Matematicki list 1970 IV 3

7/30/2019 Matematicki list 1970 IV 3

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1970-iv-3 1/24

--!,\

VAZNA osevnSlnn.r,\

l. Uredni5tvo poziva nastavnike i prol'c'sorc nr;rl('nrtlrLc Liro r o.t;rh , tlrtoce da lalju svoje priloge za list: 6lanke, otlabranc zrrtl:t(ke. ,r:trl.rlhr' 1rr I'rt, rurtlrispita i matematidkih takmiienja, razne zaninrl.jiVosli. I'o7r'lyrro;r'rlu ,,r'r rrl,prrr(osim uEenidkih re5enja zadataka) budu pisani pislurrrr rr;rirrorr '. pr "r.l, 'rr. n

crteZi izradeni na posebnoj ivrScoj hartiji. Rukopisi sc nc vr;r(.rtu

2. ,,Matemat. list" namenjen je svim u<Ycnicinn V- Vlll r ,,'.rr,rrrr, '.1,'1,

3. Prodajna cena pojedinom broiu je 1,50 dinrrrrr. (itrrlr'.tr1;r prrlplirlrr t;,r.

svih 5 brojeva) iznosi 7,50 dinara. Narudioci za vi\c otl ll) l,rrrrIL l,r rr,rrIlo/o rabata od prednje cene, a ukoliko unaprctl, ti. l)r rlrk('rrr riu r. r\ urt,luplate celokupni iznos pretplate-imaju 2O)( ruhutu otl ltlorlrr;rr,' (( n{ {lt pl,rt,rrl1,20 din. po komadu, odnosno 6 dinara za koltrplct otl pt'l lrrrr;r'rrrI tlrlrrltrdrugi odbici ne uvaZavaju se.

NarudZbe se Salju na adresu lista, a novac na linr-rnr*rru,.1\lnlrrrrnlldlnrrglista" broi 60E-8-1433-10. Pri tome obavezno treba navcsti tttr'tttt rtrht trr rrr l.'tllist treba dostavljati i jasno naznaditi na Sta se narudibina otlrrorrn upl,rt,r ,,rlrr'!r(na koje brojeve i po koliko primeraka od svakog bro.ja1. tlltl;rlrrrilr !r n.r\.denim podacima takode moie sluZiti kao narudZbenic:r.

4. RaspolaZemo jo5 izvesnim kolidinama svih bro.iev:r lisl;r rr'k l',r'lr'.'r{god. (br. II.1-5) i Sk. 1968/69. god. (br. III.l-5) i isl.rot trCrrlt'rrtrt tlt otltttttlt

5. Mole se poverenici ,,Mat. lista" da izmirc svit zuoslirl:r iluf')\'rrrtir

6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slali iskljuiivo rr:r utlrt'srr:

MatematiCki list, Beograd, p.p. 728.

. ,/. .'

'4)

il::d

I

MATEMATIEKI LISTZA. UEENIKE OSNOVNE SrOrN

ry

3

SADRZAJ

L V. Brkit-Deviit: Grafi(ko prikazivanje numeridkih podatitkit2. J. Byxagunoeuh: PeillaralLe KoxcrpyxrltBHux 3aaaraKa, ll .

3. lllra joru rpe6a 3rarlr o qerBopoyrny4. B Marinkovrir Azbuka kibernetike, III deo (Kako se radutra sil iskirzrrrrr'';5. Za,Jaci sa prijemnih ispita ra upis u srednje Skole6. Oaa6pann 3aAau[7. Konkursni zada.ci8, Re5enja konkursnih zadataka iz ,,Mat. lista" IV. I 2 . .

9. Reiili konkursne zadatke iz,,Matemat. lista" IV. l--2..... ..10. MareuarnqKa raKMuqerla yrteHr.rxa ocHoBHI,rx ur(olrilll. Matematidka razonoda (Zanimljivosti o brojevima. Zrnca sitnc rrr

nimljivosti)12. Rezultati konkursa za nagradni zadatak br. 12 .

13. Rezultati konkursa na nagradni zadatak br. 13.14. Rezultati konkursa za nagradni zadatak br.74 .

15. Nagradni zadatak br. 15 .

16. Saop5tenje o osnivanju Nagradnog fonda ML l. r.tr

lt,,

l{l'llr.llililtiltI lrtrrt;l

t .",lr.llttI I ()

I lr,

l.rtt tt.t

vanjcm razli,

mijcnia.

I

\, tl,

I1,

1

BEOGRAD

t970.l,lNA l.r0 DtN,\ttr\



S,A.VEZ DRUSTAVA MATEI\{ATICARA, FIZTEARA I ASTRONOI\'IAJUGOSLAVIJE

MATEMATIEKI LIST

za uEenike osnovne Skole

God' lV, broj 3 (1969/70)

Izlazi,Pet Puta godi5nje

IZDAJE DRUSTVO MATEMATIEARA. I-IZIEARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Boograd, Knez Mihailova 35/IV, p' 9' 791'

Ureduje Redakcioni odbor

Glavni uretlnik prof. clr M. ILIC'DAJOVIC

Odgovorni urednik B- MARINKOYIC, pro.f'

V. Brki6-DevCi6 (Zagreb)

GRAFIEKO PRIKAZIVANJE NUMERIEKIH PODATAKA

1. Uvodne napomene

. Sigurno ste vrlo desto vidjeli u novinama, pojedinim knjigama, u kakvomCasopisu ili na televiziji-

pomodu nekih tablica (tabela;, itupaca, krivulja,kr,'gova ili_drugih figura

-prikazane razne masovne pojave

-izfrirode ili

dru5tva. Takve_su pojayg: kretanje cijena na trZi5tu, prbiivodnja,'potro5nja,natalitet, mortalitet, uspjeh ulenika u Skoli,... Takve polave proirdivi posebnagrana nauke, tzv. statistika.*

statistiekim tzraiavanjima koristi se medicina u otkrivanju uzroka bolestiiu p.oljoprivredi se ispituje utjecaj ki5e i navodnjavanja, te suiEane svjetlosti itopline._na prinose; u meteo-rologiji se na temelju statistidkih podataka stvarajudugor_odne-prognoze; stasistidka istrazivanja primenjuju se gotovo u svim nau-d-nim disciplinama i podrudjima praktidnih djelatnostilnaroiito u oblasii drustve-nog zivota)' Moiemo reei: statistika je nauka koja prouiava, istrazuje i upoznajezakonitosti masovnih pojava.

Promjena jedne velidine _u nekoj pojavi ne zbiva se bez veze sa promje-nama drrlgih-velidina u toj pojavi, ve6 na neki naEin (po odredenimzalionima;ovisi o tim drugim velidinama.

Podaci o-nekoj

pojavi lajde56e sedaju

preglednounoienjem u tablice,bilo vertikalne, bilo horizontalne. Iz takvih numeriikih tablica vidi se neko dinje-

niEno stanje o odredenim velidinama ili se, pak, dd zakljuEiti o tome kakvazavisnost postoji me4u nekim velicinarna. Medutim, tablice ostaju skup suho-parnih brojeva sve dotle dok ne naudimo kako ih treba iitati, kako ie trebanjima sluZiti. o tome ovdje neiemo govoriti, ier vam je svakako poznato kakose ditaju jednostavnije numeridke tablice.

Ovdje ielimo da objasnimo kako se numeridki podaci (iz neke tablice),koj! gpiguju neku masovnu pojavu, prikazuju Brafi6ki.** Naimi, videcemo kakose kolidinski odnosi unutar raznih pojava (dati numeridkim tablicama) prikazujugeometrijskim i drugim likovima. Takvi prikazi, tzv, grafikoni iti dijagrami, iakoje.smo.ved-navikli, znatno-olakSavaju predodibe o-nekoj pojavi.- CrteLbrie,preglednije i lak5e moiemo shvatiti nego numeriEke tabele.

Grafikoni se vrlo.desto koriste u prikazivanju statistidkih rezultata, ierje.prikaz grafikonom jednostavniji, pregledniji i shvatljiviji od prikaza tabeiama(ni,zovima brojeva). Grafidki prikazi.olaksavaJu usporedivanle velitog broja stati-stidkih podetaka srectenih u nizove i tabele. oni postaju svakim daiom potreba

onih koji planiraju, oni su najpopularniji naEin da se prikaie uspjeh u izvrsenju

I

Sva pra r:mnoiavanja, pre5tampavanja i prevodenj a zadrlrv'l /Dru5tvo matematidara, fizidara i astronoma SR Srbi;' ,

'

)

.t P_.ostoje i spccijaliziranc ustanovs, zavodi za staristik\ koje * bavc skupljanjem i oroula-

vanjcm razliCitih podaraka datih u obliku nizova brojeva uni;etitr u razne tablice. ' 'uopsrc uzcv, grafik nekc veridinc je srika kojom prikaajemo kako se ta vclicina

ml.lcnJa.

r,rrr,,,t(

"t

Stanri,,a: Beogradski grafidki zavod, Beograd' Brrl

89



planskih zadataka, nalazimo ih na zidovima tvornidkih radionica, u urcttski'rprostorijama, Skolama. . . Grafikonu nije svrha da u,svcmu zamijeni tablicu, krrjrrje dala podatke, nego da-jasno, i pregridno izrazi odnose m"ou ueiieanamr; ,ut,,grafikoni nemaju onu tadnost koiu imaju tablice: crtanjem,

"pogoiouu .riton.,

ne moZe se. uvijek ni postiii potpuna-preciznost, podlci'se 'miraju-ponekad

zaokruZivati i sl.

- .Poznato je da je

.v. I. Lenjin, pri proudavanju socijalnih pojava velikiznadaj pridavao staristici i ona.je Eestb prisutna u tijigovim oieiinia; iiatlstletemetode bile su mu moino oruije u objasnjavanju nekih masovnih iojiva. Najednom nrjestu on pile:

,,. ..odluiio

iy 7.po-kuiam

prikazatt svi oinoine etape,,razmimoilaienja,, ryaieg (ongresa u obliku dijigrama. Takav naiin mnogima ieizgledat! veoma iudan, ali ia sumniam da je in6guie niti nekt ir:isi ni\i, irta-ganja,. koji bi stvarno generalizirao, koji bi bio iatniji i koit bi dovodio clo ito jemogute potpunijih i tainijih zakljuiaka...,,

. Irl vi5e naEina grafidkog.prikaziyanja. Dobro je nauEiti ih sve, a uporreblja-vati ongj koji nam se za odredeni zadatak diiri najzgod;rijnn. pr.i tome v"r:inort.rr-r.tida se d.obij.e vede pribliZavanje stvarnosti, sto bbfa pristupaEnost g.uii'[ono .,truo-6anju. Sirok.ih masa. Najdelie se primenjuju grafidki'prikazi linijaia i pirriironn,,1 -zati4

prikazi pomoiu simboliikih likovi (irteLi ljudi, zivotinja, kuca, proizvodaitd.) i kartogrami (uz pomce geografskih karata piikazu.ye se iaiporedcnost nckcpojave).

Obradit cemo ih na konkretnim primjerima.

l. Linijski grafikoni

Grafikon se crta u pravokutom koordinatnom sistemu. pri tome sc na

jednu osu nanose vrijednosti jedne velidine (na primjer, u."*".trki iazmacil, ana drugu osu-

odgovaraju6e vrijednosti druge veii6itre 1na primjer, temf".,,tur"y.

. Prlmjer 1. - Na_sl. I prikazan je grafikon mijenjanja ten.rpcraturcu toku 6.11970. godine u Zagrebu.

'ove godine, 22. IV, navrsava * r0o godina od rodenja vradimira lljita Leajina, osaivalapfrciu svetu scijalistiake-drtavc, tvorca Komunistidke partije Sovjetskog Saveza, uo[e-OitoUatsf.erc-v,oructJe' genrJalnog-miclioca, rukovodioca i uCitelja meiunarodnog proleterijata, Covcka visokcxulrurc. crvu stoaodisnjicu Droslavi{. svc progrsiwc snage u sv€tu, ler Lenjin iimbolizuje xxstolcdc. (Ur.)

90

Primj er 2. - U ovoj tablici dati su podaci koji prikazuju katastro-falnu poplaw Save u Zagrebu u vremenu 22-31.X1964, godine:

Dafum 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29, 30. 31.

Vodostaj (cm) 32 32 30 267 514 44O 344 272 2lO

Nacrtajmo pripadni grafikon: uz svaki datum ucrtajmo visinuSave tog dana (sl. 2).

t62

vodostaja

F

o

Prikaz

23. 2r. 25. 6. 27 a. 30. 31. oATUM

vodostaja Save u vrijeme katatrofalne poplave uZagrebu 1964. godinc.

Kada smo spojili tadke, koje smo u koordinantnom sistemu oznadili,dobili smo jednu izlomUenu liniju, Ovakav linijski grafikon nazivamo poligon

frekvencije (frekvencija : mnoZina, u6estalost nekog zbivanja u odredenom razmakuwemena i sl.).

2. PowSinski grafikoni

Kod pov5inskih grafikona (grafidkih prikaza pomo6u pow5ina) povr5ineraznih likova (veiinom geometrijskih) odraiavaju brojdane wijednosti veliEina.

Pri tome moZemo imati grafidki prikaz jedne grupe pojava (pomo6u stupaca ilidrugih likova) i grafidki prikaz strukture, tj. dijelova neke pojave (pomo6u dtje-lova neke geomertijske figure, najde56e pomo6u isjeEaka kruga).

l. Grafiiki prikazi pomotu stupaca (histogram).-Ovi

su grafikoni sliEnivei pomenutim linijskim grafikonima, samo 5to ovdje podatke iz tablice predo-dujemo pomodu pravokutnika (stupaca).

0

st. 2.

Sl. l. Grafikon promjena temDeratureza 6.l.lgi,l.

9l



r:J+, odakle rxlT,O|mma: 1,7 cm; zadrugi podatak: iz rr2 r..' 14189 sliictti

t,:Jry, odakle rrx67,2ommar6,7cm. I ove smo krugove prikazali u

mjerilu l:4 rta sl. 6 b. Na svakom dijelu slike ftrugu) napisali smo i podatke.Brojevni podaci zajedno sa grafidkim prikazom daju joi bolji uvid u odnoseizmedu pojedinih velidina koje prikazujemo.

3. Strukturni grafikoni.- Ako ielimo prikazati strukturu (grailu) neke

statistidke mase* (pojave ili pojedinih podvrsta unutar grupe pojava), onda kori-stimo strukturne stupce, kvadrate, strukturne krugove itd. Dijeljenjem povrsinekoja prikazuje ukupnu masu na manje povr5ine mogu se jasnije uoditi pojedinisastavni dijelovi te mase.

a) Uzmimo prvo primjere 7a, struktutne stupce.

Primjer l.-

Utvrdeno je da se svi ljudi mogu svrstati u 4 krvnegrupe: ljudi grupe O ima oko 4O/., grcpe A oko 39/., grupe B oko l5/", agrupe AB oko 6\. To smo grafidki prikazali na sl. 7, pri Cemu smo strukturnistupac okrenuli u horizontalni poloZaj.

TUMAd: l---_l o-cRUpA

dc

Do5E

Proizvodnju u pojedinoj godiniprikazali smo Pravokutnicimaistupcima) baze I I ukuPne visine148-(prvi stupac), 327 (drugi stu-

Dac)'i 1350 (treci stuPac). Svaki

itupac podijeljen je tako da odgo-vara dijelovima statistidke mase, tj.vrstama sintetiEkih vlakana. Takoje prvi stupac podijeljen na dije'love ll2, 12 i 24 (s1.7).

b) Za grafidko Prikazivanjestrukture neke statistiEke mase EeS-

6e se koriste strukturni krugovi,odnosno njihovi isjedci (za dije-love te mase).

POLIAMI ONA

POLIESTER SKA

P0 L tAr{R i -N r IR!.NA

St. 8. Proizvodnja sintsfiEkih vlakana u USA rr' t

Dabismokrugpodijelilinadijeloveproqorcionalnedijelovimastatis.tiCke mase treba izrallunatl-koliko stu-pnjeva-sredisnjeg kuta- (ugla) pripada

ooiedinom diielu te mase. Koristimo se-dinjenicom da se broj stupnjeva r0

A;;l prema fuoo. kutu 360" isto kao Sto, se odnosi isjedak D prema

iii"lotn 'krugu 'C (sl. 9), tj' xo:360:D:C, odakle dobijamo:

Fr i m j er 2.- PrikaZimo grafidki podatke iz donje tabele koja prika-

zr{e proizvodnju sintetiEkih vlakana u USA i predvielanja za 1975. goclinu. Utabeli je istaknuto kolika je proizvodnja pojedine vrste sintetidkih vlakana. Po-daci su izraleni u hiljadama tona.

.) Stotislilko mda- skup svih clemenata (objckata, jcdinki) icdnc marcvnc pojavo Loii

je prcdm€t statistidkog posmatranja.

94

ruvld:

m

Rl:':l

7.t-2 A-GRUpASl. 7. Podjeia ljudi po kmim

N

,m

B_GRUPA

AB_GRUPA

D.360'-0_ __

c

PoovojformuliizvadunavamokolikostupnjevasrediSnjegkuta,odgo-,u.u nito-'Olijifu statistieke mase. Naravno, moie se to za svaki pojedinadni

,frf";-i"eriti.ii'i l"anoriuvnim zakljudivanjem (putem svodenja na jedinicu).

Primjerl._PrikaZimopgmocustrukturnogkrugaov.epodatke.Jed-ne Stoisie godine od 90 polaznika'Skole za obrazovanje o_draslih .u Za',rebu s

.ifidi.ti.-".iifi"* ,.*iiti, je l0 polaznika, s vr_lo dobrirn 15 polaznika, s dobrim

;;;il; ,i6;; a;""tj;C uipjehdm 20 poiaznika, a 5 polaznika nije s uspjehomzavr$ilo razred,

Izradunajmo pripadne stupnjeve za svako obiljeZje.l,o1*33"

u gornju

formulu podatke za odliCan uspjeh: C:90, D:10, tj' x0----, odakle sli-

1955.1959.1975.sr. 9

Vrsta sintetidkih vlakana 1955. 1959. 1975. (predvid.)

Poliamidna vlakna lt2 170 360

450oliesterska vlakna t2 55

Poliakrilnitrilna vlakira 24 102 5rtO

Ukupno t48 327 1350

Grafidki smo to prikazali na sl. 8.

95



ObiljeZje odlidan vrlo dobar dobar dovoljan lnedovoljarFrekvencija l0 t5 40 20 5

Broj stupnjeva 400 600 1600 900 20"

jedi ,ro:40"; za vrlo doi 15'360'5ar uspjeh: ro -

nO - , odakle je x0:60", itd.

Upisat 6emo sve ove podatke u tabelu:

Razdijelit cemo sada k.uq .np..isjedke s sredi5njim kutovima od 40",60", 160", 80" i 20'. Tada prvi isjedak predoEule uiij-ire"rit""r*oiiienir'uspjehom, drugi s vrlo dobrim,. . . Joi smo ;vaki isj;dai;;riEito'siiri*riisr. l0).

I 939.

m9,3

Ako Zelimo prikazati geografsku rasprostranjenost (rasporeilenost) nekog

obiljeZja (pojave) na nekoj teritoriji, onda se na geografskoj karti tog podrudja

ucrtaju dijagrarr^i koji prikazuju dotidna obiljeZja (ucrtavanje razliiitih likovapredmeta koje Zelimo prikazati ili njihovih simbola; ucrtavanjem tadaka prika-iuje se frekvencija neke pojave ili obiljeZja; ucrtavanjem kvadrata, pravokutnikaili- krugova istiiu se brojEane karakteristike nekog obiljeZja; Srafiranjem ilibojenjem pojedinih sektora karte istiEe se zastupljenost odredene pojave na

odgovarajuCem podruEju; itd.). Pri tome, broj taiaka.ili likova i njihgva gustoia,

povr5ina ucrtanih geometrijskih i drugih likova, razlidite nijanse- boja itd. treba

ia budu razmjerni intezitetu obiljeZja, odnosno numeridkim podacima, koji su

I e6o

T

9l.)

t{I r?39,9

IUl,tAd ( LEGENDA )

f---tIIIIT]TTTM

l.rlWt:E- l

NEDOVOUAN

DOVOUAN

DOBAR

VRI"O DOBAR

ooudaH

ruuad;

f-l o-GRUpA

77'VZ) A-c;iUpANl a-cnupa[a+r'ti,d Ae-cRUpA

Sl, 13. Proizvodnja koZne i gumcne obuce u

Jugoslaviji (u milionima pari)

4. Kartogrami

Sl. 14. Proizvodnja etekt. energije u Jugoslaviji(u milionima kwh)

Sl. 10. Uspjeh polaaika Skole za obrazovanje Sl. ll. podjela ljudi po krvnim grupunraodraslih u Zagrebu

.. Primjer 2.- Podjela ljudi po krvnim grupama, koju smo na sl. 7prikazali pomoiu

struktu'rog stupca, moie se izrJ,ati i il p;;J-;iiuLtu.nogkruga (sl. ll). posto cio krug (360') obuhvata r00\ G""-rj;d"t;"i"-'iz tri,iprikazan sa 3,6", pa ce procentima'4o/,, jg%, l5r; i aZ'iai6r*.ii ir'"e.i ,centralnim uglovima redom: 144., 140,4.',-54" {It,e.."

3. GrafiCki prikazi pomodu simboliCkih slika i figura

- Kod ovog vrlo popularnog ipristupadnog na6ina grafiElog prika-zivanja, statistidke podatke o

-nekoj

ppjqvi i odnosima veliiina u njojpredodavamo idealiziranim (simb[i-kim) figurama, najEe56e nanizanim uredove, pri demu jedna figura pred-stavlja jedinicu statistidke mase. Tak-vi grafikoni (dijagrami) ponekad sezovu piktogramt. Kod ovakvih grafi6-kih prikaza treba paziti

da se figureuve6avaju ili umanjuju uzimajudi uobzir da linearno pove6anje uziokujepoveianje povrSine na kvadrat.

Grafikone ove vrste imamo naslikama 12-14.

96

12. Proizvodnja plcnicc u nekim rcmljama195E. god, (u milijunima rona)

r8'102

't0 3l 29 11,5

W w ,ySSSR SAD KINA FRAICUSKA

Sl. 16, Rasprostranjenost lljiva u Jugoslavijil. 15. Razmje5taj velikih gradbva(s vi5e od 100000 st.) u Americi

97

t

tL

I

J. Bynasunoilh (Eeorpas)

PEIIIABAILE KOHCTPIIKTIIBHI{X 3AAATAKA

II

V npournolr 6pojy ,,Mar. rucra" (crp. 5-8) perueHo je uexo-Jrr,rxo KollcrpyKTr4BHrlx 3aAaraKa y rojnva ce Koptrcrlraa oco6unaocHoBurII,rHe BuclIHe JeAHaKoxpaKor rpoyrura. V osoM rrraHxy noxa-

saheN4o HeKoJrr,rxo 3aAaraKa rojr,r ce Mory peunru norraohy oco6ngecr,rMeTpane ,4yxr{.

IIIra je cr.rMerpana Ayxr,r u xojy oco6uny urraajy ravxe ua rroj?

Cr.ruerpana 4yxn je npaBa roja npola3u Kpo3 cpeAr.rHy Ayxr.rr4 HopManHa je na roj Ayxr,r. [Iera je MN ua xoja4yx (cr. 1), a S rbeHa cpeAr.rna; ra1a je npanas (s-|-Mff, Sgs*)) meua cr.rMerpana, Kaparrepu-crl{yHa oco6uua cBaxe TarIKe na cr.rMerpa rH Ayxuje aa je ua jegnaxou pacroiarry o4 xpajera Ayxx.Axo je P va roja raqxa Ha npanoj J, raAa cy npa-Boyrnu rpoyrnx MSP u NSP rro4y4apuu, na jeMP:NP, rj. raura P. je ua jegHaxou pacrojamyog xpajena pyxu M u N.

Ha ocHony noMeHyre oco6une cul4erpane Ayxr4 Moxe ce pe

Irrnru Br,rrue je4uocraaHtx KoHcTpyKTr.rBHrlx 3aAaraKa.

Onge heuo u3Jroxr{Tr,r rrer raxBr4x 3aAaraKa.

3aAarar l.-

Ha gautoj upaeoj p ogpeguwu tuaurcy xoja jeje ua jeguaxou pacutojatuy og gdwux tuaqaxe A u B.

Onaj sa.qaraK, Aar y ApyroM o6lury, perreH je y npouuorra6pojy, na Hehero noHoBr.rru lberoBo peurerbe (:aa. l).

3aAarax 2.-

Ha galiroj4 Kpyiy p uahu tuaurcy rcoja je uajeguaxon pacmojarby og geejy gatrrux taaqaKa A u B.

I,I oeaj 3anarax, Helxro apyr<vuje $opvynr.rcau, peueH je yrpournoM 6pojy (rar. 2).

3aAarax 3.-

Ogpegumu maqKy rcojajeua.jeguaxoupacmo-jarcy og tupu gatue waqxe A, B u C.

P e ur e rr e. -Hajnpe rpe6a aa ce yrBpAr.t

KaKo ce Moxe oApeAr.rru TpaxeHa raqra. O6enexra-uo ca M rauxy xoja je na je,tuarov pacrojaruyoA .qarfix rarraKa A, B u C (c,r. 2). floruro je oua

njima prikazani. Ovakvi crteii nazivaju -se

kartogrami (dijagramske karte, piktogra/r i sl.).Nekoliko grafidih prikaza ove vrste ima-

mo na sl. 15-18.***

Naveli smo nekoliko nadina grafidkogprikazivanja statistidkih podataka koji se naj-Ee56e upotrebljavaju. Naudite ih sve, a upotre-bite onaj koji vam je za postavljeni zadataknajzgodn ij i, najprikladniji.

U cilju uvjeibavanja upu6ujemo vas darije5ite i zadatke 513-515. u rubrici ,,Odabra-ni zadaci"(str. ll4).

***

Sl. 18. Odnos livldt i prlrrjrrkau Jugosluviii

l--a r

"-,erL6rE5,(QSl. 17, Robni promet 1962. godine na glavnim icljeaiCkim stanicama u Jugoslaviii

Cn. 2

98 99

Ha JeAHaKoM pacroJalby oA Tarrar(a A u B, oHa Jrexu Ha cr{MerpaJrH.uyxri AB. I4cro r"4rxo, raqKa M je u Ha jeAHaxoM pacrojar+,y o4TaqaKa A u C, rra Jrex[ Ha cr4Merparu gyxu AC. 3ua.rl,r, oBaKocMO yTBpAr.{Jrlr KaKo Moxe Aa ce r,r3BeAe xoncwpyrc4uja:

1) uajnpe ce r(oHcrpyrlruy crrMerpaJre J r.r .9t

nyxu AB u AC (cn. 3);

2) o6ercxu ce ca M npeceqHa ratrxa cr.rMerpa-Jra J 14 s, u cuojn ca AaTuM TatrKaMa A, B u C:

raqxa M je rpaxeua raqKa.Karo ce Moxe yrBpALtrv Aaje ro eaucra rpa-

xena raqxa? flpanu AoKa3 ce re cacrojr.r y ynopelr.r-Balby AyxnHa 4yx.pt AM, BM n CM Hero ce Moxe r.r3Becu Ha oeajHaqr4H: Tagxa M texu Ha cr.rMerpanlr J Ayxo{ AB, a oco6uHa cBaKerarrKe oBe cnMerpaJre je aa je Ha jeAsaxou pacrojany oA KpajeBaAyxr4, na je AM-BM. Ha Hcrr4 Ha.rraH, uoruro ra\xa M rexlr Hacll_Merp_anu J1 Ayxr{ AC,6uhe AM:CM. Ha xpajy, cne4yje 4a jeAM:BM:CM, 'rj. AoKa3aHo je Aa je M rpaxeua ra'rxa.

-

Kaxo ce ABe flpaBe ceKy caMo- y jeaxoj Tarrxr.r, To nocrojr.rcauo je4ua ra'rxa M ca oBoM ocoEuuov, rj. ragarar r{Ma caMojegno peruewe. KaAa ce Moxe AecHTu Aa 3a1araK HeMa perueua?

-xo raqxe A, B n C nexe Ha je,qxoj npanoj raga je"ll"r,

nu""raqxa M He Moxe oApeAr.rru.

flourro je ravra M ua jeauaxorvr pacrojarby oA rataxa A, Bu C, rroxe ce KoHcrpyr4carr.r Kpyr c rleHrpoM y rarrrfi M xojn henpoJra3r{Tr{ xpo3 TorIKe A, B u C. 3aro ce oeaj 3aAaraK Moxe r.r

onaxo Sopuyrucarili Roncwpyucawu rcpyl rcoju ilpoLtasu Kpos utpugawe waaxe A, B u C,

3aAararc 4.- Roncrupyucawu Kpyi gamoi uorryilpearurcaxoju

ilpotasu Kpo3 g6e gawe waurce.

Cne raqxe xoje r.rrvrajy jegnaro pacrojane oA TatIKe I le.xe na

jegnor"r HoBoM Kpyry c IIeHTpoM y raqxu A n notynpeqHl4KoM /.OAasAe ce Moxe 3aKJbyqI,ITI{ Aa ce rar{Ka O ualazu y [peceKy cuMer-

paJre Ayx[ AB u xpyra c IIeHTpoM y raurn A u notynperlHllKoM

roju je je4nar 4aroj ayxu.3aro ce Moxe l,t3Becrra c.ne.qeha rcoucutpyrc4uja:

1) npno ce KoHcrpynue cLIMerpaJIa J AyxI,I AB (ctt. 5);

2) zaruu ce Koucrpyr{me Kpyr k, c qeurpoM y raqKu A tujrt"je nonyupeuHr{K Aara xyx MN:r;3) o6enexe ce ca O ra O' upece{ne rarlKe cl'rMerpaJre J H Kpyra

/<r; xoncrpyuuy ce KpyroBI{ k u k' c IIeHrpI{Ma y raqKaMa O s' O'

r.r troJrylperrnrrKoM r; .qo6[jeHu cy TpaxeHI{ KpyroBfi.

Cn. 5

floruro cy Ao6I,IjeHa ABa Kpyra, Kaxe ce Aa 3aAarar vua gsa

peluelba.

,{onoruo je uoxaaaru aa je jeaan oA oBa ABa xpyra rpaxeHu

xpyr. floruro rarrKa O texu Ha Kpyry k1, "ro je rreuo pacrojane

oa qeurpa. I osor. rpyra jegxaKo rIoJIylpeqHLIKy, rj. OA: r' a oBo

3uaq[ Aa je pacrojane raqKe I oA II€Hrpa O xpyra & jeAuaro r,rj. rauxa A texu Ha Kpyry k. Kaxo rav;na O Jlexrr Ha cI'IMerpaJIu

s, ro je OB-OA rj. OB:r, rla 3Haqr Aa I'I raqKa B nexu na

xpyry k. flpervra roMe, Kpyr k uponalH Kpo3 ralrre A u B u [oJryr-pet{Hr.rK r"ry je jegHax garoj AYx[, ua je ro rpaxeHl'I Kpyr.

Peurene.- Hera je rpyr ft c qen-

rpou O rpaxeHra xpyr (cn. 4), a .raqxe An .8, xoje Jrexe Ha rbeMy, Aare raqKe. floruroje nonyuperlHrax Kpyra rro3xar, gonoruo jeo.qpeAr.rrr.r rberoB IIeHTap. Kaxo ra.rxe ,4 ra

.B nexe HaKpyry, rleHrap O je ua

je4ua-xovr 'pacrojaby oA oBr{x raqaKa, rra Jre)Ku

Ha cr.rMerpamr ayxu AB. floruro je ro3-HaTa Ayx AO:r, [o3HaTo je u pacrojarreqeHTpa O rpaxeuor Kpyra oA gare rauxe A.

A

Cn. 3

100

Cr. 4

t0l

Zr roucrpyxqr,rje ce BvAt4 Aa cy go6ujeHa ABa peuerba. To jey cryqa1y xaA cr,rMerpana J cerre Kpyr k, y gneva raqxaMa, a rohe 6nrr axo je ,rL nu. Cuuerpara s gogupyje xpyr k, axo2

Ir :

-AB; raaa 3aAaraK Hua jeguo peruerle. 3aAarar Hehe uuarr,r pe-

2

.truerba aro Je r<- AB, jep ra,{a npaBa s He cese xpyr ftr.

23ularar 5.

- fiatua je tuauxa A u gyzr BC. Kouctupyucatuurcpyi rcoju ,tpora3u rcpoz tuauxy A u uua tueutuay BC.

Peurene ocraBJbaMo qr.rraoqy.

IIITA JOIII TPEEA 3HATII O qETBOPOYTJIY

1. V nperxo4Ho*r 6pojy ,,Mareuarurxor lrcra,. (Mn IV, 1-2, crp. 19)roBopunu cMo o rrpocroM r,r HerlpocroM qerBopoyrny. KoA 6uno xaKBor.qer_Bopoyrna pasnuxyjervo cycegtd u HecycegHa reMeta; aBa cyceaHa reMena npx_nagajy ucroj crpalraqn, a ABa HecyceAga reMeHa

-pa3yMe ce

-pa3rHqHTHM

crpaHurraMa. Ha npuvep, Henpocr qerBopoyrao ua cn. I rrua cleAehe fiapoBecyceAur{x reMena: A, u Ar; A, ! Ati A, u Ao; Ao u A, (narure, A, u A, uucycyceAga reueHa). [yx roja cnaja Ara HecyceAga reMeHa qerBopoyrura 3oBe ce

xao rrrro je norxaro, gujaioxa.aa qewsopoyi,ra.

?: ! ]"*! je 6r.rrna pa3nma nruely npocrnx rrerBopoyrnoBa ua cn. 2 an sr, 2 b? .{a 6r.rcvo ry pa3nr.rxy orrpunv, rroByrlr{Mo r.uur ql4arouane; na ur.2 a

A2

Je i

)

ilMa r,r raxBrx raqaxa Aa ,qyx xoja ux cnaja He upuuaga 4eta o6t;.ac'ru rorqerBopoyrna Qtnp. MrN,

"P, Q), veh u3ilarr \t BaH qerBopoyrna ArBrCrDr,

Turvre cr"ro or(pnnu rpaxe{y blrrxy pauuxy urrrlely r{erBopoyrroBa Ha

ct. 2; csu qerBopoyrnoBn roju-

xao n oxaj sa ct. 2a-

uuajy rope rroMe-uyro crojcreo cy KoHBeKcHE, a cBv qerBopoyrnoBn xojr,r r.rtrajy ucro crojcrnoxao ouaj ua cn. 2 b cy nexouoercrx (urul ronxanln) qerBopoyrroBn. .(axre:

a) uerropoyrao ca caojcrroM Aa Ayx xoja cnaja 6lrno xoje neroBe ABe

Tarrxe yBeK rreJra rrpHnaAa o6racnr ror r{erBopoyrna je xoneexcaH veutsopoylao(a. xnp. cn. 2a);

b; vernopoyrao rojn sMa H raxBnx raqara .qa

ayxxoja nx cnaja ue

nprrraAa rrena obnacru ror qerBopoyr na je nexoneexcat ueutlopoyiao (o, nnp. ctr 2b).

3. Crnqno qerBopoymr4Ma, r,r ocraJrn M{oroyrJrlr cy vrru xodBexcEu r.rJrr4

HeKoHBeKcHrr; naqprajre no je4au KoHBeKcaH n no jegan gexoHBeKca{ neroyraon ocMoyrao.

4. Voquuo carvro py6 trerBopoyrra, rj. rarnopery r.r3JIoMJbeHy tnuujy ypaBlrr{ cacraBJbeHy o.q qerr4p[ .qyxr,r. C obrnpolr Ha KapaxTepncrr.rqEo crojcrror(orrBel(cHr,rx {eTBopoyrnoBa, JacHo Je aa cBaKa rlpaBa KoJa ceqe TaKaB qerBo-poyrao a He rlpoJra3u xpo3 ABa cyceAlra reMeHa ulnaa uajeuute gee tajegauuxemaqKe c rr{M qerBopoyrnou (cn. 3 a); rvreSyrrrvr, axo je qerBopoyrao HeKoHBeK-

can, TaAa ce yBeK uoxe noryhu npana roja c rnM rlerBopoyrnoM r{Ma rrernpl{

vnv rpu raje4nnuxe raqKe- AaKre, suwe og goe sajegnuqKe naqKe (cr. 3 b).

-Ha ocnony oBor nocJ.reAr6er Moxe ce Aoxa3arr,r Aa Je cBaKH Henpocr lrerBopo-yTao HeKoHBeKcaH.

Cn.3a Cr'. 4

5. Ha6pojrrro 4o6po rarvr llo3xare KoHBexcEe rr€rBopoyrne: KBaApar, rrpa-BoyraoHr,rK, pornr6, pou6or,rA, Tpa[e3, Tpane3oxA r.r, xao noceEau c,nyvaj rpane-3or.raa, Aerrroua. Hexonsexcnn qerBopoyrnr.r o6uwro nerr,rajy rexo noce6ro urre;u3y3eraK qttHu geKoHBeKcaH u rrenpocr qerBopoyrao ga cl. 4, xoj[ uva asanapa cy[porrr.rx jeqaaxux, anr{ HeflapaJrenlrux cTpaunua (AB:CD, BC:DA);TaKat, qerBopoyrao 3oBe ce axutuuepanerorydM.

6. Eso fiexorlxo rnrana u 3aAarana (Ta.rgocr caojnx o4noaopa npoBe-pxre y HapeAHoM 6pojy ,,MareIuarnqKor nracra"):

l. .{a nu je ceaxu npocr rrerBopoyrao }rcroBpgMeHo H xonrexcau? ,{a

.nlr je cearu KorlBeKcar{rrerBopoyrao

}rcroBpeMeHo u npocr?2. Moxe Jrr,r KorIBeKcaH rrerBopoyrao 6lrru nenpocr? Moxe rn HeKoH-BercaH rrerBopoyrao 6nru: a) [pocr; 6) uenpocr?

3. .(a an je Aosorbno pehu carvro: xoHBeKcaH rrerBopoyrao, yMecroKoHBeKcaH npocr qeraopoyrao? .{a ru je yuecro: xoHBexcafi rrpocr qerBopo-yrao

- AoBoJbHo pehu cauo: npocr ueruopoyrao?

B

41 43

Cn. IAMBAI

Cn.2a Cn. 2b

obe 4ujaronane AC u BD, npnnaaajy o6nacru qerBopoyrna (a obnacr npocror

qerBopoyrna qrHe cBe oHe rat{Ke xoje ce Hana3e rla }reroBHM crpax[qaMa r.rcBe oHe ravre roje ce IIaJra3e ylryrap ror qerBopoyua), urro ce KparKo Kaxe:o6e 4ujaronare Tor {erBopoyrna Hana3e ce y ueniopoyiay; rr,rebyruv, tta cn. 2bje4ua 4ujaronana (8,D,) HaJra3u ce BaH Tor uehaopoyim.'Ocr4rv{'Tora, nacn.2aAyx xoJa cnaja 6rlo xoje ase ,rrBe raqre y qerBopoyrry (H[p. pe) nnw naqerBopoyrny (rup. Mnf 4ena upuuaga o6.nacrr qerBopoyrna, aox Ha ct. 2b

t02

C-n. 3 b

r03

4. Kaxgnx r,tMa HexoHl(aBuux vernopoyrnona?5. Axo rpocr HeKoHBeICcaH qerBopoyrao ilvra nBa napa jeguarux crpa_

HHua, .EoKa3arH Aa cy vy AujaroHale HopManHe. (Hauprajre najnpe jeaanTaKaB rrerBopoyrao).

6. Axo cy y npocroM HexoHBer(cr{oM qerBopoyrny grajaroxane HopManne,.qa nH Tar(aB qerBopoyrao Mopa r.rMarr,r ABa rrapa je,qnarax crpauuqa?

7. loxazaln qa cy grajaroHane arTtlapallenorpaMa rrapareJrHe.8. Aro gy ,qrijaroHane jegaor yerBopoyrJra napanenHe, ga ru raj rereo_

poyrao uopa 6lrrg aHrlrnapanenorpav?

9. [a nu nocrojuqeroopoyrao

cje4uarrav r napaJreJrxr{M4ujarouanaua?10. Haqprajre npocr H Henpocr HeKoHBeKcaH x ocHo cnMerprrrraH qer_BOpOyrao.

HanoMeHa.-

Ogroropr Ha rrr,rralba rpe6a 4a 6ygy obpaaloxeHu.

(Hactuaaufte ce)n.

mozga; naime, struktura mozga nas ne zanima (za nas je mozak u tom sludajusvojewsna ,,crna kutija"), ved .samo struktura i forma njegovog zakljudivanja.

VaZno je jedino to kakve informacije (u vidu skupa

Pr+Pr*Pt*

3. Logika nas uii pravilnom zakljuiivanju.-

Pretpostavke (premise) pret-stavljaju u neku ruku materijal koji se koristi u zakljudivanju (rasudivanju), a

zakljudci-

gotovu produkciju zakljudivanja. A kada je zakljudivanje dobro, tj.pravilno? Ako uzmemo koju bilo ljudsku delatriost, onda 6ete se svakako slo-Ziti s time da je ta delatnost dobra (kvalitetna), ako se putem nje od kvalitet-nog materijala dobijaju kvalitetni proizvodi; na primer, krojad dobro Sije odelo,ako on od dobrog Stofa uvek sa5ije dobro odelo. To takode moZemo re(,i i za

zakljuEivanje. Nadin na koji se dolazi do nekih zakljudaka je dobar, ako on iz,,dobrih" pretpostavki uvek daje ,,dobre" zakljudke, A kada pretpostavke ilizakljuEke moZemo smatrati ,,dobrim"? Odgovor je jednostavan: samo ako suistiniti, tj. ako odgovaraju stvarnosti. Prema lome, pravilno je ono zakljuiivanjekoje od tainih pretpostavki uvek dovodi do tainih zakljuiaka.

Od davnina su ljudi postavljali pitanja: ,,Kako rasu<Iujemo? Kako dapravilno zakljudujemo?" Pojedini mislioci pokuSavali su da dodu do pravila(recepata, shema) pravilnog zakljuEivanja.

U svakidainjem Zivotu i raznim naukma, zakljudivanja (rasualivanja) mogu imati razlititusadrZinu, ali jednu te istu fomu, oblik. Evo dve tvrdnje: l) Svi kvadrati su paralelogrami, svi pa-ralelogrami su aetyorougli; prema tome, svi kvadrati su ietvorougli. 2) Svi konji su sisari, svisisari su 2ivotinje; prema tonre, svi konji su Zivotinje, Ove tvrdnje razlidite su po sadrZini, aliimaju jedan te isri oblik: ,,Svi A su B, svi B st C; prema ton1e, svi A su C". Tadnost zakljuakaovdenezavisi od konkretne sadriine (tj. da li je red okvadratima, detvorouglima, konjima i sl.),ve samo od oblika (forme) polaznih pretpostavki i zakljuika, a on (oblik) je u oba primera isti,

Nauka o op5tim zakonima (pravilima, shemama) mi5ljenja, a posebno pra-vilnih rasuelivanja, zove se logika; a buduii da ona izudava samo forme miSljenja(rasuilivanja, zakljudivanja), ne uzimajuii u obzir njegovu konkretnu sadrZinu,to se ona desto naziva formalna logika. Osnivai ove logike je duveni grdkifllozof Aristotel (384--322. god. pre n.e.). Logika se razvijala i usavr5avala utoku mnogih vekova. Intenzivan razvitak u ovoj nauci zapoEeo je tek od polo-vine proSlog veka, kada su se u njoj poiele primenjivati rnatematidke metode,tj. kada je znameniti engleski matematidar DZordi Bul (G. Boole, 1815-1864)u knjizi ,,Prouiavanje zakona miiljenja" poku5ao, kako sam kaZe ,,da ispitaosnovne zakone pravilnog mi5ljenja, da th izrazi simboliikim jezikom i na osno-vu toga da izgradi metod ove nauke. ..". To je dovelo do toga da je logika

postala samostalna i veoma sadriajna naudna disciplina.Kao 5to je poznato, logidko, tj. pravilno mi5ljenje (rasudivanje) narodito

je karakteristiEno za matematiku. Dugo je logika sluZila matematici: matematikase oslanjala na zakone logike. Ali je do5lo vreme kada je matematika podela

sluZiti logici, jer naudnici koji se bave logikom koriste se dostignu6ima matema-

pretpostavki, podataka) dospevaju u mozak i kakav. , zakljudak on daje (pri tome, ako su pretpostavke+ L

tadne, zakljudak ne moZe biti netadan). Na ovoj slicipretpostavke su oznadene sa Pr, Pr, Pr, a zakljudaksa Z. Samo zakljuEivanje shematski se obieno zapi-suje ovako:

Pt,P2, P3, . ..

z'

B. Marinkovi6 (Beograd)

AZBUKA KIBERNETIKE(nastavak)

III. KAKO SE RAEUNA SA ISKAZIMA?(Algebra iskaza)

1. eime se bavi logika?

l. Zakljuiivanje -- jedan od puteva proiirivanja naiih znanja. - U sva-kodnevnom iivotu, kada je potrebno da neSto saznamo, da dodemo d. odrede-nih podataka, ob(!o pogledamo u udZbenike, prirudnikl, enciklopcclijc ili, pak,nekoga pitamo. Meilutim, ponekad poku5avamo da do odredenih- podaiakadodemo ne koristedi bilo Eija znanja, vei samostalno

-na osnovu ..ip"tu"nog

znanja_i.podataka kojima raspolaiemo. IJ cvom sludaju to dinimo bilo puremopita, .b.ilo, u_z pomoi pravilnog zakljutivanja (rasudivanja, miSljenja). Teiko .|ei zamisliti kako bi oskudna bila na5a znanja ako ne bismo uiili-da-rasudujcrno,da zakljuEujemo; ne bi, naravno, bilo ni kosmidkih letova, niti drugih dostig-nu6a nauke i kulture.

- ?. t{gt g -zakljutujemoT -Pri zakljudivanju imamo posla sa c.lve grupe

podataka. ili informacija:.a). pretpostavke ili premise od kojih se polazi, tjl po-daci kojima se do zakljudivanja raspolaze, b) zakljuici ili posteiice, tj. podaciizvedeni upJavo putem zakljuEivanja. Na taj'nadin, iz onofa Sto znamo'(pret-postavke) dobijamo neke nove podatke (zakljudke) safno putem rasudivanja(zakljudivanja), bez direktnog korii6enja drugih infoimacija.

-

Misaonu delatnost Eovekovu mogu6e je izudavati sa raznih stanoviita.Na pr.imer,_ u fiziologiji i psihologiji izulava se kako u samom mozgu lcec pro-ce,s miSljenja, kako se ia bazi ved postojeiih misli raclaju novc nrisli (zlkliLricit.Medutim, ne mora nas interesovati ita se de5ava u dovekovom mozgu dok onmisli, dok rasuduje, ved moiemo izuEavati samo rliiljenjc kirp gsttiv prqtluLr

104 l0s

tike, posebno njenim preciznim jezikom. Stvorena je nova matematiika grana,nova nauka

-matematiika logika. Matematici je i sada potrebna precizna

logika. Drugim redima, najpre se matematidka (simbolidka) logika razvijala kao

,,matematika logike", zatim kao ,,logika maternatike".

MatematiEari su danas u moguinosti da prevedu na jezik formula i jed-nadina logidke zakljudke i sudove iskazane 6esto veoma dugim reEenicama.

Matematiika logika u danainje vreme nalazi Siroku primenu u najrazlidi-tijim oblastima nauke i tehnike. U matematici se uspeSno primenjuje u re5a-vanju kako teoretskih, tako i disto praktiEnih problema. Narodito je znaEajnanjena primena u kibernetici. SloZeni automatski sistemi, posebno rad raznih

raEunara, ne mogu se ni zamisliti bez matematidke logike. Upravo, koriste6izakone matematidke logike, naudnici i inZenjeri uspeli su da stvore kompjutere(elektronske radunare ili ,,mozgove"), razne robote i slidno-i tako ostvare viSe-vekovnu ideju mehanizacije logidkog zakljudivanja. Medutim, ove ma5ine (auto-mati) ne mogu u svemrr zameniti 6oveka. eovek je taj koji za njih stvara pot-reban program (daje ,,dnevnu zapovest") i tek tada one nepogreiivo i veomabrzo reiavaju i najkonplikovanije m.atematidke i logidke zadatke.

U daljem izlaganju upoznaiemo osnovni i najprostiji deo matematiikelogike

-takozvanu logiku ili algebru iskaza, koja sc jo5 naziva iskazani roiun,

Bulova algebra i sl.

4. Algebra iskaza.-

Moida cete se upitati: Zar postoji i takva algebra?Odmah moZemo ogovoriti da postoji. I upravo je ova algebra neobiino vaZnau kibernetici.

Kao i u svakoj algebri ili aritmetici i u ovoj moraju postojati objckti s

kojima se raduna? A sa dime se tu raduna?

Odgovor je jednostavan; Sa iskazima, tj. redelricama odredenc vrste (u

kojima se ne5to o nekome ili nedemu govori, saop5tava).

2. Sta su iskazi?

(Iskazi. Iskazne forme)

l. Iskaz. - Red ,,iskaz" svima vam je dobro poznata. Vcrovatno ste,ne jednom, tu red upotrebljavali pribliino u istom smislu kao i rci ,,reienica".Svaka reienica je ,posebna jezidka konstrukcija redi, koja izraLava odredenumisao (konstataciju, ubedenje, nameru, Zelju, sumnju, moguinost, zahtev, iulnuangaZovanost). Svaka prosta reienica ima neki odreden samostalan sadrZaj.Ako je redenica prosta, onda njeni pojedini delovi ne mogu izraZavati odrcdenei jasne misli.*

Redenica-

izjava, u kojima se ne5to saop3tava, ima raznih: potvrdnih()Neretva se uliva u Jadransko more<(,'>Muha je vo'ca od slona<, >>2.2-4<<,

>Broj 12 je deljiv sa 3 i broj 13 je deljiv sa 5<<), upithih (>Sta radiS'1.., >Kosi?<<), uskliinih Q>Ura!<, >Dodi ovamo!<, >Svi na izbore!<), bezliinih ohrta reii(>On, ako ide medutim kvadrak<) i dr.

A zar je svaka od njih objekat u algebri iskaza?Naravno, nije svaka.

* U vainim razgovorima misli ne treba izraiavati. skra6eno, ne treba ispu5tati nijedan deoreienice, Medutim, u svakodnevnom zivotu, tezeii da upotrebimo Sto manje redi, obidno na to nepazimo, desto dak umesto punih naziva govorimo skra6enice i sl.

106

U iskaznoj algebri iskazom temo nazivali samo onu potvrdnu reienicu,koja ima jedno i samo jedno od ova dva svojstva: ili je istinita (taina) ili jeneistinita (netaina, laina), ali ne i jedno i drugo istovremeno. Drugadije redeno,

iskaz moZe da ima samo jednu istinitosnu vrednost: ili 1 (istinit, tadan; ili Z(neistinit, netadan, laZan). Pri tome pretpostavljamo da u principu postoji mo-gu6nost da se ustanovi da li je dati iskaz tadan ili nije (mada mi to moZda inismo u stanju). Misaoni sadrZaj iskaza zove se sud.

Navodimo nekoliko primera iskaza-

objekata iskazne algebre:

1) Neretva se uliva u Jadransko more

2) Broj 4 je manji od broja 6

3) Posle utorka je sreda

4) Postoji prirodan broj x takav da je x< 10

5) Zbir unutra5njih uglova svakog trougla je 180'

6) P. P. Njego5 je napisao roman ))Na Drini iuprija<7) Broj 23 deljiv je brojem 2

8) 5.5 :209) Za svaki broj a je a2:4

l0) Dijagonale pravougaonika su jednake i uglovi su mu o5tri

11) Taino kroz 1000 sati u Beogradu ie padati ki5a

12) >;SneZni dovek<< na Himalajima postoji.

Ovo su bili iskazi odreilene istinitosti: prvih pet iskaza (l-5) su isti-niti, tadni (1); slede6ih pet iskaza (6-10) su neistiniti, netadni, laLni (L);jedanaesta redenica takode je iskaz za koji ce se kroz 1000 sati modi re6i da

li je tadan ili nije; poslednju redenicu takode smatramo iskazom u navedenom

smislu, jer je ona nesumljivo ili taina ili netaina, rnada ne znamo 5taje

odto dvoje u stvarnosti.

Upitne i usklidne rebenice, kao i razne bezliEne obrte redi ne smatramoiskazima (Kako si? Pomnoii 5 sa 3! Svi na izbore! Samo to!); govoriti o

istirritosti ili neistinitosti takvih redenica uop5te nema smisla.

Nisu iskazi ni ovakve reEenice: >Bitka na Neretvk je dobar film; Mate-matika je zanimljiv predmet. Naime, nema niti moZe biti jedinstvenog mi5ljenjao tome da li su ove redenice istinite ili nisu; na primer. za neke je matematikainteresantan predmet, .a za druge nije.

Redenice: >Padao je sneg<, >DuZina puta je l0 km<, >>x+2:5<< - takodenisu iskazi; da bi imaio smisla govoriti o njihovoj istinitosti ili neistinitostipotrebni su dopunski podaci, tj. potrebno je preciznije reii: kada i gde jepadao sneg, o kojem konkretnom putu je reE, koji broj je oznaEen sa x.

2. Iskazna forma. - Redenica >>x*2:5<< nije iskaz, jer se ne rnoZe

reci da li je istinita ili neistinita sve dok se promenljiva x ne zameni nekimkonkretnim brojem ili dok se posebno ne naglasi da to vaZi za svaku vrednost

ili samo za neke vrednosti x. Ako se pak umesto promenljive x stavi kojabilo njena vrednost, onda 6e se dobiti iskaz, istinit ili neistinit- zavisno od

toga koji je broj zamenjen umesto x. Naime, svakoj vrednosti promenljive iznekog skupa brojeva, odgovara u ovom sludaju ili istinit ili neistinit iskaz.

Neka, na primer, vrednosti promenljive x u jednakosti x+2:5 budu prirodnibrojevi: l,2,3,4,. . . Tada 6emo imati:

t07

r

U prvu kolonu pisali smo brojeve koje sno zamenjivali umesto x, udrugu

-rezultat te smene u jednakosti x t2=-5, a u trecu - istinitosnu

vrednost dobijenih iskaza.

Kao Sto vidite, redenica >>-,c+2:5< je istinit iskaz samo za x..3, ier jezaista 3+2:5.

Takva reienica, koja sadrZi promenljivo (jcdnu ili vi5e) nije iskaz, ve6

lzv. iskazna fornru (ili forma za iskaz), koja postaje iskaz (istinit ili neisiinit)kada se te promenljive zalnene nekim njihovim vrednostima (najdeice, kon-kretnim brojevima).

I redenice: 1) >Ona je plavu5a<Priroclan broj je deljiv sa 3< -retstavljaju samo forme za iskaze: prva postaje iskaz (istinit ili neistinit) sarnokad se umesto zamenice ))ona( stavi ime neke odrcdcnc i,ene (iz. nekog skupaZena); druga redenica postace iskaz ako se umesto redi >prir. broj< stavi nekikonkretan prir. broj. Te redenice mogu se zapisati i ovako: ly >Zena.r jeplavuiaPrir. broj y je deljiv sa 3<.

Iz formi za iskaze mogu se dobiti iskazi ne sA,no zarncnjivanjenrpro-

menljivih njihovirn vrednostima, vei i pomocu specijalnih redi, kao Sto su:>>svaki<< (ili njegovih sinonima

-redi istog znadenje: ))svi<, >bilo kt.rji>postoji<< (kao i pcmoiu redi: >neki<<, >bar jedanPostoji Zena koja je plavu5a<-

istinit iskaz.

>Svaki prir. broj y je deljiv sa 3< - neistinit iskaz.

>Neki prirodan broj y deljiv je sa 3( - istinit iskaz.

Sta mislite, da li je slovo y u poslednje dve redenice-

pronrcnljiva?Nije, jer nema smisla umesto njega stavljati rreki odredeni prir. broj. Me<lutim,u reEenici >Prir. broj 7 deljiv je sa 3<, y je pretstavljalo promenjivu. Tokva>biv5a<< promenljiva naziva se vezana promenljiva.

U daljem izlaganju pod )redenicom(< podrazumevaienro >iskaz< ili >fbrmuza iskaz<.

P r i m e d b a.

--Svaki izraz koji sadrZi promenljive zovcmo Jbrnta. Na

primer, x-t2 je forma z-a broj. Ako se umesto promenljive x stave konkretnibrojevi, dobiie se brojevi (a ne iskazi); recimo, za x- 3 forma (izraz) .v+2postaje broj 5.

Potrebno je da dobro zapamti5 kakve redenice moZemo koristiti u iskaz-noj algebri, a kakve ne.

108

3. Oznaiavanje iskaza. Iskazna slova.-

U obidnoj algebri slovima ozna-davamo brojeve, promenljive, . . . Mi iemo ovde slovima ozna6avati i iskaze

-bjekte na5e >algebre<<. Tako 6emo umesto sa iskazima (dije su formulacijedesto veoma duge i nepodesne za >>ra6unanje<<), operisati sa takozvanim iskaznimslovima, kojima smo oznadili date iskaze.

Primeri.-

1; ,4 -Broj 4 je manji od broja 6

2) B-

Broj 23 je deljiv sa 23) C -

Dunav se ulivB u Drinu4) D

- Kroz tadku M van prave p prolazi samo jednaprava koja ne seie pravu p.

Kao Sto smo istakli, svaki iskaz je ili istinit (tadan) ili neistinit (neta6an),a jedno i drugo istovremdno ne moZe biti, tj. svaki iskaz ima istinitosnu vred-nost ili istirtt ili neistinit. Prema tome, i svako iskazno slovo moZe imati samo

dve vrednosti: ili 1 ili .{. .

Ako je iskaz A ta(an, onda 6emo to zapisivati ovako: ,4:1. Ako jeiskaz B netadan, onda iemo to pisati ovako: B:0.

Koje su istinitosne vrednosti iskaza C i D u gornjim primerima?Umesto I i 0, kao oznake za istinit (tadan) i neistinit (netadan, laZan),

pored 1 i Z, mogu se uzimati i drugi simboli, na primer: T i I (6itaj:te ine-te), t i { (Ovako su stari Rimljani palcem pokazivali gore ili dole, Sto jeznaEilo odluku da li 6e osuclenik biti pomilovan ili ne).

Kao 3to vidite, u iskaznoj algebri iskazna slova (kao promenljive) moguimati samo jednu od ove dve vrednosti: ili 1, ili 0.

U iskaznoj algebri uopSte nas ne interesuje sadrZina iskaza (tj. nije bitnoda li se radi o kvadratima, pticama i sl.), ved samo njegova istinitosna vrednost(tj. da li je 1 ili I).

4. Prosti i sloZeni iskazi. - Veiinu od svih napred navedenih iskaza(str. 107-109) nije moguce ra5dlaniti n3 druge iskaze; to su lzv. prosti iskazi(u njima se nesto govori samo o jednom dogaclaju, pojavi, predmetu i sl.)Medutim, ima i iskaza koji su obrazovani od dva ili vi5e prostih iskaza.

Kao Sto znate, u aritmetici - na primer-

iz datih brojeva gradimo(pomocu odredenih postupaka) druge brojeve; na primer, ako imamo kao po-

lazne brojeve 8 i 5, onda moZemo pomodu osnovnih radunskih operacija dobitiredom brojeve: 8+5,8-5,8.5 i 8:5. tj. 13,3,40 i 1,6.

Slidno tome, od datih iskaza mogu se obrazovati novi iskazi pomoiulogiEkih veznika (operacija) koji se izraLavaju redima: >>ne<<, >>i<<, >>ili<<, >>ako...onda<<, >>tada i samo tada, kada<>Sunce izlazi na istoku<,-B: >Mesec je manji od Zemlje<

mogu se sastaviti sledeii iskazi:

,rl i -B: >(Sunce izlazi na istoku) i(Mesec je

nranji od Zemlje)<;A ili B: >(Sunce izlazi na istoku) r'li (Mesec je manji od Zemlje)<;Ako A, onda B: >Ako (Sunce izlazi na istoku),

onda je (Mesec manji od Zemlje<);A tada i samo tada, kada B: >(Sunce izlazi na istoku) rcdc i samo tada

kada je (Mesec manji od Zemlje);

" I x+2:5 Kakav se iskaz dobija?

I2

3

4

5

I +2:5) t) :1?r?:5

4+2:55 +2:5

L (lalan)

L (lalan)

I (istinit)

L (lai.an)

L (laZan)

___l

r09

A, a B'. >(Sunce izlazi na istoku), a (Mesec je manji od Zemlje)<;A, ali B: >(Sunce izlazi na istoku), c/i (Mesec je manji od Zemlje)<<; itd.Pomoiu iedce >>ne<< ili skupine >>nije taino da<< moie se i iz jednog iskaza

dobiti novi iskaz:>>Sunce ne izlaz,i na istoku<,>Nije tadno da je Mesec manji od Zemlje<<.

U gornjem primeru, da bismo istakli onu ulogu koju imaju upotrebljeniveznici, polazne iskaze stavili smo u zagrade.

Od svih veznika najde56e se upotrebljavaju >i<<, >>ili<<, >>ako..;onda<<,>tada i samo tada, kada<< (poslednja dva se naroiito mnogo upotrebljavaju u

matematici). Svaki od ostalih veznika ili je,blizak po smislu nekom od navede-nih ili se moZe zameniti nekom njihovom kombinacijom s re6com >re(. Tako,na primer, veznici >a<3li< po smislu su bliski vezniku >>i<. A umesto da se

kaZe >I6i 6u ili na utakrnicu ili u kino<, moZe se re6i i neSto duZe: >Iii cu nautakmicu i neiu i6i u kinc, ili, i6i iu u kino i neiu iii na utakmicu<.

Veznici >>i<<, >>ili<<, >>ako. .. onda<<, >>tada i samo tada, kada<>ne<<

nazivaju se logiikim veznicima, a obrazovanje novih iskaza pomoiu njih nazi-vamo logiikim operacijama. U matematiEkoj logici smisao pojedinih veznikaprecizira se tako da se u svim sludajevima bez dvoumljenja moZe re6i da li jedobijeni sloZeni iskaz istinit ili nije.

Eto videli ste, sa kcjim od svemoguiih iskaza Stc ih ljudi upotrebljavaju,moZemo vr5iti operacije, tzv. logidke operacije. Zar operacije sa iskazima (re-ienicama)! Upravo tako. A koje su to operac-ije? Sabiranje, rnnoZenje, negacijai druge.

O tome ie biti redi u sledeiem. broju >Mat. lista<.

4. Zadaci za veibu

- 1) ReEenica ,x+t-5<, koja sadrZi dve promenljive, nije iskaz. Ako *, pak, promenljivexiyzamenenekim konkretnim vrednostima, dobi6e w taEni ili netadni iskazi. Neka *'iyimaju vrednosti u skupu prirodnih brojeva. Popuni odgovarajudu tablicu (str. 108)'i nadi sva reSenjajednadine x*-y:5 u skupu prirodnih brojeva. Koliko ih .ima?

, 2) Medu sledeiim re&nicama najpre utvrdite koje su >nase(, tj. koje su iskazi, a koje susamo forme za iskaz; za svaki iskaz navedite da li je istinit ili ne.

. A: >>415:9<<; B: >2O je ve6e od24<<; C: >Molimo vas, ne pu!ite!(; D: >>2x-5:9<Slo-novi Zive u Indiji i Africi<; F: )Koliko km ima do Beograda?<i; G: >Jesen je najlep5e godi5njedoba<; I{; >Dijagonale pravougaonika su jednake<; /: DZa syaki ceo broj x je xz;g,,. J: >Drina* uliva u Jadransko more(; K: >Zatvori svesku!<; -L: >U ovoj redenici ima ... slova<(.

, 3) Od iskaza: A- >Iei Cu u Beograd<Danas je nedelja<< sastavi nove iskaze po-

modu logidkih veznika.

4)-U sledeiim slolenim iskazima (relenicama) izdvojitc elementarne (proste) iskaze i lo-gidke veznike: l. Svaki udenik mora uditi matemji jezik ili fiancuski jezik; 2. Fresedna taCka dija-gonala kvadrata je centar opisane kruZnice oko kvadrata i centar upisane krulnice u kvadrat; 3.Ako je a deljivo sa 3 i b deljivo sa 3, onda je a*b deiivo sa 3; 4. Ne postoji >sneZni Covek(

Odgovori.- t) Ima samc 4 rescnja: (l;4), (2:3); (3;2) i (4: l). 2) Iskazi odredene

istinjtasti (>nasi<) su: A,B,E,H, I,J: pri tome su A,E,H i1-tadni, a Bi,f-netaaniskazi, Forme za iskaz su: D, Z. 3) Na primer: )Iii iu u Beograd i danas je nedelja<<; >Neiu iii

u Beograd(; Itd. 4) Logidki veznici su: l. Dk, 2. >>ili<, 3. >>ako . . . onda<<, 4. >ne<<.

(Naslavite sc)

ZADACI

Zadaci sa prijemnih ispita za upis u srednje Skole

Beograd, 27. VI 1969. (drugi rok)

1. Izvr5i ra6unske operacije, odnosno uprosti izraz

2 x (3 x-4 a)-3 a (5 a-6 x)-lo ax,

a zatim izradunaj njegovu numeriEku vrednost za x:-3 i a:2. t-61

2. ReBi sistem jednaiina:

x-l_2y_^l,-T-"1

0,2x+y+7:0 [x:2, v: -2]3. IzraEunaj povrsinu jednakokrakog trapeza 6iji je obim 70 cm, a osno-

vice su mu 27 cm i 17 cm. 1264 cm2l

4. Bazen oblika kvadra ima dimenzije 12 m, 8 m i 2 m. Taj bazen

moZe da se puni kroz cev kojom svakog dasa u bazen pritiEe 3000 litara vode.Za koje vreme 6e se kroz tu cev napuniti prazan bazen? [64 6asa]

5. Prednik osnove (baze) kupe je 8 cm, a njen osovinski presek je

jednakostranidni trougao. Izradunaj povr5inu i zapreminu te kupe!lP : 48 n cm2; V - (64 tt y'Tl3) cm3l

Ogadpaun 3aAaqu

Osn gaAaqs (a uua ux 3a cBa(tr pa3pe.u) Tpe6a .qa BaM trocnyxe sa gex6y, lpsn-peuaee sa upujeMEe HctrtrTe s MareMartrcKa raKMrr{eba. 3aaarxe rpe6a caMocranEo,qa peuETe, a EaBeaeHE pe3ynrarE, ytryrcrBa q peueba nexa BaM cnyxe 3a xoETpotry.

Apuwueutuxa

/493; 36up nBajy 6pojeBa je 495. Jeaan oa bpojeBa 3aBpraBa ce :riy)tow. r )/

Aro cE'ra Hyna r.r3ocraBr.r (npeupra), ao6l4he ce oHaj xpyrn 6poj. Hahn re \./dpojeae. . [450 r 4s]

VnyrcrBo. - flpur.r 6poj je l0 nyra Behn oA,upyror.494. y cxyfltrrrugri, oA 360 flocnagr,rKa, HeKH npeA,r-ror je npr.rvrren

30 r.nacosa sehlrHe; KoJrnKo je. rracora 6uro sa, a KonHXo upomus?

' 495. C-yMy oA 12960 guHapa roiienl,Irlr6yae 15 nyra nehu oA Apl/ror?

r_r,NtrrLilJ,Ll

ca r/HA ABA ,qEJIA TAKO AA JEAAH ACO

[121s0;810]

31)lrtr Y

37U:?46j*--

-

il0 (..3o (,

I./\g( }Janu rrerr,rpr y3acrorlHa napna 6poja .rniu je z6np 4052."

{" *"16

e. - l) flonrro cy cBr.t rpa)KeHr 6ojeur,r napvN l'I cneayjyEe[ocpeAuo jeAan aga .upyror, ro je Apyrn 6poj nehu crA npBor za 2;'rpehuje rehrz oA Apyror za 2, a oA npBor :a 4; verparn je eehu oa npnor :a 6.

3aje4xo, gpyru, rpehu 14 qerBprl.r bpoj, aehu cy oA npBor za 2+4+6:12.4 4052-12:4040

-uereopocrpyKl4 najrr,rarru 6poj. 3) 404O:4: 1010 - Hajr"rarlu

6poj. Tpaxeur.r 6pojeen: 1010; 1012; 1014; 1016.i

4g7, y cnaxoj og ABe (opne 6uo je je.quax 6poj ja6yxa. llourro je urijeAHe xopne rpoAaro 150 ja6yxa, a I43 apyre 194 jabyre, onaa je y npeojxoplrr ocraro 3 nyra euure jabyxa uero na y 4pyroj. Ko.rluro je jabyra 6ulo

y craroj xopnra?Pelrelbe. -

l) 194-150:44 (ja6yxe) -- ronl{xo je ja6yra rlrurerrpoAaro H3 npBe Kopne. 2) Vrrvrruo ra je4r.rxuuy 6poj ja6yxa roje cy ocraney Apyroj Kopnn, KaAa je 6poj npeocraflttx jabyra y npeoj xopnr'r cartHbaBao

3 je.qruuqe; raaa 3-l:2 (jeausuue) nrHoce 44 jabyxe. 3) 44:2:22 (ja6yxe)

-ocrarro y Apyroj xopnr. 4) 194-r22:2!f (ja6vra)

-no rorwrojabyxa

je 6uno y ceaxoj xopnu.

floxyruajre aa 3aAarax pelulaTe u nouohy jeAuavNue.

498. Vqenux je npour,rrao Krbury 3a 3 aana. Ilpnor paua ou je npovarao0,2 qene r<rbnre u jour 16 crpagHl{a, apyror aaua 0,3 ocrarKa r.r jour 20 crpa-Hr4ua, a rpeher Aana je npovllrao 0,75 Hooor ocrllrKa u nocneAl6t4x 30 crpa-Hr,rqa. Konuxo je crpartuqa uMana ra xrlura?

P e ru e tb e.- l) 1-0,75 :0,25 uoror ocrarl(a quuu 30 crpaHlllra.

2\ 30:0,25:120 (crparnqa)-

HoBLr ocrarax. 3) 120+'20 -'140 (crpaHuqa) 'rnur0,7 ocrarxa, jep 1-0,3:0,7. 4) 140:0,7:200 (crpaxnqa)

-ocrarar. 5) 200+

+16:216 (crpannqa) vuux 0,8 rrrure, jep l-0,2:0,8. 6) 216:0,8:27O (ctpa-

uuqa) - ToJrr{xo crpaHHIIa nMa IIeJIa K}6l,lra.499.3arrr.rcruo carv 6poj, oA rbera caM oAy3eo 1,05, parnnry calu [loM-

Eoxuo ca 0,8, nporEsnoAy caM AoAao 2,84 n 4o6ujc:Hy cyMy noAenHo caM ca

0,01; raxo cav .qobuo 700. Kojs caM 6poj 6uo rar.anc.nao?

perue6e.- I ua,run: l) 700.0,01 :7

- ao6ujeu r6up. 2) 7-2,84::4,16

-npor.r3Bo,q. 3) 4,16:0,8 :5,2

-3aMkurrbelrH flpoj yvarucH :a 1,05.

4) 5,2+1,05:6,25 -- 3aMurxJbexu 6poj.

II uaquu: Hexa je x -rpaxeHn 6poj; raga ur

t(x- 1,05). Q*.Q + 2,841 : 0,01 : 700 ao6ujav o x : 6,25.

500, .[eurra{rponaru ca6upa*e' ** + ** : *97.

501. Epoj 2* 44* Aersus je ca 180. OApeAxru uu0pc xojc rpe6a 4a crojeyruecro gee:Ar.rqa! 1284401

502. 6poj 8** Aerun je ca 90. Hahn roruqnur! I92l503. O.q qflOapa 2, 4, 5 u '7 cac'rasu (nannuru) najtrarru I Hajnehu 'rer-

nopoqu$penn 6poj. Aani.r

hecsaru oA TIrx 6pojeea 6uru

Aerueca 3? A ca 5?

504. Hanlrcarrl rpr,I pa3nl4qltra pa3noMxa vuju he [poH3BoA 6urn jealrax l.

505. flpocevna re)r(IrHa KI4rrHe KaIUbe lt3uocu 1/12 p. Olpealtrfi KonL'Koje xr.rmnux KarrJbH rfturo Na 1m2 3eMJb), axo je .qe6rsnHa cJloja BoAe I43Ho-

cnra 2,2fim?

tt2

Llaparynaj Ha najje,qnocranrnjN natnn (raaaqr 506-5ll):

5 5 t 94 38\ ll506.

-.6-.f11-'

-6--- l:8 ,, I516 6 \ 1591 tst7l 43

VnyrcrBo. - Veern y o6rnp ga je 1591:37'43 u l5l7:37'41-

t lot 1001\ 6 6 / I87\scl. 17

---6-1.3-+3 :15-1:l l2l

\ 2527 t36sl 23 23 \ 2s3l

YnyrcrBo. - flpe nero rrrro ce flpttcrytrlr urooleny Ea3Haqensxouepaquja, rpe6a cxparnrr{ rleKe oA pa3rloMara:

101 I 1001 ll 187 17

2s21 2i' 1365- ls ' 2fi- n

11111111508.

-+ -- -+-+20 30 42 56 72 90 110 r:2

V n y r Cnaxu oA Aarrlx pa3noMaxa (cabupara) npr{(at(Irre Kao

1lll11pa3rrr4Ky 4rajy pa:novaKa, Ha npHMep:

n: l- t, 30:'-?',ta.

4444509.-t-t-1...+-

5.7 7.9 9.11 59.60

VuyrcrBo.

-

BLTALI gaAarxe 171. u 471.

72 72 72 72

510.-r -

i ...*

-.9 9.16 t6.23 65.72

,/srr. roror .l '-- I :

t7 l22l,^"--'\ttt ttt 222222 3.7.11.t3 31 J'

\--t/t

VnyrcrBo.-

Hajnpe rpe6a ca 10101 rronuoxltTu cBaKI{ ca6upar y

3axpaAn, rrpt,t qeMy i,I3Bplrlrr}t ll woryha cxpahnran,a ,qobujenrlx pa3noMaKa.

512. Eso jeAnor taAarra crapxx PNrra.rsana.

Hern vonex, 'ruja je xega 6HJra npeg nopofajeM' Ha caMpru je ocrag'ro

c;reAehy o[opyxy: ,,V inyqajy Aa ce poA, o4H-

HeKa My rrptlrraAHe 2/3, a

Majrlri-

1/3 ocrarrenor nacneAcrBa; y cfiy.taiy Aa ce poAI4 hepra -- rterca

joj-npunagne 713, a waiuu-

213 sacte$crBa". yAoBa 3aBeuraol{a (ocrauroqa)poAtrJra je brflsaxqe: AeqaKa I,I AeBOjrII4qy. Karo he ce IIOASSITI{ HaCJIeACTBo'

a Aa r{rlax 6yAy :aAoeoJbeHI,I ycJroBu gaserurarla?

Peruerre.-

flpeva 3aBenrarby, wajra rpe6a ga go6uje ABa rryra

Br4rue uero rhep, a ctrlt- ABa rryra Burlre Hero rtrajra, rj- ,uenoBI'I HacJreAcrBa

rpeba ga croje y oAHocy 4:2:1. Ilpewa roMe, HacrleAcrBo he ce [oAeJrI4Tn Ha

(4+2+ l), rj. 7 jeAHaKI{x aenoBa, rra he'rerl'Ipn TaI(Ba aena Ao6rarr ctrH, ABa

AeJra -vajra N je.qan ,qeo

-xhu.

t/

'il

tu6I

t#l

l"i),

[26400J



Eapona r.rvaArujaA$puxaCer. AvepuxaJyx. AuepuraAycrpaluja ca Oxeail.riolr 8,6AurapTrEx

YKyrrHo Koruta r,rMa

518. florneqajre rlprex ra gecuoj crpanu. HaocHoBy

ror uprexa objacHurn :aurroje

(b + x)2: b2 +2 bx + x2.

Kaxo blrcre ro peqr4Ma ucxasalu?

1tb

* lo\Y - I

ll4

.' i\ -\-

513. flpuxaxlr rpa$uvxn (cryuqar'ra; KBaAparuMa unr J(pyroBnMa, crpyx-TypHriM KpyroBr.rMa r cn.) reruuuuy nojeqnuux AeroBa cBera, aKo:

11,4 miliona km2

519. Vuecro 3HaKa. TpoyrJla, oAHocHo 3Be3AI{rIe' craBI{Tr{ oAroBapajyha

croBa (6pojeBe) raro ga ce 4o6uje BaJbarra jeAnarocr:

a) (a+A)'?:a2+4ab+L2; t2bl

b) (*+4 k)':*t+8k+16k2; tllc; (*+ A)'?:16+2'*. t:.+9c2; l4;3c)

d) (A + *)2:u2 vz +2 uv +* luv; ll

520. Pacraerrr Ha rIHHLIoqe: 2499991

V n y r c r B o.

--tr4ruauo 249999 : 250000- I : 500'?- 12 : 499' 5Ol.

521. Karo here uspauyuarl4 36np cBnx npnpoAuux 6pojeBa o.q 1,qo 100?

Karo here n3parryHarn :6ltp csux nplrpoAHlx 6pojena oA I Ao 10000? A' xaxo

here uahu s6up isux npHpAAHur6po.lena oa I 4o npupoanor 6poja n?.(oxasairo

je, aa je :6np cnnx npHpoAHI4x bpojera o.q 1 Ao n 3aKrbyn{o. i"ltu* !9! -

l,Irpauyuajvro 36I4p cBI'Ix rpt'IpoAHtrx 6pojera o,q I ,qo 1000. 36or roran(nt l\ 1000(1000+ 1)

heuo y urpary -)- -- yMecro n cragt'tt.6poj 1000. .(obuheuo:z

:500500. flperua roue, abr.rp cnux 6pojena oA I ao 1000 aaxny'+ro 6nhe

500500. To ce naure oearo: I +2+3+...+999+ 1000:500500.

Irlrpavyrarn 36r4p rrpupoArlr.rx bpojeua o^q I ,qo n, r'.e n I'IMa BpeA]IocrI'{

HaBeAeHe y rrpBoM peAy c.neAehe ra6ene; y Aor6eM pegy rpe6a rl.Hcarr oAroBa-

pajyrre BpeAHocrlr a6upa.

41,930,022.418,2

;lliona krn'l4,0

146,5

514. Ca rpaQura Ha cr. Aone Jreno npoqr{Taj xaxo ce y HaBeAeHoMnepuoay Kperana rpor.r3BoArba e,reKTpoeHeprtje y nauoj sevrrui

&u__ruu u4utttri,tlt tiif.ti.iff.tiii,tiiiiirtiiiiitffi

M515. Ha onou je rpa$nrouy (cr. rope 4ecHo) rrpnra3aHo KaKo ce MelLao6poj crano*rura y 3arpe6y; je,qna_ (larypa npe4ovyje 10000 craxoenrxa.Oapear.rKoJrr4Ko je crauonnrra 6uro y 3arpeby y HaBc.qeHHNr roAr.rHaMa H npr.rKax[To Apyrr.rM BpcraMa rpaQrxoHa (na nplrvep: cryrlunMa; 4yxrava u cn.)

Afie6pa

d J'- loP\5

n(n+ l)

2

522. flpu pa3Marpau'y jeAHarocrr.r x+30:45 (jeanavuna) r"roryhe je no-CTABI4TI,T IINTA}6E HA HCKOJII,IKO HAIIHHA:

a) Kojev 6pojy rpe6a AoAarn 6poj 30 Aa 5s' ce ao6no 6poj 45?

b) Hahn 6poj, roju cabpair ca 30 ,qaje 45.

c) Konuxr.r je Henosuarl{ cabnpax (x), axo je norrar s6}ip (45)'H Apyruca6rapax (30)?

d) 3a xojy BpeAgocr crroBa .r he jeAuaxocr t+30-45 6urpr ra'rHa?

Koja 6ucre nr.rrarla Mornr4 flocraBktrr4 y Be3A ca jegaaunuaua:

1) 23-x:15, 2) 9-y:36, 3) a:5:8, 4) 9,6:z:0,12.

523. llorvrohy jeAsaqusa Mory ce perrlaBartl xajpa:Honpcnlju zala\u.PaAu

rbra rpe6a yMerr4 cacraBl.rrn jeAnaqltxy npeMa ycJloBI{Ma 3aAarxa. Cauopeura-

Barbe nocraBJbeHe jeaHaqrane, obn.+ro He npercraBJba Hexu noce6an npo6nev". ,, ^ryerSre "yd

Haqr.rH 3aAame 493-499 v, 5241'V\St":\tt

52I. rcr{ ce rpehnnx je4nor napnor 6poja aoAa rbup HapeAHa aBa napHa -\ - f, I6poja g6M'e ce 356. Koju je ro 6poj? tlsa)'ttv1 - It '

tii

r95?

n 1001 l500n

--j-|tt

,F,u

t h) : );c '1rsf t,3(-r,3-},t

,r1+ z )

t.t- J

ii.t

G.+'14 4

+

b'ur)tLJA"E4( - lut ,i

5

T.l4zpatyuaru (-2,5).(-4).( ,l) I 5r.(-2)r : ( -1000)-(-2,q

nL4t7. gantr 6pojxy npesHocr r3pa3a 2 a + b(c-ltt ), n r517. tIaRH bpoJHy Bpe.qHocT n3pa3a 2 a + b(c- d ), b r

axo je a:-5,2; b:8,3; c:-6,8; d:-3,2. tl2ll f---f*

leoueutpuja

525. Haripraj pou6 ABCD raro aa yrao xoA reNreHa ,4 6yae neuroMan,r4 oA 90". LIs npor.r3BoJbue raqxe M Ha crpaHr.rult CD cntlcru HopMany EaAB; uexa ra HopMara naaa y raqKy N uruely A u B. }{.ao urro je norraro, Hop-MaJrHa ayx MN eose ce Bl{clflta porvr6a.

- Axo ocraellruo crpaHnrle pouba Nex:-Mer6eHe, a olurpl{ yrao d, nocreneHo cNlanyjevro, Taaa ce cvanyje u Bncrorapor"rba, a poru6 nocraje cBe BI,{[re r{3AyxeH.

,{a.nu nocrojn roJrHKo r{3AyxeH pow6 aa BXcHr{a cnyrrrr€Ha 6uno r.rr nojeraqxe ua jearroj crpansuir naAa BaH cyrrporHe crpagr{qe pov6a (rj., ra.rxa N jesar tyxer AB)?

Axo nocrojx, aoxaxu 4a nocrojrl.Axo He nocrojs, aoKax(r aa ne nocrojr.526. Tpe6a lortryMrrru 3eMJburrrTe o6,rnxa Kao Ha cl. I (guvensrlje cy

aaTe y r"rerpur,ra). Kolraxo he 6nrr.r norpebno caAHxrla 3a noulyMlbaBalbe, aKoje uefyco6na yAaJber{ocr caAHHIIa 1,20 m, a pa3MaK u:ruefy perloBa je I rn?

527. Pn6nax r.rua o6nux HelpaBrnHor ceaMoyrna (ce4vepoxyra) (cr. 2),llsparyxaj BeroBy rroBp[nry, aKo cy AnueurNje Ha cnHqrr .qare y ucrpxual

528. OapeaNrr{ noBpmr{He ocexqeHr.rx Surypa ua gorroj crnrlr (ahMefi-snje cy gare y cm).

{ffi ffil29. Je.qua ruurrxa BaJbxacror obnuxa rexn 5 kp. Koluxo 6x rexuaa

TaKBa ruNnt<a, axo 6u 6lrna gaa nyra gebra aril il ABa nyra rpaha?

P e ru e lb e.

-

3aupeuuna nunxe (narxa) je V :n 12 H, r1e je r norry-

npequnx, a H - Ayxr{Ha unrrKe. Axo 6r,r urnnxa 6una ABa flyra 4e6ra (nony-[pequnx 2r), atu ].r ABa rryra xpaha (Ayxraua Hlz), rrena 6u sanpeuuua 6nnaH

Vr:r(2r)'.-^:2'n12H:2V, rj. 6sna 6u ABa ryra reha. Ilpervra roMe r{z

Texuua ruunxe nosehana 6n ce ABa nyra, ua 6u nsEocala l0 kp.

114

:

Cr. I Cn. 2

lt6

* Vidi uputstvo na sledeioj strani!

tt7

Konkursni zadaci*

78. Odrediti x iz 100 : {[(7 x+ 24)'.51.4+ 36]:1.

Ovaj zadatai bio je objavljen u ML IV. 1-2, ali ga zbog stamparske greske u veiembroju primeraka ML, ponovo objavljujemo. Udenici koji su ranije poslali ispravna resenja ne no-raju to sada diniti, jer Cemo ta resenja uzati u obzir.

S4..Pogledajte rebus na desnoj strani! Ume-sto crnih kruZi6a stavite odgovarajuie cifre takoda naznadene aritmetidke operacije budu tainoizvr5ene. Imajte na umu joS i to da je zbir brojeva

prve kolone (stupca) jednak rezultatu koji sedobije kad se izvr5e operacije u prvom horizon-talnom redu (prvoj vrsti), zbjr brojeva u drugoj koloni jednak je s rezultatomu drugoj vrsti, itd. Nijedan broj u ovom rebusu nije jednak nuli niti podinjecifrom nula (mada se nulom brojevi mogu zavrSavati). Dajte potpuno obraz-loZenje svog r:dgovora!

85. Koliko se razliditih prirodnih desetocifrenih trrojeva moZe zapisatipomocu deset cifara (1,2,3,. . ., 9 i 0), upotrebivSi svaku cifru samo jedanput?Odgovor obrazloZil

86, Odrediti a, b i c ako je ibi, - rto". tj. treba naci trocifreni brojnapisan u brojnom sistemu baze 7, ako se zna da se on i u sistemu baze 9piie istim cifranra, ali samo u obrnutom poretku. Napisati taj broj i u dekad-nom sistemu!

87. Naci Eetvorocifreni broj koji ie jednak kvadratu broja kojeg 6inenjegove zadrrje dve cifre (uzete istim redom).

88. Date su dve koncentriEne kruZnice; duZina tetive ve6e kruZnice,koja dodiruje manju kruZnicu, jednaka je 8 cm. Naii povriinu kruZnog prstena(vijenca) obrazcvanog datim kruZnicama.

89. Nad svakom stranicom kvadratastranice o konstruisani su jednakostranidnitrouglovi, pa su vrhovi (temena) tih troug-lova spojeni (v. sliku desno!).

a; Kolika je povr5ina osendenog delaslike u funkciji od a?

b) Koliko procenata povr5i ie6egkvadrata je osendeno?

c) Ako se od komada papira izreLefigura koja na ovoj slici nije osendena takoda bude a:6 cm i sastavi jednakoividna6etvorostrana piramida (jednakobridna kva-

dratska piramida), kolika ie biti njenapovriina (oploije), a kolika zapremina(volumen)?

oO:5+ ox 7:4ata4'.a- 4x o: ooo-l- ox 2:aao3-o+ao- 5:ooaO+o+O0+Oa:oo



Uputstvo re5avateliima konkursnih zadataka

ReSite ove zadatke i resenja posaljite urednistvu ,,Matematidkog lisra.'. Najbolja resenjaa takode i imena svih udenika koji su sve zadatke ili neke od njih sasvim tadno resili, objaviie se u listu,

Zadaci '18. i 84-87. dostupni su za re5avanje svim uienicima V-VIII r. Zadatak 88. dostu-pan je udenicima VII i VIII razreda, a 89. zadatak

-udenicima VIII razreda.

Najboljim relavateljima za svaki razred dodeliie se nagrade na kraju Skolske godine.

Fond za nagrade resavateljima konkursnih zadataka ove godine je poveian.

Svako reSenje (s rckstom i rednim brojem zadatka) treba pisati na jednoj strani papira.Svako resenje treba ditljivo potpisati punim imenom i prezimenom, navodeii razred i,odeljenje,Skolu i mesto, na primer: Mirjana Raki, ue. VII raz. Osnovne skole ,,Filip Filipovic", Cadak.

Zadatke resavajte samostal no ne trazeii pomoii ni od koga. Slike crtajt€ precizno,

a reienjapisite

ob

r azl oLe

n o id

i tk o, Neuredna,neeitljiva reienja i resenja(rezultati,

odgo-vori) bez obrazloZenja.neie se uop5te uzimati u obzir.

Reienia zadataka iz ovog brola poslati naikasniie do 15. IV 1970. godine.

Adresa: Matematidki list, Beograd, p.p. 72tNa koverti obavezno naznadili: Konkursni zadaci.

Molimo resayatelje da se u svemu pridr2avaju ovog uputstva. Re5enja Baljite obidnompo5tom (a ne preporudeno) kako se ne biste izlagali nepotrebnim tro5kovima!

Re5enja konkursnih za;data'kl iz ,,Matematiikog lista,' IV. 1-276. U pet kutija nalazi se ukupno 100 jabuka. U prvoj i drugoj kutiji

ima 52 jabuke, u drugoj i*etoj 43,u tretoj i tetvrtoj 34,a uietvrtoj ipetojkutiji ima 30 jabuka.

Koliko ima jabuka u svakoj od tih kutija?Ako se od ukupnog broja jabuka oduzme onoliko koliko ih ima skupa i

u prve dve i poslednje dve kutije (tj. u I, lI, lV i V), dobice se broj labuka

, /u tre6oj kutiji; dakle: 100-(52+ 30): 100-82: 18 - broj jabuka u trecoj l/kutiji. Dalje je onda lako: 43-18:25 -broj jabuka u drugoj kutiji,52-25: l/:27

-broj jabuka u prvoj kutiji, 34-18: 16

-broj jabuka u detvrtoj kutiji,f

30-16:14-broj jabuka u petoj kutiji. I zaista je 27+25+18r-16+14:100.'

Julijana Stanimirovit, V, r. OS Grocka

Primedba.- Mogu6e su i druge varijante u resava-nju ovogzadatka;

na primer, ako se od ukupnog broja jabuka oduzme onoliko jabuka koliko ihirra u prve betiri kutije, dobide se broj jabuka u petoj kutiji: 100-(52 + 34): 14, itd.

77. Od 77 kuglica, na izgled sasvim jednakih, iedna je neito lakia odostalih. Kako tete pronati tu kuglicu vr1eti samo ietiri merenja na terazijamasa dva tasa (bez tegova)? Postupak objasnite!

Sve kuglice (77) podeli6emo na tri grupe: 27,27 i 23 (kuglice).

Prvo merenje. - Na tasove terazija stavieemo po 27 kuglica i odmahutvrditi u kojoj se od triju

Etupanalazi lak5a (defektna) kuglica (tj. da li je ona

medu 27 kuglica na levom tasu ili medu 27 kuglica na desnom tasu ili medupreostale 23 kuglice; tas na kome je grupa sa lak5om kuglicom bice izdignut).Ako se ona nalazi u nekoj grupi od 27 kuglica onda tu grup.d razlaZemo natri nove grupe od po 9 kuglica; ako je, pak, ona medu onel3 kuglice, ondademo tu grupu razloZiti na tri grupe: 9, 9 i 5 klglica. , /Vll8

. Drugo merenje. I u jednom i u drugom sluEaju na tasove terazijastavidemo po 9 kuglica i utvrditi u kojoj se od triju grupa nalazi lak5a kugliia.Ako se ona nalazi u jednoj grupi od 9 kuglica, onda 6emo tu grupu razlolitina grupice od po 3 kuglice; ako se, pak, traZena kuglica nalazirmedu onih 5,onda njih delimo na grupice bilo od 1, 1 i 3 kuglice, bilo od 2, 2 i I kuglice.

Trete i ietvrto merenje.- Postupajuci na isti nadin kao i u prva dva

merenja, odrediiemo traZenu (lak5u) kuglicu.

Napomena. - U sluiaju da se prvim merenjem utvrdi da se lak5akuglica nalazi u grupi od 23 kuglice, moZe se dalje postupiti i tako da tojgrupi. doqamo jo5 4 kuglice (iz neke od

one dvedruge grupe), pa

bismo takoopet imali da odredujemo lak5u kuglicu u grupi od 27 kuglica. Itd.Ima i drugih mogudnosti.

Vesna Milanovit, yI4 r. OS ,,NH eajka.., Trstenik

78. Odrediti x iz 100:{l(7 x+24):51}.4+36:1.

_ Zboq Stamparske gre5ke u formulaciji ovog zadatka (nedostajao je delilac5 u srednjoj zagradi), on se sada ne uzima u obzir, ve6 se ponavlja u ovombroju ,,Matematidkog lista'.. Medutim, neki re5avatelji su otkrili

-u6emu je

gre5ka i zadatak su tadno reSili. Oni zadatak ne moraju ponovo resavati; nji-hova imena objaviiemo u narednom popisu re5avatelja.

_ 79. U jednakosti (3.**4)2-492*04 umesto zvezdica staviti odgovarajutecifre. Dati obrazloZenje.

Poito se na levoj strani nalazi dinilac

3,:9,jer je (3.**4;r-32.**y',2,

tomora i desna strana date jednakosti biti deljiva sa 9, tj. zbir cifara u brojuna desnoj strani mora biti deljiv sa 9. Kako zbir poznitih cifata na toj straniiznosi 19, to izlazi da nepoznata cifra mora biti 8. Dakle, broj na desnojstrani je 492804.

Kvadrat nepoznatog dinioca (faktora) na levoj strani dobiiemo ako4928A4 podelimo sa 9; dakle, 492804:9:54756. Tada ie nepoznati broj bitikvadratni koren iz 54756,a on iznosi 234,jer 54756:22.34.132:(2.9.73)z:2342.

Prema tome, imacemo (3.234), :492804.

Jelica Pop-Lazit, Yl, r. OS u KumodraZu kod Beograda

80. U paralelogramu ABCD temeA spojeno je du2ima sa sredi|tima stranica'BC i CD. U kojem odnosu povuiene duiidele dijagonalu BD tog paralelograma?Obrazloli!

Po5to se dijagonale paralelogramaABCD u presednoj ta(ki L polove, toje AL:LC i DL:LB. DUL DL.jeteLil-na linija u trouglu ACD, a LB - teZi\nalinija u trouglu ABC. l.li i dlLi AE i AF

A

119



takode su teZi5ne linije tih taouglova, jer su taEke E i F sredi5ta stranica BCi DC. Poznato je da presedna tadka teZi5nih linija (teZi5te) deli svaku teZi5nuliniju u odnosu 2:1, tS. deo teZi5ne linije od temena do teZiSta dvaput jeve6i od preostalog dela teZi5ne linije. Zato Se BM:2LM i DK:zKL.Znati,DL:DK+ KL:TKL+KL:3 KL i LB: MB +LM :2 LM + LM:3 LM. Poitoje DL:LB, to je i KL:LM (ako su dve duZi jednake, onda su i njihovetreiine jednake). Prema tome, DK:KL:MB, tj. dijagonala DB podeljena jetaEkama K i M na tri jednaka dela.

Josmina Nikitovit, VII, r. OS ,,Dr D. Mi5ovi6", eadak

81. U trouglu ABC iz temena A bile su povuiene teZi|nalinija AD i visina AH, a iz temena B bila je povuiena teliinalinija na suprotnu stranu (D i F

-podnoija teZiinih linija, H

-podnoije visine), Zatim je trougao bio izbrisan, pri temu su

ostale samo tri taike: D, F i H (vidi sliku desno!) Rekonstruiiite(docrtajte) trougao ABC!

Prvi naiin.-

Pretpostavimo da je zadatak re5en (sl. 1). TeZiSna iinija(,FIF), povudena u pravouglom trouglu AHC iz temena pravog ugla, jednaka jepolovini hipotenuze AC tog trougla (jer je It ustvari centar opisane kruiniceoko A AHC). Zato je FC:FA:FH.

Na osnovu toga imamo sledeiu konstrukciju:

1) najpre se povude prava DIf;2) zatim se na toj pravoj odredi taeka C tako da bude FC: FII (iz

tadke F kao centra opi5e se luk pcluprednika jednakog Fld jedan presek togfuka i prave DH bi6e teme C);

3) procluZi se -FC preko F za dui, FA:FC i tako se dobije teme l;4) najzad, prenoSenjem BD:DC, odredi se i teme B traZenog trouglaABC.

Prema konstrukciji tadka F je srediSte stranice AC, a taEka D -srediste

stranice BC. Ostaje joS da se uverimo da je tadka H zaista podnoZje visine izA na BC, tj. da je AHLBC. Dokaz prepu5tamo ditaocu.

Drugi naiin. - Utvrdiv5i, kao i u prvoj varijanti, da je FC:FA:FH,imamo .sledec u ko ns t r ukc ij u:

1) povude se prava DH; 2) podigne se normala na DH u tadki H; 3) iztadke F kao centra opi5e se kruZnica poluprednika jednakog FIl (ne mora seopisivati cela kruZnica, ved jedan njen luk); njen drugi presek sa normalom uH na DH biie tadka A, a sa pravom DH - tadka C; 4) prenose6i BD:DC,dobijamo taiku -8. Trougao ABC je traZeni trougao.

Zaista, iz same konstrukcije proizilazi da je H podnoZje visine iz temenaI na stranicu BC i da su D i F srediSta stranica .BC odnosno ,4C (tj. da suAD i BF teZ. linije).

Vesna Gaiparovit, YIIrr. OS ,,2. J. Spanac", N. Beograd

H c

Treti natin (uputstvo).-

Neka je .FE prava paralelna sa pravom D1LTada 6e talke A i 11 biti simetridne u odnosu na FE (Za*o?). Time je poloZaj

ta(ke A sasvim odreden. Odrediv5i taEku A, nije onda teiko dovr5iti rekonstrukciju.

Tibor Purger, VIII3 r. OS ,,Aily Endre", KanjiZaNapomena.

- Ovde smo naveli tri varijante'reSenja zadatka,madasu na5i ditaoci predloZili i mnogo drugih.

82. Taika u kojoj kruinica upisana u pravougli trougao dodiruje Apoteniludeli hipotenuzu na delove od 4 cm i 7 cm. Odrediti povriinu tog tropgla.q

Neka je A ABC clati pravougli trougao, a D, E i F - tadke u\kojinakruZnica upisana u taj trougao dodiruje njegove stranice AB, B&|'CA redom.Tada je AD:4cm i BD:7 cm.

eetvorougao CFOE je kvadratstranice r, gde je r -

poluprednik upi-sane kruZnice u AABC, tj. OD:OE::OF:r. Po5to je AF:AD i BE:BD,to 6e katete datog trougla bili AC:AF++ FC :4 + r i BC : BE + EC :7 t- r. Tada6e povr5ina trougla biti:

_ AC. BC (4 - 11Q t-r)D

22'28+llr+12 llr+12:14 l__.22

Fa

aoDH

B

sl. I

t20

Bosa Cizmovit, VII. r. OS ,,L. Simonovic", NikSic sl. I

Metlutim, prema Pitagorinoj teoremi (poudku) je ACr+BC2:A82,(4+r)2 r(1 +r)2-(4+l)'z, odakle je 2r2+22r:56 iii 12+llr:28.

Ako dobijenu vrednost za r2+ll r zamenimo u gornjem izrazu za povr-28

Sinu, imaiemo: P : 14 +, :28.

Prema tome, traiena povrSina iznosi 28 cm,.

Monika Gobec, Ylllt r. OS Smarje pri JelSah.

Drugi naiin,

-Neka (kao i u prethodnom sludaju) kruinica upisana u

pravougli trougao ABC dodiruie njegove stranice AB, BC i C,4 redom u tad-kamaD,EiF.

Iz podudarnosti trouglova EBO i OBD (jer: OB - zajednidka stranica,OE:OD:r- polupreenik upisane kruZnice, 4EBO:4OBD) sledi da je EB::BD:1 (cm). Isto tako je AF-AD:'4(cm) i CE:CF. Uz toi OELBC,OFLAC, ODLAB. eetvorougao CEOF je kvadrat. Tada CE:CF:r, pa testranice trougla ABC biti: AB:4+7: 11 (cn),AC :CF + FA : r + 4 i BC : CE -r EB : r +7.

Zbir povr5ina trouglova OEB i OBD jeI

2':,7.r-7 r, zbir povriina trouglova AFO i2

1

AOD je 2.7.4.r,4r, a povrSina kvadrata'2CEOF je 12. Prema tome, povr5ina trouglaABC bice: Penc:Pcnon I Pzano+Pap6p,

P,lnc : r' +7 r l' 4 r : 12 + 1l r.Dakle, P:r2+71 r.

F

S druge strane, prema Pitagorinoj teoremi je BC2+AC2:AB2,tj. (r+7)2++(r+4)'z:II'?, odakle se (kao i u prvoj varijanti re5enja) dobija veza

rz +. ll r --28.

Na osnovu jednakosti (1) i (2) odigledno je

P:28 (cmr).

Vladimir Liiievii, VIII, r. OS ,,2. J. Spanac", N. BeogradDC

83. Aetvorougao ABCD ima kod temena A prav ugao,a kod B ugao od 60". Simetrala ugla B seie stranicu AD utatki M tako da je odseiak AM dva puta veti od odseikuMD, a normala spuitena

iztemena

Ana

stranicu BCdeli

ovu slranicu na dva jednaka odseika. Izraiunati stranice ipovriinu tetvorougla ABCD ako je njegov obim O:5 ry'3.

Po5to je ANLBC i BN:NC, to je AC:BC, tj. L ABC 1e jednakokrak,a zbog L B : 60", A ABC jednakostraniEaî AB : BC : a, L CA B : 60' L CAB : 30' .

122

B

(l)

. Kako je MBLAC, to je LAMB:60., Sto znadi da je A,qA*t polovinajednakostraniinog trougla u kojem je AB-:a visina, a u,e polovini itranice;zbog toga je:

A!-r= MA/t MA:alTlt:z pro, AD:(314 MD-aV3lz, lto znaaida je AD visina jednostranidnog trougla stranice AC:;, dakle: Ln:i0".

tz o : a + a + al2 + a /llz:tslz + y'TlD.o: o (s +/Tlz dobijamo

a:2; dakte: AB:AC,=2, AD:/i Co:t: p:3y'312.

Odri Peter, VIII r. OS ,,Bratstvo-jedinstvo.,, Svetozar Miletii

ReSiIi konkursne zadatke iz ,,Matematidkog lista.. IV. 1-2!!a1i_fcyim, YIf_r.91 >J. oktobar<< Bor: 8t;_ Abramovit Ant7a, OS >Orjenski bataljon(lota Kotorska).77i Adamov .Vilan,YItIl r. OS >Braia Baruh< Iieograd: l'6: AdZii j6iin.ijela (BoJra Kotorska) 77: Admov .V.ilan,,yIII1 r. OS >Braia Baruh. tieogiad:-l'd;'-)aiii t6r"n,vtII6 r.oS >1. cundulii<_ N.Beograd: t6, li,'ao, ar, ea tr; inin uiii'ni,-viii,";.cis,,2. il1116 r.OS )1. cunduiic< N. Beosrad: j6,79,'80, at, ez, Cj; Ahi;'M;;f,

(SR BiH): 761' Aleksii Nenad, Ytll2 r.OS DV. DugoSevii< Beosrad: 76,jj.jg.VIl,r.OS >S. Markovic. Rekovac:-?6: Andelkovit Grujica, Vtit, r.O5 rgi. f:

It:"*Cs,.N._g".Cr ad.: 76. 7e. Bt: AiiIit .tiliiii.-i'" i'o5',,v1 r.ii!?it.'ij.' Vile#"ioi Fin;",o,u

S.SIB,II,I' 7^6;.AIeksii.Nenad, Ylll2_r.OS

'>V.DugoSevii< Beoerad: 76, jj, jg.'SOi.Andelit Girdena,vlf ,r. os >S. Markovic" Rekovac: '16: Andelkovit Grujica, yllll r. os DD. Jaksii< Konarevo kori

,80; Antlelit Gordena,ak5ii( Konarevo kodrci"rl.*I :1:i; i; j:: ?";n";;i:;.' itii,*,'6d'"o."'d;fi;.'i'o".'sYi';ill

'tl^)b'l'r,l"l?l""l3oll,.?rog-Dna' vIIl r. os >'Braca Jerkovic< Ze liznik kod Beosrada: rc, n.-a1: A)aniic i4iriana. yl'|,rogDna, VIl, r. OS >Braca Jerkovic<r.OS >F. FilipoviCr CaEak:76,77;

k kod Beograda: 76,79,81 Azanjac i4iriana, Yllll

Banjanac (iler!9., JI!_1 1O!->p, JakSiC< Konarevo koct Kralje^. !olJ-o\a, M.itenko, .vtLtr r, OS )D. JakSiC< Konarevo kod Kraljeva: ,lgi Bqtii Dulq, \lllbr.OS >2. GloZanski< BeCej: 76, 7?. 80, El, E3: Batalo Branka, yll3 r.OS "9. p. pinki. Srem.Mitrovica: 83 (pribl.): Bebek Nedielika- VIIc r- OS Meiknvia 'ta ei. n"..t R,,'i"/-. wr :

^!

or, oJ; Duturo DrunKu, rttl f.U) ))8. f, flnkl( Stem.l,(pribl.); Bebek Nedjeljka. VlIc r.OS Metkovii: j6, 8i: BcsuS Braristav- Vl, ;- f)SCiievac-: J6l Belopavlouii Milostina, VIlto r. OS "lV kralj. batiljorr< rcratjevo:'76, ginka. Ylll r. OS >M. Tomic. F)dhrin.i ' 76 11 9.1 ez' pi--î..;i <t^^^)-; rrrr -- nd

>M. Pijade< Ciievac: 76; Belopavlovii Milostina, VIlt, r. OS "lV kraBeljin Gospoinka. VIII r.OS >M. Tomic< Dobrinci;76,77, g1, gJ: j>rGoce DelCevr< Z,emuni 76,79, 8l; Blesit Branislqva, Vlll,'r.OS ,>V,norit Sofija, VIll r. OS DM, T.( Dobrinci: '16.'l'l - 8l: Biiinovii Dm

(joce,D-ef eev(<_-Zemun: 76, 79, 8l i Blesit Branislqva, VIII2 r. OS >Vorit Sofija, VIII r. OS DM, T.( Dobrinci: 76,77, 8l; Bo'jinovii DrrVojv. S. Stepanovii< KumodraZ: 76,8l: Bojovit Garan. VIil" r.OS

7.E0.

E!;- Bokalovit Gordana, VtlI, r.OS DV. M.( Grockai 7o,.'lII' r.OS >Sv, Savar Beosrad: tl0''Bati.aiti"ri; 7^,i?^ wtt ?^<

Milostina, VIlta r. OS "lV kralj. bataljorr< Kraljevo:'76,81;ii< Dobrinci; '76.77,81. 83i Blasojevit Slobodai, VIL T.OSsi( Branislava, Vlt12 r. OS rV. Milicevic< Grocka: j6i Bosu-tritci,:76,77,811' Bojinovii Drcgqn i Milii Milan, VII. r.bSovrc solua, vrrl r. uJ DM, l.( Dobnnctr tb,l lt EI: Bojinovii Dragan i Milit Milan, yll

>vojv. S. stepanovii( Kumodraz: i6, 8t; Bojovii b"ron, {tir-,.o5";V'k;;i;: 6"i.i"kriii"177.

E0.

El; Bokalovit Gordana, VllI, r.OS DV. M.( Grockai 7o. 29. 90.8i-'Sl:-B"rii--i;,

OS rlv kralj. bat.<. Kraljeio: 76,

7o. 79, 80, 81, 83: Eofic Milanko.l...JfJ. uI;_ Bokatovit Gordana,. V.ilI,*r.OS.lV:.E.u Grockal 7o. 29, 80, 8t; 83i Borit i4itanko',vlll I r. os-_Dsv' Sawa Beograd: 80: Borisqvljevit Zorica, yfi2 r. os r>T. Rajic< cadak: i6: BoriiSneZana. VIIL T.OS >V. KaradZic< Rinani: 76. BniiaLnil h^.-- vrrr .-^6 -r, o,,---i.- o^^vlllr r.(fS-_DSv, Saw( Beograd:80: Botisqvljeyit Zorica, yll2 r.OS DT, Rajic< Cadak: i6: BoliiSnet-ana-, YIII2_ r. OS DV. KaradZic( Ripanj: 76; Bo2iikovii Goran. yllla .. OS ntr,t. Bursai< Beo-gfad,i 76,-19, 83: B,o!.ino.vii Radmilo, VII, r. oS >Braia Ribar< Beograd: doi Botko;;i staiisiora, vr

Zii< Ripanj: 76i Boziikovit Goran, yllla r. OS >>M. Bursai<< Beo-i/o, VII, r. Os >Braia Ribar< B-eograd: doi B"iko;ii staiisiora, vI8); Br-ani^s!av-Z.2ran, Yll2 r. OS >rG. Deldev< Zemun: 76, 77,' jg,.ô$ "y.r.( Dobrinci: 76.'17,8i: B,tistq;,zo;;;: virll.oS",ic.-biii"ii"'ti"ii'ia."tt, ts,

80, El; Breznik vj/.?' vil)g r'oS_ormoz: 13; B7klt vesna,'y, r. os uJ .vesiiin""ie.-siuu"' zo, lui0, Et; Breznik lida, yilra r. os ormoz: 83; Blkit v"rno,'v , i. os-',1 . vlrliii,"iie"*siulil zo. lr,ts_ugariit.Mika, Vlll r.OS >Dr D. MiSovii<< Cadak: ?6. 77,'79; Bugorski Gordana. Vf,

-;:Oi'r;V:Dugo5evii< Beograd: 77,81; Eugarski Sneiano, VlI, r.OS "Dr D. MiSovii,. CaCit', li',jt; Ar*uitBiljana,,YllIl.

"95 ':9.p. pinka< Srem. Mitrovica: ie, zi, sl, Sf; Btiniaiorii So,ii,-V,..'OS'"S..ea2) i l {iiie,i' z"\ii,ii iZ.

I, 83; Brrnjakovit Sonja, Y 2 r

-- ., crvenkovit Dragan, VI r.os skela kod obrenovca: 76; Cvetano,ii slqvica, ylb r.os >M.Hadzid( vojka: 76,77,79,-81;^^cvetkovit Miomir, vIII2 r.os "M. J. cciovai.,' viein:'-zo, so;adzid( vojka: te, il i,j,-s1; cverkovii uiiii, rrrl, ,.4i,;ii:i't"i;1,;::' ii:i.1'?, "il6;cvetkovit Zoran, Ylll3 r. oS D28. novembar<< Novi pazai: g3i cviietii vtuti,t. iitt .- o( "p rvr .3i Cvijetii Vludo, \\tt r. OS >p. M.<Husino kod Tuzle: 83-(pribl.); Cvijit luliodrag, VII r.OS ,rZi-.'majv. DugoSevii< rleograd. 76,-ii, 79, 80. g3 (pribr.);celebii B:ankluy, ylo r.o5 >2. Apostolovii<, .rreieîk,-26.7,'i9,Er

cereiii s,on*'i,i,-vi, r.os

lIIa r.oS,,L. Simonovii.i i,tttsii, zo, ic:-bii-tiiii,ii"-dora"

CaCak: 76, 77; Cobanovii Dutdico, Vlz r. OS >M. H.(; Vojka; 76;

teteotc btan$rav' vr14 r.rJS '>2. Apostolovlc(( lrstenik: 76.77, 79, El: celebii Brankia, yla r>z. A.< Trstenik: 76,77,79; Ciko| Brunislav, VI2_ r. OS DM. H.< Vojka; 76. jj, 79: Cir-oiit tlIIr r. Q! ))L. simonovii( Niksie: 76, 79, .s:ti

'tko;j;vii -dora"ri,''iit,.. oS iio.-ii.

'*iis"6,77, 79: Cizmovii Bosa.1 r.OS rDr D. Mi5ovic.76.7'l,Er:cirii2orica. vIII2r..o5>M.T.(Medveda kod rrsteni'ka,ie,ii,azi'Iiiiivetibor, Yt1 r. oS >M. T.( Medveda: t6; Ciiin' iiotiiiiJ,

'nri, i ci5 "v .'ii.

"" i.rir."",' iol ii, e\_ , Demitouit \luradrf, VtIIr_ 1.eS >p. M.< Husino: 83i D?tit Boiicu, VIII r.OS DM. T.(Dobrinci:-?6, 17, 8l; Devtt Sojtjq,V\ r.OS >M. T.< Dobrinci: .16-1i. it: nj,"t^" n)^*_l._obnncr_76,- 77: .8li Devli Softjq, V\ r.OS >M. T.< Dobrinci: 76,'17, gl:VIII2 r, OS )Kadinjaea( Loznica: 76, 77, 79,80, 83 (pribl.): Diiit Milica. itt"

,ut ,,, ori u(vtc Duf Uu, yrt r.uD )rM. l.( DobrrncL: 16, -/7, El: Dirnilrov Radoslav,vlll2 r,oS )Ka.tinjaea< Loznica: i6,77.79,80.8]lpribl.j;-oisii Mitiia. vri,'r.ris',,ri. p. pint iusrem. Mitrovica_: 76, 83 (pribr.); Dojiinovii Nenad, inro i.os "o. s.,, suiriie:'tt Di"ii"it n"-

M

B g*;qr{J;;'is ;ii "'H:in".iji;.i,!i'_;j;},!';:i[t: Jiiil :.3i ,],Y"'iii.i[lti'

E:;^?"",2K:,\Z'.r.vJ 'ryr. n.< vorKa: to'. ufagtc ztKa, vrrrt r.u5 r5. Mihajrovicil Brza palanka: 76,8O, 8li Drelvak Mirostav, VIt3 r. OS "v. S. S.< Kumodriz: 8t: Dujii i;"to;", V1-.. 65',,1. v..Novi BeCej: 76; Dunjii Dragai, Vllt, r.OS "Dr D. M.< Cacak: 76.

83i Draganit Ra-

r23

-/

OS "M. T.< Dobrinci: 76, 7'1i Rado.vanovii Rajica, Vllls OS rF. K. Fiia( Beograd: 76,77,79, g3(pribl.)r Rajii Srbislava, V-ll r. OS +M. T.a Dobrinci: '16, 77, 8l; Rajic Bogdanka, Vll r. OS>M. H.< Vojka: 76; Raiii Zivana. VlI2 r. OS DM. H.(-Vojka: 76, 77, 79, 8l; Rhut Branka,'Ytlb r.OS rF. M.< Cerkno: 76. 'l1i Reljit Pavle, Vllla r. OS >M. Bursac< Beogradi 76, 17,79, 81, 83;Ristivojevit Milan, Yl3 r. OS .S. M.( Rekovac: 76. 77: Risrovii Snezana, Vtl, r. OS. >rD. J.< Ko-narevo k/K.: 76,77; -Rogovit Milan, Yll3 r. OS "7. oktobar( Caeak: 76, 7f, 79,80: Rojc JoZe,VtIIa r. OS >F. M.< Cerkno: 76,'17, 79,-83:

, ,salatit Dragica, .V r. OS >M Bursai( Beograd: 76;-salatit Sretena,\|2 r. OS >M. Bursai<Be*ograd:_76, 77,81; Samardiii Miroslav, VlIb r. OS rA..S." SeCanj: 76; Sim6vit Vladana, Yl, r.OS >Y. f)ugo3evii" Beoerad: 77: Skadrii Steva- VIt, r. OS .V. K,<( RiDani: 76: Snitianii Biliina-S >Y. f)ugo3evii" Beograd: 77; Skadrii Steva, VIl, r. OS .V. K.< RipVI2 r. OS >M. H.( Vojka: 76; Smukov Mirjana, VI r. OS sM. T.< DobriMilutin,Vlll2 r. OS )7. oktobar( Cadal<; 76. t0,E31 Srcikovit Dragan,

q..J,( JeCanJ: lO: StmOVrc ylquAna, Ylt r.OS.V. K.< Ripanj:76; Sniljanit Bilianq,

rr2 r. vr YUtKc. ,urMilutin, Vlll, r. OS )7. oktoba

"'. r\r\ ,\rparrj. tw, )x4tJu.trL otrJuttq,

Mijana, Vl r. OS "M. T.< Dobrinci: 76, 77 , 8li Spqsojevi.liii,ii,lifi',',.- -oi,,il'Jri,"i"'"."t'"c"rl"i7.io, 'oJr ii"r'a)"i?"bI'iZ',i,""itii',.' os";C6"""r'.,'";;

Zcmun: 76; Sretkorii Milomir, Yll3 r. OS >J. Veselinoviir Sabac: bOl Stameikovii Nevenka, YllIyr. OS >Dr I. Ribar< N. Beosrad: i6.79: Stanimirovit Juliiana. V, r. OS >V. M.* Crocka: 76. 77:

zamut 16; Sreikovit Milomir, VIl3 r. OS >J. Veselinovic( Sabac: b0; Stamcnkovit Nevenka, YllIyr. OS >Dr I. Ribar< N. Beograd: i6,79; Stanimirovit Julijana, V2 r. OS >V. M." Grocka: 76, 77iStankoeit Dragica, Yllll r. OS >3. oktobar(< Bor; 76, 8l; Stankovit Radovan, V1 .-. OS >V. K.(<3 r. vr

'fJ.Dragan, Y 1 r. OS >D. Obradovicr Pozarevac: '16: Stanojeviirsevac: 76, '19,80: Stefanovit Svetlana, VI' r. OS >D. Sal

Radovan, Vj.'. OS >V. K.D. Salaj< Beograd; 76:

Ripanj: 76; Stanojevii Dragan, Y1 r. OS >D. Obradovicr Po2arevac: '16: Stanojevii-Mirjana,Ylli2 r.OS DV. KaradZic( KruSevac: 76,79,80; Stefanovii Svetluna, VIl r. OS >D. Salaj< Beograd;76;Stevanovit-Ilinka, V1 r. OS >Void. Karador<te<< KuSiljevo:76; Siojanorit Dragan, Yl, r. OS >7.tevanovii_Ilinka, V1 r. OS >Void. Karadorde( KuSiljevo:16; Stojanoti Dragan. Yl2r.okto-bar( Catak: 79: Stojitjkovit Zoran, Ylj r. OS >17--oktobai,. S"irota.euo Sl; Srojko'vii? OS DD. J.<< Konarevo: 76: .SroBic Liubica. Y r. OS >M. T.( Dobrinci: 16.7'l: itoiitokto_bar( Caeak: 79: Stojiljkovit Zoran, Ylj r. OS >17. oktobar<< Svetozarevo;81; Stojkovii Ankica,? OS DD. _J.< Konarevo: 76; Stojiit Ljubica, Y r. OS >M. T.( Dobr'nc" 16,77; Stoiit Gorica,VfIIr r. OS >M. P.( V. Plana; 76; Sudarevit Jovanka, Va r. OS >25. maj( Subotica: 77: Suvaidiitlllr r. OS >M. P.( V. Plana; 76; Sudarevit Jovanka, Va r. OS >25. maj< Subotica: 77:Ljiljana, Ylt r. OS >8. KidriC< Novi Sad: 76. '19: Sarana. SneZana. Vlla r. OS DD.(Banat): 76;- Sipetii Dragan, Vtlj r. OS n7. oktobar< Catak: 76. 8O; Strbtvii Vesna,Banat): 76; Siperit Dragan, VII3 r. OS >7. oktobar<>V. DugoSevii< Beograd: i7,79,81.

S >25. maj( Subotiga: 17; SuvajdiitSne2ana, Ylla r. OS DD. J.( Meda| 76, 80; Strbevii Vesna, VI1 r. OS r.

Tanasijevit Gordana, ? OS )M.,Bursai< Brcgrad: 76; Tanasijevii Olitera,Yll r. OS DV. M.(Crocka: 76, 77; Panit lvlajo, \'116 r. OS DS. St. Filipovit<-Beognd:76 Teodorovii Zdenka,Yar.OS >V. Karad2id< Catak: 76,77i-.Terzin lvanka,\j r. OS rJ. M.< Novi Beeej: 76; TiosqvljevitSlavica, Y3 r. OS DV. KaradZid( eaiak: 76. 71, 79:

-TociiMirosluv, Vtl r. OS 'M. IJursair Beo-

Eradi 76i Todorotii Stanislav, VIll2 r, OS >V. Dugoievic< Bc.,8rad: 77; lonalrrii Branislava,Yl2r.OS >J. Veslinovii< Sabac: '16,77,8O; Tomii Mirjana, VI3 r. OS >V. M.., Grocka: 1o; Tomii Sranka,VIll r. OS rM. T.< Dobrincii 76, 17,81, 83; Tomii Zoian. \lll2 r. OS rD. S." Svrljig; 83; TopitVerico, \12 n. OS >N. H.( Vojka: 76: Toiic Drugan. Vllt r. OS rB.aca Jerkovic( 2iteznit<: bt;Toiit Jovica,\Y\ r. OS >8. S.<< Vudje; 76; Toiit Ljiljana, '! OS DR. K.< I'opina (Vrnjci): 76, ?9iTrujkovski M[/e, Vlllb r. OU I I. oktomvri( Skopje: 76. 80: TrAulit Milcna. Yl. r. OS >V. K.<Rlnani:76; T\tranov Jovanka, Va r. OS D25. maj< Subotica: 16,17. lJroictit: Slatontr, VIll, r. OS>D. J.< Kanalcvo'. 76,77,79,83; lJroievic Vlado, Yl3 r. OS >l)r D. M.a Cafak: ?6, 77.

-Vasini Andelko, Vlllb r. OS >P. Dokii< Maglai: ?7: Vuritti Mitovart, vlll, r. OS

"NHCajka< Trsteriik: 76,77; Vesit Dragan, Yl1 r. OS >Dr D. M.< Caeak: 76. 17; yc;kil Sne:aaa.Vj r. OS >J. iI\4.< Novi Beiej: 76; yeskovii Duianka, Vlll! r. OS "8. P. Pinki( Srem. Mitrovica:76,79; Vida(ov Milena, Ylllb r. OS >S. B. P.< Peiinci: '16, 83i ,/idosavtjevii Biljanu. Vl2 r. OS>rS.v. Sava< Beograd; 16, 19; Viluiit Jozo, Ylllb OS DP. M.( Husino: 83; Vtah-ovit Drugicq, Vlllzr.OS DM. J. e.. Vrain k/B: 80. 8lt ltlajkovii Slobodanka, VI1 r. OS >M. P.,, Cicevac: 76t l'lajko:viiSrdtn,Yll i. OS DS. Nikolajevic< Beograd: 77,79; l'lajkor'ii Vlddiilit, Vllll r. OS rS. Nikolaje-vii( Bcograd: 76,7'l: yrqnit Dobrilo, Yllll r. OS >M. M-. D.< Mriajevci: 77i, I'uietic Marija, yr t.OS >Dr D. M.< CaEak: 76; yulinii Miroslav. Vlllo r. OS rM. Bursai< Beograd:76.'17,79,81,83iVujsdinovit DuSanka, Vll3 r, OS DB. P. P.(( Srem. Mitrovica: 76, 8l; yujasdnin Gordana, Ylll4 r.qS >lV k. bat.( _Kraljevo: 76, 79: yuj('ii Siniia i yujin MiliLa, ?. OS >M. H.< Voika: -16; yujiicZivko, Yl.l1 r OS M. H.( Vojka: 76,'l'7,'19; 'y'akadinovii Raclivojc, V r. OS .V. Nj.< D. VijaCani:76; Vuko|evit Ljiljana,\12 r. OS DS. M.(,Rel(ovac: '16; yukovi( Mitka,Ya r. OS >iV. Nj.( b. Vi-jatani: 76; Vukomanovii Fadoi, I'tll, r. OS >2. A.< Trsteni*: 76, 7'l: Vuksonovii Branisliva. Yl3 r.OS >V. DugoScvic( Beograd: 76, 77.

- Zdravkovit Ljubica,\lll3 r. OS >V. Dugo{evii< Beograd: 76,71.8l; Zclenjak Vtatla,YILIr. OS "8. P. Pinki< Srem. Mitrovica: 76,'77: Zelikovit Netto, Yllt r. OS rDr L Ribar( N. Beo-glAd: '17; Zorit Zoran, VIII2 r. OS >V. Nj:< D. Vijaeani: 76: 2cmitri l/rrona. Ylll2 r. OS >8. R.<Boljevci;76; Zivkovit Braniilar, VIII] r. OS >M. Bursac( Beograd:76,77,79,83. '

Napomena.-

Redni brojevi zadataka dija su reSenja kod pojedinih u(tenika narodito uspelaStampani su masno, Komisija za pregled zadalaka nije priznavata neobrazloZene odgovore i rezul-tate. Bilo je i pogreSnih re5enja, naroaito u zadacima 80, 82 i 83.

Primeieno je da neki re5avatelji zadatke nisu reSavali samostalno; naime. iz nekih Skolaprispelo je na desetine sasvim istovetnih re5enja. Ovo je narotito izrazito kod re5avatelja izSkola:>M. HadZii< Vojka, rM. Tomii( Dobrinci, >V. NjeZiC< D. Vrjadani. Upozoravaju se reSayateljikonkursnih zadataka da Komisija u buduie takva resenja neie uzimati u obzir.

Molimo re5avateija konkursnih zadataka da se u svemu pridrZavaju uputstva koje je naye-deno ispod tekstova konkursnih zadataka.

126



3, Morouuxllrcr je noutao n3 rpaAa A y rpag.B, r4e rpe6a Aa crr4rney yroBopeHo npeue. Axo 6n nurao 6prlruov og 35 km/h 3aracHrjo 6u 2 \aca.Aro 6r.r, rax, uuao bpluuou oq 50 km/h, onAa 6u crurao I qac npe BpeMeHa.Ko-rnro cy KuJroMerapa yaaJbeHu rpaAoBH A u B u KoJlHKo je nper"reHa nor-pebuo Mororrt4nlrucrn Aa npeh raj nyr Aa 6a crvrao y yroBopeHo rperr,re?

4. llpaaoyrao sptx ABCD, uuje cy crpaHr.rue AB : 12 cm u BC :6 cm, no-4erreu je Ayxo.rMa CE vr CF (rae je E Ha crpaHr.{qr AB, a F Ha AD) Ha rpr.rte:aa EBC, AECF u FCD, raxo Aa cy floBprxnHe rux AerroBa (EBC,'AECF nFCD.1 npou6pulroHanHe 6pojenr.lnaa 4,3 u 5. Kolurcu je obnrrr qerBopoyura AECF?

5. JeAHaxoueuqria rpocrpaHa npu3Ma, rcojoj je ABw\a a, npeceueua je capanun xoja npona3x Kpo3 jeAHy ocHoBHy vBrrr\y t4 cpeAr.rurre lrac[paMHe6oHHe t,tsuqe,

OApeArru: a) noeplrltty flpece(a,6) ogHoc 3anpeMr4Ha AeJroBa npu3Me Ha Koje je oHa noae-

JEeHa npeceKoM.

. Pe:ytuauu u yutucusa--

l. Aarr E3pa3 ce pacraBnarceM Ha {trHuoue rpaacrfopuuuey, (a-5b)](a+56), na xaa ce ry 3aMeHe aare BpeAHocrk ao6rja ce 1000.13,5:a5OO, (bsnx S6ogoea cauo raq je nplweneH oBaj pauloHanaH nocrynaK; aKo ce {re ))neuKe((-AupeKT. 3aMe-bxBabeM y Aartr n3pa3

-cauo2 loeHa 3a raqaH pe3ynrarl.

2.Az csctewa x+y-992, 1000x*y:6(1000y;xl ao6njawo ra cy rpaxeHE 6pojeeu:,-857 i y:142.3aucra je 857142:6.142857. (5 6osoea\

3. ApuwMeduaqu: AB-jelwu\ai ol A Ao B rpe6a l/35 cac. y I clyvajy, a l/50 uac. y IIcayvajy. Paerura l/35-l/50:3/350 rpe6a ra tr3Hocx 3 qaca. 3racu. ,48:350km. Aa crurne yyroBop, BpeMe rpe6a uy 8 cacoaa. Atleqgpdu: 3a nenorrrary ce Moxe y3erv AB, Te nM&o Kaouanpel, rj, xl35-xl5o:3, nra., uoxefi BpeMe 3a xoje 6u npeuao tryr aa crHrHe y yrosopeqtr

. ...I Klo dodatak primerima iz prethodnog broja (str.nekoliko slidnih:

ffiMATEMATIEKA RAZONODA

ZANIMLJIVOSTI O BROJEVIMA

Neobiine jednakosti

155==1.55+15.5+1.S.536:3.6+3.61233:122 +3Jz8833 :88, + 33,

III' u ,,MatematiEkom listu"-Ir r. (str. 301. naveri smo nekoriko primerau kojima. se stepenovanj.em zbira cifara neiiih-b-1.uu sa l,2,3,4,...dobijajuupravo ti brojevi, na primer:

92:81, pri demu je 8+l:9;273:19683,224:234256,35s :52521875,

I + 9 +.6 +8 +.3:27;2+3+4+2+5 F6:22;5+2+5 +2+l+ 8+Z+5:35.

20+ 25: 45;30 + 25: 55;

88 +2O9:29'1.

4.637 :7.364,4.847 :7.484,5.546:6.455.

79), navodimo joi

rpeHyraK,83 35(r+l):50(t-l) r3na3H r:8 (cac.). nr,.. (5 6ogosa,peHyraK, a3 J5(r+l):50(t-l) r3na3H r:E (cac.). nr4. (5 6ogosa,4. P1:P2:Pt:413:5 u P1!P2*P3:12.6 (raro), rj. 4k t-3k+5k:72, oraue /c:6, re

je P1:24, P2:18, P3:30. Taaa je E8:8, DF:5, ta no flrrarop. r. ao6rjavo CE:IO, CF:13O6su cergop. AECF ie AE-tEC+CF+EA:4+lO+12+ I -28. tra(ne: 28cm. (J 6oooea: vxostqxo6ru ueraop. ie AE-lEC+CF+EA:4+lO+12+ I -28, aa(ne: 28cm. (5 6osoaa; yxotnxocy cavo ualeue troBpuuHe AenoRa EBC, AECF u CDF -

caMo 2 6oaa).

5. npecer je je4narorp. rp. ocnoBnue 4 tr Kpara ! / i 6o llur. T.). Bucnua ror rpo-2Yua (Ha ocF.) je h:a, a toapuuua a212.

3anpewane ae'oBa cy: /1 lnupavulal-1 .ir t ";-;Vt " ,r-T/T.a-vr:

-Y'/ t. Talra v1:vz:l:5. (5 6o!tosa: a\ 2, B) 3)24

KAJIEHAAP MATEMATI'IqKI,TX TAKMITqET6A Yq EHI,IKA OCHOBHIIX IIIKOJIAv cP cPEIrJI,t 3A IITKOJICKy 1969/70. TOAI,IHy

I crynan raKMr4yer6a (uxotcxa raaxuuven a) oAp)Karr.t y rrrKoJraMa Ao22. III 1970. roAHHe. Tan'luqe ce yqeHr4ql cBnx pa3peAa.

II cryuan ra(Mnrterba (ouututuncxa utaxauuena) oapxahe ce 12. IY 1970.roA[He. V.recroyjy yrreur4qn cBHx pa3peAa.

III crynarr raxMhqe*a (uefyouwwuncxa utaxuuuen a) oApxahe ce 10. V1970. roanne. V.recrnyjy y{eHxqu VI, VII r.r VIII paepega.

IV crynar raxMrrqena (IV peuy6auuxo naKMuqefte) oapxahe ce y Eeo-rpaAy 31. V 1970. roArue. V.recrnyjy yqernqn VII n VIII pa3peAa.

3aAarxe 3a oBa rar(Mr.rllelba (uryaer ruxoncxnx) cacraBJba penybnarxarovucuja ja v.na4e MareMarr4qape.,,Mateuaruurr{ Jlrdcr't je npeqnoxuo Aa ce 14. VI 1970. roArxe oApxn

Ilpeo caeezno fraxuuveme u3 MameMamur(e (caMo 3a )^texnre VIII parpe.qa).Csa raxvt,l.rer6a noquny y 9 caru.

128

SliEno tome,

45r: 2025,55r: 3025,

297r:88209,lV. Evo nekoliko zanimljivih proizvoda:

2.819:9.182,3.723:8.273,4.217:7.724,4.427:7.2U,

. 5uo 5to vidite, u proizvodim4 s desne strane znaka jednakosti cifre iduobrnutim redorn.

V. l. Pogledajte ove primere:

,,iI?: 1',,,.t1;'r1- 2i:1r 2+3+4. 10, 13+2r+33 +4t:l0z:

1-r2 +3+.4+5 -= 15, 13 +23 + 33+4j +Sr: lS2-

. . Srl zapailate? Zbir (_suma) dva, tri, detiri i pet prvih dlanova iz prirodnogniza hrojeva .(1., 2,3,.4, 5, 6,....y jednaka je redom l. O, LO, l-li.'u ,Ui,Kubova tlh istih brojeva .jednak je kvadratu njihovcg zbira! I uopste: zbrrkubovg.uzastopnih prirodnih broieva-, pocinjuti oi i, jhr;i ii ["o2"rtrii-'niino-vog zbira.

129



2. Metlutim, francuski matematidar Liuvil (J. Liouvill, 1809-1892) posta-

vio je mnogo op5tiji zadatak da se nadu proizvolini celi brojevi a, b, c, d,. . 'iiji te zbir kubova biti jednak kvadratu njihovog zbira, ti'

ot q gt 4 c2 +. . . : (a + b + c +. ..)2

Meelu brojevima a, b, c,... mo1e biti i jednakih.

Pronaii takve brojeve pogadanjem, na sreiu, bez odredenog pravila, bez-

nadezno je. Ako ne verujete,- udinite nekoliko pokusaja, a onda iitajte dalje!

Liuvilu je uspelo da dode do vrlo zanimljivog rezLitata, dija 6e vam

su5tina biti jasna iz sledeia dva primera,

Primer 1. - Uzmimo broj 6. On je deljiv sa 7,2,3 i 6. Akoliko

delilaca ima svaki od tih delilaca? Broj I ima iedan delilac, broj 2-

dva deli'oca (to su 1 i 2), broj 3 -

dva delioca (1 i 3) i, na-kraju, broi 6-

ietiiridelioia (1,2,3 i"Q. Upravo ti brojevi 1,2,2 i 4 (tj' brojevi delilaca) i zado-

voljavaju relaciju oblika (*), tj. imamo:

lj+Zr i.Z3 +43:(l ) 2i,Z+ 4),:gl.

Primer 2, - Uzmimo broj 30. Njegovi delioci (dinioci) su: l' 2,3,4, 5, 6, 10, 15, 30. Broj delilaca za svaki od njih redom je: 1,2' 2,2, 4, 4' 4,

8. Imacemo:

13 + 23 + 23 + 2t + 43 + 4t + 43 + 83 : (l + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 4 + 8)2

Kao Sto vidite, postupak je jednostavan i oStrouman. Primenite ga sami

i na druge brojeve!

vI. Navodimo nekoliko trocifrenih brojcva, koji su jednaki zbiru kubova

svojih cifara:

rs3: rr + 53 + 3r371 :33 + 7r t 1r

370:33 + 73 -t 0l4O7 :43 + 03 t 7l

VII. A Sta kaZete za sledeie jednakosti:

175:1t+72+53,518:51+12+83,598 :5t + 92 + 8l

VIII. A sada primer jedne jednakosti gde na obe njene strane cifre do-

laze potpuno istim redosledom:

387420489 - 3(87+420- 48e),

IX. A kako vam se svida ovo: 54748:5s+4s+75+45+8r?

Zadatak. -Poku5ajte da sami nadete takav ceo broj E da bude

Es:A5+Bs+C5+Ds,gde su A, B, C i D

-takode celi brojevi"

Zadatak je teiak, ali se moie resiti. Izmislio ga je znameniti matematEar

Leonard Ojler (L. Euler, 1707-1783).

130

(*)

1676:lt +62 +73 +64,1306-1r+32+03+64,2421 :2t r 42 +2t +14'!

Postanak arapskih cifara

.... -Danas,se uglavnom_sluZimo arapskim ciframa. A da li ste kadgod raz-mi5ljali. o razlozima zbog kojih te cifre imaju svoj danasnji oblik? p-ostoji otome. vi5e pretpostavki. o jednom pokusaju tumadenja oblika arapskih ciFarapi:ali smo i u ,,MatematiEkom listu.. br. IIL 2. sti. eZ. Sada navodimo joiiedno slidno tumaEenje, frema kome arapske' cifre imaju znatenje u )aivisnostiod broja ,,uglova" koji obrazuju figuru dotiine cifre.

Zaista,. ako pogJedate na sledeiu sliku, onda 6e vam zaEas izgledati daovo tumadenje i nije li5eno smisla.

1Z]1'5E7XS0Tako, recimo, kod jedinice imamo samo jedan ugao, kod trojke

- tri,kod petice

-pet, itd. Kod nule nemamo nikakvog ugla, ie zato ona i nema

nikakvog (nekog) realnog sadrZaja.

_ . ..Ovo obja5njenje oblika cifara, dosta jednostavno i privladno, odmahpleni iitaoca. Medutim, ovo i slidna objainjenja nemaju nekog naudnogznataja.

3PHIIAMnuyr ra pagurrrrrJLarbe

. 1. Kanra qlrirnrApuqHor obnnra Ha[yrLeHa q]icroM BoAoM Texn 5 kp, aKaA Je y rLy Bo,qa ycyra caMo Ao noJroBnue

-Texn 3,25 kp. Konuxo nr,rrapa

BOAe MOXe CTAtn y ry xaHry?

. 2. Hawcaru najuarrn no3nruBalr 6poj: a; rpurr,ra 4oojrcaua, b) rpxrvrarpojraua, c) rpunra uersopxar'ra!

3.. lIr jegue ra.rrce rrorererre cy rpn wyxe. Kaga he one 6r.lu y jea*ojparHu(Hra)?

4. Tpr-r cenarrxe [rure cy y rpaA. Vcnyr cy cyqp9ag.-Tp.r ce,,ranxe. Ko_auxo je cBera ceJbauKr{ Hrulro y rpa4?

OATOBOPI{ HA III4TAIbA }I3 PYEPNKE ,,3PHIIA*Y ,,MATEMATLIqKOM JII,ICTY.. IV. I_2.

Mlrnyr ra pa3MlurJbarte.-

1. Eso jour nerux peuerba:

t) 2+2+2+2:2:7,2) 22:2-2-2:7,3) 22:2-2.2:7,4) 2.2+2+2:2:7,5) 22 +2+2:,2:7,

2. 100. 3. Tpe6a flanrcarn raj 6poj N noeyhu100

IIPry Kao Ha rlprexy AecHo, a100:

l.

4. 3! 5. I{ua 8 crpaua.

flporeprre croi noclratparxn 4ap! - On ryre rpehe gere.

131

Hcropnja ce norraBJtra

-Tara, HeAaBHo cu HaM flpurrao xano cr4 y trlKorr{ urvrao claby oqeny

I43 MATCMATUKC.

-3auro cu ce rora o4jeqnou ceruo?

-fla, TaKo, r43rneAa Aa ce ucropuja ncranna!

*+*

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 12

Najpre dajemo re5enje zadatka. Preostale kvadratice moZemo popunitikao na sledecoj slici. Cifre koje su ve6 bile upisane sada su na5tampane masnije.

l'l 'l'L1l'llzl* lslzl- le l-t_ltttlllrl l'l'1, lzl-

ZakljuEno sa l. 2. 1970. godine primljeno je 610 re5enja, od toga 558 tadnih.Zrebom je odludeno da se iznredu onih koji su poslali taEno reienje

nagrade sa po 20 dinara sledeci udenici:

l. Colovit Sonju, Yll, r. OS >V. KaradZic<, Pirot2. Celebit Brankiru, VI. r. OS >2. Apostolovic<, Trstenik3. Hodiit Suada. Ylllo r. OS >Brdko Novo<, -Brdko4. Ivanovii Dragan, VllI. r. OS >Goce Del6ev<, Zemun5. Jondiit Davorin, V, r. OS >21. maj,<, NiS6. Kramarit Zlata, \iI" r. OS >Stevo Sabic<, Bjelovar7. Kugit Rade, YI, r. OS Banatsko Karadordevo8. Majstorovit Danica, VI" r. OS >8. Radidevic<, Vel. Livade9. Murkov Zeljko, V, r. OS >Dura Danidic<, Novi Sad

10. Milanov Branisktv, VIII, r. OS >VoZd Karadorele<, NiS11. Obradovii Andrija, VIII, r. OS "D. Jakiic<, Konarevo kod Kraljeva12. Obutina Radmila, VII,..r. OS >S. Sremac<, Boria kod Beograda13. Odar Joiica, Ylu r. OS BIed14. Otaievit Gordana, V, r. OS >Karadorde<, Beograd15. Planit Svetlana, V, r. OS >S. Markovic<, Kragujevac16. Popovit Gordana, VII, r. OS Prekadin, p. Beloljin17. Prvulovit Radomir, VIII r. OS >S. Mihajlovit<<, Brza Palanka18. Smriek Gordana, VIa r. OS >Stevo Sabic<, Bjelovar19. Todorovit Dragica, V, r. OS >D. Jovanovii<<, Selevac20. Zdravkovit Sneiana, VI, r. OS )M. S.u, Vinarce kod Leskovca

Nagrade su poslate poitom.Dobitnicima nagrada de.stitamo!

r32

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 13(Specijalni novogodi5nji nagradni zadatak)

. zadatak je bio da se u kr-uiite na daroj magiinoi figu,i upiiu brojevi (medu-sohno razliiiti) tako da s-uma (zbir) svakih pbt biojevi-tito aiz stranica ipolja-injeg ili .unutrainjeg l<tadrata, bilo dui svih tinija

'kojeprolaze krloz cintir cele

figure, bilo u remenima ietiri perougla istaknuta a"ttiii fuiiamo- bia"-iiii' tszotZadatak ima viSe re5enja. Evo jednog od njih:

Primljeno je ukupno 420 reSenja: 215 tadnih i 205 pogre5nih.

Iz nekih Skola odnosno mesta.-bilo je po nekoliko istovetnih reSenja paje zato broj reSavatelja relativno veliki.

Nagratleni su svi ditaoci, njih 215, koji su do l. II 1970. godine poslalitadno reSenje.i odgorrarajuii nagradni kupon. poito je nagradni

-fond zi ovajzadatak iznosio 5000 dinara, to nagrada iznosi 25 dinara (zaokrugljeno).

Nagratleni su slede6i ditaoci:

Adamov Milan, ud. Vltfl r..gS .,Brcd1.Ribar.. Beograd; Ajster Darko, VIc r. OS ,,BojanaIlicha" Maribor; AleksliMilojic:a,vu2r.os,,D.Jaksi6..Ko.-narevo-kodKraljeva;Tit riiil'aoint,VIlrj_-r. oS ,,Braca Jerkovic.,- Zereznii; iiainriii' a,riiii, viii; ;. oi' ,:6:j;ktii:l'fi;;...,"kod.K.raljeva; ,Antit Lalica, vlr3 r. os ,,D. stambolid.;svirjig; )ntit sr";r1,, vil,-i.'bs ,li. st"n-kovfc" ora_ne kod Leskovca; Arandelovit Aleksandro, vIr r. os ;,v. Karadzii.. Beog'rad; AtinasovskaYiloata, Yll a r. OU ,,K. Racin.. Prilep.

r33

REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAK BR. 14

Na ovom crteZu (v. desno) ima ukup-no 38 trouglova.

Primljeno je preko 1400 re5enja, odtoga 987 tadnih: (Uzeta su u obzir svareSenja koja su stigla do 1. 2. 1970. godine).

Izmettu onih koji su dali ispravan odgovor uz pomoi Zreba odluieno jeda se nagrade sa po 20 dinara slede6i uEenici:

L Babit lvica, YllI6 r. OS >Simo Solaja<, Kupres2. Cemalovit Asim, Yllla r. OS >I. MrZljak<, Vel. KladuiaJ. Dolenec Slavko, VIu r. OS >A. Habu5<, Marija na Muri4. Georgievski Stojan, YIII r. OS Makedonska Kamenica5. Hromin Dina, Yll, r. OS ->J. B. Tito<, Novi Beograd6. Koviin Yladimir, vI, r. oS..>S. Nikolajevii<, Beograd7. Krstevski Ljubi1a, VI6 r. OS >K. Misirkov<, Kumanovo8. Lukit Biljana, V, r. OS >rKadinjaEa<, l-nznica9. Man'it Mira, Ylll, r. oS >V.._ Mili6evi6<, Grocka70. Miiivojevit Slavica,- Vlll, r. OS >D. Stamboli6<, Svrljig17. Miloievit Novka, Vu r. >>D. Jak5ic<, Meda (Banat)12. Petrctvit Radmila, VI, r. OS Skela kod Obrenovca13. Seniiar Peter, YII\ r. OS )Katje Rupena<, Novo Mesto14. Simunovit Nada, Ylln r. OS >Velimir Skorpik<, Zadar15. Sljivit Rade, Yll, r. OS >n. Domanovic<, Paracin16. Tiodorovii Zdenka, Vo r. OS >V. KaradZic<, eadak

l'1. Titin Sofija, Ya r. OS >N. Tesla<<, Zrenjanin18. Trivit Vlodan, V, r. OS >20. oktobar<, Beograd19. T'utnjevit Branko, VII6 r. OS >I. G. Kovadi6<, Na5ice2O. Vetjkovii Radoslav, VI, r. OS >M. Pijade<, NiS

Nagrade su poslate po5tom.

Dobitnicima nagrada Eestitamo!

NAGRADNI ZADATAK BR. 15

Nacrtajte bilo kakav ietvorougao, pa ga sa dve prave podelite tako da

dobijete dva trougla i dva petougla.

Za pravilrto relenje ovog zadatka bi6e nagraileno 20 udenika. Po potrebiodluEide Zreb. Reienja treba poslati najkasnije do 11. IV 1970. godine na adresu:Matematidki list, Beograd, p.p. 728. Ne zaboravite da na samom radu navedete

svoje ime i prezime, razred, Skolu i mesto (za manja mesta i poStu). Na ko-verti obavezna naznalite: >Nagradni zadatak br. l5<. Re5enja i imena nagra-tlenih objavi6emo u >>Matematidkom listu< br. IV.4.

136

0S\0VAN NAGRADNI FO;T'D PRT REDAKCIJI ,,MA1'EMATIEKOG LISTE"

['olazeci, s jedne strane. od dinjenice da do sada nisu postojali stalnirzvori l'inansiran.ia vannastavnog rada putem kojeg bi se povecavao interes mla-tlih (pionira i omladine) za fundamentalne oblasti znanja i, s druge strane, ima-

lLrei u vidu ogromtru ulogu matematike i matenlatidkih znanja u svim oblastimai'ovckove delatnosti, pri redakciji saveznog strudno-popularnog iasopisa >MA-'ll:M,ATleKI LIST< (namenjenog prvenstveno udenicima osnovne Skole) osnovan

.1c Nullradni fontl za popularizaci.ju malematike i stimulitanje ntladih matematiiaralskrirccni naziv; Nagradni fond ML) iz kojeg 6e se finansirati niz akcija savez-

ntrg kuraktera kojima je cilj da se populari5e matematika i podiZe matematidkoohr:rz,rvanjc naiih mladih generacija na viSi nivo.

l.' ru sletlc('c akci.ie:

l. Tenrirtski konkursi- javni konkursi svake godine za radove na tenle

t: '"czi sa popularizacijom matelratike. Prvi takav konkurs bice objavljen ve6 u

aprilu 1970. godine. Pravo ubeSca imaju svi graclani Jugoslavije.

2. Natlnretanje (takmidenje) mladih matematidara u re5avanju zaclataka

ko.ri sc rcdovno objavl.iuju u saveznom dasopisu >Matematidki list<.

.1. .la.vna nutcnratidka takmidenja udenika, posebno: Savezno takmidenjeiz lrratcrnatikc za uicnike osnovnih Skola.

4. Klubovi mladih matematidara i rad urateutatidkih sckcija.

5. Druge povremene akcije.

l)obrrrvoljnirn prilozima i pokloninia (u novcu, proizvodima, zuvestanjctrl

idr.) pravnih ilizidkih lica iz cele zemlje (radnih i druStveno-politidkih orga-nizacija, naudnilr i obrazovnih ustanova, udruZenja i gradana) obezbetluju se

sredstva Fonda iz koga ce se linansirati pomenute akcije prema utvrdenontPravilniku.

Po5to se kroz Fond nagrailuje znanie, podstide uienje i rad, koji ce nasoj

socijrlistidkoj zajcdnici biti od koristi, to se s pravom taduna na udruZenu

saratinju i pomoi pomenutih kategorija pravnih i fizidkih lica i uop5te svihonih faktora koiima je stalo do nau6no-tehnidkog progresa naSeg dru5tva, u

icmu solidno matematiiko obrazovanje na5ih mladih ljudi ima fundamentalni't.nataj.

Uplate se vr5e na iiro-raiun broj 608-8-1433-10, >Matematiiki list<Ilcrrgrad (Nagradni fondl.

O priml-ienirn uplatama i drugim poklonima, kao i o sprovodenju akcija

tu okviru Fonda, javnost (a pre svega darodavci) ce biti redovno informisani.

ti sli'rlcdern broju >Matematidkog lista<-

Veliki nagradni konkurs!

Matematicki list 1970 IV 3

Documents

Transcript of Matematicki list 1970 IV 3