Matematicki list 1979 XIII 6

7/28/2019 Matematicki list 1979 XIII 6

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1979-xiii-6 1/22

OBAVESTENJE PRETPLATNICIMA

l. Urcdni5tvo poziva nastavnike i profesorc ma'cmatikc kao iost:tlc lilaoccda Salju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke, zadatkc sa prijcnrnih ispita

i matematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno jc da svi rukopisi (osinr

udenidkih resenja zadataka) budu pisani pisaiom ma5inom, s prorctlonr. Rukopisl

se ne vra6aiu.

2. Malematitki /rsr namenjen je svim utenicima lV-Vlll raz. osnovnc Skolc.

Listizlazi 6 puta u toku Skolske godine i to l. X, 15. XI, l.l, 15. ll, l.lV i 25. V.

3. Godi5nja pretplata (za svih 6 brojeva). iznosi 40 dinara. NaruCiocirna za vi5c

od l0 komada odobravamo rabat (2O'%, l5'% lO%,), zavisno od roka tlo kttjcg sc

isplati celokupna pretplata (1. XII. l.III, l. Vl). Nikakvi drugi odbici nc uva2av:tju sc.

NarudZbine se mogu vrsiti samo pismenim putem i Salju sc satno ncposrcdno

na adresu lista. Novac za sve narudZbinc se Salje na liro-ralrrn Mrtemrrtl{kog liste

broj 60806-678-14627.Pri tome treba obavezno navesli ltt(nu utlrtsu n r koju Iist trctra

dostaviti i jasno naznaditi na Sta se narudZbina odnostro uplata osnodsi.

NarudZbine na manje od l0 primeraka lista isporu'Jju sc sarno po izvrlenojprctplati. Ostale narudZbine treba da budu ispla6ene najkasnijc na 90 dana po pri-jemu prve isporudene po5iljke.

Obaveitenja se mogu dobiti preko telefona redakcije, tr. 0ll-638-263.

4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1968169. god. (br. lll, l-5),5k. 1969/70. god. (br. IV, l-5), Sk. 1970/71. god. (br. V' 3 i 4),Skl. l97l 172. god.

(br. vI, l-5),5k. 1972173. god. (br. VII, l-5), Sk. 1973 174. eod. (br. vlll, l-5),3k. 1974175. eod. (brIX, l-6),5k. 1975/76.god. 1br.X, l-4,6)sk. 1976177.god'.

(br. XI, t-6) i Sk. 1977 178. god. (br. XII, l-6). Od ovih godi5ta prodaju se: go-

di5ta III, lV, VI i VII po sniienoj ceni od 10 dinara za komplet, godi5ta V po ceni od

4 dinara i godiSta VIII, IX, X, XI i XII po ceni od 15 din. Zbirka re5enih zadatakasa matematiekih takmiEenja udenika osnovne Skole moZe se dobiti po ccni od 20 din.

5. Mole se poverenici Matematitkog lista da izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slati iskljuiivo na adresu:

Matematilki list, Knez Mihailova 35/IV' p.p. 728, ll0l Beogrei

SADRZAI

l. M. Mrmak: Funkcije i relacije

2. D. MiloSevi6: O rastavljanju tupouglog trougla ..:....3. B. Derasimovli: RazloZiva jednakost mnogouglova

4. Zadaci za proveravanje stedeno! znanja .

5. Zadaci sa republidkog takmidenja udenika osnovnih Skola SR Slovenije

6. Re5enja konkrusnih zadataka iz ML XIII, 5 . . . .

7. Spisak reiavalaca konkrusnih zadataka iz ML- 1,2, 3, 4,5 ...... ..8. Nagraeleni i pohvaljeni re5avatelji konkrusnih zadataka

l6l168

l7l177

t82184

189

195

9. Rezultati konkrusa za nagradni zadatak br. 6l . 199

10. Rezultati konkrusa za nagradni zadatak br. 62 . 2Ol

ll. Mi smo ih reSili-

a vi? 203

12. Anegdote iz istonje matematike zOs

13. Neke matematidke po5alice 208



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATICKI LIST

zs uEenike osnovDe Skole

God. XIII, broj 6 (1979)

Izlazi Sest Puta godi5nje

IZ;DAJE. DRUSTVO MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p.9. 72E.

Urcdnici:

Plaron Dimit i Miroslav 2ivkovit

Redakcioni odbor:

Bogumila Kolenko (Ljubljana), dr Zeliko Pauie (Zagreb),

Kosta Mijatovl (Sarajevo), Danilo Siepanovii (Titograd),

Duiko KovaEev (Skopje), Velimir Sotirovit (Novi Sad),

Vladimir Stoianovit (Beograd)

Glavni i odgovorni urednik: Miroslav tivkovit

Sva prava umnoZavanja, prestampavanja i prcvodenja zadrLava

Dru5tvo matematiEara, fiziEata i astronoma SR Srbijc

Oslobodcno placanja porcza na promet na osnovu rcsenja Republidkog sekretarijata

za kulturu SR Srbije br. 413-186'03 od ll. l.1973. godine

s..p.' B."gt"dtki ttd.""&"{t"flekt 2"@ ut. rz

Mr Mirjana Mrmak (Beograd)

FUNKCIJE I RELACIJE _ NE SAMO NA SKOLSKOJ TABLI

Kao Sto je poznato, relacijom se iskazuje odreden od::ot^ izmedu

elemenata jednog ili dva skupa na taj nadin Sto t" elementima jednog

skupa (taj skup se

"";i;t;;ilij-piiotuzulu po pravilu te relacije ele-

menti istog ili arugog'sl;J"- frtJ:i'* naziia skup vrednosti)' Funkcijaie ooseban sludaj relacije u kome je ispunjen usiov da se svakom ele-

';.fi;i;;iili p;i;;'i;d".;; i":d;o leain erement iz njenog skupa

vrednosti.

U ovom djanku prikaza6emo neke orimere funkcija i relacija

koie skoro ,uukodn"JnJ t'itt"?"t" i tgJi*?t se koristimo' Cilj nam je

til;;il; il;i.;i;ii',';ono'no relacijskl veze opisemo jezikom mate-

matike - simbolima i predstavimo crtezom'

Primer l. Prema poslednjoj- po5tanskoi tarifi za pisma te5ka

do 20 g, ukljuduju6i i pfii"-"d'Z'o !' pla6a se po5tarina od'2

dinara;

;;;"i"j;-* t'"zu"a'iti-g

i-na;vis;-tize 50 g pla6a se 2J^dinara:' za

oisma te5ka do 50 g a; 106 g - z dinara; ta-pismu od 100 g do zak-

fi1ffi't"t'ffi: ilil;';i'? pi'-uoa tiO

edo 200 s

-3'7s dinara'

Odigledno da ovde postoji odredeni. odnos ili zavisnost izmetlu

vrednosti ,rou"u oor"dJioi""u'postutinu i teZine pisma' Kakva je ta

zavisnost?

Koriste6i navedene podatke moZemo ovu zavisnost matematidki

opisati na sledeci""ei".-r.,r'"1#-v.eonost

postarine p, a teLina pisma r'

tada je:

,: rr:{2 din.za Og<t<2Oe2,7 din. za 2O g < t<50 g

3 din. za 50g < t<l00c3,4 din. za l00g < t(150g

3,7 din. za 150 g < t5200 e

Akoseukoordinatnomsistemunaapscisnoiosioznadevrednostiza t, ana ordinatnoj ;il;;'i';;p' gtafiri uete p:7,7t7 iskazuje-sl' l'T;6r.":" p.tp"a"it';;;; ttuju i*t" duZi posebno su istaknute'

da bi se naglasilo o" t3itt""!-l99idinate 119u";*" uslove ollYnt u

vezi p:f (t). Na p.imei,iadki dija je apscisa t:100 odgovara ordinata

p:3, ane 3,4. Nui*.,'i"litu ;;d;i tarifi za pisma koja teZe tadno

16r



100 g plaia se po5tarina od 3 dinara, a ne 3,4 dinara. Da je u pitanjutaj sludaj, zbog jasnoie grafidkog rumadenja veze p:f Q) bila bi po-sebno istaknuta tadka koja pripada levom kraju odredene duZi.

Zadoci: l. Proditajte sagrafika kolika je poSta-rina za pismo: a) I50 g;b) t5l g; c) 180 g.

2. a) Odrediteoblast funkcije

iz primera l.b) Kolika je

vrednost funkcije u tae-kama gde se njen grafikprekida? Zaito?

3. Cenovnik zaprevoz prtljagl (do l0kg) Zeleznicom dat jesledeiom tabelom:

km dinara zal0 kg

monetauautomatiosiguranogvremenaparkiranja.Dalitayezalz-i"Ziri funkciju ;1; t.lasiju? No, pre odgovora, iskaZimo ovu vezu u

obliku y:f (x) i nacrtajmo grafik.

Ako se vrednost moneta obe-

leZi sa m, a duLina osiguranog vre-

mena parkiranja sa P, tada je

za.0

min<p(15 min

za 0 min<p(30 min

za 0 min<p(45 min

za 0 min<p(60 min

r I din.

| , o,n.m:Ib):(l3dinl. o o,n.

a) lzrazite ovu vezu u obliku.y:/(x) i nacrtajte grafik.

b)Uporedite nacrtani grafik sa grafikom na sl. 1! Sta zapalate?c) Da li odnos velidina u ovom zadatku predstavlja funkciju ili relaciju? Za5to?

Primer 2. U mnogim gradovima postavljeni su parking-satovi, kojisluin za naplaiivanje parkiranja nekog vozila. Ima parking satovakoji su pode5eni ovako: ubacivanjem I monete u vrednosti I dinaraobezbedeno je parkiranje za 15 minuta ; dve monete od po I dinara za 30

minuta; tri monete od po I dinara - 45 minuta; detiri monete od poI dinara - pun sat. NeiskoriS6eno vreme parkiranja automat naplaiuje.Zato svaki vozad unapred predvida za koje vreme ie parkirati vozilo.A, ako je neko imao sre6u da se parkira d-ok jo5 traje upladen iznos zavozilo koje je pre isteka vremena napustilo parking

- tim bolje! I uovom primeru uodava se izvesna zavisnost izmedu sume ubadenih

t62

a grafik prema ovom opisu predstavlja sl' 2'

Dalijelovomprimeruredofunkcrjiilirelaciji?odiglednoda je u pitanju relacija, jer jednoj. vrednosti iz domena nezavisne

pioine"f;iue 6dgouuru-niSe vreOnosii iz oblasti zavisne promenlj;vs.

Zadaci:l.Nacrtajtegrafikkojipredstavljasituacijusapark-iranjemizpret-hodnog primera, ru to- .iiiio* ii<i ubtae nalion isteka svakih 15 minuta produ-

;il.;;;;;;irira"iiuuuii";;i;-p; I dinar vise. Da li se u ovom sludaju radi o

relaciji ili funkciji?

2.NekoZelideostavi'kolanaparkingu40minuta.Kolikonovcatrebada ubaci u *toaut opisan u primeru 2? Kako sve moze osigurati vreme par-

iiranju? Koji nadin je za vozala pogodniji?

Primer3.AkopaZjivoproditateobave5tenjepretplatnicimanaoolertini ovos broia tvfatimutietog lista, videdete da se daje izvestan

i.p"rt ako j-e broj porudenih kompleta ve-ci od 10. zadrLagemo se na

If":e":.i pop"rtu"d

zOy. Znali, za sva.ki kompler do l0.komada po-

;;iil; dt'pru*i 40 dinira, a ako porudi vi5e od l0 kompleta, onda ie

za svaki platiti 32 dinara.

Iuovomprimeruimamosludajzavisnosti-zavisnostipotrebnog,ron"u iu pr.tpiutr, (n) od broja porudenih kompleta (k)'Ona se iz-

rai'aYa':

n:I4ok za o<k<lo

:f{D:ln* za lo<&S85ooo

Vei iz ovog prikaza se vidi da je u svakom razmaku vrednosti

n"u"iroo

pronlJn5i"" ova funkcija direktno proporcionalna. Intere-

I - 50 zakljudno50 - I0O zakljudno

100 -150 zakljudno

150- 250 zakljudno

2,80

3,30

4,30

5,70

st. 2

163



santno je, takode, da nezavisno promenljiva uzima vrednosti iz skupaprirodnih blojeva od I do 85 000, jer je tiraZ ovog lista upravo toliici.Zato i pri crtanju grafika (sl. 3) treba obratiti paZnju na oue dinjenice.

sl. 3

. Zadaci: l. Za5to je grafik funkcije u primeru 3 sastavljen od niza talaka?Koliko tih tadaka ima?

2. Sastavite sami zadatak, sliEan zadatku u primeru 3, koristedi oba-yg5t.eq19 pretplatnicima Matematidkog lista, ali kad se radi o popustu od,: a) l5"l;b) 1o%.

3. Da li biste mogli da ovakav uslov za pretplatu iskoristite, pa dan_apravite takvu porudZbinu po kojoj bi se 2 kompleta dobila potpuno besplatno?Koliko novca treba poslati i za koliko komada treba da glasi porudzbina? posmatrajtepaZljivo grafik na sl. 3!

Primer 4. U nekim dr?avama loZ ulje se prodaje uz popust prikupovini veiih kolidina. Tako, na primer, do 5 litara zakljuEno kupacplata ajedinidnih vrednosti po litru; od 5 litara do l0 litara zaklju8nob jedinidnihvrednosti po litru i od l5litara pa na vi5e c jedinidnihvred-nosti po litru. Sasvimje razumljivo da je zbog popusta a<b<c. Ako sa aobeleZimo kolidinu loZ ulja, a sa y vrednost novca koji se uplaiuje prikupovini, onda se zavisnost izmedu v

iz iskazuje:

Grafik ove funkcije predstavljen je na sl. 4'

sl. 4

Zadaci:1. Da li je zavisnost u prethodnom primeru funkcija ili relacija?

2. Za(to je grafik sastavljen od dve duii i jedne poluprave?

3. Ako neko ima rezervoar za loZ ulje velidine 15 litara' da li mu se

isolati da od prodavca tutt"uzi'ls,ilii"ta,"ipuni

su-oj tttttuo"t a ostatak prospe ili

iJtivi prooavc v? Zasto? obrazloZite!

4' Kako 6eS na grafiku odrediti koja kolidina ulja po vi5oj ceni ima

istuvrednost sa kolidinom tf.i" pt niZoj ceni? Pronadi takve vrednosti!

Primer 5. Pri popisu dece u jednom gradu kod imena deteta ne

,turlj"gol iodine dana'ufisuje se 9io.;0.;kod deteta izmedu I i 2 godine

i"tTi,"8rj"eii-ono aet" f":g"tgg dana ima tadno I go;inu) broj.l; iz-

ii.a" z i-l g"dine (ukij;;ju6i I decu od tadno 2 godine) broj 2 i tako

dalje.

Ako uzrast dece obeleZimo sa s, a broj koji se pridruZuje sa D,

tada je:76 2a Q<s<lI t zz l1s<2

t:f (i:l2 za 2<s<3l3 za 3{s<4(+ za +<s<5

itd.

Grafik ove funkcije sastavljen je od niza paralelnih duZi (sl'

51. OUralite paZnju na tadku u- levom kraju svake duZi' Za5to su

one posebno istaknute?

(auzaOl <,:I@):1 bu za 5 t 1

l"u ,u z>15 I

u<5 I

u<15 I

t64 165



Grafik ove funkcije odgovaradava u matematici i obeleZava se

ceo broj koji ne prema5uje realan

Zadaci:l. Za5to na grafiku funkcije iz primera 6 nema posebno oznadenih

tadaka na krajevima duZi?

2. Nacrtajte grafik funkcije !:-!ienx i uporedite.grafik sa grafikom

iz primera 6. OpiSite iz lakvih geometrijskih figura se onr sastoJe' zaslo'

Primer1.PriraznimtemperaturamaduZinaZivinogstubaseTenja:rri temperaturi od {t; c ubaljenost najvise tadke Zivinog stuba od

;i.l;";ij

fodeljakaskale; pii'temperaturi od -4'c ta udaljenost

;;';;ils; taeie zivono; ;4"b"''.t1"Ji 4 podeljaka skale it9' li?'\llll:;;n;ar; i5 podeljaka"ispod i 15 podeljaka iznad nule. uspostavr

vezu izmedu timperature i duzine Zivinog stuba'

Ovaj zadatak odgovara zadatku odredivanja apsolutne vrednosti

nekog broja x i defini5e se:

grafiku funkcijesa [x]. Oznaka [x]broj x.

koja se prou-znadi najve6i

x za x>O

O za x:O

-x za x<O

Grafik te funkcije predstavljen je na sl' 7.

/(')= I 'l:{Zadaci:1. Nacrtajte grafik funkcije y:[x]. Obratite paZnju na oblast pro-menljive x!

Primer 6. U jednoj igri svi udesnici koji osvoje 5 i viSe bodovadobijaju po I dinar, oni koji osvoje manje od 5 bodova ulaZu I dinar,a oni koji osvoje 5 bodova niti Sta ulaZu niti Sta dobijaju. Broj moguiih

bodova iznosi od 0 do 10.

I ova igra moZe se opisati matematidkim simbolima. Neka poznalava broj osvojenih bodova a t vrednost novca. Znak - ima6c

ona vrednost novca koju igrad ulaZe, znak * ona koja dobija.

Dakle,

(+t za

t:Ib):| 0 za

l-r za\a grafik je predstavljen na

p>5

p--5

p<5

sl. 6.

Ova funkcija odgovara u matema-

tici tzv. signum funkciji (lat. signum-znak). Signum od nekog realnog broja x

(oznaka sign x) se definiSe:

( +l za x>o

,ign ,:) o za x:oI

[ -l za x<O

166

Zadaci:l.DalivezauprimeruTpredstavljafunkcijuilirelaciju?Zasto?

2. Uporedite grafik iz zadatka I sa grafikom na sl' 7' Sta zapaLate2

Kao Sto vidite, svuda oko nas ima funkcijskih i relacijskih odnosa'

Ali, da biste ih rupuoi,pitrebno je vi5e.raimi5ljati.i nastojati da se

ono Sto se udi u Skoli prepozna u situacrJama van n1e'

t67



[parory6 Mn.romesrh (Ilparuanu)

O PACTABJbAIbY TYIIOYTJIOI TPOYTJIA HAOIIITPOYTJIE TPOYTJIOBE

. V reoruerpuju, Kao r{ y MareMarr.rqu yorrrrrre, nua npo6neuaKOJr.r Cy qecTo BeoMa 3aHr.rMJbHBH, r,raKo Hr.rcy oA HeKor ocHoBHor, AaJre_KocexHor suavaja. To cy sagaqn rojn o6nqno wuajy y ce6u He.rer He-oqeKuBaHor u aa vlrje je peruarame florpe6ua, ilpe cBera, H3BecHa

Ao-Br.rrJbr{Bocr. OBAe heuo npuKa3arn jegau og nnx.Pev je, Har,rMe, o cleAeheu: la au ce c6aKu tayuoytnu wpoyiao

MoJree pacwaeuwu Ha cai4e owwpoytne tapoylnose u, aKo uocrce, rcojuje uajuarcu 6poj owilpoyl/tux utpoylnona Ha rcoje ce ceaxu utyuoyi,tu wpo-yiao aocrce paculaeuwu?

.{a 6ncvro oAroBoprlrru Ha oBo n}rrarbe, goxasaheuo najnpe 4ace cBarr{ Tynoyrnu rpoyrao Moxe pacraBr{Trr Ha 7 orurpoyrunx rpo-

ynroBa. Eno je4Hor og lroryhux peuerba.Hexa je ryn yrao rpoyrta ABC

(cn. l) ca reMeHoM y raqxn ,8. Vnucaheuo '

y rpoyrao ABC rpyxHuuy k (,S, r).I{enrap re KpyxHr.rqe HaJra3}r ce y npe-ceKy cuMerpana yrJroBa rpoyrta ABC.KoHcrpyucaheuo na

ryr(pyxHaqy

rau-reHryD.EraKo .ua 6yrc D€AB,EIACu AD: AE.Taxotle, xoucrpyucaheMo raH-

reyry FH raro Aa 6yg" Fe AC, HIBC u CF: CH. Cnojuher"rorIeHTap KpyxHr{qe c TaqKaMa B, D, E, F u H u nor(a3aheMo Aa cy cBr{x7 sacratux rpoynroBa, na xoje.qo6r.rjeHe Ayxr{ pa3Jraxy rpoyrao ABC,orrrrpoyrnu. Tpoyraonu ADE u CFH cy je4naroxpaxu rr orrrrpoyurr{,3aro rrrro cy 4A ur 4C (no npernocranqu) o[rrpn, AoK ocraJra ABayrna cBaKor oA rbux npegcrannajy rroJroBr.rHe AonyHa yruroBa 4A a{C Ao 180". Kaxo ocraJrr.rx 5 rpoyuona urrlajy saje.quu.rro reve S,ro je gonorHo flora3arr.r aa je jeaan oA rbrx orrrrpoyrnr, jep ce Ha clu-qaH HaqHH Moxe ro yrrl{HHTH r.r 3a ocraJla qerLIpH. ParuorpuheMo, Harlpr,rMep, rpoyrao ,BDS. Ilourro je ,BS cuMerpaJra yrna DBH, ro jeyrao D^BS orurap. Cr[.rHo ronae, uuaMo ga je E yrao .BDS orurap(DS je cr,rMerparra yrrl:- BDE).

Ho,yr.norn

ABC u BDE cy ryuu. HaocHoBy rora, 3axrbyryjenao aa je {DBS>45" u +BD,S>45.. 36orrora je +B,SD<90". 3uavu, cBu yruroBr,r rpoyura BDS cy orurpr{ r,npeMa roMe, Tpoyrao BDS je ourrpoyr.rru. Je,qHocraBHo ce Aona3u AoHcror 3aKJbyqxa H 3a rpoyrJroBe BSH, FSH, EFS u DES (4oxar cerpenytura .ruraoqy).

r68

CaAa hevo Aora3arlt joru 4a ce rynoyrnu rpoyrao He Moxe pa-

craBlrrH Ha Mabe og 7 0rurpoyrrHx rpoyrJloBa H ruwe 6n petuerbe

npo6reua 6Nro orouqano. Onaj gora: je 3HarHo re)KH oA nperxoA-

Hor, ar}I je nplo 3aHHMJbHB, na je upe4Ho Mano ce n noMyrIHTH'

Ilpernocrau,IMo Aa ie L, ABC rynoyrnu rpoyrao (ct. 2), ca ry-

nr{M yrJIoM y reMeHy B, pacrarner Ha m ou.lrpoyrJlnx rpoyruloBa,

rae je z vroryhe"ajr'la*u

6poj orurpoyrnnx rpoyrJloBa Ha xoje ce

tpoy.uo ABC-uorao pacraBl'ITl'r, a oKoMe 3a ca1a 3HaMo caMo Aa je

m47. I4s raqxe -B Mopa raAa IroJIa3urI'I

6ap jegua pacraBHnua npeMa yHyrparu-

rbocru rpoyrna ABC, jep 6n rauaue 6ap

jegaH og rpoyruroBa Ha xoje ce L' ABCpacraBJba ocTao rynoytflv, ca rynl'IM yr-

noM KoA B. Aro 6u ra PacraBHl{qa ,qo-

rfl4pana.qo crpaHl,Iqe AC (taxo Aa raqKa .S

,,[agHe" y raqKy M), ra4a 6u unn jegau

oA Hacranux rpoyrnoBa AMB u BCM6uo rynoyrlpt, Ytlrvt 6u o6a HacraJla rpo-yrna 6vra npaBoyrJll{. Ho, y upoolr cly-Yajy, Iro nPernocraBldH oA xoje cMo

A l"l C

Ctt. 2

CC

LILCr. I

rIouIJII,t, Beh caMo pacraBJbalbe ryrloyrJlor

Tpoyrura (AMB unu BMC) AoBeJIo 6u ao sajrnlalbe nHoBI'IX

olurpoyull{xrpoyrnoBa; a y .qpyroM cnyuajy o6a go6ujeua npaBoyrna rpoyrna

,o.ia 6u ce pacraBJbar.u nonohy pacraBH'ua roje 6n noJIa3LtJIe u3

TAlqKe M r{JrH TaKO Aa ce oneT Ao6[jy caMo [paBoyrJII,I TpoyrnoBlt, HItrl

TaKo .{a 6ap je.qan oA Ao6I'IjeHI'Ix MarbI'IX rpoyriroBa 6y4e-rynoyrnn, u

ro 6u oner ,qosero Ao rlporHBypeqHocru. 3uau[, TarIKa 'S He Jlex(u Ha

crpaHr4IILI AC rpoyrna ABC, ueh y rceronoj yHyrpalulbocrH'

.{ane, sarrytyjevo Aa lrs S Mopa uona3nrN 6ap 5 pacraonuua'

.(a ux je uane, He 6fl csla ourrpH yuroBll u:rvlefy cyceAnHx pac-raBHl{ua

*oattt, ca6paHH, Aa Aaiy 360". flpernocraBl'IMo JII{ naK ga ux je Mal(ap

"uto5, Aoxasahelvro ai, ocur"r raure S, y rpoyruIy He Moxe nocrojaru

jour uexa raqKa pa3rpaHaBalba P. Jep, Ka.4 6I'I ocI{M TarIKe S y rpoyrly-ABC

nocrojanajou HeKa TaqKa P roja 6U, xaO TaqKa,s, npeAcTaBJbaJIa

TaqKy pa3rpa1aBatba pacTaBHHqa, Mopano 6n uz P 4a nolalu 6ap 5

pacraBHlrl{a. Mefyruu, raqa 6u 6rlno 5 ourpoyrJlnx rpoyrnoBa caop*o"t y S u 6ap 5 ca npxovr y P. flpu roMe MorJIo 6u ce Aecnrn Aa

SP 6ynb pacranttnqa gea rpoyrna rcojr'r ce nox,rauajy' To 6u-3xarruro

Ea 5u ce IpI{JIHKoM pacraBJbau'a 4o6nlo Maxap 5+5-2:8 Tpoyr-

JroBa, a uo flperlocraBrlH l'{opa 6wru nt{1- .{,axle, yHyrap rpoyfJla

169



ABC ra\ra S je jegHHa raqKa pa3rpaHaBaba. To gnaqr ga xpajrretaure D, E, F u H pacravxnqa roje rrora3e rs S npuna4ajy crpanu-uaMa rpoyrna ABC.

Ha crpaunqu AB uatazn ce Hajnnure je4Ha oA Tnx rarara, rj.raqra D. la ux je auure, janwo 6n ce 6ap jegax rynoyrJrri rpoyrao y3DS. Cnlr.rHo roMe, Ha BC ce,HaJra3n cauo jeAHa rarsa raqxa

-F/.

Ha crpaHuqtr AC y,e Moxe ce Hara3l'rrtr Br{ule oA ABe raKBe ra.rre rj. neMoxe ce Hara3urr nn je4Ha raqKa ceM TaqaKa E m F, jep 6n oner,

aa nuje raro, 6ap je,qaH og rpoyrnoBa y: SE nln SF 6no ryuoyunHnlr rpaBoyuu. flpouua3n Ea D uopa 6urnua AB (D*A), E u Fsa AC n H Ha BC (H*C).

Ha xpajy ynnfarnro Aa y rpoyrny Mopa nocrojarn 6ap 5 rpoyuoraca reMeHoM S n Ana rrerBopoyrna AESD u SFCH. Oan ,rerropoyrnuHe Mory 6nrn pacraubeHrr Ha Marbe oA no ABa orurpoyrna rpoyrna,rxro 3Haqr{ Aa y qHraBoM AaroM ryloyrnoM rpoynry nua 6ap 7 our-Tpoyrnlx TpoyrnoBa.

Ilpeua roMe, npon3BoJbaH Tynoyrn[ Tpoyrao He Moxe ce pa-cTaBrrTr{ Ha Mabe o4 7 ounpoyrnr{x TpoyrnoBa.

3aaaqtl. .{ora:aru aa je npanoyrnf, Tpoyrao rroryhe pacraBr{Tx xa xajrraarre 7

oruTpoyrn[x TpoyrnoBa.

2. ,(,orararn Aa ce orrrrpoyrnn rpoyrao Moxe pacraB[Tn rr Ea nrarre og 7orrlTpoyrnnx TpoyrnoBa,3. Pacrannrn pcv6 xa caMe orrrrpoyrne rpoyrnoBe.

HAIIOMEIIA

KaAa ce na rcpajy rrrorrcre roArue yqenmu narpa[yjy Krbma-Ma 3a nocTnrtryTf, yctrex, troAecHo je 4a ce AodpnM MaTeMaT[qapf,Ma

Atiy MareMarnqKe Krbf,re.Kao Are gatrcra noAecge Krbrrre ra narpafrnarbe yqer[rca ocnoB-

arx rmconl Mory ce trpelopyqnrf, c.rcAehe ABe Krbrrre HaIuer asAarba:1. J. IIepe.rMaH: 3anruJbrrBa reouerpnja (crp. 284, ueua 50ann.)2. B. Crojanosnh: Oga6pann 3aAaq[ ca MareMarrr.ncf,x raruf,-

qeba sa yqenrxe ocnoBmx rrrroJra (II npomnpeno tr3Aarbe, qena 2O,ryf,.)Kano ce Krbllre ra narpa[nnarbe yrennra rcynyiy obnrno npeg

cau rpaj urKoJrcKe roArrue, KaAa HeMa Bf,[re BpeMeHa 3a Bprrrerrenopyqdnna r qercarbe ra rbnxoBy rcnopyKy, ro npenopyryjeMo urK(Faalra cre.qehe: Aa llpeKo HacTaBHnKa MaTeMarf,Ke mpyqe KoA Hac[3Becran 6poj onnx Krbrrra Beh caAa, c rHM Aa Hclnary [3Bpure rerIlo 3aBprueTKy rrrKoncKe foAIlHe, i To 3a oflonnKo trp[MepaKa KoJIIlKo

6yAe no.qene[o yqe[f,rl[Ma, a treytrorpe6reue trplrMepne Bpare.

170

RAZLOZIVA JEDNAKOST MNOGOUGLOVA

Branka Derasimovid (Beograd)

Problem razlaganja nekog mnogougla na delove od kojih se zatim

moZe sastaviti neki drugi mnogougao veoma je star. Njime su se bavilive6 u antidkoj Grdkoj, traktate o tome pisali su i arapski matematidari,

dok nije konaEno reSen u prvoj polovini pro5log veka skoro istovremeno

od strane madarskog matematidara Baljaija i nemadkog matematidara

Gervina.U Skolskcim kursu rastavljanje mnogougl.ova na delove prvi put

se pojavljuje kod izradunavanja povr5ine kosouglog paralelograma.

Posmatrajmo paralelogram ABCD Gl. l). Ako od njega odvojimopravougli trougao AED (EDLIB) i smestimo u poloZaj s njim podu-

6 darnog trougla B,FC, dobi6emo pravo-ugaonik EFCD. Paralelogram ABCD ipravougaonik EFCD sastavljeni su od

istog trapeza EBCD i od trougla AED, od-nosno od s njim podudarnog trougla BFC,

pa su im zato povr5ine jednake. Ta okolnost se koristi za izvodenje ob-

iasca za povr5inu kosouglog paralelograma, podto je prethodno vet iz-veden obrazac za povr5inu pravougaonika.

Ovakve ravne figure kao 5to su kosougli paralelogram ABCD i

pravougaonik EFCD, od kojih se svaka moZe rastaviti na delove koji su'iedom, podudarni sa delovima druge figure, nazivaju se razloZivo jed-

nakim.U prvom delu ovog dlanka bi6e izneti izvesni primeri razloiive

jednakosti mnogougaonika, a u drugom njegovom delu biie izloZeno

nekoliko teorema koje se odnose na razloiivrtjednakost mnogouglovauop5te.

Primer l. - Svaki tougao moZe se rastaviti na delove od koiih se

moZe sastaviti paralelogram.Neka je F sredi5te stranice AC tro-

ugla ABC (sl. 2). Nad duZima AB i AFkonstruisaiemo paralelo gram ABDF, Eija

stranica DF sede stranicu BC trougla uta6ki E. Trouglovi FEC i DEB su podu-

darni, jer su im jednake stranice DB i FCi po dva ugla. Trougao i paralelogram se,

prema tome, mogu rastaviti na jedan tra-pez i na po jedan trougao koji su medu-podudarni.

17l



Primer 2.-

Dati trougao moie se rastaviti na delove od kojih se

mo2e sastaviti pravougaonik.Neka su K i Z sredi5ta'stranica AC

i BC trougla ABC'(sl. 3). Prave kroz Ki L, normalne na prawt AB, seii 6e ABu tadkama D i E, a pravu kroz C, para-lelnu sa pravom AB, u tadkama F i G.

Lako je utvrditi da su trouglovi ADK i

CGK i trouglovi BEL i CFL po parovimapodudarni, pa se i trougao, i pravougao-nik mogu rastaviti na jedan petougaonik

(DELCK) i na po dva trougla, od kojihje svaki od onih koji pripadajutrouglu podudaran sa pojednim od onih trouglova koji pripadaju pra-vougaoniku.

Ako pak na pravoj KZ odredimotadke D i E tako da je DK:KM i LE::LM, gde je M podnoije normale po-vudene iz C na i(Z (sl. 4), dobi6emo pra-vougaonik ABED. Lako se dokazuje daje L,AKD-.MCK i LBEL-L.MLC, itoznadi da je od delova na koje se moZe ra-

taviti trougao ABC mogu6e sastaviti pravougaonik ABED.

Primer 3. - Dati lrapez moZe se rastaviti nq delove od kojih se

ma1e sastavili: a) trougao; b) paralelogram; c) pravougaonik.

Nadin rastavljanja trapeza prikazan je na sl. 5, 6 i 7.

D C F HD C o

Zadati osmougao koji ima oblik tirilskog slova C. Sirine 2a

i visine 3a moie se rastavitl na dva pravougaonika sa stranicama a i 2a

i nu:.4u" kvadrat sa stranicom c, kao 5to je to prikazano na sl. 8.

AD Est. 3

2a

st. 8 sl. 9 sl. l0 sl. ll

Ako pravougaonike podelimo dijagonalama na trougloY.e' od dobijenih

a;i;; mo;e"mo sloZiti kvadrat kio Sto je to predstavljeno na slici 9.

ZadatiosmougaomoZeserastavitinadetiripodudarna.dela,kaoSto .ie to piedstavlje-no na sl. 10. Od ta detiri dela moZe se sloZiti pra-

vougaonik, kao Sto se to vidi na sl. ll'--'ir"-u tome je dati osmougaonik razloZivo jednak i sa kvadratom

na sl. 9 i sa pravougaonikom na sl' ll'

Primer 5. - Figura predstavliena na sl' 12, koiu naziuoiu >grdkikrst<<, moZe se rastuvti na delove oa foiin je mogute sastaviti kvadrat'

Ovo moZemo izvr5iti na dva nadina'

Pre svega, pada u odi da, ako se na figuri prikazanoj na^sl' 12

spojeternena",l.'ic,CiE,EiG,'Gil, dobijene duLi AC, CE' EG' GA

;i;;"j; od >grekog krsian svaka po jedan pravougli trougao' froj!su

r"i -.1ittoUn6 poJudarni, a podudarni su i sa trouglovima koji se

BFAsr. 5 sl. 6

E B AE F 8sl. 7

Tadke M i .l/ predstavljaju na svima slikama sredine strana ko-

jirna pripadaju.Prepu5ta se ditaocu da sam dokaZe tadnost navedene twdnje.

Primer 4.- Osmougao predstavljen na sl. 8 (ondosno l0) moie se

rastaviti na delove od kojih se moie sastaviti: a) kvadrat ; b) pravougaonik.

t72 t73



T

javljaju izmedu ovih duZi i stranica >grdkog krsta<<. Stoga, kad se ovitrouglovi >odseku< od >grdkov krsta<, pa se prikljude dobijenom os-tatku pomenute figure tako da ))popune( uglove kod M, N, P i Q, do-bija se kvadrat ACEG koji se sastavljen od delova grdkog krsta.

Ali do ovog se kvadrata moZe do6i i na drugi nadin. Jer ako sedata figura presede po duZi RS (sl. l3), koja prolazi kroz teme .|y' ispaja sredi5te duZi BM sa sredi5tem d:uii DE, i po duZi lfG, onda se

>grdki krst< rastavlja na 4 dela, od kojih se moZe sklopitikvadrat IJKL.

Samo po sebi se razume au ,lur." dva razloZivo jednaka mnogo-ugla imaju jednake povr5ine, po5to su sastavljene od istih delova. Alise sad pred nas postavlja teLi zadatak: zapitademo se da li su dva mno-gougla jednakih povr5ina uvek razloZivo jednaka? Na ovo pitanje je,kao Sto smo to ved naveli, dobijen konadan tada.n odgovor tek podetkomproSlog veka i on glasi: Svoka dva jednaka mnogougla uvek su rozloZivojednaka. Ali dokaz ove tvrdnje je dosta sloZen i teilak, i zato 6emo semi ovde zadrilati samo na slededem: dokazaiemo da su svaka dva jed-naka paralelograma uvek razloZivo jednaka, tj. da se svaki od njih moZerastaviti na delove od kojih se moZe sastaviti onaj drugi.

Da bismo dokazali ovu teoremu, moramo prethodno dokazatisledede dve pomodne teoreme (leme).

Lema 1. Ako je figura A razloZivo jednaka sa figurom B, a figuraB razloiivo jednaka sa figurom C, onda je i figura A razloiivo jednakasa figurom C.

Dokaz. Ako figuru ,B podelimo istovremeno i na delove od kojihs9 moZe sastaviti figura A, i na delove od kojih se moZe sastaviti figuraC, onda ie ona biti izdeljena na delove od kojih se moZe sastavjti i{igo.u I i figura C; a kad se od sastavnih delova figure A moin sklopitifigura C, onda su te dve figure razlolivo jednalie.

Kao najprostiji primer za .ilustraciju tadnosti ove teoreme mo-Zemo navesti sludaj razloZive jednakosti trougla i pravougaonika.

Ako trougao ABC ruzdelimo na delove od kojih se moZe sastavitipravougaonik DEAG (sl. 3) i na delove od kojih se moZe sastavitipravougaonik ABED (sl. 4), t^j & trougao biti izdeljen na delove

t74

l*mt 2. Dva paralelograna iednakih osnovica i iednakih odgova'rajuiih visina razloZivo su iednaki.

Dokaz. Neka su osnovice i odgovarajude visine pravougionika

ABCD (sl. 16) i Ap1C1D1 Gl. l7), dije-osnovice lein na istoj pravoj,

po pretpostavci metluiobno jednake. S obzirom na to ova dva pravo-

ugaonika imaju jednake Povr5ine.

Izdelimo sad svaki od dva pravougaonika ira delove onako kao sto

je to prikazano na sl. 15 i sl. 16: neka je4E^llBlCJ i. BIF\ll4l;

neka je ErllAB i EflllA$r; i neka je CGll{Dr i D$llAD'

1,2,3,4,5 onako kao Sto je Prikazanona sl. 15. Svi ti delovi ulaze u sastav

pravougaonika DEFG, i u sastav pr.av9-

ugaonika ABED, Sto znaEi da se od de'

1o1a prvog od njih moie sastaviti onaj

drugi, i obrnuto, tj. za su ovi pravouga-

onici razloiivo jednaki.

ASt.te B A1 Sr.

Lako se dokazuje da je:

L ABE:L' ABfl;L, AEF=L' B1E1F1;

L ECG:b' GDfl;

FGCD:GfirCrDr.t81t7

Prema tome, iz delova paralelograma ABCD moie se sastaviti

paralelogram AlBrCtDt 5to znadi da su ova dva paralelograma

razloiivo jednaki.

Teorema. Dva proizvolina paralelograma iednakih povriina su

razloZivo iednaki.

Dokaz. Neka su dva paralelograma ABCD (sl. 18) i A1B1C1D1

(sl. 19) jednakih powsina. u tom sludaju je proizvod osnovice.a i.visinei p*6d paralelograma jednak proizvodu osnovice a1 i visine 14 drugog

paiatel6grama. konstruiSemo tre6i paralelogram AzPz9zDz- tako

ia je llA2:AB:a, A2D2:trtpr:ar r da je visina: .k9j1 odgovara

sha;ici- izB, paralelogrlma- A2B2C2D2 jednaka visini ft paralelo-

sl. 15

C

t75



grama ABCD. Tada ie visina koja odgovara stranici B2C2

lelogranra biti jednaka visini i1 paralelograma A181C1Dypo pretpostavci, a. h:at . hr

ovog para-po5to je,

9z

A4

st. 19 sl. 20

Dakle, paralelogram A2 82 C2 D2 ima jednaku po jednu stranicui njoj odgovaraju6u visinu sa svakim od paralelograma ABCD i APrCrDrpa je, s obzirom na lemu 2, razlolivojednak sa svakim od njih. A po5tosu dve figure koje su razloZivojednake sa tre6om figurom i medu sobomrazloZivo jednake (lema l), to su i paralelogrami ABCD i A1B1C1D1razloZivo jeCnaki.

. Zadaci

1. Pokazati kako se moZe figura ABCDEFGHIIK (sl. 2l) rastaviti na deloveod kojih se moZe sastaviti kvadrat.

2. Pokazatt kako se moZe figura AEFCGD, sastavljena od kvadrata ABCD iBEFG (s1.22), rastaviti na delove od kojih se moZe sastaviti kvadrat.

sl. 2l sl. 22

3, Pokazati kako se figura na sI.23 moZe rastaviti nasastaviti kvadrat.

t76

ZADACIZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

IV RAZRED

a

sl. l8

Varijanta IDELJENJE. OSOBINE DELJENJA.RAZLOMAK. UPOREDTVANJERAZLOMAKA. UCAO. TROUGAO

1. Deljenik je 943, kolidnik 62 i osta-

tak 13. Kolikije delilac?

2. Mesto * upi5i cifru tako da broj3692* pri deljenju sa ?5 ima ostatak:

a) l; b) 2l; c) 3; d) 23.

3. Zaito se deljeqie brojem 25 moiezameniti mnoZenjem deljenika sa 4

i deljenjem tako dobijenog Proiz-voda sa 100? Koja osobina deljenjaje ovde primenjena? Takvim Pos-tupkom izradunaj:

a) 1350 :25;b)4375:.25c)7225 :25.

4. Jedan krug je podeljen na tri jed-

naka dela, a zatim je svaki deo Po-deljen joS na detiri jednaka dela.

a) Na koliko jednakih delova je Po-deljen taj krug?

b) Koliko takvih delova ima u Po-lovini, treiini i detvrtini kruga?

5. Sta je duZe:a) polovina olovke duZine 3 cm ili

treiina olovke duZine 6cm;b) polovina olovke duZine 1 dm ili

irecina olovke duZine 6cm;c) polovina olovke od 6cm ili

treiina olovke duZine 9cm;d) polovina olovke od 9cm ili

ireiina olovke duZine 6 cm?

6. Nacrtajte tri ugla sa zajednidkim

temenom i dva ugla sa zajednidkimkrakom'

7. Nacrtajte dve Prave AB i CD i obe'leZite sa Mnjihovu zajednidku tadku.

Koliko uglova one odreduju?

8. Podvucite tadne odgovore:

a) Trougao moie imati dva Pravaugla.

b) Tiougao moie imati dve stranicejednake.

Varijanta IIDIJELJENJE VISEZNAMENKAS-TOG BROJA DVOZNAMENKAS-TIM. EITANJE I PISANJE RAZLO-MAKA. JEDNADZBE I NEJED-NADZBE. TRANSLACIJA EETVE-

ROKUTA. PRESJEK PRUGA1. Djelitelj je 38, kolidnik 326, a os-

tatak: a) 7: b) 37. Kolikije djeljenik?U0ini pokus!

2. UmnoZak dva broja a i b je35376-

Ako se faktor a zamjeni sa 76, a

faktor b ostane nePromjenjen, um-

noZak se Poveia na 70 752. Kolikisufaktoriai6?

3. lzrazi razlomkom plo5tinu trokutaADCkao dio Plo5tine Pravokutnika:a\ ABCD; b) STMC', c\ RPUC.

CDMU

AJ

Rsl. l

4. Zasvaku od nejednadZbi x :4> 100

i x :4<100 napi5i bar detiri rje5enja

uz uvjet da x PriPada skuPu Prirod-nih brojeva. Koja nejednadZba ima

bogatiji skup rjeSenja?

5. U jednadZbi l74o-47x:37 t, od'redi x ako je t:14. Udini Pokus!

6. Nacrtajte detverokut MNPQ' pa ea

translatirajte za vektor i Sto j"slika detverok$a MNPQ2

7. Nacrtajte kvadrat ABCD pa ga tran-

slatirajte za vektor D-i, a zatimtranslitirajte dobijen-u sliku kvad-

rata za viktor AB' Sta je konadnirezultat?

8. Nacrtajte dve pruge iste Sirine takoda se sieku! Presjek je detverokut'Sta znate o niegovim stranicama?

Zadaci su pripremljeni u dve varijante zbog rasliditosti u nastavnim pro-

sr. 23

delove od kojih se mole

gramima i planovima na5ih republika i pokrajina't77



-

. ZADACIZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZRED

Varijanta IDELJENJE U SKUPU Z. SVOJSTVADELJENJA. NEIEDNAEINE IJEDNAEINE U Z. CENTRALNASIMETRIJA. UGAO

1. Izradunaj: a) 73456:(-236):b)

-245684 : (-264)--

c) 346 899 : (-34672):

2. Ako se u kolidniku a : b:c(b*0), brojevi a i b zamene su-protnim brojevima, da li tada i c

treba zameniti suProtnim bojemda bi jednakost ostala tadna? Proveri na primerima!

3. Kog znaka je 7, ako je:1T 1'f

a\ " >o: b) -'<o?'s-8 '8-5

4. Koju vrednost mora imati m da bibrojevna vrednost izraza(5*z):3 bila: a) jednaka nuli; b)

manja od -5: c) veia od -10?5. Datom pravougaoniku konstruiSite

simetridnu figuru u odnosu na

tadku izvan pravougaonika.

6. Dat je ugao mOn. Konstrui5itesimetridnu figuru ovom uglu u od-nosu na tadku P koja PriPada unu-tra5njoj oblasti ovog ugla.

7. Konstrui5ite centar simetrije za

dve poluprave paralelne u suprot-nom smislu.

8. Da li moZe jedan od unakrsnihuglova da bude oitar ugao, a drugiprav?

9. Mogu li uporedni uglovi da budujednaki uglovi? Kako se tada zovu?

10. Da li susedni uglovi mogu bitikomplementni uglovi?

11. Da li dva ugla sa paralelnim kra-cima moraju biti jednaki uglovi?

12. Da li su dva ugla sa normalnimkracima uvck oStri uglovi?

Varijanta IIPRIDRUZIVANJE RAZLOMAKATOEKAMA POLUPRAVCA.MNOZETUE I DIJELJENJE DECI.MALNIH BROJEVA PRIRODNIM

BROJEM. PRETVARANJERAZ.

LOMAKA U DECIMALNI BROJ IOBRATNO

(l 31. Podskup skupa O je n:lZ ; 7:

l.

rl25:2=1 . PridruZi njegove elemente

JJtodkama na datom polupravcu (sl. l).

UE#

st. I

2.7,aokruii istinite tvrdnje i pokaZi

njezine ispravnosti:2 7 3 ll 2 l3

") , tzrb)-i<'12:c)

7> v.

3. Duljina stranice jednakostranidnog2trokuta je d lA, B):- 'dm.

J

a) Koliki je opseg jednakostranid-

nog trokuta koji ima ietiri Putavedu stranicu?

b) Izradunati opseg izrazi i mjernimjedinicama centimetar i metar.

4. lvica i Perica dobiju dnevno dZepa-rac svaki po l0 dinara. lvica dnevno

2

Varijanta I

ARITMETIEKA SREDINA. GUS.TINA SKUPA Q. JEDNAEINE INErr,onnelNE

-uQ. POVRSINA

TROUGLA I EETVOROUGLA

1. Na pitanje koliko ima godina,je-

dan matematidar je odgovorio:

,.Moj brat je 2 i Po godine starijiod mene, a moja sestra je 4 go-

dine i 3 meseca starija od brata.

Kada sam se rodio, mojoJ majcije bilo 20 godina i 8 meseci. Da-nas sam izradunao da je aritme-tiEka sredina na5ih godina 36 godi-na. Koliko je star matematidar,njegova majka, brat i sestra?

2. Navedi dva broja a i b koji se

nalazeizmedu brojeva 1, i,55a zatim jo3 Po dva broja koji se

53nalaze izmedu: a) i a b)

=i bl

'3 5

ir;o)f iD:e)aib.c)_)

uitedi od svojeg dZeparca

Ia Perica za manie od lvice.

l0Koliko potrosi:a) lvrca za 7 dana; b) Perica za 30

dana; c) lvica i Perica dnevno?3

5. Tijelo prevlli odredeni Put za,O

sata. Koliko ic Puta taj isti Putprcvaliti to tijelo z-a 3 sata 45 mi-

nuta?

5novca,

PrikaZi to na brojevnoj Pravoj.MoZeS li isti PostuPak Ponovitiu tako dobijenim razmacima bro-jeva2 ZaSto?

'3. Koju vrednost mora imati ! u brojevnom izrazu

t 5 8r\(t' ; -0.,, ),,-0,6),

da bi nje-

gova vrednost bila: a) nula: b) veia26

od -13; c) manja od ?9

4. Za koie x vaii da je istovremeno2x-t. l>8i2x+l>,-8a) istinito; b) neistinito?

5. DokaZite da su sredine stranicajednakokrakoE trapeza temena rom-ba-

178t79


VI RAZRED

VarijantallNEKA SVOJSTVA EETVEROKUTAS OKOMITIM DIJAGONALAMA

1. Koliki je kut I na sl. l? UPotPuniredenicu: Suma mjernih brojevaunutrasnjih... Cetverokuta je...

sl. I

2. lzraEunaj Plo5tinu trokuta ABC(sl. 2). Najprije konstruiraj visinu

iz vrha C na stranicu AB, a zalimpotrebne velieine za ploStinu izmjeri.

sl. 2 sl. 3

3. Treba izradunati osnovicu trapeza

c, iz poznate Ploitine ftaqeza4,95 cmz i velidina a:42 rnm'

lv:1- cm (sl. l).

2

4. Na oranicu oblika paralelograma

koja ima duljinu jedne straniceI

87 -' m. a duljinu visine koja Pri-2

pada toj stranici 43,2 m, Posije se

djetelina. Koliko se kilograma su-

Sene djeteline dobije iz jednog ot-

kosa ako svaki kvadratni metar1

daic- kg suSene djetcline?-4

5. Zzdane su velidine deltioda ABCD:

4B:7s", d(A,c)- 5,2cm,2d(B,C)--d(C,D)-3 5 "*-a) Konstruiraj deltoid; b)Upisi kru-Znicu deltoidu; c) lzradunaj ploitinudeltoida. Potrebne velidine izmjeri-




vn

Varijanta IKVADRAT BINOMA. RAZLIKAKVADRATA. KVADRATNI I KUB.NI KOREN. PRIMENA PITAGO-RINE TEOREME

1. Koliko ie A, a koliko B' ako je:a) (A x I BY)z :9 xz I 24xY * l6Y2 ;

Axz *2ABxy I Byz:(x-3y)z?2. Koliko je P, a koliko S, ako je:

a) Pz-Sz -- (7x-l) (7x* l) ;

b) 64-2522 :(P-S z) (P + Sz)?

3. Iz tablice:

'l t/; I f; -l t-s,srgrs 1 a1979ae2l e,5et66 | 4.51436

oo.eai

-) (-9,53939)2; b) (--4,51436)r;

c) /0,s2: a) Yt-oPlt'4. Iz tablice:

nlnzlnt--e _l-/fD6-

i 262144-65Jazzslzt+ozs

odredi:v- ^;

a1 1/+o,90; q | -zt+,ozs;c) -4,652 d) /40,96.4225.

5, Deltoid se sastoji iz dva jednako-

kraka trougla dija zajednidka osno-

vica ima duZinu 48 cm, a duZine

krakova su 25 cm i 20 cm. Izradunaj-

te njegovu PovrSinu.

6. Izradunajte obim i povr5inu pravo-

uglog trapeza ABCD ako su duZine

njegovih osnovica 15 cm i l0 cm'a- duZina manjeg kraka je 12 cm.

7. Poluprednik kruga je 25 cm. U tom

krugu konstruisane su dve paralelne

tetive dije su duZine 14 cm i 4 cm'

Izradunijte rastojanje izmedu ovihtetiva.

180l8l


VIII RAZRED

Varijanta IIPRIMJENA PITAGORINOG TEO-REMA I PRAVOKUTNT KOORDI.NATNI SUSTAV

1. Nacrtaj po volji dva kvadrata sa

stranicama a i b (a, b G Ri, zatimkonstruiraj kvadrat koji ima plo5-

tinu jednaku:

a) zbroju plo5tina zadanih kvadrata;

b) razlici ploitina zadanih kvadrata.

2. Zadan je pravokutni trokut sa stra-

nicanta a, b, c b, b, c €R). Pri-mjenom Pitagorina teorema PoPuniovu tablicu:

---

-r -- .-

I o(k,, | 0,, I I 6,4I-__ t-lt b(k,) I 3,6 I 5,3

|

I

\ ,@t | 8,8_l 1t _l

3. Hipotenuzajednakokradnog pravo'

kuinog trokuta je z (z Q R).

a) Izvedi forrhulu za izradunavanje

katete (k).

b) Uzmi za z:4,4 cm, Pa konstrui-raj taj trokut, izradunaj katetu'a zaiim proveri rezultat mje-

renjem.

4. Polumjer kruZnice k (S, r) je 1,5 cm,

a udaljenost od njezinog sredi5ta do

tetive iznosi I cm.a) Izradunaj duljinu tetive. b) Na-crtaj kruZnicu i tetivu i mjerenjemprovjeri rezultat.

5. Ljestve oblika slova ,4 visoke su

8,5 m, a Pri tlu razmaknute za

1,8 m. Kolika je duljina jedne straneljestava?

6. Todke.s koordinatama A (3)'

B(-32',, C(-4) i D(5,25) ucrtaj

na brojevni Pravac (P), a zatim

odredi udaljenosti: a) d (A, A;b) d (c, D); c, d (A, Dt.

Var.ijanta IOSNOVI{E OSOBINE I RESAVA.

NJE SISTEMA DVE LINEARNEipoNa.enqr sA DvE NEPozNATE.ibvnstxe I ZAPREMINA LoPTE.

OBRTNA TELA.1. Sistem jednadina

3 x-2,4 Y: -g, I | 8 x-o,2Y -- 9 zamenite

eivivaientnim sistemom tako da svi

koeficijenti budu celi brojevi'

2. Koji od uredenih parova je re5enje

sistemax-3v--7:0,5x-7Y:19?il <i,y):(-z,l); b) (v, x):(- z'f )iii <*,'ii:<r,-z); d) (.r, y): (2, -l)?

3. Grafik jednaCine ax*by:c prolazi-'taeio--f (-2,

-l)i Paralelan j-e

sa grafitorir jednadine 3x -l5y:15'

- Odredi a, b i c!

4. Odredi koordinate taike P koja is--'tovremeno pripada grafiku jedla'li"i si+lv:d i grafiku jednadine

7x-2Y:-1'5. Nad manjom stranicom pravou-gao--

ttitu konstruisan je polukrug' Izra-

1"""i F i I/ obr tnog teta koje nastaje

uto-."

Pravougaonik i P-olukrug

riiie" Ltb zajedniEke ose simetrije'

DuZine stranica Pravougaonika su

12cmi8cm.6. Ako se PoluPredmk loPte Poveda"

p"l potu,-toliio puta ie se povedati

njena zaPremina?

7. LoDta. Cija je duZina poluprednika

41'dni. Presedena je jednom ravnt

rJiie ie-o-dstojanje od centra 9 dm'

itraduna.lt" povrSinupresedenog

kruga.

8. Jednakokraki trapez dije su duZine

osnovica 15 cm i 5 cm, a duztna

i;;dn cm, obrce se ako kraie

osnouice' Izradunajte P i V nasta'

log obrtnog tela'

Varijanta IISUPSTITUCIJA, FUNKCIJE 1.

srupnrn, PROBLEMI, PR9JLCI:ctnnnrp, USPRAVNI srozAc IKUGLA

1. Izradunaj:a) 8azbl9, ako je a:3' 6:0;b) 3at +4a2+5c*6, ako ie a:-2;c) 4(x-1fl15, ako je x:7, Y:x+l'

2. Ispitaj radunski i grafidki da li todke:

a) A (r,-3);

b) a(-ll4' 0);

c) C (l/a, 0)

pripadaju ili ne funkciji Y:-4x+l'3. Naoi5i troznamenkasti broj dija je

znamenka desetica x (x € N)' sto-

iica nePosredni Predhodnik dese-

iice. a ieainica n-posredni sljedbe-

"it'O.titi...Zatim napi5i broj obr-

nutim redom znamenaka'

4. Plo5tina ttapeza je 147 cm2, visina

" i4A; ; r.utiik" utPot"dnih stranica3. Izradunaj usPoredne stranlce'

5. Konstruiraj pravilan Sesterokut. u

kruZnicu Polumjera 3 cm, a zattm

;;;;;;i"i u kosoj Projekciji, ako je

a:45", n:112.6. Jednakostranidan trokut sa strani--'

;;; i:q,z"^

rotira oko visine'

a) Nacrtaj mreZu nastalog rotaclo-

;;; iij"i;:. b) lzradunaj oPlosje

tijela.7. Treba nadiniti lijevak gornjeg pro-

mjera 12 cm i visine (bez nastavra)

8 cm.itiuiu.tui, a) Polumjer, luk i sre-

aii;iak;l kruZnog isjedka od koieg

:"-"iei".i"" lijevali' b) Kolikoje ut-

ioseno lima za lijevak'

8. U kocku brida a:4 cm uPisana je- k";i;'-;) lzraEunaj volumen kugle'

iiZl'6rit. je voiumen kocke veci

od volumena kugle?



MATEMATICxI urtvrtCrNnSR SLOVENIJA

NALOGE SA REPI.JBLISKOGTEKMOVANJA ZA ,ZLATO VEGOVO

PRIZNANJE. LETO 1978.

VIII RAZRED

1. Re5i enadbo: c (5x*7d)-5 (x---2c)--5 (x*2c)*c (7d*5). Ugotovipod

katerim pogojem

a) je resitev enadbe pozitivno Stevilo (negativno Stevilo' 0);

b) re3itev enadbe ne ob,staja.

2. Razlika kvadratov dveh zaporednih lihih naravnih Stevil je 192. lzraiunaiti dve Stevili.

3. Krogu s polmerom r : 2 cm ie odrtan enakokrak trapez s Plo5dino p : 20 cmz.

Dolodi dolZine stranic traPeza.

4. Pravokotni trikotnik z dano hipotenuzo c in notranjim kotom 30" se zavrtiza 360" okrog hipotenuze. Izradunaj prostornino vrtenine.

5. Poljubnemu paralelogramu nari5i simetrale zunanjih kotov.- DokaZi da so

sediida teh simetral ogli3da pravokotnika. (Skico nariSi z ravnilom in destilom.)

Re5itve nalog

1.ee

uredimo enadbo, dobimo: cx-1x:c, oziroma x(c--2):c. Re5itev

cenadbo je x: -. c-z

a) Re5itev ebadne je pozitivno Stevilo, x>0, de ie c>2 ali c<0. Re5itev je

negativno Stevilo, x<0, de je O<c<2 in x:0 de je c:0.b) Reiitev ne obstaja Ee je c--2:0, torej c:2'

. 2. Razlika kvadratov dveh zapo-rednihlihih Stevil je:(2n*l)242n-l)2:192.iz tega dobimo 8n:192, torei n:24. Stevili ki se i5deta stai 2'24+l:49 in 2'24-

-t:47.

4. Trikotnik ABC je polovica enakostraniEnega trikotnika,

n t" lrT ' Ravnotako :" ,:f,:"f."ror,ornina

vrtenine je

: I,, o, * a'* h, : i u ro,* h) :+ " "

:+(+)," - * .

cter ie 4:-2

V--Vr+Vz:

A TME Bsl. I

3. Visina trapeza .ie h:2r: 4 cm. Iz plo5dine

a*bdobimo: p: ,- h, oziroma a*b:2plh:10. lz'2enakosti trikotnika AMS in ,4PS (sl. l) sledi da je

ohAP:AM:,^-, a slidno tudi PD:DN: ^ . To-

22aba*b

rje, krak trageza ie: c: ,, 2: , :5 cm. Izpravokotnega trikotnika BCE z pomoe,jo Pitagorine

5. o:Bt, ker sta obe dvojici krakov vzporedni v isto smer. Po temu, iz a*B' a.

*ar:180o dobimo grfar:180', oziromal+t:10".

Sledi da je trikotnik

AAIBpravokotniin 4A4B:90". Analogno sledi za kote pri-81, Cr in Dr. Torej, ,41,

By, C1 in Dr so ogli5da pravokotnika (sl. 3).

PO?,IY NA PRETPLATU

easopis ,,Nastava matematike" pokrede novu ediciju ,,Matematidki prirud-

nici" u sveskama od po dva Stampana tabaka.

Prva ser,jr ove edicije namenjena je uditeljima i nastavnicima razredne

nastave i ima cilj da doprinese uspe5nijem realizovanju novog programa nastave

matematike. Prvo kolo ima sledeie detiri sveske:

7. Mr Mirjana Mrmak: Prva desetica

2. Julija Vukadinovit: Geometrija u I razredu osnovne ikole

3. Julija Vukadinovit: Geometriia u II razredu osnovne ikole

4. Grupa autora: Zbirka zadataka za dodalnu nastavu u IV razredu osnovne

ikole sa metoditkim upustvimu.

Iz Stampe je izaSla prva sveska ovog kola a ostale sveske su u priprenri

i biie upucene pretplainicirtra do /. septembra 1979. godine.

Pretplata na prvo kolo iznosi 50 dinara, a za one koji su vec nabavili prvu

svesku ovog kola pretplata za ostale tri sveske iznosi 40 dinara.

Pretplatu treba slati na Ziro radun br. 60806-678-1462? Matematidkog lista,Beograd, sa naznakom ,,Za I kolo Matematitkih priruinil;a".

Na porudZbine od l0 do 20 primerka odobrava se rabat od l0/", a na

porudZbine od preko 20 primeraka rabat od 2O'1.

Edit'iju ureduje uredivatki odbor a glavni i odgovorni urednik ie Dr MilicuIlii-Dajovit.

a-bteoreme izradunamo:' ^" :y'cz-h,:y'ZS-tO:3, ter je a-b-6. Kako te a*b.:

2:10, sledi da je a:8 in b--2.

t82 183



le6,

ZADACI

RESENJA KONKURSNIH ZADATAKA 540-552

IZ MATEMATICKOG LISTA XIII, 5

A) 3a yvenuxe IY u Y pa?pega

540. Ilpouzaog (upogyxw) utpu upupogxa 6poia

24. Ogpeguutu wedpojeee

axoje upouzeog upea gea

a upou3sog gpyn gaa 8.

.{a 6r xauprao nor{oBo xsaAPar, yqeHtrx ce xopgcrxo oxoJIHoIrJhy Aa cy

*oa *"&puti a"jito*-" jeAxaxe, Ai ce norose u Aa cy velyco6xo HopManne'

fopax Touuh, y'r' VI p' OUI "E' PaAu'{egrh"' Eyjarronaq

A 3a YT enuxe VI u VII Paiqega

545. Iaua cy gaa ipoctrta 6poia eeha og 3 xoju' xag ce i'ttlete-':.9: !-"2!1]^

,ru,Juwi icaawxe. ,Toxatawu ga je apuwuewuvna cpcgu'n gawux upocuux opoleaa

caoxeu 6poi.

Ocrarax AeJberba npocror 6poja neher oa 3 6pojer"r 6 r''roxe 61rrr-1auo Iutu 5 (2,3, unu 4

""toiy 6urn ocraux Aerberra ca 6, jep 6u y rotl. cnyeaJy AarH

til;] il'^.* is ca 2 "n"'iul,ij'-ono 6n tno*t* 6poj)' Aax;e' aaru npocrx 6po-

;erti r"rory ce Harilcaru y o6nuxy 6mll u 6n +5, rAe;e z nouPofax,orT'dr1t"

Hyna HJru npupoAaH 6poj' ApHr]'{erfir{Ka cpeAuHa oeux 6pojeua i"

-i-3m*3n*3:3(m*n*l), ruro 3Haqx Aa je oxa AerbuBa ca 3 u ca (nl-n-ll\'rra rrpeAcraBJba cloxen 6Poj'

Mupjana Guacojeeuh, yu' VI p' OIU "O'Xyuaxxur" 3euyn

546. I6e upaee (hpae4u) pr u pz uuajv jegt7t 3"ks'!y"!-y:.':v ,9:!p*"a u b, xoje cy uaPanenle uefiy co6ou, ceKy upse gBe ilDane' u wo Lpaoy p1 y uaqKaMa

A1 u 81, a iQaoy p, y *or*i,ii, i Sr" *i*o-ga ie-Afiz:3'2 cm u 81!.2:8'8 cm''iipi

ii'"i ii dirii b *"i'ii ), i ar' Axo ie anu* M cpesuwwe sv xu (Loaoouutute

gJ,xune) A1B1 u Aou*o"i'rprgirii"

iyiru A282, utpaiyuautu gyguyy (gynuny)

I4s ycroaa 3aaarxa creafi Aa ce y npoAy(Ty ae-

Jrr{Mr{qHux npoayrara apyrx 6poj janna xao rrnHHnaII

ABa [yra r aa je raj npo4yxr 48, urro noraryje 4a je

apyrrr 6poj 48 :24:2,.qa je npel{ 6poj 6 : 2:3 u xa ierpehu 6poj 8:2:4.

Becna lllumeouh, y'{. IV p. oIII,,H. Marrh", Turoso Vxuqe

541. Ha jegnoj excxyptuju 6O yueauxa IV paspega 6yge peweuo osaKo: ge-

eojvu4e ga 6ygy cMewweHe y tapoKpeseuHe co6e. a geqaqu y +ewaopoKPe+euHe'

, Kbtuxo je 6u,ro geaojtu4a. a KoruKo geqaKa, axo ie yuowpedmena iegna ueweopo'

KpeneuHa co6a euwe?

floulro je. ynorpe6neua jegua verBopoKpeBerta coba BH[re' To-

He paqy-

xajyhn tty-

y uaposh.ta ocraJrux co6a (TpoKpeBerHHx I{ qerBopoxpeBerxux) na-

nas-e ce nb 3 ,qesojqfiIle E 4 Ae.IaKa. VcneA rora 6poj rpokpenernux coba 6no je

(60--41 :7:56:7:8, a 6poj rernoporpeBeruux 6uo je 8f l:9. .{eaojruqa je 6uno

8'3:24, Aeqara 9' 4--36. fipaiaua Towuh, yq. lV p. OIII ,,P. Byxuheauh", Hum

542. O6uu (oucel) upaaoyiaoHuKa (upaaoxyfrnuxa) je 36 cm. Hzpauyuawu

rceioey uoeptuuxy (uaouutuny), axo uy ie uupuHa Z qytaa rcpaha og gy )KuHe (gymune).

Y o6urtly ce caApxe 6 tnuputa na, c o6:upov rra ro, rrllrpulla npaBoyraoul{Kaje 36 cm :6:6 cm, a AyxHHa vy je 6 cm'2:12 cm. P:12' 6:72 cm2'

Jbumana ftuiopuh, yq. V p. OIU ,,A. PaAocasrbesuh-Hapoa"

543. V gae upogasHu4e 6uto je yKyutto 365 kg iafyxa u ove cy upogaaane uo

ucutoj 4enu. Rig je'uiea ipogaenu4a upogarta us*ecty Ko,luquHy u n uto je goduta

434-guuapa.

a gpyia ie sa upogawy uisecty KoruuuHy go6um 875 guwapa. uiaga jey upioj oiaaniliZkg, a y gpyloi 76 kg' Konuxo ie y caaxoj upoga6uu4u 6uto ja6yxa

aa iouetaxy?

O6e npoaannuqe cy yxyrrHo rlpoAarre 3651102+76):187 kg ja6yra u ra

ro cy ao6rni 434+875:1309 aunapa. flperraa ror're, ueHa I kg jabyxa je 6nraI 309 : 187:7 .quHapa. Ha norerxy y npaoj npoAdgnnUu je 6uao 434 : 7 *lO2:164 ke

ja6vra' a v apvroj t" "ril,uo:1o]r,l?,ili,tl1 p. orr ,,20. anpnn.., pava

544. Ywuux ie Ha4pwao ,pou3sorbaH Keagpau. Melywun neioe utal1u 6paw,

ne snojyhu ga je wo to -*ony, uz6puwe Ksagpaut uaKo ga Ha 4pite)r<y ocruane o6e-

texen:o cauo jtgtto t4cMe tl uaqKa upeceKa guiarcnata' Kaxo ie y'reHuK ila4putao

uonoao xeagpaut?

184

Koncrpyuumvo ayxnA)Bt rt AzBz u

o3HarruMo ca- P u Q raqKe y xojxr"ra peAoM- oBe

avx""pecequjy

n[a"y MN (cr. l)' Ao6sjauorpasez AtAzB2B1, uuja jercpe,urra nHxxJa Ayx

PO. 36or rora je PO:, (ArAylBfi} Y

rpoyrny A1A2B1 Ay.x NQ je cpe,qra rnnuja, na

t:. NO:; A1 A2. Crrutxq u3 rpoyrna A1 A2 82

I4o6ujanro na ie MP:

,ArAz. Kaxo ie MN:

I: PQ-M P-NQ, no6ujar'ro rc ie M N :

U(B r B z - A r A z) : 2,8 cm'

ofia Eogpocra' y'r' v p' oItr "b' Daxouuh"' 9ypyr

D) 3a Yuenuxe I|II u VIil Pas7ega

54i1. Ha HeKoM CaseilOaany yuecfreoaa,ro je 17 aawuuxa uJ pasuux 3eMarba'

Ouu cy ce cuopa3yMeoa,Tu Ha e,inecko^. HeMaqKoM u Qpai4ycxou jezuxy'.Ceaxa gea

yt^cHuKa cuopasyMesara ,y ii"iiiiliA"i"oro

na iignoi ospefienou iesuxv. ,qo-

'*iioi, go"i

*iby yr""ri4u*a casewosaba uoiy uahu 3 uayuuuxa xoiu ce clopaty'

ueaajy iely co6oa na ieguou uciloa ietuxy'

gyxu MN.

{

t: ,

sl. I

185



Hexa je ca cr o3xa{ex jeaan oa HayqHHKa. OH ce. cnoparyMeBa ca 16 gpyrxxEayqHlKa. 3bor rora he 6xrx Hajva*e o ,iayrrr*a"u

*o;rru-rr",.;;;";;;;"""r,na jeAxov jernxy. flpernocraattro ai j" ,o OpaHqycKH jcrnx. Ha ca.z ro cMo o3Haq[r[ ca F (6). Herca je 6 jeaan oaHayqHrrKa xojr ce ca HayqHHKoM o cnopuryr.fry ,a$panqycxoru jernxy. Axo 6r.r ce oap JeAaH oA rr.f,eocranr.tx5 r.r: one.rpyne, peqr{Mo c, cnopa3yMeBao ca 6,Ha epan-ycxoM- jeruxy, oHAa 6H ce i, b- n. ."opurvr"iui, *.

tr -.t xcroru jernry. Axo ce a .a npeo.ianr* S"ai"rn*a-cnJ

) 7, l??!y.ra

na. eHrnecxoM

'urh

HeMaeKoM jernicy- o-a-.*

,\, i',':'iii F yiii]rl'#*;oXi"l3Ti'#,l"#"#T:I fi:rMo c. d cnoparyveea xa HeMa{KoM jern*y,;;a";Sl. 2 | c, d cnoparyruena;t-;-r.;;; jeruxy. Aro ce nx. jeAaH o:q xayvHuxa c,-2, e ca,

"t d;;;;.#;;'!'*;:ou(a :xarvro aa ce He

"19ga:rue"ijv "n "i,ipu",{v"*o*1,

"iaui." J"u"rpo:rq"lrefy co'orvr cnoparyr'resajy Ha eHrnecxoM, qaxne Ha ucroM. jeruxy.'perua

ronre,aex he ce uajruage rpojuqa HayqHuxa cropa3yMeBar,"a

:"gr;; l#il:-Huxora Munxoeuh, yr. VIII p. OIU ,,Bpaha pa6ap,., Eeorpag

Hexa ce y oBoM r(oMaay Eara3u x kp 6axpa. Jlerypa raaa caapxu (24-x) kp

qlrura. KaA ce nerypa norotr, y BoAy, Aco 6arpa np'BtrAlto ,rry6, '.]^.1II

' roo gkP

oA csoje rcx'He, a Aeo qHHKa rpI{BrrAHo ,.tty:o,2*=.rulup. vrnrrrajyhnt00 7

y o6rnp KonuKo oA TexHHe npuBoaHo rybn qeo xor"ra,a, aobnjar,ro jeAxaquHy:

xl24-x28.ll + .14 . 2 ^ Peureue oae jeana.rnue je x 17. flper'.ra rove,100910079

AaTH KoMaA nerype Haeurbeu je oa 17 kp 6arpa u 7 kp qnnxa.

Jacnun fldpaxuuoeuh, yv. VllI, p. Oill ,,Epaha Pu6ap", Mocrap

550. Hs cpeguuuta (uorceuwuta) sucuHe upaeurtHe qeutEopocutpa,rc ,upaMuge

Ko*cnpyucaHe cy HopMane (oxouu4e) ua jegny 6ouny cutpaay u ua ieguy 6ouny ueu4y

(6pug). Hopuata na 6ouuy ctilpaily uMa gy)Kuny (gymuny) y'T, a noprono ua 6ouay

u6uqy uMa gy2riluy 1/3-. flryauyaatuu uospututy u saupeMuly (ouaouie u eotyuen)

ose [tupaMuge

flpanoyr.nn rpoyrno3u AOV u SNZ(cn. 4) c.nurnn cy, jep ur"rajy sajeAuuqxu

o[Irap yrao KoA Bpxa V. Vg ose c;IuqHocrlt Ao6tjar*'ro nponopqujy AO: AV:o t/2

:SN: ZS. VseA1rMo o3Haxe: AV--s, OV:IH I{, Kaxo je AO:-, (noronuna

a Vz- a t/2qnjaroxa.ne xeaapara), Ao6uheno: "

f

, t:l/l : u. Orcnae ie i 'r- n:s V3.

2sVtI{rParYnajvo H' H:- .

aV,Ha ucru HaquH, u3 cnlqHocrtt npaBoymtrx rpoyrnoBa OPV u SMV, lo6u-

jar,ro uponopqujy oP:PV:SM:SL oAxoqroit n:l/Z:n, rAe cMo ca h oz-.z

Haqruur 6o.rxy rucuny vP ntrpawuKe. OaasAe ie n: "\--. 3auennr'ro iI u: nper-

xoAxe jeAnarocru u Aobujau o, n: o,=.2'!!, rr"J-'f. TaroDe je ,:+."2vr2-2/'

2hs:-j. Axo ua npaBoyrJrl{ Tpoyrao VBP npuueunrvro flnraropxr{y reopeMy,

V3I a\2 2h 4h2 02

Aobuher,ro: s2:h2+ (i/ .tur"nnruo r ca-yy v Ao6u:all.o, 3 ,_ ltzalo. Orcz-

h2 42re je

f:toAxocxo, hz-3+,na je h:1!-1. x"-o ieu n:'V3-, cneAlr Aa

je a:s..{aue, 4ara nupaMr{Aa IiMa cBe je.ugaxe asulde. VgoAehu y je,qHarocr

-548. Ryinu4a Ha KnanHy etuxaty) tpu tbuxa-

rby uogu)tte_ce najeuute ga I cm ,rrog ionoiijoMuposarba" Ifpaooauuujcxo pacwojane ituehv xoii_rbei rreaoi-u Kpajhei gecaoi uoaoxaja *yinuui'uriiiut+ cm. XoluKa je gyxuna (gynuna) xtatuna? ([IoggylxuuoM Knautua uogpatyMesauo pacwojane

og 4"i_upa oopuarba go najuusxe utatrKe R,raw,Ka y-uo'/ro_xcajy uupoeana.)

-^^^^.9_l1lyyoAyTrTy- AC xnarna ca d (c1.3).

f_r91Bolrnfi Tpoyrao AIBC uv.a xarere Ayxute 7cmH \a-l) cm, H xfiorexy3y Ayxnue d cm. Ha ocgoBvrrHTaropHrre TeopeMe fiMaMo: d2:721(d_lf .olaxrre n3paqynaMo aa je d:25. .{axne, ;i'*riJIsrarrla ie 25 cmnarrra je 25 cm.

Ciianxo fpygen, yr. VIIa OIII ,,Cnorrleuxr HOB.., I{epxno

E) 3a yvenuxe ylll paspega

549. Kouag rciype 6axpa u 4unKa frelKaK je 24kp.

,8

Asr. 3

Kag ce uonouu y 6ogy

oeai xouag BpusugHo utiyflu 2t*, on ceoje frexuae. Ogpegufru xo,ruxokp 6axpau KoltuKo kp 4uaxa uMa y iloM KoMagy ,reiype. axo je ilo?Hawo ga y 6ogu 6axap iy6uI 2ll

E%,a 4uax 14

| % ceoie fre x<uxe.

t86 187



2s/T -- 2/tH --'VZ,

"uy5= a, gobnjar*'ro: H-- y'2 , na ie BHcHHa rrauc [HpaMHAG

4 t/32 H =

V:2

-. Kaxo je xoa jeAnaxouBnqne qerBopocrpale nHpaMIcAe BI{cI{Ha' H3pa-

xe*a rlpexo o, i.onu*u !!, ro u3

a/2 4/j

at' i; aoosjauo: ":y't.flonpuraNa nupaMnAe je P:azl4'

." It : or+ 48 y't : 48 (l + /3 ), a gar,-

I . - -*/T'eMrHa ie V:3.a2'2H=Vz

Btaguaup If ae'tu4a, Yt.

F) 3a yuexuxe ceux pa3pega

551. Vuenu4u jegue wxote KpeHy Ha excxypzuiy. Caoipahajdo upegpehe uo-

uta./be u36ecuan 6poi aywofyca 3a ,pe6oi yqe*uua' Axo ce y ceat<u ayutofyc cMecnu

uo 4O yuenuxa. utaga he Hegocutaianu 5 ayuto6yca. Mefiyutuu, aKo ce y ceaKu aywo-

6yc cuecilu uo 5O yuenuxa, waga he 2 ayutodyca ocutawu upa3Ha.

Ko,ruxo je yueuuxa uowno Ha excxyptujy u Kortuno je aywoiyca uoc,lano cao-dpahajao upegytehe2

Aro y cearu ayro6yc c:AHe no 40 yrenxxa, oraa xeAocraje 5 ayro6yca, urro3uatru Aa 200 yveXara gehe nnaru rAe Aa Ce CMeCTI{. ArO y Cnaru ayrObyC Ce.que

nO 50 y.reuuxa, Onqa y ayrObycl4Ma uMa 100 IrreCra Bl{rxe Hero ruro je nOrpebnO.

,(axle, axO Cnaxu ayrObyC npuMg IIO l0 y.rennXa Bu11te, y11yna11 XanaqI{TeT ce 11O-

irina si 300 uecra.3naur aaje 6nno 30 ayrobyca (300: 10:30). Ha excryplujy je

xpexyno 30'40+200 yqeHHKa, ruro u3Hocx yKyIrHo 1400 yqexuxa.

Mutena Cuuuh, yu. VI p. OIII ,,9' Muaocasresuh", neqxa

552. Iox 3opaa nauunu 4 xopaxa, ,\yutan na'luuu 5 Kopana. Meiywuu, ,\ywanuua yaota xpahu xopax og Toue, gox je gyxuna (gymuxa) 2 Touuna xopaxa jeguaxa

gy)ruHu3 3opanoea KopaKa. Ko ce 6pxe xpehe:3opan uau,[yuan? ,\awu gewamuo

odpauto xerce.

.llyruanon xopax je yno.na xpahx oA Tor,runor xopaxa, na 4 ,{yruanoaa xopa(a

nrvrajy xcry AyxIrHy xao 3 3opaxora ropara. OAasAe u3ila3v aa 12 3opaxonux ro-

paKa uMa Hcry Ayxnxy xao 16.Il.yuraioaux xcptxa. Melyrlr"r, lxar'ro 4a 3opania"uxn 4 xopaxa ia

"ciooperue sfxoje.[yuran iaquxu 5 xopaxa'.[lax-ne, 4ox 3o-

pax HatIlrHH 12 xopaxa,.{yurax he [aqr.tHurx 15 xosaxa. Kaxo 3opanonux 12 xopara

ur"ra .qyxnxy xao p,yuianoanx 16, tarlby.ryjer"ro aa he 3opau 6lrx 6pxu (sa I Ay-uraxoa xopax).

Mupocaae Mutoixoeuh, yr. VII p. OIII ,,J. flononnh", Eeorpa.q

188

VIII, p. OIII ,,J. flononxh", Honn CaA

DOSTAVILI SU PRAVILNA RESENJA KONKRUSNIH ZADATAKA IZML XI[, 1-5 U PREDVIDENIM ROKOVIMA

rv rured, granovalki Tetianr. 05 rY.5g^""y11.,_$bac 488,489,5O0,510,5l_6_525,526;

n.ezeie iltsrina, OS >M. Kosovai.' Sabac 488,-489,499' 500' 521-528; Grii6 Mihn' OS DM' Ko-l',,-"?'s-il:'iiil 525.526: Jovmovid Sunticr.OS>B.Stankovic('Vuaj€501'502'51'+-516'540-542'#i:-iffi;" Z;iih;oS;fi. Kosovac<, Sabac 488, 48e,4ee, 500' 514-516' 2?s.' s-?6-' 5-40-542'iil'i'<f.-"#"lu.ii6'vlrdimir. oS >M. kosovact, $abac 488, 489, 50o' 5l't-516' 525' 527,-528'

;ii: ;iii iiiiriliiJiie di",-65;M: ko*'u"o, Saba_c-5ol-503, 512, 5r3: Milosevid_Lepe,. oS >8.

i'"".iri;ii* il"-i;;lL +e8','agg, 500; sl4-s16,'525, 526; Milutinovi6-Gordana, oS >S. Golubovid<,

iliJi""'"'JJ 3r'Elio,-s+:sqz" trli.i.otie Nrd;, oS:)M-- K-o-sovac<(, Sabac 488'-490,-499'-50o'

s28'jji::i8:;i;,5ji, jfi; Mit.ioorid eteteinari, oS Dv. MasleBa<,_sarajerc 521-^t2e-'.5-3.8. 539:"riil".-"il-jrriilii", o-S i'ru. xosoua"i., Stuac 54-szs' slt' 539: -oleniuk Mair, os.Dv' Masleia<,

SiliJJi'irt:5-rtjsrs, jr9; popo"ie rrlitena, 05 r!M. Kosovac<,Sabac 488' 489-,499' 50o' sl'L-\i{.'-s23,'iis, poio"ie 'zot"i, ois"n. vitt"'ie1' dSfk-5.14-516,

s2s-s29, 538-542'-551' 552;

[e:*^fl:*-h":,lgi;"*lid.!t!:.!!1,iiTit*i,f i&i.ill31';,ii"l!l;"{]s{{l;iP!!!:izil'jic:'iiri,'33d:-Si.ie-rvriuo,'dSoirit. r6"o"acn, Sabac 488, 4-8e'- s-00.- s?5--s.ze'-s-t4-st6'

i;i:;;;: i""iie i;.''"'-'-oS ';M;k;;o";s" Sabac -528,52e,-538' s3e' s4o-s42' 55rt 552; rrifu'

iiiie-l-ri.15S >M. Kosovac<, Snuii +se' 489, 492, 5o0,527-529|j[omi6 Natrsa, os >N' Matii('T rtti.. lla-515. 54O-542i V-""ifl"tie

-StA.n,OS l>M. Kosovac<, Sabac 5?7a-522:538' -539;

Vu-

ii'ioti"ii'Jii.-o-d 'iv. ioi""i""' 3;bsc 54-52s,538, 539; zlatkovid Andelka' oS >M' Kosivac<'

$if."" i'ff]i),"isr; Zi".rgriiili;;o., o5 ov. kosovac<<. sabac 488, 48e, 4ee, 5go, 5l.L-516.

iiii-sisii ziiie' i;eLi"' os ';i:s;;;;;iZ"g'"u 3i+-sto, 527,528t Suliegit vcsna' os DN' Matii<'

T. Ufice 514, 515, 5&-542.

V *zred. Alekeid SeIa, OS DR, Mitrovi6<, Beograd 5lrl-518; Avdi6 Dregen, S-abac 5l'1--

srs' tua}*'o1"ij"d"liii,'bSliil."s;;;;{;;;,-L;"kJvic 5r'r--sr8; Babit Liubice,--oS->rr' Mar-

ilftilltS;tii"" iin-sle; b"ft-Z;;';OS ';D.Jerkovid<. r. uiice 517-531' 538'-53e; Balsd

xili,-,,riii. of;i.'-xoili., re*L.in ii?-jrii Bo;i6 Got'n, .os >o' Petrov-Radisid<' vrsac 488'

4st.4s2,5r4-518; Brr<tiat soii(t,63 ri.-P-g;.iti-&,,-ritiiaa-5r+-518;

Cevrliakovi6 Vcsne. oS

,iiii o-uiLd.i"rc..,-K;;;;;" sotlJriliSr+,'sieiitT; C"t'novid.Radis1,

o-S :P:1"_l!^..:,,.*'T. uzice

1i6'z-"s6{-iiil Srll sr+, 3rs. sri, ire, izs, s2o: C-vetkovi6 Evica, oS >K. stamenkovid",-Leskovac

5lrr-518; Davirtori6 stouoaan,'o's ;il: i6;-";;;'*s;il jt+--srs' 525. :?6i^?.:I:.:,"Meiae' os

i,i. r""e.'r,i c"?nja'soz. so4' sis, sit' stl,544;.DikanoYi6 violeta' oS DJ' Jovanovii-z-mai(' ob'

."'"*?1, l)l-:izji'-'sld,-Sir;d;;;iterie'c9ri1 o! >.J' Jovanovic-Zmaj(' Paneevo 501--503' 514-

iiili-rsi 6tui;ii""i-e-bb.r,, b-s';;i;:s;;b;'ie',,. svrrjig 488. 4er, 4ez, 54o,542,.ssr;.DimitriieridN;d": oi iiti.-k'o."'u"., S;ba; sl-4-ji6: s2!: s?6i bie-ein-Zrran' oS >J' PoDovid(' Kikinda sl4'

5r5. 517. st8, 527-s31, s+o-s-+i; b'iiJiiq ni"fui':^95lll'Novak<' Beograd 528-531; Dokovji

i;;i";: '65^;b;.-b. viio"ic,,,b"e'.rlr"a-sro, s2?,530,_531.53e-s44,_551; Dordevi6 Boban. osi'ft;;&';il, i;poi" sil-sr'a,-jii-iii' sl-s"slg;'Dorie'i6 Qlivere' oS >S' velrkovii-7ele<' Boj'

"ii-iri::-sla'izs, szt, szs, sio,Jrr' 5r'8; D61devi6-Fjnisa. oS Dv' Karadzii<' cuprija. s2T-531;

il;.i"';; i;ifii"" . o$",p. 'siiilu-.1ti". s'iuig 514.-518,_528. 53 t , 538. 540-542 ; 488. 4eo ' 4et ' 4e2i

il;ii'i'dil;,.ir3i,,6. sil#ii'ct's,irlr!'3ir,=srs, :Lt. iit.528. i3o, 53r; Duri6 svetrane, os

V:?-.r-"1;i;il'e;priiiszz-trii'-p;iait i'rTn". oS nl' vilano"i6-Grnja<<' Sl' Pozega 50t' 503' 504'

jiz.'iiji ir"rttlidV""n", oS ,ii.-cu"Juiicii,-seo-erad .s40'^5il' s'14; cari6.sietleoa' os >D' Jer-

ii,-"iei,. i.'u'zilll'Zzt-jijt, SlA. s39: Eai""iii Sloiodanks, OS >,N. Stojanovid-Tatkb('. D- - Reiica

sr,1_sr8. 525: Gaii6 Jasmina,'b3";s."il1;rl;;rc;,Ii"1oir..-""-sit-|tt:-Geiid

Miriana' os DM.

iiF"JJ"",j.-S"ti""-s;t:sli: sisii3r'c;;iii"vie {n1' o!.3t't. Kosovac<r' Sabac-514.-sl8::s25' s26:

iiiliXit*trirl'"i'<jS "p.nu-o"ii"ri"'ic-N"i"o.i, Majrir.540-543, 551; Graorac Liubicar os >F' Fi'

ij5""rt',i."riil#io-sri."sii,-in iZi,-sza, slo: Guconid Zorena, oS >M' Kosovac((' -s-abac 514-

518. 525, 526; Ienievid rvrnoir,a,'O3 i'nl?"u.d*ie,,, St"anja'ijLUiinja- 521-531: Ili6 ryaraSe. OS

>M- llii-Cida(, Arandelovac sr'+iI1A' 3Z1S3l; lseilgvid Go'drnq' oS DM' Kosovac<' Sabac 514-

;i'i: i;:i;: iilir.iii-c,ia""l. oS;i\4. Koso,acu. Sabac 5tu{--517. 527-531.-538-544; rsekovid

Narisa. OS >>S. Skrgo<, Z"ri..'3bi"SOZ'.-3Ol.Sr+-itA; Jenkgvid J[asmina. OS_>O.-Petrovid-Ra'

irlSiii.'viii +'ai,'fs1,'aez, srs, iioi-ii"t''Brigita, oS >>V'.Smuc"' Izola 528' 530: Jevtid Tania'

6i;;ik. il;";;;i ,S.u." sit-"ire,ils,1t-6:.t;iiniirovie .letica,oS"M. Kosovac(.Sabac 514-518'

525-531: Joranovi6 Coran, oS'iJ] i-o"Lnotie-zm.;n, OUt""otai srl-518;-Jovanorid Jasmina' OS

iii.Gi"iuir,lr;l i"rliie ioi,stiz,'jo+l'ioi, liz-jil'; xnelevit Dragen, oS >rv. Dugoievic<' Beo'

;;:;_;t;,'sto_s-,r: Koii6 tera,'os >M. Kosova_c<<, sa-bac 5r.1-518, 525-s3t,538-544,551.552i Krsin Borivoi, OS oS' n.iie""i&" N' Sad 514-518' 525-531' 538' 539; Xnti6 Goricr' OS

;v.'ff;[;: ;rtota" 527-slt; (rstovi6 Slavica' oS Ds-' Rankovic<' Arandelovac 527-531'

Slfi.liS: Kuzmsnovi6 Deian' OS "M'Ko'o"t"*' Sabac 5l't-518' 525' 127-53L 53.8'.540-544' 551'

;;;; ;;,ij'ffiil,, oi',-rj. vr",rovid(, D. vakur 504, sr4,_530, 53t; Langor Daniiele, oS >v- Ma-

;;;i;s;;"i;;;t?-:st; r-a"ic-viede, bS ov' Pelasii(' Pelagidevo 488' 4el' 504' 527' 528; Luki6

,/.4-t

189



OS >D. Jerkovii<, T. Uiice; Raiovid l\{arih, OS )D. Krsti6<<, Zarkovo; Reliid Bo'

bana, OS >S. Kerkovii<, Ljig; Rovlanin Liiljana, OS )8. Stojanovi€ Drenidki<<,

Medve<la; Ruii6i6 Mitica, 65 ,n.u6u Vilotijevi6<, Kraljevo; Simid Mitena, OS

>e. Milosavljevii<, Pecka; Slavkovi6 Aleksandar, OS )R. Mitrovii eadak; Smi'

lianid Milovan, OS >T. Rajii<, eadak; Stefanovi6 Liiliana, OS >R. Kovadevi6-Maksim<,

Lebane; Stoianorl6 Goran, OS >8. oktobar<, Vlasotince; Tintor Zoran, OS >I. Gun'

duli6<, Beograd; Tot Tivadar, OS >S. Markovi6<, B' Gradiste; Vesi6 Zoran, OS

>e. Milosavljevid<, Pecka; Vitman Etelka, OS >S. Markovi6<, B. Gradiste; Vojvodid

Mitka, OS >it. Cundutie<i, Beograd; Vuii6evi6 Mito5, OS >M. Milo5evii Copo<,Mrdajevci; Vuii6 Vladan, OS ,re. Milosavljevii<, Pecka; Vukovi6 Predrag, OS

>Vojvoda Stepa<, KumodraZ; Zec Mariiana' OS >M. Kosovac<, Sabac; Zivkovid

Tatiana, os ,rvr. Kosovac<<, sabac; Zivkovi6 vladan, os >)M. Milo5evii copon,

Mrdajevci.

vII razre6. Anilelkovi6 Zoran, os >8. stojanovii Drenidki<<, Medveda;

Barulija E4ina, OS >S. Skrgo<, Zenica; Blagoievid lvan, OS >B. Stojanovii Drenidki<<

Medveela; Cvetanovi6 Sn"ina, OS DZ. Apostolovii<, Trstenik; Curiid Lidija, OS

>2. Apostolovii<, Trstenik; JakSid NeboiSa, OS >B. Stojanovii Drenidki<, Med-

veCta; Kostid Milan, OS >8. RadideVii<, Beogad; Jevilid Natasa, OS >Karattorcle<,

Topola; Iaztevi| SiniSa, OS >S. Skrgo<, Zenicai Mihailovid Tatjana, OS >Kara'

rtortle<<, Topcla; Mladenovid Dragana, OS >2. Apostolovii<, Trstenik; Mlrrtlenovid

Slavica, OS >8. Radidevii<, Priboj; Ne5id Mikica, OS )2. Apostolovi6<, Trstenik;

Ocoxogie Vera, OS >R. Mitrovii<<, eadak; Petrovid Z'dranko, OS >S' Skrgo<,7nnica;*in*ie Zvonko, oS >B. Stojanovi6 Drenidkk, Medvecta; Rancid Svetozar, oS

>I. Lola Ribar<, Babu5nica; savi6 Milan, os',B.

Stojanovii Drenidki<, Medvecla;

Tomasevid Gordana, OS >Z.Apostolovii<, Trstenik; VaI Mancika, OS >S' Marin'

kovi6<, B. GradiSte; Vukovid Miliiana, OS )8. Stojanovii Drenidki<<, Medvecla;

Zivkovid Boian, OS >S. Janii<, Vlasotince.

VIII razrert. Aleksid Cashv, OS )M. Mijrlkovi6<, Svetozarevo; Bin l\{ariia'

os >J. popovi6<, Kikinda; Bo5niak Gordana, os >A. santii<, vajska; cerkvenik

Miran, OS >Spomenik NOB<, Cerkno;.Cvetkovid Zoran, OS >Heroj I' Muker<'

S. Palanka; Damianovid Biliana, OS >I. Gundulii<, Beogr4d; Damnjanovid Nada'

OS >R. pavi6evii<, B. Ba5ta; Draganov Mileva, OS )8. Radidevii<, Beograd; Dra-

gutinovid Dusica, OS )M. Kosovac<<, Sabac; Gajid Slobodan, OS >Karadortle<,

iopota; Grujid DuSan, OS >M. eajetinac eajka<, Trstenik; Kostid Anica, OS >Ka-

dorde<<, Topola; Jeknid Goran, Os >Karactor<le<<, Topola; Jeknid Nada, os >Kara-

dorde<, Topola; Joksimovid Miriana, OS >Mralj' bataljon<, Kraljevo; Jovsnid

Vesna, OS >8. Radidevii<, Beograd; Manoilovid Dragan, OS >Kara<lorcle<, Topola;

fvfoCnif CiriL OS >Spomenik NOB<, Cerkno; Pavi6 Daniiela, OS )M. Kosovac<<,

198

Sabac; Pavlica Vtadimfu, OS >J. Popovi6<, N. Sad; Pchovll! Karmcn, OS >Spomen

NOB<, Cerkno; Plcskonjid Dngqn, OS >>10. oktobar<<, D. Babine; Prelid Goran,

OS >D. Tucovi6<<, Kraljevo; Radosrvlhvid SneIana, OS )R. Pavicvii<, B. Ba5ta;

RomStain Gordane, OS >>N. Demonja<, S. PoZega; Sposoievid Daniiela, OS >M

Kosovac((, Sabac; Tomld Dsriieh, OS DV. Stefanovid KaradZii<, Vranje; Topalovid

Mirjana, OS )M. Kosovac<<, Sabac; Vesld Dragu, OS >Karattortte< ,Topola;

Vitas Tatiena, oS >8. Radidevid<, Beograd; vitmrn Jozef, OS >S' Markovii<, B.

GradiSte; Vukedlnovld Rrdonir, OS )V. KaradiiC<, CaCak.

POSEBNO SU SE ISTAKLI U RESAVANJU KONKURSNIH

ZADATAKA UCENICI SLEDECIH STOIE

OS >Spomeoik NOB(, Cerkno; OS )P. Tasi6<, I-esnica; OS )S. Skrgo<,

Z,enica,; OS )B. Stojanovid Drenidki<<, Medve<la; OS >M. Kosovsc<<, Sabac; OS

<Karaitorlte<<, Topola; OS )8. Radidevl6<, Beograd; OS )J. Popovid<, N. Sad; OS

<I. Gundulid<, Beograd; OS ))V. Kamditid<, Priboj; OS >8. Radi&vid<, Priboj; OS

>R. Mitrovi6<, Cadak; OS >M. Miloievtdeopo<, Mrdajevci; OS )C. Milossvlievid<'

Pecka; OS >S. lVtarkovid<, B. Gradi5te; OS )D. Jerkovi6<, T. UZice; OS >2. epo-

stolovi6<<, Trstenik; OS >Dr D. Mi5ovi6<, Cadak; OS )R. Pevicevld<, B. Ba5ta; OS

>Dr J. JanIi6<. Bribir.

O dodelftnin nagrartame bice od strere Urednl5tva uEenicima i Ikolama upu-

6ene pisleua priannia.

Redakcija ML &stits svim nagradenim i pohvaljenim ulcnicima i njihovim

nastavnlcimg i ieli lm io6 vfie uspeha u bududem radu'

REZULTATI KONKI.JRSA ZA NAGRADNI

ZN)ATAK BR. 6T

Re5enje zadatka. - Re5enje je prika-

zano na sl. l.U predvittenom roku stiglo je ukupno 926 d-

govora od kojih su 810 bifi tadni. Izmedu poliljalaca

tadnih odgovora izabrano jeZrebom njih 162 i oni su

nagradeni priborom za pisanje.

199



NAGRADENI SU SLEDECI UCENICI:

lV raaretl. Gajit Mitu, OS >M. Kosovac<' Sabac; lorkovii Miriona' OS )N' Matid<' T'

l)Lice. lontit Mrloi, OS ,,D. Jakiii, Ctprija; Jovanovid Eva, oS Dvoid Karadorde<<' NiS; Rado;ko-

vii Raia, oS Dv- Krradzien, esp;ii^;Iio'Dimittu' oS >B' Petrov'<' Panievo; Stjivantanin Zeljko

OS >r2. Diuver<<, Plevlja.

vrlzred.AdqaoviiTotjana,os>S.Nikolajcvii<,Beograd;AznoviiZrinfta,OS>29.novcm.bar<,Srraj:vo; BtiidGtdana'OS>P'Drap5in<,8'Palanka; Bsratsiniio'OS>A'Mrazovid<'Sombor;

i,i"+t"r""tt it^iro, OS os.Rodidevi6<<, Sarajcvo; krudiia Selmq, oS >S' Skrgo"' zenica; BiberoviiMirsad, OS >S. Merkovii<<, Si*i"u; A,;iC Dragon, OS >V' Karadiid<' Beograd; Dukuica Milan' Oi

DI.G. Kcvadii(, Staniiii, Cver&oyii Slaifono,.QSDI.L. Ribar(, Skobalj; Catatid Gordona, OS >>S

Strgrn, Z.ni"n;-Cebii Milovon, OS >J.Dukanovie(, Varda; Cosid Yojkan' OS >R'Lazid(' Azanja;

Culeii'v""oo, 05 >2. Zrenjanin<' Kikinda: Dikanovit Violeta, OS >>!'Zmai<' Obrenovac; Duiii Gor'

danq, 03 DV. Perii-Valter(<, Prijepolje; Horvotii Zdenko, OS DD' Radosavtjevid ' Narod(' M' Mitro-

7t"rt iite oiei"o, os ra,.3antien, Stepanovicevo; lakovlievid Nenad, oS >F Filipovii<' Cadak; '/oiid

Brat*a, 03 )rN. Tesla(, vinen;-toronooie Miroslqv' OS >M' Dudii<' Yalievo; Karubai-Jovanka'

oS

>>M. O.r:ra:<<, l6J\i Konlienovii Filomerc' OS DM' M' Vidovid(, Novska; J<aruc -Eva' OS )Bratstvo'

-jeditrstvo(, Vinkovci; lzgkovid Stiepan, OS DM.Gub€c(, G' Stubica; Muinkovid DeioltoS >B'Krs'

mancviC<<, Sikiricd; Marriaovid Zetiko' OS DMlsdost(, Prigrevica; Maslatii Voiislav' QS DB' Kidrid('

ianau; iraos Sr"ttono, 05>J. Kablar<, Kistanje; MindidDejan' OS DS'Mihajlovid(' Brza Jalanka;

Nitcolii nankq,OS >R. Subakii<, Gtti6; Omqika Seaad, OS DR. Prokopovic(, Nevesinjc; Panii Zorica'

OS DB.Pavlovi6(, Srantovina; leta*ovfd Deana, OS >S.Novak<, Bcograd; Pailovii Dragan' QS

' DT,Rljic(, CtEaki Petkovit svetlana, OS >F.Filipovid(, Cadak; Petkovid yeru' oS )P'Ilid(' Salai;

p"ironU*ie predrie, 03 DI. Cviiii(, Smcdercvo; Pettovit Rosana' OS >Prvi Partian<' Rabrovo;

Pitii isor, OS >9 s:ptenbar<, Bugojno; Ptanjii Muko,-OS >25 maj<' Teslid'Slatina; Radulovit

Slallana, OS >M.Sliljkcvij<, Vinarac; Renlie Renato, OsDT'Perisko(' Pula;'soldan Enehsna' oS

Dl.G.Kovadie(, Folzi Stanimbovii Brunislov, OS >L3'Radosavljevid<' Zajcdar; Stefonovii Brotislav'

OS >8 oktober<, vlasf,tince; stevanovi' Ljitjarc, OS >M. Kriljanin<, Krnjevo; Stefonovit Sneiqna'

OirV.fnmOrien,Cuprija; SiepanovidSo"lt,OSDS'Pejanovid<'Titograd; Sipkasneiana'OS>Slav-

kcRrdii(,V.S:to;Slezateredrag,Os>P.P'Nje8os(,Zrenianin;TasiiYiia'OSD2gnovembar<('br-, iti"at Srulan,' OS >J. - Jovanovii Zmaj<<' Obrenova c; Tomaievid Mirq' OS >V' Karadiii<' M'

Pridinovid; Zivanovid Zorico, QS >S.Rankovid<, Arandelovac'

VI razred. Baki6 Jelena, OS >>V.Nazor<, Zcmun; Blagojevit Mirjana, OS )M'Mitrovii(' V'

QraSielBlaeoievi6 Zoran,OS>>17 oktobar(, Svetoa rcvoi Borcievit DragotjrD' OS >VII Banijska brigada<'

i.:"ot^oil, a*eok Zeljko,Os >S.Supinac<, vukovar; Cvetkovit Danijela, oS D2l maj(, Nis; Cabrilo

Dragica, OS )tS. Pczo(, lfor,".; io,to tierl*a' OS DA' Mrazovic<(' sombor; Cosit Jsdranks' oS >N'

Herojk, Knin; Denii Dragana, OS DP. Kocid(, lndliia; Filipovit N4'ai4'-OS

DV' Karadzii(' Priboj

na Limu; Florianiii Andrei, OS >>D. Bordina<, Kogrcr; Denit Drago, QS >Z' Ljujie"' N' Varos; Dor'

ilevit Toni, OS DD, Sramboli €<<, Llig; Durovit Olivera, OS >rR. Pcrovii<, Titograd; Gnjatovit Svetlana'

oS >v,skorpik(, zuan; itioi;h:toliub, oS >Z'Apostolovii<<' Trstenik; Kneievii Ljubinka' oS

>Lj. Maksi6<, Bioska; Krii&ic .la.ia, OS DV'V'Savii(, Lazatcvlc; Kuzmanlv:t V"ty:O: >M' Mi-

losevii<, Mrdajev cii Laki,eeid Yesno, Q3 >M. Matovii<,Brczova; Moitarit sania, os )tl5 tfavanj<,

Podr,Podgtjci;Mihaitovidlzeszo,OsD2loktobar(,Kragujcvac;MirrovitZoron'OS>lTnovembar<'|sloki Milenkovi| Mcnik\, o5 >P. Marganovie(, Dcliblato; Pavlovit Bosiljka, os )s. Joksimovii(,

Rogadica; Pavlovit Nstaia, 05 >P' Krstii(, Piroti Povlovit Snelona' OS >R' Domanovii(' Kragujevac;

Ruiiee"it Mzndq, OS >I. Filipovii(, v. Kopanica; Radiscvlievii Jasro' oS >rB' Radi.evid<' Sedlarc;

Runkovit Raclmila, os >e.Mitosavtjevid<, Pecka; Ronlevit Dobrils, os >B.Ribar<, osijek; srdid

200

petar, e3 >p,KoEii<, Temerin; Sretid Zoran, OS DV.Karadzii<, Ripanj; Stojanovii Goran' OS >8

oktoblr(, Vlasotinca; Stojanovit Saia, OS >B. Radidevii<, Bujanovac; Tosovit Saia, OS >D.Stevan

Visoki<, Despoto laci Tanaskovit Dtagana' OS )M. Jelenii(, 'f opola; Tonoc /vaz' OS >M' Pupin<<'

veternik; Tonaieeit Mirjana, OS >2. Misii(, Rajkovac; Tomii olgica' oS >Top' Heroji<<' Zitorada;

Topzlovit Jasmina, OS >B. Palkovljevii<, S. Pazova; Vqsii Miljana, OS >O. Petrov<, Barandai Zadra-

,"" Gordoro, OS >Strahonirec<' eakovec; Zigo Marina' OS DV'Vukusic<' Rab'

VII razrerl. Bcbii Vesna, OS DR,Dzindo(, Rogatica; Bojit Vladan OS >D. Karaklajii(,

Lizrrevac: Bcikovii Dragan, QS >D.iucovic<, Jezevica; Cinturqk Miluika OS >B'Ribar(' Beged;

Dikit Mitiona, OS >D.Jaksii<, Ka(; Duriiit Goran, 03 >A'savaii(, Yalievo; Galovii Jasmina' OS

,>V. Nazor((, Daruyar; Imamovic Indira, OS >M. Kupres<. Turija; Ivantit Ztatan, OS r>V. Dugojevid<,

Rumli Jocdnovit Zorsna, OS >22 avgust(, Bukovac; Jolovic Jasmina, OS "M. Kusii<' lvvaiicai Joto-novii Dejan, OS DV.Dugosevii(, Pozar€vac; Karajko Vlado, OS >>J, Kcizarac<, Semeljci; Kokotovit

Nataic, OS >>L. Lazarevit<<, Yarna; Krstit Scaja, OS >Heroj Pinki<' Futogl Lozarevii Dobivoi' OS

>Kor€nita(, Kore nita; Lukii Mtaden, OS )tP, Vragolid(, Ljubovija; Lutit Silvano, OS >I'G. Kovaiid<,

Fojfica; Mandit Mileva, 03 )N. Tesia(, Gtatac; Markovit Janis, Q5 >sutjeska(, zavidoviti: Mitit

Stcjka, O! DP. L:kcYii(, lJL. PoLega: Milojkovii Stadana, OS >9 maj<, PteSevo; Mitovii Moriis@'

OS >r2 oktobar<, iukiievo; Mustafit Hairiia, QS DM .Bjelobrk(, Srebrenica; Pejiii Goran, OS >I.L.

Ribar(<, Babusnic a; pettovi( fasmina, QS >2. Popovii<, Vladimirci; Popov Milena, OS >S. Miletii<'

Vrbasi Rodordvljev,ii Mile, OS >A. Stojanovii(, Crna Trava; Radmonovii Nenad, OS DM.M. Vidovid(,

Novska; Rrl,ar Branka, OS >8.P. Pinki<, S. Mitrovicai Ris,ii Tonia, OS >V' Nazor<t, Petrovaradin;

Tovirac Zoran, OS >M. Pijade<, N. Travnik; Zoranovit Vesna, QS DS' Rodid(<, Lzzarevo'

vIII razred. Begovii Miroslav, os >v. Nazor(, Dragljane; cvetkovii Dirna, 05 t)R. Kova-

cevic, Lebanje; Dokit snetana, os >M,Markovid(, K. vitina; Halili Indiro, os >5,oktobar(, K'

Krusevo; ttit tlitiana, OS >B.Radic(, BavaniSte; Ierkov Mikan' oS >A'Santii<' vaiskzi Jukit Got-

dana, OS >>K. Dumbovii<<, Zagrebi Kahrovit Fehima, Q3 DS' Markovid<(' Siericai Mura'orit Avdo'

05 >R. Marjanac(, Duratevik; Mittovit Momif , os >Polica<, Ivangrad; Milinkovit Mitjana, os >1.

Jovanovid - zmaj<<, Ruma; Miiit Duto, os >J. Kozarac<, Sl. samac; Nikolit Bitjana, os >P. Krstid>,

pftot; Omerika lasmina, OS >R. Prodanovii(, Dvorci: Perjsnica Jovanko. OS >25 oktobar<, S. Kar-lovcii Pejkorit lerko, OS >T. Pejkovii<, SestanoviC; Ristii Mirctiub, OS tJ' Milosavljevid(' Basrdan;

Raniit Stavotjub, OS >rV. Karattorde<. KuSiljevo; Simeunovit Mirjana, OS >e . Milosavljevii(. Pecka:

Tadit Sn?Zana, OS >12 oktobar<<, Pranjani; Suljagii Gospava, OS DV. Karadzid<, Dobroselica: /azelr

IJrsula, OS >Njegos(, Kotor.

REZULTATI KONKURSA,ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 62

Re5enj e zadatka. -Kvadrat stranice a mole se podeliti na 20

Dodudarnih pra;ouglih trouglova - s obzirom na oblik tih trouglova -na tri

i"&"",""

t-uglov; dije suJ(atete a i all1(sl. l), na trouglove dije su katete d/2i

"lj tJ. j), i n"-t.ouelove dija je hipotenuza atz, a Eiie se katete mesobno odnose

kao l:2(s1.3).

'{##sr. 2

20r



SobziromnaizvesnemogudeizmeneurasporeduovihtrouglovaGojelako uoditi), dati kvadrat -ot" .Jno vise nadina izdeliti na 20 podudarnih pravo-

uglih trouglova.

U predvidenom roku stiglo 417 odgovora'.11i trn" smatrali da se od njih mogu

smatrati za dobre,"to oni ti.iiture5avioci uocili.da zzdatak ima vi5e refunja' pa

su ukazali na bar 2"d

t;;;;; tri re5enja' Takvih je resavalaca bilo 44 i oni su

nagradeni Priborom za Pisanje'

NAGRADENI SU SLEDECI UCENICI:

IV rezred. Markovii Dragan'OS >D'JakSi6<' Cupriiai Milenkovit Suzsns' OS >v' Karadzid<'

Capriia; Rodosavtjevii Matim' OS >V' Karad2ii<(' CuprIJa'

V rezred. C:kii Slobodon, os >8. Milikovid(, Ni5;.Dadid Jgsza, oS DJ. Jakubovic(' Tuzla;

Denit Diemoil,oS nzr novtmilt'l'"toaie

t Jovit Sne2ana' oS Dv' Dugoievic<<' Poljana; Milutinovit

Dejqn,OS)tJ.JoYanovid'Zm"it" "'

-"t"ii"t'tladenovil Branko'OS DM' Popovid(' Zarkovo; Puvlotit

Sne2arc,OS >D. Radosvtp"'l']""to<<, t aitt-t Petrcvit ::tio'OS >F' Filipovid<' Bcosrad: Piipek

Moriia, o|>Kanjila; fo^osl'ii'iioeoto' "oSp'' o' rtrisovie<' Catak; Zivkovit zoran' oS >Ta-

kovski partizanski bataljon<' G' Milanovac'

VI rsred' Bosni| Suad'OS >P'Meava<' B'l(ostajnica; Colit lelena' OS >D'Radosavlje'

vie -Narod<; Filipovii Milorctrbil"'ouot*tie(' Bujanovac: Golubovit NebojJa' oS DJ' Jovanovid'

-Zmaj<, N. Bratin; tbrr"ferid')'"t'

Oi-"i't^*ubovid<'-Tuzla; Mitikovii Milkq' QS )P' Medava<' B'

Kostajnica; Panit Elovica'-Oi tS'ltanto"ie'Xoriagin(; Pavlovii Bosilika' OS >J' Joksimovii<<'

Rosatica: senrin Maia, os ;'Jo;a;;;ic<' Novi sad; Goran stevonovii' oS >D'Jakiid<' Zaie(ar;

ViriJevi. Lucijo'OS

"s'ntaii"uie

Ui"oo" Zafitovid Nevenka' OS >B' Radidevic<<' Bujanovac;

JogilovitDrogoslav'OS"s'"'ptkt'U't'"Otn'Uot'ltuo*Kr.a.ticalozef'Os')JVeselinovid('Beograd;Krsin Bruaimir,oS 's'

Radi;;'' uti' s"ot xitn a'on*i'o' OS iatjiza; otuadovit Soia' oS >Z'

z.Jovanovii-sp".""n,""orill";;;;;;'i;;J;^''

os s'-dt*kovid' vudje; ropatovid Deian'os

>J. Jovanovic'Zmait<, Paneerc*; v"t'l i'"'' oS >D' Dobrosavljevii'Narod(' Majur'

vIrI .zrert. B,tinico Nederjko, os >M.pijade(, B.N.selo; Dea Aurika' o5 >B.Bratstvo'

.jedinstvo<<, Alibunar; o"uLi"'' OS >N' Puri6-<' Yzlievo; Metanin Dragana' oS >Dr' D' Miiovid<'

[]iri; pr"aoi"ri6 Dragan, oS >ll'oktobar<' Cumic'

Bez nsneke rtre,,rr Krijestorac vernes, oS >v.Karadfid<, Priboj; Krstit Yladan' os >D'

stambolii<, svrriis; Mitojevi'ilr:i,-"s rv.Dusoscvic(, porina; Miloievid zoica, os >v'Dugo-

IeviC<' Poljana.

OBAVESTENJE UREDNISTVA

Kao i ranilih godina, Urednistvo ML. islo ie i u toku Sk' 1978179 E'

,a tim da list ima sto "isi"i^'"i'n"itt nf i:qlt;-,t::*"dgovarilii sotovi smo da

f"'ilff d"i"'1il;i'-"ui-""si"tjionimakojeihzatraLe'uouc' !4's'rv ""-""*':,; "" )-^""t '^ nrdveravanie stedenog znanja" vodileOd stalnih rubrika lista rubriku .!ada3i ?.?l9Jlt1lj";o,. za .rhrike ..odab-

,",".otn',$*frH:li"t'itii""-1iilifi#;-irft ii"-K'iffi ?i'l;lf:if'xl5H,i*#;:fl'Yfr l[,iH,"'.lHr"iiii'{1ik'i*^'*..t'*lLf ;Yil?lliani zadaci.. i ,,KonKrusnt zasast urrr ru *-iii-La.i"t..vodio je Jani6iie';t'.T;-i vt'ifti -s-ti*"li€: -':9:[1,':]ifl:"^ oa phron Dimi6.

3ffi igi,i,'."#sili,,il:E;:lt'k"';;;;:d;;'-;*;sePbto'Dimi6'

202

203

MI SMO IH RESILI - A VI?

ODGOVORI NA PITANJA POSTAVLJENA U OVOJ RUBRICI U ML XIII' 4

Komisija Matematidke sekcije udenika osnovne Skole ,,Slavko Stancir",

Sesvetski Kraljevac, poslala je sledeii izvestaj o rezultatima nateaaja zz relau.anje za-

dituyo i, rubiike ,,Mi smo ih relili - a vi?" iz ML XIII, 4 iz ove Sk. godine.

,,Na nasu adresu stiglo je preko 25 pisama sa odgovorima matematidkih sek-

cija iz cijele Jugoslavije. Neki iu potpuni, lao sto se trazilo, a neki nisu. uzeli smo

u-obzir iamo one koji su todni, uredni'potpuni

ipregledni.

Komisija u sastavu: Ivan Borovec nastavnik, Ksenija lvankovid, ucenica vIIrazreda i Ankica Palamenta, udenica VII razreda predlaZe za nagladu slijedece trisekcije:

l. MatenatiEka sekcija OS ,,Vuk Karadiit", Cupriia

2. Matematiika sekciia OS ,,Dimitriie Tucovit", JeZevica

3. Matematiika sekciia OS ,,Mariia i Lina", IJnag

u prilogu vam saljemo kratka pisma koja su nam poslale ove sekcije, kako

biste mogli nesto objaviti o njihovom radu."

u vezi sa ovi'm Redakcija Matematidkog lista nagradila je svaku od ove trisekcije matematidkim knjigama i sa po 500 dinara.

Kao $to se vidi, broj resavalaca Tadataka iz ove rubrike nas€g lista postaje

sve veii. Zbog tolta &mo ji zadriati i za iduiu Skolsku godinu. Ono Sto bismo, me-

i"ii-, i.t.tiilto-bi steOicr: da medusobno povezivanje onih koji u.njoj ucestvuju

p"ii"ti".l"i3lCr i da, na primer, re5ayaoci zadatakatzJeirvice, akoje

mogude,po-

ilil-g"rt; il dan-iva rietog 6d sastavlja6a zadatakaiz Sesvetskog Kraljeveca i da

zatim i-sami budu pozVani di vide sesvetski Kraljevec. s"T t9g3 ieleli. bismo da

-Ou"i toii se sastavijaju budu 5to paZljivije izabrani, kako bi bili Sto zanimljiviji za

re5avaoce.

Svim onim sekcijama koje su do sada dobile nagrade poslacemo do kraja ove

Skolske godine odgovarajuda pismena priznanja.

Rad sekcije mlarlih matematiiaia OS'Juk

Karedii6", Cupriie

Matematicka sekcija na59 Skole, koja od skora nosi ime ,,Pitagora", prihvatila

i" oostauiieni zadatak koji je sasvim zinirirtjiv i za mlatli i za stariji uzrast.-Ovu rub'

;if;;-Mt ;rihu^titi r.-o i zadatke redovno re5avamo. Poslali smo i nalih pet za-

dataka i raEunamo da cB biti postavljeni u ML 5.

sadrzaj naSega rada dobrim delom, pored-redov_nog, progf,arna,_ispu3{uju.i

--OaaUiani i Konkuisni zadaci" u ML. Uoisie, sadrZaj lista je idealan. Za resavanje6vo! zaaatta najvise se T:;lagao nastavnik Jovan Petrovii'

u skoli ima detiri nastavnika matematike koji predaju u svim razredima it oii su voalti iekciie za svaki razred pojedinadno. U Skolskom listu koji izlazi vodimo

ruLriku,,Matematidke zanimljivosti".



Rad sekcije mladih matematiEara os ,,Dimitriie Tucovi6", Jezevic;-'

Nadamo se da smo uspeli resiti postavljeni zadatak. koji je veoma zanimljiv'

a i prilidno nas je nanrudio'

Matematidka sekciia"osnovne Skoh "DimitrijeTucovic" radi vei viSe godina'

Setciju voJi predmetni nastavnik Borisav Anacrc'

MoZda cemo ovog puta biti predloZeni za nagradu' po5to do sada nismo imali

srece.

JeZevica se nalazi na obroncima planine Maljena'

Rad sekcije mladih matemati[ara VI raz' OS "Mariiai

U na5u matematidku grupu ukljudenl .:,1-*:li"iVI razreda: njom rukovodi

nu.,u-u#.i'TJ,;.e'i'""'.,,g jif l*lf Bil:l:"',,1T..:l:HH,XI'lXiff "1i:'.;ff;

flX'fi1'rf,1itff l%:11;1.il.t"'.,'"ii'fi';r."'i'ix.; nu1"-" maiematidei isre, te na

nagradne zadatke. . . - -^.:^x^ii6^ ali ce nadamo da 6e toDo sarla nismo sudjelovali na nikakvim natjeeajima' ali se nadamo da

otrt *uiltl,l

'smo se da dim bolje rijeiimo postavtjene zadatke. Kako smo ge rijesili,

to je na vama da ocijenite!

OBAVESTENJE

"*",5ilulL'T'it?tF?HHi'#,,ffiis,!:{h;ii$iji".}i.'fJ,T'$i}{{iljTil^ :"'ilih^',T"]1"'?"#f lt$i 4: q"# ;::*lY*,,4r',1:,I|,'toie. t rajati

od I do 12 jula) i teea:"#ireeiil'enl.vr 'u"iiu(koji ie trajati od 24 iula

il i ;;d#) svaki od ;lthi';8"r1" i1111':-::r::,::illf;, se najvire istakriNa orvi od ovih tedajeva bice pozvant ont

nu ouor'Jc['nji'"'-'"p"uii'iiir" tit-ie"']i"'-

o"o',#:t'g1i.x ::'li.ii'Tt?li#fti**"T5:[:"Ji*;*JS?:'#'j"""j"8':itit?']ll;;;i*ioarieniueenicizakojeie hteti da snose trosrou!"iliil ;jihl"* srior.,"i'iii.oi"i zavodi za Skolstvo' itd'

Na drugi od ovih tecaleJib?;;iliifi tui'on; oaiil'ni udenici koji se sami prijave

za isti, a eije ie trosxoJJ;;tik#;;iti njitrove stcole ili njihovi roditelji'

Na svakom "o ""it

"i"e".i"va6e sa udenicima raditi profesori i nastavnici

matematike pre podne p"'l-!"J" dnevno' pttrnu ipttiiJnim Programima' ostalo

vreme udenici ." p'ont'fi-t'-raionooi' na'igralistu' tia-Lup"nju-"'-bazenu i sl' Sem

tosa ce za njih uiti o'gl#oi"""-ii"" itittu' i"iutiu-drtolinu Beograda' a drusi

do DerdaPa.f;,?1" - prvi od- ovih tedajeva.pr**:

":.I3'1il',; L'.rlt"J:T;,1"'-Xin"grijave za prvi od. ovrn tecaJcYa I'rrtr'l.lv *;;J.l; iro.kove boravka ili za

.,,:our:e'iJ'i tdi g u?q1^1T:..: f?j,ifin;:l'"o osobi i nju treba sratr na ti-ro'ajdalje do l.1ula o'g' uprata z4 vuv ^vJr ":""' "--nr oso-bi i nju treba slati na Ziro'

,.i'ilj; J;;j ; i ko I e i u s t a no:"'.'1""") ?ig"'"^'#'ig;il:' d;; M irra i t ova I s / tv.

?;fff ii?:3li"il!?:Jii",?'il:Llibt",i'6iii+?;7'H;t;a;KnizMihailovao35/IV'

204

Uredniitvo

205

Lina", Umag

ANEGDOTE IZ ISTORIJE MATEMATIKE

Dim iz sarkofaga

Francuski novinar Fransoa Lione, sastavljaju6i spisak naudnika koji su po-

stali irtve religije i reakcije zbog svog interesovanja za nauku, ukljudioje u taj spisaki rimskog papu Silvestra II. Kakav paradoks! Pa ipak, u tome nerna sale. Pre negoSto je u 999. godini postao papa, francuski arhiepiskop Zilber d'Orinjak interesovao

se za nauku, i to narodito za matematiku. On je bio jedan od prvih u Evropi kojisu shvatili prednost decimalnog brojevnog sistema i upotrebe arapskih cifara. (Da

se izvude, naprimer, kvadratni koren broja zapisanog pomo6u rimskih cifara

vanredno je te5ko, a isto tako je te5ko i da se dele brojevi zapisani pomoiu rimskihcifara.).

Novi Cin mu je omogudio da se re5i na jedan smeo postupak- na reformi-

sanje nastave matematike. Medutim, ovo novotarenje je izazvalo jarostan gnev

inkvizije. Papu su optuZili da je prodao du5u >>saracenskom davolu<. Uspeli su daonemogude reformu, To papa - matematidar nije mogao da preZivi.

No, ni posle smrti ga nisu ostavili na miru. U toku nek:liko stoleia upornosu se.Sirili glasovi da iz mramornog sarkofaga Silvestra II neprekidrro izlazi sum-porast dim i da se duje <lavolski Sum.

Godine 1648. crkvene vlasti reiile su da otvore zlokobnu grobicu, da bi jeodistili od gnusnih pojava i poprskali svetom vodicom, Ali se pokazalo da jesarkofag bio prazan. Isdeznuie balzamiranih ostataka pape-matematidara ostalo jezauvek zagonetno.

(>> Mat e ma t ika<<, 197 4 | l)

Prva Stampana arilmetika

Autor prve Stampane aritmetike ostao je nepoznat. Knjiga Stampana >>de-

setog dana decembra 1478.g. u Trevizu< (Italija) bila je dak i bez naslova. Podinjejednbitavno: >Jedna dobra praktika i korisna za svakog ko hoie da se bavi trgovi-nom i koja se inade naziva ve5tinom abaka<. Ne zna se ni ko jeizadava( ove knjige'U njoj se obja5njava raCunanje brojevima u sistemu sa osnovom deset. Citiramodve-tri redenice:

>Broj je mnoStvo uzeto kao celo sastavljeno od vi5e jedinica a najmanje dve,

kao sto je 2, toji je najmanji prvi broj. Jedinica je ono po demu se ne5to nazivajedan. Dalje nelia je znano da ima tri vrste brojeva -

prva je prost broj,- drugaartikl, a tri6a me5oviti broj. Prost broj ne sadrZi deset i predstavlja se samojednomcifrom kao 1,2,3 itd. Artikl je broj koji je taCno deljiv sa l0 kao 10, 20, 30 itd.Me5ovit broj je onaj koji prema5a 10, ali ne moZe biti podeljen sa I0 bez .ostatkakao 12, l3 itd- Dalje treba znati da ima pet osnovnih operacija koje u praktici treba

razumeti, a to su numeracija, sabiranje, oduzimanje, mnoZenje i deljenje. Od ovihprvo iemo govoriti o numeraciji, a potom i o ostalima.

Numeracija je predstavljanje brojeva ciframa. Prva od ovih nije broj nego

izvor brojeva. Deseta, 0, je znak za ni5ta poito ona po sebi nema vrednost, ali u

zajednici sa drugima moie da menja njihovu vrednost.<<

(Iz knjige: Dr. M. Stojakovit, Stazama matennlike<<)



I meilu ienama ima virtuoza'raEundlija

>Ja ne znam za granice svojih,.r.r-rogudnosti"poxto ih nikad nisam dostigla<<'

i4avilaje fenomenalni ,"i"1i,J,zii" iiioi-j-t"-sut untuli Devi u jednom od svojih raz-

govora sa naucnrcrma-psiilloziil;- k;ji su ispitivali-njene

osobite sposobnosti

ia radunanje.

Njena sposobnost.za brzo radunanje.pojavila se vrlo rano' Te5ku zadaiu

da se izraduna 731, tj' prorfro;';;;;ilil;;iiJniluroj"ua od I do 73 Devi reSava

za 2 minuta.

Zanimljivo je da mlada Lena zadriava u pameti i zada(e kojeje re5avala pre

nekoliko eodina. Prilik#";&;;;t1';;ik;ih piiau*niu na ieleviziji mlada s

zena se takmidila sa elektronskim robotima i pt"uurlii. irt ii u brzini za 6 sekundi'

u detinjstvu sakuntala ffiilij;";;ei" o,iriiti .iri"*"tit. obrazovanje'. Ipak'

blagodareii svojim feno#iulniri-rpor6Unostima i'stalnoj veZbi' ona je dostigla

vrshunske uspehe u".,n"n":*lui"ruii..t

Nul"ono*oa njinittjuvnih nastup-a-izvukla

je "til-iiil.;i l;;t-;ia;;";" d;j;;;t ;'4 sekunda' ona je skoro trenutno I zvr-

Savala aritmetidke operaJij"e iilil""i"i:"tt"t bio 39-to cifreni broj'

Q> Mat emat ika<<, 197 I I 4)

ISPRAVKA

1. U ML XIII, 4, na str. 97, u redu l, pored imena pisca dlanka >Toriielijeva

tadkautrouglu<'umestoredi>Mostar<,trebadastoji>Trebinje<.-2. U ML XIII,4, na str' 126'u redu-^l2 stoji >za nagradni zadatak br' 60<'

a treba da stoji >za nagradni zzdatak br' )9('

Sem toga, kao re5enje ovog-zadatka'' oma5kom pri pripremanju rukopisa

za stampu, navedeno i" iJo'i" pog'isno resenje' til"sioltfint'g od pravilnih resenja

na osnovu kakvih su u'"riuu".i"i-Uif"-Aoaefjiuune'niliut". l"ino iakvo re5enje je'

na primer, sledbie:

>Trebastaviti: 5 pored I i 3; 6 pored 5 i 3; 3 pored 2 i 4: 4 pored2i 6'<

Na ovaj propust ;;;" nam je paZnju-Nikola Petrovi6' ud' vr r' oS )Uditelj

Tasa<< iz NiSa, koji nam je poslao dve varijante ovog re5enja zadatka'

3.UMLXIII,5,nastr.160,uredullstoji>987654321<,atrebadastoji>>98765432<<.

Zirkel, Pinsel und Schere

Udvoi oboj, iseci, zalepi!

lzvinjavamo se zbog ovih propusta'Uredniitvo

206

-t

A



NEKE MATEMATICKE POSALICE

(nove za one koii nisu io5 Euli za niih)

1. Dva oca i dva sina ubiju^svaki po jednog zeca' t ipak ubiju

su.gul ,."u. futo je to moguie?,-

2: Kad na drvetu stoji 7 vrana' pa rz pu.ke ubijemo dve, koliko

ih jo5 ostaje3. U kom sludaju je 2'2:5t'i:i'.llJri""?l;;':,::f""'1'"n:'iff."i;.u:f"X":'tii$:l:

"un*.TJ,i'"1'""?'JlJ"?,;$'illh*:T*':,i:iilT"i"l',:,il:d prve straruce-nJegovtt utYe rrvJr\v --it.anica. Koliko je ukupno

Hd" t;";i;.^-suutu sie^stale imala po 800

.ttu-"iau Progrizao crv?

;: il:::tffi;;;" "grad i^usput sretnu druga tri seljaka' Ko-

fito jJ'n:ifr fo,t" tolu i5lo u grad?'* "6.netao, itoleei na jednoj nozi' teZi tri kg'

na obe noge?

;. ifff dovek kaZe da ima tri k6eri i da svaka od njih ima jednog

brata. Koliko on ima dece?

-:i'[;:;:ffittreta{1ry9:i*?-i?';;5iJ?f i-1""#5;. Nlln dvanagslurrv4 rrwv* v- r---r ipat Sedna

jabuka ostane

oo ,,jir, i.ji'i"-p"l"Jnuja=by^$' a da pri ton

i-r.t"pi. r"lo^je io mogu6e?

n. So je tete, kilogram gtoLda1li 5it"t',11

u"1:t

l;lli"'i '"l"di;; ;';'i 16"'i ';

ol*,,':t:t,:"::':if;;ll.3iiii"l:;;ii"",;;j;,"t'igl,ii13T.:J::":li

j:*i*{lT11. Od dve lokomotlve' KoJe rs ^rwvs'"":-p"ri" sat'ipo. Kako je

nrtcutuTn il;10;inuta' a druga prelazi t

to mogude?ko je prodag'Y"j- 9i'l!l,,ijgit1T?rEi#. Il3i?i::

tavuu ii ioii'oii"t'" Zatimje taj bicikl pro

zaradio?.Njih detvoro su igrali domine 4 dasa. Koliko je dugo igrao

svaki od njih?

ff il'l:"" kojiide iz Beocrad?-

'?.^?1Y,::,Xf'Jil3',;J"1#'ip*r",'trJ"i;i'":":;';'"ui;t"r,,,."- :lli.l:f f il:""1*.ti:1i"ilfi iilaYrEi uw'',,A ja tek Peti Put"' ka:

prugom", \32?Pjt1l'--^ :ri ia icrrqn oa nrih i"'.:t;*, \ft,u,,';?i;"i'f it?;T:"ffi 5i'J:iil i' neograda' a drugi iz

Zagreba? E. M,

Koliko teZi kad stoji

kaZe Plvle. Jesu li onr lz

('u\.rra slika .,Melanholija" Albrehta Direra (1471-1528) na kojoj sc vidi

i jedan magijski k,adrat

Matematicki list 1979 XIII 6

Documents

Transcript of Matematicki list 1979 XIII 6