8/3/2019 Modelo Didactico Para Analisis Matricial de Estructuras

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DESARROLLO DE UN PROGRAMA DIDACTICO DE ELEMENTOS FINITOS PARA ELANALISIS DE ESTRUCTURAS RETICULARES Y CUERPOS SOMETIDOS A ESFUERZOS

PLANOS

Daniel Blum Velasco1, Eduardo Orcs Pareja

2

1

Ingeniero Mecnico, 20042 Director de Tesis, BSc.,California Institute of Technology, USA, Master en Ciencias deIngeniera Mecnica, California Institute of Technology, USA, Profesor de la ESPOL.

RESUMEN

La presente tesis comprende el desarrollo de un grupo de programas de computadora conlos cuales se realizan, empleando el mtodo de elementos finitos, el anlisis esttico ydinmico tanto de prticos bidimensionales como de cuerpos slidos sometidos a esfuerzosplanos. Los programas tienen como objetivo principal el servir de apoyo para el aprendizajedel mtodo de elementos finitos a los estudiantes que tomen el curso de Anlisis deElementos Finitos de la Carrera de Ingeniera en Mecnica.

Los programas han sido desarrollados con el lenguaje de programacin Matlab, por sucaracterstica de fcil manejo de funciones matemticas y matriciales. Adicionalmente, se

emplean ciertas funciones de la herramienta Calfem, desarrollada por el InstitutoTecnolgico de Lund, Suecia. Los programas realizan tanto el anlisis del caso en el cual lascargas aplicadas son estticas, como del caso en el cual las cargas son aplicadas de formatransiente, originando la vibracin del sistema. En este ltimo caso, se calculan tanto lasfrecuencias naturales de vibracin de la estructura como las deformaciones, velocidades yaceleraciones nodales de la misma debido a las cargas dinmicas aplicadas, adems desimular los modos naturales de vibracin. Los programas han sido desarrollados de talmanera que pueden ser fcilmente modificados por el usuario para usarlos en otrasaplicaciones ms avanzadas o de mayor complejidad, as como en otras reas de laingeniera como transferencia de calor, mecnica de fluidos y otras.

ABSTRACT

The present thesis covers the development of a group of computer programs which makesthe static and dynamic analysis of bidimensional bar and beam structures and solids subjectto plane stress. The main object of this programs is to serve as a learning tool to MechanicalEngineering students at the Finite Elements Analysis course.

The mentioned programs were developed using Matlab programming language, by itscharacteristics of easy handling of mathematical and matrix functions. Plus, some functions

of the Calfem toolbox, which was developed by the Lund Technologic Institute, Sweden,were used. The programs makes two analysis, the static applied loads and transient appliedloads, which makes the system vibrates. On this last case, the natural frequencies, the nodal

displacements, velocities and accelerations due to dynamic loads are calculated, plus thenatural vibration modes are simulated. The programs were developed in a way that theywould be easily modified by user in order to employ them in other more advanced or complexapplications, as in other engineering areas as heat transfer, fluid mechanics and others.

INTRODUCCION

Esta tesis ha sido realizada por Daniel Blum Velasco, egresado de la carrera de Ingenieraen Mecnica de la Facultad de Ingeniera en Mecnica y Ciencias de la Produccin de laEscuela Superior Politcnica del Litoral.

La tesis consiste en la automatizacin del empleo de la caja de herramientas de Matlab

llamada Calfem, as como la creacin de nuevas funciones de Matlab, segn sea

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necesario. Dicha automatizacin tiene como fin simplificar la enseanza del mtodo deelementos finitos aplicado al anlisis de los siguientes problemas:

Armaduras bidimensionales, simulacin de cargas estticas y dinmicas.

Prticos bidimensionales, simulacin de cargas estticas y dinmicas.

Cuerpos slidos sometidos a esfuerzos planos (elementos triangulares).

Esto se lograr mediante la presentacin de la secuencia de clculos necesarios pararesolver los distintos tipos de problemas, sin importar su geometra y propiedades fsicas delos materiales.

Para lograr esto se cre una estructura de subrutinas (programa) que permita ejecutar lassiguientes tareas bsicas:

Ingreso de los datos de entrada.

Ejecucin de los clculos basndose en los datos de entrada.

Presentacin de los resultados (datos de salida).

Por lo cual el programa constar de tres partes claramente diferenciadas, segn la tarea quese encargarn de ejecutar:

Pre procesador.

Procesador. Post procesador.

Cabe mencionar que cada uno de los problemas ser analizado con un programa especfico,dada la diferente naturaleza de los datos de entrada y comportamiento fsico de los sistemas aanalizar. Cada uno de estos programas contar con operaciones similares pero realizadas confunciones distintas, siendo esta su mayor diferencia.

CONTENIDO

1. Fundamentos tericos:

Durante el anlisis esttico de los sistemas propuestos, los programas resuelvenbsicamente la misma ecuacin matricial:

FQK = Ec. 1

La cual es la ecuacin de equilibrio esttico. Donde K es la matriz de rigidez global, Q es elvector de deformaciones (desplazamientos nodales) y F es el vector de cargas externas.

En cambio, durante el anlisis dinmico, para hallar las frecuencias naturales de los sistemaspropuestos, los programas resuelven la siguiente ecuacin matricial:

02

= MKa Ec. 2

Que es la ecuacin de los valores propios (frecuencias angulares naturales del sistema) y

los vectores propios a (modos de vibracin), la cual se deriva de la ecuacin matricial:{ } { } 0=+ uKM Ec. 3

En cambio, para simular la respuesta dinmica de los sistemas propuestos, los programastienen que resolver la ecuacin matricial:

{ } { } { } { }quKCM =++ Ec. 4Cabe anotar que aunque las ecuaciones matriciales son las mismas para todos losprogramas, la metodologa con la cual se constituyen cada una de las matrices queintervienen en las ecuaciones son distintas de un programa a otro, es decir que varan segnel tipo de elementos que conforman a cada sistema.

A continuacin se presenta un diagrama de bloques en el cual se describe la secuencia delas operaciones y subrutinas que realizan los programas desarrollados:

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Ingreso de datos de entrada:- Condiciones de borde e iniciales

- Propiedades del material- Propiedades geomtricas

- Conectividad

Generacin de malla, matriz de

rigidez y matriz de masa

Anlisis dinmicoAnlisis esttico

Clculo de desplazamientos nodales

con cargas estticas

Clculo de fuerzas nodales(internas)

Clculo de frecuencias naturales eintervalo crtico

Clculo de valores iniciales de

aceleracin, velocidad y

desplazamiento del mtodo con las

condiciones iniciales y de borde

Clculo de fuerzas en apoyos

Clculo de fuerzas nodales dinmicas

Mostrar valores de variables desalida

Iteracin de valores de desplazamiento,

velocidad y aceleracin para cadaintervalo de tiempo

Diagrama 1, Diagrama de bloques de los programas desarrollados

2. Ejemplos de aplicacin de los programas desarrollados:

Ejemplo de aplicacin del programa para anlisis de armaduras bidimensionales:

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Los datos que se ingresan al programa son los siguientes:

Coordenadas de los nodos

Matriz de conectividad

Matriz de condiciones de borde

Modo de vibracin libre que se desea simular: primero

Variable en el programa: Valor: Unidades:A 2848 mm

2

E 200e6 Kg/mm2

dens 8e-6 Kg/mm3

g -9810 Mm/s2

carga(4*2-1,1) (Fx, nodo 4) 0 Kg mm/s2

carga(4*2,1) (Fy, nodo 4) -800000 Kg mm/s2

Figura 1, Esquema de armadura analizada.

Figura 2, Deformaciones estticas de la armadura analizada

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Figura 3, 1er modo de vibracin de la armadura analizada

Fuerza axial mxima: 800 Kg f, elemento que soporta lacarga aplicada

Desplazamiento nodal mximo: -0.0428 mm, nodo de aplicacin de lacarga, sentido vertical

Frecuencia natural estimada: 193 Hz, primer modo de vibracin

Ejemplo de aplicacin del programa para anlisis de prticos bidimensionales:

Los datos que se ingresan al programa son los siguientes:

Coordenadas de los nodos

Matriz de conectividad

Matriz de condiciones de borde

Modo de vibracin libre que se desea simular: primero

Variable en el programa: Valor: Unidades:A 3142 mm

2

I 1033e4 Mm4

E 200e6 Kg/mm2

dens 8e-6 Kg/mm3

g -9810 Mm/s2

carga1(2,1) (Fx, nodo 2) 150000 Kg mm/s2

carga1(2,2) (Fy, nodo 2) 0 Kg mm/s2carga1(2,3) (M, nodo 2) 0 Kg mm2/s2

Figura 4, Esquema del prtico analizado

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Figura 5, Deformaciones estticas del prtico analizado

Figura 6, 1er

modo de vibracin del prtico analizado

Fuerza axial mxima: 104600 Kg mm/s2, en el elemento que

soporta la carga aplicadaFuerza cortante mxima: -59400 Kg mm/s

2, en el elemento que

soporta la carga aplicadaMomento flector mximo: 93500 Kg mm

2/s

2, en el elemento que

soporta la carga aplicadaDesplazamiento nodal mximo: -0.0753 mm, nodo de aplicacin de la

carga, sentido horizontalRotacin nodal mxima: -3.569 e-5 radianes, nodo central

superiorFrecuencia natural estimada: 150 Hz, primer modo de vibracin

Ejemplo de aplicacin del programa para anlisis de cuerpos sometidos a esfuerzosplanos:

Los datos que se ingresan al programa son los siguientes:

Coordenadas de los nodos

Matriz de conectividad

Matriz de condiciones de borde

Variable en el programa: Valor: Unidades:

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Esp 0.2 mmE 200e6 Kg/mm2Poi 0.28dens 8e-6 Kg/mm3g -9810 Mm/s2carga(4,1) (Fx, nodo 4) 0 Kg mm/s2

carga(4,2) (Fy, nodo 4) -15000 Kg mm/s2

Figura 7, esquema del cuerpo analizado

Figura 8, Deformaciones estticas del cuerpo analizado

Figura 9, Contornos de esfuerzos de Von Mises del cuerpo analizado

Esfuerzo de Von Mises mximo: 65,1 Mpa, nodo 4Deformacin unitaria mxima: -0.0051 mm/mm, elemento 6Mxima deformacin angular: 0.0060 radianes, elemento 6

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CONCLUSIONES

1. Se desarroll el grupo de programas propuestos entre los objetivos de la tesis. Estosprogramas realizan el anlisis esttico y dinmico tanto de estructuras reticulares

planas y de cuerpos sometidos a esfuerzos planos. Adicionalmente a los programasprincipales desarrollados, se crearon funciones auxiliares para la construccin dematrices de rigidez para elementos tipo barra y viga bidimensionales, as como paraelementos triangulares.

2. El cdigo abierto de los programas desarrollados permite que los estudiantes del cursode elementos finitos mejoren su aprendizaje del mtodo, sus limitaciones y potencialesaplicaciones en otras reas de la ingeniera.

3. Los programas desarrollados a partir del diagrama de bloques propuesto mostraronbuena estabilidad numrica en los anlisis esttico y dinmico de varios ejemplos deprueba.

REFERENCIAS

1. D. Blum, Desarrollo e Implementacin de un Programa de Elementos Finitos Para elAnlisis y Simulacin Dinmica de una Estructura Bidimensional Tipo Prtico (Tesis,Facultad de Ingeniera en Mecnica y Ciencias de la Produccin, Escuela SuperiorPolitcnica del Litoral, 2004).

Daniel Blum Velasco Eduardo Orcs ParejaEstudiante de Tesis Director de Tesis