Nash Cornell

8/12/2019 Nash Cornell

1/16

N o n - C o o p e r a t i v e G a m e s

J o h n F . N a s h , J r .

A n n a l s o f M a t h e m a t i c s , V o l . 5 4 , N o . 2 , S e p t

1 9 5 1

P r e s e n t e d b y A n d r e w H u t c h i n g s

1


2/16

B i b l i o g r a p h y

N a s a r , S y l v i a , A B e a u t i f u l M i n d T h e b a s i s f o r

t h e p o s s i b l e m o v i e

M o r g e n s t e r n a n d V o n N e u m a n n , T h e o r y o f G a m e s

a n d E c o n o m i c B e h a i v o r

P o u n d s t o n e , W i l l i a m , T h e P r i s o n e r ' s D i l e m m a

V o n N e u m a n n b i o g r a p h y

S e l t e n , J o h n , G e n e r a l i z a t i o n s o f t h e N a s h E q u i -

l i b r i u m

2


3/16

B r i e f H i s t o r y o f G a m e T h e o r y

0 - 5 0 0 C E T a l m u d i c L a w

1 7 0 0 ' s W a l d e g r a v e p r o p o s e s r s t m i n i m a x m i x e d

s o l u t i o n t o a 2 p e r s o n g a m e

1 8 0 0 ' s F i r s t r e s u l t s o n C h e s s , D a r w i n ' s t h o u g h t s

o n b i o l o g y

1 9 2 8 V o n N e u m a n n p r o v e s m i n i m a x t h e o r e m

1 9 4 4 T h e o r y o f G a m e s a n d E c o n o m i c B e h a i v o r

1 9 4 8 R A N D f o u n d e d

1 9 5 0 N a s h ' s P h D D i s s e r t a t i o n .

3


4/16

B i o g r a p h y

B o r n 1 9 2 8 , B l u e e l d , W V

U n d e r g r a d u a t e a t C a r n e g i e T e c h n o w C M U

P h D i n 1 9 5 0 u n d e r T u c k e r

R A N D C o n s u l t a n t 1 9 5 0 - 1 9 5 1

M I T 1 9 5 1 - 5 9

1 9 5 9 - 1 9 8 4 ? D e p a r t u r e f r o m S c i e n t i c a l l y R a -

t i o n a l T h i n k i n g "

1 9 9 4 H a n s a n y i , N a s h , S e l t e n r e c i p i e n t s o f N o -

b e l P r i z e i n E c o n o m i c s

2 0 0 0 J o h n N a s h - E x t r a o r d i n a r y P e r s o n ?

4


5/16

D e n i t i o n s

A n i t e n - p e r s o n g a m e i s a s e t o f n p l a y -

e r s , e a c h w i t h a n a s s o c i a t e d n i t e s e t o f p u r e

s t r a t e g i e s . E a c h p l a y e r a l s o h a s a n a s s o c i a t e d

p a y o f u n c t i o n p

i

w h i c h m a p s f r o m t h e s e t o f

a l l n - t u p l e s o f p u r e s t r a t e g i e s t o t h e r e a l s .

A m i x e d s t r a t e g y o f p l a y e r i i s a c o n v e x c o m -

b i n a t i o n o f p u r e s t r a t e g i e s .

s

i

=

P

c

i

i

W h e r e t h e

i

' s a r e i ' s p u r e s t r a t e g i e s .

M i x e d s t r a t e g i e s h a v e a s i m p l e g e o m e t r i c i n -

t e r p r e t a t i o n a s p o i n t s o n a s i m p l e x .

5


6/16

i , j , k w i l l d e n o t e p l a y e r s .

, , w i l l i n d i c a t e p u r e s t r a t e g i e s o f a p l a y e r

s

i

, t

i

, r

i

w i l l i n d i c a t e m i x e d s t r a t e g i e s o f i

i

w i l l i n d i c a t e i ' s

t h

p u r e s t r a t e g y

6


7/16

T h e p a y o f u n c t i o n f o r p u r e s t r a t e g i e s h a s

a u n i q u e e x t e n s i o n t o t h e n - t u p l e s o f m i x e d

s t r a t e g i e s w h i c h i s l i n e a r i n t h e m i x e d s t r a t e g y

o f e a c h p l a y e r .

U s e S o r T t o d e n o t e a n n - t u p l e o f m i x e d

s t r a t e g i e s . T h e s e c a n b e t h o u g h t o f a s a p o i n t

i n s t r a t e g y s p a c e " , t h e p r o d u c t o f t h e s i m -

p l i c e s f o r t h e p l a y e r s .

I f S = s

1

; s

2

; : : : ; s

n

t h e n S ; t

i

i n d i c a t e s t h e

u s e o f t

i

i n s t e a d o f s

i

7


8/16

E q u i l i b r i u m P o i n t s

A n - t u p l e S i s a n e q u i l i b r i u m p o i n t i f a n d o n l y

i f f o r e v e r y i

p

i

S = m a x

a l l r

0

i

s

p

i

S ; r

i

F r o m l i n e a r i t y o f p

i

w e h a v e

m a x

p

i

S ;

i

= m a x

a l l r

0

i

s

p

i

S ; r

i

D e n e p

i

S = p

i

S ;

i

.

T h e n w e h a v e t h a t S i s a n e q u i l i b r i u m p o i n t i f

p

i

S = m a x

p

i

S

8


9/16

W e s a y S u s e s

i

i f c

i

i s p o s i t i v e .

F o r t h e p r e v i o u s c h a r a c t e r i z a t i o n o f e q u i l i b r i u m

t o h o l d , w e m u s t h a v e p

i

S = m a x

p

i

S .

9


10/16

T h e o r e m 1 E v e r y n i t e g a m e h a s a n e q u i l i b -

r i u m p o i n t .

P r o o f : I f S i s a n n - t u p l e o f m i x e d s t r a t e g i e s .

D e n e p

i

a s a b o v e . A l s o d e n e a s e t o f c o n -

t i n u o u s f u n c t i o n s o s S

i

S = m a x 0 ; p

i

S , p

i

S

D e n e a f u n c t i o n T b y t h e f o l l o w i n g t r a n s f o r -

m a t i o n :

s

0

i

=

s

i

+

P

i

S

i

1 +

P

i

S

T h i s c l e a r l y m a p s o n t o t h e s t r a t e g y s p a c e " ,

n o w w e o n l y n e e d s h o w t h a t e q u i l i b r i u m p o i n t s

a r e e x a c t l y t h e p o i n t s x e d u n d e r t h i s m a p p i n g .

1 0


11/16

W e m u s t u s e s o m e

i

, a n d o n e o f t h e o n e s w e

u s e m u s t h a v e p

i

S p

i

S , s o

i

S = 0 .

N o w i f a n n - t u p l e i s x e d b y T , p o s i t i v e a m o u n t

o f

i

c a n ' t b e d e c r e a s e d . B u t i t ' s u s a g e i s n ' t

i n c r e a s e d i n t h e n u m e r a t o r , s o d e n o m i n a t o r

m u s t b e 0 .

T h i s s a y s a l l t h e

i

S = 0 . S o n o p u r e s t r a t -

e g y

i

c a n i m p r o v e t h e p a y o , w h i c h m e a n s

t h a t i t i s a n e q u i l i b r i u m p o i n t .

T h e n , b y B r o u w e r F i x e d P o i n t t h e o r e m , w e

m u s t h a v e s o m e e q u i l i b r i u m p o i n t .

1 1


12/16

A s y m m e t r y o r a u t o m o r p h i s m o f a g a m e w i l l

i s a p e r m u t a t i o n o f t h e p u r e s t r a t e g i e s t h a t

e n s u r e s t h a t s t r a t e g i e s b e l o n g i n g t o o n e p l a y e r

a r e s t i l l o w n e d b y o n e p l a y e r , a n d p r e s e r v e s t h e

p a y o v a l u e o f t h e b l o c k " o f e a c h p l a y e r ' s

s t r a t e g i e s .

A v e r y s i m i l a r m e t h o d i s u s e d t o p r o v e t h e e x i s -

t e n c e o f a s y m m e t r i c e q u i l i b r i u m p o i n t , t h a t i s ,

o n e t h a t i s p r e s e r v e d u n d e r a l l a u t m o r p h i s m s

o f t h e g a m e .

1 2


13/16

S o l u t i o n s t o G a m e s

A g a m e i s s o l v a b l e i f a n y p l a y e r s s t r a t e g y r

i

a t s o m e e q u l i b r i u m p o i n t , c a n b e s u b s t i t u t e d

i n t o a n y o t h e r e q u i l i b r i u m p o i n t a n d s t i l l b e a t

e q u i l i b r i u m . T h e s e t o f e q u i l i b r i u m p o i n t s i s

t h e s o l u t i o n o f t h e g a m e .

A g a m e i s s t r o n g l y s o l v a b l e i f i t i s s o l v a b l e

a n d i f a n y s t r a t e g y s u b s t i t u t i o n a t e q u i l i b r i u m

w h i c h p r e s e r v e s t h e p a y o a l s o p r e s e r v e s t h e

e q u i l i b r i u m p r o p e r t y .

W h e n t h e y e x i s t , t h e s e s o l u t i o n s a r e u n i q u e .

1 3


14/16

A p r o p e r t y t h a t g a m e s a l w a y s h a v e i s t h a t o f

s u b - s o l u t i o n s , w h i c h a r e s u b s e t s o f t h e s e t o f

e q u i l i b r i u m p o i n t s t h a t a r e m a x i m a l r e l a t i v e t o

t h e e q u i l i b r i u m p r o p e r t y .

T h e f a c t o r s e t s o f a s u b - s o l u t i o n S , t h e t h e

i

t h

f a c t o r s e t i s t h e s e t o f a l l s

i

' s s u c h t h a t S

c o n t a i n s T ; s

1

f o r s o m e T .

T h e o r e m 2 G e o m e t r i c a l l y , S i s t h e p r o d u c t o f

i t s f a c t o r s e t s .

T h e o r e m 3 T h e f a c t o r s e t s o f a s u b - s o l u t i o n

a r e c l o s e d a n d c o n v e x a s s u b s e t s o f t h e m i x e d

s t r a t e g y s p a c e s .

1 4


15/16

T h e o r e m 4 S e t s S

1

; S

2

; : : : ; S

n

o f e q u i l i b r i u m

s t r a t e g i e s i n a s o l v a b l e g a m e s a r e p o l y h e d r a l

c o n v e x s u b s e t s o f t h e r e s p e c t i v e m i x e d s t r a t e -

g i e s

T h i s i s a g e n e r a l i z a t i o n o f a k n o w n r e s u l t f o r

t w o - p l a y e r g a m e s .

1 5


16/16

D i s c u s s i o n

1 . W h a t a b o u t a c t u a l l y n d i n g N a s h e q u i l i b -

r i u m p o i n t s ?

2 . W h a t i f t h e o p p o n e n t p l a y s i m p e r f e c t l y " ?

3 . H o w d o y o u c h o o s e o n e e q u i l i b r i u m w h e n

t h e r e a r e p o t e n t i a l l y m a n y ?

4 . W h a t i f t h e N a s h E q u i l i b r i u m i s u n s a t i s -

f a c t o r y " ?

5 . W h a t r e n e m e n t s , g e n e r a l i z a t i o n s c a n b e

m a d e b a s e d o n t h e i d e a s o f e q u i l i b r i u m " , s o -

l u t i o n " a s p r e s e n t e d h e r e ?

6 . P i c k a f a v o r i t e a p p l i c a t i o n e c o n o m i c s , b i -

o l o g y , i n t e r n a t i o n a l r e l a t i o n s , p h i l o s o p h y , e t c .

a n d t a l k a b o u t t h a t .

1 6

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