Matematicki list 1973 VIII 1

7/28/2019 Matematicki list 1973 VIII 1

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1973-viii-1 1/17

+

VAZNA OBAVESTENJA

1. UredniStvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostale dita'oce da Salju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnihispita i rnatematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi(osim udeniEkih re5enja zadataka) budu pisani pisadom maSinom s proredom, a

crteii izradeni na posebnoj dvrSioj hartiji. Rukopisi se ne vraiaju.

2. ,,MatematiEki list" namenjen je svim uienicima V-Vm raz. osnovne

5kole. List izlazi 5 puta u toku Skolske godine.

3. GodiSnia pretplata (za svih 5 brojeva) iznosi 25 dinara. NaruEiocima zaviSe od 10 kompleta odobravamo rubat (20Y", 15%, l0%), zavisno od roka do

kojeg se isplati celokupna pretplata (I.XII, l.II, l.IV). Nikakvi drugi odbici ne

uvaZavaju se.

NarudZbine se Salju na adresu lista, a novac na iiro-raIun ,,Matematiikoglista" broi 6080,6-678-14627. Pri tome obavezno treba navesti tainu adresu na kojulist treba dostavljati i jasno naznaEiti na 5ta se narudZbina odnosno uplata odnosi.

4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1968169. god. (br. III. l-5)'5k. 1969/70. eod. (br. IV. l-5), sk.1970/71.eod.(br.V.3-5), sk. 1971/72. god.

(br. VI. l-5) i 5k. 1972173 god. (br. VII. 1-5). Od ovih godiSta prodaju se III,IV, VI i VII po sniienoi ceni od 6 dinara za komplet, a godi5te III po ceni

od 3 dinara.

5. Mole se poverenici ,,Mat. lista" da izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slati iskljuiivo na adresu:

Matematilki list, p.p. 728, 11001 Beograd

MATEMATIEKI LIST

ZA UCENIKE OSNOVNE srcOTE

VIII

I

SADRZAJ

l. Dr M. Ilit-Dajovit: Krug i prava.

2. D. S.: Tablica sabiranja

3. Dr M. Stojanovit: Neke zanimljivosti o brojevima

4. M. I. D..' O zadacima .. ..5. Odabrani zadaci .

6. Konkursni zadaci.

7. Resenja konkursnih zadataka 174-188

8. Najuspe5niji reSavatelji konkursnih zadataka 153-188

9. eetvrto savezno takmidenje mladih matematidara osnovnih Skola

Jugoslavije

10. Matematidka razonoda

ll. Nagradni zadatak ........korice12. ObaveStenja pretplatnicima .. . . . ..korice

I6

9

il15

16

l722

26

3lJ

4

BEOGRAD

1973.CENA 5 DINARA



SAVEZ DRUSTAVA MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATIEKI LIST

za uEenike osnovne Skole

God. VIII, broi 1 (1973174)

lzlazi pet puta godi5nje

IZDAJF. DRUSTVO MATEMATICARA, FIZIEARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV' p. p. 728'

Urednici:

Platon Dimit (gl. ured.) i Miroslav Zivkovit (odg' ured')

Redakcioni odbor:

Viinja Brkit-Deviit (Zagreb), Kosta Miiatovit (Sarajevo)

Sretko Kadunc (Ljubljana), Veliko Zivkovii (Titograd)

Vladimir Stojanovit (Beograd)

Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevodenja zadrLava

Drustvo matematidara, fizilara i astronoma SR Srbije

Oslobodeno plaianja poreza na promet na osnovu resenja Republidkog sekretarrjata

za kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od 1l' 1' 1973' godine

Sturnpu, Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode Misiia br. l7

Dr M. Ilid-Dajovid (Beograd)

KRUG I PRAVA

I

l. Posmatrademo krug (kruZnu liniju) i pravu u istoj ravni.

Pri tome moramo pre svega voditi raduna o poloZaju prave premakrugu.

-U odnosu na dati krug, prava moZe imati jedan od sledeia

tri pcloZaja:

l) prava nema nijednu zajedni6ku tadku s krugom (tada se kaieda je prava van kruga) (sl. la);

2) prava ima samo jednu zajednidku tadku s krugom (tada se

kaZe da prava dodiruje krug, i pravu nazivamo tangentom ili dirkomkruga (sl. lb);

3) prava ima dve zajednidke tadke s krugom (tada se kaZe daprava sede krug, i pravu nazivamo gedicom ili sekantom kruga) (sl. lc).

60ost. l

2. Neka je prava 4 van kruga (K). Postavimo sledeia trizadatka:

l. Odrediti na pravoj a taiku najbliiu centru kruga (K).2. Odrediti na krugu (K) taiku najbliiu pravoj a.

3. Odrediti na krugu (K) taiku koja se nalazi najdalje od prave a.

Re3avanje prvog zadatka svodi se na odredivanje najkra6egodstojanja centra O kruga (K) od prave a.

Povucimo iz centra O duii OM, OMr i OM2 do prave a, i totako da je duZ OM normalna na a, dok su duZi OMt i OM, kose



prema a(s1.2). Uodimo LOMMti AOMM.. To su-p-ravougli trougli,

s pravim uglovima kod temena M i s hipotenuzom OM, odnosno OMr'

fato je u"svakom pravouglom trouglu hipotenuza najduZa stranica,

to jeoMl>oM i oM2>oM'

pa je zaista OM najkrata duZ povudena iz centra O do prave a'

ftlt r'l /'/2

sl. 2

Z akl ju d a k. -Tadka na pravoj a najblila centru kruga jeste

podnoZje norrnale spu5tene iz tog centra na datu pravu'

N a p o m e n a. Tadkana pravoj najblila centru kruga istovremno

je najbli2a i krugu; zato se ,idatak I desto izraLava i u ovakvom

tUtitu, Odrediti-na

pravoj a tadku najbliZu krugu'

Da bismo re5ili drugi zadatak, uodimo na krugu (K) d'ue.tadke

N i Nr (sl. 3), od kojih ie taem N istovremeno na normalnoj duZi

Povucimo iz N, tetivu kruga N,N,' paralelnu pravoj a i obele-Zimo sa P tatku u kojoj ta tetiva sededuZ OM.Kako jeP unutra5njatadka tetive, to se ona nalazi u krugu, pa je PM:PN+NM. Kakoje detvorougao NrfufrMP pravougaonik, to je NrMr:PM, te uzimajuiiu obzir prethodnu jednakost imamo:

PM:PN+NM:NtMt,

!o jest NM : NtM - PN,5to znadi da je duZ NM manja od duZi NtM;kao 5to znate, to se piSe u obliku:

NM<NlMt.

Prema tome, rastojanje NM tadke .l/ kruga od prave c manje je odrastojanja proizvoljne tadke N, na krugu od te prave.

Zakljudak. - Tadka na datom krugu najbliZa datoj pravojnalazi se u preseku tog kruga i normale spuitene iz centra kruga napravu 4.

Na slidan nadin ie5ava se i treii zadatak, to jest odreduje se

na krugu taika koja se nalazi najdalje od date prave.

3. Uodimo sada krug i njegovu tangentu i obeleiimo sa Mnjihoru zajednidku tadku (ta se tadka zove dodirna tadka kruga i prave).

Poluprednikpovuden

do dodirne tadke zove se dodirnipouluprednik.

Za poloLaj tangente prema krugu karakteristitno je sledeie tvrdenje,koje iemo i dokazati:

st. 4

4, Dodirni polupreinik je normalan na tangentu.

Dokaz je veoma jednostavan. Koristi6emo se re$enjem zadatkaI (ili zadatka 2): tadka na pravoj a najblila krugu jeste podnoZjenormale spu5tene iz centra kruga na tu pravu (odnosno, taika na

sl. 3

OM povulenoj iz centra kruga na datu pravu a, i

stimo normalnu duZ NrM, na pravu 4' Treba da

duZ ve6a - da li duZ NM ili dui NrM,

2

iz talke N, spu-

utvrdimo koja je



krugu najbliia datoj pravoj a nalazi se u _preseku kruga i normale

,puIt.n" i" njegovog centra na tu pravu),. Na osnovu toga, kako je

dbdirna taEka M ona tadka prave 4 koja je najbliZa krugu i, isto-

!'remeno, ona tadka na krugu koja je najbllaa pravoj a, zakljudujemo

da je M zaista na normali spu5tenoj iz centra O na pravu a, Sto

,oili da je OM La, a to je i trebalo dokazati (sl. 4).

Evo joH nekoliko zadat?ka:

5. Dati su krug (K) i prava p'Konstruisati tangetttLt kruga (K)

paralelnu pravoj p. Koliko reienia ima tai zadatak?

6. Dati su krug (K) i prava p, Konsftuisati tangenlu kruga (K)

normalnu na pravu p. Koliko reienja ima toi zadatak?

7. Dati su krug (K) i dve niegove tsngente trit, koie se seku

u taiki A. lko su M, i M, dodirne ta[ke tih tangenata i kruga,

dokqzati 6la sa trsugli OAM. i OAM2 (O ie centar kruga) podudarni'

8. Konstruisati tangentu datog kruga koja prolazi kroz datu

taiku A. (ovaj zadatak formuli$e se desto i na slede6i naEin: Iz date

taike A van kruga povuti tangentu tog kruga.)

9. Dva kruga se seku. Ako su O, i O, njihovi centri, a Mt i

M, dodirne taike jedne njihove zajedniike tangente, dokazali da jb'

ietvorougao O tO2M zM I traPez.

Pre nego 5to objasnimo kako se ti zadaci re3avaju, podsetiiemo

vas na to da se tangenta u datoj tadki kruga (a to nam je potrebno

za resavanje zadataka 5 i 6) konstruiSe kao praYa normalna na dodirni

poluprednik; zato konstruisati tangentu u datoj 'taEki M kruga znadi

podidi u tadki M normalu poluprave OM.

ReSenje zadatka 5. - Prvo treba kroz centar O kruga

povudi prauu qlp (sl. 5); presedne tadke prave q iktuga bi6e dodirne

taEke M, i M, t:angenata. Sada se u taiki M, konstruise tangenta

ttLq, a u tadki M, tangenta trlg. Kako je

qLp i ttLq, t,L8,

zakljudujemo da jetrl,\p i trllp.

Posto prava r7 sede krug u dvema tadkama, zadatak ima dva resenja,

to jest, postoje dve tangente datog kruga paralelne datoj pravoj'

4

Re3enje zadatka 6.-

Najpre se kroz centar O krugapovude pral'a q ]ip Gt.6), pa se u presednim tadkama M, i Iv[, teprave i kruga konstrui5u tangente ttLq i'tzLq. Kako je

q)lp i ttLq, t2lq,

zakljudujemo da je zaista

trLp i tzLp.

Zadatak ima dva re5enja (to jest, postoje dve tangente datog kruganormalne na'datu pravu p).

sl. 5 sl. 6

ReSenj e zadatka 7. -Povucimo dodirne poluprednike

OMt i OM, tangenata t, i tr. Trougli OAM. i OAM, (s1.7) su

pravougli (za5to?), imaju zajednidku hipotenuzu OA a katete OMt i

OM" (poluprednici kruga) su im jednake. Stoga su ti trougli pcdu-darni (III pravilo podudarnosti), Sto je i trebalo dokazati.

sl. 7 sr. 8



Na osnovu te podudarnosti zakljudujemo da su duZi (koje nazi'

vamo tangentnim duZima) AM, i AM2 jednake:

AMt: AM2.

Pored toga je i iOAMt:1OAM2.

ReBenje zadataka 8 i 9 objavidemouslede6em broju

Matematiikog lista.

4. Uodimo krug i jednu njegovu sedicu s i obeleZimo sa A i Bdve njihove zajednidki tadke; prema tome, odsedak lB sedice je tetiva

kruga (sl. S). buZina normale OD spu5tene iz centra kruga na tetivu

AB-(a io znali i na sedicu s) zove se centralno rastojanje ili cen_tralna

razdaljina tetive (sedice); centralno rastojanje obeleziiemo sa d. (Napo-

minjemo da se ne samo duZina normalne dvLi OD ve6 i sama ta duZ

naziva centralnim rastojanjem.)

Po5to se tadka D nalazi u krugu, mora biti

d: oD<r

(r je poluprednik kruga)' Jasno je da i:-O-D visina u jednakokrakom

i.ouglr O2B i da su trougli OAD i OBD podudarni'

Na sedicu kruga odnose se sledeii zadaci:

10. Konstruisati seiicu datog kruga ako ie dato nieno centralno

rastojanje d. - Koliko reienia ima tai zadatak?

11. Konstruisati seiicu datog kruga tiji odseiak AB ima datu

duZinu. -Koliko reienia ima tai zadatak?

Resenja ovih zadataka na6i 6ete u sledeiem broju Matematidkog

lista, u nastavku ovog dlanka.

TAEJII4IIA CAEIIPAIbA

OAnax hernro 'tnraoua y[o3opI'ITI't Ha ro Aa ce He paAI{ o oHoj

ra6lruu ca6npana xoja je cBaKoM no3uaTa jour u: I parpeAa N

xoja nourme oBaKo:

| -' | --2,I +2:3, nr.{.

Cnn ce cehare KaKo cre Irficarfi rabrully ca6llpama ao l0: najnpe

cre 6pojy I AoAanarn pe.(oM 6pojere 1,2' 3,4,5,6,,7,8,-9,na

"t"rut"r 6pojy 2 AoAaBaJrI'I peAoM 6pojeee 1,2,3,4,5,6,7,8,

6

3arHM cre 6pojy 3 AoAasaru pegoM 6pojeae 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,ur4., 6pojy 8 AoAanaln cre peAoM 6pojene I u 2, H HanocJrerxycre 6pojy 9 AoAalu 6poj l.

-Taxsa rabrnua Moxe ce rperneA-

Huje, 6er uraxa ca6raparsa u :naxa jeAnaxocru, Halncaru y cleAeheuo6nnxy:

Kao ruro BHAHTe, ra ra6lnUa je cacrar:teHa raxo rrrTo cy y3arnaBJby wcilvcaHll' peAoM 6pojenn l, 2, 3, .. ., 9, 10, a :arnr,rje y npnona cleAeheu peAy ra Bpcra noMepeHa 3a jeAuo uecroyJreBo H npnn 6poj je urocranneH, rra je ora HoBa Bpcra, 6es csor

rlpaBor 6poja, roMepeHa ra jegno Mecro yJreBo r{ clyrrrreHay

cne-Aehn peA, HrA.; Taxo je nacraurseHo cBe Ao rrpernocneAlber peAa,

xojn cagpxrr caMo bpojere 9 u 10, H nocneAller, xojn caApxn caMo6poj l0;

.rrpr,rroMe cy npBH bpojenn y cBaKoM peAy o.qBojeHr{ oA

ocraJrllx jeluor"r Beprr{KanHoM IIproM y noceban cry6au.

Ha raj HaqrrH, y 3arnaBJby u y o4rojeHoM crynuy uMaMo Hr.{3

6pojena l. 2, 3, ..., 9, 10, a y yHyrpaubeM Aeny rabrnue rpBanpcra je Hcra Kao r{ rpBH crybau (ro je Hnr bpojera 2,3,4,...,9, l0), Apyra Bpcra je ncra Kao Apyrn crybaq (ro je Hne bpojeua3, 4, 5, ..., 9, l0), ..., ocMa upcra je r{cra Kao H ocMrr cry6aq(ro je nap 6pojeoa 9, l0) n AeBera npcra je xcra Kao H AeBerHcry6au (cacrojr.r ce caMo oa 6poja l0).

{r.rjarouanuo, cJreBa HaAecHo, y yHyrpau}beM .qeny ra6lnrleHMaMo: car',ro 6poj 2 (jesaunyr), car"io 6poj 3 (Aaanyr), car',ro 6poj 4

(rpunyr), ..., caMo 6poj l0 (aerer uyra). Ynyrparunn geo ra6rnueje cur"terpnraH y oAHocy Ha npaBy xoja nponarr.r Kpo3 neBL{ rop}buyrao H rarrKe Ha xojnua cy HanncaHx 6pojenn 2, 4, 6, 8, 10.

Epojenn y 3auraBJby r.r y r.rr4aojeHoM cryrqy cy ca6npun, nro 6poj y us4uojeuoM crynlly npeAcraBrba npru cabupax a 6poj

+l t 2 3 4 5 6 7 8 9 l0li 2 3 4 s 6 7 8 910

2i 3 4 s 6 7 8 9103 4 5 6 7 8 9104) 5 6 7 8 9 10

s 6 7 8 91061 7 8 9 l07l 8 e ro8i 9 l0el lo

l0r



y 3arrraBrby Apyrr ca6rpaK; 6pojenu y yuyrpauneM Aeny.rabluqe

"y*txo"t .6llpo"nr. Ha npnr"rep, r6rp 6pojera 3 u 6 je 6poj y

yHyTparrrrbeM Aely rabluue xoju ce Hana3l{ Ha [peceKy xopl{3oHTaJIHe

[paBe roBytleHe oA 6poja 3 y neBoM cryflqy H BeprI{I('lJrHe npaBe

"iy.t"t"o.a 6poja 6 y sauanry; raKo ce HaJIa3I{: 3+6:9'

VcleA cnrnrerpuje ra6lnqe nahn hevo raxofe: 6+3:9'Tnve je yxa3aHo BaxHo cnojcrno ca6npama - rcomywatuuluocra,

- rlrro 3HarIU Aa ce npoMeHoM Mecraca6upara He vena :6up;

raxo je: r+2:3 u z+t:2,1+3:4 u 3+1:4,

9+ l: l0 n I +9:10.

Aro ca6npxe o6elexuvro cJIoBHMa a u b, raga cnojcrro KoMy-

Tarr{BHocru cabupana r{3paxaBaMo jegnaxoruhy

Dr M. Stojanovi6 (Beograd)

NEKE ZANIMLJIVOSTI O BROJEVIMA

Ovde 6e biti redi o prirodnim brojevima, to jest o brojeviiral, 2, 3, 4, 5, ...

l. Najpre iemo napisati sledeiih devet jednakosti za kubovebrojeva 2, 3, 4, ..., 10, diju tadnost moZete lako i sami proveriti:

( t)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(e)

23:2t,6.(12):8,3r:3-F 6.(22):27,

43 :4 + 6.(12 + 32):64,

5r:5+ 6.(22+ 42):125,

6r : 6 r 6. (12+ 32 + 52) :216,

73 :7 + 6 ' (22 t- 42 + 62) :343,

8r : 8 + 6. (12 + 32 + 52 t72) : 512,

93 : 9 + 6. (27 + 42 + 62 + 8' :'729,

103 : l0+ 6.(12 + 32 i. 52 + 72 -+91: I 000.

(*) a+b:b + a;

ea ry je4naxocr xaxe ce raxofe Aa x3paxaBa 3aKoH rottlyraqnje ra

ca6upane 6pojena.

H ynpano ro mro narua rablnua Ha oqI{rJIeAaH Haq[H noKa3yJe

aa ,a "a6"pabe 6pojena Baxr{ 3aKoH xornlyraqnje jecre neuo ocHoB-Ho obelexje r ttpigcrauJba rbeHy BpeAHocr y o.qHocy Ha ra6lrqy

ca6uparra c xojolr cre ce yno3Har[ y I pa:pe.uy.

Haura ra6nuqa nua joru je4uo cmjcrBo: axo .qonuureMo rlo

gujarouarn Hur xojn ce cacroju caMo oA jeAauecruua' 3arl'tM HH3

*oj" t" cacrojn"ato

oA .qBaHaecrl{qa, HTA., MoxeMo ry ra6nnuy

rrpoAyxr{Tr{ r(oJr}tKo roA xoheuo; raro 4o6njaMo, Ha [pHMep, rabnuuy

"u6rp"*u.qo 15, xojy MoxeMo npo,qyxl{Tl{ KoJII'IKo roA xohelro'

Koruryrarunnocr ca6uparra BeoMa qecro KopHcrI{Mo' Hapoql{To

nprnilKoM ycMeHor cabuparra; Ha npl{Mep' aro 6pojy 17 rpe6a ,uo-

iarn 92, ton ynt"cto i6upu tl +gZ u3parlyHaBaMo s6up 92+17'

HanoMeHa. -Ha nauroj ra6m'rqn MoxeMo, pa3yMe ce'

qnrarr r{ pa3Jllrxy gna 6poja. Vrnp,4ure caMI{ r,qe ce raAa rpaxH

yMaIbeHHK, a rAe yMalbHnau fi r.qe ceHtuIa3I{ pe3yJITaT oAy3I{MaILa

-pa3Jrr{Ka.-

(V nape4norut 6pojy Materuarnqror Jrl{cra parronapaheno o

jeanoj'ra6r'qg uno*erti xoja uau Ha oq'rreAaH HaqLIH noxaryje

uexa coojcrna re onepaunje.)n. C.

8

Pada u odi da se kub neparnog prirodnog broja izmedu I i l0izradunava na odreden nadin pomoiu kvadrata svih od tog brojamanjih parnih prirodnih brojeva, a kub parnog prirodnog brojaizmedu I i l0 izradunava se pomoiu kvadrata svih od tog brojamanjih neparnih prirodnih brojeva.

MoZe se dokazati (to 6emo pokazati u jednom od narednihbrojeva MalematicYkog lista) da jednakosti slidne prethodnim vale za

bilo koji neparan ili paran prirodni broj, to jest da je, na primer:

442:44+ 6.(12+32+ 52-l- .'. .+43:'),

1252 : 125 t 6. (22 1 4z+-62+ . . . + 1242).

2. Iz jednakosti (3)-(9) rnoZemo naii zbirove kvadrata uza-stopnih neparnih ili uzastopnih parnih brojeva. Zaista, iz jednakosti

(3) neposredno nalazimo

12 + 32 :!t ,--!,

6



a razliku 43-4 6emo ovako transformisati: najpre iemo ispred za-

grade napisati zajednidki faktor (zajednidki dinilac) 4; dobiiemo:

43 _ 4:4 1+z_ l):4 (42 - l2),

a zatim iemo razliku kvadrata 42 - 12 napisati kao proizvod razlike i

zbira:

, 42 _ 12:(4_ l) (4+ l):3. s.

S obzirom na to, ima6emo da je

a, 4, 43-4 4(42-12) 4.3-5 3.4.5l- -r J-:

- 6. 6 6 6

Kao Sto se vidi, rezultat je reoma jednostavan: t6 je jedna

Sestina proizvoda tri uzastopna prirodna broja.

Dalje je iz jednakosti (4):

MoZe se dokazati (to iemo objasniti u jednom od narednihbrojeva Matematiikog lis6a) da slidne jednakosti vaie za zbirovekvadrata bilo koliko uzastopnih neparnih ili uzastopnih parnih pri-rodnih brojeva, to jest da je, na primer:

22+42+62+...+1002:100.101.102 : t7 I 700.

6

Koristeii se time, sada se moZete i opkladiti da iete brzo izra-

iunati, na primer, zbir kvadrata svih neparnih brojeva od I do 999ili zbir kvadrata svih parnih brojeva od 2 do 10000.

zADLCtl. Izradunati: a) zbir kvadrata svih neparnih brojeva od t do 99: b) zbir

kvadrata svih parnih brojeva od 2 do I 000.

2. Izradunati sledede zbirove:

a) 122 + 142 + 162 t- 182 + 2O2:

b) ll'? + 132 + 152 + 172 + 192.

, 3. Izradunati zbir kvadrata svih prirodnih brojeva od I do t0. to jest

12 +22 1_ 32 + 42 +... + g2+ 102.

4. Izraiunati zbir kvadrata svih prirodnih brojeva od I do 100.

5. Izradunati sledede izraze:

a\ 12 -22 + 32 -42 + 52 -62 + 72-82

+.92i

b) 12-22 + 32-42 +. .' + 99'?-1002 + l0l2l

c) 1012-1022 + lO32-1042 + 105'?-106'?+ 107'?-108'?+ 1092.

o 3ATPAAAMA

3auaxeno je aa ce y pa3Hr{M yuEeHHqHMa H y HacraBrr v3pa3n

a:b.c n aibc

pa3nntrnTo ryMarre: HerAe ce cxnaraga je

a:b - c: a:(b - c), oAHocHo a: bc: a:(bc),

Aox ce uer4e bxnara aa je

a:b. c:(a:b). c, oAHocHo a:bc: (a:b)c,

22 -42:t=-sr(s'z- l) : !: s'6

666itd. Na taj nadin dobijamo sledeie jednakosti:

1.4.5(3') 12+'32:'-:::10,o.6

(4',) 22-42:+'5'6 -20,6

(5') 12 t 32 - 52 -t'U-'1 : tt,

6

(6') 22+42+62-6''-:8 :SO,6

(7') 12+32+52+ 7':?:!:2 :ga,6

(8') 22 + 42 + 62 +8': -8j 2' l0 : 120,6

(9') 72 + 32+ 52 + 72 + 92:9101l- : 165.

6

ll0



rpn rreMy 3arpaAa o3HaqaBa xoja ce paqyHcKa onepaqnja I{Ma npBo

i{3BprrrHTI{.

PaAn us6eraBarba HeAoyMHue H Hecflopa3yua xoje raKBa ryMa-qerba u3a3nnajy, onge heNro HsroxI4TI{ KaKo ce HaBeAeHt4 t43pa3vt

uuajy cxnarfirn, n rI{.Me pacBerlr}rrrl To HaH3rJIeA c}lrHo a ycrBapu

BAXHO IIHTAIbE.

1. Kao ruro je no3Haro, aKo ce y je4nou n3pa3y 6el sarpa4ajanrajy

caMoparlyHcxe

ouepaquje Ipe4a (ca6npane

uogy:utnrane),

Ha npr{Mepa-b-c+d,

oHAa ry He Moxe 6nrn snxaxBe He.[oyM]rIIe: Ma xojuu peaoM I{3Bo-

ArJrr{ oBe parlyHcxe onepaqnje, yrex heuo .4o6nru I{crI{ pe3ynrar:

a - b - c -t d : [(a + d) - c] - b : (a - b) + (d - c) : (a - c) + (d - b), ur t.;

npr{ ToMe cMo 3arpaAaMa Ha3HarII{JIId nopeAax n:noferra parryHcxl'Ix

onepaquja.

2. VIcro raKo, H3pa3

a.b'c

He MOXe H3a3BaTI{ HHKaKaB HeC[Opa3yM; 3a MHoxerbe BaxH 3a(oHacounjaunje' na je

a. b. c: (a. b). c : a. (b. c),

a KaKo rrnHnoqe MoxeMo LI flpeMelrrrarr.r, nocrojr jour HeKoJILIKo

(la:pa.rynajre xolnro!) ruoryhnocrn Aa ce n3paqyna npon3Bo l, a'b'c:ceM Tora, raj ncru npox3BoA tILIITIeMo n nrocranrajyhn:Hax MHoxelba:

obc:(ab)c:a(bc).

' 3. He MoxeMo aohu y sa6yuy HI{ xaA je .4ar urpas oblxxa

a.b+ c:d-m,n;

no3Haro npaBLIJro yrrpfyje ga ce najnpe nrurajy H3Bplxurlr paqyHcKe

ouepaquje II pega (luroxerre x 4enene), a 3a'rvtv. paqyncKe onepaqnjeI pega (caEupane n oAy3l{Marre), raro ga je

a.b + c: d - m.n: (a'b) + (c: d) - (m'n).

u ,qpyror 3Hatlelba Aaru [3pa3 HeMa.

t2

4. llcro raxo, H3pa3

a. b: c,

6ulo Aa ce u3paqyHaBa raxo ruro ce a.b Aenn ca c, 6uro raxorrrro ce a Mrroxu ca (b: c), ynex Aaje ncru pe3yJrraT:

s. b : c: (a. b): c : a . (b : c) ,

jep noAe;rnrfi rpoH3BoA ana 6poja rpehuvr bpojernr Ncro je ruro H

no,[eJruTr.r carraojeAan

oAqr.rHHrtua

($axropa) lor npor.r3BoAa T]lMrpehuvr 6pojelr. 36or rora je y u:pa:y a.b:c Heuorpe6no craBJba-TH 3arpaAe.

5. lpyravraje crojN crBap ca r43pa3oM

a:b:c,

xoju ce, al(o 3arpaAaua unje Ha3HarIeH nopeAaK u:noferra paqyHcKr.rx

onepaunja, Moxe pa3nr,rqr,rro cxBarr,rrr,r-

6ulo xao (a:b):c, 6nloKao a:(b:c). Y cBaKoM oA oBa 4ea cnyvaja ao6nja ce pa3rr,rrturp€3lJrreT. Iloxarahervlo ro aajnpe ua je.{uovr npocroM npr.rMepy:

(la4:8):2: l8:2:9,

144 : (8 :2) : 144: 4:36.

3aro u:pa: 144:8:2,6et 3arpaAa, uuje ucupanHo HarucaH. ,{axle,unje ucro Ea nr4 Konlrrrnr.rK 6pojera s u b Aenr.rMo 6pojertr c vltvl6poj c /IenHMo Korr.rrrHHKoM 6pojena b u c:

(a: b): ct' a: (b: c).

36or rora, y ucupaeilo uauucsuou u3pcr3y Mopa ce salpagaMqHa3Haqumu pegocneg uzeofierca pqqyHcKux ouepa4uja.

6. Cana clro AorxJrr.r Ao r,r3pa3a

a:b.c, oAHocHo a:bc.

OArnrax rpe6a Har,racvrv Aa npor{3BoA 6c cuarpauo jeAunu 6pojeu,pe3yJrraroM MHoxeBa 6pojena b u c. 36or rora v3pes a:bc nv.a

cauo je4uo 3Harrelbe:a: bc : a: (bc).

Ha npnrlep, r{3 no3Hare Qoprrayle ga o6uvr rpyra O

':2nr r{MaMo

r: O:2n,

l3



a u3 $opMyJIe 3a 3anpeMl{Hy KBaApa V:abc 4o6njar'ao tlopuyly :avBvuy a:

a:V:bc.

Jacno je Aa y npBoM npnMepy o6unr rpyra AeJrHMo ABocrpyI(I{MEpojeru n, & y ApyroM 3arIpeMLIHy KBaApa AeJrI{Mo [poH3BoAoM Apy-

rux 4nejy r.rBr.rqa (urro sHauu Aa MoxeMo Hajnpe Y noiletmru ca b,

a 3arr4M 4o6ujeun KoJIIITIHHK nogenurn ca c).

[axre'a: bc : a: (bc): (a: b) : c.

Mefyrurnr, apyravnje crojn crrap ca H3pa3oM

a: b'c,

r4e je MHoxelle Ha3HaqeHo, rra He 3HaMo ,qa JIH 6pojer*,r c rpe6anoMHoxl{Tr,t b na sarnM a [oAeJrItrH THM npoI,I3BoAoM, H.IItl llaK

6pojerra c rpe6a noMHoxHTH xoJIutIHHK a: b. Ha npI'IMep, axo jd4ar uspas

72:3.4,

MH-

cBe AoK HaM ce HaKHaAHo ne iaxe peAocneA llrnofena na'3HlqeHr{x onepaqnja

-He 3HaMo Aa JIH rpe6a najnpe [oMHoxltru

3 *r 4 ra oHAa npoLI3BoAoM 12 noAelnrw 72, wnv. rpe6a uajupe 72

noAeJrr.lrll ca 3 na 3arI,IM 4o6ujeHn KoItlTIHHK 24 novuoxgru ca 4,

Ovurre4no, pe3ynraTn cy pa3rnttnTfi:

72:(3.4):72:t2:6,

(72:3).4= 24.4:96.

3axnyuax ce caM co6orvr Halrehe: [3pa3 a : b'c ie flerrcnpaBno

Harrucan; y raKBoM rcpa3y rpe6a ynerc, n obaueruo, 3arpaAou o3na-q[Tu nopeAarc nrnoferra Ha3uaqertux onepauuja.

HanoMeHa. -Ha ocHoBy nperxoAHl{x pa3Marpal6a JIaKo

je ysu,qeru HeonxoAHocr craBJbarba 3arpaAa y cloxennjuM H3pa3I'IMa,

Kao [rro cy, Ha npI.IMep, a'.b,c:d:e, a.b'.c:d'e'f u cstwuttw'

3aAaraK. - la nw cy Ll3pa3n a:b.c:d:e, a'b:c:d'e'f,a:b:c.d.e ucnpanHo Hanl{caHn? Axo HI{cy, Ha KolHKo ce HaquHa

MOXe CXBaTnTH CBaKH O.4 rrUX?M.N, L

14

ZADACI

Odabrani zadaci

Ovi zadaci treba da vam sluZe za veLbu, pripremanje za prijemne ispite imatematidka takmiEenja. Zadatke treba samostalno da re5ite, a navedeni rezultatineka vam sluZe za kontrolu.

E53. Mleko sadrii 0,12 svoje reiine pavlake, a pavlaka dajc: 0,36 svojeteiine buler. Odrediti koliko se butera dobija od 9OO I mleka, kada litar mleka

teii l,O3 kg.t54. Odrediti cifre mesto kojih se nalaze t u

[Rez.: 40,0464]

4+7 '3+

-lr08

r28rI i5..

855. Kupac je prvo kupio robu A za koju je platio jednu petinu svoga novca,zatim je kupio robu B za koju je platio jednu iestinu ostatka i, naposletku je zaostatak kupio robu C; poito je pri ovoj poslednjoj kupovini dobio 3,5)( popusta,ostalo mu je 1,82 dinara. Odrediti sumu koju je kupac imao na poietku,

[Rez.: 78]

856. Znajuti.da se razlomak !;- uveiava kada se brojilac i imenilac uveta-b

b

vaju za isti broj,. odrediti kako se menja razlomak * kada se njegov brojilac injegov imenilac uvetavaju za isti broj. [Rez.: Umanjuje se]

t57. Radnik je uloiio dve tretine svoje uitedevine po 4\, a ostatak po 3,61i tako je za godinu dana dobio 212 dinara interesa. Odrediti njegovu uitedevinu.

[Rez.: 6 000]

tSt. Izratunati P:(3 a2+-5)(3b,t.5), a zatim dodavanjem i oduzimanjemmonoma 3oab pokazati da se P moie izraziti u obliku P==x2-r15y2.

859. U kvaCratu ABCD, sa stranicom a, povuti odseiak MN, koji spajasredine M i N stranica aB i BC, i odseiak PQ, koji spaja sredine P i Q stra-nica CD i DA. Izraiunati obim i povriinu iestougla AMNCPQ,

l*.r.,o -zo, lJ, ,-t::l

860. Neka su A, B, C, D, E, F redom sredine stranica pravilnog iestougla

u kojem su povuieni odseici AC, BD, CE, DF, EA, FB.l) Dokazati da ti odseici ograniiavaju jedan manji pravilan iestougao uunut rtinjost i datog iestougla.

2) Izraiunali povriinu tog manjeg iestougla ako je stranica datog iesto-usta a-' t'

[R.r.. P:ryIlt--*" - 8 l

l5



861. U pravougaoniku ABCD su M i N sredine dveju suprotnih stranicaAD i BC; iz taike M povuieni su odseici MB i I{C, a iz taike N odseici NAi ND; ovi odseici ograniiavaju ietvorougao MPNQ,

l) Dokazati da je ietvorougao MPNQ romb.2) Izraiunati povriinu ietvorougla MPNO ako su stranice datog pravo-

ugaonika: a:6, b:3. I ablI Rez.: P:

-|

[ 4l

. 862. Iz svakog temena jednakostranitnog trougla opisan je kruini luk nadnaspramnom stranicom, a zatim su iz sredine svake stranice opisani kruini lucinad poktvinama dveju oslalih stranica. Tako je dobijena figura F ograniiena spoliasa tri veta (i jednaka) kruina luka,a iznutra sa Sesl maniih (i iednakih) kruinihlukova. - Ako se zna slranica a datog Jednakostaniinog ftougla, izradunati obimi povriinu figure F.

RESENJA KONKURSNIH ZADATAKA 174_188 IZ ML VII. 4_5

174. Od iednog delienia ostali su samo tagovi:

: :368

-200u

Nati deljenik.

Kako je 2b0 proizvod nepoznatog delioca i poslednje cifre kolidnika 368,

delilac u ovom delenju je kolidnik iz 200 i 8, tj. 25. Deljenje nema ostatka.

Sleduje da je deljenik: 368.25:9200'Nenad Manasiievii, Yrr. OS ,;J. Jovanovii Zmaj," Pandevo

175. Dakrilografkinia tipka jedan^iza drugog prirodne brojeve, hez meduznaka,

be z p ro r eda : I 23 45 67 89 I 0 | I | 21 3 I 4 I 5 I 617 18 19202 I 22?3,' .

Otipkala jb ukupno 1973 cifre. Koliko ie puta pri tome udarila cifru 7?

Za otipkavanje svih jednocifrenih brojeva treba otipkati l'9=-9 cifata: za

otipkavanje svih dvocifrenih brojeva treba otipkati 2'90:180 cifara; za otipka-

vanje svih trocifrenih brojeva treba otipkati 3.900-2700 cifara. Daktilografkinjaje, bdigledno, otipkala sve jednocifrene i dvocifrene brojeve, a nije otipkala sve

trocifrene brojeve.

Iu

[n"r., "(2"::/lI1

, Konkursni zailaci

189. Odrediti broj kojim treba pomnoZiti 315 da bi se dobio proizvod ve6iza 39 834 od proizvoda broja 216 i broja koji je za 4 manji od kvadrata broja 15.

190. Znajuii da se razlomak 4 uve6ava kada se brojilac i imenilac umanjeo

za isti broj, odrediti kako se menja razlomak a kada se njegov brojilac i inre-nilac uvedaju za isti broj. P

191. TeZina tela na Mesecu manja je za O,16 svoje teiine na Zemlji, na

Marsu je manja za 0,38 Svoje teZine, a na Jupiteru je 2,64 puta veia nego na

Zemlji. Odrediti teZinu tela na Mesecu i na Jupiteru, kada je njihova teZina na

Marsu 3l kg,

192. Odredi momenat izmedu 5 i 6 dasova u kome kazaljke dasovnika

a) jedna drugu poklapaju i b) dine prav ugao.-

193. Krug (K) poluprednika r:2 ima centar u tadki O; obeleZimo sa lBjedan predniktogkruga i povucimo poluprednik OM-LAB. Iz sredine OrduZiOMopi5imo krug (K,), poluprednikom OM12,iz sredine O, duLi OrM opiSimo krug (.tKr),

poluprednikom OM1l2, iz sredine O, duli OrM opiiimo krug (Kr), poluprednikomOMl3, itd,, a zatim, paralelno predniku l.B, povucimo kroz O, tetivu l,B, kruga(K); kroz O, tetivu ArB, kruga (K,), kroz O, tetivu lrB, kruga (&), itd.

l) Dokazati da tadke Ap A2, Ar, . . ,, M leie na jednoj pravoj i da tadkeBp 82, Br, . .., M leie takode na jeCnoj pravoj.

2) Izradunati duZine tetiva: AtB, A282, A3B3 i na osnovu toga izresti

formulu za duZinu tetive l,o.B,o.

194. Uodimo kocku ivice a i jedno njeno teme A;kroz sredine sve tri ivicekoje polaze iz temena I postavimo ravan; ta ravan odseca od kocke jednu tro-stranu piramidu. Odsecimo, na isti nadin, po jednu trostranu piramidu kod svakogod preostalih temena; dobiiemo telo koje ima 14 strana.

Izradunati povr3inu i zapreminu tog tela ako je 'a:1.

16

Za otipkavanje svih jednocifrenih i dvocifrenih brojeva otipkano je svega

189 cifara. Za otipkavanje sveg ostalog upotrebljene su 1973-189:1784 cifre.

Ako se 1784 podeli sa 3, dobija se kolidnik 594 i ostatak 2. Znati, otipkana suukupno 594 trocifrena broja i prve dve cifre 595'og trocifrenog broja. Prema

tome, poslednji otipkani trocifreni broj je 693, a sem loga su otipkane jo5 iprve dve cifre broja 694. .1

Cifra 7 javlja se unutar svake desetice brojeva po jedan put, sto znadi daje usled toga morala biti otipkana 69 puta; sem toga se ova cifra javlja i na

podetku svih brojeva iz sedme desetice unutar svake stotine, tto znadi.dajeusledioga morala biti otipkana jos 10.?:70 puta. Prema tome, cifra ? bila je otipkana

ukupno 139 puta.

. Vesna Aakarevii, VI, r., OS, Vida

176. Kotiko inn razliiitih petocifrenih broieva iiia je bar jedna cifra petica?

Petocifrenih brojeva ima ukupno 90 000. Odredimo najpre kolik je medu

njima onih u kojima se ne javlja ni jedna petica.

Na prvom'mestu tih brojeva s leva moZe stajati svaka cifra, sem nule ipetice, sto znadi 8 razliditih cifara; na drugom, treeem, detvrtom i petom mestu

s leva tih brojeva mogu stajati sve cifre, osim petice, Sto znadi da na svakom odtih mesta mogu stajati 9 razliditih cifara. Prema tome, ovakvih brojeva ima

ukupno 8'9' 9. 9.9 : 52 488.

ZnaEi da je broj petocifrenih brojeva dija je bar jedna, cifra pctica

Miodrag Milanofii, VI r. O5, Brod kod Fodes:90 000-52'488 :37 512.

l7



177. Koliko ima Sestocifrenih brojeva iiji zbir cilara izoosi 3?

Sestocifreni brojevi koji ispunjavaju gornji uslov mogu podinjati samobrojevima l, 2, 3.

Ako broj podinje cifrom l, jedna od ostalih cifara moZe biti 2, s tim dasu sve ostale njegove cifre 0; a mogu i dve od ostalih njegovih cifara biti l, s

tim da sve ostale moraju biti 0.

U prvom sludaju imamo 5 razliditih brojeva, a u drugom l0 razliditihbrojeva.

Ako broj podinje cifrom 2, jedna od ostalih njegovih cifara mora biti l,

dok ostale moraju biti 0. Takvih brojeva imamo svega 5.Naposletku, ako broj podinje crfrom 3, sve ostale njegove cifre moraju

biti 0. Takvih brojeva imamo samo l.Prema tome,ukupno 2l od svih Sestocifrenih brojeva ispunjava navedeni uslov.

Uredniitvo.

178. IJtvrditi da ti ie taina ili ne jednakosl 3100!7100-8100.

I nadin. -. Ako bi data jednakost bila tadna, moralo bi biti 7100:8r00-?r00.Kako je an-bn za n€{N} deljivo sa a-b, to bi 7r0o moralo biti deljivo sa8-3=5. No 7100 nije deljivo sa 5, pa je, prema tome, data jednakost netadna.

II nadin.- Kako je 3a:81, to se 3a&(k:1, 2, 3...) zavr5ava cilrvm l;

kako je 74-2401, to se i 7ae&:1, 2, 3...) zavr5ava cifrom l; a kako je84k:4096, to se 8aft (k:1, 2, 3 . ..) zavr5ava cifrom 6. Prema tome se zbir3100+7100 zavr5ava cifrom 2, a broj 8100 se zavriava cifrom 6. Datanejednakostnije tadna.

Vinko Zdravkovit VII, r. OS, Izvor kod Svrljiga

Miloi Cejovii, VIII, r.'OS, ,,Kraljevadki bataljoni, Kraljevo

119. Cemu je jednako 84, ako je 8.8:d4?

Ako je 8.s:6+, znadi da broi 64 pripada ngkom sistemu brojeva iijaosnova nije 10. Neka je ta osnova x. Tada imamo: l&+q:64, x:12.

Usled toga je 841,ry:8.12+4:100. 5xRadovan lvlilunovit, VII, r. OS ,,O. Petrov-Radi5ii", Vr5ac

180. Izraiunati aa+ba1'ca ako je a+b+c:O, a2-b2+c2:1.

Na osnovu datih jednakosti sleduje:

(a + b + c)2: 0, t* b2 + c2 -r 2ab -r 2ac + 2bc :0, 1 +- 2 (ab + ac + bc\ - 0,

llIab+ac - bc - .(ab+ac-= bcl'z- . a2b2-a2c2+ b2c2 +2a2bc+2ab?c+2abc2-

2"-" 4'-" -- 4'

azb2-ta2c2 j b2c2:].-roUr(a+b+c\, a2b2 Fa2ci rn'r'--1. . ,'t[u'4 " 4 iK"", \:.4-

" ".jus/VIl ML tekst ovog zadatka nije bio dat u potpunosti. Zbog toga i nije mo-

gao biti reien od strane ditalaca.- Ur.

18 l9

Kako je

a1 + b. + c1 : (a2 + bz + cz)z _2 (a2 b2 + a2 c2 + b2 cz),

sleduje:

a. +bl +c1 :r-2,!, or*6r*rn:1, .- 4' 2

Zoran Gligorijer,rc, VIII' r. OS ,,Banovii Strahinja", Beogr:id

lEl. Lice A ima 4 puta toliko godina, koliko ie imao B kad je A imao

toliko godina koliko sad ima B: kad B bude imao toliko godina koliko sad ima A,

obojica ie imati zajedno 95 godina' Koliko godina ima A, a koliko B?

Neka A ima sada x godina, a B y godina. ZnaEi: A je pre y-x godina

imao onoliko godina, koliko sada ima B. Tada je, medutim, B imao y-(x-y)::2y-x godina. Sleduje: x:4 (2y-x), 5x-8y: 0'

B ce kroz x-y godina imati onoliko godina koliko sada ima A. ZnaEi:

tada 6e A imati x+(x-y):2x-y godina, a B 6e imati x godina. Slijedi:

2x-y+x:25,3x-Y:95.Iz navedenih jednadina dobija se: x:40, y:25'

Silvana Skugor, VIII, r. OS ,,S. Matavulj", Sibenit

182. Akoste iitali zbirku istoiniaikih priia ,,Hiljadu i jedna not'", onda se

setati da je devojkg Seherezada lz noii u not pritala caru po iednu zanimliivu

prifu i lako uspevala da odloii svoie pogubljenie, dok se naizad IOOI noii car

smiluje i njom se oieni.

a\ Koliko bi noti bilo potrebno Seherezadi da bi ispridala l00l priiu, ako

bi u toku nekih noii priiala po 5 priia, a u toku ostalih noii po 3 priie?

b) Kotiko je naiviie, a koliko naimanje noti potebno Seherezadi, da bi

ispritala sve sroje priie (lool pridu)-

razume se, uz uslov da svake noii priia

bilo 3, bilo 5 prita?

Neka u toku x nodi Seherezada prida po 3 pride, a u toku y nodi prida

po 5 prida. Sleduje: 3x+ 5y:1001.Brojevi .r i y moraju biti celi i pozitivni. Da bismo ih sve odredili, po-

sluZimo se jednom od metoda za reSavanje tzv. neodredentl nd*:t:-" se 2 neiliate.

Izjednadine

3x+ 5y: l00l sleduje: 3x: l00l-5y, x:333-y+2'

{l-v

Neka je -,: t, na osnovu dega imamo: y: l-3t. Tada je

Sada su sve vrednostj koje zadovoljavaju datu jednadinu izralene

od t i za svaku celobrojnu vrednost od t pretstavljaJu'celebrojeve.

x :332 -r 5t.

u zavisnosti



Iz 0(x i 0qy sleduje:0< 332 + 5r,0< I -3r. Odatle dobivamo' - T * r=t

.

) :3'I, kako t treba da je ceo broj, imamo: -66<t<0.

Da bi ispridala sve svoje pride, Seherezadi je potrebno .x+Jr:333+2tno6i. Znadi, najmanje noii 6e joj trebati ako je r: -66,ti. ako je.r:2,i y:199,i ako je x+y:20l; a najvi5e noii ie joj trebati ako je t:0, tj. ako je x:332,y:l i ako ie x-i-v:333'

Novica Braiit vII, r. os. ,,v. Karadzii,., KruSevac

183, Dat je oitar ilgao i toika M na jednom njegovom kraku. Na tomistom kraku odrediti (konstrukcijonr) taiku koja je jednako udaljena od taike M iod drugog kraka ugla.

Kroz datu tadku M na kraku OPugla 4.POQ (v. sl. l) povucimo normaluna OP do njene presedne tadke N sakrakom OQ i konstruiSimo simetrale ug-lova {ONM i +MNQ. Te simetraleseku krak OP u tadkama M, i Mr.Ne-ka su N, i N, normalne projekcije ovihtadaka na kraku OO. Kako se Mrnalazina simetrali ugla j.ONM, a IuI, se nalazina simetrali ugla j.MNQ, to je M,M:: MrN, i M2M - MzN.

- Znati, M I i M2su traZene tadke.

Zorica Tanaskovit, Yll, r. OS ,,Karatlorde,., Topola

184. Konstruisati trougao ako su data dva njegova ugla i obim,

. Nekg je dat trougao ABC sa uglovima 4A:u, 4B:p, +C:y. Ako sestranica A.B produii kroz A za AA..=AC i kroz B za BB.:BC, pa s! povukuduii ArC i B,C, dobiju dva jednakokraka trougla A.AC i BrBC. S obzirom na

u3to je {.4, :-; i {B-,- ^,temenal iBz ""1 2'bc nalaze na simetrali stranice ArC, od,-

nosno na simetrali stranice 8, C.

Prema tome, da bi se na osnovudatih podataka konstruisao trougao ABC,treba najpre na jednu pravu naneti duZ,4,,B,, jednaku obimu datog trougla, pasa iste strane te prave konstruisati kod

taEke A, ugao 4B1AIC:1, u kod tad-

2'A

ke B, ugao AtBtC:;. Zatim treba konstruisati simetrale stranica AtC i BtC,2

pa na(i njihove preseke sa pravoln A,B, (v. sl.2).

Stanislav Popovit, VIII, r. OS ,,M. Pavlovi6,,, Beograd

20

sl. I

sl. 2

185. Oko krainice je opisan Sestougao kome su suprotne stranice dve i dve

paralelne. Dokazati da su suprotne stranice tog iestougla dve i dve jednake'

Neka je ABCDEF oko kruZnice

opisani Sestougao (v. sl. 3) i neka je

AB)IDE, BCliEF, CDIIFA. Povucimo

kroz centar kruZnice dui MN, koja sto-

ji normalno na stranice l8 i DE S.'sto-

ugaonika i sede ih u njihovim dodirnim

tadkama sa krugom M i N. Tada se

lako dokazuje da je A AMO=ADNO i

da je A MBO: LNEO. Otud sleduje:

AM:DN i MB:NE,

AM+MB:AN+ +NE, AB.=DE.

Analogno se dokazuje i da je

BC:EF, CD:FA.

Skugor, VIII, r. oS ,,s. Matavulj", Sibenikilvana

186. Izratunati povriinu pravouglog rougla kome je hipotenuza 4cm, ajedan ugao 22"30.

Nekaje

dat trougao AABC(AC:4cm,ABC:22"30') i neka je (v. sl. 4)

LBDC trougao simetriEan sa ABC prema .BC. U trouglu ADC je 4C:45" 1

zato, ako iz D spustimo normalu DE na lC, dobijemo jednakokraki trougao

DEC(DE-EC). Po Pitagorinompravilu imamo; 2DE2 = DCz, DE2 ::8, DE:2 Y'2. Na osnovu toga

I

ie Puact:^'4'212,

PuBct"''I

:2 tt, .

Silvana S\ugor VIII, r. OS

..S. Matavulj", Sibenik

sl. 3

/t/1\,l I \li r,'A_l \

/ l--- \/-l--

,iA--!

Sr. .1

2t



- 187. Baza (osnova) jedne piramide je romb stranice a, sastavljen od d:rajednak_ostranidna trougla. visina piramide ima svoje podnozje u ceniru simetrijebaze. Kra6a boina ivica (brid) piramide jednaka je ivici baie. lzraziti u funkcfiiod a povr5inu i zapreminu te piramide, a onda ih izradunati za a:4cm.

Dijagonale osnove piramide su AC:d,:ay' 3 i BD:dr:a; visina pira-

mide je oS-H -y'Ev,-gs,:LU t visina baze je h:MN:pe:aJa. sve

ietiri bodne ivice su Ms:Os:NS :pS:/nzant:1/11. prema tome je:

, -2'l: * 4. : .o U.j, * / rn -!JJ 1t + 1/ is,, : : uj tE : ! .2 2 4 2 3 2 2 4'

Za a:4cm, dobija se p:Z l/ I (t+ |/ 5;cmr, 4: 16cmr.

Stanislav Popovit, VIII, r. OS ,,M. Pavlovi6.., Beograd

lp.A. Qgtasya kapljica teinosti pretvara se u n medusobno jednakih loptas-tih kapljica. u kojem odnosu stoji ukupna povriina svih malih kapljica premapovriini velike?

Neka su r i r, poluprednici velike, odnosno svake od malih kapljica. Tada

su P-4rc 12 i P,-=42r,2 povr5ine,av:olt r rr-on^'J zapremine velike,od-33nosno svake od malih kapljica . Kako je V: nV,, sleduje: r: rrt y'i. Usled to-

*" i., Pl -, :i:rur .

PrzlMilutin Dostanit, VIII r. OS ,,R. Mitrovic.., CaEak

Najuspe5niji re5avatelji konkursnih zadataka f 53-188 iz ML VII, l-5

V razred

Ta6no re5ili ber 3 zedatke

^^ ^ I*id lgri{Lv. 95,,O.1_e!rqv,+adjsjd1, Vr5ac: t54, t55, 156, 157, 168; Dramlid Stoboden,os >o. Petrov-Radi5ii<, vrsac: 154, l6j, 174, 175i Gadanski ratiena. oS Do.perrov-Radisic<, vrsacjl5*4, 155: 156,

168; -G.

rkoid Jasm_ina._ O_S _>rV. Karadorde<, Jakovo: 154, iSO, tOe, I74; JeSin ietienr,OS >O. Petrov-Radiiic<. Vriac: 154, t55. 168-; Jovenovid Cordam, OS >Bratstvo-Jedinstvo<, Aleksinadki

R-udnik: 168, 169, l74i_Lazovi6 Branislav, OSi,S- Penezii-Krcun(, podekovina: 154, 155, iOg; Lukovi6Milica, OS >S. Penezii-Krcun<, Podckovina: 154, 155, 168; Mrnaiievid Nened. OS,j. Jovanovie-Zma;<r,l_alael,o.:.l.f4-,-155-, l5^9r 16:8, 169, 174, 175; Msrkovid Tatiane, OS >Nada puriii<, Vat;evo: lOt, 169,l74i Pahlid Naraia. os >F. Fitipovii<,Caiak. 154,155, 168; Radenkovid snelana. cis >s. penezid-

:Slcu.:]u: Podeko.vSna: l5J, 155, t74; RiEaid Sneiana, OS >S. penezic.Krcun(, poeekor.na, 154, t55,174; Stelanov Liiljsna. OS DO. Petrov-Radisii<, Vriac: I55, 157. 168; Srolanovid Nede, OS DO. pctrov--R:idiSia<,_V_r_5ac: 155, t68, 169, 174; Vasilid Olivera, OS >O. petrov-Ii,adiSji(, Vriac:

't54,155, tj7,

168,174,175.

)',

VI razred

Telno reSili bar 4 zrdatk.

Alekrid Predreg. OS DV. Dugoievii(, Bcograd,: l5{, 155, 157, 158, 16l, 163, 166; CirakovidGorice, OS >S. Rankovii<, Arandelovac: 168. 169, 174, 175; Cekerevid Vesne, OS DMarko Pajii(, Viaa:168. 169. 174,175: Jevtid Zoren, OS. DKaradorde(, Toplola; 174' l'15,176, 178, 184' 186'; Ku! Zorica,OSlrDr, D. Misovid(, Cacak: 154, 174, 175,176; Lukid Du5en, OS- >Kosta Dukic<' lvlladenovac: 154,

155, 158, 159, 160, 16l, f68, 169, l7o,172; M.ri.novi6 Dregen, OS >M. Pijade<<' Bado-vinci: 153, 154'

155; 156; 157, tst, 160; l6l, 162, l6l; Milenovi6 Liubomir, OS DFoeanska omladinska ceta(, Brod kod

Foee: tj+, lj5, 174, li6, 186; Milmov!6 MiodraB, oS >Fodanska omladinska eeta(, Brod kod Fode:

154.155. 174,176: Miti6 Miroshv, OS Doslobodioci Beograda<, Beograd: 168' 169'-172' 174' l8l;oiecovid'Miodreg, OS >O. Petrov- Radi5ii(, vrsac: 154, 156, 174, 175; Rizni6 Dregala,-OS >Karadorde<,

Too6la: 174. t78-. 184, 186; VeCanski Snelene, OS >V. KaradZii<, Vreac: 154, t55' 156' 168' 169' 114'

t7i, lizi Vulkovid Zeliko, os >D. Jaksid<, Mcda: 154, 155, 156, l6E, 169, 174' 115.

VII razred

Trlno relili brr 5 zrdrtlkr

Atrlid lvicr. OS DD. Stambolii<, Svrljig; t54, 155, 162, 157,158' 163, 168' 169' 174' 175, 176'

I 79. I 8 I .'iii4: Bdiie Xori"r. OS ov. rariazii", Krusevac: I 68, I 69, 172, 174 ' 175 , 176, I 82' I 84; Ctlero';Ji'iti'.;. it5';rii"i.t"b--JLontt"o(, Trnovitiiki Popovac; 154, 155, ls6' 168, 169, 174, 175: Cosid'OuSto,

OS'oO.. D. MiSovid<, ealak: 155, t68, 169, 174, 183'.184; Filiporid D-usica, OS))D'.Stmbolii('i"aii", riA 155_ 158- 163. lbE.169.174. f75, l8f,184; Gruiid Vesna. OS DZ. Aposlolovii(,Trstenik:ijll'ije,lrie, tos, iq; Horvat Brenke, oS 'D. PopoYid-Aga<, Beograd: 154, 155, 175, l.8l ' 186' l88ii"iLitl"JdLiltne, oSiMilan Munjas,i,ub : ls1, !5-5-, !5-q, 1s8-'168' l7l,.l7l, 174' 175, lel;.Jovanovidltil;d;;,-6S

"v-Karadzii<,Pirotitsj, tsr, 158,158,-1t9, 165; Jovenorid Moma. OS >R'- Vukiievic<,

Nisl-ij+. i'SO, f:S. iOO, tOt, fOS, tOO; Xenio Andre5, OS DBratstvo-Jedinstvo<, Svetozar.lvliletii: l5l,ii;- iai: iiil ioz. l6l. l6t. l6ti. l70.174;184;Mile.idDrrgise,oS)D.stambolii<, Svrljig: ls4, 158,

i6jiiOS,'r'69-.'17*.izS;iUituiovniOoven,OSDO. Petrov-Radisii(,Vr5ac: l5l, I54, 155, 156, 158, 159,

ieol'ioi. i3i. ioj. ro3, toe, l6e, l70, i7l, t72,t73,t14, t7s, 176,178, l7e' l8r, 182, 184' 184' 187''rs8'Mi-ticil'Bi""io.dS"Karadbrdrn.roiot., t74'175,176,178' 179, 180, 184, 186.; Piievac Du5an,

oS-,ir.-Fitipl-"ic., Caear.: 153, 154, 155: r5'8. l6l, !63, 165, I66; Polovine Zlatibor. >o. Perrov-Radisid(,

Vis.J,'ijlliji, ise, iSd, 166; S*i6 ilorisiev, OS1,V. K_a-radorde<, Topola: 174, t75, l?6, .178, 179'

rdo- rar. rij. rde: Serid Vere,'oS ,iS. x"ri"tiCn, Ljig: 154, 155, 157, 160, 16l, 162' 163; Sretenovi6niirfi. ijsliF.'Fitipo'ieu, Caeit: t54, t55, 157,-165, 168, 169, t74, t7s, lE2' 183' 184; stelanovi6 Bra'

irrliiir',lil,lS3, i?1, iee, n4, tis, iaz, is+; Serenrc Boiene, OS )D. Jaksii(, Me<la: 154, ls5' 163,

iAS- pZ- 174. l:15. iZS. ief, i86; Tenesko"i6 Zorice, OS DKaradorde(, Topola: 174, 175, 178, l8l,ieal fEe,'f"-ie.toi"n, OS >Karadorde<, Topola: 174, l'15, 176,178,,183, 186: Zdravk-o-vid.-Vinko' oS,lbliii't'i"i,,. ti'.i''rji, I57, t65, l6d, l6'e, t7o,t7t t72,173't11,175, 178, l8l' l8J' 184' 186'

VIII rrrzred

Telno relili bt 6 zedetekr

Eimbilovski Brenko, oS >Klimcnt Ohridski<, Miravci: 168, t62,.!14'.-lllr-l^82,^187.' Boiovid

rvrireo. oS ,j[.'Zaii;,r Niisi:, li4, 155, 156, 158, 160: 168' l6e, 173, t74' t76,178' l7?' l8l, 182' I84;

tlirlii rrltt"i.'O5-,i"xmrii'iet i bitatjt6nn, kraljlvo: 168, 169, r70, t74, i71, t7], LE-l-, l8^3-, 184, l88l

b;;ri;;'3i;;l':b3 ;li;1i";ia*, i\ovi' Kozjak: t74: t1s, r76, r7E, rry' r8'-, !9?, !9!; Dostani6

M;i;;: o-s;;I{: ilitr*ie.',cue"t: is+, lss, lsi, 159, 150, 16l,l62'-161., 164, 165'r68' l6e-: 170' l7l'|iii-fi\, nt,-iia, izs, rir, 182, r83, ig+, tts,.1s.0, t_t-2,_188; Doritevid Zivotiie,,oS DB. Radiievii(.Sediare:'lii.jSO.iSe.'167.168,f69,'174,'175,181,18J,t87;Feriani[Franci.OS>S_pomenikNOB.,c-.;il;; iil: i;;: i;il rl-e,'r60, ies,'170;'Gevritoyii Zoien. oS >Dr. D. Misovii'<, Cadak: 154' 155'

ie], iii,'iii,'i6i,-iii, iii; ciie"'iievi6 2orrn. oS )iBanovii strahinja<<, qeocr.ag.: t.s!-, t1t' ls7' 168'

it;; ido; ia-il iriz, iel, rtz,'rstiG."uoyi6 !levic1, 9-S. "!:.llllkovi-ij('l-jgniqg.'.11'

lls^' 156' ls7' 158'

i ssi i6di ioi, ioz. Lor,'ro+,'t95,i66,167, 168, !6e, l7l, l-7J , t't4, t7s,176, l?8, l7e, I 80,.l-8-l ' 182' 184'iis, iie, j-e7';-riid D."g"n. os 'ii. r*1it'o'"ia,i,'CaeiL:.iss, iso' ist, l60' l-6-3' t99'19:' 170, 174' 178'

i82; i6;: iaz, i'rii;.roilit stent<o,'oS "i. v,ita-sn'ie<, Lazarivac: t54,155, Is6, 158, 160, 165' 158'

ios,i7-o,ri],'ri],\i4,t7s,rre'libr,lts,iao,iCs:ilItrii.sJosip,.oiza.er:je, ?ade-rtie:ls'{'155'ls6'

iizi is-elise,-i6d, roi. res, r'tioli6i,-ri;d, j'oi,li-o' tlif t1t"t{vl6 Es.ad.' -o-q."S.'

Ma;kovii\ 9ienici:ii4: i;;j iii,' ise,'rol,'los,'reLl'rii,'ros, ios, jrr, izs, ieo, iszl rer; Mlhid llarko, oS >A' Santid<,

st.6anoiic.uo: l5i. 153. rSO. rji, iii, iei-16i, l6i ; MiiNikovid Sloboden, OS >v. Karadzii(, Pirot:

ii+l iij.'ljb, r3s,i3ir,'rbi,'rba,'t-o-c-,'17t,'t't2,'174, trs, lso, t8l, 182, l8J,184' 185' 188; Milanovi6

23



MATEMATTCxI rAKMICrx"ln

CnTvnTo SAvEzNo TAKMICENJE MLADIH MATEMATIdARAosNovNIH Sxor,.l JIJGoSLAvIJE

Na dan 17.6,1973. g..odrZano je u Beogradu ietvrto savezno takmiEenjemladih matematidara osnov_nih Bkola Jugoslavije, Takmiienje je organizovao,kao i prethodnih godina, Matematidki lisi za udenike osnovnii skJla, premad.ogovoru o organizaciji i .finansiranju saveznih takmiEenja mladih matemaiieara,sklopljenom medu republickim drustvima matematidara, fiziEara i astronomaJugoslavije.

. u takmieenju su udestvovali udenici vII i vIII razreda osnovne Skole, ito oni koji-su, shodno pomenutom dogovoru, odredila republidka drustva ma.e-matidara i fizidara na osnovu rezultata na prethodnim siupnjevima takmiienja.Njih-je bilo: iz SR Slovenijg-- 7, iz SR Hrvatske

- 10, iz SR BiH _ 9,-izSR Srbije - 22. Ukupno 48,

.zadatke je pripremila i radove_ takmidara je pregledala savezna komisija,sastavljena od odgovornog urednika _ML, . Bogoljubi f,tarinkoviia, i po jednb!delegata- svakgg republidkog druitva koje je upuiito udenike na takhidlnlei Delel_ggti su bili: vi5nja Brkii-De.ve1i (sR Hrvatska), Bogumila Kolenko (sR Sl6venija),Kosta Mijatovi6 (sR BjH) i Dusan Bogdanovii (sR srbija). tzraia zad,ataka' jitrajala 120 minuta. Takmidari su zadatke radili' na svom maternjem jeziku iprerlavali ih pod Sifrom. Za svaki od 5 zadataka svaki takmidar ;e mogao dobitinajvi5e po 5 bodova, Sto znadi da je mogao osvojiti najvi5e 25

-boAov'a.

.. .Takmidarima.koji-su..osvojili najmanje po l9 bodova dodeljene su nagradesa diplomarna,

aonima koji

su osvojilipo

16 do 19 bodova dodeljene su poh-vale. sem toga svakom od udesnika takmidenja od strane ML bila le dodeljenapo.jedna-matematiika knjiga, a nagraitenim udenicima bili su dodeljeni i drugipokloni. Naposletku, i svakom od nastavnika matematike onih uEenika koji sirdo5li na takmidenje upuiena je na poklon po jedna matematidka knjiga.

takmidare koji nisu bili iz Beograda ML je obezbedio u Beogradudvodnevni smeltaj i ishranu, kao i prevoJ za razgledinje grada.

Nagratleni i pohvaljeni su sledeci udeiiici:

VII razred

l. Jovanovii Moma, OS ,,Ratko Vukiievii,,, NiS (I nagrada)2. Todorovii Branislav, OS ,,svetozar Miletii,., Zemun (II nagrada)3. Grujit Ljubomir, OS ,,Vuk KaradZii.., Negotin (lI nagrada)

4. Tucakovit Kristina, OS ,,Dositej Obradovic,,, Beograd (II nagrada)5. Ianitit Biljang, OS ,,Nada popovii.,, Kruievac (pohvala)6. Bobot Vladimir, OS ,,2 oktobar.,, Zrenjanin (pohvala)7. Kaljevit Miloi, O5,,Andra SavEii.,, Valjevo (pohvala)

. 8. Loniar Predrag, OS ,,8 maj.,, Varaidin (pohvala)

26 27

VIII razred

l. Vidmar Matjai, OS.-,,Milojka Strukelj", Nova Gorica (I nagrada)

2. Zakoiek Zlatko. OS ,,12 septembar)", Majdanpek (I nagrada)

3. Sevit Drogutin, OS ,,Dositej Obradovii", Zrenjanin (II nagrada)

4. Kovaievit ^lrdan, OS ,,Miljenko Cvitkovi6", Sarajevo (II nagrada)

5. Ceiovit Miloi, OS ,,detvrti kraljev. bataljon" Kraljevo (II nagrada)

6. Dostanii Milutin, OS ,,Ratko Mitrovic", Cadak (lI nagra-da)

7. Ienti| Igor, OS ,,Pre2ihov Voranc", Ljubljana (II nagrada)

8. Pteiko Janez, OS ,,Majda Vrhovnik", Ljubljana (II nagrada)

9. Lavtiier Janez, -OS,,PreZihov Voranc", Ljubljana (III nagrada)

lO. Agoircn litvan, OS ,,p"t"fi Sandor", Novi Sad (III nagrada)ll. Ljubin Nrra, OS ,,Avgust Senoa", Z3ereb (nohvala)

12. Ilit Dragan, OS ,,Ratko Mitrov-ii", Cadak (pohvala)

B. Sakotit-Snieiana,' OS,,Avgust Seno", Zagreb (pohvala)

14. Jakopovit Zetiko, OS ,,Bozidar Adzija", Zagreb (pohvala)

15. Letit lzubin, OS,,J. Jakubovii", Tuzla (pohvala)

16. Lazit Al'eksandar, OS ,,Nada Puri6", Valjevo (pohvala)

ZADACI NA IV SAVEZNOM TAKMIEENJU

VII razred

l. Odredi najmanji prirodan broj kojim treba pomnoZiti broj 8316 da se

dobije broj koji je kvadrat jednog prirodnog broja. Kojeg broja?

2. Posle sniZenja cena za 20%,, za iznos od 240 dinara moZe se kupiti Imetar platna vi5e nego Sto se pre sniZenja moglo kupiti za 27O dinata. Kolikaje

bila cena tog platnapre

sniienja?3. Iz gradova A i B, dija je udaljenost 250 km, istovremeno su jedan

drugom u susret krenula dva motociklista. Brzina jednog od njih je za lO km/hveda od brzine drugog. Posle dva sata putovanja ostalo im je jo5 30 km do

susreta. Kolika je brzina svakog motocikliste?

4. U jednakokrakom trapezu srednja linija (srednjica) je s, a dijagonalaje dva puta duZa od srednje linije (srednjice). Kolika je povrSina tog trapeza?

5. Zadana je kruinica s centrom O i prednikom (dijametrom) AB:4cm,a) Konstruiii tri tangente te kruZnice, od kojih dve u ladkama A -i B, a

treiu taico da joj deo (odsebak) CDizmedu pravg dve tangente bude dugadak 5cm.

b) Koliki je ugao (kut) {COD?c) Izradunaj povrsinu ogranidenu konstruisanim tangentama i datom

kruZnicom.

VIII razreo

l, lJzeta su dva proizvoljna prirodna broja, pa su sastavljeni njihova

suma, razlika i proizvod (produkt). Dokazati da je bar jedan od ova tri novabroja deljiva sa 3.

2. Posle sniZenja cena za, 2O'l za iznos 240 dinara moZe se kupitiplatna vi5e nego Sto se pre sniZenja moglo kupiti za 270 dinara. Kolika je

cena tog platna pre sniZenja?

lmbila



- 1:.U ravni (ravnini) pravouglog (pravokutnog) koordinatnog sistema XOykonstruisi pravougaonik

.(pravokutnik) ABCD, ako su poznate k6ordinate trijuniegovih tenena (vrhova): A(-3, -l), C(5, -1), C(5, 3).

Odredi: a) koordinate Eetvrtog vrha D tog pravougaonika;

b) koordinate presedene taike duii AC i BD;c) jednadine pravih (pravaca) kojima pripadaju stranice dijagonale

tog pravokutnlka.

4. Osnovice AB i CD ttapeza ABCD produlene su na obe strane. Sime-trale spolja5njih uglova (vanjskih kutova) trapeza kod temena ,4 i D seku se utalki M' a simefrale spoljasnjih uglova B i c seku se u tadki N. Naii obim(opseg)

trapeza ABCD, ako je MN-2k.5. Vrh prave kuoe (uspravnog stoica) je u centru jedne baze (osnove)yaljfa..lruga baza varlka.i.baza kupe (stosca) leZe u isioj ravni (ravnini) iimaju isti centar. volumeni (zapremine) ove kupe i valjka su- jednake.'polupred-nik (radijus) baze valjka je r, a visina valjka ft.

a) Koliki je polupreinik baze kupe (izralen pomocu r)?

b) Koliki je volumen onog dela valjka koji je u kupi (izraien pomocu r i &)?

Rezultati, uputstya, reienja

' VII razred

L Kakoje 8316:22.33.7.11, najmanji prirodan broj sa kojim ga trebapomnoziti da se dobije kvadrat prirodnog broja je 3.z.ll. Tako-ie.-" dobiti:8316.3.7.11 :22.34.72.11r: (2.9.7. I l)r: 1386r.

Z. \9!o je x broj metara koji su bili kupljeni po ceni od y dirlara pometru za 270.dinara. Tada, prema onom Sto nam je dato, imamo:'

xy:270, tx+ ll Y:240; sledi: .r:9, y:30. 100

3. Neka je brzina-prvog motocikliste v km/h. Tada se drugi od njih kreiebrzinom (v-10)km/h. Usled toga imamo:

2v + 2 (v -10): 250, v :60 km/h.

4. Neka je ABCD (v. sl. l) dati trapez i neka su M i N krajnje tadkenjegove srednje linije. Visina trapeza je CD:/TCL-AO|. Kako je AC:2s,

AD:o-o-b a- b 'c

2- 2:t' ito je visina trapeza CD:/4sr-sr:sV 3.Sleduje /-- -__ -_ \

,:+. At'- sFr-\"

28

5. Neka su tr i t2 tangente, konstruisane-u taEkama A i B date kruZnice

(v, sl.2). Oko proizvoljne tad[e P tangente /r treba opisati krug sa. poluprednikom

i,:5, pa njegovu preiedenu tadku O sa tangentom 12 treba spojiti sa tatkom P'Iztadke O treba spustiti normalu OR na PQiu njenoj presedenoj tadki S sa datom kruZ-nicom treba konstruisati normalu CD na OS.

Ta ce normala biti traZena tangenta date

kruZnice.

b) 4COD: {COS+.{SOD:I:: (4AOS + 4TOB).2 ''

c) TraZena povr5ina je P: Pr-Prgdeje P, povr5ina ttaryza ABCD,a P, povrSina

polovine kruga.

AD+BC DS+SCP.- .AB- -- -.AB-22

CD.AB : 10,)

' 4zrPz: -^ :2, P - l0-2:t.

,r.

VIII razred

LSvaki prirodan broj moze se izracunati u jednorq od sledecih oblika:

3k,3k+1, 3k+2 (k:1,2, 3...).Ako se predpostavi da je makar jedan od brojeva a i D.oblika_.3k,njihov

proizvod je svaiako deljiv sa 3; ako su i a.i b oblika 3k+1, ili obilka 3t+2,ijino". riiritaje aeljiui sa 3; a akoje jedan od njih oblika 37.+1, a drugi

oblika 3&+2, njihov je zbir deljiv sa 3-

2. V. re5enje zad. br. 2 za Yll tazred.

3. a) Koordinate detvrtog temena su (-3' 4).

b) Koordinate presedne tadke dnZi AC i BD stt:.

-3 + 5 - I + 3(o'= -it--t, !s-:- r-:l'

c) Jednadine pravih kojima pripadaju stranice pravougaonika su x: -3,x:5; y --1, y:3.

Jednadine pravih kojima pripadaju dijagonale piavougaonika su:

3+l 3+lt* | -

s *l @ +3), y + I : -'r_,-(x-:)'

x-zy+l:0, x+2.v-3:0.

Sr. 2

29



4. Poito se tadka M narazi istovremeno i na simetrari sporjalnjeg ugrakod..l (v. sl. 3), i na simetralilpotjqsnjeg ugla kod D, tatk; M-i; poitiSOnuroudaljena od prave AB i prave cD. Na-sridai nadin se'aotaiuie-oil"'ii'"&" lr

podjednako udaljena od pravih AB i CD.Usled toga MN leZi na srednjoj Iiniji.datog trapeza.

Po5to su uglovi kod A i kod Mu trouglu APM melusobno jednaki, ima_yt9: AP-.MP. Analogno je Dp:Mp,BQ NQ, CQ:NQ. Usled ioga je:

/D AB+CDMN:MP-PQ+QN:;+J:;" +

BCI+

^-:;(AB - BC a CD + DAI -.2k,

t2o:4 k.

A

lv

sr. 3

5. Neka je polupreinikkupe ,R. Kako je Vk:yo,

osnove

to je

R2h

-:r2kJ

Iz slidnosti

A OQS sleduje:

' R'-'/ i '

trouglova A BQN i

BN R-r r l/-j-,os - R

_,BN_OS .r/,,

Vt-t .3-/3ht-h.:__, h,_hVt 3

Stoga je zapremina ono! d"h uu5-

ka koji se nalazi u kupi:

t-r/1V:rr2h -

l:g,42r21r.3

30

st. 4

st. 5

/ i _--lT----_i \"',,-----j--.---.-- i-::--rF.:--+--=F-

MATEMATICKA RAZONODA

Malo Sale

l. Sedam seljaka hoie da podele 28 q krompira na jednake delove.- Jedan

od niih deti ovako:28:7-13 (jer 7 u 8 idql i ostaje l; spuStam l;7--21 .idelprt"i. Or"gi od njih hoie da iipita tadnost deljenja, pa mnoZi 1.3'7:28 (jer je

i.{azl, f t:t, a 2t i 7 daju 28). Treci potprse 7 puta 13 jedno,pod drugog,

pa-toiabere ovako: I i I su 2, i i su,3 i td., svega 7;.J i 3.su 6, i 3.s.r,r 9' i

id., .u"g" 2l: 7 i 2lsu 28.

Itako izade da svaki od njih treba da dobije po

l3 q krompira!

2.,,Dokaz" da je -l :4+ 4'5+4'52-t 4'5r+ " "Ako se levoj i desnoj strani ove jednakosti doda l, dobija se:

0: 5+4.5 +4'52+4'53 + " " "'Odavde sleduje:

0:0+ 5.5+4.5'? i-4'5r+4'54+ " "'0:0+ 0 +5'52+4'53+4'5a+ ""'Posto se ovaj postupak moie nastaviti sve dok se na desnoj strani jedna

kosti ne dobiju same 0, znadi da je data jednakost tadna!

NeobiEni zbirovi

Proudite ove zbirove i pokusajte da i sami nadete slidne primere s ve6im

brojem sabiraka:

5

65

+ 4659 465

l9 465

29 465

848

648

+ 9648' 89 648

_ rlt 6q289 648

(l)(2)

(3)

Obrni, okreni-

oPet taEno

Izradunajte sledcde Proizvode:

19.9 l9l,

69.9 696,

98.8 989,

i uverite se da se isti rezultati dobijaju i ako se svaki odizraza

dita zdesna nalevo, to jest da je

I 919.91 - 19.9 l9l6969.96:69.9 696

9 898. 89 : 98. 8 989

(r),(2), (3)

(l)(z',)

(3)

3l



Zanimljivo je da ie jednakosti (l'), (2'), (3') ostati da vaZe i ako u njimaizraze na levoj i desnoj strani obrnemo ,,naglavce", na primer:

(1") I 616.61:16.6 l6l.Pri tome je, razume se, I 616.61 +1919.91.

*****Ako se u sledecim primerima znak sabiranja zameni znakom mnoZenja,

dobice se rezultat sastavljen od istih cifara kao i kod zbira, ali u obrnutom poretku:

24-+ 3 -.27,24.3:72,47 -t-2:49,47 . 2:94.

MoZeteli i sami naci job takvih primera?

Da. li ste dosetljivi?

l. U kom slutaju je 2.2.'.5'!2. Ako 5 madaka uhvate 5 miSeva u toku 5 minuta, koliko 6e madaka

uhvatiti 100 mi5eva sa 100 minuta?

3. U neku trgovinu dode kupac i zatraii robe za 60 dinara, ali preda nakasi novdanicu od 500 dinara. Kako blagajnica nije imala sitnine, ona poSaljepomoinika u susednu trgovinu da joj razmeni ovu novdanicu, pa vrati kusur.Ali vei posle pola sata dode blagajnik susedne trgovine i zalraii svoj novacnatrag, jer je predata novdanica bila laina. Na to 6e Sef radnje: ,,Eto, izgubismorobe za 60 dinara i 500 dinara u gotovul" Da li je on bio pravu?

4. Hoteii da ustupi jedno zemlji5te u obliku kvadrata svome sinu, otac gaje obeleZio stubovima i rekao mu je: ,,Uzmi zemlji5te obele2eno ovim stubovima!"Ali sin je redeno protumadio tako, da je dobio dva puta vi5e od onog Sto jeotac hteo da mu da. Kako je to noglo da budo?

5. Ako se sredine strana jednog ravnostranog trougla medusobno poveZu,trougao ie biti podeljen na 4 medusobno podudarna trougla. Ako se jedan od tihtrouglova odbaci, dobiie se jedan ravnokrak trapez. Da li i taj trapez moZe dase razdeli na 4 medusobno podudarna trapeza?

6. Sa 15 Sibica treba ograniditi 5 kvadrata. Zatim, samo oduzimanjem 3

Sibice, treba postiii da ostanu ogranidena samo 3 kvadrata. Kako je to mogu6e?

MatematiEke igre

1. Neki dedko rede svom drugu: ,,Zamisli neki broj -- ja ti dam jo5 toliko

- Branko ti pokloni jo5 6 - pola baci u vodu - od onog Sto ti ostane vralimeni 5to sam ti dao - podeli ostatak sa 3 - jesi li sve to uradio? - no, do-

bio si l!" Na osnovu degaje

taj dedko bio siguran da 6e rezultat radunanja biti l?2. Lice A rede licu B: ,,NapiSi jedan trocifreni broj, dije su cifre razlidite.Zatim napiSi broj dije su cifre iste kao i kod prvog broja, ali se javljaju u obr-nutom redu. Naposletku, oduzmi manji od ta dva broja od veieg, i reci mi samoprvu cifru nadenog rezultata. Ja cu ti posle toga reii ostale cifre tog rezultata."Kako je moglo lice A to da udini?

32

NAGRADNI ZADATAK BR. 35

Na slici je mreZa puteva izmedu 9 medugradskih stanica, sa nazradenim rasto-

janjem u kilometrima.

Kontrolor saobra6aja je nasao najkraii put da' posavsi iz stanice A, protle

svim tim putevima; pri tome je, naravno, nekim putem morao prdi i po dvaput,

Koja je to najkraia Putanja?

Zv taEno reSenje ovog zadatka nagradicemo 50 udenika matematiekim knjigama. Po po'

trebi odluCide ireb.Res€nje poslati na adresu: Matematidki list, p. p.728. ll00l Beograd'-Na ,samom radu

"Uor"rno-"upiilt!Joj" l-" i prezime, razred, Skolu,-mesto-i postu (sl postanskim brojem), kao

i t uCnu acreiu. Na koverti (omotu) naznacite: Nagradni zadatak br' 35'

Resenja Primamo do I' XII 1973 g.

Re5enja koja ne ispun.,avaju svc navedene uslove neiemo uzimati u obzir'

U iduCcm, br.2 ML za o.g. biie objavljeni rezultati nagradnih takmi'enja br'.33 i br' 34

iz ML ViI, V1.-q-S za proslu Skokliu godinu. Rezultati ovog nagradnog lakmidenja biic objavleni

u ML VII, br. 3 za ovu Skolsku godinu.

UCESNICINOVOGODISNJE LUTRIJE MATEMATICKOG LISTA

obavestavamo vas da je celokupnu godisnju preplatu na Matematidki list za ovu godinu

do 15.X.1973 g. poslalo ukupno 8263 pretplatnika. Njima ie sa idudim brojem lista biti upuieni

kuponi za u&stvovanje u novogodisnjoj lutriji Matematickog lista, ukupna vrcenost nagrada

iznosiie 8263 dinara'rlredniitvo

Matematicki list 1973 VIII 1

Documents

Transcript of Matematicki list 1973 VIII 1