Models of the predictability of a simple nonlinear dynamical system

10
Models of the predictability of a simple nonlinear dynamical system I. N. James* Department of Meteorology, University of Reading, Reading, RG6 6BB, UK Abstract: Chaotic nonlinear low order systems are often regarded as paradigms of the atmospheric behaviour, not least because of their limited predictability. In this paper, the predictability of a forced nonlinear system proposed by Lorenz is examined. The system is a compelling heuristic model of the mid-latitude global circulation; it exhibits limited predictability. While weak error growth takes place throughout most of the phase space of the system, strong error growth is con®ned to very limited regions of phase space. A ``discrete scattering'' model of error growth is proposed. * c 2002 Royal Meteorological Society Keywords: Chaos, predictability, low order system. 1. Conceptual models of predictability It has become a truism to describe the atmosphere as a ``chaotic'' system, and to attribute its limited predictability to its chaotic nature. The most studied chaotic systems are deterministic dynamical systems, in which a generally small number of degrees of freedom interact nonlinearly. In suitable circumstances, the resulting solutions lie on a fractally complex manifold within the phase space of the system. Descriptions of ``chaos'' often refer to the growth of small initial errors with time, so that solutions to the equations that are initially closely similar eventually diverge. As will be shown in section 4, this is not a suf®cient condition to guarantee that chaos results. These ideas of error growth are embodied in a conceptual model of atmospheric predictability. Suppose, as in an ensemble forecast, there are a large number of similar but not identical estimates of the initial state. These form an ``error ball'' in phase space. The conceptual model is that the error ball expands and distorts as solutions begin to disperse in phase space. Linear analysis (see for example Buizza and Palmer, 1995) can be used to predict the early stages of the development of the error ball. Such analysis is essential in ensemble forecasting, where the number of random states needed to sample the error ball adequately far exceeds the capacity of computers. The conceptual model presumes that as time increases, the linear assumption will break down and nonlinear effects will become increasingly important in the evolution of the error ball. But the basic picture is of the error ball diffusing through phase space. Atmospheric Science Letters (2002) doi:10.1006/asle.2002.0099 1530-261X * c 2002 Royal Meteorological Society * E-mail: [email protected]

Transcript of Models of the predictability of a simple nonlinear dynamical system

���������� ������� ������� 1)**)7���84*�4**9:�����)**)�**55

������ �� �� ���� �������� �� � ����� ��������� ������ �� ������

�� �� �����

���������� ������ �� ���������� ������ � ������ � ��� ���� ��

46;*!)94

=!�

��������� ��� �� ��������� ��� ����� ��� ��� ��� �� �� �������� �� ��������� �� �� � ��������� ���������� �� ���� ������� �� ���� ���� �� ������ ����� �� �� ��� ������ �� ������ ����� � �� � ������ ��������� ��� �� �������� �� ������ �� ���������

�� ��� �� �� � ���������� ������ �� ����� �� �� ���!�� � ��� ������ ������� ���" � ������ � ���� �� ������ ����� �� #����

���$ ����� ���� � �$�� ����� �������� ��� �� �� ����� ����� �� �� ��� ��� � ���� ����� ���� � �� ���%��� � ����

���� �� ������� �� ����� ������ & ''������ � ��� �����(( ����� �� ����� ���� � �� ����������� )**) +���� ,� ����������� -���� �

�� ���� ����� ������ ����� �� ��� ����� ��� ���

�� ��� ����� ������ �� ���� ��������

� ��� ������ � ����� � �������� �� � �������� �� � ''���� ��(( ��� ��� ��� � � ���� � � � ���� �� ������ ����� � � � � ���� �� �� ���� ��

��� � ����� ���� �� ��� ��� ��� �� ������� �� ��������� ��� ���� �� ����� � ��������� ����� ������ �� ������� �� ������� �� ����

������������ �� ��� ���� ������� ������ �� ����� ��� ���� ���� ��� �� � ���� ���� ������� �������� �� ��� �� ����� ����� �� �� ��� ���

.������ ���� �� ''�����(( �� �� ����� � �� ���� � �� ����� ��� ��� ������ �� � ���� �� �� ���� ���� � �� �/�� ���� �� ��� ��� ����� �������

������� ���� ����� �������� &� ���� �� ����� �� ��� ��� 0� ��� �� �� � ���%���� ����� ��� � ������ �� �� ����� ����� ��

���� ����� �� ����� ���� � ��� �������� �� � ������ ��� ����� �� � ��������� ������ ����� �� -������� �� �� �� �������� ������� � ����

��� � ����� ������ �� ������� �� �� ���� ���� �� ��� �� �� �� ��� ��� � � �� ���� ���� �� ''����� ����(( �� ����� ������ �� ������ ���

����� �� �� �� ����� ���� ������� ��� ��� �� � �� ���� ���� ����� � �������� �� ����� ������ ������ �������� 1��� ��� ������� 2����� ���

3������ 45567 ��� �� ���� � ������ �� ����� � ���� �� �� ���������� �� �� ����� ����� -��� �������� �� ����� ��� �� �������� ������� ����

����� �� ������ �� ������ � � �� ������ � ������ �� ����� ���� ���/�� ��� ��� ������� �� ������ � �� ����� ���� �� ������ ���

����� �������� �� �� ��� ���������� �� ������ ������ ��� ���� ����$ ���� ��� ��������� ����� � ���� ������ ������������ ����� �� ��

�� ����� ��� �� �� ����� ����� 2� �� ����� ��� ��� �� �� �� ����� ���� ��������� ������ ����� ������

< �� )**) +���� ,� ����������� -���� �

���8 ����>����?������������$

�� ��� �� ��� ����� �� ������� ��� ��� ���� � ������ ��� ����� ������� � � ������ ���� �� ��� �� �� ������� �� ������ 145@07� ����� �� �� �������� � ���� ������ �� ����� �� �� ����� � ��� ���������� ��� �� ���� ������ $���� ''�� ��A�(( ��� �� �� ������� �������� 1459;7� &� �������� ��� �� �� ���������� �� �� ����� ���� �� �� ������ ��� �� ���� ���� � ������� ���� ���� �� ����������� � �� ���� ����� � ��� ��� �� ������� �� �� � ��������� �� �������� �$�� ��� ��������� � �� �$�� �� 3����� 1455;7 �� ��� �������� �� �������� 1459;7 ��� ���

�� � ��� ����� ������ �� ������

������ 145@07 �� ������� �� �/�� ��� �� 8

��

��� �* � �

�� ��) � �)�

��

��� � ��� �� � 4��� �

��

��� ��� �� � 4��

�4�

B���� � �� ���" � ��� �� ����� �� �� � ������������� ������� �� �� ����� ����������� ����� ���� �� ���!�� � ����� ��� �� � �� ��������������� ���� ��� ������ ����%���� � �� � ����� �� � �/�� ��� �������� � �/������� ��� ������ � ����� ��� �/��������� � � � �* �� � �������� �� ����� �� �� ����� �� ������� �� � ��� � �/�� ���� ����� %�� ��� ���� �������� ��� �� ��� ���� ����� ��� �� ����� �� � ������������� 1 ��� � � 47 ��� ����� � �� �� ������ �� %��� ���� �� ������� � �� �� � �/�� ��� �������� � �� ����� � �� ��� ���� :�������� ��� � ������� � � � ������ �����C�� ��� ���� ������� �� �� ������ ��� �*� �� ��� �� �/�� ��� �� 147 ��������� ''���� ��(( ���� ����� ������ 145@07 ���� �� �� ����

�* � @� � � 0� � 0 ��� � � 4" �� ���$ ����� �� �� ��� ����� ���� �� ����� �� �� ���� ������ ���� #� � ���� �� ����� ���� ������ ����� ����� ��� �� � ���� �� � ��� �� �������� ��� ����� ��� *�5* � � � 4�4@ ��� 4�); � � � 4�;0� �� � ��� ������ �� �� ���� ������������ �� ��� �� � � ���� ���� ������ �� �� � � � ���� ���� � ��� ��� ���� �� �� �������� � ������� ������ � �� �� �/�� ��� �� � �� ������� �� � ������� ������ �� �� ������ ���� ��� ���� �� �� ������ ���� ����� �� �� �� ��� ����-��� ���� �� �� ������ �� 147 ���� ������ �� �� ��������� �� ���� ��� �� �� �/�� ���� ����� � +����!D� � �� ��� �� � ���� ��� � ��

���� 1��� 3���� �� ���� 455)� ���� �� 497� C����� 4 ����� �� ����� �� ���� �� �� ���� ��� �� � �� ������ ������ �� �� ����� �� ������� �� �������� ��� ���� �� �� �� � ����� ����� ��� ������� �� � ����� ����� �� � ���� *�4� �� �������� ������� �������� ��� ����� ����� �� ���� ������ ����� �� � ���� ��� �� ���� ��� 4�6 � 4*�0 �� �� ���� ��� �� � ���� �� ���� ���� �� ���� ���� ������ � ������� ������� �� � � ����� �������� � �� �!����� ����� �� ������ ������� ��� ������ � �� � ���� ���� ������� �� �� ������ ���������

�� ����� ����� �� �� ������ ������

& %�� ���� �� �� ������ ����� � �� �� ������ �/�� ��� �� �� ����� �� C����� )� ��� ����� �� ����� � �� 4*** ��������� �� ���� ���� ���/�� ���� 147 ���� ������� �� �� ���� ���� ��� ��� ����� ����� =��� �� ���� ��� ����� ���� �� ��� ��� ���� ���� �� �������� �� �� �������

C����� 4� �� ���� �� � ��� �� ��� F � 4�*� �� ��� ������� �������� ��� *�4 ����� ����� �� �� �� � ����� ����� ��� ���� �� ���� ��� � ���� ��� 4�6 � 4*�0

�� �� � �� ���� ��� ������ � ���� �� ���� ��� �� �/�� ��� �� 147�

�� � ������ �� ����� ����� �� ������ *�*) ��� ��� ���� � � 4�)� � � � 4�*� � � � *�E� &� �� *�64� �� �� ���������� �� �� ��� ��� ����� ��� �$�� ������ 2� )�**� �� ����� ��� ���� ����� �� �� � �� ������ �� � ���$� �� ���� �� ����� �� ������� �������� � �� ��>�� ����� �� ������ ����� & ��� � ���� �� �������� ��� ��� ����� ���� ����� ��� ���� � � ������� ������� � �� �� � �� ����� ��� � �� �� ����� �� ��������� ��� ������ ���� ��� �� ����� ������

C����� )� & ���� �� �� �� � ����� ������ ������� �� ����� ��� �� � ����� �� 4*** �������� ��� ��� � � ��� �� ����� �� ����� �� �� *�64 ��� ��� � 1���7�

�� �� )�** ��� ��� � 1�����7 ��� �� �� 6�6; ��� ��� � 1����7�

2� 6�6; ��� ��� �� �� ����� �� ���������� ��� �$�� ������ �� � ���$ �� ���� ���� ��� ��� ��� ������ ��� ��� � �� �� ������ �������

���� ������� �������� � �� A�� ��>�� ������ ��� ���� � ��� ���� ������ �� �� �� �!����� ���� �� ����� �� �� ������� �� �� ���� ����

������� /�� � � ������ �� �� ����/��� ��� �� � ���$ �� �������� ������ �� � � ��������� ������

C�� ��� �� ���� ��� �� ��� ��� �� ������ � �� ��� ��� ''� �� �� ��� ����(( ���� � ����� ����� )G9 ��� ��� �� ��� � �� ���� ���� � �������� ����������� ��� ��� �� �� ���������� �� �� �������� ������ ����� �� �� � ���� �� ���� �� ������� ����� ��� �� �������� �� �������� �� ����� ����� �������� �� �� ����� �� �� � ���� �� ���� �� ���� � ������� �� �� ��� � ��������� �� � ������ �� � ����

�� ������ �����

& ������ ������ ��� ���� ��� �������� ������ ��� ���� �� �� � ����� ���� ������ �� � ��� �� ����� �� ���� � ���� �������� �� ������������� ������� ��� �� ���� � ������ �� �� ��� ��� ��� ����������� �/�� ��� 147 �����8

��

��� �� �)�

�����

� �������

��

�� ��� � �

� 4� �)� �)�

�� � � � 4 � � �� � � � � 4

��

���

�� �� ������ �������� ������� ����� �� � ���� � �� � �� �/�� ��� 1)7 ����� � � � ������ ���������� �������8

�� � ����� �� � !

=��� �� �� ���� ����������� ��� ��� ����� �� �� � ��� � �������� � �� �� � �� ��������� �� �� ����� ���� ����� ��� �� � � ��������� ����� �� ������������� �������� �� �� �������� � �� ��������� ����� �� ������ ���� ��� �� �� ����������� ��� ��� ������ �������� �� �� ����������� �� ������� ���� � � � � *� ��� � ��� ��� ���� ��� ���

�� ������� ���>��� � ��� �8

� � �4�� �� � � �� � 4� � �� �

�� ���� ��� �� ���� �� � �� ������� ��� �� �� ��� ��� ����� �� ���� ��� �� �� ������� ��� �� ���� �� � �� ��������� ��� ����� � ���� � 4� �� ��������� ��� �� �� ������� ��� �� ���� �� � �� ��� ���� ������� ��� �� ����������� ���� ������ ��� �� �� ���������� �/�� ���� 1 ����� ���� ������� ���� ������ ��� �� �� �� ���7 �� �� ����� �� �� ���� � ��� ��

���� �� ����������� �� �� ������ �� � ��� � ������ ���� �� ���� �����������������������) � �)��

� �� ����� �� �� ������ ���� ��� �� �� ����������� �� �� �� � ����� �� ����� �� C����� ;� 2������ �� �� ����� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� �� ���� ��� ��� ����� ����� �� �!����� �������� �� ������ �� �� �� � ����� �������� �� �� � ��� �� ����� �� C����� 4� ���� �� ��������� � ���� ��� ��� ���� ��������������� ��� � � 4 ���

�����������������) � �)�

������ C�� ���� �� �� ����� ����� �������� �� �� � ��� �� ���� �� ���� ��� ��� ���� ���������� �� ���� ��� � �� ����� ������ �� ��� ��� ����� �� ���� � ���� �������� ������ ����� ��� ���� ����� ��� ���� �� �������� �� ��� ����� ����� ������%��� �� ��������� �������� �� �� ��������� �� ���� ���� ������� �� ��� ��� ����� ���� ��� ������ �� � � ���� � ���$ ������ �� ������ ���� �� �� �� ���� ���� �� ������� ������� �� �� � ���$ � ��� ��� ���� � �� ����� ����� �� � %�� � ����� ���� ��������� ����� ��� �� �� ��������� �� ��� ������ ���������

C����� ;� -������ �� ����� �� �� ���� ���������� � �� �� �� � ������

�� �� ��� , ���� �� ������ �� �� ��� ���� ��� � ������ �� �� &� ����� �� ��� ��� )� �� ����� �� � ��� ���� ��� ��� �� ��� �������� � � ������ � ���� � ��� ��� � ���� ����� �� � ���� �� � ��� ��� ������ ����� ��� ����� �� ������ �� � �� �� ��� �� �� � ��� ��� ��������� ������ � �� ������ ���� ���� ���� ������ ������� �������

"� #��$� ���� ��%����� �

�� ������ ����� � ������� ��� �� ��������� �� ���� �� �� ���������� �� ��>�� ����� �� ����� ����� �� ���� ���� �� ��� ��� ����� ����� ��� ���� �� �������� �� �� �������� ��� ��� ������ � ��>�� ����� ���� ������� ������ � ��� ���� � �������� �� �� � ��� ��� B������� ������������� �� � �� �����������

�� ������ �������� ������ �� ��� /���$�� ��>�� ����� ������� �� ���� �� ���� �� ����������� ������ � ��� /���$�� ��� ������� �� �� ��� ������ �� ��������� �� ������ ����� � �� � ��� ������ ������� ���� �� � �� �/�� ��� �� ���� �� 147� �� ���� �� ��� ��� �� ��� ��� ���� ������� ����� ���� ���� ������ ���� ��� ���� ��� ����� ������� �� �� ���������� � �� ����� �� ���� ����� ������ �� ����� ������ �� ������ ���� ��� ���������� /���$�� � �� ��� ������ ���� � ��� �� ��>�� ����� ���� �� ����� ������ ��� �� �� ��� ���� ��� �� ���������� � ������ � ���� ���� H� �� � ��� ����� � ���� � ����� �� ���� ���� ���� ���� ������� ���� ����� ������ �� � ��� ���� � � ���������� ��� �� �� ��>�� ����� �� �� � �����%��� ��� ���� ��� ���� ��������� �� ��������� � ������� �� ��� ������� �� ��>�� ����� ���������� ����� ����� ��8

� � �� �&� �����

�& ����������������

��

�� �;�

=/�� ��� 147 �� ������ �� ������ �� ��� ������� ��� �& ��� ��� ������ �� �� � ��� �� �� ������ �� � �� �������� �� �� ������� ��� �� �&� �� ����� �� ���� �� ���� ����� �� ������ ��� �� �� � ������ �� � ������ ��� �� �� �������� ��� �� �������� ������� �� � ��� �� �� ����� �� ������ ��C����� 0 ����� �� �� �� ����� ��� �� � �� � �� � ��� �� I����� ������ ��� 4�6 ��� ���%��� � � ���� ����� ������ �� ����� ����� � �< � ��

������ � �� �� ��� ������ �� �� ����� ���� ���� ��� �� �������� =��������� � ���� �� ��� �� �� ���� ����� ��� �� ������ �� � ���� ��� �� ������ �� ���� �%�� �� � �� ������ ����� �� ������� �� �� ������� ������ �� ����� ���� ��� �������� �� ��� ��� )�C������� � ��$� �� ���� ���� ����� ������� C����� 6 ����� ���� ���� ����� �� �� �� � ����� ����� ��� ���� �� ���/��� �� ��

�� ��� �� ��� ����� � � 4�6� �� ������ �� ����� ����� ����� ���� �� ����� ���� ��� ����� �������� �� ��%�� �� ���� ������� ��� ���

'� ��� �������

�� ����� � �� ��� ����� ���� �� ���� ���� � �� �/�� ���� �� ������� �� ������ 145@07 ��� ������ �������� ����� �� �� �� ��������� � �� ������ �� ���%��� � � /�� � ����� ������ �� ����� ������ ��� ����� ������� ���� ����� ��������� �� ���� ��� �� �� �/�� ������� ���� ������ �������� �� �� ���� � �� ����� ������� & ������� ����� ��� ������ �� �� �� 3����� 1455;7 ��� �� ���� �������� ������1459;7 �/�� ����� 3����� ������ �� �� ��� ���� ������ ��� �������� ����� � ���� ���� � � ���� ��� ���� �� �� %��� �� �< ��� �� ������1459;7 ������ �� ���� �� ��� �� �� ������ 145@07 �/�� ��� �� ��������� �� ��� �����8 C����� 6 �� ����� ����� ������� ��� �� ������ � �� �� ���� ��� ���� �� �<�+� ��� ��� � ���� ��������� �� �� ����� ���� �� ����� ����� �� � ����� ������� ���� ����� � ������ �� � �� �� ������ ��� ����� ��

�� ���������� �� ������ �� ��� ��� �� �� �� �� ����� ���� ������� ������ �������� ��� �� ����� ������ B������� �� ��� ��� �������� ���� ������� �� �� ����� ������ ������� �� �� � � ���� ��� ���� � �� �� A�� ��� �� �<� �� ����� ���� ��������� ����� ��� �� ��� ������������� +� ��� ��� ���������� �� ��>�� ����� ��� ��� ���� � ���� ������ � ������� �� ����� ������ ��>�� ��� ��� ����� ��� ������ �%�� �� � �� � �� ����� ��� ������� ���� � ��������� �� ��� ��� ;�.��� ��� ����� ����� � �� � ��������� �� � � � ���� ������ �� ������� �� �������J ���� ��� �� �� ���� ����� =� ��� ��

��������� �������� �� � ��������� A�� ������ � ����� ����� � ��� �� �� ��� �� ���� ��� �� ��� ����� �� ��� ����� ����� ��� ��

C����� 0� I���� ��� �� � �� �� �� � ������ �� ������� �������� ��� ����� ����� � ������� 4�6�

��������� �� ��� ����� ������ �� ���� ���� �� ��� ��� ��� ���� ��� ������ �������� ���� ���%���� ����� �� � ��� ��������� � �� �� ��

� �������� �� �� ���� ���� �� � ���� ������ � ���� ����� ��� �� �� � � ���� ������ �� ������� �� �������� �� ��� ����� ������ ����� ��

����� �� �� � � ����� �� ������� �� �� ��� �� ��� �� ��������� ���� �� ����� ���� � ��� ������ �� �� ��� ������� ���� �� ��

������ ����� � ��������

C����� 6� &� C����� 0� �� ��� ��� ���� ����� ����� � ������� 4�6 ��� ����� �� ���� ��� �� ���� �� ���� �� ���� ��� � ���� ��� 4�6 � 4*�0 �� �� � �� ���� ��� �� � ���� ����

(������ ��

2������ +� ��� 3������ � ��� 4556� �� ��������!��� �� � ��� ��� �� �� � ��������� ������ ������� ���� !" ����" ���"� "�� 40;0G4069�������� =� ��� 459;� .� ������� �� ���!�������� A��� !" ����" ���"� �!� 4;*G404�������� =� ��� 45@0� ���������� �8 � �������� �� ������ � �� �� � ��������� #������ �'�� 5@G44*�3������ � ��� 455;� =� �����!����� � ��������� ������ ��� ��� �� ������ ������ ����" ��" ���" ��"� )�� 05G96�3����� #� B�� ��$���$�� -� &�� I� ������� #� � ��� C�������� 2� 3�� 455)� $�������� ������� �� %����� &&' ��� ��� �������(� ������� � )�� ��� ���

�������� K������� � 3����� ��������� =������ 5;;���