7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

1/23

Page 1

GENERAL

INVERS

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

2/23

Page 2

PENDAHULUAN

Jika Anxnadalah matriks nonsingular

d!t!rminan A " #$% maka solusi SPL

&!rikut !xist dan unik'

Ax ( g

Solusi )!rsamaan' x ( A*+g

Jika A tidak &u,ursangkar% atau&u,ursangkar ta)i singular maka solusin-a

&isa di.ari m!nggunakan Generaldan

ConditionalIn/!rs0

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

3/23

Page 3

d!1inisi

2isal A adalah matriks mxn0 Jika matriks A*

ada dan m!m!nuhi 3 kondisi &!rikut% maka A

dis!&ut GENERAL INVERS dari A'

+0 AA*sim!tris

40 A*A sim!tris

50 AA*A ( A

30 A*

AA*

( A

P!rsamaan +$

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

4/23

Page 4

6!or!ma+0 Jika g*in/!rs matriks A &!rukuran mxn

ada% maka ordo7ukurann-a adalah nxm0

40 Jika A adalah matriks nol &!rukuran

mxn% maka A*adalah matriks nol

&!rukuran nxm0

50 Untuk s!tia) matriks A t!rda)at A*-ang

m!m!nuhi )!rsamaan +$8 s!hingga

tia) matriks m!m)un-ai g*in/!rs0

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

5/23

Page 5

6!or!ma30 Untuk s!tia) matriks A t!rda)at matriks A*

-g unik -g m!m!nuhi +$% s!hingga tia)matriks A m!miliki g*in/!rs -g unik

90 A6$*( A*$6

:0 A*$*( A

;0 Rank dari g*in/!rs A sama d!ngan rank A

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

6/23

Page 6

6!or!ma

=0 Untuk s!m&arang matriks A%AA*$*( AA* dan A*A$*( A*A

+#0 2isaln-a P adalah matriks ortogonal

ordo mxm% > adalah matriks ortogonalordo nxn dan A adalah matriks mxn%maka

PA>$*( >6A*P6

++0 Jika A adalah matriks sim!tris% maka g*in/!rs matriks A ,uga sim!tris8s!hingga ,ika A ( A6maka A*( A*$6

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

7/23Page 7

6!or!ma

+40Jika A ( A6maka AA*( A*A

+50 Jika A adalah matriks nonsingular%

maka A*+

( A*

+30 Jika A adalah matriks Id!m)ot!nt

-ang sim!tris maka A*( A8

S!hingga ,ika A ( A6dan A ( A4%maka A*( A

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

8/23

Page 8

6!or!ma

+90 2isal D adalah matriks diagonalukuran nxn d!ngan !l!m!n dii% i (

+%4%5% 00n0 G*in/!rs matriks D adalah

matriks diagonal d!ngan !l!m!n

diagonal dari D*

sama d!ngan dii*+

,ika dii"#% dan sama d!ngan nol ,ika

dii(#0

?ontoh'

=

=

100

010

00

,

100

010

003 31

DmakaD

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

9/23

Page 9

6!or!ma

+:0 Jika A adalah matriks d!ngan rank mmaka A*( A6AA6$*+dan AA*( I0 Jika

rank A adalah n maka A*( A6A$*+A6

dan A*A ( I0

+;0 2atriks AA*% A*A% I*AA*dan I*A*A

adalah id!m)ot!nt sim!tris0

+

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

10/23

Page 10

SIS6E2 PERSA2AAN

LINEAR

Sist!m )!rsamaan lin!ar Ax( g

adalah konsist!n ,ika dan han-a ,ika'

AA*g ( g

Jika )!rsamaan lin!ar Ax( g

m!m)un-ai solusi% maka untuk tia)

/!ktor h ordo nx+% solusi untuk /!ktor

xadalah'

x( A*gB I C A*A$ h

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

11/23

Page 11

GENERAL INVERS

2A6RIS HUSUS

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

12/23

Page 12

6ERE2A

+0 Jika . adalah skalar -ang tidak nol%maka .A$*( +7.$A*

40 Jika A ( A+BA4BFBAtdan AiA,6( # dan

A,Ai ( # untuk s!mua I%, ( +%4%Ft% i",%maka A*(A+*BA4*BFAt*

50 Jika A adalah s!m&arang matriks nxm%

misal adalah matriks mxm -angnonsingular% dan misaln-a @(A0 2aka

@@*( AA*

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

13/23

Page 13

6ERE2A

30 Jika A6A ( AA6maka A*A ( AA*dan An$*( A*$nuntuk n &ilangan &ulat )ositi1

90 Jika A ( @ x ?% maka

A*( @* x ?*%A*A ( @*@ x ?*?% dan

AA*( @@*x ??*

@ x ? dis!&ut kron!.k!r )rodu.t dari A dan @

:0 Jika

=

=

CC

BBAAdan

CC

BBA

0

0,

0

0

=

=

C

BAmaka

C

BA

0

0,

0

0

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

14/23

Page 14

6ERE2A

;0 Jika a adalah /!ktor tidak nol% maka a*(

a6a$*+a6

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

15/23

Page 15

2ENGHI6UNG

GENERALINVERS

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

16/23

Page 16

A6A non singular d!t " #$

* 2atriks A tidak harus &u,ursangkar* @aris matriks A l!&ih &!sar dari kolom A

* A 1ull rank

* A*( A6A$*+0A6

?ontoh'

2)(,

11

54

12

=

= ArA

=

151

142.

11

54

12

151

142

1

A

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

17/23

Page 17

A6A non singular d!t " #$

* @aris matriks A l!&ih k!.il dari kolom A* A 1ull rank

* A*( A6AA6$*+

* ?ontoh'

1

11

54

12

151142

11

54

12

=A

=151142A

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

18/23

Page 18

Jika A6A$*+singular

Salah satu m!tod! )!n-!l!saianm!nggunakan kron!.k!r )rodu.t'

2isal

=42

21

21

A

[ ] [ ]

=

2

1

1

2121

2

1

1

atau

CBA =

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

19/23

Page 19

Jika A6A$*+singular

[ ]211)(

2

1

1

6

11

==

=

TTBBBB

BJika

[ ]

==

=

2

1)(

21

511TT CCCC

CJika

= CBA

[ ]

=

=

422

211

2

1211

301

51

61A

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

20/23

Page 20

2!tod! P!nros!

Jika A adalah matriks mxn d!ngan

rank r% maka g*in/!rs dari A da)at

dihitung s&&0'

+0 Hitung @ ( A6A

40 ?+( I

50 ?iB+( I+7i$tr?i@$ C ?i@% untuki(+%4%00r*+

30 A* ( r?rA67tr?r@$

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

21/23

Page 21

Soal Latihan

+0 Hitung g*in/!rs!% dimana

=

2

5

1

3

1

a

=

11

11A

=

51

6012

25

3311

A

=

42

105

63

21

42

A

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

22/23

Page 22

Soal Latihan40 S!l!saikan )!rsamaan &!rikut d!ngan

G!n!ral In/!rs'

=

26

10

8765

4321. xa

=

87

33

21

517224

0791

5342

. xb

=

2

2

22

1111

1111

11111111

4

1. xc

7/26/2019 Pertemuan 14 Dan 15 General Invers

23/23

Page 23

Soal Latihan50 S!l!saikan )!rsamaan &!rikut d!ngan

G!n!ral In/!rs'

30 Hitung g!n!ral in/!rs &!rikut

=

1

20

19

311

265

154

x

111222

321642

222111642321

000111

000321