ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMEN …. Doç. Dr. Handan... · ve Nelsen’a (2010) göre belli...

The Journal of Academic Social Science Studies

International Journal of Social Science

Doi number:http://dx.doi.org/10.9761/JASSS3171

Number: 41 , p. 233-254, Winter II 2015

Yayın Süreci

Yayın Geliş Tarihi Yayınlanma Tarihi

18.11.2015 31.12.2015

ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARININ

“SÖZSÜZ İSPAT” YÖNTEMİNE YÖNELİK GÖRÜŞLERİ SECONDARY MATHEMATICS PRE-SERVICE TEACHERS’ OPINIONS

ABOUT “PROOF WITHOUT WORDS" Yrd. Doç. Dr. Handan DEMİRCİOĞLU

Cumhuriyet Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Eğitimi ABD

Arş.Gör.Kübra POLAT

Cumhuriyet Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik Eğitimi ABD

Öz

Sözsüz ispatlar özel bir matematiksel ifadenin niçin doğru olduğunu ve ma-

tematiksel bir ifadenin doğruluğunu ispatlarken nasıl ele alınacağını görmemize

yardımcı olacak diyagram veya resimlerdir (Alsina ve Nelsen, 2010). Bu araştırmanın

amacı ortaöğretim matematik öğretmeni adaylarının sözsüz ispat yöntemi ile ilgili

görüşlerinin incelenmesidir. Çalışma nitel araştırma desenlerinden durum çalışması

kullanılarak yürütülmüştür. Çalışmanın katılımcılarını İç Anadoluda bulunan bir devlet

Üniversitesi’nde 2013-2014 eğitim öğretim yılında açılmış olan “Alan Eğitiminde

Araştırma Projesi” dersini alan 5. Sınıfta öğrenimlerine devam eden 1. öğretime kayıtlı

26 ve 2. öğretime kayıtlı 31 olmak üzere toplam 57 öğretmen adayı oluşturmaktadır. Ver-

iler dönem sonunda öğretmen adaylarına yöneltilmiş olan sorular ile toplanmıştır. Bu

sorular sözsüz ispat ile ilgili bir deneyim yaşamış olan öğretmen adaylarının sözsüz is-

patın etkili olduğu ve olmadığı yerlere görüşlerini almak için kullanılmıştır. Veriler

yazılı olarak toplanmıştır. Veriler öğretmen adaylarının cevaplarının benzerlik ve

farklılıklarına göre sınıflandırılarak analiz edilmiştir. Elde edilen bulgular öğretmen

adaylarının sözsüz ispatlarla ile bilgilerin kalıcı olduğunu, somutlaştırdığını, matemat-

iksel formül/ifadelerin daha iyi kavrandığını, konular arası ilişki kurduğunu, merak

duygusu uyandırdığını, güven kazandırdığını, zevkli olduğunu, verimli olduğunu, yeni

bilgiler öğrendiklerini ve öğretim yöntemi olarak da kullanabileceklerini ifade ettikleri

görülmektedir. Bu görüşler görselleştirmenin matematik eğitimine katkılarını ifade eden

birçok görüşü desteklemektedir. Çalışma sonucunda elde edilen sonuçlar tartışılmış, lit-

eratürle karşılaştırılarak bazı önerilerde bulunulmuştur.

Anahtar kelimeler: İspat, Özsüz İspat, Görselleştirme

234

Handan DEMİRCİOĞLU & Kübra POLAT

Abstract

Proofs without words are pictures or diagrams that help the reader see why a

particular mathematical statement may be true, and also see how one might begin to go

about proving it true (Alsina ve Nelsen, 2010). The aim of this study is to investigate sec-

ondary mathematics pre-service teachers’ opinions about “proof without words”. Case

study method as a form of qualitative research is used in the study. Participants of the

study consist of 57 secondary mathematics pre-service teachers who were fifth-year stu-

dents in a state university located in the Central Anatolia. The study was conducted in

2013-2014 education and teaching year in the lesson that “Investigation Projects in Field

Education”. The data were collected with the questions that directed to pre-service

teachers at the end of the period. The questions were used for receiving opinions from

pre-service teachers who lived experience with proof without words to be effective or

ineffective. The written data were collected. The data were analyzed and classified ac-

cording to similarities and differences between the responses of pre-service teachers. The

findings obtained from the study show that pre-service teachers think that “proof with-

out words” provides retention, concretization, understanding mathematical formula and

statement, relating with subjects, making a sensation, gaining self-confidence. Also pre-

service teacher expressed that “proof without words” is productive, enjoyable and pre-

service teacher stated that they learned new knowledge with proof without words, in the

future they can use “proof without words” in their lesson. These views support that

visualization contributes mathematics education. The results of the study are discussed

and compared with the literature, and suggestions have been made for new studies in

this direction.

Keywords: Proof, Proof Without Words, Visualization

Giriş

Matematiği öğrenmede ve öğret-

mede birçok araştırmacı hem ispatın hem

de görselleştirmenin önemini vurgulamak-

tadır. Gerçekten ispat, hem matematiğin

hem de matematik eğitiminin merkezinde-

dir (Ball, Hoyles, Jahnke ve Movshovitz-

Hadar, 2002; Knuth, 2002). Bunun yansıma-

sı olarak da ispat matematiğin kalbi ve ma-

tematiksel anlamayı desteklemek için

önemli bir araç olarak ifade edilmektedir.

Bu bakış matematik pratiklerini, matematik

eğitimi teorilerini ve matematik müfredatı-

nı (Knuth, 2002) etkilemektedir. Öğrencile-

rin “Neden bunu ispatlamak zorundayız?”

sorusu ile yüzyüze geldiğinde düş kırıklığı

yaşamayan kimse yoktur (De Villiers, 1990).

Aslında matematiksel bir ispat (i) bir sonu-

cu doğrulamak, (ii) başkalarını ikna etmek

ve iletişim kurmak, (iii) bir sonucu keşfet-

mek ve (iv) bir tümdengelim sistemde so-

nuçları sistemleştirmek için kullanılmakta-

dır (Almeida, 2001). İspatın bu kazandır-

dıkları göz ardı edildiği zaman Ball vd.

(2002) ifade ettiği gibi ispat birçok öğrenci

için anlamı olmayan bir ritüeldir ve bu

görüşü de belli örüntüler veya yalnızca

sembollerle yapılan ispatlar desteklenmek-

tedir. Gerçekten öneminin yanı sıra yaşanı-

lan sıkıntılar ile ilgili gerek yurt içinde ge-

rekse yurt dışında birçok çalışma mevcut-

tur. Bu çalışmalar genellikle matematiksel

ispata yönelik görüşlere (Doruk ve Güler,

2014; Köğce, 2013), ispat biçimlerine (Cey-

lan, 2012), ispatlama ve ters örnekler oluş-

turmaya (Özkaya, Işık, Konyalıoğlu, 2014),

ispata yönelik tutumlara (Ünveren, 2010)

yöneliktir. Fakat ispat becerisini geliştirme-

ye yönelik yapılan çok fazla çalışmaya rast-

lanmamıştır. Görselleştirme bu anlamda

kullanılabilecek yaklaşımlardan birisi ola-

rak karşımıza çıkmaktadır.

“Bir resim bin kelimeden daha de-

ğerlidir” sözü birçok kültürde söylenmek-

tedir (Casselman, 2000). Casselman (2000)

görselleştirmenin matematikte önemli bir

rol oynadığını vurgulamıştır. Matematikte

hemen hemen her konuda görselleştirme-

nin örneklerine rastlamak mümkündür.

Eşitsizlikler, aritmetik geometrik ortalama,

Ortaöğretim Matematik Öğretmen Adaylarının “Sözsüz İspat” Yöntemine Yönelik Görüşleri 235

alan, hacim, tamsayıların toplamı, tamsayı-

ların kareleri toplamı (Alsina ve Nelsen,

2001; 2006; 2009; Pouryoussefi, 1989),

kompleks sayılar (İpek, 2003), lineer cebir

uygulamaları (Çevik, 2015), trigonometrik

fonksiyonların toplam ve fark formülleri

(Tekin ve Konyalıoğlu, 2010), trigonometri

kavramları (Tekin, 2010), özdeşlikler (Şan,

2008), vektör uzayları (Konyalıoğlu, 2003)

gibi matematik kavramlarının öğretiminde

görselleştirmenin etkisi incelenmiştir.

Elbette öğrencilerin muhakeme be-

cerilerini geliştirmek için fırsatlar sunmak

ve ispat sürecini anlamalarına yardımcı

olmak önemlidir. Genellikle öğrenciler bir

ispata nasıl başlayacağını bilemediklerin-

den dolayı onlara ispatların nasıl yapıldığı-

nı öğretmek de zordur. Sözsüz ispatları

kullanmak öğrencilerin ispat sürecini an-

lamada etkilidir ve yeni bir araç değildir

(Bell, 2011). Sözsüz ispatlar görselleştirme

ile birlikte adı geçen yaklaşımlardan birisi-

dir.

İngilizcesi “proof without words”

olan sözsüz ispatlar için farklı yazarlar fark-

lı isimlendirmeler yapmışlardır. Bell (2011)

ile Alsina ve Nelsen (2010) sözsüz ispat

(proof without words) kullanmıştır. Nelsen

tarafından verilmiş bu ispatları Bardelle

(2009) görsel ispat (Visual proof) veya di-

yagramatik ispat olarak nitelendirmiştir.

Bayer (2009) resimlerle ispat (Proof By Pic-

ture) ve görsel ispat (Visual Proof) şeklinde

ifade etmişlerdir. Yurt içinde de farklı kul-

lanımlar söz konusudur. Dede ve Karakuş

(2014) yapılış amacına göre sözsüz ispatları,

hem açıklayıcı ispat hem de görsel ispat

olarak ele almıştır. Altıparmak ve Öziş

(2005) “Geometrik şekiller yardımıyla yapı-

lan ispatlar” şeklinde ifade etmiştir. Sözsüz

ispat (Uğurel, Moralı, Karahan, 2011), gör-

sel ispat yapmak için somut model geliş-

tirme (Doruk, Kıymaz, Horzum, 2012),

resimle ispat (Ufuktepe, 2009), görsel ispat

(Tekin ve Konyalıoğlu, 2010) kullanılmıştır.

Günümüzde görsel argümanlar;

belki kolaylıkla yanlış yorumlanabildiği ve

bu yüzden de yanlış sonuç çıkarılmasına

imkan vermesinden dolayı kesin ispatlar

için mantıklı argümanlar olarak düşünül-

mekten uzaktır. Her şeye rağmen yeni so-

nuçların keşfi ve daha fazla formal ispatın

üretimi için bir yardımcı olduğu geniş öl-

çüde anlaşılmıştır. Son yıllarda görsel ispat-

lara ilgi yeni matematik araştırmalarında ve

matematik eğitimi uygulamalarında hızla

artmaktadır (Bardelle, 2009). Sözsüz ispat;

formal bir argümanı kelimelerle ispatla-

maksızın matematiksel bir ifadenin ispatını

örneklerle açıklayan matematiksel bir çi-

zimdir (Bell, 2011). Bardelle (2009) görsel

ispatları (visual proofs), tümdengelimsel

adımları şekiller, diyagramlar ve grafiklere

dayalı ispatlar olarak tanımlamıştır. Alsina

ve Nelsen’a (2010) göre belli bir matematik-

sel ifadenin niçin doğru olabildiğini görme-

sine ve ayrıca o ifadenin ispatlamaya nasıl

başlayabileceğini görmeye yardım eden

resimler veya diyagramlardır. Bunun yanı

sıra Alsina ve Nelsen (2009; s.xiii) sözsüz

ispatları “görsel argüman” (visual argu-

ment) olarak nitelendirmiştir. Bardelle’ye

(2009) göre görsel ispatlar sözlü dilde hiçbir

yorum ile sunulmayan (yani sözsüz), yal-

nızca diyagramlara dayalı, belki sayılar,

harfler, oklar, noktalar ve birbiriyle ilişkili

sembolik ifadeler olan, ispatın yapılandı-

rılması okuyucuya bırakılmış ispatlardır.

Özetle sözsüz ispatlar, bir matematiksel

ifadenin niçin doğru olduğunu açıklarken

herhangi bir kelime kullanmadan resimler-

le, diyagramlarla yapılan ve görselleştirme-

ye dayalı ispat olarak ifade edilmiştir.

Sözsüz ispatlar matematiksel ispatı

anlamada öğrencilere yardımcı olabilir.

Ayrıca matematiksel kavramları öğretirken

sözsüz ispatları kullanma, bir örnekle açık-

lamaları istendiğinde öğrencilerin muha-

keme etme (akıl yürütme) yeteneklerini

geliştirmede yardım edebilir. Bu geliştiril-

236


miş muhakeme formal bir ispata nasıl baş-

lanacağını anlamada kılavuzluk edebilir.

Formal ispatları anlama, sadece öğrencile-

rin matematiksel kavramları anlamasına

değil aynı zamanda ileri seviye matematik

için de öğrencileri hazırlamaya bağlıdır

(Bell, 2011). Aynı zamanda matematiğin

doğası, doğrunun doğası, dünyanın doğası

ve anlamamızın doğası gibi derin ve ilginç

sorulara kılavuzluk edebilir (Britz, Mam-

moliti ve Sørensen, 2014). Sözsüz ispatların

bir ispat olup olmadığı sorularından öteye

Miller (2012) sözsüz ispatların matematikte

özellikle matematiğin öğretiminde kıymetli

bir araç olduğunu ifade etmektedir. Bu

iddiasını desteklemek için ilk n tamsayının

toplamı formülünü tümevarım yöntemi ile

doğruluğunu gösterilebilen bir öğrencinin

bunun niçin doğru olduğunu ikna olama-

yacağını ifade etmektedir. Burada sözsüz

ispatların etkili olabileceğini açıklamakta-

dır.

Hemen hemen her konu ile sözsüz

ispat örnekleri vardır ve bu örnekler çeşitli

internet sitelerinde (örneğin;

www.illuminations.nctm.org, www.cut-

the-knot.org, Nelsen tarafından yazılmış

olan iki kitapta (1993, 2000), makalelerde

(Bell, 2001; Gierdien, 2007) bulunabilir. Bazı

interaktif sitelerde de sözsüz ispatlara erişi-

lebilir. Örneğin Pisagor’un sözsüz ispatı

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail

.aspx?ID=30 (Bell, 2011). Sözsüz ispatlar

cebir, trigonometri, geometri ve analiz da

yer alan matematiksel kavramların geniş

bir yelpazesini kapsar ayrıca matematik

tarihi derslerinde de kullanılabilir (Bell,

2011).

Literatürde çok fazla sözsüz ispat

örneği olmasına rağmen, sözsüz ispatların

öğretimi, ispatlama becerisine yönelik etki-

leri, sözsüz ile ilgili görüşler ile ilgili pek

fazla çalışma olmadığı gözlenmektedir.

Yapılan çalışmalar genellikle sözsüz ispat-

ların kuramsal yapısı, tarihçesi ve örnekle-

rine (Alsina ve Nelsen, 2010; Miller, 2012)

sınıf içi uygulama örneklerine (Bell, 2011;

Gierdien, 2007), sözsüz ispat uygulamala-

rında öğrenci zorluklarına (Bardelle, 2009),

yetenekli ortaöğretim öğrencilerinin sözsüz

ispat oluşturma yaklaşımlarına (Uğurel,

Moralı ve Karahan, 2011), sınıf öğretmeni

adaylarının somut modeller ile ispat yapma

ile ilgili görüşlerine (Doruk, Kıymaz ve

Horzum, 2012) yöneliktir. Bu anlamda bu

çalışmada hem ortaöğretim matematik

öğretmen adaylarını sözsüz ispatlarla tanış-

tırmak hem de daha fazla sözsüz ispat ile

bir öğrenme ortamı sağlamak amaçlanmış-

tır. Bu nedenle bu çalışmanın amacı öğret-

men adaylarının sözsüz ispatlar ile ilgili bir

yaşantı yaşamaları ve bu yaşantının bir

sonucu olarak etkili olduğu ve olmadığı

yerler ile ilgili görüşlerini almaktır. Elde

edilen bulgular doğrultusunda öneriler

sunmaktır.

Yöntem

Araştırma Modeli

Bu çalışmada ortaöğretim matema-

tik öğretmen adaylarının sözsüz ispat ile

ilgili görüşlerini ortaya çıkarmak için nitel

araştırma desenlerinden durum çalışması

kullanılmıştır. Durum çalışması, güncel bir

olguyu kendi gerçek yaşam çerçevesi içinde

çalışan görgül bir araştırma yöntemdir

(Yıldırım ve Şimşek, 2005).

Katılımcılar

Çalışmanın katılımcılarını İç Ana-

doluda bulunan bir devlet Üniversitesi’nde

2013-2014 eğitim öğretim yılı bahar döne-

minde 5. Sınıfta haftada 4 saat olarak açıl-

mış olan “Alan Eğitiminde Araştırma Pro-

jesi” dersini alan 1. öğretime kayıtlı 26 ve 2.

öğretime kayıtlı 31 olmak üzere toplam 57

öğretmen adayı oluşturmaktadır. 5 sınıfta

olmalarından dolayı çalışmaya katılan tüm

öğretmen adayları lisansta verilmiş olan

bütün alan derslerini almışlardır. Bu neden-

le sözsüz ispatlarda yer alan kavramlarla

ilgili matematiksel bilgiye sahip oldukları

ve ispat yöntemleri ile de deneyim kazan-

dıkları kabul edilmiştir.

Uygulama Süreci

İç Anadolu bölgesinde bulunan bir

http://www.illuminations.nctm.org/

http://www.cut-the-knot.org/

http://www.cut-the-knot.org/

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=30

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=30


devlet Üniversitesi’nde 2013-2014 eğitim

öğretim yılı bahar döneminde 5. Sınıfta

haftada 4 saat olarak açılmış olan “Alan

Eğitiminde Araştırma Projesi” dersi kap-

samında ilk üç hafta araştırmacılar tarafın-

dan sözsüz ispatlar ile ilgili kuramsal bilgi-

ler verilmiş ve farklı örnekler işlenmiştir.

Bu örneklerden ikisi Pisagor teoreminin

Dudeney ve Garfield tarafından yapılan ve

Nelsen’ın (1993; s.6-7) kitabında da yer

verilmiş olan sözsüz ispatları Şekil 1’de

verilmiştir.

Şekil 1. Pisagor teoreminin Dudeney ve Garfield tarafından yapılan sözsüz ispatları

Aynı zamanda ilk hafta her bir öğ-

retmen adayına rastgele farklı konulara

yönelik 5 tane sözsüz ispat verilmiştir. Bu

sözsüz ispatlar Nelsen’dan (1993; 2000)

seçilmiştir. 4. Haftadan itibaren öğretmen

adayları ödevlerini sınıfta arkadaşları ile

paylaşmışlardır. Bütün öğretmen adayları

ilk sözsüz ispatını bitirince 2. sözsüz ispata

geçmişlerdir. Bu şekilde 5 sözsüz ispatı sıra

ile paylaşmışlardır. 1. öğretim ve 2. öğre-

timdeki her bir öğretmen adayına farklı

sözsüz ispat verilmiştir. Dolayısıyla her bir

öğretmen adayı diğerlerinden farklı sözsüz

ispatları anlamaya ve arkadaşlarıyla pay-

laşmaya çalışmışlardır. 13. hafta sonunda

tüm sözsüz ispatlar bitmiştir. Bu aşamadan

sonra öğretmen adaylarının sözsüz ispatlar-

la ilgili görüşleri alınmıştır.

Veri Toplama Aracı ve Verilerin

Analizi

Veriler dönem sonunda “sözsüz is-

patların etkili olduğu ve etkili olmadığı

yerleri yazınız” soruları ile toplanmıştır.

Veriler yazılı olarak toplanmış ve her katı-

lımcıya bir numara verilmiştir. Daha sonra

veriler bilgisayar ortamına aktarılmış, gö-

rüşler benzerliklerine göre gruplandırılarak

içerik analizi yapılmıştır. İçerik analizi top-

lanan verileri açıklayabilecek kavramlara

ve ilişkilere ulaşmadır. İçerik analizinde

temelde yapılan işlem birbirine benzeyen

verileri belirli kavramlar ve temalar çerçe-

vesinde bir araya getirmek ve bunları oku-

yucunun anlayabileceği şekilde düzenleye-

rek yorumlamaktır (Yıldırım ve Şimşek,

2005). Bu sayede sözsüz ispatların etkili

olduğu yerler ile ilgili olarak öğretmen

adaylarının görüşlerinden kategori ve alt

kategoriler elde edilmiştir. Kategori ve alt

kategorilerin elde edilme sürecinde öncelik-

le verilen cevaplarda yer verilen ifadeler

direk alınarak kodlanmıştır. Yani “ispat

yapabilme becerisini geliştirir”, “groblem

çözme becerisini geliştirir”, “genelleme

becerisi kazandırır”,… vb gibi kodlanmış

ve frekans tablosu oluşturulmuştur. Daha

238


sonraki aşamada ise bunlar “Farklı becerile-

ri kazandırma-geliştirme“ kategorisi altında

toplanmıştır. Bu şekilde elde edilen bu ka-

tegori ve alt kategoriler alanında uzman iki

farklı araştırmacı tarafından ayrı ayrı ve

sonra birlikte incelenmiştir. Bu aşamadan

sonra kategorilere son hali verilmiştir. Katı-

lımcıların yazılı ifadelerinden direk alıntılar

yapılarak, verilerinin güvenilirliğinin artı-

rılması hedeflenmiştir.

Bulgular ve Yorum

Sözsüz İspatların Etkili Olmadığı

Yerler İle İlgili Bulgular

Matematik öğretmen adaylarının

sözsüz ispatın etkili olduğu yerler ile ilgili

görüşleri hakkında genel bir bakış elde

etmek amacı ile bulgular Tablo 1’de özet-

lenmiştir. Tablo 1’de yer alan bazı kategori-

ler alt kategorilere ayrılmıştır. Bu alt kate-

goriler öğretmen adaylarının görüşlerinden

alıntılar yapılarak daha ayrıntılı olarak da

verilmiştir.

Tablo1. Sözsüz ispatın etkili olduğu yerler ile ilgili görüşleri

Kategoriler f %

Farklı becerileri kazandırma-geliştirme 37 65

Bakış açısı kazandırma-geliştirme 12 21

Farklı bir ispat yöntemi öğrenme 6 10

Kolay olması 5 8

Kalıcılık 8 14

Somutlaştırma 5 8

Daha iyi kavrama-anlama 6 10

Matematiksel ifadelerin nasıl elde edildiğini kav-

rama

4 7

Konular arası bağlantı kurdurma- ilişkilendire-

bilme

3 5

Etkili 3 5

Merak duygusu uyandırma 2 4

Basit ve açık şekilde anlatabilme 1 2

Zihinsel bir etkinlik 1 2

Güven kazandırma 1 2

Çok ekonomik –Kısa süre 1 2

Zevkli 1 2

Genellenebilir olması 1 2

Matematiği farklı boyutta kullanması 1 2

Limitlerini aştırmaya zorlama 1 2

Öğretim yöntemi olarak kullanılabilmesi 1 2

Üstbilişsel bilgi kazandırma 1 2

Verimli olması 1 2

Yeni bilgi öğrenme 1 2

İşlemsel yeteneği olanlar için daha iyi olması 1 2

Diğer 1 2

*: Bazı öğretmen adaylarının görüşleri birden fazla kategoride yer aldığından dolayı yüzde

değerleri %100’ü aşabilir.

Tablo 1’den görüldüğü gibi öğret- men adayları çoğunlukla (37 öğretmen


adayı, % 65) sözsüz ispatların farklı beceri-

leri kazandırmada etkili olduğunu ifade

ettikleri görülmektedir. Bunun yanı sıra

bakış açısı kazandırdığını veya geliştirdiği-

ni, farklı bir ispat yöntemi öğrendiklerini,

önceki öğrendikleri yöntemlere göre daha

kolay olduğu şeklinde ifade etmişlerdir.

Aynı zamanda kalıcı olduğunu, yaptıkları

ispatları unutmayacakları, ispatları somut-

laştırdığını bu sayede ispatların daha kolay,

daha basit ve anlaşılır olduğunu, kendileri-

ne güven kazandırdığını, daha iyi anladık-

larını, konular arası bağlantı kurduğunu,

formüllerin matematiksel ifadelerin nasıl

elde edildiğini daha iyi kavradıklarını tüm

bunların da kısa sürede yapıldığını ifade

etmişlerdir.

Tablo 1’de yer alan “Farklı becerile-

ri kazandırma-geliştirme”, “Bakış açısı ka-

zandırma-geliştirme”, “Farklı bir ispat yön-

temi öğrenme” “kolay olması” kategorileri

alt kategorilere ayrılmıştır. Bu alt kategori-

ler aşağıda detaylı olarak öğretmen adayla-

rının görüşlerinden alıntılar yapılarak ve-

rilmiştir. Tablo 2’de “Farklı becerileri ka-

zandırma-geliştirme” kategorisinin alt ka-

tegorileri ile ilgili öğretmen adaylarının

görüşleri hakkında genel bir bakış elde

etmek amacı ile bulgular özetlenmiştir.

Bunlara ek olarak Tablo 2’de genel hatları

ile verilmiş olan kategoriler, Tablo 3’de

öğretmen adaylarının görüşlerinden alıntı-

lar yapılarak daha ayrıntılı olarak verilmiş-

tir. Yalnız Tablo 2’de yer alan “Düşünme

becerileri kazandırma-geliştirme” kategori-

si de alt kategorilere ayrıldığı için bu görüş-

ler örneklerle Tablo 4’de verilmiştir.

240


Tablo 2 “Farklı becerileri kazandırma-geliştirme” kategorisinin alt kategorileri

Tablo 2’den görüldüğü gibi öğret-

men adayları ispat, problem çözme, akıl

yürütme, genelleme, işlem, analiz ve sentez

yapabilme becerilerini geliştirdiğini ifade

etmişlerdir. Bu beceriler içinde en fazla

ispat becerisinin gelişimine katkı sağladığı-

nı ifade ettikleri görülmektedir. Bunun yanı

sıra Tablo 2 ‘de görüldüğü gibi farklı dü-

şünme becerilerinin gelişimine katkı sağla-

dığını ifade etmişlerdir. Bu düşünme bece-

rilerine bakıldığında geometrik, yaratıcı,

soyut, matematiksel düşünme becerisi gibi

birçok becerinin gelişimine katkı sağladığı-

nı ifade ettikleri görülmektedir.

Alt kategori f

Far

klı

bec

eril

eri

kaz

and

ırm

a-g

eliş

tirm

e

İspat becerisini geliştirir 5

Problem çözme becerisini geliştirir 2

Anlama yeteneğini geliştirir 2

Zihinsel becerileri geliştirir 2

Akıl yürütme becerisi kazandırır 2

Genelleme becerisi kazandırır 2

Analiz ve sentez yapabilme yeteneğini ge-

liştirir

1

İşlem becerisi kazandırır 1

Görme becerisi kazandırır 1

Düşünme becerileri kazandırma-geliştirme

Fazla düşünmenizi sağlar 2

1

1

2

1

İşlem yapmadan düşünme sağlar

Soyut düşünmeyi geliştirir

Düşünme yeteneğini- becerisini geliştirir

Öğrenciyi düşündürüyor düşündürürken

öğretiyor bilgiye boğmuyor

Matematiksel düşünme becerisini gelişti-

rir

2

Farklı düşünme becerilerini kazandırır 2

Tümevarımsal düşünme becerisini gelişti-

rir

1

Yaratıcı düşünme becerisini geliştirir 1

Çok yönlü düşünebilme becerisini gelişti-

rir

2

Geometrik düşünme becerisini geliştirir 1


Tablo 3 “Farklı becerileri kazandırma-geliştirme” kategorisinin alt kategorileri ile ilgili

öğretmen adayların görüşlerinden örnekler

Tablo 3 incelendiğinde “Beceri ka-

zandırma-geliştirme” kategorisinde yer

alan öğretmen adaylarının görüşlerinin

çoğunluğunun (5 öğretmen adayı) ispat

becerisini geliştirmede etkili bir yöntem

olarak ifade ettikleri görülmektedir. Bunun

yanı sıra problem çözme, anlama, zihinsel

becerilerin, akıl yürütme, genelleme, analiz

ve sentez yapabilme, işlem becerisi, görme

becerisini geliştirdiğini ifade etmişlerdir.

Elbette burada birçok farklı beceri söz ko-

nusudur. Fakat böyle bir deneyim yaşayan

öğretmen adaylarının yaşadıkları sürece

dayanarak bunları ifade etmeleri önemli bir

bulgudur.

Alt kategori Öğretmen adayların görüşlerinden örnekler f

İspat becerisini geliştirmede etki-

lidir

5

Problem çözme becerisi geliştirir

2

Anlama yeteneğini geliştirir

2

Zihinsel becerilerin gelişimine

faydası var

2

Akıl yürütme becerisi kazandırır

2

Genelleme becerisi kazandırır

2

Analiz ve sentez yapabilme yete-

neğini geliştirir

1

İşlem becerisi kazandırır

1

Görme becerisi kazandırır

1

242


Tablo 4. “Düşünme becerileri kazandırma-geliştirme” ile ilgili alt kategoriler

Tablo 4 incelendiğinde “Düşünme

becerileri kazandırma-geliştirme” alt kate-

gorisinde öğretmen adayları yaşadıkları

sürecin bir yansıması olarak matematiksel,

yaratıcı, tümevarımsal, geometrik, soyut

düşünme gibi düşünme becerilerini geliş-

tirdiğini ifade ettikleri görülmektedir. Bu-

nun yanı sıra öğretmen adayları sözsüz

ispatların onları çok yönlü ve fazla düşün-

meye zorladıklarını ifade etmişlerdir. Ken-

dileri sürece dahil olup, ispatları anlamaya

ve yorumlama çalıştıkları ve bu nedenle

üzerinde zaman harcadıkları için bu şekilde

düşünmüş olmaları ve düşünme becerisini

geliştirdiğini ifade ettikleri söylenebilir.

“Bakış açısı kazandırma-geliştirme”

kategorisinde yer alan görüşler iki başlık

altında toplanmıştır. Bu kategoriler oluştu-

rulurken birisi var olan bakış açısını geliş-

tirme diğer yeni bir bakış kazandırma ola-

rak değerlendirilmiştir.


Fazla düşünmenizi sağlıyor

2

İşlem yapmadan düşünme

1

Soyut düşünmeyi geliştirir

1

Düşünme yeteneğini- becerisini

geliştirir 2

Öğrenciyi düşündürüyor düşün-

dürürken öğretiyor bilgiye boğ-

muyor

1

Matematiksel düşünme becerisini

geliştirir

2

Farklı düşünme becerilerini ka-

zandırır 2

Tümevarımsal düşünme 1

Yaratıcı düşünme

1

Çok yönlü düşünebilme

2

Geometrik düşünmeyi sağlar

1


Tablo 5. “Bakış açısı kazandırma-geliştirme” ile ilgili alt kategoriler


Bakış açımızı

geliştirdi 4

Farklı bakış açısı

kazandırır

8

Tablo 5’ den de görüldüğü gibi öğ-

retmen adayları sözsüz ispatların bakış

açılarını değiştirdiğini, geliştirdiğini, farklı

bir bakış açısı kazandırdığını, olayla-

ra/sorulara farklı açılardan bakabilme bece-

risi kazandırdığını ifade etmişlerdir. “Farklı

bir ispat yöntemi öğrenme” kategorisinde

yer alan görüşler Tablo 6’da verilmiştir.

Tablo 6. “Farklı bir ispat yöntemi öğrenme” ile ilgili alt kategoriler

Tablo 6’dan görüldüğü gibi öğret-

men adayları bu zamana kadar sözsüz yön-

temini görmedikleri için farklı bir ispat

yöntemini öğrendiklerini ifade etmişlerdir.

Buna paralel olarak süreç boyunca ifade

edilmemesine rağmen bir öğretmen adayı

önceden öğrendikleri ispatları sözlü ve

yazılı ispat olarak nitelendirmiştir. Bu bul-

gu sözsüz ispatlarla ile karşılaştıklarından

sonra öğretmen adaylarının ispatları sözlü,

yazılı ve sözsüz olarak kavramsallaştırdık-

ları şeklinde yorumlanmıştır. Bir öğretmen

adayı ise formüllerin farklı şekil de elde

edilebileceğini ifade etmiştir. 6 öğretmen

adayı ise sözsüz ispatların farklı yönlerden

kolay olduğunu ifade etmiştir. Bu görüş-

lerden örnekler Tablo 7’de verilmiştir.

Alt kategoriler Öğretmen adayların görüşlerinden örnekler f

Önceden ispatın sadece sözlü

ve yazıyla olduğunu düşünü-

yordum

1

Formüllerin farklı şekilde elde

edilebileceğini görme

1

İspatın farklı yollarla yapılabi-

leceğini gösterdi

1

Farklı ispat tekniği öğrendik –

Bir teoremin farklı ispatlarını

öğrendik

1

244


Tablo 7. “Kolay olması ” ile ilgili alt kategoriler

Tablo 7 incelendiğinde öğretmen

adayları sözsüz ispatların önceki ispatlara

göre kolay olduğunu hatta önceden ispat

ettikleri ve anlamadıkları teoremleri şimdi

daha kolay ispatladıklarını ifade ettikleri

görülmektedir. 3 öğretmen adayı ise ispat-

ların anlaşılmasının kolay olmasının nede-

nini, şekil olması veya somut verilerle işlem

yapmak olduğunu ifade etmişlerdir. 8 öğ-

retmen adayı bu yöntemin kalıcı olduğunu,

5 öğretmen adayı ise somutlaştırdığını 4

öğretmen adayı da daha iyi anladıklarını-

kavradıklarını ifade ettikleri Tablo 8’de

görülmektedir. Bunlara ek olarak bu yön-

tem ile basit ve açık olarak anlatılabildiğini,

konular arasında bağlantı kurulabildiğini

ve matematiksel ifadelerin nasıl elde edil-

diğini kavradıklarını ifade etmişlerdir.

Tablo 8. Diğer kategorideki öğretmen adayların görüşlerinden örnekler

Kategoriler Öğretmen adayların görüşlerinden örnekler f

Kalıcılık

8

Somutlaştırma

5

Daha iyi kavrama-anlama

4

Alt kategoriler Öğretmen adayların görüşlerinden örnekler f

Teorik ispatında zorlandığım teo-

remleri daha kolay ispatladım

1

Sözlü ispata göre kolay

1

Anlaşılması kolay

2

Somut verilerle işlem yapmak işleri

kolaylaştırır

1


Basit ve açık şekilde anlata-

bilme 1

Matematiksel ifadelerin nasıl

elde edildiğini kavrama

Konular arası bağlantı kur-

durma- ilişkilendirebilme

1

Matematiği farklı boyutta

kullanması

1

Bir öğretmen adayı sözsüz ispatların kısa

olduğunda etkili olabileceğini vurgulamış-

tır.

Şekil 2 “kısa olduğunda etkili” diye ifade eden öğretmen adayı

Bu öğretmen adayı görüldüğü gibi kelime

kullanılması gereksiz olduğu durumlarda

kullanılabileceğini ifade etmiştir. 2 öğret-

men adayı merak duygusu uyandırdığını

ifade etmiştir.

Şekil 3“Merak duygusu uyandırdı” diye ifade eden öğretmen adayı

Bu merak duygusunun, verilen ifa-

denin ispatının nasıl olabileceğini anlamaya

çalıştıklarında oluştuğu söylenebilir. Bu

sayede öğrencilerin motivasyonunu artırıcı

bir yöntem olabileceği şeklinde yorumlana-

bilir. Bir öğretmen adayı ise sözsüz ispatlar

sayesinde kendine güven kazandığını ifade

etmiştir.

246


Şekil 4 Kendine güven kazandığını ifade eden öğretmen adayı

Büyük olasılıkla bu öğretmen adayı

ispatın nasıl olduğunu anlayabildiği için

yapabilme becerisini görmüş ve bundan

dolayı kendine olan güveni artmış şeklinde

yorumlanabilir. Bu öğretmen adayının gö-

rüşüne benzer olarak bir öğretmen adayı

ise ispat yapabildiğini fark ettiğini ifade

etmiştir.

Şekil 5 İspat yapabildiğini fark ettiğini ifade eden öğretmen adayı

Görüldüğü gibi bu öğretmen adayı

önceden ispat edemediği ispatları bu yön-

tem ile daha kolay ispatladığını fark ettiğini

ifade etmiştir. Bu üstbilişsel bilgi kazan-

dırma olarak kategorilendirilmiştir. Buna

paralel olarak 1 öğretmen adayı ise zorlaya-

rak ispat becerisini geliştirdiğini bunun

bazen mecburen limitlerini aşmaya zorla-

dığını ifade etmiştir.

Şekil 6 Limitlerini aşmaya zorladığını ifade eden öğretmen adayı

2 öğretmen adayı ise görsel zekayı-

hafızayı geliştirdiğini 1 öğretmen adayı ise

hayal gücünü geliştirdiğini ifade etmiştir.

Şekil 7 Görsel zekayı-hafızayı, hayal gücünü geliştirdiğini ifade eden öğretmen adayı


Bunların dışında 1 öğretmen adayı zevkli olduğunu ifade etmiştir.

Şekil 8 Zevkli olduğunu ifade eden öğretmen adayı

Sözsüz İspatların Etkili Olmadığı


2 öğretmen adayı bu soruyu cevap-

sız bırakmıştır. 1 öğretmen adayı ise fikrim

yok cevabı vermiştir. Fakat 18 öğretmen

adayı sözsüz ispatlarının “etkili olmadığı

yer yoktur” cevabı vermiştir. Diğer öğret-

men adaylarının sözsüz ispatların etkili

olmadığı yerler ile ilgili görüşleri Tablo 9

‘da özetlenmiştir.

Tablo 9. Sözsüz ispatların etkili olmadığı yerler ile ilgili öğretmen adaylarının görüşleri

Kategori Alt kategoriler f

Zaman alıcı

Zaman alıcı 3

7

Zaman 1

Açıklayıcı değil bu nedenle zaman alıcı 1

Bazı ispatlarda zaman alabilir 1

Anlayamadım çok zaman aldı 1

Kullanım alanı

kısıtlı

Meb de uygulanması zor 1 2

Ağır ispatlar olduğundan çok kullanım alanı yok 1

Alışkın olduğumuz

yöntem değil

Farklı alışılmışın dışında 1 2

Diğer ispat yöntemlerine alıştığımız için 1

Açıklayıcı değil Şekillerden gidilmesi, kelime cümle kullanılmaması 1

9

Açıklayıcı değil 1

Açıklayıcı değil bu nedenle zaman alıcı 1

Anlayamama Anlamakta yorumlamakta zorlanılıyor 1

Yaptığın ispatın bu yoldan yapılıp yapılmadığını anlaya-

bilmek

1

Başta anlayamadım 1

Şekillerin anlaşı-

lamaması

3 boyutlu şekillerde şekli anlama zor 1

Kompleks şekilleri yorumlamada zorluk çekilebilir 1

Karmaşık şekil ve ifade ve ispatların anlaşılması güç 1

Yetersiz olduğu

Gerekli açıklamalar yapılmazsa yetersiz 1

11

Görsel şekillerin olması gerekir 1

Geometrik şekiller yoksa etkisi az olur 1

Geometrinin olduğu yerde etkili 1

Şekille açıklanmayacak teoremlerde etkili olmaz 1

Matematiksel ifadelerde etkili olmadı 1

248


yerler Çelişki bulma gibi yöntemlerle ispatlanması gereken teo-

remler var

1

Araç kullanılmıyor 2 ye ayırmada kolay ama 3 e ayırmada

yetersiz

1

Cebirsel ispatların yapımında uygun olmaması 1

Bazı ispatları göstermek mümkün değil soyut mat cebir gibi 1

Aşırı genellenmiş durumlarda etkisiz 1

Öğretmen olarak

nasıl kullanacağı

Öğrencilerin kavraması zor olabilir 1

10

Öğrencilere nasıl aktaracağımı anlamış değilim 1

İspat becerisi gelişmemiş öğrenciler için zorlayıcı 1

İspatlar öğrencilere açık gelmeyebilir 1

Kafa karıştırıcı olabilir 1

Anlatmak zor 1

Kavram yanılgısına neden olabilir 1

Yanlış düşünmelere neden olabilir 1

Yanlış anlamaya neden olabilir 1

Geometriden soğutabilir umutsuzluğa kapılmamıza neden

olabilir

1

Sıkıcı Uzun olduğu için sıkıcı 1

Alan bilgisi Alan bilgisi olmalı 1 2

Bilgi eksikliği varsa karmaşık 1

Zorlayıcı

Bu kadar zorlayıcı olmamalıydı 1 1

Bulurken zorlanıyoruz 1 1

Yapmakta zorlandım 1 1

Zor Anlaşılmaları zor 1 1

Zor 1 1

İşlem çokluğu İşlem çokluğu 1 1

Yorumlamaya açık Yorumlamaya açık kurallar 1 1

Karmaşık 1

Tablo 9 incelendiğinde öğretmen

adaylarının çoğunlukla zaman aldığını

ifade ettikleri görülmektedir. Bunun nedeni

genel olarak ispatları yaparken açıklayıcı

olmadığını, hatta alışkın olmadıkları bir

yöntem olduğunu ve ilk başta anlayama-

dıkları bu nedenle çok zamanlarını aldıkla-

rını ifade ettikleri söylenebilir. Zaten 2

öğretmen adayı zorluğunun, alışkın olma-

dıkları bir yöntem olması olduğunu ifade

etmişlerdir. 9 öğretmen adayı ise şekillerin

açıklayıcı olmadığını, özellikle 3 boyutlu

şekillerde görmenin zor olduğunu, ilk başta

ne demek istediğini anlayamadıklarını ifa-

de etmişlerdir. 11 öğretmen adayı ise etki-

siz olabileceği yerleri, ispatlanacak ifade de

görsel şekil olması gerektiğini, çelişki bul-

ma yöntemi ile ispat edilecek teoremlerde

kullanılmasının zor olacağını ifade etmiş-

lerdir.

Tartışma ve Sonuç

Bu çalışmanın amacı sözsüz ispat

ile ilgili deneyim yaşamış olan öğretmen

adaylarının sözsüz yönteminin etkili ve

etkili olmadığı yönler ile ilgili görüşlerini

incelemektir. Bulgular etkili olduğu ve etki-

siz olduğu yerler ile ilgili görüşler doğrul-

tusunda değerlendirilmiştir.


Sözsüz İspatların Etkili Olduğu


Çalışmaya katılan öğretmen aday-

larının çoğunluğu sözsüz ispatların farklı

birçok beceriyi kazandırmada etkili olabile-

ceğini ifade etmişlerdir. Bu becerileri ispat,

problem çözme, anlama, zihinsel, akıl yü-

rütme, genelleme, işlem, analiz ve sentez

yapabilme, görme ve düşünme becerileri

şeklinde ifade etmişlerdir. Bu beceriler içe-

risinde en fazla ispat becerisini kazandıra-

bileceği ifade edilmiştir.

Öğretmen adayları geometrik, yara-

tıcı, tümevarımsal, çok yönlü, matematik-

sel, soyut düşünme gibi farklı düşünme

becerilerini geliştirdiğini ifade etmenin

yansıra “fazla düşünmeyi sağladığını ve

düşündürüyor düşündürürken öğretiyor”

ifadelerine de yer vermişlerdir. Burada

ifade edilen düşünmelerin her biri litera-

türde farklı bir araştırma konusu olarak

incelenmektedir. Bardelle (2009) sözsüz

ispatların tümevarım metodunun doğru

kullanımını geliştirmeye yardımcı olabili-

ceği görüşü tümevarımsal düşünmeyi artı-

rır görüşünü desteklemektedir. Soyut dü-

şünmeyi geliştirir görüşü ise Koğ (2010) ve

Koğ ve Başer (2011) resmi ve özel okullarda

yürüttüğü çalışmada da her iki okulda da

soyut düşünmeyi olumlu etkiler bulgusunu

desteklemektedir. Aynı zamanda Gierdien

(2007) sözsüz ispatların epistemolojik rolü-

nü tartıştığı çalışmasında ifade ettiği sözsüz

ispatların genelleştirme, inceleme, sonuç

çıkarma, temsil etme, tahmin etme, tanım-

lama gibi matematiksel süreç becerilerini

geliştirdiği görüşünü desteklemektedir.

Doruk ve Güler’in (2014) çalışmalarında

öğretmen adaylarının matematiksel ispatla-

rın kendilerine kazandırdığı soyut düşün-

me becerisi, kavramları sebepleri ile öğ-

renme ve öğretmenlik hayatlarına olan

yansımalarına yönelik farkındalıklarının

düşük olduğunu bulgusundan yola çıkarak

sözsüz ispatların bu farkındalıklarını artır-

mak için yararlı olabileceği söylenebilir.

12 öğretmen adayı sözsüz ispatların

bakış açılarını değiştirdiğini, geliştirdiğini,

farklı bir bakış açısı kazandırdığını, olayla-

ra/sorulara farklı açılardan bakabilme bece-

risi kazandırdığını ifade etmişlerdir.

4 öğretmen adayı bu zamana kadar

sözsüz yöntemini görmedikleri için farklı

bir ispat yöntemini öğrendiklerini ifade

etmişlerdir. Buna paralel olarak süreç bo-

yunca ifade edilmemesine rağmen bir öğ-

retmen adayı önceden öğrendikleri ispatları

sözlü ve yazılı ispat olarak nitelendirmiştir.

Bu bulgu sözsüz ispatlarla ile karşılaştıkla-

rından sonra öğretmen adaylarının ispatları

sözlü, yazılı ve sözsüz olarak kavramsallaş-

tırdıkları şeklinde yorumlanmıştır.

Bir öğretmen adayı ise formüllerin

farklı şekil de elde edilebileceğini bir diğeri

ispatın daha farklı yolları da olabileceğini

gördüklerini ifade etmişleridir. Bu bulgu

Tekin ve Konyalıoğlu (2010) görsel şekillere

dayalı ispatlar formüllerin nasıl oluştuğu

ve nereden geldiği konusunda öğrencilere

bilgi verirken, ezberden kaçınarak kalıcı

öğrenmelerine yardımcı olur bulgusunu

desteklemektedir.

6 öğretmen adayı ise sözsüz ispat-

ların farklı yönlerden kolay olduğunu ifade

etmiştir. Öğretmen adayları sözsüz ispatla-

rın önceki ispatlara göre kolay olduğunu

hatta önceden ispat ettikleri ve anlamadık-

ları teoremleri şimdi daha kolay ispatladık-

larını ifade ettikleri görülmektedir. 3 öğ-

retmen adayı ise ispatların anlaşılmasının

kolay olmasının nedenini, şekil olması veya

somut verilerle işlem yapmak olduğunu

ifade etmişlerdir. Öğretmen adayları sözsüz

ispatların daha kolay olduğunu hatta önce-

den ispat ettikleri ve anlamadıkları teorem-

leri daha kolay ispatladıklarını ifade ettikle-

ri görülmektedir. Doruk ve Güler’in (2014)

çalışmalarında ulaştıkları öğretmen adayla-

rının verilen bir matematiksel ifadenin ne-

den ispatlanması gerektiğini anlama, ispata

250


nasıl başlayacağına karar verememe, ispat

yöntemlerini anlama ve kendi başlarına

ispat yapmakta güçlük yaşadıkları bulgu-

sunun giderilmesine yönelik sözsüz ispatla-

rın etkili olabileceği söylenebilir.

8 öğretmen adayı bu yöntemin kalı-

cı olduğunu, 5 öğretmen adayı ise somut-

laştırdığını 4 öğretmen adayı da daha iyi

anladıklarını-kavradıklarını ifade ettikleri

görülmektedir. Bunlara ek olarak bu yön-

tem ile basit ve açık olarak anlatılabildiğini,

konular arasında bağlantı kurulabildiğini

ve matematiksel ifadelerin nasıl elde edil-

diğini kavradıklarını ifade etmişlerdir. Koğ

ve Başer’in (2011) görselleştirmenin öğren-

cilerin başarılarını olumlu yönde etkilediği

bulgunu desteklemektedir. Hanna ve Vil-

liers (2008) sözel, görsel ve formal gibi çeşit-

li ispat yollarının ispatları anlamada ve ve

ispatlamayı öğrenmede bir faktör olabile-

ceği görüşünü desteklemektedir. Öğretmen

adayları sözsüz ispatları kolay ve anlaşılır

olarak ifade etmişlerdir. Bu görüş Bardelle

(2009) görsel ispatların bir süreç olarak

görülmediği fakat resimlerin sonuçları

bulmada kolay anlaşılır, sade araçlar olarak

görüldüğü bulgusu ile benzerlik göster-

mektedir. Hanna ve Sidoli (2007) de ispatla-

rın görselleştirilmesiyle ilgili çalışmasında

ispat yaparken görselleştirmenin matema-

tiksel anlamada önemli bir rol oynadığını

ifade etmiştir. Aynı zaman da Doruk ve

Kaplan (2013) çalışmalarında ulaştıkları

öğretmen adaylarının ispatlardaki anahtar

düşüncelerin farkında olmadan ispatları

ezberleme yoluna giderek dersleri başarı ile

geçmektedirler. Bu durum derslerde ispatın

üzerinde fazla durulmaması ve değerlen-

dirmede de kullanılmamasından kaynak-

lanmaktadır bulgusunu gidermek içinde

sözsüz ispatlar etkili olabileceği söylenebi-

lir.

Kavramlar arası ilişki kurduğu bul-

gusu Bardelle (2009) bulgusu ile benzerlik

göstermektedir. Gerçekten Bardelle (2009)

bazı kavramları hatırlattıklarında öğrencile-

rin ispatı tamamlayabildiğini ifade etmiştir.

Bu nedenle sözsüz ispatlar yeni bilgi ile

önceden öğrenilen bilgi arasında bağ kur-

mada etkili bir araç olduğu şeklinde yo-

rumlanabilir. Gierdien (2007) sözsüz ispat-

ların ispatları açıklayıcı ispata çevirmesin-

den ve böylelikle de bilgi transferinin ger-

çekleşeceğine görüşünü desteklemektedir.

Bir öğretmen adayı sözsüz ispatla-

rın kısa olduğunda etkili olabileceğini vur-

gulamıştır. 2 öğretmen adayı merak duygu-

su uyandırdığını ifade etmiştir. Bu merak

duygusunun, verilen ifadenin ispatının

nasıl olabileceğini anlamaya çalıştıklarında

oluştuğu söylenebilir. Bu sayede öğrencile-

rin motivasyonunu artırıcı bir yöntem ola-

bileceği şeklinde yorumlanabilir. Bir öğ-

retmen adayı ise sözsüz ispatlar sayesinde

kendine güven kazandığını ifade etmiştir.

Büyük olasılıkla bu öğretmen adayı ispatın

nasıl olduğunu anlayabildiği için yapabil-

me becerisini görmüş ve bundan dolayı

kendine olan güveni artmış şeklinde yo-

rumlanabilir. Doruk ve Güler’in (2014) ça-

lışmasında ilköğretim öğretmen adayları-

nın ispata yükledikleri anlam olumlu olma-

sına rağmen ispat yapmaya ve ispatları

anlamaya yönelik özgüvenlerin düşük ol-

duğu belirlenmiştir. Dolayısıyla sözsüz

ispatlar ispat yaparken özgüveni artırmak

için etkili bir yöntem olarak yorumlanabilir.

Benzer olarak bir öğretmen adayı ise ispat

yapabildiğini fark ettiğini ifade etmiştir. Bu

öğretmen adayı önceden ispat edemediği

ispatları bu yöntem ile daha kolay ispatla-

dığını fark ettiğini ifade etmiştir. Bu üstbi-

lişsel bilgi kazandırma olarak kategorilen-

dirilmiştir. Buna paralel olarak 1 öğretmen

adayı ise zorlayarak ispat becerisini geliş-

tirdiğini bunun bazen mecburen limitlerini

aşmaya zorladığını ifade etmiştir. 2 öğret-

men adayı ise görsel zekayı-hafızayı geliş-

tirdiğini 1 öğretmen adayı ise hayal gücünü

geliştirdiğini ifade etmiştir. Bunların dışın-

da 1 öğretmen adayı zevkli olduğunu ifade

etmiştir.


Sözsüz İspatların Etkisiz Olduğu


Etkisiz olduğu yerler ile ilgili gö-

rüşler incelendiğinde, 18 öğretmen adayı

sözsüz ispatlarının “etkili olmadığı yer

yoktur” cevabı vermiştir. 7 öğretmen adayı

zaman alıcı şeklinde ifade etmiştir. Bunun

nedeni alışkın olmadıkları bir yöntem ve

hem ne yapacaklarını hem de nasıl yapa-

caklarını süreç içinde öğrendiklerinden

zaman aldığını ifade etmiş olabilirler. Bu

nedenle zaman içerinde formal ispatlar

birlikte verilirse bunun giderilebileceği

söylenebilir.

2 öğretmen adayı kullanım alanı

kısıtlı derken ispatların ağır olduğu,

MEB’de uygulanması zor olarak nitelen-

dirmişlerdir. Fakat Pisagor ispatı gibi bir-

çok sözsüz ispat MEB’de öğretilmekte ve

ispatları yapılmaktadır. 9 öğretmen adayı

sözsüz ispatların açıklayıcı olmadığı, şekil-

lerin anlaşılmadığını, yorumlayamadıkları-

nı ifade etmişlerdir. Bunun iki nedeni olabi-

lir. Birincisi matematik bilgi eksikliği diğeri

deneyim eksikliğidir. 11 öğretmen adayı ise

ispatlanacak ifade de görsel şekillerin veya

geometrik şekillerin olması gerektiğini,

şekiller yoksa etkisiz olabileceğini geometri

dışında uygulanamayacağı ifade etmiştir.

Burada genelde geometri için uygun bir

yöntem olarak algılanması söz konusu ola-

bilir. Gerçekten bazı öğretmen adayları,

soyut matematik veya cebirsel ispatlar için

uygun olamayacağını ifade etmiştir. Süreç

içerisinde birçok konu ile ilgili ispata yer

verilmesine rağmen halen görselleştirmenin

geometride olabileceği kanısı devam ettiği

söylenebilir. Fakat sözsüz ispatlar geomet-

ride, sayılar teorisinde, trigonometride,

analizde, eşitsizliklerde, tamsayı bağlantıla-

rı gibi matematikte birçok konuda kullanı-

labilir (Nelsen, 2010; Miller 2012). Bu du-

rumun öğretmen adaylarının daha çok

sözsüz ispatlarla karşılaşması ile ortadan

kaldırılabileceği söylenebilir. Bardelle

(2009) sadece geometrik şekiller olduğu

düşünülse de “diyagramatik ispat” veya

“görsel ispat” ların daha kapsayıcı bir an-

lamda kullanıldığını ifade etmiştir. Bir öğ-

retmen adayı ise çelişki bulma yöntemi ile

ispatlanması gereken teoremlerin ispatında

kullanılamayacağını ifade etmiştir. Elbette

sözsüz ispatlar diğer ispat yöntemlerinin

yerini almak yerine onları dektekleyen bir

ispat olarak takdim edilmektedir.

Öğretmen adayları sözsüz ispatla-

rın öğrenciler için özellikle ispat becerisi

gelişmemiş öğrenciler için zor olabileceğini,

öğrencilere açık gelmeyebileceğini, kafa

karıştırıcı olabileceğini, yanlış anlamaya,

yanlış düşünmeye neden olabileceğini,

hatta bir öğretmen adayı sözsüz ispatların

öğrenciyi kavram yanılgısına düşürebilece-

ğini ifade etmiştir. Bu görüş Bardelle’nin

(2009) çalışmasının bulguları ile örtüşmek-

tedir. Gerçekten Bardelle öğrencilerin Pisa-

gor’un ispatında zorlanmazken geometrik

serinin ispatında kimsenin görsel ispatı

anlamadığını ve ipuçları verildiğini hatta

üçgenlerin benzerliği ve üçgenlerin eş ke-

narları arasındaki oran, vb gibi hatırlatma-

lar yapıldığını hatta kavramı hatırlatmadık-

ları veya öğretmediklerinin ispatı yapama-

dıklarını ifade etmiştir. Bu durumda öğren-

cilerin üçgenlerin benzerliği ile ilgili bilgile-

ri iyi olsa bile böyle bir yeni araçla sunul-

duğunda başarısız olabilmektedir. Bir öğ-

retmen adayı da bu görüşü destekleyerek

alan bilgisi olmalıdır şeklinde ifade etmiş-

lerdir. Gerçekten Bardelle’ye (2009) göre de

sözsüz ispatlardaki muhakeme becerilerin-

deki eksikliğin nedenleri bazı temel mate-

matiksel bilginin seçilmesi ve kullanılması-

dır. Bunların yansıması olarak da ispatın

öğrenilmesi çok zor olmaktadır. 2 öğret-

men adayı da, alışılmışın dışında olmasını

ifade etmiştir. Bu ise verilen eğitim ile orta-

dan kalkabilecektir.

Altıparmak ve Öziş (2005) ifade et-

tiği gibi öğrenciye ispat ve muhakeme bece-

252


risinin öğretimi ve gelişimi öğretmene bağ-

lıdır. Eğer öğretmenler öğrencileri için ge-

niş öğrenme yelpazesi sunarlar ve değişik

ispat yöntemlerini verirlerse, öğrencilere

matematiği ve mantıksal düşünceyi daha

iyi anlayıp yaratıcılıklarını artıracaklardır.

Bu düşünceden hareketle sözsüz ispatlar

etkili bir araç olabilirler. Fakat geleceğin

öğretmenleri olarak öncelikle öğretmen

adaylarının sözsüz ispata yönelik bir dene-

yim yaşamaları gerekmektedir. Bu araştır-

ma bir dönem sözsüz ispat ile yaşantı ge-

çirmiş olan ortaöğretim matematik öğret-

meni adaylarının görüşleri ile sınırlıdır. Bu

ve benzeri araştırmalar farklı sınıf seviyele-

rindeki öğrencilerle, farklı bölümlerdeki

öğretmen adayları ile yapılıp karşılaştırma-

lar yapılabilir.

KAYNAKÇA

Almeida, D. (2001). Pupils' proof potential.

International Journal of Mathemati-

cal Education in Science and Tech-

nology, 32, 53-60.

Altıparmak, K. ve Öziş, T. (2005). Matema-

tiksel İspat ve Matematiksel Muha-

kemenin Gelişimi Üzerine Bir İnce-

leme. Ege Eğitim Dergisi (6) 1: 25–

37.

Alsina, C., ve Nelsen R. (2001). A Visual

Proof of the Erdaos-Mordell Inequ-

ality, Forum Geom,7, 99-102.

Alsina, C., ve Nelsen R. (2006). Math Made

Visual: Creating Images for Un-

derstanding Mathematics. Mathe-

matical Association of America,

Washington

Alsina,C. ve Nelsen, R.B. (2009).When Less

is More. Visualizing Basic Inequali-

ties. Dolciani mathematical exposi-

tions.

Alsina,C. ve Nelsen, R.B.(2010). An Invita-

tion to Proofs Without Words. Eu-

ropean Journal of Pure and Applied

Mathematics, 3(1), 118-127.

Ball, D. L., Hoyles, C., Jahnke, H. N., &

Movshovitz-Hadar, N. (2002). The

teaching of proof. In L. I. Tatsien

(Ed.), Proceedings of the Internati-

onal Congress of Mathematicians,

3, 907–920. Beijing: Higher Educa-

tion.

Bardelle, C. (2010). Visual proofs: an expe-

riment. In V. Durand-Guerrier et al

(Eds), Proceedings of CERME6.

Lyon, France. INRP, 251-260.

Bayer. R. (2009). Proof By Picture. (erişim

19.10.2015)

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdo

c/download?doi=10.1.1.353.5627&re

p=rep1&type=pdf

Bell, C. (2011). Proofs without words: A

visual application of reasoning and

proof. Mathematics Teacher, 104,

690-695.

Britz, T., Mammoliti, A., Sørensen, H. K.

(2014). Proof by picture: A selection

of nice picture proofs. Parabola

50(3), 1-8.

Casselman, B. (2000). Pictures and proofs.

Notices of the American Mathematical

Monthly, 47(10), 1257-1266.

Ceylan, T. (2012). “Geogebra Yazılımı Or-

tamında İlköğretim Matematik Öğ-

retmen Adaylarının Geometrik İs-

pat Biçimlerinin İncelenmesi.” Ya-

yınlanmamış Yüksek Lisans Tezi,

Ankara Üniversitesi, Eğitim Bilim-

leri Enstitüsü.

Çevik, G. (2015). “Lineer cebir uygulamala-

rının bilgisayar destekli görselleşti-

rilmesinin, öğretmen adaylarının

farkındalıklarına, görselleştirmele-

rine etkisi ve memnuniyeti.” Yayın-

lanmamış Yüksek lisans tezi, Ata-

türk üniversitesi, Eğitim bilimleri

Enstitüsü.

De Villiers, M. (1990). The role and func-

tion of proof in mathematics. Pyt-

hagoras, South Africa, 23, 17-24.

Dede, Y.ve Karakuş, F. (2014). A Pedagogi-

cal Perspective Concerning the

Concept of Mathematical Proof: A

Theoretical Study. Adıyaman Uni-

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.353.5627&rep=rep1&type=pdf




versity Journal of Educational Sci-

ences, 2014, 4 (2), 47-71.

Doruk, M. ve Güler, G. (2014). İlköğretim

Matematik Öğretmeni Adaylarının

Matematiksel İspata Yönelik Görüş-

leri. Uluslararası Türk Eğitim Bilim-

leri Dergisi. Ekim. 71-93

Doruk, M. ve Kaplan, A. (2013). İlköğretim

Matematik Öğretmeni Adaylarının

Dizilerin Yakınsaklığı Kavramı

Üzerine İspat Değerlendirme Bece-

rileri. Eğitim ve Öğretim Araştırma-

ları Dergisi, 2(1), 241-252.

Doruk, B.K., Kıymaz,Y., Horzum,T. (2012).

İspat yapma ve ispatta somut mo-

delden yararlanma üzerine sınıf öğ-

retmeni adaylarının görüşleri. X.

Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik

Eğitimi Kongresi’ nde Sunulmuş

Bildiri. Niğde Üniversitesi, Niğde.

Gierdien, F. (June 2007). From “Proofs wit-

hout words” to “Proofs that exp-

lain” in secondary mathematics.

Pythagoras, 65, 53 – 62

Hanna, G, ve Villiers, M. (2008). ICMI

Study 19: Proof and Proving in

mathematics education, ZDM Mat-

hematics Education, 40, 329-336.

Hanna, G., ve Sidoli, N. (2007). Visualisa-

tion and proof: A brief survey of

philosophical perspectives. ZDM

Mathematics Education, 39, 73–78.

İpek, A.S (2003). “Kompleks sayılarla ilgili

kavramların anlaşılmasında görsel-

leştirme yaklaşımının etkinliğinin

incelenmesi.” Yayınlanmamış Dok-

tora Tezi, Atatürk Üniversitesi Fen

Bilimleri Enstitüsü.

Koğ, O U.(2012) Görselleştirme Yaklaşımı

İle Yapılan Matematik Öğretiminin

Öğrencilerin Bilişsel Ve Duyuşsal

Gelişimi Üzerindeki Etkisi. Dokuz

Eylül Üniversitesi Eğitim Bilimleri

Enstitüsü Doktora Tezi

Koğ,O U., Başer N. (2011) Görselleştirme

Yaklaşımının Matematikte Öğre-

nilmiş Çaresizliğe Ve Soyut Dü-

şünmeye Etkisi. Batı Anadolu Eği-

tim Bilimleri Dergisi Issn 1308 –

8971 01(03), 2011, 89-108

Koğ,O U., Başer N. (2012) Görselleştirme

Yaklaşımının Matematiğe Yönelik

Tutum Ve Başarıdaki Rolü. Elemen-

tary Education İlköğretim Online,

11(4), 945-957, 2012.

Konyalıoğlu, A.C. (2003) “Üniversite düze-

yinde vektör uzayları konusundaki

kavramların anlaşılmasında görsel-

leştirme yaklaşımının etkinliğinin

incelenmesi” Yayınlanmamış Dok-

tora Tezi. Atatürk Üniversitesi, Fen

Bilimleri Enstitüsü, Erzurum

Knuth, E. J. (2002). Teachers’ Conceptions

of Proof in the Context of Secon-

dary School Mathematics, Journal

of Mathematics Teacher Education,

5, 1, 61-88.

Köğce, D. (2013) İlköğretim Matematik

Öğretmen Adaylarının İspatın Öğ-

renmeye Katkısı İle İlgili Görüşleri

ve İspat Düzeyleri. Turkish Studies

- International Periodical For The

Languages, Literature and History

of Turkish or Turkic Volume 8/12

Fall 2013, p. 765-776

Miller R. L. (2012). On Proofs Without

Words, Retrieved on: 10-

November-2015, at URL:

http://www.whitman.edu/mathema

tics/SeniorProjectArchive/2012/Mill

er.pdf

Nelsen. R. (1993). Proofs Without Words:

Exercises in Visual Thinking. Mat-

hematical Association of America,

Washington.

Nelsen. R (2000). Proofs Without Words II:

More Exercises in Visual Thinking.

Mathematical Association of Ame-

rica, Washington.

Özkaya, M. Işık,A., Konyalıoğlu, A.C.

http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2012/Miller.pdf



254


(2014). İlköğretim Matematik Öğ-

retmenliği Öğrencilerinin Sürekli

Fonksiyonlarla İlgili İspatlama ve

Ters Örnek Oluşturma Performans-

ları. Middle Eastern & African Jo-

urnal of Educational Research, 11.

Pouryoussefi, F. (1989). Proof Without

Words. Mathematics Magazine,

62(5), 323.

Şan, İ.(2008). “Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin

Özdeşlik Konusu Erişilerine Görsel-

leştirmenin Etkisi”, Yayınlanmamış

yüksek lisans tezi. Osmangazi Üni-

versitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,

Eskişehir

Tekin, B. (2010). “Ortaöğretim Düzeyinde

Trigonometri Kavramlarının Öğre-

nilmesinde Görselleştirme Yakla-

şımının Etkililiğinin Araştırılması”,

Yayınlanmamış Doktora Tezi, Ata-

türk Üniversitesi, Fen Bilimleri Ens-

titüsü, Erzurum.

Tekin, B., Konyalıoğlu, A. C. (2010). Trigo-

nometrik Fonksiyonların Toplam

ve Fark Formüllerinin Ortaöğretim

Düzeyinde Görselleştirilmesi Bay-

burt Üniversitesi Eğitim Fakültesi

Dergisi, 5 (1-2), 24-37.

Ufuktepe, Ü. (2009) Matematikte Resimle

İspat. Erişim: 09 Kasım 2015,

http://maycalistaylari.comu.edu.tr/c

alis-

tay2009_2/sunumlar/danisman/una

l_ufuktepe_matematik.pdf

Uğurel, I., Moralı, H. S. ve Karahan, Ö.

(2011). Matematikte Yetenekli Olan

Ortaöğretim Öğrencilerin Sözsüz

İspat Oluşturma Yaklaşımları, I.

Uluslararası Eğitim Programları ve

Öğretimi Kongresi, Anadolu Üni-

versitesi, (5-8 Ekim) Eskişehir.

Ünveren, E.N. (2010). “İlköğretim Matematik

Öğretmen Adaylarının İspata Yöne-

lik Tutumlarının Matematiksel

Modelleme Sürecinde İncelenmesi”,

Yayınlanmamış Yüksek Lisans Te-

zi, Balıkesir Üniversitesi Fen Bilim-

leri Enstitüsü, Balıkesir.

Yıldırım, A. ve Şimşek, H. (2005). Sosyal

bilimlerde nitel araştırma yöntem-

leri (5. bs.). Ankara: Seçkin Yayıncı-

lık.

http://maycalistaylari.comu.edu.tr/calistay2009_2/sunumlar/danisman/unal_ufuktepe_matematik.pdf




ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMEN …. Doç. Dr. Handan... · ve Nelsen’a (2010) göre belli...

Documents

Transcript of ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMEN …. Doç. Dr. Handan... · ve Nelsen’a (2010) göre belli...