O Diffusion/Dispersion changement d’échelle, application aux...

1

10/03/2003

Diffusion/Dispersion en Milieux Poreux1

M. Quintard

Diffusion/DispersionDiffusion/Dispersionen Milieux Poreuxen Milieux Poreux

M. QuintardD.R. CNRS

10/03/2003


M. Quintard

[email protected]://[email protected]@imftimft..frfrhttp://http://mquintardmquintard.free..free.frfr

stabilité des déplacements (“fingering”)prise en compte des hétérogénéités, méthodes dechangement d’échelle, application aux milieuxfracturésméthodes de récupération: miscible, injection demousse, méthodes thermiques, injection d’acide...pollution des ressources en eausûreté nucléaireséchageapplications industrielles

stabilité des déplacements (“fingering”)prise en compte des hétérogénéités, méthodes dechangement d’échelle, application aux milieuxfracturésméthodes de récupération: miscible, injection demousse, méthodes thermiques, injection d’acide...pollution des ressources en eausûreté nucléaireséchageapplications industrielles

10/03/2003


M. Quintard

V

σ - phase

β - phase

H

ββ

PlanPlanPlanIntroductionDiffusion/Advection en milieu fluideDiffusion en milieu poreuxDispersionExemples

IntroductionDiffusion/Advection en milieu fluideDiffusion en milieu poreuxDispersionExemples

10/03/2003


M. Quintard

IntroductionIntroductionIntroduction

Milieux poreux: notions, applicationsChangement d’échelleGrandeurs et équationsmacroscopiques

Milieux poreux: notions, applicationsChangement d’échelleGrandeurs et équationsmacroscopiques

10/03/2003


M. Quintard

Exemple 1: Ecoulement multiphasiquemulticomposant dans un aquifèreExemple 1: Exemple 1: Ecoulement Ecoulement multiphasiquemultiphasiquemulticomposant multicomposant dans un aquifèredans un aquifère

zone saturée

Zone non saturée

γ

ααγ

β

ββ

ββ

σ

σσ

σσ

eau+aireau

+air+

hydroc.eau+

hydroc.

eau

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M. Quintard

Exemple 2: Réservoir PétrolierExemple 2: Réservoir PétrolierExemple 2: Réservoir Pétrolier

2

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M. Quintard

Exemple 3: Colonne de Réacteur ChimiqueExemple 3: Exemple 3: Colonne de Réacteur ChimiqueColonne de Réacteur Chimique

Adsorbed Islands

Porous MediumPacked BedReactor

Micro Pores

Macro Pores

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M. Quintard

Exemples 4: FiltresExemples 4: FiltresExemples 4: Filtres Filter

- phase

- phase

- phase

- phaseBoundaryCondition

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M. Quintard

Différents Types de Milieux PoreuxDifférents Types de Milieux PoreuxDifférents Types de Milieux Poreux

Fibres

Milieu non-consolidé

Milieu consolidé

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M. Quintard

Changement d’EchelleChangement d’EchelleChangement d’Echelle

L

UNIT CELL

ηωl2

l1

- physique à une échelledonnée (ex. Échelle dupore)

- description à uneéchelle supérieure?

↓

Grandeursmacroscopiques?

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M. Quintard


physique à l’échelle dupore: existe-t-il unedescriptionmacroscopique localedescription détaillée(mesurée, estimée)prise en compte dans unemodélisation à grandeéchelle

physique à l’échelle dupore: existe-t-il unedescriptionmacroscopique localedescription détaillée(mesurée, estimée)prise en compte dans unemodélisation à grandeéchelle

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M. Quintard

Objectif: obtenir les équations macroscopiques, lespropriétés effectives, et les conditions aux limitesmacroscopiques

Objectif: obtenir les équations macroscopiques, lespropriétés effectives, et les conditions aux limitesmacroscopiques


ϑ(Ψ)=0

Ψ=g(x)

ϑ*(〈Ψ〉)=0

〈Ψ〉=g*(x)

Ech. Pore Ech. Locale

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M. Quintard

Prise de MoyennePrise de MoyennePrise de Moyenne

DéfinitionsThéorèmesExemple: indicatrice de phase etporositéRappel: écoulement monophasique

DéfinitionsThéorèmesExemple: indicatrice de phase etporositéRappel: écoulement monophasique

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M. Quintard

Grandeurs MoyennesGrandeurs MoyennesGrandeurs Moyennes

β-phase

yβ

xrβ

Vσ-phase

nβσ

ψ ψβ ββ

xx y= +∫

1V

dVV

( )

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M. Quintard

Séparation des échellesSéparation des échellesSéparation des échelles

lβ r0 lH

Microhétér.

macrohétér.+

non-linéarités

homogène

〈ψ〉 ββ

β

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M. Quintard

Rappel EcoulementMonophasique: Loi de DarcyRappel EcoulementRappel EcoulementMonophasiqueMonophasique: Loi de : Loi de DarcyDarcy

Echelle du pore– équations de Stokes si Re

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M. Quintard

Concentrations (suite)Concentrations (suite)Concentrations (suite)

Masse molaire

Relations

Masse molaire

Relations

Mβ =

PacβaMa

cβ=Xa

xβaMa

ρβa = cβaMa ; ρβ = cβMβ

ωβa = xβaMaMβ

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M. Quintard

Vitesses et Flux de DiffusionVitesses et Flux de DiffusionVitesses et Flux de Diffusion

Vitesses moyennes

Flux de diffusion de a

Vitesses moyennes

Flux de diffusion de a

vβ =Xa

ωβavβa v∗β =

Xa

xβavβa

barycentrique molaire

jβa = ρβa(vβa − vβ ) j∗βa = cβa (vβa − v

∗β )X

a

jβa = 0 ;Xa

j∗βa = 0

massique molaire

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M. Quintard

Loi de Fick (cas binaire, traceur)Loi deLoi de Fick Fick (cas binaire, traceur) (cas binaire, traceur)

Coefficient de diffusion (gaz)Coefficient de diffusion (gaz)

jβa = −ρβDβab∇ωβa

5 22

5 22

5 2

5 2

Air : 2.8 10 m / s (T=289 K, 1 bar)

Air : 1.4 10 m / s (T=276 K, 1 bar)Air : 0.96 10 m / s (T=298 K, 1 bar)Air 0.86 10 m / s (T=299 K, 1 bar)

H O

CObenzènetoluène

−

−

−

−

−

−

−

−

avec T et avec P

j∗βa= −cβDβab∇xβa

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M. Quintard

Loi de Fick (cas binaire, traceur)Loi deLoi de Fick Fick (cas binaire, traceur) (cas binaire, traceur)

Coefficient de diffusion (liquides)Coefficient de diffusion (liquides)

9 2

9 2

9 2

Eau : 2. 10 m / s (T=25 °C)Eau : 1.02 10 m / s (T=25 °C)Eau : 0.069 10 m / s (T=25 °C)

AirbenzèneHémoglobine

−

−

−

−

−

−

avec T et avec µ

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M. Quintard

Bilan de matière et exemplesBilan de matière et exemplesBilan de matière et exemples

Forme adimensionnelle

Diffusion stationnaireDiffusion instationnaire (milieu semi-infini)

Forme adimensionnelle

Diffusion stationnaireDiffusion instationnaire (milieu semi-infini)

2

2 avec ac cD c ct x β∂ ∂

= =∂ ∂

22

'2 avec ' / et ' /( / )'c c x x L t t L Dt x∂ ∂

= = =∂ ∂

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M. Quintard

Pb. du mur StationnairePbPb. du mur Stationnaire. du mur Stationnaire

Flux:

Cas du tube

Flux:

Cas du tube

c1

c2( )*

2 1Dj c cL

= −

c1

c2( )* * 22 1 avec Dq A j A c c A rL

π= = − =

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M. Quintard

Pb. du mur InstationnairePbPb. du mur . du mur InstationnaireInstationnaire( , ) ( )

2xc x t erfcDt

=

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M. Quintard

Diffusion/Advection (traceur, casbinaire)Diffusion/Advection (traceur, casDiffusion/Advection (traceur, casbinaire)binaire)

Equation de bilan

Forme adimensionnelle (v=cte)

Equation de bilan

Forme adimensionnelle (v=cte)

2

2

c c cv Dt x x∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

22

' '2 avec ' / et ' /( / )'c c cPe x x L t t L Dt x x∂ ∂ ∂

+ = = =∂ ∂ ∂

vLPeD

= (Nombre de Péclet)

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M. Quintard

Milieu Infini (Dirac)Milieu Infini (Milieu Infini (DiracDirac))

Pe=10

2

2( , )2

x VtDtMc x t e

Dtπ

− − =

10/03/2003


M. Quintard

Milieu Infini (Dirac)Milieu Infini (Milieu Infini (DiracDirac))

Pe=100

2

2( , )2

x VtDtMc x t e

Dtπ

− − =

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M. Quintard

Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon) 1( , ) 2 2x Vtc x t erfc

Dt− =

( ) 24 xd erfc x edx

π −=

( ) 20

2x

terf x e dtπ −= ∫ ( )2

2 1 ( )tx

erfc x e dt erf xπ∞

−= = −∫

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M. Quintard

Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)Milieu Infini (échelon)

Pe=2

1( , )2 2

x Vtc x t erfcDt− =

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M. Quintard


Pe=10

1( , )2 2


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M. Quintard


Pe=100

1( , )2 2


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M. Quintard

Milieu Semi-InfiniMilieuMilieu Semi Semi-Infini-Infini1 1( , )2 22 2

xVDx Vt x Vtc x t erfc e erfc

Dt Dt− + = +

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M. Quintard

Diffusion en Milieu poreux(exemple)Diffusion en Milieu poreuxDiffusion en Milieu poreux(exemple)(exemple)

Cas du tube droitCas du tube droit

AfA L

( )* 2 1 dans le tubeDj c cL

= −

( )* 2 1 pour la section fDq A c c AL

= −

( )* 2 1 avec /eff fDj c c A AL

ε ε= − =

* coeff. de diffusion effectifD D=

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M. Quintard

Diffusion en Milieu poreux(exemple)Diffusion en Milieu poreuxDiffusion en Milieu poreux(exemple)(exemple)

Cas du tube tortueuxCas du tube tortueux( )* 2 1* dans le tube

Dj c cL

= −

( )* 2 1* pour la section fDq A c c AL

= −

2* *2 1

* avec /eff fL c cj D L A LAL L

ε ε− = =

* / coeff. de diffusion effectifet tortuositéD D ττ==

AfA

L

L*

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M. Quintard

TortuositéTortuositéTortuosité

Tortuosité

Facteur de formation

Tortuosité

Facteur de formationL

L*

F = ε−mArchie (1942):

avec m, facteur de cémentation (m≈ 2).

*( / )f L Lτ =

1Fτ

=

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M. Quintard

simulation directe:exemple pour untreillis de cylindrecomportementmacroscopique?

simulation directe:exemple pour untreillis de cylindrecomportementmacroscopique?

Diffusion en milieux poreuxDiffusion en milieux poreuxDiffusion en milieux poreuxt=10s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t =10 s

x

Conc

entr

atio

ndirect simul.

averaged behavior

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M. Quintard

Concentrations moyennes

Equation de bilan macroscopique(ε=cte)

Concentrations moyennes

Equation de bilan macroscopique(ε=cte)

2* *

2 coeff. de diffusion effectifxx xxC CD Dt x

ε ε∂ ∂= =∂ ∂

Diffusion en milieux poreuxDiffusion en milieux poreuxDiffusion en milieux poreux

c c Cβε ε= =

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M. Quintard

Equation de bilan (ε=cte)Equation de bilan (ε=cte)

Diffusion en milieux poreux:anisotropieDiffusion en milieux poreux:Diffusion en milieux poreux:anisotropieanisotropie

2 2* *

2 2xx yyC C CD Dt x x

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

D ***

00

xx

yy

DD

=

D

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M. Quintard

Diffusion : milieux non-consolidésDiffusion : milieux non-consolidésDiffusion : milieux non-consolidés

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Porosity

Kim et al.CurrieHoogschagenSCBCCFCCMaxwellWeissbergWakao and SmithRyan (2D)

εD/D

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M. Quintard

DispersionDispersionDispersion

IntroductionEquations macroscopiquesCourbes de dispersionExemples

IntroductionEquations macroscopiquesCourbes de dispersionExemples

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M. Quintard

MécanismesMécanismesMécanismes

Taylor dispersion

Mechanical dispersionA B

A'

B'

Retardation due to dead-end pores

convection

diffusion

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M. Quintard

Equation de conservation de la masse globale + loi de Darcy + équation de dispersion:

2*

2

*

coeff. de dispersion effectif

xx

xx

C C CU Dt x xD

ε ε ε∂ ∂ ∂+ =∂ ∂ ∂

=

Equations macroscopiquesEquations macroscopiquesEquations macroscopiques

cas ε=ctecas ε=cte

* Note: rôle de la vitesse interstitielle

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M. Quintard

Récapitulatif (forme mathématique3D)Récapitulatif (forme mathématiqueRécapitulatif (forme mathématique3D)3D)

C cβ

β β= β β β βε= =V v U

( ) ( )C C Ctβ

β β β

∂+∇ = ∇ ∇

∂U Di i i

( ) 0tβ

β

ε∂+∇ =

∂Vi

( )Pβ β ββ

ρµ

= − ∇ −V giK + Conditions aux limites

Notations:

Si porosité constante

( ) ( )C C Ct

β ββ β β β

εε

∂+∇ = ∇ ∇

∂V Di i i

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M. Quintard

Courbes de DispersionCourbes de DispersionCourbes de Dispersion

Taylor-Aris Theory

In-Line cylinders

RifaiBlackwell et al.Edwards & RichardsonCarberry & BrettonEbach & WhitePfannkuch

106

106

104

104

102

102

100

Pep

10010 -210 4−

Random cylinders

Dxx∗

D β

V lPe

Dβ

ε=(Nb. de Péclet )

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M. Quintard

Exemple d’écriture:

Anisotropie induite par l’écoulement:

Dispersion Longitudinaleet TransversaleDispersion LongitudinaleDispersion Longitudinaleet Transversaleet Transversale

0 ( )T L Tβ β

ββ

α α α= + + −U U

D D U IU

(m) dispersivité transversale (m) dispersivité longitudinale

T

L

αα

avec

0

0 00 00 0

L

T

T

DU D

Dβ

= =

U i D

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M. Quintard

Dispersion Longitudinaleet Transversale (cont.)Dispersion LongitudinaleDispersion Longitudinaleet Transversale (et Transversale (contcont.).)

1

1

DL

D/D

Pe

DT

t>0t=0

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M. Quintard

Exemples 1DExemples 1DExemples 1D

0

1 exp2 4 4

c x Ut x x Uterfc erfcc UDDt Dt

− + = +

0

12 4

c x Uterfcc Dt

−=

( )2

0

1 exp44

x Utcc DtDtπ

− = −

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10 12 14x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

2 4 6 8 10 12x

2

0

2( )u

terf u e dtπ

−= ∫

( ) 1 ( )erfc u erf u= −

10

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M. Quintard

Dispersion et Réaction Chimique:exemple 1 (1er ordre)Dispersion et Réaction Chimique:Dispersion et Réaction Chimique:exemple 1 (1er ordre)exemple 1 (1er ordre)

Radioactivité, modèle simple de biodégradation, …

exemple (solution par transformée de Fourier, casDirac, milieu infini)

Radioactivité, modèle simple de biodégradation, …

exemple (solution par transformée de Fourier, casDirac, milieu infini)

2

2

C UC DC kCt x xε ε ε ε∂ ∂ ∂+ = −∂ ∂ ∂ 1/ 2

ln(2)kT

=

2( )( , ) exp44

k t M x U tC x t eDtDtπ

− −= −

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M. Quintard

10/03/2003


M. Quintard

Dispersion et Réaction Chimique:exemple 2Dispersion et Réaction Chimique:Dispersion et Réaction Chimique:exemple 2exemple 2

Réactif 1, produit de laréaction 2 (immobile)

Bilan de masse

Réactif 1, produit de laréaction 2 (immobile)

Bilan de masse

Bilan Global

comportementapparent

Bilan Global

comportementapparent

2 1C KC=

21 1 1 1 1

12

21

C U C D C rt x xC rt

ε ε ε

ε

∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂∂

= −∂

21 2 1 1 1 1

2

( )C C U C D Ct x x

ε ε ε∂ + ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

soit2

1 1 1 1 12

(1 )K C U C D Ct x x

ε ε ε∂ + ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

1

(1 )appDD

K=

+

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M. Quintard

- phase

β

σro

Adsorbed Islands

Dispersion et AdsorptionDispersion et AdsorptionDispersion et Adsorption

Attractions électriquesForces de van derWaals

Attractions électriquesForces de van derWaals

ForcesintermoléculairesChemisorption(interaction chimique)

ForcesintermoléculairesChemisorption(interaction chimique)

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M. Quintard

Adsorption: description deséquilibresAdsorption: description desAdsorption: description deséquilibreséquilibres

isotherme linéaire: Kd: coefficient de partition

isotherme linéaire: Kd: coefficient de partition

Fractions massiques: Fluide Solide

cβ cσ

dc K cσ β βρ=

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M. Quintard

Adsorption: description deséquilibresAdsorption: description desAdsorption: description deséquilibreséquilibres

Fruendlich (1926):

Langmuir (1916, 1918):

….

Fruendlich (1926):

Langmuir (1916, 1918):

….

( )mc b cσ β βρ=

1a c

cb cβ β

σβ β

ρρ

=+

11

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M. Quintard

Dispersion et AdsorptionDispersion et AdsorptionDispersion et Adsorption

Bilans de masse:

Echange de masse:

Bilans de masse:

Echange de masse:

( ) ( ). . .C C C Ktβ β β

β β β β β β βσρ ε

ρ ρ∂

+∇ = ∇ ∇ −∂

V D

CK

tσ σ σ

σβρ ε∂

= −∂

1 .A

K K n D c dAV

βσ

βσ σβ βσ β β βρ= − = − ∇∫

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M. Quintard

Dispersion et Adsorption:Equilibre LocalDispersion et Adsorption:Dispersion et Adsorption:Equilibre LocalEquilibre Local

Bilan de masse Global:

Equilibre Local:Cas linéaire, et facteur de retard:

Bilan de masse Global:

Equilibre Local:Cas linéaire, et facteur de retard:

( ) ( ) ( ). . .C C

C Ct

β β β σ σ σβ β β β β β

ρ ε ρ ερ ρ

∂ ++∇ = ∇ ∇

∂V D

( ) ( )c F c C F Cσ β σ β= ⇒ =

( ) ( )1

. . .

dK C

C Ct

σ σβ β β

ββ β β β β β

ε ρρ εε

ρ ρ

∂ +

+∇ = ∇ ∇∂

V D

dC K Cσ β=

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M. Quintard

Effet des hétérogénéités:dispersion anormaleEffet desEffet des hétérogénéités hétérogénéités::dispersion anormaledispersion anormale

Perméabilité Concentration

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M. Quintard

Effet des hétérogénéitésEffet desEffet des hétérogénéités hétérogénéités

Dispersion à grande échelle?Mesures sur des aquifères:

cas général: pas d’équation dedispersion à grande échelleexemple de cas particuliers:modèles à double-milieux

Dispersion à grande échelle?Mesures sur des aquifères:

cas général: pas d’équation dedispersion à grande échelleexemple de cas particuliers:modèles à double-milieux

* (échelle d'observation)fβ =D

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M. Quintard

Influence de l’échelle d’observation surla dispersivité apparente (Gelhar and Axness, 1983)Influence de l’échelle d’observation surInfluence de l’échelle d’observation surla dispersivité apparentela dispersivité apparente ( (Gelhar Gelhar and and AxnessAxness, 1983), 1983)

Scale (m)

Disp

ers

ivity

(m)

1

1

10

10

100

100

0.1

.011000

1000

10000

10000

100000

10/03/2003


M. Quintard

Non-Equilibre Local: modèle àdeux équationsNon-Equilibre Local: modèle àNon-Equilibre Local: modèle àdeux équationsdeux équations

ω

η Milieux fracturés

Mobile/immobileMobile/Mobile

12

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M. Quintard

ExemplesExemplesExemplesDispersion Négligeable

Dispersion Importante

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M. Quintard

ExemplesExemplesExemples

t = 1 h

t = 2 h

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M. Quintard


Traçage miscible échantillon 3

-0.100

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

0.900

1.000

1.100

-1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000

NVp

C/C

0

Données expérimentales

Modèle à deux équations

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M. Quintard


( )

( )

2

2m m m

m m m m im

imim im m

c c cv D c ct x x

c c ct

θ α

θ α

∂ ∂ ∂+ = − −

∂ ∂ ∂∂

= − −∂

Coats et Smith (1964)

( ) ( )

( ) ( )

*

*

C C C C CtC

C C C Ct

ωω ω ω ω ω ω ω η

ηη η η η η η η ω

ϕ ε α

ϕ ε α

∂+ ∇ = ∇ ∇ − −

∂∂

+ ∇ = ∇ ∇ − −∂

V D

V D

i i i

i i iAhmadi et al. (1998)

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M. Quintard

ExercicesExercicesExercices

Exemples 1DOrdres de grandeur (laboratoire,aquifère)Introduction: effet d’une réactionchimique

Exemples 1DOrdres de grandeur (laboratoire,aquifère)Introduction: effet d’une réactionchimique

10/03/2003


M. Quintard

Puits dans un aquifèrePuits dans un aquifèrePuits dans un aquifère

10 207

8

9

10

11

12

13

14

15

1 0 207

8

9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

10 207

8

9

10

11

12

13

14

15

O Diffusion/Dispersion changement d’échelle, application aux...

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