FRAKTALI

Vo ovaa statija e obrabotena temata fraktali kako del od teorijata na haos, {to pretstavuvaat fraktalite, nivni karakteristiki i podelba spored na~inot na koj se generiraat istite.

Taka po~nuvaj}i so op{tite definicii za fraktali i toa deka tie pretstavuvaat uspe{en obid matemati~ki da se manifestira haosot, so pomo{ na ve}e poznati i lesni matemati~ki modeli, zapo~nuva prviot del od temata. Vo nego pokraj toa se navedeni i glavnite karakteristiki na fraktalite, za da kone~no preku kratok osvrt na nekoi matemati~ki poimi i definicii se definira i poimot fraktal. Potoa preku kantorovata pra{ina se doa|a do konkretni primeri za fraktali i kone~no kakva e podelbata na fraktalite spored na~inot na koj tie nastanale. Za su{tinsko definirawe na poimot fraktal se potrebni nekoi osnovni poznavawa na elementi od linearna algebra, matrici, linearni operatori, matri~ni linearni transformacii.

Poradi geometriska preglednost ovde }e se zadr`ime samo vo Evklidovata ramnina R2.

Poimi: − Linearna transformacija − Mno`estva sli~ni sami na sebe − Hauzdorfova dimenzija − Fraktal − Haos

LINEARNA TRANSFORMACIJA Da go postavime problemot za preslikuvawe na to~ki od

ramnina vo to~ki od druga ramnina. Neka vo R2 so Dekartov pravoagolen koordinaten sistem e definirano preslikuvawe na to~ka vo to~ka so ve}e poznato pokoordinatno sobirawe i mno`ewe so skalar. Ako A e mno`estvo to~ki, a T e linearno preslikuvawe toga{ }e pi{uvame T(A) = B , kade so B go ozna~uvame mno`estvoto to~ki dobieni pri linearnoto preslikuvawe ili linearniot operator T .

Kaj specijalnite linearni operatori za koi postoi realen broj s > 0 taka {to T: (x, y) → s (x, y) = (sx, sy) vo R2 se sre}avame i so faktor na dilatacija ako s > 1 odnosno kontrakcija ako 0 < s < 1. Definicija: Dve podmno`estva S1 i S2 od to~ki od Evklidovata ramnina velime deka se kongruentni ako postoi linearno preslikuvawe T so faktor s taka {to T(S1) = sS1 = S2 .

Pri toa S1 = {(x, y) | x, y∈R}, sS1 = {(sx, sy) | (x, y)∈S1} = S2 i dozvolena e i kompozicija so translacija.

Linearnoto preslikuvawe (operatorot) T od Evklidoviot prostor R2 vo R2, so odredeni osobini koe definira soodvetna linearna transformacija, generira mno`estva nare~eni fraktali. Pri toa se sre}avaat i matemati~kite poimi zatvoreno i ograni~eno mno`estvo, kongruentni mno`estva, disjuktni mno`estva, modularna aritmetika.

Fraktalite se generiraat so pomo{ na linearni transformacii. Za taa cel se upotrebuva soodvetna matri~na prezentacija na tie linearni preslikuvawa (transformacii)

56

odnosno operatori. Ovie matri~ni prezentacii }e gi objasnime najprvin podetalno so poednostavni primeri.

Naprimer so matricata e prezentirano preslikuvawe

na to~kite od R

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1001

2 vo R2 simetri~no na y oskata, t.e

T( ) = = , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−yx

kade koordinatite na to~kite se elementi od matrica kolona.

Na preslikuvaweto rotacija za agol ϕ odgovara matricata

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −ϕϕϕϕ

cossinsincos

.

Zna~i

T ( ) = = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −ϕϕϕϕ

cossinsincos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

ϕϕϕϕ

cossinsincos

yxyx

a na preslikuvaweto dilatacija ili kontrakcija so faktor s matricata

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡s

s0

0

t.e.

T ( ) = = . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡s

s0

0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡sysx

Postojat i linearni transformacii nare~eni

kontrakcii ili izdol`uvawa vo odnos na x odnosno y oskata, definirani so matricite od vid

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡100s

odnosno ili zaedno . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡s001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

00s

s

57

Preslikuvaweto T definirano so

T ( ) = s + ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −ϕϕϕϕ

cossinsincos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡fe

e kompozicija od tri ednostavni preslikuvawa kontrakcija so faktor s, rotacija za agol ϕ i translacija. Ovaa preslikuvawe se vika sli~nost so faktor s i pri toa preslikuvawe originalot i slikata kako mno`estva se kongruentni.

MNO@ESTVA SLI^NI SAMI NA SEBE

Definicija: Zatvoreno i ograni~eno mno`estvo S od to~ki od Evklidovata ramnina odnosno prostor velime deka e sli~no samo na sebe (self−similar) ako e unija od k disjuktni podmno`estva S1, S2, …., Sk koi se kongruentni so S, dobieni so ist faktor na kontrakcija s, 0 < s < 1. (samobendisano mno`estvo)

Primer 1. : Otse~ka S so dol`ina 1 . Neka x ∈ S . So transformaciite

T1(x) = 21 x za mno`estvoto S1 = T1(S),

T2(x) =21 x +

21 za mno`estvoto S2 = T2(S) ,

se dobiva S = S1 ∪ S2 (crte` 1.).

S1=T2(S)

Crte` 1.

S2=T2(S)

S

Zna~i otse~kata S e mno`estvo sli~no samo na sebe, kongruentno so mno`estvata S1 i S2 so ist faktor na kontrakcija 1/2. Primer 2. : Kvadrat U so strana so dol`ina 1. Neka to~kata A(x, y) ∈ U. So transformaciite

58

T1( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2y

x

za mno`estvoto S1 = T1(U),

T2( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

021

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ +

2

21

2y

x

za S2 = T2(U),

T3( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

210

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+21

2

2y

x

za S3 = T3(U),

T4( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2121

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

21

2

21

2y

x

za S4 = T4(U) ,

se dobiva U = S1∪S2 ∪S3 ∪S4 . Pri toa to~kata A e pretstavena so matrica kolona.

Crte` 2.

Zna~i kvadratot U e mno`estvo sli~no samo na sebe, kongruentno so site mno`estva S1, S2, S3, S4 so ist faktor na kontrakcija 1/2 (crte` 2.).

59

FRAKTAL

Fraktalite od sekoga{ bile okolu nas, no poimot fraktal i negovata definicija se poznati od neodamna. Zborot fraktal go vovel Benoit Mandelbrot, od latinskata pridavka fractus, {to zna~i razdroben, skr{en nepovrzan. So toa sakal da ja predstavi razdrobenosta i “frakcionalnosta” t.e. geometrijata koja se fokusira na razdrobeni, iskriveni i neravni oblici. Vo svojata kniga "Fractal Geometry of Nature"(1983), go iznel tvrdeweto deka neobi~nite oblici imaat zna~ewe i deka slo`enosta ne e taka slu~ajna. So otkrivaweto na fraktalnata geometrija ni e ovozmo`eno da vlezeme vo nov svet na oblici i da po~neme da razmisluvame na poinakov na~in.

Ima mnogu razli~ni definicii za fraktal, no nitu edna ne e dovolno precizna. Me|utoa, va`ni se dve svojstva koi gi poseduvaat site fraktali, a toa se fraktalna dimenzija i samosli~nost. ]e navedeme nekoi definicii za fraktal:

- fraktal e neraven ili iskr{en geometriski oblik koj mo`e da se podeli na u{te positni delovi, od koi sekoj (barem pribli`no) e smalena kopija od celinata

- fraktal e sekoj primerok koj pri zgolemuvawe otkriva pogolema slo`enost

- fraktalot kako geometriski oblik e sli~en sam na sebe vo razli~ni merki, itn.

Fraktalite se sliki na nastanuvawe i is~eznuvawe na pojavi i objekti, ja opi{uvaat grubosta na svetot, negovata energija, dinami~ki promeni i transformacii, dodeka tragite koi ostanuvaat po pominuvaweto na dinami~kite aktivnosti gi bele`i fraktalnata geometrija.

Postojat mnogu matemati~ki objekti koi se fraktali. Na primer: Kantorovo mno`estvo, kilim i triagolnik na Sierpinski, Koch-ova snegulka, kriva na Paeano, Mandelbrot-ovo mno`estvo, Lorenc-ov fraktal na privle~nost itn. Vo fraktali vbrojuvame i mnogu vistinski oblici kako oblak, planina, morski breg, padnati listovi i dr.

Vo Euclid-ovata ili topolo{ka geometrija se sre}avame so objekti koi imaat celobrojni dimenzii Dimenzija na prostorot vo koj `iveeme e tri, ramninata odnosno

60

povr{inata ima dimenzija dva, krivata eden, a to~kata nula. Me|utoa objektite vo prirodata nemaat pravilen oblik, na pr. niti oblacite se topki, niti planinite stolbovi ili piramidi. Takvite objekti ~ija dimenzija ne mora nu`no da bide cel broj gi vikame fraktali, a nivnata dimenzija ja narekuvame fraktalna ili iskr{ena dimenzija. Taa go definira razdrobeniot sostav, no isto taka i ispolnetosta na prostorot t.e. stepenot na zavzemawe na prostorot pome|u Euclid-ovite dimenzii. Su{tinata e vo toa stepenot na nepravilnost (fraktalnata dimenzija) da ostane postojan bez ogled na merkata, {to vo prirodata ~esto se poka`uva kako to~no.

Vo 1919 godina Hausdorff (1868−1942 ) formuliral druga definicija za dimenzija kako brojna karakteristika za mno`estvo. Ovde taa op{ta definicija nema da ja ka`eme poradi nejzinata slo`enost no }e ja konkretizirame na poednostavnite mno`estva sli~ni sami na sebe. Definicija: Neka S e mno`estvo sli~no samo na sebe. Brojot

dH(S) =

s

k1ln

ln

kade k e brojot na disjunktni mno`estva so ist faktor na kontrakcija s ~ija unija e S se vika Hausdorfova dimenzija za S so oznaka dH(S).

Vaka definiranata Hauzdorfova dimenzija ne mora da bide cel broj, ne mora da e ednakva na topolo{kata dimenzija za isto mno`estvo S so oznaka dT(S), i sekoga{ va`i dT(S)≤ dH(S).

Za mno`estvoto S kaj primer 1 se dobiva s = 21 , k = 2,

dH(S) = 1 = dT(S).

Za mno`estvoto U kaj primer 2 se dobiva s = 21 , k = 4,

dH(U) = ln4/ln2 = 2 = dT(U).

(Tempirana mega bomba so prodol`eno dejstvo 1919 - 1977 )

Definicija: (Mandelbrot 1977) Fraktal e podmno`estvo od Evklidskiot prostor za koe hauzdorfovata i topolo{kata dimenzija ne se ednakvi.

61

Primer 3. (Kantorovo mno`estvo) Kantorovoto mno`estvo S e fraktal i za nego Hauzdorf (1919) prvpat poka`al deka ima dimenzija ne cel broj.

Geometriski gledano ako edna otse~ka so dol`ina 1 ja podelime na tri ednakvi dela i ja odstranime srednata tretina, pa potoa ja odstranime srednata tretina od preostanatite 2 otse~ki i taka prodol`ime do beskone~nost, se dobiva kantorovoto mno`estvo S (crte` 3.).

.................................................................. Crte` 3.

Neka x ∈ S. So transformaciite T1(x) = 31 x za

mno`estvoto S1 = T1(S), T2(x) = 31 x +

32

za mno`estvoto S2 =T2(S),

se dobiva S = S1∪S2 i s = 31

, k = 2. S e sli~no samo na sebe,

kongruentno so mno`estvata S1, S2 so ist faktor na

kontrakcija s =31

. Zna~i dH(S) = 3ln2ln = 0,6309 i ima

hauzdorfova dimenzija ne cel broj t.e. e fraktal. Ova mno`estvo se sostoi od ona {to }e ostane koga od

edine~nata dol`ina se izvadat site otse~ki koi se odstranuvaat. Za dol`ina na toa {to }e se odstrani dobivame

L = 1

321

131

32

31...

274

92

31

0

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+++ ∑

∞

=m

m

.

Spored toa dol`inata kako brojna karakteristika na kantorovoto mno`estvo e nula. Sepak, toa ne e samo mno`estvo

62

od izolirani to~ki, bidej}i prebroivo mno`estvo od izolirani to~ki ima dimenzija nula, dodeka Kantorovoto mno`estvo ima dimenzija ln2/ln3. Pove}e od samo beskone~na kolekcija na to~ki ovaa "pra{ina" sepak e pomalku od kriva, a pove}e od to~ka. Edna druga brojna karakteristika kardinalniot broj na ovaa mno`estvo e ednakov na kardinalniot broj na mno`estvoto realni broevi koe e neprebroivo mno`estvo.

Mandelbrot prona{ol i prakti~na primena na Kantorovata pra{ina, prepoznavaj}i vo nea model spored koj nastanuva {umot vo digitalnite komunikaciski sistemi. Imeno postojat periodi koga transmisijata niz komunikaciskiot kanal e bez {um, ponatamu ako se analizira {umot vo nego, }e se prepoznaat periodi na {um, na sekoe skalilo do beskone~nost. Primer 4. Sierpinski kilim (Waclaw Sierpinski 1882 − 1969): Kilimot na Sierpinski (1916) e edna generalizacija na Cantor-ovoto mno`estvo. Se dobiva so podelba na kvadrat na devet ednakvi delovi i odzemawe na sredi{niot od niv so strana 1/3 od pojdovnata. Istata procedura se povtoruva na sekoj od ostanatite 8 kvadrati. Ako ovaa postapka se povtoruva beskone~no mnogu pati toga{ mno`estvoto to~ki koe }e se dobie e kilimot na Sierpinski (crte` 4.).

Crte` 4.

Neka to~kata A(x, y) pripa|a na kilimot na Sierpinski.

Vo soglasnost so procedurata za dobivawe na toa mno`estvo se definiraat slednite kongruentni mno`estva:

63

T1( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

31

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

za mno`estvoto S1 = T1(S) ,

T2( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

31

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

031

za mno`estvoto S2 = T2(S) ,

T3( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

31

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

032

za mno`estvoto S3 = T3(S) ,

T4( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

31

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

310

za mno`estvoto S4 = T4(S) ,

T5( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

31

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3132

za mno`estvoto S5 = T5(S) ,

T6( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

31

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

320

za mno`estvoto S6 = T6(S) ,

T7( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

31

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3231

za mno`estvoto S7 = T7(S) ,

T8( ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

31

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡yx

+ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3232

za mno`estvoto S8 = T8(S)

i S = U . Pri toa to~kata A e pretstavena so matrica

kolona. Zna~i s =

8

1

)(=i

i ST

31 , k = 8. So toa poka`avme deka ovaa

mno`estvo e sli~no samo na sebe, kongruentno so site mno`estva S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8 , so ist faktor na

kontrakcija s = 31 i ima Hauzdorfova dimenzija dH(S) =

3ln8ln =

1,893. Zna~i kilimot na Sierpinski e fraktal.

64

Voveduvaweto na poimot fraktal spored soodvetnite primeri e napraveno preku linearna transformacija definirana so ednostavna konstantna matrica. Vsu{nost mno`estvoto e dadeno i ednostavno e poka`ano deka mo`e da se dobie so taka definiranata linearna transformacija.

Ako problemot se postavi obratno t.e. ako linearnata transformacija e odnapred dadena i e poka`ano deka generira mno`estvo koe e fraktal, toga{ se postavuva pra{awe kako da se dobie negovata slika na ekran. Fakti~ki pra{aweto e od koe inicijalno mno`estvo to~ki treba da se po~ne so soodvetnata transformacija. Za sre}a toj problem e razre{en na mnogu ednostaven na~in. Imeno za inicijalno mno`estvo e dovolno da se zeme bilo koe zatvoreno i ograni~eno podmno`estvo, naprimer kvadrat, i se primeni linearnata transformacija koja generira Sierpinski kilim. Toga{ ve}e posle 4 iteracii po~nuva dosta jasno da se oformuva kilimot (crte` 5.).

Crte` 5.

Za fraktalite zadadeni so soodvetni preslikuvawa

(operatori) se poznati soodvetni kompjuterski programi i so crtawe to~ka po to~ka se dobivaat i nivni sliki.

Drug primer na fraktal e Koch-ovata kriva (1904 g.) koja

se generira na sli~en na~in kako i Kantorovoto mno`estvo. Konstrukcijata na Koch-ovata kriva po~nuva so linija so

65

edine~na dol`ina L(1) = 1. Fraktalna dimenzija na Koch-ovata kriva dH = ln4/ln3 ≈ 1,2628 (crte` 6.) .

Crte` 6. Prikaz na konstrukcija na del od Koch-ova kriva

Crte` 7. Koch-ova kriva Konstrukcijata po~nuva od stranite na

ramnostran triagolnik.

Ovaa snegulka e pove}e od kriva, a pomalku od povr{ina (crte` 7.).

66

Spored na~inot na nastanuvawe (tehnikata na generirawe) fraktalite mo`at da bidat:

1. Iterativni fraktali koi poseduvaat najgolem stepen na samosli~nost t.n. potpolna samosli~nost. Bez ogled na toa koj del sme go zgolemile sekoga{ }e dobieme slika koja e identi~na na po~etnata.

2. Rekurzivni fraktali se fraktali koi se dobivaat od rekurzivni relacii. Tie poseduvaat svojstvo na kvazisamosli~nost, {to zna~i deka fraktalot e pribli`no, no ne potpolno ednakov na razli~ni delovi.

3. Slu~ajni (random) fraktali poseduvaat najmal stepen na samosli~nost t.n. statisti~ka samosli~nost. Gi nao|ame sekade vo prirodata.

Iterativni fraktali se fraktali koi se formiraat niz

proces na iteracii, odnosno beskone~no povtoruvawe na identi~ni ~ekori.

Obele`je na iterativnite fraktali e deka sekoj, kolku i da e mal del del od fraktalot, e identi~en na fraktalot od koj sme go izdvoile, bez ogled na stepenot na zgolemuvawe.

Primer na iterativen fraktal e Sierpinski-iot triagolnik. Kako i kaj Koch-ovata snegulka, generatorot e ramnostran triagolnik (crte` 8.).

Crte` 8.

Od ramnostran triagolnik se odzema povtorno ramnostran triagolnik so strana polovina od pojdovnata. Hausdorff-ovata dimenzija na ovoj fraktal e ln 3 / ln 2 ≈ 1.585. Ovoj fraktal Sierpinski go pretstavil u{te 1916 godina.

Menger-oviot sunger e tri-dimenzionalna generalizacija na Sierpinsk-iot kilim i Cantor-ovoto mno`estvo. Prv pat e

67

opi{ano od avstriskiot matemati~ar Karl Menger i ima hauzdorfova dimenzija ln20/ln3 ≈2,7268 (crte` 9.).

Crte` 9.

Rekurzivnite fraktali se dobivaat od matemati~ki ravenki so iteracija (lat. iterare - povtoruva). Sekoj ~len od sekvencata na ~ekori se dobiva kako funkcija od prethodnite ~lenovi.

Vo zavisnost od slo`enosta na linearnite transformacii (naprimer afini transformacii) se dobivaat i poop{ti i poslo`eni fraktali. Postojat pove}e algoritmi za generirawe fraktali (metod na Monte Karlo, 1985 Michael Barnsley, i dr.) Sn = T(Sn−1) so inicijalni mno`estva ili to~ki.

Eden od najpoznatite rekurzivni fraktali i najsovr{en fraktal e Mandelbrot-ovoto mno`estvo koe se izu~uva kako voved vo teorijata na haosot.

Mandelbrot (1924 - ) svojata izvonredna intuicija ja poka`al ne edna{, nepogre{no poka`uvaj}i go patot na razvitokot vo mnogu oblasti, od seizmologijata do kristalografijata, astrofizikata i fiziologijata. Neverojaten svet vo koj delot e pogolem od celinata, a sekoj

68

odvaj vidliv detal e vlez vo nov beskone~en univerzum. Toj vo 1980 godina go pretstavil svoeto izpituvawe na posledovatelno kvadrirawe vo kompleksnata ramnina so ravenkata:

czz nn +=+2

1 ,

kade zn i c se kompleksni broevi zn = xn + iyn, c = a + ib. Postapkata se sostoi vo toa {to za site to~ki koi ja so~inuvaat rezolucijata na ekranot, prvata koordinata x se zamenuva so x2 - y2 + a , a vtorata koordinata y so 2xy + b. Potoa novite x i y se vlez za slednata iteracija.

Za da se utvrdi dali nekoj broj odnosno to~ka pripa|a na Mandelbrotovoto mno`estvo potrebno e da se napravat stotina iteracii {to e vozmo`no samo so pomo{ na nekoja kompjuterska programa.

Ako tie to~ki gi oboime so crna boja toga{ tie ja formiraat srcelikata forma na mno`estvoto. Karakteristi~nata crna buba~ka ili kardioidata e rezultat na ednostavno povtoruvawe na edna nelinearna postapka i e vistinski simbol na novata geometrija (crte` 10.).

Crte` 10.

69

Kompleksnite funkcii izgleda deka zabele`itelno

dobro se odnesuvaat koga treba da se kreira prikaz. Kvadratnata funkcija e ekstenzivno studirana bidej}i

taa e najednostavna i mo`e da se reducira do forma so edna konstanta. B.B.Mandelbrot e toj koj se doseti da gi pro{iri studiite do kompleksna ramnina i koj imal kompjuterski pomagala raspolo`livi za sebe.

Postojat mno`estva koi se fraktali i ~ija hauzdorfova dimenzija e cel broj. Kaj niv topolo{kata i hauzdorfovata dimenzija ne se ednakvi.

So zgolemuvawe na bilo koja to~ka od fraktalnata struktura dobivame novi nivoa so novi svetovi, koi se sli~ni, no ~ii detali ne mora da se poklopuvaat so soodvetnite od drugi nivoa. Ovoj vid simetrija nepoznat e vo linearniot svet i go narekuvame dilataciona simetrija.

Slu~ajnite fraktali se rezultat na dinami~ki aktivnosti koi sekojdnevno se slu~uvaat vo prirodata. Golem broj objekti vo prirodata poka`uvaat fraktalna struktura kako naprimer oblacite na neboto, kro{nata na drvoto, snegulkite, planinite, re~nite slivovi, brokulata, karfiolot, sistemi krvni sadovi, otpadnati lisja i dr.

Na kraj da naglasime i deka posebna magi~nost se dobiva so fraktali vo boja kako umetni~ki sliki.

70

HAOS - voved

Prv pat imeto haos e upotrebeno 1975 (Tien−Yien Li,

James Yorke) so namera odnosno obid da se definira nekoja zakonitost. Do toga{ mnogu prirodni fenomeni bile registrirani i tretirani kako pojavi koi ne podle`at na nekoja zakonitost. Takvi se naprimer tektonskite dvi`ewa, erozijata kako proces, klimata i drugi koi se razgleduvale kako haoti~ni situacii bez nekoja zakonitost vo niv i mo`nost za predviduvawe. Sepak tie ostanuvale vo nekoi granici i postojano imalo obidi da se voo~at i formuliraat nekoi zakonitosti so cel za definirawe na nekoi metodi za pretska`uvawe. Mo`ebi eden den i toa }e se realizira.

Fraktalite se eden parcijalen uspe{en obid vo taa nasoka, blagodarenie na ve}e izgradena matemati~ka teorija so dopolnitelni definirawa na poimi kako {to se atraktori, stabilna sostojba, bifurkacii, haoti~no odnesuvawe, sekako zaedno so eksperimentite i teorijata na iteracii, iterativnite metodi i procesi so soodvetni algoritmi. Vo pove}e situacii za koi se mislelo deka nemo`at da se okarakterizirat soodvetni sostojbi e postignat napredok blagodarenie na kompjuterite koi mo`at da obrabotat ogromna koli~ina podatoci i da go dadat izlezot kako kriva ili slika na monitorot ili pe~ata~ot.

Prirastot na populacijata na Zemjata ne mo`e da prodol`i zasekoga{. Ograni~uvaweto vo prirodnata sredina, snabduvaweto so hrana ili drugi osnovni potrebi kone~no }e ja soprat ekspanzijata. Ovaa situacija dobi matemati~ka forma vo 1845 god. od Pierre François Verhulst, zemaj}i gi vo predvid ograni~uva~kite faktori kako snabduvawe so hrana ili bolesti i dvata voobi~aeni efekti:

• reprodukcija zna~i deka populacijata }e se zgolemuva so

stapka proporcionalna na momentalnata populacija. • umirawe od glad zna~i deka populacijata }e se namali so

stapka proporcionalna na vrednosta dobiena so zemawe na teoretski “nose~kiot kapacitet” na sredinata namalen za momentalnata populacija.

71

Matemati~ki ova mo`e da se napi{e so ravenkata xn+1 = r xn

(1 − xn) kade xn pretstavuva populacija vo n-ta godina, i od tuka x0 pretstavuva po~etna populacija, r e pozitiven broj i pretstavuva kombiniran soodnos za reprodukcija i umirawe od glad.

Crte` 11.

Ovaa slika (crte` 11.) ja ilustrira dinamikata na Verhulst-

ovata ravenka (bifurkaciski dijagram). Horizontalnata oska gi prika`uva vrednostite na parametarot r dodeka vertikalnata oska gi prika`uva mo`nite dolgotrajni vrednosti na x. Ovoj crte` e dobien so zemawe na vrednosta na r i iterirawe za 5000 godini za da se dozvoli sistemot samiot da se oslobodi od po~etnite privremeni vrednosti.

Bifurkaciskiot dijagram e fraktal: ako se zumira vrednosta r = 3.82 i se fokusirame na eden ostrov na stabilnost od trite, situacijata vo blizinata izgleda kako sobrana i blago distorzirana verzija na celiot dijagram. Istoto e to~no za site nehaoti~ni to~ki. Ova e primer na dlaboka i sekade prisutna vrska me|u haosot i fraktalite.

Pokraj kaj dinamikata na populacijata, Verhulst-ovata ravenka mo`e da se primeni kaj nekoi aspekti od turbulencijata i hemiskite dinamiki. Edno ne{to se pojavuva

72

vo re~isi site slu~ai, deka haosot se pojavuva vo region kade se sre}avaat dva konfliktni procesa.

]e bide o~igledno deka za da se proizvede haoti~no odnesuvawe osnovna e nelinearna funkcija. Linearna bi se dvi`ela poramno i kontinuirano vo edna nasoka kon nula ili beskone~nost.

Definiraweto na haoti~no neprekinato preslikuvawe e dadeno od L.Devaney vo 1986 godina, no postojat i drugi definicii.

Neka neprekinatoto preslikuvawe T na mno`estvo S vo samoto sebe e haoti~no. Ako to~kite od S gi razgleduvame kako inicijalno mno`estvo od sostojbi toga{ so preslikuvaweto se dobivaat novi sostojbi (promena vo zavisnost od vreme i sl.)

So haoti~nite preslikuvawa (transformacii) po~nuvaat ve}e da se prou~uvaat so uspeh hemiski, ekolo{ki nekoi aspekti na turbulencijata, elektri~ni, elektromagnetni, telekomunikaciski, biolo{ki, ekonomski demografski i sli~ni fenomeni preto~eni vo dinami~ki sistemi. Toa e teorijata na iteracii i zna~i haos ne e haos.

73