« 1.8. La numération binaire » Les automates programmables A T Training On Line.
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« 1.8. La numération binaire »
Les automates programmables
AA TT TrainingTrainingOn LineOn Line
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Séquence 1 animation 8 – La numération binaire
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Le système décimal
L’écriture des nombres se fait à l’aide de 10 symboles ordonnés (ou « DIGIT » en anglais) ;
ce sont les chiffres arabes : 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9
Le nombre de symboles utilisés s’appelle la base du système de numération. Nous comptons en
base 10, notre système est dit décimal. Lorsque le nombre dépasse 9, il faut utiliser plus d’un
symbole avec la règle suivante : Le digit le plus à droite a le plus faible poids (ou valeur)
10 0= 1 c’est le digit des unités
Le digit suivant a un poids égal à 10 1 (=10) : les dizaines. Le digit suivant a un poids égal à 10 2
(=100) : les centaines, etc…
Ainsi le nombre 1952 est l’écriture en base 10 de :MILLIER
CENTAINE
DIZAINE
UNITE
10 000
1 000 100 10 1
10 4 10 3 10 2 10 1 10 0
0 1 9 5 2
1 millier + 9 centaines + 5 dizaines + 2 unités
soit : 1 x 10 3 + 9 x 10 2 + 5 x 10 1 + 2 x 10 0
soit : 1 x 1000 + 9 x 100 + 5 x 10 + 2 x 1soit : 1000 + 900 + 50 + 2
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Séquence 1 animation 8 – La numération binaire
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Le système décimal
Pour représenter les nombres fractionnaires (compris entre 0 et 1), on utilise la règle
suivante :
On place une virgule (ou un point chez les anglo-saxons)
Le digit immédiatement à droite à le poids 10 –1 (0.1 ou 1/10)
Le poids suivant est 10 –2 (0.01 ou 1/100). Etc.
Ainsi le nombre 0.132 est l’écriture en base 10 de :
1/10 1/100
1/1000
1/10000
10 -
1
10 -2 10 -3 10 -4
1 3 2 soit : 1 x 10 -1 + 3 x 10 -2 + 2 x 10 -1
soit : 1 x 0.1 + 3 x 0.01 + 2 x 0.001soit : 0.1 + 0.03 + 0.002
Ces conventions d’écriture seront conservées dans les autres bases. En effet, la base 10 a été
naturellement développée chez l’homme. Mais, dans certains cas, on peut préférer d’autres
bases (exemples : la base 12 dont il reste des traces, le système sexagésimal, …).
C’est le cas en particulier des machines (automate, ordinateur) qui fonctionnent à l’aide de
systèmes logiques à deux états, que l’on code 0 et 1.
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Séquence 1 animation 8 – La numération binaire
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Le système binaire
1. Nombres entiers
On dispose de deux symboles : 0 et 1. La base est 2.
8 4 2 1 Valeur numérique ou poids du bit
23 22 21 20 Rang du bit
0 0 0 0 0x8 + 0x4 + 0x2 + 0x1 = 0 en base 10
0 0 0 1 0x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1 = 1 en base 10
0 0 1 0 0x8 + 0x4 + 1x2 + 0x1 = 2 en base 10
0 0 1 1 0x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 3 en base 10
0 1 0 0 0x8 + 1x4 + 0x2 + 0x1 = 4 en base 10
0 1 0 1 0x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 5 en base 10
0 1 1 0 0x8 + 1x4 + 1x2 + 0x1 = 6 en base 10
0 1 1 1 0x8 + 1x4 + 1x2 + 1x1 = 7 en base 10
1 0 0 0 1x8 + 0x4 + 0x2 + 0x1 = 8 en base 10
1 0 0 1 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1 = 9 en base 10
1 0 1 0 1x8 + 0x4 + 1x2 + 0x1 = 10 en base 10
1 0 1 1 1x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 11 en base 10
1 1 0 0 1x8 + 1x4 + 0x2 + 0x1 = 12 en base 10
1 1 0 1 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 13 en base 10
1 1 1 0 1x8 + 1x4 + 1x2 + 0x1 = 14 en base 10
1 1 1 1 1x8 + 1x4 + 1x2 + 1x1 = 15 en base 10
Le digit binaire s’appelle le BIT (Binary digit).
Le bit de poids le plus faible est le LSB (Least Significant Bit).
Le bit de poids le plus fort est le MSB (Most Significant Bit).
Il est utile de connaître la valeur décimale des poids binaires.
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Le système binaire
A noter que avant 1998 : - 1 kilo-octet (ko ou Ko) = 1024 octets.- 1 méga-octet (Mo) = 1024 ko = 1 048 576 octets.- 1 giga-octet (Go) = 230 octets = 1024 Mo = 1 073 741 824 octets.
Depuis 1998, et suivant la Commission électrotechnique internationale : - 1 kilooctet (ko) = 103 = 1 000 octets- 1 mégaoctet (Mo) = 106 octets = 1 000 Ko = 1 000 000 octets- 1 gigaoctet (Go) = 109 octets = 1 000 Mo = 1 000 000 000 octets
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Le système binaire
2. Les nombres fractionnaires
Exemple : 0.1101 en base 2, représente1 x 2 –1 + 1 x 2 –2 + 0 x 2 –3 + 1 x 2 – 4
1 x 0.5 + 1 x 0.25 + 0 x 0.125 + 1 x 0.0625 = 0.9375 en base 10
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Les mots
Les machines utilisant le système binaire acceptent un nombre donné de bits, par
exemple 4 - 8 - 16 - …
Ce nombre de bit détermine ce que l’on appelle le format. Ces bits réunis ensemble
forment un mot.
Suivant le système, on parlera de mot, registre, mémoire mot, Word.
En général, les mots ont donc un format bien déterminé :
- un mot de 4 bits s’appelle un QUARTET,
- un mot de 8 bits s’appelle un OCTET (ou BYTE en anglais),
- un mot de 16 bits s’appelle un double octet,
- un mot de 32 bits s’appelle un mot double.
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Les mots
En général, les mots ont donc un format (nombre de bits) bien déterminé et ils leur peuvent
représenter une valeur numérique maximum
Format Nom (en anglais) Valeur maxi
4 bits Quartet 0 à 15
8 bits Octet (Byte) 0 à 255
16 bits Mot ou double octet (Word) 0 à 32767
32 bits Mot double (Double word) 0 à 4294967295
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La conversion binaire décimale
L’homme utilisant la base 10 et la machine la base 2, il est nécessaire de pouvoir
convertir l’une en l’autre.
On fait la somme des poids correspondants aux bits à 1, le bit le plus à droite étant le bit
de poids faible (LSB), de valeur 1.
Exemples :
0 1 1 0 1 0 0 1 = 64 + 32 + 8 + 1 = 105 en base 10
1 1 1 1 1 1 1 1 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 +2 + 1 = 255 en base 10
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La conversion décimale binaire
1. Méthode de la division
On divise le nombre, puis les quotients par 2, jusqu’à obtenir un résultat nul.
Puis on écrit les restes (inférieurs à la base) de gauche à droite. Cette écriture est le
résultat de la conversion.
Exemple : 35 en base 10 = ? en base 2
(35) 10 = (100011) 2
Cette méthode est programmable.
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Conversion décimale binaire
2. Méthode de la soustraction
On peut aussi soustraire au nombre décimal le plus gros poids binaire possible :
Exemple : 35 en base 10 = ? en base 2
25 24 26 22 21 20
32 16 8 4 2 1
35 1
3 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 1
35
-32 2 5
= 3
-2 21
= 1 20
(35)10 = (100011)2
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Pourquoi toutes ces bases
L’homme à l’habitude de manipuler des nombres en base 10. La machine ne peut accepter
que des nombres en base 2. Il sera donc nécessaire de convertir d’une base à l’autre.
Pour exprimer un nombre, il faut en moyenne 3.3 fois plus de digits en binaire qu’en décimal.
Pour exprimer des chiffres décimaux de l’ordre de la centaine ou plus, il faut un grand
nombre de bits et la conversion devient fastidieuse.
Pour rendre cette conversion plus facile et l’écriture du nombre plus courte, on utilisera des
codes : OCTAL - HEXADECIMAL - …
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Les nombres réels et signés
Dans tout ce qui précède les nombres binaires expriment des valeurs positives et entières.
Mais bien souvent ont à besoin de représenter
- des nombres négatifs (donc signés) : par exemple des températures ou des
résultats de calcul
- des nombres réels (à virgule) : pour augmenter la précision de calcul
Pour cela, il existe plusieurs solutions, nous n'étudierons que les 2 plus utilisées dans les
automates programmables :nés
- La méthode du complément à 2 pour représenter les nombres entiers signés,
- La méthode de la virgule flottant pour les nombres réels.
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Le binaire signé
A noter que avant 1998 : - 1 kilo-octet (ko ou Ko) = 1024 octets.- 1 méga-octet (Mo) = 1024 ko = 1 048 576 octets.- 1 giga-octet (Go) = 230 octets = 1024 Mo = 1 073 741 824 octets.
Depuis 1998, et suivant la Commission électrotechnique internationale : - 1 kilooctet (ko) = 103 = 1 000 octets- 1 mégaoctet (Mo) = 106 octets = 1 000 Ko = 1 000 000 octets- 1 gigaoctet (Go) = 109 octets = 1 000 Mo = 1 000 000 000 octets
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Le binaire signé - Le complément 2
Par rapport au binaire pur le bit de poids fort (MSB) devient le bit de signe et possède une
valeur négative.
Si ce bit = 0 le nombre est positif
Si ce bit = 1 le nombre est négatif (le total de tous les autres bits positifs = 32767)
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Le binaire signé - Le complément 2
Pour chaque format de mot, il y aura donc des limites de représentation..
Format Nom (en anglais) Valeur maxi
4 bits Quartet -7 à +7
8 bits Octet (Byte) -128 à +127
16 bits Mot ou double octet (Word) -32768 à +32767
32 bits Mot double (Double word) -2 147 483 648 à +2 147 483 647
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Le complément 2
La méthode du complément à 2 est le principe qui permet de passer d'un nombre positif à un
nombre négatif et réciproquement.
Exemple sur un mot de 4 bits :
Explications 8 4 2 1
Soit la valeur 5 0 1 0 1
Complément 1 (on inverse les bits) 1 0 1 0
On ajoute 1 pour obtenir le complément à 2 1
Complément à 2 1 0 1 1
Calcul de la valeur -8 + 2 + 1 = - 5 1 0 1 1
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La virgule flottante
Correspond à la notation scientifique de certaines calculatrices. Elle se présente sous la
forme d'une mantisse et d'une puissance de 10.
N = M x 10 E
Exemple : - 12,5 = - 0,125 x 102
N = nombreM = MantisseE = Exposant
La virgule flottante se présente sous la forme d'une mantisse et d'une puissance de 2.
N = M x 2 E
Exemple : - 12,5 = - 0,125 x 102
Limites de représentation : -1 x2 +128 <= N <= +1 x 2 +127
Codée sur 32 bits : 24 pour la mantisse, 8 pour l'exposant
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La virgule flottante
Exemple de représentation du nombre -5
-20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-22 2-23
0 1 0 1 0 0 0
M = 0,625
-27 26 25 24 23 22 21 20
0 0 0 0 0 0 1 1
E = 3
- 5 10 0,625 x 2 324 bits
8 bits