Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001

Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000

Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007

Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922

Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051

Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908

Quantum physicsS. Gasiorowicz

Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:

1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida

2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita

3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano

4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón

Energía de Bohr

Estructura fina

Corrimiento Lamb

Estructura hiperfina

4 2mc5 2mc

2 2mc

4 2

p

mmc

m

Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno

El campo magnético en el centro de

una espira de radio y con una

corriente está dado como

2

r

I

IB

c r

rI

Desde el sistema de referencia en reposo en el

electrón se ve girar al núcleo, y eso constituye

una corriente eléctrica dada como

2Por lo tanto, el electrón está en un campo

magnético de magnit

ZevI Zef

r

2

ud

ZevB

cr

2 3

Como la magnitud del momento angular es

y el campo magnético está en la dirección ,

podemos poner

r

r

r

L m r v

Z

L

ZeB L

vm r

Zev

cr m cr

De las transformaciones relativistas de los campos

electromagnéticos, tenemos

Ahora es claro que

ˆ

y por tanto

1 1

r

EB v

c

VE r

r

r V VB v L

c r r m cr r

2 3

En este caso el potencial escalar es

y sustituido da

1 1

r r

ZeV r

r

r V Ze ZeB v L L

c r r m cr r m cr

1

r

VB L

m cr r

Las partículas elementales tienen un momento

angular intrínseco

El momento angular intrínseco implica también

un momento magnético intrínseco

El momento angular está cuantizado y tiene un

2 2 2

valor igual a 1/ 2

Los números cuánticos asociados con el espín son

3 1 11

4 2 2z s sS s s s S m m

2 23

4s s s sm m z m s mS S m

1 1

2 2

2 23

4s s s sm m z m s mS S m

, , ,l s l snlm m nl lm mr R r Y

2 2

Degeneración:

2 n n

S

S

El momento magnético intrínseco del electrón,

asociado al espín, es

2

donde es la razón giromagnética dada por

2.002319304386

s

S

eg S

mc

g

g

s S 3R

S

La energía de interacción entre el campo magnético ,

producido por el núcleo, y el espín del electrón es

2

siendo el momento magnético intrínseco2

del e

s

B

e ZeB g S L

mc m cr

eg S

mc

3R

lectrón y el campo magnético

producido por el núcleo en su movimiento orbital.

ZeB L

m cr

No sea ha tomado en cuenta que el sistema de

referencia del electrón no es inercial. Si se hace

"correctamente" aparece un efecto relativista,

llamado precesión de Thomas, que hace que la

energía de inter2

s S 3R

acción sea

1

2 4

ZeB g S L

m cr

0SO

2

SO s S 2 2 3

Tenemos ahora un hamiltoniano perturbado

ˆ ˆ ˆ

donde el potencial perturbador es

ˆ4 r

ZeB g S L

m c r

H H H

H

(0) (0) (0) (0)

(0) (1)

k k kE

E

H

H = H H

(0) (1)

(1) (0) (1) (0)

k k k

k k k

E E E

E

H

El átomo de hidrógeno es altamente degenerado,

y sin embargo usamos la teoría de perturbaciones

independientes del tiempo para sistemas

no-degenerados.

22

1 3 2

21 1

Esto se puede hacer porque la perturbación

ˆ1

8tiene simetría esférica, y por tanto,

ˆ ˆ, 0 y , 0

Las funciones propias de estos operadores tienen valores

Z

p

m c

L L

H

H H

2

propios

diferentes para los estados que tienen la misma energía .

Por tanto las pueden ser utilizadas.n

nlm

n E

Ver sección 6.2 Degenerate perturbation theory. Página 227

Introduction to quantum mechanics. David J. Griffiths. Prentice Hall

0 0

0 0

ˆ ˆSea un operador hermitiano que conmuta con .́

ˆSi y son funciones propias de con valores

ˆpropios diferentes, entonces ´ 0

a b

a b

A

A

H

H

Ver sección 6.2 Degenerate perturbation theory. Página 227

Introduction to quantum mechanics. David J. Griffiths. Prentice Hall

ˆ ˆ1) , 0 y , 0

Por lo tanto y no se conservan

separadamente

L S

L S

H H

2

0SO SO s S 2 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ; 4 r

ZeB g S L

m c r

H H H H

ˆ ˆˆˆ ,

d A Ai A

dt t

H

ˆ , 0L

H

2

0SO SO s S 2 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ; 4 r

ZeB g S L

m c r

H H H H

0 0SO SO SO

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,

Por tanto debemos calcular el conmutador ,

L L L L L

L S L

H H H H H H

, 0L S L

3 3

1 1

3 3

1 1

, , , ,

, ,

, 0 para toda 1,2,3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,

, ,

x j j x j j x j x jj j

j j x j x jj j

j x

x y z y z x z x y

x j

L S L L S L L S L L L S

L S L L L S

S L j

L L i L L L i L L L i L

L S L L L

3

1

, , ,

0

x j x x x y x y z x zj

y z z y

S L L S L L S L L S

i S i S i S S

2 2ˆ ˆ ˆ2) , 0 , 0 , 0

donde es el momento angular total

L S J

J L S

H H H

2

0SO SO s S 2 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ; 4 r

ZeB g S L

m c r

H H H H

2

SO 2 2 3R

S

2

donde hemos tomado 2

l s l s

Ze L SE nlm m nlm m

m c r

g

(1) (0) (1) (0)k k kE H

2

SO 2 2 3R

2

2 2 3R

2

1

2

l s l s

l s l s

Ze L SE nlm m nlm m

m c r

Zelm m L S lm m n n

m c r

(1) (0) (1) (0)k k kE H

2

SO 2 2 3R

2

2 2 3R

2

1

2 l s l

l s

s

l s

Ze L SE nlm m nlm m

m c r

Zen nlm m m

mS

rL m

cl

(1) (0) (1) (0)k k kE H

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

1

2Por tanto,

1

2

1 1 12

l s l s

l s

J L S L S L S L S

L S J L S

L S nlm m J L S nlm m

j j l l s s nlm m

2

eo 2 2 3R

1

2 l s l s

ZeE n n

m c rlm m L S lm m

2

2

2

Por tanto,

1 1 12

1 1 12

1 1 12

l s l s

l s l s

l s l s

nlm m L S nlm m

nlm m j j l l s s nlm m

j j l l s s nlm m nlm m

j j l l s s

2

1 1 12l s l sL S nlm m j j l l s s nlm m

R3

2

eo 2 2

1

2 l s l s

ZeE lm m L S lm n

mn

rm

c

3 3 3

Ya demostramos que

1 1

1/ 2 1n n

r l l l n a

2

eo 2 2 3R

1

2 l s l s

ZeE lm m L S lm m n n

m c r

2

eo 2 2 3R

2

2 2 3R

2 2

2 2 3 3R

2

1

2

11 1 1

2 1/ 2 1

l s l s

l s l s

Ze L SE nlm m nlm m

m c r

Zelm m L S lm m n n

m c r

Zej j l l s s

m c l l l n a

2 2

eo 2 2 3 3R

2

eo 2R

1 1 1

2 1/ 2 1

1 1 1

1/ 2 1n

j j l l s sZeE

m c l l l n a

n j j l l s sEE

m c l l l

2

eo 2 2 3R2l s l s

Ze L SE nlm m nlm m

m c r

2

eo 2R

1 1 3/ 4

1/ 2 1n

n j j l lEE

m c l l l

2

eo 2 2 3R2l s l s

Ze L SE nlm m nlm m

m c r

La estructura fina del átomo de hidrógeno (pequeño desdoblamiento de las líneas espectrales) se debe a la interacción entre el espín S del electrón y el momento angular orbital L

3, 0, 0n l m

2, 1, 1 / 2

2, 1, 1 / 2

n l s

n l s

Observar dos efectos,

el efecto de la masa del núcleo

y el acoplamiento espín-orbita

2

rel 2R

2

eo 2R

2

fs 2R

43

2 1/ 2

1 1 3/ 4

1/ 2 1

43

2 1/ 2

n

n

n

E nE

m c l

n j j l lEE

m c l l l

E nE

m c j

1/2

1/ 2

1Con con el número cuántico

2Ejemplo:

2 ( 2, 0, 1/ 2)

tiene la mism

Persiste

a energí

la degeneración:

a que

2 ( 2, 1, 1/ 2)

sj l m

S n l j

P n l j

2

fs 2R

43

2 1/ 2nE n

Em c j

212 2

La energía de los niveles del átomo

de hidrógeno es

31

1/ 2 4

donde

; es decir, 1/ 2

Znj

E nE

n n j

J L S j l

4 2

2 2

2

1,2,3...2

La masa reducidad

La constante de estructura fina

/ 1 / 137

Rn

eR

e

m e ZE n

n

m Mm

m M

e c

Energía de Bohr

Estructura fina

Corrimiento Lamb

Estructura hiperfina

4 2mc5 2mc

2 2mc

4 2

p

mmc

m

Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno

1

137

Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:

1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida

2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento espín-orbita

3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano

4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón