestra la figura 4.


14/176


Ejercicio 18.

(a)Encontrar la ecuacion de la parabola que muestra la figura 5


15/176

Seccion 5: Elipses e hiperbolas 15

Ejercicio 19.

(a)Completar cuadrados para identificar el lugar geometrico definido por y= 2x2 4x 6.(b)Grafica la ecuaciony = x2x12, indicando sus intersecciones con los ejes coordenados.

5. Elipses e hiperbolas

Ejercicio 20.Grafica cada una de las siguientes ecuaciones y encuentra las interseccionescon los ejes coordenados.

(a) (x + 3)2

9 +

(y 2)26

= 1

(b) (x 1)211

(y 8)22

= 1

6. Ejercicios varios

Ejercicio 21.

(a)Escribir la ecuacion de la circunferencia de centro (4,

3) y radio 7.

(b)Escribir la ecuacion de la circunferencia de centro (2, 1) y que pasa por (0,4).(c) Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por (0, 1) y (1, 0) y de radio

5.

(d)Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el origen y por los puntos (4, 0) y(0, 3).

(e) Hallar la ecuacion de la circunferencia sabiendo que los puntos (1, 2) y (3, 6) son los

extremos de un diametro.


16/176

Seccion 7: Elipses 16

(f) Hallar centro y radio de la circunferencia x2 + y2 8x + 2y+ 10 = 0(g)Hallar centro y radio de la circunferencia 2x2 + 2y2 16x + 24 = 0(h)Hallar centro y radio de la circunferencia x2 + y2 + 6x + 10y= 30

7. Elipses

Ejercicio 22.

(a) Hallar la ecuacion de la elipse de focos F1(4, 0) y F2(4, 0) y que pasa por el punto(3, 1).

(b)Representar y calcular excentricidad de la elipse

(x + 5)2

16 +

(y

2)2

4 = 1

(c) Representar y calcular excentricidad de la elipse (x 3)2

16 +

(y 7)264

= 1.

(d)Hallar vertices y focos de la elipse x2

100+

y2

36= 1

(e) Hallar vertices y focos de la elipse 9x2 + 25y2 = 25

(f) Hallar vertices y focos de la elipse x2

64+ y

2

100= 1

Ejercicio 23.Hallar las ecuaciones de las elipses determinadas de los modos siguientes:

(a)Focos (2, 0) y (2, 0), longitud del eje mayor 10.(b)Focos (3, 0) y (3, 0), excentricidad 1

2.

(c) Eje mayor sobre el eje xy longitud 10, pasa por el punto (3, 3).


17/176

Seccion 8: parabolas 17

(d)Eje mayor sobre el eje y y longitud 2, excentricidad 12

.

8. parabolas

Ejercicio 24.Hallar las ecuaciones de las parabolas determinadas de los modos siguientes:(a)foco F(3

2, 0) y directriz x= 3

2

(b)foco F(0, 2) y directriz y= 2.(c) foco F(5, 0) y directriz x= 5.(d)vertice V(0, 0) y directriz y= 3.

(e) vertice (0, 0) y pasa por (2, 3).

(f) foco F(2, 1) y directriz y+ 3 = 0.

(g)foco F(0, 0) y directriz y= 2.(h)foco F(2, 0) y directriz x= 1.(i) foco F(1, 1) y vertice (1, 1

2).

Ejercicio 25.Hallar los vertices, los focos y las directrices de las siguientes parabolas:

(a) y2 = 6x

(b) y2 = 6x(c) y2 = 4(x 1)(d)(y 2)2 = 8x(e) x2 = 4(y+ 1)

(f) (x 2)2

= 6y


18/176

Seccion 9: Hiperbolas 18

Ejercicio 26.

(a)La parabola de ecuacion y2 4y 6x 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encontrarsu directriz.

9. Hiperbolas

Ejercicio 27.Hallar los vertices, focos, excentricidades, asntotas de las hiperbolas dadas.

(a) x2

100 y

2

36= 1

(b) 9x2

16 y2 = 1

(c) x2 4y2 = 1(d) x2 4y2 = 4

(e) y2

4 x

2

36= 1

(f) y2

16x2 = 1

(g)9x2 4y2 = 36(h)4x2 y2 + 16 = 0

Ejercicio 28.Hallar las ecuaciones de las hiperbolas determinadas de los modos siguientes:

(a)Focos (4, 0) y (4, 0), distancia entre los vertices 4.(b)Asntotas y=

1

5xy vertice (2, 0).


19/176


(c) Asntotas y= 3x y pasa por el punto (2, 1).(d)Focos (3, 0) y (3, 0), excentricidad 3.(e) Asntotas y= 3

5x, focos (2, 0) y (2, 0).

(f) Focos (3, 0) y (3, 0) y pasa por el punto (8, 53).Ejercicio 29.

(a)Se llama hiperbola equilatera a aquella en que a= b. Hallar la ecuacion de la hiperbolaequilatera cuyos focos son (5, 0) y (5, 0).

Ejercicio 30.Identifica las siguientes conicas, calcula sus elementos caractersticos y dibujalas:

(a)4x2 + 9y?2 = 36

(b)16x2 9y2 = 144(c) 9x2 + 9y2 = 25

(d) x2 4y2 = 16(e) y2 = 14x

(f) 25x2

+ 144y2

= 900

(g) (x 3)2

25 +

(y+ 2)2

9 = 1

(h) (x 3)2

9 +

(y+ 2)2

25 = 1

(i) (x 3)2

16 (y+ 2)2

4 = 1


20/176


(j) (y+ 2)2

4 (x 3)

2

16 = 1

Ejercicio 31.

(a)Determinar el tipo de simetra que tiene la ecuacion x2

4 y2

9 = 36

Ejercicio 32.

(a)Completa la grafica utilizando la hipotesis de que es simetrica respecto al origen


21/176


Ejercicio 33.

(a)Completa la grafica utilizando la hipotesis de que es simetrica respecto al eje y


22/176

Soluciones a los Ejercicios 22

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 1(a)y= 3, y= 7


23/176


Ejercicio 1(b)(2, 4) y (6, 3)


24/176



25/176


Ejercicio 1(c)

x= 1, y=1

2


26/176


Ejercicio 1(d)x= 4, y= 3


27/176


Ejercicio 1(e)x= 7, y= 0

S


28/176


Ejercicio 2(a)

La recta 2x + 3y= 12 tiene pendiente 2

3 , de manera que toda paralela a ella debe tener lamisma pendiente. En consecuencia, la ecuacion pedida es

y+ 5 = 23

(x + 4)

S l i l Ej i i 29


29/176


Ejercicio 2(b) La condicion de perpendicularidad nos dice que la pendiente de la recta,cuya ecuacion se debe hallar, es recproca y de signo contrario a la de la recta 2y 3x= 6.Como esta ultima tiene m = 3

2 la otra tiene m = 2

3. Como nos dan el punto es cosa de

reemplazar en la ecuacion general de la recta para tener

y+ 2 = 23

(x 2)

S l i l Ej i i 30


30/176


Ejercicio 3(a) La pendiente es m= 2. Luego, la ecuacion esy= 4 2x

S l i l Ej i i 31


31/176


Ejercicio 3(b) La recta perpendicular tiene pendiente 12

, de manare que su ecuacion es

y 1 =12

(x 1)

que equivale a 2y x 1 = 0

S l i l Ej i i 32


32/176


Ejercicio 4(a) La pendiente es m= 1. Luego, la ecuacion esy= 5 x

S l i l Ej i i 33


33/176


Ejercicio 4(b) La recta perpendicular tiene pendiente 1, de manera que su ecuacion es

y 1 =x 1que equivale a

y=x



34/176


Ejercicio 5(a)d= 5



35/176


Ejercicio 5(b) La pendiente es m= 34

. Luego, la ecuacion es

y=3

4(x 1)



36/176


Ejercicio 5(c)(x 5)2 + (y 3)2 = 25



37/176


Ejercicio 5(d)x2 + y2 10x 16y+ 80 = 0



38/176


Ejercicio 5(e)2x2 + 2y2 17x + 2y+ 31 = 0



39/176


Ejercicio 5(f)7x2 + 16y2 112 = 0



40/176


Ejercicio 5(g)y= 3x + 8



41/176


Ejercicio 6(a)d= 5



42/176

S s s j s

Ejercicio 6(b) La pendiente es m= 43

. Luego, la ecuacion es

y=4

3(x 3)



43/176

j

Ejercicio 7(a)45



44/176

j

Ejercicio 7(b)60, 95



45/176

j

Ejercicio 7(c)6x 4y+ 19 = 0



46/176

Ejercicio 7(d)2x y 8 = 0



47/176

Ejercicio 7(e)5x + 4y+ 39 = 0



48/176

Ejercicio 7(f)10y 3x 418 = 0



49/176

Ejercicio 7(g)19

58



50/176

Ejercicio 7(h) 2



51/176

Ejercicio 7(i)941



52/176

Ejercicio 7(j)14

29



53/176

Ejercicio 7(k) La pendiente m= 45

y la ecuacion

4x 5y+ 160 = 0



54/176

Ejercicio 8(a)

x2 + y2 8x + 6y+ 24 = 0 = (x 4)2 + (y+ 3)2 = 1Es una humilde circunferencia de centro (4,3) y radio 1.



55/176

Ejercicio 8(b)

x2 + y2 6x + 8y+ 21 = 0 = (x 3)2 + (y+ 4)2 = 4Es una circunferencia de centro (3,4) y radio 2.



56/176

Ejercicio 8(c)

x2 + y2 2x + 8y+ 1 = 0 = (x 1)2 + (y+ 4)2 = 16Es una circunferencia de centro (1,4) y radio 4.



57/176

Ejercicio 8(d)(x 6)2 + (y 4)2 = 25



58/176

Ejercicio 9(a) La ecuacion es

x2 + y2 6x 4y 3 = 0y su grafico



59/176

Ejercicio 9(b) La ecuacion es

16x2 + 16y2 24x 16y 51 = 0y su grafico



60/176

Ejercicio 9(c) La ecuacion esx2 + y2 + 6y= 0

y su grafico



61/176

Ejercicio 10(a) La ecuacion es

y2 4y+ 8x 20 = 0y su grafico



62/176

Ejercicio 10(b) La ecuacion es

x2 2x + 6y+ 22 = 0y su grafico



63/176

Ejercicio 10(c)



64/176

Ejercicio 10(d)



65/176

Ejercicio 10(e)



66/176

Ejercicio 11(a) El vertice es el punto (1, 2)



67/176

Ejercicio 11(b) El eje de simetra es la recta x= 1


( ) ( 5 ) (

)


68/176

Ejercicio 11(c) Las intersecciones con los eje son: (0, 53

) y con el eje xson (1 +

6, 0) y

(1

6, 0)


69/176


Ej i i 12(b)


70/176

Ejercicio 12(b)

x= 0 = y= 5, y= 0 = x2 + 4x 5 = 0 = x= 1 x= 5


Ej i i 12( )


71/176

Ejercicio 12(c)


Ej i i 13( )


72/176

Ejercicio 13(a)y= 27 3(x + 2)2


Ej i i 13(b)


73/176

Ejercicio 13(b)(2, 27)


Ej i i 13( ) E d i L b l b h i b j


74/176

Ejercicio 13(c) Es de maximo. La parabola se abre hacia abajo.


Ejercicio 14(a)


75/176

Ejercicio 14(a)y= 28 4(x + 2)2


Ejercicio 14(b)


76/176

Ejercicio 14(b)(2, 28)


Ejercicio 14(c) Es de maximo pues a < 0


77/176

Ejercicio 14(c) Es de maximo pues a


78/176

Ejercicio 15(a)y= 2(x + 4)2 34


Ejercicio 15(b)


79/176

Ejercicio 15(b)(4,34)


Ejercicio 15(c) Es de mnimo a > 0


80/176

Ejercicio 15(c) Es de mnimo, a >0.


Ejercicio 16(a)


81/176

Ejercicio 16(a)y= 3(x + 3)2 36


Ejercicio 16(b)


82/176

Ejercicio 16(b)(3,36)


Ejercicio 16(c) Es de mnimo pues a > 0


83/176

Ejercicio 16(c) Es de mnimo pues a >0.


Ejercicio 17(a)


84/176

Ejercicio 17(a)y=x2 2x


Ejercicio 18(a)


85/176

Ejercicio 18(a)y= x2 + 6x + 27


Ejercicio 19(a) Es una parabola de ecuacion


86/176

j ( ) p

y= 2(x 1)2 8el vertice es (1,8)


Ejercicio 19(b) Factorizando se tiene que y = (x 4)(x 3). De aqu que corta al eje x


87/176

j ( ) q y ( )( ) q q jen los puntos x= 4 y x= 3. Si x= 0, entonces y =12. La grafica es una parabola quese abre hacia arriba pues a >0.


Ejercicio 20(a) Se trata de una elipse con centro en (3, 2). Su grafica es


88/176

j ( ) p ( , ) g


Ejercicio 20(b) Es una hiperbola de centro (1, 8). Su grafica es:


89/176

j ( ) p ( , ) g


Ejercicio 21(a)


90/176

j ( )x2 + y2 8x + 6y 24 = 0


Ejercicio 21(b)


91/176

( )(x + 2)2 + (y 1)2 = 29


Ejercicio 21(c) Dos soluciones


92/176

x2 + y2 2x + 2y 3 = 0 y x2 + y2 + 4x 4y+ 3 = 0


Ejercicio 21(d)


93/176

x2 + y2 4x 3y= 0


Ejercicio 21(e)2 2


94/176

x2 + y2 4x 8y+ 15 = 0


Ejercicio 21(f)


95/176

centro (4,1) y radio r=

7


Ejercicio 21(g)


96/176

centro (4, 0) y radio r= 2


Ejercicio 21(h)


97/176

centro (3,5) y radio r= 2


Ejercicio 22(a)2 2


98/176

x2

18+

y2

2 = 1


Ejercicio 22(b) La excentricidad es e= 0, 87 y su grafica


99/176


100/176


Ejercicio 22(d) Vertices (10, 0), (10, 0), (0, 6), (0,6). Focos: (8, 0), (8, 0).


101/176


Ejercicio 22(e) Vertices (53

, 0), ( 53

, 0), (0, 1), (0,1). Focos (43

, 0), ( 43

, 0).


102/176


103/176


Ejercicio 23(a)x2 y2


104/176

x2

25+

y2

21= 1


Ejercicio 23(b)x2 y2


105/176

x

36+

y

27= 1


Ejercicio 23(c)x2 16y2


106/176

x

25+

16y

225 = 1


Ejercicio 23(d)4x2


107/176

4x

3 + y2 = 1


Ejercicio 24(a)y2 = 6x


108/176

y = 6x


109/176


Ejercicio 24(c)y2 = 20x


110/176

y = 20x


Ejercicio 24(d)x2 = 12y


111/176

x = 12y


Ejercicio 24(e)2y2 = 9x y 3x2 = 4y


112/176

2y 9x y 3x 4y


Ejercicio 24(f)(x 2)2 = 8(y + 1)


113/176

(x 2) 8(y+ 1)


Ejercicio 24(g)x2 = 4(y + 1)


114/176

x 4(y+ 1)


Ejercicio 24(h)2 6(

1)


115/176

y2 = 6(x 2

)


Ejercicio 24(i)

(x 1)2 2(y1

)


116/176

(x 1)2 = 2(y 2

)


Ejercicio 25(a) Vertice (0, 0). Foco (32

, 0). Directriz x= 32


117/176


Ejercicio 25(b) Vertice (0, 0). Foco (32

, 0). Directriz x= 32


118/176


119/176


Ejercicio 25(d) Vertice (0, 2). Foco (2, 2). Directriz x= 2


120/176


Ejercicio 25(e) Vertice (0, 1). Foco (0, 0). Directriz y= 2


121/176


Ejercicio 25(f) Vertice (2, 0). Foco (2,32

). Directriz: y= 32


122/176


Ejercicio 26(a)x= 3


123/176


124/176


125/176


Ejercicio 27(c) 5

5 x


126/176

e= 1, 12 V1(1, 0), V2(1, 0), F1(

5

2, 0), F2(

5

2, 0), asntotas y= x

2


Ejercicio 27(d)

e = 1 12 V1(2 0) V2(2 0) F1(

5 0) F2(

5 0) asntotas y = x


127/176

e= 1, 12 V1(2, 0), V2(2, 0), F1(

5, 0), F2(

5, 0), asntotas y= 2


Ejercicio 27(e)

e = 3 16 V1(0 2) V2(0 2) F1(0

40) F2(0

40) asntotas y = x


128/176

e= 3, 16 V1(0, 2), V2(0, 2), F1(0,

40), F2(0,

40), asntotas y= 3


Ejercicio 27(f)

e = 1, 03 V1(0, 4), V2(0,4), F1(0,

17), F2(0,

17), asntotas y = 4x


129/176

e 1, 03 V1(0, 4), V2(0, 4), F1(0,

17), F2(0,

17), asntotas y 4x


Ejercicio 27(g)

e = 1 80 V (2 0) V ( 2 0) F (

13 0) F (

13 0) asntotas y = 3x


130/176

e= 1, 80 V1(2, 0), V2(2, 0), F1(

13, 0), F2(

13, 0), asntotas y= 2


Ejercicio 27(h)

e= 1, 12 V1(0, 4), V2(0,4), F1(

20, 0), F2(

20, 0), asntotas y= 2x


131/176

, 1( , ), 2( , ), 1(

, ), 2(

, ), y


Ejercicio 28(a)x2

4 y

2

12= 1


132/176

4 12


Ejercicio 28(b)x2

4 25y

2

12 = 1


133/176

4 12


Ejercicio 28(c)9x2

35 y

2

35= 1


134/176

35 35


Ejercicio 28(d)x2

1 y

2

8 = 1


135/176

1 8


Ejercicio 28(e)17x2

50 17y

2

18 = 1


136/176

50 18


Ejercicio 28(f)x2

4 y

2

5 = 1


137/176

4 5


138/176


Ejercicio 30(a) Elipse, con a= 3, b= 2, c=

5, e= 0, 75


139/176


Ejercicio 30(b) Hiperbola con a= 3, b= 4, c= 5, e= 1, 67, asntotas y= 4x3


140/176


Ejercicio 30(c) Circunferencia de centro (0, 0) y radio r= 53


141/176


Ejercicio 30(d) Hiperbola con a= 4, b= 2, c= 2

5, e= 1, 12, asntotas y= x2


142/176


Ejercicio 30(e) Parabola de vertice (0, 0), foco (72

, 0) y directriz x= 72


143/176


Ejercicio 30(f) Elipse con a= 6, b= 52

, c=

119

12, e= 0, 91


144/176


Ejercicio 30(g) Elipse con a= 5, b= 3, c= 4, focos en (7,2), (1,2), e= 0, 8


145/176


Ejercicio 30(h) Elipse con a= 5, b= 3, c= 4, focos en (3, 2), (3,6), e= 0, 8


146/176


Ejercicio 30(i) Hiperbola, a = 4, b= 2, c= 2

5, focos en (3+2

5,2), (32

5,2), e=1, 12


147/176


Ejercicio 30(j) Hiperbola, a = 4, b = 2, c = 2

5, focos en (3,2 + 2

5), (3,2 2

5), e=

5


148/176


Ejercicio 31(a) Es una hiperbola de centro el origen y eje real sobre el eje x. Por tanto,su simetra es respecto del eje y.


149/176


Ejercicio 32(a) Una manera sencilla es pensar primero en copiar la figura al segundocuadrante por un giro de 180 y luego copiar esta nueva figura ven el tercer cuadrante porotro giro de 180.


150/176



151/176


Ejercicio 33(a) La idea es copiar la figura al segundo cuadrante por un giro de 180.


152/176



153/176

Soluciones a los Tests 154

Soluciones a los Tests

Solucion al Test: La interseccion con el eje x se encuentra haciendo y = 0. Luego, larespuesta es


154/176

respuesta esy= 0 = 2 0 x= 8 = x= 8

Final del Test


Solucion al Test: Con x = 0 se halla que y =3, con lo cual (0,3) es la solucioncorrecta. Final del Test


155/176


Solucion al Test:d=

(4 3)2 + (3 2)2 =

50 = 5

2

Final del Test


156/176


Solucion al Test:

M= (2 + 4

2 ,3 1

2 ) = (3,2)

Final del Test


157/176

Final del Test


Solucion al Test:(0, 5)

Final del Test


158/176


Solucion al Test: Recordar que la formula del punto medio es

M=

x1+ x2

2 ,

y1+ y22


159/176

de modo que

M=

2 + 42 ,3 72

= (3,2)Final del Test


Solucion al Test:d=

(3 (1))2 + (3 1)2 =

29

Final del Test


160/176


Solucion al Test: es una recta paralela al eje x, luego tiene pendiente cero.Final del Test


161/176


Solucion al Test: Las rectas verticales pasan siempre por un mismo valor de x. Sonparalelas al eje y. Final del Test


162/176


Solucion al Test:

m= y2 y1x2 x1

=1 + 23 4=

1

7Final del Test


163/176

Final del Test


Solucion al Test: Las rectas paralelas siempre tienen igual pendiente. Final del Test


164/176


Solucion al Test:

3x 4y= 12 = y= 34

x + 3

Final del Test


165/176


Solucion al Test:


166/176

La pendiente de la recta que aparece en la figura 1 es

m= y2 y1x2

x1= 3 55

(

2) = 8

7

Toda recta perpendicular a este tiene pendiente 7

8. En consecuencia, la recta pedida tiene

ecuacion

y y0 =m(x x0) = y 0 =7

8(x 0) = y=7

8x

Final del Test


Solucion al Test: La pendiente es m= 36

= 12

. Por tanto,

y 1 =12

(x + 1) = 2y 2 =x + 1 = 2y x= 3


167/176

Final del Test


Solucion al Test: Para hallar la pendiente se pueden usar los puntos (5,2) y (5, 3). Seobtienem= 1

2. Final del Test


168/176


Solucion al Test:


169/176

La pendiente de la recta perpendicular es2, y su ecuacion es

y 1 = 2(x (1)) = y 1 = 2(x + 1)Final del Test


Solucion al Test: El centro (h, k) = (1, 1) y el radio es r= 3. Luego,(x h)2 + (y k)2 =r2 = (x + 1)2 + (y 1)2 = 9

Final del Test


170/176


Solucion al Test:


171/176

La distancia entre el punto y el centro da el radio

d2 = (4 (2))2 + (4 1)2 = d2 = 45 = r= d =

45

Final del Test


172/176


Solucion al Test:

y= x2 + 2cx + c= y= (x + c)2 c2 + c= y (c2 c) = (x + c)2

Si x= c, entonces y= c c2 Final del Test


173/176


Solucion al Test:

x2 2x 2 = 0 = x= 1

1 + 2 = x= 1

3

Se sigue que la alternatica correcta es, x= 1

3. Final del Test


174/176


Solucion al Test:

y= 4 2x x2 = y= 4 (x2 + 2x) = y= 5 (x + 1)2

El eje de simetra es x= 1, all se encuentra el valor mayor, que es, f(1) = 5.


175/176

Final del Test


Solucion al Test: Final del Test


176/176

Test - Geometría Analitica

Documents

Transcript of Test - Geometría Analitica