ΜΑΘΗΜΑ 7: ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗspn/files/mixaniki-mathima7.pdf ·...

ΜΑΘΗΜΑ 7:

ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

Sagredo: Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η ορμή ενός σώματος σε πτώση διπλασιάζεται όταν αυτό πέφτει από διπλάσιο ύψος.

Salviati: Είναι πολύ παρήγορο που είχα τέτοιο σύντροφο στην πλάνη, γιατί κάποτε συμμεριζόμουν αυτή την εσφαλμένη αντίληψη.

ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ

Έναν αιώνα μετά τη δημοσίευση των Μαθηματικών Αρχών της Φυσικής Φιλοσοφίας του Νεύτωνα, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να αναδιατυπώσουν με αυστηρότητα το ορθολογικό υπόβαθρο της Κλασικής Μηχανικής. Βρέθηκαν τότε αντιμέτωποι με μια σειρά εννοιολογικών δυσχερειών που προκλήθηκαν κυρίως από την έννοια της δύνα-μης. Η αμφισβήτηση της κεντρικής εννοιολογικής της θέσης έγινε εντονότερη με τα επιτεύγματα του 20ου

αιώνα και οι εξελίξεις έδειξαν ότι υπάρχουν σοβαροί λόγοι ανα-θεώρησης της ορθολογικής βάσης της Κλασικής Μηχανικής.

Στην προσπάθεια ορθολογικής ερμηνείας της φυσικής πραγματικότητας, η έννοια της δύναμης παραμερίστηκε από την κεντρική εννοιολογική της θέση και δόθηκε θε-μελιακός ρόλος στις έννοιες της ορμής, της στροφορμής και της ενέργειας. Ο Γαλιλαίος και ο Νεύτωνας είχαν ήδη αναφερθεί, έμμεσα ή άμεσα, στις έννοιες της ορμής και της στροφορμής και με την πάροδο του χρόνου έγινε αντιληπτό ότι οι αρχές της διατήρη-σής τους βρίσκονται σε πλήρη λογική ανταπόκριση με την ομογένεια και την ισοτρο-πία του χώρου. Αργότερα έγινε επίσης αντιληπτό ότι η αρχή διατήρησης της ενέργει-ας βρίσκεται σε πλήρη λογική ανταπόκριση με την ομογένεια του χρόνου. Άλλωστε, από ότι τουλάχιστο γνωρίζουμε, οι νόμοι της φύσης είναι ίδιοι παντού στο χώρο και στο χρόνο. Αυτός μάλλον είναι ο βαθύτερος λόγος που καθιστά τις τρεις αυτές έν-νοιες κυρίαρχες και θεμελιώδεις στην Κλασική Μηχανική.

ΜΑΘΗΜΑ 7ο : ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ©

59

◊ Στην Κλασική Μηχανική, η ορμή μιας σημειακής μάζας κατά την κίνησή της στο χώ-ρο ορίζεται, κάθε χρονική στιγμή, ως το γινόμενο της μάζας της επί την ταχύτητά της και η ορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών ορίζεται, κάθε χρονική στιγμή, ως το άθροισμα των ορμών των συστατικών του σημειακών μαζών:

1( ) ( )

N

ii

p t p t=

=∑ , ( ) ( )i i ip t m r t=

, 1,...,i N= .

Το αξιοσημείωτο είναι ότι η ορμή κάθε συστήματος σημειακών μαζών ταυτίζεται με την ορμή του αδρανειακού του κέντρου όπου εκεί θεωρείται συμπυκνωμένη η μάζα του και ασκείται η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων: *

( ) ( )p t r t=

m

.

Η ορμή ενός συστήματος δυο σημειακών μαζών ταυτίζεται με την ορμή του αδρανειακού του κέντρου.

Οι νόμοι της κίνησης μπορούν πλέον να αναδιατυπωθούν στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς ως εξής:

• Ο πρώτος νόμος δηλώνει ότι αν σε μια σημειακή μάζα δεν ασκείται δύναμη τότε η ορμή της διατηρείται σταθερή.

• Ο δεύτερος νόμος δηλώνει ότι αν σε μια σημειακή μάζα ασκείται δύναμη τότε η χρονική παράγωγος της ορμής της ισούται με αυτή τη δύναμη.

• Ο τρίτος νόμος δηλώνει ότι αν σε ένα σύστημα σημειακών μαζών ασκούνται μόνο δυνάμεις αλληλεπίδρασης τότε η ορμή του διατηρείται σταθερή. Από τους τρεις αυτούς νόμους προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα που ισχύουν στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς:

* Πράγματι, είναι προφανές ότι:

( )1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N N

i i i i ii i i

d dp t m r t m r t r t r tdt dt= = =

= = = =

∑ ∑ ∑

m m .

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α’: ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ


• Η θεμελιώδης εξίσωση που διέπει την κίνηση κάθε συστήματος σημειακών μαζών δηλώνει ότι η χρονική παράγωγος της ορμής του ισούται με το άθροισμα των ασκού-μενων εξωτερικών δυνάμεων:*

1( ) F ( )

N

ii

p t t=

= ∑

.

• Οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σύστημα σημειακών μαζών προσδί-δουν σε αυτό μια ώθηση που μεταξύ δυο χρονικών στιγμών προσμετράται ως εξής:

2 2

1 12 1

1F ( ) ( ) ( ) ( )

t t

t tt d t p t d t p t p t

Ν

ιι=

= = −∑∫ ∫

.

• Αρχή διατήρησης της ορμής. Αν οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σύστη-μα σημειακών μαζών έχουν μηδενική συνισταμένη τότε η ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή, παρότι οι ορμές των συστατικών του στοιχείων ίσως δεν είναι σταθερές:

1 1F ( ) = 0 ( ) ( )

N N

i ii i

t p t p t= =

⇒ =∑ ∑

σταθερή.

Η αρχή διατήρησης της ορμής δηλώνει ότι αν η συνισταμένη των ασκούμενων εξωτερι-κών δυνάμεων σε ένα σύστημα σημειακών μαζών είναι μηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης οι τρεις συνιστώσες της ορμής του συστήματος διατηρούνται σταθερές, αλλά ακόμη και αν μια ή δυο από τις συνιστώσες της συνισταμένης δύναμης είναι μη-δενικές τότε οι αντίστοιχες συνιστώσες της ορμής του συστήματος διατηρούνται στα-θερές. Η διατήρηση της ορμής ισχύει γιατί έχουμε αποδεχτεί αξιωματικά το νόμο δράσης-αντίδρασης που εξασφαλίζει την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης. Αντίστροφα, αν αποδεχτούμε αξιωματικά την αρχή διατήρησης της ορμής τότε απορρέει ο νόμος δράσης-αντίδρασης. Η αρχή διατήρησης της ορμής, ως αξιωματική αρχή, δεν προκαλεί εννοιολογικές δυσχέρειες ως προς τη χρονική υστέρη-ση της διάδοσης των δυνάμεων δράσης-αντίδρασης και έτσι καθίσταται εννοιολογικά ασφαλέστερη από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα.

* Πράγματι, λαμβάνοντας υπόψη την εξωτερική δύναμη και τις εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης που ασκού-νται σε κάθε σημειακή μάζα του συστήματος και αθροίζοντας για το σύνολο των σημειακών μαζών ισχύει:

1F

N

i ijjj i

dp fdt

ι

=≠

= +∑

, 1,...,i N= ,

⇒ 1 1 1 1

FN N N N

ii ij

i i jj i

dp fdt ι= = = =

≠

= +∑ ∑ ∑∑

⇒ 1 1

FN N

i ii i

d pdt = =

=∑ ∑

⇒ 1

FN

ii

dpdt =

= ∑

.



61

Στην αρχή διατήρησης της ορμής αντικατοπτρίζεται η φυσική ομογένεια του χώρου που εκφράζεται μαθηματικά διαμέσου του αντίστοιχου γαλιλαϊκού μετασχηματισμού. Ένα σώμα στο οποίο δεν επιδρούν εξωτερικές δυνάμεις δεν θα επιταχυνθεί από μόνο του αυθόρμητα προς κάποια κατεύθυνση γιατί αυτό θα σήμαινε ότι ο χώρος δεν είναι ομογενής. Έτσι, αν το αδρανειακό κέντρο ενός σώματος στο οποίο δεν ασκούνται εξω-τερικές δυνάμεις έχει κάποια ταχύτητα, την ίδια ταχύτητα θα έχει οπουδήποτε αλλού στον κενό χώρο, άρα η ορμή του και κατά συνέπεια η ορμή του σώματος διατηρείται σταθερή. Ο λόγος αυτός οδήγησε στην επανεξέταση του εννοιολογικού ρόλου του τρίτου νόμου και έθεσε το ζήτημα αντικατάστασής του από την αρχή διατήρησης της ορμής στην αξιωματική θεμελίωση της Κλασικής Μηχανικής. Άλλωστε, εκεί όπου δεν ισχύουν οι νόμοι του Νεύτωνα, στη Σχετικότητα και στην Κβαντομηχανική, η αρχή διατήρησης της ορμής εξακολουθεί να ισχύει και να συνδέεται με την ομογένεια του χώρου, ανταποκρινόμενη στη φυσική πραγματικότητα.*

1( ) ( )

N

ii

t t=

Ω = Ω∑

◊ Στην Κλασική Μηχανική, η στροφορμή μιας σημειακής μάζας κατά την κίνησή της στο χώρο ορίζεται, κάθε χρονική στιγμή, ως το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμά-των της θέσης της και της ορμής της στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς και η στρο-φορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών ορίζεται ως το άθροισμα των στροφορμών των συστατικών του σημειακών μαζών:

, 1

( ) ( ) ( )N

i i ii

t r t p t=

Ω = ×∑

, 1,...,i N= .

Το διάνυσμα της στροφορμής μιας σημειακής μάζας είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται κάθε χρονική στιγμή από τα διανύσματα της θέσης και της ορμής της και η στροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών προκύπτει

από το άθροισμα των στροφορμών των συστατικών του σημειακών μαζών.

Ο ορισμός και υπολογισμός της στροφορμής μιας σημειακής μάζας προϋποθέτει την επιλογή ενός σημείου αναφοράς στο χώρο το οποίο, στην προκειμένη περίπτωση, είναι η αρχή του ευκλείδειου χώρου και το ίδιο ισχύει για τα συστήματα σημειακών μαζών. Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σημείο αναφοράς ερμηνεύει τη στροφορμή κάθε

* Στη Σχετικότητα ο ορισμός της ορμής είναι πιο πολύπλοκος αφού εκεί ακόμη και σωμάτια χωρίς μάζα έχουν ορμή.



κινούμενης σημειακής μάζας ως την τάση της να εκτελέσει στροφική κίνηση γύρω του, χωρίς να σημαίνει ότι οπωσδήποτε θα εκτελεστεί αυτή η κίνηση. Η στροφική αυτή τά-ση αποτιμάται αριθμητικά κάθε χρονική στιγμή από το μέτρο της στροφορμής, δηλα-δή το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων της θέσης και της ορμής επί το ημίτονο της μικρότερης προσανατολισμένης γωνίας τους:

( ) ( ) ( )sin ( )t r t p t tΩ = θ .

Όταν η σημειακή μάζα κινείται ευθύγραμμα σε φορέα διερχόμενο από το σημείο ανα-φοράς τότε η στροφορμή της είναι μηδενική, αφού τα διανύσματα της θέσης και της ορμής είναι συγγραμμικά, αλλά αν ο φορέας της δεν διέρχεται από το σημείο αναφο-ράς τότε η στροφορμή δεν είναι μηδενική και το μέτρο της αποκτά μέγιστη τιμή κάθε στιγμή που τα διανύσματα της θέσης και της ορμής είναι μεταξύ τους ορθογώνια. Η συνεισφορά της ορμής της σημειακής μάζας στη στροφορμή της είναι τόσο μεγαλύ-τερη όσο μικρότερο είναι το μέτρο της προβολής της στο φορέα του διανύσματος της θέσης. Η συνεισφορά αυτή είναι μηδενική κάθε στιγμή που τα διανύσματα της θέσης και της ορμής είναι συγγραμμικά και γίνεται πλήρης όταν είναι ορθογώνια.

Όταν πρόκειται για σύστημα σημειακών μαζών, ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σημείο αναφοράς, αθροίζοντας τις στροφορμές των σημειακών μαζών, ερμηνεύει τη στροφορμή του συστήματος ως την τάση του να εκτελέσει γύρω από αυτόν στροφική κίνηση, χωρίς να σημαίνει ότι οπωσδήποτε θα εκτελεστεί αυτή η κίνηση. Αλλά, η τάση αυτή δεν ταυτίζεται πάντα με την τάση στροφικής κίνησης του αδρανειακού κέντρου. Συγκεκριμένα, η στροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών δεν ταυτίζεται με τη στροφορμή του αδρανειακού του κέντρου, όπου εκεί θεωρείται συμπυκνωμένη η μάζα του και ασκείται η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων και η διαφορά τους προσ-μετράται ως εξής:

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N

o i ii

t t r t p t r t p t=

Ω −Ω = × − ×∑

.

Κατά τη διάρκεια της κίνησης μιας σημειακής μάζας στο χώρο υπό την επίδραση μιας δύναμης, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της εκφράζει τη ροπή της ασκούμενης δύναμης, η οποία ορίζεται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς ως το διανυσματικό γι-νόμενο των διανυσμάτων της θέσης της και της ασκούμενης δύναμης:*

* Πράγματι, είναι προφανές ότι:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F( ) ( )d t d r t p t r t p t r t p t r t t tdt dtΩ

= × = × + × = × = Λ

.



63

( ) ( ) F( )t r t tΛ = ×

, ( ) ( )d t tdtΩ

= Λ

.

Η ολική ροπή των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα σημειακών μαζών ορίζεται ως το άθροισμα των ροπών αυτών των δυνάμεων στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς. Ο νόμος δράσης-αντίδρασης επιβάλλει την αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερι-κών δυνάμεων αλληλεπίδρασης και κατά συνέπεια στον υπολογισμό της ολικής ροπής υπεισέρχονται μόνο οι ασκούμενες εξωτερικές δυνάμεις:

1( ) ( ) F ( )( )

N

i ii

t r t t=

Λ = ×∑

.

Η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα των σημειακών μαζών εκφράζει τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του:*

1

( ) ( ) F ( ) ( )( )N

i ii

d t r t t tdt =

Ω= × = Λ∑

και του προσδίδει μια στροφική ώθηση που μεταξύ δυο χρονικών στιγμών προσμετρά-ται από την αντίστοιχη μεταβολή της στροφορμής:

2 2

1 12 1( ) ( ) ( ) ( )

t t

t tt dt d t t tΛ = Ω = Ω −Ω∫ ∫

.

* Από την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης προκύπτει:

( ) ( ) ( ) ( ) 0( )i ij j ji i j ijr t f r t f r t r t f× + × = − × =

⇒ ( )1

( ) 0N

i ii

r t f=

× =∑

, 1,...,i, j N= .

Συνεπώς, με έναν απλό υπολογισμό καταλήγουμε στο συμπέρασμα:

( ) ( ) ( )1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )N N N N

i i i i i i ii i i i

d t d dt r t p t r t p t r t p tdt dt dt= = = =

Ω= Ω = × = × + × =∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

i

( ) ( F ) ( ) ( ) F ( ) F ( ) ( )( )N N N N N N

i ij i i i i i i i ii j i i i i

j

r t f r t f r t r t t t= = = = = =

≠

= × + = × + × = × = Λ = Λ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

.



Η ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα δυο σημειακών μαζών.

• Αρχή διατήρησης της στροφορμής. Αν η ολική ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα σημειακών μαζών είναι μηδενική τότε η στροφορμή του διατη-ρείται σταθερή, παρότι οι στροφορμές των σημειακών μαζών ίσως δεν είναι σταθερές:

1 1( ) ( ) 0 ( ) ( )

N N

i ii i

t t t t= =

⇒Λ = Λ = Ω = Ω∑ ∑

σταθερή.

Η αρχή διατήρησης της στροφορμής ισχύει γιατί έχουμε αποδεχτεί αξιωματικά το νόμο δράσης-αντίδρασης που εξασφαλίζει την αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης. Η αρχή αυτή δηλώνει ότι αν η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σύστημα σημειακών μαζών είναι μηδενική τότε οι τρεις συνιστώσες της στροφορμής του διατηρούνται σταθερές, αλλά ακόμη και αν μια ή δυο από τις συνιστώσες της ολικής ροπής τους είναι μηδενικές τότε οι αντίστοιχες συνιστώσες της στροφορμής διατηρούνται σταθερές. Έτσι, αν οι θέσεις των σημεια-κών μαζών εντοπίζονται στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς με τα διανύσματα:

( )( ) ( ), ( ), ( )i i1 i2 i3r t x t x t x t= , 1,...,=i N ,

τότε:

( ) 0tΛ =

⇒

( )

( )

( )

11

21

31

( ) :

( ) ( ) ( ) ( ) c

( ) ( ) ( ) ( ) c

( ) ( ) ( ) ( ) c

N

i i2 i3 i2 i3iN

i i3 i1 i3 i1iN

i i1 i2 i1 i2i

t

m x t x t x t x t

m x t x t x t x t

m x t x t x t x t

=

=

=

− =

Ω − =

− =

∑

∑

∑



65

◊ Στην Κλασική Μηχανική, η στροφορμή ενός συστήματος σημειακών μαζών ως προς το αδρανειακό του κέντρο καλείται ιδιοστροφορμή (spin) : *

1 1( ) ( ) ( ) ( )

N N

i i ii i

t t r t p t∗ ∗ ∗ ∗

= =

Ω = Ω = ×∑ ∑

.

Ιδιοστροφορμή ενός συστήματος δυο σημειακών μαζών Η ιδιοστροφορμή κάθε συστήματος σημειακών μαζών εκφράζει την ενδογενή τάση εκτέλεσης στροφικής κίνησης γύρω από το αδρανειακό του κέντρο. Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό κέντρο έχει ενδογενή αντίληψη της στροφικής τάσης του συστήματος, ενώ ο παρατηρητής που βρίσκεται σε κάποιο άλλο σημείο του χώρου έχει εξωγενή αντίληψη που διαμορφώνεται από τη συνάθροιση της ιδιοστροφορμής με τη στροφορμή του αδρανειακού κέντρου.

Η στροφορμή του αδρανειακού κέντρου καλείται τροχιακή στροφορμή και δεν είναι ενδογενές γνώρισμά του συστήματος των σημειακών μαζών αφού εξαρτάται από το σημείο αναφοράς του παρατηρητή:

( ) ( ) ( )o t r t p tΩ = ×

.

Η ιδιοστροφορμή του συστήματος των σημειακών μαζών εκφράζεται ως διανυσματική διαφορά της στροφορμής του και της στροφορμής του αδρανειακού του κέντρου: †

* Στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς, θεωρούμε το διάνυσμα θέσης

( )r t του αδρανειακού κέντρου του συστήμα-τος των σημειακών μαζών και σε ένα σύστημα αναφοράς επικεντρωμένο στο αδρανειακό κέντρο προσδιορίζουμε τα διανύσματα θέσης και ταχύτητας των σημειακών μαζών:

( ) ( ) ( )i ir t r t r t∗ = −

, ( ) ( ) ( )i ir t r t r t∗ = −

, 1,...,i N= , και προκύπτει:

=1( ) 0

N

i ii

m r t∗ =∑

άρα =1

( ) 0N

i ii

m r t∗ =∑

και i=1

( ) 0N

ip t∗ =∑

.

† Πράγματι, είναι προφανές ότι :



( ) ( ) ( )ot t t∗Ω = Ω −Ω

.

Όταν το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση σε φορέα που διέρχεται από το σημείο αναφοράς του παρατηρητή τότε η στροφορμή του είναι μηδενική και κατά συνέπεια η στροφορμή του συστήματος ταυτίζεται με την ιδιοστροφορμή του:

( ) ( )t t∗Ω = Ω

. Η ολική ροπή ως προς το αδρανειακό κέντρο των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα σημειακών μαζών ορίζεται ως εξής:

1 1( ) ( ) ( ) F ( )

N N

i i ii i

t t r t t∗ ∗ ∗

= =

Λ = Λ = ×∑ ∑

.

Η ολική ροπή ως προς το αδρανειακό κέντρο των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα σημειακών μαζών προκύπτει από τη διανυσματική διαφορά μεταξύ της ολικής ροπής τους και της ροπής της συνισταμένης εξωτερικής δύναμης ως προς το σημείο αναφοράς του παρατηρητή:

( ) ( ) ( ) F( )t t r t t∗Λ = Λ − ×

.

Η ροπή των ασκούμενων δυνάμεων στο σύστημα σημειακών μαζών ως προς το αδρανειακό κέντρο.

( ) ( ) ( )( )1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N

i i i i i ii i

t r t m r t r t r t m r t r t∗ ∗

= =

Ω = × = + × + =∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N N N

i i i i i i i ii i i i

r t m r t r t m r t r t m r t r t m r t∗ ∗ ∗ ∗

= = = =

= × + × + × + × =∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N N

i i i i i ii i i

r t r t m r t r t r t m r t r t p t r t p t t∗ ∗ ∗ ∗ ∗

= = =

= × + × + × + × = × + Ω∑ ∑ ∑

m



67

Η ολική ροπή ως προς το αδρανειακό κέντρο των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα σημειακών μαζών εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ιδιοστροφορμής του συστήματός:*

1 1

( ) ( ) F ( ) ( ) ( )( )N N

i i ii i

d t r t t t tdt

∗∗ ∗ ∗

= =

Ω= × = Λ = Λ∑ ∑

.

Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό κέντρο υπολογίζει τη στροφική ώθηση του συστήματος των σημειακών μαζών μεταξύ δυο χρονικών στιγμών ως εξής:

2 2

1 12 1( ) ( ) ( ) ( )

t t

t tt dt d t t t∗ ∗ ∗ ∗Λ = Ω = Ω −Ω∫ ∫

.

• Αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορμής. Αν η ολική ροπή ως προς το αδρανειακό κέντρο των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων σε ένα σύστημα σημειακών μαζών είναι μη-δενική τότε η ιδιοστροφορμή του διατηρείται σταθερή:

1 1( ) ( ) 0 ( ) ( )

N N

i ii i

t t t t∗ ∗ ∗∗

= =

Λ = Λ ≡ ⇒ Ω = Ω∑ ∑

σταθερή.

Στην Κλασική Μηχανική, η αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορμής κατέχει κεντρική θέση και το σημαντικό είναι ότι η αρχή αυτή ισχύει όχι μόνο στα αδρανειακά συστή-ματα αναφοράς αλλά και στα συστήματα αναφοράς που ακολουθούν την κίνηση του αδρανειακού κέντρου του συστήματος των σημειακών μαζών:

Η αρχή διατήρησης της ιδιοστροφορμής υποδεικνύει ότι ένα σύστημα σημειακών μαζών στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις δεν θα αλλάξει αυθόρμητα από μόνο του τη στροφική του κατάσταση και αυτό σημαίνει αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης ως προς το αδρανειακό του κέντρο. Η γνώση της ιδιοστροφορμής, ως ενδογενούς χαρακτηριστικού των φυσικών συστη-μάτων, έχει ιδιαίτερη σημασία και είναι αξιοσημείωτο ότι συνάγεται συλλογιστικά από τη μέτρηση δυο μη ενδογενών γνωρισμάτων τους, αφού ο εξωτερικός παρατηρητής μπορεί να την συμπεράνει εφόσον υπολογίσει από τη θέση στην οποία βρίσκεται τη στροφορμή των σημειακών μαζών και την στροφορμή του αδρανειακού τους κέντρου.

* O νόμος δράσης-αντίδρασης αλληλοαναιρεί τις ροπές των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης, άρα:

( )( ) ( )1 1

( ) ( ) ( ) F( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) ( )N N

i i i ii i

d t d t r t t r t r t t r t t tdt dt

∗∗ ∗

= =

−Ω Ω

= − × = × = × = Λ∑ ∑

.



Η διάκριση της ιδιοστροφορμής σε στροφορμή και τροχιακή στροφορμή έχει αποδει-χθεί χρήσιμη για την κατανόηση της συμπεριφοράς των σωματιδίων, αφού στα περισ-σότερα από αυτά η ιδιοστροφορμή αποτελεί αναλλοίωτη ιδιότητά τους.

Στην Κλασική Μηχανική, η αρχή διατήρησης της στροφορμής κατέχει θεμελιακή θέ-ση και αντικατοπτρίζεται στην ισοτροπία του χώρου που εκφράζεται με τους γαλιλαϊ-κούς μετασχηματισμούς των χωρικών στροφών, όπως και η αρχή διατήρησης της ορμής αντικατοπτρίζεται στην ομογένεια του χώρου που εκφράζεται με τους γαλιλαϊ-κούς μετασχηματισμούς των χωρικών μεταφορών. Οι αρχές αυτές δηλώνουν ότι οι νόμοι που διέπουν την κίνηση των σωμάτων είναι ίδιοι παντού στον κενό χώρο.

Σε αυτές τις αρχές διατήρησης επισυνάπτεται και η αρχή διατήρησης της ενέργειας, που θα πραγματευτούμε στο επόμενο κεφάλαιο, στην οποία αντικατοπτρίζεται η ομο-γένεια του χρόνου και δηλώνει ότι οι νόμοι που διέπουν την κίνηση των σωμάτων δεν αλλάζουν στο πέρασμα του χρόνου.

Η συλλογιστική που οδηγεί στο συσχετισμό της αρχής διατήρησης της στροφορμής με την ισοτροπία του χώρου καταλήγει σε λογικά συμπεράσματα αλλά όχι σε απόλυτα επιβεβαιωμένες αλήθειες της φυσικής πραγματικότητας. Σε πολύπλοκα συστήματα, όπου τα συστατικά τους στοιχεία βρίσκονται σε σχετική μεταξύ τους κίνηση, η χωρική ισοτροπία υποδεικνύει μόνο ότι μάλλον κάποιες στροφικές ιδιότητες διατηρούνται και όχι εξολοκλήρου η στροφορμή τους.

Άλλωστε, η αρχή διατήρησης της στροφορμής δεν έχει ακόμη ελεγχθεί σε περιοχές πέρα από το ηλιακό μας σύστημα και το ερώτημα ισχύος της στο γαλαξιακό ή μεσο-γαλαξιακό χώρο περιμένει την απάντησή του. Αν η απάντηση είναι αρνητική, τότε σημαίνει ότι κάπου μακρύτερα ο χώρος δεν είναι απόλυτα ισότροπος και ένα τέτοιο συμπέρασμα θα οδηγήσει σε σημαντικές αποκαλύψεις της δομής του σύμπαντος. *

* Η στροφική κίνηση, όπως φαίνεται, είναι χαρακτηριστικό των περισσότερων δομών στη φύση, από τους γαλαξίες έως το νετρίνο. Η γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε μια μέρα και περιφέρεται γύρω από τον ήλιο σε ένα χρόνο, αλλά και ο ήλιος περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του σε 25 μέρες και περιφέρεται κάνοντας το γύρο του γαλαξία σε 230 εκατομμύρια χρόνια. Όσο κατεβαίνουμε την κλίμακα των μεγεθών, τα μόρια περιστρέφονται και το ίδιο κάνουν τα ηλεκτρόνια που περιστρέφονται γύρω από τον άξονά τους και περιφέρονται μέσα στα άτομα.

Οι νόμοι της φύσης, από ότι τουλάχιστο γνωρίζουμε, κάθε χρονική στιγμή είναι ίδιοι παντού στο χώρο. Η χωρική ομογένεια, η χωρική ισοτροπία και η χρονική ομογένεια είναι μάλλον οι βαθύτεροι λόγοι που οδηγούν στις αρχές διατήρησης της ορμής της στροφορμής και της ενέργειας, καθιστώντας τις κυρίαρχες και θεμελιώδεις για την Κλασική Μηχανική.



69

Η αρχή διατήρησης της στροφορμής υποδεικνύει ότι ένα σύστημα σημειακών μαζών στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις δεν θα αλλάξει αυθόρμητα από μόνο του τη στροφική του κατάσταση. Άλλωστε το είχε ήδη πει ο Νεύτωνας στα σχόλιά του στις Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας. • Παραδείγματα υπολογισμού της ορμής και της στροφορμής.

Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται σε ένα επίπεδο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και με ακτινική ταχύτητα που κάθε στιγμή είναι ανάλογη προς την απόστασή του από ένα συγκεκριμένο άγνωστο σε μας σημείο του επιπέδου της κίνησης. Στην εικόνα φαίνεται, σε σμίκρυνση 100 :1, η τροχιά που διέγραψε το σωματίδιο από το μεσημέρι μέχρι τα μεσάνυχτα μιας μέρας όπως έχει καταγραφεί σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Θέλουμε να υπολογίσουμε την ορμή και τη στροφορμή αυτού του σωματιδίου κατά τη διάρκεια της κίνησής του.

cosx r θ= siny r θ= dr rdt

α= d cdtθ=

Θεωρούμε ένα ζεύγος σημειακών μαζών 1m και 2m που η θέση τους εντοπίζεται στον ευκλείδειο χώρο, κάθε χρονική στιγμή, με τα αντίστοιχα διανύσματα 1( )r t και 1( )r t , άρα το αδρανειακό τους κέντρο εντοπίζεται με το διάνυσμα θέσης:

1 1 2 2

1 2

( ) ( )( )

m r t m r tr t

m m+

=+

.



Το αδρανειακό κέντρο ενός συστήματος δυο σημειακών μαζών.

Οι σημειακές μάζες, εκτός από τις αμοιβαίες δυνάμεις αλληλεπίδρασης, θεωρούμε ότι δέχονται αντίστοιχα την επίδραση δυο εξωτερικών δυνάμεων 1F

και 2F

. Έτσι, συμβο-

λίζοντας ijf

τη δύναμη αλληλεπίδρασης που ασκεί η σημειακή μάζα im στη σημειακή μάζα

jm , 1,2i = , οι εξισώσεις της κίνησής τους εκφράζονται αντίστοιχα ως εξής:

1 1 12 1( ) Fm r t f= +

και 2 2 21 2( ) Fm r t f= +

.

Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς και ο νόμος δράσης και αντίδρασης υπαγορεύει την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάμεων:

12 21 0f f+ =

, άρα η κίνηση του αδρανειακού κέντρου υπακούει στην εξίσωση:

1 2 1 2( ) ( ) F Fm m r t+ = +

. Ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς δηλώνει για την κίνηση του συστήματος των δυο σημειακών μαζών τα εξής: Αν η συνισταμένη των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική τότε το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ή είναι ακίνητο, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι οι δυο σημειακές μάζες εκτελούν τέτοια κίνηση, άρα η ορμή του και κατά συνέπεια η ορμή του συστήματός τους διατηρείται σταθερή:



71

1 2F ( ) F ( ) 0t t+ ≡

⇒ 1 2( ) ( ) ( )p t m m r t= +

σταθερή.

Το συμπέρασμα αυτό διασφαλίζεται από την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνά-μεων αλληλεπίδρασης που υπαγορεύεται από το νόμο δράσης και αντίδρασης. Αν η ροπή της συνισταμένης των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου είναι μηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης η στρο-φορμή του αδρανειακού κέντρου διατηρείται σταθερή:

1 2( ) ( ) F ( ) F ( ) 0( )o t r t t tΛ = × + =

⇒ 1 2( ) ( ) ( ) ( )o t m m r t r tΩ = + ×

σταθερή.

Αν η συνισταμένη ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου είναι μηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης η στροφορμή του συστήματος των σημειακών μαζών διατηρείται σταθερή:

1,2( ) ( ) F ( ) 0( )i i

it r t t

=

Λ = × =∑

⇒ 1,2

( ) ( ) ( )( )i ii

t r t p t=

Ω = ×∑

σταθερή.

Αν η συνισταμένη ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς το αδρανεια-κό κέντρο είναι μηδενική τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης η ιδιοστροφορμή του συ-στήματος των σημειακών μαζών διατηρείται σταθερή:

1,2( ) ( ) F ( ) 0( )i i

it r t t∗ ∗

=

Λ = × =∑

⇒ 1,2

( ) ( ) ( )( )i ii

t r t p t∗ ∗ ∗

=

Ω = ×∑

σταθερή.

Τα συμπεράσματα αυτά διασφαλίζονται από την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης η οποία υπαγορεύει την αλληλοαναίρεση των ροπών τους: Κατά τη διάρκεια της κίνησης του συστήματος των σημειακών μαζών στο χώρο ισχύει:

( ) ( ) ( )ot t t∗Ω = Ω −Ω

. Η κινητική ενέργεια του συστήματος των σημειακών μαζών υπολογίζεται ως εξής:

2 21 2

1 2

|| ( ) || || ( ) ||( )2 2

p t p tK tm m

= +

και αποσυντίθεται σε άθροισμα μεταφορικής και στροφικής κινητικής ενέργειας:



21 2

1 2

|| ( ) ( ) ||( )2( )o

p t p tK tm m+

=+

και 2 2

1 2

1 2

|| ( ) || || ( ) ||( )2 2

p t p tK tm m

∗ ∗∗ = +

.

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας δίνει την ισχύ των ασκούμενων εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων:

( ) ( ) ( )dK t t tdt εξ εσ= + .

Η ισχύς των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων υπολογίζεται ως εξής:

1 1 2 2( ) F , ( ) F , ( )t r t r tεξ = < > + < >

. Ο νόμος δράσης και αντίδρασης δεν υπαγορεύει το μηδενισμό της ισχύος των εσωτε-ρικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης που, όπως βλέπουμε, δεν εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς και κατά συνέπεια αποτελεί ενδογενές γνώρισμα του συστήματος:

12 1 21 2 12 1 2 12 1 2( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( )t f r t f r t f r t -r t f r t -r tεσ∗ ∗=< >+< >=< >=< >

.

Αν οι σημειακές μάζες κατά τη διάρκεια της κίνησής τους διατηρούν σταθερή την από-στασή τους τότε η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης είναι μηδενική.

Αν οι σημειακές μάζες διατηρούν σταθερή τη μεταξύ τους απόσταση κατά τη διάρκεια της κίνησής τους τότε η ισχύς των

εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης είναι μηδενική.

Ο υπολογισμός των χαρακτηριστικών της κίνησης του συστήματος των δυο σημει-ακών μαζών ως προς ένα σύστημα αναφοράς επικεντρωμένο στο αδρανειακό κέντρο απλουστεύεται με τη θεώρηση του διανύσματος ( )tρ

που έχει αρχή τη σημειακή μάζα 1m και πέρας τη σημειακή μάζα 2m και την εισαγωγή της ανηγμένης μάζας:



73

1 2

1 2

m mm m

µ =+

.

Οι θέσεις των δυο σημειακών μαζών ως προς το αδρανειακό τους κέντρο εντοπίζονται κάθε χρονική στιγμή ως εξής:

21 1

1 2

( ) = ( ) ( ) ( )mr t r t r t tm m

∗ −− = ρ

+

και 12 2

1 2

( ) = ( ) ( ) ( )mr t r t r t tm m

∗ − = ρ+

και προκύπτουν οι αντίστοιχες ταχύτητες και ορμές ως προς το αδρανειακό κέντρο:

21

1 2

( ) ( )mr t tm m

∗ −= ρ

+

⇒ 1 ( ) ( )p t t∗ = −µρ

,

12

1 2

( ) ( )mr t tm m

∗ = ρ+

⇒ 2 ( ) ( )p t t∗ = µρ

.

Συνεπώς, η ιδιοστροφορμή και η στροφική κινητική ενέργεια του συστήματος των δυο σημειακών μαζών εκφράζονται αντίστοιχα ως εξής:

( ) ( ) ( )t t t∗Ω = µρ ×ρ

και 21

2( ) || ( ) ||K t t∗ = µ ρ

.

• Ας εξετάσουμε κάποια απλά παραδείγματα κίνησης ενός ζεύγους σημειακών μαζών:

Δυο ίδιες σημειακές μάζες m κινούνται στο χώρο και οι θέσεις τους εντοπίζονται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ως εξής:

( )1( ) = cos ,sin ,0r t t t

και ( )2 ( ) = sin ,0,cosr t t t

. Συνεπώς, οι σημειακές αυτές μάζες διαγράφουν αντίστοιχα τον ισημερινό και μεσημ-βρινό μιας σφαίρας μοναδιαίας ακτίνας επικεντρωμένης στην αρχή του ευκλείδειου χώρου και ένας απλός υπολογισμός υποδεικνύει ότι το αδρανειακό τους κέντρο δια-γράφει ελλειπτική τροχιά στην τομή ενός επιπέδου με την επιφάνεια ενός κυλίνδρου:

( )1

2( ) = cos + sin , sin , cosr t t t t t

.



Οι τροχιές των σημειακών μαζών και η τροχιά του αδρανειακού τους κέντρου.

Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο κέντρο της σφαίρας δηλώνει ότι οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των σημειακών μαζών καταγράφονται ως εξής:

( )1( ) = sin ,cos ,0r t t t−

και ( )2 ( ) = cos ,0, sinr t t t−

( )1( ) = cos , sin ,0r t t t− −

και ( )2 ( ) = sin ,0, cosr t t t− −

και προκύπτουν αντίστοιχα οι ασκούμενες εξωτερικές δυνάμεις:

( )1F ( ) = cos ,sin ,0t m t t−

και ( )2F ( ) = sin ,0,cost m t t−

. Από την ορμή των σημειακών μαζών:

( )1( ) = sin ,cos ,0p t m t t−

και ( )2 ( ) = cos ,0, sinp t m t t−

προκύπτει η ορμή του αδρανειακού τους κέντρου:

( )1 2( ) = ( ) ( ) = cos sin , cos , sinp t p t p t m t t t t+ − −

. Από τη μεταβολή της ορμής του αδρανειακού κέντρου προκύπτει η συνισταμένη των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων:

( )1 2( ) F( ) = F ( ) + F ( ) = cos sin , sin , cosdp t t t t m t + t t t

dt= −



75

και η ώθηση που προσδίδεται στο σύστημα μεταξύ δυο χρονικών στιγμών:

2 2

1 12 1F( ) ( ) ( ) ( )

t t

t tt d t p t d t p t p t= = −∫ ∫

.

Η στροφορμή του αδρανειακού κέντρου των σημειακών μαζών ως προς το κέντρο της σφαίρας διατηρείται σταθερή:

( ) ( ) ( ) ( 1,1, 1)2omt = r t p tΩ × = −

και η στροφορμή του συστήματος τους ως προς το κέντρο της σφαίρας είναι σταθερή:

1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0,1 ,1)t t t r t p t r t p t mΩ =Ω +Ω = × + × =

,

άρα και η ιδιοστροφορμή είναι σταθερή:

( ) ( ) ( ) ( ) (1 ,1 ,1)2mt t r t p t∗Ω = Ω − × =

.

Εισάγοντας την ανηγμένη μάζα / 2mµ = και το διάνυσμα:

( )2 1( ) ( ) ( ) sin cos , sin ,cost r t r t t t t tρ = − = − −

καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα:

( ) ( ) ( ) (1 ,1 ,1)2mt t t∗Ω = µρ ×ρ =

.



Η στροφορμή του συστήματος των σημειακών μαζών.

Η σταθερότητα της ιδιοστροφορμής ισοδυναμεί με το μηδενισμό της ολικής ροπής των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς το αδρανειακό κέντρο:

( )( ) 0d ttdt

∗∗ Ω

Λ = =

.

Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει άλλωστε απευθείας από την έκφραση των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα των σημειακών μαζών:

1 1 2 2( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) 0t r t t r t t∗ ∗ ∗Λ = × + × =

και υποδεικνύει την ανυπαρξία στροφικής ώθησης:

2 2

1 12 1( ) ( ) ( ) ( ) 0

t t

t tt dt d t t t∗ ∗ ∗ ∗Λ = Ω = Ω −Ω =∫ ∫

.

Επίσης, η σταθερότητα της στροφορμής ισοδυναμεί με το μηδενισμό της ολικής ροπής των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων ως προς το κέντρο της σφαίρας:

( )( ) 0d ttdtΩ

Λ = =

και το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει απευθείας από την έκφραση:

1 1 2 2( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) 0t r t t r t tΛ = × + × =

.

Η στροφική κινητική ενέργεια του συστήματος των σημειακών μαζών υπολογίζεται απευθείας θεωρώντας την ανηγμένη μάζα του:

212 4

( ) || ( ) || 2 sin2( )mK t t t∗ = µ ρ = −

και προσθέτοντας τη μεταφορική κινητική ενέργεια, δηλαδή την κινητική ενέργεια του αδρανειακού κέντρου:

4( ) 2 sin2( )o

mK t t= +



77

προκύπτει η κινητική ενέργεια του συστήματος των σημειακών μαζών:

2 21 2

1 12 2

( ) || ( ) || || ( ) ||K t m r t m r t m= + =

.

Αν εξαρχής είχαν δοθεί μόνο οι ασκούμενες δυνάμεις στις σημειακές μάζες:

( )1F ( ) = cos ,sin ,0t m t t−

και ( )2F ( ) = sin ,0,cost m t t−

εύκολα προκύπτουν όλα τα αποτελέσματα λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

21

12

( )= F ( )

d r tm t

dt

και 2

222

( )= F ( )

d r tm t

dt

.

Δυο ίδιες σημειακές μάζες m κινούνται στο χώρο και οι θέσεις τους εντοπίζονται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ως εξής:

( )1( ) = cos ,sin ,1r t t t

και ( )2 ( ) = cos( ),sin ( ),-1r t t tπ+ π+

. Συνεπώς, οι σημειακές μάζες διαγράφουν παράλληλους κύκλους προς τον ισημερινό μιας σφαίρας μοναδιαίας ακτίνας επικεντρωμένης στην αρχή του ευκλείδειου χώρου. Ένας απλός υπολογισμός υποδεικνύει το μηδενισμό της συνισταμένης των ασκούμε-νων εξωτερικών δυνάμεων και υποδεικνύει ότι το αδρανειακό κέντρο των σημειακών μαζών παραμένει αμετακίνητο στο κέντρο της σφαίρας. Συνεπώς, παρότι κάθε μια από τις σημειακές μάζες έχει μη μηδενική ορμή, η ορμή του συστήματος τους παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Επίσης, συνάγεται η ταύτιση της ιδιοστρο-φορμής με τη στροφορμή ως προς το κέντρο της σφαίρας που υπολογίζεται με την εισαγωγή της ανηγμένης μάζας ως εξής:

( ) ( ) ( ) ( ) ( co s, sin , 2 )t t t t m t t∗Ω = Ω = µρ ×ρ = − −

. Συνεπώς, η ολική ροπή των ασκούμενων εξωτερικών δυνάμεων υπολογίζεται ως εξής:

( )( ) (cos , sin , 0)d tt m t tdtΩ

Λ = = −

αλλά προκύπτει και απευθείας:

1 1 2 2( ) ( ) F ( ) ( ) F ( )t r t t r t tΛ = × + ×



από τη γνώση των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στις σημειακές μάζες:

( )1F ( ) = cos , sin , 0t m t t−

και ( )2F ( ) = cos , sin , 0t m t t

.

Οι τροχιές των σημειακών μαζών και η στροφορμή τους ως προς το κέντρο της σφαίρας. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα ενός ζεύγους σημειακών μαζών, ίδιας μάζας m , που κινούνται στο χώρο διαγράφοντας αντίρροπα παράλληλους κύκλους προς τον ισημερινό μιας σφαίρας μοναδιαίας ακτίνας επικεντρωμένης στην αρχή του ευκλείδειου χώρου. Ένας παρατηρητής που βρίσκεται στην αρχή του ευκλείδειου χώρου, βασισμένος στις πειραματικές του μετρήσεις, μας πληροφορεί ότι οι θέσεις των δυο σημειακών μαζών εντοπίζονται κάθε χρονική στιγμή στο ευκλείδειο σύστημα αναφοράς ως εξής:

( )1 1/2( ) = cos ,sin ,r t t t και ( )2 -1/2( ) = cos( ),sin ( ),r t t tπ+ π+ .

Ένας απλός υπολογισμός υποδεικνύει ότι το αδρανειακό τους κέντρο παραμένει ακίνητο στο κέντρο της σφαίρας και αυτό σημαίνει ότι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στις σημειακές μάζες είναι μηδενική. Οι δυνάμεις αυτές μπορούν να προσδιοριστούν υπολογίζο-ντας τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις των σημειακών μαζών: ( )1( ) = sin ,cos ,0r t t t−

και ( )2 ( ) = sin , cos ,0r t t t−

( )1( ) = cos , sin ,0r t t t− −

και ( )2 ( ) = cos ,sin ,0r t t t

. Αν οι σημειακές μάζες κατά τη διάρκεια της κίνησής τους διατηρούν σταθερή την από-στασή τους τότε η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων αλληλεπίδρασης είναι μηδενική. Ο υπολογισμός των χαρακτηριστικών της κίνησης του συστήματος των δυο σημει-ακών μαζών ως προς ένα σύστημα αναφοράς επικεντρωμένο στο αδρανειακό κέντρο απλουστεύεται με τη θεώρηση του διανύσματος ( )tρ

που έχει αρχή τη σημειακή μάζα 1m και πέρας τη σημειακή μάζα 2m και την εισαγωγή της ανηγμένης μάζας:



79

1 2

1 2

m mm m

µ =+

.

Οι θέσεις των δυο σημειακών μαζών ως προς το αδρανειακό τους κέντρο εντοπίζονται κάθε χρονική στιγμή ως εξής:

21 1

1 2

( ) = ( ) ( ) ( )mr t r t r t tm m

∗ −− = ρ

+

και 12 2

1 2

( ) = ( ) ( ) ( )mr t r t r t tm m

∗ − = ρ+

και προκύπτουν οι αντίστοιχες ταχύτητες και ορμές ως προς το αδρανειακό κέντρο:

21

1 2

( ) ( )mr t tm m

∗ −= ρ

+

⇒ 1 ( ) ( )p t t∗ = −µρ

,

12

1 2

( ) ( )mr t tm m

∗ = ρ+

⇒ 2 ( ) ( )p t t∗ = µρ

.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: 1. Πες μου, τι σε κάνει να πιστεύεις ότι στις αρχές διατήρησης της ορμής και της στροφορμής αντικατοπτρίζονται αντίστοιχα η ομογένεια και η ισοτροπία του χώρου;

2. Γιατί λες ότι η αρχή διατήρησης της ορμής ισοδυναμεί με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα;

3. Γιατί λες ότι προτιμάς εννοιολογικά την αρχή διατήρησης της ορμής από τον τρίτο νόμο;

4. Αν δεν ίσχυε η αρχή διατήρησης της ορμής θα αποδεχόσουν τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα;

5. Αν δεν ίσχυε η αρχή διατήρησης της στροφορμής θα αποδεχόσουν τον πρώτο νόμο;

6. Γιατί λες ότι η αρχή διατήρησης της στροφορμής διασφαλίζεται από τον τρίτο νόμο;

7. Γιατί λες ότι ο τρίτος νόμος δεν διασφαλίζει το μηδενισμό της εσωτερικής ισχύος;



8. Πώς ερμηνεύεις το μη μηδενισμό της εσωτερικής ισχύος και τη σχέση της με τη στροφική κινητική ενέργεια;

9. Πες μου, οι αρχές διατήρησης της ορμής και της στροφορμής ισχύουν μόνο στα αδρανει-ακά συστήματα αναφοράς;

Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό:

1. Πες μου, ποια είναι η λογική σχέση των αρχών διατήρησης της ορμής και της στροφορμής με τους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς της χωρικής μεταφοράς και της χωρικής στροφής;

2. Πες μου, με ποια μαθηματική συλλογιστική αποδεικνύεις την ισοδυναμία μεταξύ της αρχής διατήρησης της ορμής και του τρίτου νόμου του Νεύτωνα;

3. Πες μου, με ποια μαθηματική συλλογιστική προσδιορίζεις τη σχέση μεταξύ της αρχής δια-τήρησης της στροφορμής και του τρίτου νόμου του Νεύτωνα;

4. Πες μου, γιατί ο τρίτος νόμος δεν διασφαλίζει τη διατήρηση της κινητικής ενέργειας;

5. Πες μου, η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς;

6. Πες μου, γιατί η ισχύς των εσωτερικών δυνάμεων μηδενίζεται όταν οι σημειακές μάζες δια-τηρούν σταθερές τις μεταξύ τους αποστάσεις κατά τη διάρκεια της κίνησής τους;

7. Όταν δυο παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα αναφοράς υπολογίσουν την ορμή, τη στροφορμή και την κινητική ενέργεια ενός συστήματος σημειακών μαζών, θα καταλήξουν σε ίδια συμπεράσματα;

ΜΑΘΗΜΑ 7: ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗspn/files/mixaniki-mathima7.pdf ·...

Documents

Transcript of ΜΑΘΗΜΑ 7: ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗspn/files/mixaniki-mathima7.pdf ·...