RačunarskaRačunarskagrafikagrafika

predavanjapredavanjav.as.mr. Samir Lemešv.as.mr. Samir Lemešslemes@mf.unze.baslemes@mf.unze.ba

33. Fraktali33. Fraktali Euklidska geometrijaEuklidska geometrija Šta je fraktal?Šta je fraktal? OsobineOsobine PodjelaPodjela GenerisanjeGenerisanje PrimjeriPrimjeri

EuEukklidlidska gska geometreometrijaija

• KrugoviKrugovi• KvadratiKvadrati

• PravougaoniciPravougaonici• TrapezoidTrapezoidii• PetougloviPetouglovi• ŠestougloviŠestouglovi• OsmougloviOsmouglovi• CilindriCilindri

• TrTrougloviouglovi

Euklidska geometrijaEuklidska geometrija

Može li se opisati priroda Može li se opisati priroda korištenjem Euklidske korištenjem Euklidske geometrijegeometrije?? Drvo pomoću cilindaraDrvo pomoću cilindara????Planine pomoću trouglovaPlanine pomoću trouglova????Oblaci krugovimaOblaci krugovima????LišćeLišće????StijeneStijene????

Euklidska geometrijaEuklidska geometrijaStandardStandardnini obje objekti (napravljeni ljudskom kti (napravljeni ljudskom

rukom)rukom) se mogu predstaviti Euklidskom se mogu predstaviti Euklidskom geometrijomgeometrijom

Opisani su jednačinama (funkcijama)Opisani su jednačinama (funkcijama)Tako se dobiju glatki, pravilni objekti: Tako se dobiju glatki, pravilni objekti:

lopte, poligoni, lopte, poligoni, B-spline B-spline površinepovršinePrirodni objekti (oblaci, lišće, stijene) se Prirodni objekti (oblaci, lišće, stijene) se

bolje modeliraju korištenjem fraktalne bolje modeliraju korištenjem fraktalne geometrijegeometrije

Šta je fraktal?Šta je fraktal?Benoit Mandelbrot, 1982,Benoit Mandelbrot, 1982,

““oblaci nisu lopte, planine nisu konusi, oblaci nisu lopte, planine nisu konusi, obale nisu krugovi, balvani nisu glatki, niti obale nisu krugovi, balvani nisu glatki, niti munje putuju pravolinijskimunje putuju pravolinijski.”.”

ObjeObjekti se predstavljaju kti se predstavljaju procedurama procedurama umjesto jednačinamaumjesto jednačinama

Ponavljanjem procedure Ponavljanjem procedure fraktala dobiju se fraktala dobiju se sve kompleksniji detaljisve kompleksniji detalji

Definicije fraktalaDefinicije fraktalaMandelbrotMandelbrot::Fraktal je metrički prostor za koji je Fraktal je metrički prostor za koji je

Hausdorff-Besicovitch dimenHausdorff-Besicovitch dimenzijazija D D veća veća od topološke dimenzije od topološke dimenzije DTDT

Karakteristika fraktala je neograničen Karakteristika fraktala je neograničen proces ponavljanih transformacija proces ponavljanih transformacija invarijantne geometrijske forme.invarijantne geometrijske forme.

Kako su otkriveni fraktali?Kako su otkriveni fraktali?Henri Poincaré, Henri Poincaré, francuski francuski

matematimatematičarčar, 1887, 1887 – teorija – teorija haosahaosa..

Lorenz Lorenz je 1972. objavio članak je 1972. objavio članak ""Predictability: Does the Flap of Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?off a Tornado in Texas?" (Da li " (Da li pokret krila leptira u Brazilu pokret krila leptira u Brazilu izaziva tornado u Teksasu)izaziva tornado u Teksasu)

Senzitivna zavisnost od Senzitivna zavisnost od početnih uslovapočetnih uslova

Kako su otkriveni fraktali?Kako su otkriveni fraktali?Gaston JuliaGaston Julia, početak XX vijeka: , početak XX vijeka:

istraživanja iterativnih funkcijaistraživanja iterativnih funkcija. . Do Do 19601960ih se ništa nije razvijalo ih se ništa nije razvijalo

usljed nedostatka tehnologijeusljed nedostatka tehnologije. . 19701970ih je ih je Mandelbrot Mandelbrot

upotrijebio računare upotrijebio računare da kreira da kreira ""Mandelbrot SetMandelbrot Set"". .

Kako su otkriveni fraktali?Kako su otkriveni fraktali? ZaposlenikZaposlenik IBM IBMaa, Benoit Mandelbrot , Benoit Mandelbrot bio je bio je

matematičar koji je ispitivao fluktuacije cijena matematičar koji je ispitivao fluktuacije cijena pamuka. Bez obzira na način analiziranja, podaci pamuka. Bez obzira na način analiziranja, podaci nikad nisu slijedili normalnu distribuciju.nikad nisu slijedili normalnu distribuciju.

Kad je Kad je Mandelbrot Mandelbrot dobio sve podatke o cijenama oddobio sve podatke o cijenama od 19001900 i analizirao ih pomoću IBM računara, primijetio i analizirao ih pomoću IBM računara, primijetio je da brojevi koji su izazivali odstupanja od je da brojevi koji su izazivali odstupanja od normalne distribucije dovode do simetrije skaliranja.normalne distribucije dovode do simetrije skaliranja.

Sekvenca promjena je bila nezavisna od skale: Sekvenca promjena je bila nezavisna od skale: krivulje za dnevne i za mjesečne promjene cijena su krivulje za dnevne i za mjesečne promjene cijena su se savršeno poklapale. se savršeno poklapale. (James Gleick, Chaos - Making a New Science, pg. 86) (James Gleick, Chaos - Making a New Science, pg. 86)

Osobine fraktalaOsobine fraktalaU svakoj tački fraktala ima beskonačno U svakoj tački fraktala ima beskonačno

mnogo detaljamnogo detaljaPostoji sličnost između dijelova objekata i Postoji sličnost između dijelova objekata i

objekta kao cjelineobjekta kao cjelineDimenzije nisu cijeli brojevi (1D, 2D, 3D)Dimenzije nisu cijeli brojevi (1D, 2D, 3D)NNemaju određenu veličinu ili skaluemaju određenu veličinu ili skalu

Podjela fraktalaPodjela fraktala Samoslični fraktali (Samoslični fraktali (SSelf-similarelf-similar))

Dijelovi su umanjene verzije početnog objektaDijelovi su umanjene verzije početnog objekta DeterministiDeterminističkički ""self-similarself-similar""

Nisu stohastičkiNisu stohastički StatistiStatističkički ""self-similarself-similar""

Sadrže određen stepen slučajnostiSadrže određen stepen slučajnosti

Afini fraktali (Afini fraktali (Self-affineSelf-affine)) Različiti parametri skaliranja u različitim smjerovima Različiti parametri skaliranja u različitim smjerovima

koordinatakoordinata InvariInvarijjantantni setovi fraktalani setovi fraktala

FormFormiraniirani n neelinearlinearnimnim transforma transformacijamacijama

Samoslični fraktaliSamoslični fraktali Dijelovi su umanjene verzije cijelog objektaDijelovi su umanjene verzije cijelog objekta

Polazi se od početnog oblikaPolazi se od početnog oblikaKreiraju se poddijelovi dupliranjem i skaliranjem početnog Kreiraju se poddijelovi dupliranjem i skaliranjem početnog

oblikaoblika Za različite dijelove se mogu koristiti različiti faktori Za različite dijelove se mogu koristiti različiti faktori

skaliranjaskaliranja PrimjerPrimjer: von Koch : von Koch pahuljicapahuljica

Mogu se uvesti i slučajne varijacijeMogu se uvesti i slučajne varijacijeTTii fra frakktaltalii susu “statisti “statističkički samosličnisamoslični””

Koriste se za modeliranje drveća, lišća,...Koriste se za modeliranje drveća, lišća,...

Von Koch Von Koch pahuljicapahuljica

Počne se sa inicijatoromPočne se sa inicijatorom::

II generator generatoromom::

Kod svake iteracije, mijenja se svaki komad Kod svake iteracije, mijenja se svaki komad inicijatora generatorominicijatora generatorom

Dimenzija Von Koch Dimenzija Von Koch fraktala: fraktala: 11,,261859507261859507

Von Koch Von Koch pahuljicapahuljica IteraIteracijacija 0: 0:

Von Koch Von Koch pahuljicapahuljica IteraIteracijacija 1: 1:

Von Koch Von Koch pahuljicapahuljica IteraIteracijacija 2: 2:

Von Koch Von Koch pahuljicapahuljica IteraIteracijacija 3: 3:

Helge von Koch, švedski matematičar 1870 - 1924

Drugi samoslični fraktaliDrugi samoslični fraktali

    

                  

                      

StatistiStatističkički samoslični fraktalisamoslični fraktaliSSamosličniamoslični fra frakktaltalii kod kojih se vrše kod kojih se vrše

slučajne varijacije na poddijelovimaslučajne varijacije na poddijelovima

InvariInvarijjantantnini setovi fraktalasetovi fraktalaFormFormiraju se neiraju se nelinearlinearnimnim transforma transformacijamacijama

Mandelbrot SetMandelbrot Set

IteraIteracijacija kkompleompleksneksne funkcijefunkcijeBoja tačke u prostoru se bira na osnovu Boja tačke u prostoru se bira na osnovu

brzine divergencije funkcije u toj tačkibrzine divergencije funkcije u toj tačkiU setu su i tačke koje ne divergirajuU setu su i tačke koje ne divergirajuSSet et se obično počinje sa se obično počinje sa

crnom bojom, a zatim se crnom bojom, a zatim se brzina divergencije boji brzina divergencije boji bojama iz spektrabojama iz spektra

czzCCfc 2;:

Mandelbrot SetMandelbrot Set

Benoît Mandelbrot, matematičar

Rođen 1924. u Poljskoj, školovan u Francuskoj, živi i radi u SAD

Zumiranje u Zumiranje u Mandelbrot SetMandelbrot Set

IzračunavanjeIzračunavanje Mandelbrot Mandelbrot ssetetaaZa svaki piksel na ekranu: {

x = x0 // x koordinata piksela y = y0 // y koordinata piksela x2 = x*x y2 = y*y iteration = 0 maxiteration = 1000 while ( x2 + y2 < (2*2) AND iteration < maxiteration ) {

y = 2*x*y + y0 x = x2 - y2 + x0 x2 = x*x y2 = y*y iteration = iteration + 1

} if ( iteration == maxiteration )

color = black else color = iteration

}

Generisanje fraktalaGenerisanje fraktala FFrarakktal tal se se genergeneriše uzastopnim ponavljanjem iše uzastopnim ponavljanjem

određene određene transformatransformacijecije TTransformaransformacija se može primijeniti na set cija se može primijeniti na set

tačaka, tačaka, set primitivset primitivaa (lin (linijeije, , krivuljekrivulje, , bojeboje,, itd itd.), .), li na bilo šta drugoli na bilo šta drugo

TeoretTeoretskiski, procedur, proceduraa sese primjenjuje primjenjuje beskonačno mnogo putabeskonačno mnogo puta

PraPrakktitično se vrši iteracija konačan broj puta, čno se vrši iteracija konačan broj puta, do određene granicedo određene granice..

FraFrakktaltalnene planineplanine

Planina u daljini

Bliži pogled

Još bližeŠto se više približimo, vidi se više detalja

FraFrakktaltalne planinene planine

Počinje se od Počinje se od osnovnog oblika osnovnog oblika planineplanine

Dijele se rubovi oblikaDijele se rubovi oblika Nepravilno izmiješati Nepravilno izmiješati

nove vrhovenove vrhove RReekurzivno kurzivno

ponavljanjeponavljanje 2D 2D za obaleza obale 3D 3D za planineza planine

FraFrakktaltalne planinene planine

Sierpinski Sierpinski trougaotrougao

DDimenimenzziijajafraktalafraktala11,,584962501 584962501

FraFrakktaltalnene pplanetlanetee

http://baddoggames.com/planet/gallery.htm

3-D Cantor Set3-D Cantor Set

Sierpinski Sierpinski tepihtepih

Menger Menger spužvaspužva

Julia SetJulia Set

Tinkerbell Tinkerbell AttractorAttractor

Lorenz Lorenz AttractorAttractor

Rossler Rossler AttractorAttractor

Wada BasinWada Basin

Romanesco – Romanesco – vrsta brokulevrsta brokule

PraPrakktitična upotreba fraktalačna upotreba fraktala Računarski sistemiRačunarski sistemi (Fra(Frakktaltalnono arhiv arhiviranjeiranje, , kkompresompresija slikeija slike

bez pikselacijebez pikselacije)) Mehanika fluidaMehanika fluida

ModulaModulacijacija turbulent turbulentnog tokanog toka ModulaModulacija plamenih jezikacija plamenih jezika PoroPorozni materijali imaju fraktalnu strukturuzni materijali imaju fraktalnu strukturu

TeleTelekkomuniomunikkaacijecije (anten(antenee fra frakktaltalnog oblikanog oblika)) Fizika površinaFizika površina ((za opisivanje zakrivljenostiza opisivanje zakrivljenosti)) MedicinMedicinaa

Interakcija bInterakcija bioseniosenzorazora Otkucaji srcaOtkucaji srca

BiologBiologijaija ((opis modela populacijeopis modela populacije))