Mecánica Cuántica
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Transcript of Mecánica Cuántica
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
Quantum physicsS. Gasiorowicz
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida
2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón
Energía de Bohr
Estructura fina
Corrimiento Lamb
Estructura hiperfina
4 2mc5 2mc
2 2mc
4 2
p
m mcm
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
4 2
2 2
2
1,2,3...2
La masa reducidad
La constante de estructura fina
/ 1 / 137
Rn
eR
e
m e ZE nn
m Mmm M
e c
212 2
La energía de los niveles del átomode hidrógeno es
311/ 2 4
donde
; es decir, 1/ 2
Znj
E nEn n j
J L S j l
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida
2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento espín-orbita
3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón
Energía de Bohr
Estructura fina
Corrimiento Lamb
Estructura hiperfina
4 2mc5 2mc
2 2mc
4 2
p
m mcm
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
BIBLIOGRAFÍA:Griffiths, sección 6.5, página 250Gasiorowicz, capítulo 17, página 287Quantum Physics. Michel Le Belac.
Cambridge University Press. Sección 14.2.4, página 465
The Physics of As
trophysics. Vol I: Radiation. Problem set 5, problemas 2 y 3. Página 399
La estructura hiperfina se debe a la estructura
electromagnética del núcleo, que genera
campos electromagneticos permanentes,
que interaccionan con el momento angular
orbital del electrón y con el espínL del
electrón.
S
Estudiaremos sólo el acoplamiento delmomento dipolar magnético del núcleo(que genera un campo magnéticopermanente) con el momento angularorbital del electrón y con el espín del electrón.
L S
En esta sección nos restringiremosal átomo de hidrógeno, por lo tantotomaremos 1, , y la masareducida como la masa delelectrón, es decir,
P
R
R e
Z M mm
m m
Es más, nos restringiremos a las modificacioneshiperfinas al estado base del átomo de hidrógeno.* Resaltamos la idea del fenomeno sin "perdernos"en las complicaciones del cálculo* La estructura hiperfina del estado base delhidrógeno genera una transición fundamentalpara la astrofísica, la línea de 21 cm.
3
3
Acoplamiento espín del protón-momento orbital:
Acoplamiento espín del protón-espín del electrón:
/
/
p e
p e
E
E
eL m cr
r
Acoplamiento del momento dipolar magnético del núcleo(que genera un campo magnético permanente) con elmomento angular orbital y con el espín del electrón.L S
e e
El momento magnético intrinseco del electrón es
2.00232
El momento magnético intrinseco del protón es
g 5.58562
e ee
p p p pp
eg S gm c
eg Sm c
314P e
27e P
e
Comparación del momento magnético del protón respectoal momento magnético del electrón:
2 5.5856 9.11 10 Kg- 102.0023 1.67 10 Kg
2
p ppp
ee
e
eg Sm c g m
g meg Sm c
e e 2.00232
g 5.58562
e ee
p p p pp
eg S gm c
eg Sm c
283
24
Corrección hiperfina 9.11 10 g 10Corrección fina 1.67 10 g
e
p
mm
3protón-órbita
3protón-electrón
La energía de interacción entre los momentosmagnéticos está dada como
/
/
p e
p e
E
E
eL m cr
r
3 3protón-órbita protón-electrón
La energía de interacción entre los momentos magnéticos está dada como
y / /p e p eE EeL m cr r
3protón-electrón
Para los estados 0 tenemos 0
y sólo contribuye el término espín-espín:
/p e
s l L
E r
3
El campo magnético producido por el protón es
ˆ ˆ3 83
(Jackson, pag. 147)
r rB r r
r
p p p pEl momento magnético del protón es con 5.58562 p
eg S gm c
3
Por tanto,
ˆ ˆ32 2 8
3 2
p
p p p pp p
p pp
B r
e eg S r r g Sm c m c eg S r
r m c
3
ˆ ˆ3 8 2 3p p p
p
r reg S B r rm c r
3
ˆ ˆ3 82 6
p ppp p p
p p
S r r Seg eB r g S rm c r m c
3
ˆ ˆ32 2 8
3 2
p p p pp p
p p pp
e eg S r r g Sm c m c eB r g S r
r m c
e
e 3
Como el momento magnético del electrón es
2
la energía de interacción es
ˆ ˆ3 82 2 6
e ee
e p
p ppe p p
e p p
eg Sm c
B r
S r r Sege eg S g S rm c m c r m c
3
ˆ ˆ3 82 6
p ppp p p
p p
S r r Seg eB r g S rm c r m c
2 2
hf 2 3 2
Por lo tanto el hamiltoniano de interacción queda como
ˆ ˆ3 4ˆ4 6
p e p ep e p ep e
p e p e
S r S r S Sg g e g g eS S r
c m m r c m m
H
e 3
La energía de interacción es
ˆ ˆ3 82 2 6
p ppe p e p p
e p p
S r r Sege eB r g S g S rm c m c r m c
(0) (0) (0) (0)
(0) (1)
k k kE
E
HH = H H
(0) (1)
(1) (0) (1) (0)
k k k
k k k
E E E
E
H
(1) (0) (1) (0)Para utlizar la fórmula
derivada para el caso no degenerado, debemosde hallar otro operador que conmute con elhamiltoniano y que tenga valores propiosdiferentes.
k k kE H
p e p
Momento angular total:
Número cuántico: 1 12 2
F J S L S S
f l
hf
2
2 3
2
2
ˆ ˆ3
4
46
p e p ep el s l s
p e
p el s p e l s
p e
E
S r S r S Sg g enlm m nlmm
c m m r
g g enlm m S S r nlm m
c m m
2 2
hf 2 3 2
ˆ ˆ3 4ˆ4 6
p e p ep e p ep e
p e p e
S r S r S Sg g e g g eS S r
c m m r c m m
H
l s p e l s
s p e s l l
nlm m S S r nlm m
m S S m nlm r nlm
2
hf 2 3
2
2
ˆ ˆ3
4
46 l s p e
p e p ep el s l s
p
l
e
ps
e
p e
S r S r S Sg g eE nlm m nlm m
c m m r
g g ec m m
nlm m S S r nlm m
2
hf 2 3
2
2
ˆ ˆ3
4
46
p e p ep el s l s
p e
p es p e s l l
p e
S r S r S Sg g eE nlm m nlm m
c m m r
g g em S S m
c m mnlm r nlm
20
l ll l nlm nlm nlmnlm r nlm r r r dV
hf
2
2 3
22
2
ˆ ˆ3
4
4 06
p e p ep el s l s
p e
p es p e s nlm
p e
E
S r S r S Sg g enlm m nlm m
c m m r
g g em S S m
c m m
3
(Problema 6.25, pag. 252, capítulo 6 d
Para los estados con 0
el Griffit
ˆ
hs
ˆ0
)
3 p e p el s l s
S r S r S Snlm
l
m nlm mr
2
hf 2 3
22
2
ˆ ˆ3
4
4 06
p e p ep el s l s
p e
p es p e s nlm
p e
S r S r S Sg g eE nlm m nlm m
c m m r
g g em S S m
c m m
2
0 0
4( · )( · )sin ( · )3
r r da bb ad
3
Para los estados con 0
ˆ ˆ30
p e p el s l s
l
S r S r S Snlm m nlm m
r
2
0 0
2
0 0
[( )
·(sin cos sin sin cos )]
[( )
·(sin cos sin sin cos )]sin
( sin cos sin sin cos )
( sin cos sin sin cos )sin
x y z
x y z
x y z
x y z
a i a j a k
i j k
b i b j b k
i j k d d
a i a j a k
b i b j b k d d
2
0 0
( · )( · )sin ; sin cos sin sin cosa r b r d d r i j k
2
0 0
2
0 0
2
0 0
2
0 0
2
0 0
4(Sin[ ]Cos[ ])*(Sin[ ]Cos[ ])Sin[ ]3
( [ ] [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d 0
( [ ] [ ])*( [ ]) [ ]d d 0
( [ ] [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d 0
( [
d d
Sin Cos Sin Sin Sin
Sin Cos Cos Sin
Sin Sin Sin Cos Sin
Sin
2
0 0
2
0 0
2
0 0
2
0 0
4] [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d3
( [ ] [ ])*( [ ]) [ ]d d 0
( [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d 0
( [ ])*( [ ] [ ]) [ ]d d 0
4( [ ])*( [ ]) [ ]d d
Sin Sin Sin Sin
Sin Sin Cos Sin
Cos Sin Cos Sin
Cos Sin Sin Sin
Cos Cos Sin
3
2
0 0
2
0 0
( )
( ) d d
4 4( ) ( · )3 3
4( · )( · ) d d ( · )3
x y z
x y z
x x y y z z
a sin cos i a sin sin j a cos k
b sin cos i b sin sin j b cos k sin
a b a b a b a b
a r b r sin a b
2
0 0
( · )( · )sin ; sin cos sin sin cosa r b r d d r i j k
3
3
3( · )( · ) ·, , , | | , , ,
1| | , , | 3( · )( · ) · | , ,
p e p el s l s
p e p el s l s
S r S r S Sn l m m n l m mr
n n l m m S r S r S S l m mr
3
Para los estados con 0
ˆ ˆ30
p e p el s l s
l
S r S r S Snlm m nlm m
r
2
0 0
, , | 3( · )( · ) · | , ,
3 , , | ( · )( · ) | , , , , | · | , ,
sin[ ]d d 4
, , | · | , , 4 | · |
p e p el s l s
p e p el s l s l s l s
p e p el s l s s s
l m m S r S r S S l m m
l m m S r S r l m m l m m S S l m m
l m m S S l m m m S S m
3
3
3
3( · )( · ) ·, , , | | , , ,
1| | , , | 3( · )(
ˆ ˆ3
· , ,
0
· ) |
p e p el s
p e p el s l
l s
p e p e
s
l s l s
S r S r S Sn l m m n l m mr
n n l m m S r
S r S r S Snlm m nlm m
S r S S l m mr
r
, , | 3( · )( · ) · | , ,43( ) | · | 4 | · |3
0
p e p el s l s
p e p es s s s
l m m S r S r S S l m m
m S S m m S S m
3
3
2
0 0
3
ˆ ˆ30
3( · )( · ) ·, , , | | , , ,
1| | , , | 3( · )( · ) · | , ,
4( · )( · )sin ( · )3
, , | · | ,
p e p el s l s
p e p el
p e p el s l
s l s
p
s
el s l
S r S r S Snlm m nlm
S r S r S Sn l m m n l m mr
n n l
mr
a b a
m m S r S r S S l m mr
r r d d b
l m m S S l m
, 4 | · |p es s sm m S S m
3
22
hf 0
ˆ ˆ30
así
Para los estados co
que4 06
n 0
p e p el s l s
p ep e n m
p e
S r S r S Snlm m nlm m
r
g g eE S S
m m
l
2
hf 2 3
22
2
ˆ ˆ3
4
4 06
p e p ep el s l s
p e
p es p e s nlm
p e
S r S r S Sg g eE nlm m nlm m
c m m r
g g em S S m
c m m
2
100 3
2
hf 3
10
por tanto
4estado base
Para el estado b se,
6
a
p ep e
p e
a
g g eE S S
m m a
2
2
hf 04Para los estados con 0, 06
p ep e n m
p e
g g el E S S
m m
En presencia del acoplamiento espín-espín,los momentos angulares de espín individualesno se conservan, y por tanto, no son buenosnúmeros cuánticos. Los operadores noconmutan con el hamiltoniano. Los vectorespropios que se deben considerar son los delmomento angular de espín total
e pS S S
2 2 2
2 2 2
Elevando al cuadrado,
2
de donde12
e p e p
e p e p
S S S S S
S S S S S
e pS S S
22 34s s
s s
m m
z m s m
S
S m
2 2 212e p e pS S S S S
2 2 2 2
2 2 2 2
Estado triplete. Espines paralelos. Espín total=11 12 4
Estado singulete. Espines antiparalelos. Espín total=01 32 4
e p e p
e p e p
S S S S S
S S S S S
2 2 2 2
2 2 2 2
Estado triplete. Espines paralelos. Espín total=11 12 4
Estado singulete. Espines antiparalelos. Espín total=01 32 4
e p e p
e p e p
S S S S S
S S S S S
2
hf 3
4estado base6
p ep e
p e
g g eE S S
m m a
2 2
hf 3
2 26
3
1 / 4 triplete4estado base3 / 4 singulete6
4 5.88 10 eV6
1420.406 MHz 21.106 cm
p e
p e
p e
p e
g g eE
m m a
g g em m a
hch
Única técnica conocida de detección de hidrógeno neutro
2
hf 3
4estado base6
p ep e
p e
g g eE S S
m m a
1/ 2 1/ 2
15 1
1 ( 1) 1 ( 0)
1420.406 MHz ; 21.106 cm
Probabilidad de transición=2.9 10 s
S S S Shc
h
2 2
hf 3
1/ 4 triplete4estado base3/ 4 singulete6
p e
p e
g g eE
m m a
En 1944, Hendrik van de Hulst
predijo la emisión HI del
hidrógeno neutro (esta transición
hiperfina de 21 cm).
La emisión fue descubierta en 1951 por H.I.Ewen and E. M. Purcell de la Universidad de Harvard usando las técnicas de radar desarrolladas en la guerra.
Nature 168, 356 (1 September 1951) Observation of a Line in the Galactic Radio Spectrum: Radiation from Galactic Hydrogen at 1,420 Mc./sec.H. I. EWEN & E. M. PURCELL1.Lyman Laboratory, Harvard University, Cambridge, Mass. June 14.
13.6 eV
1/ 2 1/ 2
15 1
1 ( 1) 1 ( 0)
1420.406 MHz ; 21.106 cm
Probabilidad de transición=2.9 10 s
S S S Shc
h
2 2
hf 3
1/ 4 triplete4estado base3/ 4 singulete6
p e
p e
g g eE
m m a
1/ 2 1/ 21 ( 1) 1 ( 0)
1420.406 MHz ; 21.106 cm
S S S Shc
h
Esta transición es prohibida electromagnéticamente porqueviola la regla de selección 1, pues se tiene 0.La excitación se produce por colisiones.Por tanto se puede conocer la densidad y la temper
l l
aturamedia de las nubes de H en el espacio interestelar.
2
2
2
1 0 ( )
1 0
D
k k l l k
k k
ei e p A mct c
k l
=H
1
2 3
1 0 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
ii
ii
2D
ei e p A mct c
=H
1/ 22
2
2 21 1
1/ 2 1/ 2
1 3 5 1 1,2,3,.... , , ,...,2 2 2 2
njE mcn j j
n j n
Tarea: Demostrar que de este espectro sale el que hemos encontrado con teoría de perturbaciones
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida
2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares magnéticos del electrón y el protón
Energía de Bohr
Estructura fina
Corrimiento Lamb
Estructura hiperfina
4 2mc5 2mc
2 2mc
4 2
p
m mcm
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
1/2
1/ 2
1Con con el número cuántico 2
Ejemplo:2 ( 2, 0, 1/ 2)tiene la mism
Persiste
a energí
la degeneración:
a que2 ( 2, 1, 1/ 2)
sj l m
S n l j
P n l j
2
fs 2R
432 1/ 2
nE nEm c j
,03 1Lamb 3
1,
2 1/ 2 1/ 2
12
,0 es una función creciente de
1,0 12.7 ,0 13.7; , 0 0.05
lzEE K n ln j l
j l
K n n
K K K n l
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html