MODUL 2

Akar Persamaan Nonlinear

Claudia M. M Maing

90213015

Program Studi Pengajaran Fisika, Institut Teknologi Bandung

claudia.maing@yahoo.com

Asisten:

Ridho Muhammad Akbar

Aries Aldi Rahardi

Abdul Rozag

Ezra Nabila

28 Februari 2014

Abstrak

Telah dilakukan praktikum untuk menyelesaikan persamaan non linear untuk mencari nilai akar-akar persamaannya dengan menggunakan 2 metode numerik, yakni metode bisection dan metode secant menggunakan program visual basic. Dalam metode bisection kita menentukan akar-akarnya menggunakan pendekatan nilai tengah, di mana terlebih dahulu ditentukan 2 nilai yakni untuk batas bawah dan batas atas kemudian dicari nilai tengahnya, setelah itu program akan dijalankan dan akan diulang sampai memperoleh nilai tengah yang mendekati akar persamaan. Sedangkan metode secant adalah metode dengan pendekatan berupa fungsi linear yang dibentuk dari dua titik yang ditentukan dari persamaan non linear. Persamaan non linear yang diselesaikan adalah y = x2 3x + 2 dengan batas toleransi untuk masing-masing metode adalah 10-7.

Kata Kunci: Metode Bisection, Metode Secant, Persamaan Nonlinear

Pendahuluan

Persamaan nonlinear adalah persamaan yang mempunyai peubah dengan pangkat terkecil adalah 1. Biasanya dalam menyelesaikan persamaan nonlinear sering kita mencari akar-akar persamaannya menggunakan cara pemfaktoran ataupun menggunakan rumus abc. Tetapi dalam metode numeric, untuk mencari akar-akar dari persamaan nonlinear dapat menggunakan metode bisection dan metode secant.

Metode Bisection (bagi dua) adalah algoritma pencarian akar pada sebuah interval, di mana interval tersebut dibagi menjadi dua bagian, kemudian dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan atau mendekati akar persamaan. Metode ini berlaku ketika ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 dengan f merupakan fungsi kontinyu. Sedangkan metode secant adalah menaksirkan akar dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan atau slope.

Gambar 1. Metode Bisection dan Metode Secant

Metode

Metode yang digunakan pada praktikum kali ini adalah metode flow chart (diagram alir). Flow chart untuk masing-masing metode ada pada bagian lampiran.

Data

Metode Bisection

Screen shoot hasil

Gambar 2. Screenshoot metode bisection

Kode Program

Private Sub CommandButton1_Click()

Dim xa, x1, xr, y1, y2, yr, error As Double

Cells(4, 1) = "x1"

Cells(4, 2) = "x"

Cells(4, 3) = "xr"

Cells(4, 4) = "error"

Cells(4, 5) = "y1"

Cells(4, 6) = "y2"

Cells(4, 7) = "yr"

xa = InputBox("masukkan nilai batas bawah xa")

Cells(5, 1) = xa

xb = InputBox("masukkan nilai batas atas xb")

Cells(5, 2) = xb

e = 10 ^ -7

error = Abs(xr - xa)

Cells(5, 4) = error

While error > 10 ^ -7

xr = (xa / 2) + (xb / 2)

Cells(5, 3) = xr

y1 = (xa ^ 2) - (3 * xa) + 2

Cells(5, 5) = y1

y2 = (xb ^ 2) - (3 * xb) + 2

Cells(5, 6) = y2

yr = (xr ^ 2) - (3 * xr) + 2

Cells(5, 7) = yr

error = Abs(xa - xb)

Cells(5, 4) = error

xr = yr * y1

If xr < 0 Then

y2 = xr

ElseIf xr > 0 Then

y1 = xr

End If

Wend

Cells(5, 3) = xr

End Sub

Metode Secant

Screenshoot hasil

Gambar 3. Screen shoot metode secant

Kode Program

Private Sub CommandButton1_Click()

Dim x1, x2, x, m, y1, y2, error As Double

Cells(4, 1) = "x1"

Cells(4, 2) = "x2"

Cells(4, 3) = "x"

Cells(4, 4) = "y1"

Cells(4, 5) = "y2"

x1 = InputBox("masukan nilai x1")

Cells(5, 1) = x1

x2 = InputBox("masukan nilai x2")

Cells(5, 2) = x2

e = 10 ^ -7

error = Abs((x2 - x1) / x2)

Cells(4, 6) = "error"

While error > e

error = Abs((x2 - x1) / x2)

Cells(5, 6) = error

y1 = (x1 ^ 2) - (3 * x1) + 2

Cells(5, 4) = y1

y2 = (x2 ^ 2) - (3 * x2) + 2

Cells(5, 5) = y2

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

x r= x2 - (y2 / m)

x1 = x2

x2 = x

Wend

Cells(5, 3) = x

End Sub

Analisis

Dalam suatu program terdapat bagian-bagian penting yang perlu diperhatikan, di mana dalam suatu program terdiri dari 3 bagian penting, yakni kepala bagian ini memuat nama dan keterangan program, deklarasi variabel bagian ini memuat defenisi variabel, tetapan, nama prosedur, nama fungsi dan tipe data, dan bagian yang terakhir adalah deskripsi proses di mana pada bagian ini memuat lagkah penyelesaian masalah seperti baca data, operasi data dan tampilan data.

Metode Bisection

Pada kode program metode bisection terdiri dari bagian header, deklarasi variabel dan dekskripsi proses

Pada baris pertama merupakan bagian header dan baris kedua merupakan bagian deklarasi variabel menjelaskan variabel-variabel apa saja yang ada dalam program yang akan dijalankan, disini menggunakan double karena nilai dari variabel yang ada memilii nilai dalam bentuk koma dan juga jangkauannya besar.

Bagian ini telah masuk dalam deskripsi proses Untuk menjalankan program pencarian akar-akar dari persamaan x2 3x + 2 digunakan sintaks while dan juga if. Digunakan sintaks while karena tidak dietahui berapa kalikah pengulangannya. Proses akan berhenti mencari nilai akar persamaan saat nilai error < 10-7, saat eror masih bernilai >10-7 maka program ini akan berjalan terus dan digunakan sintaks if untuk pilihan nilai jika nilai dari y1.y2 > 0 maka nilai xa = xr dan jika y1.y2 < 0 maka nilai xb = xr dan bila nilai dari y1.y2 = 0, maka perhitungan akan dihentikan. Dengan memasukkan batas bawah 1,5 dan batas atas 2,5 diperoleh akar persamaannya yaitu 2.

Metode Secant

Baris pertama merupakan bagian header dan baris kedua merupakan bagian deklarasi variabel menjelaskan variabel-variabel apa saja yang ada dalam program yang akan dijalankan. Sama seperti metode bisecant, kita mendeklarasikan variabel menggunakan double karena nilai dari variabel yang ada memiliki nilai dalam bentuk koma dan juga jangkauannya besar.

Bagian ini masuk pada bagian deskripsi proses, sama seperti metode bisection digunakan sintaks while dan if untuk mencari akar-akar dari persamaan x2 3x + 2. Dengan memasukkan batas bawah 1,5 dan batas atas 2,5 diperoleh akar persamaan yang sama pada metode bisection yaitu 2.

Kesimpulan

Dengan menggunakan metode bisection dan metode secant dalam mencari akar persamaan dari y = x2 3x + 2 diperoleh akar persamaannya adalah 2. Hal ini sama jika sama jika kita menghitungnya secara manual menggunakan cara pemfaktoran, maka akan diperoleh salah satu akarnya adalah 2.

Referensi

Anonim. 2014. Modul Praktikum Fisika Komputasi. ITB

Setiawan, Agus. 2006. Pengantar Metode Numerik. Yogyakarta: Andi Yogyakarta.

Lampiran Flowchart

Flowchart Metode Bisection

Tidak

Tidak

Ya

START

Xa, xb, xr, y1, y2, yr, eror as double

Masukkan batas bawah (xa) dan batas atas (xb)

Xr = (xa + xb)/2

y = x2 3x + 2

Yr = y1 . y2

y1 . y2 = 0

Error > e

Output akar persamaan y

END

y1.y2 < 0

xb = xr

y1.y2 > 0

xa = xr

Flowchart Metode Secant

START

x1, x2, xr, y1, y2, error as double

Input batas bawah (x1) dan batas atas (x2)

)]

(

)

(

[

)

(

*

)

(

1

2

1

2

2

2

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x

r

-

-

-

=

|xb-xo| < error

iter>iter_max

m= f(x2) f(x1)/(x2-x1)

xr = x2 f(x2)/m)

Output akar persamaan

END

x1 = xr

Ya

Tidak

)]

(

)

(

[

)

(

*

)

(

1

2

1

2

2

2

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x

r

-

-

-

=