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 REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

  INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

  EXTENSION BARCELONA

ANALISIS DE FOURIER 

Profesor:

 Jhoana Cardona Integrante:

Davinson García

C.I:19184885

Barcelona !" de #ar$o del %"1&

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DESSAROLLO

Análisis y Sín!sis "! F#$%i!%

'l (ate()tico *o+rier de(ostr, -+e c+al-+ier f+nci,n contin+a odría ser rod+cida or +na s+(a infinita de ondas seno / coseno. 0+ res+ltado tiene i(licaciones delargo alcance en la rerod+cci,n / la síntesis del sonido. na onda sin+soidal +ra +ede ser convertida en sonido or +n altavo$ / ser) erci2ida co(o +n si(le tonocontin+o +ro. 3os sonidos de instr+(entos or-+estales consisten general(ente de+na onda f+nda(ental / +n co(le(ento de ar(,nicos -+e +eden ser consideradosco(o +na s+erosici,n de ondas sin+soidales con +na frec+encia f+nda(ental f /(ltiles enteros de esa frec+encia.

'l roceso de desco(oner +n sonido de +n instr+(ento (+sical o c+al-+ier otraf+nci,n eri,dica en s+s ondas senos / cosenos constit+/entes se lla(a an)lisis de*o+rier. 3a onda de sonido se +ede caracteri$ar en tr(inos de las a(lit+des de lasondas sin+soidales co(onentes -+e la confor(an

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Definición Serie de Fourier

0i es +na f+nci,n 6o se7al eri,dica / s+ eríodo es la serie de *o+rier 

asociada a es:

Donde / son los coeficientes de *o+rier -+e to(an los valores:

Por la identidad de '+ler las f,r(+las de arri2a +eden eresarse ta(2in en s+

for(a co(lea:

3os coeficientes ahora serían:

;tra for(a de definir la serie de *o+rier es:

donde /

siendo:

a esta for(a de la serie de *o+rier se le conoce co(o la serie trigono(trica de*o+rier.

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Veamos un ejemplo:

En este caso, los coefcientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia:  ƒ ( x ) de cadapunto  x  donde  ƒ  es dierenciable:

Coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier

Considere(os +na cierta f+nci,n real de varia2le real <f6= definida en el intervalo>?@ @A. 0+onga(os -+e esta f+nci,n se +ede eandir co(o +na s+(a de f+ncionestrigono(tricas:

f6 a" % a1 Cos 21 0en a% Cos6% 2% 0en6% E

0e nos lantea el ro2le(a de encontrar los coeficientes <an= / <2n= -+e hacen -+e sec+(la la ig+aldad anterior en el intervalo >?@ @A. #)s adelante est+diare(os endetalle -+ condiciones ha de c+(lir <f6= ara -+e este desarrollo sea correcto.

0+ondre(os -+e esta serie es +nifor(e(ente convergente ara oder integrar 

tr(ino a tr(ino: F6f6 d 6a" % F6d >an F6Cos6n d 2n F60en6n dA.

;2serve(os -+e con n+estros criterios:

F6d % @.

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F6Cos6n d ".

F60en6n d ".

De (odo -+e o2tene(os: a" @ F6f6 d.

a" F6f6 d @.

Propiedades básicas3a transfor(ada de *o+rier es +na alicaci,n lineal:

Halen las sig+ientes roiedades ara +na f+nci,n a2sol+ta(ente integra2le  :

• Ca(2io de escala:

• raslaci,n:

• raslaci,n en la varia2le transfor(ada:

• ransfor(ada de la derivada: 0i / s+ derivada son integra2les

• Derivada de la transfor(ada: 0i / son integra2les la transfor(ada de

*o+rier es diferencia2le

'stas identidades se de(+estran or +n ca(2io de varia2les o integraci,n or artes.

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'n lo -+e sig+e defini(os la convol+ci,n de dos f+nciones / en la recta de la (anerasig+iente:

 K+eva(ente la resencia del factor delante de la integral si(lifica el en+nciado de los

res+ltados co(o el -+e sig+e: 0i / son f+nciones a2sol+ta(ente integra2les laconvol+ci,n ta(2in es integra2le / vale la ig+aldad:

a(2in +ede en+nciarse +n teore(a an)logo ara la convol+ci,n en la varia2letransfor(ada

 ero este eige cierto c+idado con el do(inio de definici,n de la transfor(ada de *o+rier.

Tabla de transformadas básicas

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente

de , siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada

directa y un factor de en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de

funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro

factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

Función Transformada

 (Función unitaria de Heaviside

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E&!'(l#s

P$ls# %!)*n+$l*%

'l +lso rectang+lar nos er(ite verificar -+e son n+los los coeficientes bi en +na f+nci,n c+/asi(etría es ar. Pro2ar el sig+iente ee(lo:

• Periodo 5."

• Lnch+ra %."

• raslaci,n ".".

0i traslada(os el +lso rectang+lar la f+nci,n dea de tener si(etría / or tanto aarecencoeficientes ai / bi. Pro2ar el sig+iente ee(lo:

• Periodo 5."

• Lnch+ra %."

• raslaci,n ".5.

P$ls# "#,l! !s)*l-n

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'l +lso do2le escal,n nos er(ite verificar -+e son n+los los coeficientes ai en +na f+nci,nc+/a si(etría es i(ar . Pro2ar el sig+iente ee(lo:

• Periodo !."

• Lnch+ra %."

• Prof+ndidad 1.".

0i ca(2ia(os la rof+ndidad del escal,n derecho la f+nci,n dea de tener si(etría / ortanto aarecen coeficientes ai / bi. Pro2ar el sig+iente ee(lo:

• Periodo !."

• Lnch+ra %."

• Prof+ndidad ".5.

P$ls# "i!n! "! si!%%* si'.%i)#

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'e(lo:

• Periodo 4.".

;2servar -+e 2asta los ri(eros ar(,nicos ara aroi(ar 2astante 2ien esta f+nci,nsi(trica.

P$ls# "i!n! "! si!%%* *nisi'.%i)#

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BIBLIOGRAFIA

htt:MMM.+al.esNvr+i$DocenciaL+ntes0ignals*o+rierOLnal/sisinde.ht(l

htt:h/erh/sics.h/?astr.gs+.ed+h2aseesa+dio*o+rier.ht(l

htts:es.Miiedia.orgMii0erieOdeO*o+rier 

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